3SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

GEOMETRÍA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 01. En un paralelogramo ABDC, desde el vértice D se traza DE (E ∈ AB ) , de AE 1 manera que = . Demostrar que EB n DE divide a la diagonal AC en la 1 razón . 1+ n 02. En un triángulo ABC, BC = a y AC=b, si m∠BCA = 2m∠BAC , entonces AB es A) b (a + b) B) 2a ( a + b )

C)

a (a + b)

E)

2b ( a + b )

03. En

una

C

D)

el

b2 − a2

diámetro

AB

es

perpendicular a la cuerda CD , en la prolongación de DC se ubica el punto M tal que MA ∩ C = {N} . Si MN = 4u y NA = 5u. Calcule la longitud de AD . A) 4 B) 6 C) 2 5 E) 3 3 D) 3 5 04. En los lados AB y BC de un triángulo ABC se ubican los puntos Q y P, de modo que QP es paralelo al lado AC , la medida del ángulo CAP es el doble de la medida del ángulo BAP. Si AQ = 5 cm, BQ = 4 cm y AC = 6 cm; entonces la longitud (en cm) de AP es 139 161 120 A) B) C) 25 24 5 108 100 D) E) 7 3 05. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes y una secante, estas CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

determinan en la circunferencia los vértices de un cuadrilátero inscrito. Demostrar que el producto de dos lados opuestos es igual al producto de los otros dos lados. 06. Un cuadrado esta inscrito en un rombo ABCD. Si AC = a y BD = b, entonces la longitud del lado del cuadrado es ab 2ab a2 + b 2 A) B) C) a+b a+b a+b 2ab 2ab E) D) 2a + b a + 2b 07. Se tiene un triángulo equilátero, donde la distancia del ortocentro a la recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo es A . Calcule la longitud del lado del triángulo. A) 7 3A B) 6 3A C) 5 3A D) 4 3A E) 3 3A 08. En una circunferencia de diámetro AB, se trazan las cuerdas AC y AD (AC < AD). La perpendicular trazada del punto C a AB intersecta a AD en E. Si AE = 2 cm y ED = 6 cm, halle la longitud de AC en cm. A) 2 2 B) 4 C) 4 2 D) 6 E) 2 3 09. En una circunferencia de centro O se encuentra inscrito un triangulo acutángulo ABC, sea M punto medio de AB y F un punto de AC tales que MF es perpendicular a OA . Siendo AF = a, FC = b, hallar la longitud del lado AB. A) 2a ( a + b ) B) 2 a ( a + b )

C) 2 b ( a + b ) ab E) a+b

D)

GEOMETRÍA

ab

-1-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH. Luego se ubican los puntos medios M y N de BH y BC respectivamente, si AN = 2 ( AM) entonces m∠BCA es A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

ABCD un cuadrilátero 11. Sea inscriptible, por D se trazan las perpendiculares DH y DL a AC y a la prolongación de BC (H en AC y L HJJG en BC ), la prolongación de LH AB AD , intersecta a AB en N. Si = BC CD demostrar que H es el punto medio de NL . 12. En un triángulo isósceles ABC, m∠B = 120 , el punto I es el incentro, el punto E el excentro relativo a uno de los lados congruentes y O el circuncentro. Calcule m∠IEO A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30 13. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), E es el excentro relativo al lado BC y M es punto medio de AC . Si m∠ACB = m∠MEB , entonces m∠BAC es A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 14. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: I. En todo triángulo isósceles se cumple que el circuncentro, baricentro, incentro, ortocentro y el excentro relativo a la base (lado no congruente) se encuentran en la recta de Euler. II. En todo triángulo no equilátero, se cumple que la distancia del ortocentro al baricentro es igual al CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

doble de la distancia del baricentro al circuncentro. III. En el triángulo isósceles, la circunferencia de Euler es tangente al lado no congruente y pasa por ocho puntos del triángulo. A) FVV B) VFV C) VVF D) VFF E) VVV 15. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: I. En la recta de Euler, el baricentro es un punto interior. II. En todo triángulo obtusángulo, el ortocentro y el circuncentro, son puntos exteriores y pertenecen a la recta de Euler. III. La circunferencia de Euler también es conocida como la circunferencia de los 9 puntos. A) FVV B) VFV C) VVF D) FVF E) VVV 16. Sea el triángulo ABC, m∠ABC = 60 , O es el circuncentro y H es el ortocentro del triángulo ABC. La recta de Euler intersecta a AB y BC en M y N, AM = a y NC = b, a > b. La longitud de la distancia entre el ortocentro y circuncentro es a−b a−b a−b A) B) C) 4 3 2 D) (a – b) E) 2(a – b) 17. En un triángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH . Los puntos I1 e I2 son los incentros de los triángulos AHB y HBC. Se traza BT BH perpendicular a I1 I2 , calcule . BT 3 3 A) B) 2 C) 2 2 D) 2 E) 5

GEOMETRÍA

-2-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

18. En la figura mostrada, la recta A es mediatriz de AB . Si (MN)(BP) = m y QP = n, entonces la longitud de MP es P

A

A)

Q N

a2 − b 2 D) a + 2b

B

D)

m n n D) m A)

m 2n n E) 2m

B)

C)

B 26º

θº

P Q

A

C

H

B) 68 E) 78

C) 70

20. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AD , BE y CF . La recta DF intercepta a BE en M y a la prolongación de CA en N. Si MD = a y MF = b (a > b), ¿cuál es la longitud de FN ? CEPRE-UNI

( a + b )2 2a + b

E)

( a + b )2 2b + a

22. AD es el diámetro de una semicircunferencia, AB y AC dos p ) . Se traza BH cuerdas (B ∈ AC

2m n

19. En la figura mostrada, BH es altura. Si HQ = QP, AB = BC y HP ⊥ BC , entonces θ es

A) 64 D) 72

ab a (a + b) C) a+b a−b b (a + b) E) a−b

B)

ab

21. En un paralelogramo ABCD, el punto E ∈ BC , tal que AE ∩ BD = {F} , FQ // BC , Q ∈ CD . Si BE = a y EC = b, entonces FQ es ab 2ab B) C) ab A) a+b a+b

M

A

SEMINARIO Nº 03

perpendicular a AD (H ∈ AD ) tal que AC ∩ BH = {P} . Si ( AP ) ( AC ) = k , entonces la longitud de AB es k A) k B) C) k 2 k 2 D) k E) 2 2

23. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. En todos los triángulos existe la recta de Euler y la circunferencia de Euler. II. El centro de la circunferencia de Euler, es el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro. III. El ortocentro, centro de la circunferencia de Euler, baricentro y el circuncentro determinan una cuaterna armónica o división armónica.

