4. ALGEBRA 1° - ACTIVIDADES

Álgebra Actividades

Prof. Nil Lenin Palacios Camacho

Contenido Temas Leyes de la teoría de exponentes I Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Leyes de la teoría de exponentes II Aplicamos lo aprendido Practiquemos

PRIMERA UNIDAD

Páginas 6 8 10 12

Ecuaciones trascendentes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

14 16

Expresiones algebraicas - Monomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Polinomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Maratón matemática

18 20 22 24 26

Productos notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

29 31

División de polinomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

SEGUNDA UNIDAD

33 35

Factorización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Radicación Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Racionalización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Maratón matemática er

Ecuaciones de 1.

39 41 43 45 49 51 53

grado - Planteo de ecuaciones

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

56 58

Sistema de ecuaciones lineales

TERCERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

61 63

o

Ecuaciones de 2. grado - Planteo de ecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

66 68

Desigualdades e inecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

70 72

Maratón matemática

74

Valor absoluto Aplicamos lo aprendido Practiquemos

76 78

Logaritmos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

CUARTA UNIDAD

81 83

Funciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

85 87

Progresiones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

90 92

Maratón matemática

94

Sudoku

95

Unidad 1

Recuerda Muhammad Ibn Musa Al-Jwarizmi Matemático árabe, vivió por los años 780 d.C. y 850 d.C. Escribió una obra titulada Libro de la reducción, cuya versión latina tuvo gran influencia en la matemática europea hasta mediados del siglo XV. En ella indicó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado y otras cuestiones matemáticas. La latinización de su nombre dio lugar a la palabra «guarismo». Poco sabemos acerca de la vida de este astrónomo, geógrafo y matemático musulmán del siglo IX. Era natural de Juwarizmi (Jhiva), y residió en Irak, en la corte del califa abasida AlNamun (813-833). Con su Kitab al-yabr wa-I-mugaballa o Libro del álgebra (literalmente, Libro de la reducción, o bien “de la integración” o “compensación”), Al-Jwarizmi inició la literatura matemática de los musulmanes. Traducido al latín por Rodolfo Chester y Gherardo da Cremona (en el siglo XII), ejerció grandísima influencia en los matemáticos europeos hasta el siglo XV. De la popularidad de este libro dan prueba dos términos de nuestro más común lenguaje matemático. En primer lugar, la palabra “algoritmo”, que hoy, después de haber pasado por varios significados, indica un “procedimiento constante de cálculo” y que deriva evidentemente del nombre de AlJwarizmi (igualmente la palabra “guarismo”). Y en segundo lugar, la misma palabra “álgebra”, introducida en Occidente por medio de este tratado árabe, en el que el término “Alyéber” designa la conocida operación por la que un término pasa de un miembro a otro de una ecuación, cambiando de signo. En realidad, esa palabra tiene su raíz más antigua en la forma babilónica “gabru-inaliaru” que significa “parangonar”, “confrontar”, “poner en ecuación”. En la obra de Al-Jwarizmi se estudian no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo (por ejemplo: x2 + 10x - 39 = 0), con un método que substancialmente no difiere del actual. Las ecuaciones de primer grado cuyas soluciones han de estar en números enteros (porque se refieren a problemas que admiten solo tales soluciones, como, por ejemplo, cuando se busca un número de hombres, o de caballos, etc.) son tratados con el método de “falsa suposición” o, como se dice comúnmente, “falsa posición”.

Reflexiona • La fortuna solo sonríe a los audaces, fríos y prudentes, a aquellos a quienes las espontaneidades de la imaginación no son suficientes para lanzarse al peligro. • Uno de los secretos para disfrutar de una vida larga y feliz es amar el trabajo que hacemos. • Si amas tu profesión descubrirás que nunca tendrás que volver a trabajar en tu vida.



• ¡Derrota tu negativismo y halla en todas las cosas simples motivos de ilusión!

¡Razona...! En la figura, ¿cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que dicha operación sea correcta? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Aplicamos lo aprendido TEMA 1: 1

Calcula: A = 7

LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES I

34

Resolución: 34

2

0

0

A= 7 = 7 A = 73 ` A = 343

Resolución: S = -1 + 8 + 49 - 16 . 1 S = 7 + 49 - 16 ` S = 40

31

A) 343 D) 247 3

B) 49 E) 81

C) 7

Calcula: 4 0 A = _- 2 i - 4 2 + 160 + 16

A) 40 D) 43 4

Resolución: A = 24 - 16 + 1 + 1 A = 16 - 16 + 2 ` A=2

B) 3 E) 5

Calcula: E=5

23

C) 4

0

21

E= 5 =5 =5 ` E = 25

Intelectum 1.°

Calcula:

B) 3 E) 5

C) 6

B) 21 E) 15

C) 16

0

0

E = 78 + 87 Resolución: 0

2

A) 5 D) 1 5

6

C) 42

Calcula: 2 A = - 70 + 90 + 80 + 5 - 60

A) 2 D) 1 6

0

Resolución: 23

B) 39 E) 36

Resolución: A = -1 + 1 + 1 + 5 - 1 ` A=5

A) 2 D) 6 5

Efectúa: 0 S = - 50 + 81 + 7 2 - 16 2

E =78 + 87 E = 71 + 81 E = 15

B) 1 E) 10

C) 25

A) 20 D) 22

0

7

Efectúa:

5 3 0D

A = :_6 i

8

0 6 3D

+ :_5 i

Resolución: a5 + 2a10 + 3a15 a3 a8 a13

Resolución: 5

Calcula: 5 10 15 a3 + 2a8 + 3a13 a a a

18 0

A = [1] + [5 ] A=1+1&A=2

= a5 - 3 + 2a10 - 8 + 3a15 - 13 = a2 + 2a2 + 3a2 = 6a2

A) 11 D) 125 9

B) 1 E) 126

A) 4a2 D) 7a2

C) 2

Calcula: 6 4 2 -(-2x ) por - (-3x )(-2x )

B) 5a2 E) 8a2

C) 6a2

10 Calcula: 2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10x2

Resolución:

Resolución:

= (2x6)(-6x4 + 2)

= 2x12 + 7x12 + 6x12 = 15x12

-(-2x6) por -(-3x4)(-2x2)

2x3x4x5 + 7x6x6 + 6x10x2

12

= -12x

B) 6x12 C) -12x12 A) 3x2 2 D) -3x E) -6x2

Resolución: Cada base en factores: _2 4 .3 i_2.7 i3 (3.5) 5 4 3 3 5 5 N= & N = 22 2.3.22 .73 .33 .54 4 2 3 4 2 .3 .5 .5 .7 .2 3 _2.3.5 i (5.7) (2.3)

0

A = 5 + 8 2 + _- 5 i - 90 + _ 3 + 1 i A =1 + 8 + 1 - 1 + 1 A = 10

1 C) 1 3 4 1 6

Por multiplicación de bases iguales: a a + 2b b l b a a + 2b b l b

A) 5 D) 2

B) 4 E) 1

C) 3

Claves

11. D

A) 1 B) 2 D) 1 E) 5

9. C

16 20 Entonces: A = a b4 2b

C) 12

Resolución: Llevamos P a una misma base: Por división de bases iguales: a a a 2b P = b a l a + 2b - a - 2b = b a l 0 b l b l b b b b P= a 2 b + a &P=1 b l b

7. C

= a16 b20

12. A

= a1 + 3 + 5 + 7 b2 + 4 + 6 + 8

10. C

ab2a3b4a5b6a7b8

por división de bases iguales: A = 1 a16b20 . b - 4 2 = 1 a16b16 = 1 (ab)16 2 2 Reemplazamos ab = 1: A = 1 (1)16 & A = 1 2 2

14 Efectúa: b -a b a2 d n d 2n a b P= - (a + 2b) b d n a

5. C

Resolución: En el numerador, por multiplicación de bases iguales:

B) 8 E) -8

3. A

ab2 a3 b4 a5 b6 a7 b8 ; si ab = 1. 2b4

8. C

13 Halla: A =

A) 2 D) 6

C) 12

1. A

B) 8 E) -8

6. E

A) 9 D) 10

Por multiplicación y división de bases iguales: N = 24 + 3  -  2  -  4 . 31 + 5  -  2  -  4 . 55  -  2  -  3 . 73  -  3 N = 2 . 30 . 50 . 70 N=2.1.1.1 & N=2

4. E

0

C) 15x12

2. A

0

0

B) 12x15 E) 6x7

3 5 12 Calcula: N = 48.214 .3154 30 .35 .6

11 Calcula: 0 0 0 0 A = 5 + 8 2 + _- 5 i - 90 + _ 3 + 1 i Resolución:

A) 13x10 D) 9x8

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

14. E 13. A

Practiquemos 4. Reduce: 9 7 E = 7 -57.7 7.7 .7

Nivel 1 Comunicación matemática

12. Escribe: = o ! según corresponda: I.

A) 42 B) 40 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según D) 30 E) 56 corresponda: 5 3 2 ▪▪ Al multiplicar (-3x ) por -(-2x .x ) 5. Efectúa: resulta -6x10. V -1 -1 S = d 1 n + d 1 n + 70 ▪▪ Luego de reducir (2a + 3a - 4a) ' 2 10 (8a + 6a - 13a) se obtiene -1. F A) 12 B) 11 ▪▪ El resultado de: a2a + a3a cuando a D) 8 E) 13 V a = 2 es la mitad de 24. 2 -23 _ 3 i2 _-2 i

▪▪ Luego de reducir a a exponente de a es 2.

a

V

2. Efectúa la expresión: -2 -3 R = d 1 n + d 1 n 4 2

C) 36

C) 14

B = _y-2 i

2

. _y-1 i

2

.y

10 32

es: y-9



Demostración:



Tomamos de dos en dos los exponentes de arriba hacia abajo, se tiene: 0 -2 i2

B = _y

2

2 _-2 i 10 32 -1 i2

_y

y

C) 62

9. Reduce: 2a + 1 + 4a - 1 Z = 2 2a - 2 2



B) 3 E) 9

A) 5 D) 2

1

16

2

-1

B) 4 E) 1

B = y-2 .

1

y-1 .

16

y

-2

y

-16

y

9

=y

-2 + -16 + 9

-9 `B= y



8

Intelectum 1.°



3

- 3 _3 n i = 24 3 _3 n - 1 i



B) 2 E) 5

C) 3

16 2 Q = 2 .16 8 8 A) 1 B) 2 1 D) E) 1 2 4

C) 4

8 10 7 M = 2 .2 .22 _212 i

B) 2 E) 16

C) 4

16. Luego de reducir:



n

5n_n + 3i ; n ! N 53

Indica el exponente final de 5 A) 5n D) 2n

B) 4n E) n

C) 3n

x + x + x + x d x4 n = 4 l x.x.x.x 4x

b



2 2 + (-1) - (-3) + (-1) 5 = 19

3

3 2

n+1 + 2n + 2 E= 2 n+3 2

3 1 A) B) 4 2 D) 2

E)

C) 1

2 3

18. Efectúa:



2

3_-1 i

15. Efectúa:



n+3

2

101

!

17. Calcula:

5 .5

A bases iguales, sumamos exponentes:

B = y



Comunicación matemática

9

5

14. Calcula:

C) 3

En los dos primeros factores usa la 11. Marca con un aspa las igualdades verdaderas: ley: potencia de potencia (am)n = amn mientras que en el último factor efectúa el 58 + 55 = 126 exponente de y. 4



6

_2 2 + 1 i - 2_2 + 1 i

3 4 5 P = 2 .2 .42 _2 3 i

A) 1 D) 4



Halla el valor de A . B

Igual que el paso anterior tomamos de dos en dos de arriba hacia abajo: NIVEL 2

B = (y-2) (y-1) y3

C) 4 -1

0 24 2 1 B = (y-2)2 _y-1 i y3

=

1

2

A) 1 D) 8

10. Sabemos que: A = 9-2 y B = 81 4



Razonamiento y demostración

B) 61 E) 71

A) 6 D) 8

0

13. Calcula:

Razonamiento y demostración _-2 i

!

6 3 33

II. _- 1 i2 - _- 1 i3 + 30 - _- 1 i5

-1

Siguiendo un orden operativo, lo primero 7. Simplifica: es convertir los exponentes negativos en positivos: A = d 17 n .3 6 + 5 3 3 R = 4 2 + 2 3 Luego la potencia resultante de cada A) 1 B) 2 C) 3 sumando es como sigue: D) 4 E) 5 R = 16 + 8 Obteniéndose finalmente como respuesta: 8. Si xn = 3, reduce: x3n - 100 ` R = 24 A) -71 B) -72 C) -73 D) -74 E) -75

2 20

5

_x 2i

2

III. 16-2 + 6 x - 5 x



3. Demuestra que el resultado de operar en:

4



el 6. Efectúa: -2 -2 M = d1 n +d1 n 5 6 A) 52 D) 53

3

_x 2i . _x3i

-2

-3

A = d 1 n + d 1 n + 20090 5 3 A) 25 D) 37

B) 24 E) 41

C) 53

NIVEL 3 Comunicación matemática 19. Subraya la proposición correcta:

A) 1

b) Al resolver:

3



▪▪ La suma de cifras de la respuesta es tres. ▪▪ La suma de cifras de la respuesta es par. -1

c) Si: E = 9-2 y M = 81 4

f



59 3 -3

18 (3.22)1.7

15 6 5-2 5 4 35

Razonamiento y demostración 21. Si: x = 5

A) 2

E) 1

D) 32

E) 81

B) 3

C) 6

D) 4

E) 8

C) 5

D) 8

E) 7

n+4 n+3 E = 5n + 3 + 5n + 2 5 +5

A) 1

B) 4

29. Simplifica: 64

m+1

64

x + x1 + x

D) 5

C) 36

28. Simplifica:



halla:

B) 56

27. Si: x2n + 4 = 29; calcula: xn � 3

x

B) 253

D) -3 E) -2

+ 3-3 F 3 + 33

A) 49



A) 57

C) 4

-1

-1

Si: m = 3 Calcula: 2m2m

T=x

B) 8

I = < 3

m



5

26. Calcula el producto de los dígitos del valor de la expresión:

(12)436674627



E) 5

x3 y3 x3 y . p f p - x4 y2 - x 2 .y 2

A) 2

20. Relaciona cada expresión con su respuesta.

-2

D) 4

Determina el valor de mm + 1

▪▪ El valor de E . M = 20120

-1

C) 3

y -m Se obtiene: b l x



▪▪ El valor de E . M = 5

1 1 1 d n +d n +d n 7 5 3

B) 2

25. Al multiplicar:

-3

1 1 1 d n +d n +d n 3 4 5

-1

E) x/y

a9 . a a 2 ; a 2 0 Indica el exponente final de a.

▪▪ El exponente de dos es tres.



D) x2/y2

C) y2/x2

3



▪▪ El exponente de cinco es tres.

-2

B) y/x

24. Al reducir:

a) En la resolución de (5624)4 ' (5322)7

-1

A) xy

C) 254

-8

m+ 1 2

2m + 1

'8

2

A) 209 D) 448

B) 324 E) 298

C) 294

22. Para n ! N, simplifica:

3-n + 3-n + 1 3-n + 2 A) 4 B) 5 D) 5 E) 9

23. Efectúa:

C l a ve s 4 9 3 4

1 1 -2 -4 1 W = ( x b x _xy i l 2

C) 4

Nivel 1

7. B

13. a

Nivel 3

25. B

1.

8. C

14. a

19.

26. E

2.

9. E

20.

27. A

3.

10. E

21. B

28. C

4. A

Nivel 2

22. b

29. D

5. E

11.

6. B

12.

15. b 16. e 17. a

23. C

18. c

24. D

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

9

Aplicamos lo aprendido TEMA 2: 1

LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES II

Efectúa: -1 27 3

P = b

-1 + 36 2

Resolución: -1 27 3

P= b P=

-1 + 36 2 1 3

2

-1

l

= 2

A) 2 D) 3 Simplifica: A = x

4

x

2 3

1

3

8

9

Halla el exponente final de a:

E= E=

a

1 a

_a

1 a

-1

ba a l

a

a a

B = 3 27 # 2

3

64 # 2

3

3

3

3

125 # 2

B) 100 E) 120

Reduce: 2 M = 3

2

+ 5

2 2

C) 104

- 80

Resolución:

_a a i 1

C) 12

Calcula:

A) 80 D) 110 6

a-1 i a

Resolución: E=

B) 10 E) 16

4

D) x 9 E) x 8

-1

= 22 . 3 = 12

3

A) x 9 B) x 4 C) x 3

E =

7 4 E = 2 5 .3 3 = 27 - 5 .3 4 - 3 2 .3

B = 3 # 4 # 5 # 3 2 = 120

8

a -1

4

B= 3 2 #4 2 #5 2

A = x 18 = x 9

5

7

16 . 3 27 3 3 5 4 8 . 81

4

B = 3 54 . 3 128 . 3 250

_1 # 3 + 2 i3 + 1 x 2#3#3 16

E=

3

Resolución:

2 3

A= x x x Por propiedad: A=

81

B = 3 54 . 3 128 . 3 250

x

Resolución: 3

27

4 3

A) 6 D) 4

B) 3 C) 6 E) 2

3

8

3 4

4 7 E = 3 16 4 27 5 8 3 81 7 4 4 3 E = 165 .273 3 4 8 .81

-1

3

3 5

4

-1

P= d 1 + 1 n 3 6 -1

16

Resolución:

l

f d 1 n +d 1 n p 27 36

P= d 1 n 2

4 7

E =

-1

1 2

Halla el valor de E:

a

a

=a

2 2

M= 3 2

+ 5

2 2

- 80

2

M= 3 + 5 -1 a a 1 a

M=3+5-1=7 a

= aa = a

A) -1 D) 0

10 Intelectum 1.°

B) 3 E) 1

C) 2

A) 6 D) m

B) 9 E) 7

C) 10

Efectúa: 1024

2 .2

=

8

16

2

16

3 3 +5 3 V= 1d n 4 10 3 + 8 3 + 4 3

2 p 25 2

- 113 40 - 49 200



x .5

6

6

x . 3 x2

x . 3 x2

2 3

1 + 1 + 1 + 1 +2 6 12 20 30 3

10 + 5 + 3 + 2 + 40 60

60

= x 60 = x

` K =x

2

C) x-1

B) x E) x3

5

A)

4

4

1 2

B)

4

1 3

1 5

E)

4

1 6

C)

4

1 4

9m + 19m 45m + 95m

Resolución: m m 9m + 19m = m 1m . d 9m + 19m n = 1 m m m 5 5 .9 + 5 .19 5 9 + 19

=3

B) 1 E) 3

m

A) 1 B) 3 D) 1 E) 6

C) 2

1 C) 1 5 4 1 7

Claves

24 13 25 n 3.3 12

12. A 11. E

A) 0,5 D) 1,5

=

d

9. B

24 25

7. A

n

x .5

x . 12 x . 20 x . 30 x .x

8.4 = 4 1 2 23 2 . 4

m

10. A

3

4 33

5

5

C) 1

14 Reduce:

24 25

8. A

3

3

x .4

4

D)

Resolución: 4

6

C) 1

E) 2

b 3 4 27 3 81 l

=x

Resolución:

J 1 1 1 1 3 - 49 d - - n. K 28 O 8 3 5 5 200 K 1 1O =2 =2 KK 3 5 OO L2 2 P

D) 2

6-1 5 5

12 Resuelve: 5 8 3 64 4 2 3 2 16

3 5

A) 2 B) 2

4

A) x D) x-2

C) 11

3 N5

29 50

=x

B) x E) x2

K= x

B) 1/11 E) 3

Resolución:

x

3

K= x

V= 1d 8 3 n= 1 4 22 3 11

Calcula el valor de: f 3

5 + 5 +1 - 1 5 5

Resolución: K = 3 x .3 4 x .4 K=

x

x

10 Efectúa: K = 3 x . 3

27 + 75 V= 1 d n 16 300 + 192 + 48

11 (UNT - 1984 - B)

5

5 -1

A) x D) 0

C) 2

Resolución:

A) 9 D) 1/9

x

5 P= x

Calcula: 27 + 75 V = 1 d n 16 300 + 192 + 48

d

5 + 1 -5 .

x

_ 5 - 1i 5 + 5 + 1 -1 5 5. 5

P= x

2

=28 =2 =4

B) 8 E) 16

13 Calcula:

5

P=

1024

A) 4 D) 6 9

x

5 + 1 -5 .

Resolución:

1024

10

x

5. E

6

5

3. D

=

64

8

8

5 -1

x

1. E

=

8

2

5

P =

Resolución: 64 . 4

Calcula P:

6. E

64 .

8

4. E



4 2

2. C

7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

11

14. C 13. E

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática

8. Efectúa: L = _ 500 - 20 + 45 i ' 5 A) 11 D) 8

1. Escribe = o ! según estimas conveniente: 8 + 32 I. 18 II. 25

2-1

a-b

a

III. 4

3

2 4 2 . 12 128

8 + 32 + 128 + 50 - 18

+ 11 a-b

4



T = 50 - 18 8 A) 1 B) 2 D) 1 E) 2 2 3

C) 3



9. Dada la expresión:





3

D=

B) 7 E) 4

3

B) 1 E) 5



M = d3 32 + 4

2

50 n 2

B) 36 E) 9

C) 49

12. Calcula: E = 5 + 16 + 9 - 25

A) 6 2 B) 9 2 C) 2 D) 9 E) 8 2

A) 7 D) 5

7. Calcula:

13. Efectúa:





A = _ 12 + 27 + 48 i ' 3 B) 9 E) 11

12 Intelectum 1.°

2

R = d 27 + 3

40 + 3 56 n 10 7

A) 36 D) 100

B) 49 E) 81

C) 64

Marca si es verdadero (V) o falso (F) Nivel 3 según corresponda:

A) 64 D) 4

C) 3

S = 8 + 32 + 50 - 18

A) 6 D) 12

2

128 + b 48 n 2 3

11. Efectúa:

6. Efectúa:



Razonamiento y demostración

8 + 3 125 + 3 27 3 64 + 3 1

A) 2 D) 4

F

C) 8

81 + 49 + 3 144 + 225

II. Si los índices: a = 6 y b = 4, entonces S = 3 1 + 3 25 + 6 + 5 4 obtenemos: 17 V F Luego, calcula N . S

C) 9

5. Calcula: I=

V

I. Si los índices a = 3 y b = 4, entonces 18. Si: obtenemos: 36 V F N =

128 + 3 54 3 2

A) 8 D) 5



II. Si el índice: a = 3, el resultado final es: 17. Calcula:

Comunicación matemática

4. Calcula:

C) 9

Marca con una “X” si es verdadero (V) o 16. Calcula: falso (F) según las condiciones dadas. L = 4 6 + 100 + 3 400 + 7 I. Si el índice: a = 2, el resultado final es: A) 6 B) 5 C) 7 2 2 +3 3 V F D) 8 E) 9

da C) 20

B) 7 E) 4



10. De la siguiente expresión:

B) 8 E) 15

C) 64

A = 3 3 + 25 + 1 + 64 A) 6 D) 5

1 + 49 + a 19 + 64

U = 20 + 45 + 500 20 - 5 A) 10 D) 4

B) 81 E) 9

15. Calcula:

1

3. Calcula:

2

S = d 1000 - 3 40 n 10 5 A) 49 D) 4

Comunicación matemática

a

2. Efectúa:

C) 10



Nivel 2

b

Razonamiento y demostración

B) 9 E) 7

14. Calcula:

B) 8 E) 4

Escribe en los recuadros los valores correspondientes para hallar la solución:



Primero, resolvemos la expresión N:



N= N=

9 + 7 +



N=

4

92 + 72 +

2

+

3

2

3

3

12 +

15

12 + 15 3

N = 4 + 3 N = 7

-1

S = 49 2 A) 1 D) 4

C) 9



-1

- 273

B) 2 E) 5

C) 3



Luego, resolvemos la expresión S:



S=

3

1 + 3 52 + 6 + 5

2

2

2



S=



S=



S=

3

25. Halla el exponente final de x:

1 + 3. 5 + 6 + 5. 2

3

4

3

2

P =

2

4

+

3

30 veces

A) 7 D) 11

3

2



Nos piden:



N = S



7

1

16

+9

2-1

+ 16

4-1

=

3

-1

273

-1

+ 5 + 42

A) 6 D) 8

` N =7 S 2 2

19. Si: x = 3 7 marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

B) 8 E) 5

C) 9

26. Calcula:

S = 2

2-1

40 veces

6 4 44 7 4 44 8 4 3 4 3 4 3 x x ... x 3 x x ... x 1 44 2 44 3

30

x

30

x

2 30

3

x ...

30

x

¿ V o F ?

Razonamiento y demostración

20

+7 B) 7 E) 4

C) 5

27. Reduce la expresión:

V=

3

x3 . x3 x2 . 3 x2

A) x 36 x13 B) x 36 x10 C) x 36 x15 D) x2 E) x

20. Calcula: 54 + 3 16 3 2

x-2 . x 4

A) 2 D) 2/3

B) 5/3 E) 2/7

C) 3

18. 12. D

25. E

Nivel 3

24. E

23. D 17. B

11. C

6. E

4

10.

x3 .

5. A



4. B

23. Calcula el exponente final de x:

22. B

A) 3 D) 312

16. B

C) 27

3 4 . 15 3 20

Nivel 2

3

9.

32

3. E

5

21. C



20. B

B) 9 E) 320

22. Reduce:

15. D

C) 1

19.

B) 64 E) 729

Nivel 1

A) 68 D) 8

14. C

6

R = d3 54 - 3 24 n 2 3

C l a ve s



26. C

21. Efectúa:

27. A

C) 8

8. A

B) 5 E) 7

2. A

A) 3 D) 6

1.

3

13. B

E=

7. B



24. Efectúa:

V = 11 a . 11 a 2 . 11 a3 ... 11 a10 A) a10

B) a

D) a20

E) a5

C) a2

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

13

Aplicamos lo aprendido TEMA 3: 1

ECUACIONES TRASCENDENTES

Si: m2X - 3 = m7, calcula: x2 + x + 1

2

Resolución: Dato: m2x - 3 = m7 Igualamos exponentes: 2x - 3 = 7 & x = 5 Nos piden: x2 + x + 1 = 52 5 + 1 = 31

A) 29 D) 33 3

B) 30 E) 35

Halla x. a

2x - 1

Resolución: 5n - 4 = 52

&n-4=2&n=6

A) 7 D) 9

C) 31

4

5

= _a 3 i

Resolución:

5

Calcula n.

B) 9 E) 11

B) 6 E) 12

C) 8

Calcula x. 5x + 7 = 125 Resolución:

a2x- 1 = a15 Entonces: 2x - 1 = 15 & x = 8

A) 6 D) 10

Halla n. 5n - 4 = 25

5x+ 7 = 125 5x+ 7 = 53 Entonces: x + 7 = 3 & x = - 4

A) -3 B) 3 D) -5 E) -4

C) 8

6

3

b3n - 3 = _b7 i

Halla el valor de x en: 2 3

Resolución:

C) 5

3x - 4

= 512

Resolución:

b3n - 3 = (b7)3 Entonces: 3n - 3 = 21 & n = 8

23 2

3x - 4

33x - 4

23

3x - 4

= 512 3

= _2 3 i = 23

2

Entonces: 33x - 4 = 32 Entonces: 3x - 4 = 2

A) 6 D) 9

14 Intelectum 1.°

B) 7 E) 10

C) 8

A) 0 D) 3

`

x=2

B) 1 E) 4

C) 2

Calcula x. A

2x - 8

=A

Resolución: x-8

8

8x - 6

x-6

Resolución:

3 x-6

n + 10

2 =8 = (2 ) & x - 8 = 3x - 18 10 = 2x ` x=5

A) 6 D) 4

B) 7 E) 9

C) 5

a

A) 80 D) 70

B) 50 E) 90

C) 60

B) 4 E) 10

C) 6

10 Halla n.

Resuelve: 53x - 8

n - 10

_3 3 i = _3 4 i & 3n + 30 = 4n - 40 ` n = 70

2

= a 625

Resolución:

Resolución:

53x - 8 = 625 = 54 & 3x - 8 = 4 3x = 12 ` x=4

A) 6 D) 9

7

Si: _bn i = b112 2

7

_bn i = b112 2 b7n = b112 2 & 7n = 112 n2 = 16 ` n=4

B) 7 E) 4

C) 8

A) 2 D) 8

12 Si (x + 3)x + 3 = 27, calcula x.

11 Halla: x x 2 x = 16

Resolución:

(x + 3) x + 3 = 27

Resolución: x

2 x = 24 = 2 2 ` x=2

(x + 3) x + 3 = 33

2

A) 1 D) 7

Entonces x + 3 = 3 & x = 0

B) 2 E) 8

C) 4

13 Si m2m3 = 32, halla: m6

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

B) 3 E) 9

C) 5

14 Resuelve: x15 = (343)5

Resolución:

Resolución:

Dato:

x15 = (73)5 = 715 & x = 7

m2m3 = 32 & m5 = 25 m = 2 Nos piden: m6 = 26 = 64

3. C

A) 1 D) 7

1. C

5. C

C) 16

8. D 7. C

Claves

10. B 9. E

B) 4 E) 64

6. C

12. A 11. B

A) 2 D) 32

4. E

9

Halla n. 27n + 10 = 81n - 10

2. B

7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

15

14. D 13. E

Practiquemos A) 12 D) 15

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Relaciona las ecuaciones exponenciales con sus soluciones: 2x + 3

1 d n 7

x

x-1

= a9

3 2

x-3

x 4

-3 2

_b3 i = b108



2. Relaciona las ecuaciones exponenciales con sus soluciones: 5x - 10 = 52x - 14 (x - 2)(x - 2) = 99

B) 9

a3x - 4 = a2x + 8

Exponentes iguales



A

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

B) 2

C) 8

D) 16

E) 10

9. Halla: n

2

23 .2n = 2 2 24 A) 1

Comunicación matemática 10. Emily, Sandra y Estela resolvieron los ejercicios de ecuaciones exponenciales dejadas en clase. Relaciona el tipo de ejercicio con su respectiva solución realizada por las alumnas. x x = 4 0, 5

25

= 25

213x + 5 = 3 x + 15 7 x + 15 x

=A

33 = 279

343

A) 5 D) 7

B) 4 E) 8

ax . ax . ax = a2x + 5 A) 5 B) 2 2 5 D) 1 E) 5

C) 5 3

5. Calcula n. b2n . bn + 1 = b19 A) 6 D) 8

B) 5 E) 9

6. Halla x. b 6 . b x = _b5 i3 b3

16 Intelectum 1.°

C) 7

Emily: x = 9 Sandra: x = 2-4

x-5

Estela: x = 13

9 x + 1 27 x - 1 = 81 x + 3

C) 6

4. Calcula x.



E) 11

a7n . a 5n . a 8 = a39 a3n . a5

3. Halla x.

D) 7

8. Halla n.

Razonamiento y demostración 7 2x - 9

C) 10

Analogía Bases iguales

(3x + 7)



a 2x . a x + 4 = a 20 ax + 2

Nivel 2

(2x + 8)18 = 2418

3x + 7



A) 8 5

C) 14

7. Halla x.

= 5 2x + 3

x_x + 1i = 512 a3

B) 10 E) 18



-x

xx

= 2 - x-

2

2

8

Razonamiento y demostración 11. Calcula x. a5x + 8 = a20 . a15 a3 A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 10

C) 5

D) 2

E) 6

12. Calcula x. b 8x = _b14 i2 bx A) 4

B) 3

13. Halla y. A6y

+ 10

. A2

- 4y

A) 6 D) 8

3 4

= :_ A 2 i D

D

B) 5 E) 10

C) 7

O

1

K

D

E

N

I

- 1 -2 2

2

5

-1

7 2

E

D

M

1 2

-7

0

14. Resuelve: + 3125x - 2 = 625x 1 A) 13 D) 11

B) 12 E) 15

C) 14



Razonamiento y demostración

15. Resuelve la ecuación:

19. Calcula n.

4 3

3

_16 xi = b_8 2 i l A) 5 D) 4

272n - 1 = 812n + 1 B) 8 E) 6

A) - 3 B) - 7 C) - 1 2 2 2 D) - 1 E) 3 2 2

C) 9

16. Halla x en:

2x - 4

_2 2 x + 2 i A) 1 D) 4 2x

813 = 27 4

x

B) 2 E) 5

17. Resuelve:

20. Halla x.

= 216 C) 3

D) 2

D) 1 3

48



C) 1 4

a 4 –a

_5 8 i



18. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales para x:



x - 10

= 49

2x



D

2x

8 4 = 163

D

3x 9x + 1 27x + 2 = 32x - 1 92x - 3 272x - 5

E

x+3

= 279

x-2

= 44

3 27



216



3

35x

x+3

x-1



= d1 n 3

(x + 2)x + 2 = 256

1632



x-2

I



N D

Según la representación de las letras con los resultados forma el apellido de un famoso matemático alemán.



2

= 22

B) 10 E) 13

C) 11

B) 240 E) 120

C) 200

60

x+2

A) 2 B) 5 D) 3 E) 5

5 C) 5 2 3 4 3

C l a ve s

K



3 1 1f pf p - d 1 nd 1 n 9 3 9 3

= 516

23. Resuelve:

4

2 -1

7x - 1

A) 210 D) 180

E

(x2)x(xx)23 = (x5)4(x3)2(x1)-1



= 22

22. Halla a en:

Comunicación matemática

7

3 + 2x

E)

A) 9 D) 12

Nivel 3

5x + 1

2 +1

21. Resuelve:

A) 2

2

A) 2 2 B) 2 - 1 C) 2

2x

B) 1 2 1 E) 8

2

_ 2 xi = 2

Nivel 1

6. A

11. D

17. B

22. B

1.

7. B

12. A

Nivel 3

23. B

2.

8. A

13. A

18.

3. C

9. c

14. C

19. b

4. E

Nivel 2

15. E

20. C

5. A

10.

16. C

21. c

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

17

Aplicamos lo aprendido TEMA 4: 1

Expresiones algebraicas - monomios

El siguiente monomio aa

aa a

2

aa

T(x) = x x tiene como grado 3. Determina el valor numérico de: R(x) = xa + 3; cuando x = 2.

J = d x

Resolución: T(x) = x.x a

a-1

aa - 1 = 22 - 1

a-1

= x1 + a & a=2

Determina el valor numérico de la expresión:

3

M(x) = 8 2 x Halla: a

2 a

b x5 .x a l

Reducimos la expresión: 2 10a 3 2 x

bxa + 1 - al x 5a 2

x x

4

3

2 5a 3 3 = x x x = x & J = 3 = 27 2 x 5a x

A) 9 D) 12

C) 33

Si el monomio: 4 - 3a

1

Resolución:

J=

B) 32 E) 35

n

xa

10

b_ x a i l 2 .x3

Cuando: x = 3

= x3 & 1 + aa - 1 = 3 & aa - 1 = 2

Luego: R(x) = x2 + 3 = x5 & R(2) = 25 = 32

A) 31 D) 34

a+1 2

B) 10 E) 27

C) 11

Halla el grado absoluto del monomio: 1

es de grado 19.

M(x) =

xb

1

xa

Resolución:

Si se cumple: a - b = 8 / ab = 4

4 - 3a = 19 -3a = 19 - 4 = 15 ` a = -5

Resolución: 1 -1 a

M (x)= x b

GA _M i = 1 - 1 = a - b = 8 = 2 4 b a ab

A) 1 D) 0

A) -4 B) -3 C) -2 D) -5 E) -6 5

Halla n si Q es de segundo grado: Q _ x i = x

n-2 3

Resolución: GA(Q) = x

x

$x

6

n 7

B) 2 E) 6

C) 4

Halla a, si el grado absoluto del monomio es 6: 2a - 2 4

2a + 3 3

M _x; y; w; z i = x 2a z 37 5 10 y w

n+1 12

Resolución: GA(M) = 2a - 2 + 2a + 3 - 2a - 37 = 6 4 3 5 10

n-2 + n - n+1 7 12 3

Por dato, Q(x) es de segundo grado: n-2 + n - n+1 = 2 3 7 12

Desarrollamos la expresión tenemos: a = 12

Desarrollamos la expresión: n = 7

A) 7 D) 5

18 Intelectum 1.°

B) 6 E) 9

C) 8

A) 24 D) 12

B) 10 E) 8

C) 14

7

Halla (p + q + r) si el monomio:

8

M _x; y; z i = 15xp + 2q + 2r y 2p + 3q + 3r z3p + q + r es de grado absoluto 180.

Resolución:

Resolución:

M (x) = 4 5 x a + 20

Dato: GA(M) = 180

Dato: M es de grado 24

Entonces: p +2q +2r +2p +3q +3r +3p +q + r = 180 6p + 6q + 6r = 180 p + q + r = 30

Entonces: a + 20 = 24 & a = 4

A) 20 D) 30 9

Si el monomio: M(x) = 4 5 xa + 20 es de grado 24, halla a.

B) 40 E) 10

M(x; y) =

12

x .3 y

9

Resolución:

Resolución: M _ x; y i =

4

12 3

x . y

12 4

9 3

Entonces M es de grado 6.

A) 3 D) 18

10a - 18 + 10 M = x 4a + 8 x

B) 6 E) 16

C) 4

M = x10a - 8 - 4a - 8 = x 6a - 16

M es de octavo grado: 2 _x 3a - 6 + 2a - 3 i . x10 M= 2 _x 2a . x 4 i

9

M(x; y) = x y = x3y3

A) 6 D) 8

C) 12

11 Reduce: P = 4 _x - 1 i + x _1 - y i + xy + 8 - 5x

Entonces: 6a - 16 = 8 a = 4

B) 4 E) 5

C) 2

12 Calcula: S = 5 5 _x + 5 i + 3 _x - 3 i - 8 _x - 1 i + 8

Resolución: P= P=

B) 3 E) 6

10 Hallar a si la expresión es de octavo grado. [(x a - 2) 3 . x 2a - 3] 2 . x10 M= [(x a) 2 .x 4] 2

Halla el grado del siguiente monomio: 4

A) 2 D) 5

C) 50

Resolución:

4x - 4 + x - xy + xy + 8 - 5x 4 & P=2

S=

5

5x + 25 + 3x - 9 - 8x + 8 + 8

S=

5

32 = 5 25

S=2

A) 2 D) 5

C) 5

Resolución:

P = x2 (-1 + 2 - 3 + 4 - … + 80) P = x2 (- 1 - 3 - 5 - … - 79 + 2 + 4 + 6 + ... + 80) P = x2 (-1600 + 1640) P = 40x2

Resolución: M = 3a + 3b + 4a - 4b - 7a + 7b 6b M = 6b = 1 6b

C) a b

B) 2 E) b

3. D

A) 0 D) 1

1. B

C) 120x2

` M=1

6. D 5. A

8. C 7. D

Claves

10. B 9. B

B) 60x2 E) 28x2

C) 3

14 Efectúa: 3 (a + b) + 4 (a - b) - 7 (a - b) M = b + 2b + 3b

13 Halla el valor de P. P = - x2 + 2x2 - 3x2 + 4x2 - ... + 80x2

12. A 11. E

A) 30x2 D) 40x2

B) 1 E) 6

4. B

B) 6 E) 2

2. E

A) 3 D) 7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

19

14. D 13. D

Practiquemos 7. Calcula:

Nivel 1

S = 9 + 3(3y - 1) + 4(4y - 1) + 2(2y - 1)

Comunicación matemática

A) 29

1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ▪▪ Al operar: x + x + ... + x se obtiene: x3 x veces

F

V

N=

2x + : x - _x + y iD

A) 0

B) 1

F

y x

E) 2

Z = 2x(x3 + 1) - x4(2 - x) - 2x es x5.

GA _P i + GR _ y i

10. Si el monomio:

GR _ x i + GR _ z i



M(x; y) = (n3 - 27)x3n + 2 . y8 - n,



posee un coeficiente igual a 98. Calcula GA (M) + GR (y).

▪▪ GR(x) = 5 ; GR(y) = 4 ; GR(z) = 3 El grado absoluto también es igual a: GA(P) = GR(x) + GR(y) + GR(z) = 5 + 4 + 3



D)

Resolución de problemas

de: P(x; y; z) = 17x5y4z3 Veamos: Los grados absolutos de “x”; “y”; “z” del monomio son:



C) x y

2x - y

2. Efectúa la expresión:



D) -29 E) -20

9. Demuestra que el resultado de efectuar la expresión:

▪▪ Al efectuar: 2x(x + 1) - x(2x - 1) obtenemos: 4x.



C) 0

8. Efectúa:

▪▪ Luego de reducir: 3b - bb + a - _2b + a il obtenemos 1. R = - 4a + 4a + 4b

B) 29y

A) 22



16 8

D) 5

E) 8



(x + 3)(x + 2) - (x + 4)(x + 1) = 2



(x + 3)(x2 - 3x + 9) - x3 = 28



(a + 2)(a2 - 2a + 4) - (a3 - 3) = 11

B) 3x

(x - 2)(x2 + 2x + 4) ! (x3 - 10) C) 4x

D) 0

E) x

R = (5 + 5 + 5 + ... + 5) + (4 + 4 + 4 + ... + 4) 10 veces

B) 64

D) 70

B) 920

20 Intelectum 1.°

15 veces

E) 82

Razonamiento y demostración R = (3a + 3a + 3a + ... + 3a) - (a + a + ... + a )

10 veces

C) 312

30 veces

14. Efectúa:

6. Efectúa: A = (3 . 3 . 3 . 3 . ... . 3) - (9 . 9 . 9 . 9 . ... . 9) 20 veces

(7 . 7 . 7 ... 7)4 = (49 . 49 ... 49)

6(a - 1) + 5(a - 1) = 11(a - 1)

8 veces

C) 72

((6 + 6+ 6 + 6 + 6) ! (2 . 2 . 2 . 2 . 2))

5. Calcula:

A) 38

E) 7

13. Escribe = o ! según corresponda:

S = x(3x + 6) - 3(x2 + x)

A) 56

D) 5

12. Marca con un aspa las igualdades verdaderas:

4. Efectúa: A) 2x

C) 4

Comunicación matemática

E = (x + 6)(x + 4) - (x + 8)(x + 2) C) 1

B) 13

Nivel 2

= 2

3. Calcula: B) 2

E) 24

P(x; y) = 23xayb + 1

A) 11

Razonamiento y demostración

A) 6

D) 23

Calcula: a 2 + b 2

Reemplazamos los grados en la expresión solicitada tenemos: =

C) 20

11. En el siguiente monomio P(x; y), el grado relativo respecto a x, es 4 y el grado relativo respecto a y es 4.

▪▪ GA(P) = 12

12 + 4 GA (P) + GA (y) = GR (x) + GR (z) 5 + 3

B) 25

110 términos

40 términos

D) 0

E) 914

A) 12a

B) 14a

C) 5a

D) 10a

E) 8a

15. Calcula: S + 1 S = 4(3a + 2) + 3(2a + 1) + 5(6a - 3) + 48(1 - a) + 5 A) 9 D) 12

B) 10 E) 8

C) 11

16. Reduce: M = b x + x + x + ... + x l + 3 8x3 3 3 3 3 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 24 veces

A) 0 D) 12x

B) 10x E) 15x

21. Con los siguientes datos completa la tabla (A(x) + 7B(x)) . B(x) / A(x)B(x) + 7B(x)B(x) si para cada caso GR(x) = 14 y GR(y) = 8 27. ¿En cuánto excede el área del rectángulo (I) al área del rectángulo (II)? Expresión algebraica m+n

C) 9x

14

P (x; y) = 3x 8n - 2 ym - 4 Q (x; y) = 2 x T (x; y) = - 7x

25 n - 6 2m + 2

y

1 n+5 2

22. Relaciona cada coeficiente:

y

3 8 m-4

monomio

7

x+2

24 con

P (x; y) = - 2 xy 2 + 2 2 xy 4

3

R (x; z) = 7 xz3 + 7 xz3 - 28 xz3 4 2 2

18. Dados los monomios de varibles x; y: A = 3x2y3

2

x+4

A) 4 D) 10

B) 6 E) 2

B = 7xy

C) 8

28. El grado absoluto de M(x; y; z) es 100

M(x; y; z) =

3 a

2

2x

II

4

Q (x) = a x5 - 2 a x5 + 4 a x5

Resolución de problemas

2x + 4

su

- 7 4

17. Demuestra que el resultado de operar la expresión: B = d 2x - x + 3x n + d 12x + 21x n es: 5x 3 6 2 11 11

I

b a b

5

a b a

a

b_xz ia l b_yz ib l

b_yz ib l b_ xz i5 l

Halla el grado relativo respecto a z. C = 2x2y3 Razonamiento y demostración Realiza con ellos las siguientes operaciones A) 20 B) 30 C) 40 A - C; 3A - 2C; A , y da como resultado 23. De la expresión de tercer grado, calcula el D) 50 E) 60 B el mayor grado absoluto. valor de “a”: 29. Determina: a + b + c si el grado absoluto 2a - 1 9 4a A) 5 B) 4 C) 3 x T (x) = 7 x del monomio es 91. 4 2a + 1 D) 2 E) 1 x A(x; y; z) = 31xa + 4b + 3c y3a + 2b + 2c z3a + b + 2c 19. Halla el valor numérico de los polinomios A) 801 B) 800 C) 1 A) 11 B) 12 C) 13 70 7 dando un valor positivo y otro negativo a D) 14 E) 15 70 las variables: D) 0 E) 801 2 3 a) Z(x; y) = 2x y 30. Determina “m” en el polinomio: 24. Determina el valor de “a” si el monomio b) T(x) = - 5x3 M(x) = 7x. Si. M(M(m)) = 343

30. C 15. E

22.

29. C

21.

28. D

20.

27. C

NIVEL 3

26.

19.

