3.2. Tarea No. 03 Sobre Vibración Libre Amortiguada

PROBLEMA 2 Resolver los siguientes ejercicios del libro “Dynamics of Structures” del libro de Anil K. Chopra: 2.1, 2.7 y 2.11. A) EJERCICIO 2.1: Una masa pesada se apoya sobre patas de acero

planas. Su periodo natural de vibración es de 0.5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 50 lb a su superficie, el periodo natural de vibración se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el peso y la rigidez del sistema?

Mesa sin placa:

√

(

)

Mesa con placa de 50 lb:

√

(

)

(

)

(

)

Ambos sistemas presentan la misma rigidez:

Hallando la rigidez

(

)

B) EJERCICIO 2.7: Imagine un clavadista que pesa 200 libras al final de

un trampolín con un voladizo de 3 pies. El clavadista oscila a una frecuencia de 2 Hz. ¿Cuál es la rigidez a flexión EI del trampolín? Frecuencia Natural de Vibración: Periodo Natural de Vibración: Frecuencia Circular Natural:

(

Rigidez del sistema: (

)(

)

)

C) EJERCICIO 2.11: ¿Cuál es la relación entre amplitudes de vibración

sucesivas si se sabe que la fracción de amortiguamiento viscoso es (a) =0.01, (b) =0.05 y (c) =0.25? (a) =0.01

( )

[

[

( ( )

(

] )

(

] )

) (

√

( )

[

√

)

] )

( ( ) (

) ( )

(

)

(b) =0.05 ( )

[

[

( ( )

(

] )

(

] )

) (

√

( )

[

√

)

] )

( ( ) (

) ( )

(

)

(c) =0.25 ( )

[

[

( ( )

(

] )

(

] )

√

( )

[

] )

( ( ) (

√

)

) (

)

( ) (

)

PROBLEMA 3 Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce que la masa es de 750 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 18 segundos, la masa ha oscilado 20 ciclos y su amplitud es de 2.5 mm. Calcular la rigidez y la razón de amortiguamiento del sistema.

Frecuencia Natural de Vibración: Periodo Natural de Vibración: Frecuencia Circular Natural: Rigidez del sistema: Razón de Amortiguamiento:

( )

(

)

PROBLEMA 4 Calcular el periodo y la frecuencia natural de vibración y (las propiedades amortiguadas) considerando h=3.70m y L=5.00m. Las columnas son 300mm x 450mm y el arriostre lateral de 25mm x 25mm. Además m=500 kg, E=210GPa y ξ=3%.

Solución: ( (

) √

)

( (

)(

) )

(

)

 Rigidez del sistema

(

)(

)

(

)

)(

⁄

b) Propiedades naturales:  Frecuencia natural:

√

√

⁄

 Periodo natural:

 Frecuencia natural:

b) Propiedades amortiguadas (ξ=0.03)  Razón de amortiguamiento:

 Amortiguamiento crítico: ( )(

)

(

)(

)

⁄

 Amortiguamiento del sistema: (  Como

)(

)

⁄

: si hay oscilaciones (subcrítico)

 Frecuencia circular amortiguada: √  Periodo amortiguado:

√

⁄

 Frecuencia amortiguada:

 Respuesta de desplazamiento: ( )

( )(

)

[

(

)

(

) ]

 Condiciones iniciales:

̇ ̇

(

)

 Respuesta de desplazamiento final: ( )

PROBLEMA 5 Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce que la masa es de 700 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 15 segundos, la masa ha oscilado 22 ciclos y su amplitud es de 2.8 mm. Calcular la rigidez y la razón de amortiguamiento del sistema.

Frecuencia Natural de Vibración: Periodo Natural de Vibración: Frecuencia Circular Natural: Rigidez del sistema:

Razón de Amortiguamiento:

( )

(

)

PROBLEMA 7 Se tiene un pórtico de concreto armado (E=2,2x106 Tonf/m2). Las columnas son de: C1 (30cm x 50cm) y la C2 (30cm x 60cm). La amplitud de las oscilaciones después de 25 ciclos decrece a 1/30 de la amplitud inicial. Calcular todas sus propiedades en vibración libre. Grafique sus respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración cuando el pórtico es sometido a un

desplazamiento inicial de 10 cm. Considerar H1=5m y H2=3.50m.

SOLUCION: Rigidez de la Columna 1 (C1):

(

Rigidez de la Columna 2 (C2):

(

)

)

Rigidez Total del Sistema: Frecuencia Circular Natural:

√

√

Periodo Natural de Vibración:

Frecuencia Natural:

Coeficiente de amortiguamiento crítico: ( ) Razón de amortiguamiento:

(

)

(

)

Amortiguamiento del Sistema: (

)(

)

Frecuencia Circular Amortiguada: √

√ Respuesta de Desplazamiento: ( )

( )

(

)(

(

[ )

(

[ [

( )

̇

) (

)(

] )(

) )

]

]

Respuesta de Velocidad: [

]

[

]

̇( ) Respuesta de Aceleración: ̈( )

Respuesta de Desplazamiento:

Respuesta de Velocidad:

Respuesta de Aceleración: