ม.3 วงกลม

☺ วงกลม ☺ มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมใน ส่วนโค้งของวงกลม ☺ คอร์ด ☺ เส้นสัมผัสวงกลม A

เส้นรอบวง

รัศมี

B

O

C เส้นผ่านศูนย์กลาง

จุดศูนย์กลาง

********************

จัดทําโดย นายปกครอง บุญปลื้ม

2

วงกลม วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่หา่ งจากจุดคงที่จุดหนึ่งบน ระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นี้วา่ จุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม ส่วนต่าง ๆ เกีย่ วกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดั้งนี้ A

เส้นรอบวง

รัศมี B

จุดศูนย์กลาง

O

C

เส้นผ่านศูนย์กลาง

จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวงของ วงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่า รัศมีของวงกลม จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กําหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลางของ วงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงทีม่ ีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย วงกลมวงหนึ่งมีรศั มีเป็นจํานวนมากมายนับไม่ถว้ น และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุก เส้น วงกลมสองวงที่มรี ัศมียาวเท่ากัน สามารถเลือ่ นให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ

3

นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีสว่ นอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่สําคัญ ได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง D

ส่วนโค้งใหญ่ O

คอร์ด

B

A

ส่วนโค้งน้อย

C

จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB) ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวทีส่ ุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่เท่ากัน ทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม C

ครึ่งวงกลม B

C

O

เส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งวงกลม

D

เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส A

B

เส้นตัดวงกลม O

เส้นสัมผัสวงกลม C

D

E

จุดสัมผัส

4

บอกได้ไหม 1. ให้นักเรียนตอบคําถามต่อไปนี้ 1) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้กี่เส้น ตอบ ................................................................................................................................. 2) รัศมีของวงกลมเป็นเส้นตัดวงกลมหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ ................................................................................................................................. 3) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้กี่เส้น ตอบ ................................................................................................................................. 4) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................................. 5) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้กี่เส้น ตอบ ................................................................................................................................. 6) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................................. 2. จากรูป จงบอกชื่อส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) เส้นผ่านศูนย์กลาง F

H

B

A O

E

C D

คือ .......................

2) รัศมี

คือ .......................

3) คอร์ด

คือ .......................

4) คอร์ดทีย่ าวที่สุด

คือ .......................

5) เส้นสัมผัสวงกลม

คือ .......................

6) เส้นตัดวงกลม

คือ .......................

7) ส่วนโค้งที่เป็นครึ่งวงกลม คือ .......................

5

มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม X

O A

B

จากรูป ∠AOB และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ ∠AOB รองรับด้วย AB และมุมกับ AOB รองรับด้วย AXB

มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมทีม่ ีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม C

B

O A

จากรูป ∠ACB เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AXB

มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสอง ของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง A B

O

X

จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O ∠BAC เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วย BXC

C

6

ยังบอกได้ไหม

D A O C B

1. 2. 3. 4. 5. 6.

จากรูป จงบอกชื่อมุมแต่ละมุม และส่วนโค้งแต่ละส่วนโค้งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… มุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จดุ ศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… ส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ ……………………………………………………

มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบท มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก C C

A

O

B

O

A

C

B

A

O

B

7

ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ∠ACB เป็น มุมในครึ่งวงกลมและ ∠AOD = 70° จงหาขนาดของ ∠BCO พร้อมทั้งแสดงเหตุผล

ตัวอย่างที่ 2 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม O และ ∠BAC = 50° จงหาขนาดของ ∠ABC C

C

A

70°°

D

วิธีทํา

O

A

B

วิธีทํา

65°°

O

B

8

ตัวอย่างที่ 3 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม O และ ∠ACO = 35° จงหาขนาดของ ∠OBC C

ตัวอย่างที่ 4 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม CD ⊥ AB และ ∠BAC = 37° จงหาขนาดของ ∠BCD A

35°°

A

O

37°°

B C

วิธีทํา

D B

วิธีทํา

9

แบบฝึก ก 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม ∠ACB เป็นมุมในครึ่งวงกลม ∠BAC = 18° และ OD // BC จงหาขนาดของ ∠ADO D

