306302693-2n-batxillerat-Solucionari-Matematiques-Aplicades-a-Les-Ciencies-Socials-Edebe.pdf

LG.MatesSocialsII_TX.CAT 3/6/09 10:45 P gina 1

Composici n

CM

MY

CY CMY

K

edebé

Y

Matemàtiques II

Orientacions i solucionari

aplicades a les Ciències Socials

BATXILLERAT

M

INCLOU GUIA PER AL TREBALL DE RECERCA

Matemàtiques II aplicades a les Ciències Socials

Orientacions i solucionari

BATXILLERAT

BATXILLERAT

www.edebe.com

edebé

,!7I 4C3-gjfcbi!

Orientacions i solucionari

edebé

Matemàtiques II

aplicades a les Ciències Socials

C

Matèria de

Matemàtiques II aplicades a les Ciències Socials Orientacions i solucionari

BATXILLERAT Modalitat d’Humanitats i Ciències Socials Segon curs de Batxillerat Projecte i edició: grup edebé Direcció Direcció Direcció Direcció Direcció Direcció

general: Antoni Garrido González editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas d’edició de text: Maria Banal Martínez de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat pedagògica: Santiago Centelles Cervera de producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé: Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras Il·lustració: Robert Maas Olives Correcció: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo Coberta: Lluís Vilardell Panicot Col·laboradors: Text: Josep Anguera Llop, Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya Preimpressió: Tecfa

Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions i normes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorització dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei. Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar cap fragment d’aquesta obra.

És propietat de grup edebé © grup edebé, 2009 Passeig Sant Joan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com ISBN 978-84-236-9521-8 Dipòsit Legal. B. 26.751-2009 Imprès a Espanya Printed in Spain Tecfoto, S.L.

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

27/5/09

11:34

Página 1

BATXILLERAT Orientacions i solucionari

aplicades a les Ciències Socials

Matemàtiques II Matemàtiques II aplicades a les Ciències Socials Orientacions i solucionari

BATXILLERAT

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

27/5/09

11:34

Página 1 C M Y K

Matèria de

Matemàtiques II aplicades a les Ciències Socials Orientacions i solucionari

BATXILLERAT Modalitat d’Humanitats i Ciències Socials Segon curs de Batxillerat Projecte i edició: grup edebé Direcció Direcció Direcció Direcció Direcció Direcció

general: Antoni Garrido González editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas d’edició de text: Maria Banal Martínez de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat pedagògica: Santiago Centelles Cervera de producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé: Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras Il·lustració: Robert Maas Olives Correcció: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo Coberta: Lluís Vilardell Panicot Col·laboradors: Text: Josep Anguera Llop, Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya Preimpressió: Tecfa

Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions i normes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorització dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei. Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar cap fragment d’aquesta obra.

És propietat de grup edebé © grup edebé, 2009 Passeig Sant Joan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com ISBN 978-84-236-9521-8 Dipòsit Legal. B. 26.751-2009 Imprès a Espanya Printed in Spain Tecfoto, S.L.

11:34

Página 2

11:34

27/5/09

27/5/09

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

Página 2

C M Y K

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

27/5/09

11:34

Página 3

ÍNDEX

3 Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Anàlisi II Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Unitat 7. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Anàlisi I Unitat 6. Programació lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitat 5. Sistemes d’equacions lineals II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitat 4. Sistemes d’equacions lineals I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitat 3. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 65 48 34

Àlgebra lineal Unitat 2. Rectes en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitat 1. Vectors del pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 11

Geometria

Solucionari

.............................................

Orientacions didàctiques

..............................

9 5

ÍNDEX

..............................

5

.............................................

9

Unitat 1. Vectors del pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Unitat 2. Rectes en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Solucionari Geometria

Àlgebra lineal Unitat 3. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Unitat 4. Sistemes d’equacions lineals I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Unitat 5. Sistemes d’equacions lineals II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Unitat 6. Programació lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Anàlisi I Unitat 7. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Anàlisi II Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

3

Index/LG_MATES_CCSSII_CAT

27/5/09

11:34

Página 3 C M Y K

Orientacions didàctiques

11:46

Página 4

11:46

26/5/09

26/5/09

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

Página 4

C M Y K

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:46

Página 5

5

Orientacions didàctiques

• Les activitats (qüestions, exercicis i problemes). • El resum. • La resolució d’exercicis i problemes. • El desenvolupament dels continguts. • Les pàgines inicials. En l’Estructura de les unitats es presenten i es justifiquen els diversos elements que componen cada unitat i se’n mostra la utilitat educativa de:

En les pàgines següents s’inclouen una sèrie d’orientacions didàctiques referides, en general, a l’estructura del llibre de l’alumne i, en especial, a les unitats que el formen.

• L’índex alfabètic.

En l’Estructura del llibre de l’alumne es presenta i es justifica la utilitat didàctica de: • L’organització en blocs de les unitats. • Les pàgines de presentació de cada bloc. • Les pàgines d’introducció històrica. • Les pàgines de Matemàtiques i societat. • Les estratègies de resolució de problemes. • Les propostes d’avaluació. • L’índex alfabètic. En l’Estructura de les unitats es presenten i es justifiquen els diversos elements que componen cada unitat i se’n mostra la utilitat educativa de:

• Les propostes d’avaluació. • Les estratègies de resolució de problemes. • Les pàgines de Matemàtiques i societat. • Les pàgines d’introducció històrica. • Les pàgines de presentació de cada bloc. • L’organització en blocs de les unitats. En l’Estructura del llibre de l’alumne es presenta i es justifica la utilitat didàctica de: En les pàgines següents s’inclouen una sèrie d’orientacions didàctiques referides, en general, a l’estructura del llibre de l’alumne i, en especial, a les unitats que el formen.

• Les pàgines inicials. • El desenvolupament dels continguts. • La resolució d’exercicis i problemes. • El resum. • Les activitats (qüestions, exercicis i problemes).

Orientacions didàctiques 5

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:46

Página 5 C M Y K

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

Página 6

6

Estructura del llibre de l’alumne

COM ÉS AQUEST LLIBR E Els continguts d’aques t llibre estan estructu unitats agrupades en quatre blocs: Geome rats en tria, Àlgebra lineal, Anàlisi I i Anàlisi II. Cada bloc s’inicia amb una doble pàgina en la qual es fa referència al context històric en què han principals conceptes sorgit els matemàtics, i s’esmen ten els científics més destaca ts que han contribu ït al seu desenvolupament.

• Pàgines inicials

•—

• Resum i activita ts Cada unitat finalitza amb un resum i una proposta d’activitats. • — El resum recull els continguts que hem de recordar. •

Cada bloc finalitza amb Matemàtiques i societat una doble pàgina titulada en la qual es presente ses informacions per n divertal de captar la relació que existeix entre les matemàtiques i les ciències socials.

ESTRUCTURA DE LES UNITATS Una imatge acompa nyada d’un breu text motivador ens mostra la presència de les matemà tiques en diversos àmbits de la vida.

— Les activitats recullen una proposta de qüestions (per a consolidar els continguts concept uals), d’exercicis (corresponents a cadascun dels apartats de la unitat, ordenat s de menys a més dificultat), i una llista de problem es (també ordenat s en ordre creixent de dificulta t). També se n’indica la solució si és numèrica.

ESTRATÈGIES DE RESOLU CIÓ

DE PROBLEMES

La resolució de problem es llibre. Per tal de facilitar és present al llarg de tot el aquesta tasca s’ofereix resum de les estratèg un ies més utilitzades.

— Els objectius ens presenten les capacita ts que l’alumne/a haurà d’assolir . — Un esquema mostra l’organització dels continguts de la unitat.

5

DESCOMPOSICIÓ DEL

PROBLEMA

De vegades és difícil de veure la relació que hi ha entre les dades i les incògnites del problema. En aquests casos, una de les estratègies que ofereix més possibilitats d’èxit és la descomposició del problema en problemes més senzills. Per a aplicar-la, has de seguir aquests passos: — Descompondre el problema inicial en subproblemes, sense perdre de vista les relacions que hi ha entre ells. — Resoldre cadascun dels subproblemes. — Resoldre el problema inicial. De vegades, la solució del problema global coincidirà amb la del darrer subproblema. D’altres vegades, caldrà combinar els resultats dels diferents subproblemes per tal de trobar-la.

— En la preparació de la unitat trobarem definicions, exemples i activitat s que tenen com a finalitat recordar els contingu ts necessaris per a abordar la unitat. • Desenvolupament

9

PARTICULARITZACIÓ

El llibre s’inicia amb una pàgina de presentació, titulada Com és aquest llibre, en la qual es descriu a l’alumne/a la manera com s’organitza el material didàctic. El contingut del llibre està estructurat en 12 unitats, agrupades en quatre blocs.

MODIFICACIÓ DE L’ENUNCIAT

De vegades es pot modificar l’enunciat d’un problema de manera que n’obtinguem un altre d’equivalent la resolució del qual sigui més fàcil.

11 DEL PROBLEMA

RECERCA D’UN CONTRAEXEMPLE

Aquesta estratègia s’utilitza per a demostrar sedat d’un enunciat la falmatemàtic. Com que un enunciat expressat de manera general s’ha de complir sempre, si en un cas particular (contraexemple) es compleix, l’enunciat no ja no és vàlid.

En casos complexos pot resultar d’una gran utilitat resoldre primerament el problema per a situacions particulars més senzilles.

8

RECERCA D’UN PROBLEMA SIMILAR RESOLT Aquesta estratègia consisteix en la recerca de semblances entre el problema que es pretén de dre, o bé una part resold’aquest problema, i un altre de resolt anteriorment.

Lògicament, com més problemes hagis resolt riorment, més útil et anteresultarà aquesta estratègia, que augmentarà la ja probabilitat de trobar un problema similar.

10

6

SIMPLIFICACIÓ I RECERCA DE REGULARITATS De vegades, la simplificació de les dades o de condicions del problema les proporciona un nou de vista per a la seva punt resolució. Molts cops, nou punt de vista aquest sorgeix de l’existència de regularitats que restaven amagades abans d’efectuar la simplificació.

7

de la unitat

— Els continguts estan estructu rats en apartats i subapar tats. Per a desenvolupar-los es parteix, sempre que sigui possible , arribar al desenvolupamen d’una situació real per a t formal del contingu t. — El desenvolupamen t d’un contingut acostum finalitzar amb un o a a diversos exemples en què podem veure com s’aplica. —

Bloc

EXPERIMENTACIÓ AMB LA POSSIBLE SOLUCIÓ

Aquest mètode, molt útil en geometria, consisteix suposar una possible a solució del problema se’ns planteja i verificar que que satisfà les condicions de l’enunciat.

12

En cas afirmatiu, ja hem resolt el problema. cas que no sigui així, En el és possible que hàgim una pista que ens trobat condueixi a la solució correcta.

Unitats

Inici

REDUCCIÓ A L’ABSURD Aquesta estratègia s’utilitza per a demostrar macions. Consisteix afira suposar la falsedat del es vol demostrar i arribar d’aquesta manera que contradicció. a una

273

PROPOSTES D’AVALU ACIÓ Al final del llibre s’ofereix una proposta d’avalu de les unitats amb ació exercicis i problem es tipus de les proves de selectivi tat per tal de comprov ar les capacitats desenvolupades .

Al final de cada apartat organitzades de menys es proposen activitats, a consolidar els contingu més dificultat, per tal de ts, tant conceptuals procedimentals. com

Geometria

2 unitats

Pàg. 4

PROPOSTES D’AVALUACIÓ

— En els marges s’inclouen explica cions complementàries que faciliten el procés d’aprene ntatge: conceptes o procedim ents apresos anterior crides d’atenció ment, o observacions addicionals, enllaços a Internet , ús de la calculadora, biografies, notes històriques…

Programació lineal 1 Resol gràficament el següent cions, explicant detalladament sistema d’inequa-

«Entre tots dos tenim de 120 €, però si a més tots dos ens treuen la meitat del que té l’altre (i això és possible), ens quedarem amb menys de 100 €».

següents: x + y ≤ 10 ⎫ 3 x − y ≥ −2 ⎪ ⎪ x − 4y ≤ 0 ⎪ ⎬ x ≥ 0 ⎪ ⎪ y ≥ 0 ⎪

7

Àlgebra lineal

6 Una empresa fabrica dos models diferents d’un mateix producte: l’STAR

els diferents passos

del procés seguit.

4 x − 2 y ≥ 8⎫ 5 x + y ≤ 10 ⎬ ⎭ Indica quins punts dels eixos de coordenades solucions del sistema. són

2 En Joan diu a en Josep:

Representa la regió de solucions factibles a la pregunta: quants diners té cadascun? Dóna una possible solució a aquesta pregunta.

3 Maximitza i minimitza la funció f (x, y) = 2 x − 4 y, subjecta a les restriccions

i el POOM. Cada setmana ha de fabricar com a mínim 30 000 unitats STAR i 800 unitats de de POOM, per la qual cosa ha de mecanitzar el procés de producció. Pot escollir entre dos tipus de màquines: produeixen setmanalment amb la màquina A es 300 unitats de STAR només 4 de POOM; i en canvi, la màquina produir en el mateix B pot període de temps 100 unitats de STAR i 8 de POOM. Si sabem que la màquina A costa el doble que la màquina B, quina és la inversió que resulta més econòmica a l’empresa?

4 unitats

Pàg. 42

Una constructora disposa de 60 000 2 m disponibles per a urbanitzar. Decideix construir dos tipus d’habitatges: els uns, en parcel·les de 200 2 preu de venda dels m , el quals altres, de més qualitat, serà de 300 000 €; i els en parcel·les de 300 2 que costaran 400.000 m, €. Els habitatges del primer tipus estan pensats per a un màxim de 5 habitants i els del segon per a un màxim de 4.

L’Ajuntament li imposa dues condicions: 1) el nombre de cases no pot superar les 225; 2) el nombre d’habitants esperat no pot sobrepassar el miler. Quants habitatges de cada tipus s’han de construir per a maximitzar els ingressos de venda?

⎭ 4 Una fàbrica de mobles produeix taules i cadires. Per a fabricar una taula

8 El pentàgon limitat pels

es requereixen 5 hores feina i 20 kg de fusta. de Per a fabricar una s’empren 10 hores cadira de feina, 8 kg de fusta i 1 m de tela. En la secció hi ha 6 treballadors que tenen una jornada laboral de 8 hores diàries i en el magatzem hi ha 320 kg de fusta i 30 m de tela.

vèrtexs (0, 0), (0, 6), (5, 3) i (6, 0) correspon (3, 5), a la regió factible d’un blema de programació prolineal en què maximitzem funció objectiu z = la a x + 3 y (a ≥ 0). a) Indica la solució (o solucions) en funció del paràmetre a. b) Quina és la solució per a a = 4? Per a quins valors de a la solució està en (0, 6)?

Si per la venda d’una taula s’obté un benefici 90 € i per la venda de d’una cadira, 50 €, quantes taules i quantes cadires s’han de fabricar durant els pròxims 5 dies perquè el benefici sigui màxim? na influència té la Quitela disponible en aquesta decisió?

Anàlisi I

9 Un curs de 30 alumnes dina en un restaurant durant el viatge de fi de curs. El cuiner prepara una ració d’espaguetis per a cadascun. Alguns mengen només la meitat de la ració, ta se la menja completa. d’altres un terç i la resdels espaguetis servits. Al final sobra la meitat Suposant que el grup lumnes que en menja d’ala meitat és com a mínim el doble del grup que menja és el nombre d’alumnes la ració completa, quin de cada grup?

5 Un treballador dedica part

de la seva jornada ral al repartiment de laborevistes especialitzades. presa BOOK li paga L’em0,1 € per cada exemplar repartit, mentre que l’empresa WARGAMER paga a 0,05 € l’exemplar. li El treballador ha repartir com a mínim 30 exemplars de BOOK, de el nombre total d’exemplars però d’aquesta revista mai no ha de ser superior al doble dels exemplars l’altra. de

Finalment, s’inclou un índex alfabètic en què es referencien els continguts més importants que s’han tractat al llarg de les unitats. L’alumne podrà comprovar el desenvolupament de les seves capacitats amb les Propostes d’avaluació.

10 Donat el sistema d’inequacions

3 unitats

Pàg. 134

següent:

enteres.

6. Programació lineal

279

Anàlisi II

3 unitats

Pàg. 198

d’equacions següen t: ⎛m 1 1⎞ b) ⎜ 1 m 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 1 m ⎠⎟

x + 2 y ≤ 8⎫ x + y ≥ 5 ⎬⎪ x − 5 y ≤ 0⎪ ⎭

x + (k + 1) y = 1 ⎫ k x + 2 y = −2 ⎬ ⎭ a) Discuteix el sistema segons els valors metre k. del paràb) Resol-lo per als valors de k que el fan compatible (determinat i indeterminat).

10 Consid era el sistema

a) Troba, aplican t determinants, els valors de k per als quals el sistema no és compatible nat. determib) Determina el valor de k per al qual el valor de és 2. En aquest x cas, calcula també els valors de y i z. cions següent: t aplicant la regla de Cra-

8 Resol el sistema següen

⎛ 1 6 10 1 ⎞ d) ⎜ 5 −m −1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 1 m 1⎟ ⎠

⎛m 1 1 1⎞ ⎜1 m 1 1⎟ c) ⎜ ⎜ 1 1 m 1 ⎟⎟ ⎜ ⎝ 1 1 1 m ⎠⎟ ⎛m 1⎞ a) ⎜ ⎝ 1 m ⎠⎟

les matrius següen valor del paràme ts segons el tre m:

7 Esbrina el rang de

UNITAT 5

Al final del llibre, sota el títol d’Estratègies de resolució de problemes, es presenta un resum de les principals estratègies de resolució de problemes. La seva finalitat és servir de refèrencia per a la resolució de problemes al llarg de les unitats.

a) Resol-lo gràficament. b) Troba totes les solucions

5. Sistemes d’equac ions lineals II valors de k es pot invertir la inant següent:

t el teorema de ché-Frobenius, i Rouresol-lo mitjançant la regla de Cramer en el cas que sigui compatible determinat. x + y + kz = k ⎫ kx + ky + z = ⎪ 1⎬ x + ky + z = k⎪ ⎭

6 Discute ix, en funció del paràmetre k, el d’equacions següen sistema t, aplican

Si pot repartir un màxim de 148 exemplars dia, esbrina quantes cada revistes de cada empresa de repartir perquè ha el benefici sigui màxim.

ORGANITZACIÓ DE LA INFORMACIÓ RAONAMENT INVERS

x + y + z = 5 ⎫ 2x + 3y + z = ⎪ 3⎬ k x + 10 y + 4 z = 2 ⎭⎪

9 Donat el sistema d’equa

x + y + z =1 ⎫ x − 2y + 3z = ⎪ 2⎬ x + z = 5⎪ ⎭ mer:

següents:

1 1 1 a b c b +c c +a a +b

lineals II

• Resoluc ió d’exerc icis i problemes Es resolen de manera dirigida una sèrie d’exerci problemes model. cis i A continuació, se’n proposen altres de similars, i se n’indica la solució si és numèrica.

278 En molts problemes, la realització d’un esquema o taula sobre els quals disposarem les condicions i les dades de l’enunciat et pot obrir el camí per a emprendre’n la resolució.

matriu següent:

4 Determ ina per a quins A =

2 Troba el valor del determ

5 −4 ⎞ 3 −3 ⎟ ⎟ 2 2⎟ 3 −3 ⎠⎟

de les matrius següen ts:

Sistemes d’equacion s

2

Estratègies de resolució de problemes

4

−3 x + y + 2 z = 1 ⎫ x + 5y − z = 4 ⎪ ⎬ −4 x − 2 y + 3 z = −1⎭⎪

5 Resol el sistema d’equa cions següent aplican regla de Crame t la r.

ASSAIG-ERROR RESOLUCIÓ GRÀFICA

3

— Execució del pla de resolució: duem a terme el que hem preparat en la fase anterior.

Es demana:

• Analitza si hi ha informació supèrflua. En cas afirmatiu, elimina-la.

⎛ 1 1 −2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −6⎞ ⎛x⎞ A = ⎜ 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ B = ⎜ 2⎟ , C = ⎜ −11⎟ , X = ⎜ y ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 3 −9⎠⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ k ⎠⎟ ⎝⎜ m ⎠⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟

• Anota les dades de què disposes. Et pot ser útil col.locar-les en forma de taula o bé elaborar un dibuix i anotar-les-hi.

3 Donad es les matrius

• Llegeix-lo atentament per a evitar de saltar-te informació i per a observar-hi possibles ambigüitats. A més de la pauta general, has de tenir en compte els consells següents, que t’ajudaran a comprendre l’enunciat:

⎛ 1 −2 ⎛ 2 −1 5⎞ ⎜ A = ⎜ −3 2 4 2⎟ ; B = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 ⎝⎜ −4 −2 1⎠⎟ ⎜ ⎝ 1 −1

— Revisió del resultat i del procés seguit: interpretem les possibles solucions, contextualitzem els resultats, reflexionem sobre el procés, revisem i/o modifiquem el pla, si s’escau, i estudiem altres possibles solucions i plans alternatius.

1 Calcula el determinant

UNITAT 6

272

— Modifiquem la solució triada en funció del resultat obtingut i repetim el procés fins que obtinguem la solució correcta. — Provem si aquesta solució satisfà les condicions del problema. — Triem una possible solució. Aquesta estratègia consisteix a experimentar amb possibles solucions fins que trobem la correcta. Per a fer-ho seguim aquests passos:

2

⎛ 1 k 0⎞ A = ⎜0 0 k ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ k 4 0 ⎠⎟ En el cas que sigui possible, calcula la matriu inversa si k = 4.

El mètode consisteix a prendre el resultat com a punt de partida i anar retrocedint fins que arribem a la situació inicial. Aquesta estratègia s’aplica en la resolució de problemes dels quals coneixem el resultat final i volem determinar un valor inicial o una sèrie d’operacions que ens hi condueixin.

Moltes vegades, la construcció d’un gràfic que reflecteixi les condicions i les dades de l’enunciat condueix directament a la solució del problema.

1

a) Determina els valors AX = B sigui incomp de k perquè el sistema atible. b) Determina els valors AX = C sigui compa de m perquè el sistema tible. c) Per a k = 3 i m = −13, estudia el sistema AX = B + C. Si és possible, resol-lo . En cas contrari, justifica per què.

A continuació et presentem algunes de les estratègies de resolució de problemes més comunes. En les pàgines 297 a 301 del teu llibre de primer de Batxillerat tens un exemple resolt de cadascuna.

— Planificació de la resolució: elaborem conjectures i seleccionem l’estratègia de resolució, així com les tècniques matemàtiques que utilitzarem. — Comprensió de l’enunciat: ens aproximem al problema, n’identifiquem tots els termes, organitzem les dades que hi apareixen i dibuixem les que són susceptibles de representació.

• Repassa els conceptes matemàtics que intervenen en l’enunciat.

Cada problema pot ser considerat com un repte i un mitjà eficaç per a aprendre a pensar. Les persones, dins i fora de l’àmbit escolar, utilitzem diversos procediments per a resoldre els problemes. Existeix, tanmateix, un mètode general de resolució de problemes que et pot servir de pauta per a resoldre’n molts. Les seves fases són: La resolució de problemes permet de posar en pràctica els coneixements adquirits dins de la matèria de Matemàtiques. Però també és una finalitat en ella mateixa, ja que permet d’afrontar i de resoldre nombroses situacions tant d’altres matèries (Física, Economia...) com de la realitat quotidiana.

ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

PROPOSTA D’AVAL UACIÓ 30/3/

22

16

17

18

19

20

23

24

25

26

27

28

29

30

31

A

21

15 12 9 7

1

2

5

10

13

14

11

8

6

3

32 31

30 29

28

27

26

25

24

23

22

21 20

17

16

15

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

B 1

MATEMÀTIQUES I SOCIETAT

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

B

T_132_135.qxd tCSII(AnalI)_CA

Corbes bressades per rectes

4

C

18

14

19

ANÀLISI I

Al llarg d’aquest llibre hem utilitzat mètodes de representació gràfica de funcions basats en l’estudi d’asímptotes, de màxims i mínims... Hi ha, tanmateix, altres tipus de representació de funcions molt més geomètrics, als quals el matemàtic i filòsof alemany G.W. Leibniz (1646-1716) va dedicar un profund tractat el 1692. En aquest estudi, Leibniz va enunciar una regla, que duu el seu nom, per a obtenir l’evolvent d’una família de corbes planes que depenen d’un paràmetre.

19

Suposem, per exemple, que tracem dos segments concurrents AC i CB i els dividim cadascun en 32 parts iguals, tal com es veu en la figura de la dreta. Si unim el punt 31 del segment AC amb el punt 31 del segment CB, el 30 amb el 30, el 29 amb el 29 i així successivament, haurem construït una paràbola com a evolvent de rectes. Si generalitzem aquest procediment a tres dimensions, també podem construir superfícies corbes tridimensionals utilitzant bigues rectes, com en l’edifici de la imatge de la dreta, que té forma d’hiperboloide.

• E (p ) = −1, el preu es modifica proporcionalment a la demanda (demanda d’elasticitat unitària).

22

Cada bloc s’inicia amb una doble pàgina en què es fa referència al context històric en què han sorgit els principals conceptes matemàtics i als científics que han contribuït al seu progrés.

Elasticitat de la demanda

• E (p ) < −1, la demanda varia relativament més que el preu (demanda inelàstica). • E ( p ) > − 1, la demanda va r ia relativament menys que el preu (demanda elàstica).

23

21

30

134

1

Després d’aquesta introducció es desenvolupen les unitats corresponents a cada bloc.

Sabem que la demanda, D, és funció del preu, p, i que en general a major preu correspon una demanda menor. L’elasticitat de la demanda és una funció E (p ) que expressa la variació relativa de la demanda respecte del preu, és a dir, que ens diu si la demanda reacciona davant d’un augment de preus amb un increment considerable o no. El seu signe acostuma a ser negatiu, ja que preu i demanda varien en sentits oposats. Donada D (p ), la funció de la demanda respecte del preu, i si la variació del preu és prou petita, es pot demostrar que l’elasticitat val aproximadament: p E (p ) = D ′(p ) ⋅ D (p )

24

Segons el valor de E (p ), les corbes de demanda poden presentar pendent negatiu major, menor o igual a −1, i això permet de distingir:

25

270

26

tic.

p D (p ) 27

GRÈCIA í clàssi ca exerc ORÍGENS La cultura grega en és ima influència rigoró s de funció una impor tantíss El conce pte de funAquesta influèn ntal. fins i tot la idea el món occide que explica molt recent, i ó explíc ita entre és un dels factors cia pte ció com a relaci . ució del conce és força actual la manca d’evol l’Edat dues variables ben entrada utide funció fins unes funcions Hi ha, tanmateix, relaModerna. molt antic, les se En litzades des de es gregu es l’astr onom ia. Les matem àtiqu i la ciona des amb civilitzala geom etria, te destacà la centr aren en aquest aspec à els fenòmens seva ciència estudi punt de vista ció babilònica. d’un relació sobre tot des troa causa de la doncs, només les Probablement qualitatiu. Així, lligai l’astrologia, dels planetes entre variables entre l’astronomia òmiques es van Mapa celeste bem relacions eu. astron astronòmics. segons Ptolem deobservacions des a problemes intentar de predir màxiutilitzar per a IQUES s assoliren la DADES EMPÍR eniments. Aquests estudi PtoMitterminats esdev l’Almagest de s durant l’Edat babilonis ma precisió en el objectiu, els Les matemàtique arribà a introàtiAmb aquest (s. II), en què com a referència lemeu vacions sistem jana tingueren pels àrabs, que efectuaren obser periòduir la funció sinus. desenvolupat os fenòmens el treball ques de divers notab lemen t dades ni aquestes fund’enllaçar les s, van increm entar No obstant això, els treballs sodics i tractaren ns considerade ni çant relac ions di i nombre de funcio cions tabulades recol lides mitjan més de l’anotamètodes d’estu dur, pel que semAixí, a van millorar els sistebre corbes van aritmètiques. de consid eració perfeccionar els empíriques, efecció van ampliar i bla, a cap tipus le o ció de les dades mitjançant la inó per a la tabula la idea de variab cions mes d’interpolaci general sobre tuaren predic de les l’extra polac ió de funcions. de funció. terpo lació i hi haes pot dir que Tanmateix, no dades recollides. el seu substancial en gués un canvi indicis que no hi ha tractament, ja ar cap que es va avanç per a pensar . general de funció a un concepte la mà nt va venir de L’avenç següe ens tatiu dels fenòm de l’estudi quanti van inits treballs es naturals. Aques van segle XII, però ciar a partir del ment el desenvolupa e haver d’esperar algèbric i del mètod e del simbolisme períod assolir el seu científic per a més fecund. es poXVII, una funció sió Fins al segle nt una expres dia introduir utilitza gràfica i, fins i una verbal, una taula, minat s s casos deter àtot, en algun de caràcter cinem una comparació

E (p ) = D ′(p ) ⋅

• E ( p ) > − 1, la demanda va r ia relativament menys que el preu (demanda elàstica). • E (p ) = −1, el preu es modifica proporcionalment a la demanda (demanda d’elasticitat unitària). • E (p ) < −1, la demanda varia relativament més que el preu (demanda inelàstica).

Elasticitat de la demanda 28

s i les ent dels planete els ne observat el movim l’ésser humà ha que l’ha dut a intentar de predirimmemorials, ió Des de temps poder de predicc ha atribuït un estrelles. I els moviments...

270 Segons el valor de E (p ), les corbes de demanda poden presentar pendent negatiu major, menor o igual a −1, i això permet de distingir:

dament:

Sabem que la demanda, D, és funció del preu, p, i que en general a major preu correspon una demanda menor. L’elasticitat de la demanda és una funció E (p ) que expressa la variació relativa de la demanda respecte del preu, és a dir, que ens diu si la demanda reacciona davant d’un augment de preus amb un increment considerable o no. El seu signe acostuma a ser negatiu, ja que preu i demanda varien en sentits oposats. Donada D (p ), la funció de la demanda respecte del preu, i si la variació del preu és prou petita, es pot demostrar que l’elasticitat val aproxima-

20 29 31 32

C

Cada bloc conclou amb la presentació de diverses informacions que, sota el títol de Matemàtiques i societat, permeten de captar les relacions que hi ha entre les Matemàtiques i les Ciències Socials.

immem ió que l’ha Des de temps poder de predicc ha atribuït un estrelles. I els moviments...

Després d’aquesta introducció es desenvolupen les unitats corresponents a cada bloc.

GRÈCIA

Suposem, per exemple, que tracem dos segments concurrents AC i CB i els dividim cadascun en 32 parts iguals, tal com es veu en la figura de la dreta. Si unim el punt 31 del segment AC amb el punt 31 del segment CB, el 30 amb el 30, el 29 amb el 29 i així successivament, haurem construït una paràbola com a evolvent de rectes. Si generalitzem aquest procediment a tres dimensions, també podem construir superfícies corbes tridimensionals utilitzant bigues rectes, com en l’edifici de la imatge de la dreta, que té forma d’hiperboloide.

Al llarg d’aquest llibre hem utilitzat mètodes de representació gràfica de funcions basats en l’estudi d’asímptotes, de màxims i mínims... Hi ha, tanmateix, altres tipus de representació de funcions molt més geomètrics, als quals el matemàtic i filòsof alemany G.W. Leibniz (1646-1716) va dedicar un profund tractat el 1692. En aquest estudi, Leibniz va enunciar una regla, que duu el seu nom, per a obtenir l’evolvent d’una família de corbes planes que depenen d’un paràmetre.

ANÀLISI I

MATEMÀTIQUES I SOCIETAT

134

Cada bloc conclou amb la presentació de diverses informacions que, sota el títol de Matemàtiques i societat, permeten de captar les relacions que hi ha entre les Matemàtiques i les Ciències Socials.

í clàssi ca exerc ORÍGENS La cultura grega en és ima influència rigoró s de funció una impor tantíss influènEl conce pte de funntal. Aquesta fins i tot la idea el món occide que explica molt recent, i ó explíc ita entre és un dels factors relaci cia a pte com conce ció . ució del és força actual la manca d’evol l’Edat dues variables ben entrada utide funció fins unes funcions Hi ha, tanmateix, relaModerna. molt antic, les se En litzades des de es gregu es l’astr onom ia. Les matem àtiqu i la ciona des amb civilitzala geom etria, te destacà la centr aren en ens fenòm aquest aspec à els seva ciència estudi punt de vista ció babilònica. d’un relació sobre tot des a causa de la , només troProbablement tiu. Així, doncs logia, les qualita l’astro lligai dels planetes entre variables entre l’astronomia òmiques es van Mapa celeste bem relacions eu. astron astronòmics. segons Ptolem deobservacions des a problemes intentar de predir màxiutilitzar per a IQUES s assoliren la DADES EMPÍR eniments. Aquests estudi Mitest de Ptoterminats esdev Almag l’ en nis ió s durant l’Edat babilo ma precis el objectiu, els Les matemàtique arribà a introAmb aquest (s. II), en què com a referència sistemàtiren s lemeu tingue vacion jana pels àrabs, que efectuaren obser periòduir la funció sinus. desenvolupat os fenòmens el treball divers funde tes ques notab lemen t dades ni aques d’enllaçar les van increm entar No obstant això, els treballs soerades, consid dics i tractaren ions ns ni relac funcio çant nombre de cions tabulades d’estudi i recol lides mitjan més de l’anotadur, pel que semr els mètodes van a millora corbes Així, van . sistebre aritmètiques de consid eració perfeccionar els empíriques, efecció van ampliar i bla, a cap tipus le o tabula la a variab ció de les dades mitjançant la inper de ó la idea cions mes d’interpolaci general sobre tuaren predic de les l’extra polac ió de funcions. de funció. terpo lació i hi haes pot dir que Tanmateix, no dades recollides. el seu substancial en gués un canvi indicis que no hi ha tractament, ja ar cap que es va avanç per a pensar al de funció. gener pte conce a un la mà nt va venir de L’avenç següe ens tatiu dels fenòm de l’estudi quanti van inies s ts treball naturals. Aques van segle XII, però ciar a partir del ment el desenvolupa e haver d’esperar algèbric i del mètod e del simbolisme períod seu el r assoli científic per a . més fecund pouna funció es , XVII segle sió Fins al nt una expres dia introduir utilitza gràfica i, fins i una verbal, una taula, minat s s casos deter àtot, en algun de caràcter cinem i les una comparació dels planetes at el moviment els r de predir-ne humà ha observ tic. intenta l’ésser a dut orials,

Cada bloc s’inicia amb una doble pàgina en què es fa referència al context històric en què han sorgit els principals conceptes matemàtics i als científics que han contribuït al seu progrés.

T_132_135.qxd tCSII(AnalI)_CA

2

3 4

5

6 7

8 9

10

11 12

13

14 15 16

17

18

19

20

Corbes bressades per rectes

21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

A

30/3/

PROPOSTA D’AVAL UACIÓ

ESTRATÈGIES DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES La resolució de problemes permet de posar en pràctica els coneixements adquirits dins de la matèria de Matemàtiques. Però també és una finalitat en ella mateixa, ja que permet d’afrontar i de resoldre nombroses situacions tant d’altres matèries (Física, Economia...) com de la realitat quotidiana. Cada problema pot ser considerat com un repte i un mitjà eficaç per a aprendre a pensar. Les persones, dins i fora de l’àmbit escolar, utilitzem diversos procediments per a resoldre els problemes. Existeix, tanmateix, un mètode general de resolució de problemes que et pot servir de pauta per a resoldre’n molts. Les seves fases són:

RESOLUCIÓ GRÀFICA

Sistemes d’equacion s lineals II

1 Calcula el determinant

— Revisió del resultat i del procés seguit: interpretem les possibles solucions, contextualitzem els resultats, reflexionem sobre el procés, revisem i/o modifiquem el pla, si s’escau, i estudiem altres possibles solucions i plans alternatius. A més de la pauta general, has de tenir en compte els consells següents, que t’ajudaran a comprendre l’enunciat:

6

7

inant següent:

3

1 1 1 a b c b +c c +a a +b

Discuteix, en funció del paràmetre k, el d’equacions següen t, aplicant el teorem sistema ché-Frobenius, i a de Rouresol-lo mitjançant la regla de Cramer en el cas que sigui compatible determinat. x + y + kz = k ⎫ kx + ky + z = ⎪ 1⎬ x + ky + z = k⎪ ⎭

Esbrina el rang de les matrius següen valor del paràme ts segons el tre m: ⎛m 1⎞ a) ⎜ ⎝ 1 m ⎠⎟

Donades les matrius següents: ⎛ 1 1 −2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −6⎞ ⎛x⎞ A = ⎜ 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ B = ⎜ 2⎟ , C = ⎜ −11⎟ , X = ⎜ y ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 3 −9⎠⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ k ⎠⎟ ⎝⎜ m ⎠⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟

⎛m 1 1 1⎞ ⎜1 m 1 1⎟ c) ⎜ ⎜ 1 1 m 1 ⎟⎟ ⎜ ⎝ 1 1 1 m ⎠⎟

8

Es demana:

Aquesta estratègia s’aplica en la resolució de problemes dels quals coneixem el resultat final i volem determinar un valor inicial o una sèrie d’operacions que ens hi condueixin.

Determina per a quins valors de k es pot invertir matriu següent: la

⎛m 1 1⎞ b) ⎜ 1 m 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 1 m ⎠⎟ ⎛ 1 6 10 1 ⎞ d) ⎜ 5 −m −1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 1 m 1⎟ ⎠

Resol el sistema següent aplican t la regla de Cramer:

x + y + z =1 ⎫ x − 2y + 3z = ⎪ 2⎬ x + z = 5⎪ ⎭

a) Determina els valors AX = B sigui incomp de k perquè el sistema atible. b) Determina els valors de m perquè el sistema AX = C sigui compa tible. c) Per a k = 3 i m = −13, estudia el sistema AX = B + C. Si és possible, resol-lo . En cas contrari, justifica per què.

4

RAONAMENT INVERS

de les matrius següen ts:

⎛ 1 −2 5 −4 ⎞ ⎛ 2 −1 5⎞ ⎜ A = ⎜ −3 2 3 −3 ⎟ 4 2⎟ ; B = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 2 ⎝⎜ −4 −2 1⎠⎟ 2⎟ ⎜ ⎝ 1 −1 3 −3 ⎠⎟

2 Troba el valor del determ

A =

• Llegeix-lo atentament per a evitar de saltar-te informació i per a observar-hi possibles ambigüitats. • Repassa els conceptes matemàtics que intervenen en l’enunciat. • Anota les dades de què disposes. Et pot ser útil col.locar-les en forma de taula o bé elaborar un dibuix i anotar-les-hi. • Analitza si hi ha informació supèrflua. En cas afirmatiu, elimina-la. A continuació et presentem algunes de les estratègies de resolució de problemes més comunes. En les pàgines 297 a 301 del teu llibre de primer de Batxillerat tens un exemple resolt de cadascuna.

3

Moltes vegades, la construcció d’un gràfic que reflecteixi les condicions i les dades de l’enunciat condueix directament a la solució del problema.

⎛ 1 k 0⎞ A = ⎜0 0 k ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ k 4 0 ⎠⎟ En el cas que sigui possible, calcula la matriu inversa si k = 4.

Al final del llibre, sota el títol d’Estratègies de resolució de problemes, es presenta un resum de les principals estratègies de resolució de problemes. La seva finalitat és servir de refèrencia per a la resolució de problemes al llarg de les unitats.

9 Donat el sistema d’equa

cions següent:

L’alumne podrà comprovar el desenvolupament de les seves capacitats amb les Propostes d’avaluació.

x + y + z = 5 ⎫ 2x + 3y + z = ⎪ 3⎬ k x + 10 y + 4 z = 2 ⎭⎪ a) Troba, aplican t determinants, els valors de k per als quals el sistema no és compatible nat. determib)

Determina el valor de k per al qual el valor de x és 2. En aquest cas, calcula també els valors de y i z.

10 Consid era el sistema

5 Resol el sistema d’equa cions següent aplican regla de Crame t la r.

d’equacions següen t:

x + (k + 1) y = 1 ⎫ k x + 2 y = −2 ⎬ ⎭ a) Discuteix el sistema segons els valors metre k. del paràb) Resol-lo per als valors de k que el fan compatible (determinat i indeterminat).

5. Sistemes d’equac ions lineals II

UNITAT 6

— Comprensió de l’enunciat: ens aproximem al problema, n’identifiquem tots els termes, organitzem les dades que hi apareixen i dibuixem les que són susceptibles de representació. — Planificació de la resolució: elaborem conjectures i seleccionem l’estratègia de resolució, així com les tècniques matemàtiques que utilitzarem. — Execució del pla de resolució: duem a terme el que hem preparat en la fase anterior.

1

UNITAT 5

El mètode consisteix a prendre el resultat com a punt de partida i anar retrocedint fins que arribem a la situació inicial.

Pàg. 198

ASSAIG-ERROR

3 unitats

Aquesta estratègia consisteix a experimentar amb possibles solucions fins que trobem la correcta. Per a fer-ho seguim aquests passos:

Anàlisi II

2

Pàg. 134

−3 x + y + 2 z = 1 ⎫ x + 5y − z = 4 ⎪ ⎬ −4 x − 2 y + 3 z = −1⎭⎪

3 unitats

següent:

vèrtexs (0, 0), (0, 6), (5, 3) i (6, 0) correspon (3, 5), a la regió factible d’un blema de programació prolineal en què maximitzem funció objectiu z = la a x + 3 y (a ≥ 0). a) Indica la solució (o solucions) en funció del paràmetre a. b) Quina és la solució per a a = 4? Per a quins valors de a la solució està en (0, 6)?

ORGANITZACIÓ DE LA INFORMACIÓ

Anàlisi I

enteres.

fi de curs. El cuiner prepara una ració d’espaguetis per a cadascun. Alguns mengen només la meitat de la ració, ta se la menja completa. d’altres un terç i la resdels espaguetis servits. Al final sobra la meitat Suposant que el grup lumnes que en menja d’ala meitat és com a mínim el doble del grup que menja és el nombre d’alumnes la ració completa, quin de cada grup?

9 Un curs de 30 alumnes dina en un restaurant durant el viatge de

4

Pàg. 42 Inici

— Triem una possible solució.

279

4 unitats

x + 2 y ≤ 8⎫ x + y ≥ 5 ⎬⎪ x − 5 y ≤ 0⎪ ⎭

10 Donat el sistema d’inequacions

i el POOM. Cada setmana ha de fabricar com a mínim 30 000 unitats STAR i 800 unitats de de POOM, per la qual cosa ha de mecanitzar el procés de producció. Pot escollir entre dos tipus de màquines: produeixen setmanalment amb la màquina A es 300 unitats de STAR només 4 de POOM; i en canvi, la màquina produir en el mateix B pot període de temps 100 unitats de STAR i 8 de POOM. Si sabem que la màquina A costa el doble que la màquina B, quina és la inversió que resulta més econòmica a l’empresa?

6 Una empresa fabrica dos models diferents d’un mateix producte: l’STAR

Unitats

MODIFICACIÓ DE L’ENUNCIAT

— Provem si aquesta solució satisfà les condicions del problema.

a) Resol-lo gràficament. b) Troba totes les solucions

Àlgebra lineal

8 El pentàgon limitat pels

Decideix construir dos tipus d’habitatges: els uns, en parcel·les de 200 2 preu de venda dels m , el quals altres, de més qualitat, serà de 300 000 €; i els en parcel·les de 300 2 que costaran 400.000 m, €. Els habitatges del primer tipus estan pensats per a un màxim de 5 habitants i els del segon per a un màxim de 4. L’Ajuntament li imposa dues condicions: 1) el nombre de cases no pot superar les 225; 2) el nombre d’habitants esperat no pot sobrepassar el miler. Quants habitatges de cada tipus s’han de construir per a maximitzar els ingressos de venda?

7 Una constructora disposa de 60 000 2 m disponibles per a urbanitzar.

els diferents passos

Bloc

RECERCA D’UN CONTRAEXEMPLE

278

del procés seguit.

REDUCCIÓ A L’ABSURD

11

En molts problemes, la realització d’un esquema o taula sobre els quals disposarem les condicions i les dades de l’enunciat et pot obrir el camí per a emprendre’n la resolució.

4 x − 2 y ≥ 8⎫ 5 x + y ≤ 10 ⎬ ⎭ Indica quins punts dels eixos de coordenades solucions del sistema. són

Pàg. 4

Aquesta estratègia s’utilitza per a demostrar macions. Consisteix afira suposar la falsedat del es vol demostrar i arribar d’aquesta manera que contradicció. a una

12

EXPERIMENTACIÓ AMB LA POSSIBLE SOLUCIÓ

DEL PROBLEMA

Lògicament, com més problemes hagis resolt riorment, més útil et anteresultarà aquesta estratègia, que augmentarà la ja probabilitat de trobar un problema similar.

RECERCA D’UN PROBLEMA SIMILAR RESOLT

Finalment, s’inclou un índex alfabètic en què es referencien els continguts més importants que s’han tractat al llarg de les unitats.

es requereixen 5 hores feina i 20 kg de fusta. de Per a fabricar una s’empren 10 hores cadira de feina, 8 kg de fusta i 1 m de tela. En la secció hi ha 6 treballadors que tenen una jornada laboral de 8 hores diàries i en el magatzem hi ha 320 kg de fusta i 30 m de tela.

«Entre tots dos tenim de 120 €, però si a més tots dos ens treuen la meitat del que té l’altre (i això és possible), ens quedarem amb menys de 100 €».

1 Resol gràficament el següent cions, explicant detalladament sistema d’inequa-

Programació lineal Aquest mètode, molt útil en geometria, consisteix suposar una possible a solució del problema se’ns planteja i verificar que que satisfà les condicions de l’enunciat.

PARTICULARITZACIÓ

10 — Descompondre el problema inicial en subproblemes, sense perdre de vista les relacions que hi ha entre ells.

El contingut del llibre està estructurat en 12 unitats, agrupades en quatre blocs.

Aquesta estratègia consisteix en la recerca de semblances entre el problema que es pretén de dre, o bé una part resold’aquest problema, i un altre de resolt anteriorment.

9

PROBLEMA

Estratègies de resolució de problemes

Si per la venda d’una taula s’obté un benefici 90 € i per la venda de d’una cadira, 50 €, quantes taules i quantes cadires s’han de fabricar durant els pròxims 5 dies perquè el benefici sigui màxim? na influència té la Quitela disponible en aquesta decisió? Representa la regió de solucions factibles a la pregunta: quants diners té cadascun? Dóna una possible solució a aquesta pregunta.

2 En Joan diu a en Josep:

2 unitats

273 En cas afirmatiu, ja hem resolt el problema. cas que no sigui així, En el és possible que hàgim una pista que ens trobat condueixi a la solució correcta.

Aquesta estratègia s’utilitza per a demostrar sedat d’un enunciat la falmatemàtic. Com que un enunciat expressat de manera general s’ha de complir sempre, si en un cas particular (contraexemple) es compleix, l’enunciat no ja no és vàlid.

En casos complexos pot resultar d’una gran utilitat resoldre primerament el problema per a situacions particulars més senzilles.

7

De vegades es pot modificar l’enunciat d’un problema de manera que n’obtinguem un altre d’equivalent la resolució del qual sigui més fàcil.

SIMPLIFICACIÓ I RECERCA DE REGULARITATS — Resoldre cadascun dels subproblemes. — Resoldre el problema inicial. De vegades, la solució del problema global coincidirà amb la del darrer subproblema. D’altres vegades, caldrà combinar els resultats dels diferents subproblemes per tal de trobar-la.

DESCOMPOSICIÓ DEL

DE PROBLEMES

• — El resum recull els continguts que hem de recordar.

Estructura del llibre de l’alumne

— Modifiquem la solució triada en funció del resultat obtingut i repetim el procés fins que obtinguem la solució correcta.

6. Programació lineal de la seva jornada ral al repartiment de laborevistes especialitzades. presa BOOK li paga L’em0,1 € per cada exemplar repartit, mentre que l’empresa WARGAMER paga a 0,05 € l’exemplar. li El treballador ha repartir com a mínim 30 exemplars de BOOK, de el nombre total d’exemplars però d’aquesta revista mai no ha de ser superior al doble dels exemplars l’altra. de

5 Un treballador dedica part

següents: x + y ≤ 10 ⎫ 3 x − y ≥ −2 ⎪ ⎪ x − 4y ≤ 0 ⎪ ⎬ x ≥ 0 ⎪ ⎪ y ≥ 0 ⎭⎪

3 Maximitza i minimitza la funció f (x, y) = 2 x − 4 y, subjecta a les restriccions

Geometria

PROPOSTES D’AVALUACIÓ

Al final del llibre s’ofereix una proposta d’avalu de les unitats amb ació exercicis i problem es tipus de les proves de selectivi tat per tal de comprov ar les capacitats desenvolupades .

PROPOSTES D’AVALU ACIÓ 8

de la unitat

De vegades, la simplificació de les dades o de condicions del problema les proporciona un nou de vista per a la seva punt resolució. Molts cops, nou punt de vista aquest sorgeix de l’existència de regularitats que restaven amagades abans d’efectuar la simplificació.

6

De vegades és difícil de veure la relació que hi ha entre les dades i les incògnites del problema. En aquests casos, una de les estratègies que ofereix més possibilitats d’èxit és la descomposició del problema en problemes més senzills. Per a aplicar-la, has de seguir aquests passos:

5

La resolució de problem es llibre. Per tal de facilitar és present al llarg de tot el aquesta tasca s’ofereix resum de les estratèg un ies més utilitzades.

ESTRATÈGIES DE RESOLU CIÓ

• Pàgines inicials

El llibre s’inicia amb una pàgina de presentació, titulada Com és aquest llibre, en la qual es descriu a l’alumne/a la manera com s’organitza el material didàctic.

• — Les activitats recullen una proposta de qüestions (per a consolidar els continguts concept uals), d’exercicis (corresponents a cadascun dels apartats de la unitat, ordenat s de menys a més dificultat), i una llista de problem es (també ordenat s en ordre creixent de dificulta t). També se n’indica la solució si és numèrica. • Resum i activita ts Cada unitat finalitza amb un resum i una proposta d’activitats.

E

272

2 Si pot repartir un màxim de 148 exemplars dia, esbrina quantes cada revistes de cada empresa de repartir perquè ha el benefici sigui màxim.

• Resolució d’exerc icis i problemes Es resolen de manera dirigida una sèrie d’exerci problemes model. cis i A continuació, se’n proposen altres de similars, i se n’indica la solució si és numèrica.

4 Una fàbrica de mobles produeix taules i cadires. Per a fabricar una taula

— En els marges s’inclouen explica cions complementàries que faciliten el procés d’aprene ntatge: conceptes o procedim ents apresos anterior crides d’atenció ment, o observacions addicionals, enllaços a Internet , ús de la calculadora, biografies, notes històriques… — Al final de cada apartat organitzades de menys es proposen activitats, a consolidar els contingu més dificultat, per tal de ts, tant conceptuals procedimentals. com — Els continguts estan estructurats en apartats i subapar tats. Per a desenvolupar-los es parteix, sempre que sigui possible , arribar al desenvolupamen d’una situació real per a t formal del contingu t. — El desenvolupamen t d’un contingut acostum finalitzar amb un o a a diversos exemples en què podem veure com s’aplica. • Desenvolupament

— En la preparació de la unitat trobarem definicions, exemples i activitat s que tenen com a finalitat recordar els contingu ts necessaris per a abordar la unitat. — Els objectius ens presenten les capacita ts que l’alumne/a haurà d’assolir . — Un esquema mostra l’organització dels continguts de la unitat. • — Una imatge acompa nyada d’un breu text motivador ens mostra la presència de les matemà tiques en diversos àmbits de la vida.

ESTRUCTURA DE LES UNITATS Cada bloc finalitza amb Matemàtiques i societat una doble pàgina titulada en la qual es presente ses informacions per n divertal de captar la relació que existeix entre les matemàtiques i les ciències socials. Els continguts d’aques t llibre estan estructu unitats agrupades en quatre blocs: Geome rats en tria, Àlgebra lineal, Anàlisi I i Anàlisi II. Cada bloc s’inicia amb una doble pàgina en la qual es fa referència al context històric en què han principals conceptes sorgit els matemàtics, i s’esmen ten els científics més destaca ts que han contribu ït al seu desenvolupament.

COM ÉS AQUEST LLIBR

6

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

Página 6

C M Y K

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

C M Y K

Página 7

7 _C Mat CCSS_024_039

Estructura de les unitats Els marges s’han reservat per a incloure-hi explicacions complementàries, amb la finalitat d’ajudar l’alumne/a a seguir correctament el procés d’aprenentatge: conceptes o procediments adquirits anteriorment, crides d’atenció o observacions addicionals, enllaços d’interès a Internet, ús de la calculadora, biografies de matemàtics i científics, notes històriques… Al final de cada apartat, a peu de pàgina es proposen exercicis, organitzats de menys a més dificultat, perquè l’alumne/a consolidi els coneixements, tant conceptuals com procedimentals, que acaba d’adquirir.

206

10. Derivades 7. Calcula, a partir de la definició, la derivada de la funció f (x ) = x 6, i comprova la concordança del resultat amb la taula 1. 6. Comprova, a partir de la definició de derivada, que la derivada d’una funció constant és la funció zero.

ACTIVITATS I Taula 1. 1

f (x ) = e x

f′ (x ) = e x

f (x ) = a x

f′ (x ) = a x ln a

f (x ) = sin x

f′ (x ) = cos x

f (x ) = ln x Però, tot i que la continuïtat és una condició necessària perquè una funció sigui derivable, amb això no n’hi ha prou. Pot passar que una funció sigui contínua en un punt però que no sigui derivable en aquest punt, com el cas que es mostra en la figura, en què la funció és contínua en x = 1, però no és derivable en aquest punt, ja que les rectes secants per la dreta i per l’esquerra no s’aproximen a una recta comuna.

En molts casos, el desenvolupament d’un contingut culmina amb un o diversos exemples en els quals l’alumne/a pot veure com s’aplica.

Així doncs, perquè una funció f sigui derivable en a cal que f sigui contínua en a. És a dir, si una funció no és contínua en un punt, no pot tenir derivada en aquest punt. a

f ′(x ) =

1 x

f (x ) = tg x

f ′(x ) =

f (x ) = cotg x

f ′(x ) =

Funció derivada

Funció

f (x ) = k, k ∈ ⺢

f′ (x ) = 0

f (x ) = cos x

f (x ) = x n

f′ (x ) = nx n−1

Funció

sin2 x −1 cos x 2

1

f′ (x ) = − sin x Funció derivada

f′ (0) = 6 ⋅ 02 = 0 ; f′ (2) = 6 ⋅ 2 2 = 24 ; f′ (−3) = 6 ⋅ (−3)2 = 54 h

h→0

2 x 3 + 6 x 2h + 6 x h 2 + 2 h 3 − 2 x 3 h→0

= lim

h (6 x 2 + 6 x h + 2 h 2 ) = 6x 2 h

2 ( x + h )3 − 2 x 3 f (x + h ) − f (x ) = = lim h→0 h h

Calcula la funció derivada de f ( x) = 2 x3. x → x0

— S’ha de verificar que lim f (x ) = f (x 0 ) .

EXEMPLE 3 Aquesta funció rep el nom de funció derivada de f o, simplement, derivada. El domini d’aquesta funció està format per tots els punts x0 per als quals la funció f és derivable.

x → x0

h→0

— Ha d’existir lim f (x ), i ser finit. — Ha d’existir f (a ) perquè es pugui calcular: f (a + h ) − f (a ) lim h→0 h Perquè una funció f sigui derivable en un punt a, cal que sigui contínua.

Derivabilitat i continuïtat

la funció funcions f i g, calcula dominis. els 12. Donades les quocient, i troba’n ferència i la funció g (x ) = x + 1 a) f (x ) = x − 2 ; 2 ; g (x ) = x − 9 b) f (x ) = 2 x − 1 6 x g (x ) = x −2 c) f (x ) = 2 − 4 ; x

di-

x −2 3x g (x ) = c) f (x ) = x − 1 ; x +1 la funció suma i funcions f i g, calcula . 11. Donades les i troba’n els dominis la funció producte, +7 2 x ⫺ 1 ; g (x ) = x a) f (x ) = x + 12 x −4 2 − x ; g (x ) = x = ) x b) f (x

ACTIVITATS

2 f (x ) = 3 x − 1

g (x ) =

güents:

1 x2 + 1

h (x ) =

145 x 5

tiva de la multipli propietat distribu funcions se15. Comprova la l’addició amb les cació respecte de la multiplicació commutativitat de 14. Comprova la següents: amb les funcions 2 g (x ) = x + x + 2 2 f (x ) = x + 3 x − 1

f (x ) = x + 1

g (x ) =

ativitat 13. Comprova l’associ cions següents:

x +2 3

h (x ) = x − 5

les funde l’addició amb

En la taula 1 et presentem la derivada de les principals funcions. Així, per a calcular f′ (0), f′ (2) i f′ (−3), essent f la funció de l’exemple anterior, n’hi haurà prou de substituir x per 0, 2 i −3 en la funció derivada f′ (x ): A partir del càlcul de la funció derivada d’una funció f, es pot trobar fàcilment el valor de la derivada de f en diferents punts. h→0

= lim

f ′(x ) = lim

Segons la definició de funció derivada, tindrem: Si no és així, les rectes secants en aquest punt poden ser diferents i, per tant, pot ser que no existeixi una recta tangent en a , ni f′ (a ).

En l’exposició de continguts es parteix, sempre que és possible, d’una situació real que motivi l’alumne/a, per tal d’arribar, finalment, al desenvolupament formal del contingut.

x → f ′(x ) = lim

f (x + h ) − f (x ) h

f′ : ⺢ → ⺢ Així, podem definir una nova funció, f′, que assigni a cada punt d’abscissa x el valor de la derivada de f en aquest punt. Tal com hem vist, si calculem la derivada d’una funció f en un punt d’abscissa x = a dóna com a resultat un nombre real.

3. Funció derivada

f + g, 1 g(x) = x − 2, calcula la funció suma i f(x ) = f x Donades les funcions ,i funció quocient g producte f ⭈ g i la ia f − g, la funció la funció diferènc cadascuna. troba el domini de les expressions analítisumem g + f de sió analítica Per a trobar l’expres 2 g: i f s 1 + 2 − 2x ques de les funcion 1 + x − 2x = x 1 x 2 = x + g (x ) = x + x − (f + g ) (x ) = f (x ) f f⭈gi g : anàleg per a f − g, Efectuem un procés 1 2 = 1 x − 2) = x − x + ) − g (x ) = x − ( (f − g ) (x ) = f (x 2 x 2 + 2x + 1 1 − x + 2x = − = x x x − 2 1 2) = x ⋅ g (x ) = x ⋅ (x − (f ⋅ g ) (x ) = f (x ) 1 1 1 = 2 = ⎛ f ⎞ ) = f (x ) = x x − 2x x x ( x − 2) x − 2 ⎜⎝ g ⎟⎠ ( g (x ) f ment , determinem primera i g ⭈ f g, − f g, + g de f Per a trobar el domini s f i g: el domini de les funcion D (g ) = ⺢ D (f ) = ⺢ − {0} seran: iat que demana l’enunc Per tant, els dominis D (g ) = ⺢ − {0} D (f + g ) = D (f ) 傽 D (g ) = ⺢ − {0} D (f − g ) = D (f ) 傽 D (g ) = ⺢ − {0} D (f ⭈ g ) = D (f ) 傽 2}} ) = 0} = ⺢ − {0, ⎛f ⎞ (g ) − {x ∈ ⺢ g (x D 傽 ) f ( D = D⎜ ⎟ ⎝g⎠

la pàgina web Si accedeixes a 365.cat/wi http://calculadora.edu /funcions. ris/manual/ca/html/tour complet manual html, trobaràs un sobre la manera amb exemples ora virtual Wid’utilitzar la calculad i refuncions amb ris per a operar presentar-les.

•

suís (1707–1783) Matemàtic i físic ies de CiènCatedràtic a les Acadèm i Berlín. rg cies de Sant Petersbu la Introductio in El 1748 va publicar m, on aplicava Analysin Infinitoru algèbrica a l’estècniques d’anàlisi Aquesta obra mar. funcions de tudi actualment coneica l’inici del que xem com a anàlisis.

LEONHARD EULER

EXEMPLE 5

La primera pàgina de la unitat consta d’una imatge acompanyada d’un breu text, que pretenen mostrar la presència de les matemàtiques en diferents àmbits de l’entorn social i econòmic.

(

2 Rectes en el pla

— Els Objectius, que formulen les capacitats que l’alumne/a haurà d’assolir en finalitzar la unitat. La segona pàgina la componen les Competècies, els Continguts i la Preparació de la unitat. — Les Competències formulen les capacitats que l’alumne/a haurà de desenvolupar al llarg de cadascuna de les unitats.

COMPETÈNCIES

CONTINGUTS

Específiques

•

• Competència en Determinar distàn contextualització: cies entre dos ments de l’entor elen a partir de la distancia entre dos punts, un punt i una recta o entre dues rectes.

1. Equacions

de la recta

Competència matemàtica: Resoldre problemes mètric s utilitzant les equacions de les rectes .

Generals • Competència digital: Utilitza r les tecnologies de la inform cació per a repres ació i la comunientar rectes i punts en el pla, i fer càlcul nar angles i distàn s per a determicies. • Competència comunicativa: Descriure situacions i fenòm llenguatge geomè ens mitjançant el tric.

2. Posicions relatives

3. Distàncies

1.1. Equac ió vector ial 1.2. Equac ions param ètriques 1.3. Equació contín ua 1.4. Equació punt-p endent 1.5. Equació gener al

2.1. Rectes secan ts, paral·leles i coincidents 2.2. Angle entre dues rectes 2.3. Feixos de rectes

3.1. Distància entre dos punts 3.2. Distància entre un punt i una recta 3.3. Distància entre dues rectes

el concepte podem identificar s de l’entorn, hi En molts objecte de recta. les recparticularitats de r les propietats i Així, el fet de conèixe ndre millor aquest entorn. compre tes ens permetrà

PREPARACIÓ DE LA UNITAT Recorda

— Els Continguts presenten els apartats i subapartats en què s’estructuren els continguts de la unitat. — La Preparació de la unitat inclou definicions, exemples i activitats que tenen la finalitat de fer que l’alumne/a recordi, repassi, consulti, investigui… continguts que necessita per a estudiar la unitat.

• Si A = (a , a  1 2) i B = (b 1, b ), els 2 components tor [ AB ] són: del vec [ AB ] = (b − a 1 1, b2 − a 2 ) • El producte escala  el més petit dels r de dos vectors u i v , essen tα angles que forme que contenen n les semirectes dos representant   s concurrents v , és: de u i   u v = u ⋅ v ⋅ ⋅ cos α • Si els compo nents de u i  v en una base mal són (u , u ortonor1 2) i (v 1, v 2), respec tivament, l’expr analítica del produ essió cte escalar és:   u ⋅v = uv + u2v 2 1 1 • Una equac ió lineal amb una incògnita ax + b = 0 pot del tipus tenir una única solució, infinit cions o bé cap. es solu— a ≠ 0 ⇒ Hi ha una única

solució.

— a = 0 ⎧si b = 0 ⇒ Hi ha infinite ⎨ s solucions. ⎩ si b ≠ 0 ⇒ No hi ha solució.

• Si α és un angle agut d’un triangle rectan gle, es defineix la tangent de α com: tg α = catet oposat AP catet contigu = OA • Les mediatrius d’un triangle són les rectes perpendiculars als costats del triangle pel punt mitjà de cadascun dels costats. Aquestes rectes es tallen en un punt (O ) anomenat circumcentre , que centre de la circum és el ferència circumscrita al triangle.

P

O

24

a A

C P

A

N

O

M

• Les altures d’un triangle són els segme nts perpendiculars a cadas cun dels costats i que parteixen del vèrtex oposa t. Aquests segments es tallen en un punt (H ) anome nat ortocentre.

B

C

H A

B

25

C Mat CCSS136_153_

(

El desenvolupament de la unitat està estructurat en apartats i subapartats que reprodueixen la seqüència lògica de l’aprenentatge.

El desenvolupament de la unitat està estructurat en apartats i subapartats que reprodueixen la seqüència lògica de l’aprenentatge. C Mat CCSS136_153_

— La Preparació de la unitat inclou definicions, exemples i activitats que tenen la finalitat de fer que l’alumne/a recordi, repassi, consulti, investigui… continguts que necessita per a estudiar la unitat. — Els Continguts presenten els apartats i subapartats en què s’estructuren els continguts de la unitat.

25 B

A

— a = 0 ⎧si b = 0 ⇒ Hi ha infinite ⎨ s solucions. ⎩ si b ≠ 0 ⇒ No hi ha solució. — a ≠ 0 ⇒ Hi ha una única

solució.

• Les mediatrius d’un triangle són les rectes perpendiculars als costats del triangle pel punt mitjà de cadascun dels costats. Aquestes rectes es tallen en un punt (O ) anomenat circumcentre , que centre de la circum és el ferència circumscrita al triangle. Les altures d’un triangle són els segme nts perpendiculars a cadas cun dels costats i que parteixen del vèrtex oposa t. Aquests segments es tallen en un punt (H ) anome nat ortocentre.

 [ AB ] = (b − a1, b2 − a ) 1 2 • El producte escala  el més petit dels r de dos vectors u i v , essen tα angles que forme que contenen n les semirectes dos representant   s concurrents v , és: de u i   u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α • Si els compo   nents de u i v en una base mal són (u , u ortonor1 2) i (v 1, v 2), respec tivament, l’expr analítica del produ essió cte escalar és:   u ⋅v = uv + u2v 2 1 1 • Una equac ió lineal amb una incògnita ax + b = 0 pot • del tipus tenir una única solució, infinit cions o bé cap. es solu• Si A = (a , a  1 2) i B = (b 1, b ), els 2 components tor [ AB ] són: del vec-

H C B

M

A

P

O

N C

• Si α és un angle agut d’un triangle rectan gle, es defineix la tangent de α com: tg α = catet oposat AP catet contigu = OA

A

O

a

24 P

Recorda

— Les Competències formulen les capacitats que l’alumne/a haurà de desenvolupar al llarg de cadascuna de les unitats. La segona pàgina la componen les Competècies, els Continguts i la Preparació de la unitat.

el concepte podem identificar s de l’entorn, hi En molts objecte de recta. les recparticularitats de r les propietats i Així, el fet de conèixe ndre millor aquest entorn. compre tes ens permetrà

PREPARACIÓ DE LA UNITAT • Competència digital: Utilitza r les tecnologies de la inform cació per a repres ació i la comunientar rectes i punts en el pla, i fer càlcul nar angles i distàn s per a determicies. • Competència comunicativa: Descriure situacions i fenòm llenguatge geomè ens mitjançant el tric.

3. Distàncies 2. Posicions relatives

Generals Específiques • Competència en Determinar distàn contextualització: cies entre dos ments de l’entor elen a partir de la distancia entre dos punts, un punt i una recta o entre dues rectes. • Competència matemàtica: Resoldre problemes mètric s utilitzant les equacions de les rectes .

3.1. Distància entre dos punts 3.2. Distància entre un punt i una recta 3.3. Distància entre dues rectes 2.1. Rectes secan ts, paral·leles i coincidents 2.2. Angle entre dues rectes 2.3. Feixos de rectes

1. Equacions

1.1. Equació vector ial 1.2. Equacions paramètriques 1.3. Equació contín ua 1.4. Equació punt-p endent 1.5. Equació gener al

de la recta

CONTINGUTS

COMPETÈNCIES

— Els Objectius, que formulen les capacitats que l’alumne/a haurà d’assolir en finalitzar la unitat. La primera pàgina de la unitat consta d’una imatge acompanyada d’un breu text, que pretenen mostrar la presència de les matemàtiques en diferents àmbits de l’entorn social i econòmic.

En l’exposició de continguts es parteix, sempre que és possible, d’una situació real que motivi l’alumne/a, per tal d’arribar, finalment, al desenvolupament formal del contingut.

Derivabilitat i continuïtat Perquè una funció f sigui derivable en un punt a, cal que sigui contínua. — Ha d’existir f (a ) perquè es pugui calcular: f (a + h ) − f (a ) lim h→0 h

3. Funció derivada

f′ : ⺢ → ⺢ h→0

x → x0

f (x + h ) − f (x ) h

Aquesta funció rep el nom de funció derivada de f o, simplement, derivada. El domini d’aquesta funció està format per tots els punts x0 per als quals la funció f és derivable.

EXEMPLE f + g, 1 g(x) = x − 2, calcula la funció suma i f(x ) = f x Donades les funcions ,i funció quocient g producte f ⭈ g i la ia f − g, la funció la funció diferènc cadascuna. ions analítitroba el domini de + g sumem les express sió analítica de f Per a trobar l’expres 2 s f i g: 2 − 2x + 1 ques de les funcion 1 + x − 2x = x 1 x 2 = x + g (x ) = x + x − (f + g ) (x ) = f (x ) f : per a f − g, f ⭈ g i g anàleg Efectuem un procés

1 2 = 1 x − 2) = x − x + ) − g (x ) = x − ( (f − g ) (x ) = f (x 2 x 2 + 2x + 1 1 − x + 2x = − = x x x − 2 1 2) = x ⋅ g (x ) = x ⋅ (x − (f ⋅ g ) (x ) = f (x ) 1 1 1 = 2 = ⎛ f ⎞ ) = f (x ) = x x − 2x x x ( x − 2) x − 2 ⎜⎝ g ⎟⎠ ( g (x )

EXEMPLE 3 Calcula la funció derivada de f ( x) = 2 x3. Segons la definició de funció derivada, tindrem:

f ′(x ) = lim

a

Així doncs, perquè una funció f sigui derivable en a cal que f sigui contínua en a. És a dir, si una funció no és contínua en un punt, no pot tenir derivada en aquest punt.

h→0

= lim

2 ( x + h )3 − 2 x 3 f (x + h ) − f (x ) = = lim h→0 h h

2 x 3 + 6 x 2h + 6 x h 2 + 2 h 3 − 2 x 3

h

h→0

= lim

h→0

h (6 x 2 + 6 x h + 2 h 2 ) = 6x 2 h

A partir del càlcul de la funció derivada d’una funció f, es pot trobar fàcilment el valor de la derivada de f en diferents punts. Així, per a calcular f′ (0), f′ (2) i f′ (−3), essent f la funció de l’exemple anterior, n’hi haurà prou de substituir x per 0, 2 i −3 en la funció derivada f′ (x ):

f′ (0) = 6 ⋅ 02 = 0 ; f′ (2) = 6 ⋅ 2 2 = 24 ; f′ (−3) = 6 ⋅ (−3)2 = 54

f primerament ⭈ g i g , determinem de f + g, f − g, f Per a trobar el domini s f i g: el domini de les funcion D (g ) = ⺢ D (f ) = ⺢ − {0} iat seran: que demana l’enunc Per tant, els dominis D (g ) = ⺢ − {0} D (f + g ) = D (f ) 傽 D (g ) = ⺢ − {0} D (f − g ) = D (f ) 傽 D (g ) = ⺢ − {0} D (f ⭈ g ) = D (f ) 傽 2}} ) = 0} = ⺢ − {0, ⎛f ⎞ (g ) − {x ∈ ⺢ g (x D ⎜ ⎟ = D (f ) 傽 D ⎝g⎠

LEONHARD EULER

suís (1707–1783) Matemàtic i físic ies de CiènCatedràtic a les Acadèm i Berlín. rg cies de Sant Petersbu la Introductio in El 1748 va publicar m, on aplicava Analysin Infinitoru algèbrica a l’estècniques d’anàlisi Aquesta obra martudi de funcions. actualment coneica l’inici del que xem com a anàlisis.

•

la pàgina web Si accedeixes a 365.cat/wi http://calculadora.edu /funcions. ris/manual/ca/html/tour complet manual html, trobaràs un sobre la manera amb exemples ora virtual Wid’utilitzar la calculad amb funcions i reris per a operar presentar-les.

En la taula 1 et presentem la derivada de les principals funcions.

1

f′ (x ) = nx n−1

f (x ) = x n

f′ (x ) = 0

f (x ) = k, k ∈ ⺢

Funció derivada

Funció

f′ (x ) = a x ln a

f (x ) = a x

f′ (x ) = e x

f (x ) = e x

1 f ′(x ) = x

f (x ) = ln x

f (x ) = sin x

f′ (x ) = − sin x

f (x ) = cos x

Funció derivada

Funció

f ′(x ) =

f (x ) = tg x

f ′(x ) =

f (x ) = cotg x

1 cos 2 x

ACTIVITATS

la funció suma i funcions f i g, calcula . 11. Donades les i troba’n els dominis la funció producte, +7 2 x ⫺ 1 ; g (x ) = x a) f (x ) = x + 12

−1

2 g (x ) = b) f (x ) = x − x ;

sin2 x

amb les funativitat de l’addició 13. Comprova l’associ cions següents: x +2 h (x ) = x − 5 g (x ) = 3 f (x ) = x + 1

x −4 x

la multiplicació commutativitat de 14. Comprova la següents: amb les funcions 2 g (x ) = x + x + 2 2 f (x ) = x + 3 x − 1

x −2 3x g (x ) = c) f (x ) = x − 1 ; x +1 la funció difuncions f i g, calcula dominis. els 12. Donades les quocient, i troba’n ferència i la funció g (x ) = x + 1 a) f (x ) = x − 2 ; 2 ; g (x ) = x − 9 b) f (x ) = 2 x − 1 6 x g (x ) = x −2 c) f (x ) = 2 − 4 ; x

f′ (x ) = cos x

I Taula 1.

ACTIVITATS 6. Comprova, a partir de la definició de derivada, que la derivada d’una funció constant és la funció zero. 7. Calcula, a partir de la definició, la derivada de la funció f (x ) = x 6, i comprova la concordança del resultat amb la taula 1.

206

(

5

Tal com hem vist, si calculem la derivada d’una funció f en un punt d’abscissa x = a dóna com a resultat un nombre real. Així, podem definir una nova funció, f′, que assigni a cada punt d’abscissa x el valor de la derivada de f en aquest punt.

x → f ′(x ) = lim

— Ha d’existir lim f (x ), i ser finit. — S’ha de verificar que lim f (x ) = f (x 0 ) . x → x0

Si no és així, les rectes secants en aquest punt poden ser diferents i, per tant, pot ser que no existeixi una recta tangent en a , ni f′ (a ).

En molts casos, el desenvolupament d’un contingut culmina amb un o diversos exemples en els quals l’alumne/a pot veure com s’aplica.

Però, tot i que la continuïtat és una condició necessària perquè una funció sigui derivable, amb això no n’hi ha prou. Pot passar que una funció sigui contínua en un punt però que no sigui derivable en aquest punt, com el cas que es mostra en la figura, en què la funció és contínua en x = 1, però no és derivable en aquest punt, ja que les rectes secants per la dreta i per l’esquerra no s’aproximen a una recta comuna.

Al final de cada apartat, a peu de pàgina es proposen exercicis, organitzats de menys a més dificultat, perquè l’alumne/a consolidi els coneixements, tant conceptuals com procedimentals, que acaba d’adquirir.

tiva de la multipli propietat distribu funcions se15. Comprova la l’addició amb les cació respecte de güents: x 1 h (x ) = 2 5 g (x ) = 2 1 f (x ) = 3 x − 1 x +

145

10. Derivades

Els marges s’han reservat per a incloure-hi explicacions complementàries, amb la finalitat d’ajudar l’alumne/a a seguir correctament el procés d’aprenentatge: conceptes o procediments adquirits anteriorment, crides d’atenció o observacions addicionals, enllaços d’interès a Internet, ús de la calculadora, biografies de matemàtics i científics, notes històriques…

Estructura de les unitats

2 Rectes en el pla _C Mat CCSS_024_039

(

7

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

Página 7

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

28/5/09

09:03

Página 8

8 En l’apartat de Resolució d’exercicis i problemes s’inclouen una sèrie d’exercicis i problemes model que responen als continguts de la unitat i que estan resolts de forma dirigida. Després de cada exercici o problema model es proposen exercicis o problemes que es resolen segons l’esquema donat, i se n’indica la solució en el cas que sigui numèrica.

En la unitat es presenten les imatges com a mitjà d’observació i acostament a l’entorn. Amb aquesta finalitat s’han utilitzat diversos tipus d’imatges: fotografies per a representar situacions de l’entorn i de la vida quotidiana, i dibuixos lineals per a representar de forma rigorosa els gràfics matemàtics. • Activitats TIC. Proposta d’activitats per a ser resoltes emprant les noves tecnologies. En tots dos casos se n’indica la solució en el cas que sigui numèrica. Cada unitat finalitza amb unes pàgines en les quals s’inclouen: — Un Resum dels continguts bàsics que l’alumne/a ha de recordar. — Les Activitats, que consten de tres apartats: • Qüestions. Presenten activitats de raonament en les quals no cal efectuar càlculs. • Exercicis i problemes. Consta d’una proposta d’exercicis corresponents a cadascun dels apartats de la unitat, ordenats de menys a més dificultat, i una llista de problemes (també ordenats en ordre creixent de dificultat) en la resolució dels quals s’hauran d’aplicar un o diversos coneixements adquirits.

• Exercicis i problemes. Consta d’una proposta d’exercicis corresponents a cadascun dels apartats de la unitat, ordenats de menys a més dificultat, i una llista de problemes (també ordenats en ordre creixent de dificultat) en la resolució dels quals s’hauran d’aplicar un o diversos coneixements adquirits. • Qüestions. Presenten activitats de raonament en les quals no cal efectuar càlculs. — Les Activitats, que consten de tres apartats: — Un Resum dels continguts bàsics que l’alumne/a ha de recordar. Cada unitat finalitza amb unes pàgines en les quals s’inclouen:

En tots dos casos se n’indica la solució en el cas que sigui numèrica. • Activitats TIC. Proposta d’activitats per a ser resoltes emprant les noves tecnologies.

Després de cada exercici o problema model es proposen exercicis o problemes que es resolen segons l’esquema donat, i se n’indica la solució en el cas que sigui numèrica.

En la unitat es presenten les imatges com a mitjà d’observació i acostament a l’entorn. Amb aquesta finalitat s’han utilitzat diversos tipus d’imatges: fotografies per a representar situacions de l’entorn i de la vida quotidiana, i dibuixos lineals per a representar de forma rigorosa els gràfics matemàtics.

En l’apartat de Resolució d’exercicis i problemes s’inclouen una sèrie d’exercicis i problemes model que responen als continguts de la unitat i que estan resolts de forma dirigida.

8

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

28/5/09

09:03

Página 8

C M Y K

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

Página 9

9

Solucionari

Aquest solucionari facilita al professor/a la correcció dels exercicis i problemes que es proposen en el llibre de l’alumne. Les activitats han estat resoltes amb força detall. Així, el professor/a pot utilitzar aquest material, si ho considera adient, com a suport per als alumnes amb dificultats.

Les activitats han estat resoltes amb força detall. Així, el professor/a pot utilitzar aquest material, si ho considera adient, com a suport per als alumnes amb dificultats. Aquest solucionari facilita al professor/a la correcció dels exercicis i problemes que es proposen en el llibre de l’alumne.

Solucionari 9

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

26/5/09

11:47

Página 9 C M Y K

11:47

Página 10

11:47

26/5/09

26/5/09

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

MatCs-2Btx-LG-CAT-004-010.qxd

Página 10

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

12:13

Página 11

1Vectors del pla

11 u

u

v

v

v –u

1. Vectors del pla

27/5/09

2u – v 2u – 3v

u 2u

6. Resposta suggerida:        u = 1 ⋅ u + 0 ⋅ v, u + 2 v = 1 ⋅ u + 2 ⋅ v,  1  1  − u + v = (−1) ⋅ u + ⋅ v 2 2

1. VECTORS 1. Vector Origen Extrem  AB A B  CD C D  EF E F  GH G H  KL K L   JI J I  MN M N  PO P O  SR S R        AB ~ MN ; EF ~ PO ; JI ~ SR

v u

u

1· u+2·v v

1·u+0·v

v

–u – 2v

–v

v +u

u v

u v u + 5v

2. OPERACIONS 5. Resposta suggerida: 4. Dos vectors fixos són equipol.lents si tenen la mateixa direcció, mateix mòdul i el mateix sentit. Si dos vec el  tors AB i CD, no situats en la mateixa recta, són equipol.lents, en unir-se els extrems i els orígens entre ells, queda determinat un paral.lelogram. 7.

        2. Vectors fixos: BA , AH, HG, GF, EF, DE, CD, BC

u

        — BA ~ EF ; AH ~ DE ; HG ~ CD ; GF ~ BC    — Hi ha quatre vectors lliures: [BA ], [ AH], [HG] i [GF].

v –u+ 1 v 2

P

3. Sí, el vector fix amb la direcció, el mòdul i el  sentit de u i l’extrem del qual és el punt P.

u

3. Sí, el vector fix amb la direcció, el mòdul i el  sentit de u i l’extrem del qual és el punt P.

1   5    7 3 a = − u + v; b = u + 2 v ; c = u − v 2 4 4 2  7     d = 0⋅u − v ; e = − u + 2v 4

u

P

        — BA ~ EF ; AH ~ DE ; HG ~ CD ; GF ~ BC    — Hi ha quatre vectors lliures: [BA ], [ AH], [HG] i [GF].

–u+ 1 v 2 v

        2. Vectors fixos: BA , AH, HG, GF, EF, DE, CD, BC

u

7. 4. Dos vectors fixos són equipol.lents si tenen la mateixa direcció, mateix mòdul i el mateix sentit. Si dos vec el  tors AB i CD, no situats en la mateixa recta, són equipol.lents, en unir-se els extrems i els orígens entre ells, queda determinat un paral.lelogram.

1   5    7 3 a = − u + v; b = u + 2 v ; c = u − v 2 4 4 2  7     d = 0⋅u − v ; e = − u + 2v 4

2. OPERACIONS 5. Resposta suggerida:

u + 5v

v u v

v

v +u

u

–v –u – 2v

 AB  CD  EF  GH  KL   JI  MN  PO  SR

S R        AB ~ MN ; EF ~ PO ; JI ~ SR O

P

N

M

I

J

L

K

H

G

F

E

D

C A

1. VECTORS 1. Vector Origen

1·u+0·v

v u

1· u+2·v

u v

6. Resposta suggerida:        u = 1 ⋅ u + 0 ⋅ v, u + 2 v = 1 ⋅ u + 2 ⋅ v,  1  1  − u + v = (−1) ⋅ u + ⋅ v 2 2

B Extrem

2u u

1Vectors del pla 01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 11 C M Y K

v –u

v u

v

2u – v u

1. Vectors del pla

2u – 3v

11

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 12

12 12.

A

v

M

a

⇒

3. BASES DE V 2

N

P

B

1. Vectors del pla12

   8. r = 2 u + 3 v  ⇒ r = (2, 3)

u

a x + b y = 0 ⎫⎪ ⎬ x 2 + y 2 = k ⎪⎭

En la figura observem que N és el punt mitjà de    AB; M, el punt mitjà de AN ; i P, el punt mitjà de NB.

 Per tant, per a trobar els vectors ortogonals a u i amb mòdul fix, per exemple k, hem de resoldre el sistema:

   s = −3 u + v ⇒  ⇒ s = (−3, 1)

Per tant, D = (−10, 2).

x2 + y 2 = k

Si A = (a 1, a 2) i B = (b 1, b 2), sabem que el punt mitjà

⇔ d1 + 1 = −9 i d 2 − 3 = −1 ⇔ d1 = −10 i d 2 = 2

Si fixem el mòdul, a l’equació (1) li hem d’afegir la que ens dóna el mòdul, és a dir:

b

  Hem de trobar D de manera que [ AB] = [CD]. Sigui D = (d 1, d 2).  [CD] = (d1 − (−1), d 2 − 3) = (d1 + 1, d 2 − 3)   [CD] = [ AB] ⇔ (d1 + 1, d 2 − 3) = (−9, −1) ⇔

⎛ a + b1 a 2 + b 2 ⎞ és N = ⎜ 1 , ⎟. ⎝ 2 2 ⎠

i existeixen infinits parells de valors (x, y ) que satisfan aquesta equació.

   t = −3 u − 2 v ⇒  ⇒ t = (−3, − 2)

 11. [ AB] = (−2 −7, 4 −5) = (−9, −1)

 Calculem ara el punt mitjà de AN:

    v ⊥ u ⇔ v ⋅ u = 0 ⇔ a x + b y = 0 (1)

⎞ ⎟ = ⎠⎟

⇒ T = (3, 0)

  9. a) u + v = (−1, 3) + (2, −2) = = (−1 + 2, 3 + (−2)) = (1, 1)

⇒ S = (−2, −1)

 b) 5 ⋅ u = 5 ⋅ (−1, 3) = (5 ⋅ (−1), 5 ⋅ 3) = (−5, 15)

⇒ R = (−2, 1)

a + b2 a1 + b1 ⎛ a2 + 2 ⎜ a1 + 2 2 , M=⎜ ⎝ 2 2 ⎛ 3 a + b1 3 a 2 + b 2 ⎞ =⎜ 1 + ⎝ ⎠⎟ 4 4

⇒ P = (2, 2) ⇒ Q = (2, −2)

 i, finalment, el punt mitjà de NB :

 10. [OP] = 2 u + 2 v    [OQ ] = 2 u − 2 v    [OR ] = −2 u + 2 v    [OS] = −2 u − v   [OT] = 3 u

1 1 c) − v = − ⋅ (2, −2) = 3 3 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 2⎞ = ⎜ − ⋅ 2, − ⋅ (−2)⎟ = ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠ 3

1  1 u − 3 v = ⋅ (−1, 3) −3 ⋅ (2, −2) = 2 2 1 ⎞ ⎛ 1 2)) = = ⎜ ⋅ (−1), ⋅ 3 ⎟ − ( 3 ⋅ 2, 3 ⋅ (−2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 3⎞ = ⎜ − , ⎟ − (6, −6) = ⎜ − , ⎟ − (−6, 6) = ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 13 15 ⎞ = ⎜ − − 6, + 6 ⎟ = ⎜ − , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ 2

  d) u − v = (−1, 3) − (2, −2) = (−1, 3) + (−2, 2) = = (−1, + (−2), 3 + 2) = (−3, 5)

f)

4. PRODUCTE ESCALAR DE DOS VECTORS   13. a) u ⋅ v = (2, 1) ⋅ (−3, 2) = 2 ⋅ (−3) + 1 ⋅ 2 = = −6 + 2 = −4    b) (u + v ) ⋅ v = ((2, 1) + (−3, 2)) ⋅ (−3, 2) = = (−1, 3) ⋅ (−3, 2) = (−1) ⋅ (−3) + 3 ⋅ 2 = = 3+6 = 9  c) | u | = 22 + 12 = 5   −4 u⋅v    d) cos (u , v) =  =  = |u| ⋅ | v | 5 ⋅ (−3)2 + 22 −4 −4 = = 5 ⋅ 13 65  14. Donat un vector qualsevol u , existeixen infinits  vectors ortogonals a ell. En efecte, si u = (a, b ) i  v = (x, y ), tenim:

a +b ⎞ ⎛a +b 2 2 1 1 + b1 + b2 ⎟ ⎜ 2 2 = , P =⎜ ⎠⎟ ⎝ 2 2 a + 3 b2 ⎞ ⎛a + 3b 1 =⎜ 1 + 2 ⎝ ⎠⎟ 4 4

  e) −2 u + 4 v = −2 ⋅ (−1, 3) + 4 ⋅ (2, −2) = = ((−2) ⋅ (−1), (− −2) ⋅ 3) + (4 ⋅ 2, 4 ⋅ (−2)) = = (2, −6) + (8, −8) = (2 + 8, −6 −8)) = = (10, −14)

a 2 + b2 ⎞ ⎛ a1 + b1 + b1 + b2 ⎟ ⎜ 2 2 , P =⎜ ⎟⎠ = ⎝ 2 2 ⎛ a + 3 b1 a 2 + 3 b 2 ⎞ =⎜ 1 + ⎟⎠ ⎝ 4 4

  e) −2 u + 4 v = −2 ⋅ (−1, 3) + 4 ⋅ (2, −2) = = ((−2) ⋅ (−1), (− −2) ⋅ 3) + (4 ⋅ 2, 4 ⋅ (−2)) = = (2, −6) + (8, −8) = (2 + 8, −6 −8)) = = (10, −14)

  d) u − v = (−1, 3) − (2, −2) = (−1, 3) + (−2, 2) = = (−1, + (−2), 3 + 2) = (−3, 5)

 i, finalment, el punt mitjà de NB :

1  1 f) u − 3 v = ⋅ (−1, 3) −3 ⋅ (2, −2) = 2 2 1 ⎞ ⎛ 1 2)) = = ⋅ (−1), ⋅ 3 ⎟ − ( 3 ⋅ 2, 3 ⋅ (−2 ⎝⎜ 2 2 ⎠ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 3⎞ = − , − (6, −6) = ⎜ − , ⎟ − (−6, 6) = ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ ⎝ 2 2⎠ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 13 15 ⎞ = ⎜ − − 6, + 6 ⎟ = ⎜ − , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎟ 2

⎛ 2 2⎞ ⎜⎝ − , ⎟⎠ 3 3

⇒ P = (2, 2)

1 1 v = − ⋅ (2, −2) = 3 3 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎜ − ⋅ 2, − ⋅ (−2)⎟ = ⎝ 3 ⎠ 3

c) −

⎞ ⎟ ⎟⎠ =

4. PRODUCTE ESCALAR DE DOS VECTORS   13. a) u ⋅ v = (2, 1) ⋅ (−3, 2) = 2 ⋅ (−3) + 1 ⋅ 2 = = −6 + 2 = −4    b) (u + v ) ⋅ v = ((2, 1) + (−3, 2)) ⋅ (−3, 2) = = (−1, 3) ⋅ (−3, 2) = (−1) ⋅ (−3) + 3 ⋅ 2 = = 3+6 = 9  c) | u | = 22 + 12 = 5   −4 u⋅v    d) cos (u , v) =  =  = |u| ⋅ | v | 5 ⋅ (−3)2 + 22 −4 −4 = = 5 ⋅ 13 65  14. Donat un vector qualsevol u , existeixen infinits  vectors ortogonals a ell. En efecte, si u = (a, b ) i  v = (x, y ), tenim:

 b) 5 ⋅ u = 5 ⋅ (−1, 3) = (5 ⋅ (−1), 5 ⋅ 3) = (−5, 15)

a + b2 a1 + b1 ⎛ a2 + 2 ⎜ a1 + 2 2 , M=⎜ ⎝ 2 2 ⎛ 3 a + b1 3 a 2 + b 2 ⎞ =⎜ 1 + ⎟⎠ ⎝ 4 4

    v ⊥ u ⇔ v ⋅ u = 0 ⇔ a x + b y = 0 (1)

  9. a) u + v = (−1, 3) + (2, −2) = = (−1 + 2, 3 + (−2)) = (1, 1)

⇒ T = (3, 0)

 Calculem ara el punt mitjà de AN:

⇒ Q = (2, −2)

⎛ a + b1 a 2 + b 2 ⎞ és N = ⎜ 1 , ⎟. ⎝ 2 2 ⎠

i existeixen infinits parells de valors (x, y ) que satisfan aquesta equació.

b

⇒ R = (−2, 1)

Si A = (a 1, a 2) i B = (b 1, b 2), sabem que el punt mitjà

   t = −3 u − 2 v ⇒  ⇒ t = (−3, − 2)

⇒ S = (−2, −1)

En la figura observem que N és el punt mitjà de    AB; M, el punt mitjà de AN ; i P, el punt mitjà de NB.

Si fixem el mòdul, a l’equació (1) li hem d’afegir la que ens dóna el mòdul, és a dir:

u

 10. [OP] = 2 u + 2 v    [OQ ] = 2 u − 2 v    [OR ] = −2 u + 2 v    [OS] = −2 u − v   [OT] = 3 u

A

x2 + y 2 = k  Per tant, per a trobar els vectors ortogonals a u i amb mòdul fix, per exemple k, hem de resoldre el sistema:

   s = −3 u + v ⇒  ⇒ s = (−3, 1)

B

P

 11. [ AB] = (−2 −7, 4 −5) = (−9, −1)   Hem de trobar D de manera que [ AB] = [CD]. Sigui D = (d 1, d 2).  [CD] = (d1 − (−1), d 2 − 3) = (d1 + 1, d 2 − 3)   [CD] = [ AB] ⇔ (d1 + 1, d 2 − 3) = (−9, −1) ⇔

M

v

N

⇔ d1 + 1 = −9 i d 2 − 3 = −1 ⇔ d1 = −10 i d 2 = 2

a

a x + b y = 0 ⎪⎫ ⎬ x 2 + y 2 = k ⎭⎪

⇒

1. Vectors del pla12

   8. r = 2 u + 3 v  ⇒ r = (2, 3)

Per tant, D = (−10, 2).

3. BASES DE V 2

12.

12

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 12

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 13

16. Representem   les dades en una figura i veiem que [NM] = [PQ ]. Per tant, es tracta de trobar les coordenades del punt Q perquè es compleixi aquesta igualtat. Per tant, D = (4, 6). d1 − 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ d1 = 4, d 2 = 6 d 2 − 5 = 1 ⎭⎪

Siguin P = (p 1, p 2) i Q = (q 1, q 2) les coordenades de P i Q , respectivament. Tenim:  [ AP] = (p1 − (−2), p2 − (−1)) = (p1 + 2, p2 + 1)  [ AQ ] = (q1 − (−2), q 2 − (−1)) = (q1 + 2, q 2 + 1)  [ AB] = (4 − (−2), 2 − (−1)) = (6, 3)

1. Vectors del pla

13 Si aïllem y en la primera equació i substituïm a la segona, tenim: ⎛ a ⎞ x2 + ⎜ − x ⎟ ⎝ b ⎠

2

= k ⇒ x2 +

a2 b

2

⎛ a2 ⎞ ⇒ ⎜ 1 + 2 ⎟ x2 = k2 ⇒ x = ± ⎝ b ⎠

Y Q

x2 = k2 ⇒ k2 1+

a

M 2

P

b2

X

Vegem, doncs, que hi ha dues solucions sempre que k ≠ 0 (les dues solucions corresponen als dos sentits possibles).

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 15. Representem   les dades en una figura i veiem que [ AD] = [BC]. Per tant, es tracta de trobar les coordenades del punt D perquè es compleixi aquesta igualtat.

Y

N

 — Calculem els components del vector [NM] :  [NM] = (−1 − (−3), 2 − (−1)) = (2, 3)  — Calculem els components del vector [PQ ] :  [PQ ] = (q1 − 4, q 2 − 1) essent Q = (q 1, q 2) les coordenades del punt Q. — Igualem tots dos vectors i trobem q 1 i q 2:   [NM] = [PQ ] ⇒ (2, 3) = (q1 − 4, q 2 − 1)

D

Si P i Q divideixen el segment AB en tres parts iguals, s’ha de complir:    1 2  [ AP] = [ AB] i [ AQ ] = [ AB] 3 3

  [ AD] = [BC] ⇒ (d1 − 2, d 2 − 5) = (2, 1)

— Igualem tots dos vectors i trobem d 1 i d 2 : essent D = (d 1, d 2) les coordenades del punt D.  — Calculem els components del vector [ AD]:  [ AD] = (d1 − 2, d 2 − 5)

A X P Q

 — Calculem els components del vector [BC]:  [BC] = (3 − 1, 2 − 1) = (2, 1)

B Y

A

q1 − 4 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 6, q 2 = 4 q 2 − 1 = 3 ⎭⎪

X

17. Representem les dades en una figura.

Per tant, Q = (6, 4).

C

B B

C

Per tant, Q = (6, 4).

17. Representem les dades en una figura.

q1 − 4 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 6, q 2 = 4 q 2 − 1 = 3 ⎭⎪

X A

Y

 — Calculem els components del vector [BC]:  [BC] = (3 − 1, 2 − 1) = (2, 1)  — Calculem els components del vector [ AD]:  [ AD] = (d1 − 2, d 2 − 5)

B Q P X A

essent D = (d 1, d 2) les coordenades del punt D. — Igualem tots dos vectors i trobem d 1 i d 2 :   [ AD] = [BC] ⇒ (d1 − 2, d 2 − 5) = (2, 1) d1 − 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ d1 = 4, d 2 = 6 d 2 − 5 = 1 ⎭⎪

16. Representem   les dades en una figura i veiem que [NM] = [PQ ]. Per tant, es tracta de trobar les coordenades del punt Q perquè es compleixi aquesta igualtat.

Siguin P = (p 1, p 2) i Q = (q 1, q 2) les coordenades de P i Q , respectivament. Tenim:  [ AP] = (p1 − (−2), p2 − (−1)) = (p1 + 2, p2 + 1)  [ AQ ] = (q1 − (−2), q 2 − (−1)) = (q1 + 2, q 2 + 1)  [ AB] = (4 − (−2), 2 − (−1)) = (6, 3)

1. Vectors del pla

Per tant, D = (4, 6).

Si P i Q divideixen el segment AB en tres parts iguals, s’ha de complir:   1  2  [ AP] = [ AB] i [ AQ ] = [ AB] 3 3

— Igualem tots dos vectors i trobem q 1 i q 2:   [NM] = [PQ ] ⇒ (2, 3) = (q1 − 4, q 2 − 1)

D

Y

15. Representem   les dades en una figura i veiem que [ AD] = [BC]. Per tant, es tracta de trobar les coordenades del punt D perquè es compleixi aquesta igualtat. RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES Vegem, doncs, que hi ha dues solucions sempre que k ≠ 0 (les dues solucions corresponen als dos sentits possibles).

essent Q = (q 1, q 2) les coordenades del punt Q.  — Calculem els components del vector [NM] :  [NM] = (−1 − (−3), 2 − (−1)) = (2, 3)  — Calculem els components del vector [PQ ] :  [PQ ] = (q1 − 4, q 2 − 1) N X

⎛ a2 ⎞ ⇒ ⎜ 1 + 2 ⎟ x2 = k2 ⇒ x = ± ⎝ b ⎠ ⎛ a ⎞ x2 + ⎜ − x ⎟ ⎝ b ⎠

= k ⇒ x2 + 2

b2 a2

1+

b2

P

a2

k2

M

x2 = k2 ⇒

Si aïllem y en la primera equació i substituïm a la segona, tenim:

Q Y

13

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 13 C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 14

14 Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:

Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:  1  [ AM] = [ AB] ⇒ 4 1 ⇒ (m1 + 2, m2 − 5) = (8, −4) = (2, −1) 4 m1 + 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ m1 = 0, m2 = 4 m2 − 5 = −1 ⎭⎪  1  [ AN] = [ AB] ⇒ 2 1 ⇒ (n1 + 2, n2 − 5) = (8, −4) = (4, −2) 2 ⎫ ⎬ ⇒ n1 = 2, n2 = 3 ⎭⎪ n1 + 2 = 4 n 2 − 5 = −2

A M

Per tant, M = (0, 4), N = (2, 3) i O = (4, 2). N O B X

Si M, N i O divideixen el segment AB en quatre parts iguals, s’ha de complir:  1  [ AM] = [ AB] 4

19. Hem  de veure  si existeix k ∈ , de manera que [ AC] = k ⋅ [ AB].  [ AC] = (−1, 3) ⎪⎫  ⎬ ⇒ (−1, 3) = k ⋅ (−1, 3) ⇒ [ AB] = (−3, 1) ⎪ ⎭ 1 ⎧ ⎪ −1 = −3 k ⇒ k = ⇒⎨ 3 3= k ⎩⎪   No existeix cap valor de k per al qual [ AC] = k ⋅ [ AB]. Aleshores, A, B i C no estan alineats.

 1  [ AN] = [ AB] 2

20. Representem les dades en una figura i veiem que:   [ AG] = 2[GM]

 3  [ AO] = [ AB] 4

Y C N

Siguin M = (m 1, m 2), N = (n 1, n 2) i O = (o 1, o 2) les coordenades de M, N i O, respectivament. Tenim:

A

M

G

B

P

 [ AM] = (m1 − (−2), m2 − 5) = (m1 + 2, m2 − 5)

X

 [ AN] = (n1 − (−2), n2 − 5) = (n1 + 2, n2 − 5)  [ AO] = (o1 − (−2), o2 − 5) = (o1 + 2, o2 − 5)

Trobem el punt mitjà del segment BC: ⎛ 6 + 5 1 + 4 ⎞ ⎛ 11 5 ⎞ M=⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

 [ AB] = (6 − (−2), 1 − 5) = (8, −4)

1. Vectors del pla14

 1  [ AP] = [ AB] ⇒ 3 1 ⇒ (p1 + 2, p2 + 1) = (6, 3) = (2, 1) 3 p1 + 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ p1 = 0, p2 = 0 p2 + 1 = 1 ⎭⎪  2  [ AQ ] = [ AB] ⇒ 3 2 ⇒ (q1 + 2, q 2 + 1) = (6, 3) = (4, 2) 3 q1 + 2 = 4 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 2, q 2 = 1 q 2 + 1 = 2 ⎪⎭ Per tant, P = (0, 0) i Q = (2, 1).

18. Representem les dades en una figura.

B

 3  [ AO] = [ AB] ⇒ 4 3 ⇒ (o1 + 2, o2 − 5) = (8, −4) = (6, −3) 34 o1 + 2 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ o1 = 4, o2 = 2 o2 − 5 = −3 ⎪⎭

P M C

Y

Y

⎛ 6 + 5 1 + 4 ⎞ ⎛ 11 5 ⎞ M=⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠ Trobem el punt mitjà del segment BC: X A

G

N

20. Representem les dades en una figura i veiem que:   [ AG] = 2[GM]

Aleshores, A, B i C no estan alineats.   No existeix cap valor de k per al qual [ AC] = k ⋅ [ AB]. 1 ⎧ ⎪ −1 = −3 k ⇒ k = ⇒⎨ 3 ⎪⎩ 3= k  [ AC] = (−1, 3) ⎫⎪  ⎬ ⇒ (−1, 3) = k ⋅ (−1, 3) ⇒ [ AB] = (−3, 1) ⎭⎪ Per tant, M = (0, 4), N = (2, 3) i O = (4, 2).

Y

18. Representem les dades en una figura.

 1  [ AM] = [ AB] ⇒ 4 1 ⇒ (m1 + 2, m2 − 5) = (8, −4) = (2, −1) 4 m1 + 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ m1 = 0, m2 = 4 m2 − 5 = −1 ⎭⎪

1. Vectors del pla14

 [ AB] = (6 − (−2), 1 − 5) = (8, −4)  [ AO] = (o1 − (−2), o2 − 5) = (o1 + 2, o2 − 5)  [ AN] = (n1 − (−2), n2 − 5) = (n1 + 2, n2 − 5)  [ AM] = (m1 − (−2), m2 − 5) = (m1 + 2, m2 − 5) Siguin M = (m 1, m 2), N = (n 1, n 2) i O = (o 1, o 2) les coordenades de M, N i O, respectivament. Tenim:  3  [ AO] = [ AB] 4  1  [ AN] = [ AB] 2  1  [ AM] = [ AB] 4 Si M, N i O divideixen el segment AB en quatre parts iguals, s’ha de complir: X

19. Hem  de veure  si existeix k ∈ , de manera que [ AC] = k ⋅ [ AB].

B O N M A

 3  [ AO] = [ AB] ⇒ 4 3 ⇒ (o1 + 2, o2 − 5) = (8, −4) = (6, −3) 34 o1 + 2 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ o1 = 4, o2 = 2 o2 − 5 = −3 ⎭⎪

Per tant, P = (0, 0) i Q = (2, 1).

 1  [ AN] = [ AB] ⇒ 2 1 ⇒ (n1 + 2, n2 − 5) = (8, −4) = (4, −2) 2 n1 + 2 = 4 ⎫ ⎬ ⇒ n1 = 2, n2 = 3 n2 − 5 = −2 ⎪⎭

 1  [ AP] = [ AB] ⇒ 3 1 ⇒ (p1 + 2, p2 + 1) = (6, 3) = (2, 1) 3 p1 + 2 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ p1 = 0, p2 = 0 p2 + 1 = 1 ⎭⎪  2  [ AQ ] = [ AB] ⇒ 3 2 ⇒ (q1 + 2, q 2 + 1) = (6, 3) = (4, 2) 3 q1 + 2 = 4 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 2, q 2 = 1 q 2 + 1 = 2 ⎭⎪ Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:

Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:

14

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 14

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 15

  ⎛3 ⎞ [ AG] = 2 [GM] ⇒ (g1 + 1, g 2 ) = 2 ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝2 ⎠ g1 + 1 = 3 − 2 g1 ⎫ 2 ⎬ ⇒ g1 = i g 2 = 0 g 2 = −2 g 2 3 ⎪⎭

25. En tots dos casos, el producte escalar és igual a 0, ja que es tracta de vectors perpendiculars, essent el cosinus de 90° igual a 0. Així tindrem:     u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos 90° = 0

1. Vectors del pla

15 Si G = (g 1, g 2) són les coordenades   del baricentre G, determinem els vectors [ AG] i [GM]:  [ AG] = (g1 − 2, g 2 − 1)

⎛2 ⎞ Per tant, G = ⎜ , 0 ⎟ . ⎝3 ⎠ 22. Un dia que bufa el xaloc, el penell assenyala el punt A = (−3, 2); per tant:

i  5 ⎛ 11 ⎞ [GM] = ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2

 OA = ( −3, 2 )

Substituïm en la igualtat vectorial: Un vector director de l’eix OY és (0, 1).

Substituïm en la igualtat vectorial:   [ AG] = 2 [GM] ⇒

(u

u1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2 −3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 0, 555 =   |u| ⋅ |v| 13 ⋅ 1

23. La trajectòria de la canoa en travessar el riu té com a direcció el vector:    AD = AB + AC = (4, 4) + (3, 0) = (7, 4)

B P

Així, les coordenades del punt d’arribada, D, són:

X A

D = (7, 4)

G

C

M

v

Qüestions    24. Donats tres vectors lliures u, v i w , la propietat associativa de la suma estableix la següent igualtat:       (u + v ) + w = u + (v + w ) Gràficament, podem veure que això és així, considerant els següents vectors lliures i la seva suma: ACTIVITATS

N N

ACTIVITATS

M

C

G

D = (7, 4)

A

X

Així, les coordenades del punt d’arribada, D, són:

Y P B

Qüestions    24. Donats tres vectors lliures u, v i w , la propietat associativa de la suma estableix la següent igualtat:       (u + v ) + w = u + (v + w ) Gràficament, podem veure que això és així, considerant els següents vectors lliures i la seva suma:

21. Representem les dades en una figura i veiem que:   [ AG] = 2 [GM] Trobem el punt mitjà del segment BC: ⎛ 1 + 2 (−2) + 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ M=⎜ , ⎟⎠ = ⎜⎝ , 0 ⎟⎠ ⎝ 2 2 2 Si G = (g 1, g 2) són les coordenades   del baricentre G, determinem els vectors [ AG] i [GM]:  [ AG] = (g1 − (−1), g 2 − 0) = (g1 + 1, g 2 )  ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞ [GM] = ⎜ − g1 , 0 − g 2 ⎟ = ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

v

v u

u+v

w

u v

Trobem el punt mitjà del segment BC: Y

w

+

w

u+v

⎛ 1 + 2 (−2) + 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ M=⎜ = , ,0 ⎝ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2

21. Representem les dades en una figura i veiem que:   [ AG] = 2 [GM]

v

u

w

90° − 56,28° + 90° = 123,72° i procedeix del SE.

u+v

u

w

u+v

+

Per tant, la direcció del xaloc forma un angle de 56,28° amb el vector (0,1). Com que l’orientació de l’angle ha de ser positiva, hem de prendre la direcció que forma el vent amb el vector (0, −1), que és:

+

) +w

v

⎛ 13 ⎞ Per tant, G = ⎜ , 2 ⎟ . ⎝ 3 ⎠

cos α =

w

v

w

w

Si G = (g 1, g 2) són les coordenades   del baricentre G, determinem els vectors [ AG] i [GM]:  [ AG] = (g − (−1), g − 0) = (g + 1, g ) 1 2 1 2  3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ [GM] = ⎜ − g1 , 0 − g 2 ⎟ = ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

(v u+

w )+ +v

v +

5 ⎛ 11 ⎞ ⇒ (g1 − 2, g 2 − 1 = 2 ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 g1 − 2 = 11 − 2 g1 ⎫ 13 i g2 = 2 ⎬ ⇒ g1 = g 2 − 1 = 5 − 2 g 2 ⎭⎪ 3

Podem calcular l’angle que formen els dos vectors que acabem de trobar, aplicant la fórmula corresponent:

)+ +v (u

w

(v u+

) +w

   AD = AB + AC = (4, 4) + (3, 0) = (7, 4) 23. La trajectòria de la canoa en travessar el riu té com a direcció el vector: 90° − 56,28° + 90° = 123,72° i procedeix del SE.

⎛ 13 ⎞ Per tant, G = ⎜ , 2 ⎟ . ⎝ 3 ⎠ 5 ⎛ 11 ⎞ ⇒ (g1 − 2, g 2 − 1 = 2 ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 g − 2 = 11 − 2 g ⎫ 13 1 1 i g2 = 2 ⎬ ⇒ g1 = g 2 − 1 = 5 − 2 g 2 ⎭⎪ 3 Substituïm en la igualtat vectorial:   [ AG] = 2 [GM] ⇒

Per tant, la direcció del xaloc forma un angle de 56,28° amb el vector (0,1). Com que l’orientació de l’angle ha de ser positiva, hem de prendre la direcció que forma el vent amb el vector (0, −1), que és: cos α =

u1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2 −3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 0, 555 =   |u| ⋅ |v| 13 ⋅ 1

Podem calcular l’angle que formen els dos vectors que acabem de trobar, aplicant la fórmula corresponent: Un vector director de l’eix OY és (0, 1).

Substituïm en la igualtat vectorial:

25. En tots dos casos, el producte escalar és igual a 0, ja que es tracta de vectors perpendiculars, essent el cosinus de 90° igual a 0. Així tindrem:     u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos 90° = 0

1. Vectors del pla

  ⎛3 ⎞ [ AG] = 2 [GM] ⇒ (g1 + 1, g 2 ) = 2 ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝2 ⎠ g1 + 1 = 3 − 2 g1 ⎫ 2 ⎬ ⇒ g1 = i g 2 = 0 g 2 = −2 g 2 3 ⎪⎭

 5 ⎛ 11 ⎞ [GM] = ⎜ − g1 , − g 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 i  [ AG] = (g1 − 2, g 2 − 1) Si G = (g 1, g 2) són les coordenades   del baricentre G, determinem els vectors [ AG] i [GM]:

 OA = ( −3, 2 ) 22. Un dia que bufa el xaloc, el penell assenyala el punt A = (−3, 2); per tant: ⎛2 ⎞ Per tant, G = ⎜ , 0 ⎟ . ⎝3 ⎠

15

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 15 C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 16

16 Exercicis i problemes   33. Són equipol.lents els vectors AB i IJ, ja que tots dos tenen la mateixa direcció, el mateix mòdul i el mateix sentit. Y

+

5 4 3

L

A

D

B C

G

2

H

1

K –5

–4

–3

–2

J

–1

1

E

F

2

3

4

5

X

–2

I

–3 –4

34. Dibuixem un altre representant del vector lliure  [ AB], el punt d’origen del qual sigui (4, 0) i veiem que el punt extrem és (6, 3). Y B

4

(6, 3) 3

A

1 –1

=

v12

+

1

2

3

4

6

5

X

7

35. u

u

v 22

u+v

u–v v

b

v

⇒ u12 − v12 + u 22 − v 22 = 0

a

En multiplicar el vector suma i el vector diferència tenim: 3

4

5

X

2u – 3v

2

u

F

2u

1

(u1 + v1, u2 + v2) ⋅ (u1 − v1, u2 − v2) = = u12 − v12 +u22 − v22 = 0

E

v

Per tant, el vector suma i el vector diferència són ortogonals.

1. Vectors del pla16

26. Sí, tal com diu la propietat de l’element oposat: tot   vector u té un element oposat − u, que és el vector de la mateixa direcció i el mateix mòdul, però de sentit contrari. En sumar un vector amb el seu oposat obtenim com a resultat el vector nul:   u + (− u) = 0 27. Si els vectors de la base són perpendiculars, direm que es tracta d’una base ortogonal, independentment de quins siguin els mòduls d’aquests vectors. Perquè es tracti d’una base ortonormal, a més de ser perpendiculars, els vectors han de ser de mòdul 1. 28. No és possible. Per la regla del paral·lelogram, el vector suma és la diagonal del paral·lelogram determinat pels dos vectors lliures situats amb un origen comú, i la longitud d’aquesta diagonal mai no pot ser més gran que la suma de les longituds dels costats que la determinen.     29. No necessàriament es complirà v = w . Si u i v són ortogonals el producte serà 0, igual que si també són   ortogonals u i v. Així, per exemple, si en una base    ortonormal els vectors u, v i w tenen com a components respectivament (2, 3), (− 3, 2) i (3, − 2),   u ⋅ v = (2, 3) ⋅ (−3, 2) = −6 + 6 = 0   u ⋅ w = (2, 3) ⋅ (3, −2) = 6 − 6 = 0   els vectors v i w no seran iguals (el seu sentit serà  diferent), però en multiplicar-los per u el resultat serà el mateix.

