325689223-dinamica-de-estructuras-RayW-Clough-traducido.docx

Dinámica de las estructuras {0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Dinámica de las estructuras Ray W. Clough Profesor de Ingeniería Civil Universidad de California, Berkeley

Joseph Penzien Ingeniería Civil Internacional Consultants, Inc.

{0}Tercera edición, 1971.{/0} {0} {/0}

Computadoras y Estructuras, Inc. 1995 University Ave. Berkeley, CA 94710

EE.UU.

Dinámica de las estructuras Derechos de autor (c) 2003 por Computers & Structures, Inc. Todos los derechos reservados. Impreso en los EEUU A excepción de lo permitido por  la Ley de Derechos de Autor de Estados Unidos de 1976, ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o distribuida en cualquier forma o por cualquier medio, o almacenado en un sistema de base de datos o recuperación de información, sin el consentimiento previo por escrito del editor.

Datos de la obra en el catálogo de la Librería del Congreso Clough, Ray W., (fecha). Dinámica de las estructuras / Ray W. Clough, Joseph Penzien. pag. cm. c m. Incluye índice. 1 . dinámica estructural. I. Penzien, José II. Título. AVC

CONTENIDO

1 1-1 {0}12{/0} {1} {/1} 1-3 1-4

1-5

1)

Prólogo

XV

Lista de símbolos

xvi

Visión general de Dinámica Estructural Objetivo fundamental de Análisis Dinámica Estructural

Tipos de Cargas prescritas Características Características esenciales de un problema dinámico Los métodos de discretización Lumped-Masa Procedimient P rocedimientoo Los desplazamientos generalizados El concepto de elementos finitos Formulación de las ecuaciones de movimiento El equilibrado directa utilizando dŠAlembertŠs Principio dŠAlembertŠs Principio Principio de desplazamientos desplazamientos virtuales Enfoque variacional Organización del texto

1 1 ......... .2 3 4 4 5 7 [9] [9] 10 10 [11

SISTEMAS DE PARTE I solo grado de libertad ....... . . .2 2-1 1) 2-3 2-4 2-5 2-6

Problemas.

Análisis de vibraciones libres Los componentes del sistema básico dinámico La ecuación de movimiento del sistema básico dinámico En influencia de fuerzas gravitacionales En uencia de Soporte de excitación Análisis de vibraciones libres no amortiguadas Amortiguada libre de vibraciones Críticamente Críticamente amortiguado Sistemas Undercritically con amortiguación de Sistemas Overcritically con amortiguación de Sistemas

15 15 [16] [17] [18] 20 25 [26] 27] [32] [32] contr

vi ÍNDICE 3 3-1

Respuesta a la carga de armónicos Sistema amortiguado solución complementaria Solución particular  Solución general Sistema con amortiguamiento viscoso Respuesta de resonancia Acelerómetros y medidores de desplazamiento

[33] [33] [33] [33] [34] [36] 42 [45]

3-2 1) 3-4 A determinar  El aislamiento de vibraciones 46 1) Evaluación de amortiguamiento viscoso-Ratio ............................................52 Sin vibraciones Método Decay ............................................52 Método de resonancia de amplificación [53] De media potencia (Ancho de Banda) Método [54] La pérdida de energía de resonancia según Método de Ciclo [56] 3-7 Complejo-rigidez del amortiguador  58 Problemas. [61]

4 4 4-2 4-3 Problemas.

Respuesta a la Periódica Loading Expresiones de Fourier de la serie de Periódica Cargando Forma trigonométrica Forma exponencial Respuesta a la carga de la serie de Fourier  Análisis preliminar del dominio de la frecuencia

5 Respuesta a la impulsiva Cargando 5-1 La naturaleza general de impulsivo Cargando 5.2 Sine-impulso de onda 5-3 Impulso rectangular  5-4 Impulso triangular  5-5 Shock o Espectros de Respuesta 5-6 Análisis aproximado de respuesta impulsiva-Load Problemas. 6 6-1 6-2.

Respuesta a la dinámica general Carga: Métodos de Superposición Análisis Mediante el dominio del tiempo Formulación de Respuesta Integral La evaluación numérica de Respuesta Integral 89 Análisis a través del dominio de la frecuencia Respuesta integral de Fourier  Transformadas de Fourier discretas (DVF)

sesenta y cinco sesenta y cinco sesenta y cinco [66] 6 69 [71] 73 73 [74] 77 78 79 [82] 84 [87] [87] [87] 7 [98] [100]

CONTENIDO

6-3

Las transformaciones rápidas de Fourier (FFT) Evaluación de la respuesta dinámica Relación entre el tiempo y dominio de la frecuencia Funciones de transferencia

[102] 106

Respuesta al general la carga dinámica: Paso a paso Métodos Conceptos generales A trozos método exacto Procedimientos de aproximación numérica Comentarios generales En segundo lugar Formulación diferencia central Métodos de integración Procedimiento Euler-Gauss Métodos Beta Newmark  La conversión a una formulación explícita Formulación incremental para el análisis no lineal Resumen del Procedimiento de aceleración lineal

[111] [111] [112] 116 117 12 12 121 123 12 [127] [132]

Problemas.

7 11080 1) 7-3 77-5

7-5 7-7 Problemas.

8 Sistemas de libertad solo grado de generalizado 8-1 Comentarios generales sobre los sistemas de un grado de libertad 8-2 Propiedades generalizadas: Ensamblajes de cuerpos rígidos 25) Propiedades generalizadas: Flexibilidad Distribuido 25) Expresiones de las propiedades Sistema Generalizado 8-5 Análisis de vibraciones por RayleighŠs Método 4 Selección de la Forma de Rayleigh de la vibración 25) Método de Rayleigh mejorado Problemas.

[9] 25) 9 -2 9-3 10 25)

VII.

109 109

1 1 134 ......140 75 149 152 156 16

SISTEMAS II de varios grados de libertad PARTE Formulación de las ecuaciones de movimiento MDOF La selección de los grados de libertad El equilibrio dinámico-Estado Efectos axial-Force

169 169 171 173

Evaluación de matrices estructurales en la propiedad Propiedades elásticas Flexibilidad Rigidez Conceptos básicos estructurales La rigidez de elementos finitos

175 175 175 176 177 .

VIII.Horario de finalización CONTENIDO 25)

Propiedades de masa

184

Lumped-masa de matriz Matriz consistente por Massachusetts 1000100 25)

Propiedades de amortiguación

1)

Cargando externa Resultantes estáticas Las cargas nodales consistentes La rigidez geométrica Aproximación lineal La rigidez geométrica consistente Elección de la Propiedad Formulación

[11

No amortiguada libre de vibraciones

1)

Problemas.

11080 25) 25) 11080

25)

Análisis de vibración Frecuencias Análisis de modo de vibración Formas La flexibilidad de formulación de Análisis de Vibraciones En influencia de las fuerzas axiales Vibraciones libres carga de pandeo Pandeo con excitación armónica Condiciones de ortogonalidad Condiciones básicas Las relaciones adicionales La normalización

Problemas.

12 25) 25) 25) 25)

25)

1)

Análisis de dinámica mediante superposición Coordenadas normales Las ecuaciones desacopladas de movimiento no amortiguado: Las ecuaciones de movimiento: desacoplados de amortiguamiento viscoso Análisis de la respuesta por la modalidad de desplazamiento de superposición amortiguamiento viscoso Complejo-rigidez del amortiguador  Construcción de Matrices proporcionales amortiguamiento viscoso amortiguación de Rayleigh Amortiguación extendida Rayleigh Formulación alternativa Construcción de matrices no proporcionales amortiguación Análisis de la respuesta utilizando las ecuaciones acopladas de Movimiento Dominio del tiempo

184 18 Pájaros,  peces y estrecho Pájaros,  peces y estrecho 190 190 191 191 194 196 1 24.01.2011 BORRAR  24.01.2011 BORRAR  204 208 208 208 209 1) 211 211 212 214 extensión 215

219 219 221 1) REVISION REVISION 230 234-235). 234-235). 25) 1) 1) 245 245

CONTENIDO

25) 4 4 Problemas.

[13] 25) 25) 25) 4

25) 25) 25) 1)

Dominio de la frecuencia Relación entre tiempo y frecuencia de dominio Funciones de transferencia Procedimiento práctico para la resolución de ecuaciones acopladas de Movimiento Procedimiento de interpolación para la generación de funciones de transferencia

Análisis de vibraciones por Matrix iteración Comentarios preliminares Análisis modo fundamental Prueba de Convergencia Análisis de modos superiores Análisis de segunda Modo Análisis de tercera y superior Modos Análisis de Modo de Alta Análisis de pandeo por Matrix iteración La iteración inversa el procedimiento preferido La iteración inversa con los cambios Temas especiales eigenproblema expansión Eigenproperty Forma simétrica de Matrix dinámico Análisis de estructuras sin restricciones

Problemas.

14Exterior 25) 25) 1) 11080 1) 25) 1)

25)

Selección de los grados de libertad dinámicos De elementos finitos grados de libertad Elementos unidimensional Dos y elementos tridimensionales Las restricciones cinemáticas La condensación estática Método de Rayleigh en discretos Coordenadas Rayleigh-Ritz Método subespacio iteración Reducción de errores de truncamiento modales Comentarios generales sobre la Reducción de coordenadas modales Aportes Procedimiento de corrección estática Modo método de aceleración Los vectores derivados de Ritz Comentarios preliminares derivación detalles

Contenidos X

ix 246 24 25 254 2

25 25 25) 229 231 231 235 236 2 1) 1) 1) 1) 11080 290 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1,119,298 299 1) 1) 1) 1) 311 1) 314 314 1)

Tridiagonales Ecuaciones de movimiento La pérdida de ortogonalidad Requerido número de vectores Problemas.

25) 25) 1) 4 1) 1)

[16] 1) 11080 11080 25) 25) Problemas.

Análisis de MDOF Respuesta Dinámica: Paso a paso Métodos Comentarios preliminares Las ecuaciones del movimiento incrementales Paso a Paso Integración: Constante Método Promedio Aceleración Paso a Paso Integración: Lineal Método de aceleración Estrategias para el Análisis de Sistemas Acoplados MDOF  No linealidad localizada Efectos acoplados tratados como pseudo-Forces Variacional Formulación de las ecuaciones de movimiento Coordenadas generalizadas Principio HamiltonŠs LagrangeŠs Ecuaciones de movimiento Derivación de las ecuaciones generales del movimiento para sistemas lineales Limitaciones y multiplicadores de Lagrange

1) 25) 1) 25)

325 325 1) 1) 25) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 17/1/

PARTE III SISTEMAS DE-parámetros distribuidos

[17]

Ecuaciones diferenciales parciales de Movimiento OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Conocer la función e importancia del establecimiento de planes de acción en caso de emergencia. Aprender a comprender y elaborar un PAE (Plan de Acción de Emergencia) - Profundizar en los pasos de respuesta a la emergencia: entrenamiento previo, evacuación,traslado, conteo y contacto con familiares. - Analizar importancia de la relación que existe entre la organización y las autoridades así como con los medios de comunicación. - Entender la importancia del entrenamiento y la actualización al momento de crear y seguir un PAE. Palabras clave: plan de acción de emergencia (PAE), OSHA, desastre, emergencia, Planificación, evacuación, rutas de escape, de 25)  planta, Comunicación, Sistema de notificación 11080 Brazo de flexión: Caso Primaria 25) Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial-Force 25) Brazo de flexión: La inclusión de amortiguamiento viscoso 25) Brazo de flexión: Generalizada excitaciones de soporte 25) Las deformaciones axiales: no amortiguado Problemas. [18]

Análisis de vibraciones libres no amortiguadas

Las 24 horas, 7 días a la semana, 365 días al año.

Las 24 horas, 7 días a la semana, 365 días al año. 1) 1) 1) 1) 25) 25)

377

1) Brazo de flexión: Caso Primaria 25) Brazo de flexión: Incluyendo Efectos Axial-Force 1) Brazo de flexión: con soporte elástico Distribuido 1) Brazo de flexión: La ortogonalidad de modo de vibración Formas 1) Las vibraciones libres en la deformación axial 4 Ortogonalidad de los modos de vibración axial Problemas.

377 1) 11080 1) 1) 392 1)

CONTENIDO

[19] 4 1) 1) 1) 25)

Análisis de Respuesta Dinámica Coordenadas normales Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento no amortiguado: Caso Las ecuaciones no acoplados a la flexión de movimiento amortiguado: Caso Las ecuaciones desacopladas axiales de movimiento no amortiguado: Caso Análisis de la propagación de ondas Básico Escuadra-Wave-Propagación Ecuación El examen de las condiciones de frontera Discontinuidad en Propiedades de la barra

Problemas.

20 1) 11080 11080 25) 11080 1) 11080 25) 25) 1) Problemas.

[21] 25) 1) 1) 25) 11080 11080

PARTE IV AZAR VIBRACIONES Teoría de probabilidad Variable aleatoria individual Promedios importantes de una variable aleatoria individual Unidimensional paseo aleatorio Dos variables aleatorias Promedios importantes de dos variables aleatorias Diagrama de dispersión y correlación de dos variables aleatorias Los ejes principales de la función de probabilidad conjunta Densidad Rayleigh función de densidad de probabilidad m variables aleatorias Transformaciones lineales de variables aleatorias distribuidas normalmente Los procesos aleatorios Definición 2. Procesos estacionarios y ergódica Función de autocorrelación para procesos estacionarios Densidad espectral de potencia Función de procesos estacionarios Relación entre la densidad espectral de potencia y Autocorrelación Funciones Densidad Espectral de Potencia y autocorrelación Funciones para Derivados de Procesos

xi 25) 1) 400 1) 1) 411 411 1) 1) 1)

1) 1) 1) 25) 442 451 1) 1) 461 463 465-466). 466

471 471 1) 478 484 1) 488

11080 1) 1)

Superposición de procesos estacionarios Los procesos estacionarios gaussianos: una variable independiente Estacionaria White Noise

25) 1) 11080 1)

Distribución de probabilidad para Maxima Distribución de probabilidad para los valores extremos Los procesos no estacionarios gaussianos Plataforma de Gauss: Dos o más variables independientes

ÍNDICE

490 1) 1) Entre 501 y 1.000 empleados 1) 51 1)

xii

Problemas.

[

Respuesta estocástica de un grado de libertad lineales Sistemas

11080 25) 25) 25) 11080 1) Problemas.

Funciones de transferencia Relación entre la entrada y salida de funciones de autocorrelación Relación entre la entrada y la salida espectral de potencia funciones de densidad de Características de respuesta de los sistemas de banda estrecha Respuesta no estacionario Mean Square Como resultado de cero inicial Condiciones Las predicciones de fatiga para los sistemas de banda estrecha

1) 517 / 2010 517 / 2010 25) 25) 1) 25) 1) 1)

[23]

Respuesta estocástica de sistemas lineales MDOF 1) Respuesta dominio del tiempo para sistemas lineales usando los 11080 modos normales 1) Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales usando los modos 25) normales 541 25) Modo normal función de forzamiento debido al discretos Cargas 5 25) Modo normal función de forzamiento debido a cargas distribuidas 54 Respuesta de frecuencia-dominio para sistemas lineales que tienen 25) FrecuenciaParámetros dependientes y / o Normal Los modos acoplados 5 Problemas. 1)

24. 25) 25) 11080 11080 11080 1) 1)

PARTE V Ingeniería Sísmica Antecedentes Sismológico  Nota introductoria sismicidad Fallas sísmicas y Ondas Estructura de la Tierra Placas tectónicas Teoría elástica-Rebote de los Temblores Medidas del terremoto Tamaño

555 555 1) 1) 1) 1) 567 1)

25 25) 25) 11080

De campo libre de movimientos del terreno en superficie Fourier y Espectros de Respuesta Factores en uir en Espectros de Respuesta Diseño de los espectros de respuesta Estrategia dual de diseño sísmico Aceleraciones pico Formas de respuesta del espectro Uniforme-Peligro sitio especí-c Espectros de Respuesta Dos componentes horizontales del movimiento

1) 1) 1) 1) 1) 1) 11080 1) 597

CONTENIDO

11080

diseño acelerogramas Espectro de Respuesta Acelerogramas compatibles Los ejes principales de Movimiento Las mociones espacialmente correlacionadas

11080 1) 25)

XIII 597 LUNES 27 598 1) 25)

Determinista terremoto Respuesta: Sistemas de rígido Foundations613 Tipos de excitación del terremoto 1) Respuesta a excitaciones rígido-Suelo 11080 Lumped un grado de libertad elástica Systems, traslacional Excitación 1) Generalizado-Coordinar un grado de libertad elástica Systems, traslacional Excitación 1) Lumped MDOF elástico Systems, traslacional Excitación 1) La comparación con ATC-3 Disposiciones del Código recomendados 63 Distribuido-Parámetro elástico Systems, traslacional Excitación 640 Lumped MDOF elástico Systems, excitación rotacional 25) Lumped MDOF elástico Systems, excitación múltiple 1) Lumped un grado de libertad Sistemas elástico-plástico, traslacional de Excitación 1) 25) La combinación de respuestas máximas modales 650 Respuesta media cuadrada de un modo individual 650 Covarianza de respuesta producida por Dos modos 1) SRSS y Combinación de respuestas modales CQC 1) La combinación de las respuestas de dos componentes de excitación 1) Problemas. 1) Determinista respuesta al terremoto: La inclusión de suelo27] estructura Interacción social 1) 1) La interacción suelo-estructura mediante el análisis directo 1) La interacción cinemática de Conversión de excitación; el efecto Tau $ 670 La inclusión directa de una capa de suelo acotada 1)

25)

1)

[28] 11080

Análisis de la Respuesta Subestructura SSI Sistemas de parámetros concentrados en un grado de libertad Fundación rígido Mat Sistema General de MDOF con excitación Apoyo Múltiple Generación de impedancias de frontera Respuesta de estructuras subterráneas Sin tierra del campo mociones debido a ondas que se propagan Plane Las deformaciones trasiego de las secciones de la Cruz En general axial y de flexión Deformaciones En uencia de Juntas Transversales de deformaciones axiales

1)

Respuesta estructural estocástico Modelización de movimientos intensos

711 711

1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1)

xiv CONTENIDO 25)

25)

11080 11080

Respuesta estocástica de sistemas lineales Sistemas de un grado de libertad Sistemas MDOF Respuesta de extrema valor de los sistemas no lineales Sistemas de un grado de libertad Sistemas MDOF Consideraciones en el diseño Permisible demanda de ductilidad Versus La ductilidad de la capacidad

Índice

711 711 +39) 0543 712 659 1) 1) 1) 25) 1)

1)

PRÓLOGO

Desde la edición de este primer libro se publicó en 1975, los principales avances se han hecho en el tema "dinámica de las estructuras." Aunque sería imposible dar un tratamiento integral de todos esos cambios en esta segunda edición, los que se consideran de significación más práctica están incluidos. La organización general del material de texto se mantiene sin cambios desde la primera edición. Se progresa lógicamente de un tratamiento de sistemas de un solo grado de libertad a la multi-grados de libertad sistemas discretos de parámetros y luego a los sistemas de ntinuous co nita grados de libertad.El concepto de equilibrio de

fuerzas, que forma la base del análisis estático de estructuras, se retiene de forma que el ingeniero con experiencia  puede fácilmente hacer la transición a la realización de un análisis dinámico. Es esencial, por tanto, que la abolladura de   Stu dinámica estructural tiene una sólida formación en las teorías de la estática de las estructuras, incluyendo los métodos de la matriz, y se supone que los lectores de este texto tienen tal preparación. El tratamiento teórico de las Partes I, II y III es ic determinista en la naturaleza, ya que hace uso de las cargas dinámicas que se integran totalmente prescriben apesar de que pueden ser muy irregular y transitorio con respecto al tiempo.El tratamiento de las vibraciones aleatorias en la Parte IV es sin embargo estocástico (al azar) en forma de carga desde los Ings considerados pueden caracterizarse únicamente de manera estadística.Por lo tanto, una comprensión de la teoría básica de probabilidad es un requisito esencial para el estudio de este tema. Antes de continuar con este estudio, se recomienda que el estudiante tome un curso completo en la teoría de la probabilidad; Sin embargo, si esto no se ha hecho, el tratamiento breve de los conceptos de probabilidad dada en el Capítulo 20 puede servir como una preparación mínima. La solución de un problema típico de la dinámica estructural es considerablemente más ed complicat que su contraparte estática debido a la adición de la inercia y de amortiguación de las fuerzas elásticas de resistencia y debido a la dependencia del tiempo de todas las cantidades de fuerza.Para situaciones más prácticas, la solución por lo general sólo es  posible mediante el uso de un ordenador digital hig h velocidades, que se ha convertido en la herramienta estándar de la dinamicista estructural.Sin embargo, la mayor parte de los problemas en el texto, que están destinados para enseñar los fundamentos de la dinámica, son bastante simple en su forma de permitir que sus soluciones para obtener usando una calculadora de mano.Sin embargo, el estudiante de la dinámica de la estruc-turas debería haber estudiado previamente las técnicas de codificación informática y los procedimientos analíticos asociados. Dicho fondo permitirá una pronta transición de la dinámica solv-ing proble ms por una calculadora de mano para resolverlos en un ordenador PC con  programas especialmente desarrollados para este propósito.El programa CAL-91, desarrollado por el profesor EL Wilson, de la Universidad de California, Berkeley, es un programa de este tipo que se ha utilizado muy efectuar vamente en la enseñanza incluso el primer curso en la dinámica de las estructuras.Se anima a los instructores que utilicen este libro para implementar este tipo de soluciones informáticas PC en sus cursos para que los problemas más realistas pueden ser consideradas.

