'CALCULO UNSA 1.pdf

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León Tflavnani

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L.

Failfuino,,,.'.'..i,,:aa;t:',,.

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Centro de la esfera

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Nivel

de agua

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W. forqi; ,..,¡-.:' '$yak Luis* T. Tillasetde Rettu¿Ea tttaabeth WL, Zea Íorrets

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Docentes del Departameqto Acadén:- ; de Matemáticas y Estadística Ijniversidad Nacional de San -\s:. :

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CALGUT-ü EN I.¡NA VARIAtsLE GUÍA DE PRÁCTICA

TERCERA EDIGIÓN Tercera impresión

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A-jgX -f@¡-1 )ar=j31I .f(*t)Ar i=l

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Docentes del Departamento Académico de Matemáticas y Estadística Universidad Nacional de San Agustin

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:-r¡ra

Contenido

Variabie

Contenido C-\PITLLO 1: Números Reales y Funciones

I 2 3

1

I

Números Reales Plano Coordenado

9 16

Función

1.4 Algebra y Composición de Funciones 1.5 Funciones Inyectiva y Sobreyectiva 1.6 Funciones Trascendentes Elercicios Propuestos

3

75 Ió

Límites Trigonornétricos Límites Infinitos Y al Infinito Continuidad de Funciones

81

92 101

Elercicios Propuestos

to7

CAPÍTULO 3: La Derivada

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

La Derivada Reglas de Derivación Derivada de Funciones Trascendentes Derivadas de Orden SuPerior Derivación ImPlicita Derivación Logarítmica Frazón de Cambio

Formas Indeterminadas y la Regla de L'Hépital Ejereicios Propuestos

4.1 Valores Máximos Y Minimos 4.2 Funciones Crecientes y Decrécientes 4.3 Criteno de la Primera y Segturda Derivada para valores Exfremos 4.4 Máximos y Mínimos de Funciones Contiuuas en Intervalos Cerrados 4.5 Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos 4.6 Concavidad. Puntss delnflexión y Gráfrca de Funciones 4.7 Incremento, Diferencial y Aproximaciones Lineales 4.8 Método de Newton para determinar Raices Reales Ejercicios Propuestos

5.1 La Antiderivada, la lntegrai Indefinida 5.2 Integración por Susfitución 5.3 Cá1eulo de Áreas de Regiones Planas Mediante Sumas de Aproximacíón 5.4 Sumas de fuemann, Integral Definida, Propiedades 5.5 Integración Numérica Ejercicios Propuestos

Método de Integración por Partes

Ejercicios Propuestos

119 11','

t26 t29 135 139

145

t47 r52 155 157

166

169 172

r75

t83 186 196

20a 245 za7

ztt

CAPÍTULO 6: Técnicas de Integracién

I

lt0 114

183

CAPÍTULO 5: La Integral

6.2 Integrales Trigonométrtcas 6.3 Método de Integración mediante 6.4 Sustitución Trigonométrica 6.5 Integrales Impropias

I07

t45

C-{PÍTULO 4: Aplicaciones de la Derivada

6.

55

6'7

2.2 Límiteslaterales

2.4 2.5

12

67

CAPÍTULO 2: Límites y Continuidad 2 | Límite de una función 2

?7 34

2lt 215

Fracciones Parciales

219 224 22"7

?31

I

de Matemáticas y Estadística

-

UNSA

CAPÍTULO 7: Apticaciones de la Integral 7.1 Valor Promedio de una Función

7.2 Áreas de Regiones planas 7.3 Volúmenes de Sólidos 7.4 Longitud de Arco. Áreas de Superficie

237 238 245 de Revolución

Ejercicios Propuestos

26A

CAPÍTULO 8: Coordenadas polares y Secciones Cónicas

8.1 Coordenadaspolares 8.2 Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas polares 8.3 Cálculo de Áreas en Coordenarlas polares 8.4 Secciones Cónicas

Problemas Propuestos

CAPÍTULO 9: Sucesiones y Series

9.1 Sucesión 9.2 Lírnite de una Sucesión 9.3 Sumatorias y Series 9.4 Criterio de Convergencia 9.5 Serie de Potencias

Problemas Propuestos

Bibliografía

254

265 265 269 275

280 291

295 295 296 297 de las Series

300

302 305

: Capítulo

Cálculo en una

I-

Números Reales y Funciones

Gapítulo

I

hlúmeros Reales y Funciones Objetivos

-

Aplicar conceptos teóricós, propiedades y técnicas ciel sistema Ce :!rs nufi':eros reales para la solución de problernas. Hallar el dominio de una función reai. Evaluar y esbozar la gráfica de una función en forma eficiente.

