312047224-Hidraulica-Basica-Unidad-3-MODELOS-HIDRAULICOS.pdf

HIDRAULICA BASICA UNIDAD 3 MODELOS HIDRAULICOS

ÍNDICE  TEMA introducción 3 Modelos hidráulicos 3.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica 3.1.2 !eyes de similitud. similitud. "ondiciones de #roude, #roude, Euler y $eynolds P$&'!EMAS 3.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos 3.2 #lu)o en ori*cios, com+uertas y ertedores P$&'!EMAS 3.2.1 "oe*cientes de elocidad , contracción y gasto y sus a+licaciones P$&'E!MAS 3.3 is+ositios de medición 3.3.1 Tu0o de Pitot P$&'!EMAS 3.3.2 Tu0o de enturi P$&'!EMAS 3.3.3 $otámetro "onclusión 'i0liogra45a

Pagina 2 3  1% 1( 1 12% 22 2 2/ 2/ 2/ 2 31 3( 3 3

1

Introducción   En mecánica de 6uidos el riguroso tratamiento matemático de los +ro0le +ro0lema mas, s, con 0ase 0ase e7clu e7clusi siame amente nte en los método métodoss anal5t anal5tico icos, s, no siem+re +ermite llegar a la solución com+leta, a menos 8ue se +lanteen hi+ó hi+óte tesi siss sim+ sim+li li*c *cad ador oras as 8ue, 8ue, adem además ás de rest restar ar gene genera rali lida dad d a la solución, +ueden llegar a 4alsear los resultados a tal grado 8ue no tengan relación alguna con el com+ortamiento real del 4enómeno. Por otra +arte, de0ido a la ariedad de +ro0lemas, muchas eces resulta di45cil esta0lecer las condiciones de 4rontera +reias a cual8uier solución matemática. En otros casos, las soluciones anal5ticas se de0en +lantear de tal manera 8ue no se ignoren los as+ectos 45sicos del 4enómeno y 8ue determinados +untos de la res+uesta 8ueden su+editados a la e7+erimentación. e7+erimentación. En es este te tra0a tra0a)o )o de ine inest stig igac ació ión n se es estu tudi diar ara a y reso resol ler erá á algu alguno noss +ro0lemas de lo mencionado anteriormente.

2

3.- Modelos Hidráulicos !os mode modelo loss hidr hidrául áulic icos os han enco encont ntrad rado o crec crecie ient nte e a+li a+lica caci ción ón +ara +ara contr controla olarr y modi*c modi*car ar dise9o dise9oss anal5t anal5tico icoss de estruc estructur turas as hidrául hidráulica icas. s. Mediante el uso de modelos 45sicos es +osi0le e7+erimentar a costos relatiamente 0a)os y con econom5as su0stanciales de tiem+o, hasta o0tener condiciones ó+timas.

!o anterior en ning:n caso signi*ca 8ue una técnica su0stituya a la otra. Ser5a un error su+oner 8ue una serie de resultados y de reglas sencillas o0tenidas de la inestigación e7+erimental su+la un tratamiento racional del mismo, +udiendo ocurrir 8ue dichos resultados tuieran alide; solo en el interalo de alores +ara el cual se e4ectuaron las mediciones. Adem Además, ás, aun cuando cuando 4uera 4uera +osi0l +osi0le e hacer hacer un estudi estudio o e7hau e7hausti stio o del 4enó 4enóme meno no,, resu result lta a nece necesar sario io toma tomarr en co cons nsid ider erac ació ión n una una se seri rie e de 4ac 4actor tores de 5ndo ndole a+r a+rec eciiati atia 8ue 8ue limit imitan an la e7tra+ tra+ol olac aciión y generali;ación de las res+uestas. !a adecua adecuada da com0in com0inaci ación ón del análi análisis sis matem matemáti ático co y la eri* eri*cac cación ión e7+erimental +ermite su+erar esos o0stáculos, restringiendo la hi+ótesis a a8uellas cuya e7+eriencia y ra;onamiento 45sico han mostrado no tener serios e4ectos so0re las caracter5sticas esenciales del 4enómeno. Mientras el tratamiento em+5rico recalca el desarrollo alge0raico de una 4ormula deducida de la inestigación e7+erimental, a menudo con +oca  )usti*cación 45sica, el análisis racional intenta una solución com+leta +ara la 4unción correcta y las constantes numéricas inolucradas. Por otra +arte, la mecánica de 6uidos em+lea los +rinci+ios del análisis dime dimens nsio iona nall +ara +ara inco incor+ r+or orar ar las las ari aria0 a0le les, s, 8ue 8ue la e7+er 7+erie ienc ncia ia ha demostrado como esenciales, en una e7+resión adimensional 0ásica, sistemática y matemáticamente ordenada< asimismo, toda e; 8ue sea 3

+osi0le se desarrolla, al menos a+ro7imadamente, la interrelación 4uncional de los di4erentes miem0ros de esta e7+resión. Por :ltimo, 1a inestigación e7+erimental suministra las constantes numéricas y la eri*cación esencial so0re la e7actitud del análisis< tam0ién trae consigo el estudio de las caracter5sticas del 6u)o aunadas a las +ro+iedades del 6uido y a las condiciones de 4rontera o geometr5a del mismo. As5, +or e)em+lo, el estudio e7+erimental com+leto del em+u)e de un 6u)o so0re un cilindro signi*car5a ariar la elocidad v

0

y utili;ar arios 6uidos de distintas caracter5sticas, as5 como cilindros de di4erente diámetro, +ara determinar el coe*ciente de arrastre en cual8uier condición imagina0le. =na inestigación en este sentido re+resentar5a un tra0a)o 4ormida0le casi im+osi0le de reali;ar< sin em0argo, una +laneación adecuada de las com0inaciones de las diersas aria0les 8ue ocurren en cada +ro0lema +ermite llegar a generali;aciones realmente e7traordinarias con el menor es4uer;o, costo y tiem+o< muchas eces con una +resentación muy sim+le. Para este caso +articular es su*ciente estudiar la ariación del coe*ciente de arrastre, mediante la sim+le ariación del +arámetro adimensional >llamado de $eynolds> 8ue inolucra todos estos 4actores, +ara o0tener una relación sencilla. !a técnica seguida +ara encontrar las com0inaciones +osi0les se a+oya en el em+leo de +arámetros dimensionales 4ormados con las di4erentes aria0les del +ro0lema, 8ue +ermite la trans+osición de los resultados de un modelo 45sico a la estructura real. !a teor5a de la similitud 8ue satis4ace esta necesidad 4ue esta0lecida +or ?line@ Si dos sistemas o0edecen al mismo gru+o de ecuaciones y condiciones go0ernantes, y si los alores de todos los +arámetros y las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas de0en de e7hi0ir com+ortamientos similares con tal de 8ue e7ista una solución :nica +ara el gru+o de ecuaciones y condiciones. !os +rinci+ales +arámetros dimensionales de utilidad en la dinámica de 6uidos se o0tienen de las ecuaciones del moimiento de los 6uidos. Bo o0stante lo anterior, si se conocen las aria0les im+ortantes 8ue interienen en un +ro0lema, el llamado análisis dimensional un constituye un +rocedimiento sencillo y +uramente matemático +ara determinar los +arámetros más a+lica0les en cada caso. (

!a e7+erimentación se 0asa en la construcción y o+eración de un modelo reducido a escala cuyo tama9o se su+edita a 4actores como es+acio dis+oni0le, ca+acidad de las instalaciones del costo del modelo, e4ectos de escala, etcétera. Para la o+eración se re8uieren los a+aratos y dis+ositios 8ue midan las caracter5sticas hidráulicas del escurrimiento@ gastos, elocidades, +resiones, tiem+os, etcétera.

Laboratorio de hidráulica que contiene odelo! hidráulico! a e!cala

Modelo "ara el di!e#o hidráulico



Modelo hidráulico

3.1- Similitud geométrica cinemática ! dinámica. Similitud geométrica "onsidere dos 6u)os, como los mostrados en la *g. . 1, 8ue se designaran como modelo y +rototi+o. Mientras 8ue el +rimero tiene, en general, dimensiones menores 8ue el segundo y es el 8ue se re+roduce en el la0oratorio, el segundo re+resenta la estructura real +or construir.



"igura #.1. Siilitud dináica entre do! $u%o! del odelo & el "rototi"o 'a & b(

!a similitud geométrica im+lica, de un modo estricto, 8ue sea igual la relación de todas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los 6u)os ciertas dimensiones se seleccionan y además, se designan con  " al +rototi+o y con  al modelo C#ig. .1D, la similitud geométrica signi*car5a, +or e)em+lo, 8ue le =

S p Sm

onde le  es la escala de l5neas 8ue cuanti*ca el tama9o relatio de los dos sistemas. =na consecuencia de la similitud geométrica e7acta es 8ue la relación de áreas y ol:menes en am0os sistemas se +uede e7+resar en términos del cuadrado y del cu0o de le , esto es@ 2

 A e =le

2

V c =le

En algunos casos, es 4acti0le 8ue la similitud geométrica e7ista solo en lo 8ue se re*ere a las dimensiones so0re +lanos hori;ontales y las dimensiones erticales +ueden 8uedar distorsionadas con otra escala de l5neas Ccomo el caso de los modelos de r5os o de +uertosD donde el conserar las misma escala de l5neas en las tres direcciones signi*car5a tener tirantes muy +e8ue9os en los modelos. Se tendr5an as5, +or e)em+lo, escalas de l5neas de dimensiones erticales y hori;ontales, como sigue@ l ev =

leh=

 H  P  H m  B v Bm

=

S p Sm

…

…

-

!a similitud geométrica se e7tiende tam0ién a la rugosidad su+er*cial de las +aredes 8ue limitan al 6u)o, +ues si el modelo tiene un tama9o l

igual a un décimo del +rototi+o (¿¿ e =10 )  , entonces la altura de las ¿ +royecciones de las rugosidades de0e estar en la misma relación. Esto es di45cil de lograr en la +ráctica, +or lo 8ue en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en la dimensión longitudinal de la conducción res+ecto a las otras dos dimensiones, con o0)eto de lograr la misma relación de +érdidas de energ5a en am0as estructuras.

Similitud cinemática ! dinámica. La !iilitud cineática  entre dos sistemas de 6u)o se inter+reta como la

seme)an;a geométrica entre l5neas de corriente de am0os 6u)os, sin distorsión o con ella. !a similitud dinámica im+lica 8ue haya similitud dinámica im+lica 8ue haya similitud geométrica, o 0ien, distorsionada, además 8ue sea la misma relación de las 4uer;as dinámicas en +untos homólogos. En la !iilitud dináica  al igual 8ue en la similitud geométrica, e7isten

escalas de elocidades, iscosas, de 4uer;as, tiem+os, densidades, iscosidades, etcétera, 8ue miden la relación entre las caracter5sticas de los 6u)os o +ro+iedades de los 6uidos utili;ados en los mismos y re4eridas a dos +untos $ homólogos, 8ue se designaran con el s5m0olo hasta ahora utili;ados, +ero a9adiendo el su05ndice e 'e!cala(.+or e)em+lo

 pe , μe , v e

 se re*eren a los +ro+iedades de los 6uidos 8ue se

utilicen en el +rototi+o y el modelo. /

Además +or de*nición sa0emos 8ue@

$#.1a% le

v e=

t e

$#.1&% t e=

 l e ve

$#.1c% Qe = Ae V  e

$#.1d% le

ae =

2

t e

$#.1e%  pe =

 y e ge

$#.1d% v e=

 μ e  pe

"on las de*niciones de escala antes dadas, la ecuación e8uialente +ara el +rototi+o es

$#.'% 2

∂(

¿

vm 2

∂ sm

) +

( )

l e  ∂ v m v e t n ∂ t m



!os términos entre +aréntesis, de esta ecuación, relacionan las di4erentes escalas utili;adas y es igualmente alido utili;ar los rec5+rocos Ce7ce+tuando el ultimoD.+or e)em+lo igualando el +rimero con el 8ue corres+onde al de la aceleración conectia Cde alor de 1D, +or de*nición de escalas, resulta lo siguiente@

$#.3% 2

2

 p p v p  Pm v m =  p p  pm

Esto es, +ara 8ue haya similitud dinámica, +or lo 8ue res+ecta a la 2

4uer;a de +resión, es necesario 8ue el +arámetro  Eu= pv / p

sea el

mismo en el modelo y en el +rototi+o. En general,  " re+resenta la di4erencia de +resiones  ") entre dos +untos de 6u)o o entre un +unto y la +resión atmos4érica. Este +arámetro es adimensional y es la relación entre la 4uer;a de inercia y la de0ida al gradiente de +resiones.

3.1.'- (e!es de similitud. Condiciones de "roude )e!nolds ! Euler "uando se diide la 4uer;a 8ue act:a en un 4enómeno hidráulico +or la 4uer;a de inercia Csiem+re está +resenteD, se o0tiene un numero 1%

adimensional el cual de0e ser el mismo en el modelo y +rototi+o en +unto homólogos, cuando se cum+la la similitud dinámica. !as e7+resiones adimensionales, en el lengua)e hidráulico se les designan como leyes de similitud. Por medio de un ra;onamiento análogo se o0tuieron cuatro +arámetros adimensionales a sa0er@ 2

fuerzadeinercia  p v  Eu= = fuerzade presin ! p

ℜ=

fuerzadeinercia vl vl = = fuerzaviscsa  μ / p v

2

  fuerzade inercia v  " r = = fuerzagravitacinal gl 2

S=

aceleracinlcal l  = fuerzadeinercia vt 

El +rimer +arámetro de los o0tenidos arri0a se llama n:mero de Euler y rige a8uellos 4enómenos donde son +re+onderantes los cam0ios

!p

de las +resiones. "on  p= # / g  y h =! p / #  , se escri0e com:nmente as5@

$#.*% 2

2

 p v  v  Eu=  = ! p gh

Parámetro 8ue tiene im+ortancia en 4enómenos de 6u)o ocasionados +or una gradiente de +resiones donde la densidad y la aceleración del 6uido interienen +rimordialmente en el 4enómeno y las 4uer;as iscosas +ierden im+ortancia. 11

Es decir, el moimiento de+ende de la 4orma del 6u)o, con una con*guración +rácticamente inaria0le de las l5neas de corriente. Esto ocurre en +ro0lemas de 6u)o a +resión como en la tu0er5as, ori*cios, álulas, com+uertas, distri0ución local de +resiones so0re un o0stáculo, etcétera. •

El segundo n:mero se llama de Re&nold!  y se acostum0rar a escri0ir@ $#.#% vl ℜ= v

Es álido en a8uellos 6u)os a +oca elocidad donde las 4uer;as iscosas son las más im+ortantes. =n n:mero de $eynolds grande indica una +re+onderancia marcada de las 4uer;as de inercia so0re las iscosas, como +or e)em+lo > el 6u)o tur0ulento, en 8ue la iscosidad tiene escasa im+ortancia y el 4enómeno de+ende solo del n:mero de Euler. "uando este es +e8ue9o de+ende de am0os n:meros. El n:mero de $eynolds se usa a menudo como el criterio de seme)an;a en la +rue0a de modelos de naes áreas, cuer+os sumergidos en un 6u)o, medidores de gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las caracter5sticas del 6u)o están su)etas a e4ectos iscosos. •

El tercer n:mero se llama de *roude y en general se re+resenta como la ra5; cuadrada de la relación de 4uer;as, es decir@  "r =

v √ gl

El n:mero de #roude tiene im+ortancia en 6u)os con elocidades grandes 8ue ocurren +or la acción e7clusia de la graedad< tal es el caso del 6u)o tur0ulento a su+er*cie li0re, donde los e4ectos iscosos son des+recia0les. A medida 8ue aumenta el n:mero de #roude, mayor es la reacción inercial de cual8uier 4uer;a< en tanto disminuye, mayor es el e4ecto de la 4uer;a graitacional. "uando el 6u)o es hori;ontal, la acción del +eso desa+arece y con ella la in6uencia del n:mero de #roude. •

#inalmente, en a8uellos +ro0lemas de 6u)o no +ermanente en los 8ue la +eriodicidad del 4enómeno es im+ortante, el n:mero llamado de

12

Strouhal  caracteri;a su acción. Si se considera 8ue la 4recuencia del 4enómeno +eriódico es +,-.t) se tiene 8ue

$#.+% S=

fl v

onde t  re+resenta una dimensión t5+ica del cuer+o o0struyendo el 6u)o y /   una elocidad t5+ica dentro del 6u)o. Este n:mero es im+ortante en 6u)os relacionados con la 4ormación de órtices, moimiento de ondas, e4ectos de i0ración en cuer+os colocados en un 6u)o, etcétera y re+resenta la ra5; cuadrada de la relación de una 4uer;a hidroaerodinámica C8ue act:a +ara restaurar el e8uili0rio en la con*guración de un 6u)oD y la 4uer;a de inercia de la masa oscilante del 6uido. "omo ya se ha05a se9alado, +ara lograr similitud dinámica es necesario 8ue los n:meros antes de*nidos resulten iguales en el modelo y en el +rototi+o. En la +ráctica no se +ueden satis4acer todos los +arámetros de manera simultánea y se da +re4erencia a a8uel o a8uellos 8ue tengan mayor im+ortancia en el 6u)o.

Si!tea! de "re!i0n1  En este caso, los cam0ios de +resión se de0en a

una com0inación de los e4ectos dinámicos +roducidos +or la aceleración, iscosidad y graedad. En el caso com:n de un 6u)o de densidad constante, el e4ecto de graedad es una distri0ución de +resiones hidrostáticas, su+er+uesta a una +resión aria0le de0ida a otros e4ectos, de ah5 8ue el n:mero de $eynolds sea el más im+ortante y de0a ser igual en modelo +rototi+o, esto es@

$#.,% V e l e ve

=1

onde V e  es la escala de elocidad y v e  de iscosidad cinemática< resulta entonces lo siguiente@

$#.% 13

V e =

V e le

=

μe  pe l e

!a escala de tiem+os es

$#.1% 2

le le t e= = V e v e

!a de aceleraciones

$#.11% 2

2

V e v e μe ae = = 3 = 2 3 t e l e  pe l e

!a de las 4uer;as iscosas

$#.1'% 2

μe

2

 μe  " e = me a0= p e l e 2 3 =  pe l e  p e 3

 F +or :ltimo de+resiones

$#.13% 2

 " e μe  Pe = =  A e  pe l2e

Al utili;ar el criterio de seme)an;a de $eynolds +uede demostrarse 8ue las 4uer;as graitacionales se anulan y no tiene, +or lo tanto, e4ectos so0re las caracter5sticas del 6u)o. Sin em0argo, en la mayor5a de los estudios con modelos el n:mero de $eynolds ar5a desde

6

1 $ 10

a

1(

6

20 $ 10

, +or la cual la utili;ación de este criterio de seme)an;a es +oco

usual en la +ráctica.

/)0(EM2 #.1 =n dis+ositio de inestigación se encuentra sostenido +or una 0arra cil5ndrica de %.1 m de diámetro, la cual a su e; está su)eta a una lancha y sumergida erticalmente en aguas +ro4undas a 1G", donde la elocidad, +or el moimiento de la lancha, alcan;a 3mHseg. Se desea determinar la 4uer;a de resistencias en la 0arra Cinducida +or el moimientoD con un modelo geométricamente similar, de %.%3 m de diámetro, en un t:nel de iento de +resión aria0le, donde es +osi0le lograr elocidades hasta de 3%mHseg, a una tem+eratura de 1G". Solución

Su+oniendo 8ue el t:nel de iento se o+era a 3%mHseg, se +uede o0tener la densidad del aire, re8uerida +or la condición de 8ue el n:mero de $eynolds sea igual en los dos sistemas. Para la tem+eratura de 1G" las escalas de iscosidad de am0os 6uidos, de elocidades y de l5neas son, res+ectiamente

 μ p

 μe = =  μ m

−4 1.18 % 10 −6 2.0 % 10

2

=0.59 % 10

1

V e =

 pe =

V  p V m

=

μe V  e le

3 30

= 0.1

2

=

( 0.59 % 10 ) 0.1 % 5

=118.0

2

4

e0ido a 8ue la densidad del agua es  p=101.87 &g∗seg / m , la de aire de0e ser  pm=

  101.87

2

2

1.18 % 10

=0.8633 &g∗seg / m

4

"omo la densidad del aire a +resión atmos4érica estándar es %.12 &g∗seg / m , el t:nel de0e controlarse con una +resión de  atm, 2

4

a+ro7imadamente, +ara alcan;ar la densidad deseada.

e la ecuación C.12D la escala de 4uer;a es  " e =

( 0.59 % 10 2)2 1.18 %  10

2

=29.5

!a 4uer;a de resistencia en +rototi+o será entonces@  "  p =29.5 "m

/)0(EM2 #.3 eterminar las escala de elocidad, gasto y 4uer;as, +ara un modelo construido a escala le =100 de una o0ra de e7cedencias 8ue 3

descargara un gasto de

m  ' 10000 seg

1

Solución

El 4enómeno 8ue se +resenta está su)eto a la ley de #roude, +or lo 8ue si se a+lica la Ec. C.1(D la escala de elocidades resulta@ V e =√ 100=10

& sea, 8ue +ara o0tener las elocidades del +rototi+o se necesita multi+licar +or 1% las elocidades medidas en el modelo. e la Ec. C.1D, la escala de gastos ale@ 5 /2

Qe =100 =100 000

Entonces el gasto 8ue de0erá 6uir en el modelo es 100 <

¿ seg 3

m Q m= =0.1 =¿ seg 100000   10000

!a escala de 4uer;as, +ara # e =1 , de la Ec. C.1-D resulta ser 3

 " e =1 %  100 =1000 000

3.1.3- /laneación idráulicos

!

construcción

de

modelos

El uso de modelos 45sicos a escala reducida, llamados sim+lemente modelos hidráulicos, im+lica 8ue éstos de0en ser seme)antes al +rototi+o, +ara lo cual de0e satis4acerse las leyes de similitud Ieométrica, "inemática y inámica, 8ue en con)unto relacionan magnitudes 45sicas homólogas de*nidas entre am0os sistemas.

1-

"uando se a a reali;ar una com+aración con res+ecto a la similitud geométrica se de*nen +untos homólogos so0re los cuales se de*nen magnitudes tales como elocidad, +resión, etc.< de igual manera se de*nen lados, su+er*cies y ol:menes homólogos. !a similitud geométrica im+lica una relación constante +ara cual8uier longitud !, esta relación es denominada escala de l5neas de longitudes. "uando la com+aración entre el +rototi+o y modelo es con res+ecto a un moimiento, se esta0lece entonces la similitud cinemática< ésta se cum+le cuando los +atrones la 4orma de los +atrones de 6u)os homólogos son iguales en cual8uier tiem+o, es decir, hay similitud en el moimiento de los sistemas. Es +or esto 8ue la relación de elocidades entre estos +untos de0e ser constante y es denominada escala de elocidades. Es un re8uisito 8ue se cum+la con la similitud geométrica +ara 8ue se cum+la la similitud cinemática. El moimiento de un 6uido en el modelo y el en el +rototi+o, +ara 8ue sea similar en 4orma com+leta, no es su*ciente con 8ue se cum+la con las similitudes geométrica y cinemática, tam0ién es necesario tomar en consideración la acción de 4uer;as so0re las +art5culas de un 6uido, tales como 4ricción, tensión su+er*cial, graedad o +eso, 4uer;as de inercia, de "oriolis, etc. !o anterior im+lica 8ue la relación de 4uer;as homólogas tam0ién de0e ser constante, esta0leciéndose as5 la escala dinámica de 4uer;as. En el dise9o de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los 4actores t5+icos 8ue go0iernan su com+ortamiento y +or lo tanto su modelación y dise9o. A continuación se +resentan algunos e)em+los@ Tipo de estructura factores de diseño típicos

1. ES4)5C45)2S C0N4)0( a. tomas 0. Muros de contención c. "om+uertas d. Atagu5as e. iisoras de aguas

DE

Descarga ni6eles de agua. elocidad, +érdidas, +resión. C4uer;asD, i0raciones, inesta0ilidades órtices, demanda de aire, sedimentos. Jielo, caitación, olea)es. Patrones de 6u)o

1/

'. a. 0. c.

C0ND5CCI0N ertederos "anales T:neles

3. DIS/2)2D0)ES ENE)8I2 a. Am+liaciones a0ru+tas

Ni6eles de agua 7erdidas.

elocidades, +erdidas, entrada. e aire, caitación.

DE Ni6eles de agua 7erdidas.

0. i4usores c. Pantallas

Presión, i0ración, demanda de aire. "aitación, a0rasión, olea)e.

3.'- "lu9o en ori:cios com7uertas ! 6ertedores "on el *n de tomar en cuenta los +arámetros no considerados en la 4ormulación teorice de un 4enómeno, suelen considerar coe*cientes de corrección a los alores teóricos o0tenidos 8ue +ro+orcionen alores reales. El 6u)o a traés de ori*cios, ertederos y com+uertas son e)em+los t5+icos donde estos coe*cientes encuentran a+licación. >

"oe*ciente de descarga.

El coe*ciente de descarga K"dL es la relación entre el caudal real 8ue +asa a traés de un dis+ositio y el caudal real. "d caudal realHcaudal ideal >

"oe*ciente de elocidad.

El coe*ciente de elocidad K"L es la relación entre la elocidad media real en la sección recta de la corriente y la elocidad media ideal 8ue se tendr5a son ro;amiento. " elocidad media realHelocidad media ideal >

"oe*ciente de contracción.

El coe*ciente de contracción K"cL es la relación entre el área de la sección recta contra5da de una corriente y el área del ori*cio a traés del cual 6uye el 6uido. 1

"c  área de 6u)o contra5doHárea de ori*cio Se cum+le 8ue

"d "N"c

"lu9o en ori:cios

2%

"lu9o en com7uertas. O"d 0Na 2NgNy1 21

"d  coe*ciente de descarga '  ancho de com+uerta A  a0ertura de com+uerta  F1  +ro4undidad del 6u)o aguas arri0a de la com+uerta.

