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Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería y Ciencias Departamento de Matemáticas y Estadística

Transformada de Laplace aplicada en deformación de Vigas

 Nombre Coordinador Carreras Profesor Fecha

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Carolina Rivas Bascuñán ICI-M / ICMe / ICE Dr. Alex Sepúlveda 17 de Agosto de 2015

Índice Introducción ________________________________________________________________ 2 Desarrollo  __________________________________________________________________ 3 Definición de términos ____________________________________________________________ 3 Transformada de Laplace _________________________________________________________ 4 Formula de flexión _______________________________________________________________ 5 Ejemplo _________________________________________________________________________ 6

Conclusión__________________________________________________________________ 9 Bibliografía ________________________________________________________________ 11

Introducción Las vigas estructurales son cuerpos que funcionan a flexión, cuyo esfuerzo provoca tensiones de tracción y compresión. Son fabricadas de diferentes materiales, generalmente algún tipo de madera debido a su alta resistencia a esfuerzos de tracción; aunque en las últimas décadas se comenzó a utilizar el acero y hormigón entre otros productos debido a sus excelentes características igualmente. Es algo común para la mayoría de las personas hablar de vigas debido a que las podemos ver fácilmente en muchos tipos de construcciones: hogares, restaurantes, casas comerciales, etcétera; hasta parece que fuese algo sencillo de construir y ubicar respecto al resto de la construcción, pero esto no siempre es así. El mejor ejemplo que podemos dar de esto, se encuentra en nuestra propia casa de estudios, lugar en que constantemente se levantan estructuras, lo que no fue razón suficiente para evitar que en una de estas, la obra se viera afectada y retardada por la caída de una viga;  probablemente por la falta de agudeza al momento de hacer el análisis necesario respecto a las distintas fuerzas que esta viga debía soportar, pero que lamentablemente no fue capaz. Matemáticamente hablando, algo interesante que se desprende de este tema, es que de la teoría elemental de las vigas tenemos una ecuación bastante particular; se trata de una cuarta derivada, orden no tan común en la naturaleza. El desafío será resolver este problema con las “matemáticas aplicadas”En este informe, se profundizará en algunas características de las vigas: sus propiedades mecánicas, propiedades de material a usar y como es de esperarse, daremos una posible solución al problema de resistencia a la deformación al aplicarle una carga en variadas posiciones, utilizando valiosas herramientas que el cálculo nos entrega, específicamente, la transformada de Laplace.

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Desarrollo Al hablar de vigas se debe tener en cuenta, que estas poseen propiedades mecánicas. Estas  propiedades son las encargadas de indicar la capacidad de un determinado material para resistir fuerzas externas, dependiendo de las capacidades de cada material se puede determinar la aplicación que se le pueda dar. Además de estas propiedades depende la sección transversal que se le debe dar a una viga para garantizar una estabilidad segura en una construcción. Es sabido que una viga no solo sirve para soportar peso y presiones sino que también esfuerzos de flexión, que corresponde al desplazamiento en sentido perpendicular a la fibra longitudinal de una viga. Estas deformaciones pueden causar la ruptura definitiva de esta y ocasionar serias consecuencias en una edificación además con un costo asociado. Los problemas donde se usan vigas siempre tienen relevancia en problemas de la vida ingenieril al momento de construir o reparar una estructura, sea esta de cualquier tipo, bases de acero, soportes para maquinarias, ejes, etcétera. Por eso al momento de construir se necesita una investigación previa del tipo de construcción que se quiera llevar a cabo, porque dependiendo de lo que se quiera, como puede ser el largo de la viga, la cantidad de puntos de apoyo que este tenga, la separación de estos, el peso que tendrá que soportar(puede ser uniforme, como no uniforme), el tipo o tipos de apoyo, y las propiedades del material a trabajar, según todo esto la viga puede estar soportando distintos tipos de fuerzas, como: esfuerzo de corte, torsión, compresión, y lo que vamos a hablar: flexión. Una propiedad importante es la flexión estática, esta mide la resistencia que opone una viga a una carga aplicada entre sus puntos de apoyo.

