3.2. Teorema de Stokes

16.7 Teo eore rem ma de Stokes

54. Par Parame ametr triizaci zación ón deuna superfici cie e derevoluci ución ón Suponga que

1201

ncuentre ntre unapa param rametri etrizaci zación ón para para la la superf superfiici cie e obteni nida da al b. Encue 2 girar gi rar la curva x = y , y Ú 0, alr alrede ededor de dell eje x .

la curva parametrizada C : (f (u ), ), g (u )) )) gira alrededor del eje x , donde g s u d 7 0 para a … u … b .

55.a. a.Parame Parametr trizaci ización ón deun eli lipso psoide Recuerde la parametrización x = a cos u, y = b sen u, 0  … u  … 2p dela eli elips pse e 2 2 2 2 s x  a d + s y  b d = 1 (Sección 3.5, ejemplo 13). Use los

a. Muestre que

>

rs u , yd =  ƒ s u di + s g s u dcos y j  dj + s g s u dsin ydk 

>

ángulos ángul os u y f  en coor coordena denadas das esféri esféricas cas para mostrar que

es una parametrización de la superficie de revolución resultante, donde0  … y … 2p es el áng ángul ulo o de dell pl plano ano xy al punto superfiici cie. e. (Vea la si siguientef igura gura.) .) Obse Observe rve que que r(u , v ) en la superf f  (u ) mide la distancia a lo largo del eje de revolución y g (u ) mide la distancia al eje de revolución.

rs u, f  d = s a cos u cos f  d  j + s c sen f  dk   d i  + s b sen u cos f  d  d j

>

>

es una parametrización del elipsoide s x 2 a 2d + s y 2 b 2d + s z 2 c 2d = 1.

>

integral para el el áre área a dela supe superf rfiici cie e del eli elips psoi oide de,, b. Escriba una integral pero no evalúe la integral.

 y

56. Hi Hipe perboloide deuna hoja a. Encuentre una parametrización para el hiperboloide de una hoja hoj a x 2 + y 2 - z 2 = 1 en términos del áng ángul ulo o u asociado al círcul cí rculo o x 2 + y 2 = r 2 y el pa parám rámetro hiperbóli hiperbólico co u asociado 2 2 con la funci función ón hiperbóli hiperbólica ca r  - z  = 1. (Vea la se secci cción ón 7.8,

(  f (u), g(u), 0) r

(u, y)

C 

ejercici rcicio o 84).

y

b. Generalice el resultado de la parte (a) al hiperboloide 2 a  2 2 b  2 2 c  2 s x  d + s y  d - s z  d = 1.

>

g(u)  z

 f (u)

>

>

del eje ejercici rcici o 56. ) Encuentre una ecuación cartesia57. (Continuación del na pa para ra el pl plano ano tang tangente ente al hi hipe perbol rboloi oide de x 2 + y 2 - z 2 = 25 en 2 2 el punto (x 0, y 0, 0), donde x 0 + y 0 = 25.

 x

58. Hi Hipe perboloide de dos hojas Encuentre una parametrización del hiperboloide de dos hojas s z 2 c 2d - s x 2 a 2d - s y 2 b 2d = 1.

>

>

>

Teor eorem ema de Stokes Stokes

16.7 Rot F

P

vecto ctorr circulac circulaciión en en FIG FI GURA 16.59 16.59 El ve el punto P en un plano en un flujo tridimensional. Observe la relación de mano derecha hacia la recta de circulación.

Como vimos en la sección 16.4, la densidad de circulación o componente rotacional de  j en el punto (x , y ) queda descrita por la canun cam campo po de dos di dim mensi ensiones ones F = M i + N  titida dad d es escalar calar s 0 N 0 x - 0 M 0 y d. En tres di dim men ensi sione ones, s, la ci circul rculación ación alr alred eded edor or de un pun punto to P en el plano queda descrita por un vector. Este vector es normal al plano de circulación (fiigura 16.59), (f 16.59), y apunta apunta en en la la di direcci rección ón queda unarel relaci ación ón de man ano o derecha derecha ala rectade circul ci rculación. ación. La L a long ongiitud de dell vect vector or da la tas tasa a de gir giro o del fluido, que por lo lo gene neral ral varía varía cuando el plano de la circulación se inclina con respecto a P . Se puede ver que el vector  j + P  k es el k  de mayor ci circul rculaci ación ón en un fluj ujo o con campo de vel veloci ocidad dades es F = M i + N 

