3b. Briseño, L. (1998). Matemáticas 3. Santillana Secundaria.pdf

Briseño Aguirre, L.A. y Verdugo Díaz, J. C. (2007). Matemáticas 3(20ma reimpr.). México: Santillana. P.p. 54-71.

Mate má t icas 3 El libro MATEMÁTICAS 3 es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de Fernando García Cortés. En la creación de esta obra intervinieron:

AUTORES: Luis Alberto Briseño Aguirre Julieta del Carmen Verdugo Díaz

SECUNDARIA

SERIE 2000

El libro MATEMÁTICAS 3, para Educación Secundario, fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo: Coordinación editorial: Gabriel Moreno Pineda. Edición: César Jiménez Espinosa. Diseño de interiores y portado: Álvaro Fernández Ros. Coordinación gráfica: Francisco Rivera Rodríguez. Coordinación de autoedición: José R . Arriaga Macedo. Corrección de estilo: Javier Andrés Suárez Ruiz. Composición: Noemí T. Herrera Vargas. Fotografía: Archivo Fotográfico Santillana. Dibujo: Luis A. Sánchez Hernández.

D.R. © 1997 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A. DE C.V. Av. Universidad 767

03100 México, D.F. ISBN: 978 -970-642-211-8 Primera edición: abril de 1997 Primera reimpresión: agosto de 1997 Segunda reimpresión: mayo de 1998 Tercera reimpresión: julio de 1998 Cuarta reimpresión: agosto de 1998 Quinta reimpresión: septiembre de 1998 Sexta reimpresión: marzo de 1999 Séptima reimpresión: julio de 1999 Octava reimpresión: agosto de 1999 Novena reimpresión: agosto de 1999 Décimo reimpresión: septiembre de 1-999 Undécima reimpresión: octubre de 1999 Duodécima reimpresión: marzo de 2000 Décima tercera reimpresión: junio de 2001 Décima cuarta reimpresión: febrero de 2002 Décima quinta reimpresión: agosto de 2002 Décima sexta reimpresión: marzo de 2003 Décima séptima reimpresión: abril de 2003 Décima octavo reimpresión: marzo de 2004 Décima novena reimpresión: abril de 2004 Vigésima reimpresión: marzo de 2005 Vigésima primera reimpresión: julio de 2005 Vigésima segunda reimpresión: mayo de 2006 Vigésima tercera reimpresión: agosto de 2006 Vigésima cuarta reimpresión: junio de 2007

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana . Reg. Núm. 802 Impreso en México

Este libro se terminó de imprimir en el mes de junio de 2007, en Gráficas La Prensa, S.A. de C.V., Prolongación de Pino Núm. 577, Col. Arenal, 02980 México, D.F.

6

Tema 2 Sistemas de ecuaciones

Unidad 1

Tema 1 Cálculos aproximados Errores de aproximación Acotación de errores Tema 2 Raíz cuadrada Conceptos Aproximaciones de la raíz cuadrada Método babilonio Método usual Ejercicios de unidad Ideas principales Recreación matemática

Método gráfico y número de soluciones Método de sustitución 7 Método de igualación - Método de suma y resta Sistemas de tres ecuaciones lineales

8 10

Funciones x2 + a y (x

22

Tema 4 Ecuaciones de segundo grado

23

Ecuaciones incompletas Solución por factorización Solución completando cuadrados Solución por medio de la fórmula general Discriminante y número de soluciones Ejercicios de unidad Ideas principales Recreación matemática

24 26

28

30 a) 2

Triángulos , cuadriláteros y círculo

Familia de rectas Desigualdades lineales en el plano cartesiano

Tema 1 Triángulos 36 38 Elementos de un triángulo Congruencia Propiedades de los triángulos 40 Construcción de triángulos Bisectrices 42 y mediatrices del triángulo

Ecuaciones lineales y cuadráticas Tema 1 Ecuaciones lineales Ecuaciones con paréntesis Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Reducción de ecuaciones

76

78 80 82 84 86 88 90 92 94 95 96

Unidad 4

34

Unidad 3

74

32

Función 1 x

Tema 2 Expresiones algebraicas Leyes de los exponentes Monomios y polinomios Operaciones con fracciones Fracciones algebraicas Sustitución algebraica Ejercicios de unidad Ideas principales Recreación matemática

70 72

21

Plano cartesiano y funciones

Noción de función Ejemplos de funciones Función mx Función x2

Tema 3 Productos notables y factorización

F ac tor co mún Binomios con un término común 12 Cuadrado de un binomio y binomios conjugados 14 Factorización de ax2 + bx y ax2 - c2 16 Factorización de ax2 + bx + c 18 Aplicaciones en el cálculo numérico 20 Fracciones algebraicas y factorización

Unidad 2

Tema 1

60 62 64 66 68

97

98 100 102 104 106

44

T Cuadriláteros 46 48 Clasificación 50 Propiedades de los paralelogramos 51 52 Círculo Rectas notables Propiedades y construcciones de rectas en el círculo Ángulos en el círculo 53 Construcciones con regla y compás Ejercicios de unidad Ideas principales 54 Recreación matemática 56 58

108 1 10

112 114 116 1 18 120 121

122

Unidad 5

Unidad 7

Semejanza y teorema de Pitágoras

123

Tema 1 Semejanza Teorema de Tales de Mileto Semejanza de triángulos Cálculo de distancia División de un segmento en partes iguales División de un segmento en una razón dado Construcción del cuarto y medio proporcionales Homotecia Dibujo a escala Efectos de la escala en ángulos y perímetro Efectos de la escala en el área y el volumen

124 126 128 130 132 134 136 138 140 142

Tema 2 Teorema de Pitágoras Visualización geométrica Demostraciones algebraicas Cálculo de longitudes Distancia entre dos puntos del plano cartesiano

144 146 148

150

Tema 3 Sólidos 152

Ejercicios de unidad

164 165

154 156 158 160

185

186 188 190 192 194 196

Tema 2 Nociones de población Encuestas y censos

198

Ejercicios de unidad Ideas principales

200

Recreación matemática

202

201

Unidad 8 203

Tema 1 Nociones de probabilidad Experimentos aleatorios

204

Probabilidad frecuencia)

