3.4 Introduccion a Control Digital 2[1]

Tema 3.4 Introducción a los sistemas de control digital. .

2014

EVOLUCIÓN TECNOLÓGICA DEL CONTROL

Introducción a los sistemas de control digital.

Introducción. Adquisición de datos. Filtrado. Modelado de sistemas en tiempo discreto. Análisis de sistemas en tiempo discreto. Técnicas de diseño de controladores digitales. Elección del periodo de muestreo.

 Introducción. Controlador digital +

-

Controlador analógico

Actuador

Planta

Sensor Controlador digital +

-

Conversión A/D

Ley de Control

Conversión D/A

Actuador

Reloj

Sensor

Planta

 Introducción. Diagrama de bloques de un sistema de control digital

 Adquisición de datos. Conversión de señales y Dispositivos Las conversiones de señales que tienen lugar en un sistema de control digital conllevan las siguientes operaciones: - Multiplexado y demultiplexado - Muestreo y retención (Sample & Hold) - Conversión Analógico-Digital (cuantificación y codificación) - Conversión Digital-Analógica (decodificación)

Registro

Demultiplexor

Convertidor D/A

Mantenedor

Actuador

Computador digital Convertidor A/D

Muestreo y retención

Multiplexor

Filtro paso bajo Antialiasing

Amplificador

Sensor

Proceso

Variable física

 Adquisición de datos. Filtrado (I) - Las señales reales no tienen un espectro que se anule fuera de un ancho de banda determinado. Las componentes de alta frecuencia  pueden aparecer como componentes de baja frecuencia debido al solapamiento. - Para evitar este problema, es necesario filtrar la señal analógica antes de muestrear. -Una de las soluciones más típicas consiste en introducir un filtro analógico delante del muestreador (filtro anti-aliasing ).

Aliasing o confusión de frecuencia: Cuando se muestrea una señal a una frecuencia menor que el doble de la más alta ontenida en ella. Al intentar reconstruir la señal original se pueden obtener frecuencias que no contenía la señal original, es decir, se confunde una frecuencia f1 con otra f2, por ello a f2 se le llama el alias de f1 .

Esta situación se hace visible en la figura , en la cual una señal de frecuencia f1=0.1Hz y otra de frecuencia f2=0.9Hz se muestrean a una frecuencia fs=1 Hz ambas señales tienen los mismos valores a esta frecuencia de muestreo, es decir 1 es un alias de f2 a dicha frecuencia.

Si la señal que se muestrea tiene un ruido de alta frecuencia, el proceso de muestreo traslada esta componente de alta frecuencia a la zona de frecuencias bajas. El resultado es que la señal muestreada tiene un ruido de baja frecuencia que se debe al ruido de alta frecuencia de la señal continua original. Para evitar este efecto negativo es necesario interponer entre la señal continua (sensor) y el muestreador, un filtro análogo llamado filtro “antialiasing ”. Este filtro elimina el ruido de alta frecuencia evitando el problema. En la mayoría de los casos basta con un filtro de primer orden, como un circuito RC como se muestra en la figura

El polo del filtro w f =1/RC debe ser suficientemente mayor que los polos dominantes en bucle cerrado, pero suficientemente menor que la frecuencia del ruido. Una orientación puede ser:

En donde wBC es frecuencia angular de los polos dominantes de lazo cerrado y wruido es la frecuencia del ruido.

EJEMPLO

Suponiendo que una señal de 25 Hz con componentes de ruidos en 60, 150 y 510 Hz, se muestrea a una frecuencia de 100 Hz. Que frecuencias alias se producen en el proceso de muestreo? SOLUCIÓN: Según el teorema de Shannon la mínima frecuencia de muestreo para la señal es de 50 Hz(doble de la frecuencia de la señal), por lo que las componentes inferiores a esta frecuencia se muestrean correctamente desde el punto de vista frecuencial. Pero las frecuencias superiores a 50 Hz producen frecuencias alias de valor:

 Adquisición de datos. Multiplexor analógico

 Adquisición de datos. Muestreo y Retención (Sample & Hold)