25. A

18. A

24. A

23. A

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

8. B

0

7. B

26. Escribe dos monomios de tercer grado y verifica que se cumpla la propiedad distributiva:

14. D

3

13.

Resolución de problemas 6. D

-2

12.

C) 2

NIVEL 2

B) 3 E) 0

5. E

Son términos semejantes & a + b es:

A) 4 D) 1

4. B

Si: R(x; y) = 3x3yb Q(x; y) = 10xa + 1y4

6

Si el grado relativo a “z” es 2012.

11. D

(x + 6)(x + 1) -(x + 4)(x + 2) - x



3. E

2

17.

2 _a + b i + 3 _a - b i + 4 _a + b i - 9a - 3b

25. Cuánto es el grado relativo de “y” en el monomio: con su p x3p + 1 y 2p + 7 zp - 3 T(x; y; z) = r x3 - 4p y 2p + 3 zr - 1 1

C l aves

expresión

C) 7

C) 100

Comunicación matemática 20. Relaciona cada respuesta:

B) 1 E) 4

16. B

B) 5 E) 1

A) 0 D) 3

10. D

A) 4 D) 0

Nivel 3

es de primer

9.

a - 2 4 9a x T (x) = 5 x 3a x grado.

1. 2.

¿Cómo son los resultados que se obtienen?

NIVEL 1



21

Aplicamos lo aprendido TEMA 4: 1

POLInomios

Si: P(x + 3) = x Halla: P(4) + P(5)

2

Resolución:

Resolución:

P(x + 3) = x = (x + 3) - 3 & P(x) = x - 3 ` P(4) + P(5) = 1 + 2 = 3

A) -3 D) 3 3

P(x) = xa + x2 + x + 1 P(x) es de tercer grado: a = 3 Nos piden: P(2) x = 2 & P(2) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15

B) 2 E) 9

C) -5

Sea el polinomio: P(x) = x3 + ax + b, si la suma de coeficientes es 10 y su término independiente es 4. Halla: ab

A) 9 D) 5 4

Resolución:

5

B) 30 E) 60

C) 40

Además su término independiente es 18; halla la suma de coeficientes. Resolución: Si x = 2, entonces: 2P(1) + P(3) = 6 + P(3) + P(0) 2P(1) = 6 + P(0) 2P(1) = 6 + 18 = 24 ` P(1) = 12

22 Intelectum 1.°

Sea el polinomio: P(x) = (3x - 1)n + 5x + 1, donde la suma de coeficientes es 70. Halla: n + 2

A) 1 D) 8 6

2P(x - 1) + P(2x - 1) = 3x + P(x + 1) + P(x - 2)

B) 10 E) 14

C) 6

Dato: Scoeficientes = 70 P(1) & (3(1) - 1)n + 5(1) + 1 = 70 2n + 6 = 70 2n = 64 & n = 6 `n + 2 = 8

Si el polinomio P(x) es tal que:

A) 12 D) 8

B) 4 E) 15

Resolución:

P(1) = 1 + a + b 10 = 1 + a + b & a + b = 9 Término independiente: b = 4 &a = 5 ` ab = 20

A) 20 D) 50

Sea P(x) = xa + x2 + x + 1 un polinomio de tercer grado. Calcula: P(2)

C) 16

B) 2 E) 10

C) 4

Si: P(x) = 2x + 4 / P(F(x)) = 8x + 10 Halla: F(9) Resolución: P(x) = 2x = 4 P(F(x)) = 2(F(x)) + 4 = 8x +10 F(x) = 4x + 3 Nos piden: F(9) = 4(9) + 3 = 39

A) 30 D) 28

B) 39 E) 30

C) 36

7

Sea: P(x) = 2x + 1 Halla: P(P(x))

8

Si: P(x) = xa - 4 + x2a - 3 - x2a - 4 Calcula: GA(P) Resolución:

Resolución:

Si: P(x) = xa - 4 + x2a - 3 - x2a - 4 ` GA(P) = 2a - 3

P(x) = 2x + 1 Hacemos: x " P (x) P(P(x)) = 2P(x) + 1 Reemplazamos: P(P(x)) = 2(2x + 1) + 1 = 4x +3

A) 2x + 3 D) 5x + 7

A) a - 4 D) 2a + 5

C) 4x + 3

Si: P(x) = 8x8 - 7x6 + 10x12 - 7 Calcula: GA(P)

C) 2a - 4

10 Calcula mn, si en el polinomio R(x; y) = 5xm + 1 yn - 2 + 4xm + 3 yn - 3 - 6xm + 1 yn - 1 el grado relativo a x es 5 y el grado relativo y es 8

Resolución:

Resolución:

GA(P) = 12

A) 8 D) 13

B) 2a - 3 E) 3a - 1

Evaluamos los exponentes de cada variable; entonces: GR(x) = m + 3 = 5 = m = 2 GR(y) = n - 1 = 8 & n = 9 Nos piden: m.n = 2 . 9 = 18

B) 6 E) 10

A) 5 D) 12

C) 12

11 Si: M(x) = (3x5 + 8)(4x2a - 4) + x2 - 6 Calcular: GA(M)

B) 7 E) 11

12 En el siguiente polinomio: M(x) = (x - 3)(x + 3)(x2 - 4) El términos independiente es:

Resolución:

Resolución:

No necesitamos operar, por propiedad de grado absoluto, concluimos: GA(M) = 5 + 2a

M(0) = (0 - 3)(0 + 3)(02 � 4) M(0) = 36

A) a - 4 D) 2a + 5

A) 13 D) 28

B) 2a - 3 E) 2a - 1

C) 18

C) 2a - 4

13 En el siguiente polinimio hallar la suma de coeficientes: R(x) = (2x + 3)(4 - x) + 2x2 Resolución:

B) -13 E) 2

C) 36

14 Al efectuar: (x + 2)(x + 3)(x + 4) uno de sus términos es:

R(1) = (2 + 3) (4 - 1) + 2(1)2 R(1) = 5 . 3 + 2 & R(1) = 17

Resolución:

A) 17 D) 25

A) 8x2 D) 24x

Desarrollamos la expresión: (x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 6)(x + 4) = x3 + 4x2 + 5x2 + 20x + 6x + 24 = x3 + 9x2 + 26x + 24 Uno de los términos es: 26x

C) 9x3

B) 26x E) 1

3. A

1. D

6. B 5. A

C) 13

4. D

8. B 7. C

Claves

10. C 9. C

B) 12 E) 5

2. E

9

B) 5x + 1 E) 3x - 1

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

23

12. C 11. D

14. B 13. A

Practiquemos

Nivel 1

Calcula: F(P(4)) A) 23

Comunicación matemática

B) 21

C) 24

a) Del siguiente polinomio: P(x; y) = 54x18y - 45x2y12

A) 10m E) 13

• El grado del polinomio es 19.

B) 6

C) 3

• El grado relativo respecto a x es 2.

7. Calcula a, si GR(x) = 4 en:

• El grado relativo respecto a y es 1.



B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

C) 17

D) 18

E) 20

C) 32

D) 36

E) 21

C) 1

D) 2

E) 0

P(x; y) = xa - 2y2a + 7x2 - ay4a + 1

8. Si: P(x; y) = 2x9y - 7x2y9 + x8y3

Si: GR(y) = 9



Calcula: GR(x) + GR(y) A) 15

• El valor de “a” es un número negativo. • El valor de “a” es un número impar.

D) 16

M(x; y) = 5xa + xa+3y6 + 6xay8 A) 1

b) Dado el polinomio:

B) 16

9. Si: F(x) = 5(x - 1) + 1

• El valor de “a” es un número par e igual a dos.



calcular: F(F(2)) A) 28

c) Se tiene: F(x) = x3 + x2 - 2x + 3 • El valor de: F(1) + F(2) es 13.

B) 26

10. Si: F (x) = 4x + 8 7

• El valor de: F(2) + F(3) es 44.

Calcula: S = F^ 5 h - 4

• El valor de: F(4) - F(3) es 1.

A) 5

2. Relaciona cada proposición con su respuesta: 6

E) 27

6. Halla el grado del siguiente monomio: P(x; y) = 4 x6m + 10 y3 - 6m 7

1. Subraya la proposición correcta:

8

D) 26

12

Sea P(x) = 8x - 7x + 10x - 7 GA(P) es:

11

Resolución de problemas

6

11. Si el coeficiente principal de A(x) es 5, calcula su término independiente. P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

10 Dado: P(x) = x2 + x - 1 P(3) es:

A) 2 E) 3

8 -11

Dado: P(x) = (xm + 3)(xm + 1)(xm + 2) Grado de P(x) = 24 & m es:

B) 3

-7 12

B) 4

C) 0

D) 1

12. Si P(x) = x2 + x - a2

Además: P(a) = 3



Calcula el término independiente de P. A) 1

B) 3

C) 9

D) 2

E) -9

13. Dados los polinomios:

Razonamiento y demostración 3. Muestra que: F(F(4)) = 32 a partir de: F(x) = 3x - 1

B) 7

5. Siendo: F(x) = 2x + 1

P(x) = 3x - 2

24 Intelectum 1.°



Q _x; y i = 5x a + 2 y1 - b + 7x 2 - b y a + 6x a - 1 y 2 - b

A) 216

Halla: P(5) A) 9

P _ x; y i = 2x a - 1 y b - 1 + 3x b - 1 y a + 7x a + 2 y b - 1

si el grado absoluto de P es 10 y el grado absoluto de Q es 6, halla ab.

4. Dado: P(x + 1) = 2x + 1



C) 10

D) 6

E) 4

B) 316

C) 108

D) 96

E) 128

14. Si: P(x; y) = 3 x a yb - 7 x a + 5 y7 + yb + 7 7 Donde GR(x) = 5, calcula: a A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 5

27. Sea P(x) = ax2 + bx + c; c ! 0





A) 2 D) 5

15. Emily, Lucio y Estela resolvieron los siguientes ejercicios. Identifica el tipo de ejercicio con su respectiva respuesta.

A) 1 D) -2

Resolución de problemas

Emily

A) 9 D) 3

Rpta.: -18



23. Si se cumple que P(x) + Q(x) = R(x)

donde: P(x) = 7x2 - 8x + 4 R(x) = 10x2 - 2x + 5 calcula la suma de coeficientes de Q(x) A) 8 D) 9

Rpta.: 3

B) 15 E) 10

C) 12

Si P(x; y) = 7x2 + 3xy - 7x2 Calcula: P(-2; 3)







P(x, y) = xm - 2y5 - m + xm - 3y9 - m



Si: 30. 25. A

24.

19. E 13. A 6. E

Nivel 3

18. E 12. E 5. b

29. A

28. B

23. E

26. Dado:

17. A

C) 12

16.

E(x) = (x2 - 2)12 + (x2 + x4 + 2) B) 24 E) 10

B) 8 E) 14

11. A

A) 7 D) 13

P(x) = x(ax + 2c) + bx2 - c

20. Calcula el grado absoluto del siguiente polinomio: A) 40 D) 25

Halla el término independiente.

10. E

P(x - 2) = (2x - 1)10 - (7x - 11)10 + 3x + 1

4. a

25. Sea P(x) un polinomio:

C) 10

27. B

Razonamiento y demostración

M(n) = n(n + 1)(n + 2) - n3 + 2n2 B) 5 E) 7

V

GR(x) - GR(y) = -3 & m = 4

19. Calcula la suma de coeficientes en: A) 8 D) 3

3R - 2P; 3T - 2R; T + R - P

3.

C) 20

V

2.

B) 5 E) 14

Para: F(F(-1)) se obtiene 5.

Realiza las siguientes operaciones:

22. C

A) 10 D) 9



• Del polinomio

18. Calcula GA(K) en:

K(x) = (x9+ 3)(x5 - x + 1) - x2(x + 2)

T = -4 + 6x2 - 5x

15.

C) 9

P = 2x2 - 5x + 1; R = -x2 - 2 + 6xy

9. B

B) 7 E) 3

F

26. D

Y(a) = (2a + 7)(a - 5) - 2(a2 - 20)

C) 0

24. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda al resolver: 30. Dados los polinomios:

16. Demuestra que la suma de los grados • F(1 - x-1) = 4x2 - 2x - 5 relativos respecto a x e y del polinomio: Para F(3) = -4 P(x; y) = x7y3 + x8y2 - x5y5 • Dado: F(x) = 2(x2 - x) + x - 1 P(x; y) es 13. 17. Calcula el término indepediente del siguiente polinomio:

Si el término independiente es 6; calcula la suma de coeficientes. A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

Comunicación matemática

Razonamiento y demostración

A) 5 D) 8

29. Dado el polinomio:

F(z + 2) = z2 - 5z + m

Nivel 3

Ejercicio 5:

Si la suma de coeficientes y el término independiente de P(x) suman: m 24 + d 3 n + 2m 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

21. A

Si F(x) = x2 + 2x - 3x + x2 + 3 Determina: R = F (- 2) - 4

C) 1

20. B

Estela

Ejercicio 4:

28. Cuál será el valor de m en el polinomio:

P(2x - 1) = (5x - 1)m + (2x + 1)m - 2x + 1

14. A

Rpta.: 8

Resolución de problemas

Nivel 2

Lucía

B) 2 E) 4

C) 2

8. D

Ejercicio 3: x7 .x 4 x 6 .x3 Q(x) = 5 5 + 4 4 x .x x .x Q(5) = ?

P(x) = 9xa + 8 + 2x2a + 9 - 3xa + 5 + 4x Si sabemos que es de grado 7.

B) -1 E) 3

7. A

Ejercicio 2:



Calcula: a + b c

C) 4

22. Determina el valor de a2 en el polinomio:

A(x) = x2 + 2x2 + 3x2 +... + 10x2 Scoef.(A) = ?

P(x; y) = - xa - 2y10 - a + 13xa - 8y10 - a El GA(P) = ?

B) 3 E) 7

Además: P(1) = 0

Nivel 1

Ejercicio 1:

Donde GR(y) = 7, halla a

1.

Comunicación matemática

21. Si: P(y) = y2a+3 - ya+1 + y2a+2

C l a ve s

Nivel 2

C) 30



si la suma de coeficientes es cero, determina: ab + bc + b2. A) 1 D) 0

B) -1 E) 2

C) 3

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

25

Matemática Si xx = 3, determina:

Reemplazamos xx = 3, en E:

x+1

3x + x E = x 2x x

3 3 6 E = 3 $23 = 3 2 = 34 3 3

` E = 81

Resolución:

Desarrollando: 3x x E = x $ x2x x

x +1

=

(x x ) 3 $ (x x ) x (x x) 2

x

7. Determina el valor de x en:

1. Desarrolla y determina los valores de x. I. 3x . 3x ... 3x = 912 & 3 12 veces

x

=3 x=

A) 1 D) 7

II. m2x - 7 = m3 & 2x - 7 = 3 & x = 3

a a =a a

III.

x -1

& a

=a

IV. 2 = 1 & 1 = 1 4 2 2 -x



& x=

& x=

C) x2

3. Halla el área del cuadrado de lado (x - 4). B) x2 - 4x - 16 D) x2 - 8x + 16

4. Efectúa e indica uno de los términos de: B) -15x2 E) 50

C) 2x2

5. Si: Los siguientes términos de los polinomios P y Q son semejantes, determina: a + b P(x; y) / 7xy3; Q(x; y) / 3xa - 4yb + 1

A) 4 D) 3

B) 6 E) 10

C) 7

6. Indica el valor de GA(P) + GR(x) 8 7

8 10

26

B) 28 E) 12

Intelectum 1.°

A) x3 - 3x2 + 3x - 6 C) x3 - 3x2 + 6x - 3 E) x3 + 5x2 + x + 9

B) 3x3 - x2 + 3x - 9 D) 3x3 - 3x2 + 3x - 3

10. Calcula el valor de a, si el siguiente monomio es de grado 30. 3x10 + a ya - 1 N(x; y; z) = a -6 w3 z 2 A) 5 D) 10

B) 8 E) 20

C) 12

A) 3 D) 12

B) 6 E) 4

C) 8

12. Dado el polinomio Q(x) = 7x - 5. Si Q(P(x)) = 12x + 2, halla el valor numérico de P(-7). A) -53 B) -82 C) -1 D) -11 E) 4 13. Si: f(x + 4) = ax + b; f(-1) = -32 y f(2) = -11

3 12

P(x; y) = 7x y + 2y x - 3x y A) 30 D) 18

C) 9

11. Dado el siguiente polinomio P(x) = x2 - x + b, determina el valor de b, si: P(3) = 12

(x - 3)(x - 7)(2x + 5) A) 8x D) 25x

B) 18 E) 81

9. Encuentra un polinomio de grado 3 que sea divisible entre (x2 + 1), y cuya suma de coeficientes sea nulo, además, P(-2) = 15.

B) x3 E) x 2

A) x2 - 16 C) x2 + 4x + 16 E) x2 + 8x + 16

C) 4

318 = mm A) 3 D) 6

4 18 M = x 3 - x7 $ x3 + x 8 x x

D) x

B) 5 E) 2

8. Encuentra el valor de m:

2. Determina M.

A) 2x

217 - x = 323

Determina a - b. C) 15

A) 5 B) 10 D) -4 E) -2

C) 4

Unidad 2

Recuerda DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Matemático griego. Cronológicamente se le sitúa en la segunda mitad del siglo II d. C. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. Perteneció a la escuela alejandrina, nació hacia el 250 y murió a los ochenta y cuatro años. Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una época de decadencia y de pura exégesis, como era el siglo en que vivió, su obra constituye una notabilísima excepción. Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas. Según parece, inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos. De la obra de Diofanto se conserva los seis primeros libros y un fragmento del séptimo de un tratado titulado Aritmética, integrado originariamente por trece. Los libros conservados contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinadas e indeterminadas, en el que se busca, de modo sistemático, la solución en números racionales.

Reflexiona • Solo puedes volverte un profesional consumado en algo que te fascine. No hagas del dinero tu meta. Mejor haz las cosas que te encantan, y hazlas tan bien que no dejes de llamar la atención. • Ten el valor de seguir tu pasión, y si no sabes cuál es, comprende que una razón de tu existencia en la Tierra es descubrirla. • El trabajo de tu vida consiste en encontrar el trabajo de tu vida, y luego tener la disciplina, la tenacidad y la dedicación necesarias para ejercerlo.

¡Razona...! ¿Cuántos palitos debes de mover como mínimo para que el caballito mire al lado opuesto?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

productos notables

Efectúa: M = (x + 1)3 + (x - 1)3 - (2x3 - x)

2

Resolución: G = x2 - 10x + 25 - (x2 - 5x - 14) + 9 + 5x G = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 14 + 9 + 5x G = 48

Resolución: M = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + (x3 - 3x2 + 3x - 1) - 2x3 + x M = 7x

A) 10x D) 6 3

B) 12x E) 7x

C) 6x

Efectúa: N = (x + 2)2 - (x + 1)2 - 3

A) 45 D) 46 4

5

B) 2x E) 5

B) 48 E) 49

C) 47

Efectúa:

Resolución: N = (x + 2)2 - (x + 1)2 - 3 N = x2 + 4x + 4 - x2 - 2x - 1 - 3 N = 2x

A) 0 D) x

Reduce: G = (x - 5)2 - (x - 7)(x + 2) + 9 + 5x

2

2

_x + yi - _x - yi 2xy

Resolución: ^x + yh2 - ^x - yh2 2xy Por identidad de Legendre en el numerador: 4xy =2 2xy

C) 3x

A) 3 D) xy 6

Efectúa: A = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) + 1 Resolución: A = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) + 1 A = (x2 - 1)(x2 + 1) + 1 A = x4 - 1 + 1 A = x4

B) x E) 6

C) 2

Si: x + y = 5; xy = 3 Halla: x3 + y3 Resolución: Datos: x + y = 5 Piden: x3 + y3

/ xy = 3

Aplicamos identidad de Cauchy: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) 53 = x3 + y3 + 3(3)(5) & x3 + y3 = 80

A) x2 8

D) x

B) x4 E) 0

C) x3

A) 125 D) 50

B) 100 E) 25

C) 80

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

29

Efectúa: E = (a + 4)(a2 - 4a + 16) - 26

8

Resolución: E = (a3 + 43) - 26 E = a3 + 64 - 64 & E = a3

B) a2 E) 2

C) 0

Efectúa: 2 2 A = da + b n -da - b n b a b a

A) 12 D) 5

Resolución: N = 6 ^x6 + 1h^x6 - 1h + 1

Aplicamos Legendre: a b A= 4 . . = 4 b a

B) 3 E) 8

C) 4

N=

x12 & N = x2

B) x E) -x

C) 0

A) -2 B) -3 D) 3 E) 2

C) 7x

C) -4

14 Efectúa: 2 P = ( 3 + 2) 2 + _ 3 - 1i - 2 3

Resolución: P = (x + 1)(x2 - x + 1) - x3

Resolución: 2 2 P = ^ 3 + 4 3 + 4h + ^ 3 - 2 3 + 1h - 2 3 P = 11

A) 11 D) 9

B) 10 E) 8

5. b

C) -2x

6. c

8. a 7. a

10. a 9. C

B) 2x E) 1

C) 12

3. b

Suma de cubos P = x3 + 1 - x3 P=1

12. b 11. d

14. A 13. e

Claves

30 Intelectum 1.°

x12 - 1 + 1

6

Resolución: Dato: a3 - b3 = 28 / a - b = 4 Por identidad de Cauchy: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 43 = 28 - 3ab(4) 36 = -12ab & ab = -3

13 Halla P: P = (x + 1)(x2 - x + 1) - x3

A) 0 D) 2

6

A) x2 D) 1

Resolución: m = (2x)2 + 2x(5 + 3) + 5 . 3 - 4x2 - 15 M = 4x2 + 16x + 15 - 4x2 - 15 M = 16x

B) 8x E) 10

N=

12 Si: a3 - b3 = 28 y a - b = 4 Calcula: ab

11 Efectúa: M = (2x + 5)(2x + 3) - 4x2 - 15

A) 8 D) 16x

C) 6

10 Calcula N: N = 6 _ x 6 + 1i_ x 6 - 1i + 1

Resolución: a b 2 a b 2 A =c + m - c - m b a b a

A) 2 D) 12

B) 8 E) 4

4. c

9

A = (x + 4)2 - (x - 2)2 - 12x A = x2 + 8x + 16 - x2 + 4x - 4 - 12x A = 12

1. e

A) a3 D) a6

Efectúa: A = (x + 4)2 - (x - 2)2 - 12x Resolución:

2. b

7

Practiquemos 9. Efectúa:

Nivel 1

R = (x + 2)(x2 - 2x + 4) - 8

Comunicación matemática 1. Relaciona cada proposición con su respuesta. 7a3

Si: x = 3 + 1 A. Calcula: x2 - 2x + 1

8a2 3

Si: x - y = 2 / xy = 3 B. Halla: x2 + y2

-3 10 11

Efectúa: C. (2a - 3b)(4a2 + 6ab + 9b2) + 27b3

8a

3

2. Coloca los signos matemáticos adecuados de tal manera que se cumplan las siguientes identidades: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab

Resolución de problemas 10. Reduce: 2 2 _a + b i - _a - b i ab A) 0 D) 3

A) (a2 + b2)2(a2 - b2)2 B) (a - b)8 C) (a4 + b4)(a4 - b4) D) (a5 + b5)(a3 - b3) E) (a - b)(a7 + b7)

C) 16 2

4. Efectúa: M = (x + 5) + (x - 4) - 2x(x + 1) B) 43 E) 37

C) 31

5. Efectúa: M = [(x + 2y)2 - x2 - 4y2] ' xy A) 1 D) 4

B) 2 E) 8

C) 3

6. Si: a + b = 7 / a2 - b2 = 42 Calcula: a - b A) 3 D) 7

B) 5 E) 9

7. Efectúa: 2 2 K = a - 16 + a - 4 a+4 a+2 A) 0 B) a - 8 D) 2a - 8 E) 3a - 6

A) (a - b)3 = (b - a)3 C) ( a + 9)(a - 9) = a2 - 80

D) (a + 3)2 + (a - 3)2 = 2a2 + 18

E) (x + 2)(x - 3) = x2 + x + 6

13. Marca con un aspa las igualdades verdaderas: (c + 1)3 - (c - 1)3

= 2(1 + 3c2)

(x3 + bb)(x3 - aa)

= x6 + (bb - aa)x3 + aa . bb

(a + b)(a - b)

= a2 + b2

(x2 + y2)2

= x2 + y2 + 2xy

(x + y + 3)(x + y - 3) = x2 + y2 + 2xy - 9 C) 6

Razonamiento y demostración 14. Efectúa:

(x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) - 4x

C) 2a - 6

A) 6 D) 10

B) 4 E) 12

C) 8

15. Efectúa:

8. Efectúa: A = (a - 1)(a2 + a + 1) - a3 A) -a B) -1 D) -2 E) -2a

12. Marca la igualdad correcta: B) (a - 1)3 = a3 - 3a + 1

3. Calcula: Z = (x + 2)2 + (x + 3)2 - 2x(x + 5)

A) 51 D) 41

C) 2

Comunicación matemática

Razonamiento y demostración

2

B) 1 E) 4

11. La expresión: a8 - b8 se puede escribir como:

(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

B) 9 E) 13

C) 2x - 3

Nivel 2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

A) 11 D) 14

B) x3 E) x2

A) 2x D) 2x + 3

(a + b)2 - (a + b)(a - b) - 2b2

C) 2a

A) 2ab B) ab D) -ab E) -2ab

C) 3ab

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

31

C) (a - b)3 / a3 - b3 - 3ab(a - b)

16. Efectúa: (x + 2)(x + 6) - (x + 4)2

D) a2 - b2 / (a + b)(a - b)

A) -10 B) -2 C) -4 D) -6 E) -8 17. Reduce: 2 2 M = _ 7 + 3i +_ 7 - 3i A) 10

B) 13

C) 20

Razonamiento y demostración D) 18

E) 36

18. Efectúa: Q=

8

B) a4

C) a2

D) 0

E) a

19. Efectúa:

B) 81

C) 25

D) 36

E) 49

20. Si: a - b = 4; ab = 2; halla: a3 - b3 A) 64

B) 76

A = ( 5 + 3) 2 + (4 - 5 ) 2 + 2 5

C) 88

B) 36

E) 52

D) 29

E) 35

A = (2x + 3)2 + (3x + 1)2 - 13x(x + 1) - 10 B) 4x

C) 16

D) 8x

E) 8

D) 4 5

E) 10

D) 0

E) 1

D) 0

E) 1

28. Efectúa: 2 2 R = _ 5 + 1 i - _2 - 5 i + 3 A) 6 5

D) 100

C) 34

27. Efectúa: A) 5x

M = [(2 + 3 ) (2 - 3 ) (3 + 2 ) (3 - 2 )] 2

A) 64

26. Efectúa: A) 32

_a 4 + 2i_a 4 - 2i + 4

A) 1

E) (a + b)2 - (a - b)2 / 4ab

B) 4

C) 0

29. Efectúa:

A = (a2 - 5b3)2 + 10a2b3 - 25b6

21. Efectúa:

A) 2a4

A = (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (x3 - 30)

A) 2

B) 1

C) 6

D) 0

E) 3

Resolución de problemas 22. Si: x = (a + b) ;

B) 3

z = a2 + b2 Calcula: ab

A) 2x6 - 1 B) x6

x-y 4 D) x y

C) 4

31. Efectúa: A = (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)

y = (a - b)4;

A)

C) 8

30. Efectúa: R = (x8 + 3)(x8 - 3) - (x16 - 10) A) 2

4

B)

x-y x-y C) 8 8z 2

2

E) x + y

23. Calcula: E = _ 2 + 1i - 5 2 B) 9

C) 10

C) x6 + 1 D) x6 - 1 E) 4

Resolución de problemas 32. Desarrolla: Z = (m + n)2(n + p - m)(m + p - n) + (m - n)2(m + n + p)(m + n - p)

3

A) 8

B) a4

D) 6

E) 7

Nivel 3

B) m2n2p2

A) mnp D) 1 mnp2 4

C) 2mnp2

E) 4mnp2

33. Simplifica: E = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) - x2(x2 + 1)

Comunicación matemática

A) - 2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

24. Determina la operación efectuada correctamente. A) (x - 7)(x - 3) = x2 - 10x - 21

B) (x + aa)(x - bb) = x2 + (aa - bb)x - aabb

Cl aves

C) (a + 2)2 + (a - 2)2 = (a2 + 4)

D) (a2 + 32)(x2 + 22) = (ax + 6)2 + (2a + 3x)2

E) (a + 2)3 - (a - 2)3 = 4(4 + 3a3)

25. Ordena los productos notables según su número de términos algebraicos dados en el segundo miembro, de menor a mayor. 2

2

2

A) (a + b) / a + 2ab + b

B) (a + b + c)2 / a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

32 Intelectum 1.°

Nivel 1

1. 2. 3. e 4. d 5. d 6. c 7. c

27. A

16. c

21. e 22. C 23. E

17. c

Nivel 3

30. e

18. e

24. B 25. 26. e

31. d

8. b 9. b 10. e 11. C

14. c

Nivel 2

12. d 13.

15. A

19. E 20. c

28. a 29. b

32. e 33. D

Aplicamos lo aprendido tema 2: 1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Calcula la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir. x3 + 5x 2 + 10x + 10 x 2 + 2x + 1 Resolución: Por Horner:

1 -2 -1

1

5 -2

1

10 -1 -6

3

3

2

Resolución: Por Horner: 1 1 -1 -1

10

3

1

7

-3

-1

-1

C) 4

4

1 1 0

1 0

C) 0

Calcula A . B, si la división: 4 3 2 7x - 12x 2 + 18x + Ax + B 7 x + 2x + 1 deja como resto: 4x + 5

4 -3 -6 -5

1 9 -10 0

Resolución: Por Horner: 7 7 -12 18 -2 -2 -1 -1 4

P

15 0

1

A) -13 B) -14 C) -15 D) -16 E) -17 Halla la suma de coeficientes del cociente de: 2x 4 - 3x3 - 9x 2 - 11x + 33 x-3

A

-2

A) 60 D) 63 6

B

2 -6 -3 3 4 5 resto

` P = -15

Luego: A+2-6=4 &A=8 B - 3 = 5 &B=8 ` A . B = 64

B) 61 E) 64

C) 62

Calcula el cociente de: x3 - 4x 2 + 7x + 12 x+1 Resolución: Por Ruffini:

Resolución: Por Ruffini: x=3

-1

A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

resto

5

-2

resto

Halla P si la división, es exacta. 4x 2 - 5 x 3 + x 4 + P + x - 2x + x 2 + 3

1

-1 -1 1

` Resto = 0

B) -3 E) 0

Resolución: & El resto = 0 1 1 -5 2 2 -3

0 -1

-3

cociente ` S de coef. del cociente = 3 + 1 = 4

A) 7 D) -4

Calcula el resto en la división: a 4 - a 2 - 2a - 1 a2 + a + 1

2 2

-3 6 3

-9 9 0

-11 33 0 -33 -11 0

cociente ` Σ de coef. cociente = -6

A) 0 B) -3 C) -4 D) -5 E) -6

x = -1

1 1

-4 -1 -5

7 12 5 -12 12 0

` Cociente = x2 - 5x + 12

A) x2 - 5x + 12 D) x3 - 5x -12

B) x2 - 5x -12 E) x3 - 5x + 12

C) x2 + 5x + 12

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

33

Divide y señala el cociente: 16x 4 - 24x3 + 28x 2 - 5 2x - 1 28

0

-5

8

-8

10

5

-16 . -8

20 . 10

10 . 5

0

A) 8x3 - 8x2 + 5 C) x3- 8x2 + 10x + 5 E) 8x3 + x + 5

` Cociente = 8x3 - 8x2 + 10x + 5

B) 8x3 -1 D) 8x3 - 8x2 + 10x + 5

Halla n, si en la siguiente división el residuo es 40. x 4 + x3 + x2 + x + n x-2

C) 12

8 -6 0 2

` Cociente = x2 - x - 2

B) x2 + 3x + 1 D) 2x2 - x + 4

B) 35 E) 41

Resolución: Por Horner: 4 8 3 -1

-9 12 3

C) 5

13 Halla el residuo en la siguiente división: x4 2 x -x+1

C) 37

0 0

B) -2x E) -x

C) x - 1

9. b

12. E 11. e

A) x D) 2x

-1 0 -1

10. d

R(x) = -x

0

14. d 13. e

-3 -12 -4 0

4 8

B) 2 E) -4

Resolución: 1 1 -1 -1

0 -1

5 -1 1

1

-1

5

A) 10 D) 8

Claves

34 Intelectum 1.°

4

C) 3

14 Si: x 4 + 5x 2 + q x2 + x + 1 Deja como resto - 4x + 3. Halla: q

7. d

0

0

15

A) 1 D) 4

8. a

0 -1 1

6 -23 6 -2 9

2 3 q(x) = 2x3 + 3x2 - 4x

R(x) = 2x + 3 TI R(x) = 3

B) 2 E) 3

1

0

12 Señala el coeficiente del término lineal del cociente en: 8x 4 + 6x3 - 23x 2 + 15x + 4 4x 2 - 3x + 1

A) 1 D) 4

1

10

-6 . -2

A) 30 D) 38

Halla el término independiente del resto.

0 1

5

-3 . -1

10 Halla el resto en: 2009 + x2 + 1 _x - 5i x-6

11 En la división: 6x3 - 12x 2 + 8x - 9 3x 2 + 3

Resolución: Por Horner: 1 1 1 -1

-5 3 . 1

-11 -10

Resolución: Evaluamos x = 6 en el dividendo: (6 - 5)2009 + (6)2 + 1 = 38 ` Resto = 38

B) 10 E) 2

Resolución: Por Horner: 3 6 -12 0 0 -3 2 -4

2

A) x2 - x - 2 C) 2x2 + x - 1 E) x2 - 2x + 3

Resolución: Evalúa x = 2 en el dividendo: (2)4 + (2)3 + (2)2 + 2 + n = 40 & n = 40 - 30 ` n = 10

A) 8 D) 14

3

0 1 -5 -4

q -5 3

B) 1 E) -1

5. e

9

x =- 5 3 '3

6. a

' 2 16 . 8

-24

q-5=3&q=8

C) 2

3. c

16

Resolución: Por Ruffini:

4. e

x= 1 2

Calcula el cociente de: 3x3 + 2x 2 - 11x - 10 3x + 5

1. c

Resolución: Por Ruffini:

8

2. c

7

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática

Indica el residuo.

1. Del siguiente esquema de Ruffini: 2 -4 2

9

7

10

-8

c

d

8 -48

1

3

-2

12 -50

a

A) 2x - 1 D) 3x + 2

b

B) 2 E) 5

C) 3

2. Del esquema de Ruffini: 3

18 6

-26 28

0 3

Halla la suma de coeficientes del cociente. A) 25 D) 28

B) 20 E) 15

C) 26

Razonamiento y demostración

C) 3

C) 20

B) 7 E) 5

C) 1

A) 5 B) -8 C) -5 D) -4 E) -10

A) 1 D) x2 - 2x + 1

B) x2 + 1 E) x2 + 2x - 1

C) x2 + 2x + 1

12. Encuentra el cociente de: 5 x 3 - 2 x 2 - 2x - 1 x-1

6x 4 + x3 - 15x 2 + 24x - 7 3x 2 + 5 x - 3 Halla el valor del residuo. B) x + 5 E) 5x + 1

C) x - 5

A) 5x2 + 3x + 1 C) 4x2 + 3x + 12 E) 5x2 - 3x - 1

B) 5x2 - 3x + 1 D) 5x3 + 3x + 2

13. En la división:

6. Divide:

2x 4 + 3 2 x3 - 12x 2 + 3 2 x - 2 x- 2

6x 4 + 2x 3 - 4 x 2 - 5 x + 3 2x 2 - 4 x + 2 y da como respuesta la suma de coeficientes del cociente. A) 17 D) 20

A) 6 D) 3

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x+1

5. Divide:

A) x - 1 D) 5x - 1

9. Da como respuesta la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división: x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 3x + 1 x 2 + 3x + 2

11. En la división, halla el cociente.

Da como respuesta la suma de coeficientes del residuo. B) 15 E) 30

A) 2x2 + x + 1 B) 2x2 - x - 1 C) 2x2 + 3x + 1 D) 2x2 - 3x - 1 E) 2x2 - 5x + 3

y señala el menor coeficiente del cociente.

4. Divide: 2x5 - 2x 4 + 3x3 + 7x 2 + 11x - 8 2x 3 - x - 2 A) 10 D) 25

Indica el cociente.

5x 4 + 12x3 - 37x 2 - 24x - 32 x+4

y halla el valor del residuo.

B) 2 E) 5

C) 3x - 2

10. Divide:

3. Divide: 6x5 - 13x 4 + 13x3 + 23x 2 - 34x - 25 3x 2 - 2x - 4 A) 1 D) 4

B) 2x + 1 E) 5x - 1

8. Divide: 6x 4 - x 3 - 4x - 3 3x 2 + x + 2

Calcula: a + b - 3c + d A) 1 D) 4

7. Divide: 4x3 - 8x 2 + 15x - 6 2x 2 - 3x + 5

B) 18 E) 21

C) 19

Calcula el término independiente del cociente. A) 2 B) 2 2 C) 3 2 D) 4 2

E) 0 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

35

14. Halla el resto en: 2x3 - 4x 2 + 7x - 10 x-2 A) 14 B) -10 D) -4 E) -8

C) 4

15. Calcula m + n, si: x3 + mx 2 + nx + 1 x-1 es exacta. A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4 16. Divide: 27x 425 + 81x 424 - 5x - 19 x+3 y calcula el residuo. A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4

22. Al dividir el polinomio P(x) entre 27. Determina el valor de (m + n), si la (x2 + 1)(x - 3) se obtuvo como resto: siguiente división es exacta: x2 + 4x - 6. ¿Cuál será el resto de x 4 + 2x3 - 7x 2 + mx + n dividir P(x) ' (x - 3)? x 2 - 3x + 5 A) 12 D) 15

B) 11 E) 20

C) 10

A) 16 D) 31

Comunicación matemática

A) 1 D) 4

23. Del esquema de Ruffini: 12 25

-5 5

C) 30

28. Halla m si la división: x3 - 2mx 2 + 4mx - 8 es exacta. x 2 - 2x + 4

Nivel 2

10

B) 15 E) 32

0

' 5 Calcula la suma de coeficientes del cociente.

29. Calcula

B) 2 E) 5 3

C) 3

a + b , si la división es exacta.

4

3x + 5x 2 + ax + b 3 x 2 + 3x + 2 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

17. Luego de dividir se obtuvo de residuo 12; 30. Halla (a + b) en la siguiente división calcula el valor de a. A) 6 B) 7 C) 5 exacta: D) 9 E) 4 4x 4 - 3x3 - 12x 2 + _a + 4i x + a x 4 + 4x3 + 6x 2 + ax + b x 2 + 2x + 1 x-2 24. Indica verdadero (V) o falso (F), en la A) 1 B) 3 C) 2 siguiente división: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D) 4 E) 5 x 5 - 2x - 1 x3 + 1 18. En la siguiente división, halla el resto: 31. La siguiente división: 2x 4 + x3 + x 2 - 30 1. El grado del dividendo es 3. ( ) x 4 + x 3 - 4x 2 + x + q x+2 x3 + px - 1 2. El cociente es de grado igual a 2. ( ) A) 3 B) 2 C) -3 tiene un resto de la forma: 2x2 + 8x + 5 D) -2 E) -6 3. El grado del resto puede ser 2. ( ) Halla: p + q A) FVF B) FFV C) VVF 19. Halla el resto al dividir: A) 2 B) 1 C) 0 D) FFF E) FVV x 3 + x 2 + 2x + 3 D) -1 E) -2 x+1 Razonamiento y demostración A) -1 B) 0 C) 1 32. Divide: D) 2 E) -2 x3 - 6x 2 + 5x + 10 25. Divide: x 2 - 4x + 2 7 6 4 3 2 20. Calcula el resto en la siguiente división: 6 x + 9 x + x + 4 x + x - 3x + 2 Da como respuesta el resto. 5x3 - 3x 2 + 2x + 15 2x 3 + 3x 2 - 1 x+1 A) x + 7 B) 0 C) 2x + 1 Indica el coeficiente del término D) 5x 2 E) -5x + 14 A) -2 B) 1 C) 3 cuadrático del residuo. D) 5 E) 7 A) 3 B) 2 C) -1 33. Indica la suma de coeficientes del cociente D) 4 E) 5 que se halla al dividir.

Resolución de problemas

21. Determina el valor de: ab , a, b ! R Z = a + b - ab (a + b ) a!b!0 Si: a2 + 11a + 2 = 0 b2 + 11b + 2 = 0 A) 7 B) 9 C) 1 121 121 120 D) 7 9

E) - 13 121

36 Intelectum 1.°

26. Halla el cociente en la división: x5 - 5x 4 + 10x3 - 10x 2 - 5x + 1 x 3 - 3x 2 + 3x - 1 A) x2 + x + 1 B) x2 - 2x + 1 C) x2 + 2x + 1 D) x2 - x + 1 E) x2 + x - 1

4x 4 + 4x3 - 11x 2 + 6x - 6 2x - 1 A) 2 B) 3 D) 1 E) -1

C) -4

34. Halla el coeficiente mayor del cociente al dividir: 20x 4 - 3x3 + 16x 2 - 6 5x + 3 A) 4 B) 5 D) -5 E) -4

C) 6

35. Halla el cociente al dividir:

Nivel 3

x 3 + 2x 2 + x - 5 x+2 A) x2 - 1 D) x2 + 2

Comunicación matemática B) x2 + 1 E) x2 - x + 1

C) x2 + x + 1

36. Halla el residuo de dividir:

B) 82 E) 85

C) 83

1. El cociente es: Q(x) = 2x2 - 2x + 1

(

)

2. El residuo es: R(x) = 3x + 4

(

)

3. El coeficiente principal del residuo es -3.

(

)

A) VVV D) VFV

37. Calcula n, si al dividir: x100 + 32x95 + (n + 1) x3 + nx 2 + 10 x+2

B) FFF E) FFV

B) - 3 E) - 6

7

Se obtiene como resto (3m - 8). Encuentra el valor de m. B) 4 E) 10

C) 6

2 x 5 - 9 x 4 + 3x - 4 2x - 1 A) -8 B) -6 D) 7 E) -3

0

c

0

1

-98

B) 1 E) 14

C) -1

1

3

5

1

24

8

35

13

5

B) 35 E) 48

1

Luego indica la suma del coeficiente principal y el término independiente del residuo. A) -44 B) -28 C) -26 D) -42 E) 28 41. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto: (x + 4)(x - 5)(x + 6) el resto obtenido es: x2 - 7x + 2. Encuentra cuáles son los restos que se obtienen al dividir P(x) entre:

A) 45; -7; 81 D) 30; -20; 10

14

C) 40

45. En el siguiente cuadro de Ruffini, halla la suma de los números que debemos escribir en los recuadros vacíos.

x9 - 27x 6 + 3x 2 - 5x + 2 x 2 - 4x + 3

II. x - 5

-100

44. En el siguiente esquema de Horner, halla la suma de los números que debemos escribir en los recuadros vacíos.

A) 30 D) 44

40. Efectúa:

I. x + 4

2 Calcula: S = ab c 14 A) 0 D) 15

C) 4

Resolución de problemas

1

b

2

39. Halla el residuo de:

-14

a

C) - 4

38. Cuando se divide: x3 + (- 2 - 7 ) x 2 + (2 7 - 15) x + 15 7 + m x- 7

A) 2 D) 8

C) VVF

43. Del esquema:

deja como residuo 14. A) - 2 D) - 5

4x 5 - 2x 4 + 3x - 5x 2 + 1 2x 3 + x 2 - 3

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

4x78 + 32x75 + 6x 41 + 12x 40 + 5x 4 + 1 x+2 A) 81 D) 84

42. Luego de dividir:

III. x + 6

B) 50; -1; 90 E) 46; -8; 80

C) 1; -1; 2

-3

3

2

-4 30 -87

-3 1

0

2 -10

29 -93

A) -10 B) -11 C) -13 D) -14 E) -15

Razonamiento y demostración 46. Encuentra el resto de dividir: x5 + (a + 1) x 4 + (a + b) x3 + (b + 1) x 2 + ax + b x 2 + ax + b A) 1 D) 4

B) 2 E) 8

C) 0

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

37

47. Indica un valor de m para que: 4x4 - 5x2 + 2mx sea divisible por: 2x2 - mx + 2 A) 3 D) 7

55. Da el valor de (m + n + p + q) si la división: mx3 + nx 2 + px + 4x 4 + q 2 x 2 + 3x - 1

B) 4 E) 8

C) 5

es exacta, además los coeficientes del cociente aumentan de 3 en 3 a partir del primero. A) 50 D) 56

48. Si la siguiente división es exacta. px 4 + qx3 + x 2 - x - 6 x2 - x + 2 B) -1 y 3 E) 2 y 1

C) 1 y -3

49. ¿Qué valor adquiere n + 2 ; si la división es exacta? k+1 x19 - nx + k x 2 - 2x + 1 A) 1

B) 2

C) 19

D) 38

E) 4

50. Determina el resto en la división:

B) 3

C) 0

P(x) = 2x4 + x3 - 18x2 - 29x + 6 ¿cuánto hay que aumentarle al coeficiente de x3, para que sea divisible por (x - 3)? A) 1 D) 4

B) 3 E) 5

D) 2

C) 2

57. Se tiene un polinomio entero en "x" de tercer grado que se anula para x = 9 y para x = -7 y al dividirlo entre x - 11 da como resto 2160. Si el primer coeficiente del polinomio es 5, halla el resto de dividirlo entre x - 1. A) -640 D) -300

x 4 + x6 + x2 + 1 x2 + 1 A) 1

C) 54

56. Sea el polinomio:

halla: p y q A) 1 y 3 D) -1 y -3

B) 52 E) 58

B) 640 E) 1

C) 300

E) 4

51. Halla n si la división:

_ x - 3i_ x - 4i

A) 1 D) 2x - 1

B) 2x E) 2x + 1

38 Intelectum 1.°

C) 3x + 1

40. c

41. e

32. e

33. a

23. C

24. e

16. e

17. d

7. a

8. b

Nivel 2

31. e

39. E

15. c

38. b

30. e

29. b

22. d

21. e

28. b

37. b

42. d 43. e 44. d 45. c 46. c 47. A 48. C 49. B 27. d

6. c

71

14. c

80

_x - 3i + _x - 4i + 6

5. d

54. Halla el resto en:

4. b

Resolución de problemas

13. a

C) 1

12. a

B) 2

3. c

A) 0

20. d

es: px + q.