206

Probabilidad clásica

208

162 166

Unidad 6 Elementos de Trigonometría

Tema 1 Tasas Usos y aplicaciones Crecimiento aritmético Crecimiento exponencial Moda, media y mediana Usos y limitaciones de la media, la moda y la mediana Medidas de dispersión

Probabilidad

Representación plana Desarrollo y armado de pirámides y conos Secciones de prismas y pirámides Volumen de pirámides y conos Volumen y superficie de la esfera Cálculo de longitudes en sólidos Ideas principales Recreación matemática

Estadística

Tema 2 Cálculos de probabilidades Diagramas de árbol Principio de adición Principio del producto

210 212 214

Tema 3 Simulación 167

Solución de problemas por simulación Pruebas de Bernoulli

Ejercicios de unidad Tema 1 Trigonometría Razones trigonométricas Círculo unitario Identidades trigonométricas Razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°

174

Tema 2 Aplicaciones de la Trigonometría Uso de tablas Uso de la calculadora Resolución de triángulos rectángulos Ejercicios de unidad Ideas principales Recreación matemática

176 178 180 182 183 184

168 170 172

Ideas principales Recreación matemática Programa de tercer grado Bibliografía

216

218 220 221 222

223 224

5

Ecuaciones con paréntesis

Tema 1 Ecuaciones lineales

Ñ

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene sólo una variable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual se llama primer miembro y la del lado derecho, segundo miembro.

1 Ejemplos de ecuaciones

Resolver una ecuación lineal es encontrar el valor de la incógnita para el cual se cumple la igualdad. Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal. Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan? Si x es la edad de Juan, la de su mamá es 28 + x. Por otro lado, la mamá de Juan tiene el triple de años que su hijo; es decir, 3x. Si se igualan estas dos expresiones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación:

Ecuaciones de primer grado con una incógni

3x = 28 + x Esta ecuación se resuelve despejando x de la siguiente manera:

y + 6 = 78

S e res ta x en amb os m i em b ros d e l a ecuac ió n. Se reducen términos semejantes . -

45x-98=0 34z+6= 1

Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación. Se realizan las operaciones.

Miembros de una ecuación

- 3 x - x = 28 + x - x > 2x=28+0 2x=28 2x28 2 2 x=14

Por lo tanto, la edad de Juan es 14 años. Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas más tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo tren iba a 75 km por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?

primer miembro

8+3x

segundo miembro

Si x representa las horas que ha viajado el segundo tren, el primer tren ha viajado (x + 3) horas, por el tiempo que lleva de ventaja. La distancia recorrida en el tiempo x por el segundo tren es 75x y la del primero es 50(x + 3). Cuando el segundo tren alcance al primero, las distancias recorridas serán iguales; la ecuación que describe esto es 75x = 50(x + 3). Para resolverla, se eliminan los paréntesis efectuando el producto 50 (x + 3): 75x = 50(x + 3) ^ 75x = 50x + (50)(3) o- 75x = 50x + 150 De la última ecuación se despeja x: Se resta 50x en ambos miembros. --' 75x -50x = 50x + 150 - 50x Se reducen términos semejantes. - 25x = 150 Sa rlivirlen amhns miemhrns PntrP 2..ri 25x = 150

25 25 x=6 El segundo tren alcanzará al primero en 6 horas. 54

Resolver la ecuación 27x - (3x -9) = 3(x + 10). -^ 27x-3x+9=3x+30 Se eliminan los paréntesis. . >-24x+9=3x+30 Se reducen términos semejantes. -» 24x+9-3x=3x+30 Se resta -3x en ambos miembros. -21x+ 9=30 Se reducen términos semejantes. ^ 21x+ 9-9=30-9 Se resta 9 en ambos miembros. - -- - - - -- o- 21x=21 Se reducen términos semejantes.

lo se una ' mer

al se

Se dividen ambos miembros entre 21.

ira el

3x

21x_21 21 21 x=1

bamá

1.

^á de

EL

EJERCICIOS

e

^

s ex-

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones lineales.

b)3x-9=x- 11 o)2x-7=-8+x c)5x-4=8x-20 d) 13-4x=-6x+ 17 e)39-15x=-31 -5x f)x+1 = 18x- 10 x

g) 120 + 36x = -12x

Resuelve los siguientes problemas. a) José y su hermano ahorraron $ 152. Si José contribuyó con $ 22 más que su hermano, ¿cuánto dinero aportó? (Sugerencia: si llamas x al dinero de José, el dinero de su hermano es x - 22.)

h) -x+ 15 = 5x- 45

Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones ; elimina primero los paréntesis.

b) Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Raúl será la mitad que la de su padre? [Sugerencia: si se llama x al número de años en que la edad de Raúl será la mitad de la de su padre, entonces 21 + x = 2 (52 + xj.]

a) 5x = 4(x + 17)

b) 3x+ 3 = 2(7x- 15)

c) lOx=68-2(4-2x) d) -6x= 3(x- 21) doras tundo

viaa en do el s; la los

e) - 1 Ox = -6(4 + 3x) f)31x=-(135+4x) 9) 3(x+ 12) = 2(x- 1) h) 10(x- 8) = 15(2x- 2) i)-(4x- 17)=6(x-3) j)3(16x+4)=3(34+x) k) 1 1(3 - x) = 10(3 - 2x) 1)2(4x-2)=3(x- 31 m) 63(5x + 4) = 650x - 3 1

F 150

50x

n) -2(5 - x ) = 5(x+ 7) 1 A) 6x - (8x + 15) = 3x o) 8(9 + x ) - 12 = 5(2x+ 6) p) (x+ 10) - (3x + 12) = 7x+ 2(1 1 - 4x) q) -(17x+ 18 )+2(9+8xi =5(x+ 1)+7 r) x- 23 - ( 15 - x) = 4(x- 8) s) 51(x+ 3 ) + 9x- 23 = 20(4x+ 8) t) 5(4x- 1) - 2 (5x- 5) = 20(x+ 1)

c) Una granjera llevó al mercado del pueblo huevos que pensaba vender a $ 1.00 cada uno. Como en el camino se le rompieron 6 huevos, decidió vender los que le quedaron en $ 1.50. Cuando regresó a su casa, se dio cuenta de que ganó $ 9.00 más de lo que esperaba. ¿Cuántos huevos llevaba inicialmente? [Sugerencia : si la granjera llevaba x huevos inicialmente , pensaba obtener x pesos; como se rompieron 6 y los vendió a 1.50, obtuvo 1.50 (x - 6).] d) Un ciclista sale de una ciudad a 40 km por hora y dos horas más tarde sale tras él un automóvil a una velocidad de 90 km por hora. ¿Cuánto tardará el automóvil en alcanzar al ciclista? e) El área del siguiente rectángulo es 60 cm2. ¿Cuánto valed? (x- 2) 20 cm

L 55

■

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios La edad de Pedro es

5

4

partes de la edad de Jorge, pero dentro de 4 años será

partes de esa misma edad. ¿Cuántos años tiene Jorge?

Si x es la edad de Jorge, entonces la edad de Pedro es 4x . Dentro de 4 años la edad de Jorge será (x + 4) y la de Pedro, 1+ 4l pero también para entonces la edad de Pedro será

5

la de Jorge , es decir,

6

(x + 4). Si se igualan las dos

últimas expresiones , se obtiene la siguiente ecuación: (4x+4)= 6(x+4)

Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:

4

Se eliminan los paréntesis .

6

)4_

x+4=

6

Se efectúa el producto

La expresión

4

x+4=

6

x+\

6

1

14

20 4x+4=6x+ 6

x

20 es una ecuación con coeficientes

+ 6 fraccionarios porque las variables aparecen multiplicadas por fracciones. Esta ecuación se resuelve de la siguiente forma: Se multiplican ambos miembros por 12, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación.

12 (.-x+4)=12(x+ 6 /

Se eliminan los paréntesis efectuando los productos.

66x+48= 60x+ 260

Las fracciones resultantes siempre pueden convertirse en enteros. -

9x + 48 = lOx + 40

9x- lOx+48= 10x- lOx+40 -x + 48 - 48 = 40 - 48 -x = -8 x=8

Por tanto, la edad de Jorge es 8 años. Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Otra forma de resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios es operar directamente con las fracciones algebraicas. Por ejemplo: Resolver la ecuación 4 x + 3 x= 2.

56

Á

y

era Se efectúa la suma

5 x + 7 X. (15x + 28x) 1 4 3 _ - -^ 12 2 43x 1 12 2

s la

43x=6

Se dividen ambos miembros de la ecuación entre 43.

dos

43x _ 6 43 43 x

6 43

EJERCICIOS

a Resuelve las siguientes ecuaciones.

Resuelve los problemas en tu cuaderno.

b) 4 + 3x=6 tes

c

)11x 9x10 18+ 18 3

d) 9x+ 9 - 1 =0

4 2 12 = 2 e)-x--x+5 5 5 5

F)2+3 2

g) 8x+4=-2

h) 1 7=5

7 6

a) La suma de las edades de Ana y Graciela es 65 años. Dentro de 10 años la edad de Graciela será 12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de cada una? (Sugerencia: Llama x a la edad de Ana y 65 - x a la de Graciela.) b) Una persona invierte 4 partes de su dinero y le

i) 7 x - 4 =5

Sx+ 4x= -2

sobra la tercera parte menos $ 1 000. ¿Con cuánto dinero contaba? (Sugerencia: si x es el dinero con que contaba la persona, después de invertir tres cuartas partes le queda x - 4 x.)

k)2 'x - -2x=7 40

m)-9x-1 =x

ñ) -19 - 2

p air

) 2

1 S X-1 =6

x + 6 = ( -2 x + 5 )

1 x+ 3 2

= -Sx-6

n) 2x+ 4 = 15 x-4

o) 4 3 12

q) 56 (

3x

c) María y Lupe son coleccionistas de mariposas. Las mariposas de María son 3 partes de las de Lupe. Si entre las dos tienen 25 mariposas, ¿de cuántas mariposas dispone Lupe? d) Después de cortar 4 de la longitud de una tabla,

+11=5-8x

r) 4 (x)- 8(x-1)=1

s)3(8 -4 4 -9

t)x+4-3x-1 8 15

u

quedan 30 cm. ¿Cuál era el largo de la tabla? e) El perímetro de un rectángulo es 96 m; si el ancho

di 2x-10 3x-11 12 15

mide las 5 partes de largo, ¿cuáles son las-dimensiones?

57

Reducción de ecuaciones Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se encuentra elevada a un exponente mayor que 1 o aparece en el denominador de una fracción; para resolverlas, es necesario realizar operaciones que no alteren la igualdad. Por ejemplo: Resolver la ecuación 2x(x + 5 ) = -x(10 - 2x) + 100. Primero se efectúan los productos para eliminar los paréntesis:

2x (x + 5) = -x(10 - 2x) + 100 (2x)(x) + (2x)(5) = (-x)(10) - (-x)(2x) + 100 2x2+ lOx = -lOx+2x2+ 100 En algunos términos de la última ecuación, la incógnita aparece con exponente 2. Sin embargo, éstas se pueden eliminar si se resta 2x2 en ambos miembros: 2x2 + lOx = -1()X + 2x2 + 100 2x2 - 2x2 + 10x = - lOx + 2x2 + 100 - 2x2 l Ox = - lOx + 100 lOx + lOx = -lOx + 100 + lOx 20x = 100 x=5

Re

Se puede comprobar que x = 5 es la solución de la ecuación si se sustituye el valor de la incógnita en la ecuación original: 2(5)(5 + 5) _ - 5(10 - 2(5)) + 100 10(10) _ -5(10 -10) + 100 100 = -5(0) + 100 100=100 Como la igualdad se cumple, x = 5 es la solución. Encontrar la solución de la ecuación 7 - 3x = 5. En este caso, la incógnita aparece en el denominador de dos fracciones. La ecuación se puede resolver si ambos miembros se multiplican por 3x.

i

1

7165 x 3x 16 (3x)(7 ) _ (3x)(5)

D e

21x _ 48x = 15x x 3x

a

21 - 16 = 15x

E En la última ecuación no hay denominadores. 5 = 15x 15x = 5 c

15x 5 15 15 1 x= 3

58 a

enir de eren

Resolver la ecuación 4 = 5 Esta ecuación se puede resolver si se x 4x-22^ multiplican ambos miembros por el producto de los denominadores, es decir, por (x)(4x - 22):