XV

PREFACIO

xvi

Un gran número de ejemplos de problemas se han resuelto en el texto para ayudar al lector en la comprensión de la materia sujeto. Para dominar completamente las técnicas de análisis, es esencial que el estudiante a resolver muchos de los problemas de la tarea que se presentan en la s final de los capítulos.Ellos deben ser asignados sin embargo con moderación ya que los análisis de respuesta dinámica son notoriamente tiempo. Los autores han encontrado que de uno a cuatro problemas pueden constituir una asignación semanal adecuada, dependiendo de la materia un tipo nd de solución requerida.Sobre esta base, el libro incluye muchos más problemas de los que se le  pueda asignar una secuencia de un año de cursos sobre dinámica estructural. El objeto de este texto puede servir como la base de una serie de posgrado es cours.El curso primero podría cubrir el material en la parte I y parte de que, en la segunda parte. El alcance total de esta cobertura dependerá, por supuesto, de si el curso es del trimestre o semestre de duración. Si la duración del trimestre, la cobertura de material en las artes P I y II es ciente para proporcionar la base de una secuencia de dos cursos de trimestre y un poco de material de la Parte III también  podría incluirse en el segundo curso.

En general, ahora se espera que casi todos los estudiantes Masters grados en ingeniería estructural deberían haber tenido al menos el primer curso básico en la dinámica de las estructuras y se recomienda que el avanzado (de cuarto año de nivel) estudiante de grado se proporciona en oportunidad de tomar un curso similar, Aun cuando su cobertura material puede reducirse algo.

El material en la Parte IV puede servir como la materia de un curso básico de vibración aleatoria que se necesita en una cabal comprensión de las aplicaciones prácticas de los métodos estocásticos en diversos campos tales como la ingeniería sísmica, ingeniería eólica, y la ingeniería oceánica.Muchas de esas aplicaciones se  presentan en la Parte V, que trata el tema general de la ingeniería sísmica. Sin embargo, un curso separado es necesaria para cubrir completamente el material en la Parte V. Los estudiantes de tomar cualquiera de estos dos últimos cursos SH Ould tener una buena formación en análisis dinámico de estructuras determinista y una madurez razonable en matemáticas. Este libro ha sido escrito para servir no sólo como un libro de texto para estudiantes de colegios y universidades, sino para servir como un libro de referencia para los ingenieros ticing cas también.Las formulaciones y técnicas  presentadas pueden servir efectivamente como base para el desarrollo continuo de nuevos programas informáticos de análisis para ser utilizados por el ingeniero de diseño y análisis de estructuras que funcionan en entornos dinámicos. Para concluir, los autores desean expresar su sincero agradecimiento a las muchas personas (estudiantes, miembros de la facultad, y los ingenieros en ejercicio) que tienen tanto directa como indirectamente contribuyeron con el contenido de este libro. El nu mbre de tales contribuyentes es demasiado grande sin embargo al intentar enumerarlos por su nombre. Una persona más merecedora de un reconocimiento especial es la Sra Huey-Shu Ni que escribe el texto completo y, con la ayuda de su personal en Dibujo y Servicios de edición, Ltd. en Taipei, Taiwán, preparado todas las figuras.Su forma paciente y amable, que siempre estuvo presente durante los muchos años de preparación del libro, es para ser admirado. Los autores expresan a ella su profundo reconocimiento y agradecimiento por un trabajo hecho magníficamente.

Ray W. Clough Joseph Penzien

LISTA DE SÍMBOLOS

A distancia. Fourier coe ciente, la frecuencia "Un adimensional

/tutor legal cientes de Fourier cientes, constantes zona, constante constantes

UN  A 1,  A 2

segundo b 0, b n

distancia, número entero Coe cientes de Fourier constantes

segundo

constante

coeficiente de amortiguación

do

generalizada coeficiente de amortiguación Copia: amortiguamiento crítico coeficiente c ij amortiguamiento en los coeficientes uir  modo normal generalizada de amortiguación Cneo coeficientes CQC combinación cuadrática completa C

factor de la dinámica de cationes Magni

re

re dinámica de matriz = k  1 m DFT transformada de Fourier discreta DRV deriva del vector Ritz e desplazamiento axial El módulo, la liberación de energía de E Young E matriz dinámico D

e.

Ed) Ed) E:-< i'

1

valor esperado, media de conjunto amortiguamiento pérdida de energía / ciclo distancia epicentral la rigidez a la flexión F

la frecuencia cíclica naturales

xvi

xviii LISTA DE SÍMBOLOS 1) f  ij

f  I, f  D, F S FD %.1f ft g

flexibilidad en los coeficientes uir  inercial, amortiguación, y la primavera fuerzas, respectivamente  profundidad focal la transformada rápida de Fourier  aceleración de la gravedad

l

función de impedancia límite condición geológica altura, espesor de la chapa, intervalo de tiempo funciones de respuesta de impulso unitario funciones de respuesta de frecuencia compleja Hertz (frecuencia en ciclos / segundo) Entero impulso, sección transversal momento de inercia matriz de identidad

)

función de impedancia

h ij (t), h (t)

500Hz yo l

I ij (i!

(Es decir: 2040, 2045) Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" GI,GR G

la eficacia de aislamiento

imaginario // - 1.5.8 constantes constantes reales longitud del vector 

g:i a GC h

H ij (i!), ¡Hola!) g/l G

funciones de onda de estrés módulo de corte, constante compleja

gg. {0}J. {/0}{1}{/1}

k, k i k k ^ k

25) k c, d k

k

ij

 jj

k

Kg Kg

número entero, momento de inercia constantes de resorte constante de elasticidad generalizada rigidez generalizada combinado la rigidez compleja rigideces eficaces rigidez en los coeficientes uir  rigidez combinada de coeficientes uir  la rigidez geométrica la rigidez geométrica generalizada

k

G ij

0,25 kn (€ 0,03)

la rigidez geométrica en coeficientes uir  rigidez generalizada de n-ésimo modo normal

^

0,25 kn (€ 0,03) ¡A ¡A me

rigidez complejo de n-ésimo modo normal longitud factor de terremotos de excitación masa, número entero

LISTA DE SÍMBOLOS

My m

ij

me me L  L

M4N M

(t), M (x; t) MDOF

£M (/0}£F MM "n"

MISA en masa en los coeficientes uir  de masa generalizada masa uniforme / unidad de longitud la magnitud de Richter, número entero matriz de masa para los modos normales de masa generalizada de n-ésimo modo normal momento interno varios grados de libertad factor de cationes Magni modi escala de Mercalli número entero, constante

norte

número de incrementos de tiempo, el número de grados de libertad,

Entero norte

carga axial

carga axial crítica fuerza axial interna (invariante en N (x) el tiempo) fuerza axial interna (variable en el N (x, t) tiempo) P2P/ De usuario a usuario cargar  N cr 

pag

p

carga uniforme / unidad de longitud

ef  carga efectiva

xix

Pt.C/O Tinnitus bilateral

carga aplicada

Pt.C/O Tinnitus  bilateral vector de carga en el dominio del tiempo Pt.C/O Tinnitus bilateral 128px p (x; y) p (XJY) p (x 1; x 2;:::;  x m)

PAG Pi ) 128px

P/N P n (t)

PAG

n

(i!

)

PGA RR-PP P (X), P (X; Y) q o, q i

carga generalizada la función de densidad de probabilidad función de densidad de probabilidad conjunta función de densidad de probabilidad condicional función de densidad de probabilidad multivariada alimentacion vector de carga en el dominio de frecuencia función de distribución de probabilidad amplitud compleja coe ciente carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio del tiempo carga generalizada de n-ésimo modo normal en el dominio de frecuencia valor máximo de aceleración Probabilidad funciones de densidad de probabilidad constantes, las coordenadas generalizadas

xx LISTA DE SÍMBOLOS q (x; t) Q i (t) r  R R (t)

Receta: R xy () ..porque todo va a cambiar. tan pronto como ella

Sáb. S/D

carga axial aplicada i  ª función de fuerza generalizada Radio de giro real relación de respuesta función de autocorrelación función de correlación cruzada

Mantener la respuesta de aceleración espectral absoluta respuesta de desplazamiento relativa espectral

funciones de densidad de potencia espectral S ij (¡yo! funciones de densidad espectral cruzada ) Spa respuesta espectral pseudo-aceleración S pv ( ; !)  pseudo-velocidad de respuesta espectral S v ( ; !) respuesta de velocidad relativa espectral #% de primer modo de matriz de barrido SC condiciones del suelo solo grado de libertad un grado de libertad intensidad espectro de Housner  ¡Yes! mecanismo de la fuente SM raíz cuadrada de la suma de cuadrados SRSS t, t i hora T06 duración del impulso J  período de vibración, la energía cinética J matriz de vectores propios ortonormales 8 th  período de n-ésimo modo normal TP  período de movimiento TR  transmisibilidad desplazamiento en dirección x x u2713 energía de deformación S contr  y desplazamiento en dirección x S ii

(i!

)

(i!)

desplazamiento dinámico desplazamiento total desplazamiento en el dominio del tiempo desplazamiento del terreno aceleración del terreno en el dominio del tiempo aceleración del terreno en el dominio de la frecuencia

st

desplazamiento estático

contr 

VT VT v

g

,V0g

v g (t) •

•

V

g

v

LISTA DE SÍMBOLOS

V

VI.