"lu9o en 6ertederos

0  ancho del ertedero h  carga de aguas arri0a del ertedero "d  coe*ciente de descarga Cen un ertedero son contracciones laterales +uede em+learse "d  %.1 Q %.%/ hHRD.

22

/)0(EM2S

/ro&lema de 6ertidor 23

3.'- Coe:cientes de 6elocidad contracción ! gasto ! sus a7licaciones. 2(

!os coe*cientes de elocidad, en un ori*cio, son 0ásicamente e7+erimentales. Sin em0argo, en teor5a es +osi0le encontrar la magnitud del coe*ciente de gasto +ara un ori*cio circular a +artir de moimiento a+licada so0re un olumen de control limitado +or la 4rontera del control del chorro en contacto con el aire, la sección contra5da y, dentro del reci+iente, +or una su+er*cie semies4érica de radio igual al del ori*cio C*gura3.2.1>1D. Para hacer lo anterior, se designa como 1 la elocidad de una +art5cula so0re la semies4era de radio $, tra;ada en la #ig. 3.2.1> 1 cuya direcciones radial al centro de la semies4era. !a su+er*cie de la semies4era ale@

$3.;%  A 1=2 ( )

2

 F la corres+ondiente a la sección contra5da@

$3.+%  A 0=* 0 A =* 0 ( )

2

"ig. 3.'.1-1 Deri/aci0n del coe2ciente de contracci0n "ara ori2cio de "ared delada1

e la ecuación de continuidad se o0tiene@ v 1=

 A 0  A1

V 

Sustituyendo las ecuaciones C3>D y C3>-D en esta resulta 8ue@

$3.,% 2

1

v 1= * 0 V  2

Para a+licar la ecuación de la cantidad de moimiento, es necesario conocer la elocidad media so0re la semies4era en la dirección del escurrimiento. !a com+onente +aralela al e)e del ori*cio de las elocidades v , so0re la su+er*cie de la semies4era, ale v 1

1

cos +

< es

decir, 8ue la ariación seg:n la ley cosenoidal como se muestra en la #ig. 3.2.1>2. e este modo, la media de las com+onentes de la elocidad, so0re la su+er*cie semies4érica, se o0tiene +or la igualación del V 1 ( )

olumen del cilindro

2

 con el olumen encerrado +or la su+er*cie

de ley cosenoidal< ósea@

V 1=

()

2

∬ cos + dA  A

√  ) − r cos + = 2

 F, con

V 0=

Fig. 3.2.1-2 di!tribuci0n de la! co onente! de la

+

v1

 )

2 v1

2

dA =2 (r dr ,

entonces@

 )

 ∫ √  ) −r rdr  ) 2

2

3

0

!a integración conduce al estado siguiente@ V 0=

¿−

−2 v 3 )

 2 v 1 3 )

3

3

3 1

[ ( ) −r ) ] 2

2 2

[ − ) ] 3

#inalmente se tiene 8ue@ 3

V 0= v 1 2

$3-% 2

Sustituyendo la Ec. C3>/D en la C3>D resulta@ V 0=

* 0 3

V 

$3-1%

Por tanto, es +osi0le ealuar los coe*cientes  ,  8ue interiniera en la ecuación de la cantidad de moimiento. Por una +arte, el coe*ciente  ,

 +ara la sección contra5da ale 1, +ues se su+one 8ue la distri0ución

de la elocidad coincide con la media< sin em0argo, el coe*ciente  , +ara la semies4era tiene un alor distinto de 1 y resulta al sa0er@

$3.11% +

∬v   1=

2 1

cos + dA

 A 2

 A V s

e la #ig. 3.2.1>2, dA =2 (r dr  y además 2

2

 r  r 2 sen + = 2 - cos +=1 − 2  )  ) 2

"on estas e7+resiones y considerando la Ec. C3>/D el alor de  ,  es@ 1

2

2

* 0 V  3

( ) 2

r 1− 2  )

 1=

¿

2 (r dr  )

1 2

 A V s

2

2

[

∫¿ 0

* 0 V   ()2

1 2

 A V s

2

=¿

2

−

 ]

() 4

2

 F de la Ec. C3>1%D resultan entonces 8ue@ 2-

$3.1'%  , 1=

9 2

2

2

2

( ) * c V 

2

* c V 

 () 8

2

=

9 8

=1.125

Es necesario conocer las 4uer;as 8ue im+ulsan al olumen de agua limitado +or la sección contra5da y las ecuaciones de la es4era< en un +unto E so0re la semies4era act:ala +resión ". la ecuación de 'ernoulli +ara la l5nea de corriente, a+licada a este +unto, es@ 2

 p v a  H = z +  + #  2 g

Si se ace+ta 8ue la carga  H  es muy grande en com+aración con el radio del ori*cio, +uede entonces des+reciarse  4  y, +or tanto, so0re toda la semies4era la +resión será constante y de alor@

(

2

v  p= #   H − 1 2g

)

Por lo cual la com+onente en la dirección del moimiento del em+u)e o 4uer;a total, so0re la su+er*cie de la semies4era, es @

