38057902 Mehanika Fluida i Hidraulicne Masine Crnojevic

Univerziteta u Beogradu Masinski fakultet

Edicija:

Mehanika fluid a i· Hidraulicne masine

Masil!1sid fakuilet Univerziteta UI Beogratch.n

Edicija:

Mehanika fluids i hidraulicne masine @

Klasicna i uljna hidraulika. I izdanje, 1998. - ova Imjiga

€&

Izabrcma poglavlja iz hidrodinamike. I izdanje, 1998.

Crnojevic C. Cantrak S. ~

Statika i kinematika fluida. II izdanje, 1998.

Saljnikov V. ®

Mehanika fluida = Teorrija i praksa. VI izdanje, 1998.

Cantrak S., Marjanovic P., Benisek M., Pavlovic M., CmojeviC C. @I

Prirucnik za proracl.ln strujanja siisljivog flu ida. V izdanje, 1997.

Pavlovic D. M, Stefanovic Z. PB)' tada ce B mikromanometar imati pokazivanje l. NaCi zavisnost raziike /1 .......--=--=-...,.... --"---_._--"" pritisaka od pokazivanja p rnikromanometra. Poznate b) a) velicine su: A o ' n, fa ,R, Pm' Slika P.I.l-4 -~--,--

L--'-~";"'-

RESE.NIE:

a) lednaCina hidrostaticke ravnoteZe manometra daje: 6.p= PA - PB = (Pm - p)ghsina .

b) Prime nom jednacina hidrostaticke ravnoteze i jednakosti zapremina, dobija se

J

lo a 6.p:= P1 - P2:= pg ( lc,~vs R +TI . a

Polje pritiska. lvianometri

11

Problem 1.1-5. U rezervoaru se meri pritisak pomocu tri redno povezal1a manometra. Prvimanometar (1), jednim svojim krajem otvoren je prema atmosferi i ima unutrasnji precnik D. Druga dva manometra (2) i (3) medusobno su jednaka i imaju unutrasnji precnik cevi d. Manometri su postavljem tako da kada je potpritisak u rezervoaru P',o mvoi manometarskih tecnosti u sva tfi manometra su isti. Nivo tecnosti u rezervoaru je konstaa) pp ntan. Kada se potpritisak u rezervoaru (I) (2) m (3) m poveca na Pv ' odrediti koliko je pokazivanje Pa manometra (1). Poznate velicine su: Pvo'

o"IW"ot U In

'~p

Pv ' d, D, Pm' p, Po' 0'"

RESEN.fE: Da bi niva tecnosti u sva tri

b)

manometfa, u pocetnom trenlltkll, bio isti, potrebno je ove manometre postaviti na Slika P.U-5 visinu Ho' Ova visina dobija se iz jednaCine hidrostaticke ravnoteze, postavljene za nivo 0-0 Po = Po - Pva + Pagho' 1 lznOSl: Ho = Pvo / pog· Kada se II vazdusnom prostoru rezervoara potpritisak poveca, sa Pvo na Pv' tada ce donji nivoi razdvajanja flllida u manometrima biti: 1-1, 2-2 i 3-3 (vo sl. P.l.1-5h). Tom prilikom, pokazivanje prvog manometra je y, a drug a dva je isto i iznosi x. Za odredivanje pokazivanja prvog manometra, potrebno je postaviti jednaCine hidrostaticke ravnoteze za sledece ekvipritisne povrsi: 1-11

Pa=Pl+pmgy,

2-21

Pl+pg(yI2+xI2)==P2+Pmgx,

3-31

P2+pgx==P a -P v +pog(Ho -xI2)+P nr gx,

pri c.emu su pritisci PI i P2 na gornjim povrsinama razdvajanja fluida fiktivno uvedem zbog lakseg pisanja jednacina hidrostaticke ravnoteie. Za nalazenje dopunske veze izmedu nepoznatih velicina x i y, koristi se jednaCina jednakosti 2

2

zaprerrrina nestisljivih fluida: YD n/4 = xd n/4 iz koje sledi x = y(D I d)2. JednaCina jednakosti zapremina nestisIjivog flliida (jednaCina zapreminskog bilans a) veoma cesta se koristi u hidrostatici, iobicno predstavlja dopunsku jednacinu iz koje se dobijaju veze izmedu nekih duzina, Iz sistema hidrostatickih jednaCina ravnoteze, eliminacijom nepoznatih PI,172 ix, dobija se pokazivanje prvog manometra, koje iznosi:

Pv - Pvo

Problem 1.1-6. Izmedu rezervoara A i B nalaze se dva redno povezana manometra koji su postavljeni 11a razliCitim visinama. Na osnovu poznavallja vrednosti svih gustina tecnosti (Pl = 800kg 1m3 , P2 I OOOkg I m3, Pm = 13,6 t I m3 ) i

12

Polje pritiska. Manometri

merodavnih visina (11 == 1m, h) == O,Sm, h2 == O,gm; H) "" 2m, H2 == 2m) odrediti razliku apsolutnih pritisaka izmedju prostora rezervoara A i B koji su ispunjeni vazduhom. RESENfE-

PA - PB == Pm + PI' == [Pm (h) +h2)-p(h+h))- PJH] + P2 H 2jg == 162650Pa.

D

H

p

Slika P.1.l-6

ShIm P.1.l-7

Problem 1.1-7. Rezervoar R, u kome se nalaze dye tecnosti koje se ne mesaju, spojen je sa dva redno povezana diferencijalna manometra razliCitih precnika d i D. Kada u rezervoaru nema natpritiska vazduha iznad tecnosti gustine PI (Pm == 0) tada su u oba diferencijalna manometra nivol tecnosti na ravnoteznoj visinj 0-0. Usled dejstva natpritiska Pm nivoi tecnosti u rezervoaru i u manometrima zauzimaju polozaje prikazane na s1. P.1.1-7. Za ovaj polozaj odrediti korelacioni izraz Pm"" Pm (H). Poznate veliCine su : P, PI' P2' Pm' hI' h2' a, d, D. Pm "" pga - Pigh + P2gh2 + Pmg( 1+ (~)

l

_RESENfE-

z

o

:~]h

2] Ii.

Problem 1.1-8. Kada fluid gustine 3 P == 1000 kg / m miruje u cevi tada je ravnoteZui nivo manometra 0-0. Uspostavljanjem strujanja kroz cev izmedu prikljucaka A iB ostvarice se pad pritiska f¥J. Ovaj pad pritiska je mali, te se zato u prikljucnimvodovimaugraduju pojacavaCi pritiska. Manometar tada imapokazivanje h=100mm. U pocetnom stanju mirovanja manometra klipovi u pOJacavaclma pritiska se nalaze na istom nivou. Odrediti razliku pritiska koju meri diferencijailli manometaL. Poznatipodaci su: D=100mm d == 2Smm, do"" lOmm, Pm == 13600kg/ m

SIika P.1.1-8

3

.

Polje pritiska. Manometri

13

RESENJE: Da bi se mogla postaviti jednuCina hidrostaticke ravnoteZe rnanometra, potrebno je odrediti pritiske PI' i P2 'iza pojacavaca pritiska. Kako je povri3ina klipa ravna i poklapa se sa izobarskom povrsi, to ce sila pritiska bid jednaka proizvodu pritiska i povrsine Idipa. Iz jednacina nivnotde sHa koje deluju na klipove pojacavaca D2T[ d 2 T[ (PI + pgy) -4- + G == p'j

4-

dobijaju se pritisci 2

P'I = (PI + pgy)(D / d)2 +4G / d T[

Pomeranje klipa x je u direktnoj vezi sa pokazivanjem manometra 11, a dobija se iz .

.

