3.Hukum Gauss
April 8, 2019 | Author: alesandro | Category: N/A
Short Description
Hukum gauss...
Description
HUKUM GAUSS
D I S U S U N
Oleh
KELOMPOK 3 ALESSANDRO HUTAPEA JANUARITA BR GINTING SOLIKIN Kelas M.Kuliah
NIM. 8166176001 NIM. 8166176009 NIM. 8166176017
: S-2 PEND. FISIKA B 2016 : ELEKTRODINAMIKA ELEKTRODINAMIKA
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat –Nya –Nya lah penulis penulis dapat menyelesaikan menyelesaikan makalah “ Hukum Gauss ’’. Dalam penyusunan makalah ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Karya Sinulingga, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Elektrodinamika yang telah membimbing dalam pembuatan makalah ini. Penulis juga mengucapkan terima terim a kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini. Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam penyusunan makalah ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan makalah ini. Akhirnya penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaaat bagi pembaca.
Medan, Penulis,
September 2017
Kelompok 3
i
DAFTAR ISI
................................................................................... .............................. ........ i KATA PENGANTAR . ............................................................. .................................................................. ............................................ ........................................ .................. ii DAFTAR ISI ............................................ BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ..................................................... ........................................................................... ............................................. .......................1 1 1.2. Rumusan Masalah .................................................... .......................................................................... .........................................2 ...................2 1.3. Tujuan ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .......................2 2 BAB II. PEMBAHASAN 2.1. Fluks Listrik ......................................................... ............................................................................... ............................................. .......................3 3 2.2. Kerapatan Fluks Listrik ............................................ ................................................................... .........................................5 ..................5 2.3. Hukum Gauss ................................................ ...................................................................... ............................................ ..............................8 ........8 2.4. Penerapan Hukum Gauss .................................................... ........................................................................... ............................10 .....10 BAB III. KESIMPULAN 3.1. Kesimpulan ......................................... ............................................................... ............................................ ..................................... ............... 18
..................................................................... ............................ ...... ................ iii DAFTAR PUSTAKA...............................................
ii
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Sebelum adanya hukum gauss, para fisikawan seringkali berfikir, bagaimana dan berapa besar muatan yang terkandung dalam suatu sumber muatan Sejatinya, besarnya muatan tersebut tidak akan tak terbatas. Besarnya medan listrik tersebut haruslah fungsi dari jarak terhadap sumber muatan. Misalnya saja besar medan listrik pada jarak yang lebih besar akan mempunyai nilai yang lebih kecil bila dibandingkan dengan dengan jarak yang lebih dekat dengan sumber muatan. muatan. Hukum Gauss ( Gauss’s
law)
adalah sebuah alternative dari hukum
Columb untuk untuk menyatakan hubungan antara muatan listrik dan medan listrik. Hukum itu dirumuskan oleh Carl Friedrich 11.8 Gauss (1777-1855), salah s eorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang Hukum matematika yang dipengaruhinya, dan dia membuat kontribusi yang sama pentingnya untuk fisika teoritis. Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebarang permukaan tertutup (sebuah permukaan yang mencakup volume tertentu) sebanding dengan muatan listrik (netto) total di dalam permukaan itu. Kita sekarang akan mengembangkan secara lebih tepat. Kita akan mengawalinya dengan medan sebuah muatan titik positif tunggal q. Garis-garis medan itu dipancarkan keluar sama besar dalam semua arah. Kita menempatkan muatan ini di pusat sebuah permukaan bola khayal yang jari-jarinya R. Besar E dari medan listrik listr ik di tiap-tiap tiap -tiap
41
titik pada permukaan itu diberikan oleh
Hukum Gauss adalah bagian dari kunci penggunaan pertimbangan simetri untuk menyederhanakan perhitungan medan-listrik. Misalnya, medan distribusi muatan garis lurus atau distribusi muatan lembar bidang, Sebagai tambahan untuk membuat perhitungan tertentu lebih mudah, hukum Gauss akan memberikan juga
3
kepada kita pandangan ke dalam (insight ( insight ) mengenai bagaimana muatan listrik mendistribusikan dirinya pada benda penghantar (konduktor). Jadi lewat pemaparan dan penjelasan di atas, dapat dijelaskan secara singkat, bahwa hukum Gauss yang juga dikenal sebagai teorema fluks's Gauss, adalah hukum yang berkaitan distribusi muatan listrik list rik untuk yang dihasilkan medan listrik . Dan disini akan dijelaskan dalam makalah ini yang berkaitan dengan fluks listrik dan hukum gauss.