A) VVV D) VFV

B) FVV E) FVF

GEOMETRÍA

C) FFV

-3-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

TEOREMA DE PITÁGORAS RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Y EL

24. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH . Las longitudes de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos AHB, BHC y ABC son r1, r2 y r respectivamente. Demostrar r 2 = r12 + r22 . 25. Si un punto P interior a un cuadrado ABCD dista de los vértices A, D y del lado BC una distancia igual a 10 u entonces el lado del cuadrado es igual a A) 12 u B) 13 u C) 14 u D) 15 u E) 16 u 26. El cateto, de menor longitud, de un triángulo rectángulo ABC es congruente con la mediana relativa a la hipotenusa de medida 8 u. Entonces el cateto mayor (en u) mide A) 3 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) 5 27. En un triángulo ABC, recto en B, se trazan la ceviana interior AF y la altura BH . Si AF = FC = HC = 1 u, entonces la longitud (en u) de BC es A) 3 2 B) 3 4 C) 3 5

D)

3

7

E)

3

11

28. En un triángulo ABC (AB > BC) se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE, BE = 8 5u , AD = 4 u, DC = 3 u. Calcule BD (en u). A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

29. Si los lados de un triángulo miden 5 u , 6 u y 7 u , entonces la longitud de la altura relativa al lado menor (en u) es A) 2,4 B) 2,6 C) 3,9

D)

4,8

E)

5,2

una semicircunferencia de 30. En diámetro AB y centro O, se construyen en su interior, una semicircunferencia de diámetro OB y un cuadrado OMNQ (M en OA y N en el arco AB), luego BQ interseca al arco OB en P. Si PQ = 2 u, entonces la longitud de BQ (en u) es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 31. Los lados de un triángulo acutángulo son tres números pares consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro del triángulo. A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 32. En un cuadrado KLMN de lado A se toma P punto medio de LM y Q, punto medio del lado LK. Los segmentos KP OK y QN se cortan en O. Calcular . OQ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 33. Dos circunferencias de radios R y r, son tangentes exteriores. Calcular la longitud del segmento que se obtiene al proyectar el segmento de tangente común exterior, sobre la recta que une los centros de las circunferencias. 4R2 2r 2 4Rr A) B) C) r R+r R+r ( ) R R+r D) E) R + r 2r GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

34. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y las perpendiculares HM y HN a los catetos AB y BC respectivamente. Si AM = 1 u, CN = 8 u, entonces AC mide (en u). B) 4 5 C) 5 5 A) 3 5 D) 8 5 E) 10 5 35. En un triángulo KLM, KL = 6 m, LM = 8 m y KM = 10 m. Se traza la mediatriz de la mediana relativa al lado mayor, la cual intersecta a los lados KL y LM en los puntos P y Q respectivamente. Calcular (en m) la longitud de PQ . A) 3.2 B) 4.2 C) 5.2 D) 6.2 E) 7.2 36. Si la base mayor de un trapecio isósceles es congruente a una diagonal, y la base menor es congruente a la altura, entonces la razón entre la longitud de la base menor y la longitud de la base mayor es 1 2 3 A) B) C) 2 3 4 3 2 D) E) 5 5 37. En un triángulo ABC, recto en B, se trazan las cevianas interiores AN y CM , tal que AN2 + CM2 = 130 y BM BN 2 = = . Entonces la longitud MA NC 1 de MN es A) 10 B) 2 10 C) 3 10 D) 4 10 E) 5 10 38. Demostrar que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medianas relativas a los catetos es igual a cinco veces el cuadrado de la mediana relativa a la hipotenusa. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

39. La relación de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es 5 igual a , y la proyección de la 8 mediana relativa a la hipotenusa sobre la hipotenusa mide 6 u. Halle la longitud de la hipotenusa. A) 45 B) 48 C) 52 D) 60 E) 64 40. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Desde M punto medio de AB se traza MQ , perpendicular a la hipotenusa AC , siendo QC2 – QA2 = 20u2. Hallar la longitud del cateto BC. 10 u B) C) 2u A) 5u 2 E) 5u D) 2 5u 41. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, M y P son puntos medios de AB y BC, respectivamente. En AC se ubican N y L tal que AN = NL = LC = 2 u; las prolongaciones de MN y PL se intersectan en Q. Si m∠MPQ = 90 , entonces la longitud de PQ (en u) es B) 2 3 C) 3 2 A) 6 2 E) 4 2 D) 3 3 42. En una circunferencia C de diámetro AC , se ubica H en AC ; se traza HB perpendicular a AC y desde B se trazan las tangentes BP y BQ a la circunferencia C. Si m∠PBQ = 90 , ( AH) (HC ) = h2 − R2 y AC = 2R, calcu-

le la longitud de BH . h 2h A) B) 2 3 D) 2h E) h 2

GEOMETRÍA

C) h

-5-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

43. Sea I el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo ABC, siendo tangente a los lados BC , AC y AB en los puntos K, L y M respectivamente. La recta paralela a MK , que contiene a B, intersecta a las prolongaciones de LM y LK en los puntos R y S, respectivamente. Demuestre que el ángulo RIS es agudo. 44. En un triángulo rectángulo ABC, m∠B = 90 , se traza la altura BH que mide 12 u, y la diferencia de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa mide 7 u. Calcule la longitud del segmento que une los incentros de los triángulos AHB y BHC. B) 3 2 C) 5 2 A) 2 2 D) 5 E) 6 45. Dado un cuadrado ABCD, se traza por B una recta que intersecta a CD en E y a la prolongación de AD en F. 1 1 1 + = , calcule el lado del Si BE2 BF2 9 cuadrado. A) 3 B) 4,5 C) 2 3 D) 9 E) 3 46. En un trapecio rectángulo ABCD con ángulos rectos en A, B y BC < AD, las BD diagonales AC y son perpendiculares. Si AD = a y BC = b, calcule CD.

