32 No Linealidad Geometrica y Del Material

CATEDRA DE ESTRUCTURAS IV

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

PANDEO MÉTODO MATRICIAL CON NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA Y NO LINEALIDAD DEL MATERIAL DIEGO JAVIER CERNUSCHI Auxiliar Docente Cátedra de Estructuras III y IV

Rigideces de una barra en segundo orden Se transcriben a continuación las rigideces de una barra para distintas condiciones de vínculo. Estas serán la base para el análisis de la estabilidad del equilibrio por el método de las matrices. Barra empotrada-empotrada con giro unitario impuesto (A + B) EJ (A + B) EJ 2 l2 l B EJ l

A EJ l

Barra empotrada-empotrada con desplazamiento transversal unitario impuesto (A + B) EJ l2

(A + B) EJ l2 2( A + B ) − D

2( A + B ) − D

EJ l3

EJ l3

Barra empotrada-articulada con giro unitario impuesto C EJ C EJ l l2

C EJ l2

Barra empotrada-articulada con desplazamiento transversal unitario impuesto C EJ l2 (C − D) EJ l3 (C − D ) EJ l3

Los coeficientes de estabilidad que aparecen en las rigideces de 2do orden se muestran a continuación. Estos son función de la carga axil a la que está sometida la barra, de las 1

www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm

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propiedades del material y de las propiedades de la sección a través del adimensional ε = l P EJ

Ejemplo 1: Hallar la carga crítica de pandeo de la siguiente estructura P

1

A

P

3

B

C

l1 = 3 m l2 = 4 m l3 = 5 m

2

PNI 120 Acero E = 21.000.000 T/m2 σfluencia = 24.000 T/m2 σprop = 19.200 T/m2

D

Resolviendo la estructura en primer orden, los esfuerzos axiles resultan -2 P -P 1

3

2

2

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A partir de esto, planteamos el fundamental de la estructura (considerando rigidez axil infinita). Para la estructura planteada, por lo tanto, tendremos un solo grado de libertad que es el giro en el nudo B y que será la incógnita cinemática U1. Al imponer un giro unitario para U1, los esfuerzos en extremos de barra, en 2do orden, quedan como muestra la siguiente figura C EJ 1 A EJ 3 C EJ1

C EJ1

l 12

l 12

l1

B EJ 3

l3

l3 (A + B) EJ 3

1

3

l 23

3 EJ 2

(A + B) EJ 3 l 23

l2 3 EJ 2 l 22

2

3 EJ 2 l 22

Al estar frente a una estructura donde K × U = 0 (Pi = 0 al no haber cargas en barra, P = 0 ya que no hay cargas en nudo coincidentes con las incógnitas cinemáticas), tendremos o bien la solución trivial donde U = 0 o bien infinitas soluciones cuando el determinante de K sea igual a cero. En esta estructura, al tener una sola incógnita, la matriz K resulta ser de 1 x 1 y esta compuesta por el término k11. k11 =

C ⋅ EJ 1 A ⋅ EJ 3 3 ⋅ EJ 2 + + l1 l3 l2

Por lo tanto, para hacer del determinante de K igual a cero, en este caso k11 tendrá que ser igual a cero. Los coeficientes de estabilidad A y C serán función de la carga aplicada a diferencia de la solución en primer orden donde estos valen 4 y 3 respectivamente. P Los coeficientes de pandeo se expresan como una función f(ε) donde ε = l EJ En cuanto al material, al tratarse de un material no lineal, habrá que tener en cuenta su comportamiento para evaluar el módulo de elasticidad E. En este caso se tomará el módulo tangente respondiendo a la expresión si σ