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3.- Un estudiante rinde rinde una prueba de selección múltiple en la que, cada pregunta tiene 5
alternativas, de las cuales sólo una es la correcta. Cuando el alumno sabe la respuesta correcta de una pregunta, la marca, en caso contrario contrario marca una alternativa al azar. azar. Si el estudiante sabe el 70 % de las respuestas correctas , ¿ Cuál es la probabilidad que el alumno haya sabido la respuesta de una pregunta, si la respondió correctamente ?.
Desarrollo: Definamos los sucesos : S : “ El alumno alumno Sabe la respuesta” y C : “ El alumno responde Correctamente ”
'
Luego :
P ( S) 0,70 ; P ( S ) 0,30 ;
'
'
' '
0,2 ; P ( C /S ) 0,8 0,8 P ( C / S) 1 ; P ( C /S) 0 ; P ( C / S ) 0,2 Luego, por Teorema de la Probabilidad Total
'
'
P (C ) P ( S) P (C / S) P ( S ) P (C / S )
1,0 1,0 0,7 0,7 0,3 0,3 0,2 0,2 0,76 Se pide pide P (S / C ) : Aplicación del Teorema de Bayes
P ( P ( S / C)
Conclusión ;
P ( B D)
P(D)
P ( B) P ( D / B)
P(D)
1,0 1,0 0,7 0,7 0,9211 0,76
Por tanto, existe existe una probabilidad del 92,11 % que el alumno haya sabido sabido la respuesta de una pregunta, si la respondió correctamente
4.- Suponga que el número de paquetes de 1000 acciones cada uno, que un corredor de Bolsa
vende un día Viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs , corresponde corresponde a una variable aleatoria X ,cuya ,cuya función de probabilidad está dada por : X P(X=x)
4 1/12
5 1/12
6 1/4
7 1/4
8 1/6
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a) ¿ Cuál es la probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo
más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes ?.
Desarrollo: Sea la v.a X : “ N° de paquetes de acciones vendidas por el corredor de Bolsa el día y horario indicado”
2 P(5 X 8) 3 4 0,8 P( X 8 / X 5) 5 5 P( X 5) 6 Conclusión ; La probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes, es del 80 % b) El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada
paquete de acciones está dado por g ( x) 2 X 1 ( diez miles de $ ). Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones durante el día y período indicados.
Desarrollo: 1 1 41 E X 4 9 6,8333 (paquetes de acciones) 2 6 6 Luego E g ( X ) E 2 X 1 2 6,8333 1 12,6666 ( Diez miles $) $ 126 126 .666 666 Conclusión ; El monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de
dichos paquetes
de acciones durante el día y período indicados es de 12,6666 ( Diez miles $) 5.- Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en el mercado cierto producto en tres sabores : Naranja ( A ), Frutilla ( B ) y Plátano ( C ) en la proporción 35%, 45% y 20% respectivamente.
El departamento de investigación investigación ha logrado establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos, presentan problema en el sellado del sabor. a) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿qué % corresponden
al tipo B ?
Desarrollo: Sean los sucesos A: “ El producto tiene sabor a Naranja” “ “ a Frutilla” B: “ El “ “ C: “ El … “ “ a Plátano” S: “ El producto tiene problemas de sellado del sabor”
Desarrollo: Sea la v.a X : “ N° de paquetes de acciones vendidas por el corredor de Bolsa el día y horario indicado”
2 P(5 X 8) 3 4 0,8 P( X 8 / X 5) 5 5 P( X 5) 6 Conclusión ; La probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes, es del 80 % b) El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada
paquete de acciones está dado por g ( x) 2 X 1 ( diez miles de $ ). Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones durante el día y período indicados.
Desarrollo: 1 1 41 E X 4 9 6,8333 (paquetes de acciones) 2 6 6 Luego E g ( X ) E 2 X 1 2 6,8333 1 12,6666 ( Diez miles $) $ 126 126 .666 666 Conclusión ; El monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de
dichos paquetes
de acciones durante el día y período indicados es de 12,6666 ( Diez miles $) 5.- Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en el mercado cierto producto en tres sabores : Naranja ( A ), Frutilla ( B ) y Plátano ( C ) en la proporción 35%, 45% y 20% respectivamente.
El departamento de investigación investigación ha logrado establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos, presentan problema en el sellado del sabor. a) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿qué % corresponden
al tipo B ?
Desarrollo: Sean los sucesos A: “ El producto tiene sabor a Naranja” “ “ a Frutilla” B: “ El “ “ C: “ El … “ “ a Plátano” S: “ El producto tiene problemas de sellado del sabor”
Luego :
P ( A) 0.35 ;
P( B ) 0.45;
045 ; P ( S | A) 0.045
P ( B | S )
P( S | B) P( B) P( S )
P (C ) 0.20
065 ; P ( S | B ) 0.065
P( S | C ) 0.07
, con P( S ) 0,045 0,35 0,065 0,45 0,07 0,20 0,059
Por tanto : P ( B | S )
P ( S | B) P( B ) P(S )
0,065 065 0,45 0,4958 0,059 059
Conclusión ; Un 49,58% aproximadamente de los productos corresponden al tipo B Ejercicio 5-b) b) Si resultó un producto bien sellado, ¿cuál es la probabilidad de que no corresponda al tipo B ó
C ?.
Desarrollo: c
P ( B C ) | S
c
???? pero esto es equivalente a que sea de A.
c P( S ) 1 P( S ) 1 0,059 0,941
Luego : P( A | S ) c
P( S c | A) P( A) P( S c )
0,955 0,35 0,3552 0.941
Conclusión ; Aproximadamente un 35,52% no corresponda al tipo B ó C 6.- Una empresa transnacional interesada en invertir en Chile, está evaluando adquirir una de las
AFP que operan en el mercado nacional. Registros estadísticos indican que, el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional corresponde a una variable aleatoria con función de probabilidad dada por : (23 - x ) , si 5 x 23 k x (23 f(x) = , t ol 0 a) ¿Con qué probabilidad, el porcentaje porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional
excede al 18 % ?.
Desarrollo:
participación de la AFP en el mercado mercado nacional ” Sea la v.a X : “ Porcentaje de participación
23
5
k x (23 - x ) dx 1 k 1 1782
P( X 18)
23
18
23
5
(23 x - x 2 ) dx 1 k
1 1782
(23 x - x 2 ) dx 0,1380
Conclusión ; Aproximadamente con una probabilidad del 13,80 % el porcentaje de
participación de dicha AFP en el mercado nacional excede al 18 %
b) Los estudios de factibilidad realizados por la transnacional, indican que la utilidad anual que
obtendrá en función del porcentaje de participación en el mercado de la AFP, está dada por U( X ) = 0,12 + 0,18 X ( Millones de dólares).
La empresa transnacional adquirirá la AFP, AFP, sólo si su utilidad anual esperada excede a 2,7 Millones de dólares. Determine si la transnacional realiza la inversión indicada.
Desarrollo:
E X
1 1782
23
5
(23 x 2 - x 3 ) dx 12,6364 ( % de participación de la AFP en el mercadonacional )
Luego E U ( X ) E 0,12 0,18 X 0,12 0,18 12 ,6364
Conclusión ;
de dólares,
2,3946 ( Millones US $ )
Por tanto, como la utilidad anual esperada esperada de la AFP no excede a 2,7 Millones la empresa transnacional NO adquirirá la AFP.
2.- Un ingeniero comercial concursa a un cargo gerencial en las empresas “JKL” y “MKS”. La La
probabilidad
que gane el concurso sólo en “JKL” es
1 4
, que no lo gane en “MKS” es
11 y que no lo gane 24
en “MKS” si lo gana en “JKL” es
3 5
. Determine la probabilidad que dicho ingeniero tenga que decidir
en cuál de éstas dos empresas acepta el cargo. 1,2 Pto.
DESARROLLO Sean los los sucesos : J : “ El Ingeniero comercial gana el con curso en la empresa JKL “ ; Idem M 0,1 Pto.
Luego : P( J M ' ) P( J M )
1 11 3 , P( M ' ) , P( M ' / J ) . Se pide determinar 4 24 5
0,2 Pto.
1 5 P( M J ) ' P( J ) 4 P( M / J ) . 3 12 P( J ) 5 '
Por otro lado P( J M ) P( J ) P( J M ' )
0,4 Pto.
5 1 1 - 0,1667 12 4 6
0,3 Pto.
Conclusión : Aproximadamente, la probabilidad probabilidad pedida es del 16,67 % Pto.
0,2
3.- El gerente de ventas de una empresa está planeando introducir al m ercado un nuevo producto,
registros estadísticos de la empresa indican que el 30 % de sus productos han tenido éxito. Antes de comercializar el producto, se realiza reali za un estudio de mercado y se prepara un informe, el cuál puede ser favorable ó desfavorable. Se sabe que el 70 % de los productos exitosos y el 20 % de los no exitosos de la compañía han recibido en el pasado un informe favorable, ¿ cuál es la probabilidad que el nuevo producto tenga éxito si recibió un informe favorable ? . 1,2 Pto.
DESARROLLO
Sean los sucesos
E : “ El artículo artículo ha tenido éxito “ y F : “ El artículo recibe recibe informe favorable “ 0,2 Pto.
P( E ) = 0,3 ; P( F / E ) = 0,7 ; P( F /E C ) = 0,2 P( F ) P( E ) P( F / E ) P(E C ) P( F /E C ) 0,3 0,7 0,2 0,7 0,37
P(E / F ) =
0,4 Pto.
0,7 0,3 0,6 0,4 Pto. 0,37
Conclusión : La probabilidad que el nuevo producto tenga éxito si recibió un informe favorable es del 60 % 4.- En determinado banco, del total de operaciones diarias realizadas, el porcentaje
correspondiente a giros está dado por una variable aleatoria con función de densidad :
Kx 50 x , si 0 x 50
f x
0, t.o.l
¿Con qué probabilidad el banco alcanzará al cierre de operaciones bancarias del día, a lo más el 45% de operaciones de giros, si ha superado el 15% de éstas? 1,2 Pto.
DESARROLLO Sea X : “ Porcentaje correspondiente a giros del total de operaciones bancarias diarias realizadas “ 0,1 Pto Se pide :
P X 45 / x 15
P 15 x 45
0,3 Pto
P X 15 45
50 x x dx 2
15 50
50 x x dx 2
50 50
15
15750 0.9642 16333.333
x
2
2 x
2
2
/ 45 15
50 / 15
x
3
3 x 3
3
45 / 15
0,4 Pto 50 / 15
0,2 Pto
Conclusión : Aproximadamente, la probabilidad que el banco alcance al cierre de operaciones bancarias del día, a lo más el 45% de operaciones de giros, si ha superado el 15% de éstas, es del 96,42 % 0,2 Pto
1.- Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral
P( AC / B)
2 3
; P( B / A)
3 2 y P( AC B) 5 5
.
( ) tales que: PROPIEDADES ,
APLICANDO
desarrolle y obtenga el valor de: C a) P ( A B )
DESARROLLO : 2 P( A B) P( A B) 5 2 3 3 P(B) P( AC / B) C 2 5 2 5 P( B) P( A / B) 3 C
C
P( A B) P(B) - P( A B ) C
P( A B )
0,3 Pto.
3 2 1 5 5 5
0,3 Pto.
1 P( A B) 3 P( A B) 5 1 5 1 P(A) P( B / A) 3 5 3 3 5 P( A) P( B / A) 5 1 1 2 C C Luego : P ( A B ) P(A) - P ( A B ) P ( A B ) 3 5 15
0,3 Pto.
0,3 Pto.
b) P( AC B C ) P ( A B ) P(A B) C
C
C
1 P(A B) 1 - P(A) P(B) - P(A B)
1 3 1
11
0,4 Pto.
4
1 1 15 15 3 5 5
0,4 Pto.
2.- De 20 postulantes que se presentaron a una empresa por un puesto de trabajo se sabe que:
El 60 % de ellos tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan.
El 10 % de ellos tienen un curso de capacitación y no experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan.
El 75 % de los que tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan, no tienen un curso de capacitación .
a) Si se elige al azar uno de dichos postulantes , determine la probabilidad que tenga experiencia previa, pero no un curso de capacitación.
DESARROLLO 0,2 Pto.
Definamos los sucesos :
E : “ El postulante tiene experiencia previa en el tipo de trabajo al que postula “ y C : “ El postulante tiene un curso de capacitación “ Curso Experiencia
C
C C
Total
E E C
3 2 5
9 6 15
12 8 20
Total
Se pide : P( E C ) C
( )
P( E ) P(C E )
0,4 Pto
12 3 9 0,45 45% 20 20 20
0,4 Pto.
Conclusión : Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado tenga experiencia previa, pero no un curso de capacitación es del 45 %
0,2 Pto.
b) Pasarán a una segunda etapa del proceso de selección, sólo aquellos postulantes que cumplan con a lo menos una de las dos características ya señaladas ( experiencia previa , curso de capacitación ). Determine la probabilidad que uno de dichos postulantes elegido al azar, no logre pasar a la segunda etapa del proceso de selección. Se pide : P ( E C )
C
1 P ( E C ) 1 P ( E ) P (C ) - P ( E C )
0,2 Pto.
14 3 12 5 3 1 1 0,30 30 % 20 10 20 20 20
0,4 Pto.
Conclusión : Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado no logre pasar a la segunda
0,2 Pto.
etapa del proceso de selección es del 30 %
En un análisis de las perdidas registradas en las inversiones en los distintos fondos de pensiones, se observó que en el último trimestre el comportamiento fue el siguiente: un 28% para el fondo A, un 22% para el fondo B, un 5% para el fondo D y 0,5% para el fondo E. Además se sabe que la distribución de inversiones en los distintos fondos fue de un 16%, 18%, 28%, 24% y un 14% respectivamente. Sabiendo que la perdida acumulada en dicho período fue de un 15,85%, determine: 3.-
a) ¿Qué % de pérdida se observo en las inversiones provenientes del fondo C, en dicho período?
DESARROLLO 0,2Pto.
Sean los eventos: A: “Inversión en el fondo A”
B: “Inversión en el fondo B”
C: “Inversión en el fondo C”
D: “Inversión en el fondo D
E: “Inversión en el fondo E”
W:”Perdida registrada en el último
trimestre Datos: P(W/A) = 0,28 P(W/B) = 0,25 P(W/C) = ?? P(A) = 0,16;
P(B) = 0,18;
Se pide: P(W/C) = ???
P(C) = 0,28;
P(W/D) = 0,05
y P(W/E) = 0,005
P(D) = 0,24 y P(E) = 0,14
0,2Pto.
Obtener P(W/C) = ¿? Se sabe que. P(W) = 0,1585, entonces: (probabilidad total) P(W ) P(W A) P(W B) P(W C ) P(W D) P(W E ) 0,1584
0,3
Pto.
0,1585 = P(W / A) P( A) P(W / B) P( B) P(W / C ) P(C ) P(W / D) P( D) P(W / E ) P( E )
0,1585 = 0,28 * 0,16 0,22 * 0,18 X * 0,28 0,05 * 0,24 0,005 * 0,14 P(W / C ) 0,2193
0,3
Pto.
Conclusión : Luego, durante el período en estudio, se observo un 21,93 % de pérdida en las
0,2
inversiones provenientes del fondo C.
Pto.
b) De la pérdida observada en el período, ¿Qué % provienen de los dos fondos de inversión más riesgosos?
DESARROLLO Los fondos mas riesgosos son A y B , Luego se pide:
P(( A B) / W )
P(( A B) W ) P(W )
P(( A W ) ( B W )) P(W )
P( A W ) P( B W ) P(W )
0,3 Pto.
(0,28 * 0,16) (0,25 * 0,18) 0,0898 0,5666 0,1585 0,1585
0,3 Pto.
Conclusión : Un 56,66% de la perdida observada en dicho período proviene de la inversión en los fondos A ó B. 0,2 Pto
2.- El Banco “R&R” atiende de Lunes a Viernes de 8 am a 16 pm. En una de sus sucursales, el
número de clientes que diariamente solicitan préstamos por un monto superior a $ 10.000.000 , puede modelarse mediante una distribución Poisson con una media de 3 clientes por día. Si las solicitudes de préstamos son in dependientes tanto respecto del día, como del clie nte que los solicita, determine la probabilidad que hasta el mediodía de 2 o más días de una semana laboral, en dicha sucursal no se registren solicitudes de préstamos por más de $ 10.000.000. 1,2 Pto Desarrollo Con t = 4, se tiene que: 1,5 luego:
P( X 0)
e 1,5 0!
0!
e 1,5 0,2231 (exito) p 0,2 Pto
Sea Y: “ Nº de días de la semana en que se solicitan prestamos por más de $10.000.000 ”
0,1 Pto
Con n 5 y p 0,2231 Y ~ B(n, p) 0,1 Pto Se pide:
P (Y 2) 1 P (Y 2) 1 P (Y 0) P (Y 1)
0,2 Pto
5 5 1 (0,2231) 0 (0,7769) 5 (0,2231)1 (0,7769) 4 1 0 0,5 Pto 0,3106 0,1 Pto Conclusión : La probabilidad que hasta el mediodía de 2 o más días de una semana laboral, en dicha sucursal no se registren solicitudes de préstamos por más de $ 10.000.000, es del 31,06 % 3.- Usted desempeña las funciones de auditor de sistemas en una empresa y debe velar que en
los procesos de contratación de mano de obra externa, no se produzca discriminación entre sus 2 proveedores de out sourcing especializado, las empresas Alpha y Betha. En un primer llamado se deben cubrir 3 plazas y son presentados 9 candidatos, 4 de los cuales son de la empresa Alpha y 5 de la Betha. Sólo una persona de Alpha es contratada, motivo por el cuál ésta empresa le reclama a usted por discriminación en la selección. Determine si dicho reclamo es justificado 1,2 Pto
Desarrollo Hay que determinar la probabilidad de que no más una de las contrataciones, de las tres efectuadas, recayera en una persona de la empresa Alpha. Sea X : ’Número de personas de la empresa Alpha, contratadas de entre las tres elegidas’. 0,1 Pto
4 5 3 x x 0,1 Pto Luego X ~ H ( 9 ; 4 ; 3 ) P X x 9 3 0,2 Pto Por lo tanto P X 1 P X 0 P X 1 4 5 4 5 0 3 1 2 0,1190 0,4762 0,5952 59,52% 9 9 3 3
0,6
Pto Conclusión : De manera que había casi un 60 % de probabilidad, sin considerar la empresa de origen que, no más de una de las contrataciones recayera en una persona presentada por Alpha, en consecuencia, el reclamo de discriminación de dicha empresa no es justificado. 0,2 Pto 4.- El número mensual de pólizas de seguros de incendio y terremoto que un vendedor puede
vender, corresponde a una variable aleatoria con función de probabilidad dada por :
2k x , si 1 x 3 f ( x) k (20 - x) , si 4 x 6 0 , t.o.l El sueldo mensual del vendedor está dado por un monto base de $ 350.000 más una comisión de $ 110.000 por póliza vendida. Determine el sueldo semestral esperado de dicho vendedor. 1,2 Pto Desarrollo
f ( x) 1
12k 45k 1 k
xRe cX
E X
1 57
0,3 Pto
2 8 14 251 4,4035 ( Pólizas vendidas mensualmente ) 57 57 57 57
Sueldo mensual del Vendedor S ( X )
350 110 X (miles$) 0,1 Pto
0,3 Pto
Sueldo mensual esperado del Vendedor E S ( X ) 350
110 E X 834 ,385 (miles$)
0,3 Pto Conclusión : Por tanto el sueldo semestral esperado de dicho vendedor, es de $ 5.006.310 0,2 Pto 5.- Una empresa de multitienda clasifica a sus clientes según su nivel de riesgo de acuerdo a al
siguiente criterio.
, si x 20 bajo R( x) aceptable , si 20 x 50 alto , si x 50
Donde el indicador de riesgo X (en puntos), es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 30 puntos. Si según este indicador el 33% de los clientes califica en bajo riesgo, determine la probabilidad que un cliente de la empresa elegido al azar califique en alto riesgo. 1,2 Pto Desarrollo Sea X : “ Puntaje indicador de riesgo de un cliente observado al azar “ .
Pto
0,2 Pto
0,1
Se sabe que :
Luego :
0,5 Pto Conclusión : riesgo
0,3 Pto
( ) Por tanto, la probabilidad que un cliente observado al azar califique en alto es del 18,94 %
0,1 Pto
3.- (1,5 puntos) En cierto proceso productivo, la probabilidad d e producir un elemento defectuoso
es del 3%. El equipo de control de calidad selecciona una muestra al azar de 15 artículos para su inspección. Si los artículos son producidos de manera independiente uno del otro calcule: a) La probabilidad de que encuentren, cómo máximo, 2 artículos defectuosos (0,5 puntos) b) La probabilidad de que encuentren entre 2 y 5 artículos defectuosos (0,5 puntos) c) Suponga que por la producción de cada artículo no defectuoso se obtiene una ganancia de mil pesos, mientras que cada artículo defectuoso genera una pérdida de 500 pesos. Calcule la ganancia esperada de la muestra. (0,5 puntos)
4.- (1,5 puntos) El periódico La Nación se encuentra en graves dificultades por la disminución en sus ventas. Suponga que como una solución se encuentra considerando una alianza estratégica con el periódico El Mundo de España para entregar los contenidos internacionales del diario español en Chile. Suponga que las ventas semanales (en miles) de nuevas subscripciones a la Nación se comportan como una variable aleatoria con función de densidad
3.- Un estudiante rinde una prueba de selección múltiple en la que, cada pregunta tiene 5
alternativas, de las cuales sólo una es la correcta. Cuando el alumno sabe la respuesta correcta de una pregunta, la marca, en caso contrario marca una alternativa al azar. Si el estudiante sabe el 70 % de las respuestas correctas , ¿ Cuál es la probabilidad que el alumno haya sabido la respuesta de una pregunta, si la respondió correctamente ?.
Desarrollo: Definamos los sucesos : S : “ El alumno Sabe la respuesta” y C : “ El alumno responde Correctamente ”
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Luego :
P ( S) 0,70 ; P ( S ) 0,30 ;
'
'
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P ( C / S) 1 ; P ( C /S) 0 ; P ( C / S ) 0,2 ; P ( C /S ) 0,8 Luego, por Teorema de la Probabilidad Total
'
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P (C ) P ( S) P (C / S) P ( S ) P (C / S )
1,0 0,7 0,3 0,2 0,76
Se pide P (S / C ) : Aplicación del Teorema de Bayes
P ( P ( S / C)
Conclusión ;
P ( B D)
P(D)
P ( B) P ( D / B)
P(D)
1,0 0,7 0,9211 0,76
Por tanto, existe una probabilidad del 92,11 % que el alumno haya sabido la respuesta de una pregunta, si la respondió correctamente
4.- Suponga que el número de paquetes de 1000 acciones cada uno, que un corredor de Bolsa
vende un día Viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs , corresponde a una variable aleatoria X ,cuya función de probabilidad está dada por : X P(X=x)
4 1/12
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6 1/4
7 1/4
8 1/6
9 1/6
c) ¿ Cuál es la probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo
más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes ?.
Desarrollo: Sea la v.a X : “ N° de paquetes de acciones ve ndidas por el corredor de Bolsa el día y horario indicado”
2 P(5 X 8) 3 4 P( X 8 / X 5) 0,8 5 5 P( X 5) 6 Conclusión ; La probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes, es del 80 % d) El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada
paquete de acciones está dado por g ( x) 2 X 1 ( diez miles de $ ). Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones durante el día y período indicados.
Desarrollo: 1 1 41 6,8333 (paquetes de acciones) E X 4 9 2 6 6 Luego E g ( X ) E 2 X 1 2 6,8333 1 12,6666 ( Diez miles $) $ 126 .666 Conclusión ; El monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de
dichos paquetes
de acciones durante el día y período indicados es de 12,6666 ( Diez miles $) 5.- Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en
el mercado cierto producto en tres sabores : Naranja ( A ), Frutilla ( B ) y Plátano ( C ) en la proporción 35%, 45% y 20% respectivamente.
El departamento de investigación ha logrado establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos, presentan problema en el sellado del sabor. c) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿qué % corresponden
al tipo B ?
Desarrollo: Sean los sucesos A: “ El producto tiene sabor a Naranja” B: “ El “ “
“
“
a Frutilla”
C: “ El … “ “ a Plátano” S: “ El producto tiene problemas de sellado del sabor”
Luego :
P ( A) 0.35 ;
P( B ) 0.45;
P ( S | A) 0.045 ;
P ( B | S )
P( S | B) P( B) P( S )
P (C ) 0.20
P ( S | B ) 0.065 ;
P( S | C ) 0.07
, con P( S ) 0,045 0,35 0,065 0,45 0,07 0,20 0,059
Por tanto : P ( B | S )
P ( S | B) P( B ) P(S )
0,065 0,45 0,4958 0,059
Conclusión ; Un 49,58% aproximadamente de los productos corresponden al tipo B Ejercicio 5-b) d) Si resultó un producto bien sellado, ¿cuál es la probabilidad de que no corresponda al tipo B ó
C ?.
Desarrollo: c
P ( B C ) | S
c
???? pero esto es equivalente a que sea de A.
P( S c ) 1 P( S ) 1 0,059 0,941
Luego : P( A | S ) c
P( S c | A) P( A) c
P( S )
0,955 0,35 0,3552 0.941
Conclusión ; Aproximadamente un 35,52% no corresponda al tipo B ó C 6.- Una empresa transnacional interesada en invertir en Chile, está evaluando adquirir una de las
AFP que operan en el mercado nacional. Registros estadísticos indican que, el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional corresponde a una variable aleatoria con función de probabilidad dada por :
k x (23 - x ) , si 5 x 23 f(x) = , t ol 0 c) ¿Con qué probabilidad, el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional
excede al 18 % ?.
Desarrollo: Sea la v.a X : “ Porcentaje de participación de la AFP en el mercado nacional ”
23
5
k x (23 - x ) dx 1 k 1 1782
P( X 18)
23
18
23
5
(23 x - x 2 ) dx 1 k
1 1782
(23 x - x 2 ) dx 0,1380
Conclusión ; Aproximadamente con una probabilidad del 13,80 % el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional excede al 18 % d) Los estudios de factibilidad realizados por la transnacional, indican que la utilidad anual que
obtendrá en función del porcentaje de participación en el mercado de la AFP, está dada por U( X ) = 0,12 + 0,18 X ( Millones de dólares).
La empresa transnacional adquirirá la AFP, sólo si su utilidad anual esperada excede a 2,7 Millones de dólares. Determine si la transnacional realiza la inversión indicada.
Desarrollo:
E X
1 1782
23
5
(23 x 2 - x 3 ) dx 12,6364 ( % de participación de la AFP en el mercadonacional )
Luego E U ( X ) E 0,12 0,18 X 0,12 0,18 12 ,6364
Conclusión ;
de dólares,
2,3946 ( Millones US $ )
Por tanto, como la utilidad anual esperada de la AFP no excede a 2,7 Millones la empresa transnacional NO adquirirá la AFP.
1.- Debido a los constantes reclamos de los consumidores, una empresa de defensa al
consumidor fiscaliza una industria envasadora de lácteos. En esta empresa el 98% de sus productos cumple con las normas exigidas por el ministerio de salud. Sin embargo, después de la inspección, se encontró que el 9% de los productos examinados no cumplían con las normas exigidas por el ministerio de salud, examinándose sólo el 35% del total de productos en bodega. Basados en estos antecedentes, determine la probabilidad que un producto cumpla con las normas exigidas por el ministerio y sea examinado. 2 Ptos. DESARROLLO
Sean los sucesos : A : “ El producto cumple con las normas exigidas por el ministerio de salud “ B : “ El producto es examinado “
Se pide P( A B) C P( A) 0,98 ; P( B) 0,35 ; P( A / B ) 0,09
Luego : P( A / B) 1 P( AC / B) 1 0,09 0,91 P ( A / B )
P ( A B ) P( B)
P( A B) 0,91 0,35
Conclusión : Luego, la probabilidad que un producto cumpla con las normas exigidas por el ministerio y sea examinado es del 31,85 %
2.- Todas las noches el señor M llega tarde a su casa. Doña F, su esposa, le deja encendida la lu z
de entrada de la casa. La probabilidad que don M llegue bebido es 45%. Si llega bebido, hay una probabilidad del 80% que no apague la luz y del 5% si llega sobrio. Cierta noche el señor M apagó la luz, ¿ cuál es la probabilidad que ha ya bebido ? 2 Ptos DESARROLLO
Sean los sucesos: B : “ El señor M llega bebido a casa “ N : “ El señor M no apaga la luz “
P( B C ) 0,55
P( B) 0,45
Luego :
P( N C / B) 0,20
P( N / B) 0,80
P( N / B ) 0,95
P( N / B ) 0,05 C
C
C
P( El señor M no apague la luz ) = P( B N ) P( B C N ) = P( B) P( N / B) P( B C ) P( N / B C ) = 0,45 0,80 0,55 0,05 = 0,3875 P(el señor M haya bebido si apagó la luz )
=
P( B / N )
0,45 0,20 1 0,3875
C
P( B N C ) P( N C )
P( B) P( N C / B)
1 P( N )
0,09 0,6125
Conclusión : Luego, la probabilidad que el señor M haya bebido si apagó la luz es del 14,69 % 3.- Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral tales que :
PB
C
A
0,5625 , P A B 0,3500 , P A B 0,8750
Calcule la probabilidad que sólo uno de dichos sucesos ocurra. 2 Ptos DESARROLLO
P A B
P ( A B) P ( B)
P ( B / A) 1 P B
Luego :
P ( A B) P ( A)
0,8750 C
A
P( B)
0,3500 0,4 0,8750
1 0,5625 0,4375
0,4375 P( A)
0,3500 0,8 0,4375
Se pide : P( A C B) P( A B C ) = P( A) P( B) 2 P( A B) 0,8 0,4 0,7 Conclusión : Luego, la probabilidad que sólo uno de dichos sucesos ocurra es del 50 %
1.- Suponga que el número de paquetes de 1000 acciones cada uno, que un corredor de Bolsa
vende un día Viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs , corresponde a una variable aleatoria X ,cuya función de probabilidad está dada por : X P(X=x)
4 1/12
5 1/12
6 1/4
7 1/4
8 1/6
9 1/6
e) ¿ Cuál es la probabilidad que el corredor de Bolsa en el día y período indicados, venda a lo
más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes ?. 1,0 Pto.. Desarrollo
Sea la v.a X : “ N° de paquetes de acciones ve ndidas por el corredor de Bolsa el día y horario indicado” 0,2 Pto.
2 P(5 X 8) 3 4 P ( X 8 / X 5) 0,8 0,8 Pto. 5 5 P( X 5) 6
El monto de los honorarios que el corredor de Bolsa cobra a sus clientes por la venta de cada paquete de acciones está dado por g ( x) 2 X 1 ( diez miles de $ ). Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de Bolsa por la venta de dichos paquetes de acciones durante el día y período 1,0 Pto. indicados. f)
Desarrollo
E X 4
1 1 41 9 6,8333 (paquetes de acciones) 0,6 Pto. 2 6 6
Luego E g ( X ) E 2 X 1 2 6,8333 1 12,6666 ( Diez miles $) $ 126 .666 0,4 Pto. 2.- Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas, pretende poner en
el mercado cierto producto en tres sabores : Naranja ( A ), Frutilla ( B ) y Plátano ( C ) en la proporción 35%, 45% y 20% respectivamente. El departamento de investigación ha logrado establecer mediante pruebas que, el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivos productos, presentan problema en el sellado del sabor.
e) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿qué % corresponden 1,0 Pto. al tipo B ? Desarrollo
Sean los sucesos A: “ El producto tiene sabor a Naranja” B: “ El “ “ “ “ a Frutilla” C: “ El … “ “ a Plátano” S: “ El producto tiene problemas de sellado del sabor”
Luego :
P ( A) 0.35 ;
P( B ) 0.45;
P ( S | A) 0.045 ;
P ( B | S )
P( S | B) P( B) P( S )
P (C ) 0.20
P ( S | B ) 0.065 ;
P( S | C ) 0.07
0,2 Pto.
0,2 Pto.
, con P( S ) 0,045 0,35 0,065 0,45 0,07 0,20 0,059
0,3 Pto.
Por tanto : P( B | S )
P( S | B) P( B) P( S )
0,065 0,45 0,4958 0,059 0,3 Pto.
Un 49,58% aproximadamente de los productos
Ejercicio 2-b) f)
Si resultó un producto bien sellado, ¿cuál es la probabilidad de que no corresponda al tipo B ó 1,0 Pto. C ?.
c
P ( B C ) | S
???? pero esto es equivalente a que sea de A.
c
P( S c ) 1 P( S ) 1 0,059 0,941
0,2 Pto.
0,2 Pto.
Luego : P( A | S ) c
P( S | A) P( A) c
P( S c )
0,955 0,35 0,3552 0,6 Pto. 0.941
Aproximadamente un 35,52% 3.- Una empresa transnacional interesada en invertir en Chile, está evaluando adquirir una de las
AFP que operan en el mercado nacional. Registros estadísticos indican que, el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional corresponde a una variable aleatoria con función de probabilidad dada por :
k x (23 - x ) , si 5 x 23 f(x) = , t ol 0 e) ¿Con qué probabilidad, el porcentaje de participación de dicha AFP en el mercado nacional excede al 18 % ?. 1,0 Pto Desarrollo
Sea la v.a X : “ Porcentaje de participación de la AFP en el mercado nacional ”
23
5
k x (23 - x ) dx 1 k
P( X 18)
1 1782
23
18
23
5
(23 x - x 2 ) dx 1 k
0,2 Pto.
1 0,4 Pto. 1782
(23 x - x 2 ) dx 0,1380 0,4 Pto.
Los estudios de factibilidad realizados por la transnacional, indican que la utilidad anual que obtendrá en función del porcentaje de participación en el mercado de la AFP, está dada por U( X ) = 0,12 + 0,18 X ( Millones de dólares). La empresa transnacional adquirirá la AFP, sólo si su utilidad anual esperada excede a 2,7 Millones de dólares. Determine si la transnacional realiza la inversión indicada. f)
1,0 Pto Desarrollo
E X
1 1782
23
5
(23 x 2 - x 3 ) dx 12,6364 ( % de participación de la AFP en el mercadonacional )
0,4 Pto.
Luego E U ( X ) E 0,12 0,18 X 0,12 0,18 12 ,6364 2,3946 ( Millones US $ ) 0,4 Pto.
Por tanto, como la utilidad anual esperada de la AFP no excede a 2,7 Millones de dólares, la empresa transnacional NO adquirirá la AFP.
En una empresa, se formará una comisión de trabajo integrada por dos personas elegidas al azar de entre 5 Auditores, 3 Ingenieros Comerciales y 1 Abogado. 2. .-
Describa el espacio muestral asociado al proceso de selección de los integrantes de la comisión y calcule la probabilidad que ésta quede integrada por dos personas de la misma profesión. 1.5 Pto.
DESARROLLO
Sea :
: “ Seleccionar al azar dos de los profesionales que integrarán la Comisión “
y los sucesos :
Ai : La i-ésima persona seleccionada es Auditor i 1,2 B i : La i-ésima persona seleccionada es Ingeniero Comercial i 1,2 C i : La i-ésima persona seleccionada es Abogado i 1,2
A1 A 2 ; A1 B 2 ; A1 C 2 Ω( ) B1 A 2 ; B1 B 2 ; B1 C 2 C A ; C B 2 1 2 1
Luego
Se pide :
P(A1 A 2 ) (B1 B 2 ) P (A1 A 2 ) P (B1 B2 )
=
5 4 3 2 13 0,3611 9 8 9 8 36
Conclusión : Por tanto, la probabilidad que la Comisión quede integrada por dos
personas de la misma profesión es aproximadamente del 36,11 % . 3.- De todos los proyectos asignados al grupo “ ORO” , el 30% se encargan al azar al ingeniero A,
el 20% al ingeniero B y el resto al ingeniero C. La probabilidad que el ingeniero C realice un proyecto y cometa un error grave es 0,02, mientras que la probabilidad que un error grave sea cometido por el ingeniero B si realiza un proyecto es 0,03 , probabilidad que para el ingeniero A es de 0,01. Si elegido al azar uno de los proyectos realizados por el grupo “ORO” , éste contiene un error
grave, calcule la probabilidad que el responsable sea el ingeniero C. 1.5 Pto.
DESARROLLO Sean los sucesos: A: “El proyecto es asignado al ing. A” B: ” El …………” …………” …. B” C: ” El ………..”…..”………”,,,,, ,,C” E: “ Se comete un error grave”
Luego :
P ( A) 0,30;
P( B) 0,2 y P (C ) 0,5
P ( E | A) 0,01; P ( E | B ) 0,03
P ( E C ) 0,02 P( E | C ) P(C ) P ( E | C )
0,02 0,04 0,5
P( E ) P( E A) P( E B) P( E C ) 0,01 x0,3 0,03x0,2 0,02 0,029 P( E | C ) P (C ) 0,04 x0,5 0,69 P (C | E ) 0,029 P ( E ) Conclusión : En consecuencia, la probabilidad de que la responsabilidad sea del Ingeniero
C es aproximadamente del 69 % 1.-
La cantidad de cierto tipo de nutriente (en grs) contenido en cada caja de leche envasada independientemente una de otra, corresponde a una v.a. X , de la cual se sabe que:
x ; 2 x 8 f ( x) c 0 ; t .o.l La autoridad sanitaria ha establecido que, so pena de ser multada la empresa envasadora, para uso en lactantes, las cajas de leche deben contener una cantidad de nutriente no inferior a la cantidad que se espera deben tener. a) Con el objetivo de analizar su contenido de nutriente, control de calidad de la empresa envasadora extrae una muestra aleatoria de cajas de leche. Obtenga el valor de c y calcule
la probabilidad que la séptima caja extraída corresponda a la quinta que puede s er destinada 1,0 Pto. al uso de lactantes. DESARROLLO 8
Cálculo de
c
x
c dx 1 c 30
:
2
Sea Y : “ N° de cajas de leche extraídas hasta obtener la 5°que pueda ser destinada al consumo de lactantes “ 8
Como : E X
2
Luego con p
x
2
30
0,544
x 3 8 5,6 , 90 2 y
8
y
P X 5,6
x
30dx 0,544
5, 6
6 5 2 k 5 , P(Y 7) 0,544 0,456 0,1486 4
Conclusión : Por tanto, la probabilidad que la séptima caja extraída corresponda a la quinta que puede ser destinada al uso de lactantes es aproximadamente del 14,86 % b) De un total de 18 cajas de leche destinadas al uso de lactantes, 5 de las cuales son causales de multa, se extraen 8 al azar sin reemplazo y son despachadas a un cliente. Calcule
la probabilidad que a dicho cliente le hayan sido despachadas a lo menos 2 cajas de leche que justifiquen multar a la empresa envasadora. 1,0 Pto.
DESARROLLO Sean : El suceso
E : “ La caja de leche despachada al cliente es causal de multa “ y la v.a W : “ N° de cajas de leche causales de multa despachadas al cliente “
Luego con : N 1
5 ; N 2 13 y n 8 , se pide :
5 13 1 w 8 w 1 0,0294 0,1961 0,7745 P(W 2) 1 P(W 2) 1 18 W 0 8 Conclusión : Por tanto la probabilidad que al cliente le hayan sido despachadas a lo menos 2 cajas de leche causales de multa es aproximadamente del 77,45 %
c) De un total de 18 cajas de leche destinadas al uso de lactantes, 5 de las cuales son causales de multa, se extraen 8 al azar con reemplazo y son despachadas a un cliente. Calcule
la probabilidad que a dicho cliente le hayan sido despachadas a lo menos 2 cajas de leche que justifiquen multar a la empresa envasadora. 1,0 Pto. * Nota: de los problemas b) y c) de esta pregunta, elija sólo uno de ellos.
