3A2Mezclas

Universidad Nacional de San Agustín

Facultad de Ingeniería Civil

U N S A

Escuela Profesional de Ingeniería Civil CURSO: Ecuaciones Diferenciales

TEMA: Ejercicios de Mezclas Integrantes:  CHAMBI MAMANI, Yubert Julian  YUCRA VARGAS, Noemi Milagros  HUARCAYA CRUZ, Manuel Ángel  ESPEZÚA PALERO, César Anthony  LUQUE HILASACA, Grover

DOCENTE: Lic. : Bidder Sabino Calapuja Sambrano

Arequipa – Perú 2013

MEZCLAS QUIMICAS

Considérese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solución (una mezcla de soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t, en función de la cantidad inicial de soluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.

Ce= Flujo de entrada

/ Cs= Flujo de salida

Supóngase que la solución que se inyecta al tanque tiene una concentración de C1 gramos de soluto por litro, y fluye al mismo con una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto que la sustancia contenida en el tanque se mantiene bien mezclada por agitación y fluye hacia fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.

dx = Fe − Fs dt dx = (Ce)(Ve) − (Cs)(Vs) dt DONDE: Ce: concentración del flujo de entrada Ve: La razón del flujo de entrada

Cs: Concentración del flujo de salida Vs: La razón del flujo de salida

PROBLEMAS PROPUESTOS MEZCLAS 1) Ácido nítrico en solución fluye a razón constante de 6L/min hacia el interior de un tanque que inicialmente contiene 200L de una solución del mismo ácido al 0.5%. La solución contenida en el tanque se mantiene uniformemente distribuida y sale del tanque a razón de 8L/min. Si la solución que entra al tanque es del 20% de ácido nítrico, determine la cantidad de este ácido presente en el tanque al cabo de t minutos. ¿En qué momento el % de ácido contenido en el tanque será de 10%? -Solución:

Sea x(t ) la cantidad de ácido nítrico presente en el ins tan te t . Ingresan :6 L / min al 20 %, lo cual significa :1.2 L / min 8x L / min, luego det min . 200 − 2t Luego la ecuacion diferencial es :

Salen :

dx 4x = 1.2 − , obien dt 100 − t dx 4 + x = 1.2 dt 100 − t La ecuacion es lineal y su solucion general es : dt   4∫  100 − t ÷  c + ∫ 1.2e dt ÷  ÷  ÷   −4 ln(100 − t)  4 ln(100 − t)  x(t) = e c + 1.2 e dt ÷  ∫  ÷   dt −4 ∫ 100 − t x(t) = e

(

x (t) = (100 − t ) 4 c + 1.2 ∫ (100 − t ) −4 dt

)

1.2   x(t) = (100 − t )4  c + (100 − t)−3 ÷ 3   x(t ) = c(100 − t)4 + 0.4(100 − t) En t = 0 hay 200 L al 0.5%. Por lo tan to x(0) = 1L, así 1 = c(1004 ) + 0.4 *100 ⇒ c = −39 *100−4 Entonces : t 4  x(t ) = 0.4(100 − t ) − 39  1 − ÷  100  Ahora, si t es el ins tan te en que en el es tan que hay 10% de ácido, debemos tener : x(t) = 10 200 − 2t Lo queimplica : 100 *

4 1    100 − t   =1 5  0.4 − 39  ÷ 100  100 − t      Es decir 2−

195 ( 100 − t ) 3 = 1 4 100

Finalmente

( 100 − t ) 3 =

1004 ⇒ t = 19.5973min . 195

2) En un túnel subterráneo de dimensiones 20 x 5 x 4 m 3, existe una concentración de gas carbónico (CO2) de 0,16%, mientras que en el aire exterior la concentración de gas es del 0,04%. Se insufla aire del exterior en el túnel con unos ventiladores a razón de 50 m3/min. Hallar la concentración de gas carbónico en el túnel media hora después de iniciado el proceso de renovación de aire. Solución: y(t) → Cantidad de CO2 dentro del túnel. Volumen del tunel = 20 x 5 x 4 m3 = 400 m3 y( t ) y( t ) = → Concentración de CO2 dentro del tunel. Vol. 400

