ตรรกศาสตร์ฉบับเผยแพร่

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

พัฒนาการของตรรกศาสตร์ และโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์

ต

รรกศาสตร์ (หรือตรรกวิทยา) (Logic) คือวิชาที่ศึกษาเพื่อ แยกการให้เหตุผลทีส่ มเหตุสมผลออกจากการให้เหตุผลที่ ไม่สมเหตุสมผล นักปราชญ์ซึ่งเรายอมรับว่าเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อริสโตเติ้ล (Aristotle, 384 – 322 ก่อนคริสตศักราช) โดยอริสโตเติ้ล เชื่อว่ามนุษย์เท่านั้นทีส่ ามารถคิดเกี่ยวกับเหตุและผลได้ ท่านได้เขียนตารา ชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลทีถ่ ูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้ กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Logic) ปัจจุบัน

อริสโตเติล้

ตรรกศาสตร์เชิงอนุมานได้รับการพัฒนาต่อมา โดยนัก คณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวอังกฤษสองท่าน คือ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell, ค.ศ.1872 – 1970) และอัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮด (Alfred North Whitehead, ค.ศ.1861 – 1947) ได้ร่วมกันเขียนหนังสือ ชื่อ Principia Mathematica ตรรกวิทยาตามแนวของนักคณิตศาสตร์และ นักปรัชญาทัง้ สองท่านนี้ ปัจจุบันเรียกว่าตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ (Symbolic Logic) หรือตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ Logic) หรือคณิตศาสตร์ตรรกนิยมรัสเซลล์ – ไวท์เฮด (Russell – Whitehead’s Logicism Mathematics) ซึ่งนักตรรกศาสตร์ในรุ่นต่อมาได้ พัฒนาออกไปอีกเพื่อให้เป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์ทางปรัชญาและ ทางคณิตศาสตร์ หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มสี ่วนในการพัฒนาวิชาตรรกศาสตร์เป็น อย่างมาก ได้แก่ จอร์จ บูล (George Boole, ค.ศ.1815 – 1864) นัก พีชคณิตและนักตรรกศาสตร์ชาวอังกฤษได้ค้นพบว่าสัญลักษณ์นิยมของ พีชคณิต ไม่เพียงจะสามารถสร้างประโยคที่เกี่ยวของกับจานวนได้ เท่านั้น หากแต่ยงั สามารถใช้ได้กับตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ด้วย ใน หนังสือของเขาชื่อ The Mathematical Analysis of Logic บูลได้พัฒนา อัลเฟรด ไวท์เฮด ความคิดเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูล (Boolean Algebra) มีความสาคัญมากไม่เพียงแต่ในสาขาตรรกศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีความสาคัญทาง เรขาคณิตของเซต ทฤษฎีของความน่าจะเป็น ตลอดจนสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

1

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ.2525 หน้า 162 ได้ให้ความหมายของคณิตศาสตร์ ไว้ ดังนี้ “คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยการคานวณ” จะเห็นได้ว่าทุกประเทศต่างตระหนักถึงคุณค่า และความสาคัญของคณิตศาสตร์ จึงกาหนดให้ทุกคนต้องเรียนคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์มลี ักษณะ เป็นภาษาสากล จากการที่คณิตศาสตร์มลี ักษณะเฉพาะที่สาคัญและมีคณ ุ ค่า ที่ว่า “มีความเป็น สากล” นี้ คณิตศาสตร์จงึ เป็นศาสตร์ทนี่ ักวิทยาศาสตร์และนักเทคโนโลยีในโลกต่างใช้เป็นเครื่องมือ ในการสื่อสารหรือสื่อความหมายซึ่งกันและกัน ทั้งนี้เพื่อเรียนรู้และถ่ายทอดความรู้ทางด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีให้แก่กันและกัน Gauss (ค.ศ.1777 – 1855) หนึ่งในสามนักคณิตศาสตร์ที่ ยิ่งใหญ่ทสี่ ุดตลอดกาลได้กล่าวยกย่องให้คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ (Mathematics is the Queen of the Science) ธรรมชาติและลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์ที่สาคัญประการหนึง่ คือ “คณิตศาสตร์มี ลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์” เพราะคณิตศาสตร์สามารถอธิบายได้และทุกคนยอมรับ นอกจากความเป็นภาษาสากลและความเป็นวิทยาศาสตร์ที่คณิตศาสตร์มีอยู่ในตัวแล้ว คณิตศาสตร์ยังมีลักษณะเป็นตรรกวิทยา เพราะคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยเหตุผล คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่ใช้ศึกษาระบบทีส่ ร้างขึ้นโดยอาศัยข้อตกลงและใช้เหตุผลตามลาดับ ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขาใดก็ตาม จะพบว่าในตอนเริม่ ต้นของการศึกษา จะต้องเรียนรูถ้ ึงคาใหม่ๆ ในสาขานั้นๆ คาใหม่เหล่านี้บางคาก็จาเป็นต้องให้ความหมายที่ชัดเจน โดยกาหนดคานิยาม (Define Term) ของคานั้นๆ แต่บางคาก็ไม่จาเป็นต้องให้นิยาม เพราะให้นา ยามไปก็ไม่มีประโยชน์ เช่น คาว่า จุด เส้น เซต เป็นต้น ซึ่งเราพูดถึงคาที่ไม่ให้นิยามเหล่านี้ว่า คา อนิยาม (Undefined Term) นอกจากคาว่านิยาม และคาอนิยามแล้ว เราจะพบสิ่งที่มีความสาคัญอีกประการหนึ่ง คือ ข้อความที่ยอมรับหรือมีข้อตกลงว่าเป็นความจริงโดยมไม่ต้องมีการพิสูจน์ ซึ่งข้อตกลงเหล่านี้ เรียกว่า สัจพจน์ (Postulate หรือ Axiom) ซึ่งสัจพจน์นี้มีความสาคัญกับคณิตศาสตร์มาก เพราะ นักคณิตศาสตร์ตั้งแต่อดีตเชื่อว่าก่อนที่เราจะพิสูจน์ข้อความใดข้อความหนึ่งว่าถูกต้องนั้น เราต้อง ยอมรับสิ่งใดสิ่งหนึง่ ว่าถูกต้องก่อน ไม่เช่นนัน้ เราก็ไม่สามารถพิสจู น์ข้อความนั้นได้ จากนิยาม อนิยาม และสัจพจน์ เราสามารถพิสูจน์ข้อความใหม่ๆ ได้อีกมากมาย ข้อความที่ พิสูจน์ได้เหล่านี้เรียกว่า ทฤษฎีบท (Theorem) และตรรกศาสตร์จะมีความสาคัญมากในช่วงนี้ กล่าวคือ ตรรกศาสตร์จะกลายเป็นเครื่องมือในการพิสจู น์ทฤษฎีบทนั่นเอง จะเห็นว่าตรรกศาสตร์นั้น มีความสาคัญมากเพียงใดในวิชาคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกระบบที่ประกอบด้วยบทนิยาม คาอนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎี บท ว่าเป็นโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ (Mathematical System Structure)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

2

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

โครงสร้างของคณิตศาสตร์ซงึ่ อยู่ในรูปทีส่ มบูรณ์แล้ว จะเริ่มต้นด้วยธรรมชาติ ซึ่งอาจจะเป็น เนื้อหาสาระทางฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ จิตวิทยา สังคมศาสตร์ ธุรกิจ ยุทธศาสตร์ ฯลฯ ซึง่ หากว่าเราพิจารณาเนื้อหาเหล่านี้แล้วสรุปให้อยู่ในรูปนามธรรม เพื่อสร้างแบบจาลองทาง คณิตศาสตร์ของเนื้อหานั้นๆ เราจะต้องอาศัยอนิยาม นิยาม ตลอดจนสัจพจน์ มาใช้สรุปตามหลัก ตรรกวิทยาเพื่อให้ได้เป็นกฎ หรือทฤษฎีบท จากนั้นมนุษย์จะได้นากฎหรือทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้ ให้เกิดประโยชน์แก่ธรรมชาติต่อไป

สรุปในรูปนามธรรม

แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Model)  อนิยาม (Undefined Term)  นิยาม (Defined Term)  สัจพจน์ (Axiom หรือ Postulate)

ธรรมชาติ ใช้ตรรกวิทยาสรุป

การนาไปประยุกต์ใช้

กฎ (Law) หรือ ทฤษฎีบท (Theorem)

ภาพประกอบที่ 1 โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์เริ่มเห็นความสาคัญของอนิยามเมื่อต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เพราะในการให้ คานิยามใดก็ตาม เราจาเป็นต้องอาศัยพื้นฐานของคาบางคามาตกลงให้เป็นอนิยามเสียก่อน จากนั้น จึงนาอนิยามไปใช้ในการนิยามคาอื่นๆ นอกจากนั้น เรายังมีข้อความที่เราจะตกลงกันว่าเป็นความ จริง (โดยไม่ต้องพิสูจน์) เรียกว่าสัจพจน์ จากนั้นเราจาใช้ตรรกวิทยา สรุปผลเป็นกฎ หรือทฤษฎีบท แล้วนาผลเหล่านั้นไปประยุกต์ในธรรมชาติต่อไป การที่เราทาเช่นนี้ก็เพื่อที่จะช่วยให้เข้าใจธรรมชาติ ได้ดีขึ้น ตลอดจนการค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ๆ ซึ่งอาจจะช่วยเราในการควบคุม วางแผน และ ดาเนินการพัฒนาบุคคล สังคม และสิง่ แวดล้อมให้ดีขนึ้ ในขณะที่เรานากฎหรือทฤษฎีไปประยุกต์ใช้ กับธรรมชาติ อาจจะได้ข้อมูลใหม่ๆ ซึง่ จะก่อให้เกิดการแก้ไขเปลี่ยนแปลงแบบจาลองขึ้น จนกระทัง่ ได้กฎ หรือทฤษฎีที่ดีกว่าเดิม แล้วจึงนาไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติอีกครัง้ หนึ่ง วนเวียนเช่นนี้ เรื่อยไป ซึ่งในส่วนนี้ช่วยชีใ้ ห้เห็นว่าคณิตศาสตร์ช่วยปรับปรุงคุณภาพชีวิตของมนุษย์ ตลอดจน นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

3

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

แก้ปัญหาเศรษฐกิจ และสังคมได้ชัดเจนยิง่ ขึ้น ในระดับที่สูงยิ่งขึน้ ไป นักคณิตศาสตร์อาจไม่ได้ คานึงถึงประโยชน์ที่จะนาไปใช้ในธรรมชาติ แต่คิดสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาเอง แล้ว ค้นหาทฤษฎีหรือกฎต่างๆ จากแบบจาลองนี้ เราเรียกเนือ้ หาเหล่านี้ว่า คณิตศาสตร์บริสทุ ธิ์ (Pure Mathematics) นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้คานึงถึงเรื่องที่จะนาไปใช้ประยุกต์เลย ถ้าบังเอิญ สามารถนาไปประยุกต์ใช้ได้ก็เป็นแค่ผลพลอยได้เท่านั้น เมื่อได้พิจารณาถึงธรรมชาติและลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์แล้ว ก็จะช่วยให้เรามองเห็น ความสาคัญของคณิตศาสตร์ได้

ความสาคัญของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็น “เครื่องมือ” ที่มนุษย์สามารถนาไปใช้ประโยชน์ในการแสวงหาความรู้อื่นๆ นอกเหนือจากความรู้ในตัวคณิตศาสตร์ทมี่ ีคุณค่ามหาศาล เพราะอย่างน้อย คณิตศาสตร์เป็น ศาสตร์ที่จะช่วยพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ ความสามารถที่มนุษย์พึงมี ได้แก่ ความสามารถใน การคิดคานวณ ซึ่งเป็นความสามารถที่ใช้ในชีวิตประจาวันของทุกชนชั้น ทุกระดับ ทุกชาติ ทุก ภาษา และทุกศาสนา เพียงแค่ประโยชน์อันเป็นพื้นฐานที่กล่าวมาก็มีคุณค่าอเนกอนันต์ นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือที่จะช่วยพัฒนาเยาวชนให้เป็นผู้ที่มีศักยภาพ เป็นพลเมืองที่มี คุณค่า ที่กล่าวเช่นนี้ก็เพราะโดยธรรมชาติของวิชาคณิตศาสตร์จะช่วยพัฒนา เสริมสร้างเยาวชนให้ เป็นผู้ที่รู้จักคิด วิเคราะห์ ช่างสังเกต มีความคิดเป็นลาดับขั้นตอน มีระเบียบวินัย มีเหตุมีผล สามารถคิดคานวณกะประมาณได้อย่างสมเหตุสมผล นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยงั เป็นศาสตร์ที่จะ ช่วยพัฒนาผู้เรียนให้มศี ักยภาพทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Power) กล่าวคือ เป็นผู้ที่มี ความสามารถในการวิเคราะห์ สังเคราะห์ มีความสามารถในการแก้ปญ ั หา มีความสามารถใน การอุปนัยและนิรนัยสถานการณ์หรือปัญหาต่างๆ มีความสามารถในการคาดเดา มีความสามารถใน การเชื่อมโยง และมีความสามารถในการให้เหตุผล ตลอดจนมีวิสัยทัศน์และมีความคิดริเริ่ม 1 สร้างสรรค์ รองศาสตราจารย์สุเทพ จันทร์สมศักดิ์ ได้กล่าวถึงประโยชน์ที่สะท้อนให้เห็นถึง ความสาคัญของคณิตศาสตร์ไว้ในหนังสือคณิตศาสตร์ศึกษา ในบทความเรื่องเรียนคณิตศาสตร์ไป ทาไม ซึง่ สรุปได้ดังนี้  คณิตศาสตร์ทาให้คานวณเป็น  คณิตศาสตร์จะช่วยฝึกวิธีการใช่ความคิดพิจารณาเรื่องต่างๆ โดยใช้เหตุผลด้วย ความเป็นธรรม ปราศจากอคติ ทั้งนี้เพราะการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ผู้เรียนจะได้ฝึกแก้ปัญหา และ การแก้ปัญหาทุกครัง้ ต้องยึดข้อมูลที่กาหนดให้เท่านัน้ เป็นหลัก ไม่อนุญาตให้นาความเห็นส่วนตัว หรือข้อคิดเห็นของตนเองหรือของคนอื่นมาอ้าง

1

สุเทพ จันทร์สมศักดิ์. (2519). คณิตศาสตร์ศึกษา. กรุงเทพฯ : หน่วยศึกษานิเทศก์ กรมสามัญศึกษา

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

4

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

 คณิตศาสตร์ช่วยฝึกให้นักเรียนรู้จักพูดและเขียนได้ตามที่ตนคิด ทั้งนี้เพราะเมื่อ นักเรียนได้ฝึกแก้ปัญหาในทางคณิตศาสตร์แล้ว จะเป็นด้วยวิธีใดก็ตาม ก็ดูจะเป็นการเพียงพอที่ ผู้เรียนคณิตศาสตร์จะต้องสามารถเรียงลาดับแนวคิดเป็นขั้นตอน แล้วนาเสนอหรือสื่อสารให้ครู อาจารย์ และผู้อื่นให้ได้เข้าใจว่าตนเองคิดหรือสรุปผลมาได้อย่างไร เป็นการพัฒนาทักษะการ นาเสนอ (Presentation Skill) ทักษะการแทนค่า (Representation Skill) และทักษะการสื่อสาร หรือการสื่อความหมาย (Communication Skill) ซึ่งล้วนแต่เป็นทักษะทีส่ าคัญและจาเป็นทาง คณิตศาสตร์ที่ควรตระหนักในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์  คณิตศาสตร์ฝึกให้ใช้ระบบเพื่อช่วยให้เข้าใจสังคมได้ดียงิ่ ขึ้น จะเห็นได้ว่าสังคม มนุษย์เราใช้ระบบและวิธีการของคณิตศาสตร์หลายประการ เช่น รัฐธรรมนูญ ซึ่งประกอบไปด้วย ข้อตกลงพื้นฐาน ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ได้แก่ อนิยาม นิยาม กฎ และสมบัตติ ่างๆ ทางคณิตศาสตร์ มานากาหนดเป็นกฎหมาย ซึง่ ในทางคณิตศาสตร์กค็ ือทฤษฎีบท ซึง่ สรุปมาจากข้อตกลงใน รัฐธรรมนูญ คดีความต่างๆ คือโจทย์ปญ ั หา (Problem) การตัดสินคดีคือการแก้โจทย์ปัญหา (Problem Solving) โดยใช้ตรรกวิทยามาสรุปตีความ ให้ได้ผลสรุปที่สอดคล้องกับทฤษฎี (กฎหมาย ต่างๆ) หรือข้อตกลงพืน้ ฐาน (รัฐธรรมนูญ) เมื่อเข้าใจได้เช่นนี้แล้วจะเห็นความสาคัญของรัฐธรรมนูญ ยิ่งขึ้น เพราะถ้าข้อตกลงพื้นฐาน (รัฐธรรมนูญ) ไม่เหมาะสมหรือไม่ยตุ ิธรรม กฎหมาย และการ ตัดสินคดีความต่างๆ ย่อมไม่เหมาะสมหรือไม่ยุตธิ รรมตามมาด้วย กล่าวโดยสรุปคณิตศาสตร์มีบทบาทสาคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทาให้มนุษย์ มีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ เป็นระเบียบ มีแบบแผน นอกจากนี้คณิตศาสตร์ ยังช่วยพัฒนาให้มนุษย์คิดวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ ทาให้สามารถคาดการณ์ วางแผนการ แก้ปัญหา และตัดสินใจได้อย่างเหมาะสม ยิ่งกว่านั้นคณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือที่มนุษย์นาไปใช้ใน การศึกษาและพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น เพราะหากไม่มคี ณิตศาสตร์แล้ววิทยาศาสตร์และ เทคโนโลยีก็จะพัฒนาไปไม่ได้ ดังจะเห็นได้จากคากล่าวของ Charles Darwin ที่กล่าวถึงคุณค่าของ คณิตศาสตร์ไว้ว่า “การค้นพบสิ่งใหม่ๆ ทุกครัง้ ต้องอยู่ในรูปของคณิตศาสตร์ เพราะว่าไม่มีสิ่ง อื่นใดที่จะสามารถนาทางเราได้”