W (4x - 22 ) (x)C4x-22J (4x - 22)4 = 5(x) 16x-88=5x 16x-88 - 5x=5x-5x llx-88=0 llx-88+88=0+88 llx = 88 x=8

ente e:

EJERCICIOS

r

Resuelve las ecuaciones con fracciones algebraicas. 1

Resuelve las siguientes ecuaciones. a)x2-2x+ 15=x+x2 -3 b) -2x2 - 3x= x(-2x- 6) - 930 c)x3-8x+4=x(x2-2)-20 d) 135 + 9x - 4x2 = 4x - 4x2 + 160 e) 3x(6x - 5) = 18x2 + x- 32 f)x2+7x+ 10=x(9+x)

16 5 1 a)8 b) x 3x 6

9 7 5 2 1 c)-+-=-4 d)-+-= 2x

x x

1 1 = e)-+2x 5x 10

h) (3x- 1)(2x- 2) = 6x2 - 18 La

i)(x- 1)(x+ 1)=x2-2x+3

3 1 2 -_ 3 3 f) X

9 )6+ 8 =3 + 5 h)

g) (x-2)(x-1)-x2=-1

x 2

1 + 1 + 2 = 1 2x 3x 4x 3

i) 19 +3+ 1 = 15 +3 j) -4 = 6 -2 x x x-3 x-3

k2x+9 5 = 2x+ -1 3 1) 44 =x+ 22 5x+ Determina qué valor de x es la solución de cada ecuación.

a) 2x2 - 2(8x- 6) = x (2x - 10) - 4x+ 2 x=4 x= -2 x=5 x= 8

b) x 4 +5 x64 +3 x= 4 x= 2 x= -9 x=9

c)4x2+2x- 1 =4x2 1 1 1 x= 1 x= x= 4 2 3 2

x m )14- 13 = -14 n) x-1 x x + 1 x(x+1)

38 + 12 88 n) x+ 4

+S (x+ 4)(x+ 5)

o) x+5 = x+ 1 x+4 x-4

25 + 15 10 P) x+ 1 X- 1 (x + 1)(x- 1) 5x+ 9 5x q) x-4 x-6

59

Método gráfico y número de soluciones

Tema 2 Sistemas de ecuaciones

Una ecuación lineal con dos incógnitas es la ecuación de una recta en el plano cartesiano. Las siguientes son ecuaciones lineales con dos incógnitas: 3x-10y=39

4x+y=8

2x+9.3y=6.7

Cualquier ecuación lineal con dos incógnitas (x y y) se puede escribir de la forma y = mx + b si se despeja y. Por ejemplo, el resultado de despejar y en 4x + y = 8, es la ecuación y = -4x + S.

Un sistema de ecuaciones es una colección de dos o más ecuaciones. En la presente sección se estudiarán los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa encontrar los valores de x y y que son solución para ambas ecuaciones simultáneamente. Por ejemplo, obsérvese el siguiente sistema de ecuaciones:

3x+y=6 (1) 3x-4y= -9 (2) Las ecuaciones del sistema pueden expresarse de la forma y = mx + b si se despeja y:

y=6-3x 3x+ (1, 3) Las gráficas de estas ecuaciones son las rectas de la figura 1. Como el punto de coordenadas (1, 3) es común a ambas, entonces las coordenadas de este punto satisfacen las dos ecuaciones: 3 = 6 - 3(1) = 6 - 3 = 3 y 3 = 4 (1) + 4 = 4 = 3

El método gráfico para la resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se compone de los siguientes pasos:

Se grafican las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema. Figura 1

© Se obtienen las coordenadas del punto de intersección de las rectas graficadas. Los valores de estas coordenadas son la solución del sistema. Resolver por el método gráfico el siguiente sistema de ecuaciones: 5x - 2y = -2 (1)

2x-y=0 (2)

La elaboración de las gráficas se simplifica si y es despejada en cada ecuación: y= 2x+1 y=2x Para cada ecuación, se encuentran dos parejas de valores que las satisfagan. y= 2x

y= 2 x+ 1

, -4)

Figura 2 60

x

y

x

y

Como se observa en la figura 2, las coordenadas del punto de intersección

0

1

0

0

de las dos rectas son (-2, -4). La

2

6

2

4

solución del sistema de ecuaciones es

x = -2 y y = -4.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico: x+y=1 (1)

3x+3y=3 (2)

Si las ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b, se obtiene y = -x + 1, oren

y = 3 x + 3 . Nótese que la segunda ecuación es equivalente a y = -x + 1, es decir, las dos ecuaciones del sistema determinan la misma recta; su gráfica se muestra en la figura 3.

la on Figura 3 ar te.

Como no hay un punto de intersección único , el sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones, determinadas por los valores de las coordenadas de cualquier punto de la recta. Resolver por el método gráfico el sistema de ecuaciones: 5x+4y=9 (1)

5x+4y=12 (2)

Estas ecuaciones se expresan de la forma y = mx + b así:

se

y=-4x+ 9 y=-4x+ 12 Obsérvese, en la figura 4, que las rectas de estas ecuaciones son paralelas a la

de

recta con ecuación y = - 4 x; entonces, no poseen un punto en común, pues tam-

to Figura 4

bién son paralelas entre sí. Como no hay puntos comunes, el sistema no tiene solución.

EJERCICIOS

es

Resuelve con el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x+y=2 3x- 2y= 1

b) 4x+ 3y= 0 5x+ 4y= 1

c) 2x+ y= 16 x-y=-1

d) 4x+ 5y= 10 6x- 7y= -14

e) -x+ 3y= -13

f) 3x-y=5

-2x+ l0y= -46

ion

8x- 4y= 4

Expresa las ecuaciones en la forma y 5 mx 1 b y comprueba que cada sistema se representa con una recto. a) x- y= 4 2x- 2y= 8

b) 15x - 5y= 10 24x - 8y = 16

Expresa las ecuaciones de la forma y = mx + b y comprueba que estos sistemas de ecuaciones lineales se representan con rectas paralelas en el plano cartesiano. a) 3x - 3y = 12

lox- l0y= 8

b)x+y=-16 3x+

3 y=

-10

El. Determina si cada sistema de ecuaciones lineales tiene solución única , muchas soluciones o carece de solución. a) x+ y= 1 x-y= 1

b) x+ y= 1 2x+ 2y= 2

c)x+y= 1 x+ y= 2

d) x+ y= 1 -x- y= - 1

e) 3x+ 2y= 1 x+ y= 2

f) x+ 2y= 1 -2x-y=-1 61

Método de sustitución Además del método gráfico existen otros para resolver sistemas de ecuaciones lineales. A continuación, se explicará el método de sustitución . Considérese este sistema de ecuaciones:

1

3x-2y=1 (1) x+y=2 (2)

Método de sustitución

Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes: 2x+y=6 x+ 4y = 17

U Se despeja y en una ecuación; por ejemplo , en la (2): y = 2 - x De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.

