3.Mini Formulario Geometria

Academia ANTONIO RAIMONDI

Formulario Básico

SEGMENTO

BC =

Cuaterna armónica:

ÁNGULOS

4

g

 A

g

B

1

g

C

2

3

g

D

4

2

3



1 1 2 + =  AB AD AC

α

agud ag udoo :

 AB AD = BC CD (T. de Descartes)

     o      x      e      v      n      o        C

⇒

α

α

obtuso:

ángulo llano

n 1 n +1 + =  AB AD AC

E B

α =

= 90º

90 º < α < 18 0 º 180º

ángulo co concavo: 180º< α < 360º α

* Relac Relación ión de de Isaac Isaac Newt Newton on  A

0 º < α < 90 º

recto:

En forma general si se cumple que: ( AB ) ( CD ) = n ( BC ) ( AD )

1

Según su magnitud

Se cumple: 1

 AD − DE 4

C

D

ángulo de una vuelta: α = 360º

EC2 = EB × ED

α

* Segme Segmento nto que que une los punt puntos os medios medios de Según sus características: características:  AB y CD : com plementarios α y θ son complementarios B C D  A α + θ = 90 º α θ M N  AC + BD MN = 2 C x = 90º −x C( R negativo ) = ∃ * Si B y C son son puntos puntos medio medioss de AE AE y BD BD  A

B

C

D

C( mayor de 90º ) = ∃

E

θ α

α

y θ son suplementarios +

180º

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Formulario Básico

S( R negativo ) = ∃

S x = 180º −x

2

S( mayor de 180º ) = ∃

M

α

x

α

θ

= β α + 180º

β

Propiedades entre rectas paralelas

α

+θ + β= x+ y

y

β

N M an an −1

a1 + a2 + a3 + ... + an = 180º

α

TRIÁNGULOS

a4 a3

B

a2

a1

N

 A

β α + 180º = n

α c

β

 A

α = β

α

β

β α =

α Si sus lados βson perpendiculares

β α = α

Re gión interior  Región exterior  relativa a BC

Región exterior  relativa a AB

Si sus lados son Paralelos

β

β α =

β

Región exterior  relativa a AC

C

B β

a

α p

θ

b

*

= θα + β + 180º

*

Si : a>b>c ⇒ β α > θ >

*

m + n + p = 360º

m C

Clasificación de los Triángulos:

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Formulario Básico

* Por sus lados

B

θ

α

60º

α

β

60º

α

α

base ∆ Escaleno ∆ Isosceles * Por sus ángulos

60º

∆ Equilatero

θ

     o       t      e       t      a      c

cateto

 A   s   o    l   u   g   n    á   u   c    i    l    b    O   s   o    l   u   g   n    á    i   r    T

c θ

c

a

β

m+n = a + b n

m m

α

θ

 A

30º

k 3

B β

φ φ

x

53º µ

3k − A x = 90º

β

B

α

Baricentro

2a

α α

Circuncentro

g

 A

D

x

µ  A

x = 90º −

θ

a

3a

M

C

3a

B

2

C

 A

 AC BM= 2

B  A

D

α α  A

4k

Ortocentro

B

C

θ

θ

37º

α

C  A Propiedades en el Triángulo Rectángulo

θ

θ

θ C

x θ

µ  A x= 2

a

5k

4

θ

B$ x = 90º + 2 x

2k

k

n

Triángulo Obtusángulo α > 90º ; θc ⇒ a2 > b2 + c 2

Propiedades: B

α

m + n = a +60º b

b

a

b

α

3

a

BC2 = AB2 + AC2

Triángulo Acutángulo α < 90º ; θc ⇒ a2 < b2 + c 2

β

a

C

B

b

α

x b

  s  a   u   n   e    t   o    i  p    h

β

 A

Triángulo Rectángulo

C

xθ= αβ+ +

C

M

b

r 

T. de Poncelet a + b = c + 2r  

c

 A

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Congruencia de Triángulos Caso ALA B B' α

≅

θα =

α  A

θ Triángulos Notables 45º k

k

k 3 53º

24k

k 10

k

 A'

C'

∆ ABC ≅ ∆ A 'B'C'

B

4k        2

C

 A

37º

                                   )

α

Caso LLL

16º

71,5º

α

5k

3k

4

≅ 30º

25k

C'

B'