Definición de términos Antes de comenzar con cualquier cálculo o demostración hay que definir algunos términos. Módulo de Rotura (MOR): Corresponde a la tensión unitaria máxima en flexión que soporta un material, antes que se produzca la falla. Cualquier incremento adicional de carga sobre el material provocará la ruptura de éste. CORMA (2003a). El MOR es función del Momento máximo (M.max) y el módulo resistente o rigidez (W). Momento de Inercia (I): El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuarta (longitud). Es importante  para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia I define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. Beer y Johnston (1977).

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Módulo de Elasticidad (E): Es la medida de la rigidez del material experimentada por una viga sometida a flexión. Constituye un valor indicativo de la rigidez y es aplicable solamente a condiciones de trabajo de la zona dentro de la zona elástica de la curva versus deformación. CORMA (2003a).

Transformada de Laplace Para resolver esta problemática decidimos utilizar un método conocido como lo es la Transformada de Laplace ya que debemos resolver una ecuación diferencial no homogénea, donde tenemos valores iniciales asociados o valores en las fronteras. De esta manera el utilizar la transformada nos simplificará considerablemente nuestro problema Por definición la transformada de una función F (t) definida para t > 0, siendo denotada como L {F(t)}, es: ∞

() = () = ∫ − ∗ () Para el caso  práctico de este problema “s” se supondrá un parámetro real. Se dice que la transformada de Laplace existe cuando la integral de la ecuación anterior converge para algún valor de “s”; de otra manera se dice que no existe.

Las condiciones para que exista la transformada es que la función F(t) tiene que ser continua a trazos en los límites de la integral, es decir, de cero a infinito. Una de las propiedades que tiene esta transformada es para las derivadas, esta es la que nos servirá para nuestro problema en cuestión.

Si

() = (), entonces ′() = ()  (0).

Luego para derivadas de orden “n” tenemos lo siguiente:

+{()()} =  ()  −(0)  − (0)  ⋯ (−)(0)  (−)(0) ′ 

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Formula de flexión Para comenzar a darle forma a nuestro modelo de resolución al problema, tendremos lo siguiente: consideraremos solo el largo de la viga; ya que dada su forma, la longitud del ancho y alto de una viga se desprecian. Por lo tanto, consideremos una viga de largo L, y(x) su desplazamiento transversal midiendo x desde uno de los extremos; módulo de elasticidad de Young E y momento de inercia alrededor del eje central de la viga I. Donde el módulo de elasticidad de Young es un parámetro que permite estudiar cómo se comporta un material elástico dependiendo en que vector se aplique la fuerza, y donde el momento de inercia es la cantidad de materia que tiene un cuerpo que está girando en torno al eje de la viga. La fuerza transversal por unidad de longitud aplicada a la viga se puede expresar de la siguiente forma:

4y d W(X) = EI dx4 Expresión que define la elasticidad en términos de la ecuación de carga, y que llamaremos Segunda ecuación diferencial de la elástica. Donde EI se conoce como la “rigidez de flexión de la viga”

Ahora veremos cómo, conociendo teoremas relativamente elementales de la Transformada de Laplace, se puede encontrar la ecuación de la elástica. Cuando una viga tiene carga uniforme a lo largo de toda ella W(x) es constante, sin embargo cuando la carga en toda la viga no es uniforme entramos a utilizar la Transformada de Laplace, ya que haciendo uso de las funciones unitarias Heaviside, donde cuyo valor es cero para cualquier argumento negativo, y de las funciones de impulso podremos solucionar el problema. Para usar Laplace utilizaremos la fórmula descrita:

EI[s4Y(s)  sy(0)  sy(0)  y(0)] = W(s) De esta forma, se tiene que:

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Ejemplo Desarrollaremos un ejemplo de la transformada de Laplace, relacionado con el tema de flexión de vigas.