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

5

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

ค่าความจริงของประพจน์ ประพจน์ (Proposition หรือ Statement) บทนิยาม 1

ประโยคบอกเล่าหรื อประโยคปฏิเสธ ซึ่ งเป็น จริง หรือเป็น เท็ จอย่างใดอย่างหนึ่ ง เท่านั้นเรียกว่า ประพจน์

จากบทนิยาม 1 จะพบว่า ถ้าหากข้อความที่กาหนดให้ไม่ได้เป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ เช่น เป็นประโยคคาสัง่ ขอร้อง อ้อนวอน ห้าม ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอุทาน จะไม่ เป็นประพจน์ ในทางตรรกศาสตร์เรียกการเป็นจริงหรือเท็จของแต่ละประพจน์ว่าค่าความจริง (truth value) ของประพจน์ เช่น 3 + 5 = 8 เป็นประพจน์ทมี่ ีค่าความจริงเป็นจริง หรือกล่าวสั้น ๆ ว่า 3 + 5 = 8 เป็นประพจน์ที่เป็นจริง

แบบฝึกหัดที่ 1 ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์จงบอกว่าประพจน์นนั้ เป็น จริงหรือเท็จ 1. ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ ( 2. จังหวัดเชียงใหม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย ( 3. ฝนตกหรือไม่ ( 4. อย่าเดินลัดสนาม ( 5. 9  3 ( 6. กรุณาปิดหน้าต่างด้วย ( 7. 18 + 9 = 26 ( 8. น่ากลัวจัง ( 9.  เป็นจานวนอตรรกยะ ( 10.  = 227 ( 11. เดือนสิงหาคม มี 30 วัน ( 3 12. (8 + 22) หารด้วย 10 ไม่ลงตัว ( 13. กรุณาช่วยกันรักษาความสะอาด ( 14. จงตอบคาถามต่อไปนี้ ( 15.  > 3 ( นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

16. 9 เป็นจานวนเฉพาะ 17. โทรได้ตามอาเภอใจ 18. อย่ามายุ่งกับฉันได้ไหม 19. ยุงเป็นนกชนิดหนึ่ง 20. 2 เป็นจานวนเต็ม 21. 2 หรือ -3 เป็นคาตอบของสมการ x2 – x = 6 22. ขอให้เดินทางโดยสวัสดิภาพ 23. ยินดีต้อนรับ 24. ตัวประกอบของ 12 มี 6 ตัว 25. ปีนี้ทานายว่าอาหารจะอุดมสมบูรณ์

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมชุดที่ 1 1. จงเขียนข้อความที่เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง 10 ประพจน์ 2. จงเขียนข้อความที่เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ 5 ประพจน์ 3. จงเขียนประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ 5 ประโยค

เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย พีทาโกรัส (Pythagoras, ประมาณ 585 – 500 ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มชี ื่อเสียงผู้หนึ่ง ซึ่งได้ศึกษาวิชาเรขาคณิตและ ทฤษฎีจานวน ผู้ก่อตัง้ สานักพีทาโกเรียน (Pythagorean School) ผู้ที่ (เชื่อ ว่า) เป็นบุคคลแรกที่พสิ ูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขามีวิธีสร้างความสนใจต่อ การเรียนของลูกศิษย์ด้วยการที่ลูกศิษย์จะต้องจ่ายเงินให้เขา 1 เพ็นนีสาหรับแต่ละทฤษฎีบททาง เรขาคณิตที่เขาเป็นเจ้าของ (คนคิดค้น หรือค้นพบ) แล้วสอนให้กับลูกศิษย์ และจะจ่ายเงินให้แก่ลูก ศิษย์ 1 เพ็นนีสาหรับทฤษฎีบทใหม่ๆ ที่ลูกศิษย์คิดค้นได้ ด้วยการกระตุ้นแบบนี้มผี ลทาให้เขาได้รับ เงินจากลูกศิษย์ทั้งหลายเพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันลูกศิษย์ของเขาก็สนใจทฤษฎีบทต่างๆ เพิ่มขึ้น ทาให้เขาถูกห้อมล้อมไปด้วยลูกศิษย์ผู้ที่ขอให้เขาสอนอย่างรวดเร็ว และให้เงินคืนแต่ลูกศิษย์ตอบ แทนสาหรับแตะละทฤษฎีบทใหม่ๆ ที่ลูกศิษย์คิดได้ ทาให้ลูกศิษย์ของเขาตั้งใจทีจ่ ะเรียนรู้ สาระสาคัญทัง้ หมด ถ้าลูกศิษย์คนใดเข้าใจทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่เขาสามารถเข้าใจได้ เขาก็จะ คืนเงินทัง้ หมดให้คืน

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

7

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

การเชื่อมประพจน์ ในการสื่อความหมายในชีวติ ประจาวัน บางครัง้ ก็สื่อความหมายกันด้วยประโยคสัน้ ๆ เพียง ประโยคเดียว แต่บางครั้งก็จาเป็นต้องใช้หลายๆ ประโยค โดยมีคามาเชื่อมประโยคดังกล่าวเข้า ด้วยกัน คาเชื่อม (ในภาษาไทย คาเชื่อมเรียกว่า ) หรือในทางตรรกศาสตร์เรียกว่า ตัวเชื่อม (Connective) ที่ใช้กันโดยทั่วไป ได้แก่ และ, หรือ, ถ้า…แล้ว…, …ก็ต่อเมื่อ… กาหนดให้ p, q, r, s, t, … แทนประพจน์ (ในบางกรณีอาจเรียกว่าประพจน์ย่อย) เมื่อนา ประพจน์ย่ยอมาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม จะเรียกประพจน์ใหม่ที่ได้ว่าประพจน์เชิงประกอบ หรือ รูปแบบของประพจน์ ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาประพจน์ที่เกิดจากการนาประพจน์ 2 ประพจน์ มาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม 4 ชนิด คือ และ, หรือ, ถ้า…แล้ว…, …ก็ต่อเมื่อ… ซึ่งมีสญ ั ลักษณ์ทใี่ ช้แทนตัวเชื่อม ดังนี้ ตัวเชื่อม สัญลักษณ์ ตัวอย่าง คาอ่าน และ p และ q pq  หรือ p หรือ q pq  ถ้า...แล้ว... ถ้า p แล้ว q pq  ...ก็ต่อเมื่อ... p ก็ต่อเมื่อ q pq  ตัวอย่างที่ 3.2 ให้

1) 2) 3) 4) 5)

p แทนประพจน์ช้างมีจมูกเรียกว่างวง q แทนประพจน์แมวมี 5 ขา จงเขียนสัญลักษณ์แทนประพจน์ต่อไปนี้ ช้างมีจมูกเรียกว่างวงและแมวมี 5 ขา แทนด้วย ช้างมีจมูกเรียกว่างวงหรือแมวมี 5 ขา แทนด้วย ถ้าช้างมีจมูกเรียกว่างวงแล้วแมวมี 5 ขา แทนด้วย ถ้าแมวมี 5 ขาแล้วช้างมีจมูกเรียกว่างวง แทนด้วย ช้างมีจมูกเรียกว่างวงก็ต่อเมื่อแมวมี 5 ขา แทนด้วย

ตัวอย่างที่ 3.3 ให้

1) 2) 3) 4) 5)

r แทนประพจน์ 0 เป็นจานวนเต็ม s แทนประพจน์ 1 + 1 = 2 จงเขียนข้อความแทนสัญลักษณ์ต่อไปนี้ rs แทนด้วย rs แทนด้วย r  s แทนด้วย s  r แทนด้วย s  r แทนด้วย

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

8

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

ค่าความจริงของการเชื่อมประพจน์ จากบทนิยาม 3.1 ค่าความจริงของประพจน์ต้องเป็นจริง หรือเป็นเท็จออย่างใดอย่างหนึ่ง เท่านั้น ซึ่งถ้าให้ p แทนประพจน์, T แทนค่าความจริงที่เป็นจริง และ F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ จะได้ว่า ค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว p จะมีค่าความจริงเพียงอย่างเดียวเท่านั้น จากค่าความ จริงทั้งสอง คือ จริงและเท็จ ดังนั้น p มีค่าความจริงได้ 2 กรณี แสดงดังแผนภาพ T F ถ้า p และ q เป็น 2 ประพจน์ ค่าความจริงของทั้งสองประพจน์จะสามารถเป็นได้ แสดงดังแผนภาพ p q p

ก ร ณี

ถ้า p, q และ r เป็น 3 ประพจน์ใด ๆ ค่าความจริงของทั้งสามประพจน์จะสามารถเป็นได้ กรณี แสดงดังแผนภาพ p q r

ค่าความจริงของ p และ q (p  q) ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริง ดังตารางต่อไปนี้ p q pq T T T T F F F T F F F F นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

9

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

ตัวอย่างที่ 3.4 กาหนดให้ประพจน์

วิธีทา

p แทน 1 เป็นจานวนเฉพาะ q แทน ทศนิยมตาแหน่งที่สองของ  คือ 4 จงหาค่าความจริงของ p  q และ q  p จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น q มีค่าความจริงเป็น จะได้ว่า p  q ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น q  p ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น

ค่าความจริงของ p หรือ q (p  q) ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริง ดังตารางต่อไปนี้ p q T T T F F T F F

pq T T T F

ตัวอย่างที่ 3.5 กาหนดให้ประพจน์

วิธีทา

p แทน 1 เป็นจานวนเฉพาะ q แทน ทศนิยมตาแหน่งที่สองของ  คือ 4 จงหาค่าความจริงของ p  q และ q  p จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น q มีค่าความจริงเป็น จะได้ว่า p  q ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น q  p ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

10

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

ค่าความจริงของ p และ q (p  q) ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริง ดังตารางต่อไปนี้ p q pq T T T T F F F T T F F T ตัวอย่างที่ 3.6 กาหนดให้ประพจน์

วิธีทา

p แทน 1 เป็นจานวนเฉพาะ q แทน ทศนิยมตาแหน่งที่สองของ  คือ 4 จงหาค่าความจริงของ p  q และ q  p จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น q มีค่าความจริงเป็น จะได้ว่า p  q ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น q  p ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น

ค่าความจริงของ p หรือ q (p  q) ประพจน์ p  q จะมีค่าความจริง ดังตารางต่อไปนี้ p q pq T T T T F F F T F F F T ตัวอย่างที่ 3.7 กาหนดให้ประพจน์

วิธีทา

p แทน 1 เป็นจานวนเฉพาะ q แทน ทศนิยมตาแหน่งที่สองของ  คือ 4 จงหาค่าความจริงของ p  q และ q  p จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น q มีค่าความจริงเป็น จะได้ว่า p  q ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

11

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Verson 5.1)

ฉบับเผยแพร่ http://kruaun.wordpress.com, http://facebook.com/kruaun/

q  p ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น ค่าความจริงของนิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ แทนด้วยสัญลักษณ์ ~p (อ่านว่านิเสธของ p) มีค่าความจริงดังนี้ p ~p T F F T ตัวอย่างที่ 3.8 กาหนดให้ประพจน์

วิธีทา

p แทน 1 เป็นจานวนเฉพาะ q แทน ทศนิยมตาแหน่งที่สองของ  คือ 4 จงหาค่าความจริงของ ~p และ ~q จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น q มีค่าความจริงเป็น จะได้ว่า ~p ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น ~q ซึ่งแทนประพจน์ มีค่าความจริงเป็น

แบบฝึกหัดที่ 3.2 กาหนดให้ประพจน์ p แทน   22 7 q แทน 2 หาร 3 เหลือเศษ 1 r แทน 3 เป็นจานวนคู่ s แทน 2 + 5 = 7 จงเขียนข้อความแทนประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาค่าความจริงของประพจน์ ดังกล่าว 1) p  q 9) (p  q)  r 2) q  r 10) p  (q  r) 3) s  p 11) (p  q)  s 4) p  r 12) (p  r)  s 5) p  q 13) p  (r  s) 6) q  r 14) r  (s  p) 7) s  p 15) (p  r)  (q  s) 8) p  r 16) (p  q)  (r  s) นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

12

กาหนดให้ประพจน์ p แทนตัวประกอบของ 2 มี 2 ตัว q แทน 9 เป็นจานวนเฉพาะ r แทน 3 หาร 6 ลงตัว s แทน  เป็นจานวนอตรรกยะ จงเขียนข้อความแทนประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาค่าความจริงของประพจน์ ดังกล่าว 1) p  q 14) r  (s  p) 2) q  r 15) (p  r)  (q  s) 3) s  p 16) (p  q)  (r  s) 17) ~p 4) p  r 18) ~q 5) p  q 19) ~r 6) q  r 20) ~s 7) s  p 21) ~p  ~q 8) p  r 22) p  ~q 9) (p  q)  r 23) r  ~s 10) p  (q  r) 24) p  ~q 11) (p  q)  s 25) ~p  ~s 12) (p  r)  s 13) p  (r  s)

เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย ฟีโบนักชี (Fibonacci, ค.ศ.1175 – 1250) หรือเลโอนาร์โด เดอ พีซา (Leonardo de Pisa) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนผูม้ ีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักกันดีใน ปัญหาเรื่องกระต่ายที่เขียนในหนังสือ Liber Abaci และเป็นทีร่ ู้จักกันในชื่อ "ลาดับฟีโบนักชี" ซึง่ คือลาดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... เขาใช้ชื่อว่า Leonardo Bigollo โดยคาว่า Bigollo มีความหมายได้สองอย่าง คือ นักท่องเที่ยว และคนโง่ ซึง่ ฟีโบนักชีอาจจะ หมายถึงการนาพาให้เขาเป็นนักเดินทางผู้ยิ่งใหญ่ ซึง่ เขาเป็นอยู่ หรือเขาอาจจะยินดีในการถูก เรียกว่าคนโง่ ซึ่งเพื่อนๆ รุน่ เดียวกับเขาหลายคนขนานนามให้เขา และพิสจู น์ให้เห็นในเวลาต่อ มาแล้วว่าเขาเพื่อนเขาคิดผิด ดูได้จากผลงานที่แสดงถึงความสาเร็จหลายๆ อย่างของเขา รวมถึง การได้รับการกล่าวถึงว่า (บางทีเขาอาจจะ) เป็น "นักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดทีส่ ุดในยุคกลาง" (หรือยุค มืด: Dark age) นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การหาค่าความจริงของประพจน์ จากเอกสารแนะแนวทางที่ 3.1 – 3.2 นักเรียนได้ศึกษาค่าความจริงของตัวเชื่อมประพจน์ แต่ละตัวมาแล้ว ในหัวข้อนี้ นักเรียนจะได้ศึกษาการหาค่าความจริงของประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้น แต่ ก่อนอื่น นักเรียนควรต้องจาลักษณะเด่นของตัวเชื่อมและตัวได้ ซึง่ สรุปดังตารางต่อไปนี้ p q ~p pq pq pq pq T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T ตัวอย่างที่ 4.1 กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1. p มีค่าความจริงเป็น 2. q มีค่าความจริงเป็น 3. ~(p  q) มีค่าความจริงเป็น 4. p  q มีค่าความจริงเป็น 5. p  q มีค่าความจริงเป็น 6. p  q มีค่าความจริงเป็น 7. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 8. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 9. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น ตัวอย่างที่ 4.2 กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1. p  q มีค่าความจริงเป็น 2. ~(p  q) มีค่าความจริงเป็น 3. p  q มีค่าความจริงเป็น 4. p  q มีค่าความจริงเป็น 5. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 6. ~(p  q) มีค่าความจริงเป็น 7. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 8. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 9. ~p  q มีค่าความจริงเป็น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่างที่ 4.3 กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1. p  q มีค่าความจริงเป็น 2. p  q มีค่าความจริงเป็น 3. p  q มีค่าความจริงเป็น 4. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 5. ~(p  q) มีค่าความจริงเป็น 6. ~p  ~q มีค่าความจริงเป็น 7. ~(p  q) มีค่าความจริงเป็น 8. p  ~q มีค่าความจริงเป็น 9. p  ~q มีค่าความจริงเป็น ตัวอย่างที่ 4.4 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1. (p  ~p)  p มีค่าความจริงเป็น 2. (p  ~p)  p มีค่าความจริงเป็น 3. p  (p  ~p) มีค่าความจริงเป็น 4. p  (p  ~p) มีค่าความจริงเป็น ตัวอย่างที่ 4.5 กาหนดให้ p  q มี ค่ า ค ว า ม จ ริ ง เ ป็ น เ ท็ จ และ ~r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1. p  r มีค่าความจริงเป็น 2. q  r มีค่าความจริงเป็น 3. p  q มีค่าความจริงเป็น 4. p  r มีค่าความจริงเป็น 5. q  r มีค่าความจริงเป็น 6. ~p  r มีค่าความจริงเป็น 7. ~q  r มีค่าความจริงเป็น 8. r  ~p มีค่าความจริงเป็น 9. ~r  ~q มีค่าความจริงเป็น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบฝึกหัดที่ 4.1 1. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริง ของประพจน์ต่อไปนี้ 1) p  q 3) q  r 5) q  r 2) p  q 4) p  ~r 6) ~q  ~r 2. กาหนดให้ p  r มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~q  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริง ของประพจน์ต่อไปนี้ 1) p  q 3) q  r 5) p  r 2) p  r 4) q  ~r 6) ~p  r 26. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~p  r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริง ของประพจน์ต่อไปนี้ 1) p  q 3) q  r 5) ~q  r 2) p  r 4) q  ~r 6) ~q  ~r 27. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ , q  r มีค่าความจริงเป็นจริง และ r  ~s มีค่า ความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1) p  q 4) q  r 7) ~p  ~r 2) q  r 5) q  s 8) ~q  ~r 3) p  s 6) r  s 9) ~r  s

