3.Hukum Gauss

HUKUM GAUSS

D I S U S U N

Oleh

KELOMPOK 3 ALESSANDRO HUTAPEA JANUARITA BR GINTING SOLIKIN Kelas M.Kuliah

NIM. 8166176001 NIM. 8166176009 NIM. 8166176017

: S-2 PEND. FISIKA B 2016 : ELEKTRODINAMIKA ELEKTRODINAMIKA

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas  berkat dan rahmat –Nya  –Nya lah penulis penulis dapat menyelesaikan menyelesaikan makalah “ Hukum Gauss ’’. Dalam penyusunan makalah ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Karya Sinulingga, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Elektrodinamika yang telah membimbing dalam pembuatan makalah ini. Penulis  juga mengucapkan terima terim a kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini. Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam penyusunan makalah ini. Oleh karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca sangat diharapkan untuk perbaikan makalah ini. Akhirnya penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaaat bagi pembaca.

Medan, Penulis,

September 2017

Kelompok 3

i

DAFTAR ISI

................................................................................... .............................. ........ i KATA PENGANTAR . ............................................................. .................................................................. ............................................ ........................................ .................. ii DAFTAR ISI ............................................ BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ..................................................... ........................................................................... ............................................. .......................1 1 1.2. Rumusan Masalah .................................................... .......................................................................... .........................................2 ...................2 1.3. Tujuan ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .......................2 2 BAB II. PEMBAHASAN 2.1. Fluks Listrik ......................................................... ............................................................................... ............................................. .......................3 3 2.2. Kerapatan Fluks Listrik ............................................ ................................................................... .........................................5 ..................5 2.3. Hukum Gauss ................................................ ...................................................................... ............................................ ..............................8 ........8 2.4. Penerapan Hukum Gauss .................................................... ........................................................................... ............................10 .....10 BAB III. KESIMPULAN 3.1. Kesimpulan ......................................... ............................................................... ............................................ ..................................... ............... 18

..................................................................... ............................ ...... ................ iii DAFTAR PUSTAKA...............................................

ii

BAB I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Sebelum adanya hukum gauss, para fisikawan seringkali berfikir,  bagaimana dan berapa besar muatan yang terkandung dalam suatu sumber muatan Sejatinya, besarnya muatan tersebut tidak akan tak terbatas. Besarnya medan listrik tersebut haruslah fungsi dari jarak terhadap sumber muatan. Misalnya saja besar medan listrik pada jarak yang lebih besar akan mempunyai nilai yang lebih kecil  bila dibandingkan dengan dengan jarak yang lebih dekat dengan sumber muatan. muatan. Hukum Gauss ( Gauss’s

law)

adalah sebuah alternative dari hukum

Columb untuk untuk menyatakan hubungan antara muatan listrik dan medan listrik. Hukum itu dirumuskan oleh Carl Friedrich 11.8 Gauss (1777-1855), salah s eorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang Hukum matematika yang dipengaruhinya, dan dia membuat kontribusi yang sama pentingnya untuk fisika teoritis. Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebarang  permukaan tertutup (sebuah permukaan yang mencakup volume tertentu) sebanding dengan muatan listrik (netto) total di dalam permukaan itu. Kita sekarang akan mengembangkan secara lebih tepat. Kita akan mengawalinya dengan medan sebuah muatan titik positif tunggal q. Garis-garis medan itu dipancarkan keluar sama besar dalam semua arah. Kita menempatkan muatan ini di pusat sebuah  permukaan bola khayal yang jari-jarinya R. Besar E dari medan listrik listr ik di tiap-tiap tiap -tiap

  41 

titik pada permukaan itu diberikan oleh

Hukum Gauss adalah bagian dari kunci penggunaan pertimbangan simetri untuk menyederhanakan perhitungan medan-listrik. Misalnya, medan distribusi muatan garis lurus atau distribusi muatan lembar bidang, Sebagai tambahan untuk membuat perhitungan tertentu lebih mudah, hukum Gauss akan memberikan juga

3

kepada kita pandangan ke dalam (insight  ( insight ) mengenai bagaimana muatan listrik mendistribusikan dirinya pada benda penghantar (konduktor). Jadi lewat pemaparan dan penjelasan di atas, dapat dijelaskan secara singkat, bahwa hukum Gauss yang juga dikenal sebagai teorema fluks's Gauss, adalah hukum yang berkaitan distribusi muatan listrik list rik untuk yang dihasilkan medan listrik . Dan disini akan dijelaskan dalam makalah ini yang berkaitan dengan fluks listrik dan hukum gauss.