A)

a 2 + b2

B)

a2 + b2 + ab

C)

a2 + b2 − ab

D)

a2 + b 2 a+b

E)

ab

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

47. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto interior P, tal que, m∠BPC = 135 . Si BP=a, PC=b y AB = BC, calcule AP.

A)

a 2 + b2

B)

a2 + 2b2

C)

b2 + 2a2

D) 2 a2 + b2

E) 2 a2 + 2b2 48. En el gráfico T, P y Q son puntos de tangencia. Si Rr = k, halle TP. T P

R

A) k D) 4 k

Q

B) E)

r

2k 3k

C) 2 k

49. El radio de un cuadrante mide R; considerando como diámetros sus radios y en su interior se dibujan dos semicircunferencias. Entonces, la longitud del radio de la circunferencia tangente a las dos semicircunferencias y a uno de los radios del cuadrante es R R R B) C) A) 12 10 9 2 R D) R E) 9 3 50. Dadas dos circunferencias tangentes exteriores cuyos radios miden R y r, calcule la distancia desde el punto de tangencia a la recta tangente común externa. 3Rr R+r B) C) Rr A) R+r 2 Rr 2Rr D) E) R+r R+r GEOMETRÍA

-6-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

51. Dado un triángulo ABC, sus lados están en progresión aritmética de razón uno. La medida del mayor ángulo es el doble de la medida del ángulo menor ¿cuánto mide el lado medio? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 52. Dado el trapecio ABCD, BC // AD , M es punto medio de AD , las prolongaciones de BM y CD se interceptan en F y AC ∩ BM = {E} . Si BE = 4a y EM = 3a, calcule MF A) 18a B) 19a C) 20a D) 21a E) 22a 53. En la siguiente figura, hallar la longitud del radio de la circunferencia, si AB = m y BC = n.

C A

m2 + n2 m 2 m + n2 D) m

A)

B

m 2 + n2 m2 + n2 C) 2m 2n 2 2 m +n E) m+n

B)

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

EL

A) 1.75 D) 2.5 CEPRE-UNI

B) 2 E) 4

56. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c. Si c2 = a2 + b2 – ab, hallar la medida del ángulo BCA. A) 30 B) 37 C) 60 D) 75 E) 90 57. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BE y CD , tal que (AC)(EC) = 88u2 y (AB)(BD) = 108 u2. Entonces la longitud de BC es A) 10u B) 12u C) 14u D) 16u E) 18u

una semicircunferencia de 58. En diámetro AB y centro O se traza una cuerda CD paralela a AB (C p ). Si P es un pertenece al arco AD punto que pertenece a AO , PD = 6 u, PB = 7 u, PA = 3 u, entonces PC (en u) mide C) 18 A) 5,5 B) 15 D) 22 E) 27

K

r

O

55. En el interior del cuadrante AOB, ángulo recto en O, se trazan sobre OA las semicircunferencias de diámetros OE y EA . Si OE = 4 u y EA = 6 u, calcular el radio (en u) de la circunferencia tangente a las dos semicircunferencias citadas y al arco del cuadrante. A) 3.4 B) 3.5 C) 3.6 D) 3.7 E) 3.8

59. En el siguiente gráfico, LNSP es un rectángulo. Si KN = m, KL = n y NT = p, entonces NP es

54. En la figura AB = 20. Calcular r.

A

SEMINARIO Nº 03

L

M

N

B

C) 2.25

P

Q GEOMETRÍA

S

T -7-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

A)

p2 + n2 − 2np

B)

p2 + m2 − 2mn

C)

p2 + m2 + 2mn

D)

p2 + n2 + 2np

E)

m2 + n2 − 2pm

60. En el interior de un triángulo ABC, se ubica un punto Q. Se trazan las perpendiculares QM , QN y QP a los lados AB , BC y AC . Si AM2 + BN2 + CP2 = h2, calcular a que es igual MB2 + NC2 + AP2. h2 h2 A) h2 B) C) 2 3 2 h 2 E) h2 D) 3 4 61. Los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia cuyos lados miden 2 u, 3 u, 4 u y 5 u, respectivamente y en ese orden. Una de las diagonales mide 253 A) 1 B) 2 C) 13 D) 5 E) 7 62. En un triángulo ABC, recto en B, M y N son puntos que están sobre la hipotenusa AC , tal que AB = 4 u, AM = MN = 2 u y NC = 1 u. Entonces BM2 – BN2 es 1 2 3 A) B) C) 5 5 5 4 D) E) 1 5 63. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 3 u, BC = 4 u. En AC se ubican los puntos D y E, tal que AD = 1 u, DE = 2 u. Halle BE2 – BD2. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

1 u 5 4 D) u 5

A)

B)

1 u 3

C)