1.2. Rumusan Masalah
1. Bagaimana fluks listrik? 2. Bagaimana kerapatan fluks listrik? 3. Bagaimana hukum gauss? 4. Apa saja penerapan hukum gauss?
1.3. Tujuan
1. Untuk mengetahui fluks listrik. 2. Untuk mengetahui kerapatan fluks listri. 3. Untuk mengetahui hukum gauss. 4. Untuk mengetahui penerapan hukum gauss.
4
BAB. II PEMBAHASAN 2.1.
Fluks Listrik
Sebelum membicarakan hukum Gauss, lebih dahulu harus dipahami
pengertian Fluks Fluks Iistrik. Fluks berkaitan dengan besaran besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu. Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam arah tegak lurus l urus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan l istrik (yaitu penggambaran medan listrik sebagai garis-garis). Dengan penggambaran medan
seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya banyaknya “garis” medan yang menembus suatu
permukaan.
Fluks
listrik
yang
dihasilkan oleh medan E
pada
yang
permukaan
luasnya
dA
adalah :
.
. ℎ . . ℎ . . ℎ .cos ∫ =
Arah elemen luas dA ditentukan dari arah ar ah normal permukaan tersebut. Fluks listrik disebabkan adanya medan listrik, berarti adanya muatan menimbulkan fluks
5
listrik. Sehingga fluks listrik adalah ukuran aliran medan listrik yang melalui sebuah permukaan. Fluks listrik total yang melalui permukaan pada dua titik adalah SAMA.
PengertianHukum PengertianHukum Gauss
Fluks listrik Φ yang melalui permukaan datar seluas A adalah :
ΦE = E A cosφ= E•A
(1)
Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu adalah sama dengan muatan listrik yang dicakup oleh permukaan tertutup itu sehingga satuan dari fluks listrik adalah sama dengan satuan muatan listrik. Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup dapat dihitung dengan menggunakan hukum Gauss. Dan yang dinamakan permukaan tertutup itu seperti gambar dibawah ini:
Permukaan tertutup adalah sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan netto. Untuk menentukan kandungan kotak tersebut, kita hanya perlu
6
mengukur medan listrik E pada pada permukaan tertutup. Fluks listrik
E
yang melalui
sebuah permukaan didefinisikan sebagai: = E E = E
(2)
Dan jika luas permukaan tidak tegak lurus terhadap medan listrik maka luas yang diperhitungkan adalah A sehingga:
⊥
⊥
= A cos , dimana adalah sudut antara A dan A, A,
= EA E = EA
cos
(3)
Sehingga fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian-titik medan listrik E dan luas yang dilewatinya A, namun secara fisis f isis fluks menggambarkan banyaknya garis medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Ji ka kita ilustrasikan dalam gambar :
Menghitung Fluks Listrik
Jika medan listrik E tidak homogen atau pada sembarang bidang yaitu berubah dari titik ke titik pada luas A, A, maka fluks listrik itu sama dengan hasil perkalian elemen ele men luas dan komponen tegak lurus dari E , yang diintegralkan pada sebuah permukaan.
E
Contoh Soal 1 :
⊥
= ∫ E cos dA = ∫ E dA = ∫ E·Da
(4)
7
Fluks listrik melalui sebuah cakram dengan jari-jari 0,10 m diorientasikan dengan vektor satuan normal n terhadap sebuah medan listrik homogen yang besarnya 2,0 x 10 3 N/C. Berapa fluks listrik yang melalui cakram jika: a) membentuk sudut 30 o? b) tegak lurus terhadap medan listrik? c) sejajar dengan medan listrik? Diketahui : r = 0,10 m; E = = 2,0 x 10 3 N/C Ditanya
: E jika a) =30o b) =90o c) =0o
Jawab
: Luas A Luas A = = (0,10 m)2 = 0,0314 m 2
a)
b)
c)
Contoh Soal 2 :
8
Fluks listrik melalui sebuah bola Sebuah muatan titik positif q = 3,0
μC dikelilingi oleh sebuah bola dengan
jari-jari
berpusat Berapakah
pada fluks
0,20
m
yang
muatan
itu.
listrik
yang
melalui bola yang ditimbulkan muatan itu?
Penyelesaian Diketahui : r = 0,20 m; q = 3,0 μC Ditanya
: E = ?
Jawab
: Besar E pada setiap titik adalah:
Fluks total yang keluar dari bola itu adalah:
Contoh soal 3 : Jika terdapat persegi dengan panjang sisi 20 cm, lalu bila sebuah medan listrik homogen sebesar 200 N/C ditembakkan ke arahnya dengan arah yang tegak lurus bidang persegi tersebut, berapa jumlah garis medan listrik yang menembus bidang persegi tersebut (fluks listrik)? Jawab
Luas Persegi = 20 x 20 = 400 cm 2 = 4 x 10 -2 m2
9
Jumlah Garis yang menembus bidang
Φ = E. A Φ = 200. 4 x 10 -2 m Φ = 8 weber Contoh soal 4: Sobat punya sebuah bidan lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Jika ada kuat medan listrik sebesar 200 N/C mengarah pada bidang tersebut dengan membentuk sudut 300 terhadap bidang. Tentukan berapa fluks listrik tersebut? Jawab
Luas Bidang = Luas = Luas lingkaran = π r 2 = 22/7 x 49 = 154 cm 2 = 1,54 x 10-2 m 2 Cos θ = Cos 60 o
( θ = sudut yang dibentuk oleh E dan garis normal — lihat lihat gambar sebelumnya – ) Φ = E. A.cos θ Φ = 200. 1,54 x 10 -2 . 0,5 Φ = 1,54 weber Formula hukum Gauss ini dapat dikembangkan menjadi teorema divergensi yang mengubah bentuk integral permukaan tertutup menjadi integral volume. Dalam hal ini diperlukan divergensi dari vector rapat fluks D yang ditampilkan dalam system koordinat kartesian, silinder, atau bola, sesuai dengan persoalan yang ditemukan di lapangan. Dari teorema divergensi dapat diperoleh formula untuk mendapatkan muatan ruang didalam satu kubus atau bola. 2.2 Kerapatan Fluks Listrik
Misalkan D adalah suatu medan vector baru yang tidak bergantung pada
Ψ Ψ ∫ .
medium dan didefinisikan oleh D=
Didefenisikan fluks listrik
(5)
dalam D sebagai
=
(6)
10
Dalam satuan SI, satu garis fluks listrik berawal dari +1 C dan berakhir pada -1 C sehingga fluks listrik diukur dalam coulomb. Oleh karena itu medan vector D
kerapatan fluks f luks list li strr i k dan diukur dalam coulomb persegi. Untuk alasan disebut kerapa historis, kerapatan fluks listrik disebut juga sebagai pe perpinda rpindahan han listr listr ik (ele (elect ctrr ic
displacement). Dari persamaan (5) terlihat bahwa semua rumus untuk E yang diturunkan
dari hokum coulomb dapat digunakan untuk menghitung D, yaitu dengan cara mengalikan rumus tersebut dengan
.