Todos los componentes están dentro de un circuito integrado excepto el condensador C que se conecta externamente. El funcionamiento del circuito es el siguiente: cuando el interruptor de estado sólido (S) se cierra, por efecto de una señal alta en la entrada lógica, el condensador C se carga al voltaje de entrada V1, debido a que el amplificador operacional A1 está configurado como un seguidor de voltaje. El amplificador A1 tiene una alta impedancia de entrada y baja impedancia de salida lo cual permite que el condensador C se cargue y descargue rápidamente, de tal forma que mientras el interruptor de estado sólido (S) permanezca cerrado, el voltaje a través del condensador C sigue al voltaje de entrada V1. Al desactivar la señal lógica de muestreo, el interruptor de estado sólido se abre pero, el condensador sigue cargado al voltaje existente en el momento de la apertura puesto que la impedancia de entrada al amplificador operacional A2 es muy elevada. Como el amplificador A2 está configurado como un seguidor de voltaje, su tensión de salida también sigue fija en el valor que tenía el voltaje del condensador en el momento que reprodujo el muestreo.

MUESTREADORES El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo discreto. Es un interruptor que se cierra cada T segundos para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo debe ser mucho menor que la constante de tiempo mas significativa de la planta o proceso. La función del muestreador es convertir una señal continua en el tiempo (análoga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo 0, T, 2T…en donde T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de muestreo no se transmite información. En la figura “a” de la siguiente diapositiva se muestra el diagrama de bloques de un muestreador y la figura “b” representa la forma de la señal a la entrada y a la salida del muestreador. Teniendo en cuenta que la salida del muestreador es un tren de pulsos ponderado es posible relacionar la señal continua x(t) con la salida del muestreador mediante la ecuación:

a) Muestreador b) Señales de entrada y salida del muestreador 

En donde δ(t) representa un tren de pulsos unitarios como se indica. Si la señal continua es muestreada en forma periódica, la señal de salida del muestreador se puede expresar como:

En la practica las señales o funciones temporales que se consideran en los sistemas de control son cero para t> T=1; >> s=tf('s'); >> G= 1/(s*(s+1)); >> z = tf('z',T); >> BGz=c2d(G,T, 'zoh'); >> BGz = zpk(BGz)

0.3679 z 0.2642  z  BG( z) ⇒ ] ( z 1)( z 0.3679)  z e T 

 Modelado de sistemas en tiempo discreto Álgebra de bloques de sistemas muestreados

G ( z )  Z [ B( s) G1 ( s)]  Z [ B( s) G2 ( s)]  BG1 ( z)  BG2 ( z )

G( z )  Z [ B( s) G1 ( s) G2 ( s)]

 BG1G2 ( z)

G( z )  Z [ B( s) G1 ( s)]  Z [ B( s) G2 ( s)]  BG1 ( z )  BG2 ( z )

 Modelado de sistemas en tiempo discreto Sistemas realimentados: bucle cerrado (FTBC ) r (t )

+

e (t )

B(s)

T

u(t )

G(s)

 y (t )  BG ( z )  B( z ) G ( z )

H(s)

 Z [ B( s) G ( s)] 1  Z [ B( s) G ( s)  H ( s)]

Y ( z )  M ( z )  R( z )

r (t )

+

e(t )

D(z)

{uk }

B(s)

u(t )

 BG( z ) 1  BGH ( z )

 y (t ) G(s)

H(s)

 M ( z)

 D( z)  Z [ B( s) G( s)] 1  D( z)  Z [ B( s) G( s)  H ( s)]

 D( z)  BG( z) 1  D( z)  BGH ( z)

Problema 2. Sistemas realimentados. FTBC  Sistema en bucle cerrado con realimentación unitaria. Ecuación característica. r

(t )

e (t ) T=1

G( s)

( s) 1 V ( s)  s ( s 1)

1 e  sT   B0 ( s )  s

B0(s)

G(s)

(t )

1 e sT   B0 ( s )G ( s)  s 2 ( s 1) Matlab >> T=1; >> s=tf('s');

 BG ( z )

0.3679 z 0.2642 ( z 1)( z 0.3679)

>> G= 1/(s*(s+1)); >> z = tf('z',T); >> BGz=c2d(G,T,'zoh'); >> H=1;

 M ( z)

 BG( z ) 1  BG ( z )

0.3679 z 0.2642  z 2  z 0.6321

Q( z ) 1  BG ( z )  z 2  z 0.6321 0

>> Mz =feedback(BGz,H) >> [num,Qz] = tfdata(Mz, 'v')