A

18°°

2. กําหนดให้ AC และ BD เป็นเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่า  ABCD เป็นรูปสี่เหลีย่ มมุมฉาก D

C

O

C

B

A

B

วิธีทํา วิธีทํา

O

10

3. กําหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ∠ACB = ∠ACD จงพิสูจน์ว่า AB = AD B

A

C

D

วิธีทํา

11

ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมทีจ่ ุดศูนย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมทีร่ องรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน C

C

A

C

B

O

O

A

B

A

O B

D

ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ ∠AOB = 90° จงหาขนาดของ ∠ACB

ตัวอย่างที่ 2 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ ∠OAB = 35° จงหาขนาดของ ∠ACB

C

A O

B

O C

A

วิธีทํา

วิธีทํา

35°°

B

12

ตัวอย่างที่ 3 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ ∠BAC = 50° จงหาขนาดของ ∠OBC และ ขนาดของ ∠OCB

ตัวอย่างที่ 4 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม และ ∠ACB = 100° D

A

O

B

50°°

A

O B

100°°

C

C

วิธีทํา

วิธีทํา

จงหาขนาดของมุมต่อไปนี้ 1. มุมกลับ AOB 2. ∠AOB 3. ∠ADB 4. ∠ACB + ∠BDA 5. ∠CAD + ∠DBC

13

แบบฝึก ข 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม ∠AOB = 115° จงหาขนาดของ ∠ACB พร้อมทั้งแสดงเหตุผล A

2. กําหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม จะกล่าวว่า ABCD แนบใน วงกลม O เมื่อจุด A , B , C และ D อยู่บนวงกลม O จงพิสจู น์ทฤษฎีบทที่ กล่าวว่า ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้าม ของรูปสี่เหลีย่ มที่แนบในวงกลมเท่ากับ 180 องศา C

O

A

B

D

B 115°°

C

O

วิธีทํา วิธีทํา

14

3. จากรูป ABCD แนบในวงกลมและ ∠BCE เป็นมุมภายนอกของ ABCD ที่ได้จากการต่อ DC ไปทาง C จงพิสูจน์ว่า ∠BCE = ∠BAD A B E C D

วิธีทํา

15

ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน B

B

B

D

O A

ตัวอย่างที่ 1 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม O และ∠BAC = 28° จงหาขนาดของ ∠ADC A

D A

O A

C

C

วิธีทํา

C

C D

O

B

O

ตัวอย่างที่ 2 จากรูป ∠ABD = 25° และ ∠BDC = 50° จงหาขนาดของ ∠BXC

28°°

D

D

C

50°°

A

วิธีทํา

X 25°°

B

16

ตัวอย่างที่ 3 จากรูป ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม หน้าจั่วที่ AB = AC ∠BAC = 64° และ BD แบ่งครึ่ง ∠ABC จงหาขนาดของ ∠ACD A

64°°

ตัวอย่างที่ 4 กําหนดให้ ABCD แนบในวงกลม ∠ABD = 55° ∠BAC = 50° และ ∠BDC = 22° จงหาขนาดของ ∠ACB D

22°°

D

C 55°°

50°°

C B

วิธีทํา

A

วิธีทํา

B

17

แบบฝึก ฃ 1. กําหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม ∠ABC และ ∠ADC เป็นมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วย AC จงพิสูจน์ว่า ∠ABC = ∠ADC การพิสูจน์ข้างต้น เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีที่ กล่าวว่า ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้ง ที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาด เท่ากัน

2. จากรูป AB // CD ∠ABC = 50° และ ∠CAD = 26° จงหาขนาดของ ∠BAC พร้อมทั้งแสดงเหตุผล B 50°°

D 26°°

D B

วิธีทํา

O A

วิธีทํา

C

C

18

3. จากรูป AD แบ่งครึ่ง ∠BAC ∠ACB = 68° และ ∠ADC = 40° จงหาขนาดของ ∠BCD A 68°°

C

40°°

4. กําหนดให้ ∠ABC และ ∠ADC เป็นมุม ในส่วนโค้งของวงกลมทีร่ องรับด้วย AC ให้ AD และ BC ตัดกันที่จุด X จงพิสูจน์ว่า 1) ∆ABX ∼ ∆CDX BX AX = 2) DX CX 3) BX ⋅ CX = DX ⋅ AX