Cantidad de CO2 que entra: 50

m 3 0,04 m3 x = 0,02 min 100 min

Cantidad de CO2 que sale: 50

m3 y(t ) m3 x = 0,125 y ( t ) min 400 min

La variación de la cantidad de gas carbónico será la diferencia de lo que entra menos lo que sale, por unidad de tiempo. Entonces: y'(t) = Entrada – Salida y'(t) = 0,02 – 0,125 y(t) Resolviendo esta ecuación diferencial: dy = dt 0,02 − 0,25 y ( t ) dy

∫ 0,02 −0,25 y (t ) ∫= dt −∫ −

dy = dt 0,125 y (t ) −0,02 ∫

1 ln ( 0,125 y ( t ) −0,02 ) = t + C 0,125

− 8 ln ( 0,125 y ( t ) − 0,02 ) = t + C

ln ( 0,125 y ( t ) − 0, 02 ) = −

t +C 8

t+c 0.125 y (t) − 0.02 = e 8 −

C −  −t  y ( t ) = 8  C1e 8 + 0, 02 ÷, C1 = e 8  

Para calcular la constante “C”, utilizamos la condición inicial que se nos indica, osea: En el tiempo inicial (t=0) la concentración de CO2 es de 0,16%, entonces: y(0) = Vol. x 0,16% = 400 m3 x

0,16 =0,64 m3 100

Reemplazando estos valores en la solución de la ecuación:  −0  0, 64 = 8  C1e 8 + 0, 02 ÷   0,08 = C1 −1 + 0,02

⇒ C1 = 0,06

C1 = e

−

C 8

ln ( C1 ) = −

C 8

C = −8 ln ( C1 ) C = −8 ln ( 0,06) = −22,51 Entonces la solución competa de la ecuación sería: t y (t) = 8(0.06 e 8 + 0.02) −

Se nos pide hallar la concentración de CO2 en el túnel después de media hora, entonces: t=

1 hora = 30 min 2

Reemplazando en la solución completa la concentración de CO2 será: 30   −  ÷ y ( 30 ) = 8  0, 06e 8 + 0, 02 ÷  ÷   y ( 30 ) = 0,171m 3

3) Dos recipientes están conectados de tal manera que el primero puede pasar al segundo, una salmuera a razón de 2Dl/min, y del segundo al primero simultáneamente, 1Dl/min. En el momento de iniciarse el proceso de intercambio de salmueras. t=0 minutos, el primer recipiente contiene 10Dl, de salmuera que contiene 20kg de sal y en el segundo recipiente 10Dl de agua pura. Determinar cuanta sal contendrá el primer recipiente al cabo de 5 min sabiendo que iniciado el proceso de intercambio, la mezcla en ambos recipientes, se mantiene homogénea en todo instante. SOLUCION: C2= concentración en 2

C1=concentració n en 1 V12= 2 Dl/min

V21= 1 Dl/min

Q1 (0)=20

V01=10 Dl

Q1+Q2=20Kg

V02= 10 Dl

Q1 +Q2 =20.............................................................(1) Para el tanque1: dQ1 (1)Q2 (2)Q1 =C2V21 −C1V12 = − dt V02 +(V12 −V21 )t V01 +(V21 −V12 )t dQ1 (1)Q2 (2)Q1 = − ................................ .................(2) dt 10 +t 10 −t Para el tanque 2 : dQ2 (2)Q1 (1)Q2 =C1V12 −C2V21 = − dt V01 +(V21 −V12 )t V02 +(V12 −V21 )t dQ2 (2)Q1 (1)Q2 = − ...................................................(3) dt 10 −t 10 +t Reemplazamos 1 en 2 : Q2 =20 −Q1 dQ1 20 −Q1 (2)Q1 20 Q1 2Q1 = − = − − dt 10 +t 10 −t 10 +t 10 +t 10 −t dQ1 2 20  1  + + Q1 = ............................. E. D.O . Lineal ÷ dt 10 −t  10 +t 10 +t Q1 ( t ) =e Q1 ( t ) =e Q1 ( t ) =e

2  1   ∫ + dt ÷   20  t 10 − t 10 +  * dt +C  ∫e ÷ 10 +t     

2  1  −  + dt ÷ t 10 − t 10 + 

∫

 t ln 10 + − 2  (10 − t) 