© x+ 4(6 - 2x) = 17 El En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y se ' x+ 24 - 8x = 17 despeja x: 24-17=8x-x 3x - 2(2 - x) = 1 7=7x 3x-4+2x= 1 x= 1 5x-4=1

5x=1+4 5x=5 x=1 © y=6-2(1) y=6-2 y= 4

© Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en la ecuación obtenida al despejar y en el paso 1: y=2-(1) y=1

Solución

De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones. x= 1

y=4 Este método para resolver un sistema de ecuaciones lineales se llama método de sustitución y consta de estos pasos: O Se despeja y en alguna de las dos ecuaciones para expresarla en función de x. © Se reemplaza y en la otra ecuación por su expresión en términos de x. El resultado es una ecuación con una incógnita; la solución de esta ecuación es el valor de x que satisface el sistema.

© Se sustituye el valor de x encontrado mediante el paso anterior en la expresión obtenida en el paso 1. De esta manera se encuentra el valor de y. El procedimiento también es válido si en el primer paso se despeja x en lugar de y. Tómese como ejemplo la resolución del siguiente problema: Dos números cumplen estas condiciones : el doble del primero más el triple del segundo es igual que 8 y el triple del primero menos el doble del segundo es igual que -14. ¿Cuáles son los números?

Si x es el primer número y y el segundo , por la primera condición del problema, 2x + 3y = 8, y por la segunda, 3x - 2y = - 14. Entonces , la solución se halla mediante este sistema de ecuaciones: 2x+3y=8 (1) h2

3x-2y=-14 (2)

O Se despeja x en la ecuación (1):

© Se reemplaza x en la ecuación (2): De esta ecuación se despeja x: 3( 2 2y 14-^ \\

24 2 9y

3(' 2 ')-2y=-14

-2y = -14

X24-9y-4y=-28 -13y = -52 y=4

© Se sustituye y en la ecuación obtenida en el paso 1: x =

(8 - 3(4)) _ -2 2

La solución del sistema de ecuaciones es x = -2 y y = 4.

EJERCICIOS

a Resuelve en tu cuaderno, con el método de sustitución, estos sistemas de ecuaciones lineales.

Soluciona los siguientes problemas en tu cuaderno; plantea un sistema de ecuaciones para cada uno.

a) 2x+ y= 1 5x-y=-15

b) 5x+ 4y= 8 17x+ y= 2

a) La suma de dos números es 45 y la diferencia es 25. ¿Cuáles son los números?

c) 4x- 2y= 20 x+ y= -1

d)6x-y=1 5x-y=0

b) La suma de dos números es 220 y la diferencia es 20. ¿Cuáles son los números?

e) x- y= 0 7x+ 6y= -13

f) -2x+ 3y= 4 x- 2y= -12

c) Tres veces la edad de Juan más dos veces la edad de José es 55, y la suma de las edades de ambos es 21. Calcula las edades de Juan y José.

9) 2x-y=6 3x+2y=44

h) -4x+ 6y= -2 x- 2y= 4

i) y- x= 2 5x- 4y= 3

j) 6x-7y=-5 2x- 5y= -15

k) 4x- y= -2 5x- y= 16

1 )9x-3y=-9 3x+y=9

m)8x- 3y= 15 2x+ 2y= 12

n) 20x= 3y+ 7 8y= 12x + 2

ñ) x+ y= -1

o) 5x+ 4y= 14 5x- 4y= 6

5x+ y= -9 p) ]5x-8y= 0 12x+ 36y= 0

q) 16x+ l6y= 32 x+8=2

r) 3x+ 2y= 1 x+ 5y= -4

s)x+2y=2 5x+ y=-8

d) Cuatro cajas de galletas y tres de dulces cuestan $ 99, tres cajas de galletas y una de dulces valen $ 58. ¿Cuál es el precio de cada artículo? e) El perímetro de un rectángulo es 20 cm. Si el triple del ancho es el doble del largo, ¿ cuáles son las dimensiones de la figura? f) Una persona va de su casa al trabajo por un camino y regresa por otro. De ida, recorre 35 km menos que el doble de la distancia que camina de regreso. Si en total recorre 55 kilómetros, ¿qué distancia se desplaza la persona de ida y de regreso? g) Una barca recorre 13.5 km en 3 horas cuando va a favor de la corriente de un río. La misma barca recorre el mismo trayecto en 9 horas cuando navega en sentido contrario a la corriente. ¿Cuál es la velocidad de la barca y de la corriente del río?

63

Método de igualación El siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resolverá con el método de igualación. 5x+y=-11 (1) -2x-6y=38 (2)

o

Se despejay en ambas ecuaciones : (1): y = -11 - 5x

(2): -6y = 38 + 2x (38 + 2x) _ (19 + x) -6 -3

1 Método de igualación

2x+ y= 6 x+ 4y= 17

© Se igualan los valores de y encontrados en el inciso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita ; de ésta, se despeja x. -11-5x= (

-3(-11 - 5x) = 19 + x 33+15x=19+x 15x-x= 19-33 14x = -14 x= -1

__ (17-x) y 4

© 6-2x= 17-x 4 4(6 - 2x) = 17 -x 24-8x= 17-x 7 = 7x x= 1

19+x) -3

© Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones encontradas en el primer paso; por ejemplo, en la ecuación y = 11 - 5x:

y= -11-5(-1)=-11+5=-6 Por tanto, la solución del sistema es x = -1 y y = - 6.

© y= 6 - 2(1) y=6-2 y= 4

En resumen, el método de igualación consiste en los siguientes pasos: O Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones.