.

d 2 re

2

1d n

"

•

I do 2

o Jednakosh zapremma: -4-X=2-4h, 1 lznosl: X==2(d) h. Postavljanjem jednacine hidrostaticke ravnoteie za ekvipritisnu povrsinu I-I

PI '+pgz == P2'+pg(z+2x-h)+ Pmgh ,

te uvrStavanjem nadenih velicil1a: PI' ,P2' ix, dobija se razEka pritisaka d 2 {Pm do) 2fLCd) D2 -1 /:o,.P==(D) --I-(d

.p

J} pgh=625,4Pa ..

Jednacina hidrostaticke ravnoteie manometra za ekvipritislll1 povrsinu I-I, moze se i direktno pisati, bez uvodenja medupritiska PI' i P2'. Ali, tada treba mnogo vise paznje posvetiti korektnoll1 pisanju ove jednacine, te se iz tih razloga ovaj naGin pisanja jednaCine ne preporucuje. U slucaju da je pretvarac istih c1ill1enzija (D / d 1), dobijeni izraz za razliku pritisaka se svodi na poznati izraz (p'rell1a P.l.l-I.) 6.p = (Pm - p)gh, koji odgovara razlici pritisaka na diferencijalnom manometm bez pretvaraca pritisaka. PretvanlCi pritiska koriste se kada treba povecati iIi smanjiti ulazni pritisak, a nivo povecanja ili umanjenja pritiska zavisi od odnosa precnika pretvaraca Did. Pr(lblem 1.1-'9. Kada je manometar prikazan na sl. P.l.l-9. c1irektno spojen na merna mesta OIl ima pokazivanje ho ' Kako je ovo pokazivanje veliko to se a prikljucllim vodovima Ulanometra ugraduju pretvaraCi pritiska. Odrediti pokazivanje manometra sa ugradenim pretvaracima pritiska. Poznate veliCine sa: p, Pm' ho' d, D, G. RESENJE' KoristeCi metodologiju proracuna kao i u primeru P.1.l-S, dobija se: h =ho(d/D).

--D -

.--, h Pm

Stika P.1.1-9

Problem 1.1-Ut Kada se na prikljuccima zvonastog mikroll1anometra A i B spoje pritisci napajanja Pi i P2' tad a mikromanometar ima pokazivanje

14

Polje pritiska, Manometri

jI>:- 0

H=50mm. Na osnoVll ovog pokazivanja odrediti razlikupritisaka kojil meri mikromanometar. Poznati podaci su: Dl = 158mm, . D2 = 160111111,

-v-

D3

p

B --

--

--

_. --

G

P

= 200111m, p =1000kg/ m3 .

RE'SENJE' Primenom jednaCina: ravnoteie sila,

hidrostaticke ravnoteZe i jednakosti zapremina, dobija se razlika pritisaka flp= Pl - P2

= [(D2 / Dl)2 -l]pgH = 12,5Pa.

Problem lL.Jl.-:U. U torusnom manometru precnika D i unutrasnjeg precnika cevi d na1azi se tecnost gustine p. Na torusu, na rastojanju R, pricvrscen je protiv-teg mase m (s1. P.1.1-11a). Ovaj sistem je obrtan oko horizonta1ne ose O. Prikljucenjem Slika P.l.l-lO manometra mi ptitiske gasa Pl i P2 (P2 > Pl) torusna cev sa protiv-tegom zauzima novi ravnoteZri polozaj koji je prikazan na sl. P.I.I-11b. Ova promena poloiaja manometra omogucava merenje razlike pritisaka flp = P2 - Pl' Odtediti zavisnost razlike )ritisaka flp od ugla a koji definise poloiaj protiv-tega. Komentarisati ulogl1 manometarske tecnosti na tad manometra.

L

A

D[ D2

flp(c/-) = P2 - Pl

Slika P.l.I-ll

:=:

Dd8R2rc mgsina':

Dobijeno resenje pokazuje da merena razlika pritiska ne zavisi od gustine manomefarske tecnosti. Prema tome, manometarska tecnost ima sarno ulogu razdvajanja prostora koji su pod pritiskomgasa.

15

:1.20 MIROVANJE STISLJIVOG FLUIDA 1.2.1. Jledmllcina sbll11lja ideain(]lg galla

Pod idealim gasom podrazumeva se onaj gas kod koga se medjumolekularne sile mogll zanemariti. Svako stanje gas a, pa i idealnog, odreduju tri tennicke veliCine stanja, ito: p-apsolutni pritisak, p -gustina i T-apsolutna temperatura. Svaka funkcionalna veza flp, p ,1)=0, izmedu ove tri veliCine stanja, naziva se jednacinom .rtanja. Kako se neki stvarni gasovi, na pI. vazdllh, u uslovima veCih temperatura i nizih pritisaka mogu smatrati idealnim to se za njih jednacina stanja idealnog gas a moze pisati u jednom od sledeCih oblika: I pV = mRT -+ pv = RT -+ P = pRT I (1.2.1) pri cemu su: V - zapremina koju ispunjava gas, m = pV - masa gasa, v = 1/ p - specificna zapremina, R - gasna konstanta (koja za vazduh ima vrednost R=287 J/lcgK). Izrazi (1.2.1) predstavljaju jednu jednaCinll samo napisanu u razlicitim oblicima. U pnellmatici, pod kojom se grubo receno podrazumeva primena vazduhapod pritiskom, najceSce se koriste prvi i treCioblik jednacine stanja idealnog gasa (1.2.1 ). 1.2.2. Jellin3cina stanja reaiulIJ)g gasa

Svi gasovi su u sustini realni gasovi. Uticaj realnosti gasa posebno treba ~eti u obzir pri uslovima povecanog pritiska i snizene temperature. Za realne gasove postoji citav niz poluempirijskih jednaCina stanja. Jedna od njih je i Van-der Waals-ova jednacina, koja glasi: 1 2· 3 P = I-bp (pRT-ap +abp-) ,

pri cemu su a i b koeficijenti koji uzimaju u obzirrealnostgasa, aodreduju se eksperimentalnim putem za svald gas. U praksi se jednaCine tipa Van-der Waalsove rede koriste. Jednostavniji ,--,_. -·---~k¢r 4 _ 11 proracuni izvode se pomocu 3 jednaCine stanja realnog gasa ~ 2 pV= ZmRT -+

I p= ZpRT I ~~d

u kojoj je koeficijent Z funkcija od pritiska i temperature, odnosno Z = Z(p,T), i naziva se ./alctor reablOg gasa, iii koeficijent kompresibilnosti. Faktor realnog gasa se odreduje iz dijagrama sa s1.1.2.2. Ovaj dijagram je dat za

2.5

TfT

8:§

-O.8~ ~

2

1.0

~

1.2):; I-c-'- - - - -

"'L1

0.4 0.3 0.2

~

,

j

,. =

/'

/ ·--1- _.-

0.1 0.1

0.20.30_5

2 3

5

10

p/PK

Slika 1.2.2. Faktor realnog gasa

2030 50

I

\ 1

16

Mirovanje stisljivogjluida

redukovane uslove. u odnosu na kriticno termodinamicko stanje (odredeno velicinama Pk i Tk)' pod kojim se podrazumevaono stanje kod koga nastaje direktni prelaz iz gasovite u tecnu fazu bez prethodne pojave magle. Sa aspekta pneumatike interesantno je kriticno stanje· vazduha, koje je odredenovelicinama: Pk = 37,74bar i tk ==-140,75D C. Problem 1.2-1. Odrediti stanje vazduha kao realnog gasa, pri sledecim usiovima: a) pi Pie =2, T!7k =1,2 ;b) pi Pie =30, TITle =2 ;c) P =100 bar, t=57,8 D C. RE..fENJE· Za redukovane usiove stanja vazduha, date iii formirane, odredene odnosima pip kiT I TIC' sa dijagrama s1.1.2.2. oCitavaju se koeficijenti kompresibilnosti Z::= Z(p,T). Iz istih odnosa dobijaju. se apsolutne vrednosti pritiska p == ~ Pie

i temperature T == ~ ~C" Koriscenjem jednaCine stanja vazduha

p::= ZpRT, i odnosa redukovanih veliCina, dobija s.e gustina vazduha: p p= ZRT =

p

TkPk

1

Cp;;KY)T; ZR

Ovako odredene veIiCine stanja date su u tabeli 1.2-1. Zadatak pod

t

pi Pk

TITle

Z

-

-

-

bar

DC

P 3 kg/m

1,2 2 2,50

0.65 2.15 0.95

75.5 1132.2 100

-114.3 -8.4 57.8

254.7 693 110.8

a 2 b 30 c 2,65 Tabela 1.2-1.