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การหาค่าความจริงของประพจน์ ข้อควรจา TT FF TF 

T F F ค่าความจริงเหมือนกันได้ T ค่าความจริงต่างกันได้ F ตัวอย่างที่ 4.6 กาหนดให้ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จจงหาค่าความจริงของ [p  (p  q)  ~p

ตัวอย่างที่ 4.7 กาหนดให้ p เป็นจริง q เป็นเท็จ และ r เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ [(p  q)  r]  (p  ~r)

ตัวอย่างที่ 4.8 กาหนดให้ p, q และ r มีค่าความจริงเป็นจริง เป็นจริงและเป็นเท็จ ตามลาดับ จง หาค่าความจริงของ [(p  r)  q]  [(~q  r)  p]

ตัวอย่างที่ 4.9 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ทมี่ ีค่าความจริงเป็นเท็จ, เท็จ และจริง ตามลาดับ จงหาค่าความจริงของ [(p  q)  r]  [(p  q)  r]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่างที่ 4.10 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ทมี่ ีค่าความจริงเป็นจริง, เท็จ และเท็จ ตามลาดับ จงหาค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [p  (q  r)]

[p  (q  r)]  [p  q  r)]

ตัวอย่างที่ 4.11 กาหนดให้ p มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ [(p  q)  (p  r)]  (p  q)

ตัวอย่างที่ 4.12 กาหนดให้ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ [(p  q)  r]  [(p  q)  r]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบฝึกหัดที่ 4.2 1. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง, เท็จ, จริง, เท็จ และ เท็จ ตามลาดับ จงหาความความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1) (p  q)  r 5) ~[~(r  ~s)  p] 2) (p  q)  (t  s) 6) (~r  q)  (s  ~t) 3) (p  ~s)  (q  r) 7) (p  q)  (r  s) 4) ~[(p  ~q)  t] 8) (s  ~p)  (q  ~r) 2. ให้นักเรียนกาหนดสัญลักษณ์แทนประพจน์ย่อยแล้วหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ ต่อไปนี้ 1) ถ้า 3  5 = 8 แล้ว 7  8 = 15 วิธีทา ให้ p แทน 3  5 = 8 ซึ่งเป็นเท็จ q แทน 7  8 = 15 ซึ่งเป็นเท็จ ประพจน์คือ p  q ค่าความจริง F F T ดังนั้น ถ้า 3  5 = 8 แล้ว 7  8 = 15 มีค่าความจริงเป็นจริง 2) 3 เป็นจานวนอตรรกยะ และจานวนจริง แต่ไม่เป็นจานวนอตรรกยะ 3) ถ้า 1 สัปดาห์มี 8 วัน แล้ว 1 เดือนจะมี 32 วัน 4) 2 + 2 = 4 และ 2  3 = 5 ก็ต่อเมื่อ 4  5 = 9 5) 2 และ 3 ไม่เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนคู่ หรือ 3 เป็นจานวนคู่ 6) ถ้า 1 และ 2 เป็นจานวนเฉพาะแล้ว 3 เป็นจานวนเฉพาะ 7) เดือนมกราคมมี 30 วัน แต่เดือนกุมภาพันธ์มี 28 หรือ 29 วัน 8)  ไม่ใช่จานวนตรรกยะ แต่ 22 7 เป็นจานวนตรรกยะ 9) ถ้า 1 + 1 = 1 และ 2 + 2 = 2 แล้ว 3 + 3 = 3 10) ถ้า 32 = 9 ก็ต่อเมื่อ 9 = 3 แล้ว 92 = 3 ตัวอย่างข้อสอบ จงเลือกคาตอบที่ถูกต้องพร้อมทั้งแสดงวิธีคดิ 3. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ โดยที่ q และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณาข้อความ ต่อไปนี้ ก. [p  (q  r)]  ~q มีค่าความจริงเป็นจริง ข. (p  ~q)  (r  s) มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การหาค่าความจริงของประพจน์ ตัวอย่างที่ 4.13 กาหนดให้ a, b, p, q, r, s เป็นประพจน์ 1) ถ้า p มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p  [(r  q)  (s  a)]

2) ถ้า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ [(s  a)  (p  r)]  q

3) ถ้า r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ (r  s)  [(p  q)  (a  b)]

4) ถ้า s มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ [(a  b)  (r  q)]  (s  p)

ในบางครัง้ โจทย์ก็ไม่ได้บอกค่าความจริงของประพจน์มาโดยตรง เช่น 5) ถ้า q  b มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ b  [(a  q)  ~s] จาก q  b 6) ถ้า (~a  b)  (r  นฤพนธ์ สายเสมา

s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ประพจน์ a,

b, r และ s (~a  b)  (r  s)

ดังนั้น

a มีค่าความจริงเป็น b มีค่าความจริงเป็น r มีค่าความจริงเป็น s มีค่าความจริงเป็น ตัวอย่างที่ 4.14 กาหนดให้ (p  q)  (r  s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ p, q, r และ s (p  q)  (r  s)

ตัวอย่างที่ 4.15 กาหนดให้ [(p  q)  (p  r)]  (s  r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่า ความจริงของ p, q, r และ s [(p  q)  (p  r)]  (s  r)

ตัวอย่างที่ 4.16 กาหนดให้ [(p  q)  (q  r)]  ~s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความ จริงของ p, q, r และ s [(p  q)  (q  r)]  ~s

ตัวอย่าง 4.17

นฤพนธ์ สายเสมา

กาหนดให้ [(r  q)  (p  q)]  (p  ~p) มีค่าความจริงเป็นจริง จงหา ค่าความจริงของ p, q และ r [(r  q)  (p  q)]  (p  ~p)

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบฝึกหัดที่ 4.2 1 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ โดยที่ p มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ ประพจน์ต่อไปนี้ 1) p  [(p  q)  (p  r)] 4) [(~p  q)  (~p  r)]  (p  q) 2) ~p  [(p  q)  (p  r)] 5) [(q  ~q)  (r  ~r)]  (p  r) 3) [(~q  ~p)  p]  (~q  p) 2 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ โดยที่ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ ประพจน์ต่อไปนี้ 1) (p  q) [(p  q)  (p  r)] 2) [(~p  r)  (p  r)]  (p  ~q) 3) [(~p  r)  ~q]  (q  p) 4) [(p  q)  r]  [(p  r)  (r  q)] 5) [(r  ~r)  (p  ~p)]  [q  (p  r)] 3 กาหนดให้ประพจน์ (p  q)  (r  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ ต่อไปนี้ เมื่อ s แทนประพจน์ใดๆ 1) [(p  s)  q]  (r  s) 2) [(~q  ~p)  p]  [(r  s)  q] 3) [(s  p)  (s  r)]  (q  s) 4) [(p  q)  (r  q)]  (s  q) 5) [(~p  q)  (~r  q)]  (p  q  r  s) ตัวอย่างข้อสอบ จงเลือกคาตอบที่ถูกต้องพร้อมทั้งแสดงวิธีคดิ 4 ถ้าประพจน์ p  q มีค่าความจริงเป็นจริง และ ประพจน์ p  r มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความเป็นเท็จ 1) p  q 2) r  ~q 3) ~p  ~q 4) (r  p)  q 5 กาหนดให้ [a  ( b  c)]  d เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ค่าความจริงของ a, b, c และ d ตามลาดับคือข้อใด 1) จริง, จริง, จริง, เท็จ 2) จริง, เท็จ, จริง, จริง 3) เท็จ, จริง, เท็จ, จริง 4) เท็จ, เท็จ, เท็จ, จริง 6 กาหนดให้ (p  q)  r มีค่าความจริงเป็นเท็จ ต่อไปนีข้ ้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง 1) ~p  (q  r) 2) q  (r  p) 3)  r 4) (r  p)  (~q  r) นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

รูปแบบของประพจน์ท่สี มมูลกัน การสร้างตารางค่าความจริง จากเอกสารแนะแนวทางที่ 3.1 ค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว p จะมีค่าความจริงเพียง อย่างเดียวเท่านั้น จากค่าความจริงทั้งสอง คือ จริงและเท็จ ดังนั้น p มีค่าความจริงได้ 2 กรณี p T F ถ้า p และ q เป็น 2 ประพจน์ ค่าความจริงของทั้งสองประพจน์จะสามารถเป็นได้ 4 กรณี p q T T T F F T F F ถ้า p, q และ r เป็น 3 ประพจน์ใดๆ ค่าความจริงของทั้งสามประพจน์จะสามารถเป็นได้ 8 กรณี p q r T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F โดยทั่วไปถ้า p1, p2, p3, …, pn เป็นประพจน์จานวน n ประพจน์ ค่าความจริงของทั้ง n ประพจน์จะเป็นไปได้ทั้งหมด 2n กรณี ตัวอย่างที่ 5.1 จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ [p  (p  q)]  q p q p  q p  (p  q) [p  (p  q)]  q T T T F F T F F ตัวอย่างที่ 5.2 จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ (p  ~q)  (~p  q) p q ~q p  ~q ~p ~p  q (p  ~q)  (~p  q) T T T F F T F F นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่างที่ 5.3

จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ (p  ~r)  ~q p q r ~r p  ~r ~q (p  ~r)  ~q T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F ตัวอย่างที่ 5.4 จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ ~(p  q) และ ~p  ~q โดยใช้ ตารางเดียวกัน p q ~p ~q pq ~(p  q) ~p  ~q

แบบฝึกหัดที่ 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ (p  q)  p (p  q)  (q  p) ~(p  q)  (p  ~q) [(p  q)  p]  q [(p  q)  ~q]  ~p (~p  ~q)  (p  q) (p  q)  (p  q) (p  q)  (p  q) [(p  q)  r]  [p  (q  r)] [p  (q  r)]  [q  (p  r)]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูลกัน ให้นักเรียนพิจารณาตารางค่าความจริงของประพจน์ p  q และ ~p  q p q ~p pq ~p  q T T T F F T F F จากตารางจะพบว่า ค่าความจริ งของประพจน์ p  q และ ~p  q เป็น อย่างไร ( ) ในทางตรรกศาสตร์ เรี ย กประพจน์ ที่ มี ค่ า ความจริ ง เหมือนกันทุกกรณีประพจน์ที่สมมูลกัน ซึ่งในทางตรรกศาสตร์สามารถนามาแทนกันได้ เช่น ถ้าเรา มีประพจน์ p  q เราก็สามารถนาประพจน์ ~p  q มาแทนได้ บทนิยาม 4.1 ประพจน์สองประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณีจะเรียกว่า ประพจน์ที่สมมูลกัน จากตัวอย่างข้างต้น จะได้ว่า p  q สมมูล กับ ~p  q ซึ่ ง แทนด้วยสัญ ลักษณ์ p  q  ~p  q ตัวอย่าง 6.1 จงแสดงว่า p  q  ~q  ~p วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q และ ~q  ~p

ตัวอย่าง 6.2 จงตรวจสอบว่า ~(p  q) และ p  ~q สมมูลกันหรือไม่ วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ ~(p  q) และ p  ~q

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 6.3 จงแสดงว่า p  q  (p  q)  (q  p) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q และ (p  q)  (q  p)

ตัวอย่าง 6.4 จงตรวจสอบว่า ~(p  q) และ ~p  ~q สมมูลกันหรือไม่ วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ ~(p  q) และ ~p  ~q

ตัวอย่าง 6.5 จงแสดงว่า p  q ไม่สมมูลกับ q  p วิธีทา

ตัวอย่าง 6.6 จงแสดงว่า ~(p  q) ไม่สมมูลกับ ~p  q วิธีทา

ตัวอย่าง 6.7 จงตรวจสอบว่า (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r) หรือไม่ วิธีทา

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 6.8 จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของ p  q และ ~p  ~q วิธีทา ตารางแสดงค่าความจริงของ p  q และ ~p  ~q p q ~p ~q p  q ~p  ~q T T F F T F F T F T T F F F T T จากตารางพบว่า p  q และ ~p  ~q มีค่าความจริง เราเรียกประพจน์ในลักษณะนี้ว่าเป็น นิเสธกัน กล่าวคือ p  q เป็นนิเสธของ ~p  ~q ในทานองเดียวกันก็กล่าวว่า ~p  ~q เป็นนิเสธของ p  q แบบฝึกหัด 6.1 1. จงพิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ในข้อใด 1) (p  q)  r ก. (p  q)  (q  r) ข. (p  r)  (q  r) 2) (p  q)  (q  r) ก. ~(p  q)  r ข. ~(p  q)  r 3) ~[(p  q)  (~q  r)] ก. (p  q)  (q  ~r) ข. p  ~(q  r) 4) ~p  [q  (r  p)] ก. (p  ~q)  r ข. (~p  q)  r 5) p  ~(q  p) ก. ~p  (~p  q) ข. ~p  (p  q) 6) p  p ก. (p  q)  (q  ~p) ข. (~p  ~p)  (~q  p) 2. จงตรวจสอบแต่ละข้อต่อไปนี้ว่า รูปแบบ ก. กับรูปแบบ ข. เป็นนิเสธกันหรือไม่ 1) ก. p  q ข. ~p  ~q 2) ก. p  q ข. ~p  ~q 3) ก. p  q ข. p  ~q 4) ก. p  q ข. ~p  ~q 5) ก. p  q ข. (p  ~q)  (p  ~p)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การแสดงว่ารูปแบบของประพจน์สองประพจน์ไม่สมมูลกัน โดยการยกตัวอย่างค้าน การที่เราจะแสดงว่ารูปแบบของประพจน์สองประพจน์เป็นรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกัน เราจาเป็นต้องใช้ตารางค่าความจริง เพื่อที่จะแสดงให้เห็นว่า ประพจน์ทั้งสองรูปแบบมีค่าความจริง ตรงกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี แต่การที่จะแสดงว่ารูปแบบของประพจน์สองประพจน์ เป็นรูปแบบประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน อาจจะไม่จาเป็นต้องใช้ตารางค่าความจริง เพราะเราเพียงต้องการแสดงให้เห็นว่า มีอย่างน้อยหนึ่ง กรณีที่ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงต่างกัน ดังนั้น อาจจะใช้วิธีการหาค่าความจริงของประพจน์ที่ พอจะสรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์ทั้งสองเป็นรูปแบบของประพจน์ทไี่ ม่สมมูลกัน ดังตัวอย่าง ต่อไปนี้ ตัวอย่าง 6.9 จงแสดงว่า p  q ไม่สมมูลกับ ~p  ~q วิธีทา กรณีที่ p เป็น.......... และ q เป็น.......... จะได้ว่า p  q ~p  ~q

จะพบว่ากรณีนี้ ค่าความจริงของ p  q และ ~p  ~q ดังนั้น ตัวอย่าง 6.10 จงแสดงว่า p  q ไม่สมมูลกับ (p  q)  (q  p) วิธีทา กรณีที่ p เป็น และ q เป็น จะได้ว่า p  q (p  q)  (q  p)

จะพบว่ากรณีนี้ ค่าความจริงของ p  q และ (p  q)  (q  p) ดังนั้น ตัวอย่าง 6.11 จงแสดงว่า (p  q)  r ไม่สมมูลกับ p  (q  r) วิธีทา กรณีที่ p เป็น.......... และ q เป็น.......... จะได้ว่า (p  q)  r p  (q  r)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จะพบว่ากรณีนี้ ค่าความจริงของ (p  q)  r และ p  (q  r) ดังนั้น ตัวอย่าง 6.12 จงแสดงว่า (p  q)  r ไม่สมมูลกับ p  (q  r) วิธีทา กรณีที่ p เป็น และ q เป็น จะได้ว่า (p  q)  r p  (q  r)

จะพบว่ากรณีนี้ ค่าความจริงของ (p  q)  r และ p  (q  r) ดังนั้น แบบฝึกหัด 4.2 โดยไม่ต้องใช้ตารางค่าความจริง จงยกตัวอย่างค่าความจริงของประพจน์ย่อยในรูปแบบของ ประพจน์ต่อไปนี้ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ทั้งสองไม่สมมูลกัน 1) p  q ; p  q 5) ~(p  q) ; ~p  ~q 6) (p  q)  r ; p  (q  r) 2) p  q ; q  p 7) p  (q  r) ; (p  q)  r 3) p  q ; ~p  ~q 8) p  (q  r) ; (p  q)  r 4) ~(p  q) ; ~p  ~q 9) (p  q)  r ; (p  q)  (q  r) 10) (p  q)  r ; (p  r)  (q  r)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ท่สี มมูลกัน โดยใช้การอ้างอิงรูปแบบของประพจน์ท่สี มมูลกัน จากตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่ผ่านมา นักเรียนจะพบว่ามีรูปแบบของ ประพจน์ทสี่ มมูลกันหลายแบบ ซึ่งรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันนัน้ มี ประโยชน์ต่อการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์เป็นอย่างมาก โดยที่เป็นเครื่องมือใน การพิสูจน์ทฤษฎีบทต่างๆ หรือการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในเรื่อง เกี่ยวกับการให้เหตุผล ดังนั้น จึงควรทีน่ ักเรียนจะได้รจู้ ักรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกันบางรูปแบบ ที่สาคัญ เพื่อนาไปใช้ในการอ้างอิงต่อไป ดังนี้ ตัวอย่างของรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน รหัส รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน E1 ~(~p)  p E2 pq qp E3 pq qp E4 p  q q  p E5 p  q  r  p  (q  r)  (p  q)  r E6 p  q  r  p  (q  r)  (p  q)  r E7 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) (p  q)  r  (p  r)  (q  r) E8 p  (q  r)  (p  q)  (p  r) (p  q)  r  (p  r)  (q  r) E9 ~(p  q) ~p  ~q E10 ~(p  q) ~p  ~q E11 ~(p  q)p  ~q E12 p  q  ~p  q E13 p  q ~q  ~p E14 p  q ~p  ~q E15 p  q  (p  q)  (q  p) E16 pp  p E17 pp  p