Solución

© Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuelta, se encuentra el valor de una incógnita.

x= 1 y= 4

© Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el valor de la otra incógnita. El siguiente problema se resolverá mediante un sistema de ecuaciones cuya solución se obtendrá con el método de igualación. El perímetro del marco de una pintura mide 16 centímetros. Si el largo es el triple del ancho, ¿cuáles son las dimensiones del marco? Se llamará x al largo del marco y y al ancho. Del enunciado del problema se derivan las siguientes ecuaciones: El perímetro es 16 cm: 2x + 2y = 16. El largo es el triple del ancho: x = 3y. Se despeja x en la primera ecuación:

64

1

2x + 2y = 16 2x=16-2y x = (16 - 2y) 2 Como en la segunda ecuación x ya está despejada, se igualan (2) y (3): 3y = (16 2 2y) . La solución de esta ecuación es y = 2.

Si se sustituye el valor de y en la ecuación (2), resulta el valor de x: w x=3(2)=6

x=3y er

Entonces, el marco mide 6 cm de largo y 2 de ancho.

EJERCICIOS Q Resuelve los sistemas con el método de igualación. a) x+ y= -9 x-y=7

b) x- y= -1 4x- 5y= 0

c) 10x+ 3y= -27 x+ y= -9

d) 3x+y=-1 4x- y= 1

e) x+ 5y= 3 2x+ 7y= 0

f) 6x-y= 10 9x- 4y= -5

g) 15x + 4y = 35 100x- 2y= 90

h) 4x+ 9y= -8 -x- 3y= 5

i) óx+9y=39 -2x+ 2y= -18

j)3x+2y=60 6x- 7y= 21

or va-

k) 9x- l0y= 2 2x+ y= 23

1) 5x-4y=0 2x- y= 3

so-

m)7x- 2y= 3 9x+ 4y= 17

n) 8x- 3y= -5 4x-y=1

ñ) 7x- 3y= 1 2x+ y= -9

o) 3x+ 2y= 60 6x- 7y= -45

p) 9x+8y=6 5x+ óy= -6

q) -4x+ 5y= 11 7x- 8y= -11

r) áx+ 5y= -7 3x- y= 14

s) -x+ 2y= 5 2x- 3y= -1

t) 3x- 2y= 1 x+ 2y= 2

u) x+ y= 1 5x- 3y= 4

Plantea un sistema de ecuaciones para cada problema y resuélvelo con el método de igualación. a) ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene 72 cm de perímetro si la base es 3 cm mayor que la mitad de la altura? b) Juan y Pedro poseen una colección de 40 discos. Si Pedro le diera 4 a Juan, ambos quedarían con el mismo número de discos; ¿cuántos tiene cada uno? c) El precio de 4 metros de lino y 5 de pana es $ 1 275, y el de 5 metros de lino y 4 de pana es $ 1 290. ¿Cuánto cuesta el metro de lino y de pana? d) El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es - 1 . ¿Cuáles son los números? e) Una maestra desea repartir cierto número de libros entre sus alumnos con mejor promedio. Si regalara 5 libros a cada uno, le sobrarían 3; si les diera 6, le quedaría 1. ¿A cuántos alumnos obsequiará libros la maestra? ¿Cuántos libros repartirá ? ( Sugerencia: llama x al número de libros y y a¡ de alumnos. Si la maestra obsequia 5 libros a cada alumno , reparte 5y libros y le sobran x- 5y.) f) A la fiesta de cumpleaños de Claudia asistieron 50 de sus amigos; 3 de los hombres más 5 de las mujeres sumaban 36 personas. Si en un momento todas las mujeres estaban bailando, ¿cuántos hombres no bailaban? 65

Método de suma y resta El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar una ecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo: Resolver el sistema 2x+3y= 13 (1) -2x + 2y = -18 (2) El coeficiente de x, es decir, el número que lo multiplica, en las dos ecuaciones, es igual pero de signo contrario. Como las ecuaciones son igualdades, se pueden sumar miembro a miembro como sigue:

2x+3y=13 + -2x+2y=-18 0+5y=-5 Método de suma y resta

El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita , que se resuelve así: 5y=-5--- --- -- Y-y=-1

2x+ y= 6

x + 4y = 17

2x + y = 6 -2x- 8 = -34

Si se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se encuentra el valor de x. Por ejemplo , en la ecuación (1):

Re mi

2x + 3(-1) = 13 ---' 2x - 3 = 13 e 2x = 16

a)

^

x=8

La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.

c) Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un sistema, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:

2x+ y= 6

e)

+ -2x- 8y = -34 -7y= -28 -28 y= 7 =4

4x + 9y = -8 3x + 9y = - 15

(1) (2)

Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones , éstas se restan miembro a miembro:

2x+4=6

4x+9y=-8 - 3x+9y=-15 x+ 0 =7

(6-4) 2 = 1

9)

(1) (2)

Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valor de y:

k) m)

Solución

4(7)+9y=-8 --o- 28+9y=-8 -o 9y=-8-28-..-y= (-89 28) _ -936 =-4 ñ) x=1

La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.

y=4

Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coeficiente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones. Por ejemplo:

p)

Resolver el sistema

r) 15x + 4y = 6 (1) -7x+3y=41 (2)

Si la primera ecuación se multiplica por 3 y la segunda por -4, el sistema se transforma como sigue: 66

3(15x + 4y) = 3(6) -4(-7x + 3y) = -4(41)

45x + 12y = 18 (1')

^ 28x - 12y = -164 (2')

Se suman las ecuaciones Y se sustituye el valor encontrado del nuevo sistema: en una de las ecuaciones iniciales: 45x + 12y = 18 45(-2) + 12y = 18 +28x-12y=-164 -90+12y=18 73x +0 = - 146 12y=18+90 y 108=9 12

73x= -146-^ x= -2 La solución al sistema es la pareja x = - 2 y y = 9.