DESARROLLO Sean : El suceso
E : “ La caja de leche despachada al cliente es causal de multa “ y la v.a Z : “ N° de cajas de leche causales de multa despachadas al cliente “
Luego con : p
P( E )
5 0,2778 y n 8 , se pide : 18
8 z z P ( Z 2) 1 P ( Z 2) 1 0,2778 0,7222 8 1 0,0740 0,2277 0,6983 z 0 z 1
Conclusión : Por tanto la probabilidad que al cliente le hayan sido despachadas a lo menos 2 cajas de leche causales de multa es aproximadamente del 69,83 % 2. Un local de atención a público opera con 5 ventanillas de atención en forma independiente una
de otra, las que en promedio cada una atiende a una persona cada 45 segundos. a) ¿Cuál
es la probabilidad de que una ventanilla observada al azar atienda al menos a dos personas en dos minutos? 1,0 Pto.
b)¿Cual
dos
es la probabilidad que cuatro o más ventanillas atiendan al menos a dos personas en minutos?
1,0 Pto.
DESARROLLO
a) x: Nº de personas atendidas por una ventanilla en 45 segundos.
x
x ~ P(λ=8/3) ,
8
8 3 e 3 p( x ) , x 0,1,2,.......... ,
Se pide:
x!
8 0 8 8 1 8 e 3 e 3 3 3 p( x 2) 1 p( x 0) P( x 1) 1 . 0,2548 0! 1! b) y: Nº de ventanillas que atienden al menos dos personas en dos minutos
5 y ~ b(n=5; p=0,2548) , p( y) 0,2548 y 0,7452 5 y , y 0,1,2,......, 5 . y Se pide:
5 5 4 1 5 0 p( y 5) 0,7452 0,2548 0,7452 0,2548 0,6227 4 0 3.-
Supóngase que el tiempo de reacción (en segundos) de un compuesto químico ante la aplicación de un catalizador es una variable aleatoria distribuida de acuerdo a la función de densidad.
1 , si 5 x 15 f ( x ) 10 0 en c.o.c De acuerdo al tiempo de reacción los compuestos son clasificados como Explosivos: si el tiempo de reacción está comprendido entre 5 y 7 segundos; Normales: si el tiempo de reacción está comprendido entre 7 y 11 segundos; Lentos: si el tiempo de reacción es superior a 12 segundos. a) Calcule la probabilidad que el tiempo de reacción de un compuesto químico sea superior al
tiempo medio en más de una desviación estándar. 1,0 Pto.
b) De 10 compuestos químicos elegidos al azar, calcule la probabilidad que hayan exactamente
lo más uno Explosivo.
5 Normales y a
1,0 Pto. c) En un laboratorio químico se sabe que hay envasados en tubos de ensayo 20 compuestos
químicos, de los cuales 4 son Explosivos, 10 son Normales y 6 son Lentos. Se extrae al azar una muestra (sin reemplazo) de 10 tubos de ensayo. Calcule la probabilidad que en esta muestra hayan exactamente 5 compuestos químicos Normales y a lo más uno Explosivo. 1,0 Pto. * Nota: de los problemas b) y c) de esta pregunta, elija sólo uno de ellos.
a) i. Calculo del tiempo esperado y la desviación estándar
E( x )
15
5
x 20 dx 10seg. 10 2
15 2
( x ) V( x ) E( x ) E( x ) 2
x2 10 2 2 10 2,887 seg 10 12 5
Luego, nos piden: 15
P( x E( x ) ( x ) P( x 12,887)
1 dx 0,2113 10 12,887
b) Sean:
y1: Nº de compuestos clasificado como explosivos observados en 10 observados independientemente. y2: Nº de compuestos clasificado como normales observados en 10 observados independientemente y3: Nº de compuestos clasificado como lentos observados en 10 observados independientemente (y1, y2, y3) ~ M( n=10; p 1, p2, p3) p1
1 dx 0,2 , p 2 5 10
7
11
7
1 dx 0,4 , 10
p3
1 dx 0,4 11 10 15
Por lo tanto: p( y1 , y 2 , y 3 )
10! 0,2 y1 0,4 y 2 y3 y1 ! y 2 ! y 3 !
Se pide: p( y1 1, y 2 5, y3 4)
10! 10! 0,2 0 0,410 0,21 0,4 9 0,092 0!5!5! 1!5!4!
c) Sean
y1: Nº de compuestos clasificado como explosivos observados en 10 observados desde un lote de 20, en que hay 4 explosivos. y2: Nº de compuestos clasificado como normales observados en 10 observados 10 observados desde un lote de 20, en que hay 10 normales. y3: Nº de compuestos clasificado como lentos observados en 10 observados 10 observados desde un lote de 20, en que hay 6 lentos. (y1, y2, y3) ~ MH( n=10;N1=4; N2=10; N3=6)
4 10 6 y y y , y =0,1,..,4 ; y =0,1,..,10 ; y =0,1,..,6 p( y1 , y 2 , y 3 ) 1 2 3 20 10 1
2
3
Se pide:
4 10 6 4 10 6 0 5 5 1 5 4 0,090 p ( y1 1, y 2 5, y 3 4) 20 10 4.- (1,5 puntos) El periódico La Nación se encuentra en graves dificultades por la disminución en
sus ventas. Suponga que como una solución se encuentra considerando una alianza estratégica con el periódico El Mundo de España para entregar los contenidos internacionales del diario español en Chile. Suponga que las ventas semanales (en miles) de nuevas subscripciones a la Nación se comportan como una variable aleatoria co n función de densidad x 3 si 0 x 1
f ( x )
0
todo otro lugar
En donde es una constante positiva.
DESARROLLO : a) Determine el valor de la constante k que hace de f(x) una función de probabilidad válida. (0,3 puntos)
b) Calcule la función de probabilidad acumulada F(x). Determine la probabilidad que se vendan más de 800 suscripciones por semana. (0,7 puntos)
∫ ∫
c) Ahora suponga que, para que la alianza estratégica sea viable, las ventas diarias de nuevas
subscripciones a la Nación deben superar, por lo menos, una desviación estándar las ventas promedio. ¿Cuál es el número mínimo de suscripciones que deberán venderse semanalmente para poder concretar el negocio? (0,5 puntos)
[]
*+ √
Por lo tanto, para que el negocio resulte deberían venderse más de: suscripciones semanales.
1.- El número de reparaciones semanales de cierto tipo de maquinarias realizadas por una
empresa dedicada a esta actividad, corresponde a una v.a. X, cuya función de cuantía está dada por : X: P(X=x):
0 0,12
1 0,19
2 0,24
3 0,18
4 0,10
5 0,08
6 0,05
7 0,04
Si el número de reparaciones es inferior a 3 , éstas se realizan en la misma empresa con un costo por reparación de $ 500.000, en caso contrario y por razones de tiempo y capacidad, se envían fuera de la empresa en cuyo caso el costo por reparación es de $ 480.000 más un cargo fijo por traslado de $120.000. Determine el costo semanal esperado por concept o de reparación. 1,2 Pto.
DESARROLLO Sea C(X) : “ Costo por concepto de reparación” semanal.
$500.000 X si X 3 C ( X ) $480.000 X 120.000 si X 3 0 en t .o.c Luego la relación de costo por número de reparaciones es :
X: P(X=x): C(X):(en miles $)
0 0,12 0
1 0,19 500
2 0,24 1000
3 0,18 1560
4 0,10 2040
5 0,08 2520
6 0,05 3000
E C ( X ) 500 * 0.19 1000 * 0.24 ....... 3480 * 0.04 1310 ,6(miles de $)
7 0,04 3480
Conclusión : Por tanto, el costo esperado semanal por concepto de reparaciones es: $1.310.600 2.- Usted intenta desarrollar una estrategia para decidir entre dos inversiones para el año
próximo. La primera en fondos accionarios X y la segunda en bonos en el extranjero Y . Suponga que por cada $1000 de inversión, usted estima ganancias de $100 ; $100 ; $250 para la primera y de $200 ; $50 ; $350 para la segunda, bajo las siguientes tres condiciones económicas : Recesión, Economía estable, y Economía creciente, cuyas probabilidades es timadas de ocurrencia son de 0,2 ; 0,5 y 0,3 respectivamente. Si las probabilidad de invertir en los fondos es de 0,64 y en los bonos de 0,36 , construya las respectivas funciones de ganancias y calcule el rendimiento esperado de su cartera si usted decidiera la formarla con dichas inversiones. 1,2 Pto.
DESARROLLO Sean: X: “ Invertir en fondos accionarios”
e Y:” Invertir en bonos en el extranjero”
R: “bajo recesión; Ee:”bajo economía estable”;
Ec:”bajo economía creciente “
i) Las funciones de ganancias:
$100 si P( R) 0,2 G ( X ) $100 si P( E e ) 0,5 $250 si P( E ) 0,3 c
$200 si P( R) 0,2 G(Y ) $50 si P( E e ) 0,5 $350 si P( E ) 0,5 c
ii) Sea C.I : “ Cartera de Inversión”
E {(C . I )} E {G ( X ) * P( X ) G (Y ) * P (Y )} E (G ( X )) * P ( X ) E (G (Y )) * P(Y )
($100 * 0,2 $100 * 0,5 $250 * 0,3) * 0,64 ($200 * 0,2 $50 * 0,5 ·350 * 0,3) * 0,36 ($105 * 0,64) ($90 * 0,36) $99,6 por cada $1000 de inversión
Conclusión : Por tanto, el rendimiento esperado de la cartera es de $ 99,6 por cada $1000 de inversión.