P

1.2.3. Jedllll3CillJl3l pl"omellJle shmja Ako se u nekoj zapremini nalazi gas tada je njegovo termodinamicko stanje odredeno velicinama: p, V (iIi p) i T. Ukoliko se iz nekog razloga promeni neka od ovih velicina ana za sobom povlaci promenui ostalih veliCina stanja. Ove promene opisuju se jednacinom koja se zovejednaCina pTomene stanja. U opstem slucaju ove promene su veoma slozene i pri inZenjerskoj primeni aproksimiraju se tzv. politropskom promenom stanja koja se opisuje jednaCinom:

l pV

n ::=

canst.

-0-

pi pn

= const.l

(1.2.2)

gde je n stepen politrope. Ova jednaCina ima i dva specijalna oblika, ito: a) pri izotermskoj promeni stanja (T = const), kadaje 11==1

pV=const. , p/P=COl1st. b) pri izentropskoj promeni stanja (n=K), lcadanema olcoliriom ni rada sile trenja K

pV == const. ,

ill

razmene topJote sa

IC

P / P == const.

pri cemu je 1C stepen izentrope (za vazduh je K =1,4). U uslovima mirovanja iii kvazistacionarnog kretanja gasa nema sile trenja pa se izentropa svodi na

Mirovanje stisljivog fiuida

17

adijabatu. U jednaCinama promene stanja sa P je oznacen opJ'o/utnipniisoic, koji se odreduje kao P = P a + Pm u slucaju natpritiska, iIi P = Pa - Pv u slucaju potpritiska u zapremini gasa. PrimenjujuCi, na pr., jednacinu politropske promene stanja za dva stanja gasa oznacena sa "I" i "2" dobija se operativno upotrebljivi oblik ove jednaCine : P1 / P111 Problem JL2-2. U pneumatskom cilindru moze da se krece, bez trenja, klip teZine G= WON. Nakon dejstva sile F=500N, klip ce zauzeti novi ravnotezni polozaj. Odrediti za koliko ce se spustiti klip, ako vazduh menja stanje: a) izoterrru;ki, b) adijabatski. Dati podaci su: D=IOOmm, a=400mm, Pa =IOOOmbar.

= P2

/

n

P2'

Stika P.1.2-2

RESENJE: Za pocetno i krajnje stanje ravnoteze vaie jednakosti sila: D 2rr:

.

G= Po"" Pmo -4-' iz kojih se dobijaju natpritisci :

D'71

F+G = Pm!-4-

4G

.

4(F+G)

Pmo = D2rr:' Pm] = D2rr: . a) Iz jednaCine izotermske promene st;"nja pV = const. napisane u oblilru (Pa + Pmo) dobija se pomeranje Idipa x=

2 D rr: _ 4 a-

(Pa + Pm1)

Pm, - Pmo Pa + Pm!

~ 4

(a-x),

a=144mm. lC

b) Izjednacine adijabatske promene stanja pV =const. napisane u obliku

2

(Pa + Pmo)(D4 rr: a)lC

dobija se pomeranje klipa [ x= 1-(

J 2

= (Pa + Pm1t D4 rr:(a-x)

,

11]

P + Pm a

]K

0)

Pa + Pm!

t(

a=109,5mm.

Problem 1.2-3. Rad 5:lllbijal!l.ja gasa

U pneumatskom cilindru se nalazi vazduh pod pritiskom PI' koji ispunjava zapreminu VI' Usled dejstva sile na ldip vazduh upneumatskom cilindru menja stanje i u novom ravnoteznom polozaju je podpritiskom P2' Odrediti rad sabijanja vazduha, ako je promena stanja: a) izotermska, b) politropska, i c) nacrtati proces up-Vi T-S dijagramu . RESENJE' U proizvoljnom polozaju na klip deluje sila pritiska P = pA, koja pri elementarnom pomeranju za rastojanje dx daje rad BW =: Pdx= =: pAdx. Kako je

18

Mirovanje stisljivog jluida

element zapremine dV == Adx to ce obavljeni rad biti oW:= pdV . Iz ovog izraza se dobija rad sabijanja vazduha: v (1.2.3) W::= - v' pdV

f

1

pri eemu je male minus posledica usvojene konvencije po kojoj je rad sabijanja kompresije negativan jer se u toku prQcesa troili, dok je radsirenja· ekspaIJzije pozitivan, jer se u toku procesa dobija. a) Za izotermsku promenu stanja T::= canst. vazi pV == P1VI , odnosno p:= Plfli IV, te ce prime nom izraza (1.2.3) rad sabijanja biti v,

rv ::= -

J

V,

dV PIVI - V

::=

VI

P2

2

1

PIVI In -V = P1VI In--p'

b) Za politropsku promenu stanja (pV I1

= canst.)

(1.2.4)

promena pritiska je odredena

izrazom p::= PI (VI I V)11 , pa se integraljenjem izraza (1.2.3) dobija dV =_1_. VLr(~)n-I_1Jl,",PI~lr(1l)~~!-lJl. w==-f PI vn Vn n -1 V n-1 p

(1.2.5) I PI I v, 2 1 Izraz (1.2.5) definise opsti (politropski) rad sabi: anja gasa. Ako se u njega uvrsti n =: K dobiee se adijabatski rad sabijanja. c) Procesi sabijanja u p-V i T-S dijagramu prikazani su na s1. P.1.2-3, pri cemu eksponent politrope uzima vrednosti l:s: n :S:oc. Vrednost eksponenta n=l odgovara izotermi, a vrednost n ::= k adijabati.

t

r'I

.2~3~1211}.1I1 .....2'~

;2 ..... n=1

n1C

-

P2 =cC:,nst. 2' /~.~1C

n=ro '-.

').

~

71~~/JO,~/ n=(l) j

,

"

.(

p .............................

.

?

-

..< 1C

fA'

4-------------~----~

n>lC / '

/

~-" va 3-4) odvija uz ,//(: postepenu promenu preonst zapremine. Da hi rad sabijanja kompresora s v bio sto manji pozeljno je da se ekspanzija b) a) gasa odvija bez razmene koliCine toplote sa okoliIiom, tj.Q34 = 0, Slika 1.2.4.3. Kruzni proces klipnog kompresora. Da bi se ostvario sto manji rad kompresora treba teziti i da je proces kompresije izotermski (kriva 1-2) a ne izentropski (kriva 1-2') Cime se u radu vrsi uSteda kojaje na p-V dijagramu predstavlja povrSinu 12'2. Kod realnih kompresora definise se mdna zapremina Vi, = Ah , gde su A i h povrsina cilindra i hod klipa redosledno, kao i relativna steina zapremina I> = Vc /Vh , koja zavisi od konstruktivnih karakteristika kompresora. 1.2.4.4. Visestepenii k@mpnsoJri

Ponekad postoji potreba za obezvedjivanje vecih pri::lsaka gasa, naroCito za potrebe transporta gas a gasovodima, a sto moze dase ostvari uzastopnim sabijanjem gasa u vise cilindara. Ovakvi kompresori nazivaju se /llJb'/epem:

Mirovcmje siiSljivogjluida

21

Na sl.l.2.4.4a sematski je prikazan jedan visestepeni kompresor sa z cilindara. Ako se posmatra bilo koji stepen kOInpresora, na pr. Hi stepen, tada moze da se definise stepen porasta pritiska - stepen kompresije TC i =