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimana fluks listrik? 2. Bagaimana kerapatan fluks listrik? 3. Bagaimana hukum gauss? 4. Apa saja penerapan hukum gauss?

1.3. Tujuan

1. Untuk mengetahui fluks listrik. 2. Untuk mengetahui kerapatan fluks listri. 3. Untuk mengetahui hukum gauss. 4. Untuk mengetahui penerapan hukum gauss.

4

BAB. II PEMBAHASAN 2.1.

Fluks Listrik

Sebelum membicarakan hukum Gauss, lebih dahulu harus dipahami

 pengertian Fluks Fluks Iistrik. Fluks berkaitan dengan besaran besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu. Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam arah tegak lurus l urus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan l istrik (yaitu  penggambaran medan listrik sebagai garis-garis). Dengan penggambaran medan

seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya banyaknya “garis” medan yang menembus suatu

permukaan.

Fluks

listrik

yang

dihasilkan oleh medan E

pada

yang

permukaan

luasnya

dA

adalah :

.  

.        ℎ .  .   ℎ .   . ℎ .cos ∫ =

Arah elemen luas dA ditentukan dari arah ar ah normal permukaan tersebut. Fluks listrik disebabkan adanya medan listrik, berarti adanya muatan menimbulkan fluks

5

listrik. Sehingga fluks listrik adalah ukuran aliran medan listrik yang melalui sebuah permukaan. Fluks listrik total yang melalui permukaan pada dua titik adalah SAMA.

PengertianHukum PengertianHukum Gauss

Fluks listrik Φ yang melalui permukaan datar seluas A adalah :

ΦE = E A cosφ= E•A 

(1)

Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup dengan luas  permukaan tertentu adalah sama dengan muatan listrik yang dicakup oleh  permukaan tertutup itu sehingga satuan dari fluks listrik adalah sama dengan satuan muatan listrik. Fluks listrik yang dipancarkan dari suatu permukaan tertutup dapat dihitung dengan menggunakan hukum Gauss. Dan yang dinamakan permukaan tertutup itu seperti gambar dibawah ini:

Permukaan tertutup adalah sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan netto. Untuk menentukan kandungan kotak tersebut, kita hanya  perlu

6

mengukur medan listrik E  pada  pada permukaan tertutup. Fluks listrik

E

yang melalui

sebuah permukaan didefinisikan sebagai:  = E   E = E 

(2)

Dan jika luas permukaan tidak tegak lurus terhadap medan listrik maka luas yang diperhitungkan adalah  A sehingga:

⊥

⊥

=  A cos   , dimana   adalah sudut antara  A   dan  A,  A,

 = EA E = EA

cos   

(3)

Sehingga fluks listrik didefinisikan sebagai perkalian-titik medan listrik E dan luas yang dilewatinya A, namun secara fisis f isis fluks menggambarkan banyaknya garis medan magnet yang menembus sebuah permukaan luas. Ji ka kita ilustrasikan dalam gambar :

Menghitung Fluks Listrik

Jika medan listrik  E  tidak homogen atau pada sembarang bidang yaitu  berubah dari titik ke titik pada luas  A,  A, maka fluks listrik itu sama dengan hasil  perkalian elemen ele men luas dan komponen tegak lurus dari  E , yang diintegralkan pada sebuah permukaan.

E

Contoh Soal 1 :

⊥

= ∫ E cos   dA = ∫ E   dA = ∫ E·Da

(4)

7

Fluks listrik melalui sebuah cakram dengan jari-jari 0,10 m diorientasikan dengan vektor satuan normal n  terhadap sebuah medan listrik homogen yang  besarnya 2,0 x 10 3  N/C. Berapa fluks listrik yang melalui cakram jika: a) membentuk sudut 30 o? b) tegak lurus terhadap medan listrik? c) sejajar dengan medan listrik? Diketahui : r  = 0,10 m;  E  =  = 2,0 x 10 3 N/C Ditanya

:  E  jika a)  =30o  b)  =90o c)  =0o

Jawab

: Luas A Luas A =  = (0,10 m)2 = 0,0314 m 2

a)

 b)

c)

Contoh Soal 2 :

8

Fluks listrik melalui sebuah bola Sebuah muatan titik positif q = 3,0

μC dikelilingi oleh sebuah bola dengan

jari-jari

 berpusat Berapakah

pada fluks

0,20

m

yang

muatan

itu.

listrik

yang

melalui bola yang ditimbulkan muatan itu?

Penyelesaian Diketahui : r  = 0,20 m; q = 3,0 μC Ditanya

:  E  = ?

Jawab

: Besar E pada setiap titik adalah:

Fluks total yang keluar dari bola itu adalah:

Contoh soal 3 : Jika terdapat persegi dengan panjang sisi 20 cm, lalu bila sebuah medan listrik homogen sebesar 200 N/C ditembakkan ke arahnya dengan arah yang tegak lurus  bidang persegi tersebut, berapa jumlah garis medan listrik yang menembus bidang  persegi tersebut (fluks listrik)? Jawab

Luas Persegi = 20 x 20 = 400 cm 2 = 4 x 10 -2 m2

9

Jumlah Garis yang menembus bidang

Φ = E. A Φ = 200. 4 x 10 -2 m Φ = 8 weber  Contoh soal 4: Sobat punya sebuah bidan lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Jika ada kuat medan listrik sebesar 200 N/C mengarah pada bidang tersebut dengan membentuk sudut 300 terhadap bidang. Tentukan berapa fluks listrik tersebut? Jawab

Luas Bidang = Luas = Luas lingkaran = π r 2 = 22/7 x 49 = 154 cm 2 = 1,54 x 10-2 m 2 Cos θ = Cos 60 o

( θ = sudut yang dibentuk oleh E dan garis normal  —  lihat  lihat gambar sebelumnya – ) Φ = E. A.cos θ Φ = 200. 1,54 x 10 -2 . 0,5 Φ = 1,54 weber  Formula hukum Gauss ini dapat dikembangkan menjadi teorema divergensi yang mengubah bentuk integral permukaan tertutup menjadi integral volume. Dalam hal ini diperlukan divergensi dari vector rapat fluks D yang ditampilkan dalam system koordinat kartesian, silinder, atau bola, sesuai dengan persoalan yang ditemukan di lapangan. Dari teorema divergensi dapat diperoleh formula untuk mendapatkan muatan ruang didalam satu kubus atau bola. 2.2 Kerapatan Fluks Listrik

Misalkan D adalah suatu medan vector baru yang tidak bergantung pada

 Ψ  Ψ ∫ .

medium dan didefinisikan oleh D=

Didefenisikan fluks listrik 

 

(5)

dalam D sebagai

 =

 

(6)

10

Dalam satuan SI, satu garis fluks listrik berawal dari +1 C dan berakhir pada -1 C sehingga fluks listrik diukur dalam coulomb. Oleh karena itu medan vector D

kerapatan fluks f luks list li strr i k  dan diukur dalam coulomb persegi. Untuk alasan disebut kerapa historis, kerapatan fluks listrik disebut juga sebagai pe  perpinda rpindahan han listr listr ik (ele (elect ctrr ic

displacement). Dari persamaan (5) terlihat bahwa semua rumus untuk E yang diturunkan

 

dari hokum coulomb dapat digunakan untuk menghitung D, yaitu dengan cara mengalikan rumus tersebut dengan

.

Untuk muatan lembar antek –  terhingga,  terhingga, persamaan (5) dan (6) menghasilkan

  ∫  

D=

 

(7)

Dan untuk distribusi muatan volume, persamaan nya memberikan D=

 

(8)

Dari persamaan 7 dan 8 terlihat bahwa D adalah fungsi dari muatan dan posisi saja; D tidak bergantung kepada medium.