>

>

vector rotacional rotacional

rot F =

a00

b a00

P  0 N  i+ y  0 z 

b a00

M  0 P   j + z  0 x 

b

N  0 M  k . 0 y  x 

(1)) (1

Obtenemos esta información del teorema de Stokes, que es la generalización, al espacio, de la forma de circulación rotacional del teorema de Green. Observe ques rot Fd # k = s 0 N 0 x - 0 M 0 y d es consi consiste stente nte con nuestra de deff ini nici ción ón de  dj. Con frecue la se secci cción ón 16.4, cuan cuando do F = M s x , y di + N s x , y  j recuenci ncia, a, la fórmula pa para ra el rotaF cional de en la ecuación (1) se escribe utilizando el operador simbólico

>

§ =  i

>

0 0 0 +  j +  k  . 0 x  0 y  0 z 

(2)) (2

1202

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

(El símbolo § se pronuncia “nabla.”) El rotacional deF es § *  F :

4

§ *  F =

i

4

j

k 

0 0 0 0 x  0 y  0 z  M

N

a00

P 

b a00

P  0 N  i+ y  0 z 

=

b a00

M  0 P   j + z  0 x 

b

N  0 M  k  0 y  x 

= rot F.

rot F = § *  F

EJEMPLO 1

(3)

Cómo determinar el rotacional de F

 j + x 2k . Determinar el rotacional de F = s x 2 - y di + 4z  Solución Ecuación (3)

rot F = § *  F

=

=

+

4

i

j

0 0 x 

4

k 

0 0 0 y  0 z 

x 2 - y 

x 2

4z

a 00

b a 00

0

s x 2d s 4z  d i 0 z  y 

a 00

0

0

b

s x 2d s x 2 - y  d  j 0 z  x 

b

s 4z  d s x 2 - y  d k  0 y  x 

= s 0  - 4di - s 2x - 0 dj + s 0  + 1dk 

 j +  k  = - 4i - 2x 

Como veremos, el operador § tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, cuando se aplica a una función escalar f (x , y , z ), nos da el gradiente de f : § ƒ  = S 

n

0 ƒ  0 ƒ  0 ƒ  i +  j + k . 0 x  0 y  0 z 

Éste puede leerse ahora como “nabla f ” o “gradiente de f ”. Teorema de Stokes

C 

FIGURA 16.60 La orientación de la

curva límite C da una relación de mano derecha del campo normal n.

El teorema de Stokes dice que, bajo condiciones que por lo general se cumplen en la práctica, la circulación de un campo vectorial alrededor de la frontera de unasuperficie orientada en el espacio, en el sentido contrario al de las manecillas con respecto al campo vectorial unitario n normal a la superficie (figura 16.60), es igual a la integral del componente normal del rotacional del campo sobre la superficie.

16.7 Teorema de Stokes

TEOREMA 5

1203

Teorema de Stokes

 j + P k alrededor de la fronLa circulación de un campo vectorial F = M i + N  tera C de una superficie orientada S  , en el sentido contrario al de las manecillas de un reloj con respecto al vector unitario n normal a la superficie, es igual a la integral de § *  F # n sobre S  .

F F#

6 § * F # n s

r= d 

(4)

d 

C 

S 

Circulación en sentido contrario al de las manecillas del reloj

Integral del rotacional

Observe en la ecuación (4) que, si dos superficies orientadas de manera diferente, S  1y S  , las integrales de los rotacionales son iguales: 2, tienen la misma frontera C 

6

§ *  F # n1 d s =

6

S  1

Green: k  R

Rotacional

§ *  F # n2 d s .

S  2

Ambas integrales son iguales a la integral de circulación en sentido contrario al de las manecillas, del lado izquierdo de la ecuación (4), mientras que los vectores unitarios normales n1 y n2 orientan correctamente las superficies. De manera natural, necesitamos algunas restricciones matemáticas en F, C y S para garantizar la existencia de las integrales en la ecuación de Stokes. Las restricciones usuales son que todas las funciones, campos vectoriales y sus derivadas, sean continuas. Si C es una curva en el plano xy , orientada en sentido contrario al de las manecillas, y R es la región en el plano xy acotada por C  , entonces d s = dx dy y

C ir culac ió n

s § *  Fd # n  = s § *  Fd # k =

Stokes:

a00

b.

