337 Lectura6.2

LECTURA 6.2 SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS

Azarang M., Garcia E. Mc. Graw Hill. México

CAPITULO 2

LINEAS DE ESPERA 2.1

INTRODUCCIÓN

Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia

2.2

OBJETIVO

En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo. De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo de la siguiente forma:

Estos conceptos se pueden representar gráficamente de acuerdo con el esquema mostrado en la figura 2.1.

Figura 2.1

Esquema de optimización de una línea de espera.

2.3 ESTRUCTURA Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un sistema con el fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades dispuestas para ello, conocidas como servidores. En caso de que todas las entidades se encuentren ocupadas, la transacción permanece en espera en la fila hasta que decide abandonar la fila sin ser atendido, o bien, es seleccionado de acuerdo con cierta regla para recibir atención. Una vez que el servicio ha sido completamente proporcionado, la transacción sale del sistema y se convierte de nuevo en una transacción potencial. Servidores

Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de dicho servicio. Las dos características principales de los servidores son: la cantidad asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más comunes están la exponencial, la Erlang, la hiperexponencial, la degenerada. Transacciones potenciales

Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos; la

primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos. La segunda caracterísitica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas o bien a la tasa de entrada promedio. Es común encontrarse la suposición de tasas de llegada que siguen un proceso Poisson, el cual ocurre cuando las llegadas a un sistema se llevan a cabo de forma aleatoria; es importante hacer notar que una de las propiedades de esta distribución es su relación con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa en forma paralela, de acuerdo con un proceso de tipo exponencial. Existen algunos sistemas donde la tasa de llegadas se ve afectada por la decisión de una transacción de rehusar su entrada al sistema por razones diversas, por ejemplo del tamaño de la fila. Fila

Is el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de encontrar a partir

Figura 2.2 Estructura general de un sistema de líneas de espera.

de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, mientras que, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. La segunda característica es el orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y, por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien, mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, etcétera.

2.4 S n N A,,t

NOMENCLATURA número de servidores número de clientes en el sistema número máximo de clientes permitidos en el sistema flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema

u,7l E(t)

V(t) E(á) V(a) CQ

capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema. tiempo promedio de proceso por cliente

variancia del tiempo de proceso tiempo promedio entre llegadas variancia del tiempo entre llegadas coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al

sistema C2S coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio Cp coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema PIJ probabilidad de que el sistema cambie de un estado i a un estado y después de un intervalo de tiempo Pn probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L número promedio de clientes en el sistema Lq número promedio de clientes en la fila W tiempo promedio de permanencia en el sistema Wq tiempo promedio de permanencia en la fila p utilización promedio del servicio Ct costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo Ce costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo Cq costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

2.5 CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde: a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones. b distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D: constante. Ek: distribución Erlang con parámetro k. G: cualquier tipo de distribución. GI: distribución general independiente. H: distribución hiperexponencial. M : distribución exponencial. c número de servidores d orden de atención a los clientes. Los símbolos utilizados en este campo son: FCFS: primeras entradas, primeros servicios. LCFS: últimas entradas, primeros servicios SIRÓ: orden aleatorio. PR: con base en prioridades. GD: en forma general. e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo. / número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera. Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común. En otro caso, un modelo (M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo

de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común. Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la forma mostrada en la figura 2.3, donde se separan principalmente los modelos markovianos de los no markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con capacidad finita y modelos con capacidad infinita, los no markovianos, a su vez, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicio con cualquier función de probabilidad, y en modelos con tiempos entre llegadas y tiempos de servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación se realiza en función del procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo.

Figura 2.3 Agrupación de los modelos de acuerdo con el procedimiento matemático de solución.

2.6

ECUACIONES GENERALES

Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes: Utilización del servicio

Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el servicio.

Tasa de entrada promedio

Es el valor ponderado de las tasas de entrada a un sistema y representa el número promedio de clientes que, efectivamente, ingresan al sistema convirtiéndose de clientes potenciales en clientes reales. A su vez, esta variable es la tasa de salida del sistema; en el caso de sistemas de manufactura esta variable representa la producción que en promedio está logrando el sistema.