2

30. Considerem els vectors:  u = (u1 , u 2 )  v = (v 1 , v 2 ) Els vectors suma i diferència són:   u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 )   u − v = (u1 − v1 , u 2 − v 2 )   Com que els vectors u i v tenen el mateix mòdul, es compleix que: ⇒

2u – 3v v

+

b

=

 ⎛ 3⎞ ⇒ a = ⎜ 2, ⎟ ⎝ 2⎠  ⎛ 7 5⎞ ⇒ b = ⎜− , ⎟ ⎝ 2 2⎠ v u

v

+

  3 a = 2u + v 2  7 5 b = − u+ v 2 2

36. Gràficament trobem que: d u 2u

a X

u 22

=0 +

7

u12

−

=

6

v 22

v 22

u–v 5

4

v12

+

u 22

v 22

3

u 22

⇒

v12

–1

u12

+

u 22

J

u

d c

36. Gràficament trobem que:

−

v12 +

u12

–2

31. Dos vectors que uneixen de forma successiva tres punts alineats tenen la mateixa direcció i el mateix sentit; per tant, l’un serà combinació lineal de l’altre. Per això direm que són linealment dependents.

u12

v 22

–3

G

 ⎛ 3⎞ ⇒ a = ⎜ 2, ⎟ ⎝ 2⎠  ⎛ 7 5⎞ ⇒ b = ⎜− , ⎟ ⎝ 2 2⎠

  3 a = 2u + v 2  7 5  b = − u+ v 2 2

=

v12

u 2

A (6, 3) B –3

–4

H

1 2

C B

Y

−1  32. Si multipliquem el vector u per  , el vector |u| resultant és un vector unitari de la mateixa direcció  que u i sentit contrari.

+

u 22

u+v

u

35. 1

–1 1 2 3 4

Y

34. Dibuixem un altre representant del vector lliure  [ AB], el punt d’origen del qual sigui (4, 0) i veiem que el punt extrem és (6, 3). –4

I

–2 –5

K A

L

D

3 4 5

  33. Són equipol.lents els vectors AB i IJ, ja que tots dos tenen la mateixa direcció, el mateix mòdul i el mateix sentit.

1. Vectors del pla16

−1  32. Si multipliquem el vector u per  , el vector |u| resultant és un vector unitari de la mateixa direcció  que u i sentit contrari. 31. Dos vectors que uneixen de forma successiva tres punts alineats tenen la mateixa direcció i el mateix sentit; per tant, l’un serà combinació lineal de l’altre. Per això direm que són linealment dependents.

c

Per tant, el vector suma i el vector diferència són ortogonals. (u1 + v1, u2 + v2) ⋅ (u1 − v1, u2 − v2) = = u12 − v12 +u22 − v22 = 0 En multiplicar el vector suma i el vector diferència tenim: ⇒ u12

Els vectors suma i diferència són:   u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 )   u − v = (u1 − v1 , u 2 − v 2 )   Com que els vectors u i v tenen el mateix mòdul, es compleix que: 30. Considerem els vectors:  u = (u1 , u 2 )  v = (v 1 , v 2 )     29. No necessàriament es complirà v = w . Si u i v són ortogonals el producte serà 0, igual que si també són   ortogonals u i v. Així, per exemple, si en una base    ortonormal els vectors u, v i w tenen com a components respectivament (2, 3), (− 3, 2) i (3, − 2),   u ⋅ v = (2, 3) ⋅ (−3, 2) = −6 + 6 = 0   u ⋅ w = (2, 3) ⋅ (3, −2) = 6 − 6 = 0   els vectors v i w no seran iguals (el seu sentit serà  diferent), però en multiplicar-los per u el resultat serà el mateix. 28. No és possible. Per la regla del paral·lelogram, el vector suma és la diagonal del paral·lelogram determinat pels dos vectors lliures situats amb un origen comú, i la longitud d’aquesta diagonal mai no pot ser més gran que la suma de les longituds dels costats que la determinen. 27. Si els vectors de la base són perpendiculars, direm que es tracta d’una base ortogonal, independentment de quins siguin els mòduls d’aquests vectors. Perquè es tracti d’una base ortonormal, a més de ser perpendiculars, els vectors han de ser de mòdul 1. 26. Sí, tal com diu la propietat de l’element oposat: tot   vector u té un element oposat − u, que és el vector de la mateixa direcció i el mateix mòdul, però de sentit contrari. En sumar un vector amb el seu oposat obtenim com a resultat el vector nul:   u + (− u) = 0

Exercicis i problemes

16

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 16

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 17

38. Dos vectors del pla formen base si són no nuls i tenen direcció diferent. Per tant:   a) u = (1, 3 ) i v = ( −1, −3 ) no formen base perquè tenen la mateixa direcció.

 ⎛7 ⎞ ⇒ e = ⎜ , −1⎟ ⎝2 ⎠

= ( 6, 6 ) + ( 2, −2 ) = ( 8, 4 )

  d) 2 u − v = 2 ⋅ ( 3, 3 ) − ( −2, 2 ) =

  39. Hem de trobar k 1, k 2 ∈ de manera que u = k1 ⋅ v +  + k2 ⋅ w : (−1, 2) = k 1 ⋅ (2, 3) + k 2 ⋅ (1, 0) = = (2 k 1, 3 k 1) + (k 2 , 0) = (2 k 1 + k 2, 3 k 1)

a

41. a) u ⋅ v = (1, −2) ⋅ (−2, 2) = 1 ⋅ (−2) + (−2) ⋅ 2 = = −2 −4 = −6   b) 2 u ⋅ v = 2 (1, −2) ⋅ (−2, 2) = (2, −4) ⋅ (−2, 2) = = 2 ⋅ (−2) + (−4) ⋅ 2 = −4 −8 = −12    c) (u + v ) ⋅ v = ((1, −2) + (−2, 2)) ⋅ (−2, 2) = = (−1, 0) ⋅ (−2, 2)) = (−1) ⋅ (−2) + 0 ⋅ 2 = = 2+0 = 2

= ( 3, 3 ) + ( −4, 4 ) = ( −1, 7 )

  c) u + 2 v = ( 3, 3 ) + 2 ⋅ ( −2, 2 ) =

b v c

u

Per tant, ha de ser:

 b) −2 w = −2 ⋅ (−1, −4) = = ((−2) ⋅ (−1), (−2) ⋅ (−4)) = (2, 8)

e d

−1 = 2 k1 + k 2 ⎫ 2 −7 ⎬ ⇒ k1 = ; k 2 = 3 3 ⎭⎪

= (1, 5 ) + ( −1, −4 ) = (1 − 1, 5 − 4 ) = ( 0, 1)

2 = 3 k1

= ( 3 − 2, 3 + 2 ) + ( −1, −4 ) =

37.

Aleshores, tenim: 2 7   u = v− w 3 3

4 = 2m + 2⎫ ⎬⇒m =1in = 0 1 = 2n + 1 ⎭

   a) u + v + w = ( 3, 3 ) + ( −2, 2 ) + ( −1, −4 ) =

–2w

 ⇒ u = ( 3, 3 )  ⇒ v = ( −2, 2 )  ⇒ w = ( −1, −4 )

   u = 3i +3 j    v = −2 i + 2 j    w = −i − 4 j

u v

j

Podem procedir de manera anàloga per a expres   sa v com a combinació lineal de u i w i per a expres   sar w com a combinació lineal de u i v però és més ràpid aïllar l’expressió (1). Així:

u

v

i

j

w

i

(4, 1) = (2 m + 2, 2 n + 1) (4, 1) = 2 ⋅ (m, n) + 1 ⋅ (2, 1)

d

c

a

w

w

w

b

i v

i

j

u

v

j u

u + 2v

2u – v

u + 2v

u v

u

j

v

b c

w i w

   u = 3i +3 j    v = −2 i + 2 j    w = −i − 4 j

2u – v

j i

i w

a

j i

v

v

j

    42. (2 u − 3 v ) ⋅ (v + 4 w ) = = (2 (−1, −2) − 3 ⋅ (2, 2)) ⋅ ((2, 2) + 4 ⋅ (0, −1) = = ((−2, −4) + (−6, −6)) ⋅ ((2, 2) + (0, −4)) = = (−8, −10) ⋅ (2, −2) = (−8) ⋅ 2 + (−10) ⋅ (−2) = = −16 + 20 = 4

1. Vectors del pla

17   b) u = ( −1, 2 ) i v = ( −1, −1) formen base, ja que són no nuls i tenen direcció diferent.   c) u = (1, 2 ) i v = ( 2, 3 ) formen base perquè són no nuls i tenen direcció diferent.    d) u = ( 4, 5 ) i v = ( 0, 0 ) no formen base perquè v és nul.

 ⎛ 3 ⎞ ⇒ c = ⎜ − , 0⎟ ⎝ 2 ⎠  ⎛1 3⎞ ⇒d =⎜ ,− ⎟ ⎝2 2⎠

3   c = − u + 0v 2  1 3 d = − u− v 2 2  7  e= u−v 2

w

d

 ⇒ u = ( 3, 3 )  ⇒ v = ( −2, 2 )  ⇒ w = ( −1, −4 )

   a) u + v + w = ( 3, 3 ) + ( −2, 2 ) + ( −1, −4 ) = = ( 3 − 2, 3 + 2 ) + ( −1, −4 ) =

u

2  2 7   7  •u= v− w ⇒u+ w = v ⇒ 3 3 3 3 3⎛ 7 ⎞   3 7  ⇒ ⎜ u + w⎟ = v ⇒ v = u+ w 2⎝ 3 ⎠ 2 2 7   2 7   2 • u= v− w ⇒u− v = − w ⇒ 3 3 3 3 3 ⎛  2 ⎞ 3 2   ⇒ − ⎜ u − v⎟ = w ⇒ w = − u + v 7⎝ 3 ⎠ 7 7  40. Que els components del vector u = (4, 1) a la base B = {(m, n), (2, 1)} siguin (2, 1) significa que: Podem procedir de manera anàloga per a expres   sa v com a combinació lineal de u i w i per a expres   sar w com a combinació lineal de u i v però és més ràpid aïllar l’expressió (1). Així: 2 7    u = v− w 3 3

u –2w

Aleshores, tenim:

37.

2 = 3 k1

= (1, 5 ) + ( −1, −4 ) = (1 − 1, 5 − 4 ) = ( 0, 1)

−1 = 2

 b) −2 w = −2 ⋅ (−1, −4) = = ((−2) ⋅ (−1), (−2) ⋅ (−4)) = (2, 8)

d u

c

+

k2

⎫ 2 7 − ⎬ ⇒ k1 = ; k 2 = 3 3 ⎭⎪

(−1, 2) = k 1 ⋅ (2, 3) + k 2 ⋅ (1, 0) = = (2 k 1, 3 k 1) + (k 2 , 0) = (2 k 1 + k 2, 3 k 1)

v b

k1

Per tant, ha de ser:

e

  c) u + 2 v = ( 3, 3 ) + 2 ⋅ ( −2, 2 ) = = ( 3, 3 ) + ( −4, 4 ) = ( −1, 7 )

a

  39. Hem de trobar k 1, k 2 ∈ de manera que u = k1 ⋅ v +  + k2 ⋅ w :

  d) 2 u − v = 2 ⋅ ( 3, 3 ) − ( −2, 2 ) = = ( 6, 6 ) + ( 2, −2 ) = ( 8, 4 )

2  7  ⇒u+ w = v ⇒ 3 3  3 7  ⇒ v = u+ w 2 2 7   2 ⇒u− v = − w ⇒ 3 3 3 2  ⇒ w = − u+ v 7 7  40. Que els components del vector u = (4, 1) a la base B = {(m, n), (2, 1)} siguin (2, 1) significa que: (4, 1) = 2 ⋅ (m, n) + 1 ⋅ (2, 1) (4, 1) = (2 m + 2, 2 n + 1) 4 = 2m + 2⎫ ⎬⇒m =1in = 0 1 = 2n + 1 ⎭ 41. a) u ⋅ v = (1, −2) ⋅ (−2, 2) = 1 ⋅ (−2) + (−2) ⋅ 2 = = −2 −4 = −6   b) 2 u ⋅ v = 2 (1, −2) ⋅ (−2, 2) = (2, −4) ⋅ (−2, 2) = = 2 ⋅ (−2) + (−4) ⋅ 2 = −4 −8 = −12    c) (u + v ) ⋅ v = ((1, −2) + (−2, 2)) ⋅ (−2, 2) = = (−1, 0) ⋅ (−2, 2)) = (−1) ⋅ (−2) + 0 ⋅ 2 = = 2+0 = 2     42. (2 u − 3 v ) ⋅ (v + 4 w ) = = (2 (−1, −2) − 3 ⋅ (2, 2)) ⋅ ((2, 2) + 4 ⋅ (0, −1) = = ((−2, −4) + (−6, −6)) ⋅ ((2, 2) + (0, −4)) = = (−8, −10) ⋅ (2, −2) = (−8) ⋅ 2 + (−10) ⋅ (−2) = = −16 + 20 = 4

1. Vectors del pla

38. Dos vectors del pla formen base si són no nuls i tenen direcció diferent. Per tant:   a) u = (1, 3 ) i v = ( −1, −3 ) no formen base perquè tenen la mateixa direcció.

 2 7  •u= v− w 3 3 3⎛ 7 ⎞  ⇒ ⎜ u + w⎟ = v 2⎝ 3 ⎠  2 7  • u= v− w 3 3 3 ⎛  2 ⎞  ⇒ − ⎜ u − v⎟ = w 7⎝ 3 ⎠

3   c = − u + 0v 2  1 3 d = − u− v 2 2  7  e= u−v 2

  b) u = ( −1, 2 ) i v = ( −1, −1) formen base, ja que són no nuls i tenen direcció diferent.   c) u = (1, 2 ) i v = ( 2, 3 ) formen base perquè són no nuls i tenen direcció diferent.    d) u = ( 4, 5 ) i v = ( 0, 0 ) no formen base perquè v és nul.

 ⎛ 3 ⎞ ⇒ c = ⎜ − , 0⎟ ⎝ ⎠ 2  ⎛1 3⎞ ⇒d = ,− ⎟ ⎝⎜ 2 2⎠  ⎛7 ⎞ ⇒ e = ⎜ , −1⎟ ⎝2 ⎠

17

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 17 C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 18

 43. El vector u és unitari si i només si el seu mòdul és 1. MPQ

2

1 ⎛ 1⎞ + m2 = 1 ⇔ + m2 = 1 ⇔ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9

22 + (−1)2 ⋅ 32 + 32 3 5⋅3 2

=

1 10

=

⎛ x + 2 y + 4⎞ =⎜ , ⎟ = (1, 1) ⎝ 2 2 ⎠ ⎫ ⎪⎪ ⎬ ⇒ x = 0 i y = −2 ⎪ ⎪⎭

x+2 1= 2 y+4 2 1=

Per tant, les coordenades de l’altre extrem són P = = (0, −2). 50. a) Les coordenades dels vèrtexs del triangle ABC són A = (−2, −3), B = (4, 1) i C = (−2, 5). Apliquem la fórmula per trobar el punt mitjà dels costats AB, BC i AC: — Punt mitjà del costat AB: ⎛ −2 + 4 −3 + 1 ⎞ M=⎜ , ⎟ = (1, −1) ⎝ 2 2 ⎠ — Punt mitjà del costat BC: ⎛ 4 − 2 1 + 5⎞ N=⎜ , ⎟ = (1, 3) ⎝ 2 2 ⎠

2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 3 5 ⋅ 18

=

— Punt mitjà del costat AC: ⎛ −2 − 2 −3 + 5 ⎞ P =⎜ , ⎟ = (−2, 1) ⎝ 2 2 ⎠

10 10

=

−1 4 5 = = −1 ; m u = = 2 ; m r = = −1 −5 1 2

Aleshores, els vectors que tenen la mateixa direcció són:        v i r ; u, s i w ; t i z

48. Donats els punts A = (−2, 1) i B = (6, 3), apliquem la fórmula corresponent per a trobar les coordenades del punt mitjà del segment AB:

b) Les coordenades dels vèrtexs del triangle MNP són M = (1, −1), N = (1, 3) i P = (−2, 1). Apliquem la fórmula per trobar el punt mitjà dels costats MN, NP i MP: — Punt mitjà del costat MN: ⎛ 1 + 1 −1 + 3 ⎞ R =⎜ , ⎟ = (1, 1) ⎝ 2 2 ⎠ — Punt mitjà del costat NP:

— Punt mitjà del costat MP: ⎛ 1 − 2 −1 + 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ T =⎜ , ⎟ = ⎜ − , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

51.

1. Vectors del pla18

 |u| =

8 2 2 ⇔m= ± = ± 9 3  44. Un vector perpendicular a u = (2, −3) és, per exem  ple, v = (3, 2). Si ara dividim els components de u per   v , obtenim un vector perpendicular a u i, a més, unitari.  | v | = 32 + 22 = 13 2 ⎞ ⎛ 3  , . Podem considerar, doncs, v ′ = ⎜ ⎝ 13 13 ⎠⎟   45. a) u ⋅ v = (2, −1) ⋅ (3, 3) = 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 3 = = 6−3 = 3  b) | u | = 22 + (−1)2 = 5   c) | u + v | = |(2, −1) + (3, 3)| = |(5, 2)| = = 52 + 22 = 29   u⋅v    d) cos(u , v) =   = |u| ⋅ |v| (2, −1) ⋅ (3, 3) =

=

 46. [ AB] = (−5 − 2, 9 − (−3)) = (−7, 12) 47. Els pendents de les rectes que ens indiquen les direccions dels vectors són: m v

2 −1 3 m s = = 2 ; m  = = −3 ; m w = =2 t − 1 − 1 1 2

⎛ 1 − 2 3 + 1⎞ ⎛ 1 ⎞ S=⎜ , ⎟ = ⎜ − , 2⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

— Punt mitjà del costat AC:

−9 = −3 3

⎛ 3 + (−2) 5 + 2 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ MDA = ⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎛ −2 − 2 −3 + 5 ⎞ P =⎜ , ⎟ = (−2, 1) ⎝ 2 2 ⎠

=

⎛ −2 + 6 1 + 3 ⎞ M AB = ⎜ , ⎟ = (2, 2) ⎝ 2 2 ⎠

5 ⋅ 18 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 3

1⎞ ⎛ −2 + (−3) 2 + (−3)⎞ ⎛ 5 M AB = ⎜ , ⎟⎠ = ⎜⎝ − , − ⎟⎠ ⎝ 2 2 2 2 ⎛ −3 + 5 −3 + (−5)⎞ MBC = ⎜ = (1, −4 ) , ⎝ 2 ⎠⎟ 2 ⎛ 5 + 3 −5 + 5 ⎞ MCD = ⎜ , ⎟ = ( 4, 0 ) ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ 1 − 2 3 + 1⎞ ⎛ 1 ⎞ S=⎜ , ⎟ = ⎜ − , 2⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ — Punt mitjà del costat NP:

10 10 =

1⎞ ⎛ −2 + (−3) 2 + (−3)⎞ ⎛ 5 M AB = ⎜ , = − ,− ⎟ ⎝ ⎠⎟ ⎝⎜ 2 2 2 2⎠ ⎛ −3 + 5 −3 + (−5)⎞ MBC = ⎜ = (1, −4 ) , ⎝ 2 ⎠⎟ 2 ⎛ 5 + 3 −5 + 5 ⎞ MCD = ⎜ , ⎟ = ( 4, 0 ) ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ 3 + (−2) 5 + 2 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ MDA = ⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

=

2

49. Siguin P = (x, y ) les coordenades de l’extrem que busquem.

10 1 2

⎫ ⎪⎪ ⎬ ⇒ x = 0 i y = −2 ⎪ ⎪⎭

⎛ x + 2 y + 4⎞ MPQ = ⎜ , ⎟ = (1, 1) ⎝ 2 2 ⎠

Les coordenades del punt mitjà de P i Q = (2, 4) són:

= 2

18

12:13

m z =

51.

— Punt mitjà del costat MP:

2 −1 3 = 2 ; m t = = −3 ; m w = =2 −1 −1 1 2 −9 m z = = −3 3

⎛ 1 + 1 −1 + 3 ⎞ R =⎜ , ⎟ = (1, 1) ⎝ 2 2 ⎠

−1 4 5 = −1 ; m u = = 2 ; m r = = −1 −5 1 2 5⋅3 2 3

2 + (−1) ⋅ 3 + 3 2

⎛ 4 − 2 1 + 5⎞ N=⎜ , ⎟ = (1, 3) ⎝ 2 2 ⎠

52 + 22 =

— Punt mitjà del costat BC: ⎛ −2 + 4 −3 + 1 ⎞ M=⎜ , ⎟ = (1, −1) ⎝ 2 2 ⎠ — Punt mitjà del costat AB: 50. a) Les coordenades dels vèrtexs del triangle ABC són A = (−2, −3), B = (4, 1) i C = (−2, 5). Apliquem la fórmula per trobar el punt mitjà dels costats AB, BC i AC: Per tant, les coordenades de l’altre extrem són P = = (0, −2).

⇔m= ±

27/5/09

1. Vectors del pla18

18 Les coordenades del punt mitjà de P i Q = (2, 4) són: 49. Siguin P = (x, y ) les coordenades de l’extrem que busquem. ⎛ −2 + 6 1 + 3 ⎞ M AB = ⎜ , ⎟ = (2, 2) ⎝ 2 2 ⎠ 48. Donats els punts A = (−2, 1) i B = (6, 3), apliquem la fórmula corresponent per a trobar les coordenades del punt mitjà del segment AB:

⎛ 1 − 2 −1 + 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ T =⎜ , ⎟ = ⎜ − , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Aleshores, els vectors que tenen la mateixa direcció són:        v i r ; u, s i w ; t i z m s = m v =

— Punt mitjà del costat MN:

47. Els pendents de les rectes que ens indiquen les direccions dels vectors són:

b) Les coordenades dels vèrtexs del triangle MNP són M = (1, −1), N = (1, 3) i P = (−2, 1). Apliquem la fórmula per trobar el punt mitjà dels costats MN, NP i MP:

 46. [ AB] = (−5 − 2, 9 − (−3)) = (−7, 12) = =

29   u⋅v   = |u| ⋅ |v| (2, −1) ⋅ (3, 3)

   d) cos(u , v) = =

  45. a) u ⋅ v = (2, −1) ⋅ (3, 3) = 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ 3 = = 6−3 = 3  b) | u | = 22 + (−1)2 = 5   c) | u + v | = |(2, −1) + (3, 3)| = |(5, 2)| = 2 ⎞ ⎛ 3  , . Podem considerar, doncs, v ′ = ⎜ ⎝ 13 13 ⎟⎠ 8 2 2 = ± 9 3  44. Un vector perpendicular a u = (2, −3) és, per exem  ple, v = (3, 2). Si ara dividim els components de u per   v , obtenim un vector perpendicular a u i, a més, unitari.  | v | = 32 + 22 = 13

x+2 2 y+4 1= 2 1=

1 ⎛ 1⎞ 2 2 ⎜⎝ ⎟⎠ + m = 1 ⇔ + m = 1 ⇔ 3 9

 |u| =

2

 43. El vector u és unitari si i només si el seu mòdul és 1. 01 Mates CSS_Guia.qxd

Página 18

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 19

19 b) Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: M i P; N i Q.

Y

aleshores, aquest quadrilàter no és un paral.lelogram.

D Y

C

⎛ 16 44 ⎞ ⎛ 5 5⎞ , = M1 ≠ Pc = ⎜ , ≠ M2 = (1, 2) ⎝ 19 19 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟

c) Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: H i J; I i K ⎛1 ⎞ Com que es compleix Pc = ⎜ , 0 ⎟ = M1 = M2 , ⎝2 ⎠ aquest quadrilàter és un paral.lelogram.

A

P

Ja que,

1. Vectors del pla

52. a)

B

Q X

⎛ 2 + 0 0 + 4⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = (1, 2 ) ⎝ 2 2 ⎠

N

X

⎛ 3 − 2 −1 + 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = ⎜ , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 ⎠

Punt mitjà de B = (2, 0) i D = (0, 4):

M

Punt mitjà de N = (3, −1) i Q = (−2, 1):

⎛ −2 + 7 2 + 3 ⎞ ⎛ 5 5 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: A i C; B i D.

⎛ −3 + 4 −3 + 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ = ⎜ , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 ⎠

— Punt mitjà de A = (−2, 2) i C = (7, 3):

— La diagonal per M = (−3, −3) i P = (4, 3) és: — La diagonal per A = (−2, 2) i C = (7, 3) és:

— Punt mitjà de M = (−3, −3) i P = (4, 3):

⎛ 16 44 ⎞ Pc = ⎜ , ⎝ 19 19 ⎠⎟

3−2 y = ⋅ (x − (−2)) + 2 ⇒ 7 − (−2) 1 20 ⇒ y = x+ 9 9

y =

3 − (−3) (x − (−3)) + (−3) ⇒ 4 − (−3) 6 3 ⇒ y = x− 7 7

⇒x =

per tant, el punt de tall és 1 20 ⎫ y = x+ 16 44 ⎪ i y = 9 9 ⎬⇒x = 19 19 y = −2 x + 4 ⎭⎪

La diagonal per N = (3, −1) i Q = (−2, 1) és La diagonal per B = (2, 0) i D = (0, 4) és: y =

4−0 y = ⋅ (x − 2) + 0 ⇒ y = −2 x + 4 0−2

1 − (−1) (x − 3) + (−1) ⇒ −2 −3 2 1 ⇒ y = − x+ 5 5

6 3 ⎫ y = x− 7 7 ⎪⎪ ⇒ ⎬ 2 1 y = − x+ ⎪ 5 5 ⎪⎭ 1 ⎛1 ⎞ i y = 0; per tan t , el Pc = ⎜ , 0 ⎟ ⎝2 ⎠ 2

— Punt de tall entre les diagonals:

— Punt de tall entre les diagonals: ⇒ y = −

4−0 y = ⋅ (x − 2) + 0 ⇒ y = −2 x + 4 0−2

— Punt de tall entre les diagonals: 1 20 ⎫ x+ 16 44 ⎪ i y = 9 9 ⎬⇒x = 19 19 y = −2 x + 4 ⎪⎭

— Punt de tall entre les diagonals:

y =

6 3 x− 7 7 2 1 y = − x+ 5 5 y =

y =

La diagonal per B = (2, 0) i D = (0, 4) és:

2 1 x+ 5 5

1 − (−1) (x − 3) + (−1) ⇒ −2 −3

La diagonal per N = (3, −1) i Q = (−2, 1) és 3−2 y = ⋅ (x − (−2)) + 2 ⇒ 7 − (−2) 1 20 ⇒ y = x+ 9 9

per tant, el punt de tall és ⎛ 16 44 ⎞ Pc = ⎜ , ⎝ 19 19 ⎟⎠

⇒ y = y =

— La diagonal per A = (−2, 2) i C = (7, 3) és:

6 3 x− 7 7

3 − (−3) (x − (−3)) + (−3) ⇒ 4 − (−3)

— La diagonal per M = (−3, −3) i P = (4, 3) és:

— Punt mitjà de A = (−2, 2) i C = (7, 3):

Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: A i C; B i D.

⎛ −2 + 7 2 + 3 ⎞ ⎛ 5 5 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

M

Punt mitjà de B = (2, 0) i D = (0, 4): ⎛ 2 + 0 0 + 4⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = (1, 2 ) ⎝ 2 2 ⎠

⇒x =

⎫ ⎪⎪ ⎬⇒ ⎪ ⎪⎭

1 ⎛1 ⎞ i y = 0; per tan t , el Pc = ⎜ , 0 ⎟ ⎝2 ⎠ 2

— Punt mitjà de M = (−3, −3) i P = (4, 3): ⎛ −3 + 4 −3 + 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ = ⎜ , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 ⎠ Punt mitjà de N = (3, −1) i Q = (−2, 1): ⎛ 3 − 2 −1 + 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = ⎜ , 0⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 ⎠

N

X

X

B

Q

Ja que,

P

A C

aleshores, aquest quadrilàter no és un paral.lelogram.

c) Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: H i J; I i K

1. Vectors del pla

⎛ 5 5⎞ ⎛ 16 44 ⎞ ⎟ ≠ M2 = (1, 2) ⎜⎝ , ⎟⎠ = M1 ≠ Pc = ⎜⎝ , 2 2 19 19 ⎠

⎛1 ⎞ Com que es compleix Pc = ⎜ , 0 ⎟ = M1 = M2 , ⎝2 ⎠ aquest quadrilàter és un paral.lelogram.

Y

D

52. a)

b) Dibuixem les dades en una figura i veiem que els vèrtexs oposats són: M i P; N i Q.

Y

19

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 19 C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 20

(8, 4) = k ⋅ (2, 1) ⇒ (8, 4) = (2 k, k)

I

X

(5, 2) = k ⋅ (3, 3) ⇒ (5, 2) = (3 k, 3 k)

1 3 x+ 2 2

x=0 — Punt de tall: 1 3 y = x+ 2 2 x =0

⎫ 3 ⎪ ⎬⇒ y = 2 ⎪ ⎭

5 = 3k ⎫ 5 2 ⎬⇒k = ik = 2 = 3k ⎭ 3 3 per tant, no estan alineats.

⇔ (m − 1, 2) = (3 k, − k)

⎛ 3⎞ Com que es compleix Pc = ⎜ 0, ⎟ = M 2, però ⎝ 2⎠

I, si substituïm en la primera equació k per −2, tenim: m − 1 = 3 ⋅ (− 2) ⇒ m = − 6 + 1 ⇒ m = − 5    1 2  55. S’ha de complir [ AM] = [ AB] i [ AN] = [ AB]. 3 3

1. Vectors del pla20

  Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k:

Y

K J

8 = 2k ⎫ ⎬⇒k =4 4 = k ⎭

H

per tant, estan alineats.   b) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :  [ AC] = (3 − (−2), 3 − 1) = (5, 2)  [ AB] = (0 − (−2), 4 − 1) = (2, 3)

— La diagonal per H = (−3, 0) i J = (1, 2) és:

  Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k:

2−0 2 y = (x − (−3)) + 0 = (x + 3) = 1 − (−3) 4 =

La diagonal per I = (0, 0) i K = (0, 3), tal com veiem en la figura, és:

  c) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :  [ AC] = (2 − (−2), −1 −3) = (4, −4)  [ AB] = (0 − (−2), 1 − 3) = (2, −2)   Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k:

aleshores,

(4, − 4) = k ⋅ (2, −2) ⇒ (4, − 4) = (2 k, −2 k)

⎛ 3⎞ Pc = ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠

4 = 2k ⎫ ⎬⇒k =2 −4 = −2 k ⎭

— Punt mitjà de H = (−3, 0) i J = (1, 2):

per tant, estan alineats.

⎛ −3 + 1 0 + 2 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ = (−1, 1) ⎝ 2 2 ⎠

  54. A, B i C estan alineats ⇔ [ AC] = k ⋅ [ AB] per a algun k ∈ .

Punt mitjà de I = (0, 0) i K = (0, 3): ⎛ 0 + 0 0 + 3⎞ ⎛ 3⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2⎠

 [ AC] = (m − 1, 2 − 0) = (m − 1, 2)  [ AB] = (4 − 1, −1 − 0) = (3, −1)   [ AC] = k ⋅ [ AB] ⇔ (m − 1, 2) = k ⋅ (3, −1) ⇔ ⎪⎧ m − 1 = 3 k ⇔ ⎨ ⎩⎪ 2 = − k ⇒ k = −2

⎛ 3⎞ Pc = ⎜ 0, ⎟ ≠ (−1, 1) = M1 ⎝ 2⎠ aquest quadrilàter no és un paral.lelogram.  53. Tres  punts A, B i C estan alineats si els vectors [ AB] i [ AC] són proporcionals, és a dir:   A, B i C alineats ⇔ [ AC] = k ⋅ [ AB] , per a algun k ∈ 

Sigui M = (m 1, m 2):  [ AM] = (m1 − (−4), m2 − 1) = (m1 + 4, m2 − 1)  [ AB] = (9 − (−4), 4 − 1) = (13, 3)

 [ AM] = (m1 − (−4), m2 − 1) = (m1 + 4, m2 − 1)  [ AB] = (9 − (−4), 4 − 1) = (13, 3) Sigui M = (m 1, m 2):  1   2  55. S’ha de complir [ AM] = [ AB] i [ AN] = [ AB]. 3 3 I, si substituïm en la primera equació k per −2, tenim: m − 1 = 3 ⋅ (− 2) ⇒ m = − 6 + 1 ⇒ m = − 5 ⎪⎧ m − 1 = 3 k ⇔ ⎨ ⎩⎪ 2 = − k ⇒ k = −2 ⇔ (m − 1, 2) = (3 k, − k)  [ AC] = (m − 1, 2 − 0) = (m − 1, 2)  [ AB] = (4 − 1, −1 − 0) = (3, −1)   [ AC] = k ⋅ [ AB] ⇔ (m − 1, 2) = k ⋅ (3, −1) ⇔   54. A, B i C estan alineats ⇔ [ AC] = k ⋅ [ AB] per a algun k ∈ . per tant, estan alineats. 4 = 2k ⎫ ⎬⇒k =2 −4 = −2 k ⎭ (4, − 4) = k ⋅ (2, −2) ⇒ (4, − 4) = (2 k, −2 k)   c) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :  [ AC] = (2 − (−2), −1 −3) = (4, −4)  [ AB] = (0 − (−2), 1 − 3) = (2, −2)   Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k: per tant, no estan alineats. 5 = 3k ⎫ 5 2 ⎬⇒k = ik = 2 = 3k ⎭ 3 3 (5, 2) = k ⋅ (3, 3) ⇒ (5, 2) = (3 k, 3 k)   Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k: per tant, estan alineats.   b) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :

  a) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :  [ AC] = (5 − (−3), 3 − (−1)) = (8, 4)  [ AB] = (−1 − (−3), 0 − (−1)) = (2, 1)

X

(8, 4) = k ⋅ (2, 1) ⇒ (8, 4) = (2 k, k)

12:13

20

27/5/09

1. Vectors del pla20

20   a) Calculem els vectors [ AC] i [ AB] :  [ AC] = (5 − (−3), 3 − (−1)) = (8, 4)  [ AB] = (−1 − (−3), 0 − (−1)) = (2, 1)  53. Tres  punts A, B i C estan alineats si els vectors [ AB] i [ AC] són proporcionals, és a dir:   A, B i C alineats ⇔ [ AC] = k ⋅ [ AB] , per a algun k ∈  aquest quadrilàter no és un paral.lelogram. ⎛ 3⎞ Pc = ⎜ 0, ⎟ ≠ (−1, 1) = M1 ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ Com que es compleix Pc = ⎜ 0, ⎟ = M 2, però ⎝ 2⎠ ⎛ 0 + 0 0 + 3⎞ ⎛ 3⎞ M2 = ⎜ , ⎟ = ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2⎠ Punt mitjà de I = (0, 0) i K = (0, 3): ⎛ −3 + 1 0 + 2 ⎞ M1 = ⎜ , ⎟ = (−1, 1) ⎝ 2 2 ⎠ — Punt mitjà de H = (−3, 0) i J = (1, 2): ⎛ 3⎞ Pc = ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ aleshores, 1 3 ⎫ x+ ⎪ 3 2 2 ⎬⇒ y = 2 ⎪ x =0 ⎭ y =

— Punt de tall: x=0 La diagonal per I = (0, 0) i K = (0, 3), tal com veiem en la figura, és: 2−0 2 y = (x − (−3)) + 0 = (x + 3) = 1 − (−3) 4 1 3 = x+ 2 2 — La diagonal per H = (−3, 0) i J = (1, 2) és:

 [ AC] = (3 − (−2), 3 − 1) = (5, 2)  [ AB] = (0 − (−2), 4 − 1) = (2, 3) I H

8 = 2k ⎫ ⎬⇒k =4 4 = k ⎭

J K

  Vegem si la igualtat [ AC] = k ⋅ [ AB] es compleix per a algun valor de k:

Y

01 Mates CSS_Guia.qxd

Página 20

C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 21

⎛ 11 10 ⎞ ⇔ (g1 + 1, g 2 + 2) = ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠  9 ⎛ ⎞ ⎛ 11 ⎞ [ AM] = ⎜ − (−1), 3 − (−2)⎟ = ⎜ , 5 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠  2  2 ⎛ 11 ⎞ [ AG] = [ AM] ⇔ (g1 + 1, g 2 + 2) = ⎜ , 5 ⎟ ⇔ ⎠ 3 3 ⎝ 2  [ AG] = (g1 − (−1), (g 2 − (−2)) = (g1 + 1, g 2 + 2) Aleshores:

Per tant: 11 8 ⎫ −1 = 3 3 ⎪⎪ ⎬⇒ 10 10 4 ⎪ g2 + 2 = ⇒ g2 = −2 = 3 3 3 ⎪⎭ g1 + 1 =

Aleshores: 13 13 1 ⎫ ⇒ m1 = −4 = ⎪ 3 3 3 ⎬⇒ m2 − 1 = 1 ⇒ m2 = 1 + 1 = 2 ⎪⎭ ⎛1 ⎞ ⇒ M = ⎜ , 2⎟ ⎝3 ⎠

Aleshores: 26 26 14 ⎫ ⇒ n1 = −4 = ⎪ 3 3 3 ⎬⇒ ⎪ n2 − 1 = 2 ⇒ n2 = 2 + 1 = 3 ⎭

7+2 9 ⎫ m1 = = 2 2 ⎪⎪ ⎛9 ⎞ ⎬ ⇒ M = ⎝⎜ , 3 ⎠⎟ 2 1+ 5 =3 ⎪ 2 ⎭⎪

Per tant, en aquest sistema de referència, les coordenades de la nova direcció de la partícula són:    w′ = u + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3) Per fer aquesta suma, prenem un sistema de referència ortonormal en el qual  el mòdul dels vectors de la base sigui de 5 mm, {0, i , j}   En aquest sistema, les coordenades de u són u =   = (1, 2) i les de v , v = (2, 1) . 58. La força resultant vindrà donada pel vector que s’ob  té en afegir a la seva direcció inicial u , la direcció v . S B

Siguin G = (g 1, g 2) i M = (m 1, m 2). Calculem primerament les coordenades de M: O

W

E

 2  [ AG] = [ AM] 3 56. Sabem que, si G és el baricentre i M és el punt mitjà de BC, es verifica: C

n1 + 4 =

⇒ g1 =

57. La nova trajectòria tindrà la direcció del vector obtin OB gut en afegir la turbulència a la direcció de des plaçament de l’avió OA :    OC = OA + OB = (5, 7) + (2, −2) = (7, 5)

Sigui N = (n 1, n 2):  [ AN] = (n1 − (−4), n2 − 1) = (n1 + 4, n2 − 1)  2  2 [ AN] = [ AB] ⇔ (n1 + 4, n2 − 1) = (13, 3) ⇔ 3 3 ⎛ 26 ⎞ ⇔ (n1 + 4, n2 − 1) = ⎜ , 2 ⎟ ⎝ 3 ⎠

11 3

⎛ 8 4⎞ ⇒G =⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

m1 + 4 =

m2 =

tal com s’observa gràficament.

1. Vectors del pla

21  1  1 [ AM] = [ AB] ⇔ (m1 + 4, m2 − 1) = (13, 3) ⇔ 3 3 ⎛ 13 ⎞ ⇔ (m1 + 4, m2 − 1)) = ⎜ , 1⎟ ⎝ 3 ⎠

L’angle α format per la nova trajectòria, donada per   OC, amb la direcció Est, donada pel vector v = (1, 0), és l’angle que formen aquests vectors:   OC ⋅ v 7 ⋅1 + 5 ⋅ 0    cos α = = 0, 814  = | OC | ⋅ | v | 74 ⋅ 1  cos α = 0,814 ⇒ α = 35,54°, ja que OC és del primer quadrant.

N

A

⎛ 14 ⎞ ⇒ N = ⎜ , 3⎟ ⎝ 3 ⎠

C

56. Sabem que, si G és el baricentre i M és el punt mitjà de BC, es verifica:  2  [ AG] = [ AM] 3 W

7+2 9 ⎫ = 2 2 ⎪⎪ ⎛9 ⎞ ⎬ ⇒ M = ⎜⎝ , 3 ⎟⎠ 2 1+ 5 m2 = =3 ⎪ ⎪⎭ 2

E

O

Siguin G = (g 1, g 2) i M = (m 1, m 2). Calculem primerament les coordenades de M:

B S

m1 =

Aleshores:  [ AG] = (g1 − (−1), (g 2 − (−2)) = (g1 + 1, g 2 + 2)

 2  2 ⎛ 11 ⎞ [ AG] = [ AM] ⇔ (g1 + 1, g 2 + 2) = ⎜ , 5 ⎟ ⇔ ⎠ 3 3 ⎝ 2 ⎛ 11 10 ⎞ ⇔ (g1 + 1, g 2 + 2) = ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

Per fer aquesta suma, prenem un sistema de referència ortonormal en el qual  el mòdul dels vectors de la base sigui de 5 mm, {0, i , j}   En aquest sistema, les coordenades de u són u =   = (1, 2) i les de v , v = (2, 1) . Per tant, en aquest sistema de referència, les coordenades de la nova direcció de la partícula són:    w′ = u + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3) tal com s’observa gràficament.

1. Vectors del pla

 ⎛9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ [ AM] = ⎜ − (−1), 3 − (−2)⎟ = ⎜ , 5 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

58. La força resultant vindrà donada pel vector que s’ob  té en afegir a la seva direcció inicial u , la direcció v .

⎛ 14 ⎞ ⇒ N = ⎜ , 3⎟ ⎝ 3 ⎠ 26 26 14 ⎫ n1 + 4 = ⇒ n1 = −4 = ⎪ 3 3 3 ⎬⇒ ⎪ ⎭ n2 − 1 = 2

N

⇒ n2 = 2 + 1 = 3

Aleshores:  [ AN] = (n − (−4), n − 1) = (n + 4, n2 − 1) 1 2 1   2 2 [ AN] = [ AB] ⇔ (n1 + 4, n2 − 1) = (13, 3) ⇔ 3 3 ⎛ 26 ⎞ ⇔ (n1 + 4, n2 − 1) = ⎜ , 2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ Sigui N = (n 1, n 2):

 cos α = 0,814 ⇒ α = 35,54°, ja que OC és del primer quadrant. cos α =

  OC ⋅ v 7 ⋅1 + 5 ⋅ 0  = 0, 814  = | OC | ⋅ | v | 74 ⋅ 1

L’angle α format per la nova trajectòria, donada per   OC, amb la direcció Est, donada pel vector v = (1, 0), és l’angle que formen aquests vectors:    OC = OA + OB = (5, 7) + (2, −2) = (7, 5)

⎛1 ⎞ ⇒ M = ⎜ , 2⎟ ⎝3 ⎠ 13 13 1 ⎫ m1 + 4 = ⇒ m1 = −4 = ⎪ 3 3 3 ⎬⇒ ⎪ ⎭ m2 − 1 = 1

A

⇒ m2 = 1 + 1 = 2

57. La nova trajectòria tindrà la direcció del vector obtin OB a la direcció de desgut en afegir la turbulència  plaçament de l’avió OA : ⎛ 8 4⎞ ⇒G =⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

Aleshores:

11 11 8 ⎫ g +1 = ⇒g = −1 = 1 1 3 3 3 ⎪⎪ ⎬⇒ 10 10 4 ⎪ ⇒ g2 = −2 = 3 3 3 ⎭⎪ g2 + 2 =

  1 1 [ AM] = [ AB] ⇔ (m1 + 4, m2 − 1) = (13, 3) ⇔ 3 3 ⎛ 13 ⎞ ⇔ (m1 + 4, m2 − 1)) = ⎜ , 1⎟ ⎝ 3 ⎠

Per tant:

21

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 21 C M Y K

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 22

22 u+v

Calculem el mòdul de la força resultant 32 + 32 =

9+9 =

18

59. Activitat TIC.

1. Vectors del pla22

 |w| =

u

60. Activitat TIC.

v j O

i

O

i

1. Vectors del pla22

j v

60. Activitat TIC. 59. Activitat TIC.

u u+v

 |w| =

32 + 32 =

9+9 =

18

Calculem el mòdul de la força resultant

22

01 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:13

Página 22

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

12:16

Página 23

2 Rectes en el pla

23 2.

a)

A 2 ⎫ = A B A′ −3 ⎪⎪ ≠ ⇒ Secants ⎬⇒ B −3 ⎪ A′ B′ = B′ 2 ⎭⎪

y−3 x−2 = −1 −3

2. Rectes en el pla

27/5/09

1. EQUACIONS DE LA RECTA

b)

A −3 1 ⎫ = = − A′ 6 2 ⎪ ⎪ B 5 1 ⎪ = = − ⎬ −10 B′ 2 ⎪ C −4 ⎪ = ⎪⎭ C′ 7 A B C = ≠ ⇒ Paral·leles ⇒ A′ B′ C′

c)

A 5 ⎫ = = −1 ⎪ A′ −5 ⎪ B −3 ⎪ = = −1 ⎬ B′ 3 ⎪ C 2 ⎪ = = −1 ⎪ −2 C′ ⎭ A B C = = ⇒ Coincidents ⇒ A′ B′ C′

 b) Un vector director de s és v = (−1, −3). Podem prendre com a vector director de la recta que bus quem qualsevol recta proporcional a v , en parti cular el mateix v . Aleshores l’equació d’aquesta recta serà:

2. POSICIONS RELATIVES

1. Vectorial:

y x + =1 3 −3 2

−

(x, y ) = (0, −3) + k ⋅ (−2, 4) Paramètrica:

y = −3 x + 9 aleshores, l’equació canònica o segmentària serà:

⎧ x = −2 k , k ∈ ⎨ ⎩ y = −3 + 4 k

Per tant, l’equació de la recta que busquem és:

⎛ 3 ⎞ (0, −3) i ⎜ − , 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

3 = −3 ⋅ 2 + b ⇒ b = 9

Contínua: Els punts de tall amb els eixos són y+3 x = −2 4

Suposem que passi per (2, 3):

Canònica:

y = −3 x + b

y = −2 x − 3

Punt-pendent: Explícita: y+3 =

4 (x − 0) ⇒ y + 3 = −2 x −2

3.

2x + y + 3 = 0

a) Per ser paral.lela a s, ha de tenir el mateix pendent. Aleshores:

General:

General: 2x + y + 3 = 0

y+3 =

4 (x − 0) ⇒ y + 3 = −2 x −2

Punt-pendent:

y = −2 x − 3

y+3 x = −2 4

A 5 = = A′ −5 B −3 = = B′ 3 C 2 = = −2 C′ A B = A′ B′

⇒

Explícita:

3.

a) Per ser paral.lela a s, ha de tenir el mateix pendent. Aleshores: y = −3 x + b

Canònica:

Suposem que passi per (2, 3):

c)

⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎬ ⎪ ⎪ −1 ⎪ ⎭ C ⇒ Coincidents C′ =

Els punts de tall amb els eixos són Contínua: ⎛ 3 (0, −3) i ⎜ − , ⎝ 2

3 = −3 ⋅ 2 + b ⇒ b = 9 Per tant, l’equació de la recta que busquem és:

⎧ x = −2 k , k ∈ ⎨ ⎩ y = −3 + 4 k

aleshores, l’equació canònica o segmentària serà: y = −3 x + 9

⇒

Paramètrica: y x + =1 3 −3 − 2

(x, y ) = (0, −3) + k ⋅ (−2, 4) 1. Vectorial:

2. POSICIONS RELATIVES a)

A 2 ⎫ = A B A′ −3 ⎪⎪ ≠ ⇒ Secants ⎬⇒ B −3 ⎪ A′ B′ = B′ 2 ⎪⎭

 b) Un vector director de s és v = (−1, −3). Podem prendre com a vector director de la recta que bus quem qualsevol recta proporcional a v , en parti cular el mateix v . Aleshores l’equació d’aquesta recta serà: y−3 x−2 = −1 −3

2. Rectes en el pla

b)

1. EQUACIONS DE LA RECTA

A A′ B B′ C C′

−3 1 ⎫ = = − 6 2 ⎪ ⎪ 5 1 ⎪ = = − ⎬ −10 2 ⎪ −4 ⎪ = 7 ⎭⎪ A B C = ≠ ⇒ Paral·leles A′ B′ C′

2.

2 Rectes en el pla 02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 23 C M Y K

⎞ 0⎟ ⎠

23

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 24

1 ⋅ 4 + 1 ⋅ (−2) 2 2 ⋅ 20

=

=

Per tant, la recta que busquem és: y =

1 3 x− 2 2

c) Un vector director de s és (−2, 3), aleshores podem prendre com a vector director de la recta que busquem (3, 2). Com que ha de passar per (1, −1), la seva equació serà: x −1 y +1 = 3 2 6. L’equació del feix de rectes de vèrtex A = (a 1, a 2) és:

1 10

y − a 2 = m ⋅ (x − a 1) , amb m ∈  Si A = (−2, 0), tenim:

7. L’equació del feix de rectes paral.leles a −3 x + y = −5 és: −3 x + y + k = 0 , amb k ∈ 

  cos(r , s) = cos(v r , vs =

=

−3 ⋅ 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 2 Aleshores, la recta que busquem és: −3 x + y + 2 = 0

3 10

3. DISTÀNCIES = 18, 4 º 8. d (P, Q ) = = 5. a) Un vector director de s és (2, 3); un vector perpendicular és, per exemple, (−3, 2). Aleshores, l’equació de la recta que passa per A = (1, −1) i és perpendicular a s serà: x −1 y +1 = 2 −3

(q1 − p1 )2 + (q 2 − p2 )2 =

(3 − (−2))2 + (−4 − 3)2 =

9. d (P, r) = =

| Ap1

+

Bp2

+ C|

A 2 + B2

| 2 + 10 − 12 | 5

=

25 + 49 =

74

| 2 − 2 ⋅ (−5) − 12 | 12 + (−2)2

=

=0

Això significa que P ∈ r.

o, en forma general, 2 x + 3 y + 1 = 0 10. a) r i s són secants, ja que: b) Els pendents de dues rectes perpendiculars són inversos i oposats. Com que el pendent de s és 1 −2, la recta que busquem serà i, per tant, 2 l’equació serà: 1 x+b 2

i, per tant,

A 2 3 B = = i 4 A′ −1 B ′ A B ≠ . Alesho ores, d (r, s) = 0 A′ B′

b) En aquest cas r i s són paral.leles, ja que: A −2 3 1 B 1 = = i = = A′ −4 6 2 B′ 2 A B = . A′ B′

Suposem que passi per (1, −1):

6. L’equació del feix de rectes de vèrtex A = (a 1, a 2) és: 1 3 x− 2 2

3 1 ⋅1 + b ⇒ b = − 2 2

1 =

x −1 y +1 = 3 2 c) Un vector director de s és (−2, 3), aleshores podem prendre com a vector director de la recta que busquem (3, 2). Com que ha de passar per (1, −1), la seva equació serà:

i, per tant,

y =

y =

2. Rectes en el pla24

  4. a) Siguin v r i v s vectors directors de r i s, respectivament.  r : x−y+2 = 0 ⇒ v r = (1, 1)  s : −2 x − 4 y + 3 = 0 ⇒ v s = (4, −2)   cos(r , s) = cos(v r , vs = (1, 1) ⋅ (4, −2) = = |(1, 1)| ⋅ |(4, −2)| =

12 + 12 ⋅ 4 2 + (−2)2 =

1 Així, r , s = arc cos = 71, 6º 10

y − 0 = m (x − (−2)) ⇒ y = m (x + 2) , m ∈    b) En aquest cas, v r = (−1, 2) i v s = (1, −1). Aleshores:

Determinem el valor de k perquè la recta passi per (1, 1):

(−1, 2) ⋅ (1, −1) = |(−1, 2)| ⋅ |(1, −1)|

=

−1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1)

=

(−1)2 + 22 ⋅ 12 + (−1)2 =

=

−3

12 + (−2)2 | 2 − 2 ⋅ (−5) − 12 |

=

=

5⋅ 2

=0 2

74

Aleshores, la recta que busquem és: −3 x + y + 2 = 0

3 Así, r , s = arc cos

5 | 2 + 10 − 12 |

A +B 2

| Ap1 + Bp2 + C |

25 + 49 =

(q1 − p1 )2 + (q 2 − p2 )2 =

10 3

−3 ⋅ 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 2

10

A −2 3 1 B 1 = = i = = A′ −4 6 2 B′ 2 A B = i, per tant, . A′ B′ b) En aquest cas r i s són paral.leles, ja que: Això significa que P ∈ r. =

9. d (P, r) =

(3 − (−2))2 + (−4 − 3)2 =

8. d (P, Q ) = = 18, 4 º =

=

Determinem el valor de k perquè la recta passi per (1, 1): Si A = (−2, 0), tenim: y − a 2 = m ⋅ (x − a 1) , amb m ∈ 

10

=

Per tant, la recta que busquem és:

24

12:16

−1 =

3 1 ⋅1 + b ⇒ b = − 2 2 1 x+b 2

A 2 3 B = = i 4 A′ −1 B ′ A B ≠ i, per tant, . Alesho ores, d (r, s) = 0 A′ B′ 10. a) r i s són secants, ja que:

10

3. DISTÀNCIES −3

(−1)2 + 22 ⋅ 12 + (−1)2 −1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) (−1, 2) ⋅ (1, −1) = |(−1, 2)| ⋅ |(1, −1)|

=

y − 0 = m (x − (−2)) ⇒ y = m (x + 2) , m ∈  2

27/5/09

2. Rectes en el pla24

24 −1 =

Suposem que passi per (1, −1): y =

b) Els pendents de dues rectes perpendiculars són inversos i oposats. Com que el pendent de s és 1 −2, la recta que busquem serà i, per tant, 2 l’equació serà: o, en forma general, 2 x + 3 y + 1 = 0 x −1 y +1 = 2 −3 l’equació de la recta que passa per A = (1, −1) i és perpendicular a s serà: 5. a) Un vector director de s és (2, 3); un vector perpendicular és, per exemple, (−3, 2). Aleshores,

= Así, r , s = arc cos

3

5⋅ 2

= =

  cos(r , s) = cos(v r , vs =

7. L’equació del feix de rectes paral.leles a −3 x + y = −5 és: −3 x + y + k = 0 , amb k ∈ 

  b) En aquest cas, v r = (−1, 2) i v s = (1, −1). Aleshores: 1 Així, r , s = arc cos = 71, 6º 10 2 ⋅ 20

=

12 + 12 ⋅ 4 2 + (−2)2

=

1 ⋅ 4 + 1 ⋅ (−2) (1, 1) ⋅ (4, −2) = |(1, 1)| ⋅ |(4, −2)|

=

  cos(r , s) = cos(v r , vs =  r : x−y+2 = 0 ⇒ v r = (1, 1)  s : −2 x − 4 y + 3 = 0 ⇒ v s = (4, −2)   4. a) Siguin v r i v s vectors directors de r i s, respectivament. 02 Mates CSS_Guia.qxd

Página 24

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 25

25 d (r, s) =

⎛ 1 17 ⎞ Aleshores, Q = ⎜ − , ⎟ . ⎝ 5 5⎠

Per tant, m = ±2. A B −3 = ≠ A′ B′ 2

17 1 − 10 = 0 ⇒ x = − 5 5

x +3⋅

I en tots dos casos,

2. Rectes en el pla

Aleshores:

1 −3 = , veiem, per tant, que −2 6 no poden ser secants.

| C − C′ |

14. a) r i s són secants ⇔

A 2 + B2

Tanmateix, per a aplicar aquesta fórmula cal que els coeficients de x i y siguin els mateixos en les dues equacions. Per a fer-ho, n’hi ha prou, per exemple, de multiplicar per 2 l’equació de r. Així:

Si substituïm el valor de y a la segona equació i aïllem x, tenim:

⇔ m2 = 4 ⇔ m = ± 2

r: 6 x − 4 y + 14 = 0 ⎫ ⎬⇒ s: 6 x − 4 y + 1 = 0 ⎭

A B −1 m = ⇒ = ⇔ −4 A′ B′ m

⇒ d (r, s) =

| 14 − 1 |

6 2 + (−4)2

=

b) r i s seran coincidents sempre que es verifiqui: 1 2m 1 = ⇒m= − 2 2 2

−

15. Hem de comparar els quocients 13 52

3 x − y + 4 = 0 ⎫ 3 x − y + 4 = 0 ⎫⎪ ⎬ −3 x − 9 y + 30 = 0 ⎬ x − 3 y − 10 = 0 ⎭ ⎭⎪ / −10 y + 34 = 0 ⇒ 17 5 ⇒ y =

Aleshores:

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

−3 A −1 B m C = = ; = ; −4 C ′ 2 A′ m B′ En aquest cas:

11. L’equació del feix de rectes perpendiculars a la recta de l’enunciat és: x + 4y + k = 0 Per a trobar la recta s perpendicular a r que passa per P, n’hi ha prou de substituir les coordenades de P = (−1, −1) en l’equació anterior i aïllar k. Així: 1 ⋅ (−1) + 4 ⋅ (−1) + k = 0 ⇒ k = 5

A B C = i : A′ B′ C′

A m B 1 C −m = ; = ; = =1 A′ 1 B′ m C′ −m A B = , és a dir, Seran paral.leles o coincidents si A ′ B′ m 1 = ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 1 m

• Si m = 1 ⇒

A B C = = =1⇒ A′ B′ C′ ⇒ Són coincidents.

L’equació de la recta s que busquem és:

— Trobem el punt Q intersecció de r i s:

A B C = ≠ 13. r i s són paral·leles ⇔ A′ B′ C′

⇒ s : x + 3 y − 10 = 0

5 x − 4 y − 14 = 0 L’equació de la recta que busquem és: 5 ⋅ 2 − 4 ⋅ (−1) + k = 0 ⇒ k = −14 Per a trobar la recta s perpendicular a r que passa per P, n’hi ha prou de substituir les coordenades de P = (2, −1) en l’equació anterior i aïllar k. Així:

x + 4y + 5 = 0

 v = (3, −1) ⎫ y−4 x+2 = ⇒ ⎬⇒s: P = (−2, 4) ⎭ −1 3 16. — Busquem la recta s perpendicular a r per P: Finalment, per a m ≠ ±1, les rectes són secants.

5x − 4y + k = 0

12. L’equació del feix de rectes perpendiculars a la recta de l’enunciat és:

• Si m = −1 ⇒

⇒ Són paral.leles.

⇒ Són paral.leles.

12. L’equació del feix de rectes perpendiculars a la recta de l’enunciat és:

5x − 4y + k = 0

• Si m = −1 ⇒

A B C = = −1 ≠ ⇒ A′ B′ C′

x + 4y + 5 = 0

Per a trobar la recta s perpendicular a r que passa per P, n’hi ha prou de substituir les coordenades de P = (2, −1) en l’equació anterior i aïllar k. Així: 5 ⋅ 2 − 4 ⋅ (−1) + k = 0 ⇒ k = −14 L’equació de la recta que busquem és:

Finalment, per a m ≠ ±1, les rectes són secants. 16. — Busquem la recta s perpendicular a r per P:  v = (3, −1) ⎫ y−4 x+2 = ⇒ ⎬⇒s: P = (−2, 4) ⎭ −1 3

5 x − 4 y − 14 = 0 13. r i s són paral·leles ⇔

A B C = ≠ A′ B′ C′

⇒ Són coincidents.

L’equació de la recta s que busquem és: 1 ⋅ (−1) + 4 ⋅ (−1) + k = 0 ⇒ k = 5 Per a trobar la recta s perpendicular a r que passa per P, n’hi ha prou de substituir les coordenades de P = (−1, −1) en l’equació anterior i aïllar k. Així: 11. L’equació del feix de rectes perpendiculars a la recta de l’enunciat és: x + 4y + k = 0

En aquest cas:

• Si m = 1 ⇒

A B C = = =1⇒ A′ B′ C′

m 1 = ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 1 m Seran paral.leles o coincidents si

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

−3 A −1 B m C = = ; = ; −4 C ′ 2 A′ m B′ Aleshores: A B −1 m = ⇒ = ⇔ −4 A′ B′ m

⇒ d (r, s) =

6 2 + (−4)2 | 14 − 1 |

=

52

I en tots dos casos, A B −3 = ≠ A′ B′ 2 Per tant, m = ±2.

⇒ s : x + 3 y − 10 = 0 — Trobem el punt Q intersecció de r i s: 3 x − y + 4 = 0 ⎫ 3 x − y + 4 = 0 ⎫⎪ ⎬ ⎬ x − 3 y − 10 = 0 ⎭ −3 x − 9 y + 30 = 0 ⎪⎭ / −10 y + 34 = 0 ⇒ 17 ⇒ y = 5 Si substituïm el valor de y a la segona equació i aïllem x, tenim: x +3⋅

17 1 − 10 = 0 ⇒ x = − 5 5

⎛ 1 17 ⎞ Aleshores, Q = ⎜ − , ⎟ . ⎝ 5 5⎠

2. Rectes en el pla

Tanmateix, per a aplicar aquesta fórmula cal que els coeficients de x i y siguin els mateixos en les dues equacions. Per a fer-ho, n’hi ha prou, per exemple, de multiplicar per 2 l’equació de r. Així: d (r, s) =

A 2 + B2 | C − C′ |

Aleshores:

A B = , és a dir, A ′ B′

A m B 1 C −m = ; = ; = =1 A′ 1 B′ m C′ −m

13

r: 6 x − 4 y + 14 = 0 ⎫ ⎬⇒ s: 6 x − 4 y + 1 = 0 ⎭

⇔ m2 = 4 ⇔ m = ± 2

A B C = = −1 ≠ ⇒ A′ B′ C′

15. Hem de comparar els quocients −

A B C = i : A′ B′ C′

1 2m 1 = ⇒m= − 2 2 2

b) r i s seran coincidents sempre que es verifiqui: 1 −3 = , veiem, per tant, que −2 6 no poden ser secants.

14. a) r i s són secants ⇔

25

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 25 C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 26

26 7⎞ 1 17 ⎛ x+ ,y− ⎟ ⎝⎜ 5⎠ 5 8 x = 5 14 y = 5

19. Descomponem el quadrilàter en dos triangles, ABD i BCD. L’àrea del quadrilàter serà la suma de les àrees dels dos triangles.

C D

A

B

17. La bisectriu del primer quadrant, r, és la recta de l’equació y = x, o el que és equivalent, x − y = 0. — Busquem la recta s perpendicular a r per P:  v = (1, −1) ⎫ y−6 x−2 = ⇒ ⎬⇒s: P = (2, 6) ⎭ 1 −1 ⇒ s:x+y−8 = 0 — Determinem el punt Q intersecció de r i s: x−y =0 ⎫ ⎬ ⇒ Q = (4, 4) x+y−8 = 0 ⎭

Per tal d’efectuar el mínim possible de càlculs, prendrem com a base de tots dos triangles el costat comú, és a dir, BD. Aleshores, l’altura de cada triangle serà la distància del vèrtex oposat a la recta r determinada per B i D. • d (B, D) = =

(−1 − 2)2 + (2 − (−4))2 =

9 + 36 =

45 = 3 5

• Equació de r :  V = (−3, 6) ⎫ x +1 y −2 = ⇒ ⎬⇒r: A = (−1, 2) ⎭ 6 −3 ⇒ r : 6x + 3y = 0 ⇒ r : 2x + y = 0

— Trobem el punt P′ simètric de P respecte de r:   [PQ ] = [QP] ⇒ (2, −2) = (x − 4, y − 4) ⎧ x−4 = 2 ⇒ x = 6 ⎨ ⎩ y − 4 = −2 ⇒ y = 2

• d ( A , r) =

Per tant:

Observa que fer una simetria respecte de la bisectriu del primer quadrant equival a canviar l’ordre de les coordenades.

• d (C, r) =

Per tant, P′ = (6, 2).

| 2 ⋅ (−3) + (−1)| 22 + 12 |2 ⋅ 4 + 3| 22 + 12

=

=

| 11 | 5

|− 7| 5

=

7 5

11

=

5

Àrea del triangle ABD: 18. Calculem la base i l’altura del triangle ABC: • Base = d ( A , B) =

(2 − (−1))2 + (3 − 4)2 =

1 1 d (B, D) ⋅ d ( A , r) = 3 ⋅ 2 2

10

= • Altura = d (C, r ), essent r la recta determinada per AB.  V = (3, −1) ⎫ x +1 y −4 = ⇒ ⎬ ⇒ r: A = (−1, 4) ⎭ 3 −1

−6 + 3 ⋅ (−4) − 11

=

=

7

=

5

11

5 ⋅

=

5

33 2 u 2

=

−29 10

5 ⋅

21 2 u 2

Àrea del triangle BCD: 1 1 d (B, D) ⋅ d (C, r) = 3 ⋅ 2 2

⇒ r: x + 3 y − 11 = 0 d (C, r) =

12 + 32

I l’àrea del quadrilàter és:

29 10

21 33 54 + = = 27 u 2 2 2 2

A =

Per tant, l’àrea serà: 20. a) La recta passa pels punts (2,5, 0) i (0, 20), per  tant, v = (0, 20) − (2, 5, 0) = (−2, 5, 20) és un vector director.

2. Rectes en el pla26

— Finalment, calculem les coordenades del punt P′ simètric de P respecte de r:   ⎛ 9 −3 ⎞ [PQ ] = [QP ′] ⇒ ⎜ , = ⎝ 5 5 ⎠⎟ 1 9 ⎧ x+ = ⇒ ⎪⎪ 5 5 ⎨ ⎪ y − 17 = − 3 ⇒ ⎪⎩ 5 5 ⎛ 8 14 ⎞ Aleshores, P ′ = ⎜ , . ⎝ 5 5 ⎠⎟

20. a) La recta passa pels punts (2,5, 0) i (0, 20), per  tant, v = (0, 20) − (2, 5, 0) = (−2, 5, 20) és un vector director. = =

7

29

29 2

21 33 54 + = = 27 u 2 2 2 2

I l’àrea del quadrilàter és: 5 11 5 5 ⋅ 5 11 7

29 2

=

A =

10 29

=

5

=

=

10 29 =

5 | 11 |

5 |− 7|

10

10 ⋅ 10 −29

5 ⋅

21 2 u 2 =

=

10 ⋅

=

33 2 u 2

1 1 d (B, D) ⋅ d (C, r) = 3 ⋅ 2 2 Àrea del triangle BCD: Per tant: 2 +1

2

2

45 = 3 5 C

1 1 (base ⋅ altura) = ⋅ 2 2

2

10

Observa que fer una simetria respecte de la bisectriu del primer quadrant equival a canviar l’ordre de les coordenades.

2

|2 ⋅ 4 + 3|

2 +1 2

| 2 ⋅ (−3) + (−1)|

9 + 36 =

D

A =

1 1 (base ⋅ altura) = ⋅ 2 2 1 +3 2

−6 + 3 ⋅ (−4) − 11

(2 − (−1))2 + (3 − 4)2 =

1 1 d (B, D) ⋅ d ( A , r) = 3 ⋅ 2 2 • d (C, r) = • d ( A , r) =

 V = (−3, 6) ⎫ x +1 y −2 = ⇒ ⎬⇒r: A = (−1, 2) ⎭ 6 −3 ⇒ r : 6x + 3y = 0 ⇒ r : 2x + y = 0 • Equació de r : =

(−1 − 2)2 + (2 − (−4))2 = B A

7⎞ 1 17 ⎛ ⎜⎝ x + , y − ⎟⎠ 5 5 8 x = 5 14 y = 5

19. Descomponem el quadrilàter en dos triangles, ABD i BCD. L’àrea del quadrilàter serà la suma de les àrees dels dos triangles.

2. Rectes en el pla26

A =

Per tant, l’àrea serà: d (C, r) =

=

⇒ r: x + 3 y − 11 = 0 • Altura = d (C, r ), essent r la recta determinada per AB.  V = (3, −1) ⎫ x +1 y −4 = ⇒ ⎬ ⇒ r: A = (−1, 4) ⎭ 3 −1

= • Base = d ( A , B) =

18. Calculem la base i l’altura del triangle ABC:

Àrea del triangle ABD: Per tant, P′ = (6, 2). ⎧ x−4 = 2 ⇒ x = 6 ⎨ ⎩ y − 4 = −2 ⇒ y = 2   [PQ ] = [QP] ⇒ (2, −2) = (x − 4, y − 4) — Trobem el punt P′ simètric de P respecte de r: x−y =0 ⎫ ⎬ ⇒ Q = (4, 4) x+y−8 = 0 ⎭ — Determinem el punt Q intersecció de r i s:

• d (B, D) =

 v = (1, −1) ⎫ y−6 x−2 = ⇒ ⎬⇒s: P = (2, 6) ⎭ 1 −1 ⇒ s:x+y−8 = 0

Per tal d’efectuar el mínim possible de càlculs, prendrem com a base de tots dos triangles el costat comú, és a dir, BD. Aleshores, l’altura de cada triangle serà la distància del vèrtex oposat a la recta r determinada per B i D.

— Busquem la recta s perpendicular a r per P: 17. La bisectriu del primer quadrant, r, és la recta de l’equació y = x, o el que és equivalent, x − y = 0. ⎛ 8 14 ⎞ Aleshores, P ′ = ⎜ , . ⎝ 5 5 ⎟⎠   ⎛ 9 −3 ⎞ [PQ ] = [QP ′] ⇒ ⎜ , = ⎝ 5 5 ⎟⎠ 1 9 ⎧ ⇒ ⎪⎪ x + 5 = 5 ⎨ ⎪ y − 17 = − 3 ⇒ ⎪⎩ 5 5

— Finalment, calculem les coordenades del punt P′ simètric de P respecte de r:

26

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 26

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 27

27 triu.

El punt mitjà de BC és un punt de pas de la mediatriu:

y − 20 x−0 = ⇒ 8 x + y − 20 = 0 −2, 5 20

 1 v = (4, 6) = (2, 3) és vector director de la media2

• Mediatriu del costat BC:  [BC] = (−2, 8) és un vector director de BC, aleshores,

⎛ 5 + 3 −2 + 6 ⎞ (m1 , m 2 ) = ⎜ , ⎟ = (4, 2) ⎝ 2 2 ⎠

El pendent de la recta coincideix amb la tangent del seu vector director,

y−0 x−2 = ⇒ 3x − 2y − 6 = 0 2 3

m=

Per tant, l’equació que busquem és: y−2 x−4 = ⇒ x−4y +4 = 0 4 1

20 = −8 −2, 5

b) Si aïllem x en l’equació de la recta i substituïm y per 10, tindrem els quilograms de cansalada corresponents a 10 dotzenes d’ous.

• Circumcentre: El circumcentre és el punt de tall de les mediatrius.

8 x + y − 20 = 0 ⇒ 20 − y 20 − 10 ⇒x = = = 1, 25 kg 8 8

⎧ 3x − 2y − 6 = 0 16 9 i y = ⇒x = ⎨ x − 4 y + 4 = 0 5 5 ⎩

A B C = ≠ A′ B′ C′ b) Fals, les rectes són paral.leles, ja que es compleix per (0, 2). D’altra banda, en substituir x = 0 i x = −2 en l’equació la igualtat no es compleix. a) Fals, si comparem l’equació donada amb y − a2 x−a 1 , podem afirmar que la recta passa = v1 v2

Per tant, l’equació de la mediatriu és: ⎛ −1 + 5 2 + (−2)⎞ (m1 , m2 ) = ⎜ = (2, 0) , ⎝ 2 ⎠⎟ 2 Un punt de pas de la mediatriu és el punt mitjà del segment AB:

21. El punt que equidista de tres punts no alineats és el circumcentre del triangle que defineixen. Així, doncs, hem de trobar el circumcentre del triangle ABC.

⎛ 16 9 ⎞ L’aeròdrom s’ha de construir en el punt ⎜⎝ , ⎟⎠ . 5 5

 1 per la qual cosa v = (4, 6) = (2, 3) és un vector 2 director de la mediatriu. • Mediatriu del costat AB:  Un vector director del costat AB és [ AB] = (6, −4),

ACTIVITATS Y

Qüestions

C

6

22. No, perquè per a determinar una recta són necessaris dos punts o bé un punt i una direcció, i el vector nul no ens indica cap direcció.

Per a fer-ho, hem de trobar dues mediatrius i calcularne la intersecció.

5 4 3

26. Si dues rectes tenen dos punts en comú, aquestes dues rectes seran coincidents, la qual cosa implica que tots els punts seran comuns. Dos punts defineixen una recta i, per tant, aquests dos punts coincidents definiran la mateixa recta. 25. La distància entre dues rectes és 0 en el cas que es tracti de rectes secants (tenen un punt en comú) o coincidents (tots els punts són comuns). 24. Aquesta és l’equació general d’una recta que té com a  vector director v = (−B, A). No es tractaria d’una recta en el cas que A i B fossin igual a 0, ja que el vector nul no defineix cap recta. La bisectriu del primer quadrant és perpendicular a la del segon quadrant, ja que els seus pendents són inversos i oposats.

B

–2

c) Cert, ja que el vector (B, −A) és un vector director de la recta Ax + By + C = 0.

2. Rectes en el pla

Per tant, l’equació de la recta és:

A

23. La bisectriu del primer quadrant parteix de l’origen de coordenades (0,0) i un dels seus vectors directors és, per exemple, v = (1,1). Així, doncs:

2

–1 1

–2

–1

–2

1

–1

2

3

4

6

5

7

X

(x, y ) = (0, 0) + k ⋅ (1, 1)

1

2

3

4

5

6

7

X

A

(x, y ) = (0, 0) + k ⋅ (1, 1) 23. La bisectriu del primer quadrant parteix de l’origen de coordenades (0,0) i un dels seus vectors directors és, per exemple, v = (1,1). Així, doncs:

1

–1 –2

B

2 3

22. No, perquè per a determinar una recta són necessaris dos punts o bé un punt i una direcció, i el vector nul no ens indica cap direcció.

4

Per a fer-ho, hem de trobar dues mediatrius i calcularne la intersecció.

5 6

• Mediatriu del costat AB:

C

Y

 Un vector director del costat AB és [ AB] = (6, −4),  1 per la qual cosa v = (4, 6) = (2, 3) és un vector 2 director de la mediatriu. Un punt de pas de la mediatriu és el punt mitjà del segment AB: ⎛ −1 + 5 2 + (−2)⎞ (m1 , m2 ) = ⎜ , ⎟⎠ = (2, 0) ⎝ 2 2 Per tant, l’equació de la mediatriu és:

Qüestions ACTIVITATS

21. El punt que equidista de tres punts no alineats és el circumcentre del triangle que defineixen. Així, doncs, hem de trobar el circumcentre del triangle ABC. ⇒x =

8 x + y − 20 = 0 ⇒ 20 − y 20 − 10 = = 1, 25 kg 8 8

b) Si aïllem x en l’equació de la recta i substituïm y per 10, tindrem els quilograms de cansalada corresponents a 10 dotzenes d’ous.

y−0 x−2 = ⇒ 3x − 2y − 6 = 0 2 3

 1 v = (4, 6) = (2, 3) és vector director de la media2 triu.

24. Aquesta és l’equació general d’una recta que té com a  vector director v = (−B, A). No es tractaria d’una recta en el cas que A i B fossin igual a 0, ja que el vector nul no defineix cap recta. 25. La distància entre dues rectes és 0 en el cas que es tracti de rectes secants (tenen un punt en comú) o coincidents (tots els punts són comuns). 26. Si dues rectes tenen dos punts en comú, aquestes dues rectes seran coincidents, la qual cosa implica que tots els punts seran comuns. Dos punts defineixen una recta i, per tant, aquests dos punts coincidents definiran la mateixa recta. a) Fals, si comparem l’equació donada amb y − a2 x − a1 , podem afirmar que la recta passa = v1 v2 per (0, 2). D’altra banda, en substituir x = 0 i x = −2 en l’equació la igualtat no es compleix. b) Fals, les rectes són paral.leles, ja que es compleix A B C = ≠ A′ B′ C′ c) Cert, ja que el vector (B, −A) és un vector director de la recta Ax + By + C = 0.

2. Rectes en el pla

• Mediatriu del costat BC:  [BC] = (−2, 8) és un vector director de BC, aleshores,

La bisectriu del primer quadrant és perpendicular a la del segon quadrant, ja que els seus pendents són inversos i oposats.

m=

20 = −8 −2, 5

El pendent de la recta coincideix amb la tangent del seu vector director, y − 20 x−0 = ⇒ 8 x + y − 20 = 0 −2, 5 20 Per tant, l’equació de la recta és:

⎛ 16 9 ⎞ L’aeròdrom s’ha de construir en el punt ⎝⎜ , ⎠⎟ . 5 5 ⎧ 3x − 2y − 6 = 0 16 9 i y = ⇒x = ⎨ 5 5 ⎩ x−4y +4 = 0 El circumcentre és el punt de tall de les mediatrius. • Circumcentre: y−2 x−4 = ⇒ x−4y +4 = 0 4 1 Per tant, l’equació que busquem és: ⎛ 5 + 3 −2 + 6 ⎞ (m1 , m 2 ) = ⎜ , ⎟ = (4, 2) ⎝ 2 2 ⎠ El punt mitjà de BC és un punt de pas de la mediatriu:

27

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 27 C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 28

28 31. a) Sabem que l’equació contínua d’una recta r és:

Exercicis i problemes

amb k ∈ 

y − a2 x−a 1 = v1 v2  essent A = (a 1, a 2) un punt de r i v = (v1 , v 2 ) un vector director. x −1 y +3 = , un punt Aleshores, si l’equació és −1 2  és A = (1, −3) i un vector director és v = (2, −1). b) Per trobar un punt, donem un valor qualsevol a x, per exemple x = 0, i aïllem y:

⎛ 5⎞ Per tant, A = ⎜ 0, ⎟ és un punt de la recta. ⎝ 4⎠ D’altra banda, sabem que (−B, A ) és un vector director de la recta A x + B y + C = 0. Aleshores, en  aquest cas, un vector director serà v = (4, 3). c) Les equacions paramètriques d’una recta r són: x = a1 + k v 1 y = a2 + k v 2

⎫ ⎬ amb k ∈  ⎭⎪

 essent A = (a 1, a 2) un punt de r i v = (v1 , v 2 ) un vector director. Aleshores, si la recta és x = −3 + 2 k ⎫ ⎬ y = −4 k ⎭ tenim que (− 3, 0) és un punt de la recta i  v = (2, −4) és un vector director. d) És l’equació vectorial de la recta, aleshores un  punt és (1, 1) i un vector director és v = (0, −2).

y = −3 ⋅ 0 + 7 = 7 Per tant, (0, 7) és un punt de la recta. Com que el pendent és −3, qualsevol vector v  v = (v1 , v 2 ) de manera que 2 = −3 serà un vecv1 tor director. Podem prendre, per exemple  v = (1, −3).

2. Rectes en el pla28

28. • Equació vectorial: (x, y ) = (−5, 3) + k ⋅ (−1, 1) , k ∈  • Equacions paramètriques: x = −5 − k ⎫ ⎬ y = 3+k ⎭

y−3 • Equació contínua: x + 5 = 1 −1 • Equació punt-pendent: y − 3 = −(x + 5)

3x − 4 y + 5 = 0 ⎫ 5 ⎬⇒ y = x =0 ⎭ 4

• Equació general: x + y + 2 = 0 • Equació explícita: y = −x − 2 • Equació canònica: y = 0 ⇒ x = −2 ; x = 0 ⇒ y = −2 Per tant, la recta talla els eixos en (−2, 0) i (0, −2), i l’equació canònica o segmentària és: y x + =1 −2 −2 29. Prenem com  a punt A = (1, −3) i com a vector direc tor, v = [ AB] = (2 − 1, 0 − (−3)) = (1, 3). • Equació vectorial: (x, y ) = (1, −3) + k (1, 3) , k ∈  • Equacions paramètriques: x = 1+ k ⎫ ⎬ amb k ∈  y = −3 + 3 k ⎭ x −1 y +3 • Equació contínua: = 1 3 • Equació punt-pendent: y + 3 = 3 (x − 1) • Equació general: 3 x − y − 6 = 0

e) Per a trobar un punt n’hi ha prou de substituir x per un valor qualsevol i trobar el valor de y. Així, si per exemple x = 0, tenim:

• Equació explícita: y = 3 x − 6 • Equació canònica: y = 0 ⇒ x = 2 ; x = 0 ⇒ y = −6 Per tant, la recta talla els eixos en (2, 0) i (0, − 6), i l’equació canònica és: y x + =1 2 −6 30. Per tal que la recta passi pel punt (1, 1), cal que les coordenades del punt satisfacin l’equació de la recta, és a dir:

⎫ ⎬ amb k ∈  ⎪⎭

f) És l’equació punt-pendent de la recta. Aleshores, 1 un punt és (−2, 2) i el pendent és , del qual ob3 tenim que (3, 1) és un vector director.

f) És l’equació punt-pendent de la recta. Aleshores, 1 un punt és (−2, 2) i el pendent és , del qual ob3 tenim que (3, 1) és un vector director. Com que el pendent és −3, qualsevol vector v  v = (v1 , v 2 ) de manera que 2 = −3 serà un vecv1 tor director. Podem prendre, per exemple  v = (1, −3). Per tant, (0, 7) és un punt de la recta. y = −3 ⋅ 0 + 7 = 7 e) Per a trobar un punt n’hi ha prou de substituir x per un valor qualsevol i trobar el valor de y. Així, si per exemple x = 0, tenim: d) És l’equació vectorial de la recta, aleshores un  punt és (1, 1) i un vector director és v = (0, −2). tenim que (− 3, 0) és un punt de la recta i  v = (2, −4) és un vector director. x = −3 + 2 k ⎫ ⎬ y = −4 k ⎭  essent A = (a 1, a 2) un punt de r i v = (v1 , v 2 ) un vector director. Aleshores, si la recta és x = a1 + k v 1 y = a2 + k v 2

c) Les equacions paramètriques d’una recta r són: D’altra banda, sabem que (−B, A ) és un vector director de la recta A x + B y + C = 0. Aleshores, en  aquest cas, un vector director serà v = (4, 3). ⎛ 5⎞ Per tant, A = ⎜ 0, ⎟ és un punt de la recta. ⎝ 4⎠ 3x − 4 y + 5 = 0 ⎫ 5 ⎬⇒ y = x =0 ⎭ 4 b) Per trobar un punt, donem un valor qualsevol a x, per exemple x = 0, i aïllem y:

2 ⋅ 1 − (k + 1) ⋅ 1 − 4 = 0 ⇒ ⇒ 2 − k − 1 − 4 = 0 ⇒ k = −3

x −1 y +3 = 1 3 amb k ∈ 

x −1 y +3 = , un punt −1 2  és A = (1, −3) i un vector director és v = (2, −1). Aleshores, si l’equació és

 essent A = (a 1, a 2) un punt de r i v = (v1 , v 2 ) un vector director. y − a2 x − a1 = v1 v2

2. Rectes en el pla28

2 ⋅ 1 − (k + 1) ⋅ 1 − 4 = 0 ⇒ ⇒ 2 − k − 1 − 4 = 0 ⇒ k = −3 30. Per tal que la recta passi pel punt (1, 1), cal que les coordenades del punt satisfacin l’equació de la recta, és a dir: Per tant, la recta talla els eixos en (2, 0) i (0, − 6), i l’equació canònica és: y x + =1 2 −6 y = 0 ⇒ x = 2 ; x = 0 ⇒ y = −6 • Equació canònica: • Equació explícita: y = 3 x − 6 • Equació general: 3 x − y − 6 = 0 • Equació punt-pendent: y + 3 = 3 (x − 1) • Equació contínua:

x = 1+ k ⎫ ⎬ amb k ∈  y = −3 + 3 k ⎭ • Equacions paramètriques: (x, y ) = (1, −3) + k (1, 3) , k ∈  • Equació vectorial: 29. Prenem com  a punt A = (1, −3) i com a vector direc tor, v = [ AB] = (2 − 1, 0 − (−3)) = (1, 3). y x + =1 −2 −2 Per tant, la recta talla els eixos en (−2, 0) i (0, −2), i l’equació canònica o segmentària és: y = 0 ⇒ x = −2 ; x = 0 ⇒ y = −2 • Equació canònica: • Equació explícita: y = −x − 2 • Equació general: x + y + 2 = 0 • Equació punt-pendent: y − 3 = −(x + 5) y−3 • Equació contínua: x + 5 = 1 −1 x = −5 − k ⎫ ⎬ y = 3+k ⎭

• Equacions paramètriques: (x, y ) = (−5, 3) + k ⋅ (−1, 1) , k ∈  28. • Equació vectorial:

31. a) Sabem que l’equació contínua d’una recta r és:

Exercicis i problemes

28

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 28

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 29

7 x + 2 y − 17 = 0 y =

7 (x − 3) − 2 −2

— Un vector director de la recta que forma el costat  AC és v = (4, 3) o sigui, que passa per A = (−3, 2) i C = (1, 5), és: y =

• Equació vectorial:

— Un vector director de la recta que forma el costat  BC és v = (−2, 7) , aleshores la seva equació és: 2x + 3y = 0

(x, y ) = (0, 1) + k (−1, 2) , k ∈  • Equacions paramètriques: x = −k ⎫ ⎬ amb k ∈  y = 1 + 2k ⎭

4 y = − (x + 3) + 2 6 35. — Un vector director de la recta que forma el costat  AB és v = (6, −4), aleshores la seva equació és: x −1 y −3 = ⇒ −6 x + 6 = 2 y − 6 ⇒ 2 −6 ⇒ 6 x + 2 y − 12 = 0 ⇒ 3 x + y − 6 = 0 — Recta perpendicular a r per (1, 3): x −1 y −3 = ⇒ 3x − 3 = 2y − 6 ⇒ 2 3 ⇒ 3x − 2y + 3 = 0 — Recta paral.lela a r per (1, 3): 34. a) Un vector director de la recta r és (2, 3). Aleshores, podem prendre com a vector director de la recta paral.lela el mateix vector i (3, −2) com a vector director de la perpendicular. r: − x + 1 = 2 y + 6 ⇒ r: x + 2 y + 5 = 0 s: y = 2 x − 4 ⇒ s: 2 x − y − 4 = 0 1 2 ≠ ⇒ r i s són secants. −1 2 c) Expressem prèviament les rectes en forma general: 2 −3 a) ≠ ⇒ r i s són secants. 3 −1 2 −1 −1 b) = ≠ ⇒ Só ón paral·leles. 2 2 −1 33. Hem de comparar els coeficients de les dues rectes. y −1 • Equació contínua: x = 2 −1

⎧⎪ 6 x − 12 y = 15 a) ⎧2 x − 4 y = 5 ⇒⎨ ⎨ ⎩3 x − 6 y = − 2 ⎩⎪ −6 x + 12 y = 4 0 = 19 38. El punt d’intersecció entre dues rectes serà l’únic que compleixi les equacions de les dues rectes, per la qual cosa n’obtindrem les coordenades resolent el sistema format per les equacions de les dues rectes:

2. Rectes en el pla

29 32. Busquem un punt i un vector director. Tenim que (0, 1) és un punt de la recta i, com que, A = 2 i B = 1, (−1, 2) és un vector director. Escrivim ara les equacions que ens demanen:

• Equació contínua:

y −1 x = 2 −1

33. Hem de comparar els coeficients de les dues rectes. 2 −3 ≠ ⇒ r i s són secants. 3 −1 2 −1 −1 b) = ≠ ⇒ Só ón paral·leles. 2 2 −1 a)

c) Expressem prèviament les rectes en forma general: r: − x + 1 = 2 y + 6 ⇒ r: x + 2 y + 5 = 0 s: y = 2 x − 4 ⇒ s: 2 x − y − 4 = 0 1 2 ≠ ⇒ r i s són secants. −1 2 34. a) Un vector director de la recta r és (2, 3). Aleshores, podem prendre com a vector director de la recta paral.lela el mateix vector i (3, −2) com a vector director de la perpendicular. — Recta paral.lela a r per (1, 3): x −1 y −3 = ⇒ 3x − 3 = 2y − 6 ⇒ 2 3 ⇒ 3x − 2y + 3 = 0 — Recta perpendicular a r per (1, 3): x −1 y −3 = ⇒ −6 x + 6 = 2 y − 6 ⇒ 2 −6 ⇒ 6 x + 2 y − 12 = 0 ⇒ 3 x + y − 6 = 0 35. — Un vector director de la recta que forma el costat  AB és v = (6, −4), aleshores la seva equació és: 4 y = − (x + 3) + 2 6 2x + 3y = 0

y =

7 (x − 3) − 2 −2

7 x + 2 y − 17 = 0

3 x − 4 y + 17 = 0 36. a) Un vector director d’aquesta recta serà:   v = [BC] = (2, −7) A = (1, 1) ⎫ x −1 y −1 = ⇒  ⎬ ⇒ r: v = (2, −7) ⎭ 2 −7 ⇒ r: 7 x + 2 y − 9 = 0 b) La mitjana que parteix de B és la recta que passa per B i pel punt mitjà, M, de AC. 1⎞ ⎛ 1 + (−1) 1 + (−2)⎞ ⎛ M=⎜ , ⎟ = ⎜ 0, − ⎟⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2  1 −11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ [BM] = ⎜ 0 − (−3), − − 5 ⎟ = ⎜ 3, − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ Equació de la mitjana s: s:

y−5 x+3 = ⇒ s: 11 x + 6 y + 3 = 0 −11 3 2

c) L’altura que parteix de C és la recta t que passa per C i és perpendicular a AB.  [ AB] = (−3 − 1, 5 − 1) = (−4, 4) ⇒ Un vector perpendicular és, per exemple, (4, 4). Equació de t:  v = (4, 4) ⎫ x +1 y +2 = ⇒ ⎬ ⇒ t: C = (−1, −2) ⎭ 4 4 ⇒ t: x − y − 1 = 0 37. Per tal que r i s siguin paral.leles, s’ha de complir: 2 a −3 = ≠ 3 5 −1 De la primera igualtat, tenim a =

10 . 3

10 Per tant, per a a = les rectes són paral.leles, ja que 3 es verifica: 10 2 −3 = 3 ≠ 3 5 −1 38. El punt d’intersecció entre dues rectes serà l’únic que compleixi les equacions de les dues rectes, per la qual cosa n’obtindrem les coordenades resolent el sistema format per les equacions de les dues rectes: ⎧⎪ 6 x − 12 y = 15 a) ⎧2 x − 4 y = 5 ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩ −6 x + 12 y = 4 ⎩3 x − 6 y = − 2 0 = 19

2. Rectes en el pla

— Un vector director de la recta que forma el costat  BC és v = (−2, 7) , aleshores la seva equació és:

3 (x + 3) + 2 4

10 2 −3 = 3 ≠ 3 5 −1 10 Per tant, per a a = les rectes són paral.leles, ja que 3 es verifica: De la primera igualtat, tenim a =

10 . 3

2 a −3 = ≠ 3 5 −1 37. Per tal que r i s siguin paral.leles, s’ha de complir: ⇒ t: x − y − 1 = 0 Equació de t:  v = (4, 4) ⎫ x +1 y +2 = ⇒ ⎬ ⇒ t: C = (−1, −2) ⎭ 4 4 c) L’altura que parteix de C és la recta t que passa per C i és perpendicular a AB.  [ AB] = (−3 − 1, 5 − 1) = (−4, 4) ⇒ Un vector perpendicular és, per exemple, (4, 4). y−5 x+3 s: = ⇒ s: 11 x + 6 y + 3 = 0 −11 3 2 Equació de la mitjana s: 1⎞ ⎛ 1 + (−1) 1 + (−2)⎞ ⎛ M=⎜ , ⎟ = ⎜ 0, − ⎠⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2  1 − 11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ [BM] = ⎜ 0 − (−3), − − 5 ⎟ = ⎜ 3, − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ b) La mitjana que parteix de B és la recta que passa per B i pel punt mitjà, M, de AC. ⇒ r: 7 x + 2 y − 9 = 0

x = −k ⎫ ⎬ amb k ∈  y = 1 + 2k ⎭ • Equacions paramètriques: (x, y ) = (0, 1) + k (−1, 2) , k ∈  • Equació vectorial:

A = (1, 1) ⎫ x −1 y −1 = ⇒  ⎬ ⇒ r: v = (2, −7) ⎭ 2 −7 36. a) Un vector director d’aquesta recta serà:   v = [BC] = (2, −7) 3 x − 4 y + 17 = 0 y =

32. Busquem un punt i un vector director. Tenim que (0, 1) és un punt de la recta i, com que, A = 2 i B = 1, (−1, 2) és un vector director. Escrivim ara les equacions que ens demanen:

3 (x + 3) + 2 4

— Un vector director de la recta que forma el costat  AC és v = (4, 3) o sigui, que passa per A = (−3, 2) i C = (1, 5), és:

29

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 29 C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 30

30 Ara, π 1 r , s = 60º ⇔ cos(r , s) = cos 60º = cos = 3 2 Trobem, doncs, els valors de m que fan que 1 cos(r , s) = , que seran exactament els que facin 2 que r i s formin un angle de 60°:

58 1 − 2 y 1 + 17 29 25 ⇒x = = = 17 3 3 17

(1, 2) ⋅ (1, 3) = |(1, 2)| ⋅ |(1, 3)| =

=

m−2 5 m2 + 5

⇔ ↑

Elevant al quadrat no introduïm solucions

1 = 4 ⇔

1⋅1 + 2 ⋅3 12 + 22 ⋅ 12 + 32 7 5 2

m−2

2

=

5 m2 + 5

(m − 2)2 ( 5 m2 + 5 )2

⇔

m2 − 4 m + 4 1 ⇔ = 4 5 m2 + 5

⇔ 5 m2 + 5 = 4 m2 − 16 m + 16 ⇔ ⇔ m2 + 16 m − 11 = 0 ⇔

=

 42. a) d (P, Q ) = PQ = (−1 − 2, 3 − 0) = =

(−3)2 + 32 = 3 2 2⋅2 − 0 +3

b) d (P, r) =

22 + (−1)2

c) d (Q , r) =

=

22 + (−1)2

−2

=

5

=

2 5

2 5 5

=

43. Com que vénen donades per la seva equació general, podem aplicar directament la fórmula que coneixem, ja que també tenen els mateixos coeficients de x i y: 1 − (−2)

d (r, s) =

=

3

=

12 + 32

10

=

3 10 10

44. Sabem que:

7 2 10

d (r, s) =

0−k

=

(−3)2 + 22

| −k | 13

aleshores, si volem que la distància sigui 3: |k| 13

⇔ k = 3 13 ⇔ k = ± 3 13

45. Primerament calculem la perpendicular a r que passa per A.

2. Rectes en el pla30

la qual cosa és falsa sempre, aleshores el sistema no té solució, o sigui, r i s són paral.leles. b) ⎧ x = 2 + 3 k y +1 ⎧x−2 = k = ⎪ ⎪ 4 ⇒ ⎨ y = −1 + 4 k ⇒ ⎨ 3 ⎪ ⎩⎪ 3 x + 2 y = 1 ⎩ 3x + 2y = 1 ⎧ 4 x − 3 y = 11 ⎪⎧ −12 x + 9 y = −33 ⇒⎨ ⇒⎨ 4 ⎪⎩ 12 x + 8 y = ⎩ 3x + 2y = 1

1 r , s = 60º ⇔ = cos(r , s) = 2

17 y = −29 ⇒

⇒ y = −

⇔

Així, el punt d’intersecció és el de coordenades. 29 ⎞ ⎛ 25 ,− ⎟ ⎝⎜ 17 17 ⎠ 39. — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes r i s:

−16 ± 16 2 − 4 ⋅ (−11) ⇔m= = 2 −16 ± 300 = −8 ± 5 3 2

4 x + 3 y − 23 = 0 ⎫ 22 15 = 2, y = = 5 ⎬⇒x = 7x − 3y +1 = 0 ⎭ 11 3 — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes r i t: 4 x + 3 y − 23 = 0 ⎫ ⎬ ⇒ x = 5, y = 1 x − 2y − 3 = 0 ⎭ — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes s i t:

7 7 7 5 = = = 5 5 5 2 ⋅ (−1) − 3 + 3 =

7x − 3y +1 = 0 ⎫ ⎬ ⇒ x = −1, y = −2 x − 2y − 3 = 0 ⎭ 40. El cosinus de l’angle format per dues rectes es pot trobar a partir de l’angle format pels seus vectors  directors: un vector director de r és u = (1, 2), i un de  s és v = (1, 3), ja que aquests són els denominadors de les seves equacions contínues. Ara:   u⋅v   = |u| ⋅ |v|    cos(r , s) = cos(u , v) =

=

7 10

3 10 10

5

13 | −k | =

=

= 10 3

3 = d (r, s) =

=

41. El cosinus de l’angle format per r i s coincideix amb el valor absolut del cosinus de l’angle format pels seus vectors directors, com per exemple,   u = −(−1, − m) = (1, m) i v = (−2, 1)   u⋅v    , v) =  cos(r , s) = cos(u  = |u| ⋅ |v|

Com que r: 2 x + y − 2 = 0, un vector perpendicular a r és (2, 1). ⇔ k = 3 13 ⇔ k = ± 3 13 2

m−2

=

13 |k|

(−3)2 + 22 0−k 1 +3 2

1 − (−2)

1 ⋅ (−2) + m ⋅ 1

m−2

45. Primerament calculem la perpendicular a r que passa per A. 3 = d (r, s) =

aleshores, si volem que la distància sigui 3: d (r, s) = 44. Sabem que: d (r, s) =

Com que r: 2 x + y − 2 = 0, un vector perpendicular a r és (2, 1).

5 m2 + 5 7 2 10 =

2 5 5

=

= =

2

=

⇔

5 m2 + 5

2

7

2

2

( 5 m2 + 5 )2 (m − 2)2

↑

⇔

=

2

5 2

=

2

1⋅1 + 2 ⋅3

5

=

= = 2

m−2

12 + m2 ⋅ (−2)2 + 12

2

1 ⋅ (−2) + m ⋅ 1 10 7

2

5 −2 7

22 + (−1)2 2⋅2 − 0 +3

(−3)2 + 32 = 3 2 m−2

5 m2 + 5

1 r , s = 60º ⇔ = cos(r , s) = 2

=

1 + m ⋅ (−2) + 1 2

5

1 +2 ⋅ 1 +3

(1, 2) ⋅ (1, 3) = |(1, 2)| ⋅ |(1, 3)|

43. Com que vénen donades per la seva equació general, podem aplicar directament la fórmula que coneixem, ja que també tenen els mateixos coeficients de x i y: =

7 7 5 = = 5 5 5 2 ⋅ (−1) − 3 + 3 c) d (Q , r) = = 22 + (−1)2 =

b) d (P, r) = =

 42. a) d (P, Q ) = PQ = (−1 − 2, 3 − 0) = −16 ± 16 2 − 4 ⋅ (−11) = 2 −16 ± 300 = = −8 ± 5 3 2

⇔m=

⇔ m2 + 16 m − 11 = 0 ⇔ ⇔ 5 m2 + 5 = 4 m2 − 16 m + 16 ⇔ m2 − 4 m + 4 1 ⇔ = 4 5 m2 + 5

⇔

5 m2 + 5

1 ⇔ = 4

Elevant al quadrat no introduïm solucions

⎧⎪ −12 x + 9 y = −33 ⎨ 12 x + 8 y = 4 ⎪⎩

π 1 r , s = 60º ⇔ cos(r , s) = cos 60º = cos = 3 2

2. Rectes en el pla30

=

41. El cosinus de l’angle format per r i s coincideix amb el valor absolut del cosinus de l’angle format pels seus vectors directors, com per exemple,   u = −(−1, − m) = (1, m) i v = (−2, 1)   u⋅v    , v) =  cos(r , s) = cos(u  = |u| ⋅ |v| = =

40. El cosinus de l’angle format per dues rectes es pot trobar a partir de l’angle format pels seus vectors  directors: un vector director de r és u = (1, 2), i un de  s és v = (1, 3), ja que aquests són els denominadors de les seves equacions contínues. Ara:   u⋅v    cos(r , s) = cos(u , v) =   = |u| ⋅ |v| 7x − 3y +1 = 0 ⎫ ⎬ ⇒ x = −1, y = −2 x − 2y − 3 = 0 ⎭ — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes s i t: 4 x + 3 y − 23 = 0 ⎫ ⎬ ⇒ x = 5, y = 1 x − 2y − 3 = 0 ⎭ — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes r i t: 4 x + 3 y − 23 = 0 ⎫ 22 15 = 2, y = = 5 ⎬⇒x = 7x − 3y +1 = 0 ⎭ 11 3 39. — Resolem el sistema format per les equacions de les rectes r i s: 29 ⎞ ⎛ 25 ⎜⎝ , − ⎟⎠ 17 17 Així, el punt d’intersecció és el de coordenades. 58 1 − 2 y 1 + 17 29 25 ⇒ y = − ⇒x = = = 17 3 3 17 17 y = −29 ⇒ ⎧ 4 x − 3 y = 11 ⇒ ⇒⎨ ⎩ 3x + 2y = 1

Trobem, doncs, els valors de m que fan que 1 cos(r , s) = , que seran exactament els que facin 2 que r i s formin un angle de 60°:

b) ⎧ x = 2 + 3 k y +1 ⎧x−2 = k = ⎪ ⎪ 4 ⇒ ⎨ y = −1 + 4 k ⇒ ⎨ 3 ⎪ 3x + 2y = 1 ⎪⎩ 3 x + 2 y = 1 ⎩ la qual cosa és falsa sempre, aleshores el sistema no té solució, o sigui, r i s són paral.leles.

Ara,

30

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 30

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 31

m=

v2 60 = =3 20 v1

47 41 ⎞ El punt de trobada seria el ⎜⎛ , . ⎝ 11 11 ⎠⎟

El seu pendent ve donat per la tangent de l’angle definit pel seu vector director. y−0 x−0 = ⇒ 3x − y = 0 20 60 A partir d’un punt de pas i un vector director, en podem determinar l’equació de la recta. La recta r passa pels punts (0, 0) i (20, 60), ales hores v = (20, 60) − (0, 0) = (20, 60) és un vector director. 47. a) • Recta r: Aleshores, l’equació de la recta que busquem és: x+y−5=0 Substituïm les coordenades de P en l’equació anterior i aïllem k: 3 + 2 + k = 0 ⇒ k = −5

x −1 y −6 = ⇒ x − 2 y + 11 = 0 2 1 Busquem un punt P que també sigui de s i que sigui equidistant de A i de r. Ara bé, per a tot punt de s, la seva distància a r coincideix amb la seva distància a Q = r  s, ja que és el punt de r més proper a qualsevol punt de s (perquè s és perpendicular a r ). Així, busquem un punt P de s que equidisti de A i de Q. Com que A i Q també són de s, P no és més que el punt mitjà del segment AQ. Trobem, en primer lloc, les coordenades de Q : ⎧⎪ 4 x + 2 y − 4 = 0 ⎧ 2x + y − 2 = 0 ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 2 y + 11 = 0 ⎩ x − 2 y + 11 = 0 5x ⇒x = −

+7 =0⇒

7 24 ⇒ y = 2 − 2x = 5 5

Així, les coordenades de P són

x+y+k=0

46. Les rectes que tallen els semieixos positius i formen segments iguals són paral.leles a la bisectriu del segon i el quart quadrants. L’equació del feix de rectes paral.leles a aquesta bisectriu és: 24 ⎞ ⎛ 7 + 6⎟ ⎜− +1 5 , 5 ⎟= ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2

⎛ 1 27 ⎞ − , ⎝⎜ 5 5 ⎠⎟

Així, les coordenades de P són ⇒x = −

7 24 ⇒ y = 2 − 2x = 5 5 5x

+7 =0⇒

⎧ 2x + y − 2 = 0 ⎪⎧ 4 x + 2 y − 4 = 0 ⇒⎨ ⎨ ⎪⎩ x − 2 y + 11 = 0 ⎩ x − 2 y + 11 = 0 Trobem, en primer lloc, les coordenades de Q : Així, busquem un punt P de s que equidisti de A i de Q. Com que A i Q també són de s, P no és més que el punt mitjà del segment AQ. Busquem un punt P que també sigui de s i que sigui equidistant de A i de r. Ara bé, per a tot punt de s, la seva distància a r coincideix amb la seva distància a Q = r  s, ja que és el punt de r més proper a qualsevol punt de s (perquè s és perpendicular a r ).

24 ⎞ ⎛ 7 ⎜ − 5 + 1 5 + 6 ⎟ ⎛ 1 27 ⎞ , ⎟ = ⎜− , ⎜ 2 ⎠ ⎝ 5 5 ⎟⎠ ⎝ 2 46. Les rectes que tallen els semieixos positius i formen segments iguals són paral.leles a la bisectriu del segon i el quart quadrants. L’equació del feix de rectes paral.leles a aquesta bisectriu és: x+y+k=0 Substituïm les coordenades de P en l’equació anterior i aïllem k: 3 + 2 + k = 0 ⇒ k = −5 Aleshores, l’equació de la recta que busquem és: x+y−5=0 47. a) • Recta r: La recta r passa pels punts (0, 0) i (20, 60), ales hores v = (20, 60) − (0, 0) = (20, 60) és un vector director. A partir d’un punt de pas i un vector director, en podem determinar l’equació de la recta. y−0 x−0 = ⇒ 3x − y = 0 20 60 El seu pendent ve donat per la tangent de l’angle definit pel seu vector director. m=

v2 60 = =3 20 v1

• Recta s: (0, 10) i (30, 20) són punts de pas, per la qual  cosa v = (30, 20) − (0, 10) = (30, 10) és un vector director. Ara, podem obtenir l’equació general de la recta a partir de la seva equació contínua. y − 10 x−0 = ⇒ x − 3 y + 30 = 0 30 10 El pendent de la recta és la raó del segon component d’un vector director entre el primer. m=

10 1 = 30 3

b) Hem de trobar l’ordenada del punt de la recta r l’abscissa de la qual és x = 15. Per a fer-ho, aïllem y en l’equació d’aquesta recta i substituïm x per 15. y = 3 x ⇒ y = 3 ⋅ 15 = 45 ha c) El nombre d’hectàrees cremades té dependència lineal respecte del temps i l’any 1985 es van produir molts més incendis que l’any 1986 en tot el mes de juliol. 48. El vaixell es mourà sobre la recta que passa pels punts P = (1, 1) i I = (7, 6), mentre que el grup de balenes seguirà la recta  que passa pel punt B = (7, 1) i té vector director b = (−1, 1). Hem de trobar les equacions de totes aquestes trajectòries i veure quin és el punt en què es tallen. • Trajectòria del vaixell: Com que (1, 1) i (7, 6) són punts de pas, (7, 6) − − (1, 1) = (6, 5) és un vector director. L’equació de la trajectòria del vaixell serà: x −1 y −1 = ⇒ 5x − 6y +1 = 0 6 5 • Trajectòria de les balenes: Com que (7, 1) és un punt de pas i (−1, 1) és un vector director, l’equació de la recta és: y −1 x−7 = ⇒ x+y−8 = 0 −1 1 • Punt de trobada: El vaixell i les balenes es trobaran en el punt que pertany a totes dues trajectòries, que és el que ve donat per: ⎧ 5x − 6y +1 = 0 47 41 ⇒x = i y = ⎨ x + y − 8 = 0 11 11 ⎩ 47 41 ⎞ El punt de trobada seria el ⎛⎜ , . ⎝ 11 11 ⎟⎠

2. Rectes en el pla

x −1 y −6 = ⇒ x − 2 y + 11 = 0 2 1 Així, (2, 1) serà el vector director de la perpendicular a r per A, (anomenem-la s ), per la qual cosa la seva equació general serà:

⎧ 5x − 6y +1 = 0 47 41 ⇒x = i y = ⎨ 11 11 ⎩x+y−8 = 0

2. Rectes en el pla

31 Així, (2, 1) serà el vector director de la perpendicular a r per A, (anomenem-la s ), per la qual cosa la seva equació general serà:

El vaixell i les balenes es trobaran en el punt que pertany a totes dues trajectòries, que és el que ve donat per: • Punt de trobada: y −1 x−7 = ⇒ x+y−8 = 0 −1 1 Com que (7, 1) és un punt de pas i (−1, 1) és un vector director, l’equació de la recta és: • Trajectòria de les balenes: x −1 y −1 = ⇒ 5x − 6y +1 = 0 6 5 L’equació de la trajectòria del vaixell serà: Com que (1, 1) i (7, 6) són punts de pas, (7, 6) − − (1, 1) = (6, 5) és un vector director. • Trajectòria del vaixell: Hem de trobar les equacions de totes aquestes trajectòries i veure quin és el punt en què es tallen. 48. El vaixell es mourà sobre la recta que passa pels punts P = (1, 1) i I = (7, 6), mentre que el grup de balenes seguirà la recta  que passa pel punt B = (7, 1) i té vector director b = (−1, 1). c) El nombre d’hectàrees cremades té dependència lineal respecte del temps i l’any 1985 es van produir molts més incendis que l’any 1986 en tot el mes de juliol. y = 3 x ⇒ y = 3 ⋅ 15 = 45 ha b) Hem de trobar l’ordenada del punt de la recta r l’abscissa de la qual és x = 15. Per a fer-ho, aïllem y en l’equació d’aquesta recta i substituïm x per 15. m=

10 1 = 30 3

El pendent de la recta és la raó del segon component d’un vector director entre el primer. y − 10 x−0 = ⇒ x − 3 y + 30 = 0 30 10 Ara, podem obtenir l’equació general de la recta a partir de la seva equació contínua. (0, 10) i (30, 20) són punts de pas, per la qual  cosa v = (30, 20) − (0, 10) = (30, 10) és un vector director. • Recta s:

31

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 31 C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 32

32 Calculem cadascuna de les distàncies:  d ( AB) = | AB | = (b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 )2 = = (2 − 0)2 + (1 − 1)2 = 2 m;  d (BC) = | BC | = (4 − 2)2 + (3 − 1)2 = 2 2 = 2, 83 m;  d (CD) = | CD | = (1 − 4)2 + (5 − 3)2 = = 3, 61 m;  d (DA ) = | DA | = (0 − 1)2 + (1 − 5)2 =

13 =

17 = 4, 12 m;

Els metres de tanca que necessitem són: d = 2 + 2,83 + 3,61 + 4,12 = 12,56 m Y 40

r = 105 – x 3

q = x + 45 2

30

20 10

15

20

30

X

b) Els recursos són insuficients, ja que la demanda, donada per q, és superior a la quantitat de recursos, r. Gràficament, això correspon al punt en què la recta r és per sota de la recta q, i observem que això passa a partir del punt de tall, que sembla que se situa el 15 d’agost.

⎛ 101 15 ⎞ Així el punt és ⎜ . , ⎝ 26 26 ⎠⎟

Comprovem-ho: 50. Si dibuixem de manera aproximada aquests punts, veiem que defineixen un quadrilàter ABC D.

x + 45 ⎧ y = ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪ y = 105 − x ⎪⎩ 3

Y 6 5

D

⇒

x = 15 i y = 30

Els recursos són insuficients des del 15 d’agost.

4

C

3 2 1

A

B 4

5

6

7

X

2. Rectes en el pla32

49. La carretera que uneix A amb B correspon a la recta que passa pels punts (1, 0) i (6, 1). La carretera més curta possible que uneix C amb l’anterior és la que no té corbes i s’acosta perpendicularment a la recta AB, és a dir, la que segueix la recta per C perpendicular a la recta AB. Així, doncs, hem de trobar l’equació de la recta AB i de la seva perpendicular per C i calcular-ne la intersecció. • Recta AB:  Com que (1, 0) i (6, 1) són punts de pas, v = = (6, 1) − (1, 0) = (5, 1) és un vector director. D’un punt de pas, (1, 0) i un vector director (5, 1), podem deduir l’equació de la recta: x −1 y −0 = ⇒ x − 5y −1 = 0 5 1

51. a) • Recta per C perpendicular a la recta AB: Un vector perpendicular a la recta AB és (−1, 5), aleshores és vector director de la recta que busquem. Com que, a més, ha de passar per (3, 5), la seva equació és: y−5 x−3 = ⇒ 5 x + y − 20 = 0 −1 5 • Punt d’intersecció: Les dues carreteres es tallaran en el punt que verifica totes dues equacions: ⎧ x − 5y −1 = 0 101 15 ⇒x = i y = ⎨ 26 26 ⎩ 5 x + y − 20 = 0

• Càlcul de H′: Si P és el punt de tall de r amb la seva perpendicular que passa per H, H′ és el punt que compleix:   PH ′ = − PH Per trobar el punt òptim per a carregar aigua hem de calcular H′, la recta per H′ i F i intersectar-la amb r. En aquest cas, és clar que el millor lloc per a carregar aigua és el punt del riu que és sobre el segment H′F.

3

X

2

7

1

6

–1

5

–2

4

–3

3

X

Per tant, per a tancar aquest terreny, necessitem tancar els segments entre A i B, B i C, C i D i D i A.

2

30

Així, doncs, necessitem

1

x = 15 i y = 30 20

d = d (A, B ) + d (B, C ) + d (C, D ) + d (D, A )

–1

B

⇒ 15

q = x + 45 2

52. Seguint la indicació, veiem que a l’hidroavió li costarà el mateix anar al riu que si es trobés en el simètric de H respecte del riu, H′, per la qual cosa podem suposar que l’hidroavió surt de H′. En aquest cas, és clar que el millor lloc per a carregar aigua és el punt del riu que és sobre el segment H′F.

17 = 4, 12 m;

Per trobar el punt òptim per a carregar aigua hem de calcular H′, la recta per H′ i F i intersectar-la amb r. • Càlcul de H′: Si P és el punt de tall de r amb la seva perpendicular que passa per H, H′ és el punt que compleix:   PH ′ = − PH

13 =

metres de tanca.