) V (x, t)

12V / 1,5A C V, V p, s V V

ff 

Vn

Energía potencial desplazamiento en dominio de la frecuencia fuerza cortante interna velocidad de la onda aparente velocidades de las ondas de libre velocidad de la onda de campo constante compleja

xxi

￦233,259,995,000

z desplazamiento en dirección x

el trabajo, el peso

W

el trabajo de las fuerzas no W nc conservativas Wn`' el trabajo de carga axial N x

espacio de coordenadas, variable aleatoria

x

valor de x significa

incógnit x (t) incógnit y y (t)

Y

valor cuadrático medio de x  proceso aleatorio espacio de coordenadas, variable aleatoria espacio de coordenadas  proceso aleatorio

variable aleatoria, espacio de coordenadas

Y n (t) generalizarse desplazamiento de n-ésimo  modo normal en el dominio del tiempo Y n (i!)desplazamiento generalizado de n-ésimo modo normal en la frecuencia

dominio z

espacio de coordenadas

z (t) generaliza coordinar la respuesta en el dominio Z de tiempo, Z n, Z 0 coordenadas

generalizadas

Z (i!)

coordinar la respuesta generalizada de dominio de la frecuencia , Relación de frecuencia parámetro constante de tiempo adimensional

enteros, masa / unidad de área, unidad de peso coherencia

ij (i!)funciones

decremento, variación, residual e, v, desplazamientos virtuales log z WI 12- trabajo virtual 03 interno  Nosotros trabajo virtual somos externo Avanzar st? desplazamiento estático Valor mínimo de la carga PD - efectiva

de

2000 M

{

intervalo de tiempo

xxii LISTA DE SÍMBOLOS

11080intervalo de frecuencia cepa normales

G

yo "n"

función de tiempo, con histéresis coef amortiguación longitud de onda ciente factor de carga axial multiplicador de Lagrange n º valor propio ángulo de fase, pendiente, factor de rotación de la ductilidad

1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

 No

(X 0; Y 0).

xff 

incógnit hora

covarianzas el coeficiente de Poisson amortiguamiento relaciones la amplitud del vector, la masa de volumen / unidad ciente de correlación coef  estrés normal Desviacion Estandar(±) Varianza

ángulo de fase 1. El Estado deberaa pagar el 65 por ciento de la porcion no federal de los costos de sueldos y el

desplazamiento modal

Condado pagaraa el 35 porciento de la porcion no federal de los costos de sueldo.

n, n (x)

 No "n"

1)"n" ¡2D dn ¡ (x)

n º forma del modo

matriz de forma modal funciones de desplazamiento generalizadas generalizada vector de desplazamiento matriz de formas hechas asumidos sin amortiguar las frecuencias naturales circulares amortiguadas frecuencias circulares naturales frecuencia circular de función de fuerza armónica distribución de la carga

capitulo

1 ASPECTOS GENERALES DE Estructural {0/}{1/} {2}DINÁMICA{/2}

1-1 objetivo fundamental de la dinámica estructural ANÁLISIS El propósito principal de este libro es presentar métodos para el análisis de las tensiones y de reflexiones desarrolladas en cualquier tipo dado de la estructura cuando se somete a una carga dinámica arbitraria. En un sentido, este objetivo puede ser considerado como un extensio n de métodos estándar de análisis estructural, que en general tienen que ver con solamente la carga estática, para permitir la consideración de la carga dinámica también.En este contexto, la condición de carga estática puede ser considerada simplemente como una forma especial de l oading dinámico.Sin embargo, en el análisis de una estructura lineal, es conveniente distinguir entre la estática y los componentes dinámicos de la carga aplicada, para evaluar la respuesta a cada tipo de carga por separado, y luego superponer los dos componentes de

respuesta  para obtener su efecto total .Cuando se tratan thusly, los métodos estáticos y dinámicos de análisis son fundamentalmente diferentes en carácter.

A los efectos de esta presentación, la dinámica término  puede ser de nida simplemente como variable en el tiempo; por lo tanto una carga dinámica es cualquier carga de que su magnitud, dirección, y / o la posición varía con el tiempo.Del mismo modo, la respuesta estructural a una carga dinámica, es decir, las tensiones resultantes y DE reflexiones, es también de tiempo varían Ing, o dinámica.

1 2

Dinámica de las estructuras

Dos enfoques básicamente diferentes están disponibles para la evaluación estructural de re-respuesta a las cargas dinámicas: deterministas y no deterministas. La elección del método a utilizar en cada caso depende de cómo se de ne la carga.Si la variación de momento de la carga se conoce por completo, a pesar de que puede ser altamente oscilatoria o ir-regular en carácter, se denomina en este documento como una carga dinámica prescrito; y el análisis e ª de la respuesta de cualquier sistema estructural especificado a una carga dinámica prescrita se de ne como un análisis determinista.Por otro lado, si la variación en el tiempo no se conoce completamente, pero puede ser de ne en un sentido estadístico, la carga se te rmó una carga dinámica al azar; y su correspondiente análisis de la respuesta  se de ne como un análisis n o determinista.El énfasis principal en este texto se coloca en el desarrollo de métodos de análisis dinámico determinista; Sin embargo, la cuarta parte está dedicada a preparar una introducción a los métodos de análisis no determinista y la Quinta Parte contiene un capítulo que trata de la aplicación de métodos de análisis no determinista en el campo de la ingeniería sísmica.

En general, la respuesta estructural a cualquier carga dinámica se expresa, básicamente, en términos de los desplazamientos de la estructura. Por lo tanto, un análisis determinista conduce directamente al desplazamiento tiempohistoria que corresponden a la historia de carga prescrita; cantidades respuesta relacionada r Othe, tales como tensiones, deformaciones, fuerzas internas, etc., se obtienen generalmente como una fase secundaria del análisis.Por otra parte, un análisis no determinista proporciona sólo información estadística sobre el ng  desplazamientos resultadoi de la carga

estadísticamente de Ned; la información correspondiente sobre las cantidades de respuesta relacionados a continuación, se genera utilizando los procedimientos de análisis no determinista independientes.

1-2 TIPOS DE CARGAS PRESCRITAS Casi cualquier tipo de sistema estructural puede ser sometido a una u otra forma de carga dinámica durante su vida útil.Desde un punto de vista analítico, es conveniente dividir las cargas prescritas o deterministas en dos

categorías básicas, periódicas y no periódicas. Algunas formas típicas de cargas y ejemplos de situaciones en las que se podrían desarrollar este tipo de cargas  prescritas se muestran en la Fig. 1-1. Como se indica en esta figura, una carga periódica exhibe la misma variación de tiempo sucesivamente para un gran número de ciclos. El más simple de carga h periódica como la variación sinusoidal se muestra en la Fig. 1-1 una, que se denomina armónico simple; cargas de este tipo son características de efectos desequilibrada-masa en maquinaria rotativa.Otras formas de carga periódica, por ejemplo, las causadas por las presiones hidrodinámico  géneros ted por una hélice en la popa de un buque o por los efectos de inercia en movimiento alternativo maquinaria, con frecuencia son más complejas.Sin embargo, por medio de un análisis de Fourier cualquier carga  periódica se puede representar como la suma de una serie de componentes armónicos simples, por lo que, en  principio, el análisis de respuesta a cualquier carga periódica sigue el mismo procedimiento general.

DESCRIPCI N GENERAL DE Structural Dynamics

3

Periódicas rotación desequilibrada

"Un

máquina en la construcción

Rotación de la hélice en  popa del buque

 N

 No PERIODICO

C

Bomba de presión de la explosión de contruyéndo

2D

Terremoto del agua Tanque

Cargando historias

ejemplos típicos

Figura 26. Características y fuentes de cargas dinámicas típicas: (a) armónico simple; (B) compleja; (C) impulsiva; (D) de larga duración.

Cargas no periódicas pueden ser tanto las cargas impulsivas de corta duración o formas generales de larga duración de las cargas.Una explosión o explosión es una fuente típica de una carga impulsiva; para este tipo de carga de corta duración, formas especiales simplificados de análisis pueden ser em pleados-. Por otro lado, una, a largo duración de la carga general, como podría ser el resultado de un terremoto puede ser tratada únicamente por procedimientos completamente generales de análisis dinámico.

1-3 características esenciales de un problema dinámico Un problema estructural dinámica se diferencia de su contraparte de carga estática en dos aspectos importantes. La diferencia en primer lugar a tener en cuenta, por de nición, es la naturaleza variable en el tiempo del problema dinámico. Debido a que tanto la carga y la respuesta varían con el tiempo, es evidente que un problema dinámico no tiene una solución única, como un problema estático

4

Dinámica de las estructuras

hace; En cambio, el analista debe establecer una serie de soluciones que corresponden a todas las épocas de interés en la historia de respuesta. Así, un análisis dinámico es claramente más compleja y requiere mucho tiempo de un análisis estático. La segunda y más fundamental d istinction entre Prob-blemas estáticas y dinámicas se ilustra en la Fig. 1-2.Si una viga simple es sometida a una carga estática p, como se muestra en la Fig. 1-2 a, sus momentos internos y cizallas y la forma des reflejada dependen sólo esta carga y pueden ser calculados por los principios establecidos de equilibrio de fuerzas.Por otra parte, si se aplica dinámicamente  la carga p (t), como se muestra en la Fig.  B 1-2, los cementos Visualizaciones Las resultantes de la viga depende no sólo de esta carga, sino también de las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones que los producen.Así, la corresponden-ing momentos internos y cizallas en el haz debe equilibrar no sólo la fuerza aplicada externamente p (t), sino también las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones de la viga. Las fuerzas de inercia que se resisten a las aceleraciones de la estructura de esta forma son la característica distintiva más importante de un problema de dinámica estructural. En general, si las fuerzas de Al Inerti representan una porción significativa de la carga total, equilibrada por las fuerzas elásticas internas de la estructura, entonces el carácter dinámico del problema debe tenerse en cuenta en su solución.Por otro lado, si los movimientos son tan lento que las fuerzas de inercia son insignificantemente pequeño, el análisis de la respuesta para cualquier instante de tiempo deseado puede ser hecho por procedimientos de análisis estructural estáticas a pesar de que la carga y la respuesta puede ser variable en el tiempo.

1-4 MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN Lumped-Masa Procedimiento

Un análisis del sistema dinámico en la Fig. 1-2 b se hace obviamente complica por el hecho de que las fuerzas de inercia son el resultado de desplazamientos variables en el tiempo estructurales que a su vez están en influido por las magnitudes de las fuerzas de inercia.Thi s ciclo cerrado de causa y efecto puede ser atacado directamente sólo mediante la formulación del problema en términos de ecuaciones diferenciales.Además, debido a que la masa de la viga se distribuye

 p

Pt.C/O Tinnitus  bilateral

Las fuerzas de inercia

"Un

N

Figura 26. Diferencia básica entre las cargas estáticas y dinámicas: (a) la carga estática; (B) la carga dinámica.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

5

continuamente a lo largo de su longitud, los desplazamientos y aceleraciones deben ser de nidas para cada punto a lo largo del eje si las fuerzas de inercia son desconectar completamente definido. En este c aso, el análisis debe ser formulada en términos de ecuaciones diferenciales parciales porque la posición a lo largo del lapso de tiempo, así como deben ser tomadas como variables independientes.