นฤพนธ์ สายเสมา

ชื่อเรียก นิเสธสองครั้ง สลับที่สาหรับ  สลับที่สาหรับ  สลับที่สาหรับ  การเปลี่ยนหมู่สาหรับ  การเปลี่ยนหมู่สาหรับ  แจกแจง  บน  แจกแจง  บน  เดอ มอร์กอง เดอ มอร์กอง Modus Ponen (โมดัส โพเดน) แย้งสลับที่

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ก่อนที่นักเรียนจะได้เห็นตัวอย่างการแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สองรูปแบบ เป็นรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกัน โดยการใช้การอ้างอิงรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกันข้างต้น ในการอ้าง เราต้องทราบสมบัติของการสมมูลที่เรียกว่า ความสัมพันธ์สมมูล ดังนี้ กาหนดให้ P, Q และ R เป็นรูปแบบของประพจน์ จะได้ว่า (1) สมบัติการสะท้อน PP (2) สมบัติการสมมาตร ถ้า P  Q แล้ว Q  P (3) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า P  Q และ Q  R แล้ว P  R ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกัน โดยไม่ต้องสร้าง ตารางค่าความจริง ตัวอย่าง 6.13 จงแสดงว่า ~(~p  q) สมมูลกับ p  ~q วิธีทา จาก ~(~p  q)  ~(~p)  ~q ( ) จะได้ ~(~p)  ~q  p  ~q ( ) ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า ตัวอย่าง 6.14 จงแสดงว่า ~(p  ~q) สมมูลกับ ~p  q วิธีทา จาก ~(p  ~q)  จะได้  ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า

( (

ตัวอย่าง 6.15 จงแสดงว่า (p  q)  r สมมูลกับ ~p  (~q  r) วิธีทา จาก (p  q)  r  ~(p  q)  r

( ( (

) ) )

 

( ( (

) ) )

   

( ( ( ( (

) ) ) ) )

 

จะได้ ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า ตัวอย่าง 6.16 จงแสดงว่า (p  q)  r สมมูลกับ ~p  (~q  r) วิธีทา จาก (p  q)  r  จะได้ ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า ตัวอย่าง 6.18 จงแสดงว่า (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) วิธีทา จาก (p  q)  r 

นฤพนธ์ สายเสมา

) )

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

   

( ( ( (

) ) ) )



( ( (

) ) )

จะได้ ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า ตัวอย่าง 6.17 จงแสดงว่า (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) วิธีทา จาก (p  q)  r 

จะได้  ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า จากตัวอย่าง 6.16 และ 6.17 จะได้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่พบเห็นกันอยู่เสมอ จึง รวบรวมเป็นสมบัติของการสมมูลอีก 2 รูปแบบ ดังนี้ E18 (p  q)  r  (p  r)  (q  r) E19 (p  q)  r  (p  r)  (q  r) ตัวอย่าง 6.18 จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) วิธีทา จาก p  (q  r)  ( )  ( ) จะได้  ( ) ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า ตัวอย่าง 6.19 จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) วิธีทา จาก p  (q  r)  ( E12 )  ( E17 )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) จะได้  ( ) ดังนั้น จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ว่า จากตัวอย่าง 6.18 และ 4.19 จะได้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่พบเห็นกันอยู่เสมอ จึง รวบรวมเป็นสมบัติของการสมมูลอีก 2 รูปแบบ ดังนี้ E20 p  (q  r) (p  q)  (p  r) E21 p  (q  r) (p  q)  (p  r) นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จากตัวอย่างทั้ง หมดนี้ เป็นเพียงแบบฝึกหัดเท่ านั้น ยังมีตัวอย่างรู ปแบบของประพจน์ ที่ สมมูลกันอีกมากมาย ซึ่งนักเรียนควรได้ศึกษาเพิ่มเติมด้วยตนเอง เพื่อความเฉียบแหลมในเรื่องนี้ ซึ่งเป็นประโยชน์อย่างมากในการทาแบบทดสอบคัดเลือกเข้าศึกษาในระดับอุดมศึกษา และสาหรับ นักเรียนที่จะศึกษาคณิตศาสตร์ในระดับสูงต่อไป

แบบฝึกหัด 6.3 โดยไม่ต้องใช้ตารางค่าความจริง จงแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกัน 1) ~(p  ~q) ; q  ~p 2) ~(p  ~q) ; ~(q  p) 3) ~(~p  ~q) ; q  ~p 4) p  (q  r) ; (q  ~p)  r 5) p  (~q  ~r) ; (q  p)  (r  p) 6) (p  r)  (q  r) ; ~(p  q)  r

Reserve your right to think, for even to think wrongly is better than not to think at all. จงรักษาสิทธิ์ในการคิดของคุณไว้ เพราะแม้ว่ามันจะเป็นความคิดที่ผดิ แต่มันก็ยังดีกว่าการไม่คดิ อะไรเลย ไฮพาเทียแห่งอะเล็กซานเดรีย (ประมาณ ค.ศ.370 – 415) นักคณิตศาสตร์หญิงคนแรกและคนเดียวที่ปรากฏชื่อและผลงานทางคณิตศาสตร์ ในประวัติและพัฒนาการของคณิตศาสตร์ยุคโบราณ

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การอ้างเหตุผล สัจนิรันดร์ (Tautology) ให้นักเรียนพิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~p]  q จาก ตารางค่าความจริงต่อไปนี้

จากตารางค่าความจริงจะพบว่า เราเรียกรูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~p]  q ว่า บทนิยาม 5.1 รูปแบบของประพจน์ที่มีความความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่าสัจนิรันดร์ ตัวอย่าง 7.1 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา โดยจากการสร้างตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า

จะพบว่า รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ ดังนั้น [(p  q)  p]  q ตัวอย่าง 7.2 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  q]  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา โดยการสร้างตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า

จะพบว่า รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ ดังนั้น นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.3 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา โดยการสร้างตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า

จะพบว่า รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ ดังนั้น [(p  q)  p]  q ตัวอย่าง 7.4 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) เป็น สัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา โดยการสร้างตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า

จะพบว่า รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ ดังนั้น

แบบฝึกหัด 5.1 โดยการสร้างตารางค่าความจริง จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1) p  ~p 2) p  (p  q) 3) (p  q)  p 4) (p  q)  (p  q) 5) (p  q)  (p  q) 6) ~(p  q)  (p  ~q) 7) ~(p  q)  (~p  q) นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

8) (p  q)  (p  q) 9) (p  q)  (p  q) 10) [(p  q) r]  [p  (q  r)]

กนกพงศ์ สงสมพันธุ์ นักเขียนเจ้าของรางวัลวรรณกรรมสร้างสรรค์ยอดเยี่ยม แห่งอาเซียน (SEA Write Awards) จากหนังสือเรื่อง “แผ่นดินอื่น” กล่าวว่า “การอ่านหนังสือ เปรียบเสมือนการพูดคุยกั บนักเขียนที่แตกต่างกันมากมาย หนังสือ ๑ เล่ม จะให้แนวความคิด กับคุณ อย่างน้อ ยที่สุด ๑ อย่าง หนังสือ แต่ละเล่ม ก็จะให้ แนวคิดแตกต่างกันไป ถ้าคุณอ่านหนังสือ ๑๐๐ เล่ม คุณก็จะได้แนวคิดต่าง ๆ อย่าง น้อย ๑๐๐ แนวคิด และนาแนวคิดเหล่านั้นมาใช้เพื่อการพัฒนาตัวคุณเอง” แปลและเรียบเรียงจาก…บทสัมภาษณ์ใน Student Weekly

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบของประพจน์ (โดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริง)  รูปแบบของประพจน์ที่อยู่ในรูป A  B สิ่งที่ควรจาได้ ลักษณะเด่นของรูปแบบประพจน์ A  B คือ

ดังนั้น การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ A  B ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เราสามารถทาได้ โดย การจับผิด โดยการสมมติให้รูปแบบประพจน์ A  B มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นเราจะได้ว่า รูปแบบประพจน์ A มีค่าความจริงเป็น และรูปแบบประพจน์ B มีค่าความจริงเป็น และให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 7.5 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  q]  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  q]  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า [(p  q)  q]  p

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น ตัวอย่าง 7.6 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  p เป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  p]  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า [(p  q)  p]  p

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.7 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~q)  ~p เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  ~q)  ~p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า [(p  q)  ~ q)  ~ p

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น ตัวอย่าง 7.8 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~p]  q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  ~p]  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า [(p  q)  ~ p]  q

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น ตัวอย่าง 7.9 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(~p)  (~q)]  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(~p)  (~q)]  (p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะ ได้ว่า [(~ p)  (~ q)]  (p  q)

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.10 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) เป็น สัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) มีค่าความจริงเป็น เท็จ จะได้ว่า [(p  q)  (q  r)]  (p  r)

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น

 รูปแบบของประพจน์ที่อยู่ในรูป A  B สิ่งที่ควรจาได้ ลักษณะเด่นของรูปแบบประพจน์ A  B คือ ดังนั้น การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ A  B ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เราสามารถทาได้ โดย การจับผิด โดยการสมมติให้รูปแบบประพจน์ A  B มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นเราจะได้ว่า รูปแบบประพจน์ A มีค่าความจริงเป็น และรูปแบบประพจน์ B มีค่าความจริงเป็น และให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 7.11 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (p q)  (q  p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ (p  q)  (q  p) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า (p  q)  (q  p)

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น ตัวอย่าง 7.12 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (~p  q)  (p  ~q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ (~p  q)  (p  ~q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า (~ p  q)  (p  ~ q)

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.13 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [p  (q  r)]  [q  (p  r)] เป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [p  (q  r)]  [q  (p  r)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า [p  (q  r)]  [q  (p  r)]

จากแผนภาพจะได้ว่า ดังนั้น แบบฝึกหัด 5.2 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1) (p  q)  (p  q) 2) (p  q)  (p  q) 3) (p  q)  (p  q) 4) (p  q)  (p  q) 5) [p  (p  q)]  q 6) [q  (p  q)]  p 7) [(p  q)  ~q]  ~p 8) [(p  q)  ~p]  ~q 9) (~p  ~q)  (p  q) 10) (p  q)  (p  ~q) 11) p  ~p 12) (p  q)  (q  p) 13) (p  q)  (q  p) 14) (p  q)  (q  p) 15) (p  q)  (p  q) 16) (~p  q)  (p  ~q) 17) (~p  q)  (p  ~q) 18) (~p  ~q)  (p  q) 19) (q  ~p)  (p  q) 20) (~p  ~q)  (p  q)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

 รูปแบบของประพจน์ที่อยู่ในรูป A  B นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่า ถ้า A และ B เป็นประพจน์ แล้ว A สมมูลกับ B ก็ต่อเมื่อ ดังนั้น A สมมูลกับ B ก็ต่อเมื่อ A  B นั่นคือ A สมมูลกับ B ก็ต่อเมื่อ รูปแบบของประพจน์ A  B เป็น ดังนั้น การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ A  B ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ให้นักเรียน ตรวจสอบโดยอาศัยลักษณะเด่นของรูปแบบประพจน์ A  B ซึ่งได้แก่ สิ่งที่ควรจาได้ ลักษณะเด่นของรูปแบบประพจน์ A  B คือ ดังนั้น การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ A  B เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เราสามารถทาได้โดย การจับผิด โดยการสมมติให้รูปแบบประพจน์ A  B มีค่าความจริงเป็นเท็จ โดยมีวิธีการ ตรวจสอบ คือ ขั้นที่ 1 สมมติให้ A เป็นจริง และ B เป็นเท็จ ถ้า (1) ไม่เกิดข้อขัดแย้ง สรุปว่ารูปแบบประพจน์ที่กาหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์ (2) เกิดการขัดแย้ง ทาต่อขั้นที่ 2 ขั้นที่ 2 สมมติให้ A เป็นเท็จ และ B เป็นจริง ถ้า (1) ไม่เกิดข้อขัดแย้ง สรุปว่ารูปแบบประพจน์ที่กาหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์ (2) เกิดการขัดแย้ง สรุปว่ารูปแบบประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรนั ดร์ ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 7.14 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ~(p  q)  (p  ~q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ ~(p  q)  (p  ~q) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ จะได้ ว่า  ~(p  q)  (p  ~ q)  ~(p  q)  (p  ~ q)

จากแผนภาพจะได้ว่าเมื่อให้รูปแบบของประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วพบว่า ดังนั้น นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.15 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ~(p  q)  ~(~p  q) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ ~(p  q)  ~(~p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ว่า  ~(p  q)  ~ (~ p  q)  ~(p  q)  ~ (~ p  q)

จากแผนภาพจะได้ว่าเมื่อให้รูปแบบของประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วพบว่า ดังนั้น ตัวอย่าง 7.16 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (p  r)]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  (p  r)]  [p  (q  r)] มีค่าความ จริงเป็นเท็จ จะได้ว่า  [(p  q)  (p  r)]  [p  (q  r)]

 [(p  q)  (p  r)]  [p  (q  r)]

จากแผนภาพจะได้ว่าเมื่อให้รูปแบบของประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วพบว่า ดังนั้น นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 7.17 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้รูปแบบประพจน์ [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] มีค่าความจริง เป็นเท็จ จะได้ว่า  [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]

 [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]

จากแผนภาพจะได้ว่าเมื่อให้รูปแบบของประพจน์มีค่าความจริงเป็ นเท็จแล้วพบว่า ดังนั้น

แบบฝึกหัด 5.3 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1) (p  q)  ~(p  ~q) 2) ~(~p  q)  ~(p  q) 3) ~(p  q)  (p  q) 4) ~(~p  ~q)  (p  q) 5) (~p  q)  (p  q) 6) (~p  q)  (p  q) 7) ~(p  q)  (p  ~q)  (q  ~p) 8) ~(p  q)  (p  ~q)  (q  ~p) 9) [p  (q  ~q)]  [p  (q  ~q) 10) [(p  ~p)  q]  [(p  ~p)  q]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผลการประกอบด้วยส่วนทีส่ าคัญ 2 ส่วน คือ 1. ส่วนที่เป็นเหตุ หรือสิง่ ที่กาหนดให้ ซึง่ ได้แก่ P1, P2, P3, …, Pn 2. ส่วนที่เป็นผล ได้แก่ Q การอ้างเหตุผลนี้ ข้อความจะอยู่ในรูป (P1  P2  P3  …  Pn)  Q ถ้าส่วนที่เป็นเหตุหรือสิง่ ที่กาหนดให้ ส่งผลให้เกิดผลเป็น Q จริง จะเรียกการอ่างเหตุผล แบบนี้ว่าสมเหตุสมผล (Valid) แต่ถ้าส่วนที่เป็นเหตุหรือสิ่งที่กาหนดให้สง่ ผลให้เกิดผลเป็น Q ไม่ จริงจะเรียกการอ้างเหตุผลแบบนี้ว่า ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) ส่วนการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลทาให้โดย การตรวจสอบรูปแบบ ประพจน์ (P1  P2  P3  …  Pn)  Q ว่าเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์แสดงว่า การอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล บทนิยาม 6.1 การอ้างเหตุผลที่ประกอบด้วย เหตุ P1, P2, P3, …, Pn และ ผล Q จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อ [P1  P2  P3  …  Pn]  Q เป็นสัจนิรนั ดร์ ตัวอย่าง 8.1 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. p ผล q วิธีทา นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ตัวอย่าง 8.2 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. ~q ผล ~p

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

วิธีทา

นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ตัวอย่าง 8.3 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. ~p ผล ~q วิธีทา นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ตัวอย่าง 8.4 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. q  r ผล pr วิธีทา นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบฝึกหัด 8.1 1.

2.

3.

4.

5.

เหตุ 1. 2. ผล q เหตุ 1. 2. ผล q เหตุ 1. 2. ผล q เหตุ 1. 2. 3. ผล p เหตุ 1. 2. 3. ผล s

นฤพนธ์ สายเสมา

p  (p  ~ q) pq p  (p  ~q) pq p  (q  ~s) ps ~p  q q  ~r r ~(p  q) rq rs

เหตุ 1. p 2. (p  q)  (p  q) ผล q 7. เหตุ 1. (p  q)  (r  s) 2. r  ~s ผล ~p  ~q 8. เหตุ 1. (p  q)  (p  r) 2. p  ~r ผล ~p 9. เหตุ 1. p  q 2. (q  r)  r 3. ~q ผล ~r 10. เหตุ 1. q  r 2. ~q  (p  r) . 3. ~r ผล ~p  r 6.

