3.1 COLUMNAS

RESISTENCIA DE MATERIALES II

Mag. Ing. ALEJANDRO CRISPÍN GÓMEZ

INTRODUCCION Una columna es un elemento sometido a comprensión, lo suficientemente delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente rompa por flexión lateral o pandeo y no falle ante una carga mucho menor que la necesaria por aplastamiento. En este caso se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual aunque este cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna intermedia; se suele considerar que trabaja a compresión, si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se dividen en dos grupos, a veces los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo dentro de las columnas. Estos son: 

Columnas Largas: Fallan por pandeo o flexión lateral.



Columnas Intermedias: Fallan por combinación de aplastamiento y pandeo.



Elementos Cortos: Fallan por aplastamiento. TEORIA DE LA COLUMNA

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R = radio de giro de la sección recta con respecto a un eje de su centro de gravedad. L = longitud efectiva de la columna. Una columna ideal será un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente recta y sometida a una carga axial de compresión. Sin embargo las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. Con el propósito de visualizar, se representa ampliada en la figura.

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Fig. Nº

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Factores que intervienen en la excentricidad de las cargas en las columnas.

La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga da lugar a una excentricidad indeterminada e, respecto del centro de gravedad en una sección cualquiera m-n. Si la excentricidad es pequeña y el elemento

es corto la flexión lateral es

despreciable y la tensión flexión es insignificante comparada con la tensión de compresión directa. Sin embargo, un elemento largo, es mucho más flexible, ya que las flechas son proporcionales al cubo de la longitud. Con un valor pequeño de la carga P y una excentricidad, puede producirse una tensión de flexión grande, acompañada de una tensión de compresión despreciable. Así pues, una columna corta, soporta fundamentalmente el esfuerzo de comprensión; y una columna larga esta sometida principalmente a la tensión de flexión. LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS, CONSIDERANDO EL TIPO DE APOYO

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FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS En el año 1757 el matemático suizo Leonhar Euler, hizo un análisis teórico de la carga crítica, para columnas basada en la ecuación diferencial de la elástica:

Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo por compresión directo es despreciable y que esta nunca debe estar sometida a mayor carga, que aquella bajo la cual se inicia la acción de pandeo a esta carga se le llama carga crítica. Esta teoría de pandeo formulada por Euler se refiere a aquellas columnas en las cuales si cumplen las siguientes limitaciones: El material homogéneo e isotrópico. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud. La formula de Euler demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material sino de sus dimensiones y su limite elástico. Por este motivo dos barras de idénticas dimensiones una de acero de alta resistencia y otra de acero suave pandearan bajo la misma carga critica, aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así pues para aumentar la resistencia al pandeo interesa aumentar lo mas posible el momento de inercia de la sección.

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1. COLUMNAS EMPOTRADAS EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO

a = flecha máxima.

2) M = - P.x

1)

Multiplicando miembro a miembro por (dx):

Esta expresión se asemeja a la forma de integración siguiente: ∫um.du = u m+1 + C1 m+1 Integrando se obtiene: (dx/dy)2 = - Px2 + C1 2 2EI

Simplificando:

(dx/dy)2 = - Px2 + C1 EI

Cuando x = a → dx/dy = 0 5

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- Pa2 + C1 = 0 → C1 = EI

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Pa2 EI

(dx/dy)2 = -Px2 + Pa2 EI EI dx  dy

dx Px 2 Pa 2    dy EI EI

P  a2  x2 EI

Separando variables dx a2  x2



P .dy EI

Integrando se tiene:  x arcsen    a

 P   x . y  C 2     sen a  EI 

P .y  C2 EI

Cuando y = 0 → x = 0   x    sen a 

C2 = 0

P  .y  EI 

(α)

 x  asen 

P  .y  EI 

Esta ecuación viene a ser la ecuación de la curva elástica de la columna en función de la flecha máxima siendo dicha curva la representación de una curva sinusoidal.. Cuando x = xmax. = a → y = L En la Ecuación