Se le aplica una fuerza -P, hay que calcular la flexión de la viga. Definimos:

(  ) = () = 1,0,  =≠  Entonces:

() = ((  ) Por lo tanto la ecuación queda como:

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[()] = ()tenemos que: 4()  (0)   (0)  ()(0)  ()(0) =   −

Tomando transformadas de Laplace y designando a ′ 

Y como:

(0) = 0 ,  (0) = 0 , ()(0) =  , ()(0) =   − ′ 

Entonces reemplazando tenemos:

 (  )( )(  ) = 0,  ≤  () = 2  + 6   6 1,  >  () = 0 , () = 0 ′ 

Se tiene que

   se calculan de la siguiente forma:    )    )  (  (3  = 2 ,  = 2

Y la ecuación de las elásticas toma la forma:

() =  12  [3(  )  (3  ) + 2(  )(  )]

(1)

Ahora bien:

 ()() = () =  2 [(  )  (3  ) + 2(  )(  )  ()() = () =  2 [(  ) + 2(  )] Y de (2), si

Y si

(2) (3)

 = 0, se tiene:    ) ( + ) ( (0) =  2 =  2

 = , se tiene:

() = 0 7

De (3), si

Y si

 = 0, se tiene:

 = , se tiene:

   ) (3 (0) =  2

 (2  3) + ] () =   [  2  Nuevamente de (2), si  = , se tiene que: () =   2 [(  )  (3  )] Esto es el Momento (M) y fuerza cortante (V) que puede soportar una viga de largo L, con un peso P, el cual tiene distancias a los apoyos de “a” y “b”; con esta ecuación se llega a comprender todo el comportamiento de la viga sometido al peso P, y para ver esto más fácil graficamos las 2 ecuaciones anteriores de V(L) y M(a) anteriores se tiene:

Con esto podemos saber dónde es que hace más o menos trabajo y dependiendo de cómo resulte este estudio, se elige el material con el cual construir; ya una vez elegido el material, con las características que queremos, es muy difícil cambiar la distancia, o el peso que se le quiere colocar, porque no se sabe si el material aguanta la modificación que se le quiera hacer, y si se hace sin cuidado este se puede doblar, trizar y permanecer así con suerte sin romperse, pero si no la tiene, se romperá, teniendo que volver a construir o reemplazar lo ya realizado, volviendo a gastar tiempo y dinero.

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Conclusión Los estudiantes lograron comprender la importanciaque tiene la aplicación de la transformada de Laplace ya que si bien es cierto que existen otros métodos para la resolución de  problema de la aplicación de fuerzas en la deformación de vigas, el método investigado por los estudiantes en este caso particular simplifica mucho el análisis y la resolución de problemas  prácticos en ingeniería que involucren vigas. Esto debido a que la ecuación diferencial se reduce a valores iniciales, por lo tanto, es de gran importancia la aplicación de Laplace para la simplificación de este tipo de problemas en ingeniería logrando abordarlos en forma más fácil,  práctica y eficiente. La transformada de Laplace es de suma importancia en la simplificación de problemas complejos de ingeniería, por ejemplo, en la aplicación de una fuerza sobre una viga, ya que  permite un análisis simple y práctico de cómo obtener la deformación de una viga al aplicarles cargas en diferentes posiciones, en consecuencia se concluye que simplifica la resolución de la ecuación diferencial asociada a este tipo de problemas. –  Pablo Pinto CaurapánPuedo apreciar que el curso matemática aplicada sirve para muchos problemas de tipo ingenieriles. La resolución de ecuaciones diferenciales se ven más permisibles a resolverlas. Como en el problema de este trabajo, en el ámbito de las vigas sometidas a un peso no uniforme, la Transformada de Laplace simplificó enormemente su resolución, eliminando las derivadas y dándonos una ecuación del orden de la derivada. – Omar Steinegger  –  Al poder Conocer más el trabajo que implica las deformaciones de las vigas, he podido darme cuenta la importancia que tienen las matemáticas aplicadas en todo orden de cosas, gracias a ellas hemos podido reducir enormemente un problema gracias a las transformadas de Laplace, donde gracias a ella pudimos deshacernos de las derivadas y llegar a una solución mucho más simple, pudimos darnos cuenta donde tendríamos que localizar las fuerzas para que la viga pueda soportar la presión donde este colocada, y lograr la deformación deseada.- Edgardo Bossel En el curso de Mecánica Técnica pude apreciar lo que son las vigas y los esfuerzos a las que están sometidas, es de relevante importancia estudiar la flexión del material a utilizar, como también la posición en que deben ir las vigas. Y gracias al curso Matemáticas Aplicadas logramos encajar esto con fórmulas como lo es la Transformada de Laplace, así se pueden hacer estudios para evitar que cualquier tipo de construcción o vigas que estén cargando algún peso no se vean afectadas. –  Juan Velásquez En el curso por medio del método de Laplace podemos evidenciar la facilidad que dan las ecuaciones diferenciales en cuanto a temas de mecánica y en cuanto a explicar propiedadesfísicas sin necesidad de elaborar complejos cálculos vectoriales como por ejemplo en este caso, con esto  podemos ver que a través de la matemática por uno o por otro camino podemos resolver elementos de la vida diaria y sus aplicaciones con simplicidad. –  Francisco FincheiraLa aplicación de métodos matemáticos para desarrollos analíticos de problemas complejos que se ven en la vida cotidiana son de gran utilidad en el ahorro de recursos para resolverlos. Éste es el caso de la aplicación de las Transformadas de Laplace para el análisis de la flexión de vigas, en donde podemos obtener información valiosa del comportamiento de las estructuras al ser 9

