ใบความรู้ ความเท่ากันทุกประการ

1

ใบความรู้

เรื่อง ความเท่ากันทุกประการ 1.1 ความเท่ากันทุกประการของร้ปเรขาคณิต

พิจารณารูปเรขาคณิ ต B, C และ D ซึ่งได้จากการเคลื่อนที่

รูปเรขาคณิ ต A บนระนาบในลักษณะต่าง ๆ ดังนี้

รูป B ได้จากการเลื่อนขนานรูป A ไปทางขวาตามแนวแกน X 7 หน่วย รูป C ได้จากการสะท้อนรูป A ซึ่งมีแกน X เป็ นเส้น สะท้อน

รูป D ได้จากการหมุนรูป A รอบจุด O ตามเข็ม

นาฬิกาด้วยมุมขนาด 180 องศา

การสะท้อน การเลื่อนขนานและการหมุนเป็ นตัวอย่าง

ของ การเคลื่อนที่ รูปเรขาคณิ ต

ซึ่งเป็ นการเปลี่ยนตำาแหน่งของรูปเรขาคณิ ตบนระนาบ โดยที่ระยะ ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ

ของรูปนั้ นไม่เปลี่ยนแปลงนั ่นหมายถึง รูปร่างและขนาดของรูป

2

เรขาคณิ ตที่เคลื่อนที่น้ ั นไม่เปลี่ยนแปลง

จากรูปข้างต้น จะเห็นว่าสามารถเคลื่อนที่รูปหนึ่ งไปทับ

อีกรูปหนึ่ งได้สนิ ท ในทางคณิ ตศาสตร์จะกล่าวว่า

รูปเรขาคณิ ต

สองรูปนั้ นเท่ากันทุกประการ ซึ่งเป็ นไปตามบทนิ ยามของความ เท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิ ตบนระนาบดังนี้

บทนิ ยาม รูปเรขาคณิ ตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่ งไปทับอีกรูปหนึ่ งได้สนิ ท

ต่อไปนี้

จากบทนิ ยามข้างต้น มีความหมายเช่นเดียวกับข้อความ

“ ถ้ารูปเรขาคณิ ตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วจะเคลื่อนที่รูป เรขาคณิ ตรูปหนึ่ งไปทับอีกรูปหนึ่ งได้สนิ ทและถ้าเคลื่อนที่รูป

เรขาคณิ ตรูปหนึ่ งไปทับอีกรูปหนึ่ งได้สนิ ท แล้วรูปเรขาคณิ ตสอง รูปนั้ นจะเท่ากันทุกประการ ” เมื่อรูปเรขาคณิ ต A และรูป เรขาคณิ ต B เท่ากันทุกประการ จะเขียนว่า รูป A

รูป B อ่าน

ว่า รูป A เท่ากันทุกประการกับรูป B หรือ รูป A และรูป B เท่า กันทุกประการ

การตรวจสอบว่ารูปเรขาคณิ ตสองรูปใดเท่ากันทุกประการหรือไม่ อาจทำาได้โดยใช้กระดาษลอก

ลายลอกรูปหนึ่ ง แล้วนำาไปทับอีกรูปหนึ่ ง ถ้าทับกันได้สนิ ทแสดง ว่ารูปเรขาคณิ ตสองรูปนั้ นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่าง จงหาว่าในแต่ละข้อต่อไปนี้ รูปเรขาคณิ ตคู่ใดเท่ากันทุก ประการ

1.

3

จากการตรวจสอบโดยใช้กระดาษลอกลายจะได้รูป ข

รูป จ

2.

จากการตรวจสอบโดยใช้กระดาษลอกลายจะได้รูป ก รูป จ 1.2 ความเท่ากันทุกประการของส่วนของเสูนตรง ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ ก็ต่อ

เมื่อ ส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้ นยาวเท่ากัน สมบัติข้างต้นเป็ น สมบัติของความเท่ากันทุกประการของส่วนของเส้นตรง ซึ่งมี ความหมายเช่นเดียวกับข้อความต่อไปนี้

ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ แล้วส่วน

ของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้ นยาวเท่ากัน นั ่นคือ ถ้า AB = CD

แล้ว

และถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นยาวเท่ากัน แล้ว

ส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้ นเท่ากันทุกประการ นั ่นคือ ถ้า AB = CD แล้ว