Untuk muatan lembar antek – terhingga, terhingga, persamaan (5) dan (6) menghasilkan
∫
D=
(7)
Dan untuk distribusi muatan volume, persamaan nya memberikan D=
(8)
Dari persamaan 7 dan 8 terlihat bahwa D adalah fungsi dari muatan dan posisi saja; D tidak bergantung kepada medium.
Contoh soal
Tentukan D di (4,0,3) jika terdapat muatan titik -5 3 mc/m di sepanjang sumbu-y
mC di (4,0,0) dan muatan garis
Gambar 1 Kerapatan fluks D oleh muatan titik dan muatan garis tak – terhingga terhingga
+
D =
11
|(|−−−′′)| − 5 5 . 10 1 0 4|0,0,0, 30|,0,3 / 2 |4,4,0,3 0,0,0| |4,4,44,,00,,33 0,0,00,,00| 4,50,3 4 + 3 240 +42/ . ∮ ∮ . ∫ ∮. . ∮. E=
r – r’ (4,0,0) = (0,0,3) – r’ = (4,0,3) – (4,0,0)
= -0.138
=
= = 5
+3
) = 0.24
+3
) = 0.243
+0.183
mC/
D=3
2.3 HUKUM GAUSS
Hukum Gauss merupakan salah satu hokum dasar elektromagnetisme. Hukum Gauss menyatakan bahwa total fluks listrik yang melalui suatu
permukaan tertutup adalah adalah sama dengan dengan total muatan muatan listrik yang terlingkupi oleh permukaan tersebut. Jadi,
=
(9)
Yakni ,
= total muatan yang terlingkupi Q=
(10)
Atau
Q=
Dimana,
=
D = vector rapat fluks listrik =
(11)
(C / m 2 )
E
E = vector intensitas medan listrik (V/m) = permitivitas dielektrik medium (F/m) = 0 r =
12
r
= permitivitas relatif (tidak memiliki dimensi)
Berdasarkan definisi muatan q Coulomb yang menempati volume V dengan kerapatan muatan ruang q v yang terdisribusi merata diberikan oleh q=
q
V
dV
(12)
V
dari persamaan (11) dan (12), kita peroleh :
q
E D.dS
V
dV
v vol ume
S
Teorema Divergensi
Operator del didefinisikan sebagai operator vektor derivatif : = ax
x
a y
y
a z
z
Divergensi vektor D, ditulis div D, adalah produk skalar antara operator vektor derivatif dan vektor D :
Div D = . D a x
=
D x
a y a z ( Dxax+ Dyay + Dzaz ) x y z
D y
x
y
D z z
Teorema divergensi menurut teori kalkulus ádalah mengubah bentuk integral luas menjadi bentuk integral volume :
D.dS DdV S luas
V volume
Sisi kiri Persamaan dapat ditulis
D.dS dD dS 13
D y a y D x a x D z a z dx dy a z dz dan y z x
Dimana : dD =
dS = dydza x + dxdzay +dxdya z, maka persamaan menjadi
D.dS
S luas
D x D y Dz dxdydz . DdV y z x v volume
Dari persamaan diperoleh
D qv Persamaan diatas mengisyaratkan bahwa divergensi vektor rapay fluks listrik D adalah fluks listrik total yang dipancarkan persatuan volume yang memancarkan fluks tesebut. Dalam tiga dimensi, persamaannya menjadi
D =
D x x
D y y
D z z
= qv
∮. . ∮. ∇.
Dengan menerapkan teorema divergensi pada bagian tengah persamaan (11) =
∇.∇.
Dengan membandingkan integral volume persamaan (11) dengan (12) diperoleh
(13)
Dimana ini merupakan persamaan pertama dari empat persamaan Maxwell.
Persamaan 13 menyatakan bahwa kerapatan muatan volume adalah sama dengan divergensi kerapatan fluks listrik.
