3.3.5 Gauss Jordan Particionado

Métodos Numéricos I UNIDAD 3: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Gauss – Jordan particionado

3.3.5 Gauss-Jordan particionado. 18 Introducción Este método nos ayuda a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones con un número muy grande de variables, utilizando el método de Gass-Jordan pero con matrices en vez de valores. De igual manera que el método anterior particionamos la matriz de la siguiente manera:

A12   x1  b1  = A22   x 2  b2 

 A11 A  21

Hay que transformar la matriz de la siguiente manera:

A'12   x1  b '1  =  A22   x 2  b2 

 I A  21

A11 es el pivote, si multiplicamos todos los elementos del primer renglón de la matriz (1) por la inversa de

A11−1 y nos queda lo siguiente:

A'12 = A11−1 A12 b'1 = A11−1 b1 Lo siguiente es hacer ceros la matriz A21 , para transformar la matriz en:

I 0 

A'12   x1  b '1  =  A' 22   x 2  b ' 2 

donde

A' 22 = A22 − A21 A'12 b ' 2 = b2 − A21b '1 El siguiente paso es hacer unos la matriz A' 22 = I multiplicando los elementos del segundo reglón por

( A ' 22 ) −1 , la inversa del nuevo pivote para obtener el siguiente sistema:

'  I A'12   x1  b 1  0 I   x  =  ''     2  b 2 

donde:

(Luthe, 1991)

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b '' 2 = ( A' 22 ) −1 b ' 2

[]

Finalmente, hay que hacer A12 = 0 , para obtener el siguiente sistema: ''  I 0  x1  b 1  = 0 I   x   ''     2  b 2 

donde

b ''1 = b '1 − A '12 b '' 2 b ''1  La solución del sistema es X =  ''  b 2 

Modelo AX = b

Nota: Este algoritmo se aplica cuando el número de variables n>4.

Supuestos de aplicación • El sistema debe de tener solución única, esto es, que el determinante de la matriz debe de ser diferente de cero

A = 0.

• El sistema tiene n variable y n incógnitas. • Deberá existir la inversa de la submatriz A11.

Valores Iniciales • El número de variables. • La matriz de coeficientes. • El vector términos independientes. • El valor p donde se realizará la partición.

Ecuación Recursiva A'12 = A11−1 A12 b'1 = A11−1 b1 A' 22 = A22 − A21 A'12

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b ' 2 = b2 − A21b '1 b '' 2 = ( A22 ) −1 b ' 2 b ''1 = b '1 − A '12 b '' 2

Convergencia El método termina cuando se encuentra los valores de los vectores X1 y X2.

Algoritmo PASO

PROCEDIMIENTO

OBSERVACIONES

1.

Leer el número de variables

n

2.

Leer la matriz de coeficientes

 a11 a  21 A =  a31   M  a n1

3.

4.

Se particiona la matriz en cuatro submatrices.

Obtener el determinante (A).

 a11 a  21 a A =  31 a 41  a 51   a 61

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

K K K

M an 2

M a n3

M an4

a1n  a 2 n  a 34   M  a nn 

a12 a 22 a 32 a 42

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

a15 a 25 a 35 a 45

a 52 a 62

a 53 a 63

a 54 a 64

a 55 a 65

b1  b2  b3   b4  b5   b6 

Si determinante (A)=0 El sistema no tiene solución
FIN del algoritmo.

5.

Calcular la inversa

6.

Aplicar la ecuaciones recursivas vistas con anterioridad para obtener:

1  0 0  M 0 

0 0 K 0 1 0 K 0 0 1 K 0 M M 0 0

M 0

M 1

Si no existe elegir otra partición.

a11

b'1   b' 2  b'3   M  b' n 

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PASO 7.

PROCEDIMIENTO

OBSERVACIONES

Se obtiene la solución.

FIN

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Se realizar la partición del sistema de ecuaciones en cuatro submatrices.

4 4 5 5 1

A11

A21

1 2 3 4 5

1 3 3 -4 2

2 1 -6 7 3

3 9 2 8 4

1 3 5 8 8

A12

A22

b1

b2

Vamos a analizar si el sistema tiene solución, sacando el determinante de la matriz de coeficientes: A11

A21

4 4 5 5 1

1 2 3 4 5

1 3 3 -4 2

2 1 -6 7 3

3 9 2 8 4

A12

A22

1 3 5 8 8

b1

=6491 b2

P por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene solución. Después de la primera iteración nos queda el siguiente sistema equivalente: 1a iteración

A11 -1 0.5 -1

-0.25 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

-0.25 2 -1.75 -10.75 -7.75

0.75 -1 -6.75 7.25 7.25

-0.75 6 -12.25 -12.25 -25.25

-0.25 2 0.25 1.25 -1.75

Operaciones Intermedias

-A21*A11' -5 -5 -1

-3 -4 -5

-A21*A12' -4.75 -0.75 -6.75 0.25 -9.75 4.25

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-14.25 -20.25 -29.25

-A21*b1' -4.75 -6.75 -9.75

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Después de la segunda iteración nos queda el siguiente sistema equivalente: 2a iteración

A22'-1 -0.0581 -0.1598 0.10568 -0.1088 -0.0313 0.06794 -0.0134 0.0401 -0.0525 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

-0.1069 1.7812 -0.3992 -0.1852 0.1387

Operaciones Intermedias

-A12'*A21'' 0 0 0 0

-A12'*A22'' 0.25 -0.75 -2 1

-A12'*b2'' 0.1431 -0.2188

0.75 -6

La solución del sistema de ecuaciones es:

x1= x2= x3= x4= x5=

Solución:

-0.1069 1.7812 -0.3992 -0.1852 0.1387

Para comprobar si la solución del sistema es correcta se debe cumplir lo siguiente:

Prueba: 4 4 5 5 1

1 2 3 4 5

1 3 3 -4 2

2 1 -6 7 3

Página 102

3 9 2 8 4

X

-0.1069 1.7812 -0.3992 -0.1852 0.1387

=

1 3 5 8 8