P2,i / Pl,i

i izentropska promena temperature gasa: 'T'

-

" 2 '; -

T,l,i ( P2,i / PI'; )(K-l)IK

-

T,l,i TC (lC-l)llC , i(= 1, 2, ... ,z ) I

pri cemu prvi indeks oznacava stanje: 1 - na ulazu i 2 - na izlazu iz stupnja, a drugi indeks oznacava posmatrani stnpanj kompresora. Ocigledno je iz ovih relacija da ce zbog porasta pritiska pri kompresiji gasn porasti temperatura, cime se namece potreba za hladjenjem gas a izmedjn susednih stupnjeva. To medjuhladjenje je najbolje obaviti tako da temperatura gasa na ulazu u sledeCi srupanj bude 7;,1 = 7;,2 =... = 7;,i =... == 7;,z == 1; == canst., Cime se prakticno priblizavamo izotermskoj kompresiji jednog jednostepenog kompresora koji bi imao isti stepen kompresije kao i visestepeni, a sto .ie til

s>

0)

P =p. 1

1,1

p =const

z

7'

/

/

~/

/

p/=const /

p =const

/! // 2.:;'-/'.2,1// 2 ./ 2,1

/

~~:.:.Y..,.'Y4~I~ ,J.,/t'i:; ~/~~:~nst

~/

T l . . . .... ...

/1,J-

~~::-'<

s

;4

----------~----~

V

b)

c)

Slika 1.2.4.4. Kruzni proces visestepenog klipnog kompresora. prikazano na p-V dijagramu sa sl.1.2.4.4b. Kako se sabijanje u pojedinim stupnjevima vrsi bez razmene toplote (Ql,2)1 = 0 to se. u radu dobija usteda u odnosu na jednostepeni kompresor koja je na p-V dijagramu prikazana srafiranom povrsinom. Kruzni proces visestepenog kompresora je, takodje, prikazan i u T-S dijagramu sa sL1.2.4.4c. Tehnicki rad bilo kog stepena kompresora je: K

[

pz I

~,=-mcp(T2i-7;I)=---lPliVl' ( - ' ) ,

" K-

"

(lC-l)h:

Pl,i

J

K

-l=---lPli~I[TC .

K-

(K-l)IK

"

-1],

a njegovim posredstvom se nalazi ukupan tehnicki rad visestepenog kompresora W t

= ±'W. = -~~~ '=1

t,1

I.pv .[C Pl,l

K-l'=l

P2

1,1 1,1

,') (K-l)/K

-IJ= -~ ](-1

P V t[TC (K-l)/K 11,=1

-1]

'

22

Mirovanje stisljivogjluida

pri cemu jei zbog konstantnosti usisne. temperature i konstantnosti mase koja prolazi kroz sve stuplljeve (iii = canst ),koriscena veul pJ--; == pl,ir--;,;' PostavljajuCi ov~

uslov minimuma tehnickog rada

/ OP2,J == 0,

i koristeci pretpostavku da se

padovi pritisaka u hladnjacima mogu zanemariti, tj, da vazi relacija

PZ,i

== PU+P

dobija se veza izmedju pritisaka: PZ,i

==

J

PI,i P2,i+1 '

koja daje optimalne vrednosti stepena kompresije 11:] == 11:2 == ... = 'It! == ... == 11: z • (1.2.6) Na osnovu ovog rezultata zakljucuje se da se kod visestepenih kompresora optimalan rad, tj. minimalan utrosak energije, dobija pri jednakim stepenima kompresije svih stnpnjeva. Poznavanjem stepena sabijanja pojedinacnih stupnjeva dobija se i ukupan stepen sabijanja kompresora

p

'It

Z

==.-L =

7tl11:2 . ,,'It

p]'

"'11:

==

I.'

(1.2.7)

TI'It • i=1 I

UzimajuCi u obzir relacije (1.2.6) i (1.2.7) dobija se veoma jednostavna veza izmedju pojedinacnog i ukupnog stepena sabijanja J ompresora 'It j

==

V; =ifP:/p:

Problem 1.2-4. Jednostepeni klipni kompresor izotermski sabija m=lkg vazduha ad pocetnog stanja opisanog sa PI == Ibar i II = 20 0 C na P2 == 6bar. Odrediti rad sabijanja vazduha i razmenjenu koliCinu toplote.

RESENJE Q12 ==

Wr,]2

== -213kJ.

Problem 1.2-5. Za podatke iz zadatka P.1.2-4 odrediti rad sabijanja i temperatum na kraju procesa izentropske kompresije. RE.SENJE- J~

12

== -278.2kJ,

Tz

== ~ (P2 / PI

)(K-])/K

= 489K.

Problem 1.2-6. U pocetnom stanju ravnoteze klip pneumatskog amortizera, precnika d, nalazi se u pocetnom stal1ju ravnoteze, prikazanom na s1. P.1.2-6, pod dejstvom opruge krutosti c i natpritiska vazduha Pmo' Kada na klip deluje 8ila F, tada klip ulazi u vazdusni prostor amortizera precnika D, a vazduh menja stanje izotermski. NaCi korelacionu vezu izmedusile F i pomeranja klipa x, koje je izazvano njenim dejstvom. Silu trenja zanemariti. Poznate veliCine su: d, D, h, c, P Q' P mo hi .Pin": . .

r

·.Di

Slika P.1.2-6

RESENJE

r

F(x) ==lc+(PQ

d4

l

+ Pmo ) D 2h-d 2 x JX

Problem 1.2-7. U podnozju jednog solitera izmerene su sledece velicine: Pa = lOOOmbar i '\ == 20 o e. Soliter je visole 100m. Odrediti stanje vazduha na vrhu I solitera, ako je promena stanja: a) izotermska, b) politropska, sa stepenol1l politrope 11=1,5 i c) adijabatska.

Mirovai7je stisljivog jluida

23

RESEN.l£ Koriscenjem OJ Ie rove jednacine za fluid u polju sile Zemljine tde (1.1.3), te integraljenjcm u granicamaza z koordinatu od 0 do H, sledi Pa

J

dp == -gH.

(1)

p

Pal

a) Za slucaj izotermske promene stanja (T == canst), vaZi pip == canst, odnosno p = PIP/Pal' Uvrstavanjem gustine vazduha u jednacinu (1), i koriscenjem jednaCine stanja (1.2.1), dobija se: P

Pal

-

PI

JdpP -

Pa2 Pal

== R7; I n - == -gH ,

P

al

odakle sledi gH

Pa == Pa exp(--R"') =988,4 mbar. 2

I

Temperatura na vrhu solitera je

'I

tl == t2 ==

2oDe.

b) Politropska promena stanja odredena je odnosom P / pI! dobija promena gustine P == PI (p / P 1 ) 1/

11

Q

=

canst, odakle se

Sada, ponavljajuCi postupak kao

•

1

u

zadatku pod a) sledi

r-p=

P

dp

r

1 ""n Pa2 R7; n-ll(Pa

Pal

n-I )

]

n -1 ==-gH,

1

odakle se dobija promena pritiska sa visillom n -1 gH)n/Cn-ll Pa2 == Pa , ( l - . n- R 7;

(2)

Iz jednaCine politropske promene stanja i jednaCine stanja (1.2.1) odreduje se temperatura '£ == T, (-~::L/n-I)/n 2

I

Uvrstavanjem brojnih vrednosti u izraze (2) i (3) dobija se: Pa ,. t2

= I8,86

D

(3)

Pal

= 988,385 mbar

i

e.

c) Kod adijabatske promene stanjaje n=](=1,4, pa se iz izraza (2) i (3) dobija: Pa2 == 988,388 mbar i to = 19,02°e. ~

1.2.5. Standardna atmosfera

Stanje standardne atmosfere opisujese na sledeCinaCin: a) Na Divou mora (z=O) temperatura i pritisak imaju vrednosti: fo:= 15°C i Po = 1013,33 mbar; b) U troposferi (0 s z S 11 Ian) temperatura vazduha se menja po linearnom zakonu t == to - az, pri cemu konstanta ima vrednost a=O,0065°C/m;

24

Mirovanje stisljivogjluida

c) U delu stratosfere 11 ~ z ~ 20,1 km temperatura vazduha je konstantna i ima vrednost ts = -56,5°C. U realnoj atmosferi zbog strujanja vazduha i klimatskih prolnena velicine stanja P, piT su promen~jive i funkcije od vremena. Medutim, zbog potreba izvesnih proracuna, narocito u avijaciji, definisani su standardni uslovi atmosfere (1919 god.) koji u potpunosti odreduju stall/e slandardne atmosjere. U Zemljinoj atmosferi postoje slojevi vazduha koji imaju razliCite karakteristike. Ovi slojevi se nazivaju: troposfera (O:S: z:S: 11 km), stratosfera (11 ~ z < 60 km), jonosfera (60.