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Respuesta temporal (I) - Ejemplo I: Respuesta temporal de un sistema de primer orden ante entrada escalón Muestreado

Continuo R(s)

E(s)

+  _

4

R(s)

Y(s)

+  _

 s 2

0.667 ⇒ Y ( s)

 y(t )  L 1 Y ( s)

0.667  s

0.667 s 6

T = 0.1s

Ts

4

Y(s)

s 2

 Z [ B0 ( s).G( s )]  R ( z ); 1  Z [ B0 ( s).G( s)] 0.3625 0.3625  BG ( z )  Z [ B 0 ( s ).G ( s )] ;  M ( z ) ;  z 0.8187  z 0.4562  R( z )  Z ( 1 )  z Al d.f.s. dejar z en numerador  s  z 1 (ver Tablas) Tabl as

G( s)  R( s); 1 G( s) 4 4 G( s) ;  M ( s) ;  s 2  s 6 1  R( s )  s

Y ( z )  M ( z )  R( z )

Y ( s)  M ( s)  R( s)

4 6

1 e  s

E(s)

 F ( s ) 1

 s 1

0.667(1 e 6t )  s 2 1

 s a

 F ( z )  z  z 1 Tz  z 1 2  z  z e aT 

 f (t )

0.667 z Y ( z ) 0.667 z  z 1  z 0.4562

1

t  e

 y (kT )  Z at 

1

Y ( z )

0.667(1 0.4562 k )

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Respuesta temporal (II) - Ejemplo I: Respuesta temporal de un sistema de primer orden ante entrada escalón

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Respuesta temporal (III) - Ejemplo II: Respuesta temporal de un sistema de segundo orden ante entrada escalón Continuo R(s) +  _

E(s)

1

Muestreado Y(s)

 s( s 1)

R(s) +  _

G( s)  R( s); 1 G( s) 1 1 1 G( s ) ;  M  s ( ) ;  R (  s )  s 2  s 1  s ( s 1)  s

Y ( s)  M ( s)  R( s)

E(s)

1 e

T = 1s

 s

Ts

1

Y(s)

 s( s 1)

 Z [ B0 ( s).G( s )]  R( z ); 1  Z [ B0 ( s).G ( s)] 0.368 z 0.264  BG ( z )  Z [B ( s ).G ( s )] ; 0 2  z 1.368 z 0.368 0.368 z 0.264  z ; 1 )=  R(Z)  Z (   s  z 1  z 2  z 0.632 Y ( z )  M ( z )  R( z )

 M(Z)

El muestreo tiene un efecto desestabilizante sobre el sistema. Es deseable que las respuestas continua y discreta sean aproximadamente iguales.

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Estabilidad. Ecuación característica (I) Considerar un sistema de datos muestreados de bucle único: m  R( s )  E ( s )  BG ( z )  K  z zi Y ( z )  M ( z )  R ( z )

1  BGH ( z )

 R ( z )

Ecuación característica (denominador BC )

Y ( z )

k 1 z L  z p1

Y ( z )  Z 1 (

T

pi

k n z Y ( z );  z pn  R  Z [a k ]

1

 z

k i z  z  pi

Si pi

1 ⇒  p ki

0 cuando k 

Si pi

1 ⇒  p ki

cuando k

B(s)

G(s)

Y ( s)

H(s)

Q( z ) 1  BGH ( z ) 0

Y  R( z): términos de la salida generados  por la señal de entrada

 y(kT )  Z ;

n

 R ( z )

En ejemplo I :  z

 z a 1 a z

k i pik 

Un sistema es estable si ante una entrada acotada, su salida es también acotada.

 M ( z )

1 1

0.3625 ;  z 0.4562

Transitorio

Y ( z)

Para un sistema discreto

 z ; Q( z )  z 0.4562 0  z 1 Estacionario

0.667 z  z 0.4562

 y (kT )  Z

 R( z )

1

Y ( z )

0.667 z 0.667 z  z 1  z 0.4562

Y R ( z)

0.667(1 0.4562k )

Todas las raíces de su ecuación característica son de módulo menor o igual a 1

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Estabilidad. Ecuación característica (II) • Para un sistema estable las raíces de la ecuación característica, polos de  BC independientes de la entrada, determinan la respuesta transitoria del sistema. Polos BC 

Q ( z ) 1  BGH ( z ) 0

•  En los instantes de muestreo una señal muestreada tiene los mismos valores que la señal continua.