3.- La cantidad de cierto tipo de nutriente (en grs) contenido en cada caja de leche envasada
independientemente una de otra, corresponde a una v.a. X , de la cual se sabe que : si x 30 0 2 F x k x 60 x 900 si 30 x 60 1 si x 60
La autoridad sanitaria ha establecido que, so pena de ser multada la empresa envasadora, para el consumo de lactantes, las cajas de leche deben contener una cantidad de dicho nutriente no inferior a 35 grs ni superior a 50 grs . Control de calidad de la empresa envasadora extrae al azar una muestra de 12 cajas de leche. Calcule la probabilidad que a lo menos 2 de dichas cajas puedan destinarse al consumo de lactantes. 1,2 Pto.
DESARROLLO Sean : El suceso lactantes “
E : “ La caja de leche extraída puede destinarse al consumo de
y la v.a Y : “ N° de cajas de leche extraídas que pueden destinarse al consumo de lactantes “
Cálculo de k : F (60) 1
k 60 2 60 60 900 1
Luego con : p P( E ) P35 X 50 F (50) F (35)
4 9
1
k
5
36 12
1 900
0,4167 y n 8 , se
pide :
P(Y 2) 1 P(Y 2) 1
12 y 12 y 1 0,00155 0,01330 0,9852 0,4167 0,5833 y 0 y 1
Conclusión : Por tanto la probabilidad que a lo menos 2 de las cajas extraídas puedan destinarse al consumo de lactantes es, aproximadamente del 98,52 % 4.- En cierta línea troncal del transantiago, el número promedio de buses que, i ndependientemente
uno de otro, presentan fallas que le impiden seguir operando durante su jornada de trabajo, es de 0,05 (buses / 30 minutos).
a) Si durante una jornada de trabajo, un bus de la línea acaba de presentar una falla que le
impide seguir operando, ¿ cuál es la probabilidad que transcurran de 2 a 3 horas hasta que otro de los buses de la línea
presente una falla que impida su operación ?. 1,2 Pto.
DESARROLLO
T : “ Tiempo ( hrs ) transcurrido hasta que el próximo bus de la línea presente una falla que le impida seguir operando “ Con 0,1 (buses / hrs)
T exp( 0,1)
, 3
Se pide : P 2 T 3
0,1 e 0,1t dt e 0, 2 e 0, 3 0,0779 2
Conclusión : La probabilidad que transcurran de 2 a 3 horas hasta que otro de los buses de la línea presente una falla que impida su operación es, aproximadamente del 7,79 % b) Si durante su jornada de trabajo a lo menos 3 de sus buses presentan fallas, la línea no
podrá satisfacer la demanda de sus usuarios y será multada por la entidad fiscalizadora correspondiente. Calcule la probabilidad que durante una jornada de trabajo de 16 horas, la línea sea multada. 1,2 Pto.
DESARROLLO Sean : El suceso : E : “ Un bus de la línea presente una falla que impide su operación y la v.a
X
en una jornada de 16 hrs “ : “ N° de buses de la línea presentan una falla que impide su
operación en una jornada de 16 hrs “ Luego con : 1,6 (buses / 16 hrs) , X Po (1,6)
2
Se pide :
PX 3 1 PX 3 1 Z0
e
1, 6
1,6 x
x!
1 - 0,2019 - 0,3230 - 0,2584 0,2167 Conclusión : La probabilidad que durante una jornada de trabajo de 16 horas, la línea sea multada es aproximadamente del 21,67 %
1.- Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral
( ) tales que:
2 3 2 ; P( B / A) y P( A C B) . Aplicando propiedades obtenga el valor 3 5 5 C C de P( A B ) P( AC / B)
1,2 Pto.
Desarrollo:
2 2 2 3 C P ( A / B ) 5 P( B) 3 5 P ( B ) 3 3 2 1 P( A B) P( B) P( AC B) 5 5 5 1 3 5 3 P( A) 1 P( B / A) 5 3 P(A) 5 1 3
P ( A C B C ) 1 P ( A B ) 1 (
3 1 4 ) 5 5) 15
Conclusión : Por tanto, P( AC B C )
4 15
2.- . El monto de la deuda registrada (en millones de $) , de un grupo de clientes en sus cuentas
de sobregiro, corresponde a una v.a. X, con función de probabilidad dada por :
kx k f ( x) kx 3k 0
si
0 x 1
si
1 x 2
si
2 x 3
en
todo otro caso
Calcule el valor de la deuda promedio de este grupo de clientes 1,2 Pto
Desarrollo:
1
k xdx 0
2
1
3
dx (3 x) dx 2
Luego : E X
1 2
1
0
1 2 k 1
2
3
k
1 2
2 2 x dx xdx (3 x x )dx 1
2
1 1 3 7 3 = =1,5 2 3
2
6
2
Conclusión : Por tanto, el valor de la deuda promedio en sus cuentas de sobregiro de este grupo de clientes es de 1,5 (Millones $ )
2.- Durante cualquier intervalo de tiempo, el número de contribuyentes que se incorporan a la fila
de una ventanilla de atención de público del Servicio de Impuestos Internos, corresponde a una v.a. con distribución Poisson, con un promedio de 20 (contribuyentes / hora). ¿Cuál es la probabilidad que en un período de 12 minutos se incorporen a la fila a lo menos 1 contribuyente ?. 1,2 Pto Desarrollo
Sean E : “ Un contribuyentes que se incorporan a la fila “
y
W : “ N° de contribuyentes que se incorporan a la fila en una hora “
W Po ( )
, con =20 (clientes/hora)
Intervalo de interés : 12 minutos
X : “ N° de contribuyentes que se incorporan a la fila en 12 minutos “ Luego : X Po ( 4)
Se pide :
PX x
e 4 4 x
x!
, X 0, 1 , 2 , .. ...
PX 1 1 PX 1 1 PX 0 1
e 4 4 0
0!
1 - 0,01832 0,9817
Conclusión : La probabilidad que en un período de 12 minutos se incorporen a la fila a lo Menos 1 contribuyente 98,17 % 3.- Una empresa produce láminas de acero cu yo espesor (en mm) corresponde a una variable
aleatoria con distribución uniforme de parámetros 25 y 40 mm.
a) En determinado período son producidas de 8 de dichas láminas las cuáles son
independientes en cuanto a su espesor, ¿ Cuál es la probabilidad que con dicha producción se pueda dar curso al pedido de un cliente que solicita 7 láminas con un espesor entre 34,6 y 38,9 mm ?. 1,2 Pto
Desarrollo: Sea X : “ Espesor ( en mm) de las láminas producidas “
1 , si 25 x 40 f ( x) 15 0 , t.o.l
El suceso Éxito E : “ La lámina producida tiene un espesor entre 34,6 y 38,9 mm “ 1 dx 0,2867 15
38, 9
p P( E ) 34.6
Sea W : “ N° de láminas producidas con un espesor de entre 34,6 y 38,9 mm “
8 7
8 8
7 1 8 0 Se pide : P ( X 7) 0,2867 0,7133 0,2867 0,7133
0,00091 0,0000456 0,000954 Conclusión : Por tanto, la probabilidad que se pueda dar curso al pedido de un cliente ,es del 0,0954 %
Continuación Ej. 3 b) Un cliente solicita un pedido urgente de 6 láminas , las cuáles le deben ser despachadas
durante el día. En stock hay 18 láminas, el 50 % de las cuáles poseen las características de espesor definidas por el cliente en su pedido. Si el encargado de bodega es un joven reemplazante y extrae al azar las láminas del pedido , ¿ Cuál es la probabilidad que al cliente le sean despachadas correctamente a lo menos 2 de las láminas solicitadas?. 1,2 Pto Desarrollo: Sean : El suceso Éxito E : “ La lámina seleccionada cumple las características definidas por el cliente “ y X : “ N° de láminas despachadas que cumplen las características definidas por el cliente “
Luego, con N 1
9 ; N 2 9 y n 6
9 9 x 6 x X H (9,9,6) P( X x ) 18 , 6
X 0,1,...,6
9 9 9 9 0 6 1 5 Se pide : P( X 2) 1 P ( X 2) 1 18 18 6 6
1 0,0045 0,0611 1 0,0656 0,9344 Conclusión : Por tanto, la probabilidad que al cliente le sean despachadas correctamente a lo menos 2 de las láminas solicitadas, es del 93,44 %
1.- La cantidad cierto nutriente (en grs) contenido en cada caja de leche envasada automáticamente por una máquina, corresponde a una v.a. Y , de la cual se sabe que : si y 2 0 1 2 F y y 4 si 2 y 8 60 si y 8 1 a) Con una probabilidad de 0,2, control de calidad rechazará toda caja de leche que no alcance la
cantidad mínima del nutriente. Determine qué cantidad del nutriente debe contener la leche envasada, para que, la respectiva caja no sea rechazada por control de calidad. 1 Pto. DESARROLLO Sea k la cantidad mínima del nutriente exigida en la leche por control de calidad
Luego : P y
k 0.2
F k 0.2
1 2 k 4 0.2 k 4 (grs) 60
Conclusión : Por tanto, para que una caja de leche no sea rechazada por control de calidad, debe contener a lo menos 4 grs. del nutriente en cuestión.
b) Si se eligen 6 cajas de leche al azar y éstas son independientes en cuanto a la cantidad de
nutriente que contienen, calcule la probabilidad que a lo más 2 de ellas no contengan más de 7 grs del nutriente. 1 Pto. DESARROLLO Sea : X : “ Número de cajas que no contienen más de 7 grs del nutriente “ Luego :
P y 7 F 7 0.75
Se pide : P x
X B( 6 ; 0,75 )
6 6 6 2 0.750 0.256 0.751 0.255 0.752 0.254 0 1 2 0,0024 0,0044 0,033
= 0,03759
Conclusión : Por tanto, la probabilidad que a lo más 2 cajas no contengan más de 7 grs del nutriente es del 3,759 %.
2.- En cierta autopista concesionada, por cada kilómetro existen en promedio 0,2 grietas que
requieren reparación urgente. Si en cualquier tramo de la autopista, el número de dicho tipo de grietas corresponde a una variable aleatoria con distribución Poisson : a) Determine la probabilidad que en un tramo de 10 km de la autopista, haya a lo menos dos
grietas que requieren reparación urgente.