11. c

6x5 + 4x 4 + 5x3 + 8x 2 + mx + n 3x 2 + 2x + 1

2. D

Si el residuo al dividir:

36. a

Nivel 3

E) 8

n _p + 5i m _q + 2 i

1. b

53. Calcula:

C) 32

35. B

B) 31

C l a ve s

A) 30

34. b

D) 3

Calcula el valor de m.

26. b

E) 34

(3x + 4y) 5 - (2x) 5 - my5 x+y

25. d

D) 33

52. Si la siguiente división es exacta:

19. c

E) 16

18. d

D) 14

9. a

C) 12

10. b

B) 10

Nivel 1

A) 8

50. C 51. B 52. D 53. c 54. d 55. D 56. C 57. a

8x 4 - 2n 2 x 2 + x - 4 tiene por residuo 1. 2x - n

Aplicamos lo aprendido tema 3: 1

FACTORIZACIÓN

Indica el número de factores primos: P(x) = x3 + x2 - 4x - 4

2

Resolución: Agrupando: P(x) = x2(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x + 2)(x - 2) 1.° 2.° 3.° El número de factores primos es: 3

Factoriza por el método del factor común: F(x) = (x - 3)(x - 2) - (x - 2)(1 - x) + 1 - x Resolución: F(x) = (x - 3)(x - 2) - (x - 2)(1 - x) + (1 - x) = (x - 3)(x - 2) + (1 - x)(1 - x + 2) = (x - 3)(x - 2) + (x - 1)(x - 3) = (x - 3)(x - 2 + x - 1) = (x - 3)(2x - 3)

A) 1 D) 4 3

B) 2 E) 5

A) (x + 3)(2x - 1) C) (x - 3)(2x - 3) E) (x - 3)(x + 3)

C) 3

Factoriza: F(a; b) = a3b3 + a2b4 + 3a2b3

4

Resolución: F(a; b) = a3b3 + a2b4 + 3a2b3 = a2b3 (a + b + 3)

A) a2b2(a + b + 3) C) a2b(a + b - 3) E) a2b3(a + b + 3) 5

Factoriza: P(x; a) = ax4 - ax2 Luego, indica un factor primo. Resolución: P(x; a) = ax4 - ax2 Factorizamos: P(x; a) = ax2 (x2 - 1) P(x; a) = ax2 (x+1)(x-1) ` Un factor primo es: x + 1

B) ab2(a + b + 3) D) a3b(a + b + c)

Factoriza: 2a3b2c4d - 3ab4c5 + 7a2b2c4d2 Resolución: 2a3b2c4d - 3ab4c5 + 7a2b2c4d2 ab2c4[2a2d - 3b2c + 7ad2]

B) (x + 5)(2x - 3) D) (x - 7)(2x - 3)

A) x2 - 1 D) x - 2 6

B) ax2 - 1 E) x2 + 1

C) x + 1

Factoriza: P(x) = (5x - 3)2 - (2x - 7)2 Da como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. Resolución: P(x) = (5x - 3)2 - (2x - 7)2 Por diferencia de cuadrados: P(x) = (7x - 10)(3x + 4) ` Scoef. de un factor primo: -3 o 7

A) a2bc4d(2a - 3b + d2)

B) ab2c4d(2a2d - 3b2c + 7ad2) C) ab2c4(2a2d - 3b2c + 7ad2)

D) abcd(2a + 3b + 7d) E) abcd(2a - 3b + 7d)

A) -3 B) 7 D) 6 E) A o B

C) -4

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

39

Factoriza: P(x; y) = x5y + 2x4y2 + x3y3 Indica un factor primo.

8

Resolución: M(x; y) = (3x + y + 3y - x)(3x + y - 3y + x) = (2x + 4y)(4x - 2y)

Resolución: P(x; y) = x3y(x2 + 2xy + y2) = x3y(x + y)2 ` Un factor primo es: x + y

C) x - 2y

A) 1 D) 4

Factoriza: M(x; y) = x6 - x2 - 8x - 16 Da el número de factores primos.

B) 2 E) 5

Resolución: Dato: x - y = 5 Piden: x2 - 2xy + y2 Trinomio cuadrado perfecto & x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 = (5)2 = 25

A) 15 D) 30

C) 3

11 Factoriza: 6x2 + 19x + 10 Indica la suma de sus factores primos.

C) 20

Resolución: 6x2 - 4x - 2 = 2(3x + 1)(x - 1) 3x 1 2x -2

` Sfactores primos = 5x + 7

` Un factor primo es: 3x + 1

C) 5x + 7

A) 3x D) 2x + 3

C) 3x + 2

14 Factoriza cada expresión por aspa simple: • a2 + 8a + 16 • n2 - 5n - 6 • x2 - x - 2 • x2 - 2x - 3 Resolución:

M(x) = x2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) x - 4 x 1

Q(x) = x2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) -7 x x 1 P(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) R(x) = x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 1 x 3 x x 1 x 2

P(x) = a2 + 8a + 16 = (a + 4)(a + 4) 4 a a 4

R(x) = x2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) -2 x x 1

Q(x) = n2 - 5n - 6 = (n - 6)(n + 1) -6 n n 1

S(x) = x2 - 2 x - 3 = (x - 3)(x + 1) -3 x x 1

5. c

Resolución:

6. e

13 Factoriza cada expresión por aspa simple: • x2 - 3x - 4 • x2 + 2x + 1 • x2 - 6x - 7 • x2 + 5x + 6

B) 2x - 1 E) 3x + 1

3. e

B) 3x + 5 E) 5x + 2

8. b 7. a

10. e 9. b

12. e 11. c

14. 13.

Claves

40 Intelectum 1.°

B) 10 E) 25

12 Factoriza: 6x2 - 4x - 2 Indica un factor primo.

Resolución: 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5)(3x + 2) 2x 5 3x 2

A) x - 3 D) 2x + 7

C) 3

10 Si: x - y = 5 Halla: x2 - 2xy + y2

Resolución: M(x; y) = x6 - (x2 + 8x + 16) = x6 - (x + 4)2 = (x3)2 - (x + 4)2 = (x3 - x - 4)(x3 + x + 4)

A) 6 D) 4

B) 2 E) 5

4. c

9

B) x - y E) x - 3y

1. c

A) x + y D) x + 2y

Factoriza: M(x; y) = (3x + y)2 - (3y - x)2 Da el número de factores primos.

2. b

7

Practiquemos 9. Encuentra el coeficiente que aparece al factorizar:

Nivel 1 Comunicación matemática 2

1. Encuentra el valor de (a + b) en la siguiente factorización efectuada por aspa simple: 27x2 + 42x - 49 3x

7

ax

b

7x2 - Ax - 18 -3

x

6

Razonamiento y demostración 3. Factoriza e indica la suma de los términos independientes de los factores primos. P(a; b) = 4a2 + 4ab2 + b4 - 1

A) 1 D) 2

B) -1 E) 0

C) 2

2

3 5

3

w x + 3w - t x - 3t A) x5 + 3 D) t2 - 3

B) x3 + t3 E) w5 - 3

C) 4x - 3

B) FFF E) FFV

C) VVV

11. Del siguiente polinomio: A(x; y; z) = xyzw(x + 7)(w - 10)(y - 3)(z - 20) Indica correcto (C) o incorrecto (I) en las siguientes proposiciones: ( ) A(x; y; z) tiene 6 factores primos. ( ) Un factor primo de A tiene término independiente -10. ( ) Un factor primo de A tiene suma de coeficientes -19. B) CCI E) CCC

C) ICC

Razonamiento y demostración

▪▪ mn2 + m2n + mn ▪▪ a2b - 2ab2

▪▪ 2xa - a + 2xb - b B) m2 + 3 E) m2 + 7

C) m2 + 4

Indica el término independiente del factor primo con mayor coeficiente. A) 4 B) 2ax D) 2a E) 4a2

C) x2

A) a - b + 1 D) a + b

8. Factoriza y da como respuesta la mayor suma de coeficientes de un factor de: 3

A(t) = t + 3t + 2t C) 2

B) a + b - 1 E) a - b

C) a + b + 1

14. Factoriza:

P(m) = m2 - 3m - 4 Indica la suma de sus factores primos. A) m - 1 D) 3m + 1

Resolución de problemas

B) 1 E) 4

13. Indica un factor primo de:

P(a; b) = a2 - 2ab + b2 - 1

7. Factoriza: R(x) = 8a3 - x3

A) 0 D) 3

A) VFV D) VVF

▪▪ x3y - x2y3 + x2y

3m4 + 7m2 + 4

5

Indica verdadero (V) o falso (F), en las siguientes proposiciones: ( ) T(a; b) posee 2 factores primos. ( ) (a - 2b) es factor de T(a; b) ( ) a es factor primo de T(a; b)

▪▪ 5a + 5b + 3a + 3b

6. Factoriza e indica un factor primo. A) 3m2 - 4 D) m2 + 1

T(a; b) = 4a19b5 - 4a18b6 + a17b7

12. Factoriza cada caso: ▪▪ ax + bx + cx

P(x) = 8x2 - 2x - 3 B) 3x - 4 E) 8x - 3

10. Luego de factorizar el polinomio:

C) w2 + t3

5. Factoriza e indica un factor primo. A) 2x - 1 D) 8x - 1

Nivel 2

A) ICI D) CIC

4. Factoriza e indica un factor primo. 2 5

A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2

Comunicación matemática

2. Calcula el valor de A en la siguiente factorización efectuada por aspa simple: 7x

(a - c)2 - (a - b)2 - (b - c)2

B) 2m + 1 E) 2m - 3

C) m + 3

15. Factoriza:

2x4 + 17x2 + 21 y luego señala el producto de los términos de un factor.

A) 2x2 D) 5x2

B) 3x2 E) 21x2

C) 6x2

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

41

16. Factoriza e indica un factor primo.

Razonamiento y demostración

P(x) = x3 - 2x2 - x + 2

A) x + 2 D) x - 4

B) x - 1 E) x + 4

C) x + 3

A) ay - y D) bx + ya

17. Factoriza e indica el número de factores primos: F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

B) 5 E) 3

B) 2 E) 5q2 - 1

A) 1 D) 4

A) 2 B) 3 D) -1 E) -3 P(x) = x4 - 3x2 + 1

A) 1 B) 2

E) 0

M(x; y; z) = xm+a + xmyb + xayn + yn+b + zpxa + zpyb

un

B) Si las variables son EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES, estas son factorizables en el campo de los números racionales. C) Según como los coeficientes se expresan en un conjunto numérico, estos son factorizables en dicho conjunto numérico. 21. Identifica cuál(es) de las expresiones presentadas es(son) factor(es) del siguiente polinomio:

A) xm + yn D) xm + yn - zp

P(x) = 21x + 11x - 2 I. 7 II. 7x + 1 III. 3x + 2 IV. 7x - 1

B) xm - yn E) xa - yb

C) xa + yb

Resolución de problemas 27. Luego de factorizar:

T(m) = m7 - m4a3 - m3a4 + a7 Indica el término independiente del factor repetido.

A) (m - a)2 D) m2 + a2

C) a2

B) (m + a) E) 1

28. Factoriza:

P(x; y) = x3 - x2 + 3x2y - y2 - 2xy + y3 + 3xy2 Da como respuesta la diferencia de sus factores primos. A) -1 D) 0

B) 1 E) -2

C) ! 1

C l a ve s 7. e

13. A

Nivel 3

26. c

1.

8. d

14. E

20.

27. c

2.

9. E

15. C

21. D

28. c

16. B

22. d

17. C

23. b

18. E

24. b

19. D

25. b

Nivel 1

3. e

2

42 Intelectum 1.°

C) 3 D) 4

26. Factoriza e indica un factor primo.

20. Lee el siguiente texto 3 veces, y luego responde las preguntas planteadas. La factorización es un proceso mediante el cual un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Por lo general la FACTORIZACIÓN se realiza en el campo de las EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS, esto referido a las variables y con respecto a los coeficientes se define respecto al conjunto de los números RACIONALES (Q) salvo excepciones de poder abandonar éste conjunto y considerar, por ejemplo, el campo de los números REALES (R) o el conjunto de los números COMPLEJOS (C). Marca con una C de correcto o I de incorrecto, según corresponda a los enunciados:

C) I y II

C) 5

25. Indica el número de factores primos del siguiente polinomio:

C) -4q

Comunicación matemática

B) Solo II E) II; III y IV

C) 3

15a2 + 14a + 3

Nivel 3

A) Solo I D) III y IV

B) 2 E) 5

24. Factoriza e indica el término independiente de uno de sus factores primos.

C) 1

A) La FACTORIZACIÓN permite expresar polinomio en función de sus divisores.

C) -by + a

P(x) = yx2 + 7xy + 12y

19. Factoriza en R: S(q) = q4 - 9q2 + 18 Luego indica la suma de sus factores primos. A) 2q2 - 9 D) 4q

B) -ax + y E) a2 + b2

23. Indica el número de factores primos de:

C) 4

18. Factoriza en R: H(x) = x4 - 5x2 - 14 Indica luego, el número de factores primos. A) 4 D) 2

22. Factoriza e indica un factor primo. M(x; y) = ab(x2 - y2) + xy(a2 - b2)

4. a 5. c 6. d

Nivel 2 10. e 11. D 12.

Aplicamos lo aprendido tema 4: 1

RADICACIÓN

Calcula: 3 100 2 3 85 2

2

Resolución: 3 3

100

2100 = 2 3 = 2 85 285 23 15 23

=



Resolución: 14 x35 + 12 x30

100 - 85 3

35 5

= 2 = 32

A) x35 B) x C) 2 x5 D) x6 E) x7

C) 16

4

Calcula:

3 4

816

Resolución:

Resolución: 4 3 2 .3 7 49

1

5

= 2 x5

Calcula: 3 2 . 3 4 7 49

= c2m 7

5

= x 2 + x 2 = 2x 2

B) 8 E) 64

1 3

30

= x 14 + x 12

5

A) 2 D) 32 3

Calcula: 14 x35 + 12 x30

1 2 3 . e 22 o

7

1 3

= c 2 m .c 2 m 7 7

3

2 3

8

=

4

83 =

=

2

16

4

16

3

3

84 = 4

^23 h 3 =

8

4

4

4

2

2 = 22 = 2 = 4

+ 1 = c 2 m3 3 = c 2 m = 2 7 7 7

A) 2 B) 4 C) 7 7 7 4 D) 3 2 E) 2 7 7 5

Simplifica: M = 3 1024x8 y10

6

Resolución:

3

2x 2 y

a b

Entonces: & S= ` S=

A) 8x 2 y 2 3 2xy B) 10xy 3 5xy 5 53

C) 5x y

2 33

E) 8x y

3 3

3xy D) 3x y 2

2x y

C) 6

Calcula: S = 8 32 a = b

2

M = 8x 3 y 3 3 2x y M = 8x2 y3

B) 4 E) 16

Resolución: Sabemos que:

M = 3 (83 . 2) x6 . x2 y9 . y 6 9

A) 2 D) 8

2xy

1 2

8 = 32

8 = 32

1 = 4

A) 2 B) 5 D) 1 E) 4

1 4

1 C) 1 2 3 3 7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

43

7

Efectúa: M = 3 125x12 y 6 + 256x8 y 4 Resolución: M=

3

3 12 6 5 x 3 y3

+

8

Efectúa: P = 4 81 + 73 + 64 - 3 64 - 10 2 Resolución: P = 4 9 + 343 + 8 - 4 - 100 P = 4 256 = 4

2 8 4 16 x 2 y 2

M = 5x4 y2 + 16x4 y2



4 2

M = 21x y

B) 10xy2 E) 21x4y2

Calcula: M = 3 11 2 + 3 512 - 53 + 3 1 + 1 6 + 4 16

A) 4 D) 6

Resolución: R = 4 + 81 - 8 - 25 - 3 R = 49 = 7

8 =2

B) 1 E) 5

C) 3

A) 7 D) 9

Resolución:

Resolución: 2 2 P = `^3 2 h + 2.3 2 . 5 + 5 j - 6 10

2

2

2

R = 12 + 4 6 + 2 + 12 - 4 6 + 2 R = 28

B) 26 E) 23

A) 28 D) 36

C) 32

B) 24 E) 40

C) 32

14 Después de efectuar, se obtiene: 3 + 2 . 4 5-2 6

13 Efectúa: _2 3 + 1i_3 3 - 2i + 4 9

Resolución:

Resolución: ^2 3 + 1h^3 3 - 2h + 3 2 = 6 3 -4 3 +3 3 -2+ 3 = 16

3 + 2 .4 5-2 6 Dando forma: =

C) 4

4

^ 3+

2

2h . 4 5 - 2 6

=

4

(5 + 2 6 ) (5 - 2 6 )

=

4

52 - (2 6 ) 2 = 1

A) 1 D) 3

B) 3 C) 2 E) 6 6. B 5. E

8. A 7. E

10. a 9. a

B) 8 E) 16 12. A 11. e

14. a 13. e

Claves

44 Intelectum 1.°

2

R = ^2 3 h + 2.2 3 . 2 + ^ 2 h + ^2 3 h - 2.2 3 . 2 + ^ 2 h

P = 18 + 6 10 + 5 - 6 10 P = 23

A) 2 3 D) -3

C) 8

12 Calcula: 2 2 R = _2 3 + 2 i + _2 3 - 2 i

11 Efectúa: 2 P = _3 2 + 5 i - 6 10

A) 24 D) 33

B) 6 E) 11

3. a

A) 2 D) 4

4. b

3

C) 3

10 Calcula: R = 3 64 + 3 4 - 3 512 - 5 2 - 3 27

Resolución: M = 3 121 + 8 - 125 + 1 + 1 + 2 M=

B) 2 E) 8

1. d

9

C) 3x2y

2. c

A) 20xy D) 7xy

Practiquemos 10. Efectúa:

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Indica verdadero (V) o falso (F): a + b = a + b ab = a $ b

...( )

a 2 - b 2 = a 2 - b 2 a = a b b

...( )

A) mn = p2 D) pn = m

12. Efectúa: 4

C) m + n = 2 n+p

E = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 C) 15

B) 21 E) 25

C) 23

B) 5 E) 8

C) 6

A = 1 . 4 + 9 . 16 C) 18

C) 2

B) 0 E) 4

C) 2

B) 6 E) 4

C) 5

15. Efectúa:

16. Reduce: A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

17. Efectúa: M = 50 + 8 + 18 - 200

7. Calcula: 6+ 7+ 4 B) 4 E) 7

C) 5

20 + 21 + 2 2 + 23 + 1 A) 1 B) 2 D) 8 E) 16

A) 4 2 B) 3 2 C) 2 D) 0 E) 2 2

Resolución de problemas

8. Calcula:

18. Calcula: C) 4

9. Efectúa:

E=

_a + b i

a - b + _a - b i a + b a+b a-b ;a>b>0 2 2 a -b

Luego determina el cuadrado de E disminuido en uno.

R = 3 . 2 . 24 A) 2 D) 18

B) 1 E) 4

30 + 31 + 3 2 + 33 + 9

6. Halla: B) 16 E) 21

5

14. Calcula:

A) 4 D) 3

32 + 42

A) 3 D) 6

E = 5 (30 + 40 + 50 + 60)

C) 3

4 + 3 8 + 4 16

5. Reduce:

A) 14 D) 20

13. Reduce:

A) 1 D) 3

P = 3 125 . 3 64

A) 4 D) 7

A) 0 B) 1 D) 5 E) 2

30 + 23 - 33 + 18

4. Efectúa: A) 20 D) 24

4 + 2 - 8 +3 3 -6 9

A) 0 D) 3

3. Calcula: B) 14 E) 18

C) 22

A) 12 3 B) 10 3 C) 13 3 E) 0 D) 9 3

Razonamiento y demostración

A) 13 D) 16

B) 15 E) 126

k = 12 + 300 + 75 - 48

...( )

B) m + n = 3p E) mnp = 27

A) 4 D) 41 11. Efectúa:

...( )

2. Si: m = 6 ; n = 15 ; p = 27 3 5 2 Indica lo correcto:

S = 16 + 25 + 36 + 49

B) 6 E) 24

C) 12

A) a + b

B) a2 - b2

D) a 2 - b 2

E) 2

C) 1

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

45

19. Determina la suma de los cuadrados de M y T. Sabiendo que: 3

3

24. Efectúa:

E = 3 8 + 3 27 27 64

3

M = 4 + 27 - 100 + 8 + 25 900 + 2 6 - 3 125 - 16 - 3 64

T= A) 100 D) 2

B) 140 E) 1

A) 13 B) 7 17 D) E) 3

C) 145

12 17 8 27

C) 17 12

25. Reduce:

Nivel 2

140 M = 20 3100 3

Comunicación matemática 20. Memoriza durante 1 minuto los radicales de las casillas. Tápalos y a continuación llena el recuadro de abajo. 20

10 10 m 2 + 9 10 m 2 - 10 m 2

75

2

7

53

3

92 3

64 125

3

7 ; 3 9 ; 3 10

9

x 27

2

1 25

8.2 ;

3

27 3

A) 8 D) 29

B) 9 E) 30

C) 10

26. Reduce:

M = 3 8 + 3 27 + 3 64

A) 9

B) 10

27. Efectúa: P= 1 + 9

3

D) 12

E) 13

C) 2

D) 3

E) 4

8 27

3

A) 0

C) 11

B) 1

28. Calcula:

A = 3 8 + 3 27 + 3 125

Verifica si ha tenido aciertos, comparando los dos cuadros. 21. Completa con mayor que ( 2 ) o menor que ( 1 ) los resultados de efectuar:

3

- 125



3

- 64



3

343



3

1000



4 3



3

3 . 27 3 5



30

c3m 4



A) 10 D) 16

B) 12 E) 18

C) 1

29. Calcula: 3

1 + 3 8 + 3 27 + 3 64

A) 9 D) 12

B) 10 E) 11

C) 13

30. Calcula: 2 2 A = _ 10 + 2 i + _ 10 - 2 i

12

3

A) 24 D) 50

125 8

B) 10 E) 40

C) 60

31. Efectúa:

Razonamiento y demostración 22. Reduce: P=

36

x

72

+

20

x

A) x3 D) x5 23. Calcula: E = 25 9

40

4

P=

x32 y 4 1

A) xy

B) x2y C) xy 8

D) x 2 y

E) x3y3

1

B) 3x3 E) 2x2

C) x2

F = x+1 x-1

9 25

A) 7 B) 3 D) 2 E) 3

46 Intelectum 1.°

32. Simplifica:

15 16 3 7

C) 16 15

x-1 x+1

3

2

_x + 1i

B)

3

x-1 x-1

D) x E) y

3

x+2 x-2

A)

3

2

_x - 1i

C) 1

33. Efectúa:

Nivel 3

9 +3 8 16 27

Comunicación matemática

A) 13 17 D) 4 7

B) 12 17 E) 7 5

C) 17 12

42. Observa los radicales durante un minuto: m

34. Efectúa: 1 + 1 9 25

3

E) 6

P=

3

5 4

B) 6 17

C) 17 D) 4 6 3

3

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

37. Calcula: 3

B) 6

C) 12

D) 15

B) 30

3a 5b

3x + 9 10x 2 - 9 5x 4 = 9 3x + 10x 2 - 5x 4 3

C) 32

D) 36

3

= c12 - 2 + R 2 m3 R 2 = c 34 + R 2 m3 R 2 3 3

E) 27

III. 10 3 R 2 - 2 3 R 2 + _R 2 + 2i3 R 2 = 3 1 3 3 3 3 2 e^10h R - c 2 m R 2 + _R 2 + 3i R 2 o = 3 B) a2 - b2 C)

D) a 2 - b 2 E)

a b

2a 3b

3

= 5 32x13 y8

Determina el valor de l2. 25x20 + lx18 - 70x10 + 49 + 4x16 - 28x8

C) 600

41. A que es igual el cuádruple de “m” disminuido en 9 de la siguiente relación: m+ n - m- n -3 = 0 A) 16n B) 20 D) n E) 2

2

IV. 2x 2 y 5 x3 y3 = 5 25 x10 y5 x3 y3 = 5 25 x13 y8

40. Se presenta el polinomio que es un cuadrado perfecto.

B) 500 E) 800

3

e^10h3 - c 2 m + _R 2 + 2i o R 3 3

Resolución de problemas

A) 400 D) 700

9

II. 10 3 R2 - 2 3 R2 + _R2 + 2i3 R2 = c10 - 2 + R2 + 2 m3 R2

39. Simplifica: N = a 8b 2b 3 a A)

I.