D

D

B

B

วิธีทํา

X A

วิธีทํา

C

19

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน C D O

R

A

O

P

B

Q

A

B

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน C

C

D

O

R

B

A

F

D

O

E

B

A

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลาง ที่รองรับด้วยส่วนโค้งนัน้ จะมีขนาดเท่ากัน B

C O

R

O A

B

P

Q

D

A

20

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมทีร่ องรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน C

E

O

A

R

B

A

B

F

O C

D

แบบฝึก ค 1. กําหนดให้ ABCD แนบในวงกลม ∠BAD = 98° และ ∠ADC = 85° จงหาขนาดของ ∠ABC และ ขนาดของ∠BCD พร้อมทั้งแสดงเหตุผล

2. จากรูป กําหนดให้ ∠ACB = 25° จงหา ขนาดของ ∠ADB และขนาดของ ∠AEB พร้อมแสดงเหตุผล C

C

25°°

D

O D

85°°

E

98°°

A

วิธีทํา

B

B

วิธีทํา

A

21

3. จากรูปกําหนดให้ ∠BAC = ∠EAD จงหาว่า m(BC) เท่ากับความยาว ของส่วนโค้งใด เพราะเหตุใด A

4. จากรูป ABCD แนบในวงกลม O AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ∠ACB = 30° และ ∠ABD = 40° จงหาขนาดของ ∠ADC และขนาดของ ∠BCD D

E B

D

A

C

วิธีทํา

O 40°°

B

วิธีทํา

30°°

C

22

5. จากรูป กําหนดให้ AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O ∠ABD = 47° จงหาขนาดของ ∠ADC และขนาดของ ∠BCD A

6. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม AB // CD ∠AOB = 130° และ ∠COD = 90° จงหาขนาดของ ∠AOC และขนาดของ ∠BOD D

C

D

90°°

O

O

130°°

A

47°°

C

วิธีทํา

B

วิธีทํา

B

23

7. จากรูป m(AD) = m(BC) จงพิสูจน์ว่า AB // CD

8. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของ วงกลม m(BD) = m(BC) จงพิสูจน์ว่า ∆ADC เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจั่ว

D

D

A A

C B

วิธีทํา

B

O C

วิธีทํา

24

9. จากรูป AB และ CD เป็นเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม O จุด X เป็นจุด กึ่งกลางของ AD จงพิสูจน์ว่า ∆COX ≅ ∆BOX C

10.จากรูป รูปดาวห้าแฉก ABCDE แนบใน วงกลม O จงใช้สมบัติของวงกลมพิสูจน์ว่า ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180° A

B

E

B

O D

A X

วิธีทํา

O D

วิธีทํา

C

25

คอร์ด ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้ง สองจะตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน D

C

O

O

O

B A

D

A

C

B

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้ง น้อยยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน A

C

O A

O B

D

B

C

26

แบบฝึก ฅ 1. จากรูป m(AB) = m(AC) จงพิสูจน์ว่า ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจั่ว A

2. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม m(AB) = m(BC) และ ∠ABD = ∠CBE จงพิสูจน์ว่า BD = BE D

B

E

O

C

C

A B

วิธีทํา วิธีทํา

27

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติ ดังนี้ 1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึง่ คอร์ด 2. ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด

O A

O B

X

A

X

B

ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลมจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น F

D Y

O

E

C A

X

B

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลีย่ มใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบ ในวงกลมได้

28

แบบฝึก ฆ 1. กําหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จงสร้าง วงกลมผ่านจุด A , B และ C A

C B

2. คณะกรรมการขององค์การบริหารส่วนตําบลแห่งหนึ่ง ต้องการสร้างตลาดสดแห่งใหม่ให้อยู่หา่ ง จากโรงเรียน โรงพยาบาลและท่ารถประจําทาง ซึ่งอยู่บนถนนคนละสายเป็นระยะทางเท่า ๆ กัน จงหาตําแหน่งที่สร้างตลาดสดแห่งนี้ โรงเรียน

โรงพยาบาล ท่ารถประจําทาง

3. นักโบราณคดีคนหนึ่งพบชิ้นส่วนของจานกระเบื้องเก่าแก่ใบหนึ่งในบริเวณปราสาทร้าง มีลักษณะ ดังรูป เขาต้องการทราบความยาวของเส้นรอบจานใบนี้ เขาจะหาได้อย่างไร