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวอย่าง 8.5 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ ฉันชอบเรียนคณิตศาสตร์ ผล ฉันชอบเรียนคณิตศาสตร์ หรือชอบเรียนวิทยาศาสตร์ วิธีทา ให้ นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ตัวอย่าง 8.6 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 2 เป็นจานวนคู่ และ 2 เป็นจานวนเฉพาะ ผล 2 เป็นจานวนคู่ วิธีทา ให้ นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ตัวอย่าง 8.7 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าฉันไม่ไปดูหนังแล้วฉันจะอยู่บ้าน 2. ฉันไม่อยู่บ้าน หรือจะไปโรงเรียน 3. ฉันไม่ไปโรงเรียน ผล ฉันไปดูหนัง นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

47

วิธีทา

ให้

นาเหตุและผลมาเขียนเป็นรูปแบบของประพจน์ และตรวจสอบว่ารูปแบบของ ประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ ซึง่ จะได้

จะพบว่า ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้

แบบฝึกหัด 8.2 11.

12.

13.

14.

จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลในแต่ละข้อต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. 7 เป็นจานวนเฉพาะ หรือ 6 เป็นจานวนเฉพาะ 2. 6 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ 3. ถ้า 7 เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว 2 หาร 7 ลงตัว ผล 2 หาร 7 ลงตัว เหตุ 1. ถ้า a เป็นจานวนนับ แล้ว a เป็นจานวนเต็ม 2. ถ้า a เป็นจานวนเต็ม แล้ว a เป็นจานวนตรรกยะ 3. ถ้า a เป็นจานวนตรรกยะ แล้ว a เป็นจานวนจริง 4. a เป็นจานวนนับ หรือ a เป็นจานวนเฉพาะ 5. a ไม่เป็นจานวนจริง ผล a เป็นจานวนเฉพาะ เหตุ 1. ถ้า b เป็นจานวนคู่ แล้ว 2 หาร b ลงตัว 2. ถ้า b เป็นจานวนคู่ และ 2 หาร b ลงตัว แล้ว b เป็นจานวนเต็ม 3. ไม่เป็นความจริงที่ว่า b เป็นจานวนคู่ และ b เป็นจานวนเต็ม 4. b เป็นจานวนคู่ ผล b ไม่เป็นจานวนคู่ เหตุ 1. ถ้า a2 เป็นจานวนคู่แล้ว a เป็นจานวนคู่ 2. ถ้า a เป็นจานวนคู่แล้ว 2 หาร a ไม่ลงตัว

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

48

15.

16.

17.

18.

3. ผล เหตุ 2. ผล เหตุ 2. 3. ผล เหตุ 2. 3. 4. ผล เหตุ 2. 3. 4. ผล

นฤพนธ์ สายเสมา

ไม่เป็นความจริงที่ว่า a เป็นจานวนคู่ หรือ 2 หาร a ไม่ลงตัว a2 เป็นจานวนคู่ หรือ 2 หาร a ไม่ลงตัว 1. ถ้าฉันรักวิชาคณิตศาสตร์แล้วฉันเรียนคณิตศาสตร์ได้ดี ถ้าฉันเรียนคณิตศาสตร์ได้ไม่ดีแล้ว ฉันไม่รักวิชาคณิตศาสตร์ ฉันรักวิชาคณิตศาสตร์ หรือฉันเรียนคณิตศาสตร์ได้ดี 1. ถ้าฝนตกแล้วอากาศจะเย็น ถ้าอากาศเย็นแล้วฉันจะไม่สบาย ฉันสบายดี ฝนไม่ตก 1. ถ้าราคาข้าวเปลือกสูงขึ้นแล้วเศรษฐกิจของประเทศดี ถ้าราคาข้าวเปลือกไม่สูงขึ้นแล้วชาวนาจะเดือดร้อน ข้าสารราคาแพง ชาวนาไม่เดือดร้อนหรือข้าวสารราคาไม่แพง เศรษฐกิจของประเทศดี 1. ถ้าฉันจบชั้น ม.6 แล้วฉันจะสอบเข้ามหาวิทยาลัย ถ้าฉันสอบเข้ามหาวิทยาลัยแล้วฉันเลือกเรียนคณะวิทยาศาสตร์ ถ้าฉันไม่เลือกคณะวิศวกรรมศาสตร์แล้วฉันจะไม่เลือกคณะวิทยาศาสตร์ ฉันจบ ม.6 ฉันเลือกคณะวิศวกรรมศาสตร์

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

49

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ประโยคเปิด (Open Sentence) ให้นักเรียนสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 9.1 ข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผล 1) เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ ตอบ เพราะ 2) คุณครูคนนั้นสอนวิชาสังคมศึกษา ตอบ เพราะ 3) x + 3 > 0 ตอบ เพราะ 4) 3x + 4 ตอบ เพราะ 5) x2  0 ตอบ เพราะ จากตัวอย่างข้างต้นจะพบว่าบางประโยคมีตัวแปร ทาให้ประโยคเหล่านั้นเรายังไม่สามารถ บอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ กล่าวคือ ประโยคดังกล่าวไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อเราแทนค่าตัวแปร เหล่านั้นด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ จะพบว่าบางประโยคเป็นประพจน์ เช่น เขาเป็นนัก คณิตศาสตร์ เมื่อแทนเขาด้วยนฤพนธ์ จะพบว่าประโยคดังกล่าวเป็นเท็จ ซึง่ อาจกล่าวได้ว่าประโยค นฤพนธ์เป็นนักคณิตศาสตร์เป็นประพจน์ที่เป็นเท็จ บทนิยาม 9.1 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มตี ัวแปร และไม่เป็น ประพจน์ แต่เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้ว ข้อความนั้นจะเป็น ประพจน์ จากบทนิยาม 9.1 จะพบว่าประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มตี ัวแปรบางประโยค เป็น ประพจน์ เช่น x2  0 เป็นต้น โดยสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ทีม่ ี x เป็นตัวแปร เขียนแทน ด้วย P(x)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

50

แบบฝึกหัด 7.1 1. ให้นักเรียนพิจารณาว่าประโยคที่กาหนดให้เป็นประพจน์หรือเป็นประโยคเปิด เพราะเหตุใด ประโยค ไม่เป็นทัง้ ประโยค ประพจน์ เหตุผล เปิด สองอย่าง 1) x + 1 > 5 2) 2 + 5 = 9 3) p เป็นจานวนเฉพาะ 4) ฉันทาการบ้านที่โรงเรียน 5) 5  {5, 10, 15, …} 6) x   7) ช่วยเก็บผ้าเช็ดหน้าของฉันหน่อย 8) 52 < 0 9) เขาเป็นนายกรัฐมนตรีคนปัจจุบัน 10) กรุณาเข้าห้องเรียนให้ตรงเวลา 11) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 12) (x + 1)2 = 0 13) กาเป็นนกชนิดหนึ่ง 14) ท่านเป็นผู้นาทางศาสนา 15) หนูกินช้างเป็นอาหาร 2. ให้นักเรียนทาประโยคเปิดต่อไปนี้ให้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงและเป็นเท็จ 1) เขาเป็นกวีเอกของสมัยรัตนโกสินทร์ตอนต้น 2) x2 > 1 3) x  {1, 2, 3, 4} 4) x เป็นจานวนคี่ 5) x + 10 = 10 6) y เป็นจานวนตรรกยะ 7) x2 – 2x  0 8) L เป็น ค.ร.น. ของ 6 และ 9 9) G เป็น ห.ร.ม. ของ 12 และ 15 10) x < -1 หรือ x > 1

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

51

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) วลีที่ใช้บอกจานวนตัวแปรในประโยคเปิดว่ามีมากน้อยเพียงใด เรียกว่า ตัวบ่งปริมาณ ซึ่ง ตัวบ่งปริมาณในทางตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิดได้แก่ 1. ตัวบ่งปริมาณที่บอกจานวนทั้งหมด ใช้สัญลักษณ์  แทนข้อความ สาหรับ...ทุกตัว สาหรับแต่ละค่าของ... เช่น ถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร สัญลักษณ์ x[P(x)] แทนข้อความสาหรับ x ทุกตัวซึ่ง P(x) 2. ตัวบ่งปริมาณบอกจานวนบางส่วน ใช้สัญลักษณ์  แทนข้อความ สาหรับ...บางตัว สาหรับบางค่าของ... มี...บางตัว/ค่า เช่น ถ้า P(x) แทนประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร สัญลักษณ์ x[P(x)] แทนข้อความสาหรับ x บางตัวซึ่ง P(x)

52

แบบฝึกหัด 8.1 1 ให้นักเรียนเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) สาหรับ x ทุกตัว x2  0 ( 2 2) สาหรับ x บางตัว x < 1 ( 3) มี x อย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง 2x = 5 ( 4) สาหรับ x แต่ละตัว x2 + 1 > 0 ( 2 5) สาหรับ x ทุกตัว x – x = x(x – 1) ( 6) สาหรับ x บางตัว x - 1 > 3 ( 2 7) สาหรับ x บางตัว ถ้า x  0 แล้ว x > 0 ( 8) มีจานวนตรรกยะบางจานวนไม่เป็นจานวนเต็ม ( 9) สาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนจริง ( 10) มี x บางตัว ซึ่ง x ไม่เป็นจานวนจริง ( 11) มีจานวนจริง x ซึ่ง x + 3  0 ( 12) จานวนจริงบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ ( 13) สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็มแล้ว x เป็นจานวนตรรกยะ ( นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

14) สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็ม หรือ x เป็นจานวนตรรกยะแล้ว x เป็นจานวนจริง ( 15) มีจานวนจริงบางจานวนที่เป็นจานวนตรรกยะ แต่ไม่เป็นจานวนต็ม ( 2 ถ้ากาหนด U = R จงเขียนข้อความซึ่งแทนสัญลักษณ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) x[x + 1 = x] ( 2) x[x   x  x   -x] ( 3) x[x + 3  5] ( 4) x[x  I  x  R] ( 5) x[x  R  x  I] ( 6) x[x เป็นจานวนคู่  x2 เป็นจานวนคู]่ ( 7) x[x เป็นจานวนคี่  x2 เป็นจานวนคู่] ( 8) x[x < 1  x2 > 1] (

) ) ) ) ) ) ) ) ) )

9) x[ x 2 = x ]

(

)

10) x[ x 2  x ]

(

)

ถ้ากาหนด U = R จงเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึง่ x2  y ( 2) สาหรับ y และ x ทุกตัว x2 + y2  1 ( 3) มี x บางตัว และ y บางตัว ซึ่ง x2 + y2 = x + y ( 4) สาหรับ x แต่ละตัว มี y บางตัว ซึง่ xy = 1 ( x 5) มี x บางตัวและมี y บางตัว ซึ่ง xy  y ( 6) สาหรับ x และ y ทุกตัว xy = yx ( 7) มี x และ y บางตัวบวกกันได้ 0 ( 8) สาหรับ x และ y ทุกตัว ถ้า x + y = 0 แล้ว x = -y ( 9) สาหรับจานวนจริง y ทุกตัว จะมีจานวนจริง x บางตัวซึง่ x2 + y2 = 4 ( 10) มีจานวนจริง y บางจานวน ซึ่งสาหรับทุกจานวนจริง x ทุกจานวน x2 + y  0 ( 4 ถ้ากาหนด U = R จงเขียนข้อความซึ่งแทนสัญลักษณ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) xy[x + y < xy] ( 3

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

53

2) xy[x + y = 0  xy  0] ( 3) xy[x + y = x] ( 4) xy[xy = x] ( 2 2 5) xy[x – y = y - x] ( 6) xy[x2 – y  y2 - x] ( 7) xy[x2 – y < y2 - x] ( 8) xy[x  I  y  I  xy = ] ( 9) xy[(x + y)2 = x2 + 2xt + y2] ( 10) xy[x2y = y2x] (

) ) ) ) ) ) ) ) )

54

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว พิจารณาประโยคเปิด x2 > 0 เมื่อกาหนดตัวบ่งปริมาณและเอกภพสัมพัทธ์ให้แตกต่างกัน ดังนี้ 2

x[x > 0], U = {0, 1, 2, 3} หมายถึงสมาชิกทุกตัวใน U ยกกาลังสองแล้วมีค่ามากกว่า 0 2

x[x > 0], U = {0, 1, 2, 3} หมายถึง 2

x[x > 0], U = {1, 2, 3}

หมายถึง 2 x[x > 0], U = {1, 2, 3} หมายถึง 2 เมื่อแทนค่าในประโยคเปิด x > 0 ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U = {0, 1, 2, 3} จะได้ประพจน์ ดังนี้ 02 > 0 เป็นเท็จ 2 >0 เป็น 2 >0 เป็น 2 >0 เป็น 2 เนื่องจาก 0 > 0 เป็นเท็จ ฉะนั้นเห็นได้อย่างชัดเจนว่าประโยคที่กล่าวว่า “สมาชิกทุกตัวใน U ยกกาลังสองแล้วมีค่ามากกว่า 0” มีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ x[x2 > 0], U = {0, 1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็นเท็จ และในทานองเดียวกัน x[x2 > 0], U = {0, 1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็น เพราะสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว (บางตัว) ใน U ยกกาลังสองแล้วมีค่ามากกว่า 0 x[x2 > 0], U = {1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็น เพราะ x[x2 > 0], U = {1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็น เพราะ จากตัว อย่ า งข้ างต้ น จะเห็น ได้ว่ า ถ้ าเติม ตัว บ่ งปริ มาณข้ างหน้า ประโยคเปิ ด จะได้ ประพจน์ ในการพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยทั่วไปจะพิจารณาแต่ละส่วน ของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้ ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

55

บทนิยาม 10 กาหนดให้ P(x) แทนประโยคเปิดที่มตี ัวแปร x ประโยค x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย สมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทัง้ หมด ประโยค x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประโยค x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ประโยค x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย สมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด ตัวอย่าง 10.1 จงหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มตี ัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ (1) x[x < 5], U = {0, 1, 2, 3} (2) x[x < 5], U=I (3) x[x < 5], U=I (4) x[x < 5], U = {6, 7, 8} วิธีทา (1) เมื่อให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ว่า P(0) แทน 0 < 5 ซึ่งเป็นจริง

ได้ว่าเมื่อแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ในประโยค x < 5 แล้วได้ ประพจน์ที่ ดังนั้น x[x < 5] มีค่าความจริงเป็น (2)

(3)

(4)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

56

ตัวอย่าง 10.2 จงหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มตี ัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ เมื่อให้ U = {-1, 0, 1} (1) x[(x < 0)  (x2 > 0)] (2) x[x < 0]  x [x2 > 0] (3) x[(x < 0)  (x – 1 = 0)] (4) x[x < 0]  x [x – 1 = 0] วิธีทา (1) พิจารณาประโยคเปิด (x < 0)  (x2 > 0) แทนค่า x = -1 จะได้ ซึ่งเป็น 2 นั้นคือ (x < 0)  (x > 0) เป็น เมื่อ x = -1 แทนค่า x = 0 จะได้ ซึ่งเป็น นั้นคือ แทนค่า x = 1 จะได้ ซึ่งเป็น นั้นคือ จะพบว่า ดังนั้น x[(x < 0)  (x2 > 0)] (2) พิจารณาประโยคเปิด แทนค่า x จะได้ ซึ่งเป็น นั้นคือ ดังนั้น x[(x < 0)  (x2 > 0)] (3) พิจารณาประโยคเปิด

(3) พิจารณาประโยคเปิด

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

57

แบบฝึกหัดที่ 10.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

จงหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณต่อไปนี้ x[x2 > 8], U = {-1, 0, 2} x[x < 0], U = {0, 4, 7} x[x  0], U=I x[x > 0], U=N x[x + 1 = 4], U = {1, 2, 3, 4} x[x + x = xx], U = {0, 2} x[x = x2], U = {0, 1} x[ 5 + x  5], U=I x[x เป็นจานวนอตรรกยะ], U = R x[x เป็นจานวนคู่], U=Q x[x เป็นจานวนคู่ แล้ว x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {1, 2, 3, 4, 5} x[x เป็นจานวนนับ หรือ เป็นจานวนเฉพาะ], U = {0, 2, 4, 6} x[x เป็นจานวนตรรกยะ]  x[x เป็นตัวประกอบของ 2], U = {0, 1, 2} 2 x[x เป็นจานวนคู่]  x[ถ้า x เป็นจานวนนับ แล้ว 2x เป็นจานวนคู่], U = {0, 1, 2} x[(x < 0)  (x + 1 = 0)] U = {-1, 0, 1} x(x  0]  x[x = 0] U = {-1, 0, 1} 2 x[x = 1)  (x = 1)] U=I x[x  I]  x[x  R] U ={1, 2, 3}

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

58

การสมมูลกันของประโยคเปิด ในเอกสารแนะแนวทางที่ 6 นักเรียนได้ศึกษารูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลและเป็นนิเสธกัน มาแล้ว แต่หากเราเปลี่ยนประพจน์ดังกล่าวให้เป็นประโยคเปิด รูปแบบการสมมูลกันของประโยค เปิดจะดาเนินการเช่นเดียวกับรูปแบบของประพจน์ เช่น pq สมมูลกับ จะได้ P(x)  Q(x) สมมูลกับ pq สมมูลกับ จะได้ P(x)  Q(x) สมมูลกับ pq สมมูลกับ จะได้ P(x)  Q(x) สมมูลกับ pq สมมูลกับ จะได้ P(x)  Q(x) สมมูลกับ ~(p  q) สมมูลกับ จะได้ ~[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ ~(p  q) สมมูลกับ จะได้ ~[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ pq สมมูลกับ จะได้ P(x)  Q(x) สมมูลกับ จงหาประโยคเปิดที่สมมูลกับ (x2 = 25)  (x = 5) จากโจทย์ ให้ P(x) แทน Q(x) แทน จะได้ว่า (x2 = 25)  (x = 5) แทนด้วย และจาก P(x)  Q(x)  จะได้ว่า (x2 = 25)  (x = 5) สมมูลกับ จากตัวอย่างที่ 10.1 ถ้าให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง และทาประโยค เปิดให้เป็นประพจน์ จะไดว่า 2 x[(x = 25)  (x = 5)] สมมูลกับ 2 x[(x = 25)  (x = 5)] สมมูลกับ ตัวอย่างที่ 11.1 วิธีทา