E) 25

38. Efectúa: 2 K = _2 6 - 3 i + 4 18 A) 29

Luego tápalos y escribe el nombre de las propiedades aplicadas para su respectiva solución en los casilleros, pero en el orden inverso al que tenían. 43. ¿Cuál es la alternativa correcta?

64 + 3 216 + 3 125

A) 4

x , 4 y " 12 x 4 , 12 y3

3 3

7 20 = 5.4 7 20 = 7

100 = 100 = 10 = 5 16 4 2 16

E) 0

8 - 27 + 64

A) 1

2 5 a = 5 25 a 2 8 = 2.8 = 4

35. Efectúa: E = 9 + 16 4 9

36. Calcula:

8a 2 = 2 3 a 2

5 3 xa - 6 3 xa = - 3 xa

A) 7 B) 15 C) 8 D) 8 8 8 15 7

A) 7 15

m

a n = n am = _n a i

3n C) 4n 4 9 n2 2

A) Solo I D) I y III

B) I y II E) Todas

C) II y IV

Razonamiento y demostración 44. Siendo:

2 x = 4 16 Halla el valor de xx.

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

D) 1

E) 2

45. Efectúa y luego da el valor de x. 4

16 = 2 x + 2

A) -2 B) -1

C) 0

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

47

46. Calcula: 4

4

55. Calcula:

4

M = 16 + 81 + 1 A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

35 + 410 - 9 33 48

A) 1 D) 4

(2 2 + 23 + 2 4)

n

C) 3

a3

ak

4 5

B) 2 E) 10

C) 28

49. Calcula:

M = 3 9 2 + 3 512 + 5 2 + 100 - 4 1 + 3 8 B) 8 E) 15

k=

21

A) 5 D) 4

B) 6 E) 2

B) 8 E) 11

C) 9

C) 5

6 ; d= 5

5 6

A) 3 B) 5 C) 6 D) 30 E) 5 5

Si: x = 1 < a 2 b

A) ab2 B) a2b2 D) a E) b b a

C) ab

b F; 0 < b < a a

A) a - b B) a + b C) a + b 2 ab ab 2 ab D) 2 ab E) ab a+b a+b

52. Calcula: 8 + 16 + 28 - 3 1000 - 2 4 + 400

A) 3 D) 1

B) 4 E) 6

C) 2

53. Calcula: N = 3 2 + 6 3 16 + 8 3 1 - 4 3 9 - 3 18 3 81 12 4 A) 1 D) 3

B) 2 E) 4

C) 0

54. Halla el equivalente de: 3 5 + 2 7 + 2 6 35 4

3 ; c= 2

59. Calcula: V = x 2 + 1

a 20 b 25 a10 b15

18 + 4 35 B)

4

15 + 4 14

C) 45 + 28 D)

4

45 + 4 28

A)

2 ; b= 3

Calcula: 2 2 E = a2 b + b2 a c d-d c

51. Calcula:

3

58. Si: a=

B) 4 E) 7

S=8

C) 7

Resolución de problemas

50. Efectúa: 36 + 49 + 81 + 100 4 + 9 + 16 - 1

5

C) 10

^20 + 14 2 h7 . 6 ^20 - 14 2 h2

M = k 2 2k + 16 232

A) 3 D) 6

C) 5

57. Calcula el valor de k B) 27 E) 30

A) 7 D) 10

3

A) 4 D) 5

n

A) 26 D) 29

a 24

56. Calcula: B) 2 E) 5

48. Calcula:

6 8 10

A) 0 D) 1

47. Efectúa: E=

M=

E) 18 + 35

48 Intelectum 1.°

C l a ve s Nivel 1 1. 2. a 3. c 4. a 5. B 6. A 7. a 8. C 9. c 10. c 11. c 12. A

13. e 14. B 15. B 16. C 17. d 18. C 19. C

25. B

37. D

48. c

26. A

38. E

49. B

27. b

39. C

50. B

28. a

40. A

51. B

29. b

41. C

52. c

30. a

53. c

Nivel 2 20.

31. C

Nivel 3 42.

32. A

43. C

55. D

21.

33. C

44. E

56. D

22. E

34. C

45. B

57. e

23. C

35. C

46. E

58. e

24. C

36. C

47. D

59. C

54. D

Aplicamos lo aprendido tema 5: 1

racionalización

Racionaliza: 15 5 3

2

Resolución: 15 = 15 . 5 3 4 = 15 5 3 4 = 5 5 81 5 5 3 3 3 5 34

5

Resolución: 5 = 5. 5 = 5 5 = 5 3.5 3 3 5 3. 5 . 5

5

Racionaliza: 12 5 3

D) 1

4

Resolución: 12 = 12. 5 3 4 = 12. 5 3 4 = 12 5 3 4 5 5 5 5 3 3 3 . 5 34 3 =

_12 i5 81 = 4 5 81 3

Luego de racionalizar y simplificar denominador resulta:

5 ; el 75 - 45

Resolución: Multiplicamos al dividendo y al divisor por: ^ 75 + 45 h

A) 2 3 4 B) 8 3 4 C)

5^ 75 + 45 h = 30

D)

6

3

3

4

4 E) 3 3 4 2

Simplifica: 12 2 3 - 2 3 2 -2 3 e indica el denominador racionalizado. Resolución Racionalizamos: ^ 3 + 2h 2 12 # # 3 2 +2 3 ^ 3 - 2h ^ 3 + 2h 3 2 - 2 3 3 2 +2 3

^ 75 + 45 h 5 # ^ 75 - 45 h ^ 75 + 45 h

=

Racionaliza: 6 3 2 Resolución: 6 = 6. 3 2 2 = 6. 3 2 2 = 3. 3 4 3 3 2 2 2 . 3 22

A) 4 5 81 B) 6 3 81 C) 3 3 36 5 5 D) 4 5 27 E) 2 5

5 C) 5 3 E) 5 2

A) 3 5 B)

3

A) 5 9 B) 10 3 C) 3 3 D) 3 15 E) 5 5 81 3

Racionaliza: 5 3 5

75 + 45 6

= 2 3 +2 2 -6 2 -4 3 =- 2 3 - 4 2 ` Su denominador es 1.

A) 1

B) 3

D) 6

E) 15

C) 5

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

49

Calcula el equivalente de:

8

6 + 12 3- 3 ^3 + 3 h^3 + 3 h ^3 - 3 h^3 + 3 h

3 +1

S=

A) 3 - 1 B) 2 - 3 C) 1 + 3 D) 2 + 3 E) 2 3 5 3+ 5- 8 Indica el denominador.

Racionaliza: M =

A) 3 2 B) 8 2 E) 2 D) 6 2

Racionalizamos:

M=

5( 3 + 5 + 8 ) 5( 3 + 5 + 8 ) = = ( 3 + 5 - 8 ) ( 3 + 5 + 8 ) ( 3 + 5 ) 2 -( 8 ) 2

M=

5 ( 3 + 5 + 8 ) 15 5 15 ( 3 + 5 + 8 ) = 2 # 15 2 15 15

11 Racionaliza:



A) 56 D) 34

C) 6

5 e indica el denominador. 5+ 3- 2

Resolución: 5 = $ 5+ 3- 2 =

B) 4 E) 10

Resolución:

M=

3 2 5 + 3 - 2 2 3 - 2 3 2 -2 3

5 ^2 3 + 2 h 2^ 3 + 2 h ^ 3 - 2 h^ 3 + 2 h ^2 3 - 2 h^2 3 + 2 h -

5( 5 - 3 + 2) . 6 5 6 ( 5 - 3 + 2) = = 12 2 6 6

3^3 2 + 2 3 h ^3 2 - 2 3 h^3 2 + 2 3 h

M= 2 3 +2 2 -2 3 -2 2 = 0

C)16

13 Racionaliza: 5 3 5

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

14 Efectúa: 10 - 3 2 2

Resolución: 10 - 3 2 = 10 2 - 3 2 = 10 2 - 3 2 2 2 2 2

Resolución: 5 = 5 3 52 = 5 3 52 = 5 3 52 = 3 25 3 3 3 5 5 5 3 52 53



A) 3 25 B) 3 5 C) 3 10 D) 3 11 E) 1

= 5 2 -3 2 = 2 2

A) 5 2 B) 6 2 C) 2 2 E) 1 D) 2 8. D 7. C

10. D 9. C

12. A 11. b

14. c 13. A

Claves

50 Intelectum 1.°

C) 67

Multiplicamos por la conjugada a cada fracción:

5 ( 5 - 3 + 2) 5( 5 - 3 + 2) = 5 - (3 + 2 - 2 6 ) 5-5+2 6

B) 12 E) 15

B) 89 E) 17

12 Calcula: M =

5 - ( 3 - 2) 5( 5 - 3 + 2) = 5 - ( 3 - 2 ) ( 5 )2 - ( 3 - 2 )2

A) 13 D) 14

C) 3

Resolución: Reducimos: 1 1 = 14 + 8 2 2 (7 + 4 2 ) Racionalizamos: 1 (7 - 4 2 ) = 7-4 2 34 2 (7 + 4 2 ) (7 - 4 2 )

5. D

A) 2 D) 8

15 ( 3 + 5 + 8 ) 6

S = 3 4#2 = 6 2

10 Señala el denominador racionalizado: 1 2 2 _ 2 + 3i + _ 2 + 1i

Resolución:

M=

S = 3 8 -8+8 = 3 8

8 +8 8 +3

6. A

9

8 ^3 - 8 h +8 ^3 - 8 h^3 + 8 h

3. A

2

^3 + 3 h 2^3 + 3 h = = 6 3

=

S=

4. E

2

Racionalizamos:

1. e

6+2 3 = 3- 3

1 +8 S= 3 + 1 8

Resolución: 1 +8 S= 1+ 3 8

Resolución: 6 + 12 = 3- 3

Calcula:

2. B

7

Practiquemos Nivel 1

8. Racionaliza: 2 8

Comunicación matemática 1. Marca la veracidad o falsedad, según corresponda: ( ) Al factor racionalizante también se le denomina factor opuesto del denominador. ( ) Se pueden racionalizar también a los numeradores de una fracción. ( ) En la racionalización de la forma: a A se debe cumplir: a < b cb A) FFF B) VVF C) FFV D) FVF E) FVV 2. De los radicales cuadráticos, relaciona con su conjugado: - 11 + 5

3- 2

I.

10 + 1

II.

5

x 4 y3

III.

5

x3 y2

10 - 1

IV.

5

xy 2

3+ 2

5 + 11

V.

5

x2 y3

Razonamiento y demostración 3. Racionaliza:

2 B) 2 C) 6 2 6 3 5 4 2 D) 2 E) 3 4. Racionaliza: 12 2 3 3 C) 3 2 3 D) 2 3 E) 3 B)

5. Racionaliza: A) D)

3 3

3

2 3 3

27 C) 2

3

18 3

3

7. Racionaliza: A) 2 - 5

Para: m = 5 y 7 A) -6 D) 1

1 m +3 B) 5 E) 0

C) 2

Nivel 2 Comunicación matemática

7

5 = 7 625 53

B)

6 = 7 +1 7-1

C)

- 10 = 10 _ 6 - 5 i 5- 6

D) 1 - 4 = - 10 10 10 10 12. “Racionalizar el denominador _________ de una fracción es transformarla en otra fracción ________ de denominador A)

3

x5 - igual - x

B) Más una constante - similar - con la constante. C) O el numerador - equivalente - o numerador.

16 E) 2 6 3 3

D)

2 3- 7

A) 3 + 7 D) 3 - 7

10. Determina la suma de los valores (para cada valor de m), de los denominadores racionalizados.

________ racional”.

9 B) 3

6. Racionaliza:

9. Determina el cuádruple del denominador racionalizado. 3 10 - 2 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

A)

A)

3

Resolución de problemas

11. Racionaliza cada caso e indica lo incorrecto:

8 3 2

A) 1

A) 2 8 B) 8 C) 2 D) 2 E) 3 8 2

5

x3 - diferente - x

E) _ 10 + 5 i - desigual - _ 10 - 5 i B) 2 + 7 E) 6 + 2 7

C) 2 - 7

1 5 -2 B) 1 + 5 C) 5 + 2

D) 5 - 2 E) 5 + 2

Razonamiento y demostración 13. Efectúa: A= 3 - 3 3 A) 3 B) 2 3 D) 3 E) 9

C) 0

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

51

14. Efectúa: M = 5 + 3 2 2 2

25. Efectúa:

Nivel 3

A) 0 B) 2 C) 3 2 D) - 2 E) 4 2 15. Racionaliza: A= 2 2 5- 2

Comunicación matemática 21. Indica lo correcto: I.

7 = 3 7 7

7 3 73 - 7 = 7 3 7-4 f p 3 7 3 3-7 3 3 7 7 7 3

-4 = 7 7 = 3 7 -4 7

+ A) 2 10 4 B) 5 3 3 +4 + 5 C) D) 10 4 3 2 + 5 E) 2 4

II.

10 = 10 4 119 - 4 f p 4 4 119 119 4 119 - 4

4 5 = 10 11 = 10 4 11-9 4 1114

16. Racionaliza: 5 15 + 10

8 8 32 + 2 = d n 32 + 2 32 + 2 32 + 2 8 _ 32 + 2 i 20 2 = = 25 34 + 2 (8)

III.

A) 15 + 10 B) 5

a10 b10 c10 = IV. 481 a100 b373 c81

C) 10 D) _ 15 - 10 i 75 E) 15 - 10 17. Efectúa: S = 5 + 7 3 3 3 5 3 A) 3 B) C) 2 3 3 3 D) 6 3 E) 4 3

481 381 108 400 a10 b10 c10 a b c f p 481 100 373 81 481 381 108 400 a b c a b c

= a9 b9 c9 481 a381 b108 c 400

A = 17 - 5 3 3 3 A) 6 3 B) 8 3 C) 4 3 E) 0 D) 3 26. Halla el valor equivalente de: 6 + 12 3- 3 A) 3 - 1 B) 3 + 1 D) 3 - 2 E) 3 + 2 27. Simplifica: A) 3 D) 10

C) 3 + 2

_5 - 24 i_ 75 + 50 i

75 - 50 B) 1 E) -3

C) 5

28. Simplifica: 2 6 T = d 28 - 7 n - d 3 n 7 7 3

A) 7 D) 36

B) 9 E) 59

C) 15

Resolución de problemas

7 22. Escribe mayor que (2) o menor que (1), según corresponda: 29. Luego de racionalizar, determina A 4 . A= 4 18. Efectúa: 7 3 7 7 8 ; 6 x, y ! N I. 16 3 2 2 7 7 -8 2 V= x y x y 4 4 A) 2 B) 5 2 C) 2 4 2 2 E) 1 D) 12 4 2 1 1 II. A) 4 2 B) 6 2 C) 5 2 3- 2 3+ 2 D) 7 2 E) 0 30. Calcula la suma del numerador y 4 4 denominador luego de racionalizar: III. ; 6 a, b y c ! N 3 7 9 3 3 4 9 3 ab c a b c _8 - 2 15 i_ 5 + 3 i Resolución de problemas 9 8 5- 3 IV. es: 19. Determina la suma de los exponentes del 11 + 2 11 - 3 denominador racionalizado: A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 0 1 7

A) 3 D) 7 cd

Razonamiento y demostración

a5 b2 c3 d

B) 4 E) 2

C)

7

ab

20. Si luego de racionalizar se obtiene una cantidad subradical de la forma: 7tm - p: 1 m 5 3

75

;m>1

B) 2 E) 5

52 Intelectum 1.°

A) 2 B) 3 D) 5 E) 15

Cl ave s C) 4

24. Simplifica:

15 + 14 - 35 _ 5 + 2 i_ 7 - 2 i

Determina: t p A) 1 D) 4

23. Simplifica: 3 + 2 3 5+ 3

C) 3

A) 10 - 2 B) 7 - 1 C) 2 D) 1

E) 14 - 3

Nivel 1 1. D 2. 3. e 4. d 5. C 6. a 7. c 8. d 9. E 10. A

Nivel 2 11. c 12. C 13. C 14. e 15. a 16. E 17. E 18. e 19. B 20. C

Nivel 3 21. 22. 23. D 24. A 25. c 26. B 27. B 28. D 29. C 30. A

maraton Racionaliza la siguiente expresión y determina el valor numérico para cuando x = 1. 2x - 1 - x 1- x

R(x) =

Resolución:

Racionalizamos el numerador y denominador: 2x - 1 - x $ (1 + x ) $ ( 2x - 1 + x ) 1- x 1+ x 2x - 1 + x

R(x) = R(x) =

Matemática

R (x) = -

(1 - x ) ( 1 + x ) (1 - x) ( 2x - 1 + x )

R(x) =

- (1 + x ) 2x - 1 + x

Evaluamos en x = 1: & R(1) = - 2 2 ` R(1) = -1

(2x - 1 - x) (1 + x ) (x - 1) (1 + x ) = (1 - x) ( 2x - 1 + x ) (1 - x) ( 2x - 1 + x )

6. Determina a qué opción es equivalente:

1. Con respecto a la siguiente división:

6+ 3

6x3 + x 2 + x - 8 = 6x2 + mx + 8 / P(x) x-1 Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Es una división exacta de cociente de segundo grado. II. Aplicando el método de Ruffini se demuestra que m = 7. III. Es posible resolverlo por el método Horner. IV. El valor numérico de P(6) = 256.

C) 4

3. Al factorizar: 7x2 - 5x - 2 se obtiene (ax + 2)(x - b). Determina: a - b A) 3 D) 8

B) 5 E) 10

C) 6

B) 1/2 E) 28

C) 2

B) 2 2 C) 3

8. Reduce la siguiente expresión: (a - b) 2 (a + b) 2 + 2b2 + (a + b)(a - b) 2 2 A) (a + b)2

B) (a - b)2

D) b2 + 2ab

E) a2 + b2

C) a2 + 2ab

x 4 + 2x 3 - x 2 - 2 x 2 + 2x - 1 B) x + 2 E) 2

2

_ 8 + 28 - 6 + 20 i

A) 10 + 5 B) 8 + 6 D) 12 - 2 35

C) x - 2

C) 12 + 2 35

E) 3 5

10. Determina el resto de dividir: 3x18 + 7x10 + x 2 (x + 1)(x - 1) A) 6 D) 22

5. Determina el resto luego de dividir:

A) -2 D) 1

5 + 24 + (4 2 - 4 3 ) (4 2 + 4 3 )

9. Reduce:

4 3 2 4. Si la división 7x + 2x 2+ 45x + Mx + N es exacta, determina 7x + 2x - 4 M/N.

A) -1/2 D) 4

7. Efectúa:

D) 2 3 E) 5

2. Factoriza e indica el número de factores primos. (a - b - c)x2 + (b + c - a)y2 B) 3 E) 0

D) 36 + 3 E) 7 + 5

A) 2

V. La suma de coeficientes de P(x) es 21.

A) 2 D) 1

A) 6 + 9 B) 9 + 18 C) 9 + 2 18

B) 7 E) 10

C) 11

11. Indica el factor de multiplicidad 2 en: M(x) = x3 + 5x2 + 3x - 9 A) 2x D) x - 6

B) 2x - 2 E) x

C) x + 3

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

53

Unidad 3

Recuerda Tartaglia [Niccolo Fontana] (Brescia, actual Italia, 1499 - Venecia, 1557) Matemático italiano, de origen muy humilde, su familia no pudo proporcionarle ningún tipo de educación, de modo que el joven Tartaglia tuvo que aprenderlo todo por su cuenta. Ya adulto, se ganó la vida como profesor itinerante (según permiten conocer sus obras, vivió en Verona, Mantua y Venecia) y a través de su participación en concursos matemáticos. En uno de ellos se planteó la resolución de diversas ecuaciones de la forma x3 px q; Tartaglia consiguió averiguar la solución general y obtuvo el premio. Más adelante reveló su método a Gerolamo Cardano, bajo la firme promesa de mantener el secreto, pero este acabó publicándolo en su Ars magna de 1545. Después de que Gerolamo Cardano rompiera su promesa de mantener en secreto su resolución de las ecuaciones de tercer grado, Tartaglia se decidió publicar la importante obra Problemas e invenciones varias (1546), cuyos cuatro primeros libros se refieren a la balística y al arte militar, el quinto a la topografía, y los tres siguientes a las fortificaciones y a la estática; muy interesante resulta el noveno, que trata del álgebra y de la resolución de las ecuaciones de tercer grado y de los problemas correspondientes. La parte dedicada al arte de la fortificación fue la que atrajo más la atención de sus contemporáneos: a consecuencia de la invención de la pólvora pírica, el arte de la guerra había experimentado profundas transformaciones que hacían necesarios nuevos medios de ofensiva, y un estudio que sirviese para aumentar su potencia y la precisión en relación con la nueva técnica de fortificar.