 ÷ ÷ 

 ln 10 +t 2  20   ∫e (10 −t ) *   dt + C ÷ 10 +t      

2  (10 − t)  ln ÷  10 + t ÷  

  10 +t  20  * dt +C  ∫ ÷ 2 10 +t     (10 −t ) 

    20 ∫  dt + C ÷ 2 ÷ 10 +t   10 − t  ( )     2 10 (10) Q1 ( t ) =20 =20 * +C 10 (10) (10 −t ) Q1 ( t ) =20 * (10 +t ) 10 −5 Q1 ( 5 ) =20 * 10 +5 Q1 ( 5 ) =6.67 lb Q1 ( t )

(10 −t ) =

2

4 ) Un tanque contiene inicialmente 100 dl de agua, en el cual se disuelven 80 kg de sal. Se introduce en el tanque agua pura a velocidad de 4 dl/min y la mezcla, conservada homogénea mediante agitación, sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100 dl de agua pura. Agitando se mantiene homogénea la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma velocidad ya citada. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Datos: Tanque 1 V =100 dl Q (0) =80 Kg Ve =4 dl / min Vs =4 dl / min Ce =0 Tanque 2 V =100 dl Ve =4 dl / min Q Ce = 1 100

Para el Tanque 1 dQ1 = f e − f s =Ve Ce −Vs Cs dt dQ1 Q =4(0) −4 dt 100 dQ1 Q =− 4 dt 100 dQ 4 ∫ Q 1 =−∫100 dt 4 ln Q1 =− t +C 100

e

ln Q1

=e

4 − t +C 100

Q1 (t ) =C e

− 0.04 t

Hallando C con Q (0) =80

80 =C e

− 0.04 ( 0)

80 =C e

0

C =80 Entonces : Q1 (t ) =80e

− 0.04 t

Q Cs = 1 100

Vs =4 dl / min Q Cs = 2 100

Para el Tanque 2 −0.04 t

Ce = dQ2 dt dQ1 dt dQ2 dt dQ2 dt

80 Q1 = e 100 100

=

4 −0.04t 5e

= f e − f s =VeCe −Vs Cs Q  4 −0.04t  =4  e ÷−4 100 5  16 −0.04t = −0.04Q 5 e 16 −0.04t +0.04Q = ( Ec Lineal ) 5 e

∫ P(t )dt = ∫0.04dt =0.04t   16 −0.04t  Q2 (t ) =e −0.04 t ∫e 0.04 t  ÷dt +C  e 5     16  Q2 (t ) =e −0.04 t ∫ dt +C  5   16  Q2 (t ) =e −0.04 t  t +C  5  Hallando C cuando Q2 (0) =0 16  0 = e −0.04(0)  (0) +C  5  0 =1[ 0 +C ] C =0 Entonces : 16 −0.04t Q2 (t ) = te 5 Hallando Q2 (60) =? 16 (60)e −0.04(60) 5 Q2 (60) =17.4 Kg Q2 (60) =

5) Supongamos que deseamos inyectar un cierto medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es de 150cm y que se inyecta 1cm/min. De agua destilada con 0.3mgr/cm de concentración de medicamento. La sangre entra al órgano de la misma razón con la que sale. Si en el instante inicial no hay presencia del medicamento ¿en qué momento la concentración del medicamento será de 0.05 cm? Si hacemos que x(t) la cantidad de medicamento presente en el órgano en cada instante t, sabemos por el problema que x(0) = 0, así pues tenemos:

dx = Fe − Fs dt dx = (Ce)(Ve) − (Cs)(Vs) dt dx x = (0.3)(1) − ( )(1) dt 150

Tenemos la ecuación lineal:

dx x + = 0.3 dt 150 La resolvemos:

dx 45 − x = dt 150

 dx   dt   ÷=  ÷  45 − x   150  dx dt = ∫ 45 − x ∫ 150 − ln(45 − x) =

e

ln(45 − x )

=e

(45 − x) = e x = 45 − Ce

−

−

−

t 150 t 150

t 150

t 150

Como x(0) es 0 ya que no hay presencia del medicamento en el órgano antes de inyectarlo:

0 = 45 − Ce

−

0 150

C = 45 Tenemos la ecuación para todo instante t:

x(t ) = 45 − 45e

−

t 150

Como queremos encontrar t tal que:

x(t ) x(t ) = = 0.05 V 150 x(t ) = 7.5

Reemplazamos en x(t):

7.5 = 45 − 45e

−

t 150

t

− 5 = e 150 6 t − 5 150 ln( ) = ln(e ) 6

ln(0.833) = −

t 150

t = 27.348 min .