Sin embargo, si se supone la masa de la viga que se concentra en puntos discretos, como se muestra en la Fig. 1-3, el problema se convierte en analítica ed enormemente simplificado debido a las fuerzas de inercia se desarrollan sólo en estos puntos masivos. En este caso, es necesario de nir los desplazamientos y aceleraciones solamente en estos lugares discretos. El número de componentes de desplazamiento que debe ser considerado con el fin de representar los efectos de todas las fuerzas de inercia significativa de una estructura que puede denominarse el número de grados de libertad dinámicos de la estructura.Por ejemplo, si las tres masas en el sistema de la fig. 1-3 son totalmente concentrado y se ven limitados por lo que los puntos de masa correspondientes traducen sólo en una dirección vertical, esto se llama un sistema de tres grados de libertad (DOF 3).Por otro lado, si estas masas no están totalmente concentrados para que dispongan de inercia de rotación infinita, los desplazamientos giratorios de los tres puntos serán también tienen que ser considerados, en cuyo caso el sistema cuenta con 6 GDL. Si orciones natu dist axiales de la viga son significativo, los desplazamientos de traducción paralelo con el eje del haz también resultará dando al sistema 9 DOF. Más generalmente, si la estructura se puede deformar en el espacio de tres dimensiones, cada masa tendrá 6 DOF; a continuación, el sistema tendrá 18 DOF. Sin embargo, si las masas están totalmente concentrados  para que no inercia de rotación está presente, el sistema de tres dimensiones tendrá entonces 9 DOF. Sobre la base de estas consideraciones, es evidente que un sistema con distribuye de forma continua en masa, como en la Fig. 1-2 b, tiene una noche en el número de grados de libertad.

Los desplazamientos generalizados

La idealización agrupado-masa se ha descrito anteriormente proporciona un medio simple de limitar  el número de grados de libertad que deben ser considerados en la realización de un análisis dinámico de un sistema estructural arbitraria.El procedimiento de formación de grumos es más eficaz en el tratamiento de sistemas en los que una gran  proporción de la masa total de hecho se concentra en unos pocos puntos discretos.A continuación, la masa de la estructura que soporta estas concentraciones puede ser incluido en los grumos, lo que permite la estructura en sí para ser considerado peso. Sin embargo, en casos en los que la masa del sistema está bastante uniformemente distribuida

Pt.C/O Tinnitus  bilateral (C) 3M 2016.

(C) 3M 2016.

(C) 3M 2016.

Figura 26. idealización de masas concentradas de un simple

Ej:

6

Ej:

Ej:

viga

Dinámica de las estructuras

a lo largo de, un enfoque alternativo para limitar el número de grados de libertad puede ser preferible. Este procedimiento se basa en el supuesto de que la forma reflejada de de la estructura se puede expresar como la suma de una serie de  patrones de desplazamiento ed específicos; estos patrones se convierten entonces en el desplazamiento coordenadas de la estructura.Un simple ejemplo de este enfoque es la representación de la serie trigonométrica de la de reflexión de un haz simple. En este caso, la reflexión de forma puede ser expresado como la suma de las contribuciones de onda senoidal ependent ind, como se muestra en la Fig. 1-4, o en forma matemática, 1

nx

v (x) = b n incógnit

pecado ¡A

1)

 No

En general, cualquier forma arbitraria compatible con las condiciones de apoyo prescritos de la viga simple puede ser representado por este en serie infinita de componentes de onda sinusoidal. Las amplitudes de las formas de onda senoidal pueden ser considerados como los TES desplazamiento coordina La del sistema, y el número infinito de grados de libertad del haz real están representados por la noche en número de términos incluidos en la serie.La ventaja de este enfoque es que una buena aproximación a la forma real de la viga se puede lograr  ya b truncado serie de componentes de onda sinusoidal; por tanto, una aproximación de 3 DOF contendría sólo tres términos de la serie, etc.

Vx-1

incógnit L' b sen

 x

11080 ¡A



2  x b 2  pecado  

¡A



3  x

b3

 pecado  

¡A

 

Figura 26. representación-serie de senos de una simple desviación del rayo.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

7

Este concepto se puede generalizar más al reconocer que las formas de onda senoidal usados como los  patrones de desplazamiento asumidos eran una elección arbitraria en este ejemplo. En general, cualquier forma n (x), que son compatibles con las condiciones geométricas de apoyo reglamentarias y que mantengan la necesaria continuidad de los desplazamientos internos puede ser asumido.Por lo tanto una expresión generalizada para los desplazamientos de cualquier estructura unidimensional podría ser writt en incógnit v (x) = "n"

Z n n (x)

(1-2)

Para cualquier conjunto asumido las funciones de desplazamiento (x), la forma resultante de la estructura depende de los términos de amplitud Z n,  que se hará referencia a las coordenadas generalizadas como.El número de patrones de forma asumidos repre senta el número de grados de libertad considerados en esta forma de idealización.En general, una mayor precisión se puede lograr en un análisis dinámico para un número dado de GEIESE d de libertad usando el método de la función de forma de idealización en lugar del enfoque agrupadomasa.Sin embargo, también debe reconocerse que se requiere un mayor esfuerzo de cálculo para cada grado de libertad cuando se emplean tales coordenadas generalizadas.

El concepto de elementos finitos Un tercer método o f expresar los desplazamientos de cualquier estructura dada en términos de un número finito de desplazamiento discreto coordenadas, que combina ciertas características tanto de la masa concentrada y los procedimientos generalizado coordenada, ahora se ha convertido en popular.Este enfoque, que es la base del método Nite-elemento de análisis de continua estructural, proporciona una idealización conveniente y fiable del sistema y es particularmente eficaz en los análisis digital ordenador. El tipo de elemento finito-de idealización es aplicable a estructuras de todo tipo: estructuras enmarcadas, que comprenden los conjuntos de los miembros de una dimensión (vigas, columnas, etc.); avión de estrés, estructuras Plate y de tipo concha, que se componen de componentes bidimensionales; y las identificaciones de sol tridimensionales generales.Para simplificar, sólo el tipo unidimensional de componentes estructurales será considerado en la presente discusión, pero la extensión del concepto de dos y tres dimensiones elementos estructurales es sencillo. La etapa primera de la noche-eleme nt idealización de cualquier estructura, por ejemplo, la viga de la figura. 15, consiste en dividir en un número apropiado de segmentos o elementos, como se muestra.Sus tamaños son arbitrarias; es decir, pueden ser todos del mismo tamaño o todas diferentes. Los extremos de los  padres segm, en las que están interconectados, son llamados  puntos nodales.Los desplazamientos de estos puntos nodales se convierten entonces en la generalizarse coordenadas de la estructura.

8

Dinámica de las estructuras

un 1

.... .... . .2

|

 N , V.

d (ej enero: 01)

C 

3

4



C

{ 

5

 f 

6

7

, V.  N 11080





3

, V. C 25)

= (d 

dx

v) = 3 1

Figura 26. Típica del haz de elementos finitos coordina.

La forma de reflexión de la estructura completa ahora se puede expresar en términos de estos es coordinat generalizadas por medio de un conjunto apropiado de funciones dis-colocación asumidos, utilizando una expresión similar a la ecuación.1) En este caso, sin embargo, las funciones de desplazamiento se denominan  funciones de interpolación,  ya que de nen las formas producidas por especificado dis nodales colocaciones.Por ejemplo, la Fig. 1-5 se muestran las funciones de interpolación asociados con dos grados de libertad de punto nodal 3, que producen desplazamientos transversales en el plano de la figura. En principio, cada función Interpo-mento podría ser cualquier curva whic h es continua internamente, y que satisface la condición de desplazamiento it geométrica impuesta por el desplazamiento nodal.Para los elementos de una dimensión que es cómodo de usar las formas que se producen por estos mismos desplazamientos nodales en un bea uniforme m.Se muestra más adelante en el capítulo 10 de que estas funciones de interpolación son polinomios hermitianos cúbicos.

Debido a que las cciones diversión de interpolación utilizados en este procedimiento satisfacen las requerirmentos indicados en el apartado anterior, debe ser evidente que las coordenadas utilizado en el método finito de elementos son sólo formas especiales de coordenadas generalizadas.Las ventajas de este procedimiento especial son los siguientes: (1) El número deseado de coordenadas generalizadas se puede introducir simplemente dividiendo la estructura en un número apropiado de segmentos. (2) Dado que las funciones de interpolación elegidos para cada segmento pueden ser idénticos, los cálculos se simplificado. (3) Las ecuaciones que son desarrollados por este enfoque son en gran parte no acoplada porque cada desplazamiento nodal sólo afecta a los elementos vecinos; por lo tanto el proceso de solución es ed enormemente simplificado.

En general, el enfoque infinito de elementos proporciona el procedimiento ciente para expresar la mayoría de los desplazamientos arbitrarios con guraciones estructurales por medio de un conjunto discreto de coordenadas.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

1-5 Formulación de las ecuaciones de movimiento

9

Como se mencionó anteriormente, el objetivo principal de un análisis estructural-dinámica determinista es la evaluación del desplazamiento de tiempo historias de una estructura dada sub-proyectada a una carga variable en el tiempo dado. En la mayoría de los casos, un análisis aproximado en volvi-ng  sólo un número limitado de grados de libertad  proporcionen exactitud ciente; Por lo tanto, el problema puede ser reducido a la determinación de los tiempos de historias de estos componentes de desplazamiento se-leccionado.Las expresiones matemáticas de nir los ele- displac dinámicos se llaman las ecuaciones de movimiento de la estructura, y la solución de estas ecuaciones de movimiento de desplazamiento

 proporciona los tiempo-historia requeridos.

La formulación de las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico es posiblemente la fase más importante, ya veces el más difíciles, de todo el procedimiento de análisis.En este texto, se emplearán tres métodos diferentes para la formulación de estas ecuaciones, cada uno con ventajas en el estudio de las clases especiales de  problemas. El s concepto fundamental asociado con cada uno de estos métodos se describen en los párrafos siguientes.

El equilibrado directa usando el principio de D'Alembert Las ecuaciones de movimiento de cualquier sistema dinámico representan expresiones de la segunda ley de  Nueva toneladas de movimiento, lo que indica que la tasa de cambio del momento de cualquier partícula de masa m es igual a la fuerza que actúa sobre él.Esta relación se puede expresar matemáticamente por la ecuación diferencial d (ej Pt.C/O enero: Tinnitus 01)

 bilateral dt

DV 1)

medt

donde p (t) es el vector de la fuerza aplicada y v (t) es el vector de posición de la masa de partículas m.Para la mayoría de los problemas de la dinámica estructural se puede suponer que la masa no lo hace variar con el tiempo, en cuyo caso la ecuación. (1-3) se puede escribir 

DV p (t) = metro

dt 2

m

•

v (t)

"Un

donde los puntos representan la diferenciación con respecto al tiempo. La ecuación (1-3a), indicat-ción que la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleración, también puede escribirse en la forma

p (t) m v (t) = 0 •

 N

en cuyo caso, el segundo término m v (t) se llama la  fuerza de inercia resistiendo la ACELER-ación de la masa. •

El concepto de que una masa se desarrolla una fuerza inercial proporcional a su aceleración y oponiéndose a que se conoce como el principio de D'Alembert.Es un dispositivo muy conveniente en problemas de dinámica estructural, ya que  permite que las ecuaciones de movimiento para ser 

10 dinámica de las estructuras

expresado como ecuaciones de equilibrio dinámico. La fuerza p (t) se puede considerar para incluir muchos tipos de fuerzas que actúan sobre la masa: fijaciones elásticas que se oponen a los desplazamientos, las fuerzas viscosas que resisten velocidades y cargas de forma independiente de los ex-terno nidas.Así, si se introduce una fuerza de inercia que se resiste a la aceleración,  la ecuación de movimiento es simplemente una expresión de equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre la masa.En muchos problemas sencillos, la forma más directa y conveniente de formular las ecuaciones de movimiento es por medio de tales equilibraciones directos.