Slilca P.1.5-7

1z momentne jednacine postavljene za obrtnu tacku 0, koja glasi: 2

d 2n D 1 Don pgzc -4-(2+ ilVe ) = G (Dcosa+ a sina) + (Go - p" -4-)(Dcosa + a sina)

2

dobija se trazeno rastojanje, koje iznosi:

h=

;

/

2

. Don " . Pv d 2 sina (2+00 - PV-4-)(Dcosa+asma)++--H -(D+ 4D)-2pgDd n pg 8

G.

2

Problem 1.5-8. Homogeni cilindricni poklopac teZine G, moze da se okrece oko tacke O. Poklopac zatvara kruzni otvor precnika d, koji se nalazi na strmoj ravni.

46

Sile pritiska na ravne pov('.§i

Odrediti ugao a..za koji ce sila u uzehl imati ekstre:inne vrednosti. Poznate veliCine su: a, h, d, D, G, p, Pm'

Pil:l F

RESEN.lR PonavljajuCi u potpunosti posrupak dat u primeru P.1.5-7 i koristeCi uslov zadatka of! ro == 0 dobija se vrednost ugla 2

. { 2D(f + 1 ! ) [ - 8Ga 2 d ]} a.. = arcsm - 2 - - (D +-~) 1 Pm pg pgd n

za koju sila F ima ekstremne vrednosti. Pro/;/em 105-90 Pregrada OA sirine L obrtna je oko tacke O. Odrediti natpritisak u

pneumatskom cilindru koji drZi pregradu u ravnoteii i nacrtati dijagram pritisaka po visini pregrade. Teiinu pregrade zanemariti. Poznate veliCine su: ho' h1' 112 ,

h3,D,L,H, PV' P],P2,P3'a..· RESEN.lE· Koriscenjem jednacina hidrostatickih ravnotd Pg)' Kolika zapremina balona mora biti ispunjena gasom da bi se on nalazio u stanju ravnoteZe? RESENJE: Princip leta balona zasnivan je na ravnotezi sile teZine i sile potiska mg == (p- Pg )gV iz koje se dobija potrebna zapremina balona V=inl(p-P g )·

Slika P.l.6-l7 ProDlem 1.6-1S. Konusni zatvarac je povezan pomocu krute poluge, obrtne oko tacke 0, sa pneumatskim cilindrom, a cilindar, pale, sa vazdusnim prostorom iznad ulja. Zatvarac je napravljen od materijala gustine

= 7800kg 1m3 • Do kog ce

natpritiska u sudu konusni zatvarae zaptivati. Masu poluge i klipa zanemariti. Dati su podaci: D=lOOmm, D]=100mm, a=200mm, Pm

1,\

3

b=150mm, H=O,5m, h=O,lm, P== 880kg/m . RESEN1E: Preenik zatvaraca na mestu zaptivanja je d=D/2. Sile koje opterecuju pOlUgll (v. sl.Pl.6-18b) su: teZina zaptivaca : 2 I D 1l 2h '1 . . ka G ==P Vmg=Pm3-4g, Sla pntls m

a)

b)

SIiIca P,1.6-18

Pm

S;

pneumo-cilindra PM == PmD;n I 4, sila potiska i normalna sHa pritiska koje deluju na zambljeni konus: 2 2 n Po == pVg== p(D +dD+d )12hg , d2n

PN ==[Pm+pg(h+H) ]4' 1z momentne jednacine za taeku 0: PMb==(PN +G-·Po)a, dobija se:

J'

.

pga 2 [ -+Hd 4G 2 h 2 -2d+dD) 2 . 2 --:s(D == 11769Pa. bD1 -ad npg

Sile pritiska na krive povrsi

67

PruDlem 1.6-19. U hidraulicnom-pneumatskom uredaju nalazi se klip koji sluzi za pokretanje ventila, i opruga krutosti c=lON/cm koja ima staticku deformaciju a=20mm. Odrediti: a) natpritisak Pmo' koji ddi ventil u polotajl1 prikazanom na slici P.1.6-19, i b) natpritisak vazduha neposredno pre otvaranja ventila. Nivo ulja u uredajl1 je konstantan. Sile viskoznog trenja na pokretnim povrsinama klipa i ventila zanemariti. Dati podaci su: H=O,lm, h=20mm, b=5mm, D j =40mm, 3

D=30mm, d=lOmm, d j =5mm, G=lON, p= 900kg/m .

RESEN.fE

Slika P.1.6-19 a) P rno == TC(D/-d 2 ) b) Pm=

24

2

{G+ca+pg~[ (d

2

-dJz)H -1CD2 +Dd -2d

2 )

J} =2S470Pa,

iG+c(a+b)+pg%[(d2-dt)(H-b)-fCD2+dD-2dzll=29712Pa.

n(Di -d ) \

PmD/em 1.6-20. ZatvaraCi ohlib konusa i polusfere nalaze se na poluzi,. koja je obrtna oko tacke O. ZatvaraCi su napravljeni od celika gustine Pm == 7800kg / m3 • Odrediti posle kog natpritiska Pm zatvaraci nece zaptivati. Masu po luge zanemariti. Dati su podaci: d=SOrrun, R=SOmm, D=2d, h=SOmm, H=O,Sm, c=R/3, Ro=3/2R, H o=1,2m, a=300mm, b=lOOmm, P v =500Pa,

P == lOOOkg / m3 . RESEN.fE 1 Pm ;::: R2'TC

Slika P.1.6-20

{arbl

2 2 d 'TC D nh 'TC 2 . 2 1 (-P v + pgHo )-4-+ Pmg-6-- pg i2(D +dD+d )h

J+

2 3 2 3 2 } +"3 pgR 'TC- Pmg("3 R +Roc)'TC - pgH== 5249 Pa.

PruD/em 1.6-21. Konusni zatvarac, koji je napravljen od materijala gustine 3 Pj = 7800kg / m , ima zadatak da propusti ulje u cevovod pri porastunatpritiska iznad ulja. Pokretanje zatvaraca bmogucava pnel1matski cilindar precnika Dj = 50mm. U pneumatskom cilindru nalazi se opruga krutosti c=lON/mm, koja je prethodno sabijena za vrednost a=lOmm. Posle kog natpritiska zatvarac l1ece zaptivati cevovod? Konusni zatvarac i pneumatski cilindar povezaru su krutom polugom, koja je obrtna oko tacke O. Trenje u pneumatskom cilil1dru zanemariti. Dati su podaci: D=lOOrrun, d=SOmm, hj =120mm, 1i=60mm, H=O,Sm, L=O,2m,

I=O,3m, p == 900kg / m3 •

\ \

68

SiZe pritiska na krive povrsi RESENJE- Horizontalni konusni . zatvarac koji je jednim svojim delom u tecnosti gustine p. a dnigim u cevi pIecnika d,· moze da se izdvojeno posmatra (v. sl.P.1.6-21b), tada se prema 1.6.2. formira zapremina zarubljenog konusa na koju deluju sila potiska

D

Pz := pVg:= p~ (D 2 +dD+d 2 )hg;

~ifll··········-·-·-·-

b) i normalna sila pritiska PN := pgzcd2rc 14, Slika P.1.6-21 pri cemu je zc:= H +Pm 1 pg. Osim ovih sila pritiska na polugu deluju i sledece

a)

2

sile: teZina konusnog zatvaraca G:= p,Fmg:= P;"g~21l hj' sila pritiska pl1eumatskog cilindra PM ".