PROBLEMAS PROPUESTOS MEZCLAS 1) A un tanque que contenía 400L de agua pura se bombea una solución agua-sal que contiene 0.05kg de sal por L, a una razón de 8L/min. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe l cabo de 50 min y a continuación se bombea agua pura a la misma razón de 8L/min (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine: a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 min. b) La cantidad de sal al cabo de 100min. c) Esboce la gráfica de la sol. Rpta: La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50min es 20(1100min es

) y la cantidad de sal al cabo de

.

2) Una sala con un volumen de 32 m3 esta inicialmente llena de aire libre de monóxido de carbono. A partir del tiempo t=0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de 0.002m3/min con un

4% de monóxido de carbono. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0.002m3/min. a) ¿Cuánto tardará la concentración de monóxido de carbono en la sala en alcanzar el nivel del 0.0012%, peligrosa para seres humanos? b) si la situación persistiera, ¿Qué pasaría cuando t→∞? Rpta: (a) En t=4.8min la concentración de monóxido de carbono será del 0.0012%. (b) Si t→∞ entonces c(t) →4%

3) Considere un tramo del Rio Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el paso de la Balsa) hasta un punto después de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc.) del 0.00001%. Supóngase que a partir de t=0 hay una entrada de 1200m3/seg con una concentración de contaminantes del 0.001% y que hay una salida de igual cantidad de agua bien mezclada. ¿Cuál será la concentración de contaminantes después del tiempo t?¿Cuánto tardara la concentración en elevarse al 0.0001%?. Si las condiciones persistieran, ¿qué pasaría cuando t→∞? Rpta: En t=4765.51 la concertación será del 0.0001%. Si t→∞ entonces c(t) →0.001%.

4) Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/seg que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1° de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al rio a razón de 1m3/seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/seg de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de determinantes en el lago después de un día, un mes (30 días) , un año (365 días). Rpta: Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos diarios de contaminación) tenemos: La concentración en un día es 0.0014%, en un mes 0.012% y en un año 0.146%

5) Salmuera en solución fluye a razón constante de 4L/min hacia el interior de un depósito que inicialmente contiene 100L de agua. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3L/min. Si la concertación de salmuera que entra en el depósito es de 0.2kg/L, determinar la cantidad de sal presente al cabo de t minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0.1kg/L? Rpta: La concentración de salmuera en t minutos t=100(

. La concentración de salmuera será de 0.1kg/L en

-1)

6) Un gran tanque está parcialmente lleno con 200gal de agua en los cuales se disuelve 20lb de sal. Una salmuera que contiene 2 lb de sal x gal, se bombea al tanque con una rapidez de 6 gal /min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. ¿Cuánta sal está presente después de 30min?. Rpta. 245.5 lb

7) Un tanque contiene inicialmente 100dl de agua, en la cual se disuelven 80kg de sal. a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla, se agita la mezcla y sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100dl de agua pura . Agitando se mantiene homogénea .Hallar la cantidad de sal al cabo de una hora. Rpta. 17.4kg de sal

8) Un líquido transparente transporta droga dentro de un órgano de volumen V a una velocidad A y sale con una velocidad B. si la concentración de la droga con el líquido que entra es C .Resolver dicha ecuación diferencial Rpta.Q=C (V+ (A-B) t) 9) Cierto producto químico se disuelve en agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solución saturada y la concentración en la solución real. Si se sabe que en 100gr. De una solución saturada están disueltos 50gr de la sustancia. si se agitan 30gr . del producto químico con 100gr de agua en 2 horas se disuelve 10gr.¿cuánto se disolverá en 6horas Rpta. 910/47 10) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de agua salada, obtenida al disolver 50 libras de sal. Una solución salina que contiene 2 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 2gal/min, mientras que del tanque la solución bien mezclada sale a razón de 3 gal/min. ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque al cabo de una hora? Rpta: 70.4lb 11) Se tiene un depósito de 1000 L de capacidad con 300L de salmuera que contiene 10Kg de sal. Se sabe que en un instante dado ingresara agua pura a razón de 15L/min a la vez que saldrá, por el fondo, a razón de 10L/min la mezcla resultante. El sistema cuenta con dispositivos especiales que permite que la mezcla se realice, en todo instante, uniformemente. Calcular: a) La concentración en un instante t min y el valor de dicha concentración al cabo de una hora. Rpta: (1/24)x10-1Kg/lts