2 u 3

E) 1u

64. Las circunferencias ex - inscritas a un triángulo ABC determinan los puntos de tangencia M y N, sobre los lados AB y BC, respectivamente. Si AB = 6 cm, BC = 5 cm y AC = 7 cm, entonces la longitud aproximada de MN (en cm) es A) 3,25 B) 4,49 C) 4,55 D) 4,85 E) 5,15 65. Desde un punto exterior E a una circunferencia, se traza la secante EMN que contiene a un diámetro y una tangente ET (T: punto de tangencia). Si MN = 16 u y EM = 4 u, entonces la longitud de NT (en u) es 64 30 32 30 B) A) 3 3 16 30 8 30 C) D) 3 3 4 30 E) 3 66. En un triángulo ABC, se trazan la mediana BM y la altura BH . En la prolongación de MB se ubica el punto Q, tal que QC = AB y m∠QBC = 90 . Si BQ = 12 u y MH = 3 u, entonces la longitud de AC (en u) es A) 18 B) 20 C) 24 D) 26 E) 30 67. En un triángulo ABC, la mediana BH mide 9 u y las otras medianas miden 6 u y 12 u, respectivamente. Halle la longitud del lado AC . A) 2 14 B) 3 29 C) 6 15 E) 4 7 D) 2 31

GEOMETRÍA

-8-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

68. En la figura P y O son centros, el punto M es punto medio de PQ . Si los radios miden R = 12 u y r = 8 u, entonces la longitud del segmento QM es Q M

SEMINARIO Nº 03

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

72. En la figura, O, O1 y O2 son centros y los radios de las semicircunferencias miden R y r. Calcule el radio x.

r

R

P x

O

A) 8 2u D) 3 5u

C) 6

r

B) 2u E) 2 2u

C) 2,5u

69. Si las bases de un trapecio miden 2 u y 6 u, los lados no paralelos miden 2 u y 4 u, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases (en u) mide B) 6 C) 7 A) 5 D) 10 E) 11 70. Desde el interior R de un triángulo equilátero MNQ, se une con los vértices. Si RM = a, RN = b y RQ = c y MN = NQ = MQ = A , demostrar que

( a 2 + b 2 + c 2 + A 2 )2 = 3 ( a 4 + b 4 + c 4 + A 4 ) . 71. En la figura mostrada, AOB es un cuadrante, los segmentos OP y PB son los diámetros de las semicircunferencias. Si OP = PB = AO = 10 u, entonces la longitud del 2 radio de la circunferencia (en u) de centro O1 es A

A

O1

B

O R

A)

4 (R − r ) Rr

( R + r )2 2Rr C) R+r

B) D)

4Rr R+r 2 (R + r ) Rr

( R − r )2

E) 2 Rr 73. En un trapecio ABCD, circunscriptible a una circunferencia, BC es paralelo a AD , BC = 2 u, CD = 5 u; La mediana mide 4 u. Entonces, la altura (en u) del trapecio es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 74. En el interior de una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se construyen una semicircunferencia de diámetro AC y una circunferencia tangente a las semicircunferencias mencionadas y al segmento BC . Si OA = 9 u y AC = 12 u, entonces el radio de la circunferencia (en u) es A) 1,44 B) 2,16 C) 2,88 D) 3,20 E) 3,60

O1

O CEPRE-UNI

P

B GEOMETRÍA

-9-

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

75. Las longitudes de las bases de un trapecio isósceles son a y b; los lados no paralelos miden c y las diagonales d. Demostrar que d2–c2 = ab 76. Los lados de un cuadrilátero miden 14 cm, 30 cm, 40 cm y 48 cm. Hallar la longitud (en cm) del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20 77. En la figura, si (KP + QN) (KN) = c y KN2 – LM2 = d, entonces la distancia entre los puntos medios de KM y LN es M

L

K

A) C) E)

P

2c + d 2 2c − d 2 c+d 2

Q

O

N

c + 2d 2 2 c−d D) 3

B)

78. En un trapecio de bases BC y AD , AC2 + BD2 – AB2 – CD2 = 20 u2. Entonces (BC)(AD) (en u2) es A) 10 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 79. En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro. Si OB = AC = A , calcule la longitud del radio de la C de Euler.

CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

A 2 A D) 2 4 A)

A 2 2 3 E) A 2

B)

C) A

80. En un cuadrado ABCD de centro O y de lado 10 , con centro en A y radio AB, se traza el arco BD en el cual se ubica el punto P, de modo que p = 53 . Calcule PO. mBP C) 1 A) 0,5 B) 2 D) 2 E) 3 81. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, las diagonales se intersecan en E. Si la altura de dicho trapecio es 7 u, además EB = 6,5 u y 1 1 + . AE = 7,5 u, calcule BC AD 1 1 1 A) B) C) 12 6 4 D) 4 E) 6 82. En un trapecio ABCD ( AB // CD ), se traza la mediana MN. Si AC2 + BD2 – 2(MN)2 = k2, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases del trapecio es k 2 k 2 k 3 B) C) A) 3 2 2 k k E) D) 2 3 83. En una semicircunferencia, con centro en A de diámetro AB (AB = 2R) y centro O, se traza un arco que contiene al punto O y que intersecta a la semicircunferencia en C. Calcule la longitud del radio de la circunferencia tangente a OB , al arco OC y al arco BC. R R 2 R 2 B) C) A) 5 3 2 R 3 R 3 E) D) 5 4 GEOMETRÍA

- 10 -

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

84. O, O1 y O2 son centros de AB , AQ y QB , PQ ⊥ AB , AO1 = a, BO2 = b. Calcule el radio de la circunferencia de centro O3. P O3

A

A) D)

O1

ab a+b

B)

a ( a + b ) E)

Q

O

ab

O2

C)

B

a−b 4

SEMINARIO Nº 03

87. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia. Sean M y N punto medios HJJG de AB y BC respectivamente; MN interseca a la circunferencia en los puntos E y F. Si AB = 2A calcule EF. B) A 3 C) 2A A) A 2 E) A 6 D) A 5 88. En la figura mostrada, O es centro de la semicircunferencia, AF = 12 cm, FD = 15 cm; AD es cuerda y FC es perpendicular a FO . Entonces CF (en cm) es C

2ab a−b

D

85. Dado el triángulo ABC, AB = c, BC = a y AC = b. Si las medianas relativas a los lados AB y AC son perpendiculares entre sí, entonces es verdadero B) b2 + c2 = 5a2 A) b2 + c2 = 6a2 D) b2 + c2 = 3a2 C) b2 + c2 = 4a2 E) b2 + c2 = 2a2 RELACIONES MÉTRICAS CIRCUNFERENCIA