1.3 ความเท่ากันทุกประการของมุม

4

มุมสองมุมเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อ

มุมทั้งสองนั้ นมีขนาดเท่ากัน

สมบัติข้างต้นนี้ เป็ นสมบัติของความเท่ากันทุกประการของ

มุม ซึ่งมีความหมายเช่นเดียวกับข้อความต่อไปนี้

ถ้า มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ แล้วมุมสองมุมนั้ นมี

ขนาดเท่ากัน

นั้ นคือ ถ้า

แล้ว m( ) = m( ) และ ถ้ามุม

สองมุมมีขนาดเท่ากัน แล้วมุมทั้งสองนั้ นเท่ากันทุกประการ คือ ถ้า m( ) = m( ) แล้ว

นั ่น

เพื่อความสะดวกในการนำา

ไปใช้ จะใช้ = แทน m( ) = m( ) ความเท่ากันทุกประการ

ของรูปเรขาคณิ ตที่กล่าวมาข้างต้น เป็ นไปตามสมบัติของความเท่า กันทุกประการที่กล่าวว่าถ้ารูปเรขาคณิ ตสองรูปเท่ากันทุกประการ

แล้วรูปเรขาคณิ ตทั้งสองรูปนั้ นมีรูปร่างเหมือนกันและมีขนาดเท่า

กัน ในทางกลับกัน ถ้ารูปเรขาคณิ ตสองรูปมีรูปร่างเหมือนกันและ มีขนาดเท่ากันแล้วรูปเรขาคณิ ตทั้งสองรูปนั้ นเท่ากันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั สองรูปที่มีความยาวรอบรูปเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการหรือไม่ จงอธิบาย

วิธีทำา กำาหนด ? ABCD และ ? PQRS เป็ นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั ให้แต่ละรูปมีความยาว

รอบรูป 20 หน่วยเท่ากัน ดังรูป

5

จากสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั กล่าวว่า สี่เหลี่ยมจัตุรส ั มีด้าน ทุกด้านยางเท่ากัน และมุมทุกมุมเป็ นมุมฉาก

ดังนั้ น AB = CD = DA = 4 หน่วย และ PQ = QR = RS = SP = 4 หน่วย

จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั ทั้งสองรูป มีความยาวรอบรูป 20 หน่วยเท่ากัน มีรูปร่างเหมือนกัน

ดังนั้ นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั ทั้งสองจึงเท่ากันทุกประการ จะได้ ABCD PQRS

นั ่นคือ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั สองรูปที่มีความยาวรอบรูปเท่ากัน จะเท่า กันทุกประการ

ตัวอย่างที2 ่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเท่ากันสามคู่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้ จะเท่ากัน ทุกประการหรือไม่ จงอธิบาย วิธีทำา

กำาหนด D ABC และ D DEF เป็ นรูปสามเหลี่ยมที่มี

ขนาดของมุมเท่ากันสามคู่ ดังรูป

จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูป มีขนาดของมุมเท่ากันสามคู่

แต่มีรูปร่างต่างกัน ดังนั้ นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงไม่เท่ากัน

6

ทุกประการ

“นั ่นคือ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเท่ากันสามคู่

ไม่จำาเป็ นต้องเท่ากันทุกประการ”

2. ความเท่ากันทุกประการของร้ปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่

ที่สมนั ยกันและมุมคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้ นมี ขนาดเท่ากันเป็ นคู่ ๆ

ให้รูปสามเหลี่ยม กำาหนด ABC และ รูปสามเหลี่ยม

DEF เท่ากันทุกประการ เมื่อเคลื่อนที่ D ABC ให้ทับกับ D

DEF จะได้รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปทับกันได้สนิ ท ให้จุดที่ทับกัน เป็ นดังนี้

1.จุด A ทับจุด D

2. จุด B ทับจุด E

3. จุด C ทับจุด F

จากรูป มุมคู่ท่ีสมนั ยกันและด้านคู่ท่ีสมนั ยกันมีขนาดเท่ากันดังนี้ , AB = DE ,

, BC = EF ,

และ CA = FD

เขียนแสดงความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมได้ดังนี้ D ABC