Contoh soal



Tentukan D di (4,0,3) jika terdapat muatan titik -5 3  mc/m di sepanjang sumbu-y



mC di (4,0,0) dan muatan garis

Gambar 1 Kerapatan fluks D oleh muatan titik dan muatan garis tak  –  terhingga  terhingga

 + 

D =

11

       |(|−−−′′)| − 5 5  . 10 1 0   4|0,0,0, 30|,0,3 /   2   |4,4,0,3 0,0,0|   |4,4,44,,00,,33 0,0,00,,00|  4,50,3    4        + 3 240 +42/      .   ∮  ∮ . ∫    ∮. . ∮.  E=

r – r’  (4,0,0) = (0,0,3)  – r’ = (4,0,3) –  (4,0,0)

= -0.138

 =

 =  = 5

+3

) = 0.24

+3

) = 0.243

+0.183

mC/

D=3

2.3 HUKUM GAUSS

Hukum Gauss merupakan salah satu hokum dasar elektromagnetisme.  Hukum Gauss menyatakan bahwa total fluks listrik   yang melalui suatu

 permukaan tertutup adalah adalah sama dengan dengan total muatan muatan listrik yang terlingkupi oleh  permukaan tersebut. Jadi,

 =

 

(9)

Yakni ,

= total muatan yang terlingkupi Q=

 

(10)

Atau

Q=

Dimana,

 =

 

D = vector rapat fluks listrik =

(11)

(C  / m 2 )

 E    

E = vector intensitas medan listrik (V/m)  = permitivitas dielektrik medium (F/m)    =   0   r  =

12

  r

= permitivitas relatif (tidak memiliki dimensi)

Berdasarkan definisi muatan q Coulomb yang menempati volume V dengan kerapatan muatan ruang q v yang terdisribusi merata diberikan oleh q=

q

V 

dV   

(12)

V 

dari persamaan (11) dan (12), kita peroleh :



q

  E    D.dS  

V 

dV 

v vol ume

S

Teorema Divergensi

Operator del   didefinisikan sebagai operator vektor derivatif :  = ax

  x

 a y

  y

 a z 

  z 

Divergensi vektor D, ditulis div D, adalah produk skalar antara operator vektor derivatif dan vektor D :

 

Div D = . D   a x

 

=

 D x



      a y  a z    ( Dxax+ Dyay + Dzaz )  x  y  z  

 D y

 x



 y

 D z   z 

Teorema divergensi menurut teori kalkulus ádalah mengubah bentuk integral luas menjadi bentuk integral volume :

 D.dS      DdV  S luas

V  volume

Sisi kiri Persamaan dapat ditulis

 D.dS     dD  dS  13

 D y a y   D x a x  D z a z    dx  dy  a z  dz  dan  y  z     x  

Dimana : dD = 

dS = dydza x + dxdzay +dxdya z, maka persamaan menjadi



 D.dS  

S luas



  D x  D y  Dz    dxdydz    . DdV     y  z       x v  volume

Dari persamaan diperoleh

  D   qv Persamaan diatas mengisyaratkan bahwa divergensi vektor rapay fluks listrik D adalah fluks listrik total yang dipancarkan persatuan volume yang memancarkan fluks tesebut. Dalam tiga dimensi, persamaannya menjadi

  D  =

 D x  x



 D y  y



 D z   z 

= qv

∮. . ∮. ∇. 

Dengan menerapkan teorema divergensi pada bagian tengah persamaan (11)  =

  ∇.∇. 

Dengan membandingkan integral volume persamaan (11) dengan (12) diperoleh  

(13)

Dimana ini merupakan persamaan pertama dari empat persamaan Maxwell.

Persamaan 13 menyatakan bahwa kerapatan muatan volume adalah sama dengan divergensi kerapatan fluks listrik.

Contoh Soal:

14

1. Dengan menggunakan hukum Gauss dan teoerema divergensi, tentukanlah: fluks listrik yang dipancarkan dari kubus -2 

z 

 2 m.