sometidas a cargas de diversas intensidades y en distintas posiciones, dándonos la posibilidad de evaluar los materiales y resistencias a utilizar en los casos deseados, garantizando que la viga no colapse por falta de información. –  Karim PandeAl estudiar las vigas, y el comportamiento que estas presentan al ejercer fuerza o recibir algún peso sobre estas, se torna muy interesante el poder analizar qué es lo que sucede a lo largo de la viga, esto puede ser cuanto está soportando, flexionado y a que distancias afectan estas, y  para esto, el método más fácil con el cual se puede saber todo o analizarlo, es el método de Laplace, que lo resuelve de forma rápida a diferencia de otras metodologías. – Cristian SanhuezaMediante la investigación y recopilación de información pudimos darnos cuenta de la importancia que puede tener un problema mecánico que se da comúnmente en edificaciones como la flexión de vigas, y cómo podemos resolverlo a través de las herramientas entregadas en cursos como mecánica técnica, ecuaciones diferenciales y matemática aplicada, en este caso hicimos uso de la Transformada de Laplace, lo que nos permitió de manera más sencilla encontrar una solución a nuestro problema. Realizar este trabajo fue muy interesante ya que nos  permitió acercarnos más a nuestra área de trabajo e investigar acerca de este y los diferentes  problemas de carácter ingenieril que podemos encontrar en nuestra vida cotidiana, así también estudiar y aplicar nuestros conocimientos ya vistos.- María Paz FuentesEn general el curso de matemática aplicada logró transformar grandes problemas de cálculo a operaciones más simples, como también poder aplicarlos en el labor diario de un ingeniero. Es así como en el presente informe de investigación, el uso de la Transformada de Laplace presenta el cálculo para saber la atención necesaria que se debe ocupar al trabajar con vigas, realizando operaciones en puntos arbitrarios para luego poder resistir a diferentes esfuerzos mecánicos recibidos por estas y brindar seguridad. –  Nibaldo Garrido –  Luego del tiempo de investigación y aplicación de la transformada de Laplace a un tema tan práctico como es el de las vigas en mecánica, es interesante poder observar como el cálculo y las matemáticas en general están notablemente presentes en todas las ciencias; y en este caso específico, de forma que, dado un material y longitudes específicas, se puede encontrar características de las fuerzas ejercidas, o a su vez el caso contrario; es decir que dada condiciones necesarias, tener la posibilidad de elegir un material con la certeza que podrá soportar estas fuerzas. – Carolina Rivas-

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Bibliografía Murray R. Spiegel (1998). Transformadas de Laplace (Primera ed.). Colombia: McGraw-Hill, Inc

Fitzgerald, Robert W. (1996). Mecánica de Materiales (Ed. Revisada). México: Alfaomega,

Beer, Johnston Jr. (1997). Mecánica Vectorial para Ingenieros. (Sexta ed.). U.S.A.: McGraw-Hill, Inc

http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_mecanica/young97.pdf

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