N  0 M  0 y  x 

Bajo estas condiciones, la ecuación de Stokes es

n R o  t ac    i  o n  a l  

F

S   ió n    a c

  l C i r c  u

FIGURA 16.61 Comparación del teorema

de Green y el teorema de Stokes.

F # d r =

C 

0 a 6 0

b

N  0 M  dx dy  , 0 y  x 

R 

que es la forma circulación rotacional de la ecuación en el teorema de Green. Recíprocamente,al invertir estos pasos podemos rescribir la formacirculación rotacional del teorema de Green para campos de dos dimensiones con la notación como

F C 

F # d  r=

6

§ *  F # k dA.

(5)

R 

Vea la figura 16.61. EJEMPLO 2

Verificación de la ecuación de Stokes para un hemisferio

Evaluar la ecuación (4) para el hemisferio S  : x 2 + y 2 + z 2 = 9, z Ú 0, su circunferencia  j. frontera C : x 2 + y 2 = 9, z = 0, y el campo F = y i - x 

1204

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

Calculamos la circulación en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de C (visto desde arriba), utilizando la parametrización rs ud = s 3cos udi + s 3sen u dj, 0  … u  … 2p : Solución

r = s - 3sen u d udi + s 3cos u d  d  u dj F = y  i - x   j = s 3sen udi - s 3cos u dj F # d r = - 9sen2 u d  u  - 9cos2 u d  u  = - 9 d  u

F

L

F # d r =

2p

0

C 

- 9 d  u  = - 18p .

Para la integral del rotacional de F, tenemos § *  F =

a00

b a00

P  0 N  i+ y  0 z 

b a00

M  0 P   j + z  0 x 

b

N  0 M  k  0 y  x 

= s 0  - 0di + s 0  - 0d j + s - 1  - 1dk = - 2k 

n  =

i + y   j + z  k  x  2

2 + y  2 + z  2 x 

=

i + y   j + z  k   x 

3

3

Sección 16.5, ejemplo 5, con a = 3

d  s = z dA

§ *  F # n d s = -

Normal unitario exterior

2z 3 dA = - 2 dA 3 z 

y

6

§ *  F # n d s =

6

- 2 dA = - 18p .

2+ 2… 9 x  y 

S 

La circulación alrededor del círculo es igual a la integral del rotacional sobre el hemisferio, como debe ser. EJEMPLO 3

Cálculo de la circulación

 j + x 2k alrededor de la curva C  Determinar la circulación del campo F = s x 2 - y di + 4z  en que el plano z = 2 corta al cono z = 2 x 2 + y 2 , en sentido contrario a las manecillas del reloj, visto desde arriba (figura 16.62).

 z C : x 2  y 2  4,  z  2

n

El teorema de Stokes nos permite encontrar la circulación, integrando sobre la superficie del cono. El hecho de recorrer C en el sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba, corresponde a tomar la normal interior  n al cono, la normal con un componente positivo. Parametrizamos el cono como Solución

rs r , ud = s r cos udi + s r sen ud j + r k, 

0  …  r … 2,

0  … u  … 2p .

Entonces tenemos que S : r (t )  (r  cos ) i  (r  sen ) j  r k  x

 y

FIGURA 16.62 La curva C y el cono S 

del ejemplo 3.

n  = =

- s r cos udi - s r sen u dj + r k  rr  *  ru = ƒ rr  *  ru ƒ r 2 2

1 - s cos udi - s sen u dj +  k  2 2

Q

R

Sección 16.6, ejemplo 4

16.7 Teorema de Stokes d  s = r 2

2 dr d u

1205

Sección 16.6, ejemplo 4

 j +  k  § *  F = - 4i - 2x 

Ejemplo 1 x = r cos u

 j +  k . = - 4i - 2r cos u

De acuerdo con lo anterior, § *  F # n  = =

a 1 a4cos u  + 2

b

1 4cos u  + 2r cos u sen u + 1 2 2 2

 r sen2u  +

b

1

y la circulación es

F F# C 

6 § * F # n s 1 a4cos u  + = LL 2

r= d 

Stokes’ Theorem, Equation (4)

d 

S 

2p

0

2

0

2

 r sen2u  +

bA

1

r 2

2 dr d uB = 4p .