Principio de desplazamientos virtuales Sin embargo, si el sistema estructural es bastante complejo que implica una serie de puntos de masa interconectadas o cuerpos de tamaño finito, el equilibrado directa de todas las fuerzas que actúan en el sistema puede ser culto dif. Con frecuencia, L a diversas fuerzas involucradas pueden fácilmente ser expresada en términos de los grados de libertad de desplazamiento, pero sus relaciones de equilibrio puede ser oscuro.En este caso, el principio de desplazamientos virtuales se puede utilizar para formular las ecuaciones de movimiento sustituto sa para las relaciones de equilibrio directos. El principio de desplazamientos virtuales puede expresarse de la siguiente manera. Si un sistema que está en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas aplicadas externamente se somete a un desplazamiento virtual, es decir, un patrón de desplazamiento compatible con las limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el conjunto de fuerzas será cero.Con este principio, es evidente que la desaparición del trabajo realizado durante un desplazamiento virtual es equivalente a una declaración d e equilibrio.Por lo tanto, las ecuaciones de respuesta de un sistema dinámico se  pueden establecer por primera identificación de todas las fuerzas que actúan sobre las masas del sistema, incluidas las fuerzas de inercia de nidos de acuerdo con el principio de D'Alembert. Entonces, las ecuaciones de la moti sobre se obtienen mediante la introducción de un patrón separado desplazamiento virtual correspondiente a cada grado de libertad e igualando el trabajo realizado a cero.Una ventaja importante de este enfoque es que las contribuciones del trabajo virtual son cantidades escalares y se pueden añadir algebraicamente, mientras que las fuerzas que actúan sobre la estructura son vectorial y sólo pueden superponerse vectorialmente.

Enfoque variacional Otra forma de evitar los problemas de establecer las ecuaciones vectoriales de  brium equili es hacer uso de cantidades escalares en una forma variacional conocido como el principio de Hamilton.Las fuerzas de inercia y elásticos no están implicados de forma explícita en este principio; En su lugar, se utilizan las variaciones de los términos de energía cinética y potencial. Este formulati sobre tiene la ventaja de tratar solamente con las cantidades de energía puramente escalares, mientras que las fuerzas y desplazamientos utilizados para representar los efectos correspondientes en el procedimiento del trabajo virtual son todos vectorial en carácter, a pesar de que los términos de trabajo en sí son escalares. Es de interés señalar que el principio de Hamilton también se puede aplicar a la estática

DESCRIPCIÓN GENERAL DE Structural Dynamics

11

de problemas. En este caso, se reduce con el principio bien conocido de la energía potencial mínima tan amplio utilizado Ly en los análisis estáticos. Se ha demostrado que la ecuación de movimiento de un sistema dinámico puede ser formulado por cualquiera de tres procedimientos distintos. El enfoque más sencillo es establecer directamente el equilibrio dinámico de todas las

fuerzas de la actina G en el sistema, teniendo en cuenta los efectos de la inercia mediante el principio de D'Alembert.En los sistemas más complejos, sin embargo, especialmente los que implican la masa y elasticidad distribuida sobre regiones finitos, una equilibración vectorial directa puede ser culto DIF, y wo rk o formulaciones de energía que implican sólo cantidades escalares puede ser más conveniente.La más directa de estos procedimientos se basa en el principio de desplazamientos virtuales, en las que se evalúan de forma explícita las fuerzas que actúan sobre el sistema, pero los ns equatio de movimiento se derivan de la consideración del trabajo realizado durante los desplazamientos virtuales correspondientes.Por otra parte, la formulación de energía alternativa, que se basa en el principio de Hamilton, no hace uso directo de las fuerzas de inercia o conservadores un nexión en el sistema; los efectos de estas fuerzas están representadas no por variaciones de las energías cinética y potencial del sistema.Se debe reconocer que los tres procedimientos son completamente equivalentes y conducen a ecuaciones idénticas de movimiento. El método para ser utilizado en cualquier caso dado es en gran parte una cuestión de conveniencia y preferencia personal; la elección generalmente dependerá de la naturaleza del sistema dinámico en consideración.

ORGANIZACIÓN 1-6 DEL TEXTO Este libro, "Dinámica de Estructuras," se ha escrito en cinco partes.Primera Parte presenta un amplio tratamiento del sistema de un solo grado de libertad (un grado de libertad) que tiene coordenadas sólo un desplazamiento independiente. Este sistema es estudiado en gran detalle por dos razones: (1) t él comportamiento dinámico de muchas estructuras  prácticas se pueden expresar en términos de una sola coordenada, de modo que este tratamiento SDOF se aplica directamente en esos casos, y (2) la respuesta de estructuras lineales complejas se pueden expresar como la suma de las respuestas o serie fa de los sistemas de un grado de libertad de manera que este mismo tratamiento una vez más se aplica a cada sistema en la serie.Por lo tanto, las técnicas de análisis SDOF proporcionan la base para el tratamiento de la gran mayoría de los problemas estructurales dinámicos. Sistemas de la segunda parte se trata de parámetros discretos de varios grados de libertad (MDOF), es decir, sistemas para los cuales sus respuestas dinámicas pueden expresarse en términos de un número limitado de coordenadas de desplazamiento.Para el análisis de los sistemas linealmente elásticas, se presentan los procedimientos para la evaluación de sus ropiedades p en un estado libre de vibraciones, es decir, para evaluar formas de los modos normales y las frecuencias correspondientes.Entonces, dos métodos generales para el cálculo de las respuestas dinámicas de estos sistemas para arbitrariamente se dan cargas especificada: (1) haciendo uso de superposición mode- en el que la respuesta total se expresa como la suma de las respuestas individuales en los diversos modos normales de vibración, cada uno de los cuales se puede determinar mediante procedimientos de análisis del sistema de SDOF, y

12 dinámica de las estructuras (2) resolver directamente las ecuaciones de movimiento MDOF en su forma original, acoplada. Por último, la formulación variacional del problema estructural dinámico se presenta y paso a paso las técnicas de integración numérica se formulan para resolver urgentemente ctly tanto un grado de libertad y las ecuaciones de movimiento que representan MDOF ya sea sistemas lineales o no lineales. Linealmente sistemas dinámicos que tienen propiedades elásticas distribuidos de forma continua se consideran en la tercera parte.Tales sistemas tienen un número finito de grados de libertad que requieren que sus ecuaciones de movimiento escribirse en forma de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, se sh propietario que el  procedimiento de modo de superposición es todavía aplicable a estos sistemas y que las soluciones prácticas se  puede obtener teniendo en cuenta sólo un número limitado de los modos más bajos de la vibración.

Cuarta parte cubre el tema general de las vibraciones aleatorias de Li cerca de los sistemas de un grado de libertad y MDOF.Dado que las cargas consideradas pueden caracterizarse sólo en un sentido estadístico, las respuestas correspondientes se caracterizan de manera similar. Para proporcionar una base para el tratamiento de estos sistemas, se dan introducciones a la teoría de la probabilidad y procesos estocásticos. ingeniería sísmica, con un enfoque especial en la respuesta estructural y perfor-mance, es el tema de la quinta parte. Se da una muy breve reseña de sismología sobre las causas y características de los terremotos, junto con un análisis de los movimientos del suelo que producen.Los métodos se dan a continuación, para evaluar la respuesta de las estructuras de estos movimientos utilizando procedimientos tanto deterministas y no deterministas.

PARTE

l SISTEMAS solo grado de libertad

capitulo

....... . . .2 Analysis DE LIBRE VIBRACIONES

2-1 COMPONENTES DEL SISTEMA dinámica básica Las propiedades físicas esenciales de cualquier sistema hanical estructural o mec elástico lineal sometido a una fuente externa de excitación o la carga dinámica son su masa, las propiedades elásticas (exibilidad o rigidez), y el mecanismo de pérdida de energía o de amortiguación.En el modelo más simple de un sistema de SDOF, cada una de estas propiedades se supone a concentrarse en un único elemento físico.Un bosquejo de un sistema de este tipo se muestra en la Fig. 2-1 a. Toda la masa m de este sistema está incluido en el bloque rígido que es con-tensado por los rodillos de modo que puede moverse sólo en la traducción sencilla; por lo tanto, la única de coordenadas de desplazamiento v (t) por completo de ne su posición.La resistencia elástica al desplazamiento es proporcionada por el resorte pesar tless de rigidez k,  mientras que el mecanismo de pérdida de energía está representado por el amortiguador  c.La carga dinámica externa producción de la respuesta de este sistema es la fuerza p variable en el tiempo (t).

VT

VT

C   f  D (t)

me

Pt.C/O Tinnitus  bilateral  f  S  (T)

k 

estirar Pt.C/O Tinnitus  bilateral

"Un

N

Figura 26. Sistema de un grado de libertad idealizada: (a) los componentes básicos; (B) las fuerzas en equilibrio.

15 16 dinámica de las estructuras 2-2 ecuación de movimiento del sistema básico DINÁMICO La ecuación de movimiento para el sencillo sistema de la Fig. 2-1 a es más fácilmente para-formularse expresando directamente el equilibrio de todas las fuerzas que actúan sobre la masa usando el principio de D'Alembert.Como se muestra en la Fig. 2-1 b, las fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad se la carga p (t) y las tres fuerzas de resistencia que resultan de la moción, es decir, la fuerza de inercia f  I (t), la fuerza de amortiguación F aplicada D (t),  y la fuerza de resorte f  S (t).La ecuación de movimiento es simplemente una expresión del equilibrio de estas fuerzas como dado por  25)

f  I (t) + f D (t) + f S (t) = p (t)

Cada una de las fuerzas representadas en el lado izquierdo de esta ecuación es una función del desplazamiento v (t) o uno de sus derivados de tiempo.El sentido positivo de estas fuerzas ha sido elegido deliberadamente para que se corresponda con el sentido negativo de desplazamiento de manera que se oponen a una carga aplicada positivo. De conformidad con el principio de D'Alembert, la fuerza de inercia es el producto de la masa y la aceleración f  I (t) =  mv (t) •

"Un

Suponiendo un mecanismo de amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguación es el producto de la amortiguación c constante y la velocidad f  D (t) = CV (t)

 N

Por último, la fuerza elástica es el producto de la rigidez del resorte y el desplazamiento f  S (t) = kv (t)

C

Cuando las ecuaciones. (2-2) se introducen en la ecuación. (2-1), la ecuación de movimiento para este sistema de un grado de libertad se encuentra para ser  mv  (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) •

25)

Establecer un procedimiento de formulación alternativa, es instructivo para desarrollar esta misma ecuación de movimiento por un enfoque de trabajo virtual. Si se da la masa un desplazamiento virtual v compatible con las

limitaciones del sistema, el trabajo total realizado por el sistema de equilibrio de fuerzas en la Fig. 2-1 b debe ser igual a cero, como se muestra por  11080

f  I (t) v f D (t) v f S (t) v + p (t) v = 0

en la que los signos negativos resultan del hecho de que las fuerzas asociadas actúan opuesto al sentido del desplazamiento virtual. Sustituyendo las Ecs. (2-2) en la Ec. (2-4) y factorizar  v conduce a

25)

 mv (t) cv (t) kv (t) + p (t) v = 0

•

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

17

Desde v es distinto de cero, la cantidad soporte en esta ecuación debe ser igual a cero, dando así a la misma ecuación de movimiento como se muestra por la ecuación.11080 Mientras que una formulación del trabajo virtual no tiene ninguna ventaja de este sistema simple, será encontrado muy útil para los tipos más generales de los sistemas de un grado de libertad tratados posteriormente.

2-3 Influencia de las fuerzas gravitacionales Consideremos ahora el sistema mostrado en la Fig. 2-2 a, que es el sistema de la fig. 2-1 una gira a través de 90 de modo que la fuerza de la gravedad actúa en la dirección del desplazamiento.En este caso, el sistema de fuerzas que actúan en la dirección del grado de desplazamiento de la libertad es ese conjunto se muestra en la Fig. 2-2 b.Usando las ecuaciones. (2-2), el equilibrio de estas fuerzas está dada por 

25)

mv  (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) + W •

donde W es el peso del bloque rígido. Sin embargo, si el desplazamiento total v (t) se expresa como la suma del desplazamiento estático 4 st causada por el peso W más la dinámica de desplazamiento v adicional (t) como se muestra en la Fig. 2-2 c, es decir,

v (t) = 4 +

st

25)

contr  (t)

a continuación, la fuerza del resorte está dada por  f  S (t) = kv (t) = k + 4

st k

contr  (t)

25)

La introducción de la ecuación. (2-8) (2-6) en los rendimientos  mv (t) + cv (t) + k + 4

•

st k

contr  (T) = p (t) + W

1)

k 

C 

me

￦233,259,995,000

VT Pt.C/O Tinnitus bilateral "Un

 f  S  (T)  f  D (t)

estirar ￦233,259,995,000

VT Pt.C/O Tinnitus bilateral  N

 f  S  (T)  f  D (t)

estirar Estático  st =

￦  233,259,995,000

desplazamiento 

Pt.C/O Tinnitus  bilateral C

VT

Figura 26. Influencia de la gravedad en el equilibrio del grado de libertad.

18 dinámica de las estructuras y observando que k 4 st = Conduce a W mv  (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) •

11080

Ahora diferenciando la Ec. (2-7) y observando que 4 st no varía con el tiempo, es Parte

•

evidente que v  (t) = v (t) y v (t) = v (t) de modo que la ecuación. (2-10)  puede escribirse •

•

Parte

mv (t) + cv (t) + kv (t) = p (t)

11080

La comparación de las ecuaciones. (2-11) y (2-3) demuestra que la ecuación de movimiento ex-presiona con referencia a la posición de equilibrio estático del sistema dinámico no se ve afectada por las fuerzas de gravedad. Por esta razón, los desplazamientos en todos los futuros discus-siones Wil l ser referenciados desde la posición de equilibrio estático y se denotarán v (t) (es decir, sin la barra superior); los desplazamientos que se determinan

representarán respuesta dinámica.Por lo tanto, el total de reflexiones, las tensiones, etc. se obtienen sumando las cantidades corres encharcamiento estáticas a los resultados del análisis dinámico.

2-4 INFLUENCIA DE SOPORTE DE EXCITACIÓN Esfuerzos dinámicos y de reflexiones pueden ser inducidas en una estructura no sólo por una carga aplicada variable en el tiempo, como se indica en las Figs. 2-1 y 2-2, pero también por los movimientos de sus puntos de apoyo.Ejemplos importantes de tales excitación son los movimientos de los cimientos de un edificio causado por un terremoto o movimientos del soporte de base de una pieza del equipo debido a las vibraciones del edificio en el que se aloja. Un modelo  e d simplificado del problema terremoto-excitación se muestra en la Fig. 2-3, en el que el movimiento horizontal del suelo causada por el evento está indicada por el desplazamiento v estructura con respecto al eje de referencia fijo.

g (t)

de la base de la

La viga horizontal en este marco se supone que es rígida y que incluya toda la masa en movimiento de la estructura. Las columnas verticales se supone que son sin peso y inextensible en la dirección vertical (axial), y la resistencia al desplazamiento de la viga proporcionada por cada columna está representada por su constante de resorte k = 2. Así pues, la masa tiene un solo grado de libertad, v (t), que se asocia con exure columna; el amortiguador  c  proporciona una resistencia a la velocidad proporcional al movimiento en esta coordenada.

Como se muestra en la Fig. 2-3 b, el equilibrio de fuerzas para este sistema se puede escribir  como f  I (t) + f D (t) + f S (t) = 0

1)

en el que la amortiguación y las fuerzas elásticas pueden expresarse como en las ecuaciones. 25) Sin embargo, la fuerza de inercia en este caso se da por  f (t) = mv T (t) •

l

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

19

v t  (t)

VT E je ix

F

me k  ed

k 



re



fe re n c e

. . . . . . . . . .2

C 

.. .. .. .. . .2

25)

v  g  (t)

"Un

estirar

 f  S  (T)

 f  S   f  D (T)



(T) 

.... .... . .2

..... .... .2

 N

Figura 26. Influencia de la excitación de apoyo en el equi librio del grado de libertad: (a) el movimiento del sistema; (B) fuerzas de equilibrio.

donde v t (t) representa el desplazamiento total de la masa del eje de referencia fijo.Sustituyendo la inercia, de amortiguación, y las fuerzas elásticas en la ecuación. (2-12) los rendimientos mv

•

T

(t) + cv (t) + kv (t) = 0

11080

Antes de esta ecuación se puede resolver, todas las fuerzas se expresan en términos de una sola variable, que se  puede lograr haciendo notar que el movimiento total de la masa se puede expresar como la suma del movimiento del suelo y que debido a la distorsión de columna, es decir, , v t (t) = v (t) + v g (t)

1)

Expresando la fuerza de inercia en términos de los dos componentes de aceleración obtenidos por doble diferenciación de la ecuación. (2-15) y sustituyendo el resultado en la ecuación. (2-14) los rendimientos

 mv (t) + mv g (t) + cv (t) + kv (t) = 0

•

•

25)

o, ya que la aceleración del suelo representa la entrada dinámica especificado a la estructura, la misma ecuación de movimiento puede más convenientemente ser escrito

 mv (t) + cv (t) + kv (t) = mv

•

•

g (t) p

eff (t)

11080

En esta ecuación, p eff  (t) denota la carga efectiva de apoyo de excitación; en otras palabras, las deformaciones estructurales causados por aceleración del suelo v g (t) son exactamente los mismos que los que sería producida por una carga externa p (t) igual a mv g (t).El signo negativo en este efectiva carga de definición indica que la •

•

fuerza efectiva se opone al sentido de la aceleración del suelo. En la práctica, esto tiene poca significación en la medida en

20 dinámica de las estructuras como el ingeniero es por lo general sólo está interesado en el valor absoluto máximo de v (t); en este caso, el signo menos puede ser retirado de la expresión de carga eficaz. Una forma alternativa de la ecuación de movimiento se puede obtener mediante el uso de la ecuación. (2-15) y la expresión de la ecuación. (2-14) en términos de v t (t) y sus derivados, en lugar de en términos de v (t) y sus derivados, dando mv

•

T

(t) + cv t (t) + kv t (t) = CV g (t) + kv g (t)

25)

En esta formulación, la carga efectiva que se muestra en el lado derecho de la ecuación depende de la velocidad y el desplazamiento del movimiento sísmico, y la respuesta obtenida mediante la resolución de la ecuación es el desplazamiento total de la masa de un  NCE refere fijo en lugar de desplazamiento relativo a la base móvil.Soluciones rara vez se obtienen de esta manera, sin embargo, porque el movimiento terremoto generalmente se mide en términos de las aceleraciones y el registro sísmico tendría que ser integrada una vez y dos veces para evaluar las contribuciones efectivas de carga debido a la velocidad y el desplazamiento de la tierra.

2-5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES no amortiguado GRATIS Se ha demostrado en las secciones anteriores que la ecuación de movimiento de un sistema simple de masa y resorte con amortiguación se puede expresar como mv  (t) + cv (t) + kv (t) = p (t) •

1)

en la que v (t) representa la respuesta dinámica (es decir, el desplazamiento desde la posición de equilibrio estático) y p (t) representa la carga efectiva que actúa sobre el sistema, ya sea aplicados directamente o como resultado de movimientos de apoyo. La solución de la ecuación. (2-19) se obtiene considerando rst forma homogénea con el lado derecho igual a cero, es decir,

25)

 mv (t) + cv (t) + kv (t) = 0

•

Movimientos que tienen lugar sin la fuerza aplicada se denominan vibraciones libres, y es la respuesta libre de la vibración del sistema que ahora se examina. La respuesta libre de vibraciones que se obtiene como la solución de la ecuación. (2-20) se puede expresar de la siguiente forma: 11080

v (t) = G exp (st)

donde G es una constante compleja arbitraria y exp (st) e st denota la función exponencial.En las discusiones  posteriores a menudo será conveniente utilizar números complejos

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

21

en la expresión de las cargas dinámicas y respuestas; por lo tanto es útil ahora que brie y revisar el concepto de número complejo. Teniendo en cuenta RST constante compleja G,  esto puede representarse como un vector representa gráficamente en el plano complejo, como se muestra en la Fig. 2-4.Este sketc h demuestra que el vector se puede expresar en términos de sus componentes cartesianos real e imaginaria: "Un

G=GR+iGI

o, alternativamente, que puede ser expresada en coordenadas polares utilizando su valor  G absoluta (la longitud del vector) y su ángulo, medido en sentido contrario de lo real eje:  N

G = G exp (i)

Además, a partir de las relaciones trigonométricas que se muestran en el dibujo, está claro que la ecuación. (2-22a) también puede escribirse C

G = G + i cos G pecado El uso de esta expresión y observando que cos = 25) sen

y el pecado + = cos

 por  i

tiene el efecto de girar 

.. .. .. .. . .2

es fácil demostrar que la multiplicación de un vector  en sentido antihorario en el plano complejo a través de un ángulo de .... .... . .2

radianes o 90 grados.