D DEF

3. ความสัมพันธ์ของร้ปสามเหลี่ยมแบบต่าง ๆ

7

1)ร้ปสามเหลี่ยมสองร้ปที่มีความสัมพันธ์กันแบบ ดูาน

– มุม-ดูาน

นิ ยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่

และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ท่ียาวเท่ากัน เท่ากันแล้ว รูป สามเหลี่ยมสองรูปนั้ นจะเท่ากันทุกประการ

กำาหนดให้รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ มีด้านคู่

ที่สมนั ยกันยาวเท่ากัน 2 คู่ และมุมคู่ท่ีสมนั ยกันมีขนาดเท่ากัน 1 คู่ จงสำารวจว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูป ดังกล่าวเท่ากันทุกประการ หรือไม่ 1.

2.

3.

ผลจากการสำารวจจะพบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่

8

กำาหนดให้ในแต่ละข้อเท่ากันทุกประการ และกล่าวว่า รูป

สามเหลี่ยมสองรูปนั้ นมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน หรือ

เขียนย่อ ๆ ว่า ด.ม.ด. และผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่สมนั ยกันที่

เหลืออีก 1 คู่ จะยาวเท่ากัน และมุมคู่ท่ีสมนั ยกันที่เหลืออีก 2 คู่ จะมีขนาดเท่ากันเป็ นคู่ ๆ

ในการพิสูจน์ทางเรขาคณิ ต บางครั้งจะต้องใช้ความรู้ที่

เกี่ยวกับขนาดของมุมตรงข้ามที่กล่าวว่า“ ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัด

กัน แล้วมุมตรงข้ามที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากัน ” มาประกอบการ พิสูจน์ด้วย

ตัวอย่างที่ 1

ถ้า ? ABCD มี

AD และ

เป็ นเส้นทแยงมุม AB =

จงหาว่า D ABC

กำาหนดใหู ? ABCD มี

D ADC

เป็ นเส้นทแยงมุม มี AB = AD และ

ตูองการหาว่า D ABC

D ADC

วิธีทำา พิจารณา D ABC และ D ADC กำาหนดให้

AB = AD ,

เป็ นด้านร่วม )

ดังนั้ น D ABC ตอบ D ABC

และ AC = AC (ซึ่งมี

D ADC (ด.ม.ด.)

D ADC (ด.ม.ด.) #

ตัวอย่างที่ 2 ABCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั มีจุด M เป็ นจุด

9

กึ่งกลาง ของ

จงแสดงวิธีทำาให้ได้ว่า

DM = CM และ

กำาหนดใหู ABCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั มีจุด M เป็ นจุด กึ่งกลาง

หรือไม่ ? วิธีทำา

ตูองการทราบว่า

DM = CM และ

พิจารณา D ADM และ D BCM

กำาหนดให้ AM = BM ,

(มุมภายในแต่ละมุม

ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั มีขนาด 90 องศา) และ AD = AC ( ด้าน ทุกด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส ั มีความยาวเท่ากัน ) จะได้ D ADM

D BCM (ด.ม.ด.)

ดังนั้ น DM = CM (ด้านคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน ทุกประการจะยาวเท่ากัน) และ

(มุมคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุก

ประการจะมีขนาดเท่ากัน) ตอบ #

DM = CM และ

2) ร้ปสามเหลี่ยมสองร้ปที่สัมพันธ์กันแบบมุม – ดูาน-มุม นิ ยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่

และด้านซึ่งเป็ นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่า กันด้วยแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองนั้ นจะเท่ากันทุกประการ

10

กำาหนดให้รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ มี

ขนาดของมุมคู่ท่ีสมนั ยกันเท่ากัน 2 คู่ และด้านคู่ท่ีสมนั ยกันยาว เท่ากัน 1 คู่ จงสำารวจว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปดังกล่าวเท่ากันทุก ประการหรือไม่

1.

3.

11

ผลจากการสำารวจ จะพบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่

กำาหนดให้ในแต่ละข้อเท่ากันทุกประการและกล่าวว่ารูป

สามเหลี่ยมสองรูปนั้ นมีความสัมพันธ์แบบมุม-ด้าน-มุมหรือ

เขียนย่อ ๆ ว่า ม.ด.ม. และผลที่ได้ตามมาคือ ด้านที่สมนั ยกัน ที่เหลืออีก 2 คู่ จะยาวเท่ากันเป็ นคู่ ๆ และมุมคู่ท่ีสมนั ยกันที่ เหลืออีก 1 คู่ จะมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างที่ 1

จากรูปกำาหนดให้

AN จงหาว่า D MAX จงตอบคำาถาม

กำาหนดใหู

D MAX D CAN และ วิธีทำา

และ AX = AN

หรือไม่ ?