ตัวอย่างที่ 11.2 ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนีส้ มมูลกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) x[P(x)] กับ x[~[~P(x)]] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น P(x) สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)] สมมูลกับ

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

59

2) x[P(x)  Q(x)] กับ x[Q(x)  P(x)] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น P(x)  Q(x) สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ 3) x[P(x)  Q(x)] กับ x[{P(x)  Q(x)}  {Q(x)  P(x)}] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น P(x)  Q(x) สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ 4) x[~{P(x)  Q(x)}] กับ x[P(x)  ~Q(x)] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น ~{P(x)  Q(x)} สมมูลกับ นั่นคือ x[~{P(x)  Q(x)}] สมมูลกับ 5) x[P(x)  Q(x)] กับ x[Q(x)  P(x)] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น P(x)  Q(x) สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ 6) x[P(x)  Q(x)] กับ x[Q(x)  P(x)] เนื่องจาก ไม่สมมูลกับ ดังนั้น P(x)  Q(x) ไม่สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)  Q(x)] ไม่สมมูลกับ 7) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ x[Q(x)]  x[P(x)] เนื่องจาก สมมูลกับ ดังนั้น P(x)  Q(x) สมมูลกับ นั่นคือ x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ

การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ จากรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกัน เราสามารถเขียนประโยคเปิดเทียบกับรูปแบบของ ประพจน์ทสี่ มมูลกันนั้นได้ เช่น ให้ p กับ q เป็นประพจน์ จาก p  q  ~p  q จะได้ประโยคเปิด P(x)  Q(x)  ~P(x)  Q(x) การสมมูลของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ ที่สมมูลกันด้วย เช่น จาก P(x)  Q(x)  ~P(x)  Q(x) จะได้ว่า x[P(x)  Q(x)]  x[~P(x)  Q(x)] หรือ x[P(x)]  x[Q(x)]  ~x[P(x)]  x[Q(x)] นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

60

หรือ หรือ ตัวอย่างที่ 11.2

x[P(x)]  x[Q(x)]

 ~x[~P(x)]  x[Q(x)]

x[P(x)]  x[Q(x)]

 ~x[~P(x)]  x[Q(x)]

จงยกตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่กาหนดให้ตอ่ ไปนี้ 1) x[P(x)]  x[Q(x)] เพราะว่า P(x)  Q(x) สมมูลกับ ดังนั้น x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ 2) x[P(x)]  {x[Q(x)]  x[R(x)]} เพราะว่า [P(x)]  {[Q(x)]  [R(x)]} สมมูลกับ ดังนั้น x[P(x)]  {x[Q(x)]  สมมูลกับ

x[R(x)]}

แบบฝึกหัด 11.1 1. ประโยคแต่ละคู่ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) ไม่จริง ที่ว่าจ านวนคี่ทุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะ กับ มีจานวนคี่บางจานวนไม่ใช่ จานวน เฉพาะ 2) x[(x > 4)  (x2 > 16)] กับ x[(x2  16)  (x  4)] 3) x[(x > 0)  (x2 > 0)] กับ x[(x2  0)  (x  0)] 4) x[x  0] กับ x[x  0] 5) x[P(x)]  ~x[Q(x)] กับ ~x[P(x)]  ~x[Q(x)] 6) ~{x[P(x)]  ~x[Q(x)]} กับ x[P(x)]  x[Q(x)] 7) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ x[P(x)]  ~x[Q(x)] 8) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ ~x[P(x)]  ~x[Q(x)] 9) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ ~x[P(x)]  x[Q(x)] 10) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ ~x[P(x)]  x[Q(x)]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

61

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ จากความรู้ที่นักเรียนได้ศึกษามาแล้ว นิเสธของ p คือ นิเสธของ P(x) คือ นิเสธของ x[P(x)] คือ นิเสธของ x[P(x)] คือ

หรือ หรือ

ตัวอย่างที่ 11.3 จงหานิเสธของข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1) นักเรียนในห้องนี้ใส่นาฬิกา นิเสธ คือ 2) นักเรียนในห้องนี้ต้องถอดรองเท้า นิเสธ คือ 3) จานวนจริง x ทุกจานวนที่ทาให้ x2  0 นิเสธ คือ 4) สมาชิกทุกตัวของ A ต้องเป็นสมาชิกของ B นิเสธ คือ 5) จานวนจริงทุกจานวนเป็นจานวนคี่ นิเสธ คือ 6) จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนจริง นิเสธ คือ 7) จานวนเต็มบางจานวนเป็นจานวนเฉพาะ นิเสธ คือ 8) จานวนเต็มบางจานวนเป็นจานวนนับ นิเสธ คือ

62

จากตัวอย่าง 11.3 นักเรียนพอจะสรุปได้ว่า นิเสธของประพจน์ที่มตี ัวบ่งปริมาณมีลักษณะ ดังนี้ ถ้ากาหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิด และ U ไม่เป็นเซตว่างแล้ว จะได้ว่า (1) ~x[P(x)]  x[~P(x)] (2) ~x[P(x)]  x[~P(x)] (3) ~x[~P(x)]  x[P(x)] (4) ~x[~P(x)]  x[P(x)]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบฝึกหัดที่ 11.2 19 จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้ 1) x[2x + x2 = 5] 2) x[x = 0] 3) x[2x > 2x] 4) x[x2 > 0] 5) x[(x – 5 = 3)  (x + 7 = 9)] 6) x[x = 0]  x[x < 0] 7) x[(x = 3)  (x2 = 9)] 8) x[x  x2] 9) x[(x2 = 0)  (x + 4 > 7)] 10) x[(x – 9 > 3)  (x2 = 12)] 2 จงหานิเสธของประโยคต่อไปนี้ 1) ถ้านักเรียนบางคนคุยกันเสียงดัง ดังนั้นนักเรียนทุกคนราคาญ 2) มีจานวนจริงบ้างจานวนเป็นจานวนอตรรกยะ 3) มีสับเซตของเซตอนันต์เป็นเซตจากัด 4) จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนจริง

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

63

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว กาหนดให้ P(x, y) เป็นประโยคเปิดที่มี x และ y เป็นตัวแปร ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว สามารถเขียนได้ รูปแบบ ได้แก่ 1) xy[P(x, y)] 2) xy[P(x, y)]

สาหรับการหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัวสามารถทาได้โดยการแทน ค่าตัวแปรในเอกภพสัมพัทธ์ที่กาหนดให้

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ค่าความจริงของ xy[P(x, y)] บทนิยาม 12.1 1) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง 2) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.1 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 1) xy[x + y < 3] 2) xy[x – y < 0] 1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน U แล้วจะได้ว่า P(-1, -1) ดังนั้น ประโยค xy[x + y < 3] มีค่าความจริงเป็น 2)

ดังนั้น ค่าความจริงของ xy[P(x, y)] บทนิยาม 12.2 1) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง 2) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

64

ตัวอย่างที่ 12.2 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-2, -1, 1} จงหาค่าความจริงของ 1) xy[xy = x] 2) xy[y = 2x - 2] 1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน U แล้วจะได้ว่า

ดังนั้น ประโยค xy[xy = x] มีค่าความจริงเป็น 2)

ดังนั้น ค่าความจริงของ xy[P(x, y)] บทนิยาม 12.3 1) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ y[P(a, y)] เป็นจริง 2) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ y[P(a, y)] เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.3 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-1, 1, 2} จงหาค่าความจริงของ 1) xy[x  y] 2) xy[y = x + 1] 1) เมื่อแทนค่า x ด้วยสมาชิกทุกตัวใน U แล้วจะได้ เมื่อ x = -1 จะได้ y[-1  y] เมื่อ y = 1 เป็นจริง เมื่อ เมื่อ ดังนั้น ประโยค xy[x  y] มีค่าความจริงเป็น 2) เมื่อแทนค่า x ด้วยสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น เลือก x = 2 จะได้ ว่า เมื่อ x = 2 จะได้ y[y = 2 + 1] เป็น ดังนั้น

ค่าความจริงของ xy[P(x, y)] บทนิยาม 12.4 1) ประโยค xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ y[P(a, y)] เป็นจริง 2) ประโยค x[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ y[P(a, y)] เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.4 นฤพนธ์ สายเสมา

กาหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

65

วิธีทา

1) xy[y  x] xy[x + y = 0] 1) เมือ่ แทนค่า x ด้วยสมาชิกบางตัวใน U เช่น เลือก x = -1 แล้วจะได้ว่า เมื่อ x = -1 จะได้ y[P(-1, y)] เป็น เพราะว่า -1 -1, -1  0 และ -1  1 ดังนั้น ประโยค xy[y  x] มีค่าความจริงเป็น 2) เมื่อแทนค่า x ด้วยสมาชิกบางตัวใน U แล้วจะได้ว่า y[P(x, y)] เป็นเท็จ เลือก x บางตัว เช่น เลือก x = 1 จะได้ y[-1 + y = 0] เป็นเท็จ

ดังนั้น

แบบฝึกหัดที่ 12.1 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 1) xy[xy = 1], U = {-1, 1} 2) xy[x + y = 1], U=N 3) xy[x  y], U=N 4) xy[y < x], U=I 5) ~xy[x + y = 2y] U = {x | x  0} 6) xy(y  x2 + 1)  xy[y = x2 – 1], U = {-1, 0, 1} (สาหรับข้อ 6 ให้นักเรียนหาค่าความจริงของ xy(y  x2 + 1) กับ xy[y = x2 – 1] ภายใต้เอกภพสัมพัทธ์ U = {-1, 0, 1} ก่อน จากนั้นจึงสังเกตค่าความจริงของ 2 xy(y  x + 1)  xy[y = x2 – 1] ซึ่งคล้ายกับประพจน์ p  q นั่นเอง)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

66

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ค่าความจริงของ yx[P(x, y)] บทนิยาม 12.5 1) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง 2) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.5 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 2) yx[x + y < 3] 2) yx[x – y < 0] 1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน U แล้วจะได้ว่า P(-1, -1)

ดังนั้น ประโยค xy[x + y < 3] มีค่าความจริงเป็น 2)

67 ดังนั้น

ค่าความจริงของ yx[P(x, y)] บทนิยาม 12.6 1) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง 2) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x, y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.6 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-2, -1, 1} จงหาค่าความจริงของ 2) yx[xy = x] 2) yx[y = 2x - 2] 1) เมื่อแทนค่า x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวใน U แล้วจะได้ว่า

ดังนั้น ประโยค xy[xy = x] มีค่าความจริงเป็น

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

2)

ดังนั้น ค่าความจริงของ yx[P(x, y)] บทนิยาม 12.7 1) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร y ด้วยสมาชิก b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ x[P(x, b)] เป็นจริง 2) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร y ด้วยสมาชิก b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ x[P(x, b)] เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.7 วิธีทา

กาหนดให้ U = {-1, 1, 2} จงหาค่าความจริงของ 2) yx[x  y] 2) yx[y = x + 1] 1) เมื่อแทนค่า y ด้วยสมาชิกทุกตัวใน U แล้วจะได้ เมื่อ y = -1 จะได้ x[x  -1] เมื่อ x = 1 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยค xy[x  y] มีค่าความจริงเป็น 2) เมื่อแทนค่า y ด้วยสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น เลือก y = 2 จะได้ ว่า เมื่อ y = 2 จะได้ y[2 = 1 + 1] เมื่อ x = 1 เป็น เมื่อ เมื่อ ดังนั้น

ค่าความจริงของ yx[P(x, y)] บทนิยาม 12.8 1) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร y ด้วยสมาชิก b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ x[P(x, b)] เป็นจริง 2) ประโยค yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร y ด้วยสมาชิก b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทาให้ x[P(x, b)] เป็นเท็จ ตัวอย่างที่ 12.8 วิธีทา

นฤพนธ์ สายเสมา

กาหนดให้ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของ 2) yx[y  x] yx[x + y = 0] 1) เมื่อแทนค่า y ด้วยสมาชิกบางตัวใน U เช่น เลือก y = -1 แล้วจะได้ว่า เมื่อ y = -1 จะได้ x[P(x, -1)] เป็น เพราะว่า -1 -1, -1  0 และ -1  1 ดังนั้น ประโยค yx[y  x] มีค่าความจริงเป็น

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

68

2)

ดังนั้น

แบบฝึกหัดที่ 12.2 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ 7) yx[x + y  x], U = {-1, 0, 1} 8) yx[x + y = x], U = R9) yx[x  y], U = {0, 1, 2, 3, …} 10) yx[x + y = 1], U=N 11) yx[xy = 2], U = R – {0} 2 2 12) yx[x + y  x + x], U = {-1, 0, 1} 13) yx[x + y = y + x], U = {0, 1, 2} 2 2 14) yx[x + y < 9], U=I

นฤพนธ์ สายเสมา

69

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบทดสอบท้ายบทที่ 1 ตรรกศาสตร์เบื้องต้น สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค31201) จานวน 25 ข้อ คะแนนเต็ม 25 คะแนน คาชี้แจง

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เวลา 1 ชั่วโมง

1. ถ้าไม่ได้กาหนดเป็นอย่างอื่น กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ 2. การกระทาอันเป็นการทุจริตในการสอบ เมื่อได้สอบสวนแล้วพบว่ามีมูล ความจริง จะถือว่านักเรียนมีผลการสอบเป็น 0 และไม่มกี ารเรียนซ่อมเสริมหรือ สอบซ่อมสาหรับนักเรียนที่ทจุ ริตในการสอบแต่อย่างใด

1. ประโยคในข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์ (1) เดือนตุลาคมนี้น้าท่วมสุรินทร์หรือไม่ (3) ดาวฤกษ์ไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

(2) อย่าลอกคาตอบของผู้อื่น (4) x + 1 = 2

2. ข้อความใดต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์ (1) 2 ไม่เป็นจานวนคี่ (3) เซตว่างมีสมาชิกหรือไม่

(2)  มีค่าเท่ากับ 3.14 (4) เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

3. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง (1) 1 + 3 = 2 ก็ต่อเมื่อ 2 + 2 = 4 (2) ถ้า 3 < 9 แล้ว -9 > -3 (3) 0 + 0 = 20 หรือ 2 + 2 = 0 (4) 1 + 1 = 2 และ 2 + 2 = 4 4. ประพจน์ใดต่อไปนีม้ ีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ (1) p  ~p (2) p  ~p (3) ~(p  ~p) (4) p  ~p 5. ให้ p แทน 2 + 2 = 4 q แทน กบเป็นสัตว์เครื่องบกครึ่งน้า r แทน ไส้เดือนอยู่ในดิน ประพจน์ใดต่อไปนีม้ ีค่าความจริงเป็นเท็จ (1) (p  ~q)  r (3) (p  ~q)  ~r

(2) (p  ~q)  r (4) ~p  (q  ~r)

6. ประพจน์ p  q เป็นจริงเมื่อใด (1) p เป็นจริง, ~q เป็นจริง (3) p เป็นเท็จ, ~q เป็นเท็จ

(2) p เป็นจริง, q เป็นเท็จ (4) p เป็นเท็จ, ~q เป็นจริง

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

70

7. ข้อใดต่อไปนี้เป็นนีเ้ ป็นนิเสธของประพจน์ "3 เป็นจานวนคู่ และ 5 เป็นจานวนคี"่ (1) 3 ไม่เป็นจานวนคู่ หรือ 5 เป็นจานวนคี่ (2) 3 เป็นจานวนคี่ หรือ 5 เป็นจานวนคู่ (3) 3 ไม่เป็นจานวนคู่ และ 5 ไม่เป็นจานวนคี่ (4) 3 เป็นจานวนคี่ และ 5 เป็นจานวนคู่ 8. กาหนดให้ p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ (1) (p  ~p)  ~(p  q) (2) (p  ~p)  (~p  ~q) (3) (q  ~q)  (p  ~q) (4) (q  ~q)  (~p  q) 9. กาหนดให้ p  (q  r) มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว p, q และ r มีค่าความจริงตามลาดับดังข้อใด ต่อไปนี้ (1) จริง, เท็จ, เท็จ (2) เท็จ, เท็จ, จริง (3) จริง, เท็จ, จริง (4) เท็จ, จริง, จริง 10. ถ้า p, q, r และ s มีค่าความจริงเป็นจริง, จริง, เท็จ และเท็จ ตามลาดับ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็นเท็จ (1) (p  q)  (r  s) (2) (p  q)  (r  s) (3) (p  q)  (q  s) (4) (p  q)  (~p  q) 11. ถ้า p, q และ r  q ต่างก็มีค่าความจริงเป็นจริง แล้วประพจน์ (p  q)  (s  q)  (w  q) มีค่าความจริงดังข้อใดต่อไปนี้ (1) เป็นจริง (2) เป็นเท็จ (3) เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ q เป็นเท็จ (4) ไม่อาจตัดสินได้เพราะข้อมูลไม่เพียงพอ 12. ข้อความใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง (1) ถ้า p  q เป็นจริง แล้ว (q  ~p)  ~q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (2) ถ้า p  q เป็นเท็จ แล้ว (p  ~q)  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (3) ถ้า p  q เป็นเท็จ แล้ว [(q  s)  r]  p มีค่าความจริงเป็นจริง (4) ถ้า ~p  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว ~p  [q  (p  r)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 13. ประพจน์ใดต่อไปนีส้ มมูลกับประพจน์ ~(p  q) (1) ~p  q (2) p  ~q (3) ~p  q (4) ~p  ~q 14. ประพจน์ p  ~q สมมูลกับประพจน์ใดต่อไปนี้ (1) p  q (2) q  ~p (3) ~p  q (4) p  ~q