Del mismo modo se puede ver que la multiplicación por  i gira el vector  90 en sentido horario.Ahora igualando la ecuación. (2-22c) a la ecuación. (2-22b), y también señalar que un componente imaginario  negativo estaría asociado con un ángulo de vector negativo, conduce a la par de ecuaciones que sirven para transformar de trigonométrica a las funciones exponenciales de Euler:

)

exp (i) = cos + i pecado

exp (i) = cos

"Un es en

Además, las Ecs. (2-23a) puede resolverse simultáneamente para obtener la forma inversa de ecuaciones de Euler:

G = G  R + i G  I  o 

G = G exp (i

)

.yo exp (i) + exp (i) pecado pecar 

Solo estoy  sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto.  Nos acabamos de conocer" 

exp (i)

 N

Exposición

yo

)

... ... ... .2



G 

G

i G i  I  = g  sen 

 

G  R = G

 R

cos 

Figura 26. representación constante compleja en el plano complejo.

22 dinámica de las estructuras Para deducir una expresión respuesta sin vibraciones, la Ec. (2-21) se sustituye en la ecuación. (2-20), que conduce a

(ms 2 + cs + k) G exp (st) = 0

y después de dividir por  mG exp (st) y la introducción de la notación ¡. . ...

k

... . .2

me

25)

#% me #%25)

1)

esta expresión se convierte C

Los dos valores de s que satisfacen esta expresión cuadrática dependen del valor de c con respecto a los valores de k y m; Así, el tipo de movimiento dado por la ecuación. (2-21) depende de la cantidad de amortiguación en el sistema. Considerando ahora el sistema no amortiguado para los que c = 0, es evidente que los dos valores de s dado  por la solución de la Ec. (2-25) son

¡Yes!

1)

Por lo tanto la respuesta total incluye dos términos de la forma de la ecuación. (2-21), como sigue: 1)

v (t) = G 1 exp (i!t) + G 2 exp (i!t)

en el que los dos términos exponenciales son el resultado de los dos valores de s, y los complejos constantes G G 2 representan el (todavía) amplitudes arbitrarias de los términos de vibración correspondientes.

1

y

Ahora establecemos la relación entre estas constantes mediante la expresión de cada uno de ellos en términos de sus componentes real e imaginaria: G=G11R+iG1I

;

G=G22R+iG2I

y mediante la transformación de los términos exponenciales al formulario utilizando las ecuaciones trigonométricas. (2-23a), de modo que la ecuación. (2-27) se convierte

v (t) = G 1 R + i G 1 I

cos!t + i sen!t + G 2 R + i G 2 I

cos!t i sen!M

o después de simplificar  v (t) = (G 1 R + G 2 R) cos!t (G 1 G 2 I I) el pecado!M

h

I + (G 1 I + G 2 I) cos!t + (G 1 G R 2 R) pecado!Tiberio

25)

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

23

Sin embargo, esta respuesta sin vibraciones debe ser real, por lo que el término imaginario (que se muestra entre corchetes) debe ser cero para todos los valores de t, y esta condición requiere que G1G=I2I

GI

G1R=G2RGR

A partir de este se ve que G 1 y G 2 son un par conjugado complejo: G1G=R+iGI

G2G=RiGI

y con estos Eq. (2-27) se convierte finalmente v (t) = (G R + i G I) exp (i!t) + exp (G R I G I) (i!t)

11080

La respuesta dada por el término de la primera ecuación. (2-29), se representa en la Fig. 2-5 como un vector que representa el complejo G constante 1 que gira en la dirección hacia la izquierda con la velocidad angular! ; También se muestran sus constantes reales e imaginarios. Será sin ted que el vector de respuesta resultante (G R + i G I ) Exp (i!t) conduce vector  G R exp (i!t)  por el ángulo de fase; Por otra parte, es evidente que la respuesta también se puede expresar en términos de valor absoluto, G,  y el ángulo combinado (!T06El examen del segundo término de la ecuación. (2-29) muestra que la respuesta asociada a ella es completamente equivalente a la que se muestra en la Fig. 2-5 excepto que el vector resultante G exp [ yo(!t +)] está

girando en la dirección de las agujas del reloj y el ángulo de fase por la que se conduce la exp componente G R (i!t) también está en la dirección hacia la derecha. Los dos vectores de contra-rotación de G i exp [(!t +)] Y G exp [ yo(!t +)] Que representan la respuesta total sin vibraciones dada por la ecuación. (2-29) se muestran en la Fig. 2-6;

Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto.  Nos acabamos de conocer" 

(G  R

+ i G  I) exp (i  t) 

G = exp [i   t  +)] 

donde G =

G.....! G.....!  E 

T06  =

T06 i G  I  exp (i  t) Solo estoy sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan pronto. Nos acabamos de conocer" 

G  R exp (i  t) ángulo de

fase  R

Exp (G  R + i G  I) (i  t) 

G 

l 

= exp [i   t  +)] 

G  R  t)

T06 T06

exp (i 2 cos (G  t 

)  R

G  R  t)

exp (i 

 (G  R  i G  I) exp   yo  t) 

G

= exp  i   t  +)]

Figura 26. Representación de la primer término de la ecuación. 25)

Figura 26. respuesta total sin vibraciones.

24 dinámica de las estructuras es evidente aquí que los componentes imaginarios de los dos vectores se anulan entre sí dejando sólo el movimiento vibratorio de bienes v (t) = 2 cos G (!T06

11080

Una alternativa para esta expresión movimiento real puede derivarse mediante la aplicación de la ecuación de Euler transformación. (2-23a) a la ecuación. (2-29), con el resultado de 25)

v (t) = A cos!sen B t +!M

en la que  A = 2G

R

y B = 2G I.Los valores de estos dos constantes se pueden determinar a partir de las

y la velocidad v (0) en el tiempo t = 0 cuando la vibración libre se puso en marcha.Sustituyendo estos en Eq. (2-31) y su derivada en el tiempo primero, respectivamente, es fácil demostrar que condiciones iniciales, es decir, el desplazamiento v (0)

, V. v (0) = A = 2G R

¡

25)

= B = I 2G

Por lo tanto la ecuación. (2-31) se convierte v (t) = v (0) cos!T06 , V. pecado pecarM ¡

11080

Esta solución representa un movimiento armónico simple (MAS) y es Retrato del yed gráficamente en la Fig. 27.La cantidad!, Que hemos identificado previamente como la velocidad angular (medido en radianes por unidad de tiempo) de los vectores de rotación en el plano complejo, también se conoce como la frecuencia circular.La frecuencia cíclica, usua refiere LLY a medida que la frecuencia de movimiento, se da por  3.075.000 ¡ ...... . . . .2

11080

su recíproco 1 = f 

.... .... . .2 T06 ¡

1)

VT ...... . . . .2

T06

.

, V. , V.

 M 

T06 25)

Figura 26. respuesta de vibración libre no amortiguada.

¡ , V.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

25

Es el tiempo necesario para completar un ciclo y que se llama el periodo del movimiento. Por lo general, para los sistemas estructurales y mecánicas del período T se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo, comúnmente conocida como Hertz (Hz). El movimiento representado por la ecuación. (2-33) y se representa en la figura. 2-7 puede ser también interpretado entérminosde un par de vectores,

v(0)

y

girando ensentido antihorario en

el plano complejo con velocidad angular!,  como se muestra en la Fig. 2-8.El uso de las relaciones indicadas anteriormente entre las constantes de libre de vibraciones y las condiciones iniciales, se puede observar que la Fig. 2-8 es equivalente a la Fig. 2-5, pero con el doble tud ampli y con un ángulo de fase negativa que se correspondan con las condiciones iniciales positivos.En consecuencia, la amplitud = 2G, y como se muestra por la ecuación. (230) la vibración libre puede ser expresado como

v (t) = cos (!T06

en el que la amplitud es dada por 

(0)

.. .. .. .. . .2

contr 

;'+rv*

Humira ¡ yo

y el ángulo de fase por 

Canela

, V. ¡ , V.

2-6 AMORTIGUADO GRATIS VIBRACIONES

25)

25)

1)

Si la amortiguación está presente en el sistema, la solución de la ecuación. (2-25), que de ne la

respuesta es

C (C) 3M 2016.

#%

C

r 

.. .. .. .. . .2

(C) ¡. . . . . 3M . . . . .2 2016.

11080

Tres tipos de movimiento están representados por esta expresión, en función de si la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada es positiva, negativa o cero. Es conveniente analizar primero el caso en que el término radical se desvanece, que se llama el crítico-d condición amplificado.

Solo estoy  sorprendido que estés dispuesto a ofrecerlo tan ronto. Nos acabamos de conocer" 

, V.  

T06 T06  R

T06 , V. 



Figura 26. Rotación de representación vectorial de la vibración libre no amortiguada.

26 dinámica de las estructuras Críticamente amortiguado Sistemas Si el término radical en la ecuación. (2-39) se fija igual a cero, es evidente que c = 2m = !; Por lo tanto, el valor crítico de la coeficiente de amortiguación, c c, es

{0/} C33/C33M - 13{/2

1)

A continuación, los dos valores de s dado por la Ec. (2-39) son los mismos, es decir,

%1$s, %2$s

Copia: (C) 3M 2016. 25)

25)

La solución de la ecuación. (2-20) en este caso especial debe ahora ser de la forma v (t) = exp (G 1 + G 2 t) (!t)

11080

en la que el segundo término debe contener  t desde las dos raíces de la ecuación. (2-25) son idénticos.Debido a que el término exponencial exp ( !t) es una función real, las constantes G 1 y G 2 también debe ser real. Usando las condiciones v inicial (0) y v (0), estas constantes pueden ser evaluados Lo que le acredita a: 25) la cual es presentada gráficamente en la Fig. 2-9 para valores positivos de v (0) y v (0).Tenga en cuenta que VT

, V.t) + v (0) t

Caduc.: %@;t)

esta respuesta libre de un sistema críticamente amortiguado no incluye oscilación alrededor de la posición cero-de reflexión; En su lugar, simplemente vuelve a cero asintóticamente de acuerdo con el término exponencial de la ecuación. 1) Sin embargo, un solo cero-disp lacement cruce se produciría si las

señales de la velocidad inicial y el desplazamiento eran diferentes uno del otro.A muy útil de definición de la condición de amortiguamiento crítico descrito anteriormente es que representa la cantidad más pequeña de amortiguación para los que no se produce la oscilación en la respuesta libre de vibraciones.

VT

.

, V.

, V. T06 Figura 26. respuesta libre de vibraciones, con amortiguamiento crítico.

ANÁLISIS DE VIBRACIONES LIBRES

27

Undercritically con amortiguación de Sistemas Si la amortiguación es menor que crítico, es decir, si c