1.1

Números Reales

Sistema de Números Reales. El sistema de números reaies es un coniunto -il4 no vacío, en el cual se define las operaciones: adición (+), mulupücación (r); una ¡elación de orden < , Que se lee "menor gue"; y un axiom a lJ.amado "axioma del suprem a" , para los cuaies las siguientes leyes o axiomas son válidas:

a+beB y aobeS 2. LeyConmutativa:Sía,be fr,entonces a+b=b+a y a.b=bta 3. LeyAsociativa: Si a,b,c€fr, entonces a+(b+c)=(a+b)+c y ao(boc)=(aob)e c 4. Neutro aditrvo; Existe un número real "cero", denotado por 0, tal que la ecuación a*0=A+a=a se cumplepata cualquier a€fi, es decir: 1.

Ley de Clausuta: Si

a,befr,

Ya

5.

entonces

effi,l! 0e fi I a+0 -- 0+ a = a

Neutro Multiplicativo: Existe un número real "uno", denotado por 1, (1+ 0), tai que la ecuación üol=1oa=d se cumplepata cualquier aeffi, es decit:

- lo cI - 6 un elemento óe fr, tal que d*b=b*a=0.

Va e fr,3! I e fr, 1 *0 f aol

6.

Inverso Adiúvo: Pal.a cada aef/., existe El elemento b es denotado por - a y se llama opuesto de ¿.

7.

Inverso Multiplicativo: Para cada aeW, a +0, existe un eiemento ce fr, tal que a.c=c.a=1. Elelemento c,denotado po, o-t ysellamarecíprocode a"

8.

Leyes Distributivas: Sí a,b,c e

fr,

entonces

so(b+c)=a¡b+s¡c y (a+b)os=a.c+btc 9. Ley de Tdcotomía: Si a,b e fr, entonces una y sólo una de las siguientes relaciones se cumple a1b, a=b, bo) A f O. o.Ju) (b>o)

.e a>b, si a>0? á>0 35) a2 0 Y ó>0 3q J; 0 =) -(-x-3)2 2

Solución. Como se tiene doble desigualdad desgiosamos esta, como sigue:

? 5x+14-9,^ , 3 5.r.14 5.x-14 g,ll-:x-(2+x'¡ :+ .. ll-:_r 2 3 5' 2 3 3 - 5.-

'

:,, ry-. 5x 1 14 ¡ 25x+ 70 > 27(2 + x) 23 + 66-9x < lOx+ 28 n 25x+7A>54+Z7x

-) =>

-19x-16 19.r > 38 ¡' Zx 2

x _oo

1.1.6

g = (z,s)

2

Resuelva

I x-3 5x+|3

2

Solución.

1 x-3 5 x+l

1 x-3 x-3 2 5 -x+l -x+1 3 _> -4x+16

#

x+7-5x+15

x4

t.-4t={;_!,', x4

-2"JG+?)(r-D >-2x-2 = x2 +6x-7 0 n x2 +6x*7 -1 n 4x-l ¡ x Y=-T \x-2y=3 l-:"*6y=-g

luego x*Zy=j

= x=2y+3 3 "=Z(-tr)*¡ = x=-t2 \ 2) Por tanto el punto de inrersección es p = (r,r, = (- tr,-:) t'2'9

Halle la distancia del punto g = (7 ,9) a ra recta L:3x + 4y Solución.

yü = (7,9)

Como Q = (xa,

d(Q, L)

-l

-7

=0

entonces

Axo + Bvo + C ^J¿2

I

_13(7)+4(e)-71_

*82

32 +42

3= 5

rOunidades

1,2.10 Determine todos los valores de r tales que la pendiente de la recta que pasa por los punros (r,4) y (1, 3-2r) es menor que 5. Solución.

m=

($-(3 -2r\ 0 ). *'.

d

/i.,4

fG)--lxtzl ..

xl 2ü , entonces \a patibo\a se abre hacit att\bt, ?ot ttr\to úetre '{a\ot cual se encuentra en el vértice' por lo que ptocedemos como sigue:

luego f (*)=2{x*2)z +5(.r'-2)+5

),=2x2-3x- 3=2(r=-i")"3=2

(.,-*)'*f = r'-f;=2 ("-i)'

de doncle V = Al4, i 5/8)' Por 1o tanto el valor mínimo es 15 8 '

1.3.8

Sea

f

que

f

a b'ta\una función üneal cle pendrente tn , e lfitercepto cofi el eje Y igual (m+ó+1). Ilalle la función g {m2 -2b)= f (b+12-2*r) y f {2m+b-2): f

si setiene g(r+4)

-,=t(ry).t(#)

Solución. Sea

f

la ftrnción lineal 'f (x)= mx + b ' m *

(*2

-2b) = f (b+12*2m?1=

f(2m+b-2)

=

reemplazanda

a

*(*2 -Zb)+b = nt(b+12-2m2)+b *3m(m2 -b'41= g

0 |; f(m+b+l) = m(Zm+b-2)+b = m(m+ó+l) +b -+ *2 -3*= = = -' m en(*) resulta: ó = 5 = f(x)=3x+5'

Departamento de Matemáticas y Estadística

Entonces luego

(m+b\

-

UNSA

/

r\

(

l\ f fl"''"I l*fl* 6,o'\ l= r\' l(l) *fl-* l=rftl+s+3[ -+ ].5=12 "( )'\, ) \ 3) \ 3,/

g(x+4j-x=12 + g(-r+4) =x+72=(.r+4)+8 :* g(x)=x+8.

1,3.9 Un cilindto

r y altura h está inscrito '

circular recto de r.adio 12 y radto de la base 4.

a) b)

Exptese h como una función de r Exprese el volumen

V

deI

fr

en un cono de altsta

ffi,m

.

cündro como función de

r.

Solución.

a)

Usando triángulos semejantes:

h 4-r _=_eh_lZ_3r 124 iuego h(r) =17-3r

b)

Pot tanto:

V

(r) = 3n 12 14- r) , con r e (0-al

.

V = nr2 h = nrz (r2_ 3r) =3nr2 (4- r), r>0 .,. ft>0. es decir: r>0¡. l?-3r>0=r>0n r0 ny>0-160-2x >0 = ¡0 Altura del rectángulo: y>A, de donde _y

Área del rectángulo: 7 = (base)x (altura)

Por tanto, A{x) = *$6-7,

00

(1)

= nB pot

f-1,

es una función inyecuva, entonces existe

donde

f-t,B 4

A,definida Por -t(Y) = x si Y sólo "f

Es decir, si

/

si

la función inversa de '/' denotada

f (x)=

Y

y I (x) = y ' entonces cuando resoh'emos la ecuade f : en términos de y, obtenemos la funcrón lnversa

es una función invectiva

ción anteri or püa x Tener en cuenta que: Dr-r = R.¡ .s' R.ft

"=.¡-1¡-v)'

- Dí

Propiedades ln\¡efsa sofl: Algunas proPiedades lmpoftantes de la función

. (f-t " f\*) = x, YxeD¡ . (f. s)-r1x¡ = (r-r " /-'I'l

, (1. f-'\v) 1 \-t (x) = . U-'/ ,

r

tuio 1 - Números Reales

Cálcuio en una Variable

Y

Funciones

Ejercicios Resueltos

1.5.1

A=lo,b,c,d,el v B ei conjunto nes ,f, g y h de I en B, Pot: Sea

de las letras del alfabeto. Definidas ias funcio-

t f{a)=r, f(b)=a, f(c)=2, f(d)=r, f{e)=e u)

g(¿z)=

ü, g(b)=c, g(c)=e, g(d)=r,

nt) h(a)=2,

8l(e)=s

h(b)=y, h(c)=x^ h(d)=v, h(e)=z

Determine si son o no lnYeclil'as. Solución. Téngase efl. cuefita que una función es irvectiva si al considerar clisulltos elementos del dominio estos tienen disuntas imágenes'

t f ü) g

noesinyectiva,puesastgna

r tantoaa

comoa i/,esdecir, -f(o)=f7cl¡=r.

es inyectiva.

1.5"2 Determine

si la función

definidapor f (x)

/

x-2

, x + -2, es tn-r'ecti.r-a

Solucién. Vemos que

D¡

= m * {- Z}

Supongamos que

/

es

.

inyeclva, entonces por delinición tenemos que clados xt,x2 e D ¡

se dene

f (xt) = f Gz\ =) r¡

f {xJ -

..:3 = f Oz) * t= xl+¿ "x2+/

=

luego /(;r)

v-)

=a+ , x*-2

= x2 , rs decir, rc¡x2 +2x1

-2*2

= xtxz -Zx1 +2x2

=

4x1

= 4xz

}

xt = xz

es inyectiva.