Reflexiona • Una valía propia saludable surge de la personalidad, la competencia y un conjunto de decisiones acertadas. • Una vez que sepas lo que quieres hacer con tu vida, tus metas, sueños y propósitos, de ahí vendrá tu energía y dejarás de obsesionarte por la apariencia física. • No te obsesiones con la apariencia; esfuérzate por lucir lo mejor que puedas y destacar tus rasgos naturales.

¡Razona...! Completa la siguiente multiplicación y da como respuesta la suma de cifras del producto.

* *

A) 24 D) 18

* 2 *

* * *

* 3 * 2 * *

1 * * *

* 2 *

3

0

B) 25 E) 22

×

C) 27

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

ECUACIONES DE 1.ER GRADO - PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve la siguiente ecuación: x - 1 - 2 = 5 2

2

Resolución: Calculamos el mcm de los denominadores: 3 4 3 1 4 4 & mcm (3; 4) = 3 . 4 = 12 1 1

Resolución: x-1 -2=5& x-1 =5+2 2 2 Pasa sumando x-1 =7& x-1=2.7 2 Pasa multiplicando x - 1 = 14 & x = 14 + 1

Se multiplica a toda la igualdad por dicho mcm: 12 c x - 1 m + 12 ` x j = 12 . 2 3 4 Se simplifica con su respectivo denominador y se multiplica por su numerador: 4(x - 1) + 3x = 24 & 4x - 4 + 3x = 24 4x + 3x = 24 + 4 & 7x = 28 & x = 28 ` x = 4 7

` x = 15

Pasa sumando

A) 12 D) 9 3

B) 13 E) 15

Resuelve la siguiente ecuación: x-1 + x = 2 3 4

A) 1 D) 4

C) 17

Calcula x en: 2x + 3 = 7x - 7

4

Resolución: 7x - 2x = 7 + 3 5x = 10 `x=2

B) 2 E) 5

C) 3

Calcula x en: x + 1 = 3x - 9 5 3 Resolución: Multiplicando en aspa: x + 1 = 3x - 9 & 3(x + 1) = 5(3x - 9) 5 3 3x + 3 = 15x - 45 3x - 15x = -45 - 3 -12x = -48 x = - 48 - 12

A) 0 D) 3 5

B) 1 E) 4

C) 2

Halla el valor de x en: x - 3x = x - 6 2 5 2

A) 0 D) 3 6

B) 4 E) 7

Resolución: (x + 4)(x + 1) = (x + 2)2

10x - 12x = 10x - 60 12x = 60 `x=5

5x - 4x = 4 - 4

x2 + 5x + 4 = x2 + 4x + 4





56 Intelectum 1.°

B) 17 E) 3

C) 2

Resuelve la siguiente ecuación: (x + 4)(x + 1) = (x + 2)2

Resolución: x - 3x = x - 6 & 5x - 6x = x - 6 2 5 2 10 2

A) 5 D) 4

`x=4

C) 2

A) 1 D) 5

` x=0

B) 3 E) 0

C) 6

Resuelve la siguiente ecuación: (x + 3)(x + 2) = (x - 2)(x + 1)

8

Resolución: (x + 3)(x + 2) = (x - 2)(x + 1) x2 + 5x + 6 = x2 - x - 2 5x + x = -6 - 2 6x = - 8 \x = - 4 3

Resolución: (x - 2)2 = 1 + (3 - x)2 x2 - 4x + 4 = 1 + 9 - 6x + x2 2x = 6 ` x = 3

A) - 2 B) - 4 C) - 1 3 3 2 D) 2 E) -2

A) 3 D) 0

El quíntuplo de un número, aumentado en 8 es igual al triple del mismo aumentado en 6. Halla el valor de dicho número.

Resolución: Sea el número: x El cuádruple del número: 4x

Del enunciado: x + 4x = 75 & 5x = 75 & x = 75 = 15 5 ` El número es 15.

B) 1 E) 7

C) 2

A) 10 D) 15

11 Halla el valor de x en la ecuación: 2x - 3 = 7 9 x+4

B) 13 E) 20

12 Resuelve la siguiente ecuación: x + x + x = 26 2 3 4 Resolución:

Resolución:

Calculamos el mcm de los denominadores:

Resolviendo: 2x - 3 = 7 x+4 9

2 1 1 1

Multiplicando en aspa: 18x - 27 = 7x + 28 11x = 55 & x = 5

A) 4 D) 5

C) 1

10 La suma de un número con su cuádruple, resulta igual a 75. ¿Cuál es dicho número?

Resolución: Sea el número x, entonces: 5x + 8 = 3(x + 6) 5x - 3x = 18 - 8 2x = 10 & x = 5 ` el número es 5.

A) 5 D) 9

B) 2 E) 7

B) 9 E) 6

3 3 3 1

4 2 1 1

2 2 3

& mcm(2; 3; 4)= 2 # 2 # 3 = 12

C) 8

A) 18 D) 17

13 Uno de dos ángulos complementarios tiene 2/3 de la medida del otro. Calcula las medidas de los dos ángulos.

B) 19 E) 24

C) 12

multiplicando a toda la igualdad por el mcm: 12` x j + 12` x j + 12` x j = 12 . 26 2 3 4 6x + 4x + 3x = 312 & 13x = 312 & x = 312 13 ` x = 24

C) 20

14 Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la relación de 5 a 13. Halla el valor del mayor de dichos ángulos.

Resolución: Por ser complementarios ambos ángulos suman 90°, luego: sea a uno de los ángulos, entonces: a + 2 a = 90° & a = 54° 3

Resolución: α1 = 5α α2 13α Sabemos que la suma de los ángulos agudos del triángulo rectángulo es 90°.

& 2 α = 2 ^54°h = 36° 3 3

Entonces: 5a + 13a = 90° 18a = 90° a = 5° Nos piden: 13a = 13(5°) = 65°

` Los ángulos son 36º y 54º.

A) 70° D) 60°

B) 65° E) 78° 6. E 5. A

C) 30° y 60°

C) 75°

3. C

10. D

8. A

9. A

7. B

Claves

B) 20° y 70° E) 10° y 80°

4. B

12. E 11. D

A) 36° y 54° D) 15 y 75°

1. E

9

Resuelve: (x - 2)2 = 1 + (3 - x)2

2. D

7

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

57

14. B 13. A

Practiquemos 7. 4(x + 3) = 9x + 7

NIVEL 1

A) 2 B) 3 D) - 3 E) - 6

Comunicación matemática 1. Búsqueda de palabras: C

F

Y

B

N

J

A

C

I

O

N

K

O

Z

8. 3(x + 2) - 5(4 - 7x) = 8

S

T

A

R

D

Q

D

A

D

L

A

U

G

I

C

A

W

I

T

A

Y

I

P

Q

C

G

R

S

Z

I

X

H

C

D

E

C

K

T

L

D

T

R

A

S

D

K

B

N

V

B

V

F

C

H

A

B

G

L

F

E

I

O

S

E

R

P

E

I

N

Q

X

F

R M N

X

I

N

O

I

C

I

S

O

P

S

N

A

R

T

S

C

I

D

E

N

O

E

I

N

K

F

N

A

I

L

A

C

A

X

Z

J

B

C

Y

A

Q

U

V

D

T

U

D

P

L

E

C

U

A

C

I

R

G

L

A

H

C

E

F

O

S

P

H

R

O

R M

I

V

D

Y

E

A

D W M

L

G

R

P

N

A

T

A

N

J

O

I

N

V

O G

N

I

T

A

I

R

G Q

T

K

H

X

J

Z

M

E

I

V

Y

G

I

H

S

Z

N

E

T

N

E

D

N

E

C

S

A

R

T

J

M

IDENTIDAD

ECUACIÓN

IRRACIONAL

INCÓGNITA

IGUALDAD

TRANSPOSICIÓN

A) 11 13

B) 7 C) 11 19 7

D) 7 E) 11 11 19 9. 5x + 3(x - 1) = 4(x - 2) A) - 4 B) - 5 5 4

10. 3(2x + 5) = 2(4x + 5) + 9 A) 2 D) 3

B) - 3 C) - 2 E) 4

11. 8x - 5 = 1 + 3 + 5 + 2 3 A) 6 D) 9

B) 7 E) 12

A) - 17 B) - 15 C) -3 3 7 D) - 2 E) -1

Se afirma que: I. La solución o raíz es 5.

...(

)

II. Transponiendo términos se obtiene: 5x = 25

...(

)

III. Es una ecuación fraccionaria.

...(

)

13. 4(x - 1) + (x + 3)2 - 5(x - 1) = 10 A) 3 D) 8

B) 2 E) 9

Luego, la alternativa correcta es: C) VVF

D) FFF

E) FFV

Razonamiento y demostración 3. (3x + 2) - (-x - 1) = (2x + 4) + (x + 3) B) 6

C) 8

D) 10

E) 4

C) 7

D) 8

E) 12

4. 2(3x - 6) = 2x + 8 A) 5 5.

B) 6

x - 5 = 12 2 A) 26

14. ¿Cuál es el número que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3/5?

C) 28

D) 29

E) 30

6. 4x + 9 = 2x - 3 + x A) -12 B) -6 C) -18 D) -20

58 Intelectum 1.°

E) 20

B) 12 E) 18

C) 14

15. Un taxista cobra t soles por los r primeros kilómetros y s soles por cada kilómetro adicional. ¿Cuántos kilómetros recorrió si cobró v soles? (v > t) A) t + D) r +

B) 27

C) 5

Resolución de problemas

A) 10 D) 16

Determina el valor de x para cada caso: A) 3

C) 8

12. 4x - 8 + 9 = 7x + 18

2x + 3 = 28 - 3x

B) VFV

C) 4

D) - 4 E) - 3

FRACCIONARIA TRASCENDENTE 2. Luego de resolver la siguiente ecuación:

A) FVF

C) 1

^v - rh

s

^ v + th

s



B) r +



E) t +

^ v - th

s



C) r -

^ v - th

s



^v + rh

s

16. Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide la mitad del otro ángulo, menos 30°. Calcula las medidas de los dos ángulos. A) 5° y 85° D) 1° y 89°

B) 20° y 70° E) 75° y 15°

C) 80° y 10°

23. (x + 7)(x + 1) = (x + 2)(x + 5)

NIVEL 2

A) 1

Comunicación matemática

B) FVF E) VVV

...( ...( ...(

C) VFV

A.

7 - x = 21 2

x = 14 - 21

B.

7x = 21 2

x= 6 7

C.

3x = 7 2

x=6-7

D.

x+3 = 7 2

x = 14 - 3

x+7 = 3 2

F.

7x = 3 2

x=6 x = 7 - 42

x + 21 = 7 2

x = 14 3

H.

21x = 7 2

x= 2 3

Halla el valor de x en cada caso: 19. 6x - 1 = 17 5 C) 24

D) 30

E) 15

B) 49

C) 64

D) 19

E) 25

21. 2x - 3 = 11 x+1 8 A) 8

B) 4

C) 2

D) 6

E) 7

B) 1

E) 5

) ) )

25. 3 - x = 8 4-x 7 A) 10 B) 9

C) 11

D) 7

E) 0

26. 7x + 3 = 24 2 A) 5 B) 6

C) 7

D) 9

E) 10

C) 3

D) 1

E) 9

27. Calcula el valor de x: (x + 3)2 - 5x = x2 + 15 A) 5

B) 6

Resolución de problemas 28. Si compro 15 pantalones y 7 camisas, gasto S/.415. Sabiendo que el precio de cada pantalón excede en S/.13 al de una camisa. ¿Cuánto cuesta un pantalón? B) S/.17

C) S/.23

D) S/.25

E) S/.28

29. Un ángulo de un triángulo mide 12° menos que el segundo. El tercer ángulo mide 18°, más que el complemento del segundo ángulo. Calcula las medidas de los tres ángulos. A) 1°; 5°; 174° D) 84°; 72°; 24°

B) 30°; 20°; 130° E) 96º; 60º; 24º

C) 40; 40°; 100°

NIVEL 3 Comunicación matemática

Según su estructura algebraica se clasifica como una: I. Ecuación fraccionaria. II. Ecuación irracional. III. Ecuación trascendente.

...( ...( ...(

) ) )

A) VFV D) FFV

B) VVF E) FVV

C) VFF

31. Resuelve cada ecuación. Las incógnitas determinadas ubícalas en su respectivo recuadro del valor de su raíz, de esta manera formarás el nombre por el cual se le conoce a una ciudad. A. 5(A + 1) - 5 = 2(A - 3) + 12 B. (L + 1) = -31L + 3(2 + 5L) + 8

22. (x + 2)2 - 3 = x2 + 17 A) 3

D) 4

Luego, la alternativa correcta es:

20. x - 1 - 4 = 2 3 A) 36

C) 3

B) 2

30. La ecuación: x- 1 -8 =5- 1 -x 2 2 x 2 5 2x 3

Razonamiento y demostración

B) 20

E) 3

A) S/.10

G.

A) 18

D) 5

A) 1

18. Relaciona cada ecuación con su respectiva raíz.

E.

C) 6

24. x - 3x = x - 6 2 5 2

17. De la ecuación: 9x - 5 = 4x + 7 3 2 Se afirma que: I. La solución o raíz es -12. II. El MCM de los denominadores es 6. III. Es una igualdad condicional. Luego, la alternativa correcta es: A) VVF D) FFV

B) 4

C) 6

D) 5

E) 4

C. 2(O - 1) + 2 = (O - 2) - 5 - 2(O + 3) + 28 D. 7(N + 2) - 10 = 2(N + 1) + 19 - (3N - 1) + 6 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

59

E. 5(N + 2) + 7 = 2N - 1 - (N + 1) + 20

35. 3x - 6 = 3 4x + 3 5 A) 55 D) 15

F. 5{S - 2[3(S - 1) + 10(S + 1)]} = 55 G. 5A - 3 = 2 2A + 1 7 H. E + 52 = 5 11 - E 2

I. R - 10 = - 2 R + 17 7

C) 32

B) -3 E) -6

C) -4

-1 36. 3x + 4 = c 7 m 2x + 1 8

J. A - 1 = 1 K. 12B + 25 = 5 8A + 7 11 2B + 1

A) 1 D) -2

L. 6 - T = 1 T + 16 3

2 37. 2x + 1 = 7 5 15 7

M. I + 3 + 6I + 5 = 7 I-1 I-5 N. L + 3 - L - 7 L-1 L+6

B) 1 C) - 2 6 E) - 1 6

A) 3

O. C + 1 = C + 2 C-3 C-1

D) 2

38. (x + 5)2 = (x + 3)2 + 36

P. T + 17 = 56T + 70 3 33 11 ¿A qué ciudad se le conoce con este nombre?

- 11 17

B) 12 E) 13

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

39. (4 - 5x)(4x - 5) = (10x - 3)(7 - 2x) A) 1/15 D) 4/9

2

C) 3

B) 2/35 E) 3/17

C) 1/35

40. (x - 2)2 = (x + 3)2 + 5 A) -2 B) -1

C) 0

D) 3

E) 5

Resolución de problemas 55 39

1 4

-5

5

13 4

1 2

4

6

3 25

-1 23 -10 31

Razonamiento y demostración Determina el valor de x para cada caso:

B) 42 E) 86

-7

41. Un carpintero vende la cuarta parte de sus muebles. ¿Cuántos muebles tenía inicialmente, si al final se quedó con 21 muebles? A) 12 D) 28

B) 16 E) 32

C) 84

A) 1°; 10° y 169° D) 17°; 37° y 126°

33. ax - 1 = a 1 - bx b

B) 20°; 50° y 110° C) 30°; 60° y 90° E) 20°; 26° y 134°

C l a ve s

A) a + b B) a + b C) ab 2ab 2 D) ab E) ab a-b a+b x +4 2 34. - 8 = 13 5 A) 111 D) 316

C) 25

42. Un ángulo de un triángulo mide 6° más que el segundo. El tercer ángulo mide 4° menos que tres veces la suma de las medidas de los otros primeros ángulos. Calcula las medidas de los tres ángulos.

32. 2x - 4x = 4 3 7 A) 40 D) 80

1

B) 211 E) 202

60 Intelectum 1.°

C) 312

Nivel 1 1. 2. C 3. E 4. a 5. D 6. A 7. C 8. E 9. B

10. C 11. A 12. A 13. A 14. B 15. B 16. C Nivel 2 17. D

18. 19. E 20. D 21. E 22. E 23. E 24. E 25. C 26. B 27. B

28. C 29. D Nivel 3 30. C 31. 32. B 33. A 34. E 35. E

36. C 37. E 38. E 39. C 40. B 41. D 42. E

Aplicamos lo aprendido tema 2: 1

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALEs

Halla x: x + y = 12 x-y=4

2

Resolución: x + y = 60 x - y = 48 2y = 12 y=6

Resolución: x + y = 12 x-y=4 2x = 16 x=8

A) 4 D) 8 3

B) 6 E) 3

C) 9

Halla y: 7x - 2y = -1 4x + 3y = 16

A) 5 D) 4 4

Resolución: 7x - 2y = -1 ...(1) 4x + 3y = 16 ...(2)

5

B) 1 E) 6

C) 2

Halla y: 7x + 3y = 60 7x - 3y = 12

C) 8

B) 0 E) 1

C) 3

B) 20 E) 4

C) 18

Halla x: 8x + 2y = 13 8x - 2y = 3 Resolución:

A) 2 D) 4 6

Halla y: x + 2y = 28 x - 3y = 8 Resolución: x + 2y = 28 x - 3y = 8 5y = 20 y=4

Resolución: 7x + 3y = 60 7x - 3y = 12 6y = 48 y=8

A) 7 D) 9

B) 6 E) 7

8x + 2y = 13 8x - 2y = 3 16x = 16 x=1

Multiplicamos por 7 a (2) y por 4 a (1): 28x - 8y = - 4 28x + 21y = 112 -29y = -116 y=4

A) 4 D) 3

Halla y: x + y = 60 x - y = 48

B) 10 E) 4

C) 8

A) 10 D) 5

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

61

Halla y: 6x + y = 20 6x - y = 8

8

Resolución: 6x + y = 20 & 6x = 20 - y ...(1) 6x - y = 8 & 6x = 8 + y ...(2) De (1) y (2): 20 - y = 8 + y 20 - 8 = 2y 12 = 2y `y=6

A) 5 D) 6

Resolución: 9a - b = 29 & b = 9a - 29 ...(1) 4a - b = 14 & b = 4a - 14 ...(2) Igualamos (1) y (2): 9a - 29 = 4a - 14 5a = 15 & a = 3

C) 4

A) - 2 D) 3

Halla x en: 2x + y = 12 3x - y = 23

C) 4

B) 4 E) 7

C) 5

10 Halla x en: 3x + y = 21 7x + 2y = 47 Resolución: 3x + y = 21 ...(1) 7x + 2y = 47 ...(2) Multiplicamos por 2 a (1): 6x + 2y = 42 (-) 7x + 2y = 47 -x = -5 `x=5

(+)

A) 3 D) 6

C) 5

11 Resuelve: 2 x - 3y = 9 e indica xy. * 4x - y = 8

Resolución: 2x - 3y = 9 ...(1) -10x = -15 & x = 3 2 4x - y = 8 & y = 4x - 8 Reemplazamos y = 4x - 8 en (1): Reemplazamos este valor en (1): 2x - 3(4x - 8) = 9 2 c 3 m - 3y = 9 2 2x - 12x + 24 = 9 3 - 3y = 9 & y = -2 -10x = 9 - 24 ` xy = -3

12 En el sistema: 2x + y = m + 3 3x - y = 8 Halla m, si x = 5. Resolución: 2x + y = m + 3 3x - y = 8

A) -2 B) -3 C) -5 D) 2 E) 6 13 Determina el valor de: xy 3x + 9y = 15 x-y=1 Reemplazamos el valor de x: x-y=1 2-y=1 y = 1

Resolución: 4x + y = 19 5x - ny = 8

C) 8

10. c 9. e

B) 1 E) 3 12. e 11. B

14. a 13. d

A) 2 D) 0

Claves

62 Intelectum 1.°

C) 6

...(1) ...(2)

Reemplazamos y = 3 en la ecuación (1): 4x + 3 = 19 4x = 16 & x = 4

` xy = 21 = 2

7. d

A) -2 D) 2

B) 8 E) 14

Reemplazamos x = 5; y = 7 en la ecuación (1): 2(5) + 7 = m + 3 17 = m + 3 ` m = 14

14 En el sistema: 4x + y = 19 5x - ny = 14 Halla: n; si y = 3

8. d

3x + 9y = 15 + 9x - 9y = 9 12x = 24 x = 2

A) 10 D) 12

B) 1 E) 4

5. c

Resolución:

...(1) ...(2)

Reemplazamos x = 5 en la ecuación (2): 3(5) - y = 8 15 - y = 8 & y = 7

6. e

B) 4 E) 7

Reemplazamos x = 4; y = 3 en la ecuación (2): 5(4) - n(3) = 14 20 -3n = 14 6 = 3n &n=2

C)3

3. a

A) 3 D) 6

4. e

Resolución: 2x + y = 12 3x - y = 23 5x = 35 ` x=7

B) 2 E) - 3

1. d

9

B) 7 E) 9

Halla a: 9a - b = 29 4a - b = 14

2. b

7

Practiquemos ▪▪ Nos piden:

NIVEL 1

y - x = 8 - 6 = 2

Comunicación matemática 1. En esta sopa de letras se han perdido los 3 métodos de solución para sistemas lineales ¡ENCUÉNTRALOS! A

E

J

B

E

K

Y

C

I

F

Z

J

A

F

N

O

I

C

A

L

A

U

G

I

M

L

R

G

H

D

B

F

S

C

O

G

T

L

H

S

N

O

I

C

U

T

I

T

S

U

S

X

U

I

P

X

M

E

H

P

N

E

Q

N

G

S

P

D

E

R

J

D

O

V

R

O

D

T

T

Q

S

Y

D

T

I

Y

N

Q W O

Z

Q

S

U

S

T

C

N

R W D

E

R

L

Z

M

S

T

C

M

Z

L

U

I

V W

A

X

B

A

U

A

C

V

C

Y

Z

K

R

U

L

R

D

U

F

I

G

U

A

L

G

H

G

X

E

U

I

B

S

J

V

T

K

R

S

I

R W K

R

E

D

U

C

C

O

N

P W

2. Completa en los recuadros en blanco lo que corresponda, siguiendo la secuencia para llegar a la solución. Determinamos el valor de (y - x) del sistema: x - 3 - y - 4 = 0 ...(1) 3 4 x - 4 + y + 2 = 3 2 5

...(2)



...(3)

5 (x - 4) + 2 (y + 2) = 3 . 10

5 x+ 2y = 46 ...(4) ▪▪ A la ecuación (3) la multiplicamos miembro a miembro por 2 y a la ecuación (4) por 3 también miembro a miembro, obteniendo:

8x - 6 y = 0 ...(5) 15 x + 6y = 46 . 3 ...(6) ▪▪ Sumamos (5) y (6): (8 + 15 )x = 46 . 3

A) 2 D) 4

B) 1 E) 6

C) 3

B) 4 E) 8

C) 6

B) 3 E) - 4

C) 2

B) 4 E) 10

C) 9

B) 1 E) 4

C) - 4

B) 5 E) 12

C) 7

B) 18 E) 12

C) 16

B) 8 E) 9

C) 12

4. Halla y: x + y = 20 x-y=8 A) 5 D) 7 5. Halla x: x + y = 3 5x - 2y = 8 A) 1 D) 4 6. Halla x: 4x + 3y = 30 4x - 3y = 18 A) 5 D) 6

5a - 4b = 24

4 (x - 3) - 3 (y - 4) = 0

4x - 3 y = 0 ▪▪ Haciendo lo mismo con (2):

3. Halla y: x+y=5 x-y=1

7. Halla a:

▪▪ De (1), eliminamos los denominadores:

Razonamiento y demostración

23 x = 138

x = 6 ...(7) ▪▪ Reemplazamos (7) en (3): y = 4x 3

4. 6 y = 3 y = 8 ...(8)

a + b = 3 A) -1 D) 3 8. Halla x: x + 3y = 8 x - 3y = 2 A) 6 D) 10 9. Halla y: x + y = 60 x - y = 24 A) 14 D) 20 10. Halla x: 6x + 8y = 60 6x - 8y = 12 A) 6 D) 14

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

63

11. Resuelve:

*

17. Halla y: 3x - 5y = -11 2x - 8y = - 26

2x - y = 4 e indica xy . x+y = 5

A) 4 D) 8

B) 12 E) 10

A) 3 D) 6

C) 6

12. La diferencia de dos números es 328, el cociente es 12 y el residuo es 20. Halla la suma de dichos números. B) 384 E) 406

C) 356

13. La suma de dos números es 103, el residuo y el cociente de su división son 5 y 13 respectivamente. ¿Cuál es el número mayor? A) 13 D) 100

B) 65 E) 103

C) 96

14. Examen de Admisión UNI 2008-II (matemática). ▪▪ Para los enteros positivos a y b se define:

¿Cuál de los siguientes números podrían ser el valor de y? II. 2

III. 3 C) I y III

15. Qué sistema lineal es el adecuado para dar solución al problema: La suma de dos números es 84. El triple del menor excede en 12 al mayor. Determina el menor de dichos números. Siendo x e y los números, donde: x > y I. x + y = 84 3x - y = -12

A) 4 D) 8

A) 5 D) 8

B) 3 E) 12

C) 5

B) 12 E) 20

C) 10

B) 10 E) 20

C) 12

B) 10 E) 12

C) 8

B) 7 E) - 8

C) - 7

B) 6 E) 8

C) 5

22. Halla x: 12x - y = 50 8x + 3y = 70 A) 6 D) 5 23. Halla m: 3m + 2n = 24 5m - n = 27 A) 8 D) 6

II. x + y = 84 3x = y + 12

24. Halla y:

III. x + y = 84 3y = x + 12

9y + 2x = 42 7y - x = 25

IV. x + y = 84 3y + x = 12

A) 3 D) 4

Razonamiento y demostración 16. Halla x:

Resolución de problemas 25. La diferencia de dos números es 40. Si el mayor se disminuye en 4, se obtiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados.

