4 Analisis Factorial
July 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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4. ANÁLISIS FACTORIAL
Introducción Modelo factorial ortogonal Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Análisis factorial y componentes principales
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Introducción
Las variables dependen de factores inobservables.
Los factores latentes explican comportamientos visibles en las variables.
El objetivo es analizar si hay factores (menos que variables) que expliquen dichas variables.
ANÁLISIS FACTORIAL 2
Modelo factorial ortogonal Sea
X 1 X con EX VX X p F 1
F
Factores comunes:
F m
1
Factores específicos o errores: l l Matriz de cargas: L l p
m
11
l 12
21
l 22
l p 2
1
l 1m
l m Nota: l =carga de X sobre F l pm pxm 2
ij
i
m p
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j
Modelo factorial ortogonal Matricialmente, el modelo factorial es: X LF Escribiéndolo de forma desarrollada, quedaría X 1 1 l 11 F 1 l 12 F 2 l 1m F m 1 X 2 2 l 21 F 1 l 22 F 2 l 2 m F m 2
X p p l p1 F 1 l p 2 F 2 l pm F m p
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Modelo factorial ortogonal Requisitos: (i ) E ( F ) 0 y V ( F ) E ( FF ' ) I
1 (ii ) E ( ) 0 y V ( ) E ( ' )
0
0
m
(iii ) y F son incorrelados :
E ' F EF ' 0 cov( , F )
Si se cumplen estas tres condiciones se dice que el modelo es factorial ortogonal. ANÁLISIS FACTORIAL 5
Modelo factorial ortogonal
Observaciones: Comunalidad (hi2) Especificidad (i ) LL' 2 i hi2 i l im ii l i21 l i22
La variabilidad de la variable i se descompone en parte común (se puede medir) y específica (no se puede medir). (ii ) cov( X , F ) L
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Modelo factorial ortogonal Ejemplo (i (i)) Nú Núme mero ro de vari variab able les s y de fact factor ores es.. (ii) (ii) Des esc compo mponer ner VX en en comunalidad y especificidad. (iii) cov(X 3,X 2 ). (iv) cov(X 3,F 2 ).
19 30 2 12 30 57 5 23 2 5 38 47 12 23 47 68 ANÁLISIS FACTORIAL 7
EJEMPLOS
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Modelo factorial ortogonal
(iii) No siempre existe un modelo factorial ortogonal.
(iv) Si exis existe te modelo factorial no siempre siempre es único único (si tiene más de un factor, no es único).
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Modelo factorial ortogonal Ejemplo Analizar si existe u un n modelo unifactorial unifactorial para para explicar estas tres variables:
1 0,9 0,7 0,9 1 0,4 0,7 0,4 1
X 1 X X 2 3 X
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Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Sea
X 1 EX ; X LF . X y VX X p
Si tiene los siguientes autovalores y autovectores, ( 1, e1 ), , ( p , e p ) con 1 p 0 la descomposición exacta de es e e ' e e ' e e ' 1 1 1
1 e1
2 2 2
p p p
1 e1 ' p e p LL'. p p ' eANÁLISIS FACTORIAL
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Construcción del modelo factorial: método de componentes principales La descomposición exacta de tiene tiene p p factores; factores; se puede utilizar la matriz para disminuir el número de factores.
Si tiene los siguientes autovalores y autovectores ( 1, e1 ), , ( p , e p ) con
1 p 0,
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Construcción del modelo factorial: método de componentes principales la descomposición de es
pxp 1 e1
1 1 1 e m em pxm 0 m em mxp
0 ,
h 2 .
donde
i
ii
p
i
Entonces LL ' .
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Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Modelo factorial muestral
X 11 X X n1
1 p X np
X
X 1 con X y S X p
Entonces ~~ ~ X X L L ' , ANÁLISIS FACTORIAL 14
Construcción del modelo factorial: método de componentes principales
donde los autovalores y autovectores son ˆ , eˆ ), , ( ˆ , eˆ ) con ( 1 1 p p
ˆ ˆ 0 1 p
~ y la matriz de cargas L ˆ 1 eˆ1
ˆ eˆ m m
~2 ~2 ~2 Además, hi l i1 l im Nota: Análogamente para R
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Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Sea X ~ N p ( , ), f ( x , , x )
Y sea n
1
n
donde
X LF
LL'
f ( x ) i
1 1 exp ( )' ( ) x x i i 1/ 2 p / 2 2 i 1 ( 2 ) 1 1 n exp ( x )' ( LL ' ) 1 ( x ) i i ( 2 ) np / 2 LL ' n / 2 i 1 2 1
ˆ , ˆ que maximizan f ( x1 , , xn ). Sean Lˆ , ANÁLISIS FACTORIAL 16
Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Propiedades No hay óptimo único: se requiere
L' 1 L
( diagonal )
La solución se obtiene computacionalmente. computacionalmen te. Las comunalidades son
hˆi2 l ˆi12 l ˆin2
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Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud No se obtiene el mismo resultado por el método de máxima verosimilitud que por componentes
principales. La proporción de varianza explicada por el factor j -ésimo -ésimo calculada por máxima verosimilitud es:
Varianza total
hˆi2 s11 s pp
Nota: Análogamente para R
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Análisis factorial y componentes principales El análisis factorial y el análisis de componentes principales están muy relacionados entre sí, pero existen varias diferencias: Mientras que el análisis de componentes principales busca hallar combinaciones lineales de las variables originales que expliquen la mayor parte
de la varianza , el análisis factorial pretende hallar total un nuevo conjunto de variables no observables, observabl es, menor en número que las variables originales, que exprese la mayor parte de la varianza común. común.
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Análisis factorial y componentes principales El análisis factorial supone que existen factores comunes subyacentes comunes subyacentes a todas las variables, mientras que el análisis de componentes principales, no.
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