PmDj2rc 14, i sila u opruzi Fo := ca. Uvodenjem rastojanja:

:=

y . y .

polozaJ3 tezlsta zarublJenog konusa I

sile pritiska

flzc

:= A~

Xc

h D2+2dD+3d 2

:= 4"

•

v'

1 , 1 polozaJa

2

D +dD+d-

•

deJstva normalne

2

c

=

j~Z , momentna jednaCina za tacku 0 glasi: c

hI

(PM - Fo)/ + Pzx c - G

.

4 - P" (L -I:!.zc) o. :=

Konacno, iz ove momentne jednaCine, dobija se traieni natpritisak:

Pm 2

4 2

2

(Djl-d L)n

r

hj . dl l . lFol+GT-PzXc+pg(HL-·16)J= 1,66bar.

Problem 1.6-22. U kosom pregradnom ziduizmedu dva rezervoara nalazi se zatvarac oblika polulopte. ledna pJegova stralla okyasella je tecnOsCll gustine PZ' a druga izlozena polju konstantl1og pritiska. Od:rediti pokazival1je h manometra, za slucaj da.sila istezanja veze A-A iZIlosi R j :=20kN. NaCi silu koja u tom sIucaju vezu A-A opterecuje na smicanje. Dati su podaci: hj=1,2m, lii=2,2m, R=0,4m, pv=8kPa, ((.=30°, Pj

= 900kg/m 3 ,

P2:= lOOOkg/m 3 , Pm =13600kg/m

b)

h a)

Slika P.1.6-22

3

.

RESEN./E: Na OSIlOVU pokazivanja maIlometra, zakljucuje se da sa unutrasDje strane poklopca A-A vlada potpritisak, koji prema 1.1.5. iznosi PVG =Pmgh. Ovaj problem je n,!.jlakse reSiti primenom metode potiska, izlozene u Odeljku i.6.2.Prema ovoj metodi treba zapremil1u . poluiopte izdvojiti (v. sl.P.l.6-22b). Tada na izdvojel1u zapremil1u deluju:

Sile pritiska na krive povrsi

2

69

3

- sila potiska Po::: Pz Vog == 3" P2 gR n, . 2

- nonnalna sila pritiska PN == (-P v + P1gh1 + P2gh2 )R n, - sila potpritiska Pv == PvoR2n , - i sila reakcije veze R== R; + Rs' Na vezu A -A deluje sila istezanja R; == PN + Pv - Po coscx, iz koje se dobija pokazi1 vanje manometra h::: 2 (R; + Po coscx- PN )::: 134mm. PmgR n Takode, na vezu A -A deluje i sila smicanja, koja izn08i Rs == Po sincx == 657 ,5N. Problem 1.6-23. U rezervoaru se nalazi voda, a iznad nje vlada natpritisak Pm= 1,23bar. Na rezervoaru je montiran ventil 8igurnosti. Sediste ventila kruZnog oblika, poluprecnika r-=15mm, zatvara metalna kugla poluprecnika R=20mm. Sa gornje strane kugle nalazi se opruga krutosti c=lOON!cm, koja je staticki deformisana za rastojanje t1 x=lcm. Odrediti visinu vode u rezervoaru posle koje ce se ventil sigurnosti otvoriti. Gustina materijala od koga je kugla napravljena je Pm == 7800kg / m3 •

h

p Slilca P.l.6-23

RESENJEh'2

c~ +~Pmr_E.[3+(~)2J_Pm

pgr n

-' P

6

I

pg

=2,035m, gdeje b=R-JR 2 -r 2 "

Problem 1.6-24. Konusni zatvarac u kosom zidu nagnutom pod uglom cx=4S0 u odnosu na horizontalu zaptiva otvor precnika d=lOOmm. Zatvarac se, s druge strane, naslanja na oprugu krutosti c=50N/cm, koja ima staticku deformaciju Xo =2cm. Odrediti posle kog natpritiska zatvarac nece zaptivati otvor. Dati podaci su: D==200mm, H=200mm, h=100mm, h1=lm, h2 =2m,P1 =lOOOkglm

3

Pz :::1200kglm3,

,

Pm ===7800kgl nz 3, pv=lkPa. RESENJE- Uvodenjem ~ila: D 2 nH d 2n G=Pmg12' R,= P1 U(H-h)g, P2

PN

nh Z 2 = P212(D +dD+d )g,

d 2n

===

dobija se:

(-Pv +P2ghZ)4--' Fe == CXo;

.

Slika P.l.6-24

70

Sile pritiska na krive povrsi

1.6.3. Metoda Jr3VIII.oteze tec[UD, to se ovo resenje odbacuje, te je, dakle, trazeno resenje za ugaonu brzinu

00:::

17s-1 .-

Problem 1.8-9. Cilindricni sud, precnika D==600mm, napunjen je uljem gustine 3 p == 900kg / m do visine H=300mm. Iznad ulja se luilazi klip tezine G=20N u kome se, na sredini, nalazi maliotvor za vezu sa atmosferom. Sud se okrece konstanhi.omugaonom brzinom 00 = 15s- 1 , Kolikom sHorn pri rotaciji treba delovati na Idip da bi slobodna povrs ulja dodirivala dno suda. I-I

D p

RESENJE: Uvodenjem veliCina d

= D~r--l-_-J-:-l--=_'-~=~g==;=;

•

Slika P.1.8-9 Problem 1.8-10. U hidraulicko - pneumatskom cilindru moze da se krece klip bez trenja. U stanju mirovanja (sl.P.1.8-10) klip uravnotezi ddi potpritisak koji vlada u vazdusnom prostoru iznad klipa. Kada se cilindar okrece konstantnom

1

\ I

Re/ativ170 miroval1jetecnosti pri rotaciji

99

ugaonom brzinom, tada kroz otvor u klipu, u cilindar ustrujava okolni vazduh. Odrediti onu ugaonu brzinu pri kojoj ce u vazdusnom prostoru cilindra vladati atmosferski pritisak.· Promena staDja vazduha je izotermska, Dati su podaci: D=200mm, d=50mm, h=lOOmm, G=lOON, p" == Ibar , Pa

p == 1000kg / m3 h

RESENJE Uvodenjem potpritiska PI' =40 I (D 2 - d 2 )1t, i visine b == h PI' / Pa ' te resavanjem kvadratne jednacine: co 2 -~fibb 01+ 16gb _ 64G =0 D D2 pnD4 '

dobija se ugaona brzina

H

f!

4 CL 2 -)=393s-I . co==-(vgb+D D pn '

Slika P.1.8-10

1.8.13. Hidraulicko-pneumatski cilindar, ptecnika D, napunjen je uljem gustine p do visine h i slojem vazduha debljine a (h>a). 1znad vazduha nalazi se klip teiine G, koji zatvara cilindar. Sud poCinje da se ohece hmstantnom ugaonom brzinom co, ali tako da vazduh dodiruje dno ciEndra. Pri rotaciji vazduh tnenja stanje politropski sa stepenom politrope n. Odrediti sHu pritiska koja deluje na Idip. Pa

RESENJE Rezultujuca sila pritiska je p

r (02

=lP16(D

2

2 1 2 2 1t d21C +d ) + Pm - pgHJD - d )'4+ Pm-4-= G,

pri cemn sn

a

I

-t--f':;'~~~~~

h

2D2 ~6 h H=_co-(ll--g-)

CO 2 D2

8g

4G ) (2aD2)11 Pm == (Pa + D2 1t 11ud2 - Pa .