$3.13%

(

2

)

v  pA= #   H − 1  A 2g

En la sección contra5da act:a la +resión atmos4érica, +or lo 8ue la 4uer;a so0re dicha sección será cero. !a masa del l58uido descargada a traés del ori*cio es #   *   AV  g c

2/

!a cual se acelera desde la elocidad media V s  so0re la semies4era, e7+resada +or la Ec. C3>1%D, hasta la elocidad media V   en la sección contra5da. As5, de acuerdo con las Ecs. C3>/D, C3>1%D, C3>12D y C3>13D, la ecuación de la cantidad de moimiento se e7+resa como sigue@

[ ( )]

# A  H −

1

* c V 

2g

2

2

(

#  g

= A * c V  V −

9

* c

8 3

V 

)

Por otra +arte, de la Ec. C3>2D se tiene 8ue 2

V   H = 2 + * v 2 g 1

"on lo cual resulta@ 2

[

]

V  3 1 2 1 2 * c − * c + * 0− 2 = 0 2g 4 4 * v

& 0ien eliminando la carga de elocidad, se tiene 8ue@

( ) 3 4

−

1 4

2

* c −2 * 0 +

1 2

* v

=0

Por tanto@ 2

* c −4 * c +

2 2

* v

=0

e0ido a 8ue

* 0

de0e ser menor 8ue 1, la ra5; alida en estas

ecuaciones la corres+ondiente al signo negatio del radical< asi, se o0tiene la ecuación@

$3.1*% 2

√

* c =2− 4 −

2 2

* 0

En la ta0la 3>1 se +resentan los alores de * v  y * d  calculados de la Ec. C3>1(D, +ara di4erentes alores de * v  y de la de*nición * d .

* v

42(2 3-1 C0E"ICIEN4ES DE 82S40 DE (2 EC. 3-1* 1 %. %./ %.%. %.

* c

%./

%.%

%.1

%.31

%.(-

%.(

* d

%./

%.(

%.%3

%.12

%.21

%.31

/)0(EM2. Mediante un análisis dimensional se com+rue0a 8ue los coe*cientes de elocidad, contracción y gasto, son 4unción e7clusiamente del n:mero de $eynolds. e acuerdo con los resultados de di4erentes inestigadores +ara ori*cios circulares sus alores tienen la ariación mostrada en la #ig. 3.2.1>(. Se o0sera 8ue +ara n:meros de $eynolds $e1% , los coe*cientes

* v , * c y * d

son

inde+endientes

de

dicho n:mero

y

ad8uieren los alores constantes siguientes@ * v =0.99 * c =0.605 * d=0.60

e la ta0la 3>1 se tiene 8ue +ara * v =0.99,  la Ec. C3>1(D +ro+orcionan los alores * c =0.60  y

* d=0.594

 8ue coinciden +rácticamente con los

coe*cientes e7+erimentales arri0a indicados. 3%

Por de*nición de contracción, +ara un ori*cio circular se o0tiene $3.1#%  .=

√

1

* v

 . c

 F con * c =0.605 ,  .=1.285 .c  o 0ien  .c =0.778 . . "uando se trata de ori*cios rectangulares de +oca altura los coe*cientes * v , * c y * d

, son +rácticamente los mismos en la #ig. 3.2.1>(. En este

caso Cen lugar de  . D en el numero de $eynolds se utili;a la misma dimensión a del ori*cio y en la ecuación C3>1(D corres+ondiente a su área  A = a/  C /  es la dimensión del ori*cioD.

31

3.3- Dis7ositi6os de medición $tu&o de =n tu0o de Pitot, teniendo un coe*ciente de %./, se em+lea +ara medir la elocidad del agua en el centro de una tu0er5a. !a altura de +resión de estancamiento es ./m y la altura de +resión estática en la tu0er5a es de (.m. "uál es la elocidadU

Solución= Si el tu0o se ada+ta y +osiciona correctamente, un +unto de elocidad cero C+unto de estancamientoD se desarrolla en ' en4rente del e7tremo a0ierto del tu0o Céase *gura >1D. A+licando el teorema de 'ernoulli desde A en el l58uido en re+oso asta ' se tiene

(

)(

2

 pA  v  A  pB + +0 = +0 +0 0 0 2g

)

Entonces, +ara un 6uido ideal des+roisto de 4ricción 2

V   A  pB  pA = − 2g 0 0

ó A 

√ ( 2g

 )

p/  pA − 0 0

 Para el tu0o real de0e introducirse un coe*ciente c 8ue de+ende de la 4orma del tu0o. !a elocidad real +ara el +ro0lema anterior seria A 

c

√ ( 2g

 p/  pA − 0 0

)

 %./ √ 2 g ( 5.58− 4.65 )

 (.1/ mHs

/)0(EM2 '.> A traés de un conducto 6uye aire, y el tu0o de Pitot estático 8ue mide la elocidad está conectado a un manómetro di4erencial conteniendo agua. Si la desiación del manómetro es 1% cm, calcular la elocidad del aire, su+oniendo 8ue el +eso es+ec5*co del aire es constante e igual a 1.22 VgHcm 3 y 8ue el alor del coe*ciente del tu0o es %./ Solución= Para el manómetro di4erencial, 33

CP'>PADH R  C1%H1%%D C1%%%H1.22D  /2 m aire. Entonces,   %./ √ 19.6 ( 82 )   3.3 mHs

3.3.' 4u&o de ?uido

de+ósito tiene una densidad de %.- grHcm3. "onsiderando una densidad de 1.371%>3 grHcm3 +ara el aire en la 0om0a, calcular@ aD !a di4erencia de +resiones entre las +artes ancha y angosta, P, m5nima +ara elear el l58uido desde el de+ósito a una altura h. 0D !as elocidades m5nimas 1 y 2 entre las +artes ancha y estrecha de la 0om0a.