(α)

 sen 

Entonces:

   

considerando, se obtiene la siguiente expresión:

P  .L   1 EI 

PL2 EI

 sen  

PL2 EI

 .  1  

  3 5 .  ó ó .....etc  2 2 2 

Puesto que se ha determinado el mínimo valor de P para producir pandeo entonces la expresión será la siguiente (el menor de todos)    

PL2 EI

  180 .    2 2 

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PL2 2  EI 4

P

 2 EI 4L2

Pcritico 

 2 EI 4L2

2. COLUMNAS EMPOTRADAS EN AMBOS EXTREMOS 4 2 EI P L2

3. COLUMNAS CON SUS EXTREMOS ARTICULADOS P

 2 EI L2

4. COLUMNAS EMPOTRADAS EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO

P

2 2 EI L2

Problemas Determinar la relación de esbeltez con respecto a los ejes X y Y de una columna de 20 pies de longitud articulada en la parte superior y empotrada en la base cuya sección transversal se muestra en la figura.

Datos N = 0.71 (Factor de seguridad) L = 240 pulg.

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R2 = I/A

A = 3(2 x 8)

Ix 

A = 48 pulg2

8x23 2 x8 3 8x23  8 x 2 x5 2   2 x8 x0 2   8 x 2 x5 3 12 12 12

Ix  896 pu lg 4

Iy 

2 x8 3 8x23 2 x8 3  8 x 2 x0 2   2 x8 x0 2   8 x 2 x0 2 12 12 12

Iy  176 pu lg 4

Rx 

Ix A

Ry 

Iy A

Rx 

Ry 

896 48

176 48

R x  4.32 pu lg

R y  1.91 pu lg

Reemplazando en la relación de esbeltez NL 0.71 2.40   39.44 Rx 4.32 NL 0.71 2.40   89.21 Ry 1.91

PROB.- Utilizando la fórmula de Euler determinar las dimensiones de la sección cuadrada de una columna de extremos articulados de madera de roble de 7.20 m de 8

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longitud, para que resista una carga axial de seguridad de 7900 Kg. utilizar un factor de seguridad de 8 y considerar E = 105500 Kg/cm 2. Justifíquese el uso de la fórmula de Euler demostrando que el esfuerzo en el límite de proporcionalidad es inferior al esfuerzo de fluencia cuyo valor es 302 Kg/cm2 Roble E = 105500 Kg/cm2  f  302 Kg / cm 2

1) Fórmula para columna articulada en sus extremos: P = carga critica P

 2 EI  39.44 L2

L = longitud total de la columna NL = (1)(L) = L

P = 8Ps

P = 7900(8)

P = 63200 Kg

Calculo de I I = Ix = Iy =

b4 12

Remplazando valores  b4   2 x105500   12  63200  2 720 b  24.79cm

USE: 25 cm. Aproximado ≈ 10 pulg.

P  2 EI 2)  p  CRIT  2 A L xA

 b4   2 E    12  p  2 L xb 2

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p 

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 2 x105500 x 24.79 2 12 x7.20 2

 p  102.86 Kg / cm 2

 p   f = 302 Kg./cm2.

Luego:

PROB.- Determinar la mínima relación de esbeltez, para que pueda usarse la formula de Euler en una columna articulada en ambos extremos; la columna es de acero, cuya limite de proporcionalidad es 2531 Kg/cm 2 y un E = 2.1 x 106 Kg/cm2, si los extremos fuera uno empotrado y el otro articulado. Solución: L ? R

Extremos articulados ; P

 p  2531Kg / cm 2

E = 2.1 x 106 Kg/cm2

 2 EI L2 P A

p 

Pero:

p 

R

 2 EI L2 A

I I  R2   I  A R2 A A

 2 ER 2 L2

L  R

p 

Reemplazando

2.1x10 6 2531

2

 2E L    p R

L  R

 2E p

L  90.49 R

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