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

71

15. ประพจน์ใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์ (1) ~(~p)  p (3) p  (p  q)

(2) p  (p  q) (4) (p  q)  (p  q)

16. จงพิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ (1) เหตุ 1. คนรวยทุกคนเป็นคนอ้วน 2. ศตวรรษไม่อ้วน ผล ศตวรรษไม่เป็นคนรวย ข้อสรุปใดต่อไปนี้ถูกต้อง (1) การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลทัง้ คู่ (2) การอ้างเหตุผลไม่สมเหตุสมผลทัง้ คู่ (3) การอ้างเหตุผลแรกเท่านัน้ ทีส่ มเหตุสมผล (4) การอ้างเหตุผลหลังเท่านัน้ ที่สมเหตุสมผล 17. ประโยคในข้อใดต่อไปนี้เป็นประโยคเปิด (1) พระจันทร์ตกน้า (3) เขาเป็นนักคณิตศาสตร์

(2) เหตุ 1. ไม่มีมะนาวผลใดซึ่งมีรสหวาน 2. ส้มไม่ใช้มะนาว ผล ส้มมีรสหวาน

(2) x ในสมการ x2 – 3x + 2 = 0 มีค่าเท่าใด (4) เป็นเป็นนายกรัฐมนตรีคนที่เท่าไร

18. ข้อความ "จานวนจริง x ทุกจานวน x + x = x2" เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้ดงั ข้อใดต่อไปนี้ (1) x [x + x = x2], U = R (2) x [x + x = 2x], U = R 2 (3) x [x + x = x ], U = R (4) x [x + x = 2x], U = R 19. กาหนดให้ U = R ค่าความจริงของประพจน์ใดต่อไปนี้เป็นจริง (1) x [x2 + 2x – 3 = 0] (2) x [x2 + 4x + 4 = 0] (3) x [x  < 0] (4) x [x  Q] 20. กาหนด U = {-1, 0, 1} ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง (1) x [x < 0  |x | = x] (2) x [x < 0] x [|x | = x] (3) x [x + 2 > 0] (4) x [x – 1 < 0] 21. ประพจน์ x[~P(x)  Q(x)] สมมูลกับประพจน์ใดต่อไปนี้ (1) x[P(x)  Q(X)] (2) x[P(x)  ~Q(X)] (3) x[P(x)  Q(X)] (4) x[P(x)  ~Q(X)] 22. ข้อใดเป็นนิเสธของประพจน์ x[ax > 0] (1) x[ax < 0] (3) x[ax  0]

นฤพนธ์ สายเสมา

(2) x[ax < 0] (4) x[ax  0]

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

72

23. กาหนดให้ U = {-1, 0, 1} ค่าความจริงของประพจน์ใดเป็นเท็จ (1) x[(x  0)  (x เป็นจานวนคู)่ ] (2) x[x  0]  x[x เป็นจานวนคู่] (3) x[(x  0)  (x > 0)] (4) x[|x| < 0] 24. เมื่อกาหนด U = {0, 1, 2} ประพจน์ใดมีค่าจริงเป็นเท็จ (1) xy[x + yy = 4] (2) xy[x + y  0] (3) xy[x + y = y + x] (4) xy[x + y = xy] 25. กาหนดประโยคเปิด P(x, y) แทน x < y และ U = I ค่าความจริงของประพจน์ใดเป็นจริง (1) yx[P(x, y)]  yx[P(x, y)] (2) xy[P(x, y)]  yx[P(x, y)] (3) xy[P(x, y)]  yx[P(x, y)] (4) xy[P(x, y)]  yx[P(x, y)]

หากไม่ประสบความสาเร็จดังที่หวังไว้ ให้ถามตัวเองว่า “ตัวเองพยายามอย่างเต็มที่แล้วหรือยัง” หากพยายามอย่างเต็มที่ เต็มความสามารถแล้ว ก็จะไม่มีใครตาหนิ ซ้าเติม หรือต่อว่านักเรียนเลย มีแต่เขาจะปลอบโยน และให้กาลังใจ หากแต่ถ้านักเรียนไม่พยายาม เมื่อไม่สาเร็จดังหวัง แล้วไปพาลโทษคนอื่น อย่างอื่น เชื่อได้เลยว่า คนอื่นเขาจะพากันสมเพชนักเรียน ตอบได้ไหมว่า...ตัวเองเป็นคนแบบไหน

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

เอกสารประกอบการเรียบเรียง กนกวลี อุษณีกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (ม.ป.ป.). แบบฝึกหัดและประเมินผล คณิตศาสตร์ ม.4 ค 011. กรุงเทพมหานคร : เดอะบุ๊คส์. กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 1 ค 011. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. . (ม.ป.ป.). สาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (2541). ค 011, ค 012 1000 เทสต์ อิน แมธส์ 1 = 1000 Tests in Maths 1. กรุงเทพฯ: แม็ค. . (2548). แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์เพิม่ เติม ช่วงชั้นที่ 4 (ม.4 – ม.6) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1. กรุงเทพฯ: แม็ค. มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บางเขน. ภาควิชาคณิตศาสตร์. (2530). ประวัตินักคณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร : สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยในพระบรมราชูถัมภ์. . ภาควิชาคณิตศาสตร์. (2530). อุปกรณ์การสอนคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: ภาควิชาฯ. มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ. คณะวิทยาศาสตร์. (2546?). เอกสารประกอบการสอนวิชา คณิตศาสตร์ในชีวิตประจาวัน. กรุงเทพฯ: ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะฯ. (เอกสารอัด สาเนา). มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. (2543). เอกสารการสอนชุดวิชาคณิตศาสตร์ 4. พิมพ์ครั้งที่ 7. นนทบุร:ี สานักพิมพ์แห่งมหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช. รังสรรค์ เล็กมณี และคณะ. (2549). สื่อการเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม 1 ฉบับสมบูรณ์. กรุงเทพฯ: วัฒนาพานิช. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2546). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4. กรุงเทพฯ : สถาบันฯ. สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ พืน้ ฐาน + เพิ่มเติม 1 ช่วง ชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6). กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. องอาจ ซึมรัมย์. (2545, พฤษภาคม – กรกฎาคม). "อัตชีวประวัตนิ ักคณิตศาสตร์," คณิตศาสตร์. 46(524 – 526): 45 – 52. Eves, Howard. (1964). An Introduction to the History of Mathematics. NY: Holt, Rinehart and Winston.

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนรายจุดประสงค์ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 (ค31201) เรื่องตรรกศาสตร์ จุดประสงค์ที่ 1

ช่วงชั้นที่ 4 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 5 ข้อ

บอกได้ว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นประพจน์หรือไม่

1. ข้อความใดเป็นประพจน์ ก. จงหาผลคูณของ 2 กับ 3 ค. คุณเคยไปเมืองนอกใช่ไหม

ข. เขาเป็นนักฟุตบอล ง.  เป็นจานวนตรรกยะ

2. ข้อความใดไม่เป็นประพจน์ ก. จังหวัดเชียงรายอยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย ข. กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย ค. จังหวัดนครสวรรค์อยู่ทางภาคกลางของประเทศไทย ง. นักท่องเที่ยวชอบไปร่วมงานประเพณีสงกรานต์ที่จังหวัดเชียงใหม่ 3. ข้อความใดเป็นประพจน์ ก. x + 5 < 8 ค. จงหาค่าของ x ที่ทาให้ x2 + 3 > 7

ข. x + 7 = 0 ง. มีจานวนจริง x บางตัวที่ทาให้ x + 3 = 8

4. ข้อความใดไม่เป็นประพจน์ ก. A  B =  ค. ถ้า A  B แล้ว B  A

ข. {1, 2, 3}  {2, 3, 4} ง. มีจานวนจริง x บางตัวที่ทาให้ x + 5 = 0

5. ข้อความใดเป็นประพจน์ ก. จงแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ข้อนี้ให้ถูกต้อง ข. เส้นตรงที่ขนานกันจะยาวเท่ากัน ค. นกน้อยบินลอยลม 20 ตัว สวยงามยิ่ง ง. ไม่ควรขับรถในขณะมึนเมา จุดประสงค์ที่ 2

บอกค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมได้

1. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. 2 + 3 = 6 หรือ 2  3 = 6 ค. ถ้า 2 + 3 = 6 แล้ว 2  3 = 6

ข. 2 + 3 = 5 หรือ 5 > 2 ง. 2 + 3 = 6 ก็ต่อเมื่อ 2  3 = 6

2. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง ก.  เป็นจานวนจริง หรือ  เป็นจานวนเต็ม นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ข.  เป็นจานวนตรรกยะ และ  เป็นจานวนเป็นจานวนจริง ค. ถ้า  เป็นจานวนอตรรกยะแล้ว  เป็นจานวนเต็ม ง.  เป็นจานวนจริง ก็ต่อเมื่อ  เป็นจานวนตรรกยะ 3. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. 5 เป็นจานวนเต็มลบ หรือ 5 เป็นจานวนจริง ข. 3 เป็นจานวนคี่ และ 5 เป็นจานวนคู่ ค. ถ้า 2 เป็นจานวนตรรกยะแล้ว 2 เป็นจานวนเต็ม ง. 2 เป็นจานวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ 4. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. 2 + 3 = 5 และ 5 > 2 a ข. ถ้า a, b  I แล้ว  Q b ค. x  A  x  B ก็ต่อเมื่อ x  A  B ง. ถ้ามี x  A แต่ x  B แล้ว A – B =  จุดประสงค์ที่ 3

หานิเสธของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

1. นิเสธของประโยค x > 7 เมื่อ x เป็นจานวนจริงคือประโยคใด ก. x  7 ข. x > 7 ค. x = 7 ง. x  7 2. นิเสธของประพจน์ 2  3 = 7 คือประพจน์ใด ก. 2  3 < 7 ข. 2  3  7 ค. 2  3 > 7 ง. 2  3  7 3. นิเสธของประพจน์ |5| < |-6| คือประพจน์ใด ก. |5| = |-6| ข. |5|  |-6| ค. |5|  |-6| ง. |5| > |-6| 4. นิเสธของประพจน์ 2   คือประพจน์ใด ก. 2   ข. ค. 2   ง.

2 

5. นิเสธของประพจน์ 2 + 3 ไม่น้อยกว่า 2  3 คือประพจน์ใด ก. 2 + 3 < 2  3 ข. 2 + 3  2  3 ค. 2 + 3 > 2  3 ง. 2 + 3  2  3 นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จุดประสงค์ที่ 4

หาค่าความจริงของประพจน์ที่เกิดจากการนาประโยคข้อความ ประพจน์ ย่อยมาเชื่อมกัน เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อยได้

1. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง ก. ถ้า 2 + 3 = 5 และ 5 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 + 3 = 6 ข. (4 > 3) หรือ (4 < 3) แต่ ( 4  3) ค. ถ้า 3 + 4 = 7 หรือ 4 + 3 = 8 แล้ว 3 + 4 = 4 + 3 ง. 4 + 5 = 9 ก็ต่อเมื่อ 9 เป็นจานวนคู่ 2. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. 3 < 2 หรือ 3 > 2 แต่ 3 < 2 ข. ถ้า 4 + 7 = 11 และ 11 เป็นจานวนคี่แล้ว 4 + 7 = 12 ค. ถ้า 2 + 3 = 5 หรือ 3 + 2 = 5 แล้ว 2 + 3  3 + 2 ง. 3 + 4 = 7 ก็ต่อเมื่อ ถ้า 7 เป็นจานวนคู่ แล้ว 3 เป็นจานวนคี่ 3. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. ถ้า 2  3 = 6 และ 2 + 3 = 5 แล้ว 2 + 3 < 2  3 ข. 4 < 3 หรือ 4 > 3 แต่ 4  3 ค. ถ้า 1 + 2 = 3 หรือ 1 + 2 = 3 แล้ว 1 + 2  1 + ง. 2  3 = 5 ก็ต่อเมื่อ 2 + 3 = 6 4. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง ก. ถ้า 1 + 2 = 3 หรือ 2 + 3 = 6 แล้ว 1 + 3 = 5 ข. ถ้า 1 + 1 = 2 และ 1 + 3 = 5 แล้ว 1 + 3 = 6 ค. ( 2 )2 + ( 3 )2 < 6 ก็ต่อเมื่อ 2 > 3 ง. ถ้า 3 + 4 < 4 และ 4 + 1 = 3 แล้ว 3  จุดประสงค์ที่ 5

2

4 = 12

หาค่าความจริงของประพจน์ที่เกิดจากการนาประพจน์ในรูปสัญลักษณ์ ย่อยมาเชื่อมกัน เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อยได้

1. กาหนดให้ประพจน์ p, q มีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. (p  q)  ~r ข. (p  q)  ~r ค. p  (q  r) ง. p  (q  r) 2. กาหนดให้ประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ q และ r มีค่าความจริงเป็น เท็จ แล้วประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ก. (p  q)  ~r ค. p  (q  r)

ข. p  (q  r) ง. (p  q)  (p  r)

3. กาหนดให้ประพจน์ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และประพจน์ r มีค่าความจริงเป็น จริง แล้วประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. (p  q)  ~r ข. (p  q)  (p  r) ค. p  (q  r) ง. (p  q)  ~r 4. กาหนดให้ประพจน์ p และ r มีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็น เท็จ แล้วประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง ก. (p  q)  ~r ข. p  (q  r) ค. p  (q  r) ง. (p  q)  (p  r) 5. กาหนดให้ประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ และประพจน์ q และ r มีค่าความจริงเป็น จริง แล้วประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. (p  q)  ~r ข. p  (q  r) ค. p  (q  r) ง. (p  q)  (p  r) จุดประสงค์ที่ 6

สร้างตารางหาค่าความจริงของประพจน์ได้จากการนาประพจน์ย่อยมา เชื่อมกันได้

1. จากตารางค่าความจริงที่กาหนดให้ p q p  q ~p (p  q)  ~p T T T F T F F T F T F T F F F T ตัวเชื่อม  และ  คือตัวเชื่อมตามลาดับในข้อใด ก. ,  ข. ,  ค. ,  ง. ,  2. จากตารางค่าความจริงที่กาหนดให้ p q p  q ~p T T T T F T F T T F F F นฤพนธ์ สายเสมา

(p  q)  ~p F F T T สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ตัวเชื่อม  และ  คือตัวเชื่อมตามลาดับในข้อใด ก. ,  ข. ,  ค. ,  ง. ,  3. จากตารางค่าความจริงที่กาหนดให้ p q ~p q  p ~p  (q  p) T T T T T F F T F T F F F F F F ตัวเชื่อม  และ  คือตัวเชื่อมตามลาดับในข้อใด ก. ,  ข. ,  ค. ,  ง. ,  4. จากตารางค่าความจริงที่กาหนดให้ p q ~p q  p ~p  (q  p) T T T T T F T T F T T T F F F F ตัวเชื่อม  และ  คือตัวเชื่อมตามลาดับในข้อใด ก. ,  ข. ,  ค. ,  ง. ,  5. จากตารางค่าความจริงที่กาหนดให้ p q ~p ~q q  ~p ~q  (q  ~p) T T T T T F F T F T F F F F F F ตัวเชื่อม  และ คือตัวเชื่อมตามลาดับในข้อใด ก. ,  ข. ,  ค. ,  ง. , 

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จุดประสงค์ที่ 7

บอกได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้คู่ใดสมมูลกัน

1. ประพจน์ “ถ้าแดงเล่นกีฬา แล้วแดงจะไม่เกเร” สมมูลกับประพจน์ใด ก. ถ้าแดงเกเร แล้วแดงจะไม่เล่นกีฬา ข. แดงไม่เล่นกีฬา หรือแดงเป็นคนเกเร ค. ถ้าแดงเล่นกีฬา แล้วแดงจะเป็นคนเกเร ง. ถ้าแดงไม่เกเร แล้วแดงจะเล่นกีฬา 2. ประพจน์ “ถ้านายปัญญามีเงิน แล้วนายปัญญาจะกลับบ้าน” สมมูลกับประพจน์ใด ก. ถ้านายปัญญาไม่มีเงิน แล้วนายปัญญาจะไม่กลับบ้าน ข. นายปัญญาไม่มีเงิน หรือนายปัญญาจะกลับบ้าน ค. นายปัญญาจะกลับบ้านก็ต่อเมื่อนายปัญญามีเงิน ง. นายปัญญาไม่มีเงิน และนายปัญญาไม่กลับบ้าน 3. ประพจน์ “ถ้า a เป็นจานวนเต็ม และ a2 เป็นจานวนคู่ แล้ว a เป็นจานวนคู่ด้วย” สมมูล กับประพจน์ใด ก. a เป็นจานวนคี่ และ a2 เป็นจานวนคู่ ข. ถ้า a เป็นจานวนคู่แล้ว a2 เป็นจานวนคู่ด้วย ค. ถ้า a เป็นจานวนเต็ม และ a เป็นจานวนคี่ แล้ว a2 เป็นจานวนคี่ด้วย ง. a เป็นจานวนเต็มคู่ ก็ต่อเมื่อ a2 เป็นจานวนคู่ด้วย 4. ประพจน์ “ฉันไม่เล่นฟุตบอล หรือ ฉันดูภาพยนตร์” สมมูลกับประพจน์ใด ก. ฉันเล่นฟุตบอล หรือ ฉันดูภาพยนตร์ ข. ถ้าฉันดูภาพยนตร์ แล้ว ฉันเล่นฟุตบอล ค. ฉันเล่นฟุตบอล หรือ ฉันไม่ดูภาพยนตร์ ง. ถ้าฉันเล่นฟุตบอล แล้ว ฉันดูภาพยนตร์ 5. ประพจน์ “ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว 5 เป็นจานวนคี่” สมมูลกับประพจน์ใด ก. ถ้า 5 เป็นจานวนคู่แล้ว 2 + 3  5 ข. ถ้า 5 เป็นจานวนคี่แล้ว 2 + 3 = 5 ค. ถ้า 5 เป็นจานวนคู่แล้ว 2 + 3 = 5 ง. 5 เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 2 + 3 = 5 6. ประพจน์ที่กาหนดให้คู่ใดสมมูลกัน ก. ~(p  q) กับ p  ~q ค. p  q กับ q  p