Solución inciso a% !a altura h 8ue su0e el l58uido desde el de+ósito está directamente relacionada con la di4erencia de +resiones entre la +arte ancha y estrecha de la 0om0a. $1% ! P= 1 2  g ! h

onde Z es la densidad del insecticida l58uido en el de+ósito. Entonces, 3

2

! P=750 3g / m  $ 9.8 m / s  $ 0.08 m=588 Pa =0.085 l/ / pulg

2

"omo +uede o0serarse la m5nima di4erencia de +resiones es su*ciente +ara su0ir el l58uido y me;clarse con el 6u)o de aire. Por esa ra;ón uno +uede sacar el l58uido de un re4resco con un +o+ote al hacer un +oco de ac5o con la 0oca.

Solución inciso &% Si eti8uetamos con el Bo. 1 a la +arte ancha y el 2 a la estrecha, la di4erencia de +resiones, de acuerdo con la ecuación de 'ernoulli es@ $'% 3/

1

! P= P 1− P2=  1 ( v2 −v 1 ) 2

2

2

e0ido a 8ue 1 y 2 son incógnitas, tenemos 8ue usar otra ecuación 8ue las contenga y esta es la ecuación de continuidad

$3%  A 1 v 1= A2 v 2

es+e)ando 1 de esta :ltima y sustituyendo en la anterior C2D o0tenemos@

$3% 2

2

v 1=

 A 2 2

 A1

2

 v 2

 F ! P=

1 2

(

2

2

1 v 2−

 A 2 2

 A1

2

)

1

 v 2 = 1 v 2 2

( ) 2

2

1

−

 A 2 2

 A 1

es+e)ando 2@ v 2=

√

2! P

( ) 2

 1air

−

1

 A 2 2

 A1

=

√

2 $ 588 Pa 1.3 3g

/m

3

(

1

−

0.003 0.025

4 4

)

=30 m / s

Para calcular 1 recurramos a la ecuación de continuidad C3D@ v 1=

 A 2  A1

2

v 2=

0.3

2

2.5

30 m

/ s =0.42 m / s = 42 cm / s

"omo +uede o0serarse de los resultados, la elocidad en la +arte estrecha de la tu0er5a, / 5, es tal 8ue la +resión de0e ser muy 0a)a y se +resenta el 4enómeno de caitación 8ue +ermite 8ue las gotas de l58uido se +ulericen. 3

Se de)a como e)ercicio +ara el alumno calcular la +resión en P1 y reco+ilar in4ormación so0re el 4enómeno de caitación de0ido a la 0a)a +resión en un tu0o de énturi.  rotámetros

Este instrumento es un medidor de caudal en tu0er5as con ca5das de +resión constante y de área aria0le. "onsiste de un 6otador 8ue 4unciona como indicador y se muea li0remente en el interior de un tu0o ertical cónico, el tu0o +osee un e7tremo angosto en la +arte in4erior. Por este e7tremo se encuentra la entrada del 6uido, cuando el 6u)o se actia, en ese momento el 6otador comien;a a 4uncionar hasta 8ue el área anular, entre la +ared del tu0o y el 6otador, sea tal 8ue la ca5da de +resión dentro del tu0o ertical sea su*ciente +ara e8uili0rar al 6otador. "uando se trata de +resiones 0a)as, el tu0o cónico es de idrio y +ara hacer mediciones cuando e7isten +resiones altas, el tu0o es de metal, este se encuentra graduado con una escala lineal. e+endiendo de la +osición en la 8ue se indi8ue 8ue se e8uili0re el 6otador, el caudal o gasto del 6uido en la tu0er5a será distinto. El 4undamento so0re el 4uncionamiento del rotámetro se 0asa en 8ue el em+u)e reali;ado es directamente +ro+orcional al des+la;amiento del ém0olo, 0asándose en el +rinci+io de Ar8u5medes 8ue dice@ KTodo cuer+o sumergido en un l58uido, e7+erimenta un em+u)e ertical y hacia arri0a al +eso del l58uido, desalo)ándoloL. !a altura en la 8ue se des+lace el 6otador será e8uialente a un determinado 6u)o. "uando a+arte del caudal es necesario conocer la elocidad del des+la;amiento, se +uede des+e)ar  en la 4órmula de la continuidad, la cual es@ OA, des+e)ando la elocidad, 8ueda@ OHA< en esta 4órmula, Ocaudal, elocidad, A[rea del rotámetro.

(%

C0NC(5SI@N En conclusión !a condición 4undamental 8ue de0e cum+lir un modelo hidráulico es la de re+roducir adecuadamente las condiciones naturales. Si se trata de estudiar una +resa deriador, +rimero de0e re+roducirse el r5o en un modelo hidráulico. El modelo es tam0ién un r5o y como tal de0e cum+lir las leyes de la hidráulica 6uial. Es más de0e re+roducirse correctamente el r5o 8ue estamos estudiando

(1