–2

A

2

Els recursos són insuficients des del 15 d’agost. D

x + 45 ⎧ ⎪⎪ y = 2 ⎨ ⎪ y = 105 − x ⎪⎩ 3

b) Els recursos són insuficients, ja que la demanda, donada per q, és superior a la quantitat de recursos, r. 10 20 30

r = 105 – x 3 Y

d = 2 + 2,83 + 3,61 + 4,12 = 12,56 m Els metres de tanca que necessitem són:  d (DA ) = | DA | = (0 − 1)2 + (1 − 5)2 =

 d (CD) = | CD | = (1 − 4)2 + (5 − 3)2 = = 3, 61 m;

 d (BC) = | BC | = (4 − 2)2 + (3 − 1)2 = 2 2 = 2, 83 m; = (2 − 0)2 + (1 − 1)2 = 2 m;  d ( AB) = | AB | = (b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 )2 =

2. Rectes en el pla32

metres de tanca. d = d (A, B ) + d (B, C ) + d (C, D ) + d (D, A ) Així, doncs, necessitem Per tant, per a tancar aquest terreny, necessitem tancar els segments entre A i B, B i C, C i D i D i A. –3

1

52. Seguint la indicació, veiem que a l’hidroavió li costarà el mateix anar al riu que si es trobés en el simètric de H respecte del riu, H′, per la qual cosa podem suposar que l’hidroavió surt de H′.

C

3 4 5 6

Y

50. Si dibuixem de manera aproximada aquests punts, veiem que defineixen un quadrilàter ABC D.

Comprovem-ho: ⎛ 101 15 ⎞ Així el punt és ⎜ . , ⎝ 26 26 ⎟⎠

Gràficament, això correspon al punt en què la recta r és per sota de la recta q, i observem que això passa a partir del punt de tall, que sembla que se situa el 15 d’agost.

⎧ x − 5y −1 = 0 101 15 ⇒x = i y = ⎨ 26 26 ⎩ 5 x + y − 20 = 0 Les dues carreteres es tallaran en el punt que verifica totes dues equacions: • Punt d’intersecció: y−5 x−3 = ⇒ 5 x + y − 20 = 0 −1 5 Com que, a més, ha de passar per (3, 5), la seva equació és: Un vector perpendicular a la recta AB és (−1, 5), aleshores és vector director de la recta que busquem. • Recta per C perpendicular a la recta AB:

40

51. a) x −1 y −0 = ⇒ x − 5y −1 = 0 5 1 D’un punt de pas, (1, 0) i un vector director (5, 1), podem deduir l’equació de la recta:  Com que (1, 0) i (6, 1) són punts de pas, v = = (6, 1) − (1, 0) = (5, 1) és un vector director. • Recta AB: Així, doncs, hem de trobar l’equació de la recta AB i de la seva perpendicular per C i calcular-ne la intersecció. 49. La carretera que uneix A amb B correspon a la recta que passa pels punts (1, 0) i (6, 1). La carretera més curta possible que uneix C amb l’anterior és la que no té corbes i s’acosta perpendicularment a la recta AB, és a dir, la que segueix la recta per C perpendicular a la recta AB.

Calculem cadascuna de les distàncies:

32

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 32

C M Y K

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 33

33   S’ha de complir: PH′ = − PH,

2. Rectes en el pla

Calculem, doncs, la perpendicular a r per H, la seva intersecció amb r (punt P ) i, finalment, H′.

(x − 6, y − 2) = −(5 − 6, 4 − 2) = (1, −2) • Perpendicular a r per H:

 La recta r passa per (0, −1) i (2, 0), aleshores v = = (2, 0) − (0, −1) = (2, 1) és un vector director i la seva equació és: y − (−1) x−0 = ⇒ x − 2y − 2 = 0 2 1  Com que v és un vector director de r, és perpendicular a qualsevol recta perpendicular a r. Per tant, el feix de rectes perpendiculars a r és: 2x + y + k = 0

D’aquestes rectes, la que passa per H = (5, 4) és: 2 ⋅ 5 + 4 + k = 0 ⇒ k = −14, és a dir,

2 x + y − 14 = 0

— Punt P: La intersecció de r amb la seva perpendicular per H és: ⎧ x − 2y − 2 = 0 ⇒ x = 6, ⎨ ⎩ 2 x + y − 14 = 0 i

y = 2 ⇒ P = (6, 2)

⎧x−6 =1 ⎨ ⎩ y − 2 = −2

⇒ x = 7,

i y = 0 ⇒ H′ = (7, 0) • Càlcul de la recta H′F: La recta H′F passa per H′ = (7, 0) i F = (1, 2), ales hores v = (7, 0) − (1, 2) = (6, −2) és un vector director  v  i també w = = (3, −1); per tant, l’equació de la 2 recta és: y−0 x−7 = ⇒ x + 3y − 7 = 0 −1 3 • Càlcul del punt òptim per a carregar aigua: La intersecció de la recta H′F amb la recta r és: ⎧ x − 2y − 2 = 0 ⇒x =4 i y =1 ⎨ ⎩ x + 3y − 7 = 0 El punt òptim per a carregar aigua és el (4, 1), tal com s’observa en el gràfic.

53. Activitat TIC.

— Punt H′: Sigui H′ = (x, y )

54. Activitat TIC.

Sigui H′ = (x, y )

54. Activitat TIC.

— Punt H′: i

y = 2 ⇒ P = (6, 2) ⎧ x − 2y − 2 = 0 ⇒ x = 6, ⎨ ⎩ 2 x + y − 14 = 0

53. Activitat TIC. El punt òptim per a carregar aigua és el (4, 1), tal com s’observa en el gràfic.

La intersecció de r amb la seva perpendicular per H és: — Punt P: és a dir,

2 x + y − 14 = 0 2 ⋅ 5 + 4 + k = 0 ⇒ k = −14,

D’aquestes rectes, la que passa per H = (5, 4) és: 2x + y + k = 0 y − (−1) x−0 = ⇒ x − 2y − 2 = 0 2 1  Com que v és un vector director de r, és perpendicular a qualsevol recta perpendicular a r. Per tant, el feix de rectes perpendiculars a r és: 2. Rectes en el pla

• Perpendicular a r per H:  La recta r passa per (0, −1) i (2, 0), aleshores v = = (2, 0) − (0, −1) = (2, 1) és un vector director i la seva equació és:

⎧ x − 2y − 2 = 0 ⇒x =4 i y =1 ⎨ ⎩ x + 3y − 7 = 0 La intersecció de la recta H′F amb la recta r és: y−0 x−7 = ⇒ x + 3y − 7 = 0 −1 3 • Càlcul del punt òptim per a carregar aigua: La recta H′F passa per H′ = (7, 0) i F = (1, 2), ales hores v = (7, 0) − (1, 2) = (6, −2) és un vector director  v  i també w = = (3, −1); per tant, l’equació de la 2 recta és: • Càlcul de la recta H′F: y = 0 ⇒ H′ = (7, 0) i ⎧x−6 =1 ⎨ ⎩ y − 2 = −2

⇒ x = 7,

(x − 6, y − 2) = −(5 − 6, 4 − 2) = (1, −2) Calculem, doncs, la perpendicular a r per H, la seva intersecció amb r (punt P ) i, finalment, H′.

  S’ha de complir: PH′ = − PH,

33

02 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:16

Página 33 C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 34

2 ; a 23 = 2 3

2. Resposta suggerida:

c)

0 ⎛ 2 ⎜ 0 – 1 ⎜ 1 ⎜ ⎜ 3 2 ⎜ ⎝ –1 0

b)

0 5 0 0 0

0 0 0 0 0

C no és esglaonada, per la qual cosa hem de transformar-la en esglaonada:

Hem transformat B en una matriu esglaonada amb una única fila no nul·la, aleshores rang (B) = 1.

— L’element a11 ja és igual a 1. — Fem 0 els altres elements de la primera columna sumant a cada fila la primera multiplicada pel nombre real adient:

F2 → F2 − 2 F1 F3 → F3 + F1 F4 → F4 − 5 F1 ———— ——

0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ 2 3⎠

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

3⎞ 6⎟ ⎟ –3 ⎟ ⎟ –2 ⎠

–1 2 3⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 8 –10 –17 ⎠

— Posem les files nul·les al final perquè la matriu pugui ser esglaonada: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 6 0⎟ 0 –2 ⎠⎟

–1 2 3⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 8 –10 –17 ⎠ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

–1 2 3⎞ 8 –10 –17 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠

Com que hem obtingut una matriu esglaonada amb dues files no nul·les, rang (C) = 2.

2. OPERACIONS AMB MATRIUS

B no és esglaonada, per la qual cosa li hem d’aplicar transformacions elementals fins a convertir-la en esglaonada.

a)

3. Matrius

1. MATRIUS NUMÈRIQUES 1. La matriu A té 3 files i 4 columnes; per tant, la seva dimensió és 3 × 4. L’element aij és el que ocupa la fila i-èsima i la columna j-èsima, d’on: a13 = 0 ; a 34 =

2 ⎛ 1 –1 ⎜ 2 –2 4 ⎜ 1 –2 ⎜ –1 ⎜ 0 ⎝ 5 3

a) ⎛ 1 3 –2 ⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 –3 ⎠⎟

⎛2 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

F2 ↔ F4 — ——

d) ⎛ 0 0 0 0 ⎞ ⎝⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟ 3. A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul·les, aleshores rang (A) = 3.

4.

— L’element a11 ja és igual a 1. — Sumem a cada fila k-èsima, k > 1, la primera multiplicada per −ak1 perquè els elements de la primera columna, excepte a11, siguin 0:

–1 2 3⎞ 8 –10 –17 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠

b)

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

–1 2 3⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 8 –10 –17 ⎠

3⎞ 6⎟ ⎟ –3 ⎠⎟

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

⎛ 1 –1 4 ⎜ 2 –2 8 ⎜ ⎝⎜ –1 1 –4

0 0 0 0 0

–1 2 3⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 8 –10 –17 ⎠

⎛ 2 + 4 5 + 6 1 + 7 ⎞ ⎛ 6 11 8 ⎞ =⎜ = ⎝ 3 + 0 9 + 9 0 + 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 18 7 ⎠⎟

C no és esglaonada, per la qual cosa hem de transformar-la en esglaonada:

⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 4 6 7 ⎞ A+B=⎜ + = ⎝ 3 9 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 9 7 ⎠⎟

A + B + C = ( A + B) + C = ⎛ 6 11 8 ⎞ ⎛ –1 3 0 ⎞ =⎜ + = ⎝ 3 18 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 2 1 ⎠⎟

–1 4 3 ⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠⎟

0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 6 0⎟ 0 –2 ⎟⎠

0 5 0 0 0

3 Matrius

⎛ 6 – 1 11 + 3 8 + 0 ⎞ ⎛ 5 14 8 ⎞ =⎜ = ⎝ 3 + 1 18 + 2 7 + 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 20 8 ⎟⎠ ⎛ 6 11 8 ⎞ ⎛ –1 3 0 ⎞ + =⎜ = ⎝ 3 18 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 1 ⎟⎠ A + B + C = ( A + B) + C =

4.

⎛2 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

— Posem les files nul·les al final perquè la matriu pugui ser esglaonada: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

F2 → F2 − 2 F1 F3 → F3 + F1 F4 → F4 − 5 F1 ———— ——

3⎞ 6⎟ ⎟ –3 ⎟ ⎟ –2 ⎠

— L’element a11 ja és igual a 1. Hem transformat B en una matriu esglaonada amb una única fila no nul·la, aleshores rang (B) = 1.

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎝⎜ 0

–1 4 3 ⎞ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟⎠ b)

— L’element a11 ja és igual a 1. 0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ 2 3⎠ 2 ; a 23 = 2 3

⎛ 6 – 1 11 + 3 8 + 0 ⎞ ⎛ 5 14 8 ⎞ =⎜ = ⎝ 3 + 1 18 + 2 7 + 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 20 8 ⎠⎟

34

12:22

F2 → F2 + (−a21 F1) = F2 − 2 F1 F3 → F3 + (−a31 F1) = F3 + F1 ————————— —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0 3⎞ 6⎟ ⎟ –3 ⎟⎠

⎛ 2 + 4 5 + 6 1 + 7 ⎞ ⎛ 6 11 8 ⎞ =⎜ = ⎝ 3 + 0 9 + 9 0 + 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 18 7 ⎟⎠ 2. OPERACIONS AMB MATRIUS Com que hem obtingut una matriu esglaonada amb dues files no nul·les, rang (C) = 2. F2 ↔ F4 — ——

0 ⎛ 2 ⎜ 0 –1 ⎜ 1 ⎜ ⎜ 3 2 ⎜ ⎝ –1 0

27/5/09

3. Matrius

34 F2 → F2 + (−a21 F1) = F2 − 2 F1 F3 → F3 + (−a31 F1) = F3 + F1 ————————— —————

⎛ 1 –1 4 ⎜ 2 –2 8 ⎜ ⎜⎝ –1 1 –4

— Sumem a cada fila k-èsima, k > 1, la primera multiplicada per −ak1 perquè els elements de la primera columna, excepte a11, siguin 0: a)

⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 4 6 7 ⎞ A+B=⎜ + = ⎝ 3 9 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 9 7 ⎟⎠

B no és esglaonada, per la qual cosa li hem d’aplicar transformacions elementals fins a convertir-la en esglaonada. 3. A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul·les, aleshores rang (A) = 3. d) ⎛ 0 0 0 0 ⎞ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ c) b)

a) ⎛ 1 3 –2 ⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 –3 ⎟⎠

2 ⎛ 1 –1 ⎜ 2 –2 4 ⎜ 1 –2 ⎜ –1 ⎜ 0 ⎝ 5 3

2. Resposta suggerida: a13 = 0 ; a 34 =

— Fem 0 els altres elements de la primera columna sumant a cada fila la primera multiplicada pel nombre real adient:

L’element aij és el que ocupa la fila i-èsima i la columna j-èsima, d’on: 1. La matriu A té 3 files i 4 columnes; per tant, la seva dimensió és 3 × 4. 1. MATRIUS NUMÈRIQUES

3 Matrius 03 Mates CCS_Guia.qxd

Página 34

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 35

Per tant: A−1 = I = A

⎛ 8 –17 6 ⎞ =⎜ ⎝ –9 –12 1 ⎠⎟

A⋅I=I⋅A=I

l)

⎛ 2 5 1 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞ =⎜ + = ⎝ 3 9 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 –9 –7 ⎟⎠

En particular, per B = I (= A) es compleix:

⎛ 2 1 6 ⎞ ⎛ –6 18 0 ⎞ =⎜ – = ⎝ –3 0 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 6 12 6 ⎠⎟

⎛ 2 – 4 5 – 6 1 – 7 ⎞ ⎛ –2 =⎜ = ⎝ 3 + 0 9 – 9 0 – 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3

⎛ 4 6 7 ⎞ ⎛ –2 –5 =⎜ + ⎝ 0 9 7 ⎟⎠ ⎜⎝ –3 –9

–1 –6 ⎞ 0 –7 ⎟⎠

⎛ 4 6 7⎞ ⎛ 2 5 1⎞ –8⎜ –2⎜ = ⎟ 0 9 7 ⎝ ⎠ ⎝ 3 9 0 ⎟⎠ ⎛ –7 21 0 ⎞ ⎛ 32 48 56 ⎞ ⎛ 4 10 2 ⎞ = =⎜ – – ⎝ 7 14 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 72 56 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 18 0 ⎟⎠

–1 ⎞ = 0 ⎟⎠

⎛ –7 – 32 – 4 21 – 48 – 10 0 – 56 – 2 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 – 0 – 6 14 – 72 – 18 7 – 56 – 0 ⎟⎠

A = I, pel que per a tota matriu B d’ordre 3 es compleix: A⋅B=B⋅A=B

⎛ 2 1 6⎞ ⎛ –1 3 0 ⎞ =⎜ –6⎜ = ⎝ –3 0 7 ⎠⎟ ⎝ 1 2 1 ⎠⎟ B – A – 6 C = (B – A ) – 6 C =

6.

6 49 33 ⎞ ⎛ 10 25 5 ⎞ ⎛ 16 24 28 ⎞ ⎛ 26 =⎜ + = ⎝ 15 45 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 36 28 ⎠⎟ ⎝⎜ 15 81 28 ⎠⎟

⎛ 4 – 2 6 – 5 7 – 1 ⎞ ⎛ 2 1 6⎞ =⎜ = ⎝ 0 – 3 9 – 9 7 + 0 ⎟⎠ ⎜⎝ –3 0 7 ⎟⎠ e)

⎛ –43 –37 –58 ⎞ =⎜ ⎝ 1 –76 –49 ⎟⎠

C – B = C + (– B) =

j)

⎛ –1 3 0 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞ =⎜ + = ⎝ 1 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 –9 –7 ⎟⎠

5. a)

B – C = – (C – B) =

b)

⎛ 1 0 0⎞ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ És la matriu identitat d’ordre 3, ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟ ⎛ 2 ⋅ 40 2 ⋅ 28 ⎞ ⎛ 80 56 ⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ 77 2 ⋅ 65 ⎠⎟ ⎝⎜ 154 130 ⎠⎟

⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 4 6 7⎞ 5A +4B=5⎜ +4⎜ = ⎝ 3 9 0 ⎠⎟ ⎝ 0 9 7 ⎠⎟ ⎛ 4 =⎜ ⎝ –4

⎡⎛ 5 = 2 ⎢⎜ ⎣⎝ 2 ⎡⎛ 5 = 2 ⎢⎜ ⎣⎝ 2 ⎡⎛ 5 = 2 ⎢⎜ ⎣⎝ 2 ⎛5 + =2⎜ ⎝2 +

–12 0⎞ –8 –4 ⎠⎟

⎛ –4 ⋅ (–1) –4 ⋅ 3 –4 ⋅ 0 ⎞ =⎜ = –4 ⋅ 2 –4 ⋅ 1 ⎠⎟ ⎝ –4 ⋅ 1 i)

⎛ –5 –3 –7 ⎞ ⎛ 5 3 7 ⎞ = =–⎜ ⎝ 1 –7 −6 ⎟⎠ ⎜⎝ –1 7 6 ⎟⎠

c)

⎛ 4 10 2 ⎞ =⎜ ⎝ 6 18 0 ⎟⎠

⎛ 231 196 ⎞ =⎜ ⎝ 459 394 ⎟⎠

⎛ 12 18 21⎞ =⎜ ⎝ 0 27 21⎠⎟

d ) 2 (B + A ⋅ C) = ⎡ ⎛ 5 0⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 9 8⎞ ⎤ = 2 ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟⎥ = ⎣ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 7 6 ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎦ ⎡ ⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 8 + 4 ⋅ 1⎞ ⎤ = 2 ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎥ = ⎣ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 7 ⋅ 9 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 8 + 6 ⋅ 1⎠ ⎦

⎛ –1 3 0 ⎞ (–4) C = (–4) ⎜ = ⎝ 1 2 1 ⎟⎠

⎛ –1 3 0 ⎞ (–4) C = (–4) ⎜ = ⎝ 1 2 1 ⎠⎟ ⎛ 12 18 21⎞ =⎜ ⎝ 0 27 21⎠⎟

0⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 9 8⎞ ⎤ + ⋅ ⎥= 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 1 ⎠⎟ ⎦ 0 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 8 + 4 ⋅ 1⎞ ⎤ + ⎥= 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 ⋅ 9 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 8 + 6 ⋅ 1⎠⎟ ⎦

⎛ 231 196 ⎞ =⎜ ⎝ 459 394 ⎠⎟ ⎛ 3 ⋅ 45 + 4 ⋅ 24 3 ⋅ 40 + 4 ⋅ 19 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 ⋅ 45 + 6 ⋅ 24 7 ⋅ 40 + 6 ⋅ 19 ⎠⎟

⎛ 4 10 2 ⎞ =⎜ ⎝ 6 18 0 ⎠⎟ ⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 1⎞ = = g) 2 A = 2 ⎜ ⎝ 3 9 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 9 2 ⋅ 0 ⎠⎟

c) b)

B – C = – (C – B) =

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 45 40 ⎞ A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) = ⎜ ⋅ = ⎝ 7 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 24 19 ⎠⎟ ⎛ 5 ⋅ 9 + 0 ⋅ 2 5 ⋅ 8 + 0 ⋅ 1⎞ ⎛ 45 40 ⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 1⎠⎟ ⎝⎜ 24 19 ⎠⎟

⎛ –5 –3 –7 ⎞ ⎛ 5 3 7 ⎞ = =–⎜ ⎝ 1 –7 −6 ⎠⎟ ⎝⎜ –1 7 6 ⎠⎟ e)

0 ⎞ ⎛ 35 28 ⎞ ⎤ + ⎥= 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 75 62 2 ⎟⎠ ⎦ 35 0 + 28 ⎞ ⎛ 40 28 ⎞ =2⎜ = 75 3 + 62 ⎠⎟ ⎝ 77 65 ⎠⎟

d ) 2 (B + A ⋅ C) =

⎛ 4 6 7⎞ ⎛ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 6 3 ⋅ 7⎞ = = h) 3 B = 3 ⎜ ⎝ 0 9 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⋅ 0 3 ⋅ 9 3 ⋅ 7 ⎠⎟ f)

⎛ –4 ⋅ (–1) –4 ⋅ 3 –4 ⋅ 0 ⎞ =⎜ = –4 ⋅ 2 –4 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎝ –4 ⋅ 1

j)

⎡ ⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 35 28 ⎞ ⎤ = 2 ⎢⎜ ⎥= ⎟ +⎜ 2 ⎟⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 75 62 ⎛ 40 28 ⎞ ⎛ 5 + 35 0 + 28 ⎞ =2⎜ =2⎜ = ⎟ ⎝ 2 + 75 3 + 62 ⎠ ⎝ 77 65 ⎟⎠

–12 0⎞ –8 –4 ⎟⎠

⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 4 6 7⎞ 5A +4B=5⎜ +4⎜ = ⎟ 3 9 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 9 7 ⎟⎠

⎛ 2 ⋅ 40 2 ⋅ 28 ⎞ ⎛ 80 56 ⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ 77 2 ⋅ 65 ⎟⎠ ⎜⎝ 154 130 ⎟⎠

⎛ 5 0⎞ ⎛ 9 8⎞ B⋅C=⎜ ⋅ = ⎝ 2 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 1 ⎠⎟ ⎛ 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 23 12 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 0 + 6 ⋅ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 47 18 ⎠⎟

⎛ –1 – 4 3 – 6 0 – 7 ⎞ ⎛ –5 –3 –7 ⎞ =⎜ = ⎝ 1 + 0 2 – 9 1 – 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 –7 –6 ⎠⎟

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 5 0⎞ A ⋅B=⎜ ⋅ = ⎝ 7 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟

⎛ –1 3 0 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞ =⎜ + = ⎝ 1 2 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 –9 –7 ⎠⎟

5. a)

C – B = C + (– B) =

⎛ –43 –37 –58 ⎞ =⎜ ⎝ 1 –76 –49 ⎠⎟

⎛ 4 – 2 6 – 5 7 – 1 ⎞ ⎛ 2 1 6⎞ =⎜ = ⎝ 0 – 3 9 – 9 7 + 0 ⎠⎟ ⎝⎜ –3 0 7 ⎠⎟

6 49 33 ⎞ ⎛ 10 25 5 ⎞ ⎛ 16 24 28 ⎞ ⎛ 26 =⎜ +⎜ =⎜ ⎟ ⎟ 15 45 0 0 36 28 15 81 28 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k)

B – A – 6 C = (B – A ) – 6 C = ⎛ 2 1 6⎞ ⎛ –1 3 0 ⎞ =⎜ –6⎜ = ⎟ ⎝ –3 0 7 ⎠ ⎝ 1 2 1 ⎟⎠

⎛ 8 –17 6 ⎞ =⎜ ⎝ –9 –12 1 ⎟⎠

6.

⎛ 1 0 0⎞ A = ⎜ 0 1 0 ⎟ És la matriu identitat d’ordre 3, ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ A = I, pel que per a tota matriu B d’ordre 3 es compleix: A⋅B=B⋅A=B En particular, per B = I (= A) es compleix: A⋅I=I⋅A=I Per tant: A−1 = I = A

3. Matrius

⎛ 2 1 6 ⎞ ⎛ –6 18 0 ⎞ =⎜ – = ⎝ –3 0 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 12 6 ⎟⎠

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 45 40 ⎞ A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) = ⎜ ⋅ = ⎝ 7 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 24 19 ⎟⎠ ⎛ 3 ⋅ 45 + 4 ⋅ 24 3 ⋅ 40 + 4 ⋅ 19 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 ⋅ 45 + 6 ⋅ 24 7 ⋅ 40 + 6 ⋅ 19 ⎟⎠

⎛ 4 6 7⎞ ⎛ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 6 3 ⋅ 7⎞ = = h) 3 B = 3 ⎜ ⎝ 0 9 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 0 3 ⋅ 9 3 ⋅ 7 ⎟⎠

⎛ 4 =⎜ ⎝ –4

⎛ 5 0⎞ ⎛ 9 8⎞ B⋅C=⎜ ⋅ = ⎝ 2 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ ⎛ 5 ⋅ 9 + 0 ⋅ 2 5 ⋅ 8 + 0 ⋅ 1⎞ ⎛ 45 40 ⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 1⎟⎠ ⎜⎝ 24 19 ⎟⎠

⎛ 2 5 1⎞ ⎛ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 1⎞ = = g) 2 A = 2 ⎜ ⎝ 3 9 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 9 2 ⋅ 0 ⎟⎠

i)

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 5 0⎞ A ⋅B=⎜ ⋅ = ⎝ 7 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ ⎛ 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 23 12 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 0 + 6 ⋅ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 47 18 ⎟⎠

⎛ –1 – 4 3 – 6 0 – 7 ⎞ ⎛ –5 –3 –7 ⎞ =⎜ = ⎝ 1 + 0 2 – 9 1 – 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 –7 –6 ⎟⎠ f)

5 (C – B) + 2 (C – A ) – 3 B = = 5C–5B + 2C–2A –3B = ⎛ –1 3 0 ⎞ = 7C–8B–2A = 7 ⎜ – ⎝ 1 2 1 ⎟⎠

d) B – A = B + (– A ) = k)

3. Matrius

35 c) A – B = A + (– B) =

⎛ 4 6 7 ⎞ ⎛ –2 –5 =⎜ + ⎝ 0 9 7 ⎠⎟ ⎝⎜ –3 –9

⎛ –7 – 32 – 4 21 – 48 – 10 0 – 56 – 2 ⎞ =⎜ = ⎝ 7 – 0 – 6 14 – 72 – 18 7 – 56 – 0 ⎠⎟

–1 ⎞ = 0 ⎠⎟

⎛ –7 21 0 ⎞ ⎛ 32 48 56 ⎞ ⎛ 4 10 2 ⎞ = =⎜ – – ⎝ 7 14 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 72 56 ⎠⎟ ⎝⎜ 6 18 0 ⎠⎟

d) B – A = B + (– A ) = ⎛ 2 – 4 5 – 6 1 – 7 ⎞ ⎛ –2 =⎜ = ⎝ 3 + 0 9 – 9 0 – 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 3

⎛ 4 6 7⎞ ⎛ 2 5 1⎞ –8⎜ –2⎜ = ⎝ 0 9 7 ⎠⎟ ⎝ 3 9 0 ⎠⎟

–1 –6 ⎞ 0 –7 ⎠⎟

⎛ –1 3 0 ⎞ = 7C–8B–2A = 7 ⎜ – ⎝ 1 2 1 ⎠⎟

⎛ 2 5 1 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞ =⎜ + = ⎝ 3 9 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 –9 –7 ⎠⎟ c) A – B = A + (– B) =

l)

5 (C – B) + 2 (C – A ) – 3 B = = 5C–5B + 2C–2A –3B =

35

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 35 C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 36

36 • Calculem B−1 a partir de la definició:

Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions: ⎧3 a – b + 3 c = 1 ⎪ ⎨2 a + 2 b − 4 c = 0 ⎪ ⎩a − 3 b + 9 c = 0

3 8

d=0

B −1

⎛ 3 ⎜ 8 ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜− 1 ⎝ 8

⎧3 d − e + 3 f = 0 ⎪ ⎨2 d + 2 e − 4 f = 1 ⎪ ⎩d − 3 e + 9 f = 0

g=−

3 2

h= i=

1 8

9 8 1 2

11 1⎞ − − ⎟ 8 2 ⎟ 3 1 ⎟ 2 2 ⎟ 9 1 ⎟⎟ 8 2 ⎠

• Calculem C−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan. La matriu ampliada és: ⎛ 1 0 ⎜ −1 2 ⎜ ⎜ 1 −1 ⎜ 1 ⎝ −3

3 1 2 0

3 1 2 5

1 0 0 0

0 1 0 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

0 0 1 0

L’element a11 ja és igual a 1.

= d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0

Anul·lem la resta d’elements de la primera columna: 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

Transformem en 1 l’element a22: 0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 2 ⎟ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1⎠

3. Matrius

B −1

⎛ a b c⎞ = ⎜ d e f ⎟ és la matriu que compleix: ⎟ ⎜ ⎝⎜ g h i ⎠⎟

⎧3 g – h + 3 i = 0 ⎪ ⎨2 g + 2 h − 4 i = 0 ⎪ ⎩g − 3 h + 9 i = 1 La solució és: a=

e=

11 8

b=−

1 2

La inversa de B és:

= a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ (−4) = 0 ⎛ 1⎞ F1 ⋅ C3 = (a b c) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 9 ⎠⎟ = a ⋅ 1 + b ⋅ (−3) + c ⋅ 9 = 0 ⎛ 3⎞ F2 ⋅ C1 = (d e f ) ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ = d ⋅ 3 + e ⋅ (−1) + f ⋅ 3 = 0 ⎛ 2⎞ F2 ⋅ C2 = (d e f ) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 ⎠⎟ = d ⋅ 2 + e ⋅ 2 + f ⋅ (−4) = 1 ⎛ 1⎞ F ⋅ C = (d e f ) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = 2 3 ⎜ ⎟ ⎝⎜ 9 ⎠⎟

1 2 0 0 1 0

i=

0 1 0 0

1 2

1 1 −1 3

f =

3 4 −1 14

1 2

B ⋅ B −1 = B −1

2 1⎞ ⎛ a b c⎞ ⎛ 3 B = ⎜ d e f ⎟ ⎜ −1 2 −3 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 9 ⎠⎟ ⎝⎜ g h i ⎠⎟ ⎝⎜ 3 −4

⎛ 1 0 0⎞ = ⎜ 0 1 0 ⎟ , és a dir: ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟

f =

1 2

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

c=−

0 0 1 0

⎛ 3⎞ F ⋅ C = (a b c) ⋅ ⎜ −1⎟ = 1 1 ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ = a 3 + b ⋅ (−1) + c 3 = 1

0 1 0 0

⎛ 2⎞ F1 ⋅ C2 = (a b c) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 ⎟⎠

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 2 ⎟ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1⎠ 1 1 −1 3 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

c=−

9 8

⎛1 0 3 ⎜0 2 4 ⎜ ⎜ 0 −1 −1 ⎜ 1 9 ⎝0

0 0 1 0

h=

F2 → F2 + F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 + 3 F1 ————— —

3 4 −1 14 0 1 0 0

3 2

1 8

g=−

⎛ 3⎞ F ⋅ C = (g h i) ⋅ ⎜ −1⎟ = 3 1 ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ = g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0

1 0 0 0

11 1⎞ − ⎟ 8 2 ⎟ 3 1 ⎟ 2 2 ⎟ 9 1 ⎟⎟ 8 2 ⎠

e=

d=0

⎛ 2⎞ F ⋅ C = (g h i) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = 3 2 ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 ⎠⎟ = g ⋅ 2 + h ⋅ 2 + i ⋅ (−4) = 0

3 1 2 5

−

11 8

3 8

1 F2 → F2 2 ————

⎛1 0 3 ⎜0 2 4 ⎜ ⎜ 0 −1 −1 ⎜ 1 9 ⎝0 3 1 2 0

La matriu ampliada és: • Calculem C−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan. B −1

⎛ 3 ⎜ 8 ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 8

La inversa de B és: b=− a=

La solució és: ⎧3 g – h + 3 i = 0 ⎪ ⎨2 g + 2 h − 4 i = 0 ⎪g − 3 h + 9 i = 1 ⎩

2 1⎞ ⎛ a b c⎞ ⎛ 3 B = ⎜ d e f ⎟ ⎜ −1 2 −3 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎝ g h i ⎟⎠ ⎜⎝ 3 −4 9 ⎟⎠

0 3 3 1 ⎛1 ⎜ 1 ⎜0 1 2 2 2 ⎜ ⎜ 0 −1 −1 −1 −1 ⎜ 1 9 14 3 ⎝0

=B

−1

⎧3 d − e + 3 f = 0 ⎪ ⎨2 d + 2 e − 4 f = 1 ⎪d − 3 e + 9 f = 0 ⎩

⎧3 a – b + 3 c = 1 ⎪ ⎨2 a + 2 b − 4 c = 0 ⎪a − 3 b + 9 c = 0 ⎩

⎛ 1⎞ F3 ⋅ C3 = (g h i) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 9 ⎟⎠ = g ⋅ 1 + h ⋅ (−3) + i ⋅ 9 = 1

1 F 2 2 ————

F2 →

0 3 3 1 ⎛1 ⎜ 1 ⎜0 1 2 2 2 ⎜ ⎜ 0 −1 −1 −1 −1 ⎜ 1 9 14 3 ⎝0

Transformem en 1 l’element a22: F2 → F2 + F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 + 3 F1 ————— —

Anul·lem la resta d’elements de la primera columna: L’element a11 ja és igual a 1.

= d ⋅ 2 + e ⋅ 2 + f ⋅ (−4) = 1 −1

⎛ a b c⎞ = ⎜ d e f ⎟ és la matriu que compleix: ⎟ ⎜ ⎜⎝ g h i ⎟⎠

3. Matrius

⎛ 1⎞ F3 ⋅ C3 = (g h i) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 9 ⎟⎠ = g ⋅ 1 + h ⋅ (−3) + i ⋅ 9 = 1 ⎛ 2⎞ F3 ⋅ C2 = (g h i) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −4 ⎟⎠ = g ⋅ 2 + h ⋅ 2 + i ⋅ (−4) = 0 = g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0 ⎛ 3⎞ F3 ⋅ C1 = (g h i) ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0 ⎛ 1⎞ F2 ⋅ C3 = (d e f ) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 9 ⎟⎠

⎛ 1 0 ⎜ −1 2 ⎜ ⎜ 1 −1 ⎜ 1 ⎝ −3

⎛ 2⎞ F2 ⋅ C2 = (d e f ) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −4 ⎟⎠ = d ⋅ 3 + e ⋅ (−1) + f ⋅ 3 = 0 ⎛ 3⎞ F2 ⋅ C1 = (d e f ) ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎛ 1⎞ F1 ⋅ C3 = (a b c) ⋅ ⎜ −3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 9 ⎟⎠ = a ⋅ 1 + b ⋅ (−3) + c ⋅ 9 = 0 = a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ (−4) = 0 ⎛ 2⎞ F1 ⋅ C2 = (a b c) ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −4 ⎟⎠ ⎛ 3⎞ F1 ⋅ C1 = (a b c) ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = a 3 + b ⋅ (−1) + c 3 = 1 ⎛ 1 0 0⎞ = ⎜ 0 1 0 ⎟ , és a dir: ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ B⋅B B

−1

• Calculem B−1 a partir de la definició:

Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions:

36

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 36

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 37

37 t

0⎞ 1 −3 ⎞ ⎛2 ⎛ 2 0 2 5⎟ 7. A = ⎜ 1 2 −2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 −2 ⎜⎝ −3 5 1 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ t

F3 → F3 + F2 F4 → F4 − F2 —————

C −1

⎛ 5 ⎜ 2 ⎜ ⎜ 3 ⎜ 2 =⎜ ⎜ − 17 ⎜ 10 ⎜ 6 ⎜ ⎝ 5

12 5 7 5

3 − 2 1 − 2 13 10 4 5

−

⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1⎟ − ⎟ 5⎟ 1 ⎟ ⎟ 5 ⎠

−

−2 −3

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 0

0 3

3

1 1 1 2 2 2 1 0 1 1 − 2 5 0 7 12 2

0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠

0 1 2 1 2 1 − 2

⎛ 2 − 1⎞ t 4 0⎞ ⎛ 2 B =⎜ = ⎜ 4 −3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ −1 −3 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ t

t

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 − 1 1⎞ t C = ⎜ −1 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1⎟⎠ ⎝0 ⎜⎝ 1 −1⎟⎠

L’element a33 ja és 1.

Per tant: A −1

La solució d’aquest sistema és:

La inversa de C és: sigui: F3 → F3 − F4 ——————

5 0 0 0 2 3 1 0 0 2 17 0 1 0 − 10 6 5

3 − 2 1 − 2 13 10 4 5

−

0 0 1

F1 → F1 − 3 F3 F2 → F2 − 2 F3 F4 → F4 − 7 F3 ——————

⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0

5 2 3 1 0 0 2 1 0 1 1 − 2 0 0 5 6

⎞ −3 0 ⎟ ⎟ −2 0 ⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ −7 7 1 ⎟⎠

3 2 1 − 2 1 2 −4 −

0 0 0

12 5 7 5

−

−2 −3

⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1⎟ − ⎟ 5⎟ 1 ⎟ ⎟ 5 ⎠

Anul·lem la resta d’elements de la quarta columna: 1 F 5 4 ————

F4 →

⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

8. Per veure que (At)−1 = (A−1)t, calcularem (At)−1 i (A−1)t, i veurem que són iguals. • Càlcul de (At)−1: ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 1⎞ t La transposada de A = ⎜ . és A = ⎜ ⎝ 1 2 ⎟⎠ ⎝ 0 2 ⎟⎠ Trobem (At)−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan:

5 2 3 1 0 0 2 1 0 1 1 − 2 6 0 0 1 5

3 2 1 − 2 1 2 4 − 5 −

0 0 0

−3 −2 1 −

7 5

⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 5⎠

1 F4 → F4 5 ————

0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

5 2 3 2 1 − 2 6 5

3 − 2 1 − 2 1 2 4 − 5

7 − 5 1 −2 −3

⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 5⎠

1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝

1 0⎞ 0 1 ⎟⎠ ⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎟⎠

1 2 0

t −1

Aleshores ( A )

2 a + b = 1⎫ ⎬ 2b = 0 ⎭

F1 → F1 − 3 F3 F2 → F2 − 2 F3 F4 → F4 − 7 F3 ——————

⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝⎜ 0

0 0 5

5 0 0 0 2 3 1 0 0 2 1 0 1 1 − 2 6

3 − 2 1 − 2 1 2 −4

⎞ −3 0 ⎟ ⎟ −2 0 ⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ −7 7 1 ⎠⎟

F3 → F3 − F4 ——————

⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

5 2 3 1 0 0 2 17 0 1 0 − 10 6 0 0 1 5 0 0 0

3 2 1 − 2 13 10 4 − 5 −

−3 −2 12 5 7 − 5

Anul·lem la resta d’elements de la tercera columna:

,

2 c + d = 0⎫ ⎬ 2d = 1 ⎭

⎛ a ⋅ 2 + b ⋅ 1 a ⋅ 0 + b ⋅ 2⎞ ⎛ 1 0⎞ = =⎜ , ⎝ c ⋅ 2 + d ⋅ 1 c ⋅ 0 + d ⋅ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 ⎠⎟ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 0⎞ A −1 ⋅ A = ⎜ ⋅ = ⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 1 2 ⎠⎟ Trobem A−1 des de la definició: ⎛ a b⎞ A −1 = ⎜ ha de complir: ⎝ c d ⎠⎟ • Càlcul de (A−1)t: ⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜0 ⎝

t −1 Aleshores ( A )

1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝ ⎛2 1 ⎜ ⎝0 2

Fem que l’element a44 sigui 1: Anul·lem la resta d’elements de la quarta columna: ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟⎟ − 5⎟ 1 ⎟ ⎟ 5 ⎠

C −1

−3 −2 12 5 7 − 5

⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1⎟ − ⎟ 5⎟ 1 ⎟ ⎟ 5 ⎠

⎛ ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝

1 2

0

0

⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎟⎠ 1⎞ − ⎟ 4 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟⎠

1⎞ − ⎟ 4 ⎟. 1 ⎟ 2 ⎠

⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜0 ⎝

⎛ a b ⎞ ⎛ 2 0⎞ A −1 ⋅ A = ⎜ ⋅ = ⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 ⎟⎠ ⎛ a ⋅ 2 + b ⋅ 1 a ⋅ 0 + b ⋅ 2⎞ ⎛ 1 0⎞ =⎜ = , ⎝ c ⋅ 2 + d ⋅ 1 c ⋅ 0 + d ⋅ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ 2 a + b = 1⎫ ⎬ 2b = 0 ⎭

,

2 c + d = 0⎫ ⎬ 2d = 1 ⎭

La solució d’aquest sistema és: a=

Per tant: A

1 1 1 ; b=0; c=− ; d= 2 4 2

−1

⎛ 1 ⎜ 2 =⎜ ⎜− 1 ⎝ 4

⎞ 0⎟ ⎟. 1⎟ 2⎠

3. Matrius

3 2 1 − 2 13 10 4 − 5

1 F 2 2 —————— F1 → F1 −

1 2

Trobem A−1 des de la definició: ⎛ a b⎞ A −1 = ⎜ ha de complir: ⎝ c d ⎟⎠

sigui:

−

————

1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝

• Càlcul de (A−1)t:

La inversa de C és: ⎛ 5 ⎜ 2 ⎜ ⎜ 3 ⎜ 2 =⎜ ⎜ − 17 ⎜ 10 ⎜ 6 ⎜ ⎝ 5

1 F 2 1 1 F2 → F2 2 F1 →

⎛2 1 ⎜0 2 ⎝

Fem que l’element a44 sigui 1: ⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

⎞ 0⎟ ⎟. 1⎟ 2⎠

1 1 1 ; b=0; c=− ; d= 2 4 2

a=

Anul·lem la resta d’elements de la tercera columna: ⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

⎛ 1 ⎜ 2 =⎜ ⎜− 1 ⎝ 4

3. Matrius

Anul·lem la resta d’elements de la segona columna:

⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎠⎟

0 1 2

1 0⎞ 0 1 ⎠⎟

1⎞ − ⎟ 4 ⎟. 1 ⎟ 2 ⎠

1 F1 → F1 − F2 2 —————— ———— 1 F → F 1 2 1 1 F2 → F2 2

⎛ ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝ 1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝

0 1 2 0 1 2

1⎞ − ⎟ 4 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎠⎟ ⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎠⎟

Trobem (At)−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan: • Càlcul de (At)−1: ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 1⎞ t La transposada de A = ⎜ . és A = ⎜ ⎝ 1 2 ⎠⎟ ⎝ 0 2 ⎠⎟ 8. Per veure que (At)−1 = (A−1)t, calcularem (At)−1 i (A−1)t, i veurem que són iguals.

L’element a33 ja és 1. F3 → F3 + F2 F4 → F4 − F2 —————

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ 0 ⎝⎜

0 7 12 0 1 1 2 0 3

1 2 3

1 1 2 1 − 2 5 2

0 1 2 1 2 1 2

−

0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠

Anul·lem la resta d’elements de la segona columna:

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 − 1 1⎞ Ct = ⎜ − 1 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1⎠⎟ ⎝0 ⎝⎜ 1 −1⎠⎟ t

⎛ 2 − 1⎞ t 4 0⎞ ⎛ 2 Bt = = ⎜ 4 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ −1 −3 1 ⎠⎟ 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0⎞ 1 −3 ⎞ ⎛2 ⎛ 2 0 2 5⎟ 7. A t = ⎜ 1 2 −2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎠⎟ 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 −2 ⎝⎜ −3 5 t

37

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 37 C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 38

38 1⎞ − ⎟ 4 ⎟. 1 ⎟ 2 ⎠

Nombre de connexions A → A (0) B → A (1) C → A (1) D → A (1)

1⎞ − ⎟ 4 −1 t ⎟ = (A ) 1 ⎟ 2 ⎠

A → B (1) B → B (0) C → B (0) D → B (1)

⎛0 ⎜1 ⇒A =⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

A → C (1) B → C (0) C → C (0) D → C (0)

1 0 0 1

1 0 0 0

1⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

A → D (1) B → D (1) C → D (0) D → D (0)

⇒

A B C D

b ) El producte de la matriu associada al graf per ella mateixa és tal que cada component aij ens indica el nombre de connexions que hi ha entre l’antena corresponent a la fila i i la corresponent a la columna j passant per una altra antena, que és el que ens demanen: ⎛0 ⎜1 A2 = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

1 0 0 1

1 0 0 0

1⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

⎛0 ⎜1 ⋅⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

1 0 0 1

1 0 0 0

1⎞ 1⎟ ⎟ = 0⎟ ⎟ 0⎠

9

A B C D 1 2 1 1

0 1 1 1

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 2⎠

A B C D

15 7 ⎞ ⎛ 50 ⎜ 120 230 250 ⎟ ⎟ ⎛ 120 ⎞ ⎜ 25 48 15 ⎟ ⎜ 230 ⎟ + T⋅C+B=⎜ ⎟ ⎜ 120 230 250 ⎟ ⎜⎜ ⎝ 250 ⎠⎟ ⎜ 80 70 ⎟⎟ ⎜ 70 ⎝ 120 230 250 ⎠ ⎛ 48 ⎞ ⎛ 50 + 15 + 7 ⎞ ⎛ 48 ⎞ + ⎜ 142 ⎟ = ⎜ 25 + 48 + 15 ⎟ + ⎜ 142 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 30 ⎠⎟ ⎝⎜ 70 + 80 + 70 ⎠⎟ ⎝⎜ 30 ⎠⎟ ⎛ 72 ⎞ ⎛ 48 ⎞ ⎛ 120 ⎞ 2 ⎟ = ⎜ 230 ⎟ = C = ⎜ 88 ⎟ + ⎜ 142 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 220 ⎠⎟ ⎜⎝ 30 ⎠⎟ ⎝⎜ 250 ⎠⎟

La matriu associada al nostre graf és: −10 0 4 9

3. Matrius

⎛1 ⎜2 −1 t La transposada de A−1 és ( A ) = ⎜ ⎜0 ⎝ Finalment, comprovem que

A B C D ( A t )−1

⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜0 ⎝

Nota: La igualtat (At)−1 = (A−1)t és certa per cadascuna de les matrius invertible.

3. APLICACIONS DE LES MATRIUS 9. En un graf, els elements es representen per punts, i la relació d’un element amb l’altre, mitjançant una corba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aquesta relació és:

–10

⎛3 ⎜1 =⎜ ⎜0 ⎜ ⎝1

11. Veiem que les matrius input-ouput de l’exemple compleixen la relació T ⋅ C + B = C:

4

0

La matriu associada a un graf té el mateix nombre de files i de columnes com punts tingui el graf, cadascuna associada a un dels punts. L’element aij de la matriu és: — si l’element (del conjunt) corresponent a la fila i està relacionat amb el corresponent a la columna j. — 0 en cas contrari.

1⎞ 1⎟ ⎟ = 0⎟ ⎟ 0⎠

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

A B C D 1 0 0 0 A B C D

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 12. Ho resoldrem des de les definicions de les operacions: ⎛ a b⎞ Busquem la matriu X = ⎜ tal que ⎝ c d ⎠⎟ A2 ⋅ X − B = C Substituint cadascuna de les matrius per la seva expressió explícita:

⇒

0 0 0 1

Substituint cadascuna de les matrius per la seva expressió explícita: A2 ⋅ X − B = C ⎛ a b⎞ Busquem la matriu X = ⎜ tal que ⎝ c d ⎟⎠ 12. Ho resoldrem des de les definicions de les operacions: RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 2⎠

1 0 0 1 1⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

A → D (1) B → D (1) C → D (0) D → D (0)

0 0 1 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

0 1 1 1

⎛0 ⎜1 ⋅⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1 1 0 0 0

A → C (1) B → C (0) C → C (0) D → C (0)

⎛0 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

0 0 0 1

1 2 1 1

1⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

1 0 0 0

A → B (1) B → B (0) C → B (0) D → B (1)

−10 0 4 9

0 0 1 1

⎛ 72 ⎞ ⎛ 48 ⎞ ⎛ 120 ⎞ 2 ⎟ = ⎜ 230 ⎟ = C = ⎜ 88 ⎟ + ⎜ 142 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 220 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 ⎟⎠ ⎜⎝ 250 ⎟⎠ 15 7 ⎞ ⎛ 50 ⎜ 120 230 250 ⎟ ⎟ ⎛ 120 ⎞ ⎜ 25 48 15 ⎟ ⎜ 230 ⎟ + T⋅C+B=⎜ ⎟ ⎜ 120 230 250 ⎟ ⎜⎜ ⎝ 250 ⎟⎠ ⎟ ⎜ 70 80 70 ⎟ ⎜ ⎝ 120 230 250 ⎠ ⎛ 48 ⎞ ⎛ 50 + 15 + 7 ⎞ ⎛ 48 ⎞ + ⎜ 142 ⎟ = ⎜ 25 + 48 + 15 ⎟ + ⎜ 142 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 30 ⎟⎠ ⎜⎝ 70 + 80 + 70 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 ⎟⎠ 1 0 0 1

1 0 0 1

A B C D A → A (0) B → A (1) C → A (1) D → A (1)

Nombre de connexions

10. a ) Al graf de la figura li podem associar una matriu A en la qual cada element indica el nombre de connexions entre dos elements que formen un sistema de radiocomunicació.

⎛0 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

4

⎛0 ⎜1 A2 = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

b ) El producte de la matriu associada al graf per ella mateixa és tal que cada component aij ens indica el nombre de connexions que hi ha entre l’antena corresponent a la fila i i la corresponent a la columna j passant per una altra antena, que és el que ens demanen: ⎛0 ⎜1 ⇒A =⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

1⎞ − ⎟ 4 −1 t ⎟ = (A ) 1 ⎟ 2 ⎠ 1⎞ − ⎟ 4 ⎟. 1 ⎟ 2 ⎠

3. Matrius

10. a ) Al graf de la figura li podem associar una matriu A en la qual cada element indica el nombre de connexions entre dos elements que formen un sistema de radiocomunicació. −10 0 4 9

−10 0 4 9 La matriu associada al nostre graf és: — 0 en cas contrari. — si l’element (del conjunt) corresponent a la fila i està relacionat amb el corresponent a la columna j. La matriu associada a un graf té el mateix nombre de files i de columnes com punts tingui el graf, cadascuna associada a un dels punts. L’element aij de la matriu és: 0

11. Veiem que les matrius input-ouput de l’exemple compleixen la relació T ⋅ C + B = C: ⎛3 ⎜1 =⎜ ⎜0 ⎜ ⎝1

A B C D 9

–10

9. En un graf, els elements es representen per punts, i la relació d’un element amb l’altre, mitjançant una corba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aquesta relació és: 3. APLICACIONS DE LES MATRIUS Nota: La igualtat (At)−1 = (A−1)t és certa per cadascuna de les matrius invertible. ( A t )−1

⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜0 ⎝

Finalment, comprovem que ⎛1 ⎜2 La transposada de A−1 és ( A ) = ⎜ ⎜0 ⎝ −1 t

38

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 38

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 39

39 a−2 b+1 ⎞ ⎛ =⎜ ⎝ 6 a + c − 10 6 b + d + 4 ⎠⎟ ⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ − 2 1 ⎞ + = ⎝⎜ 3 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ −10 4 ⎠⎟

B I     ⎛ 3 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −2 2 0 1 ⎠

————— F1

2

b ⎞ ⎛ a =⎜ ⎝ 6 a + c 6 b + d ⎠⎟

Realitzem les operacions:

Hem de resoldre, doncs: a−2 b + 1 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ ⎜⎝ 6 a + c − 10 6 b + d + 4 ⎠⎟ = ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠

2

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ =⎜ ⋅ = ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎝0 2

⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⋅ = ⋅ = ⎝⎜ 3 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 6 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟

1 F1 → F1 − F2 2 ——————

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⋅ = ⋅ = ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠ ⎛ a − 4 c b − 4 d⎞ =⎜ d ⎟⎠ ⎝ c

2

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ =⎜ ⋅ = ⎝⎜ 3 1 ⎠⎟ ⎝ 3 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 6 1 ⎠⎟ 2

Si operem el membre de l’esquerra: ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ = ⋅ + ⎝⎜ 3 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ −10 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 ⎠⎟

A I   ⎛ 2 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −2 0 1 ⎠

⎛ 1 ⎜ 1 3 ⎜ ⎝ −2 2

1 → F1 3

⎞ 1 0⎟ 3 ⎟ 0 1⎠

3. Matrius

2

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 3 −12 ⎞ = ⋅ − ⎜⎝ 0 5 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1⎟⎠ ⎜⎝ 0

2

⎛ a − 4 c − 2 b − 4 d + 1⎞ =⎜ d − 1 ⎟⎠ ⎝ c−1 Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que: ⎛ a − 4 c − 2 b − 4 d + 1⎞ ⎛ 3 −12 ⎞ = ⎜⎝ c − 1 d − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 5 ⎟⎠ Per definició d’igualtat de matrius: ⎧ b − 4 d + 1 = −12 ⎨ ⎩d − 1 = 5

Els sistemes tenen com a solució: a=9

b = 11

c=1

b +1 = 0 ⎫ ⎬ 6 b + d + 4 = 0⎭

a−2 = 0 ⎫ ⎬ 6 a + c − 10 = 0 ⎭

Els sistemes tenen com a solució:

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⋅ − = ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1⎟⎠

⎧a − 4 c − 2 = 3 ⎨ ⎩c − 1 = 0

Per definició d’igualtat entre matrius:

d=6

⎛ a b ⎞ ⎛ 9 11 ⎞ La matriu buscada és X = ⎜ = 6 ⎟⎠ ⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ 1 13. Utilitzarem les definicions de les operacions entre matrius. ⎛ a b⎞ Busquem una matriu X = ⎜ ⎝ c d ⎟⎠

a=2

b = −1

c = −2

d=2

La matriu buscada és, doncs: ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ X=⎜ = 2 ⎟⎠ ⎝ c d ⎟⎠ ⎜⎝ −2 14. Utilitzarem les propietats de les operacions entre matrius. Si A té inversa, A−1, i multipliquem per l’esquerra per A−1 els dos membres de la igualtat, obtenim: −1 −1 A A  ⋅  ⋅ X ⋅ B = A ⋅ 4C I

Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius, A−1 ⋅ 4 C = 4 A−1 ⋅ C, aleshores queda l’equació: X ⋅ B = 4 A−1 ⋅ C Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta els dos membres de la igualtat anterior per la inversa B, B−1: −1 −1 −1 X⋅B  ⋅ B = 4A ⋅C⋅B I

que compleixi A2 ⋅ X + B = 0.

Per tant, la matriu buscada és X = 4 A−1 ⋅ C ⋅ B−1.

Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:

Per realitzar aquestes operacions, calculem A−1 i B−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan:

2

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ c d ⎟⎠ + ⎜⎝ −10 4 ⎟⎠ = ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ Si operem el membre de l’esquerra:

A I   ⎛ 2 1 1 0⎞ ⎜ 0 −2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

2

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ 6 1 ⎟⎠

1 F 2 1 1 F2 → − F2 2 ————— F1 →

1 1 ⎞ ⎛ ⎜1 0 2 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 0 − 1⎟ ⎝ 2⎠     I A −1

1 F → F 1 2 1 1 F2 → − F2 2 —————

1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝

0 1 2

⎞ 0 ⎟ ⎟ 1 − ⎟⎟ 2⎠

2

Per realitzar aquestes operacions, calculem A−1 i B−1 mitjançant el mètode de Gauss-Jordan:

Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:

Per tant, la matriu buscada és X = 4 A−1 ⋅ C ⋅ B−1.

que compleixi A2 ⋅ X + B = 0. 13. Utilitzarem les definicions de les operacions entre matrius. ⎛ a b⎞ Busquem una matriu X = ⎜ ⎝ c d ⎠⎟ ⎛ a b ⎞ ⎛ 9 11 ⎞ La matriu buscada és X = ⎜ = 6 ⎠⎟ ⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 1 a=9

b = 11

c=1

d=6

Els sistemes tenen com a solució: ⎧a − 4 c − 2 = 3 ⎨ ⎩c − 1 = 0

⎧ b − 4 d + 1 = −12 ⎨ ⎩d − 1 = 5

Per definició d’igualtat de matrius: Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que: ⎛ a − 4 c − 2 b − 4 d + 1⎞ ⎛ 3 −12 ⎞ = d − 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 5 ⎠⎟ ⎝⎜ c − 1 ⎛ a − 4 c − 2 b − 4 d + 1⎞ =⎜ d − 1 ⎠⎟ ⎝ c−1 ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⋅ − = 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 1 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 2

⎛ a − 4 c b − 4 d⎞ =⎜ d ⎠⎟ ⎝ c

2

⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ c d ⎟⎠ = ⎜⎝ 6 1 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ c d ⎟⎠ = b ⎞ ⎛ a =⎜ ⎝ 6 a + c 6 b + d ⎟⎠

1 F1 → F1 − F2 2 ——————

2

a−2 b+1 ⎞ ⎛ =⎜ ⎝ 6 a + c − 10 6 b + d + 4 ⎟⎠

B I     ⎛ 3 1 1 0⎞ ⎜ −2 2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

F1 →

1 2 0

⎛ ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝  I

1 ⎞ 4 ⎟ ⎟ 1 0 − ⎟ 2⎠    A −1

1 F 3 1

⎛ 1 ⎜ 1 3 ⎜ ⎝ −2 2

—————

⎞ 0 ⎟ ⎟ 1 − ⎟⎟ 2⎠

1 2

⎞ 1 0⎟ 3 ⎟ 0 1⎠

3. Matrius

⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ − 2 1 ⎞ ⎜⎝ 3 1 ⎟⎠ ⎜⎝ c d ⎟⎠ + ⎜⎝ −10 4 ⎟⎠ =

1 ⎛ ⎜1 2 ⎜ ⎜0 1 ⎝

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ ⋅ = 1 ⎠⎟ ⎜⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 2

⎛ a b⎞ ⋅⎜ = ⎝ c d ⎠⎟

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ =⎜ ⋅ = 1 ⎠⎟ 1 ⎠⎟ 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎝⎜ 0 ⎝0

−1 −1 −1 X⋅B  ⋅ B = 4A ⋅C⋅B I

Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta els dos membres de la igualtat anterior per la inversa B, B−1: X ⋅ B = 4 A−1 ⋅ C Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius, A−1 ⋅ 4 C = 4 A−1 ⋅ C, aleshores queda l’equació: −1 −1 A A  ⋅  ⋅ X ⋅ B = A ⋅ 4C I

Si A té inversa, A−1, i multipliquem per l’esquerra per A−1 els dos membres de la igualtat, obtenim: 14. Utilitzarem les propietats de les operacions entre matrius. ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ X=⎜ = 2 ⎠⎟ ⎝ c d ⎠⎟ ⎝⎜ −2 La matriu buscada és, doncs: a=2

b = −1

c = −2

d=2

Els sistemes tenen com a solució: a−2 = 0 ⎫ ⎬ 6 a + c − 10 = 0 ⎭

b +1 = 0 ⎫ ⎬ 6 b + d + 4 = 0⎭

Per definició d’igualtat entre matrius:

2

Realitzem les operacions: ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 3 −12 ⎞ = ⋅ − 5 ⎠⎟ 1 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 1 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎝⎜ 0 2

a−2 b + 1 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ = ⎝⎜ 6 a + c − 10 6 b + d + 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 ⎠⎟ Hem de resoldre, doncs:

39

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 39 C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 40

40 ⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎝⎜

1 3 8 3

1 ⎛ ⎜1 3 ⎜ ⎜0 1 ⎝

⎞ 1 0⎟ 3 ⎟ 2 1 ⎟⎟ ⎠ 3 1 3 1 4

⎞ 0⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ 8⎠

1 1⎞ − ⎟ 4 8 ⎟ 1 3 ⎟ ⎠ 48  B−1

⎡ 1⎞ ⎤ ⎛1 ⎢⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 4 − 8 ⎟ ⎥ ⋅ ⎢⎜ ⎟⎥ = ⎟ ⋅⎜ ⎢ ⎝ 0 −4 ⎠ ⎜ 1 3 ⎟ ⎥ ⎝ 4 8 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1 3 − ⎟ ⎜ −1 − ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ 1⎞ − ⎟ ⎛ 0 −1⎞ 4 ⎟ = 3 ⎟ ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟ 4 ⎠

F1 → F1 − 2 F2 ——— ———

⎛1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎝⎜ 0 0 1   I

1 0 −2 ⎞ 0 0 1⎟ ⎟ 0 1 0 ⎠⎟  A −1

Així, X = A−1 ⋅ A−1 = ⎛ 1 0 −2 ⎞ = ⎜0 0 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 1 0 ⎠⎟

⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 −2 ⎞ ⋅ ⎜0 0 1 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 0 1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟

16. Segons l’enunciat tenim: ⎛ 45 15 9 ⎞ A = ⎜ 30 42 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 90 70 65 ⎠⎟

⎛ 44 ⎞ B = ⎜ 135 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 40 ⎠⎟

i sabem que es compleix la relació T ⋅ C + B = C, en què: ⎛ 45 15 ⎜ a b ⎜ 30 42 T⋅C=⎜ ⎜ a b ⎜ 90 70 ⎜ ⎝ a b ⎛ 45 + 15 + 9 ⎞ = ⎜ 30 + 42 + 22 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 90 + 70 + 65 ⎠⎟

9⎞ c ⎟ ⎟ ⎛ a⎞ 22 ⎟ ⎜ ⎟ b = c ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ c 65 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ c ⎠ ⎛ 69 ⎞ = ⎜ 94 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 225 ⎠⎟

Per tant, la matriu d’outputs totals, C, és: 4 ⎞ ⎛ 113 ⎞ ⎛ 69 ⎞ ⎛ 44 C = T ⋅ C + B = ⎜ 94 ⎟ + ⎜ 135 ⎟ = ⎜ 229 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 225 ⎠⎟ ⎝⎜ 40 ⎠⎟ ⎝⎜ 265 ⎠⎟ 17. Trobem la matriu de demanda final, B, des de la relació T ⋅ C + B = C: T⋅C+B=C⇔B=C− T⋅C= ⎛ 150 ⎞ ⎛ 0, 4 0, 2 0, 1⎞ ⎛ 150 ⎞ = ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 0, 2 0, 3 0, 1⎟ ⎜ 250 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 290 ⎠⎟ ⎜⎝ 0, 2 0, 4 0, 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 290 ⎠⎟ ⎛ 150 ⎞ ⎛ 139 ⎞ ⎛ 11⎞ = ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 134 ⎟ = ⎜ 116 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 290 ⎠⎟ ⎝⎜ 217 ⎠⎟ ⎝⎜ 73 ⎠⎟

Pt: la fracció de població que utilitza transport públic en l’any t. Vt: la fracció de població que utilitza vehicle privat en l’any t.

3. Matrius

F2 → F2 + 2 F1 —— ————

3 F2 → F2 8 ——————

1 F1 → F1 − F2 3 ——————

⎛ ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝  I

Ja podem realitzar els càlculs per obtenir la matriu X: X = 4 A −1 ⋅ C ⋅ B −1 = ⎛1 ⎜2 =4⎜ ⎜0 ⎝ =

1 ⎞ 4 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 2⎠ ⎛1 ⎜2 4⎜ ⎜0 ⎝ ⎛ ⎜0 =4⎜ ⎜1 ⎝2

15. Utilitzarem les propietats de les operacions amb matrius. Si A és invertible, podem multiplicar la igualtat A ⋅ X ⋅ A = I per la inversa de A, A−1, pels dos costats: −1 −1 −1 −1 A ⋅ A ⋅ X ⋅ A    ⋅ A = A ⋅I⋅A I I

X = A−1 ⋅ A−1 = (A−1)2 Per tant, per a calcular X només cal calcular la inversa de A, amb el mètode de Gauss-Jordan per exemple, i multiplicar-la per ella mateixa:

I   

Considerem:

1 0 0⎞ 0 0 1⎟ ⎟ 0 1 0 ⎠⎟

1 0 −2 ⎞ 0 0 1⎟ ⎟ 0 1 0 ⎟⎠  A −1

A   

18. a) Seguim el mateix raonament de l’exercici resolt per trobar la matriu de transició:

⎛ a⎞ ⎜ b⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ c ⎟⎠

1 0 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎠⎟

⎛ 150 ⎞ ⎜ 250 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎜⎝ 290 ⎟⎠

⎛ 69 ⎞ = ⎜ 94 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 225 ⎟⎠ 9⎞ c ⎟ ⎟ 22 ⎟ c ⎟ 65 ⎟ ⎟ c ⎠

⎛ 44 ⎞ B = ⎜ 135 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 40 ⎟⎠

⎛1 0 0 ⎜0 1 0 ⎜ ⎜⎝ 0 0 1   I

⎛1 2 0 ⎜ ⎜0 0 1 ⎝⎜ 0 1 0

Vt: la fracció de població que utilitza vehicle privat en l’any t. Pt: la fracció de població que utilitza transport públic en l’any t. Considerem: 18. a) Seguim el mateix raonament de l’exercici resolt per trobar la matriu de transició: ⎛ 150 ⎞ ⎛ 139 ⎞ ⎛ 11⎞ = ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 134 ⎟ = ⎜ 116 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎜ 290 ⎟⎠ ⎜⎝ 217 ⎟⎠ ⎜⎝ 73 ⎟⎠ ⎛ 150 ⎞ ⎛ 0, 4 0, 2 0, 1⎞ = ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 0, 2 0, 3 0, 1⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 290 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 2 0, 4 0, 3 ⎟⎠

T⋅C+B=C⇔B=C− T⋅C= 17. Trobem la matriu de demanda final, B, des de la relació T ⋅ C + B = C: 4 ⎞ ⎛ 113 ⎞ ⎛ 69 ⎞ ⎛ 44 ⎜ ⎟ ⎜ 94 + 135 ⎟ = ⎜ 229 ⎟ C= T⋅C+B= ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 225 ⎟⎠ ⎜⎝ 40 ⎟⎠ ⎜⎝ 265 ⎟⎠ Per tant, la matriu d’outputs totals, C, és: ⎛ 45 15 ⎜ a b ⎜ 30 42 T⋅C=⎜ ⎜ a b ⎜ 90 70 ⎜ ⎝ a b ⎛ 45 + 15 + 9 ⎞ = ⎜ 30 + 42 + 22 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 90 + 70 + 65 ⎟⎠

i sabem que es compleix la relació T ⋅ C + B = C, en què: ⎛ 45 15 9 ⎞ A = ⎜ 30 42 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 90 70 65 ⎟⎠ 16. Segons l’enunciat tenim: ⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 −2 ⎞ = ⎜0 0 1 ⎟ ⋅ ⎜0 0 1 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 0 ⎠⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ Així, X = A−1 ⋅ A−1 = F1 → F1 − 2 F2 ——— ———

⎛1 2 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎝⎜ 0 0 1

1 0 0⎞ 0 0 1⎟ ⎟ 0 1 0 ⎟⎠

B−1

1 1⎞ − ⎟ 4 8 ⎟ 1 3 ⎟ ⎠ 48  ⎞ 0⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ 8⎠

⎞ 1 0⎟ 3 ⎟ 2 1 ⎟⎟ ⎠ 3

F2 ↔ F3 — ——

⎛1 2 0 ⎜0 1 0 ⎜ ⎜⎝ 0 0 1

1 0 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

I   

1⎞ − ⎟ ⎛ 0 −1⎞ 4 ⎟ = 3 ⎟ ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ 4 ⎠ ⎡ 1⎞ ⎤ ⎛1 ⎢⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 4 − 8 ⎟ ⎥ ⋅ ⎢⎜ ⎟⎥ = ⎟ ⋅⎜ ⎢ ⎝ 0 −4 ⎠ ⎜ 1 3 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 4 8 ⎠ ⎥⎦ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 ⎟ ⎜ 2 4 ⎟ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1 3 − ⎟ ⎜ −1 − ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠

3 F 8 2 —————— F2 →

1 3 8 3

3. Matrius

F2 ↔ F3 — ——

⎛1 2 0 ⎜0 0 1 ⎜ ⎜⎝ 0 1 0

A   

Per tant, per a calcular X només cal calcular la inversa de A, amb el mètode de Gauss-Jordan per exemple, i multiplicar-la per ella mateixa: X = A−1 ⋅ A−1 = (A−1)2 −1 −1 −1 −1 A ⋅ A ⋅ X ⋅  A⋅ A  = A ⋅I⋅A I I

Si A és invertible, podem multiplicar la igualtat A ⋅ X ⋅ A = I per la inversa de A, A−1, pels dos costats: 15. Utilitzarem les propietats de les operacions amb matrius. ⎛ ⎜0 =4⎜ ⎜1 ⎝2 1 ⎞ 4 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 2⎠ ⎛1 ⎜2 =4⎜ ⎜0 ⎝

⎛1 ⎜2 =4⎜ ⎜0 ⎝

X = 4 A −1 ⋅ C ⋅ B −1 = Ja podem realitzar els càlculs per obtenir la matriu X: 1 F 3 2 ——————

F1 → F1 −

⎛ ⎜1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝  I

1 3 1 4

1 ⎛ ⎜1 3 ⎜ ⎜0 1 ⎝ ⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜⎝

F2 → F2 + 2 F1 —— ————

40

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 40

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 41

41 Així: 23. Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la mateixa dimensió, m × n. Dues matrius es poden multiplicar una per l’altra si i només si la primera té el mateix nombre de columnes com de files té la segona, és a dir, si tenen dimensions m × h i h × n, respectivament. 22. Quan es fan transformacions elementals per a esglaonar-la, la dimensió no canvia, per la qual cosa obtindrem una matriu esglaonada de dimensió 3 × 5. Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files no nul·les. Com que el rang de la matriu de partida és per definició el nombre de files no nul·les de la matriu obtinguda en esglaonar-la, aquest rang pot ésser 3, 2, 1, o 0. ⎛ 0 0 0 0⎞ ⎝⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟

Vt + 1 = 0,2 ⋅ Pt + 0,9 Vt La qual cosa equival al producte de matrius: ⎛ Pt + 1 ⎞ ⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ ⎜⎝ V ⎟ = ⎜⎝ 0, 2 0, 9 ⎟⎠ t + 1⎠   Pt + 1

A

⎛ Pt ⎞ ⎜⎝ V ⎟⎠ t Pt

Per tant, la matriu de transició que modela aquesta situació és: ⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ A =⎜ ⎝ 0, 2 0, 9 ⎟⎠ ⎛ 0, 3 ⎞ b) Sabem que durant l’any 2009 p2009 = ⎜ ⎝ 0, 7 ⎟⎠ Per tant:

La matriu nul·la de dimensió (2 × 4) és:

p2010 = A ⋅ p2009

⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ ⎛ 0, 3 ⎞ ⎛ 0, 310 ⎞ = =⎜ ⎝ 0, 2 0, 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 690 ⎟⎠

⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ ⎛ 0, 310 ⎞ ⎛ 0, 317 ⎞ p2011 = A ⋅ p2010 = ⎜ = ⎝ 0, 2 0, 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 690 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 683 ⎟⎠

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 1 0 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

0 0 1 0

24. No. Considerem el contraexemple següent: Sigui A = (0). Si A es pot invertir, existiria una matriu B tal que B ⋅ A = A ⋅ B = I però B ⋅ A = (0) = = A ⋅ B, així I = (0). Però no és cert, per tant A = (0) no es pot invertir. 25. Que una matriu tingui dimensió m × n significa que té m files i n columnes. Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m columnes, és a dir, tindrà dimensió n × m. Per tant, la matriu transposada d’una matriu de dimensió 3 × 5 tindrà dimensió 5 × 3. 26. Si tenim una equació A X = B i A és invertible, podem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A−1, però com que el producte de matrius no és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat. En aquest cas, és útil multiplicar per A−1 per l’esquerra: −1 A ⋅ X = B ⇒  A ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B , X = A −1 ⋅ B I

L’error és, doncs, el pas de A ⋅ X = B a A−1 ⋅ A ⋅ X = = B ⋅ A−1.

ACTIVITATS Qüestions

Exercicis i problemes

19. No, perquè no està definida la diagonal principal d’una matriu que no sigui quadrada.

27. Diem que una matriu té dimensió m × n si té m files i n columnes.

20. Sí, perquè la matriu identitat és tant triangular superior com inferior.

La matriu A té 2 files i 4 columnes, per tant, la seva dimensió és 2 × 4.

21. La matriu identitat d’ordre quatre és:

La matriu B té 4 files i 4 columnes, per tant, la seva dimensió és 4 × 4 (és a dir, és una matriu quadrada d’ordre 4).

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

La matriu nul·la de dimensió (2 × 4) és: ⎛ 0 0 0 0⎞ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ 22. Quan es fan transformacions elementals per a esglaonar-la, la dimensió no canvia, per la qual cosa obtindrem una matriu esglaonada de dimensió 3 × 5. Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files no nul·les. Com que el rang de la matriu de partida és per definició el nombre de files no nul·les de la matriu obtinguda en esglaonar-la, aquest rang pot ésser 3, 2, 1, o 0.

1 1 0 0

1 1 1 0

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠

⎛1 ⎜1 b) La resposta suggerida és: ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

0 1 1 1

0 0 1 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

⎛1 ⎜ c) La resposta suggerida és: ⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎝0

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

⎛1 ⎜0 d) És la matriu I4 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

3. Matrius

23. Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la mateixa dimensió, m × n. Dues matrius es poden multiplicar una per l’altra si i només si la primera té el mateix nombre de columnes com de files té la segona, és a dir, si tenen dimensions m × h i h × n, respectivament.

⎛1 ⎜0 28. a) La resposta suggerida és: ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 1 0 0

0 0 1 0

⎛1 ⎜ c) La resposta suggerida és: ⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎝0 ⎛1 ⎜1 b) La resposta suggerida és: ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1 ⎛1 ⎜0 28. a) La resposta suggerida és: ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠ 1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠

La matriu B té 4 files i 4 columnes, per tant, la seva dimensió és 4 × 4 (és a dir, és una matriu quadrada d’ordre 4).

21. La matriu identitat d’ordre quatre és: 20. Sí, perquè la matriu identitat és tant triangular superior com inferior. 19. No, perquè no està definida la diagonal principal d’una matriu que no sigui quadrada.

La matriu A té 2 files i 4 columnes, per tant, la seva dimensió és 2 × 4. 27. Diem que una matriu té dimensió m × n si té m files i n columnes. Exercicis i problemes

Qüestions ACTIVITATS

L’error és, doncs, el pas de A ⋅ X = B a A−1 ⋅ A ⋅ X = = B ⋅ A−1.

⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ ⎛ 0, 310 ⎞ ⎛ 0, 317 ⎞ p2011 = A ⋅ p2010 = ⎜ = ⎝ 0, 2 0, 9 ⎠⎟ ⎝⎜ 0, 690 ⎠⎟ ⎝⎜ 0, 683 ⎠⎟ ⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ ⎛ 0, 3 ⎞ ⎛ 0, 310 ⎞ = p2010 = A ⋅ p2009 = ⎜ ⎝ 0, 2 0, 9 ⎠⎟ ⎝⎜ 0, 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 0, 690 ⎠⎟ Per tant: ⎛ 0, 3 ⎞ =⎜ ⎝ 0, 7 ⎠⎟

b) Sabem que durant l’any 2009 p2009 ⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ A =⎜ ⎝ 0, 2 0, 9 ⎠⎟

Per tant, la matriu de transició que modela aquesta situació és: Pt + 1

A

⎛ Pt + 1 ⎞ ⎛ 0, 8 0, 1 ⎞ = ⎝⎜ Vt + 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 0, 2 0, 9 ⎠⎟  

Pt

⎛ Pt ⎞ ⎝⎜ V ⎠⎟ t

La qual cosa equival al producte de matrius: Vt + 1 = 0,2 ⋅ Pt + 0,9 Vt Així:

⎛1 ⎜0 d) És la matriu I = ⎜ 4 ⎜0 ⎜ ⎝0

3. Matrius

Pt + 1 = 0,8 ⋅ Pt + 0,1 Vt

Pt + 1 = 0,8 ⋅ Pt + 0,1 Vt

−1 A ⋅ X = B ⇒  A ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B , X = A −1 ⋅ B I

En aquest cas, és útil multiplicar per A−1 per l’esquerra: 26. Si tenim una equació A X = B i A és invertible, podem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A−1, però com que el producte de matrius no és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat. Per tant, la matriu transposada d’una matriu de dimensió 3 × 5 tindrà dimensió 5 × 3. Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m columnes, és a dir, tindrà dimensió n × m. 25. Que una matriu tingui dimensió m × n significa que té m files i n columnes. Sigui A = (0). Si A es pot invertir, existiria una matriu B tal que B ⋅ A = A ⋅ B = I però B ⋅ A = (0) = = A ⋅ B, així I = (0). Però no és cert, per tant A = (0) no es pot invertir. 24. No. Considerem el contraexemple següent:

41

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 41 C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 42

42 F1 ↔ F2 —— —

0 ⎞ 0 ⎟, ⎟ a 23 ⎠⎟

⎛ 1 2 4 3⎞ ⎜ 3 5 2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 0 3 5 ⎟⎠

3⎞ 8⎟ ⎟ −1⎠⎟

F1 ↔ F4 —— —

2 ⎛1 ⎜4 4 ⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 6 ⎝7

3 1 7⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 5 3 21 ⎠

— Fem 0 els elements de la primera columna per sota de a11: 2 ⎛1 ⎜4 4 ⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 6 ⎝7

F2 → F2 − 4 F1 F4 → F4 − 7 F1 ———— ——

3 1 7⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 5 3 21 ⎠

2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −10 −2 −16 ⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −8 −16 −4 −28 ⎠

— Simplifiquem adequadament les files 2 i 4: 2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −10 −2 −16 ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 −8 −16 −4 −28 ⎠

1 F → − F2 2 2 1 F4 → F4 4 —————

2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜0 2 5 1 8⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −2 −4 − 1 − 7 ⎠

— Fem 0 els elements de la segona columna per sota de a22 (és a dir, esglaonarem la segona columna): 2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜0 2 5 1 8⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −2 −4 − 1 − 7 ⎠ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

F3 → F3 + F2 F4 → F4 + F2 —————

2 2 0 0

3 5 6 1

1 1 0 0

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 1⎠

— Esglaonem la tercera columna: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres files no nul·les, per tant, rang (A) = 3.

2 2 0 0

b) Esglaonem la matriu B: — Fem 1 l’element a11:

3 5 6 1

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 1⎠

1 1 0 0

3 5 6 0

1 1 0 0

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 0⎠

3. Matrius

⎛ a11 0 ⎜ 29. Sí, perquè és de la forma ⎜ 0 a 22 0 ⎝⎜ 0 amb a11 = a22 = a33 = 0.

30. Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar transformacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglaonada i comptar el nombre de files no nul·les de la matriu ja esglaonada. a) Esglaonem la matriu A: — Fem 1 l’element a11: ⎛ 3 5 2 1⎞ A = ⎜ 1 2 4 3⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 0 3 5 ⎟⎠

— Fem 0 els altres elements de la primera columna, a21 i a31: ⎛ 1 2 4 3⎞ ⎜ 3 5 2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 0 3 5 ⎠⎟ 2 4 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 1 − 10 −8 ⎟ ⎟ ⎜ −5 −1⎠⎟ ⎝⎜ 0 −4

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − 2 F1 ———— ——

— Fem 1 l’element a : 22

2 4 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −10 −8 ⎟ ⎟ ⎜ −5 −1⎠⎟ ⎝⎜ 0 −4 2 4 ⎛1 ⎜0 1 10 ⎜ ⎝⎜ 0 −4 −5

F2 → −F2 — ———

— Fem 0 els elements de la segona columna per sota de a22: 3⎞ 8⎟ ⎟ −1⎠⎟

2 4 ⎛1 ⎜0 1 10 ⎜ ⎝⎜ 0 −4 −5

3⎞ 8⎟ ⎟ 31 ⎠⎟

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 0⎠

4 ⎛1 2 ⎜ 0 1 10 ⎜ ⎝⎜ 0 0 35

1 1 0 0

2 2 0 0

3 5 6 0

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

2 2 0 0

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 1⎠

1 1 0 0

7⎞ 8⎟ ⎟ 6⎟ ⎟ 1⎠

1 F4 → F4 − F3 6 ——————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 3 5 6 1

1 1 0 0

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres files no nul·les, per tant, rang (B) = 3.

2 2 0 0

3 5 6 1

2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜0 2 5 1 8⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −2 −4 − 1 − 7 ⎠ 2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −10 −2 −16 ⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −8 −16 −4 −28 ⎠

F3 → F3 + 4 F2 ———— ——

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres files no nul·les, per tant, rang (B) = 3. 1 F 6 3 ——————

F4 → F4 −

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

— Esglaonem la tercera columna: 2 2 0 0

2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜0 2 5 1 8⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −2 −4 − 1 − 7 ⎠ 1 F2 → − F2 2 1 F4 → F4 4 —————

2 3 1 7⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −10 −2 −16 ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎜ 0 −2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 −8 −16 −4 −28 ⎠ — Simplifiquem adequadament les files 2 i 4: F2 → F2 − 4 F1 F4 → F4 − 7 F1 ———— ——

3 1 7⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 5 3 21 ⎠

5 3 21 ⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 3 1 7⎠

3⎞ 8⎟ ⎟ 31 ⎟⎠

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

F3 → F3 + F2 F4 → F4 + F2 —————

3⎞ 8⎟ ⎟ −1⎟⎠

⎛ 1 2 4 3⎞ ⎜ 3 5 2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 0 3 5 ⎟⎠

F1 ↔ F4 —— —

3 1 7⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 5 3 21 ⎠

6 ⎛7 ⎜4 4 B=⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 2 ⎝1

5 3 21 ⎞ 2 2 12 ⎟ ⎟ 1 −1 −2 ⎟ ⎟ 3 1 7⎠ 4 ⎛1 2 ⎜ 0 1 10 ⎜ ⎜⎝ 0 0 35 3⎞ 8⎟ ⎟ −1⎟⎠

2 4 ⎛1 ⎜0 1 10 ⎜ ⎜⎝ 0 −4 −5 F1 ↔ F2 —— —

2 ⎛1 ⎜4 4 ⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 6 ⎝7

— Fem 0 els elements de la primera columna per sota de a11: 2 ⎛1 ⎜4 4 ⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 6 ⎝7

3. Matrius

6 ⎛7 ⎜4 4 B=⎜ ⎜ 0 −2 ⎜ 2 ⎝1 — Fem 1 l’element a11: b) Esglaonem la matriu B:

Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres files no nul·les, per tant, rang (A) = 3. F3 → F3 + 4 F2 ———— ——

2 4 ⎛1 ⎜0 1 10 ⎜ ⎜⎝ 0 −4 −5

— Fem 0 els elements de la segona columna per sota de a22: F2 → −F2 — ———

— Fem 0 els elements de la segona columna per sota de a22 (és a dir, esglaonarem la segona columna):

2 4 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −10 −8 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 −4 −5 −1⎟⎠ — Fem 1 l’element a22: 2 4 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −10 −8 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 −4 −5 −1⎟⎠

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − 2 F1 ———— ——

⎛ 1 2 4 3⎞ ⎜ 3 5 2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 0 3 5 ⎟⎠ — Fem 0 els altres elements de la primera columna, a21 i a31: ⎛ 3 5 2 1⎞ A = ⎜ 1 2 4 3⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 0 3 5 ⎟⎠ — Fem 1 l’element a11: a) Esglaonem la matriu A: 30. Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar transformacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglaonada i comptar el nombre de files no nul·les de la matriu ja esglaonada. amb a11 = a22 = a33 = 0. 0 ⎞ 0 ⎟, ⎟ a 23 ⎟⎠

⎛ a11 0 ⎜ 29. Sí, perquè és de la forma ⎜ 0 a 22 ⎜⎝ 0 0

42

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 42

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 43

43 ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

— Esglaonem la cinquena columna:

— Fem 1 l’element a11: 3 F → F + F3 4 4 4 1 F5 → F5 + F3 2 ——————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 4⎟ 13 ⎟ ⎟ 2⎠

0 −

0 0

0

0 0

1 5 1 1 5 1 0 8 −8

2 2 4 ⎞ ⎛ 3 −2 −2 − 4 ⎞ ⎛ −3 1 −5 5⎟ 5 −5 ⎟ = ⎜ 3 = − ⎜ −3 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 5 1 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 −5 −1 −5 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 c)

1 5 ⎛ 0 ⎜ 1 1 5 ⎜ C = ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 ⎜⎝ 5 5 21

1 5 ⎛ 1 ⎜ 0 1 5 ⎜ ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 ⎜⎝ 5 5 21

F1 ↔ F2 —— —

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

1 1⎞ 1 2⎟ ⎟ 1⎟ −11 ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎟⎠ 1 2⎞ 1 1⎟ ⎟ −11 1⎟ ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎟⎠

1 5 ⎛ 1 ⎜ 0 1 5 ⎜ ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 ⎜⎝ 5 5 21

1 5 1 2⎞ 1 5 1 1⎟ ⎟ 0 8 −8 1⎟ ⎟ 0 −6 6 −1 ⎟ 4 −7 ⎠⎟ 0 −4

F3 → F3 + 6 F2 F4 → F4 − 4 F2 ————— —

1 ⎛1 ⎜0 1 ⎜ ⎜ 0 −6 ⎜ 4 ⎜0 0 ⎝⎜ 0

1 5 1 2⎞ 1 5 1 1⎟ ⎟ 0 8 −8 1⎟ ⎟ 0 −6 6 −1 ⎟ 4 −7 ⎠⎟ 0 −4

5 1 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ −22 −14 −5 ⎟ ⎟ 14 10 3⎟ 4 −7 ⎠⎟

2+0 3 + (−1) 2+2 ⎞ ⎛ 0 + (−3) 5+0 −4 + (−1)⎟ = = ⎜ 2 + (−5) 1 + (−2) ⎟ ⎜ ⎝⎜ −4 + 3 −1 + (−4) 1 + (−2) 0 + (−5) ⎠⎟ 0 −1 2 ⎞ ⎛ −3 0 −1⎟ = + ⎜ −5 −2 ⎟ ⎜ ⎝⎜ 3 −4 −2 −5 ⎠⎟ 2 3 2⎞ ⎛ 0 1 5 −4 ⎟ + =⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ −4 −1 1 b)

A − B = A + (− B) =

−4

— Esglaonem la segona columna: F3 → F3 − 3 F1 F4 → F4 + 2 F1 F5 → F5 − 5 F1 ————— —

B − A = − ( A − B) = 2 2 4⎞ ⎛ −3 5 −5 ⎟ = ⎜ −3 −1 ⎜ ⎟ ⎝⎜ −1 −5 −1 −5 ⎠⎟

— Esglaonem la tercera columna:

F3 → F3 − 3 F1 F4 → F4 + 2 F1 F5 → F5 − 5 F1 ————— —

1 ⎛1 ⎜0 1 ⎜ ⎜ 0 −6 ⎜ 4 ⎜0 ⎜⎝ 0 0

1 2⎞ 1 1⎟ ⎟ −11 1⎟ ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎟⎠ 5 1 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ −22 −14 −5 ⎟ ⎟ 14 10 3⎟ 4 −7 ⎟⎠ −4

0 0 0 0

F5 → F5 − 26 F4 ——————

1 ⎛1 ⎜0 1 ⎜ ⎜ 0 −6 ⎜ 4 ⎜0 0 ⎝⎜ 0

1 5 ⎛ 1 ⎜ 0 1 5 ⎜ ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 5 21 ⎝⎜ 5

F3 → F3 + 6 F2 F4 → F4 − 4 F2 ————— —

1 5 1 2⎞ 1 5 1 1⎟ ⎟ 0 8 −8 1⎟ ⎟ 0 −6 6 −1 ⎟ 4 −7 ⎟⎠ 0 −4

2 + 0 3 + 1 2 + (−2)⎞ ⎛ 0+3 1 + 2 5 + 0 −4 + 1 ⎟ = =⎜ 2+5 ⎟ ⎜ ⎜⎝ −4 + (−3) −1 + 4 1 + 2 0 + 5 ⎟⎠ 0⎞ ⎛ 3 2 4 = ⎜ 7 3 5 −3 ⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎟⎠ ⎝⎜ −7 3 3

b)

2 3 2⎞ ⎛ 0 1 5 −4 ⎟ + =⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠ ⎝⎜ −4 −1 1 0 −1 2 ⎞ ⎛ −3 0 −1⎟ = + ⎜ −5 −2 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 3 −4 −2 −5 ⎟⎠

5 1 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ −22 −14 −5 ⎟ ⎟ 14 10 3⎟ 4 −7 ⎠⎟ −4

1 2⎞ 1 1⎟ ⎟ −11 1⎟ ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎠⎟

0⎞ ⎛ 3 2 4 = ⎜ 7 3 5 −3 ⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −7 3 3 2 + 0 3 + 1 2 + (−2)⎞ ⎛ 0+3 1 + 2 5 + 0 −4 + 1 ⎟ = =⎜ 2+5 ⎟ ⎜ 0 + 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −4 + (−3) −1 + 4 1 + 2 2 3 2 ⎞ ⎛ 3 0 1 −2 ⎞ ⎛ 0 1⎟ = 1 5 −4 ⎟ + ⎜ 5 2 0 =⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎠⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ −3 4 2 ⎝⎜ −4 −1 1 a) A + B = 31. Només cal aplicar la definició de cada operació: Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 files no nul·les, per tant, rang (C) = 4.

— Esglaonem la primera columna:

2+0 3 + (−1) 2+2 ⎞ ⎛ 0 + (−3) 5+0 −4 + (−1)⎟ = = ⎜ 2 + (−5) 1 + (−2) ⎟ ⎜ ⎝⎜ −4 + 3 −1 + (−4) 1 + (−2) 0 + (−5) ⎟⎠ 2 2 4⎞ ⎛ −3 5 −5 ⎟ = ⎜ −3 −1 ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1 −5 −1 −5 ⎠⎟

1 5 1 1 5 1 0 8 −8 0 0 0 0

A − B = A + (− B) =

c)

B − A = − ( A − B) = 2 2 4 ⎞ ⎛ 3 −2 −2 − 4 ⎞ ⎛ −3 1 −5 5⎟ 5 −5 ⎟ = ⎜ 3 = − ⎜ −3 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ −1 −5 −1 −5 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 5 1 5 ⎟⎠

3. Matrius

F1 ↔ F2 —— —

1 5 ⎛ 1 ⎜ 0 1 5 ⎜ ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 5 21 ⎝⎜ 5

1 5 ⎛ 0 ⎜ 1 1 5 ⎜ C = ⎜ 3 −3 −7 ⎜ 2 4 ⎜ −2 ⎜⎝ 5 5 21

3 F 4 3 1 F5 → F5 + F3 2 —————— F4 → F4 +

2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 0 − ⎟ 4⎟ 13 ⎟ 0 − ⎟ 2⎠

0 0

2 3 2 ⎞ ⎛ 3 0 1 −2 ⎞ ⎛ 0 1⎟ = 1 5 −4 ⎟ + ⎜ 5 2 0 =⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 5 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −3 4 2 ⎝⎜ −4 −1 1

1 5 1 2⎞ 1 5 1 1⎟ ⎟ 0 8 −8 1⎟ ⎟ 0 −6 6 −1 ⎟ 4 −7 ⎟⎠ 0 −4 ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

0 0

a) A + B =

— Esglaonem la tercera columna: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 0 − ⎟ 4⎟ 0 0 ⎟⎠

1 5 1 1 5 1 0 8 −8

31. Només cal aplicar la definició de cada operació:

5 1 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ −22 −14 −5 ⎟ ⎟ 14 10 3⎟ 4 −7 ⎟⎠ −4 ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0

Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 files no nul·les, per tant, rang (C) = 4.

— Esglaonem la segona columna: 1 ⎛1 ⎜0 1 ⎜ ⎜ 0 −6 ⎜ 4 ⎜0 ⎜⎝ 0 0

2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 0 − ⎟ 4⎟ 13 ⎟ 0 − ⎟ 2⎠

1 5 1 1 5 1 0 8 −8

— Esglaonem la primera columna: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

3. Matrius

c) Esglaonem la matriu C:

1 2⎞ 1 1⎟ ⎟ −11 1⎟ ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎠⎟

1 1⎞ 1 2⎟ ⎟ 1⎟ −11 ⎟ 8 −1⎟ 9 3 ⎟⎠

— Fem 1 l’element a11: c) Esglaonem la matriu C:

F5 → F5 − 26 F4 ——————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0

0 0 0 0

0 0

1 5 1 1 5 1 0 8 −8 2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 4⎟ 13 ⎟ ⎟ 2⎠

0 −

0 0

0

0 0

1 5 1 1 5 1 0 8 −8

2 ⎞ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 4⎟ 0 ⎟⎠

— Esglaonem la cinquena columna:

43

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 43 C M Y K

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 44

44 Calculem les inverses mitjançant el mètode de GaussJordan: T I   ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ T+M⋅N=⎜ + = ⎝ 2 0 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 1⎠⎟ ⎝⎜ 1 1 ⎠⎟

No es pot calcular el producte B ⋅ A, perquè el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent del nombre de files de la segona, A, que és 2. ⎛ 12 14 5 ⎞ =⎜ 4 0 ⎠⎟ ⎝ −9 ⎛ 1 3 2⎞ A ⋅B=⎜ ⎝ −2 0 1 ⎠⎟

⎛ 3 0 1⎞ ⎛ 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ (−3) 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 ⎞ ⋅ ⎜ 5 2 0⎟ = ⎜ ⎟ = ⎟ ⎜ ⎜⎝ −3 4 2 ⎠⎟ ⎝ −2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 + 1 ⋅ (−3) −2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 −2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ⎠

32. Només cal usar la definició: 0 4 −8 ⎞ 4 ⋅ 0 4 ⋅ 1 4 ⋅ (−2)⎞ ⎛ 12 ⎛ 3 0 1 −2 ⎞ ⎛ 4 ⋅ 3 8 0 4⎟ 4⋅2 4⋅0 4 ⋅ 1 ⎟ = ⎜ 20 1⎟ = ⎜ 4 ⋅ 5 4B=4⎜ 5 2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 4 ⋅ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −12 16 8 20 ⎠⎟ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 ⋅ (−3) 4 ⋅ 4 4 ⋅ 2 ⎝⎜ −3 4 2

e)

10 ⎞ 5⋅2 5⋅3 5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 0 10 15 2 3 2⎞ ⎛ 5 ⋅ 0 ⎛ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ d) 10 5 25 − 20 5 ⋅ 2 5 ⋅ 1 5 ⋅ 5 5 ⋅ ( − 4 ) 2 1 5 − 4 = = 5 ⋅ A = 5 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 0 ⎠⎟ 5 ⋅ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ −20 −5 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 ⋅ (−4) 5 ⋅ (−1) 5 ⋅ 1 ⎝⎜ −4 −1 1

1 0⎞ −2 1 ⎟⎠

f)

1 0⎞ 0 1 ⎟⎠

−9 −6 ⎞ 2 3 2 ⎞ ⎛ 0 −6 ⎛ 0 1 5 −4 ⎟ = ⎜ −6 −3 −15 12 ⎟ (−3) A = (−3) ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 −3 0 ⎠⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 12 ⎝⎜ −4 −1 1

3. Matrius

33. Abans d’operar, simplificarem les expressions utilitzant les propietats de les operacions amb matrius:

Calculem les inverses mitjançant el mètode de GaussJordan: T I  

⎛ 1 −1 ⎜0 2 ⎝

1⎞ ⎛2 1 = ⎜ 4 2 −3 ⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 4

⎛ 1 −1⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞ T+M⋅N=⎜ + = ⎝ 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1⎠⎟ ⎜⎝ 1 1 ⎟⎠

F2 → F2 − 2 F1 —— ————

a)

34. Sabem que es compleix M ⋅ N = N ⋅ M, així doncs: ⎛ 0 1⎞ =⎜ ⎝ −1 1⎟⎠

A = M + N − (2 M − 3 N) = = M + N − 2M + 3N = = (M − 2 M) + (N + 3 N) = − M + 4 N =

⎛ 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1) 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1)⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1)⎟⎠

⎛ 1 −1 −1 • T :⎜ 0 ⎝2

(M + N)2 = (M + N) ⋅ (M + N) = = M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2 = = M2 + M ⋅ N + M ⋅ N + N2 = M2 + 2 M ⋅ N + N2

⎡⎛ 1 0 4 ⎞ ⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎤ ⎥ ⎢ 3 0⎟ ⎥ + = ⎢ ⎜ 2 4 −3 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎢ ⎜⎝ 2 1 6 ⎟⎠ ⎜⎝ −5 −3 2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎣ 1 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 1 1 + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 4 1 −3 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 4 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠

35. Hem de calcular M  N, (M ⋅ N)−1, T−1 i (T + M ⋅ N)−1:

= 0 + (M − N + I) = M − N + I = (M − N) + I =

⎛ −1 0 ⎞ ⋅ ⎜ 2 2⎟ = ⎟ ⎜ ⎜⎝ −1 −1⎟⎠

−4 12 ⎞ ⎛ −1 0 −4 ⎞ ⎛ 0 3 ⎟ + ⎜ −8 12 2 0⎟ = = ⎜ −2 −4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 8 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 −1 −6 ⎠⎟ ⎝⎜ −20 −12

M

⎛ −1 0 ⎞ ⋅ ⎜ 2 2⎟ = ⎟ ⎜ ⎝⎜ −1 −1⎟⎠

0

⎛ 1 2 3⎞ M⋅N=⎜ ⎝ 2 1 1⎠⎟

35. Hem de calcular M  N, (M ⋅ N)−1, T−1 i (T + M ⋅ N)−1:

⎛ −1 −4 8 ⎞ 8 3⎟ = ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎝⎜ −22 −13 2 ⎠⎟

= M ⋅ N − (M ⋅ N − M ⋅ I + N − I) = =M ⋅ N −  M ⋅ N+M ⋅I−N+I=  

⎛ 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1) 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1)⎞ =⎜ = ⎝ 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1)⎠⎟

(M + N)2 = (M + N) ⋅ (M + N) = = M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2 = 2 = M + M ⋅ N + M ⋅ N + N2 = M2 + 2 M ⋅ N + N2

N − I

⎛ 0 1⎞ =⎜ ⎝ −1 1⎠⎟

34. Sabem que es compleix M ⋅ N = N ⋅ M, així doncs:

⎛ 1 2 3⎞ M⋅N=⎜ ⎝ 2 1 1⎟⎠

b) B = M ⋅ N − (M + I) ⋅ (N − I) = I)) = = M ⋅ N − (M ⋅ (N − I) + I⋅ (N − 

N − I

⎛ −1 −4 8 ⎞ 8 3⎟ = ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎜⎝ −22 −13 2 ⎟⎠

1⎞ ⎛2 1 = ⎜ 4 2 −3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 7 4 5 ⎟⎠

b) B = M ⋅ N − ( M + I ) ⋅ ( N − I ) = I)) = = M ⋅ N − (M ⋅ (N − I) + I⋅ (N − 

−4 12 ⎞ ⎛ −1 0 −4 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ 4 3 − 8 12 2 0⎟ = − 2 − + = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ −2 −1 −6 ⎟⎠ ⎜⎝ −20 −12 8 ⎟⎠

M

A = M + N − (2 M − 3 N) = = M + N − 2M + 3N = = (M − 2 M) + (N + 3 N) = − M + 4 N =

= M ⋅ N − (M ⋅ N − M ⋅ I + N − I) = =M ⋅ N −  M ⋅ N+M ⋅I−N+I=  

No es pot calcular el producte B ⋅ A, perquè el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent del nombre de files de la segona, A, que és 2.

a)

= 0 + (M − N + I) = M − N + I = (M − N) + I =

⎛ 12 14 5 ⎞ =⎜ 4 0 ⎟⎠ ⎝ −9

0

1 0⎞ 0 1 ⎠⎟

⎛ 3 0 1⎞ ⎛ 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ (−3) 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 ⎞ = ⋅ ⎜ 5 2 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 + 1 ⋅ (−3) −2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 −2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ −3 4 2 ⎟⎠

33. Abans d’operar, simplificarem les expressions utilitzant les propietats de les operacions amb matrius:

⎛ 1 −1 −1 • T :⎜ 0 ⎝2

1 0⎞ −2 1 ⎠⎟

32. Només cal usar la definició: ⎛ 1 3 2⎞ A ⋅B=⎜ ⎝ −2 0 1 ⎟⎠

⎛ 1 −1 ⎜ 2 ⎝0

−9 −6 ⎞ 2 3 2 ⎞ ⎛ 0 −6 ⎛ 0 1 5 −4 ⎟ = ⎜ −6 −3 −15 12 ⎟ (−3) A = (−3) ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 −3 0 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 ⎝⎜ −4 −1 1

F2 → F2 − 2 F1 —— ————

f)

0 4 ⎞ ⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎤ ⎥ 4 −3 ⎟ − ⎜ −2 3 0⎟ ⎥ + ⎟ ⎟ ⎜ 1 6 ⎠⎟ ⎝⎜ −5 −3 2 ⎠⎟ ⎦⎥ 0 0⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ 1 0 ⎟ = ⎜ 4 1 −3 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 4 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 1 ⎠⎟

0 4 −8 ⎞ 4 ⋅ 0 4 ⋅ 1 4 ⋅ (−2)⎞ ⎛ 12 ⎛ 3 0 1 −2 ⎞ ⎛ 4 ⋅ 3 8 0 4⎟ 4⋅2 4⋅0 4 ⋅ 1 ⎟ = ⎜ 20 1⎟ = ⎜ 4 ⋅ 5 4B=4⎜ 5 2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ −3 4 2 4 ⋅ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ −12 16 8 20 ⎟⎠ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⋅ (−3) 4 ⋅ 4 4 ⋅ 2

⎡⎛ 1 ⎢ = ⎢⎜ 2 ⎜ ⎢⎜ ⎣⎝ 2 ⎛1 + ⎜0 ⎜ ⎝⎜ 0

e)

3. Matrius

10 ⎞ 5⋅2 5⋅3 5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 0 10 15 2 3 2⎞ ⎛ 5 ⋅ 0 ⎛ 0 d) 5 ⋅ A = 5 ⎜ 2 5 25 −20 ⎟ 5 ⋅1 5 ⋅ 5 5 ⋅ (−4)⎟ = ⎜ 10 1 5 −4 ⎟ = ⎜ 5 ⋅ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ −4 −1 1 5 0 ⎟⎠ 5 ⋅ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −20 −5 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⋅ (−4) 5 ⋅ (−1) 5 ⋅ 1

44

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 44

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 45

45 ⎛ 16 −32 ⎞ M=⎜ ⎝ − 6 13 ⎠⎟

⎛ 1 2 1 0⎞ ⎝⎜ 0 2 −1 1 ⎠⎟

F2 → F2 − F1 —————

3. Matrius

⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎝ 2⎠

1 F2 → — F2 2 ————

1 ⎛1 2 ⎜ 1 ⎜0 1 − ⎝ 2

1 F2 → — F2 2 ————

−1

Per tant, la matriu M és:

A I   ⎛ 1 2 1 0⎞ A −1 = ⎜ ⎝ 1 4 0 1 ⎠⎟

I T   1⎞ ⎛ ⎜ 1 0 0 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 −1 1 ⎟ ⎝ 2⎠ −1

F1 → F1 + F2 —————

a = 16

c = −6

b = −32

d = 13

La solució d’aquests sistemes és:

⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 2⎞ At = ⎜ =⎜ ⎝ 1 4 ⎠⎟ ⎝ 2 4 ⎠⎟

4 = a + 2c ⎫ ⎬ 2 = 2 a + 5 c⎭

t

M⋅N  I  ⎛ 0 1 1 0⎞ • (M ⋅ N)−1: ⎜ −1 1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

36. Calculem At i A−1:

−6 = 6 + 2 b ⎫ ⎬ 1 = 2 b + 5d⎭

Per la definició d’igualtat de matrius: Per tant, la igualtat no es compleix.

b+2d ⎞ ⎛ 4 −6 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a + 2 c = ⋅ = ⎝⎜ 2 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 5 ⎠⎟ ⎝⎜ c d ⎠⎟ ⎝⎜ 2 a + 5 c 2 b + 5 d ⎠⎟

1⎞ ⎛ ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎛ 1 0⎞ = (T + M ⋅ N)−1 =⎜ ⎟ ≠ 1 ⎟ ⎝⎜ −1 1 ⎠⎟ ⎜0 ⎝ 2⎠

F1 → −F1 —— ——

F1 ↔ F2 ———

F1 → F1  2 F2 ——————

⎛ −1 1 0 1 ⎞ ⎜⎝ 0 1 1 0 ⎟⎠

⎛ 1 −1 0 −1 ⎞ ⎜⎝ 0 1 1 0 ⎟⎠ (M ⋅ N ) I   ⎛ 1 0 1 −1 ⎞ ⎜ 0 1 1 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 0 1 0⎞ ⎜⎝ 1 1 0 1 ⎟⎠  

Si imposem que compleixi la igualtat:

1⎞ 2 ⎟ ⎛ 1 −1 ⎞ = ⎟ + 1 ⎟ ⎝⎜ 1 0 ⎠⎟ 2⎠

⎛ ⎜ 0 T−1 + (M ⋅ N)−1 = ⎜ ⎜ −1 ⎝

• (T + M ⋅ N)−1:

Finalment:

T+M⋅N

(T + M ⋅ N)−1

I

⎛ 1 0 1 0⎞ ⎜⎝ 0 1 −1 1 ⎟⎠  

⎛ 1 0 1 0⎞ ⎝⎜ 0 1 −1 1 ⎠⎟  

F2 → F2 − F1 —————

I

(T + M ⋅ N)−1

T+M⋅N

Finalment:

• (T + M ⋅ N)−1:

⎛ ⎜ 0 −1 −1 ⋅ T + (M N) = ⎜ ⎜ −1 ⎝

⎛ 2 ⎛ 1 1⎞ ⎜ A t ⋅ A −1 = ⎜ ⋅ 1 ⎝ 2 4 ⎟⎠ ⎜ − ⎝ 2

−1 ⎞ 1⎟ = ⎟ 2⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 ⎟ ⎟ = =⎜ 1⎟ ⎜ ⎛ 1⎞ 2 ( 1 ) 4 ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − 2 2 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎛3 = ⎜2 ⎜ ⎝2

1⎞ − ⎟ 2 ⎟ 0⎠

Calculem finalment (At ⋅ A−1)2:

I

F2 → F2 − F1 —————

I  A    1 0 2 −1 ⎞ ⎛ ⎜ 1 1⎟ ⎜0 1 − ⎟ ⎝ 2 2⎠

Calculem At ⋅ A1:

−1

F1 → F1 + F2 —————

0⎞ 1⎟ ⎟ 2⎠

1⎞ 2 ⎟ ⎛ 1 −1 ⎞ = ⎟ + 1 ⎟ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ 2⎠

I

⎛ 1 0 1 0⎞ ⎝⎜ 1 1 0 1 ⎠⎟  

Per tant, la igualtat no es compleix.

1⎞ − ⎟ 2 ⎟ 0⎠

⎛3 ⋅⎜2 ⎜ ⎝2

1⎞ − ⎟ 2 = ⎟ 0⎠

⎛ ⎛ 3⎞2 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎞ ⋅ 0⎟ ⋅ − + − ⎜⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ ⋅ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎟ =⎜ = ⎟ ⎜ 3 ⎛ 1⎞ 2 2 ⋅⎜− ⎟ + 0 ⎟ ⎜ 2⋅ + 0⋅2 ⎝ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎛5 = ⎜4 ⎜ ⎝3

3⎞ − ⎟ 4 ⎟ −1 ⎠

⎛ a b⎞ . 37. Sigui la matriu buscada M = ⎜ ⎝ c d ⎟⎠ Si imposem que compleixi la igualtat: b+2d ⎞ ⎛ 4 −6 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a + 2 c ⎜⎝ 2 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ 2 5 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ c d ⎟⎠ = ⎜⎝ 2 a + 5 c 2 b + 5 d ⎟⎠ Per la definició d’igualtat de matrius:

36. Calculem At i A−1:

(M ⋅ N ) I   1 −1 ⎞ 1 0 ⎠⎟

⎛ 1 −1 0 −1 ⎞ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 1

M⋅N  I  ⎛ 0 1 1 0⎞ • (M ⋅ N)−1: ⎜ −1 1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

t

F1 → F1 + F2 —————

⎛5 = ⎜4 ⎜ ⎝3

F1 ↔ F2 ———

⎛ ⎜1 0 0 ⎜ ⎜ 0 1 −1 ⎝

⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 1⎞ At = ⎜ =⎜ ⎝ 1 4 ⎟⎠ ⎝ 2 4 ⎟⎠

⎛ ⎛ 3⎞2 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎞ ⋅ 0⎟ + − ⋅2 ⋅ − + − ⎜ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎟ =⎜ = ⎟ ⎜ 3 1 ⎛ ⎞ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + 02 ⎟ ⎜ 2⋅ + 0⋅2 ⎝ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎛3 ( A t ⋅ A −1 )2 = ⎜ 2 ⎜ ⎝2 ⎛3 = ⎜2 ⎜ ⎝2

1⎞ − ⎟ 2 ⎟ 0⎠

⎛3 ⋅⎜2 ⎜ ⎝2

1⎞ − ⎟ 2 = ⎟ 0⎠

⎛ −1 1 0 1 ⎞ ⎝⎜ 0 1 1 0 ⎠⎟

1⎞ 2⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

1⎞ − 2⎟ ⎟ 0⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ⎜ − ⎟ 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 ⎟ = =⎜ 1⎟ ⎜ ⎛ 1⎞ 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ ⎜ − ⎟ 2 ⋅ (−1) + 4 ⋅ ⎟ ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎝⎜ A t ⋅ A −1

⎛ 2 ⎛ 1 1⎞ ⎜ = ⋅ 1 ⎝⎜ 2 4 ⎠⎟ ⎜ − ⎝ 2

−1 ⎞ 1⎟ = ⎟ 2⎠

Calculem At ⋅ A1: F1 → F1  2 F2 ——————

I T  

A −1

A I   ⎛ 1 2 1 0⎞ =⎜ ⎝ 1 4 0 1 ⎟⎠

F2 → F2 − F1 —————

⎛ 1 2 1 0⎞ ⎜⎝ 0 2 −1 1 ⎟⎠

4 = a + 2c ⎫ ⎬ 2 = 2 a + 5 c⎭

−6 = 6 + 2 b ⎫ ⎬ 1 = 2 b + 5d⎭

La solució d’aquests sistemes és: a = 16

c = −6

b = −32

Per tant, la matriu M és: ⎛ 16 −32 ⎞ M=⎜ ⎝ − 6 13 ⎟⎠

d = 13 3. Matrius

−1

1 F2 → — F2 2 ————

3⎞ − ⎟ 4 ⎟ −1 ⎠

Calculem finalment (At ⋅ A−1)2: −1

F1 → −F1 —— ——

⎛ a b⎞ . 37. Sigui la matriu buscada M = ⎜ ⎝ c d ⎠⎟

⎛1 0 ⎜ ⎝0 1

F1 → F1 + F2 —————

1⎞ ⎛ ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎛ 1 0⎞ = (T + M ⋅ N)−1 =⎜ ⎟ ≠ 1 ⎟ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠ ⎜0 ⎝ 2⎠

⎛3 ( A t ⋅ A −1 )2 = ⎜ 2 ⎜ ⎝2

I  A    2 −1 ⎞ ⎛1 0 ⎜ 1 1⎟ ⎜0 1 − ⎟ ⎝ 2 2⎠ −1

⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎝ 2⎠

———— 1 F2 → — F2 2

1 ⎛1 2 ⎜ 1 ⎜0 1 − ⎝ 2

0⎞ 1⎟ ⎟ 2⎠

45

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 45 C M Y K

C M Y K

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 46

46 A

R 2:

Operant podem obtenir X: A −1

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎥ ⎜ 2 3 0 ⎟ + ⎜ −2 −3 0⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 4 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −4 −1 −8 ⎠⎟ ⎦⎥

⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ 3⋅A + = 2 ⇔ ⎝⎜ −1⎠⎟ ⎝⎜ −2 0 3 ⎠⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 ⎠ 39. Hem de trobar la matriu A tal que:

I

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ 0 2 0 ⎟ , multi38. Si A−1 és la matriu inversa de A = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 0 3 ⎠⎟ plicant la igualtat que volem demostrar per la matriu A−1 per l’esquerra, obtenim la igualtat equivalent:

⎛ 3 2 1⎞ ⎟ ⎜ 2 3 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜2 3 2⎟ ⎠ ⎝⎜ 3 ⎛ 1 ⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎥ ⎜ 0 + ⎜ −2 −3 0 ⎟ ⎥ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 −1 −8 ⎠⎟ ⎦⎥ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 3

0 0 1 2

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

2 1⎞ ⎛3 ⋅ ⎜4 6 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 5 11 7 ⎠⎟

b ) Cada graf ve representat per una matriu que té una fila i una columna associades a cada punt (individu) de manera que:

⎛ 1 0 0⎞ A −1 ⋅ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 0 3 ⎠⎟ 

3. Matrius

⎡ ⎢ = A −1 ⎢ 3 ⎢ ⎣

⎛ 5⎞ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2⎞ ⇔3 A =⎜ 2 − ⇔ ⎝ −2 0 3 ⎠⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝⎜ −1⎠⎟ ⎝ −1 ⎠

⎡⎛ 3 3 3⎞ ⎢⎜ 9 0⎟ + ⎢⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎢ ⎝ 9 12 15 ⎟⎠ ⎣

Calculem la matriu A−1 mitjançant el mètode de GaussJordan:

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

I    

⎤ ⎡ ⎛ 5⎞ 1 ⎢ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2⎞ ⎥ = ⇔ A = 2 − 3 ⎢ ⎝⎜ −2 0 3 ⎠⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝⎜ −1⎠⎟ ⎥ ⎥ ⎢ ⎝ −1 ⎠ ⎦ ⎣ A

1 0 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎠⎟

E

A    ⎛1 0 0 ⎜0 2 0 ⎜ ⎝⎜ 1 0 3

0

1 ⎛ 24 ⎞ ⎛ 8 ⎞ = 3 ⎝⎜ −12 ⎠⎟ ⎝⎜ −4 ⎠⎟

L

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎜ 2 3 0 ⎟ + ⎜ −2 −3 0 ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎜⎝ 3 4 5 ⎟⎠ ⎜⎝ −4 −1 −8 ⎟⎠ ⎥ ⎦ G

0 1 2

=

⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 =⎜ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 3

⎡ ⎢ ⋅ ⎢3 ⎢ ⎣

1 0 0⎞ ⎛1 0 0 ⎜0 2 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 3 −1 0 1 ⎠⎟

0

R 2:

F3 → F3 − F1 ——— ———

40. a) Hem de representar els individus per punts i la relació d’un amb l’altre mitjançant una fletxa del primer al segon:

1 2

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

1 F2 → — F2 2 ————

R 1:

0

0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ 2 ⎟ 0 1 ⎠⎟

A

1 ⎛1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 0 ⎜ ⎝⎜ 0 0 3 −1

A

E

Operant podem obtenir X: ⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 X=⎜ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 3

E

L

A −1

I

L

G

G

R 1:

1 F3 → — F3 3 ————

40. a) Hem de representar els individus per punts i la relació d’un amb l’altre mitjançant una fletxa del primer al segon:

I

1 ⎛ 24 ⎞ ⎛ 8 ⎞ = 3 ⎜⎝ −12 ⎟⎠ ⎜⎝ −4 ⎟⎠

1 0 0⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎜0 1 0 0 0⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 1 1⎟ 0 ⎟ ⎜0 0 1 − ⎝ 3  3⎠   

⎤ ⎡ ⎛ 5⎞ ⎢ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2⎞ ⎥ 2 − ⎢ ⎜⎝ −2 0 3 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1⎟⎠ ⎥ = ⎜⎝ −1⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ =

0

E

0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ 2 ⎟ 0 1 ⎟⎠

1 3

⎛ 1 1 1⎞ ⎜ 2 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 4 5 ⎠⎟

L

⇔ A =

1 2

G

⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎥ + ⎜ −2 −3 0 ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 −1 −8 ⎠⎟ ⎦⎥

1 ⎛1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 0 ⎜ ⎜⎝ 0 0 3 −1

1 0 0⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎜0 1 0 0 0⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ 1 1⎟ 0 ⎟ ⎜0 0 1 − ⎝ 3  3⎠   

1 F3 → — F3 3 ————

⎛ 5⎞ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2⎞ ⇔3 A =⎜ 2 − ⇔ ⎝ −2 0 3 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ −1⎟⎠ ⎝ −1 ⎠

1 0 0⎞ ⎛1 0 0 ⎜0 2 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 3 −1 0 1 ⎟⎠

F3 → F3 − F1 ——— ———

1 F2 → — F2 2 ————

I     1 0 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

⎡ ⎢ ⋅ ⎢3 ⎢ ⎣

A    ⎛1 0 0 ⎜0 2 0 ⎜ ⎜⎝ 1 0 3

⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4 3 0⎞ ⎜ ⎟ 3⋅A +⎜ ⎟ =⎜ 2 ⇔ ⎝ −1⎠ ⎝ −2 0 3 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎝ 1⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

Calculem la matriu A−1 mitjançant el mètode de GaussJordan:

39. Hem de trobar la matriu A tal que:

0

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎥ ⎜ 2 3 0 ⎟ + ⎜ −2 −3 0⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 4 5 ⎟⎠ ⎜⎝ −4 −1 −8 ⎟⎠ ⎥ ⎦

⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 X=⎜ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 3

I

⎡ −1 ⎢ = A ⎢3 ⎢ ⎣

0 1 2

b ) Cada graf ve representat per una matriu que té una fila i una columna associades a cada punt (individu) de manera que:

⎛ 3 2 1⎞ ⎜ 2 3 0⎟ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜2 3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3

⎛ 1 0 0⎞ A −1 ⋅ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 0 3 ⎟⎠ 

⎡ 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎢⎜ ⎟ + 9 0 ⎢⎜ 6 ⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎣ ⎝ 9 12 15 ⎠

2 1⎞ ⎛3 ⋅ ⎜4 6 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 11 7 ⎟⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

0

0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

0

0 1 2

⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 =⎜ ⎜ 1 ⎜− ⎝ 3

⎛ 1 ⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎥ ⎜ 0 + ⎜ −2 −3 0 ⎟ ⎥ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −4 −1 −8 ⎟⎠ ⎥ ⎜ 1 ⎦ ⎜− ⎝ 3

3. Matrius

⎛ 1 0 0⎞ 38. Si A−1 és la matriu inversa de A = ⎜ 0 2 0 ⎟ , multi⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 0 3 ⎟⎠ plicant la igualtat que volem demostrar per la matriu A−1 per l’esquerra, obtenim la igualtat equivalent:

46

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 46

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 47

47 3. Matrius

aij = 1 si l’individu associat a la fila i està relacionat amb l’associat a la columna j. aij = 0 en cas contrari.

