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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Unidad Académica de ingeniería civil

ESTADISTICA Deber No. 1

REGLA DE BAYES

Profesor:

Ing.

2 de junio de 2016

SEGUNDO SEMESTRE

Sección: Diurna

“A”

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4.69 Regla de Bayes Una muestra se selecciona de una de dos poblaciones, S1 y S2,

con probabilidades P(S1) _ .7 y P(S2)_ .3. Si la muestra se ha seleccionado de S1, la probabilidad de observar un evento A es P(A_S1) _ .2.Del mismo modo, si la muestra se ha seleccionado de S2, la probabilidad de observar A es P(A_S2) _ .3.a. Si una muestra se selecciona al azar de una de las dos poblaciones, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A? b. Si la muestra se selecciona al azar y se observa el evento A, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra sea seleccionada de la población S1? ¿Y de la población S2?

4.70 Regla de Bayes II Si se realiza un experimento, puede ocurrir uno y sólo uno de

los tres eventos mutuamente excluyentes S1, S2 y S3, con estas probabilidades: P(S1) _ . 2 P(S2) _ .5 P(S3) _ .3 Las probabilidades de que ocurra un cuarto evento A, dado que ocurre el evento S1, S2 o S3, son P(A_S1) _ .2 P(A_S2) _ .1 P(A_S3) _ .3 Si se observa el evento A, encuentre P(S1_A), P(S2_A) y P(S3_A).

4.71 Ley de probabilidad total Una población se puede dividir en dos subgrupos que

se presentan con probabilidades de 60% y 40%, respectivamente. Un evento A ocurre 30% del tiempo en el primer subgrupo y 50% del tiempo en el segundo subgrupo. ¿Cuál es la probabilidad incondicional del evento A, cualquiera que sea el subgrupo de donde venga?

APLICACIONES 4.72 Delincuencia violenta Los registros de delincuencia urbana muestran que 20%

de todos los delitos son violentos y que 80% no lo son, abarcando robo, falsificación, etcétera. Noventa por ciento de los delitos violentos son denunciados contra 70% de los no violentos. a. ¿Cuál es el porcentaje general de denuncias por delitos urbanos? b. Si un delito está ocurriendo y es denunciado a la policía, ¿cuál es la probabilidad de que sea violento? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea violento? c. Consulte el inciso b). Si un crimen que esté ocurriendo se denuncia a la policía, ¿por qué es más SEGUNDO SEMESTRE

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probable que no sea violento? ¿No sería más probable que los delitos violentos se denunciaran? ¿Puede usted explicar estos resultados?

4.73 Error de un trabajador Una máquina operada por un trabajador produce un

artículo defectuoso con probabilidad .01 si el trabajador sigue exactamente las instrucciones de operación de la máquina y con probabilidad .03 si no las sigue. Si él sigue las instrucciones 90% del tiempo, ¿qué proporción de todos los artículos producidos por la máquina será defectuosa?

4.74 Seguridad en un aeropuerto Suponga que, en una ciudad en particular, el

aeropuerto A maneja 50% de todo el tráfico aéreo y los aeropuertos B y C manejan 30% y 20%, respectivamente. Los porcentajes de detección de armas en los tres aeropuertos son .9, .8 y .85, respectivamente. Si se encuentra un pasajero en uno de los aeropuertos llevando un arma por la puerta de abordar, ¿cuál es la probabilidad de que el pasajero esté usando el aeropuerto A? ¿Y el aeropuerto C?

4.75 Estrategias en fútbol Se sabe que un equipo particular de fútbol corre 30% de

sus jugadas a la izquierda y 70% a la derecha. El apoyador de un equipo contrario observa que el defensa derecho cambia su posición casi todo el tiempo (80%) cuando juega a la derecha y que sigue una posición balanceada el resto del tiempo. Cuando juega a la izquierda, el defensa toma una posición balanceada 90% del tiempo y la posición de cambio el restante 10%. En una jugada particular, el apoyador observa que el defensa toma una posición balanceada. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugada sea a la izquierda? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugada sea a la derecha? c. Si usted fuera el apoyador, ¿qué dirección prepararía para defender si vio la posición balanceada?

4.76 No pasas, no juegas Muchas escuelas públicas están poniendo en práctica una

regla de “no pasas, no juegas” para atletas. En este sistema, un estudiante que no apruebe un curso es descalificado para participar en actividades extracurriculares durante el siguiente periodo de calificación. Suponga que hay una probabilidad de .15 de que un atleta, que previamente no ha sido descalificado, sea descalificado; la probabilidad de que un atleta descalificado vuelva SEGUNDO SEMESTRE

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a ser descalificado en el siguiente periodo es de .5. Si 30% de los atletas han sido descalificados antes, ¿cuál es la probabilidad incondicional de que un atleta sea descalificado durante el siguiente periodo descalificación?