• Una raíz en  z =  zi del  plano  z , presenta las características de la

respuesta transitoria en los instantes de muestreo del polo equivalente  si del plano s.

 zi  s

e siT  ⇒ j

 z e sT  e( e j T 

 j )T 

e T e  j

T 

e T e  j (

T sen sen T  arctancos T 

| |  cos

cos T

j sen T ⇒

2

T 2q ) 2

T 1

 z

T 

 z

e

T 

T 

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Transformación de lugares del plano- s al plano- z (I) Transformación del semiplano  Real(s) < 0  de la banda primaria, en el  plano z  s

Im  s 3

2

j

 z  z

 j s/2

e

Im  z

T 

T  1

1

4

5

Re  s

-j s/2

[NOBA_D-07] Una propiedad muy importante de la transformada de Laplace de una función muestreada es que es una función compleja y periódica con periodo j s . Todo lo que ocurra en la franja primaria se repite en las franjas complementarias de forma periódica.

⇒

1

2

3

5

4

1

T 

 z

1

 s

1

2 1

2

 s ⇒

 s

2

 z

⇒

Re  z

 z

T   s

2

T

 z

⇒  s

2  s

2

T

1

T 2 T T 

2  s  s

2

2  s

T 

1

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Transformación de lugares del plano- s al plano- z (II) Transformación del lugar geométrico de amortiguamiento

4

ρ

n

cte

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Transformación de lugares del plano- s al plano- z (III) Transformación del lugar geométrico de frecuencia

d

cte

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Situación raíces ecuación característica (I) Para un sistema de segundo orden normalizado: 2 n

 M ( s ) n

 s1,2

j

n

n

1

√1

 s 2 2ρ n s

2 n

ρ2

2 n

j

d

ln r 

 

2

2

ln r

 z

 sT 

e

 s1,2

e

nT 

T 1 n

2

r

T 

1

d 

n

T 

T 

1 T 

n

d 

2

ln r

2

T  d 

ln r 

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Situación raíces ecuación característica (II) Mapeado de las líneas de amortiguamiento ρ y frecuencia natural n , constantes.

ρ

cte

Espiral logarítmica

ρ

 s

 0

Plano z 

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Respuesta temporal transitoria Como en los instantes de muestreo la respuesta temporal de la señal muestreada coincide con la continua, podemos asignar características de la respuesta temporal según las localizaciones de las raíces en el plano, considerando las [PHILLIPS-95] transformaciones de s en z 

Plano s

Plano z 

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Error en Régimen Permanente (Realimentación Constante)

e ss

erp

lim s  s

0

1 1

G ( s) H ( s )

R( s)

 z 1  R( z ) lim  z 1  z 1  K BGH ( z)  R( s) 1  s 1  s 2

 R( z )  z z 1 Tz  z 1

r (t )

 K p

 K v

lim K G ( s) H ( s )

 s

0

lim s K G ( s ) H ( s )

 s 0

1 2

t 

Tipo: nº de polos en  z = 1 de FTBA

 BGH FTBA  K Ganancia  BA

 K p lim K BGH ( z )  z 1  z 1  K v lim  K BGH ( z )  z 1 T 

erp p erpv

1 1  K  p 1

 K v

Ejemplo 2. Error

en régimen permanente

 E ( z )  R( z ) Y ( z )  R( z )  E ( z )  K BG( z ) erp

 R( z )

Tz ( z 1)2

 E ( z )

 R( z ) 1  K BG( z )

 R( z )  z 1  E ( z) lim  z 1  z 1  z 1  K BG ( z ) 1  z

lim e(t ) lim t 

 z

erp

1 1  z 1 T z T  lim 2  z  z ( 1) 1  K BG( z )  z 1 ( z 1) 1  K   BG( z ) 1

lim  z

 K v

lim  z 1

 z 1 T 

 K   BG ( z )

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Estabilidad. Criterios (I) - Un sistema muestreado es estable si todas las raíces en  z de su ecuación característica característica se sitúan en el interior del círculo unitario. - Métodos algebraicos de estudio de estabilidad: transformación bilineal del plano  z al plano w Criterio de Routh-Hurwitz: aplicando una transformación  z