42. El valor total d’enviaments a cada país durant cadascun dels anys esmentats vindrà disposat a la matriu que resulta en fer el producte de la matriu Y per X. A

A ⎛0 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

G ⎛0 ⎜1 R1 : A1 = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

G ⎛0 ⎜0 R2 : A2 = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

L 0 0 1 1

L 1 0 0 0

E 0 0 0 1

A 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

E 1 1 0 0

A 1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 0⎠

B

C

D

⎛ 462 025 1 245 430 649 165 564 455 ⎞ 2007 Y ⋅X = ⎜ ⎝ 480 550 1 296 088 675 406 587 024 ⎟⎠ 2008

Per tant: G L ; E A

G L E A

B 1 0 0 0

C 1 0 0 0

D 1⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

A B C D

b ) La matriu associada al graf és la que té una fila i una columna per cada element (ordinador) i els elements aij dels quals són 1, si i està connectat amb j, i 0, si no ho està: A

c) Observem que A1 = A 2, la qual cosa vol dir que un individu està relacionat amb un altre per R1 si i només si el segon està relacionat amb el primer per R2. Això és clarament cert: un individu és a la dreta de l’altre si i només si el segon és a l’esquerra del primer. t

41. a) Hem de representar cada ordinador mitjançant un punt i cada connexió entre dos ordinadors mitjançant una corba que uneixi els punts que els representen:

43. La matriu que cerquem ha de tenir 3 entrades per als anys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar les vendes brutes corresponents a l’any i al país que el localitzen a la matriu. D’altra banda, las vendes brutes s’obtenen multiplicant el nombre d’unitats exportades de cada electrodomèstic pel preu d’aquest, corresponents a l’any i al país considerats, i sumant per als diferents electrodomèstics. D’això anterior se’n desprèn que la matriu que ens interessa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens donarà les vendes brutes de cada any a cada país, en milers d’euros (ja que els elements de A indiquen milers): 90 ⎞ ⎛ 360 400 39 ⎛ 125 275 230 ⎞ ⎜ A ⋅C=⎜ ⋅ 540 570 570 ⎟ = ⎟ ⎝ 250 104 375 ⎟⎠ ⎜⎜ ⎝ 420 430 435 ⎟⎠ ⎛ 290 100 305 650 305 550 ⎞ P1 =⎜ ⎝ 303 660 320 530 319 905 ⎠⎟ P2 2006

2007

2008

El valor del que s’ha exportat durant l’últim any a cada país ve donat per l'última columna de la matriu producte A ⋅ C. C

D

Com que 305 550 < 319 905, concloem que el valor del que s’ha exportat al segon país l’últim any és més gran que el que s’ha exportat al primer.

45. Activitat TIC B

D

44. Activitat TIC Com que 305 550 < 319 905, concloem que el valor del que s’ha exportat al segon país l’últim any és més gran que el que s’ha exportat al primer.

C

El valor del que s’ha exportat durant l’últim any a cada país ve donat per l'última columna de la matriu producte A ⋅ C. 41. a) Hem de representar cada ordinador mitjançant un punt i cada connexió entre dos ordinadors mitjançant una corba que uneixi els punts que els representen: c) Observem que A1 = A 2, la qual cosa vol dir que un individu està relacionat amb un altre per R1 si i només si el segon està relacionat amb el primer per R2. Això és clarament cert: un individu és a la dreta de l’altre si i només si el segon és a l’esquerra del primer.

B

44. Activitat TIC 45. Activitat TIC

t

A

b ) La matriu associada al graf és la que té una fila i una columna per cada element (ordinador) i els elements aij dels quals són 1, si i està connectat amb j, i 0, si no ho està: A ⎛0 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

B 1 0 0 0

C 1 0 0 0

D 1⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

A B C D

L 1 0 0 0

G ⎛0 ⎜0 R :A =⎜ 2 2 ⎜0 ⎜ ⎝0

L 0 0 1 1

G ⎛0 ⎜1 R1 : A1 = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

E 1 1 0 0 E 0 0 0 1

G L E A

A 1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 0⎠

G L ; E A

A 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

Per tant: 3. Matrius

2006

aij = 1 si l’individu associat a la fila i està relacionat amb l’associat a la columna j.

2008

⎛ 290 100 305 650 305 550 ⎞ P1 =⎜ ⎝ 303 660 320 530 319 905 ⎠⎟ P2 90 ⎞ ⎛ 360 400 39 ⎛ 125 275 230 ⎞ A ⋅C=⎜ ⋅ ⎜ 540 570 570 ⎟ = ⎟ ⎝ 250 104 375 ⎠⎟ ⎜⎜ ⎝ 420 430 435 ⎠⎟ D’això anterior se’n desprèn que la matriu que ens interessa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens donarà les vendes brutes de cada any a cada país, en milers d’euros (ja que els elements de A indiquen milers): D’altra banda, las vendes brutes s’obtenen multiplicant el nombre d’unitats exportades de cada electrodomèstic pel preu d’aquest, corresponents a l’any i al país considerats, i sumant per als diferents electrodomèstics. 43. La matriu que cerquem ha de tenir 3 entrades per als anys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar les vendes brutes corresponents a l’any i al país que el localitzen a la matriu. ⎛ 462 025 1 245 430 649 165 564 455 ⎞ 2007 Y ⋅X = ⎜ ⎝ 480 550 1 296 088 675 406 587 024 ⎠⎟ 2008 A

aij = 0 en cas contrari.

2007

B

C

D

42. El valor total d’enviaments a cada país durant cadascun dels anys esmentats vindrà disposat a la matriu que resulta en fer el producte de la matriu Y per X.

47

03 Mates CCS_Guia.qxd

27/5/09

12:22

Página 47 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 48

–1

1

2

3

4

X

• Recta 2 x − 3 y = 1:

1. EQUACIONS LINEALS

x y

1 1. a) 3 x + 5 y − z + t = 2 2 • Els coeficients són 3, 5, −1,

1 . 2

• Recta 3 x + 5 y = 0:

x y

• El terme independent és 2.

−1

2

−5

0

1

−1

0

−3

Y

⎯

b) 2 x1 − x2 + 7 x3 + x4 − √ 2 x5 = −3

3 ⎯

1

2

2x – 3y = 1

1

• Els coeficients són 2, −1, 7, 1, −√ 2.

−4

• El terme independent és −3.

y

1

2

c) x + y + z = 0

−0

–1

x

–1

4

–2

−1

–3

y

• Els coeficients són 1, 1, 1.

1

–2

−1

• El terme independent és 0.

x

2

3

4

X

3x + 5y = 0 –3

2. Una terna (a, b, c) és solució de 3 x − y + 2 z = 0 si es compleix la igualtat 3 a − b + 2 c = 0, aleshores: Encara que el punt de tall no s’aprecia de manera exacta, queda clar que n’hi ha un i que és únic, per tant, es tracta d’un sistema compatible determinat. b) Representem gràficament les rectes a partir dels punts de pas: • Recta −5 x + 2 y = 3:

x

a1 x + a2 y + a3 z + a4 t = b

y • Recta 5 x − 2 y = 8:

x

−1

1

−1

4

−0

2

−4

1

−3

y

0

Y

y

a1 ⋅ 3 + a2 ⋅ 1 + a3 ⋅ (−2) + a4 ⋅ 0 = = 3 a1 + a2 − 2 a3 = b

−5

3

0

a) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 3 = 10 ≠ 0 ⇒ (1, −1, 3) no és solució.

X

4

x

b) 3 ⋅ (−4) − 8 + 2 ⋅ 10 = 0 ⇒ (−4, 8, 10) és solució.

3

1

c) 3 ⋅ 7 − 0 + 2 ⋅ (−8) = 5 ≠ 0 ⇒ (7, 0, −8) no és solució.

2

−1

3. Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus

1

y

Si fixem, per exemple, a1 = a2 = a3 = a4 = 1, el valor de b que fa certa la igualtat anterior és:

–2 –1 1

2 5x – 2y = 8

2

b=3⋅1+1−2⋅1=2

• El terme independent és 0. –2

• El terme independent és −3.

2x – 3y = 1

3

Y

−1

Perquè (3, 1, −2, 0) sigui solució, s’ha de complir:

4. Sistemes d’equacions lineals I

Sistemes lineals I 4 d’equacions

–4 –3 –2

–5x + 2y = 3 –2

1

5x – 2y = 8

2 3

Y

• Recta 5 x − 2 y = 8: • Recta −5 x + 2 y = 3:

b) Representem gràficament les rectes a partir dels punts de pas: Encara que el punt de tall no s’aprecia de manera exacta, queda clar que n’hi ha un i que és únic, per tant, es tracta d’un sistema compatible determinat. 3x + 5y = 0 –1 –3

2

⎯

⎯

• Recta 3 x + 5 y = 0:

1 t =2 2

x

1

La resposta suggerida és x + y + z + t = 2. –3

–2

–1

1

2

3

4

X

–1

–5x + 2y = 3

2. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS. CLASSIFICACIÓ

–2

Sistemes d’equacions lineals I

–3

4. a) Representem gràficament les rectes a partir dels punts de pas:

–4

12:28

48

27/5/09

4. Sistemes d’equacions lineals I

48 4. a) Representem gràficament les rectes a partir dels punts de pas: 2. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS. CLASSIFICACIÓ

–1 –3

La resposta suggerida és x + y + z + t = 2. b=3⋅1+1−2⋅1=2 Si fixem, per exemple, a1 = a2 = a3 = a4 = 1, el valor de b que fa certa la igualtat anterior és: a1 ⋅ 3 + a2 ⋅ 1 + a3 ⋅ (−2) + a4 ⋅ 0 = = 3 a1 + a2 − 2 a3 = b Perquè (3, 1, −2, 0) sigui solució, s’ha de complir: a1 x + a2 y + a3 z + a4 t = b 3. Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus c) 3 ⋅ 7 − 0 + 2 ⋅ (−8) = 5 ≠ 0 ⇒ (7, 0, −8) no és solució. b) 3 ⋅ (−4) − 8 + 2 ⋅ 10 = 0 ⇒ (−4, 8, 10) és solució. a) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 3 = 10 ≠ 0 ⇒ (1, −1, 3) no és solució. 2. Una terna (a, b, c) és solució de 3 x − y + 2 z = 0 si es compleix la igualtat 3 a − b + 2 c = 0, aleshores: –3

• Els coeficients són 1, 1, 1. c) x + y + z = 0 • Els coeficients són 2, −1, 7, 1, −√ 2. b) 2 x1 − x2 + 7 x3 + x4 − √ 2 x5 = −3 • El terme independent és 2. 1 • Els coeficients són 3, 5, −1, . 2 1. a) 3 x + 5 y − z +

• Recta 2 x − 3 y = 1:

1. EQUACIONS LINEALS

4 04 Mates CSS_Guia.qxd

Página 48

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 49

b) — Sumem a la segona equació la primera multiplicada per −3, i sumem a la tercera la primera multiplicada per −4: ⎛1 ⎞ Per tant, la solució del sistema és ⎜ , −1, 0 ⎟ . ⎝3 ⎠ 3 x − (−1) + 5 ⋅ 0 = 2 ⎫ ⎪ y = −1 ⎬ z = 0 ⎭⎪

1 ⎫ x= ⎪ 3 ⎪ y = −1 ⎬ z=0 ⎪ ⎪ ⎭

→

c) Representem gràficament les rectes: • Recta 3 x + 3 y = 3:

• Recta 2 x + 2 y = 2:

x

0

1

y

1

0

x

0

1

y

1

0

2 1

–3

–2

–1

x + 3 y − 2z = 4⎫ x + 3y − 2z = 4⎫ ⎪ ⎪ −7 y + 7 z = −7 ⎬ → y −z= 1⎬ −8 y + 10 z = −10 ⎪⎭ −8 y + 10 z = −10 ⎪⎭

x + 3 y − 2 z = 4⎫ x + 3 y − 2 z = 4⎫ ⎪ ⎪ y − z = 1⎬ → y − z = 1⎬ −8 y + 10 z = −10 ⎪⎭ 2 z = −2 ⎪⎭

3

3x + 3y = 3

x + 3 y − 2 z = 4⎫ x + 3 y − 2z = 4⎫ ⎪ 3 x + 2 y + z = 5 ⎬ → −7 y + 7 z = −7 ⎪⎬ 4 x + 4 y + 2 z = 6 ⎪⎭ −8 y + 10 z = −10 ⎪⎭ 1 — Multipliquem la segona equació per − per7 què el coeficient de y sigui 1:

— Sumem a la tercera equació la segona multiplicada per 8:

Y

— Substituïm els valors de z i y a la primera equació i trobem el valor de x: 3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + 0 = 7 ⎬ → z = 0 ⎭⎪

3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ y = −1 ⎬ z = 0 ⎭⎪

— Substituïm el valor de z en la segona equació i obtenim el valor de y:

1

2

3

4

X

–1

2x + 2y = 2 –2

3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + z = 7 ⎬ z = 0 ⎭⎪

3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + z = 7 ⎬ → 2 z = 0 ⎭⎪

— Resolem la tercera equació, que ens dóna el valor de z: 5. a) Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resoldre per substitució regressiva: 3. MÈTODE DE GAUSS Resulta que són dues rectes coincidents, per la qual cosa el sistema té infinites solucions; per tant es tracta d’un sistema compatible indeterminat. –3

–3

Resulta que són dues rectes coincidents, per la qual cosa el sistema té infinites solucions; per tant es tracta d’un sistema compatible indeterminat. 3. MÈTODE DE GAUSS 5. a) Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resoldre per substitució regressiva: — Resolem la tercera equació, que ens dóna el valor de z: 3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + z = 7 ⎬ → 2 z = 0 ⎪⎭

3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + z = 7 ⎬ z = 0 ⎪⎭

–2

2x + 2y = 2 –1 –3

–2

–1

1

2

3

X

4

1

3x + 3y = 3

La solució és ⎛ − 5 , 5 , 2 ⎞ . ⎝⎜ 3 3 3 ⎠⎟ − x − 2 y + z = −1 ⎫ ⎪ − y + z = −1 ⎬ ———  9 z = 6 ⎭⎪ Resolent per substitució regressiva: 6 2 ⎧ ⎪z = 9 = 3 ⎪ 2 5 ⎪ ⎨y = z + 1 = + 1 = 3 3 ⎪ 5 2 5 ⎪ ⎪ x = −2 y + z + 1 = −2 ⋅ 3 + 3 + 1 = − 3 ⎩ F3 → F3  3 F2 —————— F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

4. Sistemes d’equacions lineals I

49 Es tracta de dues rectes paral·leles, la qual cosa vol dir que el sistema no té solució; per tant, és un sistema incompatible.

— Substituïm el valor de z en la segona equació i obtenim el valor de y: 3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ −7 y + 0 = 7 ⎬ → z = 0 ⎪⎭

3 x − y + 5 z = 2⎫ ⎪ y = −1 ⎬ z = 0 ⎪⎭

— Substituïm els valors de z i y a la primera equació i trobem el valor de x: 1 ⎫ 3 ⎪ ⎪ y = −1 ⎬ z=0 ⎪ ⎪ ⎭

x= →

⎛1 ⎞ Per tant, la solució del sistema és ⎜ , −1, 0 ⎟ . ⎝3 ⎠ b) — Sumem a la segona equació la primera multiplicada per −3, i sumem a la tercera la primera multiplicada per −4:

z = −1 ⎫ ⎪ y = 1 + z = 1 + (−1) = 0 ⎬ x = 4 − 3 y + 2 z = 4 − 3 ⋅ 0 + 2 (−1) = 2 ⎪⎭ La solució del sistema és (2, 0, −1). 6. La matriu ampliada associada al sistema és: ⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ A ′ = ⎜ 2 3 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 3 9 6 ⎟⎠ Si utilitzem el mètode de Gauss amb notació matricial: ⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ 2 3 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 3 9 6 ⎟⎠ F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

F3 → F3  3 F2 ——————

⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −3 12 3 ⎟⎠ ⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 9 6 ⎟⎠

− x − 2 y + z = −1 ⎫ ⎪ − y + z = −1 ⎬ 9 z = 6 ⎪⎭ Resolent per substitució regressiva: 6 2 ⎧ ⎪z = 9 = 3 ⎪ 2 5 ⎪ ⎨y = z + 1 = + 1 = 3 3 ⎪ 5 2 5 ⎪ ⎪ x = −2 y + z + 1 = −2 ⋅ 3 + 3 + 1 = − 3 ⎩ ———

La solució és ⎛ − 5 , 5 , 2 ⎞ . ⎜⎝ 3 3 3 ⎟⎠

4. Sistemes d’equacions lineals I

3 x − (−1) + 5 ⋅ 0 = 2 ⎫ ⎪ y = −1 ⎬ z = 0 ⎪⎭

— Resolem el sistema esglaonat, equivalent al de partida, mitjançant substitució regressiva:

⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 9 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 −3 12

⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 3 − 1 1 ⎜ ⎟ 3 9 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 Si utilitzem el mètode de Gauss amb notació matricial: ⎛ −1 −2 1 −1 ⎞ A ′ = ⎜ 2 3 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3 9 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 6. La matriu ampliada associada al sistema és: La solució del sistema és (2, 0, −1). z = −1 ⎫ ⎪ y = 1 + z = 1 + (−1) = 0 ⎬ x = 4 − 3 y + 2 z = 4 − 3 ⋅ 0 + 2 (−1) = 2 ⎭⎪ — Resolem el sistema esglaonat, equivalent al de partida, mitjançant substitució regressiva: x + 3 y − 2 z = 4⎫ x + 3 y − 2 z = 4⎫ ⎪ ⎪ y −z= 1 y − z = 1⎬ → ⎬ −8 y + 10 z = −10 ⎭⎪ 2 z = −2 ⎭⎪

2 3

Y

— Sumem a la tercera equació la segona multiplicada per 8: y

• Recta 2 x + 2 y = 2: • Recta 3 x + 3 y = 3:

1 0

x

1

y x

0

0 1 0 1

c) Representem gràficament les rectes: Es tracta de dues rectes paral·leles, la qual cosa vol dir que el sistema no té solució; per tant, és un sistema incompatible.

x + 3 y − 2z = 4⎫ x + 3y − 2z = 4⎫ ⎪ ⎪ −7 y + 7 z = −7 ⎬ → y −z= 1⎬ −8 y + 10 z = −10 ⎭⎪ −8 y + 10 z = −10 ⎭⎪ x + 3 y − 2 z = 4⎫ x + 3 y − 2z = 4⎫ ⎪ 3 x + 2 y + z = 5 ⎬ → −7 y + 7 z = −7 ⎬⎪ 4 x + 4 y + 2 z = 6⎪ −8 y + 10 z = −10 ⎭⎪ ⎭ 1 — Multipliquem la segona equació per − per7 què el coeficient de y sigui 1:

49

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 49 C M Y K

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 50

50 Apliquem el mètode de Gauss: Així, tenim un sistema compatible determinat. 3 ⎫ x − y = −7 ⎪ ⎪ 2 ⎬ 11 y = 22 ⎪ 2 ⎭⎪ Aquesta matriu està associada a un sistema amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites: F2 → F2  5 F1 —————— 1 F1 → — F1 4 ————

3 ⎞ ⎛ ⎜ 1 − 2 −7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 11 22 ⎟ ⎠ ⎝ 2 3 ⎛ ⎜1 − 2 ⎜ ⎝ 5 −2

⎞ −7 ⎟ ⎟ −13 ⎠

El sistema és compatible determinat i, fent substitució cap enrere, obtenim: 2 x + 3 y − z = 15 ⎫ ⎪ −4 y + 2 z = −18 ⎬ z = −5 ⎭⎪ Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites: 4 F3 →  — F3 3 —————

15 ⎞ ⎛ 2 3 −1 ⎜ ⎟ 0 − 4 2 − 18 ⎜ ⎟ 0 1 −5 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎛ 2 3 −1 ⎜ 0 − 4 2 ⎜ −3 ⎜ 0 0 ⎝⎜ 4

5 F3 → F3  — F2 8 ——————

⎛2 3 ⎜ 0 − 4 ⎜ −5 ⎜ 0 ⎝⎜ 2

F2 → F2  F1 1 F3 → F3  — F1 2 ——————

Aplicant el mètode de Gauss: ⎛ 4 −6 −28 ⎞ A′ = ⎜ ⎝ 5 −2 −13 ⎠⎟ 7. a) La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2⎪ ⎭

15 ⎞ −18 ⎟ ⎟ 15 ⎟ ⎟ 4⎠

−1 15 ⎞ 2 −18 ⎟ ⎟ 1 −15 ⎟ ⎟ 2 2 ⎠

4. Sistemes d’equacions lineals I

Per substitució regressiva:

z = −5 1 y = ⋅ (2 ⋅ (−5) + 18) = 2 4 1 5 − 3 ⋅ 2 + (−5)) = (15 2

Es tracta d’un sistema compatible determinat.

x=

⎛ 2 3 −1 15 ⎞ A ′ = ⎜ 2 −1 1 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 −1 0 0 ⎟⎠

2 x − 5 y + 12 z = 9 ⎫ ⎪ 9 y − 26 z = −20 ⎬ 24 z = 0 ⎪⎭

Així, la solució és (2, 2, −5).

c) La matriu associada al sistema és:

Aquesta és la matriu ampliada associada a un sistema esglaonat amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites:

2 ⎫ y = 22 ⋅ =4 ⎪⎪ 11 ⎬ 3 ⋅ 4 = −1 ⎪ 2 ⎭⎪

que no té solucions; per tant, el sistema és incompatible.

9⎞ ⎛ 2 −5 12 ⎜0 9 −26 −20 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 24 0 ⎟⎠

x = −7 +

0 x + 0 y = −7

F3 → F3  F2 —————

9⎞ ⎛ 2 −5 12 ⎜0 9 −26 −20 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 9 −2 −20 ⎟⎠

d) La matriu ampliada associada al sistema és:

La segona fila correspon a l’equació

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  F1 ——————

La solució és (−1, 4).

F2 → F2  4 F1 ——————

2⎞ ⎛ −2 −4 ⎜⎝ 0 0 −7 ⎟⎠

b) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:

Apliquem el mètode de Gauss:

9⎞ ⎛ 2 −5 12 A ′ = ⎜ 4 −1 −2 −2 ⎟ ⎜ ⎟ 4 10 −11 ⎠⎟ ⎝⎜ 2

9⎞ ⎛ 2 −5 12 A ′ = ⎜ 4 −1 −2 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 4 10 −11 ⎟⎠

−4 2 ⎞ ⎛ −2 A′ = ⎜ ⎝ −8 −16 1 ⎠⎟

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2⎪ ⎭

Així, la solució és (2, 2, −5).

Si apliquem el mètode de Gauss:

Si apliquem el mètode de Gauss:

−4 2 ⎞ ⎛ −2 A′ = ⎜ ⎝ −8 −16 1 ⎟⎠

9⎞ ⎛ 2 −5 12 ⎜0 9 −26 −20 ⎟ ⎟ ⎜ 9 −2 −20 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

El sistema és compatible determinat i, fent substitució cap enrere, obtenim:

d) La matriu ampliada associada al sistema és:

b) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  F1 ——————

La solució és (−1, 4).

2⎞ ⎛ −2 −4 0 −7 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

2 ⎫ =4 ⎪⎪ 11 ⎬ 3 x = −7 + ⋅ 4 = −1 ⎪ ⎪⎭ 2 y = 22 ⋅

F2 → F2  4 F1 ——————

Per substitució regressiva:

2 x + 3 y − z = 15 ⎫ ⎪ −4 y + 2 z = −18 ⎬ z = −5 ⎪⎭

z = −5 1 y = ⋅ (2 ⋅ (−5) + 18) = 2 4 1 5 − 3 ⋅ 2 + (−5)) = x = (15 2

La segona fila correspon a l’equació

Així, tenim un sistema compatible determinat.

Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites:

9⎞ ⎛ 2 −5 12 ⎜0 9 −26 −20 ⎟ ⎟ ⎜ 0 24 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

3 ⎫ y = −7 ⎪ ⎪ 2 ⎬ 11 y = 22 ⎪ ⎪⎭ 2

x−

15 ⎞ ⎛ 2 3 −1 ⎜ 0 −4 2 −18 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 −5 ⎟⎠

F3 → F3  F2 —————

Aquesta matriu està associada a un sistema amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites:

4 F3 →  — F3 3 —————

0 x + 0 y = −7

3 ⎞ ⎛ ⎜ 1 − 2 −7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 11 22 ⎟ ⎠ ⎝ 2

Aquesta és la matriu ampliada associada a un sistema esglaonat amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites:

F2 → F2  5 F1 ——————

⎞ −7 ⎟ ⎟ −13 ⎠

que no té solucions; per tant, el sistema és incompatible.

3 ⎛ ⎜1 − 2 ⎜ ⎝ 5 −2

15 ⎞ −18 ⎟ ⎟ 15 ⎟ ⎟ 4⎠

c) La matriu associada al sistema és:

⎛ 2 3 −1 ⎜ 0 −4 2 ⎜ −3 ⎜ 0 ⎜⎝ 0 4

2 x − 5 y + 12 z = 9 ⎫ ⎪ 9 y − 26 z = −20 ⎬ 24 z = 0 ⎭⎪

5 F3 → F3  — F2 8 ——————

Es tracta d’un sistema compatible determinat.

⎛2 3 ⎜ 0 −4 ⎜ −5 ⎜ ⎜⎝ 0 2

Aplicant el mètode de Gauss: 1 F1 → — F1 4 ————

−1 15 ⎞ 2 −18 ⎟ ⎟ 1 −15 ⎟ ⎟ 2 2 ⎠

F2 → F2  F1 1 F3 → F3  — F1 2 ——————

⎛ 2 3 −1 15 ⎞ A ′ = ⎜ 2 −1 1 −3 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 −1 0

⎛ 4 −6 −28 ⎞ A′ = ⎜ ⎝ 5 −2 −13 ⎟⎠

Si apliquem el mètode de Gauss: 4. Sistemes d’equacions lineals I

7. a) La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:

Si apliquem el mètode de Gauss:

50

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 50

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 51

51 que és redundant, ja que es compleix per a qualsevol valor de x i y. 0x + 0y = 0

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = 20, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible. 2⎞ ⎛1 1 2 ⎜0 5 9 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 0 20 ⎠⎟

L’última fila correspon a l’equació ⎛ 1 −4 −5 ⎞ ⎜0 1 1⎟ ⎟ ⎜ 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

1 F2 → — F2 9 ————

z=0 1 y = 9 1 x= 2

⎫ ⎪ 20 ⎪⎪ [26 ⋅ 0 − 20] = − 9 ⎬ ⎡ ⎤ 19 ⎪ ⎛ 20 ⎞ ⎢ 9 + 5 ⋅ ⎜⎝ − 9 ⎟⎠ −12 ⋅0 ⎥ = − 18 ⎪ ⎣ ⎦ ⎭⎪

Per tant, el sistema de partida és equivalent al següent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 incògnites: x − 4 y = −5 ⎫ ⎬ y = 1⎭ Es tracta, doncs, d’un sistema compatible determinat. Podem trobar la seva solució mitjançant substitució regressiva:

20 ⎞ ⎛ 19 La solució és ⎜ − , − , 0⎟ . ⎝ 18 ⎠ 9

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

⎛ 1 −4 −5 ⎞ ⎜0 9 9⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

y =1 ⎫ ⎬ x = −5 + 4 ⋅ 1 = −1 ⎭

e) La matriu ampliada associada al sistema és: ⎛ 1 1 −1 10 ⎞ A′ = ⎜ ⎝ 1 −1 1 5 ⎟⎠

La solució és (−1, 1).

Aplicant el mètode de Gauss: Aplicant el mètode de Gauss:

−5 ⎞ ⎛ 1 −4 A′ = ⎜ 2 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 −8 −10 ⎠⎟

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

1 −1 10 ⎞ ⎛1 ⎜⎝ 0 −2 2 −5 ⎟⎠

F2 → F2  F1 —————

f ) La matriu ampliada associada a aquest sistema és: ⎛ 15 5 ⎞ Les solucions són ⎜ , + λ, λ ⎟ ,  ∈. ⎝ 2 2 ⎠ z=λ ⎫ ⎪ 1 5 y = [2 λ + 5] = + λ ⎪⎪ 2 2 ⎬ 5⎞ 15 ⎪ ⎛ ⎪ x = 10 − ⎜ λ + ⎟ + λ = ⎝ 2⎠ 2 ⎪⎭

Aquesta és la matriu associada a un sistema amb més incògnites que equacions: x + y − z = 10 ⎫ ⎬ −2 y + 2 z = −5 ⎭

3 −2 ⎞ ⎛ −3 2 8. a) A ′ = ⎜ 2 k −5 −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 1 2 2 ⎟⎠ F1 ↔ F3 — ——

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre. Si prenem com a paràmetre la variable z, tenim:

Si prenem com a paràmetre la variable z, tenim:

Si k = −3, la forma esglaonada de la matriu ampliada és: Si 9 (k + 3) ≠ 0, és a dir k ≠ −3, el sistema és compatible determinat. F3 → 5 F3 ——— ——

z=λ ⎫ ⎪ 1 5 ⎪⎪ y = [2 λ + 5] = + λ 2 2 ⎬ 5⎞ 15 ⎪ ⎛ ⎪ x = 10 − ⎜ λ + ⎟ + λ = ⎝ 2⎠ 2 ⎪⎭ ⎛ 15 5 Les solucions són ⎜ , + λ, ⎝ 2 2

Aquesta és la matriu associada a un sistema amb més incògnites que equacions: F2 → F2  F1 —————

1 −1 10 ⎞ ⎛1 2 −5 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 −2

2 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜0 5 9 4 ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 9 (k + 3) 4 (k + 8)⎠⎟

2 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ 0 5 9 4 ⎟ ⎜ 4 9 ⎟ ⎜ 0 0 − (k + 3) − (k + 8)⎟ ⎠ ⎝⎜ 5 5 k2 F3 → F3  ——— F2 5 ———————— F2 ↔ F3 — ——

1 2 2⎞ ⎛1 ⎜0 5 9 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 k −2 −9 −8 ⎠⎟

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre. x + y − z = 10 ⎫ ⎬ −2 y + 2 z = −5 ⎭

4. Sistemes d’equacions lineals I

Podem trobar la solució per substitució regressiva:

⎞ λ ⎟ ,  ∈. ⎠

f ) La matriu ampliada associada a aquest sistema és: −5 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎜ A′ = 2 1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 −8 −10 ⎟⎠

F1 ↔ F3 — ——

1 2 2⎞ ⎛1 ⎜ 2 k − 2 − 9 − 8⎟ ⎜ ⎟ 5 9 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

2 2⎞ ⎛ 1 1 ⎜ 2 k −5 −4 ⎟ ⎜ ⎟ 3 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ −3 2

3 −2 ⎞ ⎛ −3 2 8. a) A ′ = ⎜ 2 k −5 −4 ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 1 RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

Aplicant el mètode de Gauss:

Aplicant el mètode de Gauss: F2 → F2  2 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

⎛ 1 −4 −5 ⎞ ⎜0 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠

L’última fila correspon a l’equació 0x + 0y = 0 que és redundant, ja que es compleix per a qualsevol valor de x i y.

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

F2 ↔ F3 — ——

1 2 2⎞ ⎛1 ⎜ 2 k − 2 −9 −8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 5 9 4 ⎟⎠

1 2 2⎞ ⎛1 ⎜0 5 9 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 k −2 −9 −8 ⎟⎠

k2 F3 → F3  ——— F2 5 ————————

2 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜0 5 9 4 ⎟ ⎜ 4 9 ⎟ ⎜ 3 8 0 0 − ( k + ) − ( k + ) ⎟⎠ ⎜⎝ 5 5

F3 → 5 F3 ——— ——

2 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜0 5 9 4 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 9 (k + 3) 4 (k + 8)⎟⎠

Si 9 (k + 3) ≠ 0, és a dir k ≠ −3, el sistema és compatible determinat. Si k = −3, la forma esglaonada de la matriu ampliada és: 2⎞ ⎛1 1 2 ⎜0 5 9 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 20 ⎟⎠ L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = 20, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible.

4. Sistemes d’equacions lineals I

1 F2 → — F2 9 ————

⎛ 1 −4 −5 ⎞ ⎜0 9 9⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠

2 2⎞ ⎛ 1 1 ⎜ 2 k −5 −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −3 2 3 −2 ⎟⎠

⎛ 1 1 −1 10 ⎞ A′ = ⎜ ⎝ 1 −1 1 5 ⎠⎟ e) La matriu ampliada associada al sistema és: 20 ⎞ ⎛ 19 La solució és ⎜ − , − , 0⎟ . ⎝ 18 ⎠ 9 z=0 1 y = 9 1 x= 2

La solució és (−1, 1). y =1 ⎫ ⎬ x = −5 + 4 ⋅ 1 = −1 ⎭ Podem trobar la seva solució mitjançant substitució regressiva:

⎫ ⎪ 20 [26 ⋅ 0 − 20] = − ⎪⎪ 9 ⎬ ⎡ ⎤ 19 ⎪ ⎛ 20 ⎞ ⎢ 9 + 5 ⋅ ⎝⎜ − 9 ⎠⎟ −12 ⋅0 ⎥ = − 18 ⎪ ⎪⎭ ⎣ ⎦

Podem trobar la solució per substitució regressiva:

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible determinat. x − 4 y = −5 ⎫ ⎬ y = 1⎭ Per tant, el sistema de partida és equivalent al següent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 incògnites:

51

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 51 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 52

52 Com a resum:

• k = −2. La forma esglaonada de la matriu ampliada és: 1 −2 −2 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 3 0⎟ ⎜ ⎟ 0 0 −6 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = −6, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible. Com a resum:

⎛1 1 k ⎜ ⎜0 k − 1 1 − k 2 ⎜ ⎝0 1 − k 1 − k

k ⎞ ⎟ 0 ⎟ k − k 2 ⎠⎟

c)

k ≠ 1, −2 ⇒ Sistema compatible determinat k = 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat k = −2 ⇒ Sistema incompatible 1 1 k + 2⎞ ⎛1 A ′ = ⎜ 1 −k 1 1⎟ ⎜ ⎟ 1 1 4 ⎠⎟ ⎝⎜ k F2 → F2  F1 F3 → F3  k F1 ——————

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎟ ⎜ 0 − k − 1⎟ ⎜ 0 −k − 1 ⎜ 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎠⎟ ⎝0 Per a continuar, hem de distingir dos casos: • Si −k − 1 ≠ 0, és a dir k ≠ −1, podem dividir la segona fila per −k − 1:

k 1− k =

0 −k2 − k + 2

1 F2 → ——— F2 k  1 ——————

F3 → F3  (1  k) F2 ———— —————

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎜ ⎟ 0 1⎟ ⎜0 1 2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 − k −k − k + 3 ⎠

Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos valors de k descartats: • k = 1. La forma esglaonada de la matriu ampliada és: ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟

Observant l’última fila veiem que si 1 − k ≠ 0, és a dir k ≠ 1, tenim un sistema compatible determinat. Si no és així, és a dir si k = 1, la forma esglaonada de la matriu ampliada és:

Les dues últimes files són redundants i l’equació restant és:

⎛ 1 1 1 3⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 0 1 ⎠⎟

x+y+z=1

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = 1, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible.

4. Sistemes d’equacions lineals I

k ≠ −3 ⇒ Sistema compatible determinat k = −3 ⇒ Sistema incompatible

b)

⎛ k 1 1 k⎞ A′ = ⎜1 k 1 k⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 1 k k ⎠⎟

F1 ↔ F3 — ——

⎛1 1 k k⎞ ⎜1 k 1 k⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ k 1 1 k ⎠⎟

F2 → F2  F1 F3 → F3  k F1 —————— F3 → F3  F2 —————

⎛1 1 k k ⎞ ⎜ ⎟ 1− k 0 ⎟ ⎜0 k − 1 ⎜ 0 − k 2 − k + 2 k (1 − k)⎠⎟ ⎝0 El determinant de la matriu de coeficients esglaonada és: 1 1 0 k −1 0

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎜ ⎟ 0 − k − 1⎟ ⎜ 0 −k − 1 ⎜ 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎠⎟ ⎝0

= 1 (k − 1)(−k2 − k + 2) Si aquest determinant és no nul, el sistema és compatible determinat. Veiem per a quins valors de k no succeeix això: 0 = (k − 1) (−k2 − k + 2) ⇔

1 0

1 1 k + 2⎞ ⎟ 1 0 1⎟ 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎠⎟

k + 2⎞ ⎟ 1⎟ 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎟⎠ 1 1

1 1 k + 2⎞ ⎛1 A ′ = ⎜ 1 −k 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ k 1 1 4 ⎟⎠ Com a resum:

Obtenim un sistema d’1 equació amb 3 incògnites; per tant, el sistema inicial és compatible indeterminat (dependent de 3 − 1 = 2 paràmetres).

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎜ ⎟ 0 − k − 1⎟ ⎜ 0 −k − 1 ⎜0 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎟⎠ ⎝ • Si −k − 1 ≠ 0, és a dir k ≠ −1, podem dividir la segona fila per −k − 1: Per a continuar, hem de distingir dos casos: ⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎟ ⎜ 0 − k − 1 0 − k − 1⎟ ⎜ ⎜0 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎟⎠ ⎝ F2 → F2  F1 F3 → F3  k F1 ——————

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎜ ⎟ 0 1⎟ ⎜0 1 ⎜ 0 0 1 − k −k2 − k + 3 ⎟ ⎝ ⎠ c)

⎪⎧ k − 1 = 0 ⇔ k = 1 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪ − k − k + 2 = 0 ⇔ k = 1 o k = −2

Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos valors de k descartats: k ⎞ ⎟ 0 ⎟ k − k 2 ⎟⎠

Així, si k ≠ 1 i k ≠ −2, el sistema és compatible determinat.

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = 1, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible. ⎛ 1 1 1 3⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 1 ⎟⎠ Si no és així, és a dir si k = 1, la forma esglaonada de la matriu ampliada és: Observant l’última fila veiem que si 1 − k ≠ 0, és a dir k ≠ 1, tenim un sistema compatible determinat. F3 → F3  (1  k) F2 ———— —————

0 −k2 − k + 2 k 1− k =

⎛1 1 k ⎜ ⎜0 k − 1 1 − k ⎜ 0 1 − k 1 − k2 ⎝

k ≠ 1, −2 ⇒ Sistema compatible determinat k = 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat k = −2 ⇒ Sistema incompatible

⎛1 1 k k⎞ ⎜1 k 1 k⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ k 1 1 k ⎟⎠

L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + + 0 z = −6, que no té solució; aleshores el sistema és incompatible.

4. Sistemes d’equacions lineals I

Obtenim un sistema d’1 equació amb 3 incògnites; per tant, el sistema inicial és compatible indeterminat (dependent de 3 − 1 = 2 paràmetres). x+y+z=1 Les dues últimes files són redundants i l’equació restant és: • k = 1. La forma esglaonada de la matriu ampliada és: ⎛1 1 1 1⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ Així, si k ≠ 1 i k ≠ −2, el sistema és compatible determinat. ⎧⎪ k − 1 = 0 ⇔ k = 1 ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ − k − k + 2 = 0 ⇔ k = 1 o k = −2 0 = (k − 1) (−k2 − k + 2) ⇔

1 F2 → ——— F2 k  1 ——————

Si aquest determinant és no nul, el sistema és compatible determinat. Veiem per a quins valors de k no succeeix això: = 1 (k − 1)(−k2 − k + 2) 0

1 1 0 k −1

El determinant de la matriu de coeficients esglaonada és: ⎛1 1 k k ⎞ ⎜ ⎟ 0 k − 1 1 − k 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 − k 2 − k + 2 k (1 − k)⎟⎠ ⎝ F3 → F3  F2 ————— F2 → F2  F1 F3 → F3  k F1 —————— F1 ↔ F3 — ——

b)

⎛ k 1 1 k⎞ A′ = ⎜1 k 1 k⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 1 k k ⎟⎠

• k = −2. La forma esglaonada de la matriu ampliada és: 1 −2 −2 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 −6 ⎟⎠

k ≠ −3 ⇒ Sistema compatible determinat k = −3 ⇒ Sistema incompatible Com a resum:

52

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 52

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 53

⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y − z = 0 ⎪ ⎩ −99 x + 99 z = 99

2 x + 3 y + 2 z = 155 • La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per 155 €: x + 3 y + z = 100

que podem expressar de la manera habitual:

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎟ ⎜ 0 − k − 1⎟ = ⎜ 0 −k − 1 ⎜0 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎟⎠ ⎝

⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y = z ⎪ ⎩100 z + 10 y + x = 100 x + 10 y + z + 99 Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacions amb 3 incògnites: 100 z + 10 y + x = 100 x + 10 y + z + 99 • Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre augmenta en 99:

• la Begonya compra 1 pantaló, 3 bruses i 1 barret per 100 €: 3 x + 2 y + z = 135 • L’Anna paga 135 € per 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret:

4. Sistemes d’equacions lineals I

53 • Si −k − 1 = 0, el paràmetre és k = −1, per la qual cosa:

i si dividim l’última equació per 99: ⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y − z = 0 ⎪− x + z = 1 ⎩ — La matriu associada al sistema és: 1 6⎞ ⎛ 1 1 ⎜ A′ = 0 3 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1 0 1 1 ⎟⎠

⎛1 1 1 1 ⎞ = ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 2 5 ⎟⎠ La segona fila correspon a una equació redundant, per la qual cosa el sistema inicial és equivalent a un sistema esglaonat de 2 equacions amb 3 incògnites. Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat (dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre). Com a resum: k ≠ 1, −1 ⇒ Sistema compatible determinat k = 1 ⇒ Sistema incompatible

— Hem de determinar el valor de x, y, z imposant les hipòtesis de l’enunciat: 10. — Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa i z el d’un barret. • Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre augmenta en 312 − 213 = 99.

3y = z • El triple de la xifra de les desenes és igual a la de les unitats:

k = −1 ⇒ Sistema compatible indeterminat x+y+z=6 9. — Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i 999 significa que té exactament tres xifres. Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes i z la de les unitats.

• La suma de les seves xifres és 6: — Per determinar els valors x, y, z, imposarem les condicions de l’enunciat: 100 x + 10 y + z

D’aquesta manera, el nombre buscat és: 100 x + 10 y + z — Per determinar els valors x, y, z, imposarem les condicions de l’enunciat: • La suma de les seves xifres és 6:

D’aquesta manera, el nombre buscat és: Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes i z la de les unitats. 9. — Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i 999 significa que té exactament tres xifres.

x+y+z=6 k = −1 ⇒ Sistema compatible indeterminat • El triple de la xifra de les desenes és igual a la de les unitats: 3y = z • Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre augmenta en 99: 100 z + 10 y + x = 100 x + 10 y + z + 99 Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacions amb 3 incògnites:

que podem expressar de la manera habitual: ⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y − z = 0 ⎪ −99 x + 99 z = 99 ⎩

1 F3 → F3  ––F2 3 ———————

1 6⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 3 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ 7 ⎜ ⎟ 0 0 7 ⎜⎝ ⎟⎠ 3

Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb les mateixes equacions que incògnites: x + y + z = 6⎫ 3 y − z = 0 ⎪⎪ ⎬ 7 z = 7⎪ ⎪⎭ 3 El sistema és compatible determinat i, fent substitució cap enrere, tenim: z=3 1 y = z=1 3 x = 6− y − x = 6−3−1= 2 — El nombre buscat és 213. Comprovem si compleix les condicions: • La suma de les seves xifres és 2 + 1 + 3 = 6. • El triple de la xifra de les desenes, 3 ⋅ 1, és igual a la xifra de les unitats, 3. • Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre augmenta en 312 − 213 = 99. 10. — Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa i z el d’un barret. — Hem de determinar el valor de x, y, z imposant les hipòtesis de l’enunciat: • L’Anna paga 135 € per 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret: 3 x + 2 y + z = 135 • la Begonya compra 1 pantaló, 3 bruses i 1 barret per 100 €: x + 3 y + z = 100 • La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per 155 €: 2 x + 3 y + 2 z = 155

4. Sistemes d’equacions lineals I

k = 1 ⇒ Sistema incompatible k ≠ 1, −1 ⇒ Sistema compatible determinat Com a resum: Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat (dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre). La segona fila correspon a una equació redundant, per la qual cosa el sistema inicial és equivalent a un sistema esglaonat de 2 equacions amb 3 incògnites. ⎛1 1 1 1 ⎞ = ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 2 2 5 ⎠⎟

⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y = z ⎪100 z + 10 y + x = 100 x + 10 y + z + 99 ⎩

Si apliquem el mètode de Gauss: ⎛ 1 1 1 6⎞ ⎜ 0 3 −1 0 ⎟ F3 → F3  F1 ⎟ ——————— ⎜ ⎜⎝ 0 1 2 7 ⎟⎠

⎛1 1 1 k + 2⎞ ⎟ ⎜ 0 − k − 1⎟ = ⎜ 0 −k − 1 ⎜ 1 − k 1 − k − k 2 − 2 k + 4 ⎠⎟ ⎝0 • Si −k − 1 = 0, el paràmetre és k = −1, per la qual cosa:

• El triple de la xifra de les desenes, 3 ⋅ 1, és igual a la xifra de les unitats, 3. • La suma de les seves xifres és 2 + 1 + 3 = 6. Comprovem si compleix les condicions: — El nombre buscat és 213. x + y + z = 6⎫ 3 y − z = 0 ⎪⎪ ⎬ 7 z = 7⎪ 3 ⎭⎪ El sistema és compatible determinat i, fent substitució cap enrere, tenim: z=3 1 y = z=1 3 x = 6− y − x = 6−3−1= 2 Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb les mateixes equacions que incògnites: 1 6⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ 0 3 1 0 − ⎜ ⎟ 7 ⎜ ⎟ 0 0 7⎟ ⎝⎜ ⎠ 3

1 F3 → F3  ––F2 3 ———————

Si apliquem el mètode de Gauss: ⎛ 1 1 1 6⎞ ⎜ 0 3 − 1 0⎟ ⎜ ⎟ 2 7 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 F3 → F3  F1 ———————

1 6⎞ ⎛ 1 1 A ′ = ⎜ 0 3 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −1 0 1 1 ⎠⎟ — La matriu associada al sistema és: ⎧x + y + z = 6 ⎪ ⎨3 y − z = 0 ⎪ ⎩− x + z = 1 i si dividim l’última equació per 99:

53

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 53 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 54

54 3 F3 → F3  ––F2 7 ———————

⎛ 1 3 1 100 ⎞ ⎜ 3 2 1 135 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 3 2 155 ⎠⎟

y = nombre d’unitats que fabrica la màquina B.

x = nombre d’unitats que fabrica la màquina A.

11. Hem de considerar com a incògnites del problema les unitats que fabrica cada màquina. Així, les incògnites seran:

z = nombre d’unitats que fabrica la màquina C. D’acord amb les condicions de l’enunciat s’ha de complir: • Quan treballen les tres màquines es fabriquen 2 000 unitats: x + y + z = 2 000 • Si A no funciona, però B i C sí, la producció disminueix un 25%: y + z = 2 000 − 2 000 ⋅

25 = 1 500 100

• Si A i B funcionen però C només funciona a tres quartes parts del seu rendiment, la producció baixa un 10%: x+y+

3 10 z = 2 000 − 2 000 ⋅ = 1 800 ⇔ 4 100 ⇔ 4 x + 4 y + 3 z = 7 200

Així, hem de resoldre el sistema: x + y + z = 2 000 ⎫ ⎪ y + z = 1 500 ⎬ 4 x + 4 y + 3 z = 7 200 ⎭⎪ Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss:

Resolent mitjançant substitució cap enrere, tenim: 180 z= = 30 6 165 − 2 z 165 2 ⋅ 30 − y = = = 15 7 7 x = 100 − 3 y − z = 10 00 − 3 ⋅ 15 − 30 = 25 — Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €.

⎛ 1 1 1 2 000 ⎞ ⎜ 0 1 1 1 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 4 3 7 200 ⎠⎟

F3 → F3  4 F1 ———————

1 2 000 ⎞ ⎛1 1 ⎜0 1 1 1 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 −1 −800 ⎠⎟

La solució d’aquest sistema esglaonat és: z = 800

Comprovem si se satisfan les hipòtesis de l’enunciat:

y = 1 500 − 800 = 700 x = 2 000 − 700 − 800 = 500

• L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret per: 3 ⋅ 25 + 2 ⋅ 15 + 1 ⋅ 30 = 135 € • La Begonya compra 1 pantalons, 3 bruses i 1 barret per: 1 ⋅ 25 + 3 ⋅ 15 + 1 ⋅ 30 = 100 € • La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per:

Així, la màquina A produeix 500 unitats, la B 700 unitats i la C 800 unitats. 12. Considerarem com a incògnites la superfície de les diferents parcel·les. Així, les incògnites són:

z = superfície de la tercera parcel·la.

x = nombre d’unitats que fabrica la màquina A.

y = superfície de la segona parcel·la.

y = nombre d’unitats que fabrica la màquina B.

2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 15 + 2 ⋅ 30 = 155 €

x = superfície de la primera parcel·la.

4. Sistemes d’equacions lineals I

Hem de resoldre el següent sistema d’equacions amb tres incògnites: 3 x + 2 y + z = 135 ⎫ ⎪ x + 3 y + z = 100 ⎬ 2 x + 3 y + 2 z = 155 ⎭⎪ — La matriu associada al sistema és: ⎛ 3 2 1 135 ⎞ A ′ = ⎜ 1 3 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 3 2 155 ⎠⎟ Si apliquem el mètode de Gauss:

F1 ↔ F2 —————

3 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −7 −2 −165 ⎟ ⎜ ⎟ 0 − 45 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 −3

F2 → F2 3 F1 F3 → F3 2 F1 ––––—————

3 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −7 −2 −165 ⎟ ⎟ ⎜ 6 180 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎝⎜ 7 7 ⎠

Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb les mateixes equacions que incògnites:

z = superfície de la tercera parcel·la. x = 2 000 − 700 − 800 = 500 y = 1 500 − 800 = 700 1 2 000 ⎞ ⎛1 1 ⎜0 1 1 1 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 −1 −800 ⎟⎠

3 10 z = 2 000 − 2 000 ⋅ = 1 800 ⇔ 4 100

x + 3 y + z = 100 ⎫ ⎪ 7 y + 2 z = 165 ⎬ 6 z = 180 ⎭⎪

y = superfície de la segona parcel·la.

• L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret per:

La solució d’aquest sistema esglaonat és: F3 → F3  4 F1 ———————

⎛ 1 1 1 2 000 ⎞ ⎜ 0 1 1 1 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 4 3 7 200 ⎟⎠ Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss: x + y + z = 2 000 ⎫ ⎪ y + z = 1 500 ⎬ 4 x + 4 y + 3 z = 7 200 ⎪⎭ Així, hem de resoldre el sistema: ⇔ 4 x + 4 y + 3 z = 7 200 x+y+

• Si A i B funcionen però C només funciona a tres quartes parts del seu rendiment, la producció baixa un 10%: 25 = 1 500 100

x + 3 y + z = 100 ⎫ −7 y − 2 z = −165 ⎪⎪ ⎬ 6 180 ⎪ z= 7 7 ⎪⎭

x = superfície de la primera parcel·la. 12. Considerarem com a incògnites la superfície de les diferents parcel·les. Així, les incògnites són: Així, la màquina A produeix 500 unitats, la B 700 unitats i la C 800 unitats. z = 800

x + 3 y + z = 100 ⎫ ⎪ 7 y + 2 z = 165 ⎬ 6 z = 180 ⎪⎭

3 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −7 −2 −165 ⎟ ⎟ ⎜ 6 180 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜⎝ 0 7 7 ⎠ 3 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −7 −2 −165 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −3 0 − 45 ⎟⎠

y + z = 2 000 − 2 000 ⋅

• Si A no funciona, però B i C sí, la producció disminueix un 25%: • Quan treballen les tres màquines es fabriquen 2 000 unitats: x + y + z = 2 000 D’acord amb les condicions de l’enunciat s’ha de complir: z = nombre d’unitats que fabrica la màquina C. 11. Hem de considerar com a incògnites del problema les unitats que fabrica cada màquina. Així, les incògnites seran:

4. Sistemes d’equacions lineals I

2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 15 + 2 ⋅ 30 = 155 € • La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets per: 1 ⋅ 25 + 3 ⋅ 15 + 1 ⋅ 30 = 100 € • La Begonya compra 1 pantalons, 3 bruses i 1 barret per: 3 ⋅ 25 + 2 ⋅ 15 + 1 ⋅ 30 = 135 € Comprovem si se satisfan les hipòtesis de l’enunciat: — Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €. 180 z= = 30 6 165 − 2 z 165 − 2 ⋅ 30 y = = = 15 7 7 x = 100 − 3 y − z = 10 00 − 3 ⋅ 15 − 30 = 25 Resolent mitjançant substitució cap enrere, tenim: x + 3 y + z = 100 ⎫ −7 y − 2 z = −165 ⎪⎪ ⎬ 6 180 ⎪ z= 7 7 ⎪⎭

Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb les mateixes equacions que incògnites: 3 F3 → F3  ––F2 7 ——————— F2 → F2 3 F1 F3 → F3 2 F1 ––––————— F1 ↔ F2 —————

⎛ 1 3 1 100 ⎞ ⎜ 3 2 1 135 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 3 2 155 ⎟⎠

Si apliquem el mètode de Gauss: ⎛ 3 2 1 135 ⎞ A ′ = ⎜ 1 3 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 3 2 155 ⎟⎠ — La matriu associada al sistema és: 3 x + 2 y + z = 135 ⎫ ⎪ x + 3 y + z = 100 ⎬ 2 x + 3 y + 2 z = 155 ⎪⎭ Hem de resoldre el següent sistema d’equacions amb tres incògnites:

54

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 54

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 55

Així, la superfície de la primera parcel·la es de 800 m2, la de la segona de 750 m2 i la de la tercera és de 812,5 m2. x = 2 362,5 − 750 − 812,5 = 800

13. Considerem com a incògnites els € invertits en els productes A, B i C:

• La primera parcel·la l’ha comprat a 200 € el metre quadrat, la segona a 220 € i la tercera a 250 €. En total ha invertit 528 125 €:

x = € invertits en A y = € invertits en B z = € invertits en C

200 x + 220 y + 250 z = 528 125 ⇔

y = 30 z − 23 625 = 750

⇔ 40 x + 44 y + 50 z = 105 625

z=

105 625 = 812, 5 130

La solució d’aquest sistema esglaonat és: 1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 1 −30 −23 625 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 130 105 625 ⎠⎟

F3 → F3  4 F2 ————— F2 ↔ F3 — ——

1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 1 −30 −23 625 ⎟ ⎜ ⎟ 10 11 125 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 4

• La superfície total de les tres parcel·les és de 2 362,5 m2: x + y + z = 2 362,5 • Per la tercera va pagar les cinc vuitenes parts del que havia pagat per les altres dues juntes: 5 250 z = (200 x + 220 y ) ⇔ 8 ⇔ 1 000 x + 1 100 y − 2 000 z = 0 ⇔ ⇔ 10 x + 11 y − 20 z = 0

F2 → F2  40 F1 F3 → F3  10 F1 ——————— F1 ↔ F2 — ——

1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 4 10 11 125 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 1 −30 −23 625 ⎠⎟

1 2 362, 5 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ⎟ 40 44 50 105 625 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 10 11 −20 0 ⎟⎠

Aquestes equacions conformen el sistema: 40 x + 44 y + 50 z = 105 625 ⎫ ⎪ x + y + z = 2 362, 5 ⎬ ⎪ 10 x + 11 y − 20 z = 0 ⎭ Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss:

50 105 625 ⎞ ⎛ 40 44 ⎜ 1 1 1 2 362, 5 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 10 11 −20

50 105 625 ⎞ ⎛ 40 44 ⎜ 1 1 1 2 362, 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 10 11 −20 0 ⎟⎠

Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss: 40 x + 44 y + 50 z = 105 625 ⎫ ⎪ x + y + z = 2 362, 5 ⎬ ⎪ 10 x + 11 y − 20 z = 0 ⎭ Aquestes equacions conformen el sistema:

1 2 362, 5 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ 40 44 50 105 625 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 10 11 −20 0 ⎟⎠

F1 ↔ F2 — ——

F2 → F2  40 F1 F3 → F3  10 F1 ———————

⇔ 1 000 x + 1 100 y − 2 000 z = 0 ⇔ ⇔ 10 x + 11 y − 20 z = 0 F2 ↔ F3 — ——

250 z =

5 (200 x + 220 y ) ⇔ 8

• Per la tercera va pagar les cinc vuitenes parts del que havia pagat per les altres dues juntes:

1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 4 10 11 125 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 1 −30 −23 625 ⎟⎠

1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 1 −30 −23 625 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 4 10 11 125 ⎟⎠

F3 → F3  4 F2 —————

1 2 362, 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ 0 1 −30 −23 625 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 130 105 625 ⎟⎠

La solució d’aquest sistema esglaonat és:

⇔ 40 x + 44 y + 50 z = 105 625

105 625 z= = 812, 5 130

200 x + 220 y + 250 z = 528 125 ⇔

y = 30 z − 23 625 = 750 x = 2 362,5 − 750 − 812,5 = 800 Així, la superfície de la primera parcel·la es de 800 m2, la de la segona de 750 m2 i la de la tercera és de 812,5 m2.

Considerant les condicions de l’enunciat es compleix: • L’inversor disposa de 8 000 €: x + y + z = 8 000 • Entre el producte A i el B vol invertir set cops més que en el producte C: x + y = 7z • La rendibilitat total ha de ser del 5%: 6 5 2 5 x+ y+ z= ⋅ 8 000 ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 Amb aquestes equacions obtenim el sistema: x + y + z = 8 000 ⎫ 7 z + z = 8 z = 8 000 ⎫ ⎪ ⎪ x + y = 7z ⇔ x + y = 7z ⎬ ⎬ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 ⎪⎭ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 ⎪⎭ Hem obtingut un sistema equivalent al de partida i esglaonat, amb la qual cosa podem resoldre’l mitjançant el mètode de substitució regressiva: z = 1 000 ⎫ ⎪ x + y = 7 000 ⎬ ⇔ 6 x + 5 y = 40 000 − 2 000 = 38 000 ⎪⎭

⇔

z = 1 000 ⎫ ⎪ x = 7 000 − y ⎬ ⇔ 6 (7 000 − y ) + 5 y = 38 000 ⎪⎭

⇔

z = 1 000 ⎫ ⎪ x = 7 000 − y ⎬ ⇔ 42 000 − 6 y + 5 y = 38 000 ⎪⎭

z = 1 000 ⇔ x = 7 000 − y = 4 000

z = 1 000 ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ y ⎬ ⇔ x = 7 000 − 4 000 0 = 3 000 ⎬ ⎪ ⎪ y = 4 000 ⎭ ⎭

Ha d’invertir 3 000 € en A, 4 000 € en B i 1 000 € en C. 14. Les incògnites seran: x = € que ha d’invertir en la inversió del tipus A y = € que ha d’invertir en la inversió del tipus B z = € que ha d’invertir en la inversió del tipus C S’ha de complir:

4. Sistemes d’equacions lineals I

• La superfície total de les tres parcel·les és de 2 362,5 m2: x + y + z = 2 362,5 • La primera parcel·la l’ha comprat a 200 € el metre quadrat, la segona a 220 € i la tercera a 250 €. En total ha invertit 528 125 €: D’acord amb les condicions de l’enunciat s’ha de complir:

S’ha de complir: z = € que ha d’invertir en la inversió del tipus C y = € que ha d’invertir en la inversió del tipus B x = € que ha d’invertir en la inversió del tipus A 14. Les incògnites seran: Ha d’invertir 3 000 € en A, 4 000 € en B i 1 000 € en C. z = 1 000 ⇔ x = 7 000 − y = 4 000

4. Sistemes d’equacions lineals I

55 D’acord amb les condicions de l’enunciat s’ha de complir:

z = 1 000 ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ y ⎬ ⇔ x = 7 000 − 4 000 0 = 3 000 ⎬ ⎪ ⎪ y = 4 000 ⎭ ⎭

z = 1 000 ⎫ ⎪ ⇔ x = 7 000 − y ⎬ ⇔ 42 000 − 6 y + 5 y = 38 000 ⎭⎪ z = 1 000 ⎫ ⎪ ⇔ x = 7 000 − y ⎬ ⇔ 6 (7 000 − y ) + 5 y = 38 000 ⎭⎪ z = 1 000 ⎫ ⎪ x + y = 7 000 ⎬ ⇔ 6 x + 5 y = 40 000 − 2 000 = 38 000 ⎭⎪ Hem obtingut un sistema equivalent al de partida i esglaonat, amb la qual cosa podem resoldre’l mitjançant el mètode de substitució regressiva: x + y + z = 8 000 ⎫ 7 z + z = 8 z = 8 000 ⎫ ⎪ ⎪ x + y = 7z x + y = 7z ⎬ ⎬⇔ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 ⎭⎪ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 ⎭⎪ Amb aquestes equacions obtenim el sistema: 6 5 2 5 x+ y+ z= ⋅ 8 000 ⇔ 100 100 100 100 ⇔ 6 x + 5 y + 2 z = 40 000 • La rendibilitat total ha de ser del 5%: x + y = 7z • Entre el producte A i el B vol invertir set cops més que en el producte C: x + y + z = 8 000 • L’inversor disposa de 8 000 €: Considerant les condicions de l’enunciat es compleix: z = € invertits en C y = € invertits en B x = € invertits en A 13. Considerem com a incògnites els € invertits en els productes A, B i C:

55

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 55 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 56

56 30 200 000 = 60 000 100

• Es desitja una rendibilitat global del 4,3%: 5 4 3 4, 3 x+ y+ z= 10 100 100 100 100 • Es vol gastar en A el mateix que en B i C: x=y+z ⇔ x−y−z=0 Així podem considerar el sistema següent: x + y + z = 10 ⎫ ⎪ 5 x + 4 y + 3 z = 43 ⎬ x − y − z = 0 ⎭⎪ Per a resoldre’l utilitzem la notació matricial i apliquem el mètode de Gauss: 1 1 10 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 5 4 3 43 ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 −1 −1 F2 → F2  5 F1 F3 → (F3  F1) ———————

1 1 10 ⎞ ⎛1 ⎜0 1 2 7⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 −2 −2 −10 ⎠⎟

F3 → F3  2 F2 ——————

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎜ 0 1 2 7⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 2 4 ⎠⎟

Hem obtingut un sistema esglaonat la solució del qual és: z=

4 =2 2

y=7−2⋅2=3 x = 10 − 3 − 2 = 5 Per la qual cosa ha d’invertir 5 milions en A, 3 en B i 2 en C. 16. Considerem les incògnites següents: x = rendibilitat mitjana dels bons en tant per cent y = rendibilitat mitjana de les accions en tant per cent S’han de complir les condiciones de l’enunciat: • Utilitza la meitat dels seus estalvis comprant bons i l’altra meitat comprant accions, i la rendibilitat obtinguda és del 10 %: y 50 x 50 10 + = ⇔ = 5 x + 5 y = 100 50 100 100 100 100

y = milions d’euros invertits en B • Si hagués invertit un 40 % en accions i la resta en bons hauria obtingut una rendibilitat de l’11 %: 60 x 40 y 11 + = ⇔ 100 100 100 100 100

4. Sistemes d’equacions lineals I

• Els diners dels quals disposa per a la inversió són 200 000 €: x + y + z = 200 000 • Un 30% del capital s’ha d’invertir a llarg termini: z=

• La rendibilitat final dels seus diners ha de ser del 9 %: 6 10 12 9 x+ y+ z= 200 000 100 100 100 100 Amb les equacions anteriors obtenim el sistema següent: x + y + z = 200 000 ⎫ ⎪ 6 x + 10 y + 12 z = 1800 000 ⎬ ⇔ z = 60 00 00 ⎭⎪ x + y + z = 200 000 ⎫ ⎪ ⇔ 3 x + 5 y + 6 z = 900 000 ⎬ z = 60 000 ⎭⎪ Utilitzem la notació matricial i apliquem el mètode de Gauss: ⎛ 1 1 1 200 000 ⎞ ⎜ 3 5 6 900 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 1 60 000 ⎠⎟

F2 → F2  3 F1 ——————

⎛ 1 1 1 200 000 ⎞ ⎜ 0 2 3 300 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 1 60 000 ⎠⎟

Hem obtingut un sistema esglaonat la solució del qual és: z = 60 000 300 000 − 3 ⋅ 60 000 300 000 − 180 000 y = = = 2 2 = 60 000 x = 200 000 − 60 000 − 60 000 = 80 000 Així, la resposta és que ha d’invertir 80 000 € en A, 60 000 € en B i 60 000 € en C. 15. Les incògnites són: x = milions d’euros invertits en A z = milions d’euros invertits en C S’ha de complir: • Es disposa de 10 milions d’euros:

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎜ 0 1 2 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 2 4 ⎟⎠

1 1 10 ⎞ ⎛1 ⎜0 1 2 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −2 −2 −10 ⎟⎠

⇔ 40 x + 60 y = 1 100

⇔ 40 x + 60 y = 1 100 60 x 40 y 11 + = ⇔ 100 100 100 100 100 • Si hagués invertit un 40 % en accions i la resta en bons hauria obtingut una rendibilitat de l’11 %: y 50 x 50 10 + = ⇔ = 5 x + 5 y = 100 50 100 100 100 100 • Utilitza la meitat dels seus estalvis comprant bons i l’altra meitat comprant accions, i la rendibilitat obtinguda és del 10 %: S’han de complir les condiciones de l’enunciat: y = rendibilitat mitjana de les accions en tant per cent x = rendibilitat mitjana dels bons en tant per cent 16. Considerem les incògnites següents: Per la qual cosa ha d’invertir 5 milions en A, 3 en B i 2 en C. y=7−2⋅2=3 x = 10 − 3 − 2 = 5 Hem obtingut un sistema esglaonat la solució del qual és: 4 z= =2 2 F3 → F3  2 F2 —————— F2 → F2  5 F1 F3 → (F3  F1) ———————

1 1 10 ⎞ ⎛1 ⎜5 4 3 43 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 −1 −1 0 ⎟⎠ Per a resoldre’l utilitzem la notació matricial i apliquem el mètode de Gauss: x + y + z = 10 ⎫ ⎪ 5 x + 4 y + 3 z = 43 ⎬ x − y − z = 0 ⎪⎭ Així podem considerar el sistema següent: x=y+z ⇔ x−y−z=0

x + y + z = 10

z = 60 000 ⎛ 1 1 1 200 000 ⎞ ⎜ 0 2 3 300 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 60 000 ⎟⎠

30 200 000 = 60 000 100

• Es vol gastar en A el mateix que en B i C: 5 4 3 4, 3 x+ y+ z= 10 100 100 100 100

4. Sistemes d’equacions lineals I

x + y + z = 10 • Es disposa de 10 milions d’euros: S’ha de complir: z = milions d’euros invertits en C y = milions d’euros invertits en B x = milions d’euros invertits en A 15. Les incògnites són: Així, la resposta és que ha d’invertir 80 000 € en A, 60 000 € en B i 60 000 € en C. x = 200 000 − 60 000 − 60 000 = 80 000 = 60 000 300 000 − 3 ⋅ 60 000 300 000 − 180 000 y = = = 2 2 Hem obtingut un sistema esglaonat la solució del qual és: F2 → F2  3 F1 ——————

⎛ 1 1 1 200 000 ⎞ ⎜ 3 5 6 900 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 60 000 ⎟⎠ Utilitzem la notació matricial i apliquem el mètode de Gauss: x + y + z = 200 000 ⎫ ⎪ 6 x + 10 y + 12 z = 1800 000 ⎬ ⇔ z = 60 00 00 ⎪⎭ x + y + z = 200 000 ⎫ ⎪ ⇔ 3 x + 5 y + 6 z = 900 000 ⎬ z = 60 000 ⎪⎭ Amb les equacions anteriors obtenim el sistema següent: 6 10 12 9 x+ y+ z= 200 000 100 100 100 100 • La rendibilitat final dels seus diners ha de ser del 9 %: z=

• Un 30% del capital s’ha d’invertir a llarg termini: x + y + z = 200 000 • Els diners dels quals disposa per a la inversió són 200 000 €:

• Es desitja una rendibilitat global del 4,3%:

56

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 56

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 57

57 Així, λ ∈ {5, 6, 7}

5 x + 5 y = 100 ⎫ ⎬ 60 x + 40 y = 1100 ⎭

•λ≤

15 perquè y sigui positiva. 2

c) 10 + 1 − 9 = 2 ⇒ (10, 1, 9) és solució. b) 0 + 7 − 2 = 5 ≠ 2 ⇒ (0, 7, 2) no és solució. a) 2 + 3 − (−1) = 6 ≠ 2 ⇒ (2, 3, −1) no és solució.

• λ ≥ 5 perquè x sigui positiva.

• Si λ = 5 ⇒ x = 0 , y = 5 , z = 5 • Si λ = 7 ⇒ x = 2 , y = 1 , z = 7

5 100 ⎞ ⎛ 5 ⎜⎝ 60 40 1 100 ⎟⎠

x = 10 − (15 − 2 λ) − λ = 10 − 15 + 2 λ − λ = = −5 + λ

22. Per a veure si una terna és solució, només cal substituir cada incògnita per la component corresponent de la terna i veure si es verifica la igualtat: Exercicis i problemes x + y + z = 4⎫ ⎪ x + z = 6⎬ x + y = −1⎭⎪

y = 15 − 2 λ

F2 → F2  12 F1 ———————

Calculem els possibles valors de les incògnites:

• Si λ = 6 ⇒ x = 1 , y = 3 , z = 6

Resolem mitjançant Gauss:

A més, s’ha de complir que: z=λ El sistema té les solucions següents:

4. Sistemes d’equacions lineals I

Així, obtenim el sistema lineal:

5 100 ⎞ ⎛5 ⎜⎝ 0 −20 −100 ⎟⎠

Per la qual cosa les possibles solucions són: 5 bombons del tipus B i 5 del tipus C; o bé, 1 del tipus A, 3 del tipus B i 6 del C; o bé 2 del tipus A, 1 del tipus B i 7 del C. ACTIVITATS

Així, la solució és:

Així, un sistema la solució del qual sigui (1, −2, 5) és:

−100 =5 −20 100 − 5 ⋅ 5 100 − 25 75 x = = = = 15 5 5 5 y =

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎝⎜ 3 4 5 45 ⎠⎟

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎝⎜ 0 1 2 15 ⎠⎟

F2 → F2  3 F1 ——————

1−2+5=a=4 1+5=b=6 1 − 2 = c = −1

El resoldrem mitjançant el mètode de Gauss: x + y + z = 10 ⎫ ⎬ 3 x + 4 y + 5 z = 45 ⎭

Per tant, la rendibilitat mitjana dels bons serà del 15 % i la de les accions serà del 5 %. 17. Les incògnites del problema són:

A continuació, determinem a, b, i c imposant que (1, −2, 5) sigui solució: x + y + z = a⎫ ⎪ x + z = b⎬ x + y = c ⎭⎪

Així, obtenim el sistema següent: 0,3 x + 0,4 y + 0,5 z = 4,5 ⇔ 3 x + 4 y + 5 z = 45

x = nombre de bombons del tipus A y = nombre de bombons del tipus B

• La capsa ha de valer 4,5 €:

z = nombre de bombons del tipus C

Considerem tres equacions amb termes independents genèrics. Una proposta podria ser:

x + y + z = 10

Considerem les condiciones de l’enunciat: • La capsa de bombons ha de contenir 10 unitats: x + y + z = 10

Qüestions 18. Sí. Per exemple: ⎧x + y = 2 ⎪ ⎨x − y = 0 ⎪y − x = 0 ⎩

19. No, ja que x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 sempre és solució (és l’anomenada solució trivial). 20. No, ja que si considerem un sistema compatible determinat i li afegim una equació que sigui combinació lineal de les anteriors, en operar amb files convenientment, obtindrem un sistema en què apareixerà una fila nul·la i serà determinat, ja que el de partida ho era. 21. Vegem com podem obtenir un sistema no trivial la solució del qual sigui la donada per l'enunciat.

x + y + z = a⎫ ⎪ x + z = b⎬ x + y = c ⎪⎭

0,3 x + 0,4 y + 0,5 z = 4,5 ⇔ 3 x + 4 y + 5 z = 45 Així, obtenim el sistema següent: x + y + z = 10 ⎫ ⎬ 3 x + 4 y + 5 z = 45 ⎭

A continuació, determinem a, b, i c imposant que (1, −2, 5) sigui solució: 1−2+5=a=4 1+5=b=6 1 − 2 = c = −1

• La capsa de bombons ha de contenir 10 unitats: Considerem les condiciones de l’enunciat: z = nombre de bombons del tipus C y = nombre de bombons del tipus B x = nombre de bombons del tipus A 17. Les incògnites del problema són: Per tant, la rendibilitat mitjana dels bons serà del 15 % i la de les accions serà del 5 %.

El resoldrem mitjançant el mètode de Gauss: F2 → F2  3 F1 ——————

⎧x = 1 ⎨ ⎩y = 1

Considerem tres equacions amb termes independents genèrics. Una proposta podria ser:

• La capsa ha de valer 4,5 €:

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎜⎝ 3 4 5 45 ⎟⎠

té solució:

⎛ 1 1 1 10 ⎞ ⎜⎝ 0 1 2 15 ⎟⎠

Així, un sistema la solució del qual sigui (1, −2, 5) és: El sistema té les solucions següents: z=λ

x =

−100 y = =5 −20 100 − 5 ⋅ 5 100 − 25 75 = = = 15 5 5 5

Així, la solució és: F2 → F2  12 F1 ———————

x = 10 − (15 − 2 λ) − λ = 10 − 15 + 2 λ − λ = = −5 + λ

21. Vegem com podem obtenir un sistema no trivial la solució del qual sigui la donada per l'enunciat. 20. No, ja que si considerem un sistema compatible determinat i li afegim una equació que sigui combinació lineal de les anteriors, en operar amb files convenientment, obtindrem un sistema en què apareixerà una fila nul·la i serà determinat, ja que el de partida ho era. 19. No, ja que x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 sempre és solució (és l’anomenada solució trivial). ⎧x + y = 2 ⎪ ⎨x − y = 0 ⎪ ⎩y − x = 0

té solució:

⎧x = 1 ⎨ ⎩y = 1

18. Sí. Per exemple: Qüestions ACTIVITATS

5 100 ⎞ ⎛5 ⎝⎜ 0 −20 −100 ⎠⎟

5 100 ⎞ ⎛ 5 ⎝⎜ 60 40 1 100 ⎠⎟

5 bombons del tipus B i 5 del tipus C; o bé, 1 del tipus A, 3 del tipus B i 6 del C; o bé 2 del tipus A, 1 del tipus B i 7 del C. Per la qual cosa les possibles solucions són: • Si λ = 7 ⇒ x = 2 , y = 1 , z = 7

A més, s’ha de complir que: • λ ≥ 5 perquè x sigui positiva.

Resolem mitjançant Gauss:

• Si λ = 6 ⇒ x = 1 , y = 3 , z = 6

5 x + 5 y = 100 ⎫ ⎬ 60 x + 40 y = 1100 ⎭

•λ≤

15 perquè y sigui positiva. 2

Exercicis i problemes 22. Per a veure si una terna és solució, només cal substituir cada incògnita per la component corresponent de la terna i veure si es verifica la igualtat: a) 2 + 3 − (−1) = 6 ≠ 2 ⇒ (2, 3, −1) no és solució. b) 0 + 7 − 2 = 5 ≠ 2 ⇒ (0, 7, 2) no és solució. c) 10 + 1 − 9 = 2 ⇒ (10, 1, 9) és solució.

4. Sistemes d’equacions lineals I

y = 15 − 2 λ

x + y + z = 4⎫ ⎪ x + z = 6⎬ x + y = −1⎪⎭

• Si λ = 5 ⇒ x = 0 , y = 5 , z = 5 Calculem els possibles valors de les incògnites: Així, λ ∈ {5, 6, 7}

Així, obtenim el sistema lineal:

57

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 57 C M Y K

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 58

58 L’última fila correspon a l’equació

La solució del sistema és (1, 1, 1). ⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 −6 −2 −8 ⎠⎟

F2 → F2  F1 F3 → F3  4 F1 ——————

24. Utilitzarem la notació matricial: ⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ 3 1 5⎟ a) A ′ = ⎜ 1 ⎜ ⎟ 2 2 8 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 c)

b)

⎛ 5 −2 1 −1 ⎞ A ′ = ⎜ −2 1 −3 4⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 −1 −2 Com que la matriu esglaonada equivalent està associada a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, es tracta d’un sistema compatible determinat. F3 → F3  F2 —————

3 ⋅1 − 2 + 2 ⋅ 0 = 1 ⎫ ⎪ 1+ 2+ 0 = 3 ⎬ ⇒ (1, 2, 0) és solució. 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 0 = −2 ⎭⎪

b) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 2 = 8 ≠ 1 ⇒ (1, −1, 2) no és solució. a) 3 ⋅ 4 − 0 + 2 ⋅ 3 = 18 ≠ 1 ⇒ (4, 0, 3) no és solució. 23. Una terna és solució d’un sistema si i només si és solució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 4⎟ ⎜ ⎟ 0 −5 −3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 —————— F1 ↔ F3 — ——

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 −3 −5 1 ⎠⎟

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 1 −2 3 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 −1 1 1 ⎠⎟

⎛ 2 −1 1 1 ⎞ a) A ′ = ⎜ 1 −2 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1

4. Sistemes d’equacions lineals I

⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ 0 −2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

5 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 13 −8 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠

F3 → F3  6 F2 ——————

F3 → F3  F2 —————

5 −3 0⎞ ⎛1 ⎜0 13 −8 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −13 8 1⎟⎠

⎛1 2 1 4⎞ ⎜0 1 0 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 1 1 ⎠⎟

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

F1 →  F1 1 F3 →  — F3 2 —————

La solució del sistema és (0, 2, 1).

0⎞ ⎛ 1 5 −3 ⎜ −2 3 −2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 2 −1 1⎟⎠

−1 ⎞ 18 ⎟ ⎟ 5⎟ 3⎟ ⎟ 5⎠

Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema: ⎧x + y + z = 3 ⎧x = 3 − 2 − 1 = 0 ⎪ ⎪ y = 2 ⇒ ⎨y = 2 ⎨ ⎪ ⎪z = 1 z=1 ⎩ ⎩

F1 ↔ F3 — ——

1 13 − 5 13 5

⎛ 1 1 1 3⎞ ⎜ 0 1 0 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 1 ⎟⎠

c)

−

F3 → F3  2 F2 ——————

1 1 3⎞ ⎛1 ⎜0 1 0 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −2 1 −3 ⎟⎠

1⎞ ⎛ 3 2 −1 A ′ = ⎜ −2 3 −2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 5 −3 0 ⎟⎠

⎛ 5 −2 ⎜ 1 ⎜0 5 ⎜ ⎜ 1 0 ⎝⎜ 5

1 F2 →  — F2 3 —————

1 1 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −2 1 −3 ⎟⎠

que no té solució; per tant, el sistema és incompatible.

2 F2 → F2  — F1 5 3 F3 → F3  — F1 5 ——————

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

0 x + 0 y + 0 z = −3

Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:

L’última fila correspon a l’equació

1 1 3⎞ ⎛1 ⎜ b) A ′ = 2 −1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 0 3 3 ⎟⎠

F3 → F3  F2 —————

La solució del sistema és (1, 1, 1).

−1 ⎞ 18 ⎟ ⎟ 5⎟ −3 ⎠⎟

−1 ⎞ 18 ⎟ ⎟ 5⎟ −3 ⎟⎠

1 13 − 5 0

1 13 − 5 0

⎛ 5 −2 ⎜ 1 ⎜0 5 ⎜ 0 ⎝⎜ 0

−1 ⎞ 18 ⎟ ⎟ 5⎟ 3⎟ ⎟ 5⎠

1 13 − 5 13 − 5

⎧x + 2 y + z = 4 ⎧x = 4 − 2 ⋅ 1 − 1 = 1 ⎪ ⎪ y = 1 ⇒ ⎨y = 1 ⎨ ⎪ ⎪ z=1 ⎩ ⎩z = 1

F3 → F3  F2 —————

0 x + 0 y + 0 z = −3

⎛ 5 −2 ⎜ 1 ⎜0 5 ⎜ ⎜⎝ 0 0

1 1 3⎞ ⎛1 b) A ′ = ⎜ 2 −1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 3 3 ⎟⎠ ⎝⎜ 2

⎧x + 2 y + z = 4 ⎧x = 4 − 2 ⋅ 1 − 1 = 1 ⎪ ⎪ y = 1 ⇒ ⎨y = 1 ⎨ ⎪ ⎪z = 1 z=1 ⎩ ⎩

que no té solució; per tant, el sistema és incompatible.

Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:

1 1 3⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 −2 1 −3 ⎠⎟

⎛ 5 −2 ⎜ 1 ⎜0 5 ⎜ ⎜ 1 ⎜⎝ 0 5

2 F2 → F2  — F1 5 3 F3 → F3  — F1 5 ——————

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

1⎞ ⎛ 3 2 −1 A ′ = ⎜ −2 3 −2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 5 −3

⎛1 2 1 4⎞ ⎜0 1 0 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 1 1 ⎟⎠

c)

F1 →  F1 1 F3 →  — F3 2 —————

b)

⎛ 5 −2 1 −1 ⎞ A ′ = ⎜ −2 1 −3 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 −1 −2 0 ⎟⎠

1 1 3⎞ ⎛1 ⎜0 1 0 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 −2 1 −3 ⎠⎟

⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 −2 −2 ⎟⎠

Com que la matriu esglaonada equivalent està associada a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, es tracta d’un sistema compatible determinat.

1 F2 →  — F2 3 —————

F3 → F3  6 F2 ——————

0⎞ ⎛ 1 5 −3 ⎜ ⎟ − 2 3 − 2 − 1 ⎜ ⎟ 1⎠⎟ ⎝⎜ 3 2 −1

⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ ⎜ 0 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −6 −2 −8 ⎟⎠

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 −5 −3 ⎟⎠

F1 ↔ F3 — ——

F2 → F2  F1 F3 → F3  4 F1 ——————

F3 → F3  F2 —————

⎛ 1 1 1 3⎞ ⎜ 0 1 0 2⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 0 1 1 ⎠⎟

24. Utilitzarem la notació matricial: ⎛ −1 −2 −1 −4 ⎞ 3 1 5⎟ a) A ′ = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 2 2 8 ⎠⎟

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 −3 −5 1 ⎟⎠

F3 → F3  2 F2 ——————

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

5 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 0 13 − 8 − 1 ⎜ ⎟ 8 1⎠⎟ ⎝⎜ 0 −13

3 ⋅1 − 2 + 2 ⋅ 0 = 1 ⎫ ⎪ 1+ 2+ 0 = 3 ⎬ ⇒ (1, 2, 0) és solució. 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 0 = −2 ⎪⎭

1 3 0⎞ ⎛1 ⎜ 1 −2 3 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 −1 1 1 ⎟⎠

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

c)

F1 ↔ F3 — ——

5 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 13 −8 −1 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0

b) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 2 = 8 ≠ 1 ⇒ (1, −1, 2) no és solució.

F3 → F3  F2 —————

⎛ 2 −1 1 1 ⎞ a) A ′ = ⎜ 1 −2 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 1 3 0 ⎟⎠

Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema: ⎧x + y + z = 3 ⎧x = 3 − 2 − 1 = 0 ⎪ ⎪ y = 2 ⇒ ⎨y = 2 ⎨ ⎪ ⎪ z=1 ⎩ ⎩z = 1 La solució del sistema és (0, 2, 1).

a) 3 ⋅ 4 − 0 + 2 ⋅ 3 = 18 ≠ 1 ⇒ (4, 0, 3) no és solució.

25. Utilitzarem la notació matricial: 4. Sistemes d’equacions lineals I

23. Una terna és solució d’un sistema si i només si és solució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:

25. Utilitzarem la notació matricial:

58

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 58

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 59

59 F3 → F3  5 F2 —————— F2 → F2  3 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

La matriu ampliada esglaonada correspon al sistema: x + y + z = 1⎫ ⎪ −y − 2 z = 0⎬ 9 z = −3 ⎪⎭

0x + 0y + 0z = 0 que sempre es verifica; per tant, és redundant i podem prendre l’inicial com a sistema equivalent: ⎧x + 5 y − 3 z = 0 ⎨ ⎩ 13 y − 8 z = −1

que té tantes equacions com incògnites; per tant, és un sistema compatible determinat. Resolem per substitució regressiva i obtenim la so1⎞ ⎛2 2 lució: ⎜ , , − ⎟ ⎝3 3 3⎠

És un sistema de 2 equacions amb 3 incògnites. F1 ↔ F2 — ——

x + y − z = 1⎫ ⎬ 2 y = −6 ⎭

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −2 0⎟ ⎜ ⎟ 0 9 −3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

Les tres últimes files corresponen a les equacions redundants 0 x + 0 y + 0 z = 0; així, podem considerar com a sistema equivalent el de partida:

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −2 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 −5 −1 −3 ⎠⎟

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

F5 → F5  F2 —————

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜3 2 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 −3 1 −1 ⎠⎟

2 1 3⎞ ⎛3 1 1 1⎟ a) A ′ = ⎜⎜ 1 ⎟ ⎝⎜ 2 −3 1 −1 ⎠⎟

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 F4 → F4  4 F1 F5 → F5  5 F1 ——————

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat (dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre). 26. — Si afegim una equació que sigui incompatible amb una qualsevol de les equacions donades del sistema, tindrem un sistema incompatible.

b)

3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ x + 5 y − z = 0 ⎪⎭ 3x + y = 0 x + 5y = 1 que és compatible determinat. Així, si afegim l’equació z = 0, obtenim el sistema:

que té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre. Si prenem la variable z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és (1, λ, λ), λ ∈ . 28. Utilitzarem la notació matricial:

3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ x + 5 y − z = 1 ⎭⎪

F1 ↔ F2 — ——

Així, la resposta suggerida és: — Com que el sistema de partida és compatible indeterminat, si afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equivalent al de partida i, per tant, compatible indeterminat.

a)

que és compatible determinat.

que és compatible determinat. — Com que el sistema de partida és compatible indeterminat, si afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equivalent al de partida i, per tant, compatible indeterminat.

a)

⎛2 ⎜1 ⎜ A′ = ⎜ 3 ⎜ ⎜4 ⎜⎝ 5

Així, la resposta suggerida és: 3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ x + 5 y − z = 1 ⎪⎭

3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ z = 0 ⎭⎪

⎛1 ⎜2 ⎜ A′ = ⎜ 3 ⎜ ⎜4 ⎝⎜ 5

⎛2 ⎜1 ⎜ A′ = ⎜ 3 ⎜ ⎜4 ⎝⎜ 5

2 1 3⎞ ⎛3 ⎜ 1 1 1⎟ a) A ′ = ⎜ 1 ⎟ ⎜⎝ 2 −3 1 −1 ⎟⎠ F1 ↔ F2 — ——

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜3 2 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 −3 1 −1 ⎟⎠

0x + 0y + 0z = 0

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −2 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 −5 −1 −3 ⎟⎠

F3 → F3  5 F2 ——————

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 9 −3 ⎟⎠

−2 −4 ⎞ 1⎟ −1 ⎟ 3⎟ −3 ⎟ 4⎟ −4 −5 −1 ⎟⎠

⎛1 ⎜2 ⎜ A′ = ⎜ 3 ⎜ ⎜4 ⎜⎝ 5

F2 → F2  2 F1 F3 → F3  3 F1 F4 → F4  4 F1 F5 → F5  5 F1 ——————

F5 → F5  F2 —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0 ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

1 4 3 4 7

−1 1⎞ −2 −4 ⎟ ⎟ −3 3⎟ ⎟ −4 4⎟ −5 −1 ⎟⎠

1 −1 1⎞ 2 0 −6 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 2 0 −6 ⎟⎠

1 −1 1⎞ 2 0 −6⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0 ⎟⎠

Les tres últimes files corresponen a les equacions redundants 0 x + 0 y + 0 z = 0; així, podem considerar com a sistema equivalent el de partida: x + y − z = 1⎫ ⎬ 2 y = −6 ⎭

L’última fila correspon a l’equació

−1 1⎞ −2 −4 ⎟ ⎟ −3 3⎟ ⎟ −4 4⎟ −5 −1 ⎠⎟

−2 −4 ⎞ 1⎟ −1 ⎟ 3⎟ −3 ⎟ 4⎟ −4 −5 −1 ⎠⎟ x − 2 y + 2z = 1⎫ ⎬ 3 y − 3 z = 0⎭

La matriu ampliada esglaonada correspon al sistema: F2 → F2  F1 —————

Per tant, la resposta suggerida és: que sempre es verifica; per tant, és redundant i podem prendre l’inicial com a sistema equivalent: ⎧x + 5 y − 3 z = 0 ⎨ ⎩ 13 y − 8 z = −1

1 4 3 4 7

que té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre.

3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ x + 5 y − z = 0 ⎭⎪ És un sistema de 2 equacions amb 3 incògnites.

F2 → F2  3 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

F1 ↔ F2 — ——

4 1 3 4 7

4. Sistemes d’equacions lineals I

Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeterminat (dependent de 3 − 2 = 1 paràmetre).

4 1 3 4 7

1 −1 1⎞ 2 0 −6 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 2 0 −6 ⎠⎟

Si prenem la variable z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és (1, λ, λ), λ ∈ .

— Observem que si z = 0 el sistema queda: 26. — Si afegim una equació que sigui incompatible amb una qualsevol de les equacions donades del sistema, tindrem un sistema incompatible.

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

28. Utilitzarem la notació matricial:

3x + y = 0 x + 5y = 1 que és compatible determinat. Així, si afegim l’equació z = 0, obtenim el sistema:

27. Utilitzarem la notació matricial:

2 1⎞ ⎛ 1 −2 ⎜⎝ 0 3 −3 0 ⎟⎠

La matriu ampliada esglaonada correspon al sistema: x − 2 y + 2z = 1⎫ ⎬ 3 y − 3 z = 0⎭

— Observem que si z = 0 el sistema queda:

3 x + y + 2 z = 0⎫ ⎪ x + 5 y − z = 1⎬ z = 0 ⎪⎭

2 1⎞ ⎛ 1 −2 A′ = ⎜ ⎝ 0 1 −1 1⎟⎠ F2 → F2  F1 —————

Per tant, la resposta suggerida és:

27. Utilitzarem la notació matricial:

1 −1 1⎞ 2 0 −6⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0 ⎠⎟

4. Sistemes d’equacions lineals I

L’última fila correspon a l’equació

b)

2 1⎞ ⎛ 1 −2 ⎝⎜ 0 3 −3 0 ⎠⎟

2 1⎞ ⎛ 1 −2 A′ = ⎜ ⎝ 0 1 −1 1⎠⎟ Resolem per substitució regressiva i obtenim la so1⎞ ⎛2 2 lució: ⎜ , , − ⎟ ⎝3 3 3⎠ que té tantes equacions com incògnites; per tant, és un sistema compatible determinat. x + y + z = 1⎫ ⎪ −y − 2 z = 0⎬ 9 z = −3 ⎭⎪

La matriu ampliada esglaonada correspon al sistema:

59

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 59 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 60

60 L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + 0 z = −11 que no té solució; per tant, el sistema és incompatible. 29. Apliquem el mètode de Gauss: ⎛k ⎜ ⎜1 A′ = ⎜ ⎜1 ⎝⎜ 1

1⎞ ⎛ 3 −2 7 A ′ = ⎜ 1 −5 2 8⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −2 10 −4 −16 ⎠⎟ 2 8⎞ ⎛ 1 −5 ⎜ 3 −2 7 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −2 10 −4 −16 ⎠⎟

1 1 1 1

8⎞ ⎛ 1 −5 2 ⎜ 0 13 1 −23 ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

⎞ λ⎟ ⎠

F1 → F1  k F4 F2 → F2  F4 F3 → F3  F4 —— ————

F1 ↔ F4 — ——

k2

k

k3

k2 1 1

k 1

k ⎞ ⎟ k2 ⎟ ⎟ k3 ⎟ k 4 ⎠⎟

⎛ 0 k 2 − k k3 − k k − k5 ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 4 ⎜0 k − 1 k − 1 k − k ⎟ ⎟ ⎜ 0 k − 1 k3 − k 4 ⎟ ⎜0 k 4 ⎠⎟ 1 1 ⎝⎜ 1

⎛1 1 1 k4 ⎞ ⎟ ⎜ k − 1 k2 − 1 k2 − k4 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ k − 1 k3 − k 4 ⎟ 0 ⎜0 2 3 k − k 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 k − k k − k ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 1

F4 → F4  k F2 ——— ———

1 1 k4 ⎞ ⎟ k − 1 k2 − 1 k2 − k4 ⎟ ⎟ k − 1 k3 − k 4 ⎟ 0 k − k 3 ⎠⎟ 0

0

— Si k − k3 ≠ 0, l’última fila té tots els elements nuls menys el terme independent, per tant, el sistema és incompatible. La qual cosa succeeix per a qualsevol valor de k, excepte: k − k3 = k (1 − k2) = 0 ⇔ k = 0 o k = ±1

0 5⎞ 2 2⎟ ⎟ 1 11⎟ ⎟ 1 7⎠

— Si k − k3 = 0, és a dir, k = 0 o k = 1 o k = −1, l’última fila és redundant; per tant, podem eliminar-la. Estudiem cada cas separadament: • k = 0. La matriu ampliada esglaonada és:

1 0 5⎞ ⎛1 ⎜0 0 2 −3 ⎟ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎜ 1 1 7⎠ ⎝0

1 1 0 0

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 que correspon a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites: ⎧x + y + z = 0 ⎪ ⎨ −y − z = 0 ⎪ −z = 0 ⎩

0 5⎞ 1 7⎟ ⎟ 2 8⎟ ⎟ 2 −3 ⎠

Per tant és compatible determinat. Com que té solució única i es homogeni, la solució és la trivial: x = y = z = 0. • k = 1. La matriu ampliada esglaonada és:

4. Sistemes d’equacions lineals I

Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre. Si prenem z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és (4 + λ, −3, λ).

b)

F1 ↔ F2 — ——

F2 → F2  3 F1 F3 → F3  2 F1 ——————

L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x + 0 y + 0 z = 0; per tant, el sistema de partida és equivalent a: x − 5y + 2z = 8 ⎫ ⎬ 13 y + z = −23 ⎭ que té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre. Si prenem la variable z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és: 11 λ 23 ⎛ 31 − λ− − ,− , ⎝⎜ 13 13 13 13

c)

⎛1 ⎜1 A′ = ⎜ ⎜2 ⎜ ⎝0

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

F2 ↔ F4 — ——

1 0 5⎞ ⎛1 ⎜0 1 1 7⎟ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎜ 0 2 −3 ⎠ ⎝0

F3 → F3  F2 —————

⎛1 1 1 1⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ • k = 1. La matriu ampliada esglaonada és: 1

F4 → F4  F3 —————

0 5⎞ 1 7⎟ ⎟ 2 8⎟ ⎟ 0 −11 ⎠

2

1

1

⎛1 1 1 1⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟

1 1 0 0

Per tant és compatible determinat. Com que té solució única i es homogeni, la solució és la trivial: x = y = z = 0. ⎧x + y + z = 0 ⎪ ⎨ −y − z = 0 ⎪ −z = 0 ⎩ que correspon a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites: 1 1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 −1 0 ⎟⎠ • k = 0. La matriu ampliada esglaonada és: k4 ⎞ ⎟ k − 1 k − 1 k − k4 ⎟ ⎟ k − 1 k3 − k 4 ⎟ 0 0 0 k − k 3 ⎟⎠ 2

1

k

0 5⎞ 1 7⎟ ⎟ 2 8⎟ ⎟ 0 −11 ⎠

F4 → F4  F3 —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 5⎞ 2 −3 ⎟ ⎟ 1 1⎟ ⎟ 1 7⎠

Estudiem cada cas separadament: — Si k − k3 = 0, és a dir, k = 0 o k = 1 o k = −1, l’última fila és redundant; per tant, podem eliminar-la. k − k3 = k (1 − k2) = 0 ⇔ k = 0 o k = ±1 ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 1

1

k ⎞ ⎟ k2 ⎟ ⎟ k3 ⎟ k 4 ⎟⎠

1 1 0 0

0 5⎞ 1 7⎟ ⎟ 2 8⎟ ⎟ 2 −3 ⎠

0 5⎞ 1 7⎟ ⎟ 1 1⎟ ⎟ 2 −3 ⎠

1 ⎛1 ⎜0 0 ⎜ ⎜ 0 −1 ⎜ 1 ⎝0

0 5⎞ 2 2⎟ ⎟ 1 11⎟ ⎟ 1 7⎠

La qual cosa succeeix per a qualsevol valor de k, excepte: — Si k − k3 ≠ 0, l’última fila té tots els elements nuls menys el terme independent, per tant, el sistema és incompatible. F4 → F4  k F2 ——— ——— F1 ↔ F4 — ——

⎛1 1 1 k4 ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 k − 1 k − 1 k − k4 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ k − 1 k3 − k 4 ⎟ 0 ⎜0 2 3 k − k 5 ⎟⎠ ⎝⎜ 1 k − k k − k

F1 → F1  k F4 F2 → F2  F4 F3 → F3  F4 —— ————

⎛ 0 k − k k3 − k k − k5 ⎞ ⎜ 2 2 4 ⎟ ⎜0 k − 1 k − 1 k − k ⎟ ⎟ ⎜ 0 k − 1 k3 − k 4 ⎟ ⎜0 ⎜⎝ 1 k 4 ⎟⎠ 1 1 2

k

2

k3

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 1 0 0

1 1 1 1

8⎞ ⎛ 1 −5 2 ⎜ 0 13 1 −23 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠

2 8⎞ ⎛ 1 −5 ⎜ 3 −2 7 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −2 10 −4 −16 ⎟⎠

k k2

29. Apliquem el mètode de Gauss: L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y + 0 z = −11 que no té solució; per tant, el sistema és incompatible.

4. Sistemes d’equacions lineals I

F3 → F3  F2 —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

F2 ↔ F4 — ——

1 ⎛1 ⎜0 1 ⎜ ⎜ 0 −1 ⎜ 0 ⎝0

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

c)

⎛1 ⎜1 A′ = ⎜ ⎜2 ⎜ ⎝0

11 λ 23 ⎞ ⎛ 31 − λ− − ,− ,λ ⎝⎜ 13 13 13 13 ⎠⎟ Si prenem la variable z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és: que té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre. x − 5y + 2z = 8 ⎫ ⎬ 13 y + z = −23 ⎭ L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x + 0 y + 0 z = 0; per tant, el sistema de partida és equivalent a: F2 → F2  3 F1 F3 → F3  2 F1 —————— F1 ↔ F2 — ——

b)

⎛k ⎜ ⎜1 A′ = ⎜ ⎜1 ⎜⎝ 1

1⎞ ⎛ 3 −2 7 A ′ = ⎜ 1 −5 2 8⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −2 10 −4 −16 ⎟⎠ Si prenem z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és (4 + λ, −3, λ). Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible indeterminat que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre.

60

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 60

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 61

50 x + 30 (y + z) = 200 000 • Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es collirien 200 t = 200 000 kg de pomes: 50 (x + y) + 40 z = 250 000 • Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es collirien 250 t = 250 000 kg de pomes: 50 x + 30 y + 40 z = 230 000

1 F3 → — F3 8 ———— F3 → F2  F3 —————

⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 0 0 25 000 ⎠⎟ ⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 8 0 0 200 000 ⎠⎟

Per a resoldre’l, prenem com a paràmetres dues incògnites i aïllem la restant en funció d’aquelles: y = τ, z = λ ⇒ x = 1 − λ − τ • k = −1. La matriu ampliada esglaonada és:

⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 10 5 390 000 ⎠⎟

• S’obtenen 230 t = 230 000 kg de pomes a cada collita:

Resolem el sistema mitjançant Gauss:

— Hem de trobar x, y, z de manera que se satisfacin les dades de l’enunciat: 30. — Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantades actualment, y el nombre de pomeres del tipus B, z el nombre de pomeres del tipus C.

1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −2 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 −2 −2 ⎟⎠ que correspon a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites: x + y + z = 1⎫ ⎪ −2 y = 0 ⎬ −2 z = −2 ⎪⎭

k = −1 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució: (0, 0, 1) k = 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (1 − τ − λ, τ, λ), λ, τ ∈ 

4. Sistemes d’equacions lineals I

61 que correspon a un sistema d’1 equació amb 3 incògnites: x + y + z = 1, per tant, és un sistema compatible indeterminat, dependent de 3 − 1 = 2 paràmetres.

Per tant, és compatible determinat. Si el resolem per substitució regressiva: −2 =1 −2 0 y = =0 −2 x = 1− 0−1 = z=

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ 0⎭

— Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions lineals: 50 x + 30 y + 40 z = 230 000 ⎫ ⎪ 50 (x + y ) + 40 z = 250 000 ⎬ 50 x + 30 ( y + z) = 200 000 ⎪⎭ Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equacions: 5 x + 3 y + 4 z = 23 000 ⎫ ⎪ 5 x + 5 y + 4 z = 25 5 000 ⎬ 5 x + 3 y + 3 z = 20 000 ⎪⎭ Resolem aquest sistema mitjançant mètode de Gauss: ⎛ 5 3 4 23 000 ⎞ A ′ = ⎜ 5 5 4 25 000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 5 3 3 20 000 ⎟⎠ F2 → F2  F1 F3 → F3  F1 —————

4 23 000 ⎞ ⎛5 3 ⎜0 2 0 2 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 −1 −3 000 ⎟⎠

Fent una substitució regressiva, obtenim la solució: x = 1 600 , y = 1 000 , z = 3 000 — El pagès té plantades: 1 600 pomeres del tipus A, 1 000 del tipus B i 3 000 del tipus C.

15 x + 10 y + 15 z = 1 010 000 ⎫ ⎪ 12 x + 10 y + 5 z = 590 000 ⎬ ⇔ 8 x + 20 y + 10 z = 780 000 ⎭⎪ 3 x + 2 y + 3 z = 202 000 ⎫ ⎪ 12 x + 10 y + 5 z = 590 000 ⎬ ⇔ 4 x + 10 y + 5 z = 390 000 ⎭⎪ Imposem que es compleixin les condicions de l’enunciat: z = preu d’un col·lector

k = 0 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució: (0, 0, 0)

y = preu d’un termosifó

k ≠ 0, 1, −1 ⇒ Sistema incompatible

x = preu d’un panell fotovoltaic

En resum:

31. Considerem les incògnites següents: −2 ⎫ z= =1 ⎪ −2 ⎪ 0 ⎬ y = =0 ⎪ −2 ⎪ x = 1 − 0 − 1 = 0⎭

31. Considerem les incògnites següents: En resum:

x = preu d’un panell fotovoltaic

k ≠ 0, 1, −1 ⇒ Sistema incompatible

y = preu d’un termosifó

k = 0 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució: (0, 0, 0)

z = preu d’un col·lector

k = 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (1 − τ − λ, τ, λ), λ, τ ∈ 

Si el resolem per substitució regressiva: Per tant, és compatible determinat.

k = −1 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució: (0, 0, 1) 30. — Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantades actualment, y el nombre de pomeres del tipus B, z el nombre de pomeres del tipus C.

Imposem que es compleixin les condicions de l’enunciat: 15 x + 10 y + 15 z = 1 010 000 ⎫ ⎪ 12 x + 10 y + 5 z = 590 000 ⎬ ⇔ 8 x + 20 y + 10 z = 780 000 ⎪⎭ 3 x + 2 y + 3 z = 202 000 ⎫ ⎪ 12 x + 10 y + 5 z = 590 000 ⎬ ⇔ 4 x + 10 y + 5 z = 390 000 ⎪⎭ Resolem el sistema mitjançant Gauss:

• S’obtenen 230 t = 230 000 kg de pomes a cada collita:

⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 10 5 390 000 ⎟⎠

50 x + 30 y + 40 z = 230 000 • Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es collirien 250 t = 250 000 kg de pomes: 50 (x + y) + 40 z = 250 000 • Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es collirien 200 t = 200 000 kg de pomes: 50 x + 30 (y + z) = 200 000

F3 → F2  F3 —————

1 F3 → — F3 8 ————

⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 8 0 0 200 000 ⎟⎠ ⎛ 3 2 3 202 000 ⎞ ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 0 0 25 000 ⎟⎠

4. Sistemes d’equacions lineals I

— Hem de trobar x, y, z de manera que se satisfacin les dades de l’enunciat:

x + y + z = 1⎫ ⎪ −2 y = 0 ⎬ −2 z = −2 ⎭⎪ que correspon a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites: 1 1 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −2 0 0⎟ ⎜ ⎟ 0 −2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 • k = −1. La matriu ampliada esglaonada és: y = τ, z = λ ⇒ x = 1 − λ − τ Per a resoldre’l, prenem com a paràmetres dues incògnites i aïllem la restant en funció d’aquelles: que correspon a un sistema d’1 equació amb 3 incògnites: x + y + z = 1, per tant, és un sistema compatible indeterminat, dependent de 3 − 1 = 2 paràmetres.

1 600 pomeres del tipus A, 1 000 del tipus B i 3 000 del tipus C. — El pagès té plantades: x = 1 600 , y = 1 000 , z = 3 000 Fent una substitució regressiva, obtenim la solució: F2 → F2  F1 F3 → F3  F1 —————

4 23 000 ⎞ ⎛5 3 ⎜0 2 0 2 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 −1 −3 000 ⎠⎟

⎛ 5 3 4 23 000 ⎞ A ′ = ⎜ 5 5 4 25 000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 5 3 3 20 000 ⎠⎟ Resolem aquest sistema mitjançant mètode de Gauss: 5 x + 3 y + 4 z = 23 000 ⎫ ⎪ 5 x + 5 y + 4 z = 25 5 000 ⎬ 5 x + 3 y + 3 z = 20 000 ⎭⎪ Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equacions: 50 x + 30 y + 40 z = 230 000 ⎫ ⎪ 50 (x + y ) + 40 z = 250 000 ⎬ 50 x + 30 ( y + z) = 200 000 ⎭⎪ — Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions lineals:

61

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 61 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 62

62 25 000 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 202 000 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 25 000 ⎞ ⎛1 0 0 ⎜ 0 10 5 290 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 2 3 127 000 ⎠⎟ ⎛ 1 0 0 25 000 ⎞ ⎜ 0 2 1 58 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 2 3 127 000 ⎠⎟

F3 → F3  F2 —————

Així, la solució és: y = 1, 1 10, 5 − 5 (1, 1) 10, 5 − 5, 5 5 z= = = = 1, 25 4 4 4 x = −0, 95 + 1, 1 + 1, 25 = 1, 4 Comprovem que aquesta solució compleix la segona equació del sistema esglaonat: 7 ⋅ 1,1 + 3 ⋅ 1,25 = 7,7 + 3,75 = 11,45 Per tant (1,4, 1,1, 1,25) és la solució cercada, amb la qual cosa el gel val 1,4 €, la crema 1,1 € i el suavitzant 1,25 €. 33. Les incògnites són: x = exemplars que es van vendre del llibre A

x = 25000 69 000 z= = 34 500 2 58 000 − 34 500 = 11 750 2

+ − − +

z z z z

= 7, 65 ⎫ = 7, 65 ⎪⎪ ⎬ = − 0, 95 ⎪ = 2, 05 ⎭⎪

y = exemplars que es van vendre del llibre B z = exemplars que es van vendre del llibre C Imposant les 3 condicions de l’enunciat es té el sistema següent: 28 x + 30 y + 25 z = 4 280 000 ⎫ ⎪ x − 3y = 0 ⎬ ⎪ x+y−z=0 ⎭

⎛ 28 30 25 4 280 000 ⎞ ⎜ 1 −3 0 0⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1

F3 ↔ F1 — ——

1 −1 0⎞ ⎛ 1 ⎜ 1 −3 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 28 30 25 4 280 000 ⎠⎟

F2 → F2  F1 F3 → F3  28 F1 ——————

F3 → F2  2 F3 ——————

1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 1 0⎟ ⎜ ⎟ 2 53 4 280 000 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 4 1 0⎟ ⎜ ⎟ 0 107 8 560 000 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

Així, la solució és: z=

8 560 000 = 80 000 107 80 000 = 20 000 4

4. Sistemes d’equacions lineals I

F1 ↔ F3 ———

F2 → F2  12 F1 F3 → F3  3 F1 ——————

1 F2 → — F2 5 ————

⎛ 1 0 0 25 000 ⎞ ⎜ 0 2 1 58 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 2 69 000 ⎠⎟

Així, la solució és:

y =

Per la qual cosa el preu de venda del panell fotovoltaic ha de ser de 25 000 €, el del termosifó de 11 750 € i el col·lector solar de 34 500 €.