1 Pto. DESARROLLO Sea :
Y : “ Número de grietas que requieren reparación urgente en un tramo de 10 K de la
autopista”
Luego :
Y Po (2)
Se pide : P(Y 2)
1 P(Y 0) P(Y 1) 1
1 0,1353 0,2707
e 2 2 0
0!
e 2 21
1!
= 0,5940
Conclusión : Por tanto, la probabilidad que en el tramo indicado haya a lo menos dos grietas que requieren reparación urgente es del 59,40 % . b) Cierto día los encargados de mantención de la autopista, realizan una inspección de rutina.
¿Cuál es la probabilidad que la primera grieta que requiere reparación urgente se encuentre entre los 12 y 15 kilómetros a partir del punto de inicio de la inspección?. 1 Pto. DESARROLLO
Sean : X : “ Distancia a la que se encuentra la primera grieta que requiere reparación urgente “
Luego :
X exp(0,2)
Se pide : P(12 X 15) F ( 15 ) F ( 12 ) 0,9502 0,9093 = 0,0409
Conclusión : Por tanto, la probabilidad que la primera grieta que requiere reparación urgente se encuentre entre 12 y 15 kilómetros a partir del punto de inicio de la inspección es del 4,09 % .
3.- Registros estadísticos de la empresa agroindustrial “T&T” indican que la demanda mensual de
su yogurt natural ( en miles de litros ), tiene un comportando según su modelo de probabilidad uniforme en el intervalo [2, b], con un promedio de 4,5 miles de litros.
a) Si determinado mes, la empresa recibe un pedido que excede los 5500 litros de éste tipo de
yogurt, determine la probabilidad con la cuál la empresa puede dar cumplimiento al pedido. 1 Pto. DESARROLLO
Sea : X : “ Demanda mensual de yogurt natural ” Como X~ U[2,b], con E [ X ] 4,5
Luego :
ab
2
b 7
1 2 X 7 f ( x ) 5 0 en todo otro caso
Se pide: P( X 5,5)
1 P( X 5,5)
1,5 0,3 5
Conclusión : Por tanto, la probabilidad con la cuál la empresa puede dar cumplimiento al pedido es del 30 % .
b) Un informe histórico de las ventas de la empresa, indica que en un período de 24 meses, sólo
en 7 de ellos la demanda de éste tipo de yogurt no excedió los 3000 litros. ¿ Cuál es la probabilidad que, seleccionados al azar 4 meses del período, en a lo menos dos de ellos, las ventas excedieran los 3000 litros de dicho tipo de yogurt ?. 1 Pto. DESARROLLO Sea : Y : Cantidad de meses de los 4 seleccionados en que la demanda excede a 3 mil lt ” ”
Luego : Y~ H( 24,17,4 )
Se pide:
17 7 17 7 0 4 1 3 P(Y 2) 1 P(Y 0) P (Y 1) 1 24 24 4 4
1 0,0033 0,0560 1 0,0593 0,9407 Conclusión : Por tanto, la probabilidad que en a lo menos dos de los meses seleccionados, las ventas excedieran los 3000 litros es del 94,07 %
1.-
Esperando una ganancia significativa , don Carlos Reyes invierte en acciones de las
compañías “Lexer” e “Indus” . Las condiciones del mercado indican que la probabilidad que sólo
una de éstas compañías satisfaga las expectativas del señor Reyes , es Indus es
3 5
, que no las satisfaga
3 1 y que ninguna de ellas las satisfaga es . 10 10
Determine con cuál de éstas compañías el señor Reyes tiene mayor probabilidad de satisfacer sus expectativas. DESARROLLO
Sean los sucesos: L : “ La compañía Lexer satisface las expectativas de inversión del señor Reyes “ I : “ La compañía Indus satisface las expectativas de inversión del señor Reyes “
Datos :
P ( L I ' ) ( L' I )
P( L' I ' ) P( L I ) '
; P( L' I ' )
1 10
1 9 P( L I ) 10 10 9 3 P( L I ) 10 5 4 P( L' I ) 10
' ' P( L I ) P( L I ) P( L I ) P( L I )
P( I ) P( L' I )
3 3 ; P( I ' ) 5 10
3 7 10 10
P( L I )
3 10
' ' P ( L I ) ( L I )
P ( L I ) '
4 3 10 5
3 5
P( L I ' ) P( L' I )
P( L I ' )
3 5
2 10
2 3 5 10 10 10
Así entonces : P( L) P( L I ' ) P( L I ) P( L)
7 5 P( L) , El señor Reyes tiene mayor probabilidad de 10 10 satisfacer sus expectativas de inversión con la compañía Indus.
Conclusión : Como P( I )
2. Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral
2 3
C P( A / B)
; P( B / A)
3 2 y P( AC B) 5 5
.
( ) tales que: PROPIEDADES ,
APLICANDO
desarrolle y obtenga el valor de: a) P ( A B
C
)
DESARROLLO :
2 P( A B) P( A B) 5 2 3 3 C P(B) P( A / B) 2 5 2 5 P( B) P( AC / B) 3 C
C
P( A B) P(B) - P( A B ) C
P( A B )
3 2 1 5 5 5
1 P( A B) 3 P( A B) 5 1 5 1 P(A) P( B / A) 3 5 3 3 5 P( A) P( B / A) 5 1 1 2 C C Luego : P ( A B ) P(A) - P ( A B ) P ( A B ) 3 5 15 b) P( A
C
B C )
P ( A B ) P(A B) C
C
C
1 P(A B) 1 - P(A) P(B) - P(A B)
1 3 1
11
4
1 1 15 15 3 5 5 3.- De 20 postulantes que se presentaron a una empresa por un puesto de trabajo se sabe que:
El 60 % de ellos tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan.
El 10 % de ellos tienen un curso de capacitación y no experiencia previa en el ti po de trabajo al que postulan.
El 75 % de los que tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al que postulan, no tienen un curso de capacitación .
c) Si se elige al azar uno de dichos postulantes, determine la probabilidad que tenga experiencia previa, pero no un curso de capacitación. DESARROLLO Definamos los sucesos : E : “ El postulante tiene experiencia previa en el tipo de trabajo al que postula “ y C : “ El postulante tiene un curso de capacitación “ Curso Experiencia
C
C C
Total
E E C
3 2 5
9 6 15
12 8 20
Total
Se pide : P( E C ) C
Conclusión : previa,
( )
P( E ) P(C E )
12 3 9 0,45 45% 20 20 20
Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado tenga experiencia pero no un curso de capacitación es del 45 %
d) Pasarán a una segunda etapa del proceso de selección, sólo aquellos postulantes que cumplan con a lo menos una de las dos características ya señaladas ( experiencia previa , curso de capacitación ). Determine la probabilidad que uno de dichos postulantes elegido al azar, no logre pasar a la segunda etapa del proceso de selección. Se pide : P ( E C )
C
1 P ( E C ) 1 P ( E ) P (C ) - P ( E C ) 14 3 12 5 3 1 1 0,30 30 % 20 10 20 20 20
Conclusión : Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado no logre pasar a la segunda etapa del proceso de selección es del 30 %
1.- Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral
( ) tales que:
2 3 2 ; P( B / A) y P( A C B) . Aplicando propiedades obtenga el valor 3 5 5 de P( AC B C ) P( AC / B)
1,2 Pto.
Desarrollo:
2 2 2 3 C P ( A / B ) 5 P( B) 3 5 P ( B ) 3 3 2 1 P( A B) P( B) P( AC B) 5 5 5 1 3 5 3 P( A) 1 P( B / A) 5 3 P(A) 5 1 3
C C P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 (
3 1 4 ) 5 5) 15
Conclusión : Por tanto, P( AC B C )
4 15
2.- . El monto de la deuda registrada (en millones de $) , de un grupo de clientes en sus cuentas
de sobregiro, corresponde a una v.a. X, con función de probabilidad dada por :
kx k f ( x) kx 3k 0
si
0 x 1
si
1 x 2
si
2 x 3
en
todo otro caso
Calcule el valor de la deuda promedio de este grupo de clientes 1,2 Pto
Desarrollo:
1
k xdx 0
2
1
1 2 k 1
3
dx (3 x) dx 2
Luego : E X
1 2
k
1 2
x dx xdx (3 x x )dx = 12 13 32 76 32 =1,5 1
2
2
0
1
3
2
2
Conclusión : Por tanto, el valor de la deuda promedio en sus cuentas de sobregiro de este grupo de clientes es de 1,5 (Millones $ ) 2.- Durante cualquier intervalo de tiempo, el número de contribuyentes que se incorporan a la fila
de una ventanilla de atención de público del Servicio de Impuestos Internos, corresponde a una v.a. con distribución Poisson, con un promedio de 20 (contribuyentes / hora). ¿Cuál es la probabilidad que en un período de 12 minutos se incorporen a la fila a lo menos 1 contribuyente ?. 1,2 Pto Desarrollo
Sean E : “ Un contribuyentes que se incorporan a la fila “
y W : “ N° de contribuyentes que se incorporan a la fila en una hora “ W Po ( ) , con =20 (clientes/hora) Intervalo de interés : 12 minutos
X : “ N° de contribuyentes que se incorporan a la fila en 12 minutos “ Luego : X Po ( 4)
Se pide :
PX x
e 4 4 x
x!
, X 0, 1 , 2 , .. ...
PX 1 1 PX 1 1 PX 0 1
e 4 4 0
0!