1 1

T/  w 2 ; T/  w 2

w

2 ( z 1) T ( z 1)

- Muchos procedimientos procedimientos de análisis y diseño en sistemas de tiempo continuo se basan en la  propiedad de que la frontera de estabilidad es el eje imaginar i maginario. io. - La transformación bilineal (Tustin) transforma la frontera de estabilidad en  z (el círculo unitario) en el eje imaginario del plano w. - Puede utilizarse el criterio de Routh-Hurwitz en los sistemas muestreados si se expresa su ecuación característica en la variable w (no en z).

T=0.01; s= tf('s'); Gs= 22.5*39.453/(s*(s+8.871)); z = tf (‘z’,T (‘z’,T ); BGz=c2d(Gs,T,‘zoh’); BGz = zpk(BGz) 0.043101 (z+0.9709) BGz = ---------------------------(z-1) (z-0.9151) BGw=zpk(d2c(BGz,'tustin')) -0.00032844 (s+1.35e004) (s-200) BGw = --------------------------------------------------------------------------------------s (s+8.877) Mw=feedback(BGw,1); [num,Qw] = tfdata(Mw,’v’)

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Estabilidad. Criterios (II) - Métodos algebraicos de estudio de estabilidad estabilidad ( Cont ): ): C r i ter i o de J ury: específico para sistemas muestreados. Las condiciones necesarias y suficientes para que el polinomio característico característico en z no tenga raíces fuera del círculo unitario son:

Q( z) an zn an 1 zn 1 L a1 z a0

0, an

0

1. Q(1) > 0 2. (-1)n Q(-1) > 0 3. |a0| < |an| |b0| > |bn-1| |c0| > |an-2| Condiciones de la

…

tabla de Jury

|m0| > |m2| Sistemas de tercer orden o superior [PHILLIPS-95]

Problema 3. Estabilidad. Criterio de Jury a) Calcular el rango de ganancias estabilizantes para el sistema si se muestrea con T=1 G( s)

( s) 1 V ( s)  s ( s 1)

 B0 ( s) G ( s )

 sT 

e 2

 s ( s 1)

 sT  1 e  B0 ( s) ;  s

 BG ( z )

1

0.3679 z 0.2642 ; ( z 1)( z 0.3679)

Q( z ) an z n a n 1z n 0

1

..

⇒

Q( z ) 1  K BG( z ) 1 a1z + a0

 K (0.368 z 0.264) 0  z 2 1.368 z 0.368

z 2 (0.368 K 1.368) z (0.368 0.264 K )

Criterio de Jury (sistema de segundo orden): 1. Q(1) 0 0.632 K

3. a0 0 ⇒ K

0

0.368 0.264 K  1 ⇒ K

2. ( 1) n Q( 1) 0 2.736 0.104 K 0 ⇒ K

an

26.3

2.39

Rango de ganancias estabilizantes (T=1): 0 < K < 2.39

 b) Calcular el rango de ganancias estabilizantes para el sistema si se muestrea con T=0.1 Rango de ganancias estabilizantes (T=0.1): 0 < K < 20.3

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Lugar de raíces Sea un sistema muestreado de bucle único: Matlab

 FTBA KBGH ( z )

>> T=…;

 KBG ( z )  FTBC  1  KBGH ( z )

>> GHs= …;

- El lugar de raíces es el lugar geométrico que describen las raíces de la ecuación característica al variar la ganancia 0 < K < ∞. - Las reglas de construcción para los sistemas muestreados son las mismas que en los sistemas continuos. - Difiere la interpretación del LR ya que la región estable en  z es el interior del círculo unitario.

>> s=tf('s'); >> z = tf(‘z’,T); >> BGHz=c2d(GHs,T, ‘zoh’);

>> rlocus(BGHz)

>> sisotool

 Análisis de sistemas en tiempo discreto Respuesta frecuencial. Diagrama de Bode. Para sistemas muestreados, el análisis en frecuencia con la técnica de Bode exige aplicar la transformación bilineal. En dicho plano, los métodos son iguales que en los sistemas continuos.