EN

LA

86. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O se traza el radio OC ⊥ AB . En el cuadrante AOC se inscribe el rectángulo OMNP, M en OA y P en OC ; se prolonga MP hasta que interseque al arco CB en Q. Si MP = 2 u y PQ = 1 u, entonces la longitud de MN (en u) es 3 6 3 B) C) A) 2 2 3 6 E) 2 D) 3

F A

A) 6 D) 5 3

O

15 2 E) 6 5

B)

B

C) 6 3

89. C1 y C2 son dos circunferencias

tangentes exteriores en C, AB es el segmento tangente común exterior (A en C, y B en C2); se prolonga BC hasta que interseque a C1 en D, se ubica E en CD , tal que AB = BE. Si BC = 1 u y CD = 8 u, entonces la longitud de AE (en u) es B) 2 3 C) 6 A) 2 2 E) 3 2 D) 2 6 90. En una circunferencia C, el diámetro AB es perpendicular a la cuerda CD ; en la prolongación de CD se ubica N. Desde N se traza la secante NMA y la tangente NQ a C. Si AC = a y

NQ = b, calcule la longitud de AN . CEPRE-UNI

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

A)

a 2 + b2

B)

2a2 + b2

C)

a2 + 2b2

D)

2a2 − b2

E)

b2 − 2a2

A) 45 D) 65

91. En el siguiente gráfico, R = 5 m . Hallar el valor de AF. A F R

O R

A) 1 m D) 4 m

E

B

SEMINARIO Nº 03

B) 50 E) 75

C) 60

95. Demostrar que en todo cuadrilátero inscrito se cumple que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. 96. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD; luego se traza DH perpendicular a AC (H pertenece a BC). Si AB + BH = 2 entonces BD mide B) 3 C) 2 A) 2 1 D) 1 E) 2

R

B) 2 m E) 5 m

C) 3 m

92. La base de un triángulo isósceles mide 6 u y uno de sus lados congruentes mide 12 u. Entonces la longitud del radio de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo es 8 7 3 15 B) C) A) 15 15 5 5 2 5 9 15 E) 15 D) 4 5

un paralelogramo ABCD, 93. En AC = 10 u, BD = 8 u. La circunferencia circunscrita al triángulo BCD es tangente a AD en D. Calcule AD. B) 3 2 u C) 2 3 u A) 2 2 u E) 6 u D) 3 3 u

97. Un cuadrado ABCD esta inscrito en una circunferencia. Sea P un punto del arco BC, PB = 18 u y PC = 2 u. Hallar la longitud de PA . A) 6 u B) 8 u C) 9 u D) 10 u E) 12 u 98. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, la tangente trazada a dicha circunferencia por D es paralela a AC . Si BD2 – (AB)(BC) = 160 u2, entonces la longitud de CD (en u) es B) 8 5 C) 6 5 A) 5 E) 4 10 D) 2 10 99. En un triángulo ABC, m∠B = 60 , I es el incentro. Si O es el circunscrito del triángulo AIC y AB + BC = 12 u. Calcule OB (en u). A) 4 B) 6 C) 12 E) 6 3 D) 4 3

94. La distancia entre las ciudades A y B es 104 km, la distancia entre A y C es 112 km y la distancia entre B y C es 100. Un triángulo equilátero ABC de lado A se encuentra inscrito en una 120 km. Si se quiere construir un circunferencia. Sea F un punto de la centro comercial que equidiste de las circunferencia, demostrar que FA2 + tres ciudades entonces dicha distancia (en km) es FB2 + FC2 =2 A2 . CEPRE-UNI

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

SEMINARIO Nº 03

2 101. En un trapecio isósceles ABCD, BC 104. En la figura adjunta, BF . BE = 16 u , DE = 3 u, halle BD (en u). paralelo a AD , el producto de las B longitudes de las bases es 48 u2 y el cuadrado de la longitud de un lado no paralelo es 52 u2. Calcular la longitud αº de las diagonales. αº A) 7.5 B) 8 C) 9 βº E F D) 10 E) 12

102. ABCD es un cuadrado, MN = 6 u y AB = 2 u. Hallar R (en u).

α º βº C

A

C B

N D

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

105. Un cuadrilátero ABCD esta inscrito en una circunferencia; las prolongaM ciones de AB y DC se intersecan en M y las prolongaciones de BC y AD se intersecan en N. Si (MA) (BM) + (NA))(ND)=k2. Calcule MN. B) 2 10 C) 6 A) 10 k 3k D) 4 E) 5 A) B) k C) 2 2 103. En la figura adjunta, halle la relación E) k 5 D) k 3 entre las longitudes de AH=a, DF=b, CM = c y BN = d. 106. En un triángulo ABC, AB=a, BC=b y m∠ABC = 120 . Calcule la longitud de C A F N la bisectriz interior BF ( F ∈ AC ). ab 2ab A) B) C) ab + a b a + b M B H ab 3 2ab 3 D) E) a+b a+b A

R

D

A) bd = ac

B) ab = cd

D) b = c d=a

E) bc = ad

CEPRE-UNI

C) a = c b=d

107. En la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC se ubica el PA 2 + PB2 + PC2 . punto P. Calcule AB2 1 3 B) 1 C) A) 2 2 5 D) 2 E) 2

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

108. En una circunferencia se encuentra inscrita el cuadrilátero ABCD, AC ∩ BD = {M} , BM = 1, MD = 3, si AD es el diámetro. Calcule AB, dado que AB = BC. A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4 109. En una semicircunferencia de diámetro AB, se trazan las cuerdas BC y BD , CF es perpendicular a BA , BD ∩ CF = {E} . Si BE=a y DE=b. Calcule BC. 2ab ab B) C) ab A) a−b a+b D) b ( a + b ) E) a ( a + b )

SEMINARIO Nº 03

en la misma C, apn es la longitud del apotema del polígono regular inscrito en n lados. Demostrar que 2 (R − apn ) A 2n . = 2 2 ap2n R − ap n

114. En una circunferencia C, AB es el lado de un polígono regular circunscrito de n lados. Se ubica P, punto medio de AB , PQ es diámetro de C y AQ ∩ C = {T} . Si AB = A n y R es el radio de la C, demostrar que

AT =

A2n 2 16R

2

+ A2n

.