ข. ~p  q กับ p  ~q ง. p  q กับ ~p  p

7. ประพจน์ที่กาหนดให้คู่ใดสมมูลกัน ก. ~(p  q) กับ ~p  ~q ค. ~p  q กับ p  ~q

ข. ~q  ~p กับ p  q ง. p  q กับ (p  q)  (q  p)

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

8. ประพจน์ที่กาหนดให้คู่ใดสมมูลกัน ก. q  p กับ p  q ค. p  q กับ ~p  q

ข. ~(p  q) กับ ~p  ~q ง. ~(p  q) กับ ~p  ~q

9. ประพจน์ที่กาหนดให้คู่ใดสมมูลกัน ก. ~(p  q) กับ ~p  ~q ค. ~(p  q) กับ ~p  ~q

ข. ~(p  q) กับ ~p  ~q ง. p  q กับ (p  q)  (q  p)

จุดประสงค์ที่ 8

บอกได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

1. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ถ้าชายเรียนเก่งแล้วชายจะไม่เกเร ข. ฉันไม่เล่นฟุตบอล หรือฉันดูภาพยนตร์ ค. ถ้าสมศรีกนิ เก่ง และอ้วน แล้วสมศรีจะกินเก่ง ง. ถ้าเกิดฝนตกหนักและน้าท่วมสุรินทร์ แล้วการจราจรจะติดขัด 2. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ถ้าปรีชามีเงินแล้ว ปรีชาจะไม่กลับบ้าน ข. ฉันเล่นฟุตบอลหรือฉันจะไปเที่ยว ค. ถ้าเกิดฝนตกหนักและน้าจะท่วมโรงเรียน ง. ถ้าสุชาติเรียนเก่งแล้ว สุชาติเรียนเก่ง หรือเกเร 3. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ถ้ารถยนต์แล่นช้า และน้าท่วมแล้ว รถยนต์จะแล่นช้า ข. ฉันไม่เล่นบาสเกตบอล หรือฉันจะไปเที่ยว ค. ถ้ามนัสอ้วนแล้วมนัสจะเล่นกีฬา ง. ถ้าแดงไม่ขยันแล้วแดงต้องสอบตก 4. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ปราณีขยันอ่านหนังสือก็ต่อเมื่ออยู่ชายทะเล ข. ปรีดาเป็นคนดีหรือคนไม่ดี ค. สุชาติเล่นเทนนิสและกินเก่ง ง. ถ้าอากาศร้อนแล้วฝนจะตก 5. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ชาติชายไม่ชอบเล่นกีฬาแต่ชอบร้องเพลง ข. สมชาติชอบดื่มกาแฟ ก็ต่อเมื่อเขาง่วงนอน ค. ถ้ามยุรีเป็นคนดี และเคารพกฎจราจร แล้วมยุรีเป็นคนดี ง. ถ้าสมานเคารพกฎจราจรแล้วสมานเป็นคนดี นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

6. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. p  ~q ข. p  (p  q) ค. (p  q)  r ง. (p  q)  (q  q) 7. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. ~p  ~q ข. (p  q)  r ค. (p  q)  p ง. (p  q)  (q  q) 8. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. p  (q  r) ข. (p  q)  ~r ค. (p  q)  (p  r) ง. p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 9. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. p  ~p ข. p  (p  q) ค. (p  q)  p ง. (p  q)  (q  q) 10. ประพจน์ที่กาหนดให้ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ก. (p  q)  (p  r) ข. p  (q  r)  (p  q)  (p  r) ค. (p  ~q)  (q  ~p) ง. (p  ~q)  (q  ~p) จุดประสงค์ที่ 9

บอกได้ว่าประโยคที่กาหนดให้เป็นประโยคเปิดหรือไม่

1. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. เขาป่วยเป็นโรคอะไร ข. เธอเป็นนักศึกษามหาวิทยาลัยขอนแก่น ค. จังหวัดภูเก็ตมีประชากรมากกว่า 5 ล้านคน ง. เขาเป็นนักกีฬาบาสเกตบอลทีมชาติไทย 2. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ค. เขาเรียนวิชาตรรกศาสตร์เพื่ออะไร

ข. จังหวัดภูเก็ตเป็นเกาะ ง. เชียงใหม่เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย

3. ประโยคใดไม่เป็นประโยคเปิด ก. เขาจะไม่ไปตลาดในตอนกลางคืน ข. เขาเป็นนายแพทย์ของโรงพยาบาลนี้มานานกี่ปี ค. เขาเป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ง. เขาเป็นผู้แทนราษฎรจังหวัดเชียงราย

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

4. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. เขาไม่ชอบไปเที่ยวที่ไหน ข. กรุณาปิดหน้าต่างชั้นบนด้วย ค. เขาได้รับรางวัลชนะเลิศการประกวดร้องเพลง ง. พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก 5. ประโยคใดไม่เป็นประโยคเปิด ก. เธอพักอยู่ในหอพักชั้นที่ 4 ข. เขาไปสมัครเรียนต่อที่กรุงเทพฯ ค. เขาไปเที่ยวสงกรานต์กับเพื่อนที่เชียงใหม่ ง. เขาเรียนวิชาสังคมศึกษาเพื่ออะไร 6. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. จงหาค่า x จากสมการ x2 + x – 6 = 0 ข. 3 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 6x + 9 = 0 ค. x2 + y2  4 ง. สมการ y = x2 – 3x + 2 มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา 7. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. 2 + 3 > 3 ข. 2 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 4x + 4 = 0 ค. สมการ y = 2x + 1 มีกราฟเป็นเส้นตรง ง. ถ้า x = 2 แล้ว x2 = 4 8. ประโยคใดไม่เป็นประโยคเปิด ก. จงหาค่า x จากอสมการ 3x – 5 < 7 ค. x2 + 11x + 30 = 0

ข. x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) ง. ถ้า x  I แล้ว x2 > 0

9. ประโยคใดเป็นประโยคเปิด ก. x + y > 2 ใช่หรือไม่ ข. x2 – 8x + 15 < 0 ค. 5 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 10 x + 25 = 0 ง. จงหาค่า y จากอสมการ y2 – 16  0 10. ประโยคใดไม่เป็นประโยคเปิด ก. x3 + 6x2 + 11x + 6  0 ค. สมการ x2 + y2 = 9 มีกราฟเป็นรูปวงกลม

นฤพนธ์ สายเสมา

ข. ถ้า x  I แล้ว x2 + x – 12 = 0 ง. |x + 2| < |2x – 6|

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จุดประสงค์ที่ 10 เขียนข้อความที่กาหนดให้ให้อยู่ในรูปประพจน์ที่มีตวั บ่งปริมาณได้ 1. “จานวนเต็มบางจานวนซึ่งทาให้ x2 – 7x + 10 = 0” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่ง ปริมาณได้ดังข้อใด ก. x[x  I  x2 – 7x + 10 = 0] ข. x[x  I  x2 – 7x + 10 = 0] ค. x[x  I  x2 – 7x + 10 = 0] ง. x[x  I  x2 – 7x + 10 = 0] 2. “สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว ซึ่ง x + x = 2x” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ดัง ข้อใด ก. x[x + x = 2x], U = R ข. x[x + x = 2x], U = R ค. x[x  R  x + x = 2x] ง. x[x  R  x + x = 2x] 3. “มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวนเต็ม และ x + 2 < 5” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่ง ปริมาณได้ดังข้อใด ก. x[x  I  x + 2 < 5] ข. x[x  I  x + 2 < 5] ค. x[x  I  x + 2 < 5] ง. x[x  I  x + 2 < 5] 4. “สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็มแล้ว x เป็นจานวนจริง” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มี ตัวบ่งปริมาณได้ดังข้อใด ก. x[x  I  x  R] ข. x[x  I  x  R] ค. x[x  I  x  R] ง. x[x  I  x  R] 5. “มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวนเต็ม และ x2 = 4” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ ดังข้อใด ก. x[x  I  x2 = 4] ข. x[x  I  x2 = 4] ค. x[x  I  x2 = 4] ง. x[x  I  x2 = 4] 6. “มีจานวนจริง x บางตัว ซึ่งสาหรับทุกจานวนจริง y จะได้ว่า x + y = 5” เขียนในรูป สัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ดังข้อใด ก. xy[x + y = 5], U = R ข. xy[x + y = 5], U = R ค. xy[x + y = 5], U = R ง. xy[x + y = 5], U = R 7. “มี x และ y บางตัวซึ่ง x + y = 0” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ดังข้อใด ก. xy[x + y = 0] ข. xy[x + y = 0] ค. xy[x + y = 0] ง. xy[x + y = 0]

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

8. “สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + y = y” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ ดังข้อใด ก. xy[x + y = y] ข. xy[x + y = y] ค. xy[x + y = y] ง. xy[x + y = y] 9. “สาหรับ x และ y ทุกตัว xy = yx” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ดังข้อใด ก. xy[xy = yx] ข. xy[xy = yx] ค. xy[xy = yx] ง. xy[xy = yx] 10. “มี x บางตัวเมื่อคูณกับ y จะได้ y เสมอ” เขียนในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ดัง ข้อใด ก. xy[xy = y] ข. xy[xy = y] ค. xy[xy = y] ง. xy[xy = y] จุดประสงค์ที่ 11 เขียนข้อความที่อยู่ในรูปสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณให้เป็นข้อความใน รูปภาษาได้ 1. สัญลักษณ์ x[x2 > 9  x > 3] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x2 > 9 แล้ว x > 3 ข. สาหรับ x บางตัว ถ้า x2 > 9 แล้ว x > 3 ค. สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว ถ้า x > 3 แล้ว x2 > 9 ง. สาหรับจานวนจริง x บางตัว ถ้า x > 3 แล้ว x2 > 9 2. สัญลักษณ์ x[x  I  x < 2] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัวซึ่ง x เป็นจานวนเต็ม และ x < 2 ข. มี x บางตัวซึ่ง x เป็นจานวนเต็ม และ x < 2 ค. มี x บางตัวซึ่งถ้า x เป็นจานวนเต็ม แล้ว x < 2 ง. สาหรับ x ทุกตัวซึ่งถ้า x เป็นจานวนเต็ม แล้ว x < 2 3. สัญลักษณ์ x[x  Q  x  R] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. จานวนตรรกยะบางจานวนเป็นจานวนจริง ข. จานวนจริงบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ ค. จานวนตรรกยะทุกจานวนเป็นจานวนจริง ง. จานวนจริงทุกตัวเป็นจานวนตรรกยะ 4. สัญลักษณ์ x[x  I  x2 = 2] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนจริงแล้ว x2 = 2 ข. มี x บางตัว ถ้า x เป็นจานวนจริงแล้ว x2 = 2 นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

ค. จานวนเต็มทุกจานวนยกกาลังสองแล้วเท่ากับ 2 ง. จานวนเต็มบางจานวนยกกาลังสองแล้วเท่ากับ 2 5. สัญลักษณ์ x[x3 > 8  x > 2] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x3 > 8 แล้วจะได้ x > 2 ข. มี x บางตัว ถ้า x3 > 8 แล้วจะได้ x > 2 ค. มี x บางตัว ถ้า x > 2 แล้วจะได้ x3 > 8 ง. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x > 2 แล้วจะได้ x3 > 8 6. สัญลักษณ์ xy[x + 2y = 10] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + 2y = 10 ข. สาหรับ x และ y ทุกตัว ซึ่ง x + 2y = 10 ค. มี x บางตัว สาหรับ y ทุกตัว ซึง่ x + 2y = 10 ง. มี x และ y บางตัว ซึ่ง x + 2y = 10 7. สัญลักษณ์ xy[x + y = 10] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. มี x บางตัว สาหรับ y ทุกตัว ซึง่ x + y = 10 ข. มี x และ y บางตัว ซึ่ง x + y = 10 ค. สาหรับ x และ y ทุกตัว ซึ่ง x + y = 10 ง. สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + y = 10 8. สัญลักษณ์ xy[x + y < 3] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. จะมี x และ y บางตัว ซึ่ง x + y < 3 ข. จะมี x บางตัว สาหรับ y ทุกตัว ซึ่ง x + y < 3 ค. สาหรับ x และ y ทุกตัว ซึ่ง x + y < 3 ง. สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + y < 3 9. สัญลักษณ์ xy[x + y > 4] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + y > 4 ข. สาหรับ x และ y ทุกตัว ซึ่ง x + y > 4 ค. มี x บางตัว สาหรับ y ทุกตัว ซึง่ x + y > 4 ง. มี x และ y บางตัว ซึ่ง x + y > 4 10. สัญลักษณ์ xy[x + y = 0] เขียนเป็นข้อความในรูปภาษาได้ว่าอย่างไร ก. สาหรับ x และ y ทุกตัว ซึ่ง x + y = 0 ข. สาหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x + y = 0 ค. มี x และ y บางตัว ซึ่ง x + y = 0 ง. มี x บางตัว สาหรับ y ทุกตัว ซึง่ x + y = 0 นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

จุดประสงค์ที่ 12 บอกค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณได้ 1. ถ้ากาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {-2, -1, 0, 1, 2} ประพจน์ใดมีความจริงเป็นเท็จ ก. x[x2 = 2x] ข. x[x – 3 = -4] ค. x[x + x = 2x] ง. x[x2 – 3x + 2 = 0] 2. ถ้ากาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {-1, 2, 3, 4, 5} ประพจน์ใดมีความจริงเป็นจริง ก. x[x2 – 5x + 6 = 0] ข. x[x2 + 3x + 2 = 0] ค. x[x2 – 3x – 10 = 0] ง. x[x2 + 6x + 8 = 0] 3. ถ้ากาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือเซตของจานวนจริง แล้วประพจน์ใดมีความจริงเป็นจริง ก. x[x + 1 = x] ข. x[x2 + x – 2 = 0] ค. x[|x| > x] ง. x[x2  x] 4. ถ้ากาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือเซตของจานวนเต็มบวก แล้วประพจน์ใดมีความจริงเป็น เท็จ ก. x[x + 0 = x] ข. x[x + 1 > x] ค. x[x2  0] ง. x[|x|  1] 5. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ {-1, 0, 1} แล้วประพจน์ใดมีความจริงเป็นเท็จ ก. x[x < 0  x2 > 0] ข. x[x < 0]  x[x2 > 0] ค. x[x < 0]  x[x – 1 = 0] ง. x[x < 0  x – 1 = 0] จุดประสงค์ที่ 13 บอกได้ว่าการอ้างเหตุผลที่กาหนดให้สมเหตุสมผลหรือไม่ ให้นักเรียนใช้ตัวเลือกต่อไปนี้ในการตอบคาถามข้อ 1 – 2 ก. การอ้างเหตุผลสมเห็นสมผลทัง้ คู่ ข. การอ้างเหตุผลไม่สมเห็นสมผลทั้งคู่ ค. การอ้างเหตุผล (1) เท่านัน้ ทีส่ มเห็นสมผล ง. การอ้างเหตุผล (2) เท่านัน้ ทีส่ มเห็นสมผล 1. (1) เหตุ ผล (2) เหตุ ผล

นฤพนธ์ สายเสมา

1. สมศรีไปตลาดหรือสมหญิงไปโรงเรียน 2. สมหญิงไม่ไปโรงเรียน สมศรีไปตลาดหรือไปเที่ยว 1. ถ้าน้าลดแล้วต่อโผล่ 2. น้าไม่ลด ต่อไม่โผล่

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)

2. (1) เหตุ ผล (2) เหตุ

ผล 3. (1) เหตุ ผล (2) เหตุ

ผล

1. p  q 2. ~q ~p 1. p  q 2. q  r 3. ~s  ~r s 1. p  (q  ~r) 2. p ~ r q 1. p  (q  r) 2. q  r 3. ~s  ~r s

4. กาหนดให้

เหตุ

1) ถ้าปรีดาเรียนเก่ง แล้วปรีดาจะเป็นวิศวกร 2) ถ้าปรีดาเป็นวิศวกร แล้วปรีดาจะร่ารวย 3) ปรีดาไม่ร่ารวย ผลในข้อใดทาให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล ก. ปรีดาเรียนไม่เก่ง ข. ปรีดาเรียนเก่ง ค. ปรีดาไม่ได้เป็นวิศวกร ง. ปรีดาเป็นวิศวกร

5. กาหนดให้

เหตุ

6. กาหนดให้

เหตุ

1) ถ้าฝนตกแล้วถนนเปียก 2) ฝนตก ผลในข้อใดทาให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล ก. จราจรติดขัด ข. ถนนเปียก ค. ถนนไม่เปียก ง. ฝนไม่ตก 1) ถ้าจราจรติดขัด แล้วรถยนต์ต้องแล่นช้า 2) แต่รถยนต์ไม่ต้องเล่นช้า ผลในข้อใดทาให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล ก. การจราจรติดขัด ข. รถยนต์แล่นช้าเพราะจราจรติดขัด ค. การจราจรไม่ติดขัด ง. รถยนต์ไม่ต้องเล่นช้าและจราจรไม่ติดขัด

นฤพนธ์ สายเสมา

สาโรงทาบวิทยาคม สพม.33 (สุรินทร์)