Contoh Soal:
14
1. Dengan menggunakan hukum Gauss dan teoerema divergensi, tentukanlah: fluks listrik yang dipancarkan dari kubus -2
z
2 m.
Untuk
a y
D=
y
2
x
2 m;
-2
y 2
m dan -2
C/m2
Solusi
Dengan menggunakan hukum Gauss kita peroleh fluks
D.dS
E
s luas
=
( D a x
2
=
x
D y a y D z a z ) (dydza x dxdza y dxdya z )
2
2 2
2 2
D dydz + D dxdz + D dxdy x
y
2 2
z
2 2
22
2
1 2 2 = 0.( y ) 2 ( x ) 2 + 2 ( x ) 2 ( z ) 2 + 0.( x) 22 ( y ) 22 y 2 2
2
= 0 + 0 +0 =0 Dengan menggunakan teorema divergensi kita peroleh fluks Maka fluks listriknya adalah
Div D =
dD y
=
dy
; (satu
dimensi)
1
y 3
Maka fluks listriknya adalah E
Div D dV
15
y 2
x 2
1 dx x 2
y 2
1
y
3
z 2
dy
dz
z 2
0 2. Diketahui vektor rapat fluks listrik D =
10 2
z
a z nC / m
2
serba sama. Tentukan fluks
listrik yang dipancarkan dari permukaan balok -4m
x, y , z
4m dengan
menggunakan : a. Hukum gauss b. Teorema divergensi Solusi
a. Dengan menggunakan hukum Gauss, kita peroleh fluks li strik E
D.ds S = luas
y 4 z 4
=
x 4 y 4
x 4 z 4
D dydz + D dxdz + D dxdy x
y
y
y 4 z 4
x 4 y 4
x 4 z 4
4
=
0
+
0+
10 4 4 2 ( x) 4 ( y) 4 z 4
x
10-9
=
0
nC
b. Dengan menggunakan teorema divergensi Div D =
dD z
=
dz
; (satu
dimensi)
20 z
3
16
Maka fluks listriknya adalah E
Div D dV x 4
20 dx x 4
y 4
y 4
z 4
dy
z 4
1 3
z
dz
1 1 (20)(1 / 2)(8)(8) 16 16 0 Catatan:
1. Persamaan 11 dan 13 pada dasarnya menyatakan Hukum Gauss dalam cara yang berbeda; pers. 11 adalah bentuk integral, sedangkan pers.13 adalah bentuk diferensial atau bentuk titik dari hukum Gauss. 2. Hukum Gauss adalah pernyataan alternative dari hukum Coulomb; penerapan yang tepat dari teorema divergensi terhadap hukum Coulomb menghasilkan hukum Gauss. 3. Hukum Gauss memberikan kemudahan dalam mencari E atau D untuk distribusi muatan yang simetris seperti muatan titik, muatan garis tak terhingga, muatan permukaan silinder tak-terhingga dan muatan yang terdistri busi dengan bentuk bola. Distribusi muatan Kontinyu memiliki simetri jika distribusi
, Φ
tersebut hanya bergantung pada x (atau y atau z), simetri silinder jika hanya bergantung pada bergantung pada
atau simetri bola jika hanya bergantung pada r (tidak ). Perlu ditekankan di sini bahwa apakah distribusi
muatan simetris atau tidak, hukum Gauss tetap berlaku.
2.4 PENERAPAN HUKUM GAUSS
Prosedur penerapan hukum Gauss untuk menghitung medan listrik melibatkan pengetahuan tentang apakah ada simetri distribusi muatan atau tidak. Apabila distribusi muatan ada, selanjutnya adalah membentuk permukaan tertutup matematika (dikenal sebagai permukaan gauss). Permukaan Gauss dipilih sehingga D tegak lurus (normal) (normal) atau menyinggung (tangential) ( tangential) terhadap permukaan Gauss
17
bila D tegak lurus permukaan, D.dS = D ds karena D tetap di permukaan ini. Bila D menyinggung (tangensial) permukaan, D.ds = 0. Jadi kita harus memilih permuakaan sehingga diperoleh simetri dari distribusi muatan. a.