115. El hexágono regular ABCDEF se halla inscrito en una circunferencia de 110. En un cuadrado ABCD se inscribe el radio R. Hallar el perímetro del triángulo equilátero AEF ( E ∈ CD y hexágono formado por las diagonales F ∈ BC ). Si AB = L, entonces la longitud AC , BD , CE , DF , EA y FB al intersectarse. de ED es L L A) R 3 B) 2R 3 C) 3R 3 (5 − 3 ) A) B) 5 8 E) 5R 3 D) 4R 3 L L (3 − 2 ) (5 − 3 ) D) C) 116. ABCDEF es un hexágono inscrito en 4 2 una circunferencia de radio R, en el E) L ( 2 − 3 ) cuál AB = CD = EF = a, BC = DE = FA = b. Si a2 + b2 + ab = k2, halle R. 111. En un polígono regular ABCDE…, se C) k 2 A) k B) k 3 tiene que AC2 – BA2 = L2. Calcule k 3 k 2 (AD) (BC). D) E) 2 2 2 3 2 B) 2L C) 3L A) L 5 3 117. En un triángulo ABC, m∠A = 45 , E) L2 D) L2 2 2 m∠C = 30 . Hallar el valor de AC en función del radio de la circunferencia 112. En un triángulo ABC, AB = 2 u, circunscrita al triángulo. R R AC = 2 2 + 3 u y m∠BCA = 15 . ( 2 + 6) ( 3 + 5) A) B) Calcular la medida del ángulo ABC. 2 2 A) 120 B) 125 C) 135 R R (2 2 + 6) D) ( 2 + 2 6 ) C) D) 144 E) 150 2 2 R (2 2 + 3 6 ) E) 113. Sea A 2n la longitud del lado de un 2 polígono regular de 2n lados, inscrito en una circunferencia C de radio R; POLÍGONOS REGULARES

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GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

118. En un triángulo ABC, m∠A = 22 y m∠C = 23 . Se trazan las alturas AF y CH . Si AC = 6 u, entonces la longitud de FH es A) 2 u B) 3 u C) 3 2 u 3 3 D) u 2

E) 3 ( 5 − 1) u

120. En un triángulo ABC, m∠A = 18 , m∠C = 45 y BC = ( 5 − 1) u . Hallar AB.

D)

2

B) 2 2

8

3 6 E) 4

m∠ABC = 7α y BC = 6 u, entonces la longitud de BD (en u) es

A) 3 2 − 3

B) 4 2 + 3

C) 2 2 − 3

D) 6 2 − 3

E)

119. Sea KLMNP un pentágono regular, las diagonales KN y LP se cortan en O. Demostrar que ON es la sección aúrea del segmento KN, dividido en media y extrema razón.

A)

SEMINARIO Nº 03

C)

3 2

2+ 3

124. En una circunferencia, de radio R, se traza una cuerda que subtiende un arco de 135º. Hallar la distancia del centro a la cuerda. R R ( 5 + 1) B) A) 2− 3 2 2 R R 2 D) C) 2− 2 2 2 R E) 2 125. En un triángulo rectángulo ABC se traza la ceviana BP, tal que el ángulo ABP mide 30. Si BP = AB,

AC = 2 + 3 u entonces BP mide (en u) 121. Una circunferencia C de radio R es A) 0,5 B) 1 C) 2 tangente, en Q, a una semicircunE) 3 D) 2 ferencia de diámetro AB y a la prolongación de AB en T; la prolongación de BQ intersecta a C en 126. En un trapecio ABCD ( BC // AD ), m∠BCD = 2m∠BAD = 108 y P. Con centro en T se traza el arco PM BC + DC = 4 ( 5 − 1) u , entonces la (M en AB ). Hallar MP. distancia de D a AB (en u) es A) 2R B) R 2 − 2 A) 2 B) 3 C) 4 D) R 4 − 2 2 C) R 2 − 3 D) 5 E) 6

E) R 4 − 2 3

127. En un hexágono regular ABCDEF, inscrito en una circunferencia, L y S 122. En una circunferencia, de radio R, se son puntos medios de los arcos EF y inscribe un polígono de 16 lados. CD respectivamente, y el circunradio Demostrar que la longitud de su lado de dicho hexágono mide 2 − 3 u. JJJG JJJG es igual a R 2 − 2 + 2 . Si LA interseca a SB en P. Halle PS (en u). 123. En un triángulo ABC, se ubica un A) 2 B) 3 punto D interior al triángulo, de tal

manera que AD ≅ DC ≅ BC . Si m∠BAD = α , m∠BCD = 2α , CEPRE-UNI

C) 2 + 3 E) 1

D)

GEOMETRÍA

2− 3

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

POLÍGONOS REGULARES 128. El valor del número aúreo es 5 +1 5 −1 A. B. 2 2 5 −1 5 +1 C. D. 4 4 2 5 −1 E. 2 129. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Un triángulo equilátero y un exágono regular cuyos lados miden 1 m y ½ metro respectivamente, son polígonos isoperimétricos. II. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 m, y un cuadrado cuya diagonal mide 1.5 2 m , son polígonos isoperimétricos. III. Dado un polígono regular siempre es posible construir el polígono isoperimétrico de doble número de lados. A) FFF B) FVV C) FVF D) FFV E) VVV

130. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. AP es la sección aúrea de AB y AM es la sección aúrea de AP , entonces AM ≅ PB . II. El lado del pentágono regular es la sección aúrea de su diagonal. III. El lado del decágono regular es la sección aúrea de su radio. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV

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SEMINARIO Nº 03

131. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si en un exágono la recta que contiene a la diagonal es un eje de simetría del exágono, entonces el exágono es un polígono regular. II. Si un polígono tiene dos ejes de simetría, el polígono es necesariamente regular. III. Los polígonos regulares de lado impar no tienen centro de simetría. A) Sólo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) Solo III E) I, II y III 132. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo polígono equilátero convexo inscrito en una circunferencia, es un polígono regular. II. Todo polígono equiángulo convexo circunscrito a una circunferencia, es un polígono regular. III. Al unir un punto cualquiera M de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, con los tres vértices del triángulo, uno de dichos segmentos mide igual que la suma de las longitudes de los otros dos segmentos. A) VFF B) FVV C) VVF D) VVV E) VFV 133. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Las diagonales de todo polígono regular convexo se intersecan en medio y extrema razón. II. Si en una circunferencia de diámetro AB y centro O, se traza OC ⊥ AB y desde D, punto medio de OB , como centro y con un radio DC, se describe un arco el cual interseca a OA en E, GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

entonces OE y EC son los lados del decágono y pentágono regulares convexos inscritos en dicha circunferencia. III. En tal pentágono regular convexo, cada diagonal es paralelo a un lado. A) FVV B) FFV C) VFV D) VVV E) VVF 134. En un pentágono regular de lado A , la longitud de sus diagonales. A A ( 5 + 1) ( 5 + 1) B) A) 2 4 A A ( 5 − 1) ( 2 5 − 1) D) C) 2 2 A ( 2 5 − 1) E) 4

135. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Se dice que dos polígonos son isoperimétricos, cuando sus perímetros son iguales. II. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado del polígono, se llama apotema del polígono. III. Si un polígono esta inscrito y circunscrito a la vez, entonces dicho polígono es regular. A) VVV B) VFV C) FVV D) VFF E) VVF

136. En un pentágono regular se trazan sus diagonales. Calcule la suma de las longitudes de todas las bases de los triángulos elementales congruentes que corresponden a un decágono regular, si la diagonal del pentágono mide ( 6 + 2 5 ) u . A) 25u B) 30u C) 35u D) 40u E) 45u CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

137. En una circunferencia están inscritos los polígonos regulares de n, 2n, 4n lados respectivamente y cuyas longitudes son A n , A 2n y A 4n lados.

Demostrar que A24n =

A32n . A n + 2A n

138. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AE y BF , la recta simétrica de AE respecto a la bisectriz trazada de A y la recta simétrica de BF respecto a la bisectriz trazada de B se intersectan en Q. Si m∠AQB = 100 , entonces la medida del ángulo ACB es A) 40 B) 50 C) 60 D) 65 E) 80 139. Sea A1 A2 … An un polígono regular de n lados. Si 2(A1A3)2 = 3(A1A2) (A1A4), entonces n es A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

ABCD, un cuadrilátero 140. Sea convexo, O un punto del plano P y A 'B 'C 'D ' el simétrico respecto a O en dicho plano. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. El simétrico del cuadrilátero ABCD, con respecto al punto O, siempre estará en el plano P. II. Al superponer el cuadrilátero simétrico A 'B ' C 'D ' sobre el cuadrilátero ABCD, estos coincidieron. III. El cuadrilátero ABCD y A 'B 'C 'D ' tendrán el mismo perímetro. A) VFF B) VFV C) VVF D) FVF E) FFV

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

141. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A 5 , A 6 , A10 son las longitudes de A n lados de los respectivos 2 polígonos, luego A10 = A25 + A26 . II. Si el número de lados de un polígono regular aumenta, y están situados todos los polígonos en la misma circunferencia, entonces la longitud de los lados de los polígonos disminuye. III. La sección aurea sólo se refiere a la longitud de un segmento. A) FVF B) FFV C) VFF D) FVV E) VFV

142. Una diagonal de un pentágono regular mide d, entonces la longitud del lado es d 2 d B) A) 2− 2 2 2 d d ( 5 − 1) C) D) 2− 3 2 2 d 3 E) 2 143. Un polígono regular de circunradio R y apotema a. Calcule la longitud de la apotema de otro polígono regular de doble número de lados que el primero e isoperímetro con éste. R+a R−a Ra B) C) A) 3 4 R+a R+a E) Ra D) 2 144. Dos rectángulos simétricos ABCD y AB ' CD ' cuyos lados miden AB = 4 y BC = 6 respectivamente. Halle BD ' . 9 13 10 13 12 13 f B) C) A) 13 13 13 14 13 E) D) 13 13 CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 03

145. ABCDEF es un exágono regular de 10 u de lado y BF ∩ AE = {M} , CE ∩ BD = {N} . Si A 'B ' C 'D 'E 'F ' es el simétrico de ABCDEF con respecto a MN , halle BB '.

A) 10 2 − 3 C) 45

B) 10 2 + 3 D) 20

E) 5 2 + 3 146. ABCD es un cuadrado cuyo lado miden A , y su simétrico con respecto a D es A 'B ' C 'D ' . Si N ∈ B ' C ' tal que C 'N = 2B 'N, calcule la distancia de A a N. A 31 A 34 A 37 B) C) A) 3 3 3 A 39 E) 2A D) 3 147. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ABCD es un cuadrado de centro O, entonces el simétrico de dicho cuadrado respecto de O es CDAB. II. ABCD es un cuadrado de BD, entonces el diagonal simétrico de dicho cuadrado respecto de BD es CBAD. III. ABCD es un cuadrado de diagonal BD y de centro O, entonces el simétrico respecto de BD y luego respecto de O es ADCB. A) I, II y III B) I y II C) II y III D) I y III E) I 148. El simétrico del rectángulo ABCD con respecto a la recta que contiene a AC es el rectángulo AB ' CD ' . Si AB = a y BC = b (a < b), entonces la longitud de BD ' es

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

A) C) E)