Número promedio de clientes en el sistema

Es el promedio ponderado de los diferentes estados del sistema, definiendo el estado del sistema como el número de clientes que se encuentran acumulados tanto en espera como en servicio en cualquier momento.

2.7 PROCESOS MARKOVIANOS El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la propiedad markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades condicionales se conoce como probabilidades de transición de un paso y hay que considerar que son estacionarias, o sea que no cambian con el tiempo. Estas probabilidades se expresan como p¿j. Hay que recordar que en este caso, el estado se define como número de transacciones dentro del sistema en un momento dado. La tabla 2.1 muestra la representación matricial del comportamiento de una línea de espera, donde los índices de la primera columna representan el estado actual del sistema y los del primer renglón los estados futuros, relacionados entre ellos por la probabilidad condicional de que el sistema cambie del estado actual al estado futuro. Las probabilidades condicionales de la matriz deben de cumplir con:

Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transición de un paso de acuerdo con las ecuaciones siguientes:

Tabla 2.1 Matriz de probabilidades de un paso.

que forman un sistema de ecuaciones con N + 1 incógnitas, N + 1 ecuaciones independientes y una ecuación rendundante que debe ser eliminada.

La solución de este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentre el sistema inicialmente; así pues, estas probabilidades se representan conforme a la matriz de la tabla 2.2.

Tabla 2.2 Matriz de probabilidades de estado estacionario.

Una vez calculadas las probabilidades de estado estacionario, la solución del modelo markoviano de líneas de espera se obtiene utilizando las ecuaciones generales descritas en la sección anterior.

Ejemplo. Se desea encontrar el número de pacientes promedio en el consultorio de un doctor, para ello se realizaron un total de 73 observaciones con intervalos de 5 minutos entre cada observación, registrando en cada ocasión el número de pacientes en el consultorio. En la tabla 2.3 se clasifica la información en función de la relación existente entre observacionest consecutivas distanciadas en el tiempo cada 5 minutos. Por ejemplo, de las 7^3 Observaciones totales, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado O (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, cambiado a estado 2 en 2 ocasiones y no se observó cambio a los estados 3 y 4; en 20 de ellas el sistema estuvo en estado 1 (estado presente) y 5 minutos después (estado futuro) el sistema permaneció sin cambio en 8 ocasiones, cambió a estado 1 en 7 ocasiones, al estado 2 no se observó cambio alguno y, finalmente, cambió 1 y 4 veces a los estados futuros 3 y 4 respectivamente.

Tabla 2.3 Observaciones del sistema.

Calculando la probabilidad condicional de cambiar del estado presente i al estado futuro j, puede asegurarse que:

tenemos la siguiente matriz de un paso,

Tabla 2.4 Matriz de probabilidades de un paso.

Con estas probabilidades se puede formar el siguiente diagrama de transición de un paso:

Figura 2.4 Diagrama de transición de un paso

Aplicando las ecuaciones de estado estacionario 2.15 y 2.16 a la matriz de la figura 2.4, se genera el siguiente conjunto de ecuaciones: P0 = 0.3P0 + 0.4PT + 0.2P2 + 0.33 P3 + 0.5P4 P! = 0.5P0 + 0.35P! + 0.2P2 P2 = 0.2P0 + 0.2P2 + 0.66 P3 P3 = O.OSPi + 0.2P2 P4 = 0.2PX + 0.2P2 + 0.5P4 P0 + Pl + P2 + P4 - 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: P0 = 0.355 P! = 0.310 P2 =0.122 P3 =0.041 P4 =0.173 Al sustituir en la ecuación 2.6 se encuentra el número promedio de pacientes en espera:

En el ejemplo previo, las observaciones se realizaron cada 5 minutos, sin embargo es evidente que en ese periodo pueden suceder cambios de estado que quedan fuera de la visión del observador, por lo que se recomienda reducir al máximo el intervalo entre observaciones consecutivas. Esta reducción permite que las observaciones de los cambios de estado se lleven a cabo de manera continua y estén en función de la probabilidad de ocurrencia de una llegada o una salida del sistema. Las observaciones se realizan ahora sobre estas dos últimas variables. En el caso de los modelos markovianos M/M, la distribución de probabilidad que define la llegada o salida de transacciones de un sistema y, por ende, los cambios de estado en un t + A£, está dada por la distribución Poisson expresada como:

Si se define un intervalo Ai pequeño que asegure el cumplimiento de los siguientes postulados, 1. Solamente puede ocurrir una llegada entre £ y Ai. 2. Solamente puede ocurrir una salida entre £ y A£. 3. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre £ y A£.