EJERCICIOS

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales con el método de suma y resta. a) x- 5y= 3 -x+ 6y= 1

b)x+y=-5 x- y= -11

c) x- y= 6 2x+ y= 4

d) 3x- y= 1 4x+y=-22

e) -5x+ y= 5 4x-y=-1

f)

g) 3x+ 2y= 4

h)

x+ y= 2

Soluciona los siguientes problemas ; plantea un sistema de ecuaciones para cada uno y resuélvelo con el método de suma y resta. a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo isósceles ABC? (Sugerencia: recuerda que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°.)

x+y=2 -x+ 2y= 31 4x+ y = -1

5x+ 3y= 4

i) 9x+ y= 90 15x- 2y= -15

j)

k) 9x- 5y= -3 2x- y= 1

I)

m)-7x+ 5y= 15 4x- y= -29

n) 7x+ 8y= -1 9x- 2y= 11

ñ) 5x-2y=4 1Ox-7y= -16

o) 3x+ 2y= 0

p) 4x- 3y= -9 5x- 2y= 1

q) 5x+ 4y= 0

r) 3x+ 5y= 2

s) 2x+ 7y= 3

3x- y= 1

8x+ 3y= 48 B 15x- 4y= -1

18x+ 9y= 9

6x+ 5y= 1

3x- 4y= 19

5x+ 3y= 14

t)6x-2y=0 7x- 3y= -4

4x+y=8

u)

6x+ 8y = -4 12x- 16y= 16

b) El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si el largo fuera 3 centímetros menor y el ancho 9 centímetros mayor, la figura sería un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? c) En una granja hay pollos y conejos. Si el número de patas es 244 y el de animales 107, ¿cuántos pollos y conejos se encuentran en la granja? d) El número de hermanos de María es el mismo que el de hermanas, pero cualquier hermano de María tiene el doble de. hermanas que de hermanos. Calcula el número de hermanos y hermanas que tiene María. (Observación: si llamas xal número de hermanos y y al de hermanas de María, un hermano de María tiene y+ 1 hermanas, pues son y hermanas de María más María, y x- 1 hermanos porque son x hermanos de María menos él mismo.) 67

Sistemas de tres ecuaciones lineales Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se resuelve encontrando los valores de las tres variables que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones. Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se transforma en uno de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. Como ejemplo, se resolverá el siguiente sistema: x+y-z=-5 (1) x - y + 2z = 11 (2) 2x+y-z=-4 (3) O Se despeja x en la ecuación ( 1):

x=-5-y+z

© Se sustituye x en las ecuaciones (2) y (3): (- 5 - y + z) - y + 2z = 11

2 (- 5-y+z)+y-z=-4

Cuando se reducen términos semejantes , el resultado es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: -2y+3z =16 (1') -y +z =6 (2') © Este sistema se resuelve con alguno de los métodos expuestos en lecciones anteriores . Por ejemplo , con el método de suma y resta: Se multiplica la segunda ecuación por 2 y el resultado se resta a (1'): -2y+3x=16 2(-y+z) =2(6) ' - -2y+2z=12 0 + z=4 Se reemplaza el valor de z en la ecuación (2'): -y + (4) = 6, entonces y = - 2. Se sustituyen los valores de y y z en la ecuación que se obtuvo en el paso 1: x=-5-(-2)+(4)=-5+2+4=1 La solución del sistema es x = 1, y = -2 y z = 4. En general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelve así: O Se despeja una incógnita en alguna ecuación.

© La incógnita despejada en el primer paso se sustituye en las otras dos ecuaciones; el resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. © Se resuelve el sistema obtenido en el paso anterior y con la solución de éste, se encuentra el valor de la incógnita despejada en el primer paso. El perímetro de un triángulo es 18 centímetros. El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano y el mediano es dos unidades mayor que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados de la figura? Si x es el lado mayor, y el mediano y z el pequeño, el planteamiento del problema es el que sigue:

68

elve ante

x + y + z = 18

El perímetro es 18 cm:

-x-y= 2 El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano: El lado mediano es dos unidades mayor que el pequeño: --s y - z = 2

dos , se

(1)

(2) (3)

Se despeja z en la tercera ecuación: z = y - 2. © Se sustituye z en la primera ecuación:

x+y+(y-2)=18 x+2y-2=18»» x+2y=20 Las ecuaciones x + 2y = 20 y (2) tienen las mismas incógnitas. Entonces, se puede resolver el sistema formado por ellas. x-y=2 (2)

x+2y=20 (1')

La solución de este sistema es x = 8 y y = 6. Si se reemplaza el valor de y en la ecuación encontrada en el paso 1, se obtiene el valor de z: dos z=y-2-

^ z=6-2=4

La solución del sistema está dada por los valores x = 8, y = 6 y z = 4. nes

EJERCICIOS

n

:

l El-

Resuelve los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Soluciona los siguientes problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

a)x+y-z=3 x- y+ z= - 1 x+ y+ z= 1

b) 2x- y+ z=4 x+ y+ z= 7 2x+ 2y- z= 2

c) x+ 2y+ z= 2 3x+ y- z= 0 x-2y-z=-4

d) x+ y+ z= 5 X- y- z= 1 x- y+ z= 9

a) María y José fueron a la tienda. María pagó $ 17.00 por 5 dulces, 1 chocolate y 3 galletas. José pagó $ 16.00 por 2 dulces, 2 chocolates y 1 galleta. Si el precio de cada chocolate es el triple que el de una galleta, ¿cuánto cuestan los dulces, los chocolates y las galletas?

e) 3x+ y- z= 2

f) 2x- y+ z= 8 3x- 2y- z= 4 x+ y+ z= 14

2x- y- z= - 7 x+ y+ z= 4 :ua-

g) 3x+ 8y-z= 7 x+ y-z= 4

x+ 2y+z= -5

h) x+ y+ z= =1 2x- 10y+z=6 5x- 3y+ 5z= -5

s-

i) x- y+ z= 15

3x- 2y+ z= 20 des

x+ 4y- 3z=10

j) 4x-4y+z=3 x+ y-2z= -3 3x+ y-2z= 7

año.

k) ble-

2x- y+ z= 6 -x+ 3y- z= -10 4x+ 7y+ 2z= 3

1) 5x+ 4y+ 2z= 35 x- y+ 8z= -32 6x+ 5y- z= 54

b) Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. La edad del padre es el triple que la del hijo, las edades del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces la edad del hijo excede en 10 años la del abuelo. c) Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El número de clavos es el triple que el de tornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. ¿Cuántos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja si en total suman 1 872 objetos? d) Un ciclista avanza a 25 kilómetros por hora en terreno plano, a 15 kilómetros por hora en subida y a 30 kilómetros por hora en bajada. Para recorrer una carretera de 100 kilómetros empleó 4 horas de ida y 5.5 horas de regreso. ¿Cuántos kilómetros de subida, bajada y terreno plano tiene la carretera? 69

Factor común

Productos notables y factorización

En ocasiones, es necesario expresar un monomio de manera que sus factores se indiquen explícitamente. A esto se llama factorizar un monomio . Por ejemplo, las siguientes son factorizaciones de 6x2: (3)(2)(x2)

(6x)(x)

(6x2)(1)

(-3)(2)(-x)(x) (3)(2)(x)(x)

Cada producto es igual que W. La factorización de un monomio no es única. Factorizar el monomio 8x5 de manera que un factor sea 2x2 . El problema consiste en encontrar un monomio que multiplicado por 2x2 resulte 8x5. Como (2)(4) = 8 y (x2)(x3) = x5, el monomio buscado es 4x3 pues (4x")(2x2) = 8x5.