29

4. กําหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม AD และ BE เป็นส่วนสูงของ ∆ABC และตัดกันที่จุด O จงพิสูจน์ว่า ODCE แนบในวงกลมได้

5. จากรูป ABCD มี AB = AD , DB = DC และ ∠DBC = 2(∠ABD) จงพิสูจน์ว่า ABCD แนบในวงกลมได้ B A

D

C

30

ทฤษฎีบท 1. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุด ศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน 2. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน D

D O

O

B

C

B

A

C

A

แบบฝึก ง 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AC = 18 เซนติเมตร BC = 6 เซนติเมตร และ OC = 13 เซนติเมตร จงหาว่า AB อยู่ห่างจากจุด O กี่เซนติเมตร B

A O

C

31

2. กําหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม OD ตั้งฉากกับคอร์ด AB ต่อ DO ไปตัดวงกลม ที่จุด C ลาก AC และ BC จงพิสูจน์ว่า AC และ BC อยู่หา่ งจากจุด O เท่ากัน C

O A

D

B

3. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ CD เป็นคอร์ดทีย่ าวเท่ากัน และตัดกันที่จุด P ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ จงพิสูจน์ว่า BP = DP

O D

B E F P C A

32

4. AB และ CD เป็นคอร์ดทีย่ าวเท่ากัน และไม่ขนานกัน ต่อ AB และ CD ไปตัดกันที่จุด P จงพิสูจน์ว่า DP = BP C D P B A

5. กําหนดให้จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ CD เป็นคอร์ดที่ AB > CD ให้นักเรียนใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพิสูจน์ว่า AB อยูใ่ กล้จุดศูนย์กลางมากกว่า CD C D O A

B

6. จงพิสูจน์ว่าในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน คอร์ดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง มากกว่าจะสั้นกว่าคอร์ดที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง

33

เส้นสัมผัสวงกลม ทฤษฎีบท เส้นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส C

A O F

E B

D

ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด ๆ หนึ่งบนวงกลม จะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงทีล่ ากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเท่ากัน และมีได้สองเส้น B

O P A

34

แบบฝึก จ 1. กําหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี 8 เซนติเมตร AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และยาว 15 เซนติเมตร จุด B อยู่ห่างจากจุด O กี่เซนติเมตร

2. จากรูป AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และ ∠BAC = 52° จงหาขนาดของ ∠AOC C

O

52°°

A

B

35

3. จากรูป BC สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และ ∠AOB = 100° จงหาขนาดของ ∠ABC

A

O 100°°

C B

4. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O BC สัมผัสวงกลมที่จุด B และ ∠BOD = 70° จงหาขนาดของ ∠ACB A

O

70°°

B

D C

36

5. จากรูป PA และ PB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และจุด B ตามลําดับ และมุมกลับ AOB = 220° จงหาขนาดของ ∠APB B

220°°

O

P A

6. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลม O ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ AB = AC ∠BAC = 38° และ ∠BOC = 118° จงหาขนาดของ ∠ABO และขนาดของ ∠ACO C F

118°°

O 38°°

B

E

A

37

7. กําหนดให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม XY และ PQ สัมผัสวงกลมที่จุด A และจุด B ตามลําดับ จงพิสูจน์ว่า XY ขนานกับ PQ

8. จากรูป AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด X XE เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และคอร์ด CD ขนานกับ AB จงพิสูจน์ว่า m(CE) = m(DE) E C

Y

D

O

A

X

B

38

9. จากรูป XY สัมผัสวงกลม O ที่จุด A AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม BY ตัดวงกลมที่จุด C จงพิสูจน์ว่า ∠BAC = ∠AYB B

O C X

A

Y

10. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และจุด C ตามลําดับ จงพิสูจน์ว่า ∠AOB = ∠AOC C O

B

A

39

11. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และจุด C ตามลําดับ AD ผ่านจุดศูนย์กลางของ วงกลม O จงพิสูจน์ว่า BD = CD C

D

A

O B

12. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และจุด C ตามลําดับ จงพิสูจน์ว่า AO ตั้งฉากและแบ่งครึ่ง BC ที่จุด D C

O

D

B

A