7x - 5y = 23 2x + y = 9 A) 4 D) 1

C) 2

21. Halla m: 8m - 2n = 20 7m + 3n = 65

a # b = a2b - 1 ▪▪ Si x e y son enteros positivos: x # y = 32

B) Solo III E) I; II y III

B) -1 E) 4

19. Calcula el valor de a: 9b - 2a = 17 12b + a = 41

A) 9 D) 18

Comunicación matemática

A) Solo I D) II y III

A) 10 D) 3

20. Halla x: 5x - 4y = 14 6x - y = 51

NIVEL 2

I. 1

C) 5

18. Halla y: 8x + y = 2 4x - 3y = -34

Resolución de problemas

A) 358 D) 346

B) 4 E) 8

B) 3 E) 8

64 Intelectum 1.°

C) 6

A) 620 D) 402

B) 624 E) 604

C) 324

26. Un alumno le dice a otro: “Si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobra 15 soles”. ¿Cuánto dinero tenía? A) S/.30 D) S/.65

B) S/.40 E) S/.70

C) S/.50

NIVEL 3 Comunicación matemática 27. Verifica el valor de verdad (V) o falsedad (F), según corresponda: I. x + y = 12

El valor de xy x - y = 6 es 27.

IV. x + 3y = 15 x + 5y = 5

x vale - 6. y

V. 2x + y = 12 x-y=6

El valor de x y es 1.

x



31. Halla y: 4x + 5y = 25 7x - y = 34 A) 0

A) 2



2x + y = 10 3x - y = 5 3x + y = 10 2x - y = 5

x = c + e ; y = cte a+d

C.

2x + y = 5 3x - y = 10

x = e - c ; y = cte d-a

D.

3x + y = 5 2x - y = 10

x = 3 / y = -4

E.

ax + by = c dx - by = e

x= cb2 - ae2 ; y = cte b -a

F.

dx + by = c ax + by = e

x=3/y=4

G.

dx + by = e ax + by = c

x = 3 / y = -1

H.

bx + ay = c ax + by = e

x = c - e ; y = cte d-a

B.

A) - 3

x=3 / y=1

Razonamiento y demostración 29. Resuelve por el método de igualación si: 18x - 15y = -27 20x + 15y = 65 Halla: x2 + y

B) 3 E) 7

B) 6

C) 7

D) - 4

E) 1

B) 0

C) 8

D) 3

E) 6

B) - 3

C) 4

D) 3

E) - 2

C) -1

D) 4

E) 6

34. Halla a: 6a + 7b = 15 8a - 5b = -23

C) 5

B) 3

Resolución de problemas 35. Pedro dice: “Tengo el doble de hermanas que de hermanos, pero mi hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos”. ¿Cuántos hijos somos? A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

E) 8

36. Al resolver el sistema: 5x - 4y = -14 2x + 3y = k Se halla que y es el triple de x, entonces ¿cuál es el valor de k? A) 21

B) 25

C) 2

D) 5

E) 22

C l a ve s 8. B

15.

23. D

30. A

1.

9. B

16. A

24. D

31. E

2.

10. A

17. B

25. B

32. D

3. a

11. C

18. A

26. D

33. D

4. c

12. B

19. C

5. c

20. C

Nivel 3

34. C

13. C

6. d

Nivel 2

21. A

Nivel 1

A) 1 D) 4

C) ab - 1

33. Halla x: 4x + y = 10 2x + 3y = 0

28. Relaciona cada sistema de ecuaciones con sus soluciones: A.

B) a2 + b2 E) a + b

A) ab(a + b) D) ab + 1

A) 1

III. x + y = 10 x vale -2. x - y = 20 y

x-y vale 125.

e indica el numerador del valor de x.

32. Halla x: 6x - 4y = 10 3x + y = 11

II. x + 2y = 3 No es cierto que 4x + 5y = 6 yx valga 1/2.

VI. 2x + y = 20 2x + 5y = 12

y y 30. Resuelve: x + = 1 ; x - = 1 ; a / b ctes. a b b a

7. E

14. C

22. D

27. 28.

35. B 36. E

29. D

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

65

Aplicamos lo aprendido tema 3: 1

ECUACIONES DE 2.º GRADO - PLANTEO DE ECUACIONES

Resuelve: 3x2 + 4x + 1 = 0 Indica la menor raíz.

2

Resolución:

Resolución:

x2 - 7x - 1 = 0 - ^- 7h ! ^- 7h2 - 4^1 h^- 1h x= 2 ^1 h

3x2 + 4x + 1 = 0 1 3x x 1

(3x + 1)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = - 1 3 ` La menor raíz es x = -1.

x = 7 ! 49 + 4 2 x = 7 ! 53 2

A) 5 ! 57 B) 5 ! 53 C) 5 ! 51 2 2 D) 4 ! 59 E) 7 ! 53 2

A) -1 B) - 1 C) -3 3 D) 1 E) 1 3 3

Resuelve: x2 - 7x - 1 = 0

Resuelve: x2 + (1 + i)x + i = 0

4

Resolución: x2 + (1 + i)x + i = 0 x i x 1 (x + i)(x + 1) = 0 x+i=0 0 x+1=0 x = -i x = -1 CS = {-1; -i}

Resuelve: x2 - 5x + 5 = 0 e indica su menor raíz. Resolución:

x = 5! 5 2

x2 - 5x + 5 = 0 Por fórmula general: x=

- ^- 5h ! (- 5) 2 - 4 (1) (5) 2 (1)

` La menor raíz: 5 - 5 2

x = 5 ! 25 - 20 2

A) {-1; - i} D) Ø 5

B) {1; i} E) {1; 0}

A) 5 + 5 B) 5 - 5 2 2 D) 5 + 5 E) 5 - 5

C) {-1; i}

Resuelve e indica la mayor raíz de: 2x2 - 11x + 14 = 0

6

Resolución:

(2x - 7)(x - 2) = 0 & x = 2 0 x = 7 2 ` La mayor raíz es 7 . 2

x = - 3 ! 13 2

x2 + 3x - 1 = 0 - ^ 3 h ! ^ 3 h2 - 4^- 1h^1 h x= 2

2x2 - 11x + 14 = 0 2x -7 x -2

` La mayor raíz es:

66 Intelectum 1.°

C) 5 + 5 3

Resuelve e indica la mayor raíz de. -x2 - 3x + 1 = 0

Resolución:

A) 2 B) 3 D) -7 E) -2

CS = ' 5 - 5 ; 5 + 5 1 2 2

C) 3,5

13 - 3 2

A)

13 - 3 B) - 13 - 3 2 2

D)

5 + 1 E) 2 5 - 1 2

C)

5 -1 2

Resuelve: x2 - 7x + 4 = 0

8

Resolución: x2 - x - 1 = 0 - ^- 1h ! ^- 1h2 - 4^1 h^- 1h x= 2 ^1 h 1 ! 5 x= 2 ` La mayor raíz es: 1 + 5 2

Resolución: x2 - 7x + 4 = 0 - ^- 7h ! ^- 7h2 - 4^ 4 h^1 h x= 2 ^1 h x = 7 ! 33 2

A) 7 ! 51 B) - 7 ! 51 2 2 7 ! 33 3 ! 51 D) E) 2 2

C) 7 ! 33 2

A) D)

Resolución:

(2x - 3)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = 3 2 ` La mayor raíz es 3 . 2

(2x + 5)(x - 3) = 0 & x = 3 0 x = - 5 2 ∴ La mayor raíz es 3.

A) 2 B) -3 5 D) -6 E) 5 2

B) -1 C) 2 3 E) 5 2

11 Resuelve e indica las raíces: 2x2 - 3x - 5 = 0

C) 3

12 Halla dos números consecutivos naturales cuyo producto sea 182: Resolución:

Resolución: 2x2 - 3x - 5 = 0 2x -5 x 1

(2x - 5)(x + 1) = 0 & x = -1 0 x = 5 2 ∴ x = (- 1; 5 2 2

A) (-1; 5 2 B) (1; 5 2 3 2 5 5 D) (-1; 2 E) (- ; - 2 2 2 3

Sean los números: n/n+1 Por condición del enunciado: n(n + 1) = 182 n2 + n - 182 = 0 n +14 + 14n n -13 - 13n n

C) (0; 5 2 3

A) 10; 11 D) 13; 14

13 En la siguiente ecuación: 2x + 8x2 = 4x + 5, indica la suma de raíces. Resolución:

2

- _- 2 i ! _- 2 i - 4 _ 8 i_- 5 i 2_8 i

(n + 14)(n - 13) = 0 n = -14 0 n = 13 ` Los números serán: n = 13 / n + 1 = 14 (valores naturales)

B) 9; 10 E) 1; 2

C) 20; 21

14 Resuelve e indica su CS: 3x2 - 507 = 0 Resolución: 3x2 - 507 = 0 3x2 = 507 & x2 = 169 & x = ! 169 x = 13 0 x = -13 ` CS = {-13; 13}

x1, 2 = 2 ! 2 41 2_8 i x1, 2 = 1 ! 41 8 Piden: x1 + x2 = 1 4

A) {8} D) {13}

B) {-8; 8} E) {-13}

C) {-13; 13}

3. a

A) 1 B) - 1 C) 6 4 4 3 4 4 D) E) 3 3

4. b

6. a 5. c

x1, 2 =

2 +1 2

C)

Resolución: 2x2 - x - 15 = 0 5 2x x -3

2x2 - x - 3 = 0 2x -3 x 1

8x2 - 2x - 5 = 0

3 +1 2 5 -3 2

10 Resuelve: 2x2 - x - 15 = 0 e indica la mayor raíz.

Resuelve: 2x2 - x - 3 = 0 e indica la mayor raíz.

A) 1 D) 3 2

5 + 1 B) 2 5 -2 E) 2

1. a

9

Resuelve e indica la mayor raíz. x2 - x = 1

2. e

7

10. C

8. a

9. D

7. c

Claves ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

67

12. D 11. D

14. c 13. a

Practiquemos 9. Resuelve:

NIVEL 1

x2 + x - 6 = 0 e indica la mayor raíz.

Comunicación matemática

A) -3 D) -6

1. Búsqueda de palabras A S Z Q S O L U J B H P J K O

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

M G Z D Q R T P E F E I S A D

T R G Y O N I M R E T Z G C N

N A O N L R D A U C N G Y L U

R D Y F Q S L I N E A L V O G

A O C D I S C R I M N G L V E

I L U E Q S O L U C I O N E S

C R A D K P X I J X M S E G U

DISCRIMINANTE INDEPENDIENTE SOLUCIONES CUADRÁTICO RAÍCES

X K D P D O F S E C I A R H M

E A R X J R E U I V R E N I L

S T A R M C O C N Z C O B H U

B O T V G R A M A E S C E X M

▪▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪

TÉRMINO LINEAL SEGUNDO GRADO

I L I N D E P E N D I E N T E

K U C H F S F N F J D N K B D

B H O C I T G Y I M R E T U A

10. Resuelve:

x2 - 4x - 5 = 0 e indica la menor raíz.

A) 1 D) 4

5. La suma de un número natural y su cuadrado es 110. ¿De qué número se trata? 6. Encuentra dos números cuya suma sea 20 y su producto 99.

Razonamiento y demostración 7. Resuelve:

x2 = -5x - 6 C) {1; 6}

8. Resuelve:

x2 - x - 2 = 0 e indica la menor raíz. B) -2

68 Intelectum 1.°

C) 1

D) -1

C) -5

11. Resuelve:

x2 + 3x - 4 = 0 e indica la mayor raíz.

A) -4 D) 1

B) 4 E) -3

C) -1

12. Resuelve:

x2 + 7x + 12 = 0 e indica la menor raíz.

A) 3 D) 6

B) -3 E) -4

A) 33 m D) 5 m

C) 12

E) 0

B) 2 m E) 10 m

C)

33 m

14. Un número excede a otro en 2; y su producto es 24. Determina el mayor positivo. A) 5 D) 2

B) 6 E) 1

C) 9

NIVEL 2

4. El cuadrado de un número positivo más el doble de su opuesto es 528. Determina tal número.

A) 2

B) 5 E) -1

13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 3 m más que uno de sus catetos. Determina el valor del cateto mayor si el menor mide 4 m.

3. Halla dos números sabiendo que su diferencia es 10 y su producto 119.

B) {2; 3} E) {-1; -6}

C) -2

Resolución de problemas

Plantea las ecuaciones respectivas que mejor representen a los siguientes enunciados: 2. Determina dos números positivos cuya diferencia es 11 y la suma de sus cuadrados sea 2581.

A) {-3; -2} D) {-1; 6}

B) 3 E) 2

Comunicación matemática 15. Relaciona cada ecuación con su respectivo conjunto solución (CS). A.

x+2 = 4 3 x-2

B.

x+3 = 2 2 x-4

C.

2x = 4 3 2x

D.

7x2 + 8x = 0

E.

8x2 + 7x = 0

F.

9x2 + 2x = 2x2 - 6x

CS = #- 3 , 3 CS = '- 8 , 0 1 7 CS = '- 7 , 0 1 8 CS = ' 1- 65 , 1+ 65 1 2 2

CS = {-4,4}

31. Resuelve: P(x) = x2 - 22x + 57 = 0, Indica luego la diferencia positiva de las soluciones.

16. Indica verdadero (V) o falso (F) en las 25. Resuelve: siguientes proposiciones: 2x2 + 6x - 1 = 0 ( ) 1 es raíz de 2x2 - x + 1 = 0 2 A) 3 ! 11 B) 3 ! 11 3 2 ( ) Toda ecuación cuadrática tiene 3 ! 11 C) -1 ! 11 D) 2 soluciones. 2 E) 2 ! 11 ( ) La suma de las raíces de: 3x2 - 6x + 12 = 0 es 4. A) FFF D) FVV

B) FFV E) VVV

C) FVF

A) 21 D) 16

B) 22 E) 17

C) 19

32. Resuelve: 3x2 + 10x - 2 = 0 A) - 5 ! 31 3

Resolución de problemas

B) - 3 ! 29

D) 3 ! 29 C) 3 ! 29 26. En la siguiente ecuación: 3x 2 -3x+6=0, 3 2 2 5 ! 31 las raíces son x y x . Halla: x + x 1 2 1 2 E) Según como se muestra las condiciones del 2 enunciado, traducirlas al lenguaje algebraico A) -1 B) -2 C) -3 33. Resuelve: x2 - 10x - 24 = 0 e indica la mediante una ecuación correctamente D) -4 E) -5 suma de las raíces entre dos. planteada. 17. Determina un número que sumado con el cuádruple de su raíz cuadrada da 21. 18. El producto de dos números es 891, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 48. Determina los números. 19. El producto de dos números es 270 y su cociente 1 15 . Determina los números.

Razonamiento y demostración 20. Resuelve:

x2 - 7x + 12 = 0 C) {2; 6}

21. Indica la menor raíz, luego de que resuelvas: x2 + 9x - 10 = 0

B) -1 C) -9 E) 10

x2 + 12x + 32 = 0 A) -8 D) 4/3

NIVEL 3

B) 8 E) 12

C) -8/3

Comunicación matemática Resolución de problemas

28. Indica verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: 35. Halla el valor de k en la ecuación para que 2 una de las raíces sea el recíproco de la otra. ( ) (-2) es raíz de ax + 3x + 2 = 0; a ! 0. (k - 1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0, si: x1 . x2 = 3k 7 k-1 ( ) 4x2 - 4x + 1 = 0 tiene raíces iguales. A) 3 D) 8

( ) Si T = 4, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución. A) VVF D) FFF

B) VFF E) FVF

C) VVV

29. De la ecuación:

B) 4 E) 5

A) 10 m D) 5 m

x ( x + 10) (x + 7) c 2 - 7 m = 0 x

C) 7

36. La base de un rectángulo es 2 m más que su atura y su diagonal 2 m más que su base. Determine el valor de su base. B) 21 m E) 2 m

C) 8 m

Se puede afirmar que:

B) -9 C) -3 E) 1

24. Resuelve e indica la menor raíz de: x2 + x - 20 = 0

C) 5

Razonamiento y demostración 30. Resuelve: x2 + x - 42 = 0 e indica la mayor raíz. A) -7 D) -6

B) 7 E) 8

C) 6

Nivel 3 28. e

x + 8x - 9 = 0

V. La suma de sus soluciones en R es -47.

15. 16. A 17. 18. 19.

2

IV. El producto de raíces en R diferentes de 0 es -2.

Nivel 2

23. Resuelve e indica la mayor raíz de:

III. Es incompatible.

20. A 21. d 22. b 23. e 24. D 25. D 26. c 27. d

B) -7 C) -3 E) -4

29. Iv 30. c 31. D 32. A 33. E 34. C 35. A 36. c

II. Posee 4 soluciones reales.

indica la menor raíz.

A) 4 B) -4 D) -5 E) -1

34. Resuelve e indica la división entre el producto y la suma de las raíces.

C) 7

11. D 12. E 13. C 14. b

22. Resuelve: x + 4x - 21 = 0

A) 9 D) -8

C) 10

I. Posee raíces complejas conjugadas.

2

A) 3 D) 4

B) 1 E) 15

B) -24 E) 5

Nivel 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a 8. d 9. E 10. E

A) 1 D) -10

A) 10 D) 5

A) 24 D) -2

C l a ve s

A) {3; 4} B) {-3; -4} D) {-2; -6} E) {5; -1}

27. Un número es 4 más que el doble del otro y el producto de tales números es 70. Determina el menor positivo.

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 3

69

Aplicamos lo aprendido tema 4: 1

desigualdades e inecuaciones

Resuelve: (3x - 1)2 + 20 # (9x - 1)(x + 2)

2

Resolución: 9x2 - 6x + 1 + 20 # 9x2 + 18x - x - 2 23 # 23x 1#x ` CS = [1; +3[

Halla el intervalo de x tal que: 7x - 10 > 5x - 18 * 8x + 1 < x+7 3 Resolución: 7x - 10 > 5x - 18 2x > -8 & x > -4 ...(1) 8x + 1 < 3x + 21 5x < 20 & x < 4 ...(2) De (1) y (2): -3 ` CS = ]-4; 4[

A) ]1; + 3[ D) ]-1; + 3[ 3

B) [1; + 3[ E) [-1; 1]

4

B

-3 -12

-4

9

5

B) ]-4; 2[ E) ]-4; 12[

C) ]-2; 4[

Determina el mayor valor entero que verifica: x - 13 + x - 22 < 2 22 13

35x - 653 < 572 35x < 1225 x < 35 ` x = 34

11 +3

A + B = ]-4; 9] Valores enteros de A + B es: {-3; -2; -1; 0; 1; 2; …; 9} Por lo tanto, tiene 13 valores enteros.

A) 12 D) 10

+3

Resolución: 13x - 169 + 22x - 484 < 2 286

Resolución: A

4

A) ]-2; 2[ D) ]-4; 4[

C) [-1; + 3[

Sean los intervalos: A = [-12; 9] ; B = ]-4; 11[ Halla el número de valores enteros de A + B.

-4

B) 11 E) 14

C) 13

A) 30 D) 34 6

Si A = ]16; +3[ ; halla A’. Resolución: A’ = {x / x ! R / x " A}

B) 32 E) 35

C) 33

Si: A = {x ! r / -7 < x # -3} B = G-3; 4H C = {x ! r / x > 4}, halla: C’- (A , B)’

Resolución:

-3

16



+3



-3



-3



-3

-7 (A , B)' 4

+3

` A’ = ]-3; 16] C'

-7

4

4

+3

+3

` C' - (A , B)' = [-7; 4]

A) ]-3; 16] D) [-3; 16]

70 Intelectum 1.°

B) ]-3; 16[ E) [-3; -16[

C) ]16; +3[

A) ]-7; -4[ D) ]-7; 4]

B) ]-7; -3[ E) ]-7; -4]

C) ]-7; 4[

2 Si x > 2, halla la variación de: 9x + 62x + 1 x

Resolución: Dato: x>2 0