Muatan Titik
Misalkan terdapat muatan titik Q di titik asal. Untuk menentukan D di titik P, dengan mudah terlihat bahwa memilih permukaan bola yang mengandung P akan memenuhi kondisi simetri. Jadi, permukaan bola yang berpusat di titik asal merupakan permukaan Gauss dalam kasus ini dan ditunjukkan pada gambar
Gambar 2 Permukaan Gauss untuk muatan titik
∮. . ∮. 4
Karena D dimana-mana tegak lurus terhadap permukaan Gauss, yakni D = D r ar, maka dengan menerapkan hukum Gauss ( = muatan yang terlingkupi, Q enclose), diperoleh Q=
=
=
Merupakan luas area permukaan Gauss. Jadi, D=
Contoh Soal:
1. Tentukan kerapatan muatan ruang q v di titik P(3,4,5) m untuk masing-masing vektor rapat fluks listrik di bawah ini.
18
D=
a x x
2
a y y
2
a z 2
z
C / m
2
Solusi
qv =
D
Dx
=-
x
=
3
2
2 27
= -0,121
b.
Dz
y
2 x
Dy
y
z
2
3
2 64
3
z
6 3 x10 C / m 125
C / m
2
3
Muatan Garis Tak -Terhingga
Gambar 3 Permukaan Gauss untuk muatan garis tak terhingga Misalkan terdapat muatan garis tak-terhingga dengan kerapatan muatan seragam terletak di sepanjang sumbu-z. Untuk menentukan D di titik P, dipilih permukaan
19
silinder yang mengandung P untuk memenuhi kondisi simetris seperti ditunjukan
. ∮ . ∮ 2 ∮ 2
padagambar 4.10 D konstan pada dan tegak lurus terhadap permukaan Gauss silinder; yakni D=
Jika diterapkan hukum Gauss pada sembarang
panjang dari garis,
= = Q = =
Dimana
∮ .
adalah luas permukaan Gauss.
pada pada permukaan atas dan dan bawah bawah silinder adalah nol karena D tidak memiliki memiliki
komponen di arah – z dan dalam hal ini D menyinggung permukaan tersebut. Jadi, D=
c.
Lembaran Muatan Tak-Terhingga
/
Gambar 4 Permukaan Gauss untuk lembaran muatan tak terhingga Peratikan lembar antak-terhingga dari muatan seragam
yang
terletak pada bidang z = 0. Untuk menentukan D di titik p, dipilih kotak segi-empat yang dipotong secara simetris oleh lembaran muatan dan memiliki dua permukaan
,
sejajar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. karena D tegak lurus lembaran, maka D=
dan jika di terapkan hokum Gauss diperoleh: dan
20
∫∫ ∮∮.. [∫[.∫. +++∫.∫. ]] ℎ
(14)
(15)
Perhatikan bahwa D.dS pada sisi samping kotak adalah nol karena D tidak memiliki komponen sepanjang a x dan ay . jika area atas dan bawah dari kotak masing – masing memiliki luas A, persamaan (14) menjadi:
+
(16)
Dan dengan begitu Atau d.
(17)
Bola Bermuatan Seragam / Distribusi Muatan Simetri
/≤
Perhatikan bola dengan jejari a dan kerapatan muatan seragam . Untuk menentukan D di setiap titik, akan dibangun permukaan Gauss untuk dan secara terpisah. Karena muatan memiliki simetri bola, sangat jelas bahwa permukaan bola merupakan permukaan permukaan Gauss yang sesuai.
≥
≤ Π ===
Untuk , total muatan yang terlingkupi oleh permukaan bola berjejari r, seperti ditunjukkan oleh gambar,
=
21
∮ . ∮ ∫=Π ∫= 4 4 43 0
View more...
Comments