Resolem mitjançant Gauss:

32. Les incògnites són: x = preu del gel de bany y = preu de la crema de mans z = preu del suavitzant Imposant les condicions de l’enunciat obtenim el sistema: 3x + 2y 4x + 3y x−y −x + 2 y

Resolem mitjançant Gauss: 2 1 7, 65 ⎞ ⎛ 3 ⎜ 4 3 −1 7, 65 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 −1 −1 −0, 95 ⎟ ⎟ ⎜ 2 1 2, 05 ⎠ ⎝ −1 ⎛ 1 −1 −1 − 0, 95 ⎞ ⎜ 4 3 −1 7, 65 ⎟ ⎟ ⎜ 2 1 7, 65 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 1 2, 05 ⎠ ⎝ −1

F1 ↔ F3 — ——

y =

00 = 60 000 x = 80 000 − 20 00

80 000 = 20 000 4

8 560 000 = 80 000 107 1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 107 8 560 000 ⎟⎠ 1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 53 4 280 000 ⎟⎠

F2 → F2  4 F1 F3 → F3  3 F1 F4 → F4  F1

Es van vendre, doncs, 60 000 exemplars del llibre A, 20 000 del llibre B i 80 000 del llibre C. 00 = 60 000 x = 80 000 − 20 00 y = z= Així, la solució és: F3 → F2  2 F3 —————— F2 → F2  F1 F3 → F3  28 F1 ——————

Es van vendre, doncs, 60 000 exemplars del llibre A, 20 000 del llibre B i 80 000 del llibre C.

= 7, 65 ⎫ = 7, 65 ⎪⎪ ⎬ = − 0, 95 ⎪ = 2, 05 ⎪⎭

⎛ 1 −1 −1 − 0, 95 ⎞ ⎜0 7 3 11, 45 ⎟ ⎟ ⎜ 5 4 10, 5 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 1, 1 ⎠ 0 ⎝0 1

z z z z

1 −1 0⎞ ⎛ 1 ⎜ 1 −3 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 28 30 25 4 280 000 ⎟⎠

y = exemplars que es van vendre del llibre B 33. Les incògnites són: Per tant (1,4, 1,1, 1,25) és la solució cercada, amb la qual cosa el gel val 1,4 €, la crema 1,1 € i el suavitzant 1,25 €. 7 ⋅ 1,1 + 3 ⋅ 1,25 = 7,7 + 3,75 = 11,45 Comprovem que aquesta solució compleix la segona equació del sistema esglaonat: y = 1, 1 10, 5 − 5 (1, 1) 10, 5 − 5, 5 5 z= = = = 1, 25 4 4 4 x = −0, 95 + 1, 1 + 1, 25 = 1, 4

——————

⎛ 1 −1 −1 − 0, 95 ⎞ ⎜0 7 3 11, 45 ⎟ ⎟ ⎜ 5 4 10, 5 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 1, 1 ⎠ 0 ⎝0 1 + − − +

F3 ↔ F1 — ——

⎛ 28 30 25 4 280 000 ⎞ ⎜ 1 −3 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 1 −1 0 ⎟⎠ Resolem mitjançant Gauss: 28 x + 30 y + 25 z = 4 280 000 ⎫ ⎪ x − 3y = 0 ⎬ ⎪ x+y−z=0 ⎭ Imposant les 3 condicions de l’enunciat es té el sistema següent: z = exemplars que es van vendre del llibre C x = exemplars que es van vendre del llibre A

⎛ 1 0 0 25 000 ⎞ ⎜ 0 2 1 58 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 2 69 000 ⎟⎠

25 000 ⎞ ⎛1 0 0 ⎜ 0 10 5 290 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 3 127 000 ⎟⎠

25 000 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎜ 12 10 5 590 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 2 3 202 000 ⎟⎠

4. Sistemes d’equacions lineals I

F2 → F2  4 F1 F3 → F3  3 F1 F4 → F4  F1 —————— F1 ↔ F3 — ——

⎛ 1 −1 −1 − 0, 95 ⎞ ⎜ 4 3 −1 7, 65 ⎟ ⎟ ⎜ 2 1 7, 65 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 1 2, 05 ⎠ ⎝ −1

2 1 7, 65 ⎞ ⎛ 3 ⎜ 4 3 −1 7, 65 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 −1 −1 −0, 95 ⎟ ⎟ ⎜ 2 1 2, 05 ⎠ ⎝ −1 Resolem mitjançant Gauss: 3x + 2y 4x + 3y x−y −x + 2 y

Imposant les condicions de l’enunciat obtenim el sistema: z = preu del suavitzant y = preu de la crema de mans x = preu del gel de bany 32. Les incògnites són: Per la qual cosa el preu de venda del panell fotovoltaic ha de ser de 25 000 €, el del termosifó de 11 750 € i el col·lector solar de 34 500 €. x = 25000 69 000 z= = 34 500 2 58 000 − 34 500 y = = 11 750 2 Així, la solució és: F3 → F3  F2 —————

⎛ 1 0 0 25 000 ⎞ ⎜ 0 2 1 58 000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 3 127 000 ⎟⎠

1 F2 → — F2 5 ———— F2 → F2  12 F1 F3 → F3  3 F1 —————— F1 ↔ F3 ———

Així, la solució és:

62

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 62

C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 63

63 ⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ ⎟ 50 20 5 64 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 10 −6 0 ⎟⎠

x = rendibilitat del producte A y = rendibilitat del producte B

El resolem mitjançant Gauss:

F2 → 3 F2  F1 ——————

⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ 0 20 20 64 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 10 −6 0 ⎟⎠

F3 → F2  2 F3 ——————

⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ 0 20 20 64 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 32 64 ⎟⎠

z = rendibilitat del producte C A partir de les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

150 x + 40 y − 5 z = 128 ⎫ ⎪ 50 x + 20 y + 5 z = 64 ⎬ 10 y − 6 z = 0 ⎭⎪

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

⎛ 2 3 4 460 ⎞ ⎜ 1 2 2 250 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 1 1 150 ⎠⎟

y = preu de compra de cada ampolla de suc Així, la rendibilitat de A és del 3,4 %, la de B del 2,4 % i la de C del 5,8 %.

2 x + 4 y + 2 z = 8 ⋅ 3, 5 = 28 ⎫ ⎪ x = y +1 ⎬ ⎪ z= x+y ⎭

Així, la solució és: z=

Resolem mitjançant Gauss: 4 2 28 ⎞ ⎛2 ⎜ 1 −1 0 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 −1 0 ⎟⎠ 1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 1 −1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 4 2 28 ⎟⎠

F3 ↔ F1 — ——

x = −2, 4 + 5, 8 = 3, 4

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

y =

1 − 5, 8 = 2, 4 −2

29 x = = 5, 8 5 1 −1 0 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ 2 5 29 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

F3 → F3  F2 —————

z=

64 − 40 = 1, 2 20

64 − 5 ⋅ 2 − 20 ⋅ 1, 2 = 0, 6 50

Per tant, el preu de compra d’una ampolla de llet és de 0,6 €, d’una ampolla de suc d’1,2 € i d’un paquet de cafè de 2 €. D’altra banda, com que amb la llet va guanyar un 30 %, el preu de venda d’una ampolla de llet serà:

1 −1 0 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −2 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 5 29 ⎟⎠

Com que amb el suc va guanyar un 20 %, el preu de venda d’una ampolla de suc serà:

Així, la solució és: 29 x = = 5, 8 5 y =

y =

64 =2 32

1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −2 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 2 4 28 ⎟⎠

1 − 5, 8 = 2, 4 −2

x = −2, 4 + 5, 8 = 3, 4 F3 ↔ F1 — ——

Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema següent: z = frigorífics del tipus C que s’han fabricat y = frigorífics del tipus B que s’han fabricat x = frigorífics del tipus A que s’han fabricat 36. Les incògnites són: 2 (1 − 0,1) = 2 ⋅ 0,9 = 1,8 € Com que amb el cafè hi va perdre un 10 %, el preu de venda d’un paquet de cafè serà:

Així, la solució és: F3 → F3  F2 —————

⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 1 2 2 250 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 3 4 460 ⎠⎟

2 x + 3 y + 4 z = 460 ⎫ ⎪ x + 2 y + 2 z = 250 ⎬ x + y + z = 150 ⎭⎪

z = preu de compra de cada paquet de cafè 35. Les incògnites són:

F1 ↔ F3 — ——

Resolem mitjançant Gauss:

El sistema que s’obté en imposar les condicions de l’enunciat és: x = preu de compra de cada ampolla de llet

⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 0 1 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 1 2 160 ⎠⎟

4. Sistemes d’equacions lineals I

34. Les incògnites són:

Així, la rendibilitat de A és del 3,4 %, la de B del 2,4 % i la de C del 5,8 %.

1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 − 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ 2 4 28 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

1 −1 0⎞ ⎛1 ⎜ 1 − 1 0 1⎟ ⎜ ⎟ 4 2 28 ⎠⎟ ⎝⎜ 2

4 2 28 ⎞ ⎛2 ⎜ 1 − 1 0 1⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1

35. Les incògnites són: x = preu de compra de cada ampolla de llet y = preu de compra de cada ampolla de suc z = preu de compra de cada paquet de cafè El sistema que s’obté en imposar les condicions de l’enunciat és:

El resolem mitjançant Gauss: ⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ 50 20 5 64 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 10 −6 0 ⎟⎠

1,2 (1 + 0,2) = 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44 € Com que amb el cafè hi va perdre un 10 %, el preu de venda d’un paquet de cafè serà: 2 (1 − 0,1) = 2 ⋅ 0,9 = 1,8 € 36. Les incògnites són: x = frigorífics del tipus A que s’han fabricat y = frigorífics del tipus B que s’han fabricat z = frigorífics del tipus C que s’han fabricat Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema següent: 2 x + 3 y + 4 z = 460 ⎫ ⎪ x + 2 y + 2 z = 250 ⎬ x + y + z = 150 ⎪⎭ Resolem mitjançant Gauss: ⎛ 2 3 4 460 ⎞ ⎜ 1 2 2 250 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 1 150 ⎟⎠

F1 ↔ F3 — ——

F2 → F2  F1 F3 → F3  2 F1 ——————

⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 1 2 2 250 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 3 4 460 ⎟⎠

⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 0 1 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 1 2 160 ⎟⎠

4. Sistemes d’equacions lineals I

150 x + 40 y − 5 z = 128 ⎫ ⎪ 50 x + 20 y + 5 z = 64 ⎬ 10 y − 6 z = 0 ⎪⎭

0,6 (1 + 0,3) = 0,6 ⋅ 1,3 = 0,78 €

1,2 (1 + 0,2) = 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44 € Com que amb el suc va guanyar un 20 %, el preu de venda d’una ampolla de suc serà: 0,6 (1 + 0,3) = 0,6 ⋅ 1,3 = 0,78 € D’altra banda, com que amb la llet va guanyar un 30 %, el preu de venda d’una ampolla de llet serà: Per tant, el preu de compra d’una ampolla de llet és de 0,6 €, d’una ampolla de suc d’1,2 € i d’un paquet de cafè de 2 €. z=

64 − 5 ⋅ 2 − 20 ⋅ 1, 2 = 0, 6 50 y =

Resolem mitjançant Gauss: 2 x + 4 y + 2 z = 8 ⋅ 3, 5 = 28 ⎫ ⎪ x = y +1 ⎬ ⎪ z= x+y ⎭ A partir de les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

64 − 40 = 1, 2 20 z=

Així, la solució és: F3 → F2  2 F3 ——————

z = rendibilitat del producte C y = rendibilitat del producte B x = rendibilitat del producte A 34. Les incògnites són:

64 =2 32

F2 → 3 F2  F1 ——————

⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ 0 20 20 64 ⎟ ⎜ ⎟ 0 32 64 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎛ 150 40 −5 128 ⎞ ⎜ ⎟ 0 20 20 64 ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 10 −6

63

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 63 C M Y K

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 64

64 ⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 0 1 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 1 60 ⎠⎟

37. Activitat TIC 38. Activitat TIC

4. Sistemes d’equacions lineals I

F3 → F3  F2 ——————

Així, la solució és: z = 60 y = 100 − 60 = 40 x = 150 − 40 − 60 = 50 Per tant, s’han fabricat 50 frigorífics del tipus A, 40 del B i 60 del C.

4. Sistemes d’equacions lineals I

z = 60 y = 100 − 60 = 40 x = 150 − 40 − 60 = 50 Per tant, s’han fabricat 50 frigorífics del tipus A, 40 del B i 60 del C. Així, la solució és: F3 → F3  F2 ——————

⎛ 1 1 1 150 ⎞ ⎜ 0 1 1 100 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 60 ⎟⎠

38. Activitat TIC 37. Activitat TIC

64

04 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:28

Página 64

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

65 A =

1 2 1 0 −1 3 −2 3 1 1 4 2 5 −1 −1 2

= 3 ⋅ 53 + 1 ⋅ 9 + 0 − 1 ⋅ 55 = 113 =1

3 −2 3 1 4 2 − −1 −1 2

12:32

Página 65

Sistemes d’equacions lineals II

5

2. a) Desenvolupant per la primera línia:

− (−1)

+ (−2) ⋅ (−4) ⋅ (−1) − [2 ⋅ 2 ⋅ (−2) + + (−1) ⋅ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ (−4) ⋅ 1] = 30 I =

0 −4 2 1 2 −1 −2 3 6

= 0 ⋅2 ⋅6 + 1⋅3 ⋅2 +

⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) ⋅ (−2) − [5 ⋅ 3 ⋅ 5 + + (−2) ⋅ (−2) ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1)] = −35 ; 3 −1 5 H = −1 3 −2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−2) ⋅ 5 −2 4

C =

G =

= 5⋅2⋅9+ 0⋅0⋅2+

2 0 1 −5

D = C =

3 4 −2 3

= 2 ⋅ (−5) − 0 ⋅ 1 = −10 ;

−(−7) −0

B =

=

2 −2 3 0 4 −6 − −4 0 −1

0 4 −6 2 1 3 − − 4 0 −1 5 2 −2 3 0 0 4 −6 0 2 1 3 −7 −4 0 −1

=

b) Desenvolupant per la primera columna: = 1 ⋅ 47 − 2 ⋅ (−89) + 1 ⋅ 2 − 0 = 227 −0 −2

1. DETERMINANTS

2 −2 3 0 4 −6 2 1 3

2 −2 3 2 1 3 +0 −4 0 −1 = 5

= 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ (−2) = 17 ;

1.  A  =  5  = 5 ;  B  =  −3  = −3 ;

2 5 3 −2 1 2 − 3 −2 1

=3

= 5 ⋅ (−64) − 0 + 0 + 7 ⋅ 36 = − 68

−5 −2 −1 F = 7 9 −4 = (−5) ⋅ 9 ⋅ (−5) + 2 7 −5 −5 1 = (−5) ⋅ (−3) − 1 ⋅ 2 = 13 2 −3

4 3 2 1

1 0 4 2 5 3 − 3 −2 1

c) Desenvolupant per la tercera columna:

+ 7 ⋅ 7 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−2) ⋅ (−4) − [(−1) ⋅ 9 ⋅ 2 + + (−4) ⋅ 7 ⋅ (−5) + (−5) ⋅ (−2) ⋅ 7] = 0 ; E =

=

1 0 4 −2 1 2 +0 3 −2 1

1 0 3 2 5 −1 −2 1 0 3 −2 1

+ 0 ⋅ (−7) ⋅ (−4) − [2 ⋅ 2 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 0 ⋅ 5 + + 9 ⋅ (−7) ⋅ 0] = 90 ; 5 −7 2 0 2 −4 0 0 9

1 0 4 2 5 3 −2 1 2

−1

5. Sistemes d’equacions lineals II

27/5/09

−2

1.  A  =  5  = 5 ;  B  =  −3  = −3 ; 3 4 −2 3

= 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ (−2) = 17 ;

D =

2 0 1 −5

= 2 ⋅ (−5) − 0 ⋅ 1 = −10 ;

E =

−5 1 = (−5) ⋅ (−3) − 1 ⋅ 2 = 13 2 −3

C =

F =

b) Desenvolupant per la primera columna:

B =

+ 7 ⋅ 7 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−2) ⋅ (−4) − [(−1) ⋅ 9 ⋅ 2 + + (−4) ⋅ 7 ⋅ (−5) + (−5) ⋅ (−2) ⋅ 7] = 0 ;

G =

= 5⋅2⋅9+ 0⋅0⋅2+

−0

I =

= 0 ⋅2 ⋅6 + 1⋅3 ⋅2 +

A =

1 2 1 0 −1 3 −2 3 1 1 4 2 5 −1 −1 2

=1

3 −2 3 1 4 2 − −1 −1 2

2 −2 3 0 4 −6 − −4 0 −1

2 −2 3 0 4 −6 2 1 3

=

= 5 ⋅ (−64) − 0 + 0 + 7 ⋅ 36 = − 68 c) Desenvolupant per la tercera columna:

C =

1 0 3 4 2 5 −1 3 −2 1 0 2 3 −2 1 1 − (−1)

=3

1 0 4 −2 1 2 +0 3 −2 1 −1

1 0 4 2 5 3 −2 1 2

2 5 3 −2 1 2 − 3 −2 1 1 0 4 2 5 3 − 3 −2 1 =

= 3 ⋅ 53 + 1 ⋅ 9 + 0 − 1 ⋅ 55 = 113

5. Sistemes d’equacions lineals II

−1 3 −2 1 1 4 5 −1 −1

−1 −2 3 1 4 2 +1 5 −1 2

=

−1 3 3 1 1 2 − 5 −1 2

2. a) Desenvolupant per la primera línia:

=

0 4 −6 2 1 3 − − 4 0 −1

2 −2 3 2 1 3 +0 −4 0 −1

−(−7)

3 −1 5 H = −1 3 −2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−2) ⋅ 5 −2 4

0 −4 2 1 2 −1 −2 3 6

5 2 −2 3 0 0 4 −6 0 2 1 3 −7 −4 0 −1

= 5

+ 0 ⋅ (−7) ⋅ (−4) − [2 ⋅ 2 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 0 ⋅ 5 + + 9 ⋅ (−7) ⋅ 0] = 90 ;

⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) ⋅ (−2) − [5 ⋅ 3 ⋅ 5 + + (−2) ⋅ (−2) ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1)] = −35 ;

=

= 1 ⋅ 47 − 2 ⋅ (−89) + 1 ⋅ 2 − 0 = 227

−5 −2 −1 7 9 −4 = (−5) ⋅ 9 ⋅ (−5) + 2 7 −5

5 −7 2 0 2 −4 0 0 9

−1 3 3 1 1 2 − 5 −1 2

−1 3 −2 1 1 4 5 −1 −1

−0

+ (−2) ⋅ (−4) ⋅ (−1) − [2 ⋅ 2 ⋅ (−2) + + (−1) ⋅ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ (−4) ⋅ 1] = 30

Sistemes 5 d’equacions lineals II 05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 65 C M Y K

−1 −2 3 1 4 2 +1 5 −1 2

1. DETERMINANTS

65

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 66

66 y −1

y

xz

x

yz

=



1 xyz

F4 → F4 +

yz x xz y xy z

yz xz xy

=0

=



2 3 27 0 − 2 0

0

−1 9 2 17 3 2 3

0 −

2 F 17 3

4 −7 158 27 41 27



=

−

b) Suposem que x = 0:

y3

x3

y2

x2

1

1

1 z2

1 1 =

1

0 y2

z3

z2

0 y3

=

z3

z3

y3

z2

y2

= =

= y2z3 − y3z2 x2 z2

xy z

y2

y

xz

x

yz

yz 0 0 =

0 0

y z

y2

= yz

z2

z2

z

y2

y

2 3 27 0 − 2 0

−1 9 2 17 3

0

0

⎛ 27 ⎞ 17 = 2 ⋅⎜− ⎟ ⋅ ⎝ 2⎠ 3

b)

Considerem la matriu de la dreta:

y y y x

x x x x

4 −7

−

=

158 27 381 459

⎛ 381 ⎞ ⋅⎜− = 127 ⎝ 459 ⎠⎟

=



t−x z−x z−x z−x y−x y−x x x

=

x3

yxz y 2

y3

zxy z2

=

t−y z−y z−y z−y y−x y−x x x

0 0 0 0 y−x 0 x x

1

=



= 

F1 → F1 − F2

z3

D2

1

y−x 0 y−x 0 y−x 0 x x

F1 → F1 − F3 F2 → F2 − F3

F1 → F1 − F4 F2 → F2 − F4 F3 → F3 − F4

xyz x 2 1 = xyz 

0 0

=

= yz (yz2 − y2 z) = y2z3 − y3z2 Anàlogament, la igualtat es compleix si y = 0 o si z = 0. En el cas restant (x ≠ 0, y ≠ 0 i z ≠ 0):

t z z z y y x x

⎛ yz x x 2 ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ xz y y ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ xy z z ⎠ Si multipliquem la primera fila per x, la segona fila per y i la tercera fila per z, el determinant quedarà multiplicat per les tres; és a dir, per xyz; per tant: x2

x

yz



5 Sistemes d’equacions lineals II

2. PROPIETATS I APLICACIONS DELS DETERMINANTS 3. a) Si multipliquem la 3a columna per xyz, el determinant quedarà multiplicat per xyz. Així: x −1 z −1

xy z

0

=

D6





D2

F2 → F2 + 2 F1 F3 → F3 − 3 F1 F4 → F4 + 4 F1 F5 → F5 − 5 F1

2 3 4 5 6

y2

1 0 2 2 −1 −3 3 2 4 4 −3 −5 5 4 6

y

1 −2 3 −4 5

xz

c)

x3

z3

= =

1 x2

y

0 0 0 0 y−x 0 x x

 

=

=

1

y2

x

= =



=

y−x 0 y−x 0 y−x 0 x x

x2

z

3

z2

t−z 0 z−y z−y y−x y−x x x

0 0 0 0 y−x 0 x x

3

0 0 0 0 y−x 0 x x

F1 → F1 − F3 F2 → F2 − F3

t−x z−x z−x z−x y−x y−x x x

=

0

=

y

3 2

x x x x 0

y3

x

2

y3

t−y z−y z−y z−y y−x y−x x x y y y x

0

=

1 y2

1

2

t−z 0 z−y z−y y−x y−x x x

F1 → F1 − F2

yxz y 2

=

=

158 27 381 − 459

z2

=

1

2

z

x3 z2

0

−7 4

xy z

−1 1 4 9 −7 2 3 10 −1 −1 1

zxy z

xyz x 2 z

0

−1 9 2 17 3

3 27 0 − 2 2

z3

z2

y2 =

y3

z

y

z3

x3

0

= yz

z2

3



y2 z3

y2

z3

y y

0 y3

y

=

4. Utilitzarem el mètode de Gauss: 16 F3 → F3 + F2 27 2 F 27 2

5 F2 → F2 − F1 2 F3 → F3 + 2 F1 F4 → F4 − F1

1 −2 3 −4 5

c)

F4 → F4 +

1 0 2 2 −1 −3 3 2 4 4 −3 −5 5 4 6

2 3 4 5 6

=



=

=

158 27 41 − 27



=



0

F2 → F2 + 2 F1 F3 → F3 − 3 F1 F4 → F4 + 4 F1 F5 → F5 − 5 F1

=

−1 1 4 9 −7 2 3 10 −1 −1

=0



1

0



−7

2 3 27 0 − 2 8

D6

yz xz xy

0 0

z

1 xyz

0

z2

1 z2



z −1

xyz = xyz

xy z

2

=

yz 0 0 1

0 y2

= x ⋅ (y − x) ⋅ (z − y) ⋅ (t − z)



=

z3

xy z



1 xyz

=

D1

=

3

1 y y2

y3

y −1

D2

3

y

y

x3

1 1

=

y



=

3 27 0 − 2 0 8 0 1

2 2

xz y

2

z2

xz

yz x xz y xy z

a)

4 3 2 3

x3

x2

x2 1

y2

x −1

4 2 F 17 3

2 3 −1 4 5 −6 2 3 −4 2 5 2 2 4 −2 3

2 3 −1 5 −6 2 −4 2 5 2 4 −2

16 F 27 2 2 F4 → F4 + F 27 2 F3 → F3 +

= x ⋅ (y − x) ⋅ (z − y) ⋅ (t − z)

D1 2

z

1 x2 x

Considerem la matriu de la dreta: z2

x

=

1

x2

x

−1 9 2 17 0 3 2 0 − 3

3 27 0 − 2 2

F4 → F4 +

5 Sistemes d’equacions lineals II

a)

5 F 2 1 F3 → F3 + 2 F1 F4 → F4 − F1 F2 → F2 −

4. Utilitzarem el mètode de Gauss: D2

1 z

xyz = xyz 

D2

yz

Si multipliquem la primera fila per x, la segona fila per y i la tercera fila per z, el determinant quedarà multiplicat per les tres; és a dir, per xyz; per tant:

F1 → F1 − F4 F2 → F2 − F4 F3 → F3 − F4

⎛ yz x x 2 ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ xz y y ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ xy z z ⎠

t z z z y y x x

b)

En el cas restant (x ≠ 0, y ≠ 0 i z ≠ 0): Anàlogament, la igualtat es compleix si y = 0 o si z = 0.

⎛ 27 ⎞ 17 ⎛ 381 ⎞ = 2 ⋅⎜− ⎟ ⋅ ⋅ − = 127 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎜⎝ 459 ⎟⎠

= yz (yz2 − y2 z) = y2z3 − y3z2 xy z xz yz

= y2z3 − y3z2 1

b) Suposem que x = 0: D2

yz

3. a) Si multipliquem la 3a columna per xyz, el determinant quedarà multiplicat per xyz. Així: 2. PROPIETATS I APLICACIONS DELS DETERMINANTS

66

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 66

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 67

=

=3

2 1 5 −1 3 5 − 0+ 4⋅2 8 −1 21



F4 → F4 − 2 F2

1 0 = 0 0 0

+4

2 −5 10 2 1 5 −2 8 −1 21

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 0 −1 1 −1 4 −4 −4 0

−2 ⋅ 5 ⋅ 3

= 

2 −5 2 2 1 1 −1 3 1

2 −5 10 2 1 5 −3 9 15

=

1 −5 10 1 1 5 − 4 −1 21

=

= 3 ⋅ 82 + 8 ⋅ (−19) − 30 ⋅ 25 = −656 ≠ 0 ⇒ ⇒ rang (B) ≥ 4

1 F4 → F4 + F3 2 F5 → F5 − 2 F3

Com que la matriu té la dimensió 4 × 4, rang (B) = 4.

D7

c) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 1

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 0 0 0 −2 0 0 0 0



1 0 = 0 0 0

=0

5. a) a11  = 2  = 2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 a11 a12 a 21 a 22

=

a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

a13 a 23 a 33

2 −1 1 2

=

= 5 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2

2 −1 4 1 2 3 −1 −2 0

=

= 15 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3 Com que la matriu té dimensió 4 × 3, rang (A) = 3. b) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 1

=1 a11 a 21 a 31 a 41

2 1 5 −3 9 15 − 0 8 −1 21 a12 a 22 a 32 a 42

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

2 −5 10 −3 9 15 5 + 8 −1 21

1 2 −5 10 0 2 1 5 = = 4 −3 9 15 2 8 −1 21

= 69 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 3 a 31

a 33

a 32

a13 a 23

a11 a12 a 21 a 22 a 22

a 21

a12

a11

=

1 2 −5 0 2 1 4 −3 3 9

= 1 2 0 2

Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com a nombres reals; per tant: ⎛ 1⎞ • A−1 = (5)−1 = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ 6. Observem que quan una matriu té dimensió 1, no està definida la seva matriu d’adjunts, per tant 1 ⋅ Adj ( A t ) . A no podem usar la fórmula A −1 =

Com que C té la dimensió 4 × 5, rang (C) = 4. =

= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 + 0 = 2 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 4 =1

= 2 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 2

b) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 1

−2

6

3 −8

−1

−3

6

4 −8

Com que la matriu té dimensió 4 × 3, rang (A) = 3. = 15 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3 a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a 21 a 22

a13 a 23 a 33 =

2 −1 4 1 2 3 −1 −2 0

=

2 −1 1 2

=

= 5 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2

5. a) a11  = 2  = 2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 1 0 = 0 0 0

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 0 0 0 −2 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1 1 0 = =1 0 4 3 −8 0 −3 −2 6 a11 a 21 a 31 a 41

a12 a 22 a 32 a 42

−3 −2 4

3

=

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

1 1 0 4 3 −8 −3 −2 6

=

1 1 0 1 1 2 1 1 = −3 1 3 −11 2 −1 −2 8

=

= −1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 3 a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a 21 a 22

=0

+0

F2 → F2 − F1 F3 → F3 + 3 F1 F4 → F4 − 2 F1 

a13 a 23 a 33 =

=

1 1 0 1 2 1 −3 1 3

1 1 1 2

=

= 1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 2

c) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 1 D7

a11 a12 a 21 a 22 a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

1 2 = 0 2 a13 a 23 a 33

= 2 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 2

1 2 −5 = 0 2 1 4 −3 3 9

=1

a12 a 22 a 32 a 42

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

=

a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

a13 a 23 a 33

1 1 1 2 =

= 1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 2 1 1 0 1 2 1 −3 1 3

=

= −1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 3 a11 a 21 a 31 a 41

a12 a 22 a 32 a 42

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

=

1 1 0 1 0 1 1 0 = =1 0 4 3 −8  0 −3 −2 6

1 1 0 1 1 2 1 1 = −3 1 3 −11 2 −1 −2 8

1 1 0 4 3 −8 −3 −2 6

=

F2 → F2 − F1 F3 → F3 + 3 F1 F4 → F4 − 2 F1

3 −8 −1 −2 6

4 −8 +0 −3 6

4 3 −3 −2

=

= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 + 0 = 2 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 4 Com que C té la dimensió 4 × 5, rang (C) = 4.

1 2 −5 10 0 2 1 5 = = 4 −3 9 15 2 8 −1 21

2 1 5 −3 9 15 − 0 8 −1 21

=

=1

= 69 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 3 a11 a 21 a 31 a 41

a11 a12 a 21 a 22

2 −5 10 −3 9 15 5 + 8 −1 21

6. Observem que quan una matriu té dimensió 1, no està definida la seva matriu d’adjunts, per tant 1 ⋅ Adj ( A t ) . no podem usar la fórmula A −1 = A Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com a nombres reals; per tant: ⎛ 1⎞ • A−1 = (5)−1 = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

5. Sistemes d’equacions lineals II

Com que la matriu té la dimensió 4 × 4, rang (B) = 4.

1 F4 → F4 + F3 2 F5 → F5 − 2 F3

1 0 = 0 0 0

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 0 −1 1 −1 4 −4 −4 0

⇒ rang (B) ≥ 4 = 3 ⋅ 82 + 8 ⋅ (−19) − 30 ⋅ 25 = −656 ≠ 0 ⇒



=

−2 ⋅ 5 ⋅ 3 =3

F4 → F4 − 2 F2

1 0 = 0 0 0

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 8 −3 3 13 4 −4 −4 0



=

+4

2 −5 2 2 1 1 −1 3 1

=

2 1 5 −1 3 5 − 0+ 4⋅2 8 −1 21 2 −5 10 2 1 5 −2 8 −1 21

1 −5 10 1 1 5 − 4 −1 21

2 −5 10 2 1 5 −3 9 15

=



D2

1 0 2 2 4 −1 1 7 0 2 −2 −2 8 −3 3 13 4 −4 −4 0



5. Sistemes d’equacions lineals II

67 

1 0 = 0 0 0

D2

67

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 67 C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 68

68 − 1 ⎞ ⎛ −3 −1 ⎞ = − 5 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 −5 ⎠⎟

— Transposada de C: t

⎛ 3 4⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ Ct = ⎜ =⎜ 3 ⎠⎟ ⎝ −2 3 ⎠⎟ ⎝4 — Adjunta de C t: ⎛ 3 Adj (Ct ) = ⎜ ⎝− −2

− 4 ⎞ ⎛ 3 −4 ⎞ = 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟

⎛ −3 ⎜ = ⎜ 13 ⎜ −2 ⎝ 13 ⎛ −5 −2 −1 ⎞ −1 ⎜ 9 −4 ⎟ • F =⎜ 7 ⎟ ⎝⎜ 2 7 −5 ⎠⎟

−1 ⎞ 13 ⎟ ⎟ −5 ⎟ 13 ⎠

−1

— Inversa de C: — Determinant de F:  F  = 0 ⇒ F no és invertible. 1 C

C −1 =

Adj (Ct ) =

1 ⎛ 3 −4 ⎞ = 17 ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟

4⎞ − ⎟ 17 ⎟ 3⎟ 17 ⎠

⎛ 3 ⎜ 17 =⎜ ⎜ 2 ⎝ 17

2⎞ ⎛ 5 −7 −1 ⎜ 2 −4 ⎟ • G = ⎜0 ⎟ 0 9 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

−1

— Determinant de G:  G  = 90

5

−1

−77 5 2

2⎞ −4 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ = −4 ⎟ ⎟ 0⎟ 2 ⎟⎠

0⎞ ⎛2 −1 • D =⎜ ⎝ 1 −5 ⎠⎟

=

⎛ 18 63 24 ⎞ 1 1 ⎜ t Adj (G ) = 0 45 20 ⎟ = ⎟ 90 ⎜⎜ G 0 10 ⎟⎠ ⎝ 0 5 0 − 2 9

2 −7

— Transposada de G: t

2⎞ 0 0⎞ ⎛ 5 −7 ⎛ 5 Gt = ⎜ 0 2 −4 ⎟ = ⎜ −7 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 9 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎝⎜ 2 −4 9 ⎠⎟

— Determinant de D:  D  = −10 — Transposada de D: t

0⎞ 1⎞ ⎛2 ⎛2 Dt = ⎜ =⎜ ⎝ 1 −5 ⎠⎟ ⎝ 0 −5 ⎠⎟ — Adjunta de Dt: ⎛ −5 Adj (Dt ) = ⎜ ⎝− 1

− 0 ⎞ ⎛ −5 0 ⎞ = 2 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 2 ⎠⎟

— Adjunta de (G t): ⎛ 2 ⎜ −4 ⎜ ⎜ 0 Adj (G)t = ⎜ − ⎜ −4 ⎜ 0 ⎜ 2 ⎝⎜

−7 0 0 − 9 2 9 5 0 − 2 9

−7 2

5

0 5 0 − 0 −7 0

5 2

0 9

−77

2⎞ −4 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ = −4 ⎟ ⎟ 0⎟ 2 ⎠⎟

⎛ 18 63 24 ⎞ = ⎜ 0 45 20 ⎟ ⎟ ⎜ 0 10 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

— Inversa de D: 1 1 ⎛ −5 0 ⎞ Adj (Dt ) = = −10 ⎝⎜ −1 2 ⎠⎟ D

D −1 =

G

−1

— Inversa de G: 0 5 0 − 0 −7 0 0 9

−7 0 0 − 9 2 9

— Transposada de G: — Determinant de G:  G  = 90 −1 −1

⎞ 0⎟ ⎟ −1 ⎟ 5⎠

⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜ 1 ⎝ 10

— Inversa de G: G −1 =

−1

4⎞ 17 ⎟ ⎟ 3⎟ 17 ⎠

−1 • G

2⎞ ⎛ 5 −7 2 −4 ⎟ = ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 9 ⎟⎠

— Determinant de F:  F  = 0 ⇒ F no és invertible.

⎛ 18 63 24 ⎞ 1 1 ⎜ Adj (G t ) = 0 45 20 ⎟ = ⎟ 90 ⎜⎜ G 0 10 ⎠⎟ ⎝ 0

−1 • F

⎛ −5 −2 −1 ⎞ =⎜ 7 9 −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 7 −5 ⎟⎠

−1 ⎞ 13 ⎟ ⎟ −5 ⎟ 13 ⎠

⎛1 ⎜5 ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

— Determinant de E:  E  = 13 — Transposada de E: t

1⎞ 2⎞ ⎛ −5 ⎛ −5 Et = ⎜ =⎜ ⎝ 2 −3 ⎠⎟ ⎝ 1 −3 ⎠⎟

7 10 1 2 0

4⎞ 15 ⎟ ⎟ 2⎟ 9⎟ 1⎟ ⎟ 9⎠

− 1 ⎞ ⎛ −3 −1 ⎞ = − 5 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 −5 ⎟⎠

1⎞ ⎛ −5 −1 • E =⎜ ⎝ 2 −3 ⎠⎟

−

1 ⎛ 3 −4 ⎞ Adj (C ) = = 17 ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ t

− 4 ⎞ ⎛ 3 −4 ⎞ = 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ t

— Inversa de E: 1 1 ⎛ −3 −1 ⎞ E −1 = Adj (Et ) = = 13 ⎜⎝ −2 −5 ⎟⎠ E

−1

−1

5 Sistemes d’equacions lineals II

5 Sistemes d’equacions lineals II

— Adjunta de Et: ⎛ −3 Adj (Et ) = ⎜ ⎝− 2

⎛ 1 ⎞ • B−1 = (−3)−1 = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ −1

4⎞ 15 ⎟ ⎟ 2⎟ 9⎟ 1⎟ ⎟ 9⎠

⎛ 3 4⎞ • C −1 = ⎜ ⎝ −2 3 ⎠⎟

0 7 10 1 2

— Inversa de E: 1 1 ⎛ −3 −1 ⎞ Adj (Et ) = = 13 ⎝⎜ −2 −5 ⎠⎟ E

⎛1 ⎜5 ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

E −1 =

t

−1

⎞ 0⎟ ⎟ −1 ⎟ 5⎠ − 0 ⎞ ⎛ −5 0 ⎞ = 2 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ t

— Adjunta de (G t): ⎛ 2 ⎜ −4 ⎜ ⎜ 0 t Adj (G) = ⎜ − ⎜ −4 ⎜ 0 ⎜ ⎜⎝ 2

2⎞ 0 0⎞ ⎛ 5 −7 ⎛ 5 Gt = ⎜ 0 2 −4 ⎟ = ⎜ −7 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎜⎝ 2 −4 9 ⎟⎠ 0 9 ⎟⎠ t

−1

1 = C

— Determinant de C:  C  = 17

1⎞ 2⎞ ⎛ −5 ⎛ −5 Et = ⎜ =⎜ ⎝ 2 −3 ⎟⎠ ⎝ 1 −3 ⎟⎠ — Transposada de E: — Determinant de E:  E  = 13 1⎞ ⎛ −5 −1 • E =⎜ ⎝ 2 −3 ⎟⎠

⎛1 ⎜2 =⎜ ⎜ 1 ⎝ 10 D −1

⎛ 18 63 24 ⎞ = ⎜ 0 45 20 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 10 ⎟⎠

1 1 ⎛ −5 0 ⎞ = Adj (Dt ) = = −10 ⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ D

— Inversa de D: ⎛ −5 Adj (Dt ) = ⎜ ⎝− 1 — Adjunta de Dt: 0⎞ 1⎞ ⎛2 ⎛2 Dt = ⎜ =⎜ ⎟ ⎝ 1 −5 ⎠ ⎝ 0 −5 ⎟⎠ — Transposada de D: — Determinant de D:  D  = −10 −1 • D

0⎞ ⎛2 =⎜ ⎟⎠ 1 5 − ⎝

⎛ 3 ⎜ 17 =⎜ ⎜ 2 ⎝ 17 C

−1

— Inversa de C: ⎛ 3 Adj (Ct ) = ⎜ ⎝− −2 — Adjunta de C t:

⎛ −3 ⎜ = ⎜ 13 ⎜ −2 ⎝ 13

⎛ 3 4⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ Ct = ⎜ =⎜ ⎟ 3 ⎟⎠ ⎝ −2 3 ⎠ ⎝4 — Transposada de C: — Determinant de C:  C  = 17 ⎛ 3 4⎞ • C −1 = ⎜ ⎝ −2 3 ⎟⎠

⎛ −3 Adj (Et ) = ⎜ ⎝− 2

⎛ 1 ⎞ • B = (−3) = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ −1

— Adjunta de Et:

68

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 68

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

C M Y K

A =

1 −1 = 0 ⇒ rang ( A ) < 2 −1 1

• L’únic menor d’ordre 2 de A és • a11 = 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 El rang de A és 1, per tant: ⎛ 1 −1 ⎞ A =⎜ 1⎟⎠ ⎝ −1

1⎞ ⎛ 1 −1 A′ = ⎜ 1 −1 ⎟⎠ ⎝ −1

5. Sistemes d’equacions lineals II

Página 69

69 ⎛ −4 −4 2 3 3 2⎞ − ⎜ −1 6 2 6 2 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 −2 0 1⎟ 1 −2 ⎟ = − = ⎜− 2 6 2 −1 ⎟ −1 6 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ 1 −2 0 −2 ⎜ − ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ 2 3 −4 −4 Adj (I t) = — Adjunta de I t: 2⎞ 1 −2 ⎞ ⎛ 0 −4 ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ I = 1 2 −1 = −4 2 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −2 ⎟ ⎜ 3 6⎠ 6 ⎟⎠ ⎝ 2 −1

b) Les matrius associades al sistema són:

t

t

— Transposada de I: — Determinant de I:  I  = 30

5⎞ ⎛ 3 −1 −1 ⎜ ⎟ 3 − 2 • H = ⎜ −1 ⎟ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 −2

−1

⎛ 15 30 0 ⎞ = ⎜ −4 4 2⎟ ⎜ ⎟ 8 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 7

— Determinant de H:  H  = −35 — Transposada de H: t

5⎞ 5⎞ ⎛ 3 −1 ⎛ 3 −1 Ht = ⎜ −1 3 −2 ⎟ = ⎜ −1 3 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎠⎟ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 −2 ⎝⎜ 5 −2

— Inversa de I: I −1 =

⎛ 15 30 0 ⎞ 1 1 ⎜ 4 4 2⎟ = Adj (It ) = − ⎟ 30 ⎜⎜ I 8 4 ⎠⎟ ⎝ 7

— Adjunta de Ht: ⎛ −1 −2 −1 3 ⎞ 3 −2 ⎜ −2 4 − 5 4 5 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 5 3 5 3 −1 ⎟ ⎟ = − Adj (H)t = ⎜ − 5 4 5 −2 ⎟ ⎜ −2 4 ⎜ ⎟ 3 −1 ⎟ ⎜ −1 5 − 3 5 3 −2 −1 −2 −1 3 ⎠⎟ ⎝⎜

−1 • I

2⎞ ⎛ 0 −4 = ⎜ 1 2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −2 3 6 ⎟⎠

i, com que n = 2, és un sistema compatible determinat. rang (A) = rang (A′) = 2 ⇒ Sistema compatible Per tant: • La dimensió de A′ és 2 × 3 ⇒ rang (A′) ≤ 2.

−1

• rang (A′) ≥ rang (A) = 2

⎛ 8 ⎜ − 35 ⎜ 6 =⎜ ⎜ 35 ⎜ 13 ⎜ ⎝ 35

− 6 −13 ⎞ ⎛ 8 = ⎜ − 6 −13 1⎟ ⎜ ⎟ 1 8 ⎠⎟ ⎝⎜ −13 — Inversa de H: H −1

⎛ 8 − 6 −13 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ = = Adj (Ht ) = − − 6 13 1 ⎟ −35 ⎜⎜ H 1 8 ⎠⎟ ⎝ −13 ⎛ 8 ⎜− 35 ⎜ 6 =⎜ ⎜ 35 ⎜ 13 ⎜ ⎝ 35

H −1 =

6 35 13 35 1 − 35

13 ⎞ 35 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 35 ⎟ 8⎟ − ⎟ 35 ⎠

⎛ 8 − 6 −13 ⎞ 1 1 ⎜ Adj (Ht ) = − 6 −13 1⎟ = ⎟ −35 ⎜⎜ H 1 8 ⎟⎠ ⎝ −13

— Inversa de H: − 6 −13 ⎞ ⎛ 8 ⎜ = − 6 −13 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −13 1 8 ⎟⎠

El rang de A′ també és 2, perquè: • A =

1 2 1 −1

⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 2 = ⎜− ⎜ 15 ⎜ 7 ⎜ ⎝ 30

2⎞ ⎛ 0 −4 −1 ⎜ ⎟ • I = ⎜ 1 2 −1 ⎟ 3 6 ⎠⎟ ⎝⎜ −2

6 35 13 35 1 − 35

13 ⎞ 35 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 35 ⎟ 8⎟ − ⎟ 35 ⎠

⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 2 = ⎜− ⎜ 15 ⎜ 7 ⎜ ⎝ 30

1 2 15 4 15

⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 15 ⎟ 2⎟ ⎟ 15 ⎠

3. CLASSIFICACIÓ I RESOLUCIÓ DE SISTEMES 7. a ) Les matrius associades al sistema són: ⎛1 2 ⎞ A =⎜ ⎝ 1 −1⎠⎟

⎛1 2 1⎞ A′ = ⎜ ⎝ 1 −1 2 ⎠⎟

El rang de A és 2, perquè: • La dimensió de A és 2 × 2 ⇒ rang (A) ≤ 2. • A =

1 2 1 −1

= −3 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2

El rang de A′ també és 2, perquè: • rang (A′) ≥ rang (A) = 2

−1

• La dimensió de A′ és 2 × 3 ⇒ rang (A′) ≤ 2. Per tant: rang (A) = rang (A′) = 2 ⇒ Sistema compatible

— Determinant de I:  I  = 30 — Transposada de I: t

2⎞ 1 −2 ⎞ ⎛ 0 −4 ⎛ 0 It = ⎜ 1 2 −1 ⎟ = ⎜ −4 2 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 6 ⎠⎟ 6 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 ⎝⎜ 2 −1

i, com que n = 2, és un sistema compatible determinat. b) Les matrius associades al sistema són: ⎛ 1 −1 ⎞ A =⎜ 1⎠⎟ ⎝ −1

— Adjunta de I t: Adj (I t) = ⎛ −4 −4 2 3 3 2⎞ − ⎜ −1 6 2 6 2 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 −2 0 1⎟ 1 −2 ⎟ = − = ⎜− 2 6 2 −1 ⎟ −1 6 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ 1 −2 0 −2 ⎜ − 3 2 ⎠⎟ 2 3 −4 −4 ⎝⎜

1⎞ ⎛ 1 −1 A′ = ⎜ 1 −1 ⎠⎟ ⎝ −1

El rang de A és 1, per tant: • a11 = 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 • L’únic menor d’ordre 2 de A és 1 −1 = 0 ⇒ rang ( A ) < 2 −1 1

A =

5. Sistemes d’equacions lineals II

I

t

5⎞ ⎛ 3 −1 = ⎜ −1 3 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 −2 4 ⎟⎠

= −3 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2

• La dimensió de A és 2 × 2 ⇒ rang (A) ≤ 2. El rang de A és 2, perquè: ⎛1 2 ⎞ A =⎜ ⎝ 1 −1⎟⎠

⎛1 2 1⎞ A′ = ⎜ ⎝ 1 −1 2 ⎟⎠

7. a ) Les matrius associades al sistema són: 3. CLASSIFICACIÓ I RESOLUCIÓ DE SISTEMES

— Adjunta de Ht: ⎛ −1 −2 −1 3 ⎞ 3 −2 ⎜ −2 4 − 5 4 5 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 5 ⎟ 3 5 3 − 1 ⎟ = − Adj (H)t = ⎜ − − 2 4 5 4 5 − 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1 5 3 5 3 − 1 ⎜ ⎟ − ⎜⎝ 3 −2 −1 −2 −1 3 ⎟⎠ 5⎞ 5⎞ ⎛ 3 −1 ⎛ 3 −1 t ⎜ ⎟ ⎜ H = −1 3 −2 = −1 3 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 −2 ⎟ ⎜ 4⎠ 4 ⎟⎠ ⎝ 5 −2

2 15 4 15 1

⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 15 ⎟ 2⎟ ⎟ 15 ⎠

⎛ 15 30 0 ⎞ 1 1 ⎜ t 4 2⎟ = = Adj (I ) = −4 ⎟ 30 ⎜⎜ I 8 4 ⎟⎠ ⎝ 7

−1

— Transposada de H: — Determinant de H:  H  = −35 • H

−1

— Inversa de I: ⎛ 15 30 0 ⎞ = ⎜ −4 4 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 7 8 4 ⎟⎠

−1

69

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 69

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 70

70 El rang de A′ també és 1, perquè:

−1

−1

1

1

= 0, per tant, rang ( A ′) < 2.

⎛ 2 −1 3 −3 ⎞ A′ = ⎜1 1 1 0⎟ ⎜ ⎟ 5 1 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2

Calculem el rang de cadascuna:

•

A =

−1 1 −1 5 1 2 = 0 ⇒ rang ( A ) < 3 4 2 1

a11 a12 a 21 a 22

=

−1 1 = −6 ≠ 0 ⇒ 5 1

Per tant, rang (A) = 2. •

−1 1 5 1

és un menor no nul de A′ ⇒

• Els únics orlats d’aquest menor en A′ són: −1 1 5 1

A =0

−1 −3

4 2

= 0 ⇒ rang ( A ) < 3

= −24 ≠ 0

0

Per tant, rang (A′) ≥ 3. • La dimensió de A′ és 3 × 4 ⇒ rang (A′) ≤ 3

2

−3 0

5

Per tant, rang (A′) = 3. Així, rang (A) = 2 ≠ 3 = rang (A′) ⇒ Sistema incompatible

Aquell sistema era incompatible, la qual cosa significa que cap terna de valors satisfà simultàniament les tres primeres equacions. Per tant, cap terna de valors satisfarà les quatre equacions d’aquest sistema. Així, el sistema és incompatible.

=0 f) Les matrius associades al sistema són:

3

Per tant, rang (A′) < 3

1 2 1⎞ ⎛2 A′ = ⎜1 2 1 −1 ⎟ ⎟ ⎜ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 −1 −1

Calculem el rang de A: 2 1 2 2 1 = −6 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 3 • A = 1 1 −1 −1 • Com que A′ té dimensió 3 × 4 i A ≠ 0, rang (A′) = 3. Per tant:

5 Sistemes d’equacions lineals II

• rang (A′) ≥ rang (A) = 1. •

• Els únics orlats de a11 són: A =0 i

⇒ rang (A) ≥ 2

Per tant: rang (A) = rang (A′) = 1 ⇒ Sistema compatible i com que n = 2 > 1 és indeterminat.

⇒ rang (A′) ≥ 2

c ) Les matrius associades al sistema són: ⎛ 2 −1 3 ⎞ A = ⎜1 1 1⎟ ⎜ ⎟ 5 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 Calculem el rang de A: 2 −1 3 1 1 • A = 1 2 5 1

2 −1 = = 3 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 1 1

Per tant, rang (A) = 2. e) Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat anterior una equació (l’última, 3 x + 3 y = −1).

Calculem el rang de A′: 2 −1 també és un menor no nul de 1 1 A′ ⇒ rang (A′) ≥ 2 • Els únics orlats del menor anterior són: 2 −1 1 1

A =0

1 2⎞ ⎛2 2 1⎟ A = ⎜1 ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 −1 −1 ⎠⎟

Per tant, rang (A′) = 2. Així, rang (A) = 2 = rang (A′) ⇒ Sistema compatible i, com que n = 3 > 2, és un sistema indeterminat. d) Les matrius associades al sistema són:

0

•

1 2 1⎞ ⎛2 ⎜ A′ = 1 2 1 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 −1 −1 4 ⎟⎠ 4 2

= −24 ≠ 0

−1 1 = −6 ≠ 0 ⇒ 5 1

rang (A) = rang (A′) = 3 ⇒ Sistema compatible

=

⎛ −1 1 −1⎞ A = ⎜ 5 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 2 1⎠⎟

A =0 a11 a12 a 21 a 22

a11 a12 a 21 a 22

n = 3 ⇒ determinat rang (A) = rang (A′) = 3 ⇒ Sistema compatible Per tant: • Com que A′ té dimensió 3 × 4 i A ≠ 0, rang (A′) = 3. 2 1 2 2 1 = −6 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 3 • A = 1 1 −1 −1 Calculem el rang de A: 1 2⎞ ⎛2 ⎜ 2 1⎟ A = 1 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 −1 −1 ⎟⎠

f) Les matrius associades al sistema són: Per tant, cap terna de valors satisfarà les quatre equacions d’aquest sistema. Aquell sistema era incompatible, la qual cosa significa que cap terna de valors satisfà simultàniament les tres primeres equacions. Així, rang (A) = 2 ≠ 3 = rang (A′) ⇒ Sistema incompatible Per tant, rang (A′) = 3. Per tant, rang (A′) ≥ 3. −1 −3

• Els únics orlats d’aquest menor en A′ són: és un menor no nul de A′ ⇒

•

•

3 =0

Així, el sistema és incompatible.

2 −1 = 3 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 1 1 = 0, per tant, rang ( A ′) < 2.

n = 3 ⇒ determinat

=

1

−1

−1 1 −1 5 1 2 = 0 ⇒ rang ( A ) < 3 4 2 1

⎛ −1 1 −1 −1 ⎞ A′ = ⎜ 5 1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 2 1

5

−3 0

2 −1 també és un menor no nul de 1 1 a11 a12 a 21 a 22

• La dimensió de A′ és 3 × 4 ⇒ rang (A′) ≤ 3 = 0 ⇒ rang ( A ) < 3 ⎛ 2 −1 3 −3 ⎞ A′ = ⎜1 1 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 5 1 3 ⎟⎠

−1 1 5 1

Per tant, rang (A) = 2. ⇒ rang (A) ≥ 2

1

−1

A =

5 Sistemes d’equacions lineals II

⎛ −1 1 −1 −1 ⎞ A′ = ⎜ 5 1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 2 1 0 ⎟⎠ ⎛ −1 1 −1⎞ A = ⎜ 5 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 2 1⎟⎠ d) Les matrius associades al sistema són: i, com que n = 3 > 2, és un sistema indeterminat. Així, rang (A) = 2 = rang (A′) ⇒ Sistema compatible Per tant, rang (A′) = 2. Per tant, rang (A′) < 3 2 A =0

2 −1 1 1

• Els únics orlats del menor anterior són: A′ ⇒ rang (A′) ≥ 2 •

e) Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat anterior una equació (l’última, 3 x + 3 y = −1).

Calculem el rang de A′: Per tant, rang (A) = 2. •

2 −1 3 1 1 • A = 1 2 5 1

−1 1 5 1

Calculem el rang de A: ⎛ 2 −1 3 ⎞ A = ⎜1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 5 1 ⎟⎠

⇒ rang (A′) ≥ 2

c ) Les matrius associades al sistema són: •

i com que n = 2 > 1 és indeterminat. rang (A) = rang (A′) = 1 ⇒ Sistema compatible Per tant: A =0 i

• Els únics orlats de a11 són:

•

• rang (A′) ≥ rang (A) = 1. El rang de A′ també és 1, perquè:

Calculem el rang de cadascuna:

70

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 70

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 71

71 ⎛ 2 4 5 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1 3 3 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

La solució del sistema és x = 1, y = 2, z = −1. 1 = −16

⎛ −2 −4 −5 ⎞ ⋅ ⎜ −8 0 4⎟ ⎜ ⎟ 4 1 ⎠⎟ ⎝⎜ −6

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és regular; és a dir  A  ≠ 0: 2 4 5 A = 1 3 3 3 3 2

1 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛1 ⎜ y ⎟ = ⎜1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ 8⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −4 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 ⎠⎟ −1

⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ 8⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ − 4 ⎠⎟

Multiplicant per l’esquerra els dos membres de l’equació matricial anterior per la inversa de la matriu de coeficients:

9. a ) La matriu de coeficients i el seu determinant són: ⎛ 2 4 5⎞ A = ⎜1 3 3⎟ , ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 3 2 ⎟⎠

⎛ x ⎞ ⎛ 2 4 5⎞ ⎜ y ⎟ = ⎜1 3 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3 2 ⎟⎠

1 = −8

−1

= −8 ≠ 0

⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ −1 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

7 −3 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −3 ⎜ ⋅ 7 −11 −1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −6 6 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠

1 1 Δ1 = −8 A

1 4 5 −1 3 3 2 3 2

=2

y =

1 1 Δ2 = −8 A

2 1 5 1 −1 3 3 2 2

= −2

1 1 z= Δ3 = 8 − A

1 1⎞ ⎛1 A = ⎜1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 −2 2 ⎟⎠ 1 1 1 A = 1 2 −3 = −16 ≠ 0 2 −2 2

1 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎜1 2 −3 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 −2 2 ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ −4 ⎟⎠

Comprovem que la matriu de coeficients és regular:

10. b) En aquest cas obtenim directament la solució: 1 1 Δ3 = −16 A

z=

1 1 y = Δ2 = −16 A 1 1 Δ1 = −16 A

x =

−1

⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ −1 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟

Multiplicant per l’esquerra els dos membres de l’equació matricial anterior per la inversa de la matriu de coeficients:

=

1 −16

−1

⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ 8⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ − 4 ⎟⎠

⎛ −2 −4 −5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ −8 0 4 ⎟ ⋅ ⎜ 8⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 1 ⎟⎠ ⎜⎝ −4 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 ⎟⎠ ⎝⎜ −6

y =

Per tant, podem resoldre el sistema mitjançant el mètode de la matriu inversa: x =

1 1 Δ3 = −8 A 1 1 Δ2 = −8 A 1 1 Δ1 = −8 A

= −8 ≠ 0

Comprovem que la matriu de coeficients, A, és regular; és a dir  A  ≠ 0: ⎛ 2 4 5 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1 3 3 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 3 2 ⎠⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟

La solució del sistema és x = 1, y = 2, z = −1.

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, la matriu de coeficients del qual és regular; per tant, es pot resoldre mitjançant Cramer:

1 1 x = Δ1 = −16 A

y =

1 1 Δ2 = −16 A

1 1 z= Δ3 = −16 A

2 1 1 8 2 −3 = 1 −4 −2 2 1 2 1 1 8 −3 = 2 2 −4 2 1 1 2 1 2 8 2 −2 −4

= −1

10. b) En aquest cas obtenim directament la solució: x = 1− λ − μ y =λ z=μ

5. Sistemes d’equacions lineals II

2 4 5 A = 1 3 3 3 3 2

8. a ) Podem escriure el sistema matricialment:

2 1 1 8 2 −3 = 1 −4 −2 2

b) La matriu de coeficients i el seu determinant són: z=

⎛ x ⎞ ⎛ 2 4 5⎞ ⎜ y ⎟ = ⎜1 3 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ 3 3 2 ⎠⎟

1 2 1 1 8 −3 = 2 2 −4 2

1 1⎞ ⎛1 A = ⎜1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2

La solució del sistema és x = 2, y = −2, z = 1. 7 −3 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −3 ⋅ ⎜ 7 −11 −1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1⎠⎟ ⎝⎜ −6

= −1

1 1 1 A = 1 2 −3 = −16 ≠ 0 2 −2 2

b ) Escrivim el sistema en notació matricial: 1 = −8

1 1 2 1 2 8 2 −2 −4

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, la matriu de coeficients del qual és regular; per tant, es pot resoldre mitjançant Cramer:

1 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎜1 2 −3 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ −4 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2

1 1 1 1 2 −3 = −16 ≠ 0 2 −2 2

2 4 1 1 3 −1 = 1 3 3 2

b) La matriu de coeficients i el seu determinant són:

b ) Escrivim el sistema en notació matricial:

Comprovem que la matriu de coeficients és regular:

= −8 ≠ 0

x =

La solució del sistema és x = 2, y = −2, z = 1.

1 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛1 ⎜ y ⎟ = ⎜1 2 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 2 −2 2 ⎟⎠

2 4 5 A = 1 3 3 3 3 2

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, amb la matriu de coeficients regular; per tant, es pot resoldre per mitjà de Cramer:

Per tant, podem resoldre el sistema mitjançant el mètode de la matriu inversa:

1 1 1 1 2 −3 = −16 ≠ 0 2 −2 2

x = 1− λ − μ y =λ z=μ

5. Sistemes d’equacions lineals II

8. a ) Podem escriure el sistema matricialment:

2 4 1 1 3 −1 = 1 3 3 2 2 1 5 1 −1 3 3 2 2 1 4 5 −1 3 3 2 3 2

= −2 =2

És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, amb la matriu de coeficients regular; per tant, es pot resoldre per mitjà de Cramer: ⎛ 2 4 5⎞ A = ⎜1 3 3⎟ , ⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 3 2 ⎠⎟

2 4 5 A = 1 3 3 3 3 2

= −8 ≠ 0

9. a ) La matriu de coeficients i el seu determinant són:

71

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 71 C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 72

72 Així, A invertible ⇔ m ∉ {0, −2}.

−1 −1 1 2

B =

m 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

1 1 =1≠0 1 1

Així, B invertible per a tot m. ACTIVITATS Qüestions 13. Efectuem el producte A ⋅ B:

= −1 ≠ 0 és d’ordre 2, per tant,

−1 −1 1 2 a

⎛ 1 11⎞ =⎜ ⎝ 2 −4 ⎠⎟ Calculem els determinants de les matrius que ens interessen: 1

3

0 −2

= −2 ; B =

A ⋅B =

=

1

−1 −1 1 2 a

4 5 −1 2

= 13

1 11 = −26 2 −4

En efecte, AB  = −2 ⋅ 13 = −26 = A ⋅ B . 14. Utilitzarem que: =

Per a qualsevol parell de matrius quadrades del mateix ordre, A i B, es compleix:

1

5 Sistemes d’equacions lineals II

1− λ 1 4−λ 1 1− λ − 4 + λ 3 = =− x = 2 2 1 1 −1 1

1 1− λ −1 4 − λ 4 − λ +1− λ 5 y = = = −λ 2 2 1 1 −1 1

z=λ

3⎞ ⎛ 4 5⎞ ⎛1 A ⋅B = ⎜ ⋅ = ⎝ 0 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 2 ⎠⎟ 1 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2⎞ ⎛ 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1) =⎜ = ⎝ 0 ⋅ 4 + (−2) ⋅ (−1) 0 ⋅ 5 + (−2) ⋅ 2 ⎠⎟

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 11. El menor

rang (A) ≥ 2. Com que la matriu A té dimensió 3 × 4, rang (A) = = 3 ⇔ algun orlat del menor anterior és no nul.

A =

Calculem tots els orlats del menor anterior: 1 −a 1

= 1 + a2 − 2 − (−1 + 2 a + a) = a2 − 3 a a 1 1

= a − a − 2 − (−1 + 2 a2 − 1) = −2 a2 Els valors de a que anul·len els orlats anteriors són: a2 − 3 a = 0, a (a − 3) = 0 ⇒ ⇒ a = 0 o a = 3, −2 a2 = 0 ⇒ a = 0

A ⋅ B  = A B  a) Suposem que es compleixi C2 = C. Si prenem determinants: C2  = C  Ara bé, C2  = C ⋅ C  = C  C  = C  2 Així, substituint en la igualtat anterior: C  2 = C  ⇒ C  (C  − 1) = 0 ⇒

Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nul perquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3: a = 0 ⇒ rang (A) = 2 a ≠ 0 ⇒ rang (A) = 3

= 13

⇒ C  = 0 o C  = 1 Així, doncs, l’afirmació és certa. b) Suposem que C ⋅ C t = I. Si prenem determinants: C ⋅ C t  = I  Ara bé, C ⋅ C t  = C  C t  = C  C  = C  2 i I  = 1. ↑ D1

= m ⋅ (m + 2) = 0 ⇔

4 5 −1 2

1 1 =1≠0 1 1

12. Una matriu té inversa si, i només si, és quadrada i el seu determinant és no nul. Per tant, hem de veure per a quins valors de m els determinants de A i B són no nuls:

1 11 = −26 2 −4

= −2 ; B =

c)

x + y + z = 1⎫ ⎬ −x + y + z = 4 ⎭

Aleshores, l’afirmació és certa. C  2 = 1 ⇒ C  = 1 o C  = −1 D1

Per a qualsevol parell de matrius quadrades del mateix ordre, A i B, es compleix: A ⋅B = 1 3 0 −2

Per tant: C  2 = 1 ⇒ C  = 1 o C  = −1

0 1 1 1

A =

= m ⋅ (m + 2) = 0 ⇔

Per tant: C ⋅ C t  = C  C t  = C  C  = C  2 i I  = 1. ↑ Ara bé, Si prenem determinants: C ⋅ C t  = I  b) Suposem que C ⋅ C t = I. Així, doncs, l’afirmació és certa. ⇒ C  = 0 o C  = 1 C  2 = C  ⇒ C  (C  − 1) = 0 ⇒ Així, substituint en la igualtat anterior: Ara bé, C2  = C ⋅ C  = C  C  = C  2 Si prenem determinants: C2  = C  a) Suposem que es compleixi C2 = C. A ⋅ B  = A B 

1 =

14. Utilitzarem que: En efecte, AB  = −2 ⋅ 13 = −26 = A ⋅ B .

1 =

A =

Calculem els determinants de les matrius que ens interessen: ⎛ 1 11⎞ =⎜ ⎝ 2 −4 ⎟⎠ Qüestions ACTIVITATS 1 0 0 1

m 0 0 1 m 1 0 −2 1

a

−1 −1 1 2

2

a

−1 −1 1 2

= −1 ≠ 0 és d’ordre 2, per tant, 4 − λ +1− λ 5 = −λ 2 2

B =

m 0 1 1

⇔ m = 0 o m = −2

⇔ m = 0 o m = −2 −1 −1 1 2

1 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2⎞ ⎛ 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1) =⎜ = ⎝ 0 ⋅ 4 + (−2) ⋅ (−1) 0 ⋅ 5 + (−2) ⋅ 2 ⎟⎠ ⎛ 4 5⎞ ⋅⎜ = ⎝ −1 2 ⎟⎠

13. Efectuem el producte A ⋅ B: =

Així, B invertible per a tot m. 1− λ − 4 + λ 3 =− 2 2

=

1− λ 1 4−λ 1

x + y + z = 1⎫ ⎬ −x + y + z = 4 ⎭

5 Sistemes d’equacions lineals II

A =

m 0 0 1 m 1 0 −2 1

12. Una matriu té inversa si, i només si, és quadrada i el seu determinant és no nul. Per tant, hem de veure per a quins valors de m els determinants de A i B són no nuls: a ≠ 0 ⇒ rang (A) = 3 a = 0 ⇒ rang (A) = 2 Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nul perquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3: a2 − 3 a = 0, a (a − 3) = 0 ⇒ ⇒ a = 0 o a = 3, −2 a2 = 0 ⇒ a = 0 Els valors de a que anul·len els orlats anteriors són: = a − a − 2 − (−1 + 2 a − 1) = −2 a2 2

1 a 1

= 1 + a − 2 − (−1 + 2 a + a) = a − 3 a 2

1 1 −a

Calculem tots els orlats del menor anterior: rang (A) ≥ 2. Com que la matriu A té dimensió 3 × 4, rang (A) = = 3 ⇔ algun orlat del menor anterior és no nul. 11. El menor

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

3⎞ ⎛1 A ⋅B = ⎜ 0 − 2 ⎟⎠ ⎝

z=λ 1 1 −1 1

y =

1 1− λ −1 4 − λ 1 1 −1 1

x =

Aleshores, l’afirmació és certa.

c)

Així, A invertible ⇔ m ∉ {0, −2}.

72

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 72

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 73

73 + 3 ⋅ 2 ⋅ (−2) − [0 ⋅ 1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 5 ⋅ (−1) + + 3 ⋅ 2 ⋅ 0] = −25 −1 2 0 0 1 −2 3 5 3

Prenent determinants: C ⋅ C −1  = I 

c)

Ara bé, C ⋅ C −1  = C C −1  i I = 1, aleshores: C

b)

D3

= −1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 +

b)

C −1 = 1 ⇒ C −1 =

1 C

d)

16. Per la propietat D4, en permutar les files F1 i F3, el determinant canvia de signe.

20. a)

3 2 1 5 −2 −3 = 3 ⋅ (−2) ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 ⋅ 1 + −2 4 4

En multiplicar la segona fila per 3, el determinant queda multiplicat per 3.

−4 3 2 1

f)

0 5 −11 4

e)

2 −1 6 3

d)

+ 0 ⋅ 2 ⋅ (−2) − [0 ⋅ (−3) ⋅ 0 + 4 ⋅ (−2) ⋅ 1 + + 1 ⋅ 2 ⋅ (−1)] = 7 19. a) Desenvolupem per la primera fila:

Finalment, en sumar a la tercera fila una combinació lineal de les anteriors, el determinant no canvia.

1 1 1 1 2 2 −1 1 =1 3 2 −2 1 1 −1 4 −1

Així: F1 ↔ F3 ———

−A

F2 → 3 F2 —— ——

−3 A

F3 → F3 + 2 F1 ———— ——

−3 A

2 −1 −1

Per tant, el determinant de la nova matriu és −3 A. Exercicis i problemes

5 2 −7 3

=

d a g e b h f c i



=

D4

d e f a b c g h i



=−

a b c d e f g h i

= −k

= 5 ⋅ (−30) − 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ 19 − 0 = −178 −0

= −4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = −10 = 0 ⋅ 4 − 5 ⋅ (−11) = 55

−3

= 2 ⋅ 3 − (−1) ⋅ 6 = 12

−3 2 −1 1 −1 −1 1 2 2

=

−3 −1 −3 1 −1 3 +2 1 2 4

5 3 2 0 −3 2 −1 −3 1 −1 −1 3 1 2 2 4

= 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−7) = 29

17. a)

1 0 −3 2

−1

= 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ (−3) = 2

−3 2 −3 1 −1 3 − 1 2 4 2 −1 −3 −1 −1 3 − 2 2 4

=5

b) Desenvolupem per la primera fila: −4 2 1 −2

b) b)

−4 2 1 −2

c)

5 2 −7 3

= 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−7) = 29

d)

2 −1 6 3

= 2 ⋅ 3 − (−1) ⋅ 6 = 12

e)

0 5 −11 4

f)

−4 3 2 1

= 4 ⋅ 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1) ⋅ 2 +

1 2 0 −1 −3 −2 = 1 ⋅ (−3) ⋅ 1 + (−1) ⋅ 4 ⋅ 0 + 0 4 1

c)

a a −c d d −f + g g −i



D1

+ (−2) ⋅ 2 ⋅ (−3) − [1 ⋅ (−2) ⋅ (−2) + + (−3) ⋅ 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 ⋅ 5] = 0

A és invertible ⇔ A ≠ 0 ⇔ A té un menor no nul d’ordre màxim, n (que és A) ⇔ rang A = n.

A

4 1 2 3 0 1 2 −1 4

+ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − [2 ⋅ 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) ⋅ 4 + + 4 ⋅ 1 ⋅ 3] = −12

15. És certa, ja que:

18. a)

a + b a −c d + e d −f g + h g −i

5. Sistemes d’equacions lineals II

c) Per definició d’inversa, C ⋅ C−1 = I.

1

2 −1 1 2 −2 1 − −1 4 −1 2

2

1

3 −2 1 +1 3 2 1 − 1 4 −1 1 −1 −1 2 2 −1 3 2 −2 1 −1 4

=

= 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ (−11) = 7

= (−4) ⋅ (−2) − 2 ⋅ 1 = 6

b) Desenvolupem per la primera fila:

1 0 −3 2

17. a)

= (−4) ⋅ (−2) − 2 ⋅ 1 = 6

= 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ (−11) = 7

= 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ (−3) = 2

−1

Exercicis i problemes Per tant, el determinant de la nova matriu és −3 A. A

F1 ↔ F3 ———

−A

F2 → 3 F2 —— ——

−3 A

F3 → F3 + 2 F1 ———— ——

−1

2 2 −1 3 2 −2 1 −1 4

=

3 −2 1 +1 3 2 1 − 1 4 −1 1 −1 −1 2 −1

−3 A

1

1 1 1 1 2 2 −1 1 =1 3 2 −2 1 1 −1 4 −1

Així: Finalment, en sumar a la tercera fila una combinació lineal de les anteriors, el determinant no canvia. En multiplicar la segona fila per 3, el determinant queda multiplicat per 3.

18. a)

−3

= 0 ⋅ 4 − 5 ⋅ (−11) = 55

= −4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = −10 −0

3 2 1 5 −2 −3 = 3 ⋅ (−2) ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 ⋅ 1 + −2 4 4

−1 2 0 0 1 −2 3 5 3

−3 −1 −3 1 −1 3 +2 1 2 4 −3 2 −1 1 −1 −1 1 2 2

+ 3 ⋅ 2 ⋅ (−2) − [0 ⋅ 1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 5 ⋅ (−1) + + 3 ⋅ 2 ⋅ 0] = −25

2 −1 −3 3 − 4

−1 −1 2 2

−3 2 −3 1 −1 3 − 1 2 4

=

= 5 ⋅ (−30) − 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ 19 − 0 = −178 20. a)

d a g e b h f c i

= 

d e f a b c g h i

D1

= −1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 +

=5

b)

a + b a −c d + e d −f g + h g −i

=− 

a b c d e f g h i

D4

= 

D3

a a −c d d −f + g g −i

= −k

5. Sistemes d’equacions lineals II

+ (−2) ⋅ 2 ⋅ (−3) − [1 ⋅ (−2) ⋅ (−2) + + (−3) ⋅ 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 ⋅ 5] = 0

2

2

1

2 −1 1 2 −2 1 − −1 4 −1

19. a) Desenvolupem per la primera fila: + 0 ⋅ 2 ⋅ (−2) − [0 ⋅ (−3) ⋅ 0 + 4 ⋅ (−2) ⋅ 1 + + 1 ⋅ 2 ⋅ (−1)] = 7

16. Per la propietat D4, en permutar les files F1 i F3, el determinant canvia de signe.

1 2 0 −1 −3 −2 = 1 ⋅ (−3) ⋅ 1 + (−1) ⋅ 4 ⋅ 0 + 0 4 1

A és invertible ⇔ A ≠ 0 ⇔ A té un menor no nul d’ordre màxim, n (que és A) ⇔ rang A = n.

d)

15. És certa, ja que: b)

5 3 2 0 −3 2 −1 −3 1 −1 −1 3 1 2 2 4

C

C −1 = 1 ⇒ C −1

+ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − [2 ⋅ 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) ⋅ 4 + + 4 ⋅ 1 ⋅ 3] = −12

1 = C

Ara bé, C ⋅ C −1  = C C −1  i I = 1, aleshores: Prenent determinants: C ⋅ C −1  = I  c) Per definició d’inversa, C ⋅ C−1 = I.

c)

4 1 2 3 0 1 2 −1 4

= 4 ⋅ 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1) ⋅ 2 +

73

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 73 C M Y K

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 74

74 i com que l’únic menor d’ordre 2 és A , la qual cosa significa que rang (A) = 1. b)

a −b c d −e f + 0 = g −h i

=

D2

D4 i D5

= 

c + 2 a a −b f + 2 d d −e i + 2 g g −h

1 1 0 −1 = 0 0 0 0

c a −b f d −e + i g −h

D3

a b c = −2 ⋅ (−3) d e f g h i

23. a) = 6k

c)

1 0 1 1

0 0 1 0

0 1 1 2

0 1 0 1

D4

b a c = 2 ⋅ (−3) e d f  h g i



=

= 1 ⋅ (−1) ⋅ 1 ⋅ 2 = −2

1 1 0 −1 = 0 1 0 1

0 0 1 0

F2 → F2 − F1

D2

b 2 a −3 c e 2 d −3 f h 2 g −3 i

1 1 0 0

0 0 1 0

1 2 4 2 0 −3 0 −3 = 0 2 0 −6 0 −3 0 −3 

2 F 3 2

0 1 0 1

=

F3 → F3 + F2 F4 → F4 + F2

D2 i D5

2a b a a b c a b c + 2d e d = 2 d e f + 0 = 2 d e f  2g h g g h i g h i



=

D3

a b c d e f g h i

=

b a −c e d −f h g −i

+

=

=k D6 i D4 

= 0−

2a b c = 2d e f + 2g h i 

C1 → C1 + C3 − C2

D2

a b −c d e −f g h −i

2a b c + a 2d e f + d 2g h i + g



= 22.

a+b b+c c+a d+e e+f f +d g+h h+i i+g



=

C2 → C2 − C3 +

2a b + c c + a 2d e + f f + d 2g h + i i + g



=

1 C 2 1













5 Sistemes d’equacions lineals II

2 a a −b 2 d d −e 2 g g −h

F3 → F3 +

Com que la dimensió de A és 2 × 3, rang (A) = 2.



d)

1 2 4 2 3 3 12 3 1 4 4 −4 −2 −7 −8 −7

= −k

F4 → F4 − F2

= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2



+

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 + 2 F1

=

a b c =− d e f g h i

D2



0 3 1 6

F1 → a F1 F2 → b F2 F3 → c F3



= 1 ⋅ (−3) ⋅ 0 ⋅ 0 = 0

=

abc 1

=0

b) a21  = 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 a11 a12 a 21 a 22

a2

D2 D6

1 1 c = (1 + a + b + c) 1 1 a 1 1 b



bc a −1

C1 → C1 + C2 + C3

=

i com que l’únic menor d’ordre 2 és A , la qual cosa significa que rang (A) = 1.

a

1+ a + b + c 1 c = 1+ a + b + c 1 a  1+ a + b + c 1 b

3 −1 2 =0 −2 3



21. a)

a+b 1 c b+c 1 a a+c 1 b

4 2 0 −3 0 −8 0 0

b)

1 2 0 −3 = 0 0 0 0

A =

D6

bca 1 =

1 1

b2

c



a) a11  = 3  = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1



1 1 1 ⋅ ⋅ a b c

24. Calculem el rang per determinants:

1 1

b2 1 1 = 0 2



=

cab 1

= 1 ⋅ (−3) ⋅ 0 ⋅ 0 = 0

b −1

1 ⋅ abc abc

c2

F4 → F4 − F2

b ca

=

bca 1 =

24. Calculem el rang per determinants:

a

2

b2

cab 1

ab c −1

1 1 1 ⋅ ⋅ a b c

2 F 3 2

c2

=

abc 1

1 2 4 2 0 −3 0 −3 = 0 0 0 −8 0 0 0 0



ab c −1

c

b −1

a

2

=

F3 → F3 +



c

b ca

a) a11  = 3  = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

bc a

−1

1 2 4 2 0 −3 0 −3 =  0 2 0 −6 0 −3 0 −3

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 + 2 F1 D2

=

= 1 ⋅ (−1) ⋅ 1 ⋅ 2 = −2

1 2 4 2 3 3 12 3 1 4 4 −4 −2 −7 −8 −7

1 1

= −k

0 1 1 2

0 1 0 1

a2

a

b)



a −b c d −e f + 0 = g −h i

1 1 0 0 −1 0 = 0 1 1 0 1 0

1 1

D2

F1 → a F1 F2 → b F2 F3 → c F3

21. a)

1 1 0 0 −1 0 = 0 0 1 0 0 0

b2 1 1 = 0

a b c =− d e f g h i

0 1 0 1

c2

=

0 0 1 0

1 ⋅ abc abc

2 a a −b 2 d d −e 2 g g −h

+

1 0 1 1

=

D4 i D5

3 −1 2 =0 3

c a −b f d −e + i g −h

=

−2

c + 2 a a −b f + 2 d d −e i + 2 g g −h

1 1 0 0

A =

D3

d)

F3 → F3 + F2 F4 → F4 + F2

F2 → F2 − F1

23. a)

D6

= 6k

=

a b c = −2 ⋅ (−3) d e f g h i

b)

b) a21  = 1 = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

D2 i D5

D4



D2

1+ a + b + c 1 c = 1+ a + b + c 1 a 1+ a + b + c 1 b

= 



2a b a a b c a b c + 2d e d = 2 d e f + 0 = 2 d e f  2g h g g h i g h i

a+b 1 c b+c 1 a a+c 1 b

b a c = 2 ⋅ (−3) e d f  h g i

=

b 2 a −3 c e 2 d −3 f h 2 g −3 i

D2

D3

c)



C1 → C1 + C2 + C3

2a b c = 2d e f +  2g h i

0 3 1 6

2a b c + a 2d e f + d 2g h i + g

1 C 2 1

=

=



C2 → C2 − C3 +

C1 → C1 + C3 − C2

=k

=

a11 a12 a 21 a 22

=

D2



D6

a b c d e f g h i



= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

D6 i D4

=

2a b + c c + a 2d e + f f + d 2g h + i i + g

=0



=

Com que la dimensió de A és 2 × 3, rang (A) = 2.

= 0−

a+b b+c c+a d+e e+f f +d g+h h+i i+g

22.

1 1 c = (1 + a + b + c) 1 1 a 1 1 b

+

a b −c d e −f g h −i

5 Sistemes d’equacions lineals II

b a −c e d −f h g −i

74

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 74

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

C M Y K

Página 75

c) a11  = −3  = −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 a11 a12 a 21 a 22

=

−3 −2 −1 1

=

= −5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

A =

−3 −2 −4 −1 1 2 3 2 4

a11 a12 a 21 a 22

=

5 −2 1 4

−2 4

9 1

a11 a12 a 21 a 22

=

−2 −8

9 1 =0 −2

Per tant, rang (A) = 2.

=

=

7

=

2 6 3 10 4 6 5 3

Per tant, rang (A) = 3. F2 → F2 − 7 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − 3 F1

3 −3

6

1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

7 7 1 0 4 21 0 −2 −16 −28 = 3  0 −1 −2 −4 0 − 3 − 6 − 12 9



=

= 2 ⋅1

18 30 12 20

1 8 14 =2 1 2 4 1 −10 −16

D5 

=0

=0

0 18 30 = 2 0 12 20 1 −10 −16

=

F1 → F1 − F3 F2 → F2 − F3

3 1 = 6 1

=

D2

3 −2 −8

=0

5 −2 1 4

−2 9 1 =0

1

2

1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

7 7 1 0 4 21 0 −2 −16 −28 = 3  0 −1 −2 −4 0 1 −10 −16 5

Si calculem els dos menors que es poden obtenir orlant el menor: = −12 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3 a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

=

a13 a 23 a 33

=

1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

=

= −2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a11 a12 a 21 a 22

=

1 0 7 −2

=

3

3 1 = 6 1

1

= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2

3 6 1 −2

1 1 1 1

2 6 3 10 4 6 5 3

=

=

7 7 1 0 4 21 0 −2 −16 −28 = 3  0 −1 −2 −4 0 1 −10 −16 5

2

D2

−2 −16 −28 = 1 −1 −2 −4 1 −10 −16

Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) ≤ 4.



6

=

=0

7 7 1 0 4 21 0 −2 −16 −28 = 3 0 −1 −2 −4 0 −3 −6 −12 

=0 

9

F2 → F2 − 7 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − 3 F1

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1

D5

Per tant, rang (A) = 3.

5. Sistemes d’equacions lineals II

3 −3

0 18 30 = 2 0 12 20 1 −10 −16

18 30 12 20

= 2 ⋅1

=

1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

=

=

F1 → F1 − F3 F2 → F2 − F3

A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre 4 és A . Per tant, rang (A) = 4 ⇔ A ≠ 0.

1 8 14 =2 1 2 4 1 −10 −16

Vegem, doncs, si rang (A) = 4:

A =

f ) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

D4

1 3 2 6 1 6 3 10 =− 1 1 4 6 1 −2 5 3

=

1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

Si calculem els dos menors que es poden obtenir orlant el menor: 1 0 4 7 −2 12 1 −1 2

F2 → F2 − 7 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − 3 F1

e) a11  = 3  = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 a11 a12 a 21 a 22

= 8 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 4

1 0 7 −2

a13 a 23 a 33

= −12 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3

5 −2 1 4

=0

7

= −2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

=

= 22 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el menor anterior: 5 1

3 −10

1 3 2 6 0 3 1 4 = − 0 −2 2 0 0 −5 3 −3 3 1 4 = −1 −2 2 0 −5 3 −3

=0

f ) a11  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

Com que l’únic menor d’ordre 3 és A = 0, rang (A) = 2. d) a11  = 5 = 5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

3 −10



F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1

2 6 3 10 4 6 5 3 1 1 1 1 = 9 1



1 3 1 6 =− 1 1 1 −2

D4

A =

3 6 1 −2

Vegem, doncs, si rang (A) = 4: Per tant, rang (A) = 4 ⇔ A ≠ 0. A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre 4 és A . Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) ≤ 4.

−2 −16 −28 = 1 −1 −2 −4 1 −10 −16

= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a11 a12 a 21 a 22

F2 → F2 − 7 F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − 3 F1

e) a11  = 3  = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 Per tant, rang (A) = 2. −2 4

5 1

Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el menor anterior: = 22 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 5 −2 = 1 4 =

5. Sistemes d’equacions lineals II

75 



a11 a12 a 21 a 22

d) a11  = 5 = 5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 Com que l’únic menor d’ordre 3 és A = 0, rang (A) = 2. A =

−3 −2 −4 −1 1 2 3 2 4

=0

3 1 4 = −1 −2 2 0 −5 3 −3

= −5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a11 a12 a 21 a 22

−3 −2 −1 1

1 3 0 3 = − 0 −2 0 −5

=

c) a11  = −3  = −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

= 8 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 4

2 6 1 4 2 0 3 −3

=

75

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 75

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 76

76 25. a) — Determinant de A:

— Adjunta de Ct: −2 3 2 −1

= −4

t

− 3 ⎞ ⎛ −1 −3 ⎞ = = − 2 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 −2 ⎠⎟

1 1 ⎛ −1 −3 ⎞ Adj ( A t ) = = −4 ⎝⎜ −2 −2 ⎠⎟ A

Adj (C t) = ⎛ −3 3 ⎜ 0 2 ⎜ ⎜ − 2 −5 = ⎜− 0 2 ⎜ ⎜ ⎜ −2 −5 ⎜⎝ 3 −3

−

−1 −3 3

2

0 −5 3 2 −

0 −5 −1 −3

−1 3 ⎞ 3 0 ⎟ ⎟ 0 −2 ⎟ ⎟ = − 3 0 ⎟ ⎟ 0 −2 ⎟ 3 ⎟⎠ −1

— Inversa de C:

C −1 =

⎛ 6 −7 −9 ⎞ 1 1 ⎜ 4 15 −6 ⎟ = Adj (Ct ) = ⎟ 59 ⎜⎜ C ⎝ 21 5 −2 ⎠⎟ 9⎞ − 59 ⎟ ⎟ 6 − ⎟ 59 ⎟ 2⎟ ⎟ 59 ⎠

= cos 2 α + sin 2 α = 1 d ) — Determinant de D:

— Transposada de B: t

⎛ cos α sin α ⎞ ⎛ cos α − sin α ⎞ Bt = ⎜ =⎜ cos α ⎠⎟ ⎝ − sin α cos α ⎠⎟ ⎝ sin α

1 0 D = 1 0

— Adjunta de Bt: ⎛ cos α Adj (Bt ) = ⎜ ⎝ − − sin α

− sin α ⎞ = cos α ⎠⎟

⎛ cos α − sin α ⎞ =⎜ cos α ⎠⎟ ⎝ sin α

1 1 1 0 =1

0 0 1 0

0 0 1 1

1 1 0 =1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1

=

=1

— Transposada de D:

— Inversa de B: ⎛ cos α − sin α ⎞ 1 Adj (B ′) = ⎜ = Bt cos α ⎠⎟ B ⎝ sin α B −1 =

c) — Determinant de C: 0 −1 3 −2 3 0 −5 −3 2

= 59 

⎛1 ⎜0 Dt = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝0

1 1 1 0

0 0 1 0

t

0⎞ ⎛1 0 ⎜1 1 0⎟ ⎟ =⎜ 1⎟ ⎜0 0 ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝0 0

1 1 1 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

— Adjunta de D t:

0 3

3 ⎞ 0 ⎟ ⎟ −2 ⎟ ⎟ = 0 ⎟ ⎟ −2 ⎟ 3 ⎟⎠

t

−1 0 3

−

2

−1

0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ 1 −1 ⎟ ⎟ 0 1⎠

0 −5 −1 −3 3

−1 −3

⎛ 1 −1 ⎜ 0 1 Adj (Dt ) = ⎜ 0 ⎜ −1 ⎜ 0 ⎝ 0

−

0 −5 3 2 −

C =

5 Sistemes d’equacions lineals II

A = — Transposada de A:

3⎞ 2⎞ ⎛ −2 ⎛ −2 At = ⎜ =⎜ ⎝ 2 −1 ⎠⎟ ⎝ 3 −1 ⎠⎟ — Adjunta de At: ⎛ −1 Adj ( A t ) = ⎜ ⎝− 2

⎛ 6 −7 −9 ⎞ = ⎜ 4 15 −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 21 5 −2 ⎠⎟

— Inversa de A: A −1 =

3⎞ 4⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

⎛1 ⎜4 =⎜ ⎜1 ⎝2

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠

b) — Determinant de B:

1 1 1 1

=

0 1 0 0

=

−

t

=1 1 1 0 =1 0 1 0 1 1 1

cos α sin α − sin α cos α

0⎞ ⎛1 ⎜1 ⎟ 0 ⎟ =⎜ 1⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝0 0 0 1 1

9⎞ 59 ⎟ ⎟ 6 − ⎟ 59 ⎟ 2⎟ − ⎟ 59 ⎠

−

⎛ 6 −7 −9 ⎞ 1 1 ⎜ 4 15 −6 ⎟ = Adj (Ct ) = ⎟ 59 ⎜⎜ C ⎝ 21 5 −2 ⎟⎠

— Inversa de C: ⎛ 3 −3 ⎜ 0 2 ⎜ ⎜ −2 −5 = ⎜− 0 2 ⎜ ⎜ ⎜ −2 −5 ⎜⎝ 3 −3

— Transposada de C:

= C −1 =

= −4

⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎛ 0 −2 −5 ⎞ Ct = ⎜ − 2 3 0 ⎟ = ⎜ −1 3 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 2 ⎠⎟ ⎝⎜ −5 −3 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 3

cos α sin α − sin α cos α

B =

0⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ Adj (Dt ) = ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 0 1⎠ ⎝ 0 — Adjunta de D t: 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 1 0

7 ⎛ 6 ⎜ 59 − 59 ⎜ 4 15 =⎜ ⎜ 59 59 ⎜ 21 5 ⎜ ⎝ 59 59



= 59

1 1 1 0

=1 1 1 1 0

d ) — Determinant de D:

Teorema fonamental de la trigonometria

B =

3⎞ 4⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

1 1 ⎛ −1 −3 ⎞ Adj ( A t ) = = −4 ⎜⎝ −2 −2 ⎟⎠ A − 3 ⎞ ⎛ −1 −3 ⎞ = = − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 −2 ⎟⎠ −2 3 2 −1

Adj (C t) =

5 Sistemes d’equacions lineals II

t

0 −1 3 −2 3 0 −5 −3 2

⎛1 ⎜0 Dt = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝0

— Transposada de D:

− sin α ⎞ = cos α ⎟⎠

1 0 D = 1 0

Teorema fonamental de la trigonometria

⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎛ 0 −2 −5 ⎞ C = ⎜ −2 3 0 ⎟ = ⎜ −1 3 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −5 −3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 0 2 ⎟⎠ t

— Transposada de C: C = c) — Determinant de C: — Inversa de B: ⎛ cos α − sin α ⎞ 1 B −1 = Adj (B ′) = ⎜ = Bt cos α ⎟⎠ B ⎝ sin α ⎛ cos α − sin α ⎞ =⎜ cos α ⎟⎠ ⎝ sin α ⎛ cos α Adj (Bt ) = ⎜ ⎝ − − sin α — Adjunta de Bt: ⎛ cos α sin α ⎞ ⎛ cos α − sin α ⎞ Bt = ⎜ =⎜ cos α ⎟⎠ ⎝ − sin α cos α ⎟⎠ ⎝ sin α t

— Transposada de B: = cos 2 α + sin 2 α = 1

7 ⎛ 6 ⎜ 59 − 59 ⎜ 4 15 =⎜ ⎜ 59 59 ⎜ 21 5 ⎜ ⎝ 59 59

b) — Determinant de B: ⎛1 ⎜4 =⎜ ⎜1 ⎝2 A −1 =

⎛ 6 −7 −9 ⎞ = ⎜ 4 15 −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 21 5 −2 ⎟⎠

— Inversa de A: ⎛ −1 Adj ( A t ) = ⎜ ⎝− 2 — Adjunta de At: 3⎞ 2⎞ ⎛ −2 ⎛ −2 At = ⎜ =⎜ ⎟ ⎟⎠ 2 1 3 1 − − ⎝ ⎠ ⎝ t

— Transposada de A: A =

— Adjunta de Ct:

25. a) — Determinant de A:

76

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 76

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 77

77 ⎛ 1 ⎜ 16 ⎜ 21 = ⎜− ⎜ 32 ⎜ ⎜ − 13 ⎝ 32

1 32 43 64 19 64

5 ⎞ 32 ⎟ ⎟ 9 − ⎟ 64 ⎟ 1 ⎟⎟ 64 ⎠ −

⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⋅ ⎜ 5⎟ = ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −7 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟

3 −7 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y = 3 4 − 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 5 −2 4 ⎟⎠

−1

⎛ −1 ⎞ ⋅ ⎜ 5⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ −7 ⎟⎠

2 3 5 6

⎛ 3 ⎜ −2 A =⎜ ′ ⎜ 1 ⎜ ⎝ −4

2 3 5 6

⎛ 3 ⎜ −2 A =⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ −4

5. Sistemes d’equacions lineals II

— Inversa de D:

c) Càlcul del determinant de A:

D −1 =

0⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 0 1 ⎟ = = ⎜ 0 1 −1 ⎟ 1 ⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 0 1⎠ ⎝ 0 0⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎜ 0 1 0 0⎟ ⎟ =⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎜ −1 ⎜ ⎟ 0 0 1⎠ ⎝ 0

1 4⎞ 2 0⎟ ⎟ 3 1⎟ ⎟ 4 −3 ⎠ 1⎞ 2⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ 4⎠

b) La matriu de coeficients i l’ampliada són:

Així podem aplicar el mètode de la matriu inversa:

26. Un sistema és resoluble mitjançant el mètode de la matriu inversa si el determinant de la matriu de coeficients, A, és no nul.

A =

2 3 −7 3 4 −6 5 −2 4

= 64 ≠ 0

b) Càlcul del determinant de A: ⎛ 15 ⎜ 4 ⎜ 23 = ⎜− ⎜ 4 ⎜ ⎜ 11 ⎝ 4

7 − 2 11 2 5 − 2

5⎞ 2⎟ ⎟ 7 − ⎟ 2⎟ 3 ⎟⎟ 2⎠

6⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2 4 ⎜ y⎟ = ⎜4 5 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ z ⎠⎟ ⎝⎜ 3 1 −2 ⎠⎟

= −4 ≠ 0

Així, podem aplicar el mètode de la matriu inversa:

⎛ 15 ⎜ 4 ⎜ 23 = ⎜− ⎜ 4 ⎜ ⎜ 11 ⎝ 4

7 − 2 11 2 5 − 2

5⎞ 2⎟ ⎟ 7 − ⎟ 2⎟ 3 ⎟⎟ 2⎠

−1

⎛ 18 ⎞ ⋅ ⎜ 21 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

⎛ 18 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⋅ ⎜ 21⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

Així, podem aplicar el mètode de la matriu inversa: 1 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0 ⎜ y ⎟ = ⎜1 1 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ x ⎟⎠ ⎜⎝ 1 −2 0 ⎟⎠ ⎛ ⎜1 ⎜ 1 =⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝2

1 3 1 6 1 − 6

2⎞ 3⎟ ⎟ 1 − ⎟ 6⎟ 1⎟ ⎟ 6⎠

−1

⎛ 1⎞ ⎜ 8⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1 ⎟⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⋅ ⎜ 8 ⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 ⎟⎠

⎛1 2 1 ⎞ A = ⎜ 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 7 5 ⎟⎠

⎛ 1 2 1 0⎞ A′ = ⎜ 2 1 2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 7 5 1 ⎟⎠

En calculem els rangs: • Com que

a11 a12 a 21 a 22

=

1 2 2 1

= −3 ≠ 0

i A = 0, tenim que 2 ≤ rang (A) < 3; per tant, rang (A) = 2. • Com que

1 2 2 1

≠0

i els orlats d’aquest en A′ són nuls, tenim que rang (A′) = 2.

i els orlats d’aquest en A′ són nuls, tenim que rang (A′) = 2. ⎛ 18 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⋅ ⎜ 21⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ −1

⎛ 18 ⎞ ⋅ ⎜ 21 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 ⎠⎟

Així, podem aplicar el mètode de la matriu inversa: 2 4 6 4 5 5 3 1 −2

= −4 ≠ 0

26. Un sistema és resoluble mitjançant el mètode de la matriu inversa si el determinant de la matriu de coeficients, A, és no nul. ⎛ 1 −1 ⎜ 0 1 =⎜ 0 ⎜ −1 ⎜ 0 ⎝ 0

2 3 −7 3 4 −6 5 −2 4

Pel teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és compatible, perquè, rang (A) = 2 = rang (A′). = 64 ≠ 0

A més, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat.

Així podem aplicar el mètode de la matriu inversa:

⎛ 1 ⎜ 16 ⎜ 21 = ⎜− ⎜ 32 ⎜ 13 ⎜− ⎝ 32

1 32 43 64 19 64

5 ⎞ 32 ⎟ ⎟ 9 − ⎟ 64 ⎟ 1 ⎟ − ⎟ 64 ⎠

−1

⎛ −1 ⎞ ⋅ ⎜ 5⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −7 ⎟⎠

⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⋅ ⎜ 5⎟ = ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −7 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎟⎠

b) La matriu de coeficients i l’ampliada són: ⎛ 3 ⎜ −2 A =⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ −4

2 3 5 6

1⎞ 2⎟ ⎟ 3⎟ ⎟ 4⎠

⎛ 3 ⎜ −2 A′ = ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ −4

2 3 5 6

1 4⎞ 2 0⎟ ⎟ 3 1⎟ ⎟ 4 −3 ⎠

5. Sistemes d’equacions lineals II

3 −7 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2 ⎜ y⎟ = ⎜3 4 −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 5 −2 4 ⎟⎠

⎛ 1 −1 1 1⎜ 0 = ⎜ 0 1 ⎜ −1 ⎜ 0 ⎝ 0 D −1

1 2 2 1

• Com que

≠0

i A = 0, tenim que 2 ≤ rang (A) < 3; per tant, rang (A) = 2. a11 a12 a 21 a 22

• Com que

=

1 2 2 1

= −3 ≠ 0

En calculem els rangs: ⎛1 2 1 ⎞ A = ⎜ 2 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 5 7 5 ⎠⎟

⎛ 1 2 1 0⎞ A′ = ⎜ 2 1 2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 5 7 5 1 ⎠⎟

27. a ) Les matrius associades al sistema són:

a) Càlcul del determinant de A: b) Càlcul del determinant de A: A =

= −6 ≠ 0

27. a ) Les matrius associades al sistema són:

2 4 6 4 5 5 3 1 −2

6⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 2 4 ⎜ y⎟ = ⎜4 5 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 3 1 −2 ⎟⎠

A =

A més, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat. Pel teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és compatible, perquè, rang (A) = 2 = rang (A′).

a) Càlcul del determinant de A: A =

0 1 1 A = 1 1 −3 1 −2 0

1 Adj (Dt ) = D

0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ 1 −1 ⎟ ⎟ 0 1⎠ 0 0⎞ 0 0⎟ ⎟ = 1 −1 ⎟ ⎟ 0 1⎠

1 = Adj (Dt ) = D

— Inversa de D:

⎛ ⎜1 ⎜ 1 =⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝2

−

1 3 1 6 1 6

2⎞ 3⎟ ⎟ 1 − ⎟ 6⎟ 1⎟ ⎟ 6⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⋅ ⎜ 8 ⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ −1 ⎠⎟ ⎝⎜ −1 ⎠⎟

1 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y = − 1 1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ x ⎟⎠ ⎝⎜ 1 −2 0 ⎟⎠

−1

⎛ 1⎞ ⎜ 8⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ −1 ⎟⎠

Així, podem aplicar el mètode de la matriu inversa: 0 1 1 A = 1 1 −3 1 −2 0

= −6 ≠ 0

c) Càlcul del determinant de A:

77

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 77 C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 78

78 En calculem els rangs:

2 2

3 2 = −2 3

≠0 y

• Com que = 13 ≠ 0

3 2 −2 3 1 5

a11 a12 a 21 a 22

=

4 0

=

1

3 1 ≠0 2 1

i els orlats d’aquest

menor en A′ són nuls, es compleix que rang (A′) = 2. Pel teorema de Rouché-Fröbenius: rang (A) = 2 = rang (A′) ⇒ sistema compatible i, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat. Fent x = λ i resolent mitjançant Cramer el sistema:

y =

1 2 3 2

1 3 1 2 1

1 3 1

1 − 2λ 1 =0 1 − 2λ 1

3 1 − 2λ 2 1 − 2λ

= 1 − 2λ

2 1 Així, la solució és (λ, 0, 1 − 2 λ).

= −4 ≠ 0 i

3 2 = −25 ≠ 0, tenim que rang ( A ) = 3.

1 3

b) Classifiquem el sistema mitjançant Gauss: ⎛2 ⎜3 A′ = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝2

F1 ↔ F3 — ——

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − 2 F1 F4 → F4 − 2 F1 ——————

1 5 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ 3 2 2⎟ ⎟ 2 −1 −1 ⎠ 3 2 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ 1 5 2⎟ ⎟ 2 −1 −1 ⎠

3 2 2⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −5 −5 ⎟ ⎟ ⎜ 1 −2 ⎟ ⎜ 0 −5 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −4 −5 −5 ⎠

5 F3 → F5 − F2 4 F4 → F4 − F2 ——————

3 2 2⎞ 4 5 5⎟ ⎟ 0 29 17 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠

5 Sistemes d’equacions lineals II

• Com que

a11 a12 a 21 a 22

i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) = 2.

• Com que

a11 a12 a 21 a 22

= −39  0, tenim que rang (A′) ≥ 3. Pel teorema de Rouché-Fröbenius:

3 y + z = 1 − 2 λ⎫ ⎬ 2 y + z = 1 − 2 λ⎭

rang (A′) ≥ 3 > 2 = rang (A) ⇒ ⇒ Sistema incompatible tenim que:

c) Les matrius associades al sistema són: 2 3⎞ ⎛1 ⎜3 2 2⎟ ⎟ A =⎜ 4⎟ ⎜ 1 −1 ⎟ ⎜ 1 −1 ⎠ ⎝2

z=

2 3 2⎞ ⎛1 ⎜3 2 2 2⎟ ⎟ A′ = ⎜ 4 1⎟ ⎜ 1 −1 ⎟ ⎜ 1 −1 3 ⎠ ⎝2

• Com que

4

1 −1

• Com que A′ = −64 ≠ 0, rang (A′) = 4.

⎛1 ⎜3 ⎜ ⎜2 ⎜ ⎝2

Pel teorema de Rouché-Fröbenius: rang (A) = 3 ≠ 4 = rang (A′) ⇒ Sistema incompatible 28. a ) Classifiquem el sistema per mitjà del teorema de Rouché-Fröbenius: Les matrius associades al sistema són: ⎛ 2 3 1⎞ ⎛ 2 3 1 1⎞ A = ⎜ 2 2 1⎟ , A′ = ⎜ 2 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 4 5 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 5 2 2 ⎠⎟

2⎞ −5 ⎟ ⎟ 17 ⎟ 4 ⎟⎟ 0⎠

3 2 ⎛1 ⎜ 0 − 4 − 5 ⎜ 29 ⎜ 0 ⎜0 4 ⎜ 0 0 ⎝0

En calculem el rang: F2 → −F2 F3 → 4 F3 ———

3 2 2⎞ 4 5 5⎟ ⎟ 0 29 17 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠

3 1 = 1 ≠ 0 i l’ú2 1

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

=

F2 → −F2 F3 → 4 F3 ———

2⎞ −5 ⎟ ⎟ 17 ⎟ 4 ⎟⎟ 0⎠

3 2 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ 1 5 2⎟ ⎟ 2 −1 −1 ⎠ 1 5 2⎞ 5 1 1⎟ ⎟ 3 2 2⎟ ⎟ 2 −1 −1 ⎠ = 1 − 2λ

1 − 2λ 1 =0 1 − 2λ 1

a13 a 23

3 1 = 1 ≠ 0 i l’ú2 1

3 2 ⎛1 ⎜ 0 −4 −5 ⎜ 29 ⎜ 0 ⎜0 4 ⎜ 0 0 ⎝0

3 2 2⎞ ⎛1 ⎜ 0 −4 −5 −5 ⎟ ⎟ ⎜ 1 −2 ⎟ ⎜ 0 −5 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −4 −5 −5 ⎠ ⎛1 ⎜3 ⎜ ⎜2 ⎜ ⎝2

⎛2 ⎜3 A′ = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝2

b) Classifiquem el sistema mitjançant Gauss: 3 1 − 2λ 2 1 − 2λ

1 3 1 2 1

tenim que: 3 y + z = 1 − 2 λ⎫ ⎬ 2 y + z = 1 − 2 λ⎭ Fent x = λ i resolent mitjançant Cramer el sistema: i, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat.

a12 a 22

=

= −4 ≠ 0 i 1

rang (A) = 2 = rang (A′) ⇒ sistema compatible

• Com que

a13 a 23

1 2 3 2

Així, la solució és (λ, 0, 1 − 2 λ). 1 3 1 2 1

y = 1 5

=

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

a12 a 22

5 F 4 2 F4 → F4 − F2 —————— F3 → F5 −

F2 → F2 − 3 F1 F3 → F3 − 2 F1 F4 → F4 − 2 F1 —————— F1 ↔ F3 — ——

4 3 2 = −25 ≠ 0, tenim que rang ( A ) = 3. =

2⎞ 2⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠

≠0 y

Pel teorema de Rouché-Fröbenius: menor en A′ són nuls, es compleix que rang (A′) = 2.

= 13 ≠ 0

3 1 ≠0 2 1

• Com que

nic menor d’ordre tres de A és A = 0, tenim rang (A) = 2.

2 2

a11 a12 a 21 a 22 a11 a12 a 21 a 22

4 0

3 2 = −2 3

i els orlats d’aquest

5 Sistemes d’equacions lineals II

nic menor d’ordre tres de A és A = 0, tenim rang (A) = 2. • Com que

En calculem el rang: ⎛ 2 3 1⎞ ⎛ 2 3 1 1⎞ A = ⎜ 2 2 1⎟ , A′ = ⎜ 2 2 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 4 5 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 5 2 2 ⎟⎠ Les matrius associades al sistema són: 28. a ) Classifiquem el sistema per mitjà del teorema de Rouché-Fröbenius: rang (A) = 3 ≠ 4 = rang (A′) ⇒ Sistema incompatible Pel teorema de Rouché-Fröbenius: • Com que A′ = −64 ≠ 0, rang (A′) = 4. 1 −1 1 3

• Com que

2 3 ⎛1 ⎜3 2 2 A′ = ⎜ 4 ⎜ 1 −1 ⎜ 1 −1 ⎝2

z=

2 3⎞ ⎛1 ⎜3 2 2⎟ ⎟ A =⎜ 4⎟ ⎜ 1 −1 ⎟ ⎜ 1 −1 ⎠ ⎝2 c) Les matrius associades al sistema són: rang (A′) ≥ 3 > 2 = rang (A) ⇒ ⇒ Sistema incompatible Pel teorema de Rouché-Fröbenius: = −39  0, tenim que rang (A′) ≥ 3. • Com que

3 2 −2 3

i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) = 2. • Com que

a11 a12 a 21 a 22

En calculem els rangs:

78

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 78

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 79

79 5. Sistemes d’equacions lineals II

Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associada al sistema: x + 3 y + 2 z = 2⎫ ⎪ 4 y + 5 z = 5⎬ 29 z = 17 ⎪⎭

— Determinant de A: A = −22 − 6 ⋅ 2 − 8 = −24 — Transposada de A: t

⎛ −1 −1 3 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞ t ⎜ ⎟ A = 0 2 2 = ⎜ −1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 0 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 4 ⎟⎠

Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible determinat.

— Adjunta de At:

La matriu de coeficients és regular, perquè: 1 3 2 A = 0 4 5 0 0 29

Adj (At) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝

= 1 ⋅ 4 ⋅ 29 = 116 ≠ 0

És a dir, és un sistema resoluble mitjançant Cramer:

Calculem A−1 en el cas particular m = 2. Per tant, A té inversa si, i només si, m ≠ −2, −4. per tant, A = 0 ⇔ −m2 − 6 m − 8 = 0 ⇔ m = −2 o m = − 4. = −8 − m2 + 0 − [6 m + 0 + 0] = −m2 − 6 m − 8

⎛ 1 1 ⎜ A′ = ⎜ 1 k +1 ⎜ 1 ⎝k +1

k + 1 k 4 + 3 k3 ⎞ ⎟ 1 k3 + 3 k 2 ⎟ ⎟ 1 k2 + 3 k ⎠

30. a ) Apliquem el mètode de Gauss: x =

1 1 Δ1 = 116 A

2 3 2 5 4 5 17 0 29

y =

1 1 Δ2 = 116 A

1 2 2 0 5 5 0 17 29

1 1 Δ3 = 116 A

1 3 2 0 4 5 0 0 17

z=

=−

=

=

21 29

15 29

17 29

29. Una matriu quadrada A té inversa si, i només si,A ≠ 0. Determinem, doncs, per a quins valors de m A ≠ 0:

A =

−1 −1 3 0 2 m m 0 4

=

2 0 2 4

−

−1 2 3 4

0 2 2 4 0 2 2 0

−1 2 ⎞ 3 2 ⎟ ⎟ −1 0 ⎟ ⎟ = − 3 2 ⎟ ⎟ −1 0 ⎟ −1 2 ⎟⎠

−1 0 3 4

−

−1 2 −1 0

4 −8 ⎞ ⎛ 8 = ⎜ 4 −10 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ −4 −2 −2 ⎟⎠

— Inversa de A:

A

−1

4 −8 ⎞ ⎛ 8 1 1 ⎜ t 4 −10 2⎟ = = Adj ( A ) = ⎟ −24 ⎜⎜ A −2 −2 ⎟⎠ ⎝ −4 ⎛ 1 ⎜− 3 ⎜ 1 = ⎜− ⎜ 6 ⎜ 1 ⎜ ⎝ 6

1 6 5 12 1 12

−

1 ⎞ 3 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 12 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 12 ⎠

A =

−1 −1 3 0 2 m m 0 4

=

⎛ 1 ⎜− 3 ⎜ 1 = ⎜− ⎜ 6 ⎜ 1 ⎜ ⎝ 6

Determinem, doncs, per a quins valors de m A ≠ 0: 29. Una matriu quadrada A té inversa si, i només si,A ≠ 0. 1 1 Δ3 = 116 A

z=

1 1 Δ2 = 116 A

y =

1 1 x = Δ1 = 116 A

30. a ) Apliquem el mètode de Gauss: = −8 − m2 + 0 − [6 m + 0 + 0] = −m2 − 6 m − 8 per tant, A = 0 ⇔ −m2 − 6 m − 8 = 0 ⇔ m = −2 o m = − 4. Per tant, A té inversa si, i només si, m ≠ −2, −4.

⎛ 1 1 ⎜ A′ = ⎜ 1 k +1 ⎜ 1 ⎝k +1

k + 1 k 4 + 3 k3 ⎞ ⎟ 1 k3 + 3 k 2 ⎟ ⎟ 1 k2 + 3 k ⎠

1 3 2 0 4 5 0 0 17 1 2 2 0 5 5 0 17 29 2 3 2 5 4 5 17 0 29

= =

17 29 15 29

=−

21 29

És a dir, és un sistema resoluble mitjançant Cramer: A =

Calculem A−1 en el cas particular m = 2. 5. Sistemes d’equacions lineals II

1 3 2 0 4 5 0 0 29

= 1 ⋅ 4 ⋅ 29 = 116 ≠ 0

A −1

1 − 6 5 12 1 12

1 ⎞ 3 ⎟ ⎟ 1 − ⎟ 12 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 12 ⎠

4 −8 ⎞ ⎛ 8 1 1 ⎜ 4 −10 2⎟ = = Adj ( A t ) = ⎟ −24 ⎜⎜ A −2 −2 ⎠⎟ ⎝ −4

— Inversa de A: 4 −8 ⎞ ⎛ 8 = ⎜ 4 −10 2⎟ ⎜ ⎟ −2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ −4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜− ⎜ ⎜ ⎜ ⎝⎜

0 2 2 0

−

0 2 2 4 2 0 2 4

−1 2 −1 0 −1 2 3 4

−

−1 0 3 4

−1 2 ⎞ 3 2 ⎟ ⎟ −1 0 ⎟ ⎟ = − 3 2 ⎟ ⎟ −1 0 ⎟ −1 2 ⎠⎟

Adj (At) =

La matriu de coeficients és regular, perquè: Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incògnites; per tant, és un sistema compatible determinat. x + 3 y + 2 z = 2⎫ ⎪ 4 y + 5 z = 5⎬ 29 z = 17 ⎭⎪ Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associada al sistema:

— Adjunta de At: ⎛ −1 −1 3 ⎞ ⎛ −1 0 2 ⎞ A t = ⎜ 0 2 2 ⎟ = ⎜ −1 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 2 0 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 2 4 ⎠⎟ t

— Transposada de A: A = −22 − 6 ⋅ 2 − 8 = −24 — Determinant de A:

79

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 79 C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 80

80 A =

1 1 0 k

⎛1 ⎞ 1 k +1 k 4 + 3 k3 ⎜ ⎟ k − k − k 4 − 2 k3 + 3 k 2 ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ 2 5 4 3 2 ⎝ 0 −k −k − 2 k −k − 4 k − 3 k + k + 3 k ⎠

⎞ ⎛1 1 k +1 k 4 + 3 k3 ⎟ ⎜ − k − k 4 − 2 k3 + 3 k 2 ⎟ ⎜0 k ⎟ ⎜ 2 5 4 3 2 ⎝ 0 0 −k − 3 k −k − 5 k − 5 k + 4 k + 3 k ⎠

k +1 − k = 1 ⋅ k (− k 2 − 3 k) = − k 2 (k + 3) ≠ 0, és a dir, k ≠ 0 i k ≠ −3 : −k2 − 3 k

que està associada al sistema: x + y − 2 z = 0⎫ ⎬ −3 y + 3 z = 0 ⎭

• rang ( A ′) ≥ rang ( A ) = 3 ⎫ ⎬ ⇒ rang ( A ′) = 3 A ′ només té 3 files. ⎭

⇒ Sistema compatible

Per a resoldre’l, prenem una incògnita com a paràmetre (per exemple, z) i aïllem les altres en funció d’aquesta: z= λ ⎫ ⎪⎪ 1 y = ⋅3λ = λ ⎬ 3 ⎪ x = − λ + 2 λ = λ ⎭⎪ En resum: k ≠ 0, −3 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució: (−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1) k = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (−τ − λ, τ, λ) , λ, τ ∈ k = −3 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (λ, λ, λ) , λ ∈ 31. Considerem les variables:

5 Sistemes d’equacions lineals II

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − (k + 1) F1 ——————— ——

F3 → F3 + F2 —————

— Si

0 0 • rang (A) = 3

Com que és un sistema amb 2 ecuacions i 3 incògnites, és compatible indeterminat, que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre.

Per tant, en aquest cas, pel teorema de RouchéFröbenius: rang (A) = 3 = rang (A′) ⇒

i, com que n = 3, el sistema és determinat. Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució: (−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1) — Si A = −k2 (k + 3) = 0, pot ser: • k = 0. La matriu ampliada esglaonada és: ⎛ 1 1 1 0⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟ associada a un sistema d’1 equació amb 3 incògnites: x + y + z = 0 És, doncs, un sistema compatible indeterminat, que depèn de 3 − 1 = 2 paràmetres. Per a resoldre’l, prenem 2 de les incògnites com a paràmetres (per exemple, y i z) i aïllem la tercera en funció d’aquestes: y = τ, z = λ ⇒ x = 0 − τ − λ = −τ − λ • k = −3. La matriu ampliada esglaonada és:

x = consum del cotxe quan circula per carretera, en litres per cada 100 km.

Com que és un sistema amb 2 ecuacions i 3 incògnites, és compatible indeterminat, que depèn de 3 − 2 = 1 paràmetre.

y = consum del cotxe quan circula per ciutat, en litres per cada 100 km.

Per tant, en aquest cas, pel teorema de RouchéFröbenius:

1 −2 0 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 3 0⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

y = consum del cotxe quan circula per ciutat, en litres per cada 100 km. x = consum del cotxe quan circula per carretera, en litres per cada 100 km. 31. Considerem les variables: (λ, λ, λ) , λ ∈ k = −3 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (−τ − λ, τ, λ) , λ, τ ∈ k = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de solució: (−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1) k ≠ 0, −3 ⇒ Sistema compatible determinat, de solució:

(−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1)

Per a resoldre’l, prenem una incògnita com a paràmetre (per exemple, z) i aïllem les altres en funció d’aquesta: x + y − 2 z = 0⎫ ⎬ −3 y + 3 z = 0 ⎭ que està associada al sistema:

−k2 − 3 k k +1 − k = 1 ⋅ k (− k 2 − 3 k) = − k 2 (k + 3) ≠ 0, és a dir, k ≠ 0 i k ≠ −3 : ⎛1 ⎞ 1 k +1 k 4 + 3 k3 ⎜ ⎟ k − k − k 4 − 2 k3 + 3 k 2 ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ 2 5 4 3 2 ⎝ 0 −k −k − 2 k −k − 4 k − 3 k + k + 3 k ⎠

5 Sistemes d’equacions lineals II

1 −2 0 ⎞ ⎛1 ⎜ 0 −3 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ • k = −3. La matriu ampliada esglaonada és: y = τ, z = λ ⇒ x = 0 − τ − λ = −τ − λ Per a resoldre’l, prenem 2 de les incògnites com a paràmetres (per exemple, y i z) i aïllem la tercera en funció d’aquestes: És, doncs, un sistema compatible indeterminat, que depèn de 3 − 1 = 2 paràmetres. associada a un sistema d’1 equació amb 3 incògnites: x + y + z = 0 ⎛ 1 1 1 0⎞ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠ • k = 0. La matriu ampliada esglaonada és:

En resum: — Si A = −k2 (k + 3) = 0, pot ser: z= λ ⎫ ⎪⎪ 1 y = ⋅3λ = λ ⎬ 3 ⎪ x = − λ + 2 λ = λ ⎪⎭

Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució: i, com que n = 3, el sistema és determinat. ⇒ Sistema compatible rang (A) = 3 = rang (A′) ⇒ • rang ( A ′) ≥ rang ( A ) = 3 ⎫ ⎬ ⇒ rang ( A ′) = 3 A ′ només té 3 files. ⎭ • rang (A) = 3 0 0 — Si

1 1 A = 0 k

F3 → F3 + F2 —————

⎞ ⎛1 1 k +1 k 4 + 3 k3 ⎟ ⎜ − k − k 4 − 2 k3 + 3 k 2 ⎟ ⎜0 k ⎟ ⎜ 2 5 4 3 2 ⎝ 0 0 −k − 3 k −k − 5 k − 5 k + 4 k + 3 k ⎠

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − (k + 1) F1 ——————— ——

80

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 80

C M Y K

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 81

81 D’altra banda, tenim:

Així, s’obté el sistema:

5. Sistemes d’equacions lineals II

x = nre. de litres consumits en carretera en 100 km ⇒

120 40 ⎫ x+ y = 9, 6 ⎪ 100 100 ⎪ 40 120 ⇒ x+ y = 12, 8 ⎬⎪ 100 40 ⎪ x + y = 14 ⎭

⎧ 120 litres consumits ⎪⎪ 100 x = en carretera en 120 km ⇒⎨ ⎪ 40 x = litres consumits en carretera en 40 km ⎪⎩ 100 y = litres consumits en ciutat en 100 km ⇒ ⎧ 40 litres consumits ⎪⎪ 100 y = en ciutat en 40 km ⇒⎨ ⎪ 120 y = litres consumits en ciutat en 120 km ⎪⎩ 100

⇒x = 5

,

y=9

Per tant, consumeix 5 L en carretera cada 100 km i 9 L en ciutat, també cada 100 km. 32. Activitat TIC 33. Activitat TIC

⎧ 40 litres consumits y = en ciutat en 40 km ⎪⎪ ⇒ ⎨ 100 ⎪ 120 y = litres consumits en ciutat en 120 km ⎪⎩ 100 5. Sistemes d’equacions lineals II

y = litres consumits en ciutat en 100 km ⇒ ⎧ 120 litres consumits x = en carretera en 120 km ⎪⎪ ⇒ ⎨ 100 ⎪ 40 x = litres consumits en carretera en 40 km ⎪⎩ 100 x = nre. de litres consumits en carretera en 100 km ⇒ D’altra banda, tenim:

33. Activitat TIC 32. Activitat TIC Per tant, consumeix 5 L en carretera cada 100 km i 9 L en ciutat, també cada 100 km. ⇒x = 5

,

y=9

120 40 ⎫ x+ y = 9, 6 ⎪ 100 100 ⎪ 40 120 ⇒ x+ y = 12, 8 ⎪⎬ 100 40 ⎪ x + y = 14 ⎭ Així, s’obté el sistema:

81

05 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:32

Página 81 C M Y K

3

4

5

6

7

15 2

8

9

1. INEQUACIONS S 1. a)

Representem les solucions de les inequacions:

4 (x − 3) + 1 ≥ 3 x + 2 4 x − 12 + 1 ≥ 3 x + 2 4 x − 3 x ≥ 2 + 12 − 1 x ≥ 13 Perr tant, S = (13, ∞)

b)

S1 S2 S 0

5x − 3 3x +1 1 − (x + 2) < + 2 2 4 5 x − 3 − 2 (x + 2) < 3 x + 1 + 2

1 2

1 4

2

3

4

5

6

3

⎛4 ⎞ Per tant, S = ⎜ , +∞ ⎟ ⎝3 ⎠ b)

2x + 3⎫ 4x +1 ≥ 5 ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭

5x − 3 − 2x − 4 < 3x +1+ 2 5x − 2x − 3x < 1+ 2 + 3 + 4 0 x < 10 Per tant, S =  = (−∞, +, ∞)

2x

3

La solució de la segona inequació és immediata: 2x ⎪⎭ 2

Representem les solucions de les inequacions:

La solució de la segona inequació és immediata: 1 x > 2 ⎞ ⎛1 S2 = ⎜ , +∞ ⎟ ⎝2 ⎠

S1 S2 S –2

–1

0

1

–1 9

2

3

4

5

6

7

15 2

8

9

82

12:38

06 Mates CSS_Guia.qxd

–1

Programació 6 lineal

–2

S S1

La solució de la segona inequació és immediata: 2x 2 ⎛1 ⎞ S2 = ⎜ , +∞ ⎟ ⎝2 ⎠

Representem les solucions de les inequacions:

3 (x + 2) < 3x +1 2 3x + 6 < 6x + 2 3x − 6x < 2 − 6 −3 x < −4 −4 −x < 3 4 x > 3 ⎛4 ⎞ S1 = ⎜ , +∞ ⎟ ⎝3 ⎠

2x + 3 5 20 x + 5 ≥ 2 x + 3 20 x − 2 x ≥ 3 − 5 18 x ≥ −2 1 x ≥− 9 ⎞ ⎡ 1 S1 = ⎢ − , +∞ ⎟ ⎠ ⎣ 9 4x +1 ≥

b)

1. INEQUACIONS S 1. a) 4 (x − 3) + 1 ≥ 3 x + 2 4 x − 12 + 1 ≥ 3 x + 2 4 x − 3 x ≥ 2 + 12 − 1 x ≥ 13 Perr tant, S = (13, ∞)

6 06 Mates CSS_Guia.qxd

Página 82

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 83

— El semiplà solució és el dret, ja que les abscisses dels seus punts són majors o iguals que −2.

1 — Representem la recta 3 x − y = − , d’equació 3 1 . 3 explícita y = 3 x +

–4

3x − y ≤ −

1 3

6 Programació lineal

83 ⎡ 1 15 ⎞ Per tant, S = ⎢ − , ⎟ ⎣ 9 2⎠ 3. Un parell de valors de x i y és solució (i, per tant, pertany al conjunt solució) d’una inequació si, en substituir les variables pels seus valors corresponents obtenim una desigualtat certa.

c) — Representem la recta x + 2 y = 5, que equix 5 val a y = − + . 2 2 La marquem amb traç discontinu, perquè la desigualtat és estricta. Y

a) 3 · (0 − 1) ≤ 2 · 0 − 3; −3 ≤ −3; per tant, x = 0, y = 0 pertany al conjunt solució de la inequació 3 (x − 1) ≤ 2 y − 3. ≤ −1; per tant, x = 3, y = 1 no b) 3 · (3 − 1) ≤ 2 · 1 − 3; 6 / pertany al conjunt solució de la inequació. c) 3 (−1 − 1) ≤ 2 · 4 − 3; −6 ≤ 5; per tant, x = −1, y = 4 pertany al conjunt solució de la inequació.

e) La inequació plantejada és equivalent a:

–2 –4

2

4

— El punt (0, 0) és solució de la inequació, perquè 3 · 0 − 0 ≥ −1, per tant, el semiplà al qual pertany és el semiplà solució.

X

2

4. a) — Representem la recta y = 3. La marquem amb traç discontinu perquè els seus punts no són solució, ja que es tracta d’una desigualtat estricta.

4 y=– x + 5 2 2

2

–4

–2

2

X

4

–2

–4

–4

4 y = 3x + 1

x=–2

–2

Y

— Els punts que verifiquen la inequació són els del semiplà superior; per tant, aquest serà el semiplà solució. b) — Representem la recta x = −2 amb traç continu perquè la desigualtat no és estricta.

Y

— Prenem un punt d’un dels semiplans que estan definits per la recta i veiem si verifica la inequació: 0=0+2·0 −6}

4

c) D’altra banda, els punts de l’eix d’abscisses que són solució de la inequació són la intersecció d’aquest eix (d’equació y = 0) amb el conjunt solució d’aquesta, trobat en l’apartat a. L’expressió analítica d’aquests punts és:

2

Y

b) Els punts de l’eix d’ordenades que són solució de l’equació són els corresponents a la intersecció d’aquest eix (d’equació x = 0) amb el conjunt solució de la inequació, que segons la resolució gràfica de l’apartat a corresponen als punts: –2

4

2

{(0, y)/y > −6} 5 3

y = 3x – 6 –4 –2 –4

2

c) D’altra banda, els punts de l’eix d’abscisses que són solució de la inequació són la intersecció d’aquest eix (d’equació y = 0) amb el conjunt solució d’aquesta, trobat en l’apartat a. L’expressió analítica d’aquests punts és:

4 Y

5 amb traç discon3 tinu perquè la desigualtat és estricta.

— Representem la recta x =

⇔ −3 x < −5 ⇔ x >

3 ( y − x) < 3 y − 5 ⇔ 3 y − 3 x < 3 y − 5 ⇔ f ) La inequació plantejada es pot transformar a: — El punt (0, 0) no és solució de la inequació, 1 perquè 3 ⋅ 0 − 0 / ≤ − , per tant, el semiplà 3 solució és el que no conté aquest punt.

{(x, 0)/x < 2} –4

–2

2

X

4

–2

6. a) — Determinem els semiplans solució de cadascuna de les inequacions: • Representem les rectes y − 3 x = −2 i x = −1, totes dues amb traç discontinu perquè són desigualtats estrictes.

–4 x= 5 3

• L’origen verifica la inequació y − 3 x > −2; per tant, el semiplà solució d’aquesta serà el que contingui l’origen.

— El semiplà solució és el de la dreta.

L’origen verifica la inecuació x < −1; per tant, el semiplà solució d’aquesta serà el que contingui l’origen.

X

5. La inequació plantejada és equivalent, sumant el polinomi P(x, y) = y a tots dos membres, a:

4

— La solució del sistema d’inequacions és la intersecció dels conjunts solució de cadascuna de les inequacions que conformen el sistema.

2

3x − y < 6 Per tant, ens podem centrar a resoldre aquesta última inequació.

Y

–2

a) — Representem la recta 3 x − y = 6, és a dir, y = 3 x − 6. La representem amb traç discontinu perquè la desigualtat és estricta.

6 Programació lineal

2

–4

4

–2 –4

així, el semiplà que el conté és el semiplà solució.

2

3⋅0−0=0 0 és el que conté el primer quadrant; el semiplà solució de

Com que x i y són edats, han de satisfer també les inequacions x ≥ 0, y ≥ 0 i han ser enteres.

x=–1

4

les tres amb traç discontinu perquè les desigualtats són estrictes. y + x = 0 , 2 x + 2 y = −1 , x = 0

y = 3x – 2

2

Y x=0

–2

–4

2

4

4

X

• Representem les rectes: 2

c) — Determinem els semiplans solució de cadascuna de les inequacions:

y=–x– 1 2

–4

–4

2

–2

4

X

— Com que la intersecció dels semiplans solució de les inequacions que formen el sistema és el conjunt buit, no existeix cap solució del sistema.

–2 y=–x

b) — Determinem els semiplans solució de cadascuna de les inequacions que conformen el sistema:

— L’edat del pare és més gran que el doble de la del fill: x > 2 y. Expressem analíticament la situació descrita en l’enunciat: 8. Sigui x l’edat del pare i y l’edat del fill. Comprovem que, en efecte, els punts del primer quadrant són els que tenen les dues coordenades positives; per tant, la resposta és correcta.

–4 –4

1 (x + 10) 2

— D’aquí a deu anys, l’edat del fill serà més gran que la meitat de la del pare:

–2

y = 3x + 5 2

y + 10 >

6 Programació lineal

85 2x + 2y < −1 és el que no conté l’origen (ja que aquest punt no satisfà la desigualtat); el semiplà solució de x > 0 és el superior.

Y

–4

— Cap punt pertany als tres semiplans solució; per tant, el sistema no té solució.

• Representem les rectes: 3 x − y = 1 i 6 x − 2 y = −5 amb traç continu perquè les desigualtats no són estrictes.

x > 0⎫ ⎬ y > 0⎭

–2 –2

• L’origen no verifica cap de les dues inequacions; per tant, els semiplans solució seran els que no continguin l’origen.

2

4

X

D’aquestes consideracions deduïm que el sistema d’inequacions és: — El punt (1, 1), per exemple, és del primer quadrant; per tant, ha de satisfer les dues inequacions.

2

— Els punts dels eixos no són del primer quadrant; per tant, les dues desigualtats han de ser estrictes.

4 Y

7. El primer quadrant és una regió del pla delimitada per dues rectes, els eixos de coordenades, d’equació x = 0 i y = 0. Per tant, serà la solució d’un sistema de dues inequacions les equacions associades de les quals siguin les anteriors. Per a veure quins han de ser els signes de la desigualtat corresponents a cada equació, només cal tenir en compte:

y = 3x – 1

y = 3x – 1 Y

• L’origen no verifica cap de les dues inequacions; per tant, els semiplans solució seran els que no continguin l’origen. –4

4

— Els punts dels eixos no són del primer quadrant; per tant, les dues desigualtats han de ser estrictes.

2

— El punt (1, 1), per exemple, és del primer quadrant; per tant, ha de satisfer les dues inequacions.

–2

y = 3x + 5 2

2

4

X

–2

–4

amb traç continu perquè les desigualtats no són estrictes. 3 x − y = 1 i 6 x − 2 y = −5

Per a veure quins han de ser els signes de la desigualtat corresponents a cada equació, només cal tenir en compte: 7. El primer quadrant és una regió del pla delimitada per dues rectes, els eixos de coordenades, d’equació x = 0 i y = 0. Per tant, serà la solució d’un sistema de dues inequacions les equacions associades de les quals siguin les anteriors. — Cap punt pertany als tres semiplans solució; per tant, el sistema no té solució.

• Representem les rectes: b) — Determinem els semiplans solució de cadascuna de les inequacions que conformen el sistema:

–4 y=–x

— Com que la intersecció dels semiplans solució de les inequacions que formen el sistema és el conjunt buit, no existeix cap solució del sistema.

–2 –4 –4

–2

2

4

X

y=–x– 1 2

c) — Determinem els semiplans solució de cadascuna de les inequacions:

2

–2

• Representem les rectes: –4

2

–2

4

X

4 x=0

les tres amb traç discontinu perquè les desigualtats són estrictes.

Y

2

• El semiplà solució de y + x > 0 és el que conté el primer quadrant; el semiplà solució de

x > 0⎫ ⎬ y > 0⎭ Comprovem que, en efecte, els punts del primer quadrant són els que tenen les dues coordenades positives; per tant, la resposta és correcta. 8. Sigui x l’edat del pare i y l’edat del fill. Expressem analíticament la situació descrita en l’enunciat: — L’edat del pare és més gran que el doble de la del fill: x > 2 y. — D’aquí a deu anys, l’edat del fill serà més gran que la meitat de la del pare: y + 10 >

1 (x + 10) 2

Com que x i y són edats, han de satisfer també les inequacions x ≥ 0, y ≥ 0 i han ser enteres.

6 Programació lineal

y + x = 0 , 2 x + 2 y = −1 , x = 0

D’aquestes consideracions deduïm que el sistema d’inequacions és:

x=–1

4

y = 3x – 2

Y

2x + 2y < −1 és el que no conté l’origen (ja que aquest punt no satisfà la desigualtat); el semiplà solució de x > 0 és el superior.

85

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 85 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 86

− 2y > 0 ⎫ − 2 y < 10 ⎪⎪ ⎬ ≥0 ⎪ ≥0 ⎭⎪

y =

— D’aquí a deu anys, l’edat del fill, 23 + 10 = 33 serà més gran que la meitat de la del pare: 50 + 10 60 = = 30 2 2 Un altre parell d’edats possibles és x = 42, y = 19: 42 > 19 ⋅ 2 = 38 1 (42 + 10) ; 29 > 26 2

19 + 10 >

9. Sigui x una de les xifres i y l’altra.

1 x−5 2

y=0

Pel fet de ser xifres, els nombres x i y seran enters entre 0 i 9, tots dos inclusivament (en tractar-se d’una contrasenya, acceptem que la primera xifra sigui un 0). En particular, verificaran les inequacions 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9. Si imposem que es compleixin les condicions de l’enunciat: — La suma de les xifres és menor que 10: x + y < 10.

Així, doncs, els valors de x i y han de satisfer el següent sistema d’inequacions lineals:

Després, determinem els semiplans solució de les inequacions corresponents i ombregem la zona d’intersecció.

— Una de les xifres és més gran que el triple de l’altra: si y representa la xifra més gran, y > 3 x.

Les dues primeres amb traç discontinu i les dues darreres amb traç continu.

x y 0 0

Y y= x 2

x=0

+ > ≤ ≤

y < 10 ⎫ ⎪ 3x ⎪ ⎬ x≤9 ⎪ y ≤ 9 ⎭⎪

20

Així, representem les rectes: y= x –5 2

10

y = −x + 10 y = 3x

20

30

y=0

x=0

X

x=9

–10

y=0 y=9

–20

Les dues primeres amb traç discontinu i la resta amb traç continu. El conjunt de solucions està format pel conjunt de punts de la intersecció dels quatre semiplans solució (zona ombrejada) les coordenades dels quals siguin enteres.

Y x=0

x=9

y=9

8

4

Com que x ha de ser l’edat d’un pare i y la del seu fill, moltes de les solucions analítiques no són possibles com a respostes del problema, com per exemple, x = 1 , y = 0; x = 1 000, y = 499...

6

y = – x + 10

y = 3x

Un altre parell d’edats possibles és x = 42, y = 19:

y=0 –2

2

4

6

50 + 10 60 = = 30 2 2

X

8

— L’edat del pare, 50, és més gran que el doble de la del fill, 2 ⋅ 23 = 46.

— D’aquí a deu anys, l’edat del fill, 23 + 10 = 33 serà més gran que la meitat de la del pare:

86

6 Programació lineal

Per tant, les edats possibles són els nombres enters x i y que verifiquen el sistema següent: x > 2y ⎫ ⎪ 1 y + 10 > (x + 10)⎪⎪ 2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭ x ≥0 y ≥0 x x x y

Per resoldre el sistema anterior, representem les rectes: 1 x 2

X

y =

8

y=0

x=0

6

10

4

x=0

–10

2

y=9

x=9

X

2

y=0

Així, doncs, els valors de x i y han de satisfer el següent sistema d’inequacions lineals: Si imposem que es compleixin les condicions de l’enunciat:

1 x−5 2

Una solució acceptable és, per exemple, x = 50, y = 23.

30

y < 10 ⎫ ⎪ 3x ⎪ ⎬ x≤9 ⎪ y ≤ 9 ⎪⎭

Després, determinem els semiplans solució de les inequacions corresponents i ombregem la zona d’intersecció. y =

Pel fet de ser xifres, els nombres x i y seran enters entre 0 i 9, tots dos inclusivament (en tractar-se d’una contrasenya, acceptem que la primera xifra sigui un 0). En particular, verificaran les inequacions 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9. 9. Sigui x una de les xifres i y l’altra.

12:38

Comprovem que, efectivament, si el pare té 50 anys i el fill té 23 anys, se satisfan les condicions de l’enunciat:

–2

y = 3x 4 y = – x + 10

6 8

x=9

x=0

Y

y=9 20

10

Així, representem les rectes: y= x 2

x=0

+ > ≤ ≤

— Una de les xifres és més gran que el triple de l’altra: si y representa la xifra més gran, y > 3 x. — La suma de les xifres és menor que 10: x + y < 10.

y=0

1 x 2

− 2y > 0 ⎫ − 2 y < 10 ⎪⎪ ⎬ ≥0 ⎪ ⎪⎭ ≥0

27/5/09

6 Programació lineal

86 — L’edat del pare, 50, és més gran que el doble de la del fill, 2 ⋅ 23 = 46. Comprovem que, efectivament, si el pare té 50 anys i el fill té 23 anys, se satisfan les condicions de l’enunciat:

2

Una solució acceptable és, per exemple, x = 50, y = 23. Com que x ha de ser l’edat d’un pare i y la del seu fill, moltes de les solucions analítiques no són possibles com a respostes del problema, com per exemple, x = 1 , y = 0; x = 1 000, y = 499... El conjunt de solucions està format pel conjunt de punts de la intersecció dels quatre semiplans solució (zona ombrejada) les coordenades dels quals siguin enteres.

Les dues primeres amb traç discontinu i la resta amb traç continu. –20

y=0

–10 10

–10

y = 3x y = −x + 10

y= x –5 2

20

x y 0 0

Y

Les dues primeres amb traç discontinu i les dues darreres amb traç continu. x=0 y =

Per resoldre el sistema anterior, representem les rectes: x x x y

42 > 19 ⋅ 2 = 38 1 19 + 10 > (42 + 10) ; 29 > 26 2

⎫ ⎪ 1 y + 10 > (x + 10)⎪⎪ 2 ⎬ ⎪ x ≥0 ⎪ y ≥0 ⎪⎭ x > 2y

Per tant, les edats possibles són els nombres enters x i y que verifiquen el sistema següent: 06 Mates CSS_Guia.qxd

Página 86

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 87

x ≥ 0, y ≥ 0. • A més, el nombre de tanques de cada tipus que col·loqui haurà de ser un nombre enter no negatiu: x + y ≤ 150

11. a) La funció objectiu, que hem de minimitzar, és z = 36 x + 48 y, i les restriccions a les quals estan subjectes les variables són:

Una de les possibles contrasenyes és, per tant, x = 0, y = 6, és a dir, el nombre 60, o també el nombre 06.

2. INTRODUCCIÓ A LA PROGRAMACIÓ LINEAL

• Com a màxim pot col·locar 150 tanques al dia. x ≤ 100 , y ≤ 120 • El treballador ha d’anar cada dia a buscar el material a la fàbrica i només disposa dels dos estoigs esmentats.

10. a) Sigui x el nombre d’autocars de 40 places i y el nombre d’autocars de 50 places que s’han d’utilitzar.

40 x + 50 y ≥ 400 , x + y ≤ 9 0 ≤ x ≤ 8 , 0 ≤ y ≤ 10 — Solucionem el sistema d’inequacions per a determinar la regió factible. Y

El cost en euros del trasllat (la funció objectiu) serà:

8

Hem de maximitzar aquesta funció, considerant les restriccions següents:

z = 36 x + 48 y

6

z = 42 x + 30 y

Hem de minimitzar aquesta funció tenint en compte les restriccions següents per a les variables:

4

El benefici en cèntims d’euros que obté el treballador diàriament serà:

• Només es disposa de 8 autocars petits i 10 autocars grans.

2

b) Sigui x el nombre de tanques de collarets i y el de tanques de polseres que ha de col·locar diàriament el treballador.

— Determinem la regió factible resolent el sistema d’inequacions. x + y ≤ 150 , 0 ≤ x ≤ 100 , 0 ≤ y ≤ 120

x=8

x=0

y = 10

y=–x+9

C

y=– 4x+8 5

x ≤ 8 , y ≤ 10 • S’han de traslladar 400 treballadors.

2

4

6

X

40 x + 50 y ≥ 400

b) La funció objectiu, que hem de maximitzar, és z = 42 x + 30 y, i les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: Per tant, per minimitzar el cost, hem d’utilitzar 5 autocars de 40 places i 4 autocars de 50 places. En aquest cas, el cost serà de 372 €. A = (0, 9) ⇒ z = 36 ⋅ 0 + 48 ⋅ 9 = 432 B = (0, 8) ⇒ z = 36 ⋅ 0 + 48 ⋅ 8 = 384 C = (5, 4) ⇒ z = 36 ⋅ 5 + 48 ⋅ 4 = 372 — Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun dels vèrtexs: A = (0, 9) , B = (0, 8) , C = (5, 4) Les coordenades d’aquests punts són: x+y = 9 ⎫ ⎬ 40 x + 50 y = 400 ⎭

x≥0 , y≥0 • A més, el nombre d’autocars que s’empren de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x+y≤9 • Només es disposa de 9 conductors, per la qual cosa com a màxim s’usaran 9 autocars.

6 Programació lineal

87 La solució d’aquest sistema són els punts marcats a la figura; és a dir, els punts de la regió solució del sistema les coordenades del qual són enteres.

• Només es disposa de 9 conductors, per la qual cosa com a màxim s’usaran 9 autocars. x+y≤9 • A més, el nombre d’autocars que s’empren de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x≥0 , y≥0 b) Sigui x el nombre de tanques de collarets i y el de tanques de polseres que ha de col·locar diàriament el treballador.

x = 0⎫ ⎬ x + y = 9⎭

x =0 ⎫ ⎬ 40 x + 50 y = 400 ⎭

— Els vèrtexs de la regió factible són els punts de tall de les rectes que defineixen les arestes d’aquesta regió:

40 x + 50 y ≥ 400 • S’han de traslladar 400 treballadors.

2

4

6

X

x ≤ 8 , y ≤ 10 • Només es disposa de 8 autocars petits i 10 autocars grans.

El benefici en cèntims d’euros que obté el treballador diàriament serà:

Hem de minimitzar aquesta funció tenint en compte les restriccions següents per a les variables:

z = 42 x + 30 y

6

z = 36 x + 48 y

Hem de maximitzar aquesta funció, considerant les restriccions següents:

8

El cost en euros del trasllat (la funció objectiu) serà:

• El treballador ha d’anar cada dia a buscar el material a la fàbrica i només disposa dels dos estoigs esmentats. x ≤ 100 , y ≤ 120

10. a) Sigui x el nombre d’autocars de 40 places i y el nombre d’autocars de 50 places que s’han d’utilitzar.

• Com a màxim pot col·locar 150 tanques al dia. x + y ≤ 150

x ≥ 0, y ≥ 0.

x = 0⎫ ⎬ x + y = 9⎭

x =0 ⎫ ⎬ 40 x + 50 y = 400 ⎭

x+y = 9 ⎫ ⎬ 40 x + 50 y = 400 ⎭ Les coordenades d’aquests punts són: A = (0, 9) , B = (0, 8) , C = (5, 4) — Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun dels vèrtexs: A = (0, 9) ⇒ z = 36 ⋅ 0 + 48 ⋅ 9 = 432 B = (0, 8) ⇒ z = 36 ⋅ 0 + 48 ⋅ 8 = 384 C = (5, 4) ⇒ z = 36 ⋅ 5 + 48 ⋅ 4 = 372 Per tant, per minimitzar el cost, hem d’utilitzar 5 autocars de 40 places i 4 autocars de 50 places. En aquest cas, el cost serà de 372 €. b) La funció objectiu, que hem de maximitzar, és z = 42 x + 30 y, i les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: x + y ≤ 150 , 0 ≤ x ≤ 100 , 0 ≤ y ≤ 120 — Determinem la regió factible resolent el sistema d’inequacions.

6 Programació lineal

• A més, el nombre de tanques de cada tipus que col·loqui haurà de ser un nombre enter no negatiu:

— Els vèrtexs de la regió factible són els punts de tall de les rectes que defineixen les arestes d’aquesta regió:

2. INTRODUCCIÓ A LA PROGRAMACIÓ LINEAL Una de les possibles contrasenyes és, per tant, x = 0, y = 6, és a dir, el nombre 60, o també el nombre 06. La solució d’aquest sistema són els punts marcats a la figura; és a dir, els punts de la regió solució del sistema les coordenades del qual són enteres.

y=– 4x+8 5

2 4

C y=–x+9

Y

x=0

x=8

y = 10

— Solucionem el sistema d’inequacions per a determinar la regió factible. 40 x + 50 y ≥ 400 , x + y ≤ 9 0 ≤ x ≤ 8 , 0 ≤ y ≤ 10 11. a) La funció objectiu, que hem de minimitzar, és z = 36 x + 48 y, i les restriccions a les quals estan subjectes les variables són:

87

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 87 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 88

88 Y x=0

6

4

C

y = – x + 150 2

140

4

6

8

10

12

X

X

— Els vèrtexs de la regió factible són els punts de tall de les rectes que defineixen les arestes d’aquella: x = 0 ⎫ x = 0 ⎫ x + y = 150 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ y = 0⎭ y = 120 ⎭ y = 120 ⎭ x = 100 ⎫ ⎬ y =0 ⎭

x + y = 150 ⎫ ⎬ x = 100 ⎭

Les coordenades d’aquests punts són: A = (0, 0) , B = (0, 120) , C = (100, 0) D = (30, 120) , E = (100, 50) — Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex: A = (0, 0) ⇒ z = 42 ⋅ 0 + 30 ⋅ 0 = 0

Com que el coeficient de la variable y en la funció objectiu és positiu, el valor mínim de la funció objectiu s’assolirà en el vèrtex de la regió factible pel qual passa la recta de nivell amb la menor ordenada en l’origen. El mínim s’assolirà, doncs, en el vèrtex (5, 4), la qual cosa significa que l’empresa realitzarà el transport amb un cost mínim si utilitza 5 autocars petits i 4 de grans. El valor d’aquest cost serà de z = 36 ⋅ ⋅ 5 + 48 ⋅ 4 = 372 €.

y = 120

B = (0, 120) ⇒ z = 42 ⋅ 0 + 30 ⋅ 120 = 3 600

C

b) Hem de maximitzar la funció z = 42 x + 30 y subjecta a les restriccions següents: x + y ≤ 150 , 0 ≤ x ≤ 100 , 0 ≤ y ≤ 120 — En el problema 10, apartat b, ja en vam calcular la regió factible. — Per resoldre el problema gràficament, tracem la corba de nivell 42 x + 30 y = 0 i les seves paral·leles pels vèrtexs de la regió factible. Y

C = (30, 120) ⇒ z = 42 ⋅ 30 + 30 ⋅ 120 = 4 860 D = (100, 50) ⇒ z = 42 ⋅ 100 + 30 ⋅ 50 = 5 700 E = (100, 0) ⇒ z = 42 ⋅ 100 + 30 ⋅ 0 = 4 200

y = 120

C

El màxim de la funció objectiu en la regió factible s’assoleix en el vèrtex D = (100, 50).

B y = 100

El treballador ha de col·locar 100 tanques de collarets i 50 de polseres per a maximitzar el seu benefici.

6 Programació lineal

Y

x = 100

140

y = 120

C

B

100 80

y=– 4x+8 5

2

60

y=–x+9

D 40

y=– 3x 4

20

y=0

X

E 120

y=0

80

60

60

40

40

30

20

20

10

y = – x + 150

D x=0 y = 100

B Y

— Per resoldre el problema gràficament, tracem la corba de nivell 42 x + 30 y = 0 i les seves paral·leles pels vèrtexs de la regió factible. — En el problema 10, apartat b, ja en vam calcular la regió factible. x + y ≤ 150 , 0 ≤ x ≤ 100 , 0 ≤ y ≤ 120 b) Hem de maximitzar la funció z = 42 x + 30 y subjecta a les restriccions següents: El mínim s’assolirà, doncs, en el vèrtex (5, 4), la qual cosa significa que l’empresa realitzarà el transport amb un cost mínim si utilitza 5 autocars petits i 4 de grans. El valor d’aquest cost serà de z = 36 ⋅ ⋅ 5 + 48 ⋅ 4 = 372 €. Com que el coeficient de la variable y en la funció objectiu és positiu, el valor mínim de la funció objectiu s’assolirà en el vèrtex de la regió factible pel qual passa la recta de nivell amb la menor ordenada en l’origen.

x=0

D 20

y = – x + 150

X

10

E 30

40

60

X

y=0

X

20

y=0

12

10 y=– 5x 7

140

12. a) Hem de minimitzar la funció z = 36 x + 48 y subjecta a les restriccions següents:

x = 100 ⎫ ⎬ y =0 ⎭ E 120

10

40 x + 50 y ≥ 400 , x + y ≤ 9 0 ≤ x ≤ 8 , 0 ≤ y ≤ 10

80

8

— En el problema 10, apartat a, trobem la regió factible.

60

6

— Per resoldre el problema gràficament, tracem la recta de nivell 36x + 48y = 0 i les seves paral·leles que passen pels vèrtexs de la regió factible.

40

4

Com que el coeficient de la variable y en la funció objectiu és positiu, el valor màxim de la funció objectiu s’assolirà en el vèrtex corresponent a la recta de nivell amb la major ordenada en l’origen.

y=– 4x+8 5

El màxim s’assolirà, doncs, en el vèrtex (100, 50); la qual cosa significa que el benefici del treballador serà màxim si diàriament col·loca 100 tanques de collaret i 50 de polsera.

6

y = 120

A

El màxim s’assolirà, doncs, en el vèrtex (100, 50); la qual cosa significa que el benefici del treballador serà màxim si diàriament col·loca 100 tanques de collaret i 50 de polsera. Com que el coeficient de la variable y en la funció objectiu és positiu, el valor màxim de la funció objectiu s’assolirà en el vèrtex corresponent a la recta de nivell amb la major ordenada en l’origen. 10 y=– 5x 7

E

20

2

y=–x+9 2

C

4

C x = 100

6 Programació lineal

— Per resoldre el problema gràficament, tracem la recta de nivell 36x + 48y = 0 i les seves paral·leles que passen pels vèrtexs de la regió factible. — En el problema 10, apartat a, trobem la regió factible. 40 x + 50 y ≥ 400 , x + y ≤ 9 0 ≤ x ≤ 8 , 0 ≤ y ≤ 10 12. a) Hem de minimitzar la funció z = 36 x + 48 y subjecta a les restriccions següents:

20

El treballador ha de col·locar 100 tanques de collarets i 50 de polseres per a maximitzar el seu benefici. El màxim de la funció objectiu en la regió factible s’assoleix en el vèrtex D = (100, 50). E = (100, 0) ⇒ z = 42 ⋅ 100 + 30 ⋅ 0 = 4 200 D = (100, 50) ⇒ z = 42 ⋅ 100 + 30 ⋅ 50 = 5 700 C = (30, 120) ⇒ z = 42 ⋅ 30 + 30 ⋅ 120 = 4 860 B = (0, 120) ⇒ z = 42 ⋅ 0 + 30 ⋅ 120 = 3 600 A = (0, 0) ⇒ z = 42 ⋅ 0 + 30 ⋅ 0 = 0 — Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex: A = (0, 0) , B = (0, 120) , C = (100, 0) D = (30, 120) , E = (100, 50) Les coordenades d’aquests punts són: x + y = 150 ⎫ ⎬ x = 100 ⎭

— Els vèrtexs de la regió factible són els punts de tall de les rectes que defineixen les arestes d’aquella: x = 0 ⎫ x = 0 ⎫ x + y = 150 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ y = 0⎭ y = 120 ⎭ y = 120 ⎭ A

y=– 3x 4

20

y = – x + 150

40

D 60 80 100

B 140

x=0

Y

Y

88

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 88

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 89

6 Programació lineal

89 13. Si resolem el sistema d’inequacions gràficament per determinar la regió factible, veiem que aquesta és no buida i que està fitada; per tant, existeix solució. A més, com que les rectes de nivell no són paral·leles a cap aresta, la solució és única. Y

3. APLICACIONS DE LA PROGRAMACIÓ LINEAL 15. Representem en una taula de doble entrada els costos d’enviament en euros de cada origen a cada destinació. A

B

C

Bruges

2

13

6

Munic

12

4

4

x=0

2

Perquè el problema de maximitzar z tingui infinites solucions, hem de considerar una funció objectiu de manera que les rectes de nivell que defineix siguin paral·leles a algun dels costats superiors del polígon. Per exemple, z = x + 2 y, que serà paral·lela al vèrtex CD. b) Imposem que b > 0, amb la qual cosa el màxim de z correspondrà a la recta de nivell amb una major ordenada a l’origen. y=

y=x–6

1

Siguin x i y les caixes que surten de Bruixes fins a A i B, respectivament. Construïm la següent taula de distribució:

y=0 1 –1

2

3

4

5

y=– x 2

6

X

y = –x + 3

14. Com que la regió factible està fitada, el problema d’optimitzar (ja sigui minimitzar o maximitzar) una funció objectiu z = ax + by tindrà solució, independentment dels valors de a i b. Observem que els punts x C i D determinen la recta y = − . 2

A

B

C

Bruges

x

y

8 000 − x − y

Munic

6 000 − x

7 000 − y

10 000 − (8 000 − x − y) = = 2 000 + x + y

Aquestes quantitats no poden ser negatives. Per tant, tenim el següent conjunt de restriccions: x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 8 000 − x − y ≥ 0 6 000 − x ≥ 0 ; 7 000 − y ≥ 0 ; 2 000 + x + y ≥ 0 Simplificant les restriccions:

Perquè la solució sigui única, n’hi ha prou de prendre una funció objectiu tal que les rectes de nivell que defineix no siguin paral·leles als costats inferiors del polígon. Per exemple, z = x + 2 y.

x = 6 000

12 x 7 1 000

X y=0

1 000

y = –x – 2 000

a) Com que hem de triar z, podem imposar que b > 0. En aquest cas, el mínim s’assolirà en el vèrtex corresponent a la recta de nivell que tingui una menor ordenada en l’origen.

y = –x + 8 000 y = 7 000

1

A

2

3

4

5

6

7

X

x=0

E

Y

1

Si resolem el problema mitjançant el mètode gràfic, obtenim que la funció objectiu assoleix el mínim en el punt (6 000, 0).

2

Y

0 ≤ x ≤ 6 000 ; 0 ≤ y ≤ 7 000 −2 000 ≤ x + y ≤ 8 000

C

z = 2 x + 13 y + 6 (8 000 − x − y) + + 12 (6 000 − x) + 4 (7 000 − y) + + 4 (2 000 + x + y) = −12 x + 7 y +156 000

3

6

La funció objectiu, que hem de minimitzar, és la que ens dóna el cost del transport:

B

D

5

z = 2 x + 13 y + 6 (8 000 − x − y) + + 12 (6 000 − x) + 4 (7 000 − y) + + 4 (2 000 + x + y) = −12 x + 7 y +156 000

5

D

La funció objectiu, que hem de minimitzar, és la que ens dóna el cost del transport:

B 6 3

Si resolem el problema mitjançant el mètode gràfic, obtenim que la funció objectiu assoleix el mínim en el punt (6 000, 0).

C

Y

0 ≤ x ≤ 6 000 ; 0 ≤ y ≤ 7 000 −2 000 ≤ x + y ≤ 8 000

2

1

Y

E A

1

2

3

4

5

6

7

x=0

X y = 7 000

a) Com que hem de triar z, podem imposar que b > 0. En aquest cas, el mínim s’assolirà en el vèrtex corresponent a la recta de nivell que tingui una menor ordenada en l’origen. Perquè la solució sigui única, n’hi ha prou de prendre una funció objectiu tal que les rectes de nivell que defineix no siguin paral·leles als costats inferiors del polígon. Per exemple, z = x + 2 y. b) Imposem que b > 0, amb la qual cosa el màxim de z correspondrà a la recta de nivell amb una major ordenada a l’origen.

y = –x – 2 000 1 000

y=0 X

1 000

12 y= x 7

x = 6 000

6 Programació lineal

Perquè el problema de maximitzar z tingui infinites solucions, hem de considerar una funció objectiu de manera que les rectes de nivell que defineix siguin paral·leles a algun dels costats superiors del polígon. Per exemple, z = x + 2 y, que serà paral·lela al vèrtex CD.

y = –x + 8 000

14. Com que la regió factible està fitada, el problema d’optimitzar (ja sigui minimitzar o maximitzar) una funció objectiu z = ax + by tindrà solució, independentment dels valors de a i b. Observem que els punts x . 2 C i D determinen la recta y = − –1

y = –x + 3

y=– x 2

1

2

3

4

5

6

X

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 8 000 − x − y ≥ 0 Aquestes quantitats no poden ser negatives. Per tant, tenim el següent conjunt de restriccions: Bruges

7 000 − y

6 000 − x

y

x A

y=x–6

2 Y

6 000 − x ≥ 0 ; 7 000 − y ≥ 0 ; 2 000 + x + y ≥ 0 Munic

y=0 1

Simplificant les restriccions: 10 000 − (8 000 − x − y) = = 2 000 + x + y 8 000 − x − y

B

C

Siguin x i y les caixes que surten de Bruixes fins a A i B, respectivament. Construïm la següent taula de distribució: 4

12

Munic

13

2

Bruges

4 6

x=0

A

13. Si resolem el sistema d’inequacions gràficament per determinar la regió factible, veiem que aquesta és no buida i que està fitada; per tant, existeix solució. A més, com que les rectes de nivell no són paral·leles a cap aresta, la solució és única.

B

C

15. Representem en una taula de doble entrada els costos d’enviament en euros de cada origen a cada destinació. 3. APLICACIONS DE LA PROGRAMACIÓ LINEAL

89

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 89 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 90

90 0

6 000

Bruges

B

A

30 y

10 y

B

10 x

10 x

A

C2

C1

C

2 000 8 000

C3

200 x 75 y 300

Trobem el valor de la funció objectiu per a cada vèrtex: A = (3, 0) ⇒ z = 9 ⋅ 3 + 6 ⋅ 0 = 27 B = (1,5, 0,5) ⇒ z = 9 ⋅ 1,5 + 6 ⋅ 0,5 = 16,5 C = (1,2, 0,8) ⇒ z = 9 ⋅ 1,2 + 6 ⋅ 0,8 = 15,6 4 ⎛ 4⎞ D = ⎜ 1, ⎟ ⇒ z = 9 ⋅ 1 + 6 ⋅ = 17 ⎝ 3⎠ 3 El mínim coincideix amb C = (1,2, 0,8). Així, els bens ocasionaran una despesa mínima si consumeixen diàriament 1,2 kg de pinso A i 0,8 kg de pinso B.

C4

20 x 0 20

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 17. Els vèrtexs són: A = (0, 0) ; B = (0, 1) ; C = (2, 5) ; D = (4, 5) E = (5, 1) i F = (5, 0) Les equacions de les rectes determinades per dos vèrtex consecutius són: rAB: x = 0 ; rBC: y = 2 x + 1 ; rCD: y = 5 ; rDE: y = −4 x + 21 ; rEF: x = 5 ; rFA: y = 0

x ≥ 0 ; y ≤ 2x + 1 ; y ≤ 5 ; y ≤ −4 x + 21 ; x ≤ 5 ; y ≥ 0

Triem els signes de les desigualtats perquè incloguin la regió R:

18. Els vèrtexs són:

Les equacions de les rectes determinades per dos vèrtexs consecutius són:

A = (5, 2) , B = (5, 10) i C = (10, 6)

4 4 x + 14 ; rCA : y = x − 2 5 5

Triem els signes de les desigualtats perquè incloguin la regió R: x ≥5 ; y ≤−

4 4 x + 14 ; y ≥ x − 2 5 5

Si la funció objectiu és z = x + 5 y, en trobem el valor per a cadascun dels vèrtexs: A = (5, 2) ⇒ z = 5 + 5 ⋅ 2 = 15 B = (5, 10) ⇒ z = 5 + 5 ⋅ 10 = 55 C = (10, 6) ⇒ z = 10 + 5 ⋅ 6 = 40

6 Programació lineal

Així, la solució és x = 6 000 i y = 0, per tant, la quantitat de lots que han de sortir de cada ciutat a cada destinació és la indicada a la taula següent:

7 000

0

Munic

16. Siguin x i y, respectivament, els quilograms de pinso A i B que consumeix un be al dia. Construïm la següent taula de distribució:

30

20

Ingesta mínima

Amb les dades de la taula i tenint en compte que la massa no pot ser negativa, escrivim el següent conjunt de restriccions: x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 10 x + 10 y ≥ 20 10 x + 30 y ≥ 30 ; 200 x + 75 y ≥ 300 20 x ≥ 20 La funció objectiu, en aquest cas el cost de la mescla, s’obté sumant els costos de tots dos pinsos. Per determinar-la, expressem els preus en cèntims d’euro per quilogram: 90 €/t = 9 cèntims d’euro/kg 60 €/t = 6 cèntims d’euro/kg Funció objectiu: z = 9 x + 6y Dibuixem la regió factible i calculem el valor de la funció objectiu en els vèrtexs.

rAB : x = 5 ; rBC : y = −

Y

60

2

90

D

B

C

40

y=– 1x+1 3

10

B

A

0,5

MII

Les equacions de les rectes determinades per dos vèrtexs consecutius són: x ≥ 0 ; y ≤ 2x + 1 ; y ≤ 5 ; y ≤ −4 x + 21 ; x ≤ 5 ; y ≥ 0

X

MI

19. Els percentatges de cada metall en els minerals són: El punt màxim està situat, per tant, a B = (5, 10). 4 4 x + 14 ; rCA : y = x − 2 5 5

A = (5, 2) , B = (5, 10) i C = (10, 6) 18. Els vèrtexs són: Triem els signes de les desigualtats perquè incloguin la regió R: rAB: x = 0 ; rBC: y = 2 x + 1 ; rCD: y = 5 ; rDE: y = −4 x + 21 ; rEF: x = 5 ; rFA: y = 0 Les equacions de les rectes determinades per dos vèrtex consecutius són: A = (0, 0) ; B = (0, 1) ; C = (2, 5) ; D = (4, 5) E = (5, 1) i F = (5, 0)

A y=–x+2

20

2

300

x=1

30

0,5

20

El punt màxim està situat, per tant, a B = (5, 10).

Ingesta mínima

17. Els vèrtexs són:

y=– 8x+4 3

0

19. Els percentatges de cada metall en els minerals són:

75 y

MII

30 y

MI

10 y

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES El mínim coincideix amb C = (1,2, 0,8). Així, els bens ocasionaran una despesa mínima si consumeixen diàriament 1,2 kg de pinso A i 0,8 kg de pinso B. 4 ⎛ 4⎞ D = ⎜ 1, ⎟ ⇒ z = 9 ⋅ 1 + 6 ⋅ = 17 ⎝ 3⎠ 3

Els vèrtexs determinats a partir de la figura són:

B

8 000

40

20 x

7 000

10

200 x

0

A

10 x

2 000

A = (3, 0) ; B = (1,5, 0,5) ; C = (1,2, 0,8)

10 x

0

60

A

6 000

Munic

90

X

Triem els signes de les desigualtats perquè incloguin la regió R: C4

Bruges

A = (3, 0) ⇒ z = 9 ⋅ 3 + 6 ⋅ 0 = 27 B = (1,5, 0,5) ⇒ z = 9 ⋅ 1,5 + 6 ⋅ 0,5 = 16,5 C = (1,2, 0,8) ⇒ z = 9 ⋅ 1,2 + 6 ⋅ 0,8 = 15,6

B

A y=–x+2

2

C3 C

⎛ 4⎞ D = ⎜ 1, ⎟ ⎝ 3⎠

2

A = (5, 2) ⇒ z = 5 + 5 ⋅ 2 = 15 B = (5, 10) ⇒ z = 5 + 5 ⋅ 10 = 55 C = (10, 6) ⇒ z = 10 + 5 ⋅ 6 = 40 Si la funció objectiu és z = x + 5 y, en trobem el valor per a cadascun dels vèrtexs:

C

4 4 x + 14 ; y ≥ x − 2 5 5

rAB : x = 5 ; rBC : y = − C2 B

Trobem el valor de la funció objectiu per a cada vèrtex:

6 Programació lineal

⎛ 4⎞ D = ⎜ 1, ⎟ ⎝ 3⎠ A = (3, 0) ; B = (1,5, 0,5) ; C = (1,2, 0,8) Els vèrtexs determinats a partir de la figura són: y=– 8x+4 3

x=1 0,5

y=– 1x+1 3

B

0,5

x ≥5 ; y ≤−

D Y

Dibuixem la regió factible i calculem el valor de la funció objectiu en els vèrtexs. Funció objectiu: z = 9 x + 6y Amb les dades de la taula i tenint en compte que la massa no pot ser negativa, escrivim el següent conjunt de restriccions: x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 10 x + 10 y ≥ 20 10 x + 30 y ≥ 30 ; 200 x + 75 y ≥ 300 20 x ≥ 20 La funció objectiu, en aquest cas el cost de la mescla, s’obté sumant els costos de tots dos pinsos. Per determinar-la, expressem els preus en cèntims d’euro per quilogram: 90 €/t = 9 cèntims d’euro/kg 60 €/t = 6 cèntims d’euro/kg C1

16. Siguin x i y, respectivament, els quilograms de pinso A i B que consumeix un be al dia. Construïm la següent taula de distribució: A

Així, la solució és x = 6 000 i y = 0, per tant, la quantitat de lots que han de sortir de cada ciutat a cada destinació és la indicada a la taula següent:

90

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 90

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 91

y=0

10 000

A

X D

10 000

C

De fet, si denotem per x les tones que s’extreuen de MI i per y les que s’extreuen de MII, s’ha de complir:

• La quantitat invertida en cada companyia no pot ser negativa: x ≥ 0 , y ≥ 0.

y = – 5 x + 30 000 8

x=0

10 x + 40 y ≥ 40 (x + y ) ⎫ ⎪ 90 x + 60 y ≥ 60 (x + y )⎬ ⎪ x > y ⎭

B

Resolem gràficament el problema i veiem que el màxim s’assoleix en el vèrtex definit per les rectes x = 600 000 i y = −x + 1 000 000.

y = – 10 x + 390 000 7 7

6 Programació lineal

91 L’aliatge conté un 40% de A i un 60% de B. Observem que per aconseguir un 40% de A haurem d’utilitzar només MII. Però, si només s’extrau MII, no es compleix la condició que s'utilitzi com a molt un 50% de MII. Veiem, doncs, que el problema no té solució.

30 x ≤ 30 x ≥ x > y

x =0 ⎫ ⎬ 0, 05 x + 0, 08 y = 2 400 ⎭

0, 05 x + 0, 08 y = 2 400 ⎫ ⎬ 0, 1 x + 0, 07 y = 3 900 ⎭ y =0 ⎫ ⎬ 0, 1 x + 0, 07 y = 3 900 ⎭ Les coordenades d’aquests punts són:

0⎫ ⎪ 0⎬ ⎪ ⎭

A = (0, 0) , B = (0, 30 000) C = (32 000, 10 000) , D = (39 000, 0)

• La inversió en Àurea no ha de ser superior al doble de la inversió en Argèntia: x ≤ 2 y. x ≤ 600 000 , y ≥ 40 000

Y

que equival a x = 0, y < 0, la qual cosa és impossible.

Per resoldre aquest problema, representem la regió factible i trobem les coordenades dels vèrtexs: x≥0 , y≥0

20. Escrivim les dades de l’enunciat en tant per u.

• No podem invertir més de 600000 € en Àurea, ni menys de 40000 en Argèntia: x + y ≤ 1 000 000 • No podem invertir més d’un milió d’euros:

• La quantitat que hem de produir de cada adob no pot ser negativa:

Compost-1

Compost-2

Existències

Nitro

0,1

0,07

3 900 kg

Fòsfor

0,05

0,08

2 400 kg

1€

0,8 €

Benefici per kg

x = 0⎫ ⎬ y = 0⎭

Sigui x la quantitat en quilograms d’adob Compost-1 que ha de fabricar l’empresa, i y la quantitat d’adob Compost-2, perquè el benefici sigui màxim.

Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex per determinar el màxim: A = (0, 0) ⇒ z = 0 + 0,8 ⋅ 0 = 0 B = (0, 30 000) ⇒ z = 0 + 0,8 ⋅ 30 000 = 24 000 C = (32 000, 10 000) ⇒ ⇒ z = 32 000 + 0,8 ⋅ 10 000 = 40 000 D = (39 000, 0) ⇒ z = 39 000 + 0,8 ⋅ 0 = 39 000 El màxim s’assoleix en el punt (32 000, 10 000), la qual cosa significa que, per maximitzar-ne el benefici, l’empresa ha de fabricar 32 000 kg = 32 t de Compost-1 i 10 000 kg = 10 t de Compost-2.

La funció objectiu que hem de maximitzar és: z = 1 ⋅ x + 0,8 ⋅ y = x + 0,8 y Les restriccions a les quals està sotmesa la funció objectiu són: • No podem emprar més fertilitzant Nitro i Fòsfor del que tenim en existència: 0,1 x + 0,07 y ≤ 3 900 , 0,05 x + 0,08 y ≤ 2 400

Les restriccions que han de complir les variables són:

0,1 x + 0,07 y ≤ 3 900 , 0,05 x + 0,08 y ≤ 2 400 • No podem emprar més fertilitzant Nitro i Fòsfor del que tenim en existència: Les restriccions a les quals està sotmesa la funció objectiu són: z = 1 ⋅ x + 0,8 ⋅ y = x + 0,8 y

z = 0,07 x + 0,04 y La funció objectiu, que volem maximitzar, és el benefici: 21. Siguin x i y les quantitats d’euros que ha d’invertir la societat en les empreses Àurea i Argèntia, respectivament.

La funció objectiu que hem de maximitzar és: Sigui x la quantitat en quilograms d’adob Compost-1 que ha de fabricar l’empresa, i y la quantitat d’adob Compost-2, perquè el benefici sigui màxim. Benefici per kg Fòsfor Nitro

• La quantitat que hem de produir de cada adob no pot ser negativa:

21. Siguin x i y les quantitats d’euros que ha d’invertir la societat en les empreses Àurea i Argèntia, respectivament. La funció objectiu, que volem maximitzar, és el benefici: z = 0,07 x + 0,04 y Les restriccions que han de complir les variables són: • No podem invertir més d’un milió d’euros:

x≥0 , y≥0

1€

El màxim s’assoleix en el punt (32 000, 10 000), la qual cosa significa que, per maximitzar-ne el benefici, l’empresa ha de fabricar 32 000 kg = 32 t de Compost-1 i 10 000 kg = 10 t de Compost-2.

0,8 €

0,05

0,08

0,1

0,07

Compost-1

Compost-2

2 400 kg 3 900 kg Existències

20. Escrivim les dades de l’enunciat en tant per u.

Per resoldre aquest problema, representem la regió factible i trobem les coordenades dels vèrtexs:

que equival a x = 0, y < 0, la qual cosa és impossible. 30 x ≤ 30 x ≥ x > y

Y

x + y ≤ 1 000 000 • No podem invertir més de 600000 € en Àurea, ni menys de 40000 en Argèntia: x ≤ 600 000 , y ≥ 40 000 • La inversió en Àurea no ha de ser superior al doble de la inversió en Argèntia: x ≤ 2 y.

y = – 10 x + 390 000 7 7

0⎫ ⎪ 0⎬ ⎪ ⎭

D = (39 000, 0) ⇒ z = 39 000 + 0,8 ⋅ 0 = 39 000 C = (32 000, 10 000) ⇒ ⇒ z = 32 000 + 0,8 ⋅ 10 000 = 40 000 B = (0, 30 000) ⇒ z = 0 + 0,8 ⋅ 30 000 = 24 000 A = (0, 0) ⇒ z = 0 + 0,8 ⋅ 0 = 0 Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex per determinar el màxim: A = (0, 0) , B = (0, 30 000) C = (32 000, 10 000) , D = (39 000, 0)

10 x + 40 y ≥ 40 (x + y ) ⎫ ⎪ 90 x + 60 y ≥ 60 (x + y )⎬ ⎪ x > y ⎭

B

De fet, si denotem per x les tones que s’extreuen de MI i per y les que s’extreuen de MII, s’ha de complir:

C

10 000

D A

10 000

y=0

X

Resolem gràficament el problema i veiem que el màxim s’assoleix en el vèrtex definit per les rectes x = 600 000 i y = −x + 1 000 000.

6 Programació lineal

• La quantitat invertida en cada companyia no pot ser negativa: x ≥ 0 , y ≥ 0.

y = – 5 x + 30 000 8

x=0

L’aliatge conté un 40% de A i un 60% de B. Observem que per aconseguir un 40% de A haurem d’utilitzar només MII. Però, si només s’extrau MII, no es compleix la condició que s'utilitzi com a molt un 50% de MII. Veiem, doncs, que el problema no té solució.

Les coordenades d’aquests punts són: y =0 ⎫ ⎬ 0, 1 x + 0, 07 y = 3 900 ⎭ 0, 05 x + 0, 08 y = 2 400 ⎫ ⎬ 0, 1 x + 0, 07 y = 3 900 ⎭ x = 0⎫ ⎬ y = 0⎭

x =0 ⎫ ⎬ 0, 05 x + 0, 08 y = 2 400 ⎭

91

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 91 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 92

92 Y

y = – 23 x + 365 7 7

40

x = 600 000

30

x=0

y = – 5 x + 175 4 8

10 y= x 2

y=0

y = –x 10

30

X

y = –x + 1 000 000

100 000

100 000

Si resolem gràficament el problema, obtenim que la solució és el vèrtex intersecció de les rectes:

y = 40 000

X

y=0

20 x + 16 y = 350 ⎫ x =0 ⎬⇒ y = 21, 875 ⎭ x =0

y=– 7x 4

x = 600 000 ⎫ ⎬ ⇒ x = 600 000 , y = 400 000 y = − x + 1 000 000 ⎭ El benefici serà màxim si s’inverteixen 600 000 € en la companyia Àurea i 400 000 en Argèntia.

22. Sigui x el nombre d’edificis del primer tipus, i y el del segon tipus, que en Carles i l’Antònia col·loquen a la seva maqueta. Volem maximitzar el nombre d’edificis que hi ha a la maqueta:

De les solucions del problema de programació lineal que hem plantejat (els punts de la regió factible), només es poden acceptar com a solucions del problema inicial els de coordenades enteres.

Però aquest punt no té sentit com a solució del problema plantejat en l’enunciat, ja que no hi podem posar un nombre no enter d’edificis.

Hem de determinar, doncs, en quin d’aquests punts es maximitza la funció objectiu. Per a fer-ho, marquem els punts de coordenades enteres pertanyents a la regió factible i que són més propers al vèrtex al qual es maximitza la funció objectiu; i tracem les corbes de nivell que passen per aquests punts.

6 Programació lineal

x=0

X

50

10

Y

60

y = –x

10 Y

Per a fer-ho, marquem els punts de coordenades enteres pertanyents a la regió factible i que són més propers al vèrtex al qual es maximitza la funció objectiu; i tracem les corbes de nivell que passen per aquests punts. Hem de determinar, doncs, en quin d’aquests punts es maximitza la funció objectiu. De les solucions del problema de programació lineal que hem plantejat (els punts de la regió factible), només es poden acceptar com a solucions del problema inicial els de coordenades enteres.

X

z=x+y

y=0

Y

X

Les restriccions que tenim són: • La superfície ocupada pels edificis no pot superar la de la taula:

y = – 23 x + 365 7 7

46 x + 14 y ≤ 730 • Les despeses en la construcció dels edificis no poden superar els diners disponibles:

100 000

30 y=0

10 30 10

2 x + 1,6 y ≤ 35 o 20 x + 16 y ≤ 350

y = – 5 x + 175 4 8

• El nombre d’edificis de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x ≥ 0 , y ≥ 0.

y = – 23 x + 365 7 7 X

10 y = –x

x=0

6 Programació lineal

• El nombre d’edificis de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x ≥ 0 , y ≥ 0.

y = – 5 x + 175 4 8

2 x + 1,6 y ≤ 35 o 20 x + 16 y ≤ 350 • Les despeses en la construcció dels edificis no poden superar els diners disponibles: 46 x + 14 y ≤ 730

y = – 23 x + 365 7 7

• La superfície ocupada pels edificis no pot superar la de la taula: Les restriccions que tenim són: z=x+y Volem maximitzar el nombre d’edificis que hi ha a la maqueta: 22. Sigui x el nombre d’edificis del primer tipus, i y el del segon tipus, que en Carles i l’Antònia col·loquen a la seva maqueta. El benefici serà màxim si s’inverteixen 600 000 € en la companyia Àurea i 400 000 en Argèntia. x = 600 000 ⎫ ⎬ ⇒ x = 600 000 , y = 400 000 y = − x + 1 000 000 ⎭

Però aquest punt no té sentit com a solució del problema plantejat en l’enunciat, ja que no hi podem posar un nombre no enter d’edificis. 20 x + 16 y = 350 ⎫ x =0 ⎬⇒ x =0 y = 21, 875 ⎭

y=– 7x 4

Si resolem gràficament el problema, obtenim que la solució és el vèrtex intersecció de les rectes:

y = 40 000

100 000

y = –x + 1 000 000

10

y= x 2

y = –x y = – 5 x + 175 4 8

x=0 x = 600 000

40 50 60 Y

Y

92

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 92

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 93

26. Per exemple, l’economia i les comunicacions.

Per a trobar-la, marquem els punts de la regió factible que tenen coordenades enteres.

15 x + 28 y ≥ 450 ; 25 x + 10 y ≥ 200 x≥0 ; y≥0

Com que les coordenades d’aquest punt no són enteres, no el podem acceptar com a solució del problema inicial.

— Per exemple, maximitzar z = 25 x + 30 y subjecta a:

y =8 ⎫ 5 ⎬ ⇒ x = = 1, 67 , y = 8 6 x + 15 y = 130 ⎭ 3

8

Per tant, el màxim nombre d’edificis que es poden construir és de vint-i-un.

7

6

23. Sigui x el nombre de vehicles petits i y el de vehicles grans que utilitza la penya per a desplaçar-se.

1

La funció objectiu, que hem de minimitzar, és el cost del transport: z = 10 x + 17 y

Regió factible: conjunt de punts que conté les solucions.

Si resolem el problema que hem plantejat mitjançant el mètode gràfic, veiem que el mínim de la funció s’assoleix en el vèrtex en el qual es tallen les rectes:

Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són: 2

4 y = – 10 x 17

x=8 6

10

6 Programació lineal

93 Observem que d’aquestes corbes de nivell, la de major ordenada en l’origen és la que passa pels punts (0, 21), (1, 20), (2, 19) i (3, 18).

X

• Han de viatjar tots els socis de la penya:

2

3

4

5

6

Com que només n’hi ha quatre, podem determinar en quina d’aquestes es minimitza la funció objectiu avaluant-la en cadascuna d’aquestes i comparant els resultats:

6 x + 15 y ≥ 130

A = (2, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 2 + 17 ⋅ 8 = 156 B = (3, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 3 + 17 ⋅ 8 = 166

Funció objectiu: funció que s’ha d’optimitzar. — Restricció: condicions que ha de complir la solució, expressada com a una inequació. 25. Un problema de programació lineal es resol optimitzant una funció objectiu, sotmesa a algunes restriccions expressades mitjançant inequacions lineals.

2

• No es poden utilitzar més vehicles de cada tipus dels que té la penya: x ≤ 8 , y ≤ 8.

C = (4, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 4 + 17 ⋅ 8 = 176 D = (5, 7) ⇒ z = 10 ⋅ 5 + 17 ⋅ 7 = 169

• No es poden portar més vehicles que conductors hi ha disponibles:

Observem que el mínim cost s’obté si es realitza el viatge amb 2 vehicles petits i 8 de grans.

— Resposta suggerida. Qualsevol enunciat semblant al dels exercicis 6 i 7 de la unitat.

4 y = – 6 x + 130 15 15

6

x + y ≤ 12

Un exemple d’inequació lineal és 2 x < 7 i un exemple d’inequació no lineal és 2 x2 < 7. Un sistema d’inequacions és un conjunt d’inequacions que s’han de verificar simultàniament.

y=8

• El nombre de vehicles de cada tipus que s’utilitzen ha de ser un nombre enter no negatiu: ACTIVITATS

x≥0 , y≥0

10

24. Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algèbriques.

y = –x + 12

Qüestions

Y

x≥0 , y≥0

Y

Qüestions y = –x + 12

24. Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algèbriques.

10

Un sistema d’inequacions és un conjunt d’inequacions que s’han de verificar simultàniament.

ACTIVITATS

• El nombre de vehicles de cada tipus que s’utilitzen ha de ser un nombre enter no negatiu: Observem que el mínim cost s’obté si es realitza el viatge amb 2 vehicles petits i 8 de grans.

x + y ≤ 12

y=8

Un exemple d’inequació lineal és 2 x < 7 i un exemple d’inequació no lineal és 2 x2 < 7.

y = – 6 x + 130 15 15

6

— Resposta suggerida. Qualsevol enunciat semblant al dels exercicis 6 i 7 de la unitat.

4

• No es poden portar més vehicles que conductors hi ha disponibles: • No es poden utilitzar més vehicles de cada tipus dels que té la penya: x ≤ 8 , y ≤ 8.

2

6 x + 15 y ≥ 130 • Han de viatjar tots els socis de la penya:

2

4 y = – 10 x 17

6

10

X

x=8

Si resolem el problema que hem plantejat mitjançant el mètode gràfic, veiem que el mínim de la funció s’assoleix en el vèrtex en el qual es tallen les rectes:

— Restricció: condicions que ha de complir la solució, expressada com a una inequació. Funció objectiu: funció que s’ha d’optimitzar. Regió factible: conjunt de punts que conté les solucions. — Per exemple, maximitzar z = 25 x + 30 y subjecta a:

Com que les coordenades d’aquest punt no són enteres, no el podem acceptar com a solució del problema inicial.

15 x + 28 y ≥ 450 ; 25 x + 10 y ≥ 200 x≥0 ; y≥0

Per a trobar-la, marquem els punts de la regió factible que tenen coordenades enteres.

26. Per exemple, l’economia i les comunicacions.

6 Programació lineal

y =8 ⎫ 5 ⎬ ⇒ x = = 1, 67 , y = 8 6 x + 15 y = 130 ⎭ 3

25. Un problema de programació lineal es resol optimitzant una funció objectiu, sotmesa a algunes restriccions expressades mitjançant inequacions lineals.

Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són:

D = (5, 7) ⇒ z = 10 ⋅ 5 + 17 ⋅ 7 = 169 C = (4, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 4 + 17 ⋅ 8 = 176 B = (3, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 3 + 17 ⋅ 8 = 166 A = (2, 8) ⇒ z = 10 ⋅ 2 + 17 ⋅ 8 = 156 Com que només n’hi ha quatre, podem determinar en quina d’aquestes es minimitza la funció objectiu avaluant-la en cadascuna d’aquestes i comparant els resultats:

La funció objectiu, que hem de minimitzar, és el cost del transport: z = 10 x + 17 y 23. Sigui x el nombre de vehicles petits i y el de vehicles grans que utilitza la penya per a desplaçar-se. Per tant, el màxim nombre d’edificis que es poden construir és de vint-i-un. Observem que d’aquestes corbes de nivell, la de major ordenada en l’origen és la que passa pels punts (0, 21), (1, 20), (2, 19) i (3, 18).

1

2

3

4

5

6

6 7 8

93

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 93 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 94

94 Exercicis i problemes

Y

2(x − 3) + 5 ≤ 5 x − 2 2x − 6 + 5 ≤ 5x − 2 2 x − 5 x ≤ −2 + 6 − 5 −3 x ≤ −1

2

1

–1

y = – 1 + 15 12 12

1

2

X

–1

–2

c) De primer, simplifiquem la inequació, és a dir, operem amb els seus membres fins a obtenir una inequació equivalent d’expressió més senzilla: x − 3y 5y −1 − 1: representem la recta x = 1 amb traç discontinu. 2 (x − 3) < 5 y: representem la recta d’equació 2 6 y = x− amb traç discontinu. 5 5 2 x ≤ y: representem la recta y = 2 x amb traç continu. — El semiplà solució de x > 1 és el que és a la dreta de la recta x = 1. El semiplà solució de 2 (x − 3) < 5 y és, dels de2 6 finits per la recta y = x − el que inclou 5 5 l’origen, perquè aquest és solució de la inequació.

4 y= 2x+ 5 3 3

3

2 3 y= 2x+ 5 3 3

4 Y

— La solució del sistema és la intersecció dels dos semiplans solució, que correspon a la regió ombrejada de la gràfica següent. — L’origen, que no pertany a cap de les dues rectes, no verifica la primera inequació (2 ⋅ 0 = 0  3 ⋅ 0 − 5 = −5), per tant, el semiplà solució és el definit per la recta associada a aquesta inequació que no inclou l’origen. Però el punt (0, 0) sí que és solució de la segona (3 (0 − 2) = −6 < 0), per tant, el semiplà solució de la segona inequació és, dels definits per la recta associada a aquesta, el que inclou l’origen. a) — Tracem les rectes 2 x = 3 y − 5 y i 3 (x − 2) = y, 2 5 que es poden expressar y = x + y i y = 3 3 = 3 x − 6, totes dues amb traç discontinu, ja que les desigualtats són estrictes. 30. La solució d’un sistema d’inequacions és la intersecció dels semiplans solució de cadascuna de les inequacions que el formen:

2

El semiplà solució de 2 x ≤ y és, dels definits per la recta y = 2 x, el que inclou el punt (0, 1), ja que aquest verifica la inequació. El semiplà solució de 2 (x − 3) < 5 y és, dels de2 6 finits per la recta y = x − el que inclou 5 5 l’origen, perquè aquest és solució de la inequació. — El semiplà solució de x > 1 és el que és a la dreta de la recta x = 1. 2 x ≤ y: representem la recta y = 2 x amb traç continu. 2 (x − 3) < 5 y: representem la recta d’equació 2 6 x− amb traç discontinu. 5 5 y =

x > 1: representem la recta x = 1 amb traç discontinu. c) — Representem les rectes associades a cada inequació: — La solució del sistema és la intersecció dels dos semiplans solució, doblement ratllada en la figura. y= 5x 2

–2

y=–x

–1 –2

–1

1

2

3

X

1

y = 3x – 6

El semiplà solució de 2 x ≤ y és, dels definits per la recta y = 2 x, el que inclou el punt (0, 1), ja que aquest verifica la inequació.

d) 3 ⋅ 2 − 2 (−2) = 10  5 ⇒ (2, −2) no és solució.

Y –1

1

X

2

2

b) Primerament simplifiquem l’expressió del sistema: 5x − y < 3x 2 5 (x − 1) − 2 ( y − 3) <

⎫ ⎪ ⎬ 1⎪⎭

5x − y < 6x ⎫ x+y >0 ⎬ , 5 x − 5 − 2 y + 6 < 1⎭ 5 x − 2 y <

1

, –2

⎫ ⎬ 0⎭

2

–1 y = 2x

x=1

–1

–2

3

y= 2x+ 6 5 5

X

6 Programació lineal

c) 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 = 9  5 ⇒ (3, 0) no és solució. −2 + (−1) = −3  −1 ⇒ (−2, −1) no és solució. b) 3 (−2) − 2 (−1) = − 4 < 5 a) 3 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 = 0 < 5 ⎫ ⎬ ⇒ (0, 0) és solució. 0 + 0 = 0 ≥ −1 ⎭ 29. Un punt és solució d’un sistema d’inequacions si ho és de totes i cadascuna de les inequacions les quals el formen. Així:

95

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

1 2 Y

— El punt (1, 0) verifica la primera inequació però no la segona, per la qual cosa els semiplans solució són el que inclou i el que no inclou, respectivament, aquest punt. 5 — Representem les rectes y = − x i y = x , amb 2 traç puntejat perquè no són solució de les corresponents inequacions del sistema.

Página 95 C M Y K

5 x , amb 2 traç puntejat perquè no són solució de les corresponents inequacions del sistema.

— Representem les rectes y = − x i y =

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 96

96 ≥1 ⎫ ⎪ ≥1 ⎪ ⎬ + y < 8⎪ − y > 4 ⎭⎪

• La diferència de les seves edats és més gran que 4: x−y=6−1=5>4 b) Es porten 5 anys; si x és el més gran, significa que x = y + 5. Sumen menys de 16 anys: x + y < 16. Les dues edats han de ser nombres enters que verifiquin, doncs, el següent sistema d’inequacions: x y x x

≥1 ⎫ ⎪ ≥1 ⎪ ⎬ = y+5 ⎪ + y < 16 ⎭⎪

Com que la tercera condició és una equació lineal, podem expressar una variable en funció de l’altra i reduir el problema a un sistema d’inequacions amb una variable. Substituint el valor de x per y + 5 a les inequacions i operant:

x=1

x = y+5 x = y + 5⎫ ⎫ ⎪ y+5≥1 y ≥ −4 ⎪⎪ ⎪ ⎬⇔ ⎬⇔ y ≥1 y ≥1 ⎪ ⎪ 2 y < 11 ⎭⎪ y + 5 + y < 16 ⎭⎪

x = y+5 ⎫ y ≥1 ⎪⎪ ⎬ 11 = 5, 5 ⎪ 2 ⎭⎪ y <

Les solucions d’aquest sistema, tenint en compte que y ha de ser enter, són les següents: y=1 ⇒ x=6,y=2 ⇒ x=7,y=3 ⇒ x=8 y = 4 ⇒ x = 9 , y = 5 ⇒ x = 10

y=x–4

y=1

4

6

8

X

1 i 6 , 2 i 7 , 3 i 8 , 4 i 9 o 5 i 10

32. Sigui x els diners que els alumnes han recaptat de la venda d’entrepans i y el que han recaptat de la venda de refrescos. Imposem les condicions de l’enunciat en forma d’inequacions: • La recaptació total ha estat d’entre 356 i 418 €: 356 ≤ x + y ≤ 418 • Han venut el triple nombre de refrescos que d’entrepans:

La qual cosa significa que la solució del problema és que el més gran té x = 6 anys i el més petit, y = 1 any. Comprovem que es compleixen les condicions:

Les variables han de complir, doncs, les restriccions següents:

6 Programació lineal

— La solució és la intersecció dels tres semiplans solució, triplement ratllada a la figura. 31. Siguin x i y les edats dels germans. Com que són edats, han de ser nombres enters no negatius. Com que els germans tenen com a mínim un any, s’ha de complir: x≥1 , y≥1 a) La suma de les seves edats ha de ser menor que 8: x + y < 8. La diferència de les seves edats ha de ser més gran que 4; si prenem x com l’edat del més gran, significa que x − y > 4. Les dues edats han de ser dos enters que verifiquin, doncs, el sistema d’inequacions següent: x y x x

Per tant, han de pertànyer al conjunt solució d’aquest sistema, que determinem representant les rectes d’equacions x = 1, y = 1, y = −x + 8, y = x − 4 y i determinant quin dels dos semiplans que defineix cadascuna és la solució de la inequació del sistema que li correspon. La intersecció dels quatre semiplans solució és la solució del sistema. Y

Així, les edats dels dos germans poden ser:

6

y = –x + 8

4

2

2 –2

Observem que només existeix un punt de coordenades enteres en aquest conjunt solució, el de coordenades (6, 1).

Com que el preu dels refrescos és el mateix que el dels entrepans, això és equivalent a dir que han recaptat el triple per la venda de refrescos que per la d’entrepans: y = 3 x.

• Primerament, aquesta solució té sentit, ja que es tracta de dos nombres enters no negatius. • Els germans tenen, com a mínim 1 any: x = 6 ≥ 1, y = 1 ≥ 1

356 ≤ x + y ≤ 418 y = 3x Les variables han de complir, doncs, les restriccions següents: Com que el preu dels refrescos és el mateix que el dels entrepans, això és equivalent a dir que han recaptat el triple per la venda de refrescos que per la d’entrepans: y = 3 x. • Han venut el triple nombre de refrescos que d’entrepans: 356 ≤ x + y ≤ 418 • La recaptació total ha estat d’entre 356 i 418 €: Imposem les condicions de l’enunciat en forma d’inequacions:

y = 3x

X

356 ≤ x + y ≤ 418

8

x = y+5 ⎫ ⎪⎪ y ≥1 ⎬ 11 y < = 5, 5 ⎪ ⎪⎭ 2

• La suma de les seves edats és menor que 8:

6

y=1 ⇒ x=6,y=2 ⇒ x=7,y=3 ⇒ x=8 Les solucions d’aquest sistema, tenint en compte que y ha de ser enter, són les següents: x = y+5 x = y + 5⎫ ⎫ ⎪ y+5≥1 y ≥ −4 ⎪⎪ ⎪ ⎬⇔ ⎬⇔ y ≥1 y ≥1 ⎪ ⎪ 2 y < 11 ⎪⎭ y + 5 + y < 16 ⎪⎭

Substituint el valor de x per y + 5 a les inequacions i operant: ≥1 ⎫ ⎪ ≥1 ⎪ ⎬ = y+5 ⎪ + y < 16 ⎪⎭

x+y=6+1=7 4 ⎪⎭

Com que la tercera condició és una equació lineal, podem expressar una variable en funció de l’altra i reduir el problema a un sistema d’inequacions amb una variable. x y x x

Les dues edats han de ser nombres enters que verifiquin, doncs, el següent sistema d’inequacions: Sumen menys de 16 anys: x + y < 16. b) Es porten 5 anys; si x és el més gran, significa que x = y + 5. x−y=6−1=5>4 • La diferència de les seves edats és més gran que 4:

6 Programació lineal

x+y=6+1=7 4. a) La suma de les seves edats ha de ser menor que 8: x + y < 8. Com que els germans tenen com a mínim un any, s’ha de complir: x≥1 , y≥1 Com que són edats, han de ser nombres enters no negatius. 31. Siguin x i y les edats dels germans. — La solució és la intersecció dels tres semiplans solució, triplement ratllada a la figura.

96

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 96

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 97

X

100

subjecta a les restriccions següents:

y=0

100

6 Programació lineal

97 Com que la segona és una equació lineal, podem expressar una variable, per exemple y, en funció de l’altra, amb la qual cosa tindrem un sistema lineal d’inequacions amb una variable, que sabem resoldre analíticament:

f (x, y) = x + y + 74 35. Hem de minimitzar la funció lineal

y = 3x y = 3x ⎫ ⎫ ⎬ ⎬ , 356 ≤ x + 3 x ≤ 418 ⎭ 89 ≤ x ≤ 104, 5 ⎭

x=0

Com que ens interessa conèixer el valor de y, multipliquem per 3 tots els membres de la inequació:

y = x – 500

La funció f assoleix el màxim en el punt (4, 2), o sigui, x = 4, y = 2, i el seu valor és 14.

y = –x + 1 000

267 ≤ 3 x = y ≤ 313,5

x = 1 000

Per tant, els diners recaptats de la venta de refrescos estan compresos entre 267 € i 313,5 €. 33. Siguin x i y les claus dels espies.

Imposen que es compleixi el que ha estat observat pels espies: • Primerament, x i y han de ser claus, per la qual cosa han de ser nombres enters no negatius de tres xifres (és a dir, menors que 1000):

Y

y = 1 000

Representem les rectes corresponents i marquem la regió solució. El conjunt de punts del pla que verifiquen aquestes condicions és la solució del sistema d’inequacions: 0 ≤ x < 1 000 ⎫ 0 ≤ y < 1 000 ⎪⎪ ⎬ x + y < 1 000 ⎪ x − y > 500 ⎭⎪ • La seva diferència és més gran que 500: si prenem x com la clau més gran, això vol dir que x − y > 500. x + y < 1000 • La suma de les dues és menor que 1 000:

0 ≤ x < 1 000 , 0 ≤ y < 1 000

0 ≤ x < 1 000 , 0 ≤ y < 1 000

• La suma de les dues és menor que 1 000:

— Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible, ombrejada en la figura. Y

y = –2x + 10

6 x=0 B

C

2

• La seva diferència és més gran que 500: si prenem x com la clau més gran, això vol dir que x − y > 500. El conjunt de punts del pla que verifiquen aquestes condicions és la solució del sistema d’inequacions: 0 ≤ x < 1 000 ⎫ 0 ≤ y < 1 000 ⎪⎪ ⎬ x + y < 1 000 ⎪ x − y > 500 ⎪⎭ Representem les rectes corresponents i marquem la regió solució. y = 1 000

• Primerament, x i y han de ser claus, per la qual cosa han de ser nombres enters no negatius de tres xifres (és a dir, menors que 1000): Imposen que es compleixi el que ha estat observat pels espies: Determinarem tots els parells de claus (x, y) que verifiquen el que ha estat observat pels espies. La clau d’aquests ha de correspondre a algun d’aquests parells, per la qual cosa serà possible que un espia tingui la clau 400 si i només si algun dels parells obtinguts està format per un 400 i una altra clau.

A = (0, 0) B = (0, 4) C = (4, 2) D = (5, 0)

Per tant, els diners recaptats de la venta de refrescos estan compresos entre 267 € i 313,5 €. 267 ≤ 3 x = y ≤ 313,5

y = –x + 1 000

Com que ens interessa conèixer el valor de y, multipliquem per 3 tots els membres de la inequació:

y=0

2

4

6

8

— Sabem que la solució s’assoleix en un dels vèrtexs de la regió factible, que són els punts de tall de les rectes que delimiten aquesta regió: x =0

⎫ ⎪ 1 ⎬ y = − x + 4⎪ 2 ⎭

y = −2 x + 10 ⎫ ⎪ y = −2 x + 10 ⎫ 1 ⎬ ⎬ y = − x + 4⎪ y = 0 ⎭ 2 ⎭ Si resolem aquests sistemes, obtenim les coordenades dels vèrtexs. A = (0, 0) ; B = (0, 4) ; C = (4, 2) ; D = (5, 0) — Calculem el valor de la funció objectiu, f, en cadascun dels vèrtexs, per veure en quin pren el seu valor màxim: A = (0, 0) B = (0, 4) C = (4, 2) D = (5, 0)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f (0, 0) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 = 0 f (0, 4) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 4 = 12 f (4, 2) = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 = 14 f (5, 0) = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0 = 10

La funció f assoleix el màxim en el punt (4, 2), o sigui, x = 4, y = 2, i el seu valor és 14.

y = x – 500

35. Hem de minimitzar la funció lineal 100

f (x, y) = x + y + 74

y=0 100

X

X

subjecta a les restriccions següents:

6 Programació lineal

y = 3x y = 3x ⎫ ⎫ ⎬ ⎬ , 356 ≤ x + 3 x ≤ 418 ⎭ 89 ≤ x ≤ 104, 5 ⎭ Com que la segona és una equació lineal, podem expressar una variable, per exemple y, en funció de l’altra, amb la qual cosa tindrem un sistema lineal d’inequacions amb una variable, que sabem resoldre analíticament:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f (0, 0) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 = 0 f (0, 4) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 4 = 12 f (4, 2) = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 = 14 f (5, 0) = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0 = 10

— Calculem el valor de la funció objectiu, f, en cadascun dels vèrtexs, per veure en quin pren el seu valor màxim: A = (0, 0) ; B = (0, 4) ; C = (4, 2) ; D = (5, 0) Si resolem aquests sistemes, obtenim les coordenades dels vèrtexs. x =0 ⎫ x = 0⎫ ⎪ 1 ⎬ ⎬ y = 0⎭ y = − x + 4⎪ 2 ⎭ y = −2 x + 10 ⎫ ⎪ y = −2 x + 10 ⎫ 1 ⎬ ⎬ x + 4⎪ y = 0 ⎭ 2 ⎭ y = −

— Sabem que la solució s’assoleix en un dels vèrtexs de la regió factible, que són els punts de tall de les rectes que delimiten aquesta regió: 2

A

4

6

8

D 2

C

X y=0

y = – 1x + 4 2

B x=0 6 8

33. Siguin x i y les claus dels espies.

x = 1 000

y = – 1x + 4 2

D A

x = 0⎫ ⎬ y = 0⎭

x + y < 1000

x=0

34. Hem de maximitzar una funció lineal amb dues variables subjecta a restriccions expressades mitjançant inequacions lineals en dues variables; per tant, es tracta d’un problema de programació lineal.

8

Determinarem tots els parells de claus (x, y) que verifiquen el que ha estat observat pels espies. La clau d’aquests ha de correspondre a algun d’aquests parells, per la qual cosa serà possible que un espia tingui la clau 400 si i només si algun dels parells obtinguts està format per un 400 i una altra clau.

Y

Observem que ni la recta x = 400 ni la recta y = 400 formen part de la regió solució del sistema. Per tant, concloem que no és possible que un dels espies tingui la clau 400.

y = –2x + 10

Y

— Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible, ombrejada en la figura. 34. Hem de maximitzar una funció lineal amb dues variables subjecta a restriccions expressades mitjançant inequacions lineals en dues variables; per tant, es tracta d’un problema de programació lineal. Observem que ni la recta x = 400 ni la recta y = 400 formen part de la regió solució del sistema. Per tant, concloem que no és possible que un dels espies tingui la clau 400.

97

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 97 C M Y K

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 98

98 Per tant, el màxim s’assolirà en P = (0, 4) si a > 3.

ax + by = 0 2

6

8

10

X

12

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

(8, 2)

2

7 7 + a⋅0 ⇒ a > 2 4

(11, 3)

8

5 5 + a⋅2 ⇒ a > 2 2 3 + a ⋅3 ⇒ a > 3 2

(3, 8)

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

12 14

2⋅0+a⋅4>2⋅0+a⋅0 ⇒ a>0

16

B

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

• Si b < 0, el mínim correspon a la recta de nivell amb major ordenada en l’origen; per tant, és el (11, 3).

y = 18 16

6

• Si b > 0, el mínim correspon a la recta de nivell amb menor ordenada en l’origen; per tant, és el (3, 5).

(3, 5)

Y

Per tant, el mínim de la funció objectiu s’assoleix en un d’aquests dos punts, segons el signe del coeficient de la variable y, b:

4

— Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible, ombrejada en la figura.

18

c) Perquè el màxim s’assoleixi a P = (0, 4) s’ha de complir:

Y

37. a) Representem els cinc vèrtexs i els unim per segments:

x = 10

y = –x + 13

x=0

20

12

8

4

E

6

D

8

X

12

3

Q

y=0 2

C

y = –x + 5

4

4

A

Y

P

8

y = –x + 13

x = 10

37. a) Representem els cinc vèrtexs i els unim per segments:

12

c) Perquè el màxim s’assoleixi a P = (0, 4) s’ha de complir:

x=0

Y 20 18

5 5 + a⋅2 ⇒ a > 2 2

Per tant, el mínim de la funció objectiu s’assoleix en un d’aquests dos punts, segons el signe del coeficient de la variable y, b:

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

7 7 + a⋅0 ⇒ a > 2 4

(3, 5) 4

— Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible, ombrejada en la figura.

• Si b > 0, el mínim correspon a la recta de nivell amb menor ordenada en l’origen; per tant, és el (3, 5).

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

(3, 8)

Y

3 + a ⋅3 ⇒ a > 3 2

y = 18

2⋅0+ a⋅4 > 2⋅

8 6

• Si b < 0, el mínim correspon a la recta de nivell amb major ordenada en l’origen; per tant, és el (11, 3).

12

16

14

B

2⋅0+a⋅4>2⋅0+a⋅0 ⇒ a>0

16

(11, 3)

6

8

10

12

X

Per tant, el màxim s’assolirà en P = (0, 4) si a > 3.

En traçar les rectes de nivell pels quatre vèrtexs de la regió factible, observem que d’aquestes, la que té menor ordenada en l’origen és la que passa pel vèrtex (3, 5), i la que té major ordenada en l’origen, la que passa pel vèrtex (11, 3).

4

y ≥5 y ≤ 13 x ≤ 10 y ≤ 18

2

ax + by = 0

+ + ≤ ≤

(8, 2)

x x 0 0

2

10 − x + 10 − y ≤ 15 x + y ≤ 13 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 18

6 Programació lineal

2

R

⎫ ⎪ ⎪ ⎛ 3 ⎞ 9 ⎪ La funció objectiu assoleix el F ⎜ , 3⎟ = ⎪ ⎝ 2 ⎠ 2⎪ ⎛7 ⎞ ⎬ màxim en el punt S = ⎜ , 0 ⎟ ⎛5 ⎞ ⎝2 ⎠ ⎪ F ⎜ , 2⎟ = 6 ⎪ ⎝2 ⎠ ⎪ ⎛7 ⎞ F ⎜ , 0⎟ = 7 ⎪ ⎪⎭ ⎝2 ⎠

2

F(0, 0) = 0 F(0, 4) = 2

1

Trobem el seu valor en cadascun dels vèrtexs.

— El mínim de f s’assoleix en un dels vèrtexs de la regió factible, les coordenades del qual són:

36. Tracem la recta de nivell ax + by = 0, perquè coneixem dos punts de pas: el (−2, 3) i l’origen, (0, 0).

1 y 2 X

F(x, y ) = 2 x +

4

La funció f assoleix el mínim en els punts (0, 5) i (5, 0), la qual cosa vol dir que la funció pren el mínim en tots els punts del segment d’extrems A i E.

1 , és 2

S

f(E) = f (5, 0) = 5 + 0 + 74 = 79

X

3

f(D) = f (10, 0) = 10 + 0 + 74 = 84

4

2

f(B) = f (0, 13) = 0 + 13 + 74 = 87

3

b) La funció objectiu, si, a =

f(A) = f (0,5) = 0 + 5 + 74 = 79 f(C) = f (10, 3) = 10 + 3 + 74 = 87

2

1 , és 2

— Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun dels vèrtexs per determinar en quin d’aquests assoleix el seu valor mínim:

1

1

S

A = (0, 5) ; B = (0, 13) ; C = (10, 3) D = (10, 0) ; E = (5, 0)

A = (0, 5) ; B = (0, 13) ; C = (10, 3) D = (10, 0) ; E = (5, 0)

1

1 y 2

— El mínim de f s’assoleix en un dels vèrtexs de la regió factible, les coordenades del qual són:

b) La funció objectiu, si, a =

R

2

— Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun dels vèrtexs per determinar en quin d’aquests assoleix el seu valor mínim:

Q

3

X

F(x, y ) = 2 x +

12

f(A) = f (0,5) = 0 + 5 + 74 = 79

D

Trobem el seu valor en cadascun dels vèrtexs.

8

f(B) = f (0, 13) = 0 + 13 + 74 = 87

6

E

f(C) = f (10, 3) = 10 + 3 + 74 = 87

4

f(D) = f (10, 0) = 10 + 0 + 74 = 84

y=0 2

f(E) = f (5, 0) = 5 + 0 + 74 = 79

P

2

La funció f assoleix el mínim en els punts (0, 5) i (5, 0), la qual cosa vol dir que la funció pren el mínim en tots els punts del segment d’extrems A i E.

4

C

y = –x + 5

F(0, 0) = 0 ⎫ F(0, 4) = 2 ⎪⎪ ⎛ 3 ⎞ 9⎪ F ⎜ , 3 ⎟ = ⎪ La funció objectiu assoleix el ⎝ 2 ⎠ 2⎪ ⎛7 ⎞ ⎬ màxim en el punt S = ⎜ , 0 ⎟ ⎛5 ⎞ ⎝2 ⎠ F , 2 = 6⎪ ⎪ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎪ ⎛7 ⎞ F ⎜ , 0⎟ = 7 ⎪ ⎝2 ⎠ ⎭⎪

4

36. Tracem la recta de nivell ax + by = 0, perquè coneixem dos punts de pas: el (−2, 3) i l’origen, (0, 0).

Y

A

(–2, 3)

(–2, 3)

4

En traçar les rectes de nivell pels quatre vèrtexs de la regió factible, observem que d’aquestes, la que té menor ordenada en l’origen és la que passa pel vèrtex (3, 5), i la que té major ordenada en l’origen, la que passa pel vèrtex (11, 3).

6 Programació lineal

10 − x + 10 − y ≤ 15 x + y ≥ 5 x + y ≤ 13 x + y ≤ 13 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 18 0 ≤ y ≤ 18

98

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 98

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 99

D = (40, 0) ⇒ z = 1 000 ⋅ 40 + 1 300 ⋅ 0 = 40 000 C = (25, 15) ⇒ z = 1 000 ⋅ 25 + 1 300 ⋅ 15 = 44 500 B = (0, 30) ⇒ z = 1 000 ⋅ 0 + 1 300 ⋅ 30 = 3 900

20

40 y = – 10 x 9

60

80

100

La funció objectiu que hem de maximitzar (és la d’ingressos), ja que així maximitzem beneficis: z = 1 000 x + 1 300 y

y = – 5 x + 60 12

20

A = (0, 0) ⇒ z = 1 000 ⋅ 0 + 1 300 ⋅ 0 = 0 Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex per determinar en quin d’aquests assoleix el màxim: C = (25, 15) ; D = (40, 0)

Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: • El nombre d’hores necessàries per al muntatge ha de ser inferior a 300 h: 6 x + 10 y ≤ 300 ⇔ 3 x + 5 y ≤ 150

40 80

A = (0, 0) ; B = (0, 30)

• El nombre d’hores necessàries per l’acabat ha de ser inferior a 120 h:

100

Les coordenades dels vèrtexs són, doncs: 120

x =0 ⎫ x = 0⎫ ⎪ ⎬ ⎬ 3 y = 0⎭ y = − x + 30 ⎪ 5 ⎭ y = − x + 40 ⎫ ⎪ y = − x + 40 ⎫ ⎬ ⎬ 3 x + 30 ⎪ y = 0 ⎭ 5 ⎭

Si resolem el problema gràficament, obtenim que la funció objectiu assoleix el màxim en el punt de tall de les rectes. x≥0 , y≥0

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que la delimiten:

• El nombre de vehicles produïts de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x≥0 , y≥0 Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

El màxim s’assoleix en C = (25, 15); així, el màxim benefici s’obté si es fabriquen 25 vehicles Micro i 15 vehicles Macro. 39. S’obtindrà el màxim benefici transcorregudes les 4 setmanes si aquest s’obté cada dia. Plantejarem, doncs, el problema per a un dia feiner (de dilluns a divendres), buscant el nombre de rentadores i televisors que hem de vendre per maximitzar el benefici. El nombre d’aparells de cada tipus que hem de tenir en oferta durant les 4 setmanes serà 20 vegades el que hem de vendre en un dia, ja que les quatre setmanes d’oferta comprenen 4 ⋅ 5 = 20 dies feiners. Sigui, doncs, x el nombre de rentadores i y el de televisors que es venen durant un dia feiner. La funció que volem maximitzar és la que ens dóna l’ingrés de la venda, ja que així maximitzem els beneficis: z = 500 x + 450 y Imposem les restriccions a les quals estan subjectes les variables: • El temps necessari per a vendre els aparells no pot ser superior al disponible: Cada venedor disposa de 4 ⋅ 60 = 240 minuts, i com que tenim 4 venedors, disposem de 4 ⋅ 240 = 960 minuts per a vendre els aparells; per tant:

x=0

A

20

30

40

40

D

10 x + 8 y ≤ 960 ⇔ 5 x + 4 y ≤ 480

y = –x + 40

B

10

• El temps necessari per a instal·lar els aparells no pot ser superior al disponible:

C

50

20

X

y=0

y = – 3 x + 30 5

• El nombre d’aparells de cada tipus que s’han de posar a la venda ha de ser un nombre enter no negatiu: Cada instal·lador disposa de 4 ⋅ 60 = 240 minuts, i com que tenim 3 instal·ladors, disposem d’un total de 3 ⋅ 240 = 720 minuts per a instal·lar els aparells; per tant: 5 x + 12 y ≤ 720 • El temps necessari per a instal·lar els aparells no pot ser superior al disponible:

20

C

y = – 3 x + 30 5

10

B

y = – 5 x + 120 4

Y

y = −

3 x + 3 y ≤ 120 ⇔ x + y ≤ 40

Y 10

X

6 Programació lineal

99 38. Sigui x el nombre d’unitats de vehicles Micro i y el de vehicles Macro que es fabriquen cada setmana.

y=0

D

y = –x + 40

10 x + 8 y ≤ 960 ⇔ 5 x + 4 y ≤ 480 Cada venedor disposa de 4 ⋅ 60 = 240 minuts, i com que tenim 4 venedors, disposem de 4 ⋅ 240 = 960 minuts per a vendre els aparells; per tant:

40 A

10

20

30

40

50

X

x=0 Y

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que la delimiten: x = 0⎫ ⎬ y = 0⎭

x =0

⎫ ⎪ ⎬ 3 y = − x + 30 ⎪ 5 ⎭

y = − x + 40 ⎫ ⎪ y = − x + 40 ⎫ ⎬ ⎬ 3 y = − x + 30 ⎪ y = 0 ⎭ 5 ⎭

Cada instal·lador disposa de 4 ⋅ 60 = 240 minuts, i com que tenim 3 instal·ladors, disposem d’un total de 3 ⋅ 240 = 720 minuts per a instal·lar els aparells; per tant: 5 x + 12 y ≤ 720 • El nombre d’aparells de cada tipus que s’han de posar a la venda ha de ser un nombre enter no negatiu: x≥0 , y≥0 Si resolem el problema gràficament, obtenim que la funció objectiu assoleix el màxim en el punt de tall de les rectes. Y 120

Les coordenades dels vèrtexs són, doncs: A = (0, 0) ; B = (0, 30) C = (25, 15) ; D = (40, 0) Calculem el valor de la funció objectiu en cada vèrtex per determinar en quin d’aquests assoleix el màxim:

y = – 5 x + 120 4

100

80

B = (0, 30) ⇒ z = 1 000 ⋅ 0 + 1 300 ⋅ 30 = 3 900 C = (25, 15) ⇒ z = 1 000 ⋅ 25 + 1 300 ⋅ 15 = 44 500 D = (40, 0) ⇒ z = 1 000 ⋅ 40 + 1 300 ⋅ 0 = 40 000

y = – 5 x + 60 12

20

20

40 y = – 10 x 9

60

80

100

X

6 Programació lineal

40

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible. x≥0 , y≥0 • El nombre de vehicles produïts de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: 3 x + 3 y ≤ 120 ⇔ x + y ≤ 40 • El nombre d’hores necessàries per l’acabat ha de ser inferior a 120 h: 6 x + 10 y ≤ 300 ⇔ 3 x + 5 y ≤ 150 • El nombre d’hores necessàries per al muntatge ha de ser inferior a 300 h: Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són:

A = (0, 0) ⇒ z = 1 000 ⋅ 0 + 1 300 ⋅ 0 = 0

z = 1 000 x + 1 300 y La funció objectiu que hem de maximitzar (és la d’ingressos), ja que així maximitzem beneficis: 38. Sigui x el nombre d’unitats de vehicles Micro i y el de vehicles Macro que es fabriquen cada setmana.

• El temps necessari per a vendre els aparells no pot ser superior al disponible: Imposem les restriccions a les quals estan subjectes les variables: La funció que volem maximitzar és la que ens dóna l’ingrés de la venda, ja que així maximitzem els beneficis: z = 500 x + 450 y Sigui, doncs, x el nombre de rentadores i y el de televisors que es venen durant un dia feiner. 39. S’obtindrà el màxim benefici transcorregudes les 4 setmanes si aquest s’obté cada dia. Plantejarem, doncs, el problema per a un dia feiner (de dilluns a divendres), buscant el nombre de rentadores i televisors que hem de vendre per maximitzar el benefici. El nombre d’aparells de cada tipus que hem de tenir en oferta durant les 4 setmanes serà 20 vegades el que hem de vendre en un dia, ja que les quatre setmanes d’oferta comprenen 4 ⋅ 5 = 20 dies feiners. El màxim s’assoleix en C = (25, 15); així, el màxim benefici s’obté si es fabriquen 25 vehicles Micro i 15 vehicles Macro.

99

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 99 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 100

100 Aquest punt és:

y = − x + 3 000 ⎫ ⎬⇒ y = 1 000 ⎭ ⇒ x = 2 000 , y = 1 000 ⇒ z (2 000, 1 000) = 14 000 i el cost mínim en el vèrtex determinat per les rectes: x =0 ⎫ ⎬⇒ y = x + 1 000 ⎭

Per tal que els beneficis siguin màxims, hem de vendre i instal·lar cada dia feiner x = 72 rentadores i y = 30 televisors.

Així, el cost màxim, 140 €, es produeix en fabricar 2 000 cargols del tipus A i 1 000 cargols de tipus B; i el cost mínim, 40 €, en fabricar únicament 1 000 cargols del tipus B. 41. Es tracta d’un problema de transport. Anomenem x i y el nombre de peces que surt de la fàbrica FC1 als centres de muntatge FM1 i FM2, respectivament. Si tenim en compte que de cada fàbrica ha de sortir tot el que s’ha produït i que a cada centre de muntatge ha d’arribar tot el que és necessari, construïm la taula següent: FM1 FC1

x

FC2 10 000 − x

Y x=0

FM2 y 7 000 − y

FM3 8 000 − x − y 6 000 − (8 000 − x − y) = = x + y − 2 000

La funció que hem de minimitzar és el cost de transport, que s’obté sumant els nombres de peces que surten de cada origen fins a cada destinació multiplicats pel cost d’enviament corresponent:

y = x + 1 000

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 8 000 − x − y ≥ 0

que es poden expressar de manera més abreujada:

X

2 000

Resolem el problema gràficament i veiem que assoleix el mínim en el vèrtex intersecció de les rectes: x + y = 2 000 ⎫ ⎬ y =0 ⎭ de coordenades (2 000, 0).

6 Programació lineal

5 ⎫ y = x + 120 ⎪ ⎪ 4 ⎬ ⇒ x = 72 , y = 30 5 x + 60 ⎪ 12 ⎭⎪ y =

⇒ x = 0 , y = 1 000 ⇒ z (0, 1 000) = 4 000

Per tant, hem de posar a la venda durant les 4 setmanes que dura l’oferta 20 ⋅ 72 = 1440 rentadores i 20 ⋅ 30 = 600 televisors. 40. Siguin x i y el nombre de cargols de tipus A i de tipus B, respectivament, que es fabriquen en un dia. La funció que hem d’optimitzar és el cost, i expressada en cèntims d’euro és: z = 5x + 4y Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: • El nombre total de cargols de totes dues classes produïts diàriament no supera els 3 000: x + y ≤ 3 000 • Els cargols de la classe B sempre assoleixen les 1000 unitats: y ≥ 1 000 • El nombre de cargols de la classe B produïts és inferior al nombre de cargols produïts de la classe A més 1000 unitats: y ≤ x + 1 000 • El nombre de cargols produïts de cada classe durant un dia és un nombre enter no negatiu:

z = 12 x + 26 y + 4 (8 000 − x − y) + + 8 (10 000 − x) + 8 (7 000 − y) + + 24 (x + y − 2 000) = 24 x + 38 y + 120 000

x≥0 , y≥0

Les restriccions a què estan subjectes les variables són les que s’obtenen d’imposar que la quantitat de peces que surten de cada origen a cada destinació ha de ser un nombre enter no negatiu:

3 000

10 000 − x ≥ 0 ; 7 000 − y ≥ 0 ; x + y − 2 000 ≥ 0

2 000

y = 1 000

0 ≤ x ≤ 10 000 ; 0 ≤ y ≤ 7 000 2 000 ≤ x + y ≤ 8 000

8 000 − x − y

y = –x + 3 000

y

y=0

x

1 000

2 000 ≤ x + y ≤ 8 000 6 000 − (8 000 − x − y) = = x + y − 2 000 FM3

⇒ x = 0 , y = 1 000 ⇒ z (0, 1 000) = 4 000

y=– 5x 4

de coordenades (2 000, 0). x + y = 2 000 ⎫ ⎬ y =0 ⎭ Resolem el problema gràficament i veiem que assoleix el mínim en el vèrtex intersecció de les rectes:

X

0 ≤ x ≤ 10 000 ; 0 ≤ y ≤ 7 000 7 000 − y FM2

Per tant, hem de posar a la venda durant les 4 setmanes que dura l’oferta 20 ⋅ 72 = 1440 rentadores i 20 ⋅ 30 = 600 televisors.

En representar la regió factible i les rectes de nivell que passen pels vèrtexs d’aquesta, observem que el cost màxim correspon al vèrtex determinat per les rectes:

2 000

y = –x + 3 000

que es poden expressar de manera més abreujada:

x=0

z = 12 x + 26 y + 4 (8 000 − x − y) + + 8 (10 000 − x) + 8 (7 000 − y) + + 24 (x + y − 2 000) = 24 x + 38 y + 120 000 La funció que hem de minimitzar és el cost de transport, que s’obté sumant els nombres de peces que surten de cada origen fins a cada destinació multiplicats pel cost d’enviament corresponent: FC2 10 000 − x FC1

FM1

Si tenim en compte que de cada fàbrica ha de sortir tot el que s’ha produït i que a cada centre de muntatge ha d’arribar tot el que és necessari, construïm la taula següent: 41. Es tracta d’un problema de transport. Anomenem x i y el nombre de peces que surt de la fàbrica FC1 als centres de muntatge FM1 i FM2, respectivament. x =0 ⎫ ⎬⇒ y = x + 1 000 ⎭ i el cost mínim en el vèrtex determinat per les rectes: ⇒ x = 2 000 , y = 1 000 ⇒ z (2 000, 1 000) = 14 000

6 Programació lineal

En representar la regió factible i les rectes de nivell que passen pels vèrtexs d’aquesta, observem que el cost màxim correspon al vèrtex determinat per les rectes: y=– 5x 4 1 000

y=0

y = 1 000

10 000 − x ≥ 0 ; 7 000 − y ≥ 0 ; x + y − 2 000 ≥ 0

2 000

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 8 000 − x − y ≥ 0

y = x + 1 000

3 000

Les restriccions a què estan subjectes les variables són les que s’obtenen d’imposar que la quantitat de peces que surten de cada origen a cada destinació ha de ser un nombre enter no negatiu:

Y

x≥0 , y≥0 • El nombre de cargols produïts de cada classe durant un dia és un nombre enter no negatiu: y ≤ x + 1 000 • El nombre de cargols de la classe B produïts és inferior al nombre de cargols produïts de la classe A més 1000 unitats: • Els cargols de la classe B sempre assoleixen les 1000 unitats: y ≥ 1 000 x + y ≤ 3 000 • El nombre total de cargols de totes dues classes produïts diàriament no supera els 3 000: Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: z = 5x + 4y La funció que hem d’optimitzar és el cost, i expressada en cèntims d’euro és: 40. Siguin x i y el nombre de cargols de tipus A i de tipus B, respectivament, que es fabriquen en un dia.

Així, el cost màxim, 140 €, es produeix en fabricar 2 000 cargols del tipus A i 1 000 cargols de tipus B; i el cost mínim, 40 €, en fabricar únicament 1 000 cargols del tipus B.

Per tal que els beneficis siguin màxims, hem de vendre i instal·lar cada dia feiner x = 72 rentadores i y = 30 televisors. 5 ⎫ x + 120 ⎪ ⎪ 4 ⎬ ⇒ x = 72 , y = 30 5 y = x + 60 ⎪ ⎪⎭ 12 y =

y = − x + 3 000 ⎫ ⎬⇒ y = 1 000 ⎭

Aquest punt és:

100

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 100

C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 101

101 Y

Per a minimitzar les despeses s’han de comprar 80 sacs de Porky i 60 sacs de Trugi setmanalment.

y = 7 000

y = −3 x + 300 ⎫ ⎪ 1 ⎬ ⇒ x = 80 , y = 60 y = − x + 100 ⎪ 2 ⎭

A

D

10

X y=0

10 y = – 1 x + 50 2

C

y = –3x + 300

x = 10 000 x=0

y = –x + 8 000

Resolem gràficament el problema i observem que el mínim s’assoleix en el vèrtex intersecció de les rectes:

6 Programació lineal

Y

B y = – 3 x + 60 4

x≥0 , y≥0 1 000

100

y=0

X

• El nombre de sacs que s’han de comprar de cada compost ha de ser un nombre enter no negatiu:

x = 100

x=0

1 000

y = – 1 x + 100 2

50

3 x + y ≥ 300 ; x + 2 y ≥ 200

y = – 12 x 19

y = –x + 2 000

y = –2x 50

X

100

Així, el nombre d’unitats que s’han d’enviar des de cada origen a cada destinació és:

y = 100

Y

• S’han de cobrir les necessitats de nutrients P i C dels porcs: Les restriccions que compleixen les variables són:

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

z = 20 x + 10 y

x≥0 , y≥0

La funció que hem de minimitzar és el cost, que en euros ve donat per:

FM1

FM2

FM3

FC1

2 000

0

6 000

Sigui x el nombre de sacs de Porky i y el nombre de sacs de Trugi que hem de comprar per setmana.

FC2

8 000

7 000

0

43. Sigui x el nombre de contenidors de raïm i y el nombre de contenidors d’espàrrecs que carreguem en el vaixell. La funció que hem d’optimitzar és la que ens dóna l’import dels productes embarcats, que en euros és: z = 750 x + 1 250 y

42. Es tracta d’un problema de dieta. Representem en forma de taula les dades de l’enunciat: Porky

Trugi

Necessitats

P

3

1

300

C

1

2

200

Cost

20

10

• El nombre de contenidors de cada tipus embarcats ha de ser un nombre enter no negatiu: 300 x + 400 y ≤ 24 000 • El vaixell només té espai per a 24 ⋅ 103 dm3:

10

20

Cost

2

1

C

1

3

P

Trugi

Porky

1 x + 2 y ≤ 100 ⇔ x + 2 y ≤ 100 200

• El vaixell pot carregar com a màxim 100 t:

300

x ≤ 100 , y ≤ 100

Necessitats

• El nombre de contenidors embarcats no pot ser més gran que el de contenidors emmagatzemats al moll:

42. Es tracta d’un problema de dieta. Representem en forma de taula les dades de l’enunciat:

Les restriccions que han de complir les variables són: z = 750 x + 1 250 y

7 000

8 000

FC2

Sigui x el nombre de sacs de Porky i y el nombre de sacs de Trugi que hem de comprar per setmana.