Untuk

a y

D=

 y

2



x

 2 m;

-2 

y  2

m dan -2

C/m2

Solusi

Dengan menggunakan hukum Gauss kita peroleh fluks

 D.dS 

  E  

 s luas

=

 ( D a  x

2

=

 x

  D y a y   D z a z  )  (dydza x  dxdza y  dxdya z  )

2

2 2

2 2

  D dydz +   D dxdz  +   D dxdy  x

 y

2  2

 z 

2 2

22

2

  1   2 2 = 0.( y ) 2 ( x ) 2  +  2  ( x )  2 ( z )  2 + 0.( x) 22 ( y ) 22   y   2 2

2

= 0 + 0 +0 =0 Dengan menggunakan teorema divergensi kita peroleh fluks Maka fluks listriknya adalah

Div D =

dD y

=

dy

; (satu

dimensi)

1

 y 3

Maka fluks listriknya adalah   E  



Div D dV

15

 y  2

 x  2

 1  dx  x  2



 y  2

1

 y

3

 z  2

dy



dz 

 z  2

0 2. Diketahui vektor rapat fluks listrik D =

10 2

 z 

a z  nC  / m

2

 serba sama. Tentukan fluks

listrik yang dipancarkan dari permukaan balok -4m

  x,  y , z  

4m dengan

menggunakan : a. Hukum gauss  b. Teorema divergensi Solusi

a. Dengan menggunakan hukum Gauss, kita peroleh fluks li strik   E  

 D.ds S = luas

 y  4  z  4

=

 x  4  y  4

 x  4  z  4

   D dydz   +     D dxdz +     D dxdy  x

 y

 y

 y  4  z  4

 x  4  y  4

 x  4  z  4

4

=

0

+

0+

 10  4 4  2  ( x) 4 ( y) 4   z    4

x

10-9

=

0

nC

 b. Dengan menggunakan teorema divergensi Div D =

dD z 

=

dz 

; (satu

dimensi)

20  z 

3

16

Maka fluks listriknya adalah   E  



Div D dV  x  4

 20  dx  x  4

 y  4



 y  4

 z  4

dy



 z  4

1 3

 z 

dz 

  1 1    (20)(1 / 2)(8)(8)    16 16  0 Catatan:

1. Persamaan 11 dan 13 pada dasarnya menyatakan Hukum Gauss dalam cara yang berbeda; pers. 11 adalah bentuk integral, sedangkan pers.13 adalah bentuk diferensial atau bentuk titik dari hukum Gauss. 2. Hukum Gauss adalah pernyataan alternative dari hukum Coulomb; penerapan yang tepat dari teorema divergensi terhadap hukum Coulomb menghasilkan hukum Gauss. 3. Hukum Gauss memberikan kemudahan dalam mencari E atau D untuk distribusi muatan yang simetris seperti muatan titik, muatan garis tak terhingga, muatan permukaan silinder tak-terhingga dan muatan yang terdistri busi dengan  bentuk bola. Distribusi muatan Kontinyu memiliki simetri jika distribusi

 ,  Φ

tersebut hanya bergantung pada x (atau y atau z), simetri silinder jika hanya  bergantung pada  bergantung pada

atau simetri bola jika hanya bergantung pada r (tidak ). Perlu ditekankan di sini bahwa apakah distribusi

muatan simetris atau tidak, hukum Gauss tetap berlaku.

2.4 PENERAPAN HUKUM GAUSS

Prosedur penerapan hukum Gauss untuk menghitung medan listrik melibatkan  pengetahuan tentang apakah ada simetri distribusi muatan atau tidak. Apabila distribusi muatan ada, selanjutnya adalah membentuk permukaan tertutup matematika (dikenal sebagai permukaan gauss). Permukaan Gauss dipilih sehingga D tegak lurus (normal) (normal) atau menyinggung (tangential) ( tangential) terhadap permukaan Gauss

17

 bila D tegak lurus permukaan, D.dS =  D ds karena D tetap di permukaan ini. Bila D menyinggung (tangensial) permukaan, D.ds = 0. Jadi kita harus memilih  permuakaan sehingga diperoleh simetri dari distribusi muatan. a.