 FTBA(w)  KBGH ( z) G( s )

 BG( w) w

T/

1

T/

1 ;  BG( z ) s 1  s / 2 1

 s

 BG ( j

 z

1

)

2 w

w  j

w

 FTBA( j

w

)

2 w

4 10 5  z 3.595  z 0.258  z 1  z 0.9512  z 0.9048

1 w / 40 1 w / 70 1 w / 70 w 1 w 1 w/ 2 1  j w / 40 1  j w / 70 1  j w / 70  j w 1  j w / 2  j w 1

Matlab [Definición en s

Matlab [z

z]

w]

>> BGw=d2c(BGz,'tustin')

>> T=0.05;

>> bode(BGw); grid

>> s=tf('s'); >> Gs= 1/(s*(s+1)*(s/2+1)); >> z = tf( ‘z’,T); >> BGz = c2d(Gs,T, ‘zoh’);

Matlab [ z

>> BGz=4e-5*(z+3.595)*(z+0.258)/((z-1)*(z-0.915)*(z-0.9048));

BGz

>> frec=[0.001:0.1:100];

>> BGz = zpk(BGz); Matlab [Definición en z] >> T=0.01; >> z = tf( ‘z’,T); >> BGz=0.04308*(z+0.9708)/(z-1)/(z-0.915);

Modelo frecuencia ]

>> BGz_frec=frd(BGz,frec); >> bode(BGz_frec);grid

2

>> sisotool

w >> ltiview

T 

tan ( T 

T  2

≈

2 T 

T

2

Técnicas de diseño de controladores digitales Introducción - Diseño continuo de reguladores - Aproximación de la respuesta temporal - Técnicas de aproximación numérica

discretización. (Métodos aproximados)

- Técnicas de mapeado cero-polo

- Diseño discreto de controladores digitales - Modelo Función de Transferencia - Reguladores PD , PI , PID con el lugar de las raíces FTBA(z)

(especificaciones temporales) - Reguladores atraso, adelanto, atraso-adelanto con el diagrama de Bode F TBA(j ) (especificaciones en frecuencia) - Síntesis directa de reguladores (Específicas de los sistemas discretos)

- Modelo Variables de Estado - Asignación de polos - Control óptimo

 Discretización de reguladores continuos Diseño continuo discretizado

Diseño continuo

Discretización del controlador

 Discretización de reguladores continuos Técnicas de aproximación de la respuesta temporal Invarianza al impulso

Tranformada Z

 D( z )  Z C ( s) Invarianza al escalón

ZOH

 Discretización de reguladores continuos Técnicas de aproximación numérica (I) • Transformación de los polos estables del plano s al plano z :  j

 j b

b

a)

a)

b)

 D( z ) C ( s )  s

a) Plano s;  b) Plano z.

 z 1 T 

Método rectangular hacia adelante

b)

 D ( z ) C ( s)  s

1  z

T 

1

C ( s)  s

 z 1  zT 

Método rectangular hacia atrás

 j b

b

0

a)

b)

Método trapezoidal o bilineal (Tustin)

Se mantiene la estabilidad del regulador pero no se garantiza la estabilidad del sistema realimentado.

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (II) - Parten del diseño del regulador  PID  continuo, convirtiendo sus  parámetros a tiempo discreto mediante algoritmos de aproximación numérica. - Dado el regulador  PID en tiempo continuo “de libro de texto”:

u (t )  K [e(t )

1 t  e( )d  T i 0

∫

d e(t ) T d  dt 

]

Para pequeños periodos de muestreo se puede aproximar el término derivativo por el método rectangular (o Euler) hacia atrás, -y el término integral por métodos como, por ejemplo, - Rectangular- hacia atrás -Trapezoidal

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (III) CASO 1: D rectangular atrás , I  rectangular atrás:

de(t ) dt 

e(k ) e(k 1) U D ( z ) 1  z 1 ⇒ T   E ( z ) T 

Rectangular hacia atrás:

u D (t )

Rectangular hacia atrás:

U I ( z ) T  u I (t ) ∫o e(t )dt ⇒ u I (k ) u I (k 1) T e(k ) ⇒  E ( z ) 1  z t 

1

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (IV) CASO 1: D Euler atrás , I Euler atrás (Cont.):  Z -1

PD a0  K( 1 T d T 

)

a1

 K 

u (k ) a 0e(k ) a1e(k 1)