0

2 000

FC1

FM2

FM1

La funció que hem de minimitzar és el cost, que en euros ve donat per:

Les restriccions que han de complir les variables són: • El nombre de contenidors embarcats no pot ser més gran que el de contenidors emmagatzemats al moll: x ≤ 100 , y ≤ 100 • El vaixell pot carregar com a màxim 100 t: 1 x + 2 y ≤ 100 ⇔ x + 2 y ≤ 100 • El vaixell només té espai per a 24 ⋅ 103 dm3: 300 x + 400 y ≤ 24 000 • El nombre de contenidors de cada tipus embarcats ha de ser un nombre enter no negatiu: x≥0 , y≥0

z = 20 x + 10 y Les restriccions que compleixen les variables són: • S’han de cobrir les necessitats de nutrients P i C dels porcs:

0

La funció que hem d’optimitzar és la que ens dóna l’import dels productes embarcats, que en euros és:

6 000

43. Sigui x el nombre de contenidors de raïm i y el nombre de contenidors d’espàrrecs que carreguem en el vaixell.

FM3

Així, el nombre d’unitats que s’han d’enviar des de cada origen a cada destinació és: 50 y = – 12 x 19

3 x + y ≥ 300 ; x + 2 y ≥ 200

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible. Y

y = 100

100

y = –2x

y = –x + 2 000 y=0

X y = – 1 x + 100 2

50 X

1 000

• El nombre de sacs que s’han de comprar de cada compost ha de ser un nombre enter no negatiu:

x=0

100

1 000

x≥0 , y≥0 Resolem gràficament el problema i observem que el mínim s’assoleix en el vèrtex intersecció de les rectes: y = –x + 8 000

x=0

x = 10 000

Per a minimitzar les despeses s’han de comprar 80 sacs de Porky i 60 sacs de Trugi setmanalment.

B C

y = – 1 x + 50 2

10 A

y=0 10

D

X

6 Programació lineal

y = −3 x + 300 ⎫ ⎪ 1 ⎬ ⇒ x = 80 , y = 60 y = − x + 100 ⎪ 2 ⎭

x = 100

y = – 3 x + 60 4

y = –3x + 300

y = 7 000

Y

Y

101

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 101 C M Y K

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 102

102 Hayate necessita un 75% de 4 m de teixit natural, és a dir 3 m, s’ha de complir: 2 x + 3 y ≤ 1 500 • No podem utilitzar més que 1 km = 1000 metres de teixit sintètic. Així, doncs, s’ha de verificar: 2 x + y ≤ 1 000 • El nombre de peces subministrades de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: x≥0 , y≥0 Resolem gràficament el problema i veiem que el màxim de la funció objectiu s’assoleix en el vèrtex definit per les rectes: y = −2 x + 1 000 ⎫ ⎪ 2 ⎬ ⇒ x = 375 , y = 250 x + 500 ⎪ 3 ⎭ y =−

Y

y = –2x + 1 000

Hem d’embarcar 40 contenidors de raïm i 30 contenidors d’espàrrecs si volem transportar el màxim import. x=0

44. Sigui x el nombre de peces del tipus Gekko i y el de peces del tipus Hayate que subministra el fabricant a la botiga. La funció objectiu, que volem maximitzar, és la que ens dóna l’import de la venda, que expressada en euros és: z = 100 x + 80 y

6 Programació lineal

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que la defineixen: x =0 ⎫ x = 0⎫ ⎪ 1 ⎬ ⎬ y = 0⎭ y = − x + 50 ⎪ 2 ⎭ 1 ⎫ 3 ⎫ y = − x + 50 ⎪ ⎪ y = − x + 60 ⎪ 2 4 ⎬ ⎬ 3 x + 60 0⎪ y = 0 ⎭⎪ 4 ⎭⎪ y = −

Les coordenades d’aquests punts són: A = (0, 0) ; B = (0, 50) C = (40, 30) ; D = (80, 0) Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’aquests s’assoleix el màxim: A = (0, 0) ⇒ z = 750 ⋅ 0 + 1 250 ⋅ 0 = 0 B = (0, 50) ⇒ z = 750 ⋅ 0 + 1 250 ⋅ 50 = 62 500 C = (40, 30) ⇒ z = 750 ⋅ 40 + 1 250 ⋅ 30 = 67 500 D = (80, 0) ⇒ z = 750 ⋅ 80 + 1 250 ⋅ 0 = 60 000 La funció objectiu és màxima en el punt C = (40, 30).

X

y= 0

Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són:

46. Activitat TIC. 45. Activitat TIC. Axí, l'import de les vendes serà màxim si el fabricant subministra a la botiga x = 375 peces del tipus Gekko i y = 250 peces del tipus Hayate. y=– 5x 4 100 100

y = – 2 x + 500 3 y = – 2 x + 500 3

100

y= 0 X

100

y=– 5x 4

y = –2x + 1 000

Axí, l'import de les vendes serà màxim si el fabricant subministra a la botiga x = 375 peces del tipus Gekko i y = 250 peces del tipus Hayate. Y

45. Activitat TIC. y = −2 x + 1 000 ⎫ ⎪ 2 ⎬ ⇒ x = 375 , y = 250 y = − x + 500 ⎪ 3 ⎭

46. Activitat TIC.

Resolem gràficament el problema i veiem que el màxim de la funció objectiu s’assoleix en el vèrtex definit per les rectes: x≥0 , y≥0 • El nombre de peces subministrades de cada tipus ha de ser un nombre enter no negatiu: 2 x + y ≤ 1 000

6 Programació lineal

⎫ ⎪ 1 ⎬ y = − x + 50 ⎪ 2 ⎭

• No podem usar més que 1,5 km = 1 500 m de teixit natural. Com que cada Gekko necessita un 50 % de 4 m de teixit natural, és a dir 2 m, mentre que cada

• No podem usar més que 1,5 km = 1 500 m de teixit natural. Com que cada Gekko necessita un 50 % de 4 m de teixit natural, és a dir 2 m, mentre que cada Les restriccions a les quals estan subjectes les variables són: La funció objectiu, que volem maximitzar, és la que ens dóna l’import de la venda, que expressada en euros és: z = 100 x + 80 y 44. Sigui x el nombre de peces del tipus Gekko i y el de peces del tipus Hayate que subministra el fabricant a la botiga.

x=0

Hem d’embarcar 40 contenidors de raïm i 30 contenidors d’espàrrecs si volem transportar el màxim import. La funció objectiu és màxima en el punt C = (40, 30). D = (80, 0) ⇒ z = 750 ⋅ 80 + 1 250 ⋅ 0 = 60 000 C = (40, 30) ⇒ z = 750 ⋅ 40 + 1 250 ⋅ 30 = 67 500 B = (0, 50) ⇒ z = 750 ⋅ 0 + 1 250 ⋅ 50 = 62 500 A = (0, 0) ⇒ z = 750 ⋅ 0 + 1 250 ⋅ 0 = 0 Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’aquests s’assoleix el màxim: C = (40, 30) ; D = (80, 0) A = (0, 0) ; B = (0, 50) Les coordenades d’aquests punts són: 1 ⎫ 3 ⎫ x + 50 ⎪ ⎪ y = − x + 60 ⎪ 2 4 ⎬ ⎬ 3 ⎪⎭ y = − x + 60 0⎪ y = 0 ⎪⎭ 4 y = −

x = 0⎫ ⎬ y = 0⎭

• No podem utilitzar més que 1 km = 1000 metres de teixit sintètic. Així, doncs, s’ha de verificar:

x =0

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que la defineixen:

2 x + 3 y ≤ 1 500 Hayate necessita un 75% de 4 m de teixit natural, és a dir 3 m, s’ha de complir:

102

06 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:38

Página 102

C M Y K

07 Mates CSS_Guia.qxd

12:48

Página 103

7 Funcions

103 x2 + y 2 = 9 ⇔ y 2 = 9 − x2 ⇔ y = ± 9 − x2 3⎞ ⎛ −∞, − ⎟  (−∞, 10] = ⎝⎜ 4⎠

3⎞ ⎛ −∞, − ⎟ ⎝⎜ 4⎠

1. Provem d’expressar y en funció de la variable x:

7. Funcions

27/5/09

1. FUNCIÓ REAL DE VARIABLE REAL La solució del sistema és la intersecció de les solucions de cada inequació:

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

3⎞ ⎛ x ∈ ⎜ −∞, − ⎟ ⎝ ⇔ 4⎠ x ∈ (− ∞, 10]

x x • a) + 7 > 2x − 3 ⇔ 7 + 3 > 2x − ⇔ 2 2 ⇔ 10 >

3x 20 ⇔ 20 > 3 x ⇔ x < 2 3

Així, doncs, aquest polinomi no té zeros.

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

=

3 4 x < −3 ⎫ x 15

⎧0, 166 x + 11, 6 I(x) = ⎨ ⎩13, 34 + 0, 348 (x − 15)

Per exemple: f(x) = x2 ≥ 0

Per a x = 22 m3, la factura serà:

∀ x ∈

g(x) = −x2 ≤ 0 ∀ x ∈ lim f(x) = 0 =

13,34 + 0,348 (22 − 15) = 15,78 €

16. a) La funció f (x) =

0, 08 ⋅ 106 + 24 x expressa el x

x →0

19. Sí, per exemple f (x) =

cost de cada unitat.

0, 08 ⋅ 106 + 24 ⋅ 2 ⋅ 106

= 24, 04 €

2 ⋅ 106

0, 08 ⋅ 106 + 24 x lim f (x) = lim = 24 x

lim g(x)

x →0

2 1 i g(x) = en x = 0 x x

2 ⎫ lim = ∞ f (x) 2 ⎪⎪ x→0 x = lim = 2 ⎬ lim x →0 1 x → 0 g(x) 1 = ∞⎪ x ⎭⎪

0, 08 ⋅ 106 + 24 ⋅ 2 000 = 64 € 2 000

f(2 000) =

8. Límits

Transformem x 2 − 3 en 1 +

lim (x + 4 − x) = 4

x2 − 3 = 1 + x2 − 3 − 1 = 1 + x2 − 4 =

x→+ ∞ x→+ ∞

x→+ ∞

5

lim f(x) =

= 1+

lim (f(x) − g(x)) = lim g(x) =

x→+ ∞

20. No existeixen dues funcions que compleixin la primera condició, perquè la seva suma serà sempre + ∞. Però, sí que poden complir la segona. Per exemple, f(x) = x + 4 i g(x) = x. lim g(x) ∀ x ∈

lim

x→0

20. No existeixen dues funcions que compleixin la primera condició, perquè la seva suma serà sempre + ∞. Però, sí que poden complir la segona. Per exemple, f(x) = x + 4 i g(x) = x.

6

b)

= 24, 04 €

2 1 i g(x) = en x = 0 x x x →0

f(x) = x2 ≥ 0 Per exemple:

X 2 · 10

f(2 ⋅ 106 ) =

x→+ ∞

0, 08 ⋅ 106 + 24 x = 24 x 2 ⋅ 106

0, 08 ⋅ 106 + 24 ⋅ 2 ⋅ 106

19. Sí, per exemple f (x) =

lim f(x) = 0 = 2

si 0 ≤ x ≤ 15 si x > 15

Per exemple, f (x) =

17. Sí, perquè en la definició de límit en un punt no intervé el valor de la funció en aquest punt. 2 000

5 x−2

f 5

24

c)

f(2 ⋅ 106 ) =

lim f(x) =

x→+ ∞

x→+ ∞

e) En la següent figura es pot observar que el cost per unitat s’apropa cada cop més a 24.

lim (x + 4) = +∞

x→+ ∞

lim g(x) =

x→+ ∞

lim (f(x) − g(x)) =

8. Límits

=e

2x no està definida en x = 0, però x clarament lim f(x) = 2.

20

( x 2 − 4 )⋅

=

2 · 10

1 000

x→+ ∞

c)

0, 08 ⋅ 10 + 24 ⋅ 2 000 = 64 € 2 000

2 ⎫ = ∞⎪ f (x) 2 ⎪ x = lim = 2 ⎬ lim x →0 1 x → 0 g(x) 1 lim = ∞⎪ ⎪⎭ x→0 x x→0

lim

0, 08 ⋅ 106 + 24 x expressa el x

x→+ ∞

lim (x −

5 3)x − 2

(5 (x + 2)) = 20

Qüestions ACTIVITATS 1 000

2

lim (x 2 −

lim x = +∞

x→+ ∞

= 1+

2 000

d)

x→+ ∞

lim f (x) = lim

f(2 000) =

lim (x 2 − 3)x − 2 =

x→+ ∞

x→+ ∞

e) En la següent figura es pot observar que el cost per unitat s’apropa cada cop més a 24. d) b)

6

cost de cada unitat. 16. a) La funció f (x) =

x →0

13,34 + 0,348 (22 − 15) = 15,78 €

g(x) = −x ≤ 0 ∀ x ∈

Per a x = 22 m , la factura serà: 3

⎧0, 166 x + 11, 6 I(x) = ⎨ ⎩13, 34 + 0, 348 (x − 15)

18. Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.

15. Com que la funció és:

x →0

x→2

2

Per tant: x →2

= lim

5 ⎞ 5 (x − 2) (x + 2) ⎛ lim ⎜ (x 2 − 4) ⋅ = lim = x→2 ⎝ x − 2 ⎟⎠ x → 2 x−2 D’altra banda: 1 ⎤ ⎡ 1 ⎞ x −4 ⎥ ⎛ ⎢ = lim ⎜ 1 + ⎥ 1 ⎟ x→2 ⎢ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 2 x −4⎠ ⎦ ⎣⎝ x→2

5 3)x − 2

Per tant, podem escriure: x2 − 4 1 1

x2 − 3 = 1 + x2 − 3 − 1 = 1 + x2 − 4 =

lim (x + 4 − x) = 4

1 : Transformem x 2 − 3 en 1 + F(x)

x→+ ∞

Y

14. En resulta la indeterminació 1∞.

134

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 134

C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 135

135 21. Sí. Per exemple: ⎧1 ⎪ f (x) = ⎨ x ⎪⎩0

e) d) c) b) 24. a)

x → 1−

=

lim f(x) = −∞

x → −2

si x ≠ 0

g)

si x = 0 h)

està definida en x0 = 0 i x = 0 és asímptota vertical de f. 22. a) Cert. Per exemple, f(x) = tg x té com a asímptotes π verticals les rectes x = k π + , k ∈ . 2

25. a)

b) Cert. Per exemple, P(x) = 0 té asímptota horitzontal x = 0 i Q(x) = x + 2 té asímptota obliqua y = x + 2.

c)

b)

lim f(x) = −∞

x → 1+

lim f(x) = −∞

x →1

lim f(x) = 2

x→+ ∞

lim (−x2 + 6 x − 8) = 0 + 0 − 8 = −8

x →0

lim (x3 − 6 x) = (−2)3 − 6 (−2) = 4

x → −2

lim (x7 + 6 x2 − 8 x) =

x → −1

lim

x → −2 +

d)

x → −2 −

x3 + 2 x2 − x − 2 = (x − 1) ⋅ (x2 + 3 x + 2)

x→− ∞

lim f(x) = +∞

Hem obtingut una indeterminació. Per eliminar–la, extraiem els factors x − 1 del numerador i del denominador:

x → 3−

x → 3+

lim f(x) = 2 ≠ −1 = lim f(x),

x →2

∃ lim f(x) = 0.

e)

Com que lim f(x) = 0 =

lim f(x) = −1

x → −1−

f)

0 0 x2 + 3 x − 4

x →1

lim

x → 2+

lim f(x),

x → −1

x3 + 2 x 2 − x − 2 x2 − 4

x→0

∃ lim f(x).

c)

— Com que

= e)

x → 2−

b)

lim f(x) = −2

x → −1+

g)

d)  ∃ f(2)

d) lim

x → −1−

lim f(x) = −1 ≠ −2 =

x → −1+

x 2 − 16

f)

lim f(x) = 0

lim (4 x3 − 3 x2 + 2 x) = − ∞

x→− ∞

lim (x2 − 2 x + 5) = +∞

x→+ ∞

lim (4 x4 + 3 x3 + 2 x2) = +∞

x→− ∞

lim (−x3 − x + 1) = − ∞

x→+ ∞

x → 2−

26. a) lim

lim f(x) = 0

x →1

x → 2+

c)

lim f(x) = −1

x2 + 6

x→0

lim

x + 12

x → 3−

lim f(x) = 2

b)

x →3

lim

i)

lim f(x) = 2

b)

lim f(x) = −1

c)

x → 3−

x → 3+

— Com que

lim f(x) = −1 ≠ −2 =

x → −1−

lim

x →3

d) lim

x→0

Com que lim f(x) = 0 = x → 2−

lim f(x),

x → 2+

=

=2

x 3 − 10 x + 4

=

27 − 30 + 4 1 = − 18 − 21 − 14 17

= −1

x → 2+

lim f(x) = 0

x 2 + 5 x − 18

x →1

26. a) lim

x → 2−

lim f(x) = 0 h)

d)  ∃ f(2)

g)

x → −1+

lim f(x) = −2 f)

x → −1−

lim f(x) = −1 e)

∃ lim f(x) = 0.

e)

23. a) f(−1) = −2

x →2

lim f(x) = 2 ≠ −1 = lim f(x),

x →3

d)

Exercicis i problemes

∃ lim f(x).

x 5 + 10 x 2 + x

=

1 + 10 + 1 12 = = 1 + 5 − 18 −12

x→+ ∞

lim (−x3 − x + 1) = − ∞

x→− ∞

lim (4 x4 + 3 x3 + 2 x2) = +∞

x→+ ∞

lim (x2 − 2 x + 5) = +∞

x→− ∞

lim (4 x3 − 3 x2 + 2 x) = − ∞

x →3

lim (2 x3 − 6 x2) = 2 ⋅ 33 − 6 ⋅ 32 = 0

= (−1)7 + 6 (−1)2 − 8 (−1) = 13

x →3

24. a) b) c)

b) Cert. Per exemple, P(x) = 0 té asímptota horitzontal x = 0 i Q(x) = x + 2 té asímptota obliqua y = x + 2. 22. a) Cert. Per exemple, f(x) = tg x té com a asímptotes π , k ∈ . 2 verticals les rectes x = k π +

c) b) 25. a)

està definida en x0 = 0 i x = 0 és asímptota vertical de f. h)

d)

=

1 + 10 + 1 12 = = 1 + 5 − 18 −12

lim f(x) = +∞

x→− ∞

−

x 3 − 10 x + 4 2 x 2 − 7 x − 14

=

27 − 30 + 4 1 = − 18 − 21 − 14 17

x + 12 x2 + 6

=2

x →3

+

lim

x →1

=

x 2 − 16 x2 − 4

=4

x3 + 2 x 2 − x − 2 x2 + 3 x − 4

=

13 + 2 ⋅ 12 − 1 − 2 12 + 3 ⋅ 1 − 4

=

0 0

Hem obtingut una indeterminació. Per eliminar–la, extraiem els factors x − 1 del numerador i del denominador: x3 + 2 x2 − x − 2 = (x − 1) ⋅ (x2 + 3 x + 2)

lim f(x) = +∞

x2 + 3 x − 4 = (x − 1) ⋅ (x + 4)

lim f(x) = −∞

Simplificant les potències comunes de x − 1, es determina el valor del límit:

x → −2 −

x → −2 +

lim f(x) = ∞

x → −2

lim f(x) = −∞

x → 1−

lim

(x − 1) ⋅ (x 2 + 3 x + 2) (x − 1) ⋅ (x + 4)

x →1

=

12 + 3 ⋅ 1 + 2 6 = 1+ 4 5

= 8. Límits

⎧1 ⎪ f (x) = ⎨ x ⎩⎪0

e)

x 2 + 5 x − 18

lim f(x),

x → −1

Com que

lim

x→0

x → −1+

∃ lim f(x).

b)

12 + 3 ⋅ 1 − 4 13 + 2 ⋅ 12 − 1 − 2

=4

2 x 2 − 7 x − 14

g) f(3) = 2

h)

x 5 + 10 x 2 + x

= −1

g) f(3) = 2

c)

=

lim f(x),

x → 3+

e)

h)

lim (2 x3 − 6 x2) = 2 ⋅ 33 − 6 ⋅ 32 = 0

x →3

e)

=

x2 + 3 x − 4 = (x − 1) ⋅ (x + 4)

lim f(x) = +∞ Com que

23. a) f(−1) = −2

f)

(x − 1) ⋅ (x 2 + 3 x + 2)

Simplificant les potències comunes de x − 1, es determina el valor del límit:

lim f(x) = −∞

∃ lim f(x).

Exercicis i problemes

h)

(x − 1) ⋅ (x + 4)

x →1

lim f(x) = ∞ x →3

= (−1)7 + 6 (−1)2 − 8 (−1) = 13

i)

12 + 3 ⋅ 1 + 2 6 = 1+ 4 5

8. Límits

f)

si x = 0 si x ≠ 0

g) f)

21. Sí. Per exemple:

x → −1

lim (x7 + 6 x2 − 8 x) =

x → −2

lim (x3 − 6 x) = (−2)3 − 6 (−2) = 4

x →0

lim (−x2 + 6 x − 8) = 0 + 0 − 8 = −8

x→+ ∞

lim f(x) = 2

x →1

lim f(x) = −∞

x → 1+

lim f(x) = −∞

135

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 135 C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 136

136 lim

x→0

2 x 3 + 2 x 2 − 12 x x3 − 4 x 2 + 6 x

=

2 ⋅ 03 + 2 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 03 − 4 ⋅ 02 + 6 ⋅ 0

=

j)

k)

lim

lim

x → −1

(x + 1) ⋅ (x − 2) 3 (x − 2)

=

−7 x2 + 6 x + 9

=

−7 (−3)2 + 6 ⋅ (−3) + 9

=

x 2 + 5 > 0 ⎪⎫ x2 + 5 = −∞ ⎬ ⇒ lim x → −1 x +1 x + 1 < 0 ⎭⎪ −

=

— Si ens apropem a −1 per la dreta: x 2 + 5 > 0 ⎪⎫ x2 + 5 = +∞ ⎬ ⇒ lim x → −1 x +1 x + 1 > 0 ⎭⎪

= −2

+

Així doncs, lim

x → −1

l)

lim

x→5

x2 + 5 = ∞. x +1

−3 x x2 − 4 x − 5

=

−3 ⋅ 5 52 − 4 ⋅ 5 − 5

=

−15 0

Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el signe dels límits laterals:

−3 x < 0 ⎪⎫ ⎬⇒ x 2 − 4 x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) < 0 ⎭⎪

2+1 =1 3

⇒ lim

x → 5−

x−5 x−5 1 1 = lim = lim = 2 x − 10 x → 5 2 (x − 5) x → 5 2 2 1− x

x 2 + 5 (−1)2 + 5 6 = = x +1 0 −1 + 1

Per tal de saber si el límit és + ∞, − ∞ o ∞, hem de calcular els límits laterals: — Si ens apropem a −1 per l’esquerra:

=

x (2 x 2 + 2 x − 12) x ⋅ (x 2 − 4 x + 6)

2 ⋅ 02 + 2 ⋅ 0 − 12 02 − 4 ⋅ 0 + 6

x → −3

−7 = = − ∞ , ja que el numerador sempre és nega0 tiu i el denominador, x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2, és sempre positiu.

0 0

2 x 3 + 2 x 2 − 12 x x3 − 4 x 2 + 6 x

x→0

x→5

lim

x→2

1− 2

=

(2 − 2)2

=

−3 x x2 − 4 x − 5

= +∞

— Límit per la dreta: −3 x < 0 ⎪⎫ ⎬⇒ x 2 − 4 x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) > 0 ⎭⎪

−1 0

−

x → 5+

x→5

ll)

lim

x→+ ∞

−3 x x2 − 4 x − 5 −3 x

= −∞

= ∞.

x2 − 4 x − 5

(x + 2) (x − 2) x2 + 4 = lim = x→+ ∞ x−2 x−2

= lim (x + 2) = +∞ x→+ ∞

+

m)

x2 − 1

lim

= 1, ja que n = 2 = m

x2 − 2 x − 1

x→− ∞

1 2 x2

= 0, ja que n = 0 < m = 2

8. Límits

f)

=

Com que la indeterminació procedeix d’una funció racional, podem eliminar-la extraient i simplificant els factors x − 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador: 2 x3 + 2 x2 − 12 x = x ⋅ (2 x2 + 2 x − 12) x3 − 4 x2 + 6 x = x ⋅ (x2 − 4 x + 6) lim

x→0

= lim =

g)

x 2 − x − 2 22 − 2 − 2 0 lim = = 3x − 6 3⋅2 − 6 0

x→2

Per eliminar aquesta indeterminació, factoritzem el numerador i el denominador per x − 2: x2 − x − 2 = (x + 1) ⋅ (x − 2) 3 x − 6 = 3 ⋅ (x − 2)

— Límit per l’esquerra:

Simplificant: lim

x→2

h) lim

i)

(2 − x)2

⇒ lim

Per decidir si aquest límit és +∞, −∞ o ∞, hem d’estudiar el signe de les imatges de valors propers a 2 en apropar-nos per cada costat:

Així doncs, lim

— Per a valors propers a 2 per l’esquerra: 1− x < 0 ⎫ 1− x ⎪ = −∞ ⎬ ⇒ lim x → 2 (2 − x)2 (2 − x)2 > 0 ⎭⎪ — Per a valors propers a 2 per la dreta: 1 − x < 0 ⎫⎪ 1− x = −∞ ⎬ ⇒ lim x → 2 (2 − x)2 (2 − x)2 > 0 ⎪⎭

= 0, ja que n = 0 < m = 2 −15 0

−7

lim

1

= −∞ = +∞ =

−3 ⋅ 5

(−3)2 + 6 ⋅ (−3) + 9

x→− ∞

2 x2

= 1, ja que n = 2 = m −3 x 5 −4⋅5− 5 2

= =

−7

n)

lim

x→+ ∞

−3 x

x 2 + 5 (−1)2 + 5 6 = = x +1 0 −1 + 1

lim

= − ∞.

x→− ∞

x2 − 2 x − 1 x2 − 1

(x + 2) (x − 2) x2 + 4 = lim = x→+ ∞ x−2 x−2

lim

= ∞.

−3 x x −4x − 5 2

2

−3 x < 0 2

lim

x → −1

−

— Si ens apropem a −1 per l’esquerra: x → −1

lim

=

x2 + 6 x + 9

x → −3

1− x

n)

x→− ∞

lim

x→+ ∞

= lim (x + 2) = +∞ ll)

−3 x

x −4x − 5 2

2

−3 x < 0

x→5

−

⇒ lim

⎪⎫ ⎬⇒ x − 4 x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) < 0 ⎭⎪

2+1 =1 3

x −4x − 5

x→5

x2 + 5 = ∞. x +1

Així doncs, lim

+

=

x 2 + 5 > 0 ⎫⎪ x2 + 5 = −∞ ⎬ ⇒ lim x → −1 x +1 x + 1 < 0 ⎭⎪

=

Per tal de saber si el límit és + ∞, − ∞ o ∞, hem de calcular els límits laterals: k)

−7 = − ∞ , ja que el numerador sempre és nega0 tiu i el denominador, x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2, és sempre positiu.

0 0 j)

(2 − x)2

= − ∞. =

=

=

x→2

1− x

−

x −4x − 5 2

x→5

+

⇒ lim

⎫⎪ ⎬⇒ x − 4 x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) > 0 ⎪⎭

1− 2

=

(x + 1) ⋅ (x − 2)

— Límit per l’esquerra: l)

x 2 − x − 2 22 − 2 − 2 0 = = 3x − 6 3⋅2 − 6 0

— Si ens apropem a −1 per la dreta: x 2 + 5 > 0 ⎪⎫ x2 + 5 = +∞ ⎬ ⇒ lim x → −1 x +1 x + 1 > 0 ⎭⎪

= −2

2

2

2

x3 − 4 x 2 + 6 x 2 x 3 + 2 x 2 − 12 x

Així doncs, lim

(2 − x)2

m)

+

lim

x→2

lim

02 − 4 ⋅ 0 + 6

x ⋅ (x 2 − 4 x + 6) x (2 x + 2 x − 12) 3

2 x 3 + 2 x 2 − 12 x 2

0 − 4 ⋅0 + 6⋅0 3

2 ⋅ 03 + 2 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0

x→0

lim

8. Límits

x→2

Així doncs, lim

1− x ⎪⎫ = −∞ ⎬ ⇒ lim x → 2 (2 − x)2 (2 − x)2 > 0 ⎭⎪ 1− x < 0

— Per a valors propers a 2 per la dreta: ⎫⎪ 1− x = −∞ ⎬ ⇒ lim x → 2 (2 − x)2 (2 − x) > 0 ⎪⎭ 2

1− x < 0

— Per a valors propers a 2 per l’esquerra:

x→5

Així doncs, lim

Per decidir si aquest límit és +∞, −∞ o ∞, hem d’estudiar el signe de les imatges de valors propers a 2 en apropar-nos per cada costat: i)

−1 = = lim x → 2 (2 − x)2 0 (2 − 2)2 1− x

— Límit per la dreta:

x−5 x−5 1 1 = lim = lim = h) lim x → 5 2 x − 10 x → 5 2 (x − 5) x→5 2 2 3 (x − 2)

x→2

Simplificant: 3 x − 6 = 3 ⋅ (x − 2)

Per decidir el valor del límit, hem d’estudiar el signe dels límits laterals:

x2 − x − 2 = (x + 1) ⋅ (x − 2) Per eliminar aquesta indeterminació, factoritzem el numerador i el denominador per x − 2: g)

=

2 ⋅ 02 + 2 ⋅ 0 − 12 x→0

= lim

2

x − 4x + 6x

x→0

lim

x − 4 x + 6 x = x ⋅ (x − 4 x + 6) 3

2 x3 + 2 x2 − 12 x = x ⋅ (2 x2 + 2 x − 12) Com que la indeterminació procedeix d’una funció racional, podem eliminar-la extraient i simplificant els factors x − 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador: = f)

136

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 136

C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 137

= b)

( lim

x → −1

(

)

x → −1

(

)

x → −1

5 x ⋅ lim

x − 12 x + 12

x→+ ∞

=

= 3, ja que n = 2 = m

2

lim f(x) = lim (x − 4) = lim x − lim 4 =

x → −3

x → −3

x → −3

c)

x → −3

)

lim 5 x ⋅ 3 x 2 + 4 =

= 3 + 2⋅2 −

3 ⎛ ⎞ − + 18 x 30 x ∞ = lim ⎜ 3 ⎟ = x→ + ∞ ⎝ 3 x + 2 x2 − 8 x ⎠ ∞

5⋅2−1 = 4

x→2

x→2

lim f(x) a partir dels límits lad)

lim (5 x − 1) =

x→2

(

Per eliminar la indeterminació, efectuem el producte de fraccions:

5x −1 =

= 0 ⋅ (− ∞)

)

lim 3 + 2 x −

lim f(x) = lim (x − 4) = −2 − 4 = −6

5x −1 =

x →2

x → −2 −

x → −2 −

2

⎛ ⎞ 6x = ⎜ lim ⎟ 2 ⎝ x→+ ∞ 3 x − 4 x ⎠

x →2

lim f(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 2 − 1 = 3

x → −2 +

x → −2 +

d) Com que 2 > 1, f(x) = 2 x − 1 en un entorn de x = 2, aleshores:

Com que els límits laterals en x = −2 existeixen i coincideixen, concloem que existeix el límit de la funció en x = −2 i que el seu valor és:

e)

29. a)

Com que els límits laterals de f en x = 1 no coincideixen, no existeix lim f(x). x → 1+

h)

lim (−x2 + 3 x + 4) =

x → 1−

lim (−x2 + 3 x + 4) =

c) Com que l’expressió analítica de f és diferent per als punts de l’esquerra de l’1 i de la dreta de l’1, hem de calcular els límits laterals per tal de determinar el valor del límit:

lim f(x) =

x → 1−

f)

g)

x → 1−

= −12 + 3 ⋅ 1 + 4 = 6 lim f(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 1 − 1 = 1

g) f)

x → −2

Com que els límits laterals en x = −2 existeixen i coincideixen, concloem que existeix el límit de la funció en x = −2 i que el seu valor és:

x → 1+

Com que els límits laterals de f en x = 1 no coincideixen, no existeix lim f(x).

e)

= −(−2)2 + 3 ⋅ (−2) + 4 = −6

lim f(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 2 − 1 = 3

x → −2 −

x →2

x →2

)

5x −1 =

lim (−x2 + 3 x + 4) =

lim f(x) = lim (x − 4) = −2 − 4 = −6 d)

hem de calcular

lim f(x) a partir dels límits la-

tervals en els quals f té diferent expressió analítica, b) Com que x = −2 és un punt fronterer entre dos in-

lim (5 x − 1) =

x→2

5⋅2−1 = 4

( lim

x → −1

)

(

=

(3 ⋅(+ ∞)2 + 5 ⋅(+ ∞)− 1)

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

+∞

=0

)

5 x ⋅ lim

x → −1

3

lim (5 x3 + 1 000)5 =

( lim

x→− ∞

)

(5 x 3 + 1000)

lim 5

x→− ∞

=

⎛ 3 x + 1⎞ lim ⎜ ⎟ x →3 ⎝ 2 x − 1⎠

x−6

⎛ 3 x + 1⎞ = ⎜ lim ⎝ x → 3 2 x − 1 ⎟⎠

3−6

x →3

=

1 8

=

lim ( x + 1)

lim e x + 1 = (lim e)

x →1

x →1

lim ( x − 6 )

x →1

⎛ 9 − x2 ⎞ lim ⎜ x→+ ∞ ⎝ −7 ⎟⎠

2 x3

⎛ 9 − (+ ∞)2 ⎞ =⎜ ⎟ −7 ⎝ ⎠

2 ⋅(+ ∞)3

= e2

⎛ 9 − x2 ⎞ = ⎜ lim ⎟ ⎝ x → + ∞ −7 ⎠ ⎛ − ∞⎞ =⎜ ⎝ −7 ⎟⎠

lim 2 x 3

x →+ ∞

=

2 ⋅(+ ∞)

=

h)

lim 2−6 x + 3 =

x→+ ∞

( lim 2)

lim (−6 x + 3)

x →+ ∞

x→+ ∞

=

29. a)

⎛ 6x −3 x 2 + 5 ⎞ ⋅ lim ⎜ 2 ⎟ = x→+ ∞ ⎝ 3 x − 4 x x+2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 6x −3 x 2 + 5 ⎞ = ⎜ lim lim ⋅ ⎜ ⎟ = ⎟ 2 ⎝ x→+ ∞ 3 x − 4 x ⎠ ⎝ x→+ ∞ x + 2 ⎠

Per eliminar la indeterminació, efectuem el producte de fraccions: ⎛ 6x −3 x 2 + ⋅ lim ⎜ 2 x→+ ∞ ⎝ 3 x − 4 x x+2

5⎞ ⎟ = ⎠

⎛ −18 x 3 + 30 x ⎞ ∞ = lim ⎜ 3 = ⎟ 2 x→+ ∞ ⎝ 3 x + 2 x − 8 x ⎠ ∞

lim 5 x ⋅ 3 x 2 + 4 =

x → −3

x → −3

27. a) Com que −3 < −2, l’expressió analítica de f en un entorn de x = −3 és f(x) = x − 4; per tant: lim

)

x2 + 4 =

Per eliminar aquesta indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x3:

x 2 − 12 x + 12 3 x2 − x − 2

= 3, ja que n = 2 = m

137

08 Mates CSS_Guia.qxd

lim (−6 x + 3)

2 ⋅(+ ∞)3

⎛ − ∞⎞ =⎜ ⎝ −7 ⎠⎟

=

2 x3

x →1

x →1

lim ( x + 1)

= 3−6

⎛ 3 x + 1⎞ lim ⎜ ⎝ 2 x − 1 ⎠⎟

x →3

x−6

= 2 ⋅(+ ∞)

⎛ 9 − x2 ⎞ = ⎜ lim ⎟ ⎝ x → + ∞ −7 ⎠

lim e x + 1 = (lim e)

( lim

x→− ∞

=

x →+ ∞

lim 2 x 3

= e2

1 8

⎛ 3 x + 1⎞ = ⎜ lim ⎝ x → 3 2 x − 1 ⎠⎟

)

(5 x 3 + 1000)

x →3

=

lim ( x − 6 )

x→− ∞

lim 5

=

x→− ∞

lim (5 x3 + 1 000)5 =

27/5/09

12:56

(3 ⋅(+ ∞)2 + 5 ⋅(+ ∞)− 1)

1⎞ ⎛ = ⎜ lim ⎝ x → + ∞ 4 ⎠⎟

x → −3

lim f(x) = lim (x − 4) = lim x − lim 4 =

x→+ ∞

x →1

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

= −3 − 4 = −7

=

lim (3 x 2 + 5 x − 1)

x →+ ∞

= 0 ⋅ (− ∞)

5x −1 =

x→2

x→2

p)

x →+ ∞

x → −2

= lim (3 + 2 x) −

x→2

x → −3

⎛ 9 − x2 ⎞ lim ⎜ x→+ ∞ ⎝ −7 ⎠⎟ =

x → −2 −

terals:

x→+ ∞

lim 2−6 x + 3 =

= (5 ⋅ (−∞)3 + 1 000)5 = (−∞)5 = −∞

x → −2 +

= lim (3 + 2 x) − lim

(

=

= 2(−6 ⋅ (+∞) + 3)= 2−∞ = 0

d) Com que 2 > 1, f(x) = 2 x − 1 en un entorn de x = 2, aleshores:

x → −1

5

= (+∞)(+∞) = +∞

x →1

lim f(x) =

( lim 2)

x→+ ∞

⎛ 3 ⋅ 3 + 1⎞ =⎜ ⎝ 2 ⋅ 3 − 1 ⎠⎟

lim f(x) = −6

x → 1+

x → −2 +

⎛ 6x −3 x 2 + 5 ⎞ ⋅ lim ⎜ 2 ⎟ = x+2 ⎠ ⎝3x − 4x

x→+ ∞

⎛ 9 − (+ ∞)2 ⎞ =⎜ ⎟ −7 ⎝ ⎠

= −12 + 3 ⋅ 1 + 4 = 6 lim f(x) =

5⎞ ⎟ = ⎠

= (+∞)(+∞) = +∞

x → 1+

lim f(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 1 − 1 = 1

c) Com que l’expressió analítica de f és diferent per als punts de l’esquerra de l’1 i de la dreta de l’1, hem de calcular els límits laterals per tal de determinar el valor del límit:

x → 1−

⎛ −3 x 2 + ⋅ ⎜ lim ⎝ x→+ ∞ x + 2

= 2(−6 ⋅ (+∞) + 3)= 2−∞ = 0

x →1

x → −2

b)

3

3 x2 + 5 x −1

⎛ 3 ⋅ 3 + 1⎞ =⎜ ⎝ 2 ⋅ 3 − 1 ⎟⎠

lim f(x) = −6

= 3 + 2⋅2 −

)

lim (x 2 + 4) =

x → −1

= (5 ⋅ (−∞)3 + 1 000)5 = (−∞)5 = −∞

= −(−2)2 + 3 ⋅ (−2) + 4 = −6

(

3

x→− ∞

=

lim (−x + 3 x + 4) =

lim f(x) =

lim 3 + 2 x −

(

x → −2

terals:

x→2

)

5x ⋅

⎛ 1⎞ lim ⎜ ⎟ x→+ ∞ ⎝ 4 ⎠

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

tervals en els quals f té diferent expressió analítica,

= lim (3 + 2 x) − lim x→2

⎛ 6x −3 x 2 + 5 ⎞ ⋅ lim ⎜ 2 ⎟ = x+2 ⎠ ⎝3x − 4x

x→+ ∞

x→2

= lim (3 + 2 x) −

b) Com que x = −2 és un punt fronterer entre dos in-

28. a)

x → −1

1⎞ ⎛ = ⎜ lim ⎝ x → + ∞ 4 ⎟⎠

= −3 − 4 = −7

hem de calcular

( lim

= (5 ⋅ (−1)) ⋅ 3 (−1)2 + 4 = −5

27. a) Com que −3 < −2, l’expressió analítica de f en un entorn de x = −3 és f(x) = x − 4; per tant:

28. a)

Per eliminar aquesta indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x3:

x2 + 4 =

3

8. Límits

137 3 x2 − x − 2

lim

8. Límits

c)

⎛ 1⎞ lim ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

=0 +∞

=

x →+ ∞

lim (3 x 2 + 5 x − 1)

x→+ ∞

= 3 x2 + 5 x −1

= (5 ⋅ (−1)) ⋅ 3 (−1)2 + 4 = −5 =

( lim

x → −1

)

5x ⋅

(

3

x → −1

3

5

)

lim (x 2 + 4) =

Página 137 C M Y K

p)

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

−18 x 3

x→+ ∞

x3 +

+

2 x2 x3

Página 138

30 x x3 −

8x

=

x3

5⎞ ⎟ = ⎠

d)

Eliminem aquesta indeterminació factoritzant el numerador i el denominador i simplificant els factors x − 3: lim

x →3

x2 − 4 x + 3 x2 − 9 =

= lim

x →3

(x − 3) ⋅ (x − 1) (x − 3) ⋅ (x + 3)

=

3−1 2 1 = = 3+3 6 3

⎛ 3 x2 6 x2 + 4 ⎞ lim ⎜ − ⎟ = 2x ⎠ ⎝x +1

x→+ ∞

x→− ∞

6 x3 − 6 x3 − 6 x 2 − 4 x − 4 2 x2 + 2 x

x→+ ∞

3 x 3 + x 2 − 15 x − 5

+

x2

= lim

−6 x 2 − 4 x − 4 2 x2 + 2 x

x→+ ∞

=

=

=

∞ ∞

Per eliminar la indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x2: lim

−6 x 2 − 4 x − 4 2 x2 + 2 x

x→+ ∞

x2

= lim

x→+ ∞

⎛ 5 − x2 ⎞ lim ⎜ ⎟ ⎝ 3 − x2 ⎠

=

−6 x 2 4 x 4 − 2 − 2 x2 x x = 2 x2 2 x x2

x2 = lim

x→+ ∞

=

30. a)

−6 −

+

x2

4 4 − x x2 =

2+

2 x

−6 − 0 − 0 = −3 2+0

3 x2 +1 2

x→− ∞

⎛ 5 − x2 ⎞ = ⎜ lim ⎟ ⎝ x→ − ∞ 3 − x2 ⎠ =

x2 − 9

x →3

lim

=

x →− ∞

3 x2 +1 2

= 1(+ ∞)

F(x) en l’exponent:

8. Límits

lim

x→+ ∞

3 x3 x3

= lim

30 −18 + x 2 = − 18 = −6 2 8 3 − x x2

3+

⎛3x +1 2 − x lim ⎜ 2 ⋅ −8 ⎝x −2

x→− ∞

⎛ 3 x2 ⎞ ⎛ 6 x2 + 4 ⎞ = ⎜ lim ⎟ − ⎜ lim ⎟ = ∞−∞ 2x ⎠ ⎝ x→ + ∞ x + 1⎠ ⎝ x→ + ∞

3 x + 1⎞ ⎛ ⎛ x2 − 5 ⎞ = 0 ⋅ (− ∞) = ⎜ lim 2 lim ⎝ x → − ∞ x − 2 ⎠⎟ ⎝⎜ x → − ∞ −8 ⎟⎠

Per eliminar la indeterminació, efectuem la resta de les fraccions:

Efectuem el producte: ⎛ 3 x + 1 x2 − 5 ⎞ ⋅ = lim ⎜ 2 −8 ⎠⎟ ⎝x −2

⎛ 3 x2 6 x2 + 4 ⎞ lim ⎜ − ⎟ = 2x ⎠ ⎝x +1

x→+ ∞

3 x 3 + x 2 − 15 x − 5 ∞ = = lim ∞ −8 x 2 + 16

x→− ∞

= lim

Per eliminar aquesta indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x2: lim

−8 x 2 + 16

x→− ∞

3 x 3 x 2 15 x 5 + 2 − 2 − 2 2 x x x = = lim x 8 x 2 16 x→− ∞

−

15 5 − 2 3x +1− x x = = lim 16 x→− ∞

−8 +

3 ⋅ (− ∞) + 1 − 0 − 0 −∞ = = +∞ −8 + 0 −8

=

c)

7 x − 3⎞ ⎛ x lim ⎜ − = ⎝ x − 3 x 2 − 9 ⎠⎟

x →3

7 x − 3⎞ x ⎞ ⎛ ⎛ = ⎜ lim − lim = ∞−∞ ⎝ x → 3 x − 3 ⎠⎟ ⎝⎜ x → 3 x 2 − 9 ⎠⎟ Per eliminar la indeterminació, efectuem la resta de fraccions: 7 x − 3⎞ ⎛ x lim ⎜ = − ⎝ x − 3 x 2 − 9 ⎠⎟

x →3

x (x + 3) − 7 x + 3

= lim

Per resoldre la indeterminació 1∞, hem d’expres1 i introduir F(x) sar la base de la forma 1 +

0 0

=

x2 − 4 x + 3

= 1(+ ∞) ∞ ∞

(x − 3) ⋅ (x + 3)

=

3 x2 +1 2 x →3

x2 − 9

lim

= =

=

Per eliminar la indeterminació, efectuem la resta de les fraccions: x −9

(x − 3) ⋅ (x − 1)

x →3

0 0

Per resoldre la indeterminació 1∞, hem d’expres1 sar la base de la forma 1 + i introduir F(x) F(x) en l’exponent: x →− ∞

=

−6 − 0 − 0 = −3 2+0 −6 −

4 − 2 x2 x = 2 x2 2 x + 2 x2 x 4x

−6 x 2 − 4 x − 4 −6 x 2 − 4 x − 4

6 x3 − 6 x3 − 6 x 2 − 4 x − 4

Efectuem el producte:

⎛ 3 x2 6 x2 + 4 ⎞ lim ⎜ − ⎟ = x→+ ∞ ⎝ x + 1 2x ⎠ x →3

= lim

= lim

=

=

= lim

∞ ∞

⎛ 3 x2 ⎞ ⎛ 6 x2 + 4 ⎞ = ⎜ lim − ⎜ lim ⎟ ⎟ = ∞−∞ 2x ⎠ ⎝ x→ + ∞ x + 1⎠ ⎝ x→ + ∞ d)

3−1 2 1 = = 3+3 6 3

=

2

2

x2 − 4 x + 3

Eliminem aquesta indeterminació factoritzant el numerador i el denominador i simplificant els factors x − 3:

2

+

8. Límits

x −9 2

x2 − 4 x + 3 x2 − 9

x (x + 3) − 7 x + 3

30. a)

3 x2 +1 2

=

7 x − 3⎞ ⎛ x lim ⎜ − 2 ⎟ = x →3 ⎝ x − 3 x − 9⎠

x→+ ∞

= lim

x

−

2 x2 + 2 x

x→+ ∞

lim

Per eliminar la indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x2:

=

2 x2 + 2 x

x→+ ∞

=

2

−6 x 2

− 2 − 2 x2 x x = 8 x 2 16 − 2 + 2 x x

+

5

15 x

4 4 − x x2 = 2 2+ x

x→+ ∞

= lim

3 ⋅ (− ∞) + 1 − 0 − 0 −∞ = = +∞ −8 + 0 −8 x2

x2

3 x + x − 15 x − 5 2

2

3 x 3 + x 2 − 15 x − 5

3 x + 1⎞ ⎛ ⎛ x2 − 5 ⎞ = 0 ⋅ (− ∞) = ⎜ lim 2 lim ⎜ ⎟ ⎝ x → − ∞ x − 2 ⎠ ⎝ x → − ∞ −8 ⎟⎠ ⎛ 3 x + 1 x2 − 5 ⎞ lim ⎜ 2 ⋅ = x→− ∞ ⎝ x − 2 −8 ⎟⎠ 30 x

138

x→+ ∞

27/5/09

b)

138 x →3

= lim x →3

= lim

⎛ 5 − x2 ⎞ = ⎜ lim ⎟ ⎝ x→ − ∞ 3 − x2 ⎠

7 x − 3⎞ ⎛ x lim ⎜ − = ⎝ x − 3 x 2 − 9 ⎟⎠

x →3

Per eliminar la indeterminació, efectuem la resta de fraccions:

⎛ 5 − x2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x→ − ∞ ⎝ 3 − x2 ⎠

7 x − 3⎞ x ⎞ ⎛ ⎛ = ⎜ lim − lim = ∞−∞ ⎝ x → 3 x − 3 ⎟⎠ ⎜⎝ x → 3 x 2 − 9 ⎟⎠ c)

=

15 5 − 2 3x +1− x x = = lim 16 x→− ∞ −8 + 2 x x→− ∞

= lim

3 x3

−8 x 2 + 16

x→− ∞

lim

3

= lim

Per eliminar aquesta indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x2:

2 x2 + 2 x

x→+ ∞

−8 x + 16

x→− ∞

= lim

⎛ 3 x2 6 x2 + 4 ⎞ lim ⎜ − ⎟ = x→+ ∞ ⎝ x + 1 2x ⎠

⎛ 3 x + 1 x − 5⎞ ⋅ = lim ⎜ 2 −8 ⎟⎠ ⎝x −2

x→− ∞

2

b)

x = − 18 = −6 2 8 3 3+ − 2 x x

x→+ ∞

= lim

−18 +

30

lim

x3 = 3x 2x 8x + 3 − 3 x3 x x 3

lim

x3

−18 x 3 08 Mates CSS_Guia.qxd

12:56

Página 138

C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 139

139 3−x =e

−5 x 12 x

24 +

= 1+

x →+ ∞

lim

⎛ ⎜ = ⎜ lim ⎜ x→+ ∞ ⎝

1 ⎞ ⎛ ⎜1 + 4 x + 2 ⎟ ⎟ ⎝⎜ −5 ⎠

1 ⎞ x+2 ⎛ = lim ⎜ 1 + 1 ⎟ ⎟ ⎝⎜ x + 2⎠

= e− ∞ = 0

4 x+2 ⎞ −5 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

= 1+

2

5 − x2 3−x

2

5 − x2 − 3 + x2 3−x

= 1+

2

x

−1 =

c) 1

3−x 2

⎛ 5 − x2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x→ − ∞ ⎝ 3 − x2 ⎠

3 x2 +1 2

1 ⎛ = lim ⎜ 1 + x→− ∞ 3 − x2 ⎜ ⎝ 2

1

⎡ 1 ⎢⎛ = lim ⎢ ⎜ 1 + x→− ∞ 3 − x2 ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠

⎛ 4 x − 3⎞ lim ⎜ ⎝ 4 x + 2 ⎠⎟

x→+ ∞

2

1 ⎛ ⎜ 1 + 3 − x2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠

=

1 x + 3 = 1 + (x + 2) = 1 + 1 x+2 Expressem la base de la forma 1 + =

Per eliminar la indeterminació, expressem la base 1 : F(x) x2 6

⎛ 4 x − 3⎞ = ⎜ lim ⎝ x → + ∞ 4 x + 2 ⎠⎟

⎛ 4 x − 3⎞ lim ⎜ ⎟ x→+ ∞ ⎝ 4 x + 2 ⎠

x →3

x →3

x2 6

x →3

3 x − 8 = 1 + (3 x − 8) − 1 = 1 + (3 x − 9) = 1 = 1+ 1 3x − 9

3 x2 +1 2

=

1 en l’exponent i, 3x − 9 aplicant les propietats dels límits, farem aparèixer el nombre e: Ara introduïm F(x) =

=

x x →3

1

1 ⎞ 3 x−9 ⎛ = lim ⎜ 1 + 1 ⎟ x →3 ⎜ ⎟ 3x − 9⎠ ⎝

=

⎛ = ⎜ lim ⎜ x →3 ⎜ ⎝

= e −3

⎛ 4 x − 3⎞ = ⎜ lim x → + ∞ 4 x + 2 ⎟⎠ ⎝

lim

x →+ ∞

x2 6

4x −3− 4x −2

1 = 1+ = 1+ 4x +2 4x +2 −5 4x +2 Ara, introduïm F(x) = en l’exponent i −5 aplicarem la definició del nombre e: ⎛ 4 x − 3⎞ lim ⎜ ⎟ x→+ ∞ ⎝ 4 x + 2 ⎠

x2 6

=

1 ⎞ 3 x−9

1 ⎛ ⎜1 + 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3x − 9⎠ ⎝ =e

= 1 (+ ∞)

4x −3 4x −3 = 1+ −1 = 4x +2 4x +2

d)

lim

x −3

3 2 6 ⎞ ( x + 2)

⎛ x2 + 5 x + lim ⎜ ⎟ x → −2 ⎝ x+2 ⎠

⎛ x2 + 5 x + 6 ⎞ = ⎜ lim ⎟ x+2 ⎝ x → −2 ⎠

=

(

)

lim (x + 3)

x → −2

lim

⎛ ⎜ = ⎜ lim ⎜ x→+ ∞ ⎝

lim

x →3

=

x (3 x − 9) x −3

=

3 ( x + 2)2

lim

x →−2

3 ( x + 2)2

= e9

lim

x →−2

=

3 ( x + 2)2

=

= 1(+ ∞)

Expressem la base de la forma 1 +

=

1 : F(x) 1 1 x+2

1 en l’exponent i obtenim l’expresx+2 sió del nombre e: Introduïm

⎛ −5 x 2 ⎞ lim ⎜ ⋅ ⎟ ⎝ 4 x+2 6 ⎠

3

x →+ ∞

= e− ∞ = 0

⎛ x 2 + 5 x + 6 ⎞ ( x + 2) lim ⎜ = lim (x + 3)( x + 2) = ⎟ x → −2 ⎝ x → −2 x+2 ⎠ 3

2

=

2

1

1 ⎞ x+2 ⎛ = lim ⎜ 1 + 1 ⎟ x → −2 ⎟ ⎜⎝ x + 2⎠

⋅( x + 2)⋅

3 ( x + 2)2

=

8. Límits

x →+ ∞

=e

−5 x 12 24 + x

lim

x + 3 = 1 + (x + 2) = 1 +

4 x + 2 −5 x ⋅ ⋅ −5 4 x + 2 6

4 x+2 ⎞ 1 ⎞ −5 ⎟ ⎛ ⎟ ⎜1 + 4 x + 2 ⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎠ −5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

x x −3

=

⎛ (x + 2) ⋅ (x + 3)⎞ = ⎜ lim ⎟ x+2 ⎝ x → −2 ⎠ x →−2

⋅(3 x − 9)⋅

3 x ( x − 3)

x →3

2

1 ⎞ ⎛ = lim ⎜ 1 + 4x + 2⎟ x→+ ∞ ⎟ ⎜⎝ −5 ⎠

= 1∞

lim (3 x − 8)x − 3 =

⎟ ⎟ ⎠

1 3+ 2 x lim x →− ∞ 3 −1 x2 e

x x −3

Per eliminar la indeterminació, expressem la ba1 se de la forma 1 + : F(x)

2

Per eliminar la indeterminació, expressem la base 1 : de la forma 1 + F(x)

=e ⎛ = ⎜ lim ⎜ x→− ∞ ⎜ ⎝

1 ⎛ ⎜1 + 3 x2 − ⎜ ⎝ 2

⎡ 1 ⎢⎛ = lim 1+ x → − ∞ ⎢⎜ 3 − x2 ⎢⎜ 2 ⎣⎢ ⎝ ⎛ 5 − x2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x→ − ∞ ⎝ 3 − x2 ⎠

3 x2 +1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3 − x2 2 3 − x2 2

d)

lim

⎤3− x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥ 2

5 − x2 − 3 + x2

3 − x2 5 − x2

= 1+

5 − x2

x →−2

lim

=

3 ( x + 2)2

=

3 lim ( x + 2)2

x →−2

x →+ ∞

lim

x2 6

3

=e ⎛ = ⎜ lim ⎜ x →3 ⎜ ⎝

x →3

lim

= e9

x −3 3 x ( x − 3)

1 ⎞ 1 ⎞ 3 x−9 ⎟ ⎛ ⎜1 + ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 3x − 9⎠ ⎝ ⎠

1 ⎞ 3 x−9 ⎛ = lim ⎜ 1 + 1 ⎟ x →3 ⎜ ⎟ 3x − 9⎠ ⎝

3 x2 +1 3 − x2

1

= x →3

lim

x (3 x − 9) x −3

⋅(3 x − 9)⋅

x x −3

=

x →3

lim (3 x − 8)x − 3 = x

= 2

⋅

1 Ara introduïm F(x) = en l’exponent i, 3x − 9 aplicant les propietats dels límits, farem aparèixer el nombre e:

3 x2 +1 2

= 1+

3 − x2

= 1(+ ∞)

3 ( x + 2)2 2

1 ⎛ = lim ⎜ 1 + x→− ∞ 3 − x2 ⎜ ⎝ 2

3 − x2

lim

⎛ x 2 + 5 x + 6 ⎞ ( x + 2) lim ⎜ = ⎟ x+2 ⎝ ⎠

= x →− ∞

x →−2

1 : F(x)

x → −2

= 1 (+ ∞)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3 x2 +1 2

3 x − 8 = 1 + (3 x − 8) − 1 = 1 + (3 x − 9) = 1 = 1+ 1 3x − 9

=

Així: = 1+

lim (x + 3)

= e −3

1 3+ 2 x lim x →− ∞ 3 −1 x2

)

x → −2

⎛ x2 + 5 x + 6 ⎞ = ⎜ lim ⎟ x+2 ⎝ x → −2 ⎠

de la forma 1 + ⎛ 4 x − 3⎞ lim ⎜ ⎝ 4 x + 2 ⎠⎟

(

⎛ (x + 2) ⋅ (x + 3)⎞ = ⎜ lim ⎟ x+2 ⎝ x → −2 ⎠

4x −3 4x −3 = 1+ −1 = 4x +2 4x +2 b)

⎥ ⎥ ⎥⎦

3 x2 +1 lim 3 − x 2 ⎞ x →− ∞ 3 − x 2 ⎞ 2 ⎟

=

x→+ ∞

3

1 Introduïm en l’exponent i obtenim l’expresx+2 sió del nombre e:

4x −3− 4x −2 1 = 1+ = 1+ 4x +2 4x +2 −5 4x +2 Ara, introduïm F(x) = en l’exponent i −5 aplicarem la definició del nombre e:

⎛ = ⎜ lim ⎜ x→− ∞ ⎜ ⎝

b)

=

3

=

x2 6

3 ( x + 2)2

2

⎛ −5 x 2 ⎞ lim ⎜ ⋅ ⎟ ⎝ 4 x+2 6 ⎠

x →+ ∞

4 x + 2 −5 x 2 ⋅ ⋅ −5 4 x + 2 6

⋅( x + 2)⋅

⎛ 2 ⎞ ( x + 2) x + 5 x + 6 lim ⎜ = lim (x + 3)( x + 2) = ⎟ x → −2 ⎝ x → −2 x+2 ⎠

=

x→+ ∞

2 3 x2 +1 ⋅ 3 − x2 ⎤ 3 − x2 2 2 ⎞ ⎥

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

lim

lim (3 x − 8)x − 3 = (lim (3 x − 8)

Així:

1 ⎞ ⎛ = lim ⎜ 1 + + 2⎟ x 4 ⎟ ⎝⎜ −5 ⎠

x → −2

8. Límits

5 − x2

3 − x2 2

Per eliminar la indeterminació, expressem la ba1 : F(x) se de la forma 1 +

1

−1 =

c)

x →3

x →3

lim (3 x − 8)x − 3 = (lim (3 x − 8)

x →3

x

lim

x x −3

= 1∞

139

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 139 C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 140

140 x →−2

1 ⎞ 1 ⎞ x+2 ⎟ ⎛ ⎜1 + 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ x + 2⎠ lim

x →−2

3 x+2

lim

x → −2

3 ( x + 2) ( x + 2)2

=

32. Primerament, hem de determinar el valor del pendent a: a = lim

x→ ± ∞

f (x) x3 − x 2 + 1 = lim = x → ± ∞ 2 x3 − x 2 + 3 x x x3

= e∞

3 3 = ∞ perquè lim = x → −2 x + 2 x+2

x → −2 +

= lim

x→ ± ∞

−

x →−2 +

3 x+2

− −

x2 x3 x2 x3

+ +

1 x3 = 3x x3

1 1 1− + x x3 = lim = 1 3 x→ ± ∞ + x x2 2−

=

3 x+2

x3 2 x3 x3

3 = + ∞ , per tant: x+2 2

x →−2−

= 2

1− 0+ 0 1 = 2−0+0 2

= x→ ± ∞

⎛ x3 − x 2 + 1 x ⎞ = lim ⎜ − ⎟ = x→ ± ∞ ⎝ 2 x2 − x + 3 2⎠ 2 x3 − 2 x 2 + 2 − 2 x3 + x 2 − 3 x 4 x2 − 2 x + 6

x→ ± ∞

lim f(x) = ±∞

= lim

x → x 0+

x→ ± ∞

En trobem tres:

− x2 − 3 x + 2 4 x2 − 2 x + 6

=

=

x→ ± ∞

−

per tots dos costats.

−

−

=

−1 − 0 + 0 1 = − 4−0+0 4

L’asímptota buscada és, doncs, y =

=

8. Límits

⎛ = ⎜ lim ⎜ x → −2 ⎝⎜

=e Ara bé, lim

= − ∞ i lim

3

⎛ x 2 + 5 x + 6 ⎞ ( x + 2) lim lim ⎜ =e ⎟ x+2 ⎝ ⎠

x → −2 −

= e−∞ = 0 3

⎛ 2 ⎞ ( x + 2) lim x + 5 x + 6 lim ⎜ =e ⎟ x+2 ⎝ ⎠

x → −2 +

Ara, podem trobar l’ordenada en l’origen, b: b = lim (f(x) − ax) =

= e+∞ = +∞ Així, que el límit sigui e∞ significa que els límits laterals no coincideixen; és a dir, que no existeix límit. 31. — Asímptotes verticals:

= lim

Hem de buscar en la gràfica els punts x0 en què lim f(x) = ±∞ o

x2 3 x 2 − − + x2 x2 x2 = = lim 4 x2 2 x 6 − 2 + 2 x2 x x

lim f (x) = + ∞ ⎫ ⎪ x → −2 ⎬ ⇒ x = −2 és asímptota vertical lim f (x) = + ∞ ⎪ ⎭ x → −2 +

3 2 −1 − + x x2 = = lim 2 6 x→ ± ∞ + x x2 4−

lim f (x) = − ∞ ⎫ ⎪ x →1 ⎬ ⇒ x = 1 és asímptota vertical per lim f (x) = + ∞ ⎪ ⎭ x →1+

tots dos costats. lim f (x) = − ∞ ⎫ ⎪ x→4 ⎬ ⇒ x = 4 és asímptota vertical lim f (x) = − ∞ ⎪ ⎭ x → 4+

1 1 x− . 2 4

P(x) = Q(x)

— Perquè f (x) =

per tots dos costats. — Asímptotes horitzontals: lim f(x) i veure si és real:

x→ ± ∞

a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a1 x + a 0

b m x m + b m − 1 x m − 1 + … + b1 x + b 0

en què an ≠ 0 i bm ≠ 0, tingui una asímptota obliqua, s’ha de complir que:

lim f(x) = 0 ⇒ y = 0 és asímptota horitzontal per f (x) ∈  − {0} (1) x

1

lim f(x) = 1 ⇒ y = 1 és asímptota horitzontal per

x2 x2 = 6 2 = =

x3 x3 = 3x

x→− ∞

+ + +

+

l’esquerra.

x2 x 2x 2

3x x3 x3 x2 x2

x→+ ∞

− − − −

x → x 0−

b m x m + b m − 1 x m − 1 + … + b1 x + b 0 a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a1 x + a 0 x 4 x2 x3

f (x) x3 − x 2 + 1 = lim = x → ± ∞ 2 x3 − x 2 + 3 x x

Hem de calcular

f (x) ∈  − {0} (1) x

en què an ≠ 0 i bm ≠ 0, tingui una asímptota obliqua, s’ha de complir que: =

P(x) = Q(x) 1 1 x− . 2 4

−1 − 0 + 0 1 = − 4−0+0 4

x→ ± ∞

= lim

2

x2

− x2 − 3 x + 2 4 x2 − 2 x + 6

x→ ± ∞

2 x3 − 2 x 2 + 2 − 2 x3 + x 2 − 3 x x→ ± ∞

Ara, podem trobar l’ordenada en l’origen, b: b = lim (f(x) − ax) = = =

= lim x 3 x→ ± ∞ 2 x 3

= e∞ lim

x→ ± ∞

3 x+2

x→ ± ∞

a = lim =

32. Primerament, hem de determinar el valor del pendent a:

3 ( x + 2) ( x + 2)2

x → −2

a = lim

3 x+2

−

= lim

lim f(x) = ±∞ lim

3 x+2

4 x2 − 2 x + 6

x→ ± ∞

x → x 0+

x →−2 + x →−2−

2

−

lim

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

la dreta.

x→ ± ∞

a = lim

lim f(x) = 0 ⇒ y = 0 és asímptota horitzontal per

lim f(x) = 1 ⇒ y = 1 és asímptota horitzontal per x→ ± ∞

lim f(x) i veure si és real:

— Perquè f (x) =

+

L’asímptota buscada és, doncs, y = =

+ −

x→ ± ∞

3 2 + x x2 = 2 6 4− + 2 x x

−1 −

+

x2

−

lim f(x) = ±∞ o

= +∞

+

=e

1− 0+ 0 1 = 2−0+0 2

=

−

3

1 1 + x x3 = lim = 1 3 x→ ± ∞ 2− + 2 x x 1−

3 = + ∞ , per tant: x+2

x3

3 3 = ∞ perquè lim = x → −2 x + 2 x+2 x →−2

1 ⎞ ⎛ ⎜1 + 1 ⎟ ⎟ ⎜⎝ x + 2⎠

1 x+2

8. Límits

la dreta. x→+ ∞

l’esquerra. x→− ∞

Hem de calcular

— Asímptotes horitzontals: per tots dos costats. lim f (x) = − ∞ ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ x = 4 és asímptota vertical lim f (x) = − ∞ ⎪ x→4 ⎭ x → 4−

lim f (x) = − ∞ ⎫ ⎪ x →1 ⎬ ⇒ x = 1 és asímptota vertical per lim f (x) = + ∞ ⎪ x →1 ⎭ tots dos costats.

= lim

per tots dos costats. lim f (x) = + ∞ ⎫ ⎪ x → −2 ⎬ ⇒ x = −2 és asímptota vertical lim f (x) = + ∞ ⎪ x → −2 ⎭ En trobem tres: x → x 0−

Hem de buscar en la gràfica els punts x0 en què

= lim

31. — Asímptotes verticals:

⎛ x3 − x 2 + 1 x ⎞ = lim ⎜ − ⎟ = x→ ± ∞ ⎝ 2 x2 − x + 3 2⎠

Així, que el límit sigui e∞ significa que els límits laterals no coincideixen; és a dir, que no existeix límit. =e

+∞

⎛ x2 + 5 x + lim ⎜ ⎟ x → −2 ⎝ x+2 ⎠

3 2 6 ⎞ ( x + 2)

= e−∞ = 0 ⎛ x 2 + 5 x + 6 ⎞ ( x + 2) lim lim ⎜ =e ⎟ x → −2 ⎝ x+2 ⎠ x → −2 +

= − ∞ i lim x →−2

Ara bé, lim

=e ⎛ = ⎜ lim ⎜ x → −2 ⎜⎝

140

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 140

C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 141

141 En efecte, demostrem que (1) ⇒ n = m + 1: és asímptota vertical per tots dos costats. x4

⎫ x5 + 2 x2 − 5 −4 = lim = − ∞⎪ x → −1 ⎪ +0 x4 − 1 ⎬ ⇒ x = −1 x5 + 2 x2 − 5 − 4 ⎪ = lim = + ∞⎪ −0 ⎭ x → −1+

x4 − 1

x4

⎫ −2 = + ∞⎪ x →1 ⎪ −0 x −1 ⎬⇒x =1 x5 + 2 x2 − 5 −2 ⎪ = lim = − ∞⎪ x →1 +0 x4 − 1 ⎭ x5 + 2 x2 − 5

lim

−

• n > m + 1: a = lim

x→ ± ∞

= lim

an xn + … + a0

bm x m +1 + … + b0 x an xn

= lim

x4 − 1 = 0 ⇔ x4 = 1 ⇔ x = ±1 = lim

x→ ± ∞

n

x bm x m +1

+…+ +…+

xn an + … +

Queda, doncs, demostrat que la funció només pot tenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, excedeix en una unitat al de Q, m.

lim

x→ ± ∞

bm

x n −(m + 1)

+

és asímptota vertical per tots dos costats. • Asímptotes horitzontals:

a0

x5 + 2 x2 − 5

lim

n

x5

xn

b0

lim x

a = n = ∞ 0

x→ ± ∞

x→ ± ∞

= lim

an

x

x → ± ∞ b x m +1 m m +1

x→ ± ∞

= lim

x m +1

an xn

x4

bm x

m +1

= lim

x→ ± ∞

x

n

m +1

+…+

bm x m +1

= lim

x m +1

+ … + b0 x

=

a an + … + m0+ 1 m + 1− n 0 x x lim = =0 b0 x→ ± ∞ bm bm + … + m x

x→ ± ∞

a = lim

+…+

1−

2 5 1+ − x5 = 1 + 0 − 0 = 1 1− 0

lim

bm

+…+

x5

b0

Queda, doncs, demostrat que la funció només pot tenir una asímptota obliqua si el grau de P, n, excedeix en una unitat al de Q, m. 33. • Asímptotes verticals:

xn

Com que la funció és racional, les asímptotes verticals es troben entre els zeros del denominador:

x→ ± ∞

= lim

xn bm x m +1

a0

x4 − 1 = 0 ⇔ x4 = 1 ⇔ x = ±1

an x

Calculem els límits laterals en x = −1 i x = +1, candidats a asímptotes verticals:

x→ ± ∞

= lim

n

+…+

x5 x

x5 2 x2

−

x5 = 5

• Asímptotes obliqües: =

f(x) no té asímptotes horitzontals. 1+ 0− 0 1 = = ∞ 0−0 0

=

2 5 1+ − x3 x 5 = lim 1 1 − x x5

x→ ± ∞

=

an = ∞ 0

x5 x→ ± ∞

+…+

+

−

x5 + 2 x2 − 5 f (x) = = lim x→ ± ∞ x x5 − x

x→ ± ∞

a = lim

x n −1

a an + … + 0 xn

x5

x→ ± ∞

f (x) P(x) = lim = x → ± ∞ x Q(x) x

x n −(m + 1)

1

5 = lim x

x m +1 = b0 x

an xn + … + a0

=

x4 x5

Aleshores, no es compleix (1). x→ ± ∞

x4 − 1

x m +1

bm x m +1 + … + b0 x

=

x5 + 2 x2 − 5 − x5 + x

• n < m + 1:

Aleshores, no es compleix (1).

x5 + 2 x2 − 5

−

4

f(x) no té asímptotes horitzontals. • Asímptotes obliqües: a = lim

x→ ± ∞

x5 + 2 x2 − 5 f (x) = = lim x→ ± ∞ x x5 − x x5

= lim x

x

= lim

2

x→ ± ∞

x

és asímptota vertical per tots dos costats.

5

− x

−

5 x5 =

x5

5

−

x5 = 1 + 0 − 0 = 1 1− 0

1

1−

x4

⎛ x5 + 2 x2 − 5 ⎞ − x⎟ = b = lim (f (x) − ax) = lim ⎜ 4 x→ ± ∞ x→ ± ∞ ⎝ x −1 ⎠ = lim

x5 + 2 x2 − 5 − x5 + x x4 − 1

x→ ± ∞

= lim

2 x2 + x − 5 x4 − 1

x→ ± ∞

=

+

3

x5

x5

x→ ± ∞

1+

2 x2

+

5

2 x2 = lim

x→ ± ∞

x4

+

x4 x

4

x x4 −

− 1

x4

=

=

5 x4 = 8. Límits

⎫ −4 = − ∞⎪ x → −1 ⎪ +0 x −1 ⎬ ⇒ x = −1 x5 + 2 x2 − 5 −4 ⎪ = lim = + ∞⎪ x → −1 −0 x4 − 1 ⎭ lim

1+ 0− 0 1 = = ∞ 0−0 0

=

a0

x m +1 = b x + … + m0 + 1 x

x5

2 5 − x3 x 5 = 1 1 − x x5

x→ ± ∞

an xn + … + a0

1

−

5

5 x5 =

1+

x n −1

f (x) P(x) = lim = x → ± ∞ x Q(x) x

an x x→ ± ∞

+…+

5

x3

xm

a +…+ 0 x m +1 = 0 = 0 b0 bm

m + 1− n lim x

x

2 ⎛ 5 ⎞ x + x − 2 5 − x⎟ = b = lim (f (x) − ax) = lim ⎜ x→ ± ∞ x→ ± ∞ ⎝ x4 − 1 ⎠

Aleshores, no es compleix (1).

= lim

−

x5

x

• n < m + 1: x→ ± ∞

2 x2

+

5

lim

a = lim

=

x4 − 1

x→ ± ∞

x = b0 x

x→ ± ∞

a0 xn

+…+

=

=

4

Aleshores, no es compleix (1). bm + … +

x4 =

−

2 x2 + x − 5

x→ ± ∞

= lim

Com que la funció és racional, les asímptotes verticals es troben entre els zeros del denominador:

1

x4

x4 − 1

x→ ± ∞

Calculem els límits laterals en x = −1 i x = +1, candidats a asímptotes verticals:

x→ ± ∞

f (x) P(x) = lim = x → ± ∞ x Q(x) x

33. • Asímptotes verticals:

+

2 x2

−

x4

−

x4

x→ ± ∞

= lim

8. Límits

Suposem que n ≠ m + 1. Podria ser:

5 lim x

xn

x5

xn = b0 x

lim

bm x m +1 + … + b0 x an xn + … + a0

=

f (x) P(x) a = lim = lim = x → ± ∞ x Q(x) x x→ ± ∞

• n > m + 1: En efecte, demostrem que (1) ⇒ n = m + 1:

x5

+

2 x2

1 −

x5 = 5

x5 + 2 x2 − 5

=

• Asímptotes horitzontals: és asímptota vertical per tots dos costats. ⎫ x5 + 2 x2 − 5 −2 = = + ∞⎪ lim x →1 ⎪ −0 ⎬⇒x =1 −2 ⎪ = − ∞⎪ +0 ⎭ x →1+

lim

−

Suposem que n ≠ m + 1. Podria ser:

x5

x4 − 1

x→ ± ∞

a0

x4

−

x4 − 1

x4 − 1 x5 + 2 x2 − 5

=

141

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 141 C M Y K

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 142

142 2

+

1 x3

1−

5 ⋅ 83 50 + 82

−

5 x4

1

=

0+0−0 =0 1− 0

x4

L’equació de l’asímptota obliqua és A(t) = = 5 t + 20. d) A(10) = 70 Així, el valor aproximat de la població és de 70 milions d’habitants. Calculem l’error absolut: Ea = 52 456 140 − 70 000 000 = 17 543 860

5 (−2)3 50 + (−2)2

P(10) =

8. Límits

2 = lim x x→ ± ∞

La recta y = x és una asímptota obliqua de f per tots dos costats. 34. a) P(0) =

+ 30 = 29, 259 259 e)

Per tant, la població actual és de 29 259 259 habitants.

b)

Er =

17 543 860 ⋅ 100 = 33% 52 456 140

f) P(100) = 517,462 192 Així, el nombre d’habitants d’aquí a 100 anys serà de 517 462 192.

+ 30 = 52, 456 140

A(100) = 520,000 000 Per tant, la població al cap de 10 anys serà de 52 456 140 habitants.

c)

Així, el nombre aproximat d’habitants d’aquí a 100 anys serà de 520 000 000.

P(t ) lim = = t

Calculem l’error absolut:

t→+ ∞

Ea = 517 462 192 − 520 000 000 = 2 537 808

⎡ 5 (t 3 − 6 t 2 + 12 t − 8) 30 ⎤ + = lim ⎢ ⎥= 5 2 t→+ ∞ ⎢ t ⎥⎦ ⎣ t (t − 4 t + 54)

Calculem l’error relatiu: Er =

lim (P(t) − 5 t) =

t → +∞

2 537 808 ⋅ 100 = 0, 5% 517 462 192

g) La població creix de manera que el nombre dels seus individus s’apropa cada cop més al costat per l’asímptota.

2 537 808 ⋅ 100 = 0, 5% 517 462 192

⎛ 5 t 3 − 30 t 2 + 60 t − 40 − 5 t 3 + 20 t 2 − 270 t ⎞ + 30 ⎟ = = lim ⎜ t 2 − 4 t + 54 ⎝⎜ ⎠⎟

36. Activitat TIC 35. Activitat TIC g) La població creix de manera que el nombre dels seus individus s’apropa cada cop més al costat per l’asímptota. Er =

Calculem l’error relatiu: Ea = 517 462 192 − 520 000 000 = 2 537 808

t →+ ∞

P(t ) = t

35. Activitat TIC

lim =

36. Activitat TIC

t→+ ∞

⎛ −10 t 2 − 210 t − 40 ⎞ + 30 ⎟ = 20 = lim ⎜ t →+ ∞ ⎝ t 2 − 4 t + 54 ⎠

⎛ −10 t 2 − 210 t − 40 ⎞ + 30 ⎟ = 20 = lim ⎜ 2 t →+ ∞ ⎝ t − 4 t + 54 ⎠ ⎛ 5 t 3 − 30 t 2 + 60 t − 40 − 5 t 3 + 20 t 2 − 270 t ⎞ ⎟= + 30 = lim ⎜ t →+ ∞ ⎜ ⎟⎠ t 2 − 4 t + 54 ⎝ t → +∞

lim (P(t) − 5 t) = ⎡ 5 (t 3 − 6 t 2 + 12 t − 8) 30 ⎤ + = lim ⎢ ⎥= 5 2 t→+ ∞ ⎢ t ⎥⎦ ⎣ t (t − 4 t + 54)

c)

Per tant, la població al cap de 10 anys serà de 52 456 140 habitants.

Calculem l’error absolut: Així, el nombre aproximat d’habitants d’aquí a 100 anys serà de 520 000 000. A(100) = 520,000 000

P(10) =

50 + 8

2

5 ⋅ 83

+ 30 = 52, 456 140

50 + (−2)2

Així, el nombre d’habitants d’aquí a 100 anys serà de 517 462 192. f) P(100) = 517,462 192 e)

Er =

17 543 860 ⋅ 100 = 33% 52 456 140

+ 30 = 29, 259 259 Ea = 52 456 140 − 70 000 000 = 17 543 860

1− +

x

x4 1 3

1

−

x

4

5

0+0−0 = =0 1− 0

Calculem l’error absolut: Així, el valor aproximat de la població és de 70 milions d’habitants. d) A(10) = 70

8. Límits

b)

Per tant, la població actual és de 29 259 259 habitants. 34. a) P(0) =

5 (−2)3

La recta y = x és una asímptota obliqua de f per tots dos costats. x→ ± ∞

= lim x

2

2

L’equació de l’asímptota obliqua és A(t) = = 5 t + 20.

142

08 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

12:56

Página 142

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

143

13:01

Página 143

9 Continuïtat

x→ −5−

1. Veurem que es verifiquen les tres condicions de continuïtat a x0:

= lim (x2 − 2) = (−5)2 − 2 = 23 x→ −5−

lim g(x) =

1. CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

9. Continuïtat

27/5/09

C2: Com que g té una expressió analítica diferent a cada costat de x0 = −5, hem de calcular el límit de g en x0 a partir dels límits laterals.

x1 = −2 , x2 = 0 , x3 = 5 Els zeros de la funció són, doncs,

b) C1: g(−5) = −5 + 8 = 3 ⎧x = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎧ x = −2 2 ⎪ x − 3 x − 10 = 0 ⇔ ⎨ x = 5 ⎩ ⎩

PREPARACIÓ DE LA UNITAT •

a) C1: f(0) =

x3 + 4 x2 − 2 x = 8 ⇔ x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = 0

0 = x3 − 3 x2 − 10 x = x(x2 − 3 x − 10) ⇔

i si factoritzem el membre de l’esquerra utilitzant el mètode de Ruffini:

Per a la qual cosa factoritzem el membre de la dreta:

1

0 = f(x) = x3 − 3 x2 − 10 x

−4 1

4 −4

−2 0

−8 8

0

−2

0

⇒

•

⇒ x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = (x + 4) (x2 − 2) Per tant, l’última equació es pot escriure: ⎪⎧ x + 4 = 0 ⇔ x = −4 (x + 4) ⋅ (x 2 − 2) = 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪ x − 2 = 0 ⇔ x = ± 2

a) C1: Com que f és una funció racional i el seu denominador s’anul·la en x0 = −5, f no està definida en x0 i, per tant, no es compleix C1. 2. Per a veure que una funció no és contínua en x0, només cal veure que no es compleix alguna de les condicions en x0:

Hem de buscar els valors de x per als quals es compleix l’equació:

Per tant, g és contínua en x0 = 0. C3:

x →0

lim g(x) = −1 = g(0) x →0

f(x) = F(x) − c = x3 + 4 x2 − 2 x − 8 Segons el que s’ha explicat teòricament, una funció f els zeros de la qual coincideixen amb els de les solucions de l’equació F(x) = c és: x1 = − 4 , x2 = − √ 2 , x3 = √ 2

⎯

⎫ = −3 ⎪ ⎪ ⎬⇒ lim f (x) = lim 2 = −3 ⎪ x→0 x + 2 ⎪⎭ C2: x → 0 x → 0−

x → 0−

+

+

C2: ⇒ C3:

x2 + 2 x−6

lim f(x) = −3

x →0

lim f(x) = f(0) = −3

x →0

Per tant, f és contínua en x0 = 0. 1 = −1 0−1

⎯

⎯

x1 = − 4 , x2 = − √ 2 , x3 = √ 2

1 1 ⎫ = = −1 ⎪ x −1 0−1 ⎬⇒ lim g(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 0 − 1 = −1⎪ x→0 x→0 ⎭

C2: lim g(x) = lim x → 0−

x → 0−

+

+

⇒ lim g(x) = −1

Per tant, l’última equació es pot escriure: ⎪⎧ x + 4 = 0 ⇔ x = −4 (x + 4) ⋅ (x 2 − 2) = 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪ x − 2 = 0 ⇔ x = ± 2

f(x) = F(x) − c = x3 + 4 x2 − 2 x − 8

⇒ x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = (x + 4) (x2 − 2) 1 −4

Hem de buscar els valors de x per als quals es compleix l’equació: 0 = f(x) = x − 3 x − 10 x

1

−2

0 4 −4

−2 0

x →0

C3:

lim g(x) = −1 = g(0)

x →0

Per tant, g és contínua en x0 = 0.

2

Per a la qual cosa factoritzem el membre de la dreta:

0 −8 8

⇒

i si factoritzem el membre de l’esquerra utilitzant el mètode de Ruffini:

0 = x3 − 3 x2 − 10 x = x(x2 − 3 x − 10) ⇔ •

⇒ lim g(x) = −1 1 1 ⎫ C2: lim g(x) = lim = = −1 ⎪ x→0 x→0 x − 1 0−1 ⎬⇒ lim g(x) = lim (2 x − 1) = 2 ⋅ 0 − 1 = −1⎪ x→0 ⎭ +

x → 0+

−

−

⎯

Les solucions de l’equació són, doncs,

Segons el que s’ha explicat teòricament, una funció f els zeros de la qual coincideixen amb els de les solucions de l’equació F(x) = c és:

3

x−6

C2: lim f (x) = lim

b) C1: g(0) =

Les solucions de l’equació són, doncs,

•

−6 = −3 +2

⎧x = 0 ⎪ ⇔ ⎨ 2 ⎧ x = −2 ⎪ x − 3 x − 10 = 0 ⇔ ⎨ x = 5 ⎩ ⎩

2. Per a veure que una funció no és contínua en x0, només cal veure que no es compleix alguna de les condicions en x0: a) C1: Com que f és una funció racional i el seu denominador s’anul·la en x0 = −5, f no està definida en x0 i, per tant, no es compleix C1.

b) C1: g(0) =

1 = −1 0−1

Per tant, f és contínua en x0 = 0. C3:

x →0

lim f(x) = f(0) = −3 x →0

C2: ⇒

lim f(x) = −3

x−6 ⎫ = −3 ⎪ C2: lim f (x) = lim x→0 x→0 x2 + 2 ⎪ ⎬⇒ x−6 = −3 ⎪ ⎭⎪ C2:

x → 0+

x → 0+

lim f (x) = lim −

x2 + 2

−

x3 + 4 x2 − 2 x = 8 ⇔ x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = 0 a) C1: f(0) =

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

−6 = −3 +2

b) C1: g(−5) = −5 + 8 = 3 Els zeros de la funció són, doncs, x1 = −2 , x2 = 0 , x3 = 5

C2: Com que g té una expressió analítica diferent a cada costat de x0 = −5, hem de calcular el límit de g en x0 a partir dels límits laterals.

1. CONTINUÏTAT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT 1. Veurem que es verifiquen les tres condicions de continuïtat a x0:

= lim (x2 − 2) = (−5)2 − 2 = 23 x→ −5−

9. Continuïtat

9 Continuïtat 09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 143 C M Y K

lim g(x) =

x→ −5−

143

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 144

144 lim g(x) = lim (x + 8) = −5 + 8 = 3 x→ −5+

x→ −5+

x→ −5−

x→ −5

x → 0−

• f (0) = 0 − 2 = −2 ⎪⎫ ⇒ lim f (x) = lim (x − 2) = 0 − 2 = −2 ⎬ x→0 ⎭⎪ x → 0+

+

⇒ f és contínua per la dreta en a = 0.

−

⇒ f no és contínua per l’esquerra en b = 3. Així, f és contínua en l’interval [0, 3). b) Hem de estudiar la continuïtat de g en l’interior de l’interval, (1, +∞), i la seva continuïtat lateral en a = 1.

x = x

−

x → 0+

+

+

• x0 ∈ (1, + ∞): lim g(x) = lim

x → x0

x → x0

⎯⎯ ⎯⎯⎯

⎯⎯ ⎯⎯⎯

√ x − 1 = √ x0 − 1 = g(x0)

Per tant, g és contínua en (1, + ∞).

x→1+

=

x→1+

lim (x − 1) =

x →1+

⎯⎯ ⎯⎯⎯

√x − 1= 0 = 0 = g(1)

Per tant, g és contínua per la dreta en a = 1.

= 0.

Així, g és contínua en l’interval [1, + ∞). c) Per estudiar la continuïtat de h en [−2, 2], primerament l’expressarem com una funció definida a trossos:

lim (−x) =

x→ −1−

x→ 3−

si x ∈ [−2, 0] si x ∈ (0, 2]

La funció h és contínua en (−2, 2), ja que:

x→ 3+

• Si x0 ∈ (−2, 0], lim h(x) = lim −x2 = −x02 = h(x0)

x → x0

x → x0

• Si x0 ∈ (0, 2),

Com que f és contínua lateralment en x0 = 3, f és contínua en aquest punt.

lim h(x) = lim x2 = x02 = h(x0)

x → x0

x → x0

Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta de a = −2 i per l’esquerra de b = 2: • En a = −2, tenim: lim h(x) = lim −x2 = −4

h(−2) = −4 i

x→ −2+

x→ −2+

9. Continuïtat

x→ −5+

Com que lim g(x) = 23 ≠ 3 = lim g(x), no existeix lim g(x), i per tant, no es compleix C2; llavors g no és contínua a x0 = −5.

2 • f (3) = 3 − 11 = −2 ⎪⎫ ⇒ lim f (x) = lim (x − 2) = 3 − 2 = 1⎪⎬ x →3 ⎭ x → 3−

3. Calculem els límits laterals de f en x0 = 0, recordant que la funció valor absolut es definia a trossos: ⎧ x si x ≥ 0 x = ⎨ ⎩ − x si x < 0 lim f (x) = lim

x → 0−

x = lim = lim (−1) = −1 −x x→0 x → 0−

x x = lim = lim 1 = 1 x→0 x x→0 x

lim f (x) = lim

x → 0+

• a = 1:

Com que f(0) = −1, tenim:

lim g(x) = lim

lim f(x) = −1 = f(0) ⇒ f és contínua per l’es-

x → 0−

querra en x0 = 0. lim = 1 ≠ −1 = f(0) ⇒ f no és contínua per la

x → 0+

dreta en

x0

4. • x0 = −1: f(−1) = −1 − 1 = −2 lim f(x) =

x→ −1−

= −(−1) = 1 ≠ −2 = f(−1) ⇒

⎧ x(− x) si x ∈ [−2, 0] ⇔ h(x) = ⎨ si x ∈ (0, 2] ⎩x ⋅ x

⇒ f no és contínua per l’esquerra en x0 = −1, per tant, no és contínua en aquest punt.

2 ⎪⎧ − x ⇔ h(x) = ⎨ 2 ⎩⎪ x

• x0 = 3: f(3) = −32 + 2 ⋅ 3 + 5 = 2 lim f(x) = lim (x − 1) = 3 − 1 = 2 = f(3) ⇒

x→ 3−

⇒ f és contínua per l’esquerra en x0 = 3. lim f(x) = lim (−x2 + 2 x + 5) =

x→ 3+

= −32 + 2 ⋅ 3 + 5 = 2 = f(3) ⇒ f

⎯⎯ ⎯⎯⎯

és contínua per la dreta en x0 = 3.

x→ −2+

lim h(x) = lim −x2 = −4 si x ∈ (0, 2] si x ∈ [−2, 0] 0 = 0 = g(1)

√x − 1=

5. a) Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior de l’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en els extrems, a = 0 i b = 3:

x → x0

x → x0

⎯⎯ ⎯⎯⎯

• Si x 0 és un punt qualsevol de l’interval (0, 3), lim f(x) = lim (x − 2) = x0 − 2 = f(x0), ales-

x→ −2+ x → x0

lim h(x) = lim x2 = x02 = h(x0) x → x0

lim h(x) = lim −x2 = −x02 = h(x0) lim (x − 1) = x→1

+

Per tant, g és contínua en (1, + ∞). ⎯⎯ ⎯⎯⎯

Per tant, h és contínua per la dreta en a = −2.

+

√ x − 1 = √ x0 − 1 = g(x0)

+

x → x0

+

lim g(x) = lim

• x0 ∈ (1, + ∞): ⇒ f no és contínua per l’esquerra en b = 3. −

⇒ f és contínua per la dreta en a = 0. +

x → x0

Per tant, h és contínua per la dreta en a = −2. h(−2) = −4 i • En a = −2, tenim: Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta de a = −2 i per l’esquerra de b = 2: x → x0

• Si x0 ∈ (0, 2), x → x0

⎧⎪ − x 2 ⇔ h(x) = ⎨ 2 ⎩⎪ x

⎧ x(− x) si x ∈ [−2, 0] ⇔ h(x) = ⎨ si x ∈ (0, 2] ⎩x ⋅ x c) Per estudiar la continuïtat de h en [−2, 2], primerament l’expressarem com una funció definida a trossos: x →1+

x→1

+

lim g(x) = lim

• a = 1:

+

−

x = x

Així, f és contínua en l’interval [0, 3). x→ −5

• f (0) = 0 − 2 = −2 ⎪⎫ ⇒ lim f (x) = lim (x − 2) = 0 − 2 = −2 ⎬ ⎪⎭ x→0 x→0

hores és contínua en l’interval (0, 3).

x → x0

x→ 3+

• Si x0 ∈ (−2, 0], La funció h és contínua en (−2, 2), ja que:

x→ 3−

x→ −1−

lim (−x) =

Per tant, g és contínua per la dreta en a = 1.

lim = 1 ≠ −1 = f(0) ⇒ f no és contínua per la lim f(x) = −1 = f(0) ⇒ f és contínua per l’es+

−

x → 0−

lim f (x) = lim x→ −5

+

x→ −5+

lim g(x) = lim (x + 8) = −5 + 8 = 3

9. Continuïtat

hores és contínua en l’interval (0, 3). x → x0

• Si x 0 és un punt qualsevol de l’interval (0, 3), lim f(x) = lim (x − 2) = x0 − 2 = f(x0), ales5. a) Hem d’estudiar la continuïtat de f en l’interior de l’interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en els extrems, a = 0 i b = 3: Com que f és contínua lateralment en x0 = 3, f és contínua en aquest punt. és contínua per la dreta en x0 = 3. = −32 + 2 ⋅ 3 + 5 = 2 = f(3) ⇒ f x→ 3+

lim f(x) = lim (−x2 + 2 x + 5) =

⇒ f és contínua per l’esquerra en x0 = 3. x→ 3−

lim f(x) = lim (x − 1) = 3 − 1 = 2 = f(3) ⇒

• x0 = 3: f(3) = −32 + 2 ⋅ 3 + 5 = 2 ⇒ f no és contínua per l’esquerra en x0 = −1, per tant, no és contínua en aquest punt. = −(−1) = 1 ≠ −2 = f(−1) ⇒ x→ −1−

lim f(x) =

4. • x0 = −1: f(−1) = −1 − 1 = −2

Així, g és contínua en l’interval [1, + ∞). dreta en x0 = 0. x → 0+

=

querra en x0 = 0. x → 0−

Com que f(0) = −1, tenim: x = lim (−1) = −1 x→0 −x x→0 x x lim f (x) = lim = lim = lim 1 = 1 x→0 x→0 x x→0 x x→0 = lim

x → 0−

b) Hem de estudiar la continuïtat de g en l’interior de l’interval, (1, +∞), i la seva continuïtat lateral en a = 1.

⎧ x si x ≥ 0 x = ⎨ ⎩ − x si x < 0 3. Calculem els límits laterals de f en x0 = 0, recordant que la funció valor absolut es definia a trossos:

2 ⎫⎪ • f (3) = 3 − 11 = −2 ⇒ lim f (x) = lim (x − 2) = 3 − 2 = 1⎬⎪ x →3 x →3 ⎭ −

C2; llavors g no és contínua a x0 = −5. x→ −5

existeix lim g(x), i per tant, no es compleix −

Com que lim g(x) = 23 ≠ 3 = lim g(x), no x→ −5+

144

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 144

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 145

145 coincideix amb f en el domini d’aquesta última i és contínua en x0 = −1.

x−5=0 ⇔ x=5

h(2) = 4 i

x+3 Si x 0 > −2, g(x) = és una funció racional, x−5 per tant, és contínua en el seu domini, que és el conjunt de punts en què no s’anul·la el seu denominador, i discontínua en els altres punts, és a dir, en els zeros del seu denominador: per tant, g és contínua en x0. x → x0

x +1 ⎧ si x ∈ D(f ) =  − {−1, 2} ⎪⎪ f (x) = 2 x −x−2 g(x) = ⎨ ⎪ lim f (x) = − 1 si x = −1 3 ⎩⎪ x → −1

lim h(x) = lim x2 = 4

x→ 2−

Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g en x0 = 5:

x→ 2−

x+3 ⎫ = + ∞⎪ ⎪ x−5 ⎬⇒ x+3 = − ∞⎪ lim g(x) = lim ⎪⎭ x→5 x→5 x − 5 lim g(x) = lim

Aleshores h és contínua per l’esquerra en b = 2. Per tant, la funció h és contínua en [−2, 2]. 6. a) Com que f és una funció racional, és contínua en el seu domini, és a dir, en el conjunt de punts en els quals no s’anul·la el seu denominador. I és discontínua en els punts que no pertanyen al seu domini, ja que no es compleix C1. Calculem aquests punts: x2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 2 o x = 3

x → 5+

x → 5+

−

−

⇒ g presenta en x0 = 5 una discontinuïtat no evitable de salt infinit. Falta estudiar la continuïtat en x0 = −2: lim g(x) = lim (x + 4) = −2 + 4 = 2 ⎫ x → −2 ⎪ 1⎬ ⇒ x+3 −2 + 3 lim g(x) = lim = = − ⎪ x → −2 x → −2 x − 5 7⎭ −2 − 5 x → −2 −

−

+

+

⇒ no es compleix C2, perquè

Si definim la funció g de la forma:

x → x0

lim g(x) = lim (x + 4) = x0 + 4 = g(x0)

per tant, es compleix C2.

b) Si x0 < −2,

x → −1

⇒ lim f (x) = −

⇒ f té una discontinuïtat de salt infinit en x0 = 3.

Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f en aquests punts hem de veure si es compleix o no C2, i per què no es compleix si la resposta és negativa:

x−2 ⎫ lim f (x) = lim 2 =⎪ x →3 x →3 x − 5 x + 6 ⎪ ⎪ x−2 = −∞ ⎪ = lim x → 3 (x − 2) (x − 3) ⎪ ⎬⇒ x−2 =⎪ lim f (x) = lim 2 x →3 x →3 x − 5 x + 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ x → 3+

= lim

lim g(x) = 2 ≠ −

x → −2 −

1 = lim g(x) 7 x → −2 +

x−2 = +∞ (x − 2) (x − 3)

+

C2:

x−2

lim f (x) = lim

x→2

x2 − 5 x + 6

x→2

+

−

= lim

C2:

−

x→2

=

x−2 = −1 (x − 2) (x − 3)

Així, es compleix C2, per tant, f presenta en x0 = 2 una discontinuïtat evitable

x→2

= lim x→2

1 3

x +1 ⎫ lim f (x) = lim 2 = ⎪ x → −1 x → −1 2 x − x − ⎪ x +1 1 1⎪ = = − = lim x → −1 (x + 1) (x − 2) −1 − 2 3 ⎪⎪ ⎬⇒ x +1 ⎪ = lim f (x) = lim x → −1 x → −1 x 2 − x − 2 ⎪ ⎪ 1 x +1 1 = = − ⎪ 3 ⎭⎪ (x + 1) (x − 2) −1 − 2 x → −1+

= lim +

+

−

−

−

−

Així, es compleix C2, per tant, f presenta en x0 = 2 una discontinuïtat evitable

C2:

x−2

⎫ =⎪ ⎪ ⎪ x−2 = −∞ ⎪ = lim x → 3 (x − 2) (x − 3) ⎪ ⎬⇒ x−2 =⎪ lim f (x) = lim 2 x →3 x →3 x − 5 x + 6 ⎪ ⎪ x−2 ⎪ = lim = +∞ ⎪ x → 3 (x − 2) (x − 3) ⎭ lim f (x) = lim

x → 3−

x → 3−

x2 − 5 x + 6

−

C2:

9. Continuïtat

• En b = 2, tenim:

x−2 = −1 (x − 2) (x − 3) x→2

lim f (x) = lim

x2 − 5 x + 6 x−2

=

Per veure que la discontinuïtat a x0 = −1 és evitable, hem de veure si es compleix C2: 7. Com que x0 = −1 és un zero del denominador, aleshores (−1)2 − (−1) − 2 = 0, −1 no pertany al domini de f, ja que no es compleix C1, i per tant, f és discontínua en x0 = −1. Per tant, g presenta una discontinuïtat de salt finit en x0 = −2.

+

+

Per veure quin tipus de discontinuïtat presenta f en aquests punts hem de veure si es compleix o no C2, i per què no es compleix si la resposta és negativa:

+

Per tant, g presenta una discontinuïtat de salt finit en x0 = −2. 7. Com que x0 = −1 és un zero del denominador, aleshores (−1)2 − (−1) − 2 = 0, −1 no pertany al domini de f, ja que no es compleix C1, i per tant, f és discontínua en x0 = −1. Per veure que la discontinuïtat a x0 = −1 és evitable, hem de veure si es compleix C2: x +1 ⎫ = ⎪ x2 − x − 2 ⎪ x +1 1 1⎪ = = − ⎪ = lim x → −1 (x + 1) (x − 2) −1 − 2 3⎪ ⎬⇒ x +1 ⎪ = lim f (x) = lim 2 x → −1 x → −1 x − x − 2 ⎪ ⎪ 1 x +1 1 = lim = = − ⎪ x → −1 (x + 1) (x − 2) −1 − 2 3 ⎪⎭ lim f (x) = lim

x → −1−

x → −1−

−

+

+

x → −2 −

lim g(x) = 2 ≠ −

x2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 2 o x = 3 6. a) Com que f és una funció racional, és contínua en el seu domini, és a dir, en el conjunt de punts en els quals no s’anul·la el seu denominador. I és discontínua en els punts que no pertanyen al seu domini, ja que no es compleix C1. Calculem aquests punts: Per tant, la funció h és contínua en [−2, 2].

⇒ lim f (x) = − x → −1

b) Si x0 < −2, lim g(x) = lim (x + 4) = x0 + 4 = g(x0)

x → x0

x → x0

per tant, g és contínua en x0. x+3 és una funció racional, x−5 per tant, és contínua en el seu domini, que és el conjunt de punts en què no s’anul·la el seu denominador, i discontínua en els altres punts, és a dir, en els zeros del seu denominador: Si

x 0 > −2, g(x) =

x−5=0 ⇔ x=5

1 3

per tant, es compleix C2. Si definim la funció g de la forma: x +1 ⎧ si x ∈ D(f ) =  − {−1, 2} ⎪⎪ f (x) = 2 x −x−2 g(x) = ⎨ ⎪ lim f (x) = − 1 si x = −1 ⎪⎩ x → −1 3

coincideix amb f en el domini d’aquesta última i és contínua en x0 = −1.

9. Continuïtat

h(2) = 4 i

x→ 2−

x→ 2−

lim h(x) = lim x2 = 4

• En b = 2, tenim:

+

lim g(x) = lim (x + 4) = −2 + 4 = 2 ⎫ x → −2 x → −2 ⎪ 1⎬ ⇒ x+3 −2 + 3 = = − ⎪ 7⎭ x−5 −2 − 5 x → −2 +

x → −2 +

lim g(x) = lim −

−

Falta estudiar la continuïtat en x0 = −2: ⇒ g presenta en x0 = 5 una discontinuïtat no evitable de salt infinit. x+3 ⎫ lim g(x) = lim = + ∞⎪ ⎪ x→5 x→5 x − 5 ⎬⇒ x+3 = − ∞⎪ x−5 ⎭⎪ x → 5−

Aleshores h és contínua per l’esquerra en b = 2.

1 = lim g(x) 7 x → −2

⇒ no es compleix C2, perquè

+

⇒ f té una discontinuïtat de salt infinit en x0 = 3.

x → 5−

lim g(x) = lim +

+

Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g en x0 = 5:

145

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 145 C M Y K

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 146

146 10. Les solucions de l’equació x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = 0 coincideixen exactament amb els zeros de la funció:

Per tant, i = g  f és contínua en tots els punts x0 en els quals g és contínua en f(x0) = x0 + 3, és a dir, en els punts tals que

∃ c ∈ (2, 3) tal que f(c) = 0, per tant, f talla l’eix d’abscisses en c ∈ (2, 3), que és el que volíem demostrar.

d) i(x) = log (x + 3) és la composició de la funció f(x) = x + 3, polinòmica i, per tant, contínua en , amb la funció g(x) = log x, contínua en (0, + ∞).

Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema: x2 − 1 c) h(x) = es una funció racional; per tant, és x+6 contínua en el seu domini, és a dir, en  − {−6}. b) g(x) = x ex és el producte de la funció identitat, x, contínua en , per la funció exponencial de base el nombre e, ex, contínua en , per tant, g és contínua en . 8. a) f(x) = (x − 5)3 = x3 − 15 x2 + 75 x − 125 és una funció polinòmica, perquè és contínua en el seu domini, D(f) = . 2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES

f(3) = 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ 3 − 5 = 4 > 0 f(2) = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 − 5 = −3 < 0 • f pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval: • f és una funció polinòmica; per tant, és contínua en tot  i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3]. 9. Vegem que f(x) = 2 x2 − 3 x − 5 compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:

9. Continuïtat

f(x) = x3 + 4 x2 − 2 x − 8

f(2) = e2 − 3  7,39 − 3 = 4,39 > 0

x0

f(1) = e1 − 3  2,71 − 3 = −0,29 < 0

+3>0 ⇔

• Les imatges dels extrems de l’interval tenen diferent signe:

+ 3 ∈ (0, + ∞) ⇔

Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera: • f(x) = ex − 3 és la diferència de dues funcions contínues en ; per tant, és contínua en ; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

x0

Veiem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, en l’interval [1, 2]:

x0

11. El teorema de Bolzano ens dóna un criteri de l’existència d’arrels en un interval obert, que és el primer que volem demostrar.

⇔ x0 > −3 ⇔ x0 ∈ (−3, + ∞)

Demostrar, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció f(x) = x3 + 4 x2 − 2 x − 8 té un zero en l’interval (1, 2).

Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: ∃ c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0, que és el que volíem demostrar.

Així, i és contínua en l’interval (−3, + ∞).

Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en l’interval [1, 2]:

Així mateix, la funció cosinus és contínua en , ja que k és producte de dues funcions contínues en  i, per tant, és contínua en .

f(2) = 23 + 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 8 = 12 > 0

⎯⎯ ⎯⎯⎯

La funció f(x) = sin x2 és la composició de la funció f1(x) = x2, contínua en , amb la funció f2(x) = sin x contínua en . Per tant, la funció f és contínua en .

• f és una funció polinòmica, per tant, és contínua en ; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

f) k(x) = sin x ⋅ cos x, aquesta funció és el producte de les funcions f(x) = sin x2 i g(x)= cos x. 2

f(1) = 13 + 4 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1 − 8 = −5 < 0

e) j(x) = x 3 − √ x + 1 és la suma de la funció f(x) = x3, polinòmica i, per tant, contínua en , ⎯⎯ ⎯⎯⎯ amb la funció g(x) = −√ x + 1.

Aleshores g = f2  f1 és contínua en [−1, + ∞) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [−1, + ∞).

• f pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval:

• f pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval:

⇔ x0 + 1 ≥ 0 ⇔ x0 ≥ −1 ⇔ x0 ∈ [−1, + ∞)

• f és una funció polinòmica, per tant, és contínua en ; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

⎯⎯ ⎯⎯⎯

f1(x0) = x0 + 1 ∈ [0, + ∞) ⇔

Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en l’interval [1, 2]:

Així, serà contínua en tots aquells punts en els quals g ho sigui.⎯⎯ Hem d’estudiar, doncs, la continuïtat de ⎯⎯⎯ g(x) = −√ x + 1.

La funció g(x)= −√ x + 1 és la composició de la = x + 1, contínua en , amb la funció funció f1(x) ⎯ f2(x) = −√ x, contínua en [0, + ∞); per tant, g serà contínua en els punts x0 en els quals f2 sigui contínua en f1(x0) = x0 + 1, és a dir, en els quals:

f(1) = 13 + 4 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1 − 8 = −5 < 0

⎯⎯ ⎯⎯⎯

f(2) = 23 + 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 8 = 12 > 0

Així, serà contínua en tots aquells punts en els quals g ho sigui.⎯⎯ Hem d’estudiar, doncs, la continuïtat de ⎯⎯⎯ g(x) = −√ x + 1.

Demostrar, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció f(x) = x3 + 4 x2 − 2 x − 8 té un zero en l’interval (1, 2).

La funció g(x)= −√ x + 1 és la composició de la = x + 1, contínua en , amb la funció funció f1(x) ⎯ f2(x) = −√ x, contínua en [0, + ∞); per tant, g serà contínua en els punts x0 en els quals f2 sigui contínua en f1(x0) = x0 + 1, és a dir, en els quals:

⎯⎯ ⎯⎯⎯

e) j(x) = x 3 − √ x + 1 és la suma de la funció f(x) = x3, polinòmica i, per tant, contínua en , ⎯⎯ ⎯⎯⎯ amb la funció g(x) = −√ x + 1.

Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano, es compleix la tesi: ∃ c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0, que és el que volíem demostrar.

Així, i és contínua en l’interval (−3, + ∞).

Per tant, podem reformular l’enunciat de la manera:

f1(x0) = x0 + 1 ∈ [0, + ∞) ⇔

⇔ x0 > −3 ⇔ x0 ∈ (−3, + ∞)

f(x) = x3 + 4 x2 − 2 x − 8

⇔ x0 + 1 ≥ 0 ⇔ x0 ≥ −1 ⇔ x0 ∈ [−1, + ∞)

x0 + 3 ∈ (0, + ∞) ⇔ x0 + 3 > 0 ⇔

11. El teorema de Bolzano ens dóna un criteri de l’existència d’arrels en un interval obert, que és el primer que volem demostrar.

10. Les solucions de l’equació x3 + 4 x2 − 2 x − 8 = 0 coincideixen exactament amb els zeros de la funció:

Aleshores g = f2  f1 és contínua en [−1, + ∞) i, per tant, la funció j és contínua en l’interval [−1, + ∞).

Per tant, i = g  f és contínua en tots els punts x0 en els quals g és contínua en f(x0) = x0 + 3, és a dir, en els punts x0 tals que

Veiem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, en l’interval [1, 2]:

∃ c ∈ (2, 3) tal que f(c) = 0, per tant, f talla l’eix d’abscisses en c ∈ (2, 3), que és el que volíem demostrar.

f) k(x) = sin x2 ⋅ cos x, aquesta funció és el producte de les funcions f(x) = sin x2 i g(x)= cos x.

Per tant, es compleix la tesi d’aquest teorema: d) i(x) = log (x + 3) és la composició de la funció f(x) = x + 3, polinòmica i, per tant, contínua en , amb la funció g(x) = log x, contínua en (0, + ∞).

• f(x) = ex − 3 és la diferència de dues funcions contínues en ; per tant, és contínua en ; en particular, és contínua en l’interval [1, 2].

f(3) = 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ 3 − 5 = 4 > 0

• Les imatges dels extrems de l’interval tenen diferent signe:

f(2) = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 − 5 = −3 < 0

La funció f(x) = sin x2 és la composició de la funció f1(x) = x2, contínua en , amb la funció f2(x) = sin x contínua en . Per tant, la funció f és contínua en .

x2 − 1 es una funció racional; per tant, és x+6 contínua en el seu domini, és a dir, en  − {−6}. h(x) =

• f pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval:

f(1) = e1 − 3  2,71 − 3 = −0,29 < 0

c)

• f és una funció polinòmica; per tant, és contínua en tot  i, en particular, és contínua en l’interval [2, 3].

f(2) = e2 − 3  7,39 − 3 = 4,39 > 0

b) g(x) = x ex és el producte de la funció identitat, x, contínua en , per la funció exponencial de base el nombre e, ex, contínua en , per tant, g és contínua en .

9. Vegem que f(x) = 2 x2 − 3 x − 5 compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en l’interval [2, 3]:

9. Continuïtat

8. a) f(x) = (x − 5)3 = x3 − 15 x2 + 75 x − 125 és una funció polinòmica, perquè és contínua en el seu domini, D(f) = .

3. TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT Així mateix, la funció cosinus és contínua en , ja que k és producte de dues funcions contínues en  i, per tant, és contínua en .