Factorización de un monomio

Encontrar los factores comunes de los monomios x3 y x4. Los factores de x3 son 1, x, x2 y x3, ya que (1)(x3) = x3 y (x)(x2) = x3.

17)Íg)x3

56)X3

Los factores de x4 son 1, x, x2, x3 y x4, pues (1)(x4) = x4, (x)(x3) = x4 y ( x2)(x2) = x4.

56x3

Entonces, los factores comunes de los dos monomios son 1, x, x2 y x3.

x2y es factor común de 2x2y3 y 9x3y porque 2x2y3 = (x2y)(2y2) y 9x3y = (x2y)(9x). 56xx2^ [2)(2)(2)(7)

El factor común de dos monomios es otro monomio que es factor de ambos. Máximo factor común

El mayor factor común de dos o más monomios se llama máximo factor común. Véase cómo se calcula el máximo factor común de 12x2zy3, -8x3y2w y 6x3y:

24x3yz4

56y5z3

12x2zy3 M.C.D. de 24 y 56

Q Se halla el máximo común divisor de las partes literales.

---> 12

-8x3y2w

8

6x3y

6 a

e

M.C.D. = 2 Factores comunes con el mínimo exponente

© Se toman las variables comunes de cada monomio.

Se escogen las que tienen menor exponente.

15 5 5 5 1

27

T

9

3

3 1

3 5

x2y8

-x3y2

x 2y

Se multiplica el M.C.D. de las partes literales por las variables comunes elevadas a l menor exponente.

1

x3y

>- 2x 2y

1

a c

1 E

Calcular el máximo factor común de 15x4y5z9 y 27x3y7zw. El M.C.D. (máximo común divisor) de 15 y 27 es 3 (se calcula a la izquierda) y las variables comunes elevadas al menor exponente son x3, y5 y z. Entonces, el máximo factor común es 3x3y5z.

a d

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de un monomio por un polinomio o de un polinomio por otro polinomio. Si un polinomio está formado por monomios con factor común distinto de 1, se puede factorizar como el producto de un monomio y un polinomio. Por ejemplo:

E

1

M.C.D. (15, 27) = 3

70

a

d

T

Factorizar el polinomio 3x2y + 12x3y2 + 15xy.

s se em-

Q Se obtiene el máximo factor común de los monomios que forman el polinomio. El máximo factor común de 3x2y, 12x3y2 y 15xy es 3xy.

© Se factorizan los monomios como sigue: 3x2y = (3xy)(x), 12x3y2 = (3xy)(4x2 y) y 15xy = (3xy)(5). © Se expresa el polinomio como producto del máximo factor común y la suma de los otros factores obtenidos en el paso 2:

ble-

3x2y + 12x3y2 + 15xy = (3xy)(x + 4x2y + 5)

8x5

Se puede comprobar si la factorización es correcta realizando el producto: (3xy)(x + 4x2y + 5) = (3xy)(x) + (3xy)( 4x2y) + (3xy)(5) = 3x2y + 12x3y2 + 15xy Factorizar el polinomio 4x3 - 12x2 + 18x.

O 2x es un máximo factor común de los monomios del polinomio. © 4x3 = (2x)(2x2), - 12x2 = (2x)(-6x), 18x = (2x)(9) © (4x3-12x2+18x)=(2x)(2x2-6x+9)

EJERCICIOS

.. l

11 Factoriza los siguientes monomios.

a) 4x2y e) 8Z2W2V

b) 21 ab3 c) 48abx5y2 d) 60x3yz2 f ) 15x5yz3 g) 23r4st2 h) 20x3y4z

Encuentra el factor que falta en cada caso.

Expresa cada binomio como producto de factores, tal que uno de ellos sea el máximo factor común. a) 5 + 15x b) 26 - 39y c) 42x+ 48y d) 56x+ 57y e) 3xy2-9x2y f) 1 Oxa + 7 xa h ) 4x- 8x2 g) x+ x2 i) 8x + 14x2 j) X- x2 k) X2 + X3 1 5X3- 15X4

a) 4x2y2 = (-4xy)( c) 4x2y2 = (4x)( - - )

) b) 4x2y2 = (2y)( d) 4x2y2 = (2xy)( )

m)a2b3 + 9ab4 n) óab - 27ab2 ñ) 64u6v5 + 28u5v6 0) 6x2y- óxy2 p) 2x2y2+ 4xy q) a2b2c2 + 2abc

91

Escribe tres factorizaciones de cada monomio.

á-

a) -16x2y3 b) -18 U4 c) 125 U' 3 V2

les ac-

d) -25y3z3 e) -60x8 f) 240a14be

un ado kro-

Encuentra el máximo factor común de cada pareja.

Expresa los polinomios como producto de factores, tal que uno de ellos sea el máximo factor común. b) 10X2 + 16x3 -28x4 a) 2x + 6x2 -8x3 c) ]2x+ 26x2 -18x5 d ) 7x5 -14x8 -21 x'0 e) 2x6 + 4x4 + 8x2 f) xy2 - x2y- x2y2

g) 25X3y3+ 50X3y4- 75X2y3 h) 11y4 -33y5 -121y8

a) 8X3 y 6x8 b) 24a2 y 14a6 c) x100 y x99 d) 4a2by22a3b5e) 35u7v15y56uv16f) 4x6y 2x3

i ) óxy 5 + 3 yx4 +9x2

j

)-Zy2 - Z3y+ Zx4y2

71