Interpretación de § *  F mediante la rueda con paletas

Suponga que v(x , y , z ) es la velocidad de un fluido en movimiento cuya densidad en (x , y , z  ) es ds x , y , z d, y sea F = dv . Entonces

F F#

r d 

C 

es la circulación del fluido alrededor de la curva cerrada C . Por el teorema de Stokes, la circulación es igual al flujo de § *  F a través deuna superficie S acotada por C :

F F#

r= d 

6 § * F # n s . d 

C 

S 

Suponga quefijamos un punto Q en el dominio de F y una dirección u en Q . Sea C un círculo deradio r , con centro enQ , cuyo plano es normal a u. Si § *  F es continuo en Q , el valor promedio del componente u de § *  F sobre el disco circular S acotado por C , se aproxima al componente u de § *  F en Q cuando r 0: :

s § *  F # udQ  =

lím 1

6 § * F # u s . d 

p : 0 pr 2

S 

Si reemplazamos la integral de superficie de esta última ecuación por la circulación, obtenemos s § *  F # udQ  =

lím 1 2

p : 0 pr

F

F # d r.

(6)

C 

El lado izquierdo de la ecuación (6) tiene su valor máximo cuando u es la dirección de § *  F. Cuando r es pequeño, el límite del lado derecho de la ecuación (6) estádado aproximadamente por 1 pr 2

F

C 

F # d r,

1206

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

que es la circulación alrededor de C dividida entre el área del disco (densidad de circulación). Suponga que una rueda pequeña con paletas de radio r se introduce en el fluido en Q  , con su eje dirigido a lo largo de u. L a circulación del fluido alrededor de C afectará la tasa de giro de la ruedacon paletas. La ruedagirará más rápidamentecuando la integral de circulación se maximice, y por lo tanto, girará más rápidamente cuando el eje de la rueda con paletas apunteen la dirección § *  F (figura 16.63).

Rot F

Q

Relación de § * F con la densidad de circulación

EJEMPLO 4

 j d, donUn fluido de densidad constante alrededor del eje z con velocidad v  = v s - y i + x  de v es una constante positiva llamada veloci dad angular de rotación (figura 16.64). Si F =  v, determine § *  F y relacione esto a la densidad de circulación. FIGURA 16.63 Interpretación del rotacional de F mediante una rueda con

 j, Con F =  v  = - v y i + v x 

Solución

paletas § *  F =

a00

b a00

P  0 N  i+ y  0 z 

b a00

M  0 P   j + z  0 x 

b

N  0 M  k  0 y  x 

= s 0  - 0di + s 0  - 0 dj + s v - s - v dd k  = 2v k .

Por el teorema de Stokes, la circulación de F alrededor del círculo C de radio r queacota a un disco S en un plano normal a § *  F , digamos el plano xy , es

 z 

F

P( x, y, z)

F # d r =

C 

6

§ *  F # n d s =

S 

6

2v k # k dx dy = s 2v ds pr 2d.

S 

Así, s § *  Fd # k  =

2v = 1 2 pr

F

F # d r,

C 

v  (– y i

O

cconsistente con la ecuación (6) cuando u  =  k .

 x j)

EJEMPLO 5

r P ( x, y, 0)

 y

 x

FIGURA 16.64 Un flujo rotacional

estable paralelo al plano xy , con velocidad angular constante v en dirección positiva (sentido contrario al de las manecillas de un reloj; ejemplo 4).

Aplicación del teorema de Stokes

1

i + xy   j + 3xz  k y C es la Utilizar el teorema de Stokes para evaluar C F # d r, si F = xz  frontera de la porción del plano 2x + y + z = 2 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, vistadesdearriba(figura 16.65). Solución El plano esla superficie denivel ƒ s x , y , z d = y + z  . El vector unitario normal

§ ƒ  s 2i +  j +  k d = = ƒ § ƒ  ƒ ƒ 2i +  j +  k ƒ

2 dela función ƒ s x , y , z d = 2x +

a

b

1 2i +  j +  k  2 6 es consistente con el movimiento en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de C. Para aplicar el teorema de Stokes, encontramos n  =

4

i

j

k 

4

rot F = § *  F = 00x  00y  00z  = s x - 3z  dj + y k.  xz xy   3xz  En el plano, z es igual a 2  - 2x - y , de modo que k = s 7x + 3y - 6d j + y  k  § *  F = s x - 3s 2  - 2x - y dd j + y 

16.7 Teorema de Stokes

1207

y

 z

§ *  F # n  =

a

b

a

b

1 7x + 3y - 6  +  y  = 1 7x + 4y - 6 . 2 6 2 6

(0, 0, 2)

El elemento de área de la superficie es n C 

s = d 

2 x  y  z  2 (1, 0, 0)

ƒ § ƒ ƒ dA = ƒ § ƒ  # k ƒ

6 1 dx dy .