Tabla 2.5 Matriz de probabilidades de un paso para Ai -> O.

2.7.1

MODELOS (M/M/c)(d/N/f)

Caracterizados por la interrupción de entradas al sistema cuando éste llega a un cierto estado y cuyo impedimento para entrar puede tener causas atribuibles al sistema como la falta de espacio, o bien a los clientes como en el" caso, por ejemplo, de que todos los clientes potenciales se encuentren dentro del sistema y no exista la posibilidad de que llegue otro cliente. En todos los casos, los sistemas que pueden ser representados mediante un modelo de capacidad finita se resuelven mediante la aplicación directa de las ecuaciones generales, gracias al hecho de que es posible evaluar numéricamente el promedio ponderado de la longitud promedio de fila o de la longitud promedio de clientes en el sistema. En este caso, la solución se puede encontrar de la siguiente forma: • Esquematizar el diagrama de probabilidades de transición para todos los estados posibles del sistema. • Crear la matriz de transición o matriz de probabilidades de un paso. • A partir de las ecuaciones 2.15 y 2.16, encontrar todas las ecuaciones de balance. • Resolver el sistema de ecuaciones para la obtención de las probabilidades de estado estacionario. • Calcular la tasa efectiva de entrada de clientes al sistema. • Calcular L, LQ, W, Wq y p a partir de las fórmulas generales. • Si aplica, evaluar en términos de costo el rendimiento del sistema en estudio. Ejemplo. Una sala de espera tiene capacidad para 3 personas. Las personas arriban al sistema de acuerdo con una tasa de 8 por hora con distribución Poisson y son atendidas por una recepcionista en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega y el sistema está lleno, se retira sin entrar. La clasificación de este sistema es (M/M/l)(FCFS/4/oo) con el diagrama de probabilidades que se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5 Diagrama probabilidades.

La matriz de un paso correspondiente al diagrama de transiciones se muestra en la tabla 2.6. De la matriz de probabilidades de la tabla 2.6 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar las probabilidades de rstado estable:

de

Se requiere oí valor do /*> para la solución de P,,, por lo ) ¿cuál es la probabilidad de que en ese mismo intervalo lleguen 5 clientes? 2.14. A la siguiente red de manufactura de tipo taller de producción intermitente (job-shop) entran 2 piezas/hora con distribución Poisson. Después de la primera operación, las piezas se distribuyen a las demás operaciones de acuerdo con las proporciones mostradas en el diagrama.

determine: a) El inventario promedio y la utilización de cada una de las estaciones. ¿>) La estación "cuello de botella". Nota: La distribución de probabilidad de las llegadas a taladrado y a escariado se conserva como Poisson, aunque con una media más baja en cada una ya que el flujo de 2 piezas/h se divide. 2.15. Lalito tiene tres balones y durante todo el día se divierte entrando y saliendo con ellos del interior de la casa hacia el jardín y viceversa. Debido a su edad, solamente puede manejar un balón al mismo tiempo, aunque a veces entra o sale de la casa sin balón. El niño se mantiene un promedio de 3 minutos con distribución exponencial en el jardín y después entra a la casa donde permanece un promedio de 5 minutos con distribución exponencial antes de volver a salir al jardín. o) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más balones adentro de la casa que en el jardín? 6) En promedio, ¿cuántos balones permanecen en el jardín? 2.15. Se tiene un sistema de producción al tipo (M/M/l)(FCFS/oo/oo) al cual llegan 12 piezas/hora y cada una se procesa en un tiempo de 3 min/pieza. Indique de qué tamaño tiene que ser el almacén de espera para que el 80% del tiempo todas las piezas que lleguen quepan en dicho almacén. Cada pieza mide un metro cuadrado y no se pueden estibar.