ตูองการแสดงว่า

พิจารณา D MAX และ D CAN

กำาหนดให้

0

D CAN และ

และ AX =

,

, AX = AN ,

= 90

เราได้ว่า

(ถ้าเส้น

ดังนั้ น D MAX D CAN (ม.ด.ม.) และ

( มุมคู่ท่ี

ตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน

สมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะมีขนาดเท่า กัน)

12

ตอบ

D MAX D CAN (ม.ด.ม.) และ

ตัวอย่างที่ 2

#

ABCD มี DB = CA,

และ

จงแสดงวิธีทำา ว่า AD = BC

กำาหนดใหู

? ABCD มี DB = CA,

ตูองการทราบว่า AD = BC วิธีทำา

และ

หรือไม่ ?

พิจารณา D ABD และ D BAC

กำาหนดให้

จะได้ D ABD

, DB = CA ,

D BAC (ม.ด.ม.)

ดังนั้ น AD = BC ( ด้านคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่า กันทุกประการจะยาวเท่ากัน) 3)

ตอบ

AD = BC

#

ร้ปสามเหลี่ยมสองร้ปที่สัมพันธ์กันแบบดูาน-ดูาน-ดูาน นิ ยาม

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ

ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้วรูป สามเหลี่ยมสองรูปนั้ นเท่ากันทุกประการ เช่น

13

ผลจากการสำารวจ จะพบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่

กำาหนดให้ในแต่ละข้อเท่ากันทุกประการและกล่าวว่ารูป

สามเหลี่ยมสองรูปนั้ นมีความสัมพันธ์แบบด้าน-ด้าน-ด้าน

(ด.ด.ด.) และผลที่ได้ตามมา คือ มุมที่สมนั ยกันที่เหลืออีก 3 คู่ จะมีขนาดเท่ากันเป็ นคู่ ๆ ตัวอย่างที่ 1

D ABC มี AB = AC และ

จุด D จงแสดงวิธีทำา D ABD

D ACD และ

กำาหนดใหู D ABC มี AB = AC และ ตูองการทราบว่า D ABD วิธีทำา

D ACD และ

พิจารณา D ABD และ D ACD

กำาหนดให้ AB = AC , BD = CD , มี

และ AD = AD ( มี

เป็ นด้านร่วม)

ดังนั้ น D ABD D ACD (ด.ด.ด.) และ

แบ่งครึง่

แบ่งครึง่

ที่

ที่จุด D

แบ่งครึง่

ที่จุด D

( มุมคู่ท่ี

สมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะมีขนาดเท่า กัน)

ตอบ ตัวอย่างที่ 2

# จากรูป กำาหนดให้ PS = QR และ PR = QS

14

จงหาขนาดของ

วิธีทำา

พิจารณา D PSR และ D QRS

กำาหนดให้ PS = QR , PR = QS และ SR = RS ( ซึ่ง ด้านร่วม )

จะได้ D PSR

เป็ น

D QRS (ด.ด.ด.)

ดังนั้ น

( มุมคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุก

นั ่นคือ

( มุมคู่ท่ีสมนั ยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุก

ประการจะมีขนาดเท่ากัน)และกำาหนดให้ ประการจะมีขนาดเท่ากัน) ตอบ

#

4. การนำาไปใชู

ร้ปสามเหลี่ยมหนูาจัว่

สามเหลี่ยมหน้าจัว่ เป็ นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้าน

ยาวเท่ากัน หน้าจัว่ ของบ้านแบบไทย หน้าจัว่ ของโบสถ์วิหารหรือ ศาลา ล้วนมีลักษณะเป็ นรูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ ทั้งนั้ น เป็ นต้นรูป สามเหลี่ยมหน้าจัว่ มีบทนิ ยามดังนี้

15

บทนิ ยาม รูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน สองด้านยาวเท่ากัน ร้ปสามเหลี่ยมหนูาจัว่