^tL

*4x-5 , x { -1

1.5.3 Demuestte que la función "f (x)=l-

es inyectjva.

Solución. Por completación de cuadrados

Y x1,x2€D.f

/(x)

*

V

1-

; Entonces

-4x-5

=(-*,*t] + fQr)=f(*z) + 1-tF-Zf-=i-1fio:;t-9

= Jñ -?l Corno

=

x1,x2e (-.o,-1]

(xr :2)2

:>

x1

-e

=

\G;zf -s > (¡r -z)2 -e =(xz -Uz -s

={rr-Z)'

*

1", -21='lx2*2i

l-l n x2 1- } rt =l- } xz -> xt = x2

pefo.rl ,rz€f-4,-2', ,entonces

I .t invectrva. ' / _) ..J2

.'.

^I_-^2

.'.

es invectn

a

"/i "s tnYectiva.

Además debemos deterrninar los tangos de cada sub¡función:

¡ x€[-0,-rl] -4c es sobreyectiva entonces la Demuestrer Si / :A-+ B es sobtevectivay 1.5.11

función (g

"

f):

A -+

C

es también sobrevectrva'

Solución. Sea c e C . Puesto que

Como

/

g

es sobteyectiva' existe un elemento

es sobtevectiva, existe un elemento

ae

A

tal que

be

B

f(a)=

talque g(b)=c' b

'

Peto (s , f)(a) = SU @\ = g(b) = c a€l tal que que exlste al menos un elemento Así, para todo c e C queda demostrado g. / es una función sobrevectiva. por 19 " i11o1= c . "onrig..i"rrte Siendo / inyectt'a' halle una función definida por /(x)=f3+5' "l..S.lZ Sea f:fr+fr J"-1,

ti existe'

Solución.

Como/esinyectivaentoncesexistesuinversaf_',|ocuaiseobtienedespejandox ) f-t(x)=3Jils +5 t y=.r3 +5 -> ,3 =y-5 ) x=\t'1

f(x)=x3

1.5.13 Sea

A=S-{3} y B=fr*{l}'

Sea

por la función 'f :A-+B inyectiva definida

f-t. f(x)=4,hatte x- J Solución.

u=*-2 ) yx-3y=x-2 =>'x(y-l)-3y-2

/a

f-J

3y

*2

=) x= y-1

=

3x-¿ f -t 1x1= x-1

db¡5en

fJf,!0

Capítulo 1 - Números Reales y

una Variable

*l ,

Halle y grafique la función invetsa si existe de /(.rc) = x2 -2x

x>2

Furm'cs

.

Solución. = ,f (x) =

-r*

. ;f inyectiva;

= (x -1)2

-2 Vxl ,x2 e D¡ =b,*1, tal que f (*)=.f (x), implica xt:

*2 -2x

-l

x2

-D2-2=(xz-D2-2 = (xr-l)2=("r_l)t - lt,-11=fr2-11 Como Y x1,x2.[2,*) 3 -r, ] 2 n x2>2 = ir -1>1>0 n x2 -1>1>0 *1 = 1", -11 = r, -1 n l-x2 -11= r, '. f es inyectiva' luego .r¡ -l= xz -1 + xt = x2, Vir1, x2 e D¡

f(x)=f(x) +

r

Detertninamos

(xr

f-|

;f es inyectrva (r*l)2 -y+2 =.r-1=xJV+2:) x-1r^{y+2 => x-t+ffi ya que

y=1x-1)2-2 * pr¡€s x>2. Luego ,f*t(r):l*Gnl

.

Hallamos también

D

, es decir R¡

rt

:

,

,.v:

x22 => x-1>1 = (x-l)2 >1 = (x*l)2 -2>-I => y>-1

* R-t:ft,*)

.'. f'-t

L5.15

Sez

=Df^

(x)=1*,[**2, t.[-1,*¡

f

definida pot

/(x)

:*¡7*UU,

xe{-oo,-9]. Encuentre f-t, siexiste.

Solución. Yeamos primero si Y

/

es inyectiva. Pata eso hacemos:

x*xre (- "o,-9], f G)

=

f (xr)

+-

xl +Lxr-g -

-

a

-9

x2.

* *l + 8.r, -9 = xl +8x, -9

,l

- ,1+ 8(x, - xr) = 0

= (xr -xr)(xr+x2+8)=0 .+ xt=x2 v x2=-8-t, Como ¡r €(-oo,-9] + -rr €[g,*) * (-8-xr).|i,*)*(-.o,-9] ] x28(-*,-q] , entonces solo se cumple xt = x2, 1o que significa qte f es inyectiva en (- *,-9], por lo que ,/-l existe, entonces:

y=-,[7 +s*-9 =-J;nq'z *25 >

y2 =(x+ 4)2 -?5

=

("r+ 4)2 = y2 +25

Iuego x = -4t ly2 +25 l--

tJyt *25 > 0

por lo que no

xe (-.o,-9],luego consideramos r= Además

xe{-*,-9]=

4-{7

(x+4)e {--*,-5]

-

f -t (r) - -4 -

,

pues

1am6s

+25

Q+4)z

x+4)z- -25 -¿t e [U,oo/ [0,'o) = Luego

25

podemos considerar x = -4 +

+25, D f-, =(-*,0].

. [zs, *) =

,l@e=

Í^ [(x e

+

(-

4)' -zs]e [0,*)

m,0]

=

y €(-.o,0]= R,

-

Departaryrsnto de Matgmáticas y Estadística

1,5.16

Sea

f

UNSA

lafuncióndefrnida por

f-l

r.[O,t].Determ¡ne

f(x)=4Jl-x,

,riexiste.

Solución. Para que

4^ll

f

tenga inr.ersa debe ser invecttva,

'h = 4{l -x2 f-t

para esto debe cumplir que

V x1,x2 = [O.t] l(.rr) = .f (x) => xt = x2 i= a(Jx¡ -J..r,)-(rr -.r:)=0 :> [1t' - Jrr)\q-

Como x, e[o,t] entonces tanta

r

4*J;-,la *0, por 1o que Jt-

existe, luego

=0

^E

=

Jt' - ^lrr)=0

x1

=x2.

Pot lo

y=f(x)=4J;-x=-(x -4ir--[tJi -42 -o] - ]'=4-(./'-z)t de donde 6[*-Z¡2 -4-y = Ji :2x"[4-, =) n- Qt^{f¡1' pr", *=b* W)'? 1amás pertenecerá Como consideramos x= (r-W)', "e[o,t],

intervalo [0,t]. Además hallamos R¡ por ser este el

".

[o,t]

> r; . [0,1] = 6[;

-2) e[-2,-r]=]

=[+- (J; - z¡2]. [0,:]+

En conclus ión

1.5.17 Halle

Drt:

"y

€

(J;

-2)2 .[t,+]

=

-(ü

-z]2

.[-+,-t]

[0,:]= R, = [0,31 = D r-,

f -1 (") = (2 - J4 - x)'?, " . [0,:].

/-1,

si existe, si

/

está definida

por /(x)

= (l

"-5 j+i+.r,)"'r=

Solución. Ciaramente

D¡ =(-

co,5], entonces

l"-sl=-x+5 Se r,e

nlca que

,f es inyectiva,

luego

luego tiene inversa. Como

D Ldemá= de .r

I-

rnalrnente,

n,

xe (*'o,5] = [0, oo) , entonces

fi, = [0,.o). f-, =

=-'i.r)= 6ll- = !=',8;

:'

.f(x)=6rll;,

= *=5-x - r- t-*

) j-'".j 6 t=lo.*).

(.r =

1.5.18 Halle la función inr-ersa. sr existe, pare

lx+41

f 1t)=;'.^,f|, lx-rl-r

xe (*2,0)u(0,1)

Solución. Como D¡ ={-2,0)u(0,1), entonces l;r+al

=Íi4 f

lt.-11= t-x,luego

'+! -x+4 --r- !x = .f t.r)=-t-!. r\{(x\= ' l-x-l x -x Se verifica que ,f es inyectiva, por lo tanto existe /-l' Despelando x se obtiene -0, f-ttr¡=4. ,= y+l = irrl Además:

xeD¡ =(*2,0)u{0,1} = ,€(-2,0) v xe (o,t) + -20 y a+1,

entonces la función

a, curo D7 =(0,"o)

v Rf =8

j(..)

t- se cumple

= logo

¡

-r

se llama iuncrón logantmo de base

= logo -r c> c'] -,':

.

La función iogaritmo es la función inversa de la función exponenciai.

Patala gáfica consideremos dos casos:

)'=

logo x

0