3.Pauta_1_PS_FMM_002_2011_-_01

Universid Unive rsidad ad Andr´ es es Bello Bel lo Departamento Depart amento de Matem´ aticas aticas ´ MATEMATICAS - FMM 002

1er Semestre, 2011 PRIMERA PRIMERA PRUEBA PRUEBA SOLEMNE SOLEMNE Viern Viernes es 15 de Abril Abril de 2011 2011

1. Calcule Calcul e el valor num´erico erico de:

3 4

1  9  + 5 4

−

−1

−1

 1  :

−

5

2

Sol:

3 4

−

1  9  + 5 4

−1

−1

 1   :

5

=

−

5 14

2

·

−9

5

=

3−

=−

9 14

1 5

−1

−1

  9 :

−

5

2. Por factoriza factorizaci´ ci´ on, on, simplificaci´ on y operatoria, demuestre que: on 2

x

7x + 10 2 x + 3x 3x − 10 −

−

x2 − 2x − 3 x2 + 2x 2x − 15

 :

−3

x2 − 25



= 2x − 10

Sol:

 (x

5)(x 5)(x − 2) (x + 5)(x 5)(x − 2) −

−

(x − 3)(x 3)(x + 1) (x + 5)(x 5)(x − 3) =

−6



·

(x − 5)(x 5)(x + 5) = −3

x

5 x + 5 −

−

x + 1 x + 5

(x − 5)(x 5)(x + 5) = 2(x 2(x − 5) = 2x 2x − 10 x + 5 −3 ·

3. (a) (a) Dados Dados log log p =  p  = 2;log q  =   = 3;log r  = 4, calcular calcul ar el valor num´erico erico de log( p3 · q 2) : log( Sol: Aplicando propiedades se obtiene:

 r 3

2

 p) · p)

3log p + 3log p  + 2 log log q  1 (2log r + log p log p)) 3 Evaluando: 3·2+2 ·3 18 = 1 5 (2 · 4 + 2) 3 (b) Encuentr Encuentree  t  si: logt (100) = 2. Sol: Aplicando Aplicando la definici´ definici´ on, se obtiene directamente que: on, t2 = 100 ⇒ t  = 10 ∨ t  =

−10

y dado que la base tiene que ser positiva nos quedamos con  t  = 10.



·

(x − 5)(x 5)(x + 5) −3

4. Encuentr Encuentree el valor de inc´ ognita ognita x  en la siguiente ecuaci´ on: on: 1 + x + x2 2x − 5  1 = + 3x 6 2 Sol: 1 + x + x2 2x − 5 1 = + / · 6x ⇔ 2(1 + x + x2 ) = x(2  x (2x x − 5) + 3x 3x 3x 6 2 ⇔

2 + 2x 2x2 = 2x2 − 5x + 3x 3x ⇔ −2x  = 2 ⇒ x  =

−1

5. Entre las tiendas A y B de una empresa hay almacenados un total de 2000 prendas del mismo tipo. Si se transporta el 20% del local A al B, se sabe que los dos locales quedar´ an an con el mismo n´ umero umero de prendas. ¿Cu´ antas antas prendas hab´ hab´ıa en e n cada ca da lo cal? Sol: Si inicialmente en la tienda A tienda A  hay x  hay  x  prendas y en B en  B hay y hay y  prendas, al imponer la condici´ on on se llega a que en la tienda A tienda  A  queda  que darr´ıa con co n 0.8x  y en la tienda B tienda  B  qued  q uedar´ ar´ıa ıa con co n y + 0.2x.Por enunciado se impone: 0.8x  = y  =  y +  + 0. 0 .2x ⇔ 6x − 10 10yy  = 0 Adem´ as, inicialmente hay 2000 prendas en total, es decir x  + y as,  +  y   = 2000. Formand ormando o un sistem sistema a de ecuaciones se llega a que x  = 1250 e y  = 750, que son las cantidades cantidades que hab´ hab´ıan al principio principio en los locales. ´ DURACI ON: 90 MINUTOS NO PUEDE UTILIZAR CALCULADORA SIN CONSULTAS