2

La circulación es

 R (0, 2, 0)

F

 y  2  2 x

 x

 y

6

F # d r =

C 

FIGURA 16.65 La superficie plana del

§ *  F # n d s

 Teorema de Stokes, ecuación (4)

S 

ejemplo 5.

1

=

LL

2- 2x 

1

2- 2x 

0

LL

=

 E 

0

0

a

s 7x +

0

b

1 7x + 4y - 6 2 6

2

6 dy dx 

4y - 6d dy dx = - 1.

Demostración del teorema de Stokes para superficies poliédricas  A

 D

 B

C 

FIGURA 16.66 Parte deunasuperficie

poliédrica.

Sea S una superficie poliédrica que consta de un número finito de partes o regiones planas. (Para un ejemplo, vea la figura 16.66.) Aplicamos el teorema de Green acada parte de S  . Existen dos tipos de partes: Aquellas rodeadas en todos sus lados por otras partes 2. Aquellas quetienen una o más aristas no adyacentes a otras partes. 1.

La frontera ¢ de S consta de aquellas aristas de las partes del tipo 2 que no son adyacentes a otras partes. En la figura 16.66, los triángulos EAB , BCE y CD E representan una parte de S  , con ABCD como parte de la frontera ¢ . Aplicamos el teorema de Green a los tres triángulos y sumamos los resultados, para obtener

£ F

EAB 

+

F F +

BCE 

CDE 

≥

F # d r =

£ 6

+

EAB 

6 6 +

BCE 

CDE 

≥

§ *  F # n d s .

(7)

Las tres integrales de línea del lado izquierdo de la ecuación (7) se combinan en una integral de línea alrededor del perímetro ABCDE , ya que las integrales a lo largo de los segmentos interiores se cancelan por pares. Por ejemplo, la integral a lo largo del segmento BE del triángulo ABE tiene signo opuesto a la integral a lo largo del mismo segmento del triángulo EBC . Lo mismo se cumple para el segmento CE . De aquí que la ecuación (7) se reduce a

F

F # d r =

ABCDE 

6

§ *  F # n d s .

ABCDE 

Al aplicar el teorema deGreen a todas las partes y al sumar los resultados, obtenemos

F

¢

F # d r =

6 S 

§ *  F # n d s .

1208

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

Éste es el teorema deStokes para unasuperficie poliédrica S  . El lector puede encontrar demostraciones para superficies más generales en textos de cálculo avanzado. n

S 

FIGURA 16.67 El teorema de Stokes

también secumple para superficies orientadas con agujeros.

El teorema de Stokes para superficies con agujeros

El teorema deStokes puede aplicarse aunasuperficie orientada S con uno o más agujeros (figura 16.67), de una forma análoga a la extensión del teorema de Green: la integral de superficie sobre S  , del componente normal § *  F, es igual a la suma de las integrales de línea en todas las curvas frontera del componente tangencial de F, donde las curvas se trazan en la dirección inducida por la orientación de S  . Una identidad importante

La siguiente identidad surge con frecuencia tanto en matemáticas como en las ciencias físicas.

curl grad ƒ  =  0

or

§ * §f =  0

(8)

Esta identidad se cumple para cualquier función f (x , y , z ), cuyas segundas derivadas parciales sean continuas. L a demostración es como sigue:

§ * § ƒ  =

5

5

i

j

k 

0 0 x 

0 0 y 

0 = s ƒ zy  -  ƒ yz di - s ƒ zx  -  ƒ xz  dj + s ƒ yx  -  ƒ xy dk . 0 z 

0 ƒ  0 x 

0 ƒ  0 y 

0 ƒ  0 z 

Si las segundas derivadas parciales son continuas, las segundas derivadas cruzadas y que aparecen entre paréntesis son iguales (teorema 2, sección 14.3), y el vector es igual a cero. Campos conservativos y el teorema de Stokes

En la sección 16.3 encontramos que el hecho de que un campo F sea conservativo en una región abierta D en el espacio es equivalente a que la integral de F se anule a lo largo de cualquier lazo cerrado en D . Esto, a su vez, en regiones abiertas simpl emente conexas, equivale a decir que § *  F =  0.