4.77 Diagnóstico médico Las historias de casos clínicos indican que diferentes

enfermedades pueden producir síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, que se denotarán como evento H, se presenta sólo cuando se presenta cualquiera de tres enfermedades, A, B o C. (Para mayor simplicidad, supondremos que las enfermedades A, B y C son mutuamente excluyentes.) Estudios realizados demuestran estas probabilidades de adquirir las tres enfermedades: P(A) _ .01 P(B) _ .005 P(C) _ .02 Las probabilidades de desarrollar los síntomas H, dada una enfermedad específica, son P(H_A) _ .90 P(H_B) _ .95 P(H_C) _ .75 Suponiendo que una persona enferma presente los síntomas H, ¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad A? 4.78 ¿Engañar en sus impuestos? Suponga que 5% de todas las personas que

presentan el largo formato de pago de impuestos busca deducciones que se sabe son ilegales, y otro 2% incorrectamente anota deducciones porque no están familiarizados con los reglamentos de impuesto al ingreso. Del 5% que son culpables de engañar, 80% negarán saber del error si se confrontan a un investigador. Si quien presenta el largo formato se confronta a una deducción no justificada y niega saber del error, ¿cuáles la probabilidad de que sea declarada culpable?

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TÉCNICAS BÁSICAS 4.42 Un experimento puede resultar en uno de cinco eventos simples igualmente

probables, E1, E2, . . . , E5. Los eventos A, B y C se definen como sigue: A: E1, E3 P(A) _ .4 B: E1, E2, E4, E5 P(B) _ .8 C: E3, E4 P(C) _ .4 Encuentre las probabilidades asociadas con estos eventos compuestos, haciendo una lista de los eventos simples en cada uno. a. Ac b. A _ B c. B _ C d. A _ B e. B_C f. A_B g. A _ B _ C h. (A _ B)c

4.43 Consulte el ejercicio 4.42. Use la definición de un evento complementario para

hallar estas probabilidades: a. P(Ac) b. P((A _ B)c) ¿Los resultados concuerdan con los obtenidos en el ejercicio 4.42?

4.44 Consulte el ejercicio 4.42. Use la definición de probabilidad condicional para hallar

estas probabilidades: a. P(A_B) b. P(B_C) ¿Los resultados concuerdan con los obtenidos en el ejercicio 4.42?

4.45 Consulte el ejercicio 4.42. Use las Reglas de la adición y de la multiplicación para

hallar estas SEGUNDO SEMESTRE

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Probabilidades: a. P(A _ B) b. P(A _ B) c. P(B _ C) ¿Los resultados concuerdan con los obtenidos en el ejercicio 4.42? 4.46 Consulte el ejercicio 4.42.

a. ¿Los eventos A y B son independientes? b. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? A: observar un número menor a 4 B: observar un número menor o igual a 2 C: observar un número mayor a 3 Encuentre las probabilidades asociadas con los eventos citados a continuación, usando ya sea el método de evento simple o las reglas y definiciones de esta sección. a. S c. B

b. A_B

d. A _ B _ C f. A _ C

e. A _ B

g. B _ C i. B _ C

h. A _ C

4.48 Consulte el ejercicio 4.47.

a. ¿Los eventos A y B son independientes? ¿Mutuamente excluyentes? b. ¿Los eventos A y C son independientes? ¿Mutuamente excluyentes?

4.49 Suponga que P(A) _ .4 y P (B) _ .2. Si los eventos A y B son independientes,

encuentre estas Probabilidades:

a. P(A _ B) b. P(A _ B)

4.50 Suponga que P(A) _ .3 y P (B) _ .5. Si los eventos A y B son mutuamente

exclusivos, encuentre estas probabilidades: a. P(A _ B) b. P(A _ B)

4.51 Suponga que P(A) _ .4 y P(A _ B) _ .12.

a. Encuentre P(B_A). b. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? c. Si P(B) _ .3, ¿los eventos A y B son independientes? SEGUNDO SEMESTRE

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4.52 Un experimento puede resultar en uno o ambos de los eventos A y B con las

probabilidades que se muestran en esta tabla de probabilidad:

Encuentre las siguientes probabilidades: a. P(A) b. P(B) B) d. P(A _ B)

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e. P(A_B)

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c. P(A _ f. P(B_A)