2.17. A una máquina de torneado le llegan 10 piezas/hora de la operación anterior, el tiempo de torneado sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. Debido a problemas con el torno, algunas piezas tienen que volver a ser torneadas por no cumplir las normas de calidad; en particular, se estima que el 15% de la producción tiene que reprocesarse en el mismo torno. Una pieza que se reprocesa tiene que regresar al final de la linea de espera para tornearse de nuevo. Si se considera que la entrada de piezas al torno (incluyendo las que vienen del proceso anterior y las reprocesadas) sigue una distribución Poisson. a) ¿Cuál es la tasa real de entrada al torno? 6)' ¿Cuál es la utilización del torno? c) ¿Cuál es el número de piezas promedio en el inventario? Nota: El proceso es (FCFS/oo/oo). 2.18. A la biblioteca de Ciudad Mecano llegan un promedio de 26 personas/año con distribución Poisson, a pedir prestado el libro Líneas de Espera. Aquella persona que logra encontrarlo, lo mantiene en su poder durante 4 días con distribución exponencial. Las personas que piden el libro y encuentran que está prestado se van y nunca regresan. a) Si la biblioteca sólo tiene una copia del libro, ¿cuál es el número esperado de personas que podrán leer el libro durante el año? b) Si cada persona que entra a la biblioteca y no encuentra el libro disponible ocasiona una pérdida de $1 como costo de imagen y mala voluntad. Además, cada libro cuesta $11. ¿Cuántos libros debe comprar la biblioteca? 2.19. Un promedio de 10 personas/hora con distribución Poisson entran a los carriles centrales de una alberca con el fin de nadar durante un rato. En promedio, cada persona nada 30 minutos con distribución exponencial. En la alberca existen 3 carriles disponibles para este tipo de nadadores. Si un nadador se encuentra solo en un carril, nadará pegado siempre al lado derecho del carril; en caso de que otra persona entre en ese carril, cada nadador realizará su ejercicio por un extremo del carril. Debido a políticas de seguridad nunca puede haber más de 2 nadadores en un mismo carril, por esto, si un nadador llega y están ocupados los carriles se retira enojado y no regresa. a) ¿Cuál es la proporción del tiempo en la que habrá 3 personas nadando? b) ¿Cuántas personas en promedio se encuentran nadando en la alberca? c) ¿Cuántos carriles es necesario asignar para asegurar que el 95% de este tipo de nadadores que llegan a la alberca puedan entrenar? 2.20. Cinco estudiantes compraron un barril de cerveza y decidieron organizar un convivio. El tiempo para llenar un vaso de cerveza sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos. El tiempo para beber la cerveza sigue una distribución exponencial con media de 18 minutos. Después de terminarse su cerveza, cada estudiante inmediatamente vuelve a llenar su vaso. a) En promedio, ¿cuánto espera un estudiante en la fila del barril? b) ¿Qué fracción de tiempo no se usa el barril? c) Si el barril tiene una capacidad de 500 vasos de cerveza, ¿cuánto tiempo les tomará a los estudiantes terminárselo? 2.21. Una caja tiene sólo un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de acuerdo con un proceso Poisson con una tasa media de 30 clientes/hora. Cuando en el sistema hay menos de 5 clientes, la fila es atendida por el cajero de tiempo completo, sin embargo, cuando en el sistema hay más de 5 clientes se abre una caja adicional con otro cajero y entre ambos atienden a la fila. El tiempo de atención del cajero de tiempo completo sigue una distribución exponencial con media de 2 minutos/cliente. El tiempo de atención del cajero de tiempo