TEOREMA 6 Relación de rot F = 0 con la propiedad del lazo cerrado Si § *  F =  0 en cualquier punto de una región abierta simplemente conexa D 

en el espacio, entonces para cualquier trayectoria cerrada y regular por partes C en D ,

F F#

r= d 

0.

C 

Bosquejo de una demostración Por lo general, el teorema 6 se demuestra en dos pasos.

El primer paso es para curvas cerradas simples. Un teorema de topología, una rama de las

16.7 Teorema de Stokes

1209

matemáticas avanzadas, establece que toda curva cerrada simple diferenciable C en una región abierta simplemente conexa D , es la frontera de una superficie regular con dos lados S que también está en D . Así, por el teorema de Stokes,

F FIGURA 16.68 En una región abierta

simplemente conexa en el espacio, las curvas diferenciables que se cruzan a sí  mismas pueden dividirse en lazos donde puede aplicarse el teorema de Stokes.

F # d r =

C 

6

§ *  F # n d s = 0.

S 

El segundo paso se refiere alas curvas quese cruzan así mismas, como la dela figura 16.68. La idea es descomponerlas en lazos simples generados por superficies orientables, aplicar el teorema de Stokes a un lazo a la vez y sumar los resultados. El siguiente diagrama resume los resultados para campos conservativos definidos en regiones abiertas conexas y simplemente conexas. Teorema 1, sección 16.3 F conservativo

 2 2                           A        A               

en D Teorema 2, sección 13.3

E

A 2

F • d r 

F   f  en D

A 2 B

0

C 

sobre cualquier trayectoria cerrada en D

Identidad vectorial (ecuación 8; segundas derivadas parciales continuas)

  F  0 en D

Teorema 6, la conexidad simple del dominio y el teorema de Stokes

EJERCICIOS16.7 Uso del teorema de Stokes para calcular la circulación En los ejercicios 1-6, utilice la integral de superficie del teorema de Stokes para calcular la circulación del campo F alrededor de la curva C en la dirección indicada. 2k  1. F = x 2i + 2x   j + z 

La elipse 4x 2 + y 2 = 4 en el plano xy , en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, vista desde arriba 2k  2. F  = 2y i + 3x   j - z  C  : La circunferencia x 2 + y 2 = 9 en el plano xy , en el sentido contrario al de las manecillas del reloj visto desde arriba C  :

3. F  =  y  i + xz   j + x 2k  C  :

La frontera del triángulo cortado en el plano x  + y  + z = 1 por el primer octante, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba

6. F  =  x 2y 3i +  j + z  k  C  :

La intersección del cilindro x 2 + y 2 = 4 y el hemisferio x 2 + y 2 2 16, z  0, en el sentido contrario al de las manecillas + z  =  del reloj, vista desde arriba.

Flujo del rotacional 7. Sea n el vector unitario normal exterior a la capa elíptica S  :

4x 2 + 9y 2 + 36z 2 = 36,

La frontera del triángulo cortado en el plano x  + y  + z = 1 por el primer octante, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba

2i 5. F = s y 2 + z  d + s x 2 + y 2 dj + s x 2 + y 2dk 

C  :

El cuadrado acotado por las rectas x = ; 1 y y = ; 1 en el plano xy , en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, visto desde arriba

0,

y sea

>

F = y  i + x 2 j + s x 2 + y 4d3 2 sen e 2 xyz k .

Calcule el valor

6 § * F # n

2i 2 j 4. F = s y 2 + z  d + s x 2 + z  d + s x 2 + y 2dk 

C  :

z Ú

s. d 

S 

(Sugerencia : Una parametrización de la elipse en la base de la capa es x  = 3 cos t , y  = 2 sen t , 0  t  2p ). 8. Sea n el vector unitario normal exterior (normal alejándose del origen) a la capa parabólica S  :

4x 2 + y + z 2 = 4,

y Ú

0,

1210

Capítulo 16: Integración en Campos Vectoriales

y sea F=

 a -

z +

b

1 i + s tan-1 y  dj + 2  +  x 

a

x +

b

1 k . 4  +  z 

17. F  = 3y i + s 5  - 2x  dj + s z 2 - 2dk  S  : rs f  , ud = A 2 3sen f  cos uB i + A 2 3sen f  sen uB j + A 2 3cos f  B k , 0  … f  … p 2, 0  … u … 2p

>

2i  z  18. F  =  y  k  + 2 j + x 

Determine el valor de

6

§ *  F # n d s .