2b2 − a2 a 2 + b2 a2 + b2 b −a ab 2

2

B) D)

b2 − a 2 a 2 + b2

( b − a )2 a 2 + b2

b2 − a2

149. El simétrico del triángulo ABC, con respecto a la recta JJJGque contiene a la bisectriz interior AD , es el triángulo AB ' C ' . Si AB = c, BC = a y AC = b (b > a > c), entonces la longitud de B ' C es A) c – a B) b – c C) a – b D) a + b E) b + c 150. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior AD y BH es perpendicular a AD (H ∈ AD ) . Si AB = ( 3 5 + 5 ) u y m∠ACB = 18, entonces ¿cuál es la longitud (en u) de HD ? B) 3 5 C) 4 A) 2 5 D) 5 E) 6

151. Dado el pentágono regular ABCDE, AD ∩ BE = {P} , BD ∩ AC = {Q} y JJJG PQ ∩ BC = {R} . Si PQ = 6 + 2 5 , calcule RC 5 A) 1 B) 2 C) 2 7 D) 3 E) 2

SEMINARIO Nº 03

D) 0,5

y BC = 5 + 5 u, calcule la longitud

B) 2 2

C)

1 2

E) 1

153. En un pentágono regular ABCDE, las diagonales BE y BD intersectan a AC en los puntos P y Q. Si AB = A , entonces PQ mide A A (3 − 5 ) (2 − 3 ) B) A) 8 4 A A (5 − 2 ) (3 − 5 ) C) D) 2 2 A (6 − 3 ) E) 2 LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 154. En el gráfico adjunto, KLMN es un cuadrado de lado “ A ”, de cada vértice se trazan arcos congruentes de radio A , calcular el perímetro de la figura sombreada. L

K

M

N

A) 2πA D)

152. Desde un punto C exterior a una circunferencia de centro O, se trazan la tangente CB y la secante CA . Si AB es una cuerda de la circunferencia, O ∈ AC , m∠ACB = 18

2

A)

3 πA 4

1 πA 2 4 E) πA 3

B)

C)

2 πA 3

un octágono regular 155. En ABCDEFGH, se ubica M en AE , tal que BD = DM, halle m∠MBD . A) 60 B) 65 C) 70 D) 72 E) 75

(en u) de AB . CEPRE-UNI

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

SEMINARIO Nº 03 B

156. AB y CD son paralelos, P ∈ BC CP = 2, BP = 4. Calcule la longitud del perfil de Gola que une B con C pasando por P. A C

C

D

P

30º A

B

3 π 2 D) 3π

B) π

A)

C) 2π

E) 4π

157. En la figura mostrada ABCD, es un cuadrado de perímetro p. Los arcos q , BED q y AC p tienen centros en BFD los puntos A, C y D respectivamente. Entonces la suma de las longitudes p EF p y FD p es de ED,

B

F

C

E

A

πp 24 5πp D) 24

A)

D

B)

5πp 12

C)

5πp 36

E) πp

158. En la figura adjunta, AC y BD son diámetros de la circunferencia. Halle el perímetro de la figura sombreada, si los arcos tienen como centros los puntos A, B, C, D y AC = 2R. CEPRE-UNI

D

Rπ A) 4 D) 8Rπ

B) 4Rπ

C) 2Rπ

E) 12Rπ

159. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se traza un centro en A, un arco que pasa por el punto O y que intersecta a la semicircunferencia en C. Si AB = 6c m, entonces la longitud (en cm) de la circunferencia tangente a p y BC p es OB , al arco OC 3 5 A) π B) C) 2π π 2 2 3 3 E) π D) 3π 2 160. En un cuadrante está inscrito una circunferencia, calcular la relación entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del cuadrante. 4π ( 2 − 1) 4π ( 2 − 1) A) B) 4+π 2+π 2π ( 2 + 1) 2π ( 2 − 1) D) C) 8+π 8+π π 2 E) 8 161. En una circunferencia C, está inscrito un triángulo rectángulo ABC, las longitudes de las flechas relativos a los catetos miden a y b. Calcule la longitud de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. B) 2π ab C) π 2ab A) π ab

D) 2π 2ba

E) π a2 + b2

GEOMETRÍA

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

162. Se tiene una región limitada por las p , AO p y OB p, semicircunferencias AB tal que O es el punto medio de AB ; p y OB p se encuentran en AO diferentes semiplanos. Si AB = 12 u, entonces la longitud de la línea que divide a dicha región en dos regiones congruentes (en u) es B) 3π C) 4π A) 2π D) 5π E) 6π 163. ABCDEF, es un hexágono regular cuyo lado mide a. Las semicircunferencias, cuyos diámetros son los lados del hexágono, determinan la región sombreada. Halle su perímetro. B

A

C

F

D E

A) πa

B) 2πa

D) 3πa

E) 4πa

C)

3πa 2

164. En la figura mostrada ABCD, es un cuadrado de lado a, M y N son puntos de tangencia. Hallar la longitud del arco PQ. B

C

SEMINARIO Nº 03

πa 8 πa D) 2

A)

B)

πa 6

C)

πa 4

E) πa

165. En un sector circular AOB cuyo ángulo central mide 60, se inscribe una circunferencia. Si OB = OA = A , calcular la longitud de circunferencia inscrita. πA 2πA πA B) C) A) 3 3 2 4πA D) πA E) 3 166. Dado un cuadrado ABCD, de lado a, se traza el arco BD con centro en A y radio de longitud a. Hallar la longitud de la circunferencia con centro en CD , tangente al arco BD y al lado BC en C. πa πa πa 2 A) B) C) 2 4 2 πa 6 E) πa D) 3 167. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se dibuja una circunferencia de centro O1, p en el punto C tangente al arco AB (arco AC es menor que el arco BC) se traza CH ⊥ AB (H en AB ). Si OB = 2CH y OO1 = 4 u, entonces la longitud del arco BC. B) 5π C) 6π A) 4π D) 7π E) 8π

Q

P M

A CEPRE-UNI

N

D GEOMETRÍA

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