1 - 0,01832 0,9817
Conclusión : La probabilidad que en un período de 12 minutos se incorporen a la fila a lo Menos 1 contribuyente 98,17 % 3.- Una empresa produce láminas de acero cu yo espesor (en mm) corresponde a una variable
aleatoria con distribución uniforme de parámetros 25 y 40 mm.
a) En determinado período son producidas de 8 de dichas láminas las cuáles son
independientes en cuanto a su espesor, ¿ Cuál es la probabilidad que con dicha producción se pueda dar curso al pedido de un cliente que solicita 7 láminas con un espesor entre 34,6 y 38,9 mm ?. 1,2 Pto
Desarrollo: Sea X : “ Espesor ( en mm) de las láminas producidas “
1 , si 25 x 40 f ( x) 15 0 , t.o.l
El suceso Éxito E : “ La lámina producida tiene un espesor entre 34,6 y 38,9 mm “ 1 dx 0,2867 15
38, 9
p P( E ) 34.6
Sea W : “ N° de láminas producidas con un espesor de entre 34,6 y 38,9 mm “ Se pide : P ( X 7)
8 0,2867 7 0,7133 1 8 0,2867 8 0,7133 0 7 8
0,00091 0,0000456 0,000954 Conclusión : Por tanto, la probabilidad que se pueda dar curso al pedido de un cliente ,es del 0,0954 %
Continuación Ej. 3 b) Un cliente solicita un pedido urgente de 6 láminas , las cuáles le deben ser despachadas
durante el día. En stock hay 18 láminas, el 50 % de las cuáles poseen las características de espesor definidas por el cliente en su pedido. Si el encargado de bodega es un joven reemplazante y extrae al azar las láminas del pedido , ¿ Cuál es la probabilidad que al cliente le sean despachadas correctamente a lo menos 2 de las láminas solicitadas?. 1,2 Pto Desarrollo: Sean : El suceso Éxito E : “ La lámina seleccionada cumple las características definidas por el cliente “ X : “ N° de láminas despachadas que cumplen las características definidas por y el cliente “
Luego, con N 1
X 0,1,...,6
9 ; N 2 9 y n 6
9 9 x 6 x , X H (9,9,6) P( X x ) 18 6
9 9 9 9 0 6 1 5 Se pide : P( X 2) 1 P ( X 2) 1 18 18 6 6
1 0,0045 0,0611 1 0,0656 0,9344 Conclusión : Por tanto, la probabilidad que al cliente le sean despachadas correctamente a lo menos 2 de las láminas solicitadas, es del 93,44 %
1.- En el Departamento de estudios de una empresa, se formará una comisión de trabajo
integrada por tres profesionales, elegidos al azar de entre cinco varones y dos mujeres. a) Obtenga el espacio muestral asociado al experimento aleatorio : : “ Selección de los integrantes de la comisión “
1,0 Pto.
DESARROLLO Sean los sucesos : V : “ El profesional seleccionado es Varón “ ; Idem M
0,2 Pto.
Luego : ( ) (V , V , V ), (V , V , M ), (V , M ,V ), ( M , V , V ), ( M , M , V ), ( M , V , M ), (V , M , M ) 0,8 Pto b) Determine la probabilidad que la comisión quede constituida mayoritariamente por mujeres. 1,5 Pto.
DESARROLLO
Se pide : P 2 M
P(( M , M ,V ) ( M ,V , M ) (V , M , M ) ,
como son sucesos
excluyentes,
0,2 Pto. P( M , M ,V ) P( M ,V , M ) P(V , M , M ) , los sucesos dependientes 0,2 Pto.
P( M ) P( M / M ) P(V / M M )) P( M ) P(V / M ) P( M / M V )) P(V ) P( M / V ) P( M / V M ) 0,4 Pto.
2 1 5 2 5 1 5 2 1 3 0,1429 7 6 5 7 6 5 7 6 5 21
0,5 Pto.
Conclusión : La probabilidad pedida es del 14,29 % 0,2 Pto. 2.- Un ingeniero comercial concursa a un cargo gerencial en las empresas “JKL” y “MKS”. La
probabilidad
que gane el concurso sólo en “JKL” es
1 4
, que no lo gane en “MKS” es
11 y que no lo gane 24
en “MKS”
3
. 5 Determine la probabilidad que dicho ingeniero tenga que decidir en cuál de éstas dos empresas acepta el cargo. si lo gana en “JKL” es
1 , 5 P t o .
DESARROLLO Sean los sucesos : J : “ El Ingeniero comercial gana el con curso en la empresa JKL “ ; Idem M 0,1 Pto.
Luego : P( J M ' ) P( J M )
1 11 3 , P( M ' ) , P( M ' / J ) . Se pide determinar 4 24 5
0,2 Pto.
1 5 P( M J ) ' P( J ) 4 P( M / J ) . 3 12 P( J ) 5 '
0,6 Pto.
5 1 1 - 12 4 6
0,4 Pto.
Conclusión : La probabilidad pedida es del 16,67 %
0,2 Pto.
Por otro lado P( J M ) P( J ) P( J M ' )
3.- Un local de comida rápida tiene un servicio de entrega a domicilio . Para residentes en la
comuna donde se ubica el local , el tiempo de entrega del pedido en el domicilio cliente (en horas), desde el momento en que se recibe la solicitud de envío, corresponde a una variable aleatoria con función de distribución dada por : , si x 0 0 F(x) = 3x 2 - 2x 3 , si 0 x 1 1 , si x 1
g) Usted es un residente de la comuna donde se ubica el local y, para atender a un grupo de
amigos realiza un pedido a dicho local. ¿ Cuál es la probabilidad que el tiempo de entrega exceda al tiempo en el cuál se espera usted reciba el pedido en su domicilio ?. 1,0 Pto.
DESARROLLO Sea la v.a X : “ Tiempo de entrega del pedido en el domicilio del cliente “
Se pide P X E X
Por tanto hay que obtener la fdp X de f ( x) , esto es :
Luego
0,1 Pto.
6 x 6 x 2 , si 0 x 1 f ( x) , to l 0
d dx
(3 x 2 2 x 3 ) 6 x 6 x 2 ,
0,2 Pto.
Por otro lado :
x 3 x 4 1 1 0,5 ( hora ) 0,3 Pto. E X x 6( x x )dx 6 ( x x )dx 6 0 0 3 4 2 0 1
2
1
2
3
Así entonces , el tiempo esperado de recepción del pedido para los residentes en la comuna, es de media hora. Por tanto
P X E X P X 0,5 F (1) F (0,5) 1 0,5 0,5
Alternativamente :
x 2 x 3 2 P X E X P X 0,5 6( x x )dx 6 0,5 2 3 1
0,2 Pto.
0,5 0, 5
1
0,2 Pto Conclusión : La probabilidad que el tiempo de recepción de su pedido exceda al tiempo esperado de entrega es del 50 % 0,2 Pto. h) Suponga que 5 minutos después de haber hecho usted el pedido, sus amigos le comunican
que llegarán a su hogar en 15 minutos. Si sus amigos llegan puntualmente a la hora por ellos indicada, ¿ Cuál es la probabilidad que la comida que usted solicitó llegue después que sus invitados ?. 1,0 Pto.
DESARROLLO El tiempo transcurrido desde que usted hace el pedido hasta que sus amigos llegan a su hogar es de 20 minutos = (
1 3
) de hora .
Por tanto hay que calcular :
Luego : P( X
1 3
P ( X )
0,1 Pto.
1 1 1 ) 1 P( X ) F (1) F ( ) 3 3 3
0,5 Pto.
1 0,2593 0,7407
0,2 Pto.
1 2 3 3 x x 1 1 2 P( X ) 1 P( X ) 1 3 6( x x )dx 1 6 0 2 3 3 3 0 1
Alternativamente :
0,5 Pto.
1 1 20 1 6 0,7407 18 81 27
0,2 Pto.
Conclusión : La probabilidad que la comida que usted solicitó llegue después que sus invitados es del 74,07 % 0,2 Pto 3.- En cierto proceso productivo, la probabilidad de producir un elemento defectuoso es del 3%. El
equipo de control de calidad selecciona una muestra al azar de 15 artículos para su inspección. Si los artículos son producidos de manera independiente uno del otro calcule: 1,5 Pto.
DESARROLLO : Sean
E : “ El artículo extraído es defectuoso”
X : “ Número de artículos defectuosos en la muestra “ 0,2 Pto. Luego, con : p
15 15 PE 0,03 , q 0,97 y n 15 P( X x) 0,03 0,97 x
x
; X = 0,1,…, 15 ;
a) La probabilidad que encuentren, cómo máximo, 2 artículos defectuosos 0,5 Pto. DESARROLLO : 0,3 Pto. Se pide : P ( X 2)
X 2 15
0,03
X 0
Pto
x
x
0,9715 x 0,6333 0,2938 0,0636 0,9907 0,1
x
b) La probabilidad que encuentren de 2 a 5 artículos defectuosos
0,5 Pto.
DESARROLLO : 0,3 Pto. Se
pide
P (2 X 5)
X 5 15
0,03
X 2
x
:
0,9715 x 0,0636 0,0085 0,00079 0,000054 0,0729
x
0,1 Pto c) Suponga que por la producción de cada artículo no defectuoso se obtiene una ganancia de mil pesos, mientras que cada artículo defectuoso genera una pérdida de 500 pesos. Calcule la ganancia esperada 0,5 Pto de la muestra.
DESARROLLO : La función de utilidad de X está dada por :
U ( X ) $1000 (15 X ) 500 X 15.000 1500 X ($)
.
Con
E X n p 15 0,03
0,2 Pto.
0,2 Pto.
Se pide : E U ( X ) 15 .000 1500 E X 15.000
1500 15 0,03 $14 .325 0,1 Pto.
4.- El periódico La Nación se encuentra en graves dificultades por la disminución en sus ventas.
Suponga que como una solución se encuentra considerando una alianza estratégica con el periódico El Mundo de España para entregar los contenidos internacionales del diario español en Chile. Suponga que las ventas semanales (en miles) de nuevas subscripciones a la Nación se comportan como una variable aleatoria con función de densidad k x 3 si 0 x 1 , k 0
f ( x )
0
todo otro lugar
d) Determine el valor de la constante k que hace de f(x) una función de probabilidad válida. 0,3 Pto.
DESARROLLO :
x 4 0 kx dx 1 k 4 1
1
3
0
1 k 4
0,3 Pto.
e) Calcule la función de probabilidad acumulada F(x). Determine la probabilidad que se vendan
más de 800 suscripciones por semana.
0,7 Pto.
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