S 

9. Sea S el cilindro x 2 + y 2 = a 2, 0  z  h , junto con su parte superior, x 2 + y 2  a 2, z = h . Sea F = -y i + x   j + x 2k . Utilice el teorema de Stokes para encontrar el flujo de § *  F hacia afuera a tra-

vés de S  . 10. Evalúe

6§ *

s y  id # n d s ,

S 

>

0  … f  … p 2,

cos udi + s 2sen f  sen u dj + s 2cos f  d k , 0  … u  … 2p

Teoría y ejemplos 19. Circulación nula Utilice la identidad § * § ƒ  =  0 (ecuación

(8) del texto) y el teorema de Stokes para mostrar que las circulaciones de los siguientes campos, alrededor de la frontera de cualquier superficie orientable regular en el espacio, se anulan. a. F  = 2x i + 2y   j + 2z  k  b. F = §s xy 2z 3d c. F  = § * s x i + y   j + z  k d

donde S es el hemisferio x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Ú 0. 11. Flujo del rotacional deF Muestre que

6

S  : rs f  , ud = s 2sen f 

§ *  F # n d s

S 

tiene el mismo valor para todas las superficies orientadas S que generan C , y que inducen la misma dirección positiva en C . 12. Sea F un campo vectorial diferenciable definido en una región que contiene una superficie orientada cerrada regular S y su interior. Sea n el vector unitario normal a S  . Suponga que S es la unión de dos superficies, S  1 y S  2, unidas a lo largo de una curva cerrada simple regular C . ¿Se puede decir algo acerca de

6 § * F # n

d. F  = § ƒ 

) = (x 2 + y 2 + z 2)-1/2. Muestre que 20. Circulación nula Sea f (x , y , z  la circulación en el sentido de las manecillas del reloj del campo F  = § ƒ , alrededor dela circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en el plano xy  es igual a cero, a. considerando r = (a cos t )i + (a sen t  )j, 0  t  2p , e integrando F # d r sobre la circunferencia. b. aplicando el teorema de Stokes. 21. Sea C una curva regular cerrada simple en el plano 2x  + 2y  + z  = 2, orientadacomo semuestra aquí. Muestre que

F2

y dx +

d  s?

3z dy - x dz 

C 

S 

 z

 Justifique su respuesta.

El teorema de Stokes para superficies parametrizadas

C 

En los ejercicios 13-18, utilice la integral de superficie del teorema de Stokes para calcular el flujo del rotacional del campo F a través de la superficie S  , en la dirección del vector unitario normal exterior n. 13. F  = 2z  i + 3x   j + 5y k  S  : rs r , ud = s r cos udi + s r sen u dj + s 4  -  r 2dk , 0  …  r … 2, 0  … u  … 2p

14. F  = s y - z   dj + s x + z  di + s z - x  dk  S  : rs r , ud = s r cos udi + s r sen u dj + s 9  -  r 2dk , 0  …  r … 3, 0  … u  … 2p

2 x  2 y  z  2

2

O

a

 y 1

1

 x

depende solamente del área dela región encerrada por C y no de la posición o de la forma de C . 22. Muestre que si F = x i + y   j + z  k, entonces § *  F  =  0.

k  + 3z 

23. Encuentre un campo vectorial con componentes dos veces dife j + z  k, o bien demuestre que renciables, cuyo rotacional sea x i + y 

S  : rs r , ud = s r cos udi + s r sen u dj + r k,  0  …  r … 1, 0  … u  … 2p

24. ¿Dice algo el teorema de Stokes acerca de la circulación en un

15. F  =

2y  i  x 

3z   j y 

+ 2

16. F  = s x - y di + s y - z   dj + s z - x dk  S  : rs r , ud = s r cos udi + s r sen u dj + s 5  -  r dk , 0  …  r … 5, 0  … u  … 2p

no existen tales campos. campo con rotacional nulo? Justifiquesu respuesta. 25. Sea R una región del plano xy acotada por una curva cerrada sim-

ple regular por partes C y suponga que sabe que los momentos de