a) Obtenga el número de clientes promedio en el sistema (L). 2.22. Una máquina procesa piezas con un tiempo que sigue una distribución exponencial, con media de 20 minutos/pieza. Indique cuál es la probabilidad de que una pieza cualquiera sea procesada en un tiempo mayor a 35 minutos. 2.23. Un banco tiene una caja de tipo autoservicio. Los carros llegan de acuerdo con un proceso Poisson con media de 12 carros/hora. El tiempo de atención al cliente sigue una distribución exponencial con media de 4 minutos/carro. Frente a la caja existe un techo que proporciona sombra para 5 carros (incluyendo al que se encuentra en servicio). Indique cuál es la probabilidad de que al entrar un cliente al sistema le toque sombra durante toda su estancia. 2.24. En una tienda se tienen 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo que sigue una distribución exponencial con una media de 2 minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson con parámetro de 1.0 clientes/minuto indique: a) ¿cuál es la probabilidad de que 2 cajeras estén ociosas? b) ¿cuál es el número de clientes promedio que se encuentran en la cola? 2.25. Un muelle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiempo de descarga es de 2 días/barco con distribución exponencial, y la tasa de llegadas sigue una distribución Poisson con una media de 3 barcos cada 7 días. Si un barco llega y el muelle está ocupado se une a una linea de espera para ser atendido en orden FCFS. Determine el tiempo promedio que transcurre desde que un barco llega al sistema hasta que termina su descarga, la probabilidad de que el sistema esté vacio y la longitud promedio de la fila. 2.26. Suponga que un sistema de colas tiene 2 servidores, el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una media de 2 horas. El máximo número de personas que pueden estar en el sistema es de 5. Determine: a) la probabilidad de que el sistema esté vacio b) la longitud promedio de la fila. 2.27. A un sistema llegan 10 transacciones/hora de acuerdo con un proceso Poisson. El sistema cuenta con 3 servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una distribución exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/hservidor y el costo de la espera se estima en $ 1000/h-transacción. a) Determine p, L, Lq, Wy WQ. 2.28. El tiempo entre llegadas de las piezas a un sistema sigue una distribución normal (ja = 5, a = 3) minuto. Si el proceso de las piezas lo realiza un robot en 4.9 min/pieza. Determine: a) el inventario de piezas antes de llegar al robot b) ¿cuántos minutos de espera transcurren antes de que las piezas sean procesadas? 2.29. Obtenga el valor de Pn n = 1, 2, . . . para un sistema con un servidor, donde las llegadas son Poisson con una media de X,;l= 15(1 - (?i/3)) y el tiempo de proceso es exponencial con media de 5 min/cliente. 2.30. Un sistema cuenta con 3 servidores. El tiempo de atención a los clientes sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos/cliente. La tasa de llegadas al sistema sigue una distribución Poisson con una media que va disminuyendo conforme aumenta el

n

0

1

2

3

4

>5

X

35

30

25

20

15

10

Considerando que el sistema es de tipo ilimitado, encuentre el valor de Lq. 2.31. En una tienda hay 3 cajeras, cada una atiende en un tiempo exponencial con una media de 2 minutos/cliente. Si las llegadas ocurren de acuerdo con una distribución de Poisson con parámetro de 1.5 clientes/minuto, indique a) ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 cajeras estén ociosas? b) ¿Cuál es el número promedio de clientes que se encuentran en la cola? 2.32. El Centro de Salud de Monterrey es responsable de administrar la vacuna oral contra la poliomielitis a los niños de edad escolar. El centro está organizado de tal forma que los padres con sus hijos formen una sola fila para recibir atención. El servicio se ofrece una vez por semana y en ese día las llegadas siguen una distribución Poisson con media de 30 niños/hora. El Director del Centro sabe que la mayoría de los padres tienen que ausentarse de su trabajo para llevar los niños a vacunarse, por eso el director desea limitar el tiempo de estancia en el Centro de Salud a no más de 1 minuto. Si una sola enfermera es capaz de vacunar de acuerdo con una distribución Poisson con tasa de 20 niños/hora. ¿Cuántas enfermeras debe programar el Director ese día para lograr su objetivo? 2.35. A un sistema llegan 10 transacciones/hr de acuerdo con un proceso Poisson. Existen 3 servidores, cada uno de los cuales procesa las transacciones de acuerdo con una distribución exponencial con media de 15 min/transacción. El costo de servicio es de $500/hora-servidor y el costo de la espera se estima en $1000/hora-transacción. Determine p, LQ y WQ. Al sistema anterior llegó un nuevo servidor para sustituir a los 3 anteriores; se sabe que es capaz de atender cada transacción de acuerdo con una distribución exponencial con media de 5 min, pero cobra un sueldo de $1500/hora. a) Determine p, Lq y Wq. b) Determine con base en los costos, cuál de las dos políticas (S = 3 o S = 1) es mejor para la empresa.