T d  T   Z -1

PI 

u (k ) u (k 1) b0 e(k ) b1e(k 1) b0  K [1

T ]; b 1 T i

K 

PI D  Z -1

u (k ) u (k 1) q0e(k ) q1e(k 1) q2 e(k 2)

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (V) CASO 2: D rectangular atrás , I  trapezoidal:

Rectangular hacia atrás:

Trapezoidal o Bilineal:

u D (t )

u I (t )

de(t ) dt 

e(k ) e(k 1) U D ( z ) 1  z 1 ⇒ T   E ( z ) T 

T  e(k ) e(k 1) ⇒ u I (k ) u I (k 1) e t dt ( ) ∫o 2 t 

⇒

U  I  ( z )  E ( z )

T 1  z 2 1  z

1 1

e(k)

e(k-1)

 Área e(k 1) T T

rectángulo

e(k ) e(k 1) triángulo

T  2

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (VI) CASO 2: D Euler atrás , I trapezoidal (Cont.):  Z -1

PI 

PI D  Z -1

u ( k ) u (k 1) q0e(k ) q1e(k 1) q2 e( k 2)

u (k ) u (k 1) b0e(k ) b1e(k 1)

 Discretización de reguladores PID Técnicas de aproximación numérica (VII) CASO 2: D Euler atrás , I  trapezoidal (Cont.):

Problema 4. Discretización

de un PD ideal (I)

Control digital de posición (eje  x) de una mesa de trabajo G(s) en sistemas de manufacturado. La mesa se activa en cada eje mediante un motor y un tornillo regulador. Se diseña el regulador continuo: C ( s) 250( s 11) G ( s )

 s ( s 10)( s 20))

a) Considerando un periodo de muestreo de T = 0.01 seg., deducir la aproximación discreta del regulador mediante Euler con la exigencia de mantener su estabilidad.  b) Obtener la ecuación en diferencias que representa la dinámica del regulador discretizado.

Problema 4. Discretización

de un PD ideal (IV) En la gráfica puede verse la respuesta del sistema continuo y del discreto (obtenido mediante tablas, y por aproximación de Euler)

Ecuación en diferencias  Euler

D( z) 27750 ( z 0.9009) 27750 25000 z

1

U ( z)  E ( z )

 Z -1

⇒

u (k ) 27750 e(k ) 25000 e(k 1)

 Discretización de reguladores continuos Técnicas de mapeado cero-polo (I) En esta técnica se igualan ( mapean) mediante  z e sT  los ceros y polos de la función de transferencia continua C(s)  a los de la función de transferencia discreta  D(z) según la expresión ( s ) ( z e T ) , manteniendo la ganancia. m

m

( s ai ) i 1 n

C ( s)  K C 

 D( z )  K  D ( s b j )

 j 1

( z e

ai T 

)

( z e

b j T 

)

i 1 n  j 1

Cálculo de K  D: lim C ( s) lim D( z)  s 0

 z 1

Si C(s) contiene menos ceros que polos, hay ( n-m) ceros en el infinito, y es necesario multiplicar por uno de Se supone que  s  F ( s )  F ( z ) los dos factores siguientes:

a) z(n-m)

si se sigue el criterio

1

 s a

 z z e

aT 

b) (z+1)(n-m) si se considera que los ceros están en

 satisface el teorema de muestreo  s

2

en lugar de

 Discretización de reguladores continuos Técnicas de mapeado cero-polo (II) Consideramos la discretización de compensadores continuos del tipo:  PI   real o ideal, PD real, red atraso-adelanto o  PID real. C ( s)  K C 

Cálculo cero-polo:

( s

( s a) ( z e  Z [ ( s b) ]  z

1  z

) aT

( s a ) ( s b)

)

 D( z )  K  D 1

e

T

 z

e

 z A ( z B) T 

[criterio a)]

 z

 z ( z e aT ) z  A aT  bT  ,  A e  B e ⇒ ( z e bT ) ( z e bT )  z B

Cálculo de la ganancia: estado estacionario por el teorema del valor final (sistema estable). lim C ( s ) lim D( z ) ⇒ lim K C   s 0

 K C a b

K D (1  A) (1  B )

( s a) ( s b)

⇒  K  D

lim K  D

 z 1

( z A) ( z B)

 K C a (1  B) b (1  A)