2. PROPIETATS DE LES FUNCIONS CONTÍNUES

3. TEOREMES RELATIUS A LA CONTINUÏTAT

146

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 146

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 147

147 ⎧a − b = 3 3 3 ⇒a = ,b = − ⎨ 2 2 ⎩3 a − b = 6

⎡π 3π⎤ f no és contínua en ⎢ , ⎥ , ja que: ⎣4 4 ⎦ — No entrem en contradicció amb el teorema de Bolzano, perquè no es compleix una de les seves hipòtesis: ⎡π 3π⎤ ⎢ , ⎥ ⎣4 4 ⎦

Finalment, f és contínua en , si i només si es verifiquen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són la solució del sistema:

9. Continuïtat

Per tant, es compleix la tesi:

El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’existència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2). La demostració d’aquest teorema ens proporciona un mètode constructiu per a determinar el valor d’aquest zero amb tantes xifres decimals correctes com es desitja: en el nostre cas, com que ens demanen un error menor que 0,1, només cal donar una xifra decimal de c. Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud 0,1: [1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2] Calculem les imatges dels extrems d’aquests intervals i ens quedem amb un d'ells en el qual les imatges dels extrems tinguin diferent signe. Per exemple (i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]:

13. Sí. Per exemple: • f(x) = x2 és positiva en els extrems de l’interval [−1, 1], f(−1) = f(1) = 1 > 0, i té un zero, x0 = 0, en l’interval (−1, 1). • g(x) = sin x es és negativa en els extrems de l’interval ⎛ 3π⎞ ⎛ π⎞ ⎡ π 3π⎤ ⎢ − 2 , 2 ⎥ , sin ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ = sin ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = −1 < 0, ⎦ ⎣ i té dos zeros, x0 = 0 i x1 = π, en l’interval ⎛ π 3π⎞ . ⎜⎝ − 2 , 2 ⎟⎠

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES 14. La funció f és contínua en

3 a − b = 6. (2) Així, f és contínua en x = 3 si i només si

Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval: x 12. La funció f (x) = no té zeros, ja que si en tintg x gués algun seria el zero del numerador, x = 0, però aquest punt no és del domini de f, ja que també és un zero del denominador: tg 0 = 0.

x→ 3+

x→ 3+

lim f(x) = lim (x2 − 3) = 32 − 3 = 6 = f(3)

x→ 3−

x→ 3−

lim f(x) = lim (a x − b) = a ⋅ 3 − b = 3 a − b

f(3) = 32 − 3 = 6 • x0 = 3:

Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1. Així, f és contínua en x = 1 si i només si a − b = 3. (1)

f(1) = e − 3  −0,29 < 0 1

(− ∞, 1)  (1, 3)  (3, + ∞)

f(1,1) = e1,1 − 3  0,004 > 0 Tal com hem triat l’interval, es continuen complint les hipòtesis del teorema de Bolzano (perquè f continua essent contínua en ), aleshores es complirà la tesi: ∃ c′ ∈ (1, 1,1) tal que f(c′) = 0 Com que c′ és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt 1 + 1, 1 mig d’aquest interval, = 1, 05 , serà menor 2 que la meitat de la longitud de l’interval:

c ′ − 1, 05 <

1, 1 − 1 = 0, 05 < 0, 1 2

Com que c′ és entre 1 i 1,1, la seva distància al punt 1 + 1, 1 mig d’aquest interval, = 1, 05 , serà menor 2 que la meitat de la longitud de l’interval: ∃ c′ ∈ (1, 1,1) tal que f(c′) = 0 Tal com hem triat l’interval, es continuen complint les hipòtesis del teorema de Bolzano (perquè f continua essent contínua en ), aleshores es complirà la tesi:

c ′ − 1, 05 <

1, 1 − 1 = 0, 05 < 0, 1 2

π ∉ D(f ) 2

independentment del valor de a i b, ja que és una funció polinòmica en cadascun d’aquests intervals. Per tant, perquè la funció sigui contínua en , només cal imposar que sigui contínua en x0 = 1 i en x0 = 3. • x0 = 1: f(1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 lim f(x) = lim (2 x + 1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 = f(1)

x→1−

x→1−

lim f(x) = lim (a x − b) = a ⋅ 1 − b = a − b

x→1+

x→1+

f(1,1) = e1,1 − 3  0,004 > 0 f(1) = e1 − 3  −0,29 < 0

Així, f és contínua en x = 1 si i només si a − b = 3. (1) Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1. x 12. La funció no té zeros, ja que si en tintg x gués algun seria el zero del numerador, x = 0, però aquest punt no és del domini de f, ja que també és un zero del denominador: tg 0 = 0. f (x) =

Per tant, f no pot tenir zeros en l’interval: ⎡π 3π⎤ ⎢4 , 4 ⎥ ⎣ ⎦ — No entrem en contradicció amb el teorema de Bolzano, perquè no es compleix una de les seves hipòtesis: ⎡π 3π⎤ f no és contínua en ⎢ , ⎥ , ja que: ⎣4 4 ⎦

• x0 = 3: f(3) = 32 − 3 = 6 lim f(x) = lim (a x − b) = a ⋅ 3 − b = 3 a − b

x→ 3−

x→ 3−

lim f(x) = lim (x2 − 3) = 32 − 3 = 6 = f(3)

x→ 3+

x→ 3+

Així, f és contínua en x = 3 si i només si 3 a − b = 6. (2) Finalment, f és contínua en , si i només si es verifiquen simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són la solució del sistema: ⎧a − b = 3 3 3 ⇒a = ,b = − ⎨ 3 6 a − b = 2 2 ⎩

9. Continuïtat

Calculem les imatges dels extrems d’aquests intervals i ens quedem amb un d'ells en el qual les imatges dels extrems tinguin diferent signe. Per exemple (i en aquest cas només n’hi ha un), l’interval [1, 1,1]: [1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], ..., [1,9, 2] Dividim l’interval [1, 2] en deu intervals de longitud 0,1: La demostració d’aquest teorema ens proporciona un mètode constructiu per a determinar el valor d’aquest zero amb tantes xifres decimals correctes com es desitja: en el nostre cas, com que ens demanen un error menor que 0,1, només cal donar una xifra decimal de c. El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l’existència d’un zero de f, c, en l’interval (1, 2). ∃ c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0 27/5/09

13:01

x→1+

lim f(x) = lim (a x − b) = a ⋅ 1 − b = a − b

x→1−

x→1−

lim f(x) = lim (2 x + 1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 = f(1)

f(1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3 • x0 = 1: Per tant, perquè la funció sigui contínua en , només cal imposar que sigui contínua en x0 = 1 i en x0 = 3. independentment del valor de a i b, ja que és una funció polinòmica en cadascun d’aquests intervals. (− ∞, 1)  (1, 3)  (3, + ∞) 14. La funció f és contínua en RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES ⎛ π 3π⎞ . − , ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ ⎛ 3π⎞ ⎛ π⎞ ⎡ π 3π⎤ ⎥ , sin ⎝⎜ − 2 ⎠⎟ = sin ⎝⎜ 2 ⎠⎟ = −1 < 0, ⎢− , ⎣ 2 2 ⎦ i té dos zeros, x0 = 0 i x1 = π, en l’interval • g(x) = sin x es és negativa en els extrems de l’interval • f(x) = x2 és positiva en els extrems de l’interval [−1, 1], f(−1) = f(1) = 1 > 0, i té un zero, x0 = 0, en l’interval (−1, 1). 13. Sí. Per exemple: x0 =

Per tant, es compleix la tesi:

147

09 Mates CSS_Guia.qxd

x→1+

π ∉ D(f ) 2

Página 147 C M Y K

∃ c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0

x0 =

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 148

148 −

x→ 2−

lim

x → −3

lim f (x) =

x 2 − 5 x − 24 = x+3

(x + 3) (x − 8) x+3

x → −3

= −3 − 8 = −11

Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0 = −3 si i només si k = 12. 17. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2 independentment del valor del paràmetre m, ja que el seu denominador s’anul·la en aquest punt i, per tant, no es compleix la condició C1. Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infinit, algun dels límits laterals ha de ser ∞ (i han d’existir tots dos). Ara bé, com que f és una funció racional: lim f (x) = lim

x → 2−

=

x → 2+

x → −3

x → 2−

m x2 − 3 x + 7 = x−2

4m +1 m ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 7 = 0 0

lim f (x) = lim

x → 2+

=

x → 2+

m x2 − 3 x + 7 = x−2

4m +1 m ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 7 = 0 0

Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempre que 4 m + 1 ≠ 0. Veiem què succeeix si 4 m + 1 = 0, és a dir m = −

x2 − 5 x − 2 k L = = ∞ x+3 0

lim

x→2

= − = −

1 : 4

1 − x2 − 3 x + 7 4 = x−2

x 2 + 12 x − 28 1 lim = x−2 4 x→2

(x − 2) (x + 14) 1 1 lim = − (2 + 14) = −4 4 x→2 4 x−2

1 Així, si m = − , es compleix C2; per tant, no tenim 4 una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable. Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in−1 . 4 finit en x0 = 2 si i només si m ≠

18. El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de l’in⎛ π π⎞ terval ⎜ , ⎟ ⎝ 4 2⎠

significa que existeix algun real

⎛ π π⎞ x ∈ ⎜ , ⎟ per al qual (x, f(x)) = (x, g(x)), o equi⎝ 4 2⎠ valentment, f(x) = g(x).

9. Continuïtat

15. La funció és contínua a (− ∞, 2), ja que ve donada per una expressió polinòmica en aquest interval. També és contínua a (2, +∞), ja que ve donada per una expressió racional el denominador de la qual només s’anul·la en x = −1, que no pertany a aquest interval. Així, f serà contínua en  si i només si ho és en x = 2. Per a imposar que f sigui contínua en x = 2, imposarem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analítica de f(x) és diferent segons si x és menor o major que 2: f és contínua en x = 2 ⇔ f és contínua per l’esquerra i per la dreta en x = 2 ⇔ lim f(x) = f(2) i x→ 2 lim f(x) = f(2). x→ 2+

Ara bé, f(2) = 6 i els límits laterals, expressats en funció dels paràmetres m i n, són: lim f(x)= lim (4 m x − 2) =

x→ 2−

=4m⋅2−2=8m−2 3x + n 3⋅2 + n lim f (x) = lim = = x +1 2+1

x → 2+

6+n n = = +2 3 3 Per tant, f és contínua en  si i només si: ⎧8 m − 2 = 6 ⇒ m = 1 ⎪ ⎨n + 2 = 6 ⇒ n = 12 ⎩⎪ 3 16. La funció f té una discontinuïtat en x0 = −3 independentment del valor de k, ja que no està definida en aquest punt; per tant, no es compleix la condició C1. Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complir C2, és a dir, ha d’existir lim f(x) i ha de ser finit. x→ −3

Ara bé, si el numerador x2 − 5 x − 2 k pren un valor L ≠ 0 a x0 = −3, aleshores no es pot complir C2, perquè: lim f (x) = lim

x → −3

així, f presentarà una discontinuïtat de salt infinit a x0 = −3. Per tant, el numerador s’ha d’anul·lar en x0 = −3; per tant, k ha de ser:

m x2 − 3 x + 7 = x−2

(−3)2 − 5 ⋅ (−3) − 2 k = 0 ⇔

x→2

+

m x2 − 3 x + 7 = x−2 = −3 − 8 = −11

⇔ 9 + 15 − 2 k = 0 ⇔ k = 12

significa que existeix algun real

(x − 2) (x + 14) 1 1 lim = − (2 + 14) = −4 4 x→2 4 x−2 lim

1 : 4

4m +1 m ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 7 = 0 0

x→2

+

lim f (x) = lim

3x + n 3⋅2 + n = = x +1 2+1

x→2

−

(x + 3) (x − 8)

x 2 − 5 x − 24 = x+3

Veiem si en aquest cas f té efectivament o no una discontinuïtat evitable:

valentment, f(x) = g(x). ⎛ π π⎞ x ∈ ⎜ , ⎟ per al qual (x, f(x)) = (x, g(x)), o equi⎝ 4 2⎠ ⎛ π π⎞ terval ⎜ , ⎟ ⎝ 4 2⎠

18. El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de l’inPer tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt in−1 . finit en x0 = 2 si i només si m ≠ 4 1 , es compleix C2; per tant, no tenim 4 una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable. Així, si m = − = −

x 2 + 12 x − 28 1 lim = x−2 4 x→2

x→2

1 2 x − 3x + 7 4 = x−2

Veiem què succeeix si 4 m + 1 = 0, és a dir m = −

Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempre que 4 m + 1 ≠ 0. =

6+n n = +2 3 3 x→2

+

2

x→2

−

lim f (x) = lim

Ara bé, com que f és una funció racional: Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infinit, algun dels límits laterals ha de ser ∞ (i han d’existir tots dos). 17. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2 independentment del valor del paràmetre m, ja que el seu denominador s’anul·la en aquest punt i, per tant, no es compleix la condició C1. Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0 = −3 si i només si k = 12. x+3

x → −3

lim f (x) =

x → −3

lim

9. Continuïtat

Veiem si en aquest cas f té efectivament o no una discontinuïtat evitable: ⇔ 9 + 15 − 2 k = 0 ⇔ k = 12 (−3)2 − 5 ⋅ (−3) − 2 k = 0 ⇔ Per tant, el numerador s’ha d’anul·lar en x0 = −3; per tant, k ha de ser: així, f presentarà una discontinuïtat de salt infinit a x0 = −3. x2 − 5 x − 2 k L lim f (x) = lim = = ∞ x → −3 x → −3 x+3 0 Ara bé, si el numerador x2 − 5 x − 2 k pren un valor L ≠ 0 a x0 = −3, aleshores no es pot complir C2, perquè: x→ −3

Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complir C2, és a dir, ha d’existir lim f(x) i ha de ser finit.

= −

16. La funció f té una discontinuïtat en x0 = −3 independentment del valor de k, ja que no està definida en aquest punt; per tant, no es compleix la condició C1.

− ⎧8 m − 2 = 6 ⇒ m = 1 ⎪ ⎨n ⎪⎩ 3 + 2 = 6 ⇒ n = 12 Per tant, f és contínua en  si i només si: = x→2

+

lim f (x) = lim

x→ 2−

lim f(x)= lim (4 m x − 2) =

x→ 2+

−

4m +1 m⋅2 −3⋅2 +7 = 0 0

=

=4m⋅2−2=8m−2 x→ 2−

Ara bé, f(2) = 6 i els límits laterals, expressats en funció dels paràmetres m i n, són: f és contínua en x = 2 ⇔ f és contínua per l’esquerra i per la dreta en x = 2 ⇔ lim f(x) = f(2) i x→ 2 lim f(x) = f(2). Per a imposar que f sigui contínua en x = 2, imposarem que ho sigui lateralment, ja que l’expressió analítica de f(x) és diferent segons si x és menor o major que 2: Així, f serà contínua en  si i només si ho és en x = 2. També és contínua a (2, +∞), ja que ve donada per una expressió racional el denominador de la qual només s’anul·la en x = −1, que no pertany a aquest interval. 15. La funció és contínua a (− ∞, 2), ja que ve donada per una expressió polinòmica en aquest interval.

148

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 148

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 149

per reals prou grans h és positiva, i per a valors propers al zero, h és negativa. x →0

x →0

x→+ ∞

x→+ ∞

lim h(x) = lim (2x + 1 − 31 −x) = 2 − 3 = −1 < 0 lim h(x) = lim (2x + 1 − 31 − x) = +∞ − 0 = +∞

sin 2 x = 2 x − 1 ⇔ sin 2 x − 2 x + 1 = 0 Així, només cal veure que la funció

Com que: El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zeros de funcions contínues a intervals. Com que h és la diferència de dues funcions contínues en  (ja que són composició de funcions contínues en ), podem buscar un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b, de manera que h(a) i h(b) tinguin diferent signe. 19. Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun punt equival a veure que existeix una solució de l’equació f(x) = g(x), o equivalentment, que la funció h(x) = f(x) − g(x) = 2x + 1 − 31 − x té algun zero.

un real 21. Sigui x0 > 0. Hem de demostrar que existeix ⎯⎯ c tal que c2 = x0, en el cas del qual c = √ x0 (podem suposar c ≥ 0). Podem pensar que el que cerquem és una solució de l’equació x2 = x0 o, equivalentment, un zero de la funció f(x) = x2 − x0.

9. Continuïtat

149 Hem de demostrar, doncs, que l’equació ⎛ π π⎞ sin 2 x = 2 x − 1 té alguna solució a ⎜ , ⎟ : ⎝ 4 2⎠

Per tant, segons el teorema de Bolzano, existeix almenys un punt c tal que h(c) = 2c + 1 − 31 − c = 0. És a dir, l’equació 2x + 1 = 31 − x té almenys una solució. Per a determinar aquest punt en l’interval demanat, trobarem el valor de la funció h a 0, 1, 2, 3...: h(0) = 20 + 1 − 31 − 0 = 2 − 3 = −1 < 0 h(1) = 21 + 1 − 31 − 1 = 22 − 30 = 4 − 1 = 3 > 0

h(x) = sin 2 x − 2 x + 1 Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es troba en l’interval (0, 1). ⎛ π π⎞ té algun zero en l’interval ⎜ , ⎟ . ⎝ 4 2⎠ Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesi del teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixen les seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens havien demanat:

Així, c′ = 0,65 és una aproximació de c = ln 2 amb un error menor que 0,05. c′ − c <

0, 7 − 0, 6 0, 1 = = 0, 05 2 2

tenim que: c′ =

0, 6 + 0, 7 = 0, 65 2

L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si considerem el punt mitjà:

• h és suma de funcions contínues en ; per tant, és π π contínua en ; en particular, és contínua en: ⎡⎢ , ⎤⎥. ⎣4 2 ⎦ • Les imatges dels extrems de l’interval tenen diferent signe: π π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ h ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − 2 ⋅ + 1 = 2 − > 0 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4 2 π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ h ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − 2 ⋅ + 1 = 1 − π < 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2

20. Volem trobar el valor de x tal que x = ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que c − ln 2 < 0,05. Així, observem que: x = ln 2 ⇔ ex = 2 ⇔ ex − 2 = 0 Per tant, podem convertir el problema en trobar el zero de la funció f(x) = ex − 2 amb un error menor que 0,05. Per a fer-ho, cercarem un interval en què f compleixi el teorema de Bolzano. A més, aquest interval ha de tenir una longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que 0,05. No costa veure que en l’interval [0, 1] f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano. Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals: [0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]

⎛ π π⎞ Per tant, efectivament, ∃ c ∈ ⎜ , ⎟ en el qual ⎝ 4 2⎠ h(c) = 0 ⇒ f(c) = g(c) ⇒ les gràfiques de f i g es ⎛ π π⎞ tallen en x 0 = c ∈ ⎜ , ⎟ . ⎝ 4 2⎠

i calculem les imatges dels extrems, de manera que ens quedarem amb l’interval en què les imatges dels seus extrems tenen diferent signe: f(0,6) = −0,18 < 0 ; f(0,7) = 0,01 > 0 L’interval [0,6, 0,7] conté el zero c de h, i si considerem el punt mitjà:

⎛ π π⎞ tallen en x 0 = c ∈ ⎜ , ⎟ . ⎝ 4 2⎠

f(0,6) = −0,18 < 0 ; f(0,7) = 0,01 > 0

h(c) = 0 ⇒ f(c) = g(c) ⇒ les gràfiques de f i g es ⎛ π π⎞ Per tant, efectivament, ∃ c ∈ ⎜ , ⎟ en el qual ⎝ 4 2⎠

i calculem les imatges dels extrems, de manera que ens quedarem amb l’interval en què les imatges dels seus extrems tenen diferent signe: [0, 0,1], [0,1, 0,2], [0,2, 0,3], ..., [0,9, 1]

π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ h ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − 2 ⋅ + 1 = 1 − π < 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 π π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ h ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − 2 ⋅ + 1 = 2 − > 0 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4 2 • Les imatges dels extrems de l’interval tenen diferent signe: π π contínua en ; en particular, és contínua en: ⎢⎡ , ⎥⎤. ⎣4 2 ⎦ • h és suma de funcions contínues en ; per tant, és

19. Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun punt equival a veure que existeix una solució de l’equació f(x) = g(x), o equivalentment, que la funció h(x) = f(x) − g(x) = 2x + 1 − 31 − x té algun zero. El teorema de Bolzano ens dóna l’existència de zeros de funcions contínues a intervals. Com que h és la diferència de dues funcions contínues en  (ja que són composició de funcions contínues en ), podem buscar un interval [a, b], o equivalentment dos reals a i b, de manera que h(a) i h(b) tinguin diferent signe.

Reformulat d’aquesta manera, té la forma de la tesi del teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixen les seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens havien demanat: ⎛ π π⎞ té algun zero en l’interval ⎜ , ⎟ . ⎝ 4 2⎠

Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals: No costa veure que en l’interval [0, 1] f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano. A més, aquest interval ha de tenir una longitud menor o igual a un dècim, perquè l’error sigui menor que 0,05. Per a fer-ho, cercarem un interval en què f compleixi el teorema de Bolzano. Per tant, podem convertir el problema en trobar el zero de la funció f(x) = ex − 2 amb un error menor que 0,05. x = ln 2 ⇔ ex = 2 ⇔ ex − 2 = 0 Així, observem que: 20. Volem trobar el valor de x tal que x = ln 2 amb un error menor que 0,05, és a dir, un real c tal que c − ln 2 < 0,05. Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es troba en l’interval (0, 1).

h(x) = sin 2 x − 2 x + 1

Com que: lim h(x) = lim (2x + 1 − 31 − x) = +∞ − 0 = +∞

h(1) = 21 + 1 − 31 − 1 = 22 − 30 = 4 − 1 = 3 > 0

Així, només cal veure que la funció

h(0) = 20 + 1 − 31 − 0 = 2 − 3 = −1 < 0

x→+ ∞

x→+ ∞ x →0

per reals prou grans h és positiva, i per a valors propers al zero, h és negativa.

0, 6 + 0, 7 = 0, 65 2

tenim que: c′ − c <

0, 7 − 0, 6 0, 1 = = 0, 05 2 2

Així, c′ = 0,65 és una aproximació de c = ln 2 amb un error menor que 0,05. un real 21. Sigui x0 > 0. Hem de demostrar que existeix ⎯⎯ c tal que c2 = x0, en el cas del qual c = √ x0 (podem suposar c ≥ 0). Podem pensar que el que cerquem és una solució de l’equació x2 = x0 o, equivalentment, un zero de la funció f(x) = x2 − x0.

9. Continuïtat

lim h(x) = lim (2x + 1 − 31 −x) = 2 − 3 = −1 < 0

x →0

c′ =

sin 2 x = 2 x − 1 ⇔ sin 2 x − 2 x + 1 = 0 Hem de demostrar, doncs, que l’equació ⎛ π π⎞ sin 2 x = 2 x − 1 té alguna solució a ⎜ , ⎟ : ⎝ 4 2⎠

Per a determinar aquest punt en l’interval demanat, trobarem el valor de la funció h a 0, 1, 2, 3...: Per tant, segons el teorema de Bolzano, existeix almenys un punt c tal que h(c) = 2c + 1 − 31 − c = 0. És a dir, l’equació 2x + 1 = 31 − x té almenys una solució.

149

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 149 C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 150

150 Ara bé, com que f(x) = g(x) si x ≠ x0 i a l’hora de calcular un límit és indiferent el valor de la funció en el punt considerat (no ha d’estar necessàriament definida en aquest punt), tenim que: lim f(x) = lim g(x)

x → x0

x → x0

Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té una discontinuïtat en x0 aquesta ha de ser evitable (es pot evitar redefinint f(x0) = g(x0)).

x→+ ∞

25. Considerem la funció: ⎧ 1 si x ∈  f (x) = ⎨ ⎩ −1 si x ∈  − 

Considerem 1 > ε > 0 qualsevol.

lim (x) = ±∞ o lim f(x) = ±∞ ⇒

x → x 0−

x → x 0+

x → z−

∀ δ > 0 , ∃ x1 ∈  , ∃ x2 ∈  −  tals que: x1 − x0  < δ , x2 − x0  < δ i no pot passar simultàniament que: f(x1) − f(x0) = 1 − f(x0) < ε f(x2) − f(x0) = −1 − f(x0) = 1 + f(x0) < ε ja que en aquest cas, la desigualtat triangular ens diria que: 2 = 1 + 1 = 1 + f(x0) − f(x0) + 1 ≤ ≤ 1 + f(x0) + 1 − f(x0) < ε + ε = 2 ε ⇒ 1 < ε la qual cosa contradiu l’elecció del ε.

Però, f = 1 és contínua en cadascun dels punts, ja que és una funció constant.

Com que podem prendre x1 < x0 i x2 < x0 ó x1 > x0 i x2 > x0, això demostra que no existeixen els límits laterals en cap punt; per tant, f presenta una discontinuïtat essencial en tots els punts.

26. a) Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0 = 2 ∈[1, 5] i f(2) = −1 < 0, existeix un entorn Eδ (2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en Eδ (2) ∩ (2, 5) ≠ 

x → z+

aleshores ∃ x ∈(2, 5) tal que f(x) < 0. b) Cert. Com que f és contínua a [1, 5] i com que f(1) = −2 < 0 i f(5) = 3 > 0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores ∃ c ∈(1, 5) tal que f(c) = 0. Per tant, f talla l’eix OX en c ∈[1, 5].

9. Continuïtat

Com que f és polinòmica, és contínua en ; per tant, si trobem dos reals a i b en què f té diferent signe, el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix un punt c de l’interval que defineixen a i b en el qual s’anul·la f, que és el que volíem demostrar. Ara bé, observem que: f(0) = 02 − x0 = −x0 < 0 lim f(x) = lim (x2 − x0) = +∞ ⇒ ∃ b prou gran en

x→+ ∞

el qual f(b) > 0.

Així, hem trobat dos reals, a = 0 i b, en què f té diferent signe; per tant, existeix c ∈(0, b) tal que f(c) = 0, és a dir, c2 = x0, aleshores c és una arrel quadrada de x0.

f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap límit lateral de f en cap punt x0 ∈:

ACTIVITATS Qüestions 22. f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infinit a x0 ⇔ ⇔ els límits laterals existeixen i, almenys, un d’aquests és infinit ⇒ ⇒

⇒ x = x0 és una asímptota vertical de f. El recíproc no és cert, ja que pot passar que x = x0 sigui una asímptota vertical de f i no existeixi un dels límits laterals de f en x0. Per la qual cosa x0 seria una discontinuïtat essencial. 23. La funció part entera, E, compleix que presenta una discontinuïtat de salt finit en els nombres enters. L’expressió analítica de E és: ⎧… ⎪ −1 si −1 ≤ x < 0 ⎪⎪ E(x) = ⎨ 0 si 0 ≤ x < 1 ⎪ 1 si 1≤ x 0, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano; aleshores ∃ c ∈(1, 5) tal que f(c) = 0. Per tant, f talla l’eix OX en c ∈[1, 5]. aleshores ∃ x ∈(2, 5) tal que f(x) < 0. Eδ (2) ∩ (2, 5) ≠  26. a) Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és contínua en x0 = 2 ∈[1, 5] i f(2) = −1 < 0, existeix un entorn Eδ (2) en què f és negativa. Per tant, f serà negativa en Però, f = 1 és contínua en cadascun dels punts, ja que és una funció constant. Com que podem prendre x1 < x0 i x2 < x0 ó x1 > x0 i x2 > x0, això demostra que no existeixen els límits laterals en cap punt; per tant, f presenta una discontinuïtat essencial en tots els punts. la qual cosa contradiu l’elecció del ε. ≤ 1 + f(x0) + 1 − f(x0) < ε + ε = 2 ε ⇒ 1 < ε 2 = 1 + 1 = 1 + f(x0) − f(x0) + 1 ≤ ja que en aquest cas, la desigualtat triangular ens diria que: f(x2) − f(x0) = −1 − f(x0) = 1 + f(x0) < ε f(x1) − f(x0) = 1 − f(x0) < ε i no pot passar simultàniament que:

x → x0

lim (x) = ±∞ o lim f(x) = ±∞ ⇒

∀ δ > 0 , ∃ x1 ∈  , ∃ x2 ∈  − 

24. No, ja que si g és contínua a x0, en particular es compleix C2; per tant, existeix lim g(x) i és finit.

x → z+

lim E(x) = lim z = z x → z−

lim E(x) = lim (z − 1) = z − 1 x → x 0+

x → x 0−

x1 − x0  < δ , x2 − x0  < δ tals que: Considerem 1 > ε > 0 qualsevol.

Qüestions ACTIVITATS

⎧ 1 si x ∈  f (x) = ⎨ ⎩ −1 si x ∈  − 

x→+ ∞

lim f(x) = lim (x2 − x0) = +∞ ⇒ ∃ b prou gran en

Aleshores es compleix C2 per a f i, per tant, si té una discontinuïtat en x0 aquesta ha de ser evitable (es pot evitar redefinint f(x0) = g(x0)). x → x0

lim f(x) = lim g(x)

Ara bé, com que f(x) = g(x) si x ≠ x0 i a l’hora de calcular un límit és indiferent el valor de la funció en el punt considerat (no ha d’estar necessàriament definida en aquest punt), tenim que:

9. Continuïtat

x → x0

24. No, ja que si g és contínua a x0, en particular es compleix C2; per tant, existeix lim g(x) i és finit. Per tant, els límits laterals existeixen i són finits però no coincideixen. Així, E presenta una discontinuïtat de salt finit en z, per a tot z ∈. x → z+ x → z−

Vegem que E presenta una discontinuïtat de salt finit en . Sigui z un nombre enter: ⎧… ⎪ −1 si −1 ≤ x < 0 ⎪⎪ E(x) = ⎨ 0 si 0 ≤ x < 1 ⎪ 1 si 1≤ x 0. x→+ ∞

f(0) = 02 − x0 = −x0 < 0

x → x0

Ara bé, observem que: Com que f és polinòmica, és contínua en ; per tant, si trobem dos reals a i b en què f té diferent signe, el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix un punt c de l’interval que defineixen a i b en el qual s’anul·la f, que és el que volíem demostrar.

150

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 150

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

C M Y K

9. Continuïtat

x→ 5

lim f(x) = f(5) = 24 x→ 5

lim f(x) = 24

Página 151

c) Fals (en general), ja que f podria tenir una gràfica com la de la figura:

Per tant, la funció és contínua en x0 = 5. 28. Ho farem des de la definició en funció dels límits laterals:

Y f

f és contínua per l’esquerra en x0 si i només si lim f(x) = f(x0)

−

⇒ h és contínua per la dreta en x0 = 3 = x → 3+

32 − 9 = 0 = h(3) ⇒ x → 3+

lim h(x) = lim

x2 − 9 =

x → 3+

9. Continuïtat

151 C3:

C2: ⇒

lim f (x) = 4 ⋅ 5 + 4 = 24 ⎫ ⎪ x→5 ⎬⇒ 2 lim f ( x ) = 5 − 1 = 24 ⎪⎭ C2: x → 5

lim (x 2 − 9) =

∃ h(x) x2 − 9 < 0 ⇒ 

+

x → x 0−

C2:

f és contínua per la dreta en x0 si i només si X

27. C1: f(5) = 4 ⋅ 5 + 4 = 24

que 3 però molt propera a aquest valor, x→ 3−

lim h(x) no es pot definir, ja que si x és menor

lim f(x) = f(x0)

x → x 0+

a) f(−1) = −1 + 2 = 1

Exercicis i problemes

lim f(x) = lim (x + 2) =

x→ −1−

és a dir, f està acotada en [1, 2].

x2 − 9 < 0 ⇒  ∃ h(x) que −3 però molt propera a aquest valor, x→ −3+

⇒ m ≤ f ≤ M a [1, 2]

d) Cert, ja que la seva gràfica podria oscil·lar al voltant de l’eix OX entre les abscisses x = 1 i x = 2.

m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M ⇒

lim h(x) no es pot definir, ja que si x és major

⇒ h és contínua per l’esquerra a x0 = −3. = 0 = h(−3) ⇒

x→ −1−

= −1 + 2 = 1 = f(−1) ⇒ ⇒ f és contínua per l’esquerra en x0 = −1. lim f(x) = lim 3 = 3 ≠ 1 = f(−1) ⇒

x→ −1+

Y

f) Cert. Pel teorema de Weierstrass, com que f és contínua en [1, 2], pren el seu mínim absolut en aquest interval, m, i el seu màxim absolut en aquest interval, M, en sengles punts x1 i x2 d’aquest interval; per tant, ∀ x ∈[1, 2],

x→ −1+

⇒ f no és contínua per la dreta en x0 = −1.

f

b) g(2) = E(2) + 2 = 2 + 2 = 4 lim g(x) = lim (E(x) + x) =

x→ 2−

∃ c ∈(1, 5)  [1, 5] tal que f(c) = 2,5

X

[1, 5] i 2, 5 ∈(f(1), f(5)) = (−2, 3)

c)

x→ 2−

= lim (1 + x) = 1 + 2 = 3 ≠ 4 = g(2) ⇒ x→ 2−

⇒ g no és contínua per l’esquerra en x0 = 2.

e) Cert. Pel teorema dels valors intermedis, com que f és contínua en l’interval

=

x → −3 −

lim (x 2 − 9) =

x → −3 −

x → −3 −

lim h(x) = lim

h(−3) =

(−3)2 − 9 = x2 − 9 =

(−3)2 − 9 = 0 ; h(3) =

32 − 9 = 0

⇒ g és contínua per la dreta en x0 = 2. x→ 2+

lim g(x) = lim (E(x) + x) =

x→ 2+

= lim (2 + x) = 2 + 2 = 4 = g(2) ⇒

x→ 2+

= lim (2 + x) = 2 + 2 = 4 = g(2) ⇒

x→ 2+

x→ 2+

lim g(x) = lim (E(x) + x) =

e) Cert. Pel teorema dels valors intermedis, com que f és contínua en l’interval

⇒ g no és contínua per l’esquerra en x0 = 2. x→ 2−

= lim (1 + x) = 1 + 2 = 3 ≠ 4 = g(2) ⇒

[1, 5] i 2, 5 ∈(f(1), f(5)) = (−2, 3)

X

x→ 2+

⇒ g és contínua per la dreta en x0 = 2. c)

∃ c ∈(1, 5)  [1, 5] tal que f(c) = 2,5

x→ 2−

x→ 2−

lim g(x) = lim (E(x) + x) =

h(−3) =

(−3)2 − 9 = 0 ; h(3) = lim h(x) = lim

f) Cert. Pel teorema de Weierstrass, com que f és contínua en [1, 2], pren el seu mínim absolut en aquest interval, m, i el seu màxim absolut en aquest interval, M, en sengles punts x1 i x2 d’aquest interval; per tant, ∀ x ∈[1, 2],

b) g(2) = E(2) + 2 = 2 + 2 = 4 f

⇒ f no és contínua per la dreta en x0 = −1.

Y

x→ −1+

x→ −1+

lim f(x) = lim 3 = 3 ≠ 1 = f(−1) ⇒

x → −3 −

=

x → −3 −

lim (x 2 − 9) =

x → −3 −

32 − 9 = 0

x2 − 9 = (−3)2 − 9 =

= 0 = h(−3) ⇒ ⇒ h és contínua per l’esquerra a x0 = −3.

m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M ⇒

d) Cert, ja que la seva gràfica podria oscil·lar al voltant de l’eix OX entre les abscisses x = 1 i x = 2.

⇒ f és contínua per l’esquerra en x0 = −1. = −1 + 2 = 1 = f(−1) ⇒

⇒ m ≤ f ≤ M a [1, 2]

lim h(x) no es pot definir, ja que si x és major

x→ −3+

que −3 però molt propera a aquest valor,

és a dir, f està acotada en [1, 2].

x→ −1−

x→ −1−

lim f(x) = lim (x + 2) =

x2 − 9 < 0 ⇒  ∃ h(x)

Exercicis i problemes

a) f(−1) = −1 + 2 = 1 x → x 0+

lim f(x) = f(x0)

lim h(x) no es pot definir, ja que si x és menor

27. C1: f(5) = 4 ⋅ 5 + 4 = 24

X

x→ 3−

que 3 però molt propera a aquest valor,

C2: lim f (x) = 4 ⋅ 5 + 4 = 24 ⎫ ⎪ x→5 ⎬⇒ 2 C2: lim f (x) = 5 − 1 = 24 ⎭⎪

f és contínua per la dreta en x0 si i només si

+

x → x 0−

lim f(x) = f(x0)

∃ h(x) x2 − 9 < 0 ⇒ 

x → 5−

C2: ⇒ C3:

lim h(x) = lim

x → 3+

lim f(x) = 24

x → 3+

x→ 5

=

lim f(x) = f(5) = 24

x2 − 9 =

lim (x 2 − 9) =

x → 3+

32 − 9 = 0 = h(3) ⇒

⇒ h és contínua per la dreta en x0 = 3

x→ 5

9. Continuïtat

9. Continuïtat

f

f és contínua per l’esquerra en x0 si i només si 28. Ho farem des de la definició en funció dels límits laterals:

Y

c) Fals (en general), ja que f podria tenir una gràfica com la de la figura:

Per tant, la funció és contínua en x0 = 5.

151

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 151

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 152

152 x → x0

x→ 2+

x→ 4 −

1

x → x0

1 x+3

x0 > −3 ⇒ x0 + 3 > 0 1 ↓

lim (x + 3)

=

x0 + 3

=

• x = 1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals existeixen, són finits i coincideixen, però són diferents de f(1); per tant, és evitable. • x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix el límit per la dreta; per tant, és essencial. • x = 6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix f(6), i com que els límits laterals en aquest punt existeixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una discontinuïtat evitable. 31. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè no està definida la imatge d’aquest punt; per tant, no es compleix C1. Per classificar la discontinuïtat hem de veure si es compleix o no C2, i en cas negatiu, el seu motiu: lim f(x) = lim (x2 − 2) = 32 − 2 = 7

x→ 3−

x→ 3−

lim f(x) = lim (4 x − 5) = 4 ⋅ 3 − 5 = 7

x→ 3+

x→ 3+

compleix C2. Per tant, la discontinuïtat en x0 = 3 és evitable. 32. a) Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són aquells en els quals no està definida, que són els zeros del denominador: x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1 o x = 2

= g(x 0 )

Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar el compliment de C2. x → −1

= lim x → −3 +

lim (x + 3)

=

x → −1

1

=

x+3

1 = +∞ 0

x → −1

3 (x + 1)

3x + 3 x2 − x − 2

(x + 1) (x − 2)

=

=

3 = −1 −1 − 2

Com que es compleix C2, x0 = −1 és una discontinuïtat evitable. lim f (x) = lim

x→2

x→2

3x + 3 x2 − x − 2

=

9 = ∞ 0

9. Continuïtat

29. a) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’interval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extrems des de l’interior de l’interval: • x0 ∈(2, 4): lim f(x) = lim (x − 1) = x0 − 1 = f(x0)

x → x0

Per tant, f és contínua en x0. • a = 2: lim f(x) = lim (x − 1) = 2 − 1 = f(2),

x→ 2+

f és contínua per la dreta en a = 2. • b = 4: lim f(x) = lim (x − 1) = 4 − 1 = f(4),

x→ 4 −

f és contínua per l’esquerra en b = 4. Així, f és contínua en l’interval [2, 4].

Com que els límits laterals existeixen, són finits i coincideixen, existeix lim f(x) = 7 i és finit; per tant, es x→3

b) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’interior de l’interval, que és l’interval (−3, + ∞), i la continuïtat per la dreta en a = −3: • x0 ∈ (−3, + ∞): lim g(x) = lim

x → x0

=

x → x0

lim f (x) = lim

Per tant, g és contínua en x = x0. • a = −3: lim g(x) = lim

x → −3 +

1

=

x → −3 +

9 = ∞ 0

Per tant, g no és contínua per la dreta en a = −3.

=

Així, g és contínua en l’interval (−3, + ∞).

3x + 3

=

Com que els límits laterals a x0 = 2 són infinits, la discontinuïtat en x0 = 2 és no evitable de salt infinit.

x −x−2 2

3 = −1 −1 − 2

3x + 3

30. Els punts de discontinuïtat són aquells en els quals s’interromp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valor i l’existència dels límits laterals en aquest punt:

x→2

lim f (x) = lim

=

x2 − x − 2

b) En (−∞, 0)  (0, +∞), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica.

Per tant, es compleix C1. g(0) = 02 − 3 = −3 Així, l'únic punt possible de discontinuïtat és x0 = 0. Comprovem si ho és o no: b) En (−∞, 0)  (0, +∞), g és contínua perquè ve donada per una expressió analítica polinòmica. Com que els límits laterals a x0 = 2 són infinits, la discontinuïtat en x0 = 2 és no evitable de salt infinit. x→2

Com que es compleix C2, x0 = −1 és una discontinuïtat evitable.

=

3 (x + 1) x → −1

lim f (x) = lim

Per veure de quin tipus són, hem d’estudiar el compliment de C2.

Així, l'únic punt possible de discontinuïtat és x0 = 0. Comprovem si ho és o no:

1

(x + 1) (x − 2)

x → −1

= g(x 0 )

• x = −3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals són infinits; per tant, és no evitable de salt infinit.

x+3

x0 + 3

g(0) = 02 − 3 = −3

=

=

x→ 3−

lim f(x) = lim (x2 − 2) = 32 − 2 = 7

Per tant, es compleix C1.

1

x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1 o x = 2

x+3

x→3

x→ 3−

31. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè no està definida la imatge d’aquest punt; per tant, no es compleix C1. • x = 6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix f(6), i com que els límits laterals en aquest punt existeixen, són finits i coincideixen, es tracta d’una discontinuïtat evitable.

• x = −2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals existeixen i són finits, però diferents; per tant, és no evitable de salt finit.

x → −3 +

lim g(x) = lim

lim (x + 3)

x → x0

lim g(x) = lim

32. a) Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són aquells en els quals no està definida, que són els zeros del denominador: Per tant, la discontinuïtat en x0 = 3 és evitable. compleix C2. Com que els límits laterals existeixen, són finits i coincideixen, existeix lim f(x) = 7 i és finit; per tant, es x→ 3+

lim f(x) = lim (4 x − 5) = 4 ⋅ 3 − 5 = 7

x→ 4 −

lim f(x) = lim (x − 1) = 4 − 1 = f(4),

Per classificar la discontinuïtat hem de veure si es compleix o no C2, i en cas negatiu, el seu motiu:

x→ 2+

lim f(x) = lim (x − 1) = 2 − 1 = f(2), x → x0

lim f(x) = lim (x − 1) = x0 − 1 = f(x0)

• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix el límit per la dreta; per tant, és essencial. • x = 1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals existeixen, són finits i coincideixen, però són diferents de f(1); per tant, és evitable.

9. Continuïtat

• x = −2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals existeixen i són finits, però diferents; per tant, és no evitable de salt finit. • x = −3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals són infinits; per tant, és no evitable de salt infinit. 30. Els punts de discontinuïtat són aquells en els quals s’interromp la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valor i l’existència dels límits laterals en aquest punt: Així, g és contínua en l’interval (−3, + ∞). Per tant, g no és contínua per la dreta en a = −3. x → −3 +

=

1 = = +∞ lim (x + 3) 0 1

x → −3 +

x → −1

= lim

• a = −3: Per tant, g és contínua en x = x0. x → x0

=

x0 > −3 ⇒ x0 + 3 > 0 1 ↓

x → x0

1

• x0 ∈ (−3, + ∞): b) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’interior de l’interval, que és l’interval (−3, + ∞), i la continuïtat per la dreta en a = −3: Així, f és contínua en l’interval [2, 4].

x→ 3+

f és contínua per l’esquerra en b = 4. x→ 4 −

• b = 4: f és contínua per la dreta en a = 2. x→ 2+

• a = 2: Per tant, f és contínua en x0. x → x0

• x0 ∈(2, 4): 29. a) Hem d’estudiar la continuïtat de la funció en l’interval (2, 4) i la continuïtat lateral en els extrems des de l’interior de l’interval:

152

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 152

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 153

2 ⎧ x + 2x − 8 ⎪ f (x) = x−2 g(x) = ⎨ ⎪ lim f (x) = 6 ⎩x→2

−

+

+

⇒ els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen; per tant, no es compleix C2 i x0 = 0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.

34. Y

1 X

1

c) En (− ∞, 0), h(x) = sin

1 x

és contínua, ja que és

composició d’una funció contínua, f (x) =

1 , en x

(− ∞, 0)  (0, + ∞)

1 1 ⎧ = = −∞ lim ⎪⎪ x → −1 x 2 − 1 0 ⇒ ⎨ 1 1 ⎪ lim = = −∞ ⎩⎪ x →1 x 2 − 1 0

si x = 2

−

si x ≠ 2

+

A més, com que f és contínua en  − {2}, ja que l’únic zero del seu denominador és x0 = 2, la funció així definida serà contínua en :

Si −1 < x < 1 ⇒ x2 − 1 < 0 ⇒

x → x0

Per a evitar la discontinuïtat, només cal definir la imatge de x0 = 2 donant-li el valor que ha de prendre perquè sigui contínua, lim f(x) = 6.

x → −1−

⇒ lim

x−2

x→2

(x − 2) (x + 4)

En (0, + ∞), h(x) = x − 5 és contínua perquè és polinòmica. L’única possible discontinuïtat és x0 = 0. Vegem si ho és o no, i de quin tipus és si la resposta és afirmativa:

Per tant, es compleix C1. −

1 tendeix a − ∞, i x com que la funció sinus és periòdica de període 2 π, cada π unitats passa de valer −1 a valer 1, o viceversa; per tant, oscil·la infinitament entre aquests dos valors, sense tendir, en conseqüència, a cap real.

x tendeix a 0 per l’esquerra,

Per tant, x0 = 0 és una discontinuïtat essencial. 33. El punt x0 = 2 és una discontinuïtat de f, ja que en aquest s’anul·la el denominador d’aquesta; aleshores no està definida f(2) i, per tant, no es compleix C1. Per veure que és evitable, hem de veure si es compleix C2: lim f (x) = lim

x→2

= lim

x→2

x→2

x2 + 2 x − 8 = x−2

(x − 2) (x + 4) x−2

• Dues discontinuïtats evitables: x = −2, x = 2 • Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x = 1

• Una discontinuïtat no evitable essencial: x = 0

1 no existeix, ja que quan lim h(x) = lim sin x→0 x→0 x

1 = +∞ 0

Calculem els límits laterals en aquests punts: 35. Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són els zeros del denominador:

x→2

Per veure que és evitable, hem de veure si es compleix C2:

⎧2 ⎪ ⎪ −1 ⎪ 1 +3 ⎪ ⎪x + 1 log (x + 1) ⎪⎪ f (x) = ⎨ π ⎪cos x ⎪ ⎪(x − 3) (x − 2) ⎪ x−2 ⎪ ⎪ 1 ⎩⎪ x − 4

33. El punt x0 = 2 és una discontinuïtat de f, ja que en aquest s’anul·la el denominador d’aquesta; aleshores no està definida f(2) i, per tant, no es compleix C1.

−

Aquesta funció presenta:

• Dos discontinuïtats no evitables de salt infinit: x = −1 i x = 4

f(0) = 0 − 5 = −5

Per tant, x0 = 0 és una discontinuïtat essencial. 1 x tendeix a 0 per l’esquerra, tendeix a − ∞, i x com que la funció sinus és periòdica de període 2 π, cada π unitats passa de valer −1 a valer 1, o viceversa; per tant, oscil·la infinitament entre aquests dos valors, sense tendir, en conseqüència, a cap real.

si 4 < x si 1 < x < 4 si 0 < x ≤ 1 si −1 < x ≤ 0 si −2 < x < −1 si x = −2 si x < −2

— L’expressió analítica d’una funció la gràfica de la qual sigui l’anterior és:

1 no existeix, ja que quan lim h(x) = lim sin x

x → 0−

1

=

x2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 o x = 1

= 2+4 = 6

x2 + 2 x − 8 lim f (x) = lim = x−2

x→2

x2 − 1

Si x < −1 ⇒ x2 − 1 > 0 ⇒

El límit de f en x0 = 2 existeix i és finit; per tant, efectivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtat evitable.

amb una funció contínua en , g(x) = sin x.

= lim

9. Continuïtat

153 lim g(x) = lim (5 x + 2) = 5 ⋅ 0 + 2 = 2 ⎫ ⎪ x→0 ⎬⇒ lim g(x) = lim (x 2 − 3) = 02 − 3 = −3 ⎪ x→0 x→0 ⎭ x → 0−

= 2+4 = 6

El límit de f en x0 = 2 existeix i és finit; per tant, efectivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtat evitable. Per a evitar la discontinuïtat, només cal definir la imatge de x0 = 2 donant-li el valor que ha de prendre perquè sigui contínua, lim f(x) = 6.

— L’expressió analítica d’una funció la gràfica de la qual sigui l’anterior és:

si x ≠ 2 si x = 2

si −2 < x < −1 si −1 < x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1 si 1 < x < 4 si 4 < x

x2 − 1 = 0 ⇔ x = −1 o x = 1 Calculem els límits laterals en aquests punts: Si x < −1 ⇒ x2 − 1 > 0 ⇒ 1

⇒ lim

x −1 2

x → −1−

=

1 = +∞ 0

Si −1 < x < 1 ⇒ x2 − 1 < 0 ⇒ 1 1 ⎧ = = −∞ lim ⎪⎪ x → −1 x 2 − 1 0 ⇒⎨ 1 1 ⎪ lim = = −∞ ⎪⎩ x →1 x 2 − 1 0 +

−

9. Continuïtat

⎧ x2 + 2 x − 8 ⎪ f (x) = x−2 g(x) = ⎨ ⎪ lim f (x) = 6 ⎩x→2

si x = −2

35. Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són els zeros del denominador:

x → x0

A més, com que f és contínua en  − {2}, ja que l’únic zero del seu denominador és x0 = 2, la funció així definida serà contínua en :

si x < −2

⎧2 ⎪ −1 ⎪ ⎪ 1 ⎪x + 1 + 3 ⎪ log (x + 1) ⎪⎪ f (x) = ⎨ π ⎪cos x ⎪ ⎪(x − 3) (x − 2) ⎪ x−2 ⎪ ⎪ 1 ⎪⎩ x − 4

x → 0−

• Una discontinuïtat no evitable essencial: x = 0

Per tant, es compleix C1.

• Dos discontinuïtats no evitables de salt infinit: x = −1 i x = 4

f(0) = 0 − 5 = −5 L’única possible discontinuïtat és x0 = 0. Vegem si ho és o no, i de quin tipus és si la resposta és afirmativa:

• Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x = 1 • Dues discontinuïtats evitables: x = −2, x = 2

En (0, + ∞), h(x) = x − 5 és contínua perquè és polinòmica.

Aquesta funció presenta:

amb una funció contínua en , g(x) = sin x. (− ∞, 0)  (0, + ∞) composició d’una funció contínua, f (x) = c) En (− ∞, 0), h(x) = sin

1 x

1 , en x

és contínua, ja que és 1

⇒ els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen; per tant, no es compleix C2 i x0 = 0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit. lim g(x) = lim (5 x + 2) = 5 ⋅ 0 + 2 = 2 ⎫ ⎪ x→0 x→0 ⎬⇒ lim g(x) = lim (x 2 − 3) = 02 − 3 = −3 ⎪ x→0 ⎭ x → 0+ −

X

1

+

Y

−

34.

153

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 153 C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 154

154 Si x > 1 ⇒ x2 − 1 > 0 ⇒ 1 x2 − 1

1 = = +∞ 0

38. a) La funció f és la suma de les funcions g(x) = x2 i h(x) = ln(x − 4). La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en . La segona és la composició de dues funcions, h(x) = (h 2  h 1) (x), en què h 1(x) = x − 4 i h2(x) = ln x. Com que h1 és contínua en , ja que és polinòmica, i h2 és contínua en (0, + ∞), sense estar definida en (− ∞, 0], la funció h és contínua exactament en els punts x ∈  tals que h1(x) = x − 4 > 0 és a dir, en (4, + ∞).

amb la qual cosa és necessari que el numerador s’anul·li també en x0 = 3.

Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complir C2, és a dir, ha d’existir el lim f(x) i ser finit, x→3

Per tant, hem d’imposar:

(x − 1) (x − 3) x2 − 4 x + 3 = lim = x →3 2x − 6 2 (x − 3) 3−1 =1 2

x → −2

3 ⋅ (−2)2 + 4 ⋅ (−2) − k 4−k = 2 ⋅ (−2) + 4 0

3 x2 + 4 x − 4 = 2x + 4

⎯ ⎯⎯⎯

b) Si definim les funcions f(x) = √ x + 1 i g(x) = x2 + 3, podem expressar h com el seu quof . g cient: h =

La funció f és la composició de dues funcions: ⎯ f = f2  f1, en què f1(x) = x + 1 i f2 = √ x. Com que f1 és polinòmica, és contínua en , i com que f2 és contínua en el seu domini, que és [0, +∞), tenim que f és contínua exactament en els punts x tals que x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1, que defineix l’interval [−1, + ∞). D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant, contínua en . A més, g(x) > 0 ∀ x. Així, h és contínua exactament en [−1, + ∞). c) Considerem les funcions g1(x) = 2 sin x i g2(x) = ex. Queda clar que g(x) = (g2  g1) (x), i com que tant g1 com g2 són contínues en , la seva composició, o sigui g, és contínua en . d) La funció i és el quocient de les funcions f(x) = cos 2x i g(x) = ln x2 D’una banda, si considerem les funcions f1(x) = 2x i f2(x) = cos x, tenim que f = f2  f1. Com que f1 és contínua en  i f2 també, f = f2  f1 és contínua en . D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) = = x2 i g2(x) = ln x, g = g2  g1. Com que g1 és contínua en  i g2 és contínua en el seu domini, D(g2) = (0, +∞), la funció g és contínua exactament en el conjunt de punts x ∈ tals que g1(x) = x2 > 0 és a dir, en  − {0}. Així, la funció i =

=

3 2

2⎞ ⎛ ⋅ ⎜ −2 − ⎟ = −4 ⎝ 3⎠

f és discontínua en 0 i en els g

punts on s’anul·la g, que són x = 1 i x = −1. Així, i és contínua en  − {−1, 0, 1}.

9. Continuïtat

⇒ lim

x →1+

36. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè el seu denominador s’anul·la en aquest punt i, per tant, no es compleix la condició C1.

Com que f és la suma de dues funcions contínues a (4, +∞) (i en cap altre punt), f és contínua en l’interval (4, + ∞) (i en cap altre punt).

32 − 4 ⋅ 3 + k = 0 ⇒ k = 3 Comprovem que efectivament es compleixi C2:

lim

x →3

=

Per tant, f presenta una discontinuïtat evitable si i només si k = 3. 37. La funció f té una discontinuïtat en x0 = −2, ja que el seu denominador s’anul·la en aquest punt, aleshores no està definida f(−2) i, per tant, no es compleix C1. El tipus de discontinuïtat dependrà del compliment de C2: 3 x2 + 4 x − k lim f (x) = lim = 2x + 4

x → −2

=

El valor d’aquest límit depèn del valor del numerador: • Si 4 − k ≠ 0, és a dir, si k ≠ 4, es ∞; per tant, tenim una discontinuïtat de salt infinit. • Si 4 − k = 0, és a dir, si k = 4, tenim una indetermi0 nació que podem resoldre descomponent el nu0 merador en factors i simplificant: lim

x → −2

2⎞ ⎛ 3 (x + 2) ⎜ x − ⎟ ⎝ 3⎠ 2 (x + 2)

x → −2

⎯ ⎯⎯⎯

= lim

e) La funció j és contínua en (2, 3)  (3, + ∞), ja que en aquests intervals ve donada per una expressió analítica polinòmica. Així, i és contínua en  − {−1, 0, 1}. punts on s’anul·la g, que són x = 1 i x = −1. f és discontínua en 0 i en els g

D’una banda, si considerem les funcions f1(x) = 2x i f2(x) = cos x, tenim que f = f2  f1. Com que f1 és contínua en  i f2 també, f = f2  f1 és contínua en . D’altra banda, si considerem les funcions g1(x) = = x2 i g2(x) = ln x, g = g2  g1. Com que g1 és contínua en  i g2 és contínua en el seu domini, D(g2) = (0, +∞), la funció g és contínua exactament en el conjunt de punts x ∈ tals que g1(x) = x2 > 0 és a dir, en  − {0}. d) La funció i és el quocient de les funcions f(x) = cos 2x i g(x) = ln x2 c) Considerem les funcions g1(x) = 2 sin x i g2(x) = ex. Queda clar que g(x) = (g2  g1) (x), i com que tant g1 com g2 són contínues en , la seva composició, o sigui g, és contínua en . Així, h és contínua exactament en [−1, + ∞). D’altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant, contínua en . A més, g(x) > 0 ∀ x. La funció f és la composició de dues funcions: ⎯ f = f2  f1, en què f1(x) = x + 1 i f2 = √ x. Com que f1 és polinòmica, és contínua en , i com que f2 és contínua en el seu domini, que és [0, +∞), tenim que f és contínua exactament en els punts x tals que x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1, que defineix l’interval [−1, + ∞). b) Si definim les funcions f(x) = √ x + 1 i g(x) = x2 + 3, podem expressar h com el seu quof cient: h = . g Com que f és la suma de dues funcions contínues a (4, +∞) (i en cap altre punt), f és contínua en l’interval (4, + ∞) (i en cap altre punt). Com que h1 és contínua en , ja que és polinòmica, i h2 és contínua en (0, + ∞), sense estar definida en (− ∞, 0], la funció h és contínua exactament en els punts x ∈  tals que h1(x) = x − 4 > 0 és a dir, en (4, + ∞). La segona és la composició de dues funcions, h(x) = (h 2  h 1) (x), en què h 1(x) = x − 4 i h2(x) = ln x. La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en .

Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.

1 = +∞ 0

e) La funció j és contínua en (2, 3)  (3, + ∞), ja que en aquests intervals ve donada per una expressió analítica polinòmica.

=

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt infinit a x0 = −2 si i només si k ≠ 4.

2⎞ ⎛ ⋅ ⎜ −2 − ⎟ = −4 ⎝ 3⎠

Així, la funció i =

3 x2 + 4 x − 4 = 2x + 4

3 ⋅ (−2)2 + 4 ⋅ (−2) − k 4−k = 2 ⋅ (−2) + 4 0 3−1 =1 2

(x − 1) (x − 3) x2 − 4 x + 3 = lim = x →3 2x − 6 2 (x − 3) x→3

1

38. a) La funció f és la suma de les funcions g(x) = x2 i h(x) = ln(x − 4).

9. Continuïtat

Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt infinit a x0 = −2 si i només si k ≠ 4. Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable. 2⎞ ⎛ 3 (x + 2) ⎜ x − ⎟ ⎝ 3 3⎠ = lim = x → −2 2 2 (x + 2) x → −2

lim

• Si 4 − k = 0, és a dir, si k = 4, tenim una indetermi0 nació que podem resoldre descomponent el nu0 merador en factors i simplificant: • Si 4 − k ≠ 0, és a dir, si k ≠ 4, es ∞; per tant, tenim una discontinuïtat de salt infinit. El valor d’aquest límit depèn del valor del numerador: =

3 x2 + 4 x − k lim f (x) = lim = x → −2 x → −2 2x + 4 El tipus de discontinuïtat dependrà del compliment de C2: 37. La funció f té una discontinuïtat en x0 = −2, ja que el seu denominador s’anul·la en aquest punt, aleshores no està definida f(−2) i, per tant, no es compleix C1. Per tant, f presenta una discontinuïtat evitable si i només si k = 3. = x →3

lim

Comprovem que efectivament es compleixi C2: 32 − 4 ⋅ 3 + k = 0 ⇒ k = 3 Per tant, hem d’imposar: amb la qual cosa és necessari que el numerador s’anul·li també en x0 = 3. Perquè la discontinuïtat sigui evitable s’ha de complir C2, és a dir, ha d’existir el lim f(x) i ser finit, 36. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè el seu denominador s’anul·la en aquest punt i, per tant, no es compleix la condició C1. x2 − 1

x →1+

⇒ lim

Si x > 1 ⇒ x2 − 1 > 0 ⇒

154

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 154

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

14:00

Página 155

x→ −1

f(−1) = lim f(x)

independentment del valor de a i b. = a sin

Per tant, f és contínua en x0 = 3. Així, podem prendre δ = ε > 0. Per tant, si x − 3 < δ = ε, f(x) − f(3) = x − 3 < ε = x − 3

f(x) − f(3) =  x − 3 − 3 − 3 =  x − 3 =

Si calculem aquest límit: x → −1

= lim

Així, j és discontínua en x = −5.

x (x + 1)

=

−1 − 2 =3 −1

41. La funció f és contínua en

C1: j(2) = 3 ⋅ 2 − 1 = 5; per tant, es compleix C1. 4 4 4 = = C2: lim j(x) = lim x→2 x→2 x + 5 2+5 7 −

π⎞ ⎛ ⎛ π π⎞ ⎛π ⎞ ⎜⎝ −∞, − 2 ⎟⎠  ⎜⎝ − 2 , 2 ⎟⎠  ⎜⎝ 2 , + ∞ ⎟⎠

−

lim j(x) = lim (3 x − 1) = 3 ⋅ 2 − 1 = 5

x→ 2+

x→ 2+

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

—

lim

39. El fet que una funció f sigui contínua en un punt x0 significa que la seva gràfica no s’interromp en aquest punt; és a dir, que es pot dibuixar la gràfica de la funció en un entorn de x0 sense aixecar el llapis del paper.

—

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

Per tant, es compleix C2. x→ 3−

C1: j(3) = 2 ⋅ 3 + 2 = 8

—

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

lim

Per tant, en x0 = 2, j presenta una discontinuïtat. x→ 2+

lim j(x) = lim (3 x − 1) = 3 ⋅ 2 − 1 = 5

C1: j(2) = 3 ⋅ 2 − 1 = 5; per tant, es compleix C1. 4 4 4 = = x+5 2+5 7 x → 2−

C2: lim j(x) = lim

+

(a sin x + b) = π , 2

−

f (x) =

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

lim

−

(5 sin x) =

⎛ π⎞ ⎛ π⎞ — f ⎜ − ⎟ = a ⋅ sin ⎜ − ⎟ + b = − a + b ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ • x = −

• x = 3:

lim

⎛ π⎞ = 5 sin ⎜ − ⎟ = −5 ⎝ 2⎠

lim j(x) = 8 = j(3); per tant, es compleix C3.

lim j(x) = lim (3x − 1) = 3 ⋅ 3 − 1 = 8

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

Perquè f sigui contínua per l’esquerra en x = −

x→3

x→ 3+

+

−5 = −a + b. lim f (x) =

Així, j és contínua en x = 3. lim j(x) = lim (2 x + 2) = 2 ⋅ 3 + 2 = 8

π 2

⎛ π⎞ = a sin x ⎜ − ⎟ + b = ⎝ 2⎠

Finalment, j és contínua en  − {−5, 2}. x → 2−

(a sin x + b) =

⎛ π⎞ = −a + b = −a + b = f ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

Rigorosament, la definició és la següent: x→ 2+

−

Per tant, f és contínua per la dreta a x = −

f és contínua en x0 ⇔ x→ 3−

lim

independentment del valor de a i b. π : 2

⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0  x ∈D(f) , x − x0  < δ ⇒ C2:

f (x) =

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

• x = ⇒ f(x) − f(x0) < ε

x→ 3+

−

π ⎛ π⎞ +b = a+b = f⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2

π ⎛ π⎞ — f ⎜ ⎟ = a sin + b = a + b ⎝ 2⎠ 2

Considerem el cas en què f(x) = x − 3 i x0 = 3.

Per tant, en x0 = 2, j presenta una discontinuïtat. • x = 3:

lim j(x) = lim (3x − 1) = 3 ⋅ 3 − 1 = 8

x→ 3−

x→ 3−

lim j(x) = lim (2 x + 2) = 2 ⋅ 3 + 2 = 8

x→ 3+

perquè en cadascun d’aquests intervals la seva expressió analítica és una combinació lineal de funcions contínues en . π Així, hem d’imposar que sigui contínua en x = − 2 π ix = : 2 • x = −

C1: j(3) = 2 ⋅ 3 + 2 = 8

x→ 3+

—

lim j(x) = 8 = j(3); per tant, es compleix C3.

Així, j és contínua en x = 3.

39. El fet que una funció f sigui contínua en un punt x0 significa que la seva gràfica no s’interromp en aquest punt; és a dir, que es pot dibuixar la gràfica de la funció en un entorn de x0 sense aixecar el llapis del paper.

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

−

(5 sin x) =

Sigui ε > 0.



f(x) − f(3) = x − 3 − 3 − 3 = x − 3 = Per tant, si x − 3 < δ = ε, f(x) − f(3) = x − 3 < ε Així, podem prendre δ = ε > 0. Per tant, f és contínua en x0 = 3.

+

(a sin x + b) =

π 2

independentment del valor de a i b. π : • x = 2 π ⎛ π⎞ — f ⎜ ⎟ = a sin + b = a + b ⎝ 2⎠ 2 —

lim

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

−

f (x) =

= a sin

lim

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

−

(a sin x + b) =

π ⎛ π⎞ +b = a+b = f⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2

Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = independentment del valor de a i b.

π 2

9. Continuïtat

40. Perquè f sigui contínua en x = −1, s’ha de complir (i n’hi prou amb això) la condició C3:

lim

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

Per tant, f és contínua per la dreta a x = −

⇒ f(x) − f(x0) < ε Considerem el cas en què f(x) = x − 3 i x0 = 3.

+

π , 2

⎛ π⎞ = −a + b = −a + b = f ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0  x ∈D(f) , x − x0  < δ ⇒

x→ −1

lim

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ π⎞ = a sin x ⎜ − ⎟ + b = ⎝ 2⎠

f és contínua en x0 ⇔

f(−1) = lim f(x)

f (x) =

−5 = −a + b. lim f (x) = —

Rigorosament, la definició és la següent:

 

−

Perquè f sigui contínua per l’esquerra en x = −

Finalment, j és contínua en  − {−5, 2}.

= x − 3

lim

⎛ π⎞ x→⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ π⎞ ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ + b = − a + b

⎛ π⎞ = 5 sin ⎜ − ⎟ = −5 ⎝ 2⎠

x→3



π . 2

⎛ π⎞ — f ⎜ − ⎟ = a ⋅ sin ⎝ 2⎠

Per tant, es compleix C2. C3:

(x + 1) (x − 2)

=

El valor de la imatge de −1 ha de ser f(−1) = 3.

• x = 2:

C2:

x2 + x

x → −1

x → −1

Vegem si és contínua en x = 2 i x = 3:

x2 − x − 2

lim f (x) = lim

x + 5 = 0 ⇔ x = −5 ∈(− ∞, 2)

Sigui ε > 0. C3:

π 2

Per tant, f és contínua per l’esquerra en x =

40. Perquè f sigui contínua en x = −1, s’ha de complir (i n’hi prou amb això) la condició C3:

9. Continuïtat

155 Com que en (−∞, 2) l’expressió de j és racional, només serà discontínua en aquells punts de l’interval en què s’anul·li el denominador:

ix =

π . 2

π : 2

Així, hem d’imposar que sigui contínua en x = −

π 2

perquè en cadascun d’aquests intervals la seva expressió analítica és una combinació lineal de funcions contínues en . π⎞ ⎛ ⎛ π π⎞ ⎛π ⎞ −∞, − ⎟  ⎜ − , ⎟  ⎜ , + ∞ ⎟ ⎝⎜ ⎝ 2 2⎠ ⎝2 ⎠ 2⎠ 41. La funció f és contínua en

• x = 2: Vegem si és contínua en x = 2 i x = 3: Així, j és discontínua en x = −5. x + 5 = 0 ⇔ x = −5 ∈(− ∞, 2) Com que en (−∞, 2) l’expressió de j és racional, només serà discontínua en aquells punts de l’interval en què s’anul·li el denominador:

El valor de la imatge de −1 ha de ser f(−1) = 3. x → −1

= lim

x → −1

x (x + 1) (x + 1) (x − 2) x → −1

lim f (x) = lim

Si calculem aquest límit:

=

−1 − 2 =3 −1

x2 + x x2 − x − 2

=

155

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

14:00

Página 155 C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

14:00

Página 156

156 —

lim

+

f (x) =

lim

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

+

(2 cos x + 3) =

44. Les gràfiques de f i g es tallen ⇔ existeix un valor x per al qual f(x) = g(x) ⇔ h(x) = f(x) − g(x) = 0. Així, només cal comprovar que h té un zero en l’interval [a, b]. Així, veurem que h compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].

π +3 = 3 2

x→ − ∞

x→ − ∞

lim f(x) = lim 3 x4 = +∞

• h(x) = f(x) − g(x) és la diferència de dues funcions contínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquest interval. • f(a) < g(a) ⇒ h(a) = f(a) − g(a) < 0 • f(b) > g(b) ⇒ h(b) = f(b) − g(b) > 0 Pel teorema de Bolzano, ∃ c ∈(a, b) tal que h(c) = 0. Amb la qual cosa queda demostrat el que es demanava. 45. Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x = x a l’estudi dels zeros de la funció h(x) = = 3 ln x − x. Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [1, 3]: • h és contínua en aquest interval, ja que és la suma d’una funció contínua en (0, +∞), 3 ln x, amb una funció contínua en , −x. Per tant, és contínua en (0, +∞); en particular, és contínua en [1, 3]  (0, +∞). • La imatge dels extrems de l’interval té signe oposat: h(1) = 3 ln 1 − 1 = 3 ⋅ 0 − 1 = −1 < 0 h(3) = 3 ln 3 − 3 = 3 (ln 3 − 1) > 0 Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema de Bolzano; per tant, es compleix la seva tesi: ∃ c ∈(1, 3) tal que h(c) = 0.

46. Transformem el problema de buscar solucions de l’equació x4 − x2 − 20 = 0 en el de cercar zeros de la funció f(x) = x4 − x2 − 20.

9. Continuïtat

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

= 2 cos

π Perquè f sigui contínua per la dreta en x = , 2 3 = a + b. π Per tant, perquè f sigui contínua en x = − i en 2 π x = , i també en , els paràmetres a i b han de 2 complir: −5 = − a + b ⎫ ⎬ ⇒ a = 4 , b = −1 3=a+b ⎭ 42. Si definim la funció: f(x) = 3 x4 − 4 x3 − 6 x2 + 12 x − 20 les solucions de l’equació corresponen, exactament, als zeros de f. Observem que: f(0) = 3 ⋅ 04 − 4 ⋅ 03 − 6 ⋅ 02 + 12 ⋅ 0 − 20 = = −20 < 0 lim f(x) = lim 3 x4 = +∞ x→+ ∞

x→+ ∞

La qual cosa ens diu que f té una arrel negativa i una altra de positiva. Així, veiem quin és el signe de f en els enters negatius i en els positius per tal d’obtenir la part entera d’aquestes:

Així, l’equació 3 ln x = x té una solució real en l’interval (1, 3).

f(0) = −20 < 0 f(−1) = −31 < 0 f(−2) = 12 > 0 Pel teorema de Bolzano, f té un zero a (−2, −1), per la qual cosa la seva part entera ha de ser −2.

Com que f és parell si c > 0 tal que f(c) = 0, es compleix que f(−c) = 0. Així, ens limitarem a veure si f té algun zero a (0, +∞). Així buscarem un interval en què es compleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en (0, +∞).

205 ⎛ 5⎞ f (2) = −8 < 0 ; f ⎜ ⎟ = >0 ⎝ 2⎠ 16 275 ⎛ 3⎞ f (1) = −20 ; f ⎜ ⎟ = − ⎝ 2⎠ 16 323 ⎛ 1⎞ f (0) = −20 ; f ⎜ ⎟ = − ⎝ 2⎠ 16 Com que, a més, ens demanen que donem un interval de longitud menor o igual que 0,5, que contingui aquest zero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...: Així buscarem un interval en què es compleixi el teorema de Bolzano que estigui contingut en (0, +∞). Com que f és parell si c > 0 tal que f(c) = 0, es compleix que f(−c) = 0. Així, ens limitarem a veure si f té algun zero a (0, + ∞). 46. Transformem el problema de buscar solucions de l’equació x4 − x2 − 20 = 0 en el de cercar zeros de la funció f(x) = x4 − x2 − 20. Així, l’equació 3 ln x = x té una solució real en l’interval (1, 3). Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema de Bolzano; per tant, es compleix la seva tesi: ∃ c ∈(1, 3) tal que h(c) = 0. h(3) = 3 ln 3 − 3 = 3 (ln 3 − 1) > 0 h(1) = 3 ln 1 − 1 = 3 ⋅ 0 − 1 = −1 < 0 • La imatge dels extrems de l’interval té signe oposat: • h és contínua en aquest interval, ja que és la suma d’una funció contínua en (0, +∞), 3 ln x, amb una funció contínua en , −x. Per tant, és contínua en (0, +∞); en particular, és contínua en [1, 3]  (0, +∞). Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [1, 3]: 45. Podem reduir l’estudi de les solucions de l’equació 3 ln x = x a l’estudi dels zeros de la funció h(x) = = 3 ln x − x. Pel teorema de Bolzano, ∃ c ∈(a, b) tal que h(c) = 0. Amb la qual cosa queda demostrat el que es demanava. • f(b) > g(b) ⇒ h(b) = f(b) − g(b) > 0 • f(a) < g(a) ⇒ h(a) = f(a) − g(a) < 0 • h(x) = f(x) − g(x) és la diferència de dues funcions contínues en [a, b]; per tant, és contínua en aquest interval. 44. Les gràfiques de f i g es tallen ⇔ existeix un valor x per al qual f(x) = g(x) ⇔ h(x) = f(x) − g(x) = 0.

(2 cos x + 3) =

f(0) = −20 < 0 f(1) = −15 < 0 f(2) = −4 < 0 f(3) = 97 > 0

+

Com que, a més, ens demanen que donem un interval de longitud menor o igual que 0,5, que contingui aquest zero, podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5...:

lim

Pel teorema de Bolzano, f té un zero a (2, 3), per la qual cosa la seva part entera és 2.

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

323 ⎛ 1⎞ f (0) = −20 ; f ⎜ ⎟ = − ⎝ 2⎠ 16

x→ − ∞

π , 2

Així, només cal comprovar que h té un zero en l’interval [a, b]. Així, veurem que h compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [a, b].

π +3 = 3 2

f (x) =

275 ⎛ 3⎞ f (1) = −20 ; f ⎜ ⎟ = − ⎝ 2⎠ 16

+

205 ⎛ 5⎞ f (2) = −8 < 0 ; f ⎜ ⎟ = >0 ⎝ 2⎠ 16

lim

43. No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti a aquesta conclusió. El teorema que coneixem que provaria que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teorema de Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi de continuïtat en [0, 3], ja que en x = 1 ∈[0, 3] el denominador de la funció s’anul·la i, per tant, no es compleix C1.

x→+ ∞

lim f(x) = lim 3 x4 = +∞

⎛ π⎞ x→⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

9. Continuïtat

43. No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti a aquesta conclusió. El teorema que coneixem que provaria que f té un zero en l’interval (0, 3) és el teorema de Bolzano. Però la funció no compleix la hipòtesi de continuïtat en [0, 3], ja que en x = 1 ∈[0, 3] el denominador de la funció s’anul·la i, per tant, no es compleix C1. Pel teorema de Bolzano, f té un zero a (2, 3), per la qual cosa la seva part entera és 2. f(0) = −20 < 0 f(1) = −15 < 0 f(2) = −4 < 0 f(3) = 97 > 0 Pel teorema de Bolzano, f té un zero a (−2, −1), per la qual cosa la seva part entera ha de ser −2. f(0) = −20 < 0 f(−1) = −31 < 0 f(−2) = 12 > 0 La qual cosa ens diu que f té una arrel negativa i una altra de positiva. Així, veiem quin és el signe de f en els enters negatius i en els positius per tal d’obtenir la part entera d’aquestes: x→+ ∞

x→ − ∞

lim f(x) = lim 3 x4 = +∞ = −20 < 0

f(0) = 3 ⋅ 04 − 4 ⋅ 03 − 6 ⋅ 02 + 12 ⋅ 0 − 20 = Observem que: les solucions de l’equació corresponen, exactament, als zeros de f. f(x) = 3 x4 − 4 x3 − 6 x2 + 12 x − 20 42. Si definim la funció: −5 = − a + b ⎫ ⎬ ⇒ a = 4 , b = −1 3=a+b ⎭ π Per tant, perquè f sigui contínua en x = − i en 2 π x = , i també en , els paràmetres a i b han de 2 complir: 3 = a + b. Perquè f sigui contínua per la dreta en x = = 2 cos —

156

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

14:00

Página 156

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 157

Per tant, f és contínua per la dreta en x = −π. = sin (−π) + 3 = f(−π)

x→ − π +

x→ − π +

lim f(x)= lim (sin x + 3) =

• f ha de ser contínua per la dreta en x = −π: Queda per veure la continuïtat en els punts frontera dels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar la continuïtat lateral: Si a ≠ 0, f és contínua en (0, π), ja que és producte de dues funcions contínues en  i, per tant, en aquest interval. f és contínua en (−π, 0)  (π, 2 π), ja que és suma de dues funcions contínues en  i, per tant, en aquests intervals. La funció f ha de ser contínua en [−π, 2 π]:

lim f(x) = lim (sin x + 3) =

x → 0−

47. Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les seves arrels són les solucions de l’equació P(x) = 0, que corresponen als zeros de la funció f(x) = P(x). Hem de demostrar, doncs, que f té com a mínim un zero. Així, tractarem de veure que si existeix algun interval [a, b] en què es compleixin les hipòtesis del teorema de Bolzano. Com que f és polinòmica, és contínua en  i, per tant, en qualsevol interval tancat [a, b]. Només cal, doncs, demostrar que existeixen dos reals a i b en els qual f pren valors de signe diferent. Així, com que no sabem per on és el zero, hem de recórrer a l'estudi del comportament de la funció en prendre a molt petit i b molt gran:

x → 0−

= sin 0 + 3 = 3 = f(0) Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = 0. lim f (x) = lim

x → 0+

x → 0+

1 1 = lim f (x) = f (0) = 3 ⇔ = 3 a x→0 a +

• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = π: lim f (x) = lim

lim f(x) = lim P(x) = an ⋅ (− ∞) x→ − ∞ ↑

x→ − ∞

=

P(x) polinomi de grau imparell

↓ lim f(x) = lim P(x) = an ⋅ (+ ∞)

Si el polinomi és de grau parell, no és cert, ja que el polinomi P(x) = x2 + 1 no té cap arrel real.

x→+ ∞

cos x cos 0 1 = = a a a

Per tant, f és contínua per la dreta en x = 0 si i només si:

x → π−

48. Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’interval [−π, 2 π], han de complir-se les dues hipòtesis:

— Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancat en els subintervals en què f té diferent expressió analítica i veiem en quin (o quins) d’aquests es continua complint aquest teorema, la qual cosa ens indicarà que en aquest interval existeix un zero c de f. 1 Així, si a = i b = −2, es compleix el teorema de Bol3 zano en [−π, 2 π], aleshores f s’anul·la com a mínim en el punt c de l’interval [−π, 2 π]. ⎧1 =3 ⎪⎪ a ⎨ ⎪b + 1 = a ⎩⎪

⎫ 1 ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = , b = −2 3 1⎪ ⎭⎪

Per tant, f és contínua en [−π, 2 π] si i només si els paràmetres a i b verifiquen les dues equacions: Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = 2 π. = cos 2 π + b = 1 + b = f(2 π) x→(2π )−

lim f(x) =

Així, ∃ c tal que P(c) = 0.

x → π−

cos x = a

cos π 1 = − = f (π) a a

Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = π.

x→+ ∞

lim f(x) = lim (cos x + b) =

x→ π +

x→ π +

Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano a [a, b]; per tant, ∃ c ∈(a, b) tal que f(c) = 0.

Com que an és el coeficient del terme de major grau de P(x), aleshores an ≠ 0. Suposem que an > 0 (l’altre cas és anàleg):

f(b) > 0.

En aquest cas, lim f(x) = − ∞, la qual cosa significa

Per tant, f és contínua per la dreta en x = π si i només si:

= + ∞, i significa que ∃ b ∈  prou gran tal que

que ∃ a ∈ prou petit, tal que f(a) < 0, i lim f(x) =

que ∃ a ∈ prou petit, tal que f(a) < 0, i lim f(x) =

= + ∞, i significa que ∃ b ∈  prou gran tal que

−1 + b = lim f(x) = f(π) =

x→ − ∞

= cos π + b = −1 + b

x→+ ∞

f(b) > 0.

Com que an és el coeficient del terme de major grau de P(x), aleshores an ≠ 0. Suposem que an > 0 (l’altre cas és anàleg):

Es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano a [a, b]; per tant, ∃ c ∈(a, b) tal que f(c) = 0.

x→+ ∞

1 1 ⇔ b+ =1 a a

−1 + b = lim f(x) = f(π) = Per tant, f és contínua per la dreta en x = π si i només si: = cos π + b = −1 + b x→ π +

x→ π +

lim f(x) = lim (cos x + b) =

x→+ ∞

↓ lim f(x) = lim P(x) = an ⋅ (+ ∞)

x→ π +

1 1 = − ⇔ b+ =1 a a • f ha de ser contínua per l’esquerra en x = 2 π:

Així, ∃ c tal que P(c) = 0. Si el polinomi és de grau parell, no és cert, ja que el polinomi P(x) = x2 + 1 no té cap arrel real.

Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = π.

P(x) polinomi de grau imparell

lim f(x) = lim P(x) = an ⋅ (− ∞) ↑

x→ − ∞

lim (cos x + b) =

x→ π +

x→+ ∞

x→ − ∞

x→(2π )−

• f ha de ser contínua per l’esquerra en x = 2 π: = −

En aquest cas, lim f(x) = − ∞, la qual cosa significa

9. Continuïtat

157 • f ha de ser contínua per tots dos costats en x = 0:

⎛ 5⎞ Així, l'interval buscat és ⎜ 2, ⎟ . ⎝ 2⎠

48. Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l’interval [−π, 2 π], han de complir-se les dues hipòtesis: La funció f ha de ser contínua en [−π, 2 π]: f és contínua en (−π, 0)  (π, 2 π), ja que és suma de dues funcions contínues en  i, per tant, en aquests intervals. Si a ≠ 0, f és contínua en (0, π), ja que és producte de dues funcions contínues en  i, per tant, en aquest interval. Queda per veure la continuïtat en els punts frontera dels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar la continuïtat lateral: • f ha de ser contínua per la dreta en x = −π: x→ − π +

x→ − π +

= sin (−π) + 3 = f(−π)

Per tant, f és contínua per la dreta en x = −π.

lim (cos x + b) =

x→(2π )−

= cos 2 π + b = 1 + b = f(2 π) Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = 2 π. Per tant, f és contínua en [−π, 2 π] si i només si els paràmetres a i b verifiquen les dues equacions: ⎧1 ⎪⎪ a = 3 ⎨ ⎪b + 1 = ⎪⎩ a

⎫ ⎪⎪ 1 ⎬ ⇒ a = , b = −2 3 1⎪ ⎪⎭

1 i b = −2, es compleix el teorema de Bol3 zano en [−π, 2 π], aleshores f s’anul·la com a mínim en el punt c de l’interval [−π, 2 π].

Així, si a =

— Per trobar aquest valor c, dividim l’interval tancat en els subintervals en què f té diferent expressió analítica i veiem en quin (o quins) d’aquests es continua complint aquest teorema, la qual cosa ens indicarà que en aquest interval existeix un zero c de f.

9. Continuïtat

lim f(x)= lim (sin x + 3) =

lim f(x) =

x→(2π )−

=

x→ − ∞

cos π 1 = − = f (π) a a

x → π−

Així, com que no sabem per on és el zero, hem de recórrer a l'estudi del comportament de la funció en prendre a molt petit i b molt gran: Com que f és polinòmica, és contínua en  i, per tant, en qualsevol interval tancat [a, b]. Només cal, doncs, demostrar que existeixen dos reals a i b en els qual f pren valors de signe diferent. Hem de demostrar, doncs, que f té com a mínim un zero. Així, tractarem de veure que si existeix algun interval [a, b] en què es compleixin les hipòtesis del teorema de Bolzano. 47. Sigui P(x) un polinomi de grau imparell. Les seves arrels són les solucions de l’equació P(x) = 0, que corresponen als zeros de la funció f(x) = P(x).

x → π−

lim f (x) = lim

cos x = a

• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = π: 1 1 = lim f (x) = f (0) = 3 ⇔ = 3 a x→0 a +

Per tant, f és contínua per la dreta en x = 0 si i només si: x → 0+

x → 0+

lim f (x) = lim

cos x cos 0 1 = = a a a

Per tant, f és contínua per l’esquerra en x = 0. = sin 0 + 3 = 3 = f(0) x → 0−

x → 0−

lim f(x) = lim (sin x + 3) =

⎛ 5⎞ Així, l'interval buscat és ⎜ 2, ⎟ . ⎝ 2⎠

• f ha de ser contínua per tots dos costats en x = 0:

157

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 157 C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 158

158 Així, considerem

π ∈ (0, π)  (− π, 2 π) 2

b −4 = − =1 2a 2⋅2

Com que f(−1) > f(2), el màxim absolut de f a [−1, 2] s’assolirà en x 2 = −1: M = (−1, 11). b) • L’interval [0, 3] és tancat d’extrems finits. 5 • g(x) = no és contínua en [0, 3], ja que en x−2 x0 = 2 ∈[0, 3] s’anul·la el denominador, per tant, 2 ∉D(g), de manera que no es compleix la hipòtesi C1. Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a g en [0, 3]. c) • L’interval (−2, 2) no és tancat. Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a h en l’interval (−2, 2). d) • L’interval [−3, 4] és tancat d’extrems finits. • i(x) = −x2 + 2 x + 3 és polinòmica i, per tant, contínua en [−3, 4]. Aleshores, podem aplicar el teorema de Weierstrass a i en [−3, 4]; per tant, existeixen sengles punts x1, x2 ∈[−3, 4] en què s’assoleixen el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M de i a [−3, 4]. Per trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques cap avall (ja que el coeficient de x2 és negatiu); per tant, el màxim absolut de i en  s’assoleix a l’abscissa del vèrtex: x = −

b 2 = − =1 2a 2 ⋅ (−1)

Com que x = 1 ∈ [−3, 4], el màxim absolut de i en [−3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2 = 1: M = (1, 4). D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en algun dels extrems. Per veure en quin d’ells s’assoleix, comparem les seves imatges: i(−3) = −12 ; i(4) = −5 Com que i(−3) < i(4), el mínim absolut de i en [−3, 4] s’assoleix en x1 = −3: m = (−3, −12).

50. a) Tant les funcions polinòmiques com les exponencials són funcions contínues en . Per tant, l’únic punt de possible discontinuïtat és x0 = 100. Analitzem la continuïtat en aquest punt. C1: f(100) = 10,2 ⋅ 100 = 1 020 lim f(x) = k ⋅ 100 ⋅ e−0,001 ⋅100 = 100 ke−0,1

x→100+

lim f(x) = 10,2 ⋅ 100 = 1 020 = f(100)

x→100−

9. Continuïtat

[−π, 2 π] = [−π, 0]  [0, π]  [π, 2 π] i veiem en quin d’aquests subintervals es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano: • f és contínua en [−π, 2 π]; per tant, també ho és en cadascun dels tres subintervals considerats. • f(−π) = sin (−π) + 3 = 3 > 0 f(0) = sin 0 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0 cos π f(π) = = 3 ⋅ (−1) = −3 < 0 1 3 f(2 π) = cos 2 π + (−2) = 1 − 2 = −1 < 0 Per tant, només es compleix la segona hipòtesi del teorema de Bolzano en l’interval central, [0, π]. Així, existeix solució, en (0, π), de l’equació: cos x f (x) = 0 ⇔ =0⇔ 1 3 x ∈ (0, π)

π ↓ ⇔ cos x = 0 ⇔ x = 2 Per tant, f s’anul·la a: c =

49. Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una funció a un interval, l’interval ha de ser tancat (d’extrems finits) i la funció ha de ser contínua en aquest interval. Per tant: a) • L’interval [−1, 2] és tancat d’extrems finits. • f(x) = 2 x2 − 4 x + 5 és polinòmica i, per tant, contínua en ; en particular, contínua en [−1, 2]. Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a f en [−1, 2]; per tant, existeixen x1, x2 ∈[−1, 2] en què s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [−1, 2], m i M. — Per trobar-los, observem que la gràfica de f correspon a una paràbola amb les branques cap amunt (ja que és un polinomi de grau 2 i el coeficient de x2 és positiu); per tant, s’assoleix el mínim absolut en el seu vèrtex, d’abscissa: x = −

Com que x = 1 ∈[−1, 2], el mínim absolut de f en [−1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1 = 1: m = (1, 3).

C2:

lim f(x) = 10,2 ⋅ 100 = 1 020 = f(100) lim f(x) = k ⋅ 100 ⋅ e−0,001 ⋅100 = 100 ke−0,1

D’altra banda, el màxim absolut s’assolirà en algun dels extrems. Per veure en quin d’ells, comparem les seves imatges:

x→100−

x→100+

b 2 = − =1 2a 2 ⋅ (−1)

C2:

C2: C2:

C1: f(100) = 10,2 ⋅ 100 = 1 020 50. a) Tant les funcions polinòmiques com les exponencials són funcions contínues en . Per tant, l’únic punt de possible discontinuïtat és x0 = 100. Analitzem la continuïtat en aquest punt. Com que i(−3) < i(4), el mínim absolut de i en [−3, 4] s’assoleix en x1 = −3: m = (−3, −12). i(−3) = −12 ; i(4) = −5 Per veure en quin d’ells s’assoleix, comparem les seves imatges: D’altra banda, el mínim absolut s’assolirà en algun dels extrems. Com que x = 1 ∈ [−3, 4], el màxim absolut de i en [−3, 4] s’assolirà en aquest punt, x2 = 1: M = (1, 4). x = −

Per trobar-los, observem que la gràfica de i correspon a una paràbola amb les branques cap avall (ja que el coeficient de x2 és negatiu); per tant, el màxim absolut de i en  s’assoleix a l’abscissa del vèrtex: Aleshores, podem aplicar el teorema de Weierstrass a i en [−3, 4]; per tant, existeixen sengles punts x1, x2 ∈[−3, 4] en què s’assoleixen el mínim absolut, m, i el màxim absolut, M de i a [−3, 4]. • i(x) = −x2 + 2 x + 3 és polinòmica i, per tant, contínua en [−3, 4]. d) • L’interval [−3, 4] és tancat d’extrems finits. Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a h en l’interval (−2, 2). c) • L’interval (−2, 2) no és tancat. Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a g en [0, 3].

f(−1) = 11 ; f(2) = 5

b −4 = − =1 2a 2⋅2 cos x =0⇔ 1 3

cos π = 3 ⋅ (−1) = −3 < 0 1 3

5 no és contínua en [0, 3], ja que en x−2 x0 = 2 ∈[0, 3] s’anul·la el denominador, per tant, 2 ∉D(g), de manera que no es compleix la hipòtesi C1.

• g(x) =

b) • L’interval [0, 3] és tancat d’extrems finits.

[−π, 2 π] = [−π, 0]  [0, π]  [π, 2 π]

9. Continuïtat

f(−1) = 11 ; f(2) = 5 D’altra banda, el màxim absolut s’assolirà en algun dels extrems. Per veure en quin d’ells, comparem les seves imatges: Com que x = 1 ∈[−1, 2], el mínim absolut de f en [−1, 2] s’assolirà en aquest punt, x1 = 1: m = (1, 3). x = −

— Per trobar-los, observem que la gràfica de f correspon a una paràbola amb les branques cap amunt (ja que és un polinomi de grau 2 i el coeficient de x2 és positiu); per tant, s’assoleix el mínim absolut en el seu vèrtex, d’abscissa: Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a f en [−1, 2]; per tant, existeixen x1, x2 ∈[−1, 2] en què s’assoleixen el mínim i el màxim absoluts de f en [−1, 2], m i M. • f(x) = 2 x2 − 4 x + 5 és polinòmica i, per tant, contínua en ; en particular, contínua en [−1, 2]. a) • L’interval [−1, 2] és tancat d’extrems finits. 49. Per poder aplicar el teorema de Weierstrass a una funció a un interval, l’interval ha de ser tancat (d’extrems finits) i la funció ha de ser contínua en aquest interval. Per tant: π c = ∈ (0, π)  (− π, 2 π) 2 Per tant, f s’anul·la a: π ↓ ⇔ cos x = 0 ⇔ x = 2 x ∈ (0, π)

f (x) = 0 ⇔

Així, existeix solució, en (0, π), de l’equació: Per tant, només es compleix la segona hipòtesi del teorema de Bolzano en l’interval central, [0, π]. f(2 π) = cos 2 π + (−2) = 1 − 2 = −1 < 0 f(π) =

f(0) = sin 0 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0 • f(−π) = sin (−π) + 3 = 3 > 0 • f és contínua en [−π, 2 π]; per tant, també ho és en cadascun dels tres subintervals considerats. i veiem en quin d’aquests subintervals es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano:

Com que f(−1) > f(2), el màxim absolut de f a [−1, 2] s’assolirà en x 2 = −1: M = (−1, 11).

Així, considerem

158

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 158

C M Y K

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 159

159 9. Continuïtat

Perquè la funció sigui contínua s’ha de complir: k ⋅ 100 ⋅ e−0,1 = 1 020 ⇒ k =

10, 2 e −0 ,1

El preu per unitat serà: 3 021, 8 = 7, 55 400

= 11, 27

b) Per k = 11,27, f(400) = 11,27 ⋅ 400 ⋅ e−0,001 ⋅ 400 = = 3 021,8.

51. Activitat TIC 52. Activitat TIC

9. Continuïtat

b) Per k = 11,27, f(400) = 11,27 ⋅ 400 ⋅ e−0,001 ⋅ 400 = = 3 021,8. k ⋅ 100 ⋅ e−0,1 = 1 020 ⇒ k =

e −0 ,1 10, 2

= 11, 27

Perquè la funció sigui contínua s’ha de complir:

52. Activitat TIC 51. Activitat TIC 3 021, 8 = 7, 55 400 El preu per unitat serà:

159

09 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:01

Página 159 C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 160

= lim

Calculem la població actual que correspon a P(0):

x→+ ∞

x→+ ∞

25 (t − 2) 5 + (t − 2)2

25 (t − 2) 5 + (t − 2)2

h→ 0

8 h − h2 h h ( − ) 8 = lim = lim (8 − h) = 8 h→ 0 h→ 0 h h

b) g ′(1) = lim

h→ 0

1 h→ 0

+ 20 =

+ lim 20 = 0 + 20 = 20

= lim

h→ 0

x→+ ∞

= lim

h→ 0

g(1 + h) − g(1) = h

(1 + h)2 h

−

1 12

= lim

1 − (1 + h)2 h(1 + h)2

h→ 0

− h2 − 2 h h (1 + h)2 −h − 2 (1 + h)2

= lim

h→ 0

h (− h − 2) h (1 + h)2

=

=

= −2

5. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2 és: y − f(2) = f ′(2) (x − 2) Calculem f(2) i f ′(2): • f(2) = −(2)2 + 6 ⋅ 2 − 3 = 5 • f ′(2) = lim

h→ 0

f (2 + h) − f (2) = h

−(2 + h)2 + 6 (2 + h) − 3 − 5 = h

h→ 0

= lim

3. Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitat mitjana del mòbil en els dos intervals:

= lim (− h + 2) = 2

f (19) − f (12) 399 − 336 = = 9 19 − 12 7

h→ 0

Si substituïm aquests valors, tenim: y − 5 = 2 (x − 2) ⇒ 2 x − y + 1 = 0 3. FUNCIÓ DERIVADA 6. f(x) = k

10 Derivades

1. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA 1. a)

25 (0 − 2) −50 P(0) = + 20 = + 20 = 5+4 5 + (0 − 2)2 50 + 20 = 14, 4 9 = −

= lim

b) Calculem el límit següent: lim P(t ) = lim

x→+ ∞

= lim

c)

P(10) − P(0) TVM [0, 10] = = 10 − 0 25 (10 − 2) + 20 − 14, 4 5 + (10 − 2)2 = = 10 200 + 20 − 14, 4 = 69 = 0, 85 10

2. El pendent de la recta coincideix amb la taxa de variació mitjana de la funció entre els dos punts d’abscissa considerats: f (2) − f (−1) 8 − (−1) m = TVM [−1, 2] = = =3 2 − (−1) 3

− h2 + 2 h h (− h + 2) = lim = h→ 0 h h

h→ 0

= lim

f (5) − f (3) 175 − 111 = = 32 5−3 2

=

TVM [3, 5] =

= −2 h (1 + h)2 h (− h − 2)

=

Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h.

h→ 0

−h − 2

h→ 0

= lim

h(1 + h)2 1 − (1 + h)2

1

TVM [12, 19] =

− h2 + 2 h h (− h + 2) = lim = h→ 0 h h f (2 + h) − f (2) = h

(1 + h)2

h (1 + h)2 − h2 − 2 h

= lim

12

2. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

= lim

h→ 0

10 Derivades

f(x + h) − f(x) (x + h)6 − x 6 =0 = lim h→ 0 h h

−(2 + h)2 + 6 (2 + h) − 3 − 5 = h

h→ 0

= lim

h→ 0

−

4. Apliquem la definició de derivada d’una funció en un punt:

+ 20 =

1

g(1 + h) − g(1) = h

h→ 0

h→ 0

f ′(x) = lim 7. • f(x) = x6

f (x + h) − f (x) k−k = lim =0 h→ 0 h h

y − 5 = 2 (x − 2) ⇒ 2 x − y + 1 = 0 Si substituïm aquests valors, tenim: h→ 0

= lim (− h + 2) = 2 = lim

h→ 0

• f ′(2) = lim

• f(2) = −(2)2 + 6 ⋅ 2 − 3 = 5 Calculem f(2) i f ′(2): 5. L’equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2 és: y − f(2) = f ′(2) (x − 2) h→ 0

= lim

x→+ ∞

5 + (t − 2)2

(1 + h)2 = lim h→ 0 h h→ 0

b) g ′(1) = lim h→ 0

f ′(x) = lim

6 (−1 + h) − (−1 + h) − 6 (−1) + (−1) = h 2

h→ 0

f ′(x) = lim 6. f(x) = k

3. FUNCIÓ DERIVADA

f (19) − f (12) 399 − 336 = = 9 19 − 12 7 f (2) − f (−1) 8 − (−1) = =3 2 − (−1) 3

5 + (t − 2)

2

+ lim 20 = 0 + 20 = 20

x→+ ∞

lim P(t ) = lim

Calculem la població actual que correspon a P(0):

f (−1 + h) − f (−1) a) f ′(−1) = lim = h

160 h→ 0

= lim

2

f (−1 + h) − f (−1) a) f ′(−1) = lim = h→ 0 h 4. Apliquem la definició de derivada d’una funció en un punt: 2. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 3 h i les 5 h. TVM [12, 19] =

f (5) − f (3) 175 − 111 TVM [3, 5] = = = 32 5−3 2 3. Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitat mitjana del mòbil en els dos intervals: m = TVM [−1, 2] =

2. El pendent de la recta coincideix amb la taxa de variació mitjana de la funció entre els dos punts d’abscissa considerats: c)

P(10) − P(0) TVM [0, 10] = = 10 − 0 25 (10 − 2) + 20 − 14, 4 5 + (10 − 2)2 = = 10 200 + 20 − 14, 4 = 69 = 0, 85 10 x→+ ∞

= lim

25 (t − 2)

x→+ ∞

25 (t − 2)

b) Calculem el límit següent: 25 (0 − 2) −50 + 20 = + 20 = 5+4 5 + (0 − 2)2 50 = − + 20 = 14, 4 9

P(0) = 1. a)

8 h − h2 (8 − h) h = lim = lim (8 − h) = 8 h → 0 h→ 0 h h

= lim

1. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA

f (x + h) − f (x) k−k = lim =0 h→ 0 h h

h→ 0

= lim

h→ 0

6 (−1 + h) − (−1 + h)2 − 6 (−1) + (−1)2 = h

7. • f(x) = x6

f(x + h) − f(x) (x + h)6 − x 6 =0 = lim h→ 0 h h

f ′(x) = lim

h→ 0

10:23

160

28/5/09

10 Derivades

10 Derivades 10 Mates CSS_Guia.qxd

Página 160

C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 161

(3 − 2 e x )2

=

4 x 2 (3 cos x − x sin x) (3 − 2 e x ) + (4 x3 cos x) 2 e x

x 6 + 6 x 5 h + 15 x 4 h2 + 20 x 3 h3 + 15 x 2 h4 + 6 x h5 + h6 − x 6 = h

= lim

h (6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h2 + 15 x 2 h3 + 6 x h4 + h5 ) = h

h→ 0

(3 − 2 e x )2

=

[12 x 2 cos x + 4 x3 (− sin x)] (3 − 2 e x ) − (4 x3 cos x) (−2 e x )

h→ 0

(3 − 2 e x )2

f ′(x) =

3 − 2 ex (4 x 3 cos x)′ (3 − 2 e x ) − (4 x 3 cos x) (3 − 2 e x )′

= lim (6 x5 + 15 x4 h + 20 x3 h2 + 15 x2 h3 + 6 x h4 + h5) = 6 x5 h→0

Així, f ′(x) = 6 x5 = n xn−1 si n = 6, tal com es mostra en la taula 1. j) f (x) =

=

10 Derivades

161 = lim

8. a) f(x) = 3 x7 ; f ′(x) = 7 ⋅ 3 x7−1 = 21 x6 3

b) f (x) =

x2 = x 2

3

3

f ′(x) =

3 2 −1 3 x = x 2 2 2

c) f (x) =

5

x3

=

2 3

3−2 2

= 2x

1

= −

3 5

x5 3

f ′(x) = −

3 x 3 2 x = 2 2

− −1 3 6 2x 5 = − x 5 5

−3 − 5 5

8

= −

6 6 −5 6 x = − = − 5 5 8 5 5 x x3 5 x

=

4 x 3 cos x

x + tg x i) f (x) = 2x 1 ⎞ ⎛ 1+ ⎟ ⋅ 2 x − (x + tg x) ⋅ 2 2 ⎠ ⎝⎜ (x + tg x)′ ⋅ 2 x − (x + tg x) ⋅ (2 x)′ cos x = f ′(x) = = 4 x2 (2 x)2 x x+ − x − tg x tg x tg x ⎞ x 1 ⎛ 1 cos2 x = − = − ⎜ x ⎠⎟ 2 x ⎝ cos2 x 2 x2 2 x 2 cos2 x 2 x 2 =

sin2 x

=

d) f(x) = 4 x6 − 5 x4 + 2 x3− 1 f ′(x) = 6 ⋅ 4 x5 − 4 ⋅ 5 x3 + 3 ⋅ 2 x2 = 24 x5 − 20 x3 + 6 x2 e) f(x) = sin x ⋅ ex f ′(x) = (sin x)′ ⋅ ex + sin x (ex)′ = cos x ⋅ ex + sin x ⋅ ex = ex (cos x + sin x) f) f(x) = 2 x3 ln x f ′(x) = (2 x 3 )′ 1n x + 2 x 3 (1n x)′ = 6 x 2 1n x + 2 x 3 ⋅

1 = 6 x 2 1n x + 2 x 2 = 2 x 2 (3 1n x + 1) x

g) f(x) = (4 x3 + 2 x) (5 x2 − 3 x + 2) = 20 x5 − 12 x4 + 18 x3 − 6 x2 + 4 x f ′(x) = 5 ⋅ 20 x4 − 4 ⋅ 12 x3 + 3 ⋅ 18 x2 − 2 ⋅ 6 x + 4 = 100 x4 − 48 x3 + 54 x2 − 12 x + 4 4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7 sin x

h) f (x) =

(4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7)′ sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) (sin x)′

f ′(x) =

(sin x)2 (3 ⋅ 4 x 2 − 2 ⋅ 5 x + 2) sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) cos x

=

siin2 x

(12 x 2 − 10 x + 2) sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) cos x siin2 x

=

(3 ⋅ 4 x 2 − 2 ⋅ 5 x + 2) sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) cos x

h) f (x) =

=

(sin x)2

f ′(x) =

(4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7)′ sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) (sin x)′

=

4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7 sin x

g) f(x) = (4 x3 + 2 x) (5 x2 − 3 x + 2) = 20 x5 − 12 x4 + 18 x3 − 6 x2 + 4 x f ′(x) = 5 ⋅ 20 x4 − 4 ⋅ 12 x3 + 3 ⋅ 18 x2 − 2 ⋅ 6 x + 4 = 100 x4 − 48 x3 + 54 x2 − 12 x + 4 f ′(x) = (2 x 3 )′ 1n x + 2 x 3 (1n x)′ = 6 x 2 1n x + 2 x 3 ⋅ f) f(x) = 2 x3 ln x

1 = 6 x 2 1n x + 2 x 2 = 2 x 2 (3 1n x + 1) x

e) f(x) = sin x ⋅ ex f ′(x) = (sin x)′ ⋅ ex + sin x (ex)′ = cos x ⋅ ex + sin x ⋅ ex = ex (cos x + sin x) d) f(x) = 4 x6 − 5 x4 + 2 x3− 1 f ′(x) = 6 ⋅ 4 x5 − 4 ⋅ 5 x3 + 3 ⋅ 2 x2 = 24 x5 − 20 x3 + 6 x2

= f ′(x) = −

− −1 3 6 2x 5 = − x 5 5 3

c) f (x) = f ′(x) = f ′(x) = =

x+

=

(12 x 2 − 10 x + 2) sin x − (4 x3 − 5 x 2 + 2 x + 7) cos x sin2 x

x + tg x 2x

i) f (x) =

=

(x + tg x)′ ⋅ 2 x − (x + tg x) ⋅ (2 x)′ (2 x)2

1 ⎞ ⎛ ⎜⎝ 1 + ⎟ ⋅ 2 x − (x + tg x) ⋅ 2 cos2 x ⎠ = = 4 x2

x

− x − tg x tg x tg x ⎞ x 1 ⎛ 1 cos2 x = − = − ⎜ x ⎟⎠ 2 x ⎝ cos2 x 2 x2 2 x 2 cos2 x 2 x 2

5

x5

x3

=

2

3

2

= 2x

3 2 −1 3 x = x 2 2 3

b) f (x) =

3

3−2 2

−

−3 − 5 5

= −

6 6 −5 6 x = − = − 5 5 5 5 x x3 5 x8 8

3 5

=

3 x 3 2 x = 2 2 1

x2 = x 2 3

j) f (x) =

8. a) f(x) = 3 x7 ; f ′(x) = 7 ⋅ 3 x7−1 = 21 x6 Així, f ′(x) = 6 x5 = n xn−1 si n = 6, tal com es mostra en la taula 1. h→0

h (6 x 5 + 15 x 4 h + 20 x 3 h2 + 15 x 2 h3 + 6 x h4 + h5 ) = h

h→ 0

=

x 6 + 6 x 5 h + 15 x 4 h2 + 20 x 3 h3 + 15 x 2 h4 + 6 x h5 + h6 − x 6 = h

h→ 0

=

3 − 2 ex (4 x 3 cos x)′ (3 − 2 e x ) − (4 x 3 cos x) (3 − 2 e x )′ (3 − 2 e x )2

=

[12 x 2 cos x + 4 x3 (− sin x)] (3 − 2 e x ) − (4 x3 cos x) (−2 e x ) (3 − 2 e x )2 4 x 2 (3 cos x − x sin x) (3 − 2 e x ) + (4 x3 cos x) 2 e x (3 − 2 e x )2

=

10 Derivades

f ′(x) =

4 x 3 cos x

= lim (6 x5 + 15 x4 h + 20 x3 h2 + 15 x2 h3 + 6 x h4 + h5) = 6 x5 = lim

= lim

161

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 161 C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 162

162 11. a) Segons la definició de funció derivada, derivada segona i derivada tercera, tenim: f (x + h) − f (x) = h • f ′(x) = lim

h→ 0

h→ 0

1 ⎤ ⎥ x ⎥ − cos x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

= lim

h→ 0

= lim

↑ h′(x) = −sin x g′(x) = 4 x



= − 3 cotg 3 x

h→ 0

2 (x + h)2 − 4 − (2 x 2 − 4) = h 2 x 2 + 4 x h + 2 h2 − 4 − 2 x 2 + 4 h h (4 x + 2 h) = lim (4 x + 2 h) = 4 x h→ 0 h

=

f ′(x + h) − f ′(x) = • f ′′(x) = lim h→ 0 h 4 (x + h) − 4 x 4h = lim = lim 4 = 4 h→ 0 h h→ 0 h = lim

h→ 0

f ′′(x + h) − f ′′(x) = • f ′′′(x) = lim h→ 0 h 4−4 = lim 0 = 0 h→ 0 h = lim

h→ 0

b) • f ′(x) = lim

h→ 0

1 1 − x+h x f(x + h) − f(x) = lim = h→ 0 h h

1 −1 −1 = lim = − 2 x (x + h) h → 0 x 2 + x h x

h→ 0

x − (x + h) −h x (x + h) = lim h → 0 h x (x + h) = h

h→ 0

= lim = lim

3

−1

= − 18 x 2 cos (3 x3 − 1) sin (3 x3 − 1)

• f ′′(x) = lim

h→ 0

= lim

(x + h)2 h

h→ 0

2x x4

−

−1 = lim

h→ 0

h (2 x + h) h x 2(x + h)2 =

= lim

h→ 0

− x 2 + (x + h)2 x 2 (x + h)2 h

=

=

2x + h x 2(x + h)2

=

2 x3 h→ 0

2 h→ 0

x2

− x 2 + x 2 + 2 x h + h2 h x 2 (x + h)2

h→ 0

= lim =

• f ′′′(x) = lim

P′(x)= −6 x5 = lim

P(4)(x) = −120 ⋅ 3 x2 = −360 x2 = lim

f ′′(x + h) − f ′′(x) = h

(x + h)3 h

−

2 x 3 − 2 (x + h)3

2 x3

x 3(x + h)3 h

= lim

h→ 0

=

2 x 3 − 2 x 3 − 6 x 2 h − 6 x h 2 − 2 h3

=

h x 3(x + h)3

h→ 0

P(6)(x) = −720

= lim

h (−6 x 2 − 6 x h − 2 h2 ) h x 3(x + h)3

h→ 0

−6 x 2 − 6 x h − 2 h 2

=

−6 x 2

=

x6

= −

6 x4

10 Derivades

9. a) f(x) = (5 x2 − 3 x + 1)4 f(x) = (h o g) (x) on h(x) = x4 y g(x) = 5 x2 − 3 x + 1 Així, h ′(x) = 4 x3 i g ′(x) = 10 x − 3

= lim

Per tant, f ′(x) = h ′(g(x)) g ′(x) = = 4 (5 x2 − 3 x + 1)3 (10 x − 3) b) f(x) = cos (2 x2 − 5) f(x) = (h o g) (x) on h(x) = cos x y g(x) = 2 x2 − 5 Així, f ′(x) = h′(g(x)) g ′(x) = [−sin (2 x2 − 5)] 4 x



c) f(x) = ln (sin 3 x) f(x) = (f1 o f 2 o f3) (x) on f3(x) = 3 x , f 2(x) = sin x i f1(x) = ln x Així, f ′(x) = f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ (f2 o f3)′(x) = = f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ f ′2(f3 (x)) ⋅ f ′3(x) = cos 3 x 1 = (− cos 3 x) ⋅ 3 = −3 sin 3 x sin 3 x = ↑

⎡ ⎢ f1′(x) = ⎢ ⎢ f2′(x) = ⎢ f ′(x) = ⎢3 ⎣

d) f(x) = cos2 (3 x3 − 1) f(x) = (f1 o f 2 o f3) (x) en què f3(x) = 3 x3 − 1, f 2(x) = cos x i f1(x) = x2 Així, f ′(x) = f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ f ′2(f3 (x)) ⋅ f ′3(x) = = [2 cos (3 x3 − 1)] [−sin (3 x 3 − 12)] ⋅ 9 x2

x4 6

10. Cada vegada que es deriva una funció polinòmica el seu grau disminueix un ordre. Així, si una funció polinòmica de grau 6 la derivem 7 vegades la funció que s’obté és la idènticament nul·la.

= −

Considerem, per exemple, la funció polinòmica P(x) = −x6 + 2. La derivem 7 vegades:

x

6

−6 x 2

= =

P(x) = −6 ⋅ 5 x4 = −30 x4

h→ 0

=

P(x) = −30 ⋅ 4 x3 = −120 x3

3

=

=

x 3(x + h)3 h

= lim

2 x 3 − 2 (x + h)3 2x + h

P(5)(x) = −360 ⋅ 2 x = −720 x

x

3

2

2 x 2(x + h)2

=

P(7)(x) = 0

x (x + h) 3

−6 x 2 − 6 x h − 2 h 2 h x 3(x + h)3

h (−6 x 2 − 6 x h − 2 h2 )

2 x 3 − 2 x 3 − 6 x 2 h − 6 x h 2 − 2 h3 −

f ′′(x + h) − f ′′(x) = h

x3 h→ 0

= lim

= lim

x 3(x + h)3

h→ 0

(x + h) h =

h (2 x + h)

x 2 (x + h)2 h

h→ 0

x2

− x 2 + (x + h)2

h→ 0

h→ 0

= lim

h→ 0

= lim

h x 3(x + h)3

h→ 0

= lim 2

= lim x4

2x

h x 2(x + h)2

=

− x 2 + x 2 + 2 x h + h2 (x + h)2 h

−1

1 −1 −1 = lim = − 2 x (x + h) h → 0 x 2 + x h x 4−4 = lim 0 = 0 h→ 0 h f ′′(x + h) − f ′′(x) = h =

2 x 2 + 4 x h + 2 h2 − 4 − 2 x 2 + 4

= lim

2

3

3

2 h→ 0

• f ′′′(x) = lim =

h→ 0

= lim

h x 2 (x + h)2

h→ 0

= lim

h→ 0

• f ′′(x) = lim

−

−1 h→ 0

= lim

x − (x + h) −h x (x + h) = lim = lim h→ 0 h → 0 h x (x + h) = h 1 1 − + x h x f(x + h) − f(x) b) • f ′(x) = lim = lim = h→ 0 h→ 0 h h h→ 0

= lim

h→ 0

• f ′′′(x) = lim

h (4 x + 2 h) = lim (4 x + 2 h) = 4 x h→ 0 h h

h→ 0

= lim

2 (x + h)2 − 4 − (2 x 2 − 4) = h

— Del comentari inicial es dedueix que a partir de la derivada enèsima totes les derivades successives d’un polinomi de grau n seran nul·les.

1 ⎤ ⎥ x ⎥ − cos x ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎦

= − 3 cotg 3 x



g′(x) = 4 x 3

h→ 0

= lim

y g(x) = 5 x2 − 3 x + 1

10 Derivades

— Del comentari inicial es dedueix que a partir de la derivada enèsima totes les derivades successives d’un polinomi de grau n seran nul·les. P(7)(x) = 0 P (x) = −720 (6)

P (x) = −360 ⋅ 2 x = −720 x (5)

P (x) = −120 ⋅ 3 x = −360 x (4)

P(x) = −30 ⋅ 4 x = −120 x 3

P(x) = −6 ⋅ 5 x4 = −30 x4 P′(x)= −6 x5 Considerem, per exemple, la funció polinòmica P(x) = −x6 + 2. La derivem 7 vegades: 10. Cada vegada que es deriva una funció polinòmica el seu grau disminueix un ordre. Així, si una funció polinòmica de grau 6 la derivem 7 vegades la funció que s’obté és la idènticament nul·la. = − 18 x 2 cos (3 x3 − 1) sin (3 x3 − 1) = [2 cos (3 x3 − 1)] [−sin (3 x 3 − 12)] ⋅ 9 x2 Així, f ′(x) = f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ f ′2(f3 (x)) ⋅ f ′3(x) = f3(x) = 3 x3 − 1, f 2(x) = cos x i f1(x) = x2 f(x) = (f1 o f 2 o f3) (x) en què d) f(x) = cos2 (3 x3 − 1) ⎡ ⎢ f1′(x) = ⎢ ⎢ f2′(x) = ⎢ f ′(x) = ⎢3 ⎣

↑

= f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ f ′2(f3 (x)) ⋅ f ′3(x) = cos 3 x 1 = = (− cos 3 x) ⋅ 3 = −3 sin 3 x sin 3 x c) f(x) = ln (sin 3 x) f(x) = (f1 o f 2 o f3) (x) on f3(x) = 3 x , f 2(x) = sin x i f1(x) = ln x Així, f ′(x) = f ′1(f2 o f3)(x) ⋅ (f2 o f3)′(x) =



↑ h′(x) = −sin x

Així, f ′(x) = h′(g(x)) g ′(x) = [−sin (2 x2 − 5)] 4 x

f ′(x + h) − f ′(x) = h 4 (x + h) − 4 x 4h = lim = lim = lim 4 = 4 h→ 0 h → 