12) En el sistema de la figura, se tiene los tanques A y B. Inicialmente 100 gal. De una solución que contiene 10lb de sal y en B hay 100 gal de agua Al tanque A y B fluye una solución salina que contiene 0.5lb de sal por galón a 10gal/min. Si todos los flujos (velocidades) son iguales a 10gal/min, encontrar la cantidad de sal en A y B al cabo de 10min. Rpta: 13) El tanque “1” contiene inicialmente 100 galones de alcohol etílico puro y el tanque “2” contiene inicialmente 100 galones de agua pura.

en A hay pura.

Al tanque 1 fluye agua pura. Al tanque 1 fluye agua pura a razón de 10gal/min, y en los otros dos desagües el flujo es también 10gal/min. Se pide: a) Hallar las cantidades X(t) y Y(t) de alcohol que hay en ambos tanques. b) Encuentre la cantidad máxima de alcohol que llega a tener el tanque 2. Rpta: X(t): C1e-t/10 ; y(t): (C1/10)te-t/10;

Cantidad max: C1e-1

14) Un tanque contiene 100 litros (l) de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 l/s y la mezcla, que se mantiene uniforme mediante agitación, se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente 10 kg de sal en el tanque?

15) Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300 galones de solución salina en la que se han disuelto 50 libras de sal. Se agrega solución salina que contiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4 gal/min. Determine cuánta sal hay en el tanque en el momento que éste se desborda.

16) El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3 y una concentración inicial de contaminantes del 0.25%. Hay un ingreso anual de 209 km3 de agua con una concentración de contaminantes del 0.05% y un derrame anual de igual cantidad, bien mezclada en el lago. ¿Cuánto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque se reduzca al 0.10%?

17) Suponga que un cuarto contiene 32 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. En el instante t=0 se empieza a introducir al cuarto humo de cigarrillo, con un contenido del 4% de monóxido de carbono, con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla bien circulada, con la misma rapidez. a) Encuentre una expresión para la concentración X(t) de monóxido de carbono en el cuarto, en cualquier instante t > 0. b) Para un ser humano, quedar expuesto a una concentración de monóxido de carbono tan baja como 0.00012 puede ser nocivo. Encuentre el tiempo en el cual se a1canza esta concentración.

18) Un tanque de 500 gal contiene inicialmente 100 gal de agua, en la cual se han disuelto 50 lb de sal. Comenzando en t = 0, una salmuera cuya concentración es de 2 lb de sal por galón entra al tanque a razón de 5 gal/s. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale del tanque con una rapidez de 3 gal/s. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera’?

19) Ácido nítrico en solución fluye a razón constante de 6L/min hacia el interior de un tanque que inicialmente contiene 200L de una solución del mismo ácido al 0.5%. La solución contenida en el tanque se mantiene uniformemente distribuida y sale del tanque a razón de 8L/min. Si la solución que entra al tanque es del 20% de ácido nítrico, determine la cantidad de este ácido presente en el tanque al cabo de t minutos. ¿En qué momento el % de ácido contenido en el tanque será de 10%? Rpta: t = 19.5973min

20) En un túnel subterráneo de dimensiones 20 x 5 x 4 m 3, existe una concentración de gas carbónico (CO2) de 0,16%, mientras que en el aire exterior la concentración de gas es del 0,04%. Se insufla aire del exterior en el túnel con unos ventiladores a razón de 50 m 3/min. Hallar la concentración de gas carbónico en el túnel media hora después de iniciado el proceso de renovación de aire. Rpta: y ( 30 ) = 0,171m 3