Muatan Titik

Misalkan terdapat muatan titik Q di titik asal. Untuk menentukan D di titik  P, dengan mudah terlihat bahwa memilih permukaan bola yang mengandung P akan memenuhi kondisi simetri. Jadi, permukaan bola yang berpusat di titik asal merupakan permukaan Gauss dalam kasus ini dan ditunjukkan pada gambar

Gambar 2 Permukaan Gauss untuk muatan titik

 ∮. .  ∮.  4  

Karena D dimana-mana tegak lurus terhadap permukaan Gauss, yakni D = D r ar, maka dengan menerapkan hukum Gauss ( = muatan yang terlingkupi, Q enclose), diperoleh Q=

 =

 =

Merupakan luas area permukaan Gauss. Jadi, D=

Contoh Soal:

1. Tentukan kerapatan muatan ruang q v di titik P(3,4,5) m untuk masing-masing vektor rapat fluks listrik di bawah ini.

18

D=

a x  x

2



a y  y



2

a z  2

 z 

 C / m

2

Solusi

qv =

  D 

 Dx

=-

 x

=

3

2



2 27

= -0,121

b.



 Dz 

 y

2  x

   

 Dy



 y



 z 

2

3



2 64

3

 z 



  6 3  x10 C  / m 125 

 C  / m

2

3

Muatan Garis Tak -Terhingga

Gambar 3 Permukaan Gauss untuk muatan garis tak terhingga Misalkan terdapat muatan garis tak-terhingga dengan kerapatan muatan seragam terletak di sepanjang sumbu-z. Untuk menentukan D di titik P, dipilih permukaan

19

silinder yang mengandung P untuk memenuhi kondisi simetris seperti ditunjukan

 .    ∮ .    ∮   2 ∮ 2

 padagambar 4.10 D konstan pada dan tegak lurus terhadap permukaan Gauss silinder; yakni D=

Jika diterapkan hukum Gauss pada sembarang

 panjang dari garis,

 =  = Q = =

Dimana

∮ .

adalah luas permukaan Gauss.

 pada  pada permukaan atas dan dan bawah bawah silinder adalah nol karena D tidak memiliki memiliki

komponen di arah  –   z dan dalam hal ini D menyinggung permukaan tersebut. Jadi, D=

c.

 

Lembaran Muatan Tak-Terhingga

 /

Gambar 4 Permukaan Gauss untuk lembaran muatan tak terhingga Peratikan lembar antak-terhingga dari muatan seragam

yang

terletak pada bidang z = 0. Untuk menentukan D di titik p, dipilih kotak segi-empat yang dipotong secara simetris oleh lembaran muatan dan memiliki dua permukaan

,

sejajar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. karena D tegak lurus lembaran, maka D=

 dan jika di terapkan hokum Gauss diperoleh:  dan

20

 ∫∫  ∮∮.. [∫[.∫. +++∫.∫. ]]   ℎ

 

(14)

 

(15)

Perhatikan bahwa D.dS pada sisi samping kotak adalah nol karena D tidak memiliki komponen sepanjang a x  dan ay  . jika area atas dan bawah dari kotak masing  –  masing memiliki luas A, persamaan (14) menjadi:

 +          

 

(16)

Dan dengan begitu Atau d.

 

(17)

Bola Bermuatan Seragam / Distribusi Muatan Simetri

 /≤ 

Perhatikan bola dengan jejari a dan kerapatan muatan seragam . Untuk menentukan D di setiap titik, akan dibangun permukaan Gauss untuk  dan   secara terpisah. Karena muatan memiliki simetri bola, sangat jelas bahwa  permukaan bola merupakan permukaan permukaan Gauss yang sesuai.

≥

≤ Π        ===      

Untuk   , total muatan yang terlingkupi oleh permukaan bola berjejari r, seperti ditunjukkan oleh gambar,

=

21

  ∮ .    ∮  ∫=Π ∫=     4    4   43      0