Problema 5. Mapeado cero-polo (I) Diseño del sistema de control del movimiento de una mesa de trabajo a) Considerando un periodo de muestreo de T = 0.01 seg., deducir la aproximación discreta del regulador por el método de mapeado cero-polo.  b) Obtener la ecuación en diferencias que representa la dinámica del regulador discretizado.

r (t )

G ( s )

e(t )

C(s)

1 ;  s ( s 10)( s 20)

G(s)

C ( s ) 8000

 y (t )

( s 11) ( s 62)

Problema 5. Mapeado cero-polo (II)

1 ; G ( s)  s ( s 10)( s 20)

 D( z )  K  D

 z A ( z B)

1 e  sT  ;  B0 ( s)  s

 A e

aT

e

11 0.01

C ( s )  K  C 

( s a ) ( s 11) 8000 ( s b) ( s 62)

0.8958;  B e

bT

e

62 0.01

0.5379

Cálculo de la ganancia : estado estacionario por el teorema del valor final (sist. estable)

 K  D

 K C a (1  B) b (1  A)

 D( z) 6294.47

8000 11 0.4621 6294.47 62 0.1042

( z 0.8958) ( z 0.5379)

Matlab >> T=0.01; >> s = tf('s'); >>C=8000*(s+11)/(s+62); >>D=zpk(c2d(C,T,'matched'))

Problema 5. Mapeado cero-polo (III) En la gráfica puede verse la respuesta del sistema continuo y del discreto. Matlab % Sistema continuo >> s = tf('s'); >> Gs = 1/(s*(s+10)*(s+20)); >> C = 8000*(s+11)/(s+62); >> G =Gs*C; >> Ms= feedback(G,1); % Sistema discreto >> T=0.01; >> z = tf('z',T); >> Gz = c2d(Gs,T); >> D=c2d(C,T,'matched'); >> Mz = feedback(Gz*D,1); >> [num,Qz]=tfdata(Mz,'v')

U ( z)  D( z ) 6294.47 ( z 0.8958) ( z 0.5379)  E ( z ) -1  Z  ⇒ u (k

1) 0.5379 u (k ) 6294.47 e(k 1) 5638.6 e(k )

% Respuesta a escalón >> step(Ms); hold on >> step(Mz); hold off

 Elección del periodo de muestreo Criterios - Su elección influye en el funcionamiento del regulador digital de dos maneras: - Cualitativamente : cuanto menor sea el periodo de muestreo más se asemeja su funcionamiento al de uno continuo, pero se aumenta la frecuencia de cálculo del regulador digital. - Cuantitativamente : existen diferentes propuestas como: 1 1 c frecuencia de cruce T ( t 95 .. t 95) T (0.15 .. 0.5) c de ganancia en rad/s 15 4 Variable a regular 

T

Caudal

1..3 segundos

Presión

1..5 segundos

Nivel

5..10 segundos

Temperatura

30..600 segundos

[OGATA-96]

Si el periodo de muestreo obtenido es muy  pequeño, plantearse diseño discreto.

Problema 8. Elección del periodo de muestreo (I) Elegir un periodo de muestreo conveniente para la discretización según la respuesta temporal en BC del sistema continuo que se muestra en la figura.

T ( 1 t 95 .. 1 t 95) 15 4 G ( s)

1 ; 2  s

 B0 ( s)

1 e  s

( s 0.2) C ( s) 0.81 ( s 2) ;  sT  ;

Y ( s)  M ( s )  R ( s )

t 95 14.1 t 95 t 95 ⇒T ⇒ 15 4 ⇒ T 0.94 3.52

C ( s) G ( s)  R  s ( ) 1 C ( s ) G ( s )

T 1

Problema 8. Elección del periodo de muestreo (II) Elegir un periodo de muestreo conveniente para la discretización según la respuesta frecuencia del sistema continuo que se muestra en la figura. c frecuencia de cruce

(0.15 .. 0.5) cT

1 ; G ( s )  s 2

( s 0.2) C ( s) 0.81 ( s 2) ;

de ganancia en rad/s

1 e  sT  ;  B0 ( s)  s

T 0.15 0.5

c

C ( j ) G ( j )

c

⇒ T 

0.435 0.15 0.5 c

⇒ T 

⇒

c

0.34 1.15

T 1

en