Slika P.l.S-II

Prublem 1.8-12. U cilindricnom sudu, izmedu spoljasnjeg i unutrasnjeg cilindra precnika d 2 =200mm i d j =lOOmm, nalazi se tecnostgustine p == lOOOkg/ m3 nasuta do visine H=184mm. Odtediti ugaonu brzinu, pri kojojce slobodna povrS tecnosti dodirivati dna sud a i silu pritiska koja deluje na dno suda. U toku rotacije ne dolazi do prosipanja tecnosti iz suda. RESENJE: Kada se sud okrece konstantnom ugaoncim brzinom, tako da slobodna povrsdodiruje dno sud a, tada je polozaj tecnosti u sudu prikazan na Bl.P.1.8-12b. 1z jednaCine slobodne povrsi tecnosti, koja sledi iz (1.8.5), a glasi 2 H z == co r2 / 2g, dobivaju se L~ .... ~ povrsina omotaca. Element strujne cevi definisan je duiinom dl, povrSinom poprecnog preseka A i zapreminam dV=Adl. Na njegovu kontrolnu povrsinu deluju normalni naponi na povrsinama protocnog Slika 2.1.5. preselea A i tangencijalni na povrsini omotaca dA =Odl, tj zida cevi ('t;j --)0 't w)' gde je 0 obim preseka povrSine A. VracajuCi se sada izrazu (2.1.21a) pri tome ga transformisuci na obHk zapreminskog, a zatim povdillSkog integrala, dobija se

fl. - dV = f I --dA e = r .:: - = vp A P

Yg ::::. v.f.v dt

Ad1V't;

A'tjn

I

r 't;;

J pA ciAe ,

Ac

•

gde je i1 vektor spoljasllje normale na povrsinu Ac' Integral po kontrolnoj povrsini Ae rastavlja se na tri integrala, pri cemu su illtegrali po povrsinama Al i A2 , za simetricllo razvijeno stmjanje, jednaki nuli i ostajesamo integral po omotacu-ziciu strujne cevi Ao ' tj. (2.1.21b) Za primenu ovog izraza potrebno je poznavati geometriju strujne cevi i tangencijalne napone na zidu cevi. U cilju dalje analize izraz (2.1.21a) ce se pomnozitisa elementom mase pdf;; a zatim integraliti po zapremini V, pri cemu sledi

tl~ pdV = ~ (t ~: dV)dl. 1

KoristeCi tom prilikom vezu izmedu povrsinskogi zapreminskog integrala, kao i Cinjenicu da je pri nepromenjenom protoku Yg = canst" dobija se gubitak energije po jedinici mase (2.1.22)

Teorijske oSl1ove ID strujanja

123

Na osnovu izraza (2.1.22) dolazi se do sustinskog objasnjenja 0 poreklu strujnih gubitaka. Nairne, u izrazu (2.1.22) '(ijclA predstavlja ukupnu silu "trenja" izazva-

t

nu viskoznim i turbulentnirn naponirna, pa ceo izraz predstavlja rad sda prottzrokol,amlz vis;?()zmin i turbuientllim llaponima na putn izrnedu dva strujna preseka sveden na jedinicu rnase. Strujni gubici se, dakIe, objasnjavaju prisustvorn napona u fluidu. Naponi llov! ax; su posledica viskoznosti fluida, tj. rnedudejstva fluida i cvrste granice zida, usled cega u fluidnoj struji postoji gradijent brzine prosecnog strujanja av I ax;, S druge strane, turbulentni naponi pv/8iJ ! ax; se generisu - srvaraju, upravo, zbog prisustva gradijenta brzine prosecnog strujanja. Zakljucuje se da su gubici direktna posledica gradijenta brzine, odnosno da kada god dode, iz bilo kog razloga, do prornene u profilu brzina stvaraju se uslovi za nastajanje strujnih gubitaka. Takode je jasno da, ukoliko su gradijenti brzina veCi, odnosno kada su vece neravnornernosti u profilirna brzina, tada su i intenzivniji gubici energije. Na nekorn rnestu gde je slozen geornetrijski oblik strujne cevi (na pro krivina), zbog gradijenta brzine, stvara se rnakrovrtlog koji oduzirna energiju od prosecnog strujanja. Tako stvoreni makrovrtlog putujuCi niz struju raspada se sve do najsitnijih vrtloga - rnikrovrtloga. i\ko nizstrujno vise nerna geornetrijskih prepreka na koje nailazi fluidna struja, strujanje na nivou milaovrtloga se kao takvo odrZava. Dakle, zakljucuje se da kod turbulentnog strujanja postoje i vrtlozi razliCitih veliCina, ad najveCih - rnakrovrtloga do najrnanjih - rnikrovrtloga, pa se zbog toga kaze da je turbulentno strujanje sa jasno utvrdenom hijerarhijskorn strukturom vrtIoga. Prerna tome, kod turbulentnog strujanja moze se govoriti 0 strujanju na llivou rnakrovrtloga i strujanju na nivou rnikrovrtloga. Strujanje na nivou makrovrtloga odvija se na onirn rnestirna u cevovodu gde postoje usiovi za njihovo stvaranje, a to su mesta sa slozenorn geornetrijom strujne cevi. Ova rnesta se u cevovodu nalaze na poznatirn lokacijama (krivine, ventili i s1.), pa se gubici energije na takvirn mestima llazivaju iokail1i gubici energije. Na nekirn lokalnim otporirna rnakrovrtlozi se i ne stvaraju a gubitak energije je izazvan promenom poprecnog preseka iii prornenorn pravca strujanja; Strujanje na nivou rnikrovrtloga se odriava u svirn nizstrujnirn presecima sa razvijenirn profilirna brzina, a to su preseci strujne cevi koji se nalaze u pravolinijskirn delovima cevovoda, zato se gubici na takvim delovima nazivaju gubicirna na pravolinijskirn deonicarna, ili krace gttbici uJ'ied tnm/a. Prema tome, postoje dye gl1lpe gubitaka, ito: gubici na lokalnirn otporirna - oznaka 11; i gubici usled trenja - oznaka· fA' IrnajuCi u vidu da poduzni profili brzina nisupoznati, to izrazi (2.1.21) i (2.1.22) za odredivanje strujnih gubitaka irnaju sallIo teorijski znacaj. Da bi se, ipak, rnogli odrediti strujni gubici koriste se eksperirnentalne ili poluempirijske rnetode. Torn prilikorn obe grupe gubitaka sracunavaju se kao velicine koje su proporcionalnc kinetickoj energiji odredenoj sa srednjom brzinorn strujanja, koristeCi izraze: Vajsbaha

IYi; i;; v; I :=

(2.1.23)

124

Teorijske osnove ID stnljanja

za odredivanje strujnog gubitka na lokalnom otporu, u kome je S - koeficijent lokalnog otpora, a.v - srednja brzina prvog nizstrujnog preseka; i Darsija

1 v2 I v2 y: = = A - - ' - = A - ' A. 4RH 2 DH 2

(2.1.24)

za odredivanje gubitka usled trerija, pri cemu su: A - koeficijent trenja, I - duzina cevi, RfI - hidraulicki radijus i DfI-hidraulicki precnik. Kako u cevovodu ima vise i lokalnih otpora i pravolinijskih deonica, to ce se ukupni strujni otpor, izmedu dva strujna preseka za koje se postavlja Bernulijeva jednaCina, odrediti kao N Yg

==

M

'L,.YI;;,i " 1=1

+

2

N

'L,.YA. " J=1 }

==

'D~j " Vi 1=1

2+

M

/.