2k

k 7k

C A' ∆ ABC ≅ ∆ A 'B'C' B

45º 74º

θ

Caso LAL 60º

k 2

α

θ

75º

≅

4k

 A

    −

       6

k

                                   (

       k

15º

18,5º

3k

B'

k ( 6 + 2)

C  A'

C'

∆ ABC ≅ ∆ A 'B'C' POLIGONOS

R Para todo polígono de “n” lados: P

α α

O

PR=PQ

Suma de ángulos int.: S$ i =180º ( n − 2 ) Suma de ángulos exteriores:

Q L P

Total diagonales: D = PA=PB Diagonales medias:

 A M θ

N

 AC MN= 2

θ  A

n ( n − 3) 2

D=

B B

C

S e$ =360º

n ( n − 1) 2

180º ( n − 2 ) n

Un ángulo interior:

R$ i=

Un ángulo exterior:

R e$ =

360º n

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CUADRILATEROS

B

CIRCUNFERENCIA

C

B

B Cuadrado  AB = BC = CD = DA

P

x

x

Pg

 AP = PC = PD = PB

 A

B

Rectángulo

B

 AB = DC y BC=AD P

 A

a a

2x

2x

D

x  A

 A ángulo semi-inscrito

c c

P d d

C

Rombo

B

x=

D

α

+β

x=

2

B

Romboide AP = PC PD=PB

ángulo exterior 

ángulo interior 

C

 A

x

α

AP = PC y PB=PD

D

β

β

x

α

P

ángulo ex-inscrito

 AB = BC = CD = DA

b b

5

x

 AP = PC = PD = PB

B

ángulo inscrito

ángulo central

C

 A

 A

 A

D

B

2x

x

 A

C

α

−β

2

mR ABC = 90º

TRAPECIO:

b

G C M

g

F

D N

g

Q

P

B+b 2

a

I

B MN =

B

H

 A

b

C Teorema de Pitot a+ c =b +d

c

r  O

D

d

PROPORCIONALIDAD

PQ =

2Bb CD = B+b

B−b 2

a b

m n

L1 L2

T. de Thales a b c = = m n p

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c

L3

p

L4 ÁREAS

B αα

c

Triángulo Equilatero

a

c a = m n

x n

m

 A

x 2 =ac − mn

C

m

L

L

h

60º

60º

Área =

L

b

a.b.c = m.n.p

a

Donde : p=

c

p

c

cevacentro n a.b.c = m.n.p

a p

B c

c

r

Si : p=

a

Área = p.r  

 A

c

 A

m

C

b

b

h

a

n

b

C

a

Área =

c R

c 2 = am

h2 = mn

S2 S3 S4 S1 S6 S5

B

 A

c

a En el ∆ acutángulo

m H

n b

abc 4R

B

a2 = b2 + c 2 c 2 = am

a+b+c 2

r 

RELACIONES MÉTRICAS

 A

a+b+c 2

 Área = p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

b

B

h 3 2

Teorema de Heron

b

a

n

m

L2 3 Área = 4

C

c 2 = a2 + b2 − 2 . b . n a2 = c2 + b2 − 2 . b . m

S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 =

B L

C d L

 Área ( ABC ) 6

cuadrado Área = L2

45º 45º

 A

C

D

D2 Área = 2

6

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b m

h

B

B trapecio  B + b  h Área =     2  

S2

S1  Área  A ( ∆ABC) = S 1+ S 2

C

GEOMÉTRIA DEL ESPACIO

rombo

D

POLIEDRO:  Arista Plano Secante

D.d Área = 2 d

Diagonal Cara Vértice

círculo

= 2 Áreaπr 

r 

Área =

πD2 4

Sección Plana

 A

C+ V =A +2

L

α

sec tor circular  Área =

r 

πr 2α 360º

B

a  A

B

g

T

 A

corona circular  Áreaπ= R( 2r−  2 )

r 

R

Área =

πa2 4

T. de Euler 

S R cara = 360º ( v − 2 )

* Si un poliedro está formado por k polígonos de n lados, k 1 polígonos de n1 lados, .... hasta k m polígonos de n m lados; el número de aristas será; kn + k1n1 + L + k mnm  A = 2 ÁNGULO TRIEDRO

O

c a b

L1 L2 C θ2 R O r 

7

B D

Trapecio circular  Área =

θπ ( 2 2 ) R −r   360º

θ

α

 A

β

B

C

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Proyección de una Región Plana Pr opiedades para los ángulos de cara b− a< c< b+ a

1)

B

b− c