'" j - J L..,A Dh J=1 j

v2 J "2'

(2.1.25)

gde je N - broj lokalnih otpora i Ai - broj pravolinijskih deonica. 2.1.5.1. Glllbici lllslcd trcnja

2.1.5.1.1. Darsijeva formula

U ovom Odeljku bite izlozen nacin odredivanja pada pritiska u pravolinijskim delovima cevovoda, odnosno gubitka usled trenja, pri potpuno razvijenom laminarnom iii turbulentnom strujanju. U tu svrhu .posmatrace se jedna pravolinijska deonica cevovoda konstantnog i proizvoljnog oblika poprecnog preseka (v.s1.2.1.5.1.1), povrsine preseka A i obima preseka 0, kroz koju fluid struji srednjom brzinom v. Posmatrace se samo jedan deo strujne cevi izmedu preseka F 1 i 2-2 koji 1 _ Lb.. ~ ~w ""- ""- ""'- 2 se nalaze na meduL3-

~_Pl_.

9--'

.~- .~-. -~-"".

",fi'F· ",,'!I_.""",.9.",,-.",.-._-

~

.C"'-."....-'"",-

-,...'-....,'

'''''~'t''---,\ ~~~: o~:r~~,:js~n:~

-_.-"'C.-C"'. - ..... -_. -""._",,' - ',...,-.,,;-

~ ~I~ ~

jne cevi izdvoji i posmatra njegova ravnoSlika 2.1.5.1.1 teza, tada u presecima 1-1 i 2-2 deluju sile pritiska r; == PIA i P2 = P2A, a na zidu cevi sila otpora trenja Fw == 't waf. 1z jednacine ravnoteze ovih sil~ PIA - P2 A -'twOl= 0, dobija se pad pritiska izmedu strujnih preseka 1-1 i2-2 Ol· Ap == PI - P2 == 'tw A . . (2.1.26) Za odredivanje tangencijalnog napona na zidu cevi koristi se pretposta'vka, koja se potvrdjuje dimenzijskom analizom, da je to velicina proporcionaIna kinetickoj energiji strujnog preseka odredeno' sa sredn'ombrz;l:nom strujanja . 1 i (2.1.27) 'tw = Cf '2 pv pri cemu je Cf faktor proporcionalnosti,

faktor trenja. Zamenom izraza

(2.1.27) u (2.1.26) dobija se pad pritiska I v2 I v2 Ap == p A . - - == pA.-_. 4RH 2 Dw 2 '

(2.1.28)

Tearijske asnove ID strujanja

125

hidraulicki radijus i DH =4RH = ~ hidraulicki (ekvivalentni) precnik cevi. Izraz (2.1.28) predstavlja uop.ftelZu Da;:sijeFlt .to/mulu koja SlllZi za odredivanje pada pritiska II pravolinijskim delovima cevovoda. U sillcaju da fluid ne struji kroz ceo presek cevi (iIi kanala), vee same kroz deo preseka povrSineA tada velicina 0 predstavlja obim okvasenog dela cevi (ili kanala). Aka se posmatra specijalni slucaj oblika poprecnog preseka, koji je inace najcesce u primeni, a to je kruzni oblik cevi unutrasnjeg precnika d (A == d 2 rr. / 4,0 == drr.) hidraulicki precnik ima vrednost DH == d = 4Rfj, te se tada opsta formula Darsija svodi na obHk IJ.p I v2 I v2 Y =:-==A-/j.p= PA-::::? (2.1.29) g P d 2 d 2 Primena ovog izraza svodi se, prakticno, na pravilno odredivanje koeficijenta trenja A. Zato ce se ovom koeficijentu, u narednim Odeljcima, posvetiti vise painje. u kame je t.= 4Cf koeficijent trenja, RH ==

~

2.1.5.1.2. lFizicb tuma.6enje koe[idjenta trenja.

KoristeCi izraz (2.1.27), pri tome imajuCi u vidu da se naponi na zidu sastoje ad viskozne i turbulentne komponente, dobija se relacija za koeficijent trenja 81:",

8

av -,-,

(2130) .. uy iz koje sledi da je koeficijent trenja bezdimenzijska veliCina koja zavisi od rnnogih veliiSinu, kao sto su: fizicke karakteristike Huida (viskoznost), srednje brzine po preseku, gradijenta brzine prosecnog strujunja, 1 !;l;>i turbulentnih napona na zidu i od geometrijskih '. d '" ! karakteristika strujnog prostora (precnik cevi, (01-::--1.- T ,··-'·-m- .. -13 hrapavosti zidova i s1. (v.sI. 2.1.5.1.2) a ciji uti~ A V r--';> caj nije oCigledan iz izraza (2.1.30). S obzirom 'V f da Sil tangencijalni naponi na zidu prisutni na svim zidovima koji ogranicavaju strujni prostor dl2 to za posledicu ima da je trenje prisutno na svim cvrstim granicarna strujnog prostora. Dahle, one je prisutno i kod: krivina, racvi, ventila, pravolinijskih deonica itd. Kod lokalnih otpora trenje na zidovima predstavlja sarno deo UkUpllOg gubitka energije, dok u pravolinijskim Slilca 2.151.2 delovima cevovoda ono je jedini gubitak strujne energije. Zato se strujanjeu pravolinijskim delovilIl~ cevovoda izdvaja u posebnu grupu problema. Pokazuje se, na pr. dimenzijskblllanaJizoID, cia je koeficijel1t trenja veliCina koja zavisi od Rejnoldsovog broja (Re) i relativne hrapavosti zida cevi (BId), odnosno: A=: ACRe, 81 d) (2.1.31) Re,jnoldsov broj Re = vd I v je bezdimenzijska velicina koja predstavlja odnos inercijalnih i viskoznih sila u fluidu i sluzi za odredivanje reZima strujanja, i leao takav on ima znacajan uticaj l1a koeficijent trenja. . A=4 Cf

= - 2 = - 2 (J-l-;--pvxVy)y=O

pv

pv

6* r

I

\ \

126

Teorijske osnove ID strujanja

U zavisnosti od medusobnog odnosa uticaja Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti, cevi se dele na: a) A:= ACRe) - hidraulicke glatke cevi, b) A:= A(Re,8 f d) - hidraulicki hrapave cevi, i c) A:= A(8 f d) - hidraulicki potpuno hrapave cevi. Treba napomenuti da jedna te ista cev moze da pripada svakoj od ovih grupa, a sto zavisi od rdima strujanja u njoj. U opstem slucaju strujanja fluida kroz cevi tangencijalni naponi na zidu nisu poznati, te se zato izraz (2.1.30) uvek ne moze direktno primeniti. U zavisnosti od nacina odredivanja tangencijalnih napona na zidu strujnog prostora, resenja za koeficijent trenja mogu biti: egzaktna, poluempirijska i eksperimentalna. U egzaktna reSenja za koeficijenat trenja svrstavajuse sve one formule koje su dobijene iz tacnih reSenja Navije-Stoksovih jednacina. Ovu grupu Cine resenja za koeficijent trenja laminarnih strujanja u cevima kruznog, eliptickog i nekih drugih oblika poprecnog preseka. U poluempirijske izraze za koeficijent trenja svrstavaju se svi oni izrazi koji su dobijeni koriseenjem poluempirijskih modela turbulencije. Konacno, trecu grupu reSenja Cine rezultati dobijeni primenom raznih eksperimentalnih metoda. 2.1.5.1.3. KoefidjclIllt trellja mmtraSnjih iaminarnih str1lJ!janja 0)

Lominorno strojonjc 0 cevimo Kro.fnog poprecnogpreSI!KO

Posmatraee se nestisljivo (p=const.) stacionarno (of ot = 0) laminarno strujanje u cevi kruznog poprecnog preseka, koje se ima izmedu preseka 1-1 i 2-2 sa s1.2. 1.5. 1.3a. Ako se ovi preseci nalaze dovoljno daleko od lokalnih otpora I strujanje ee biti razvijeno I~--------------~------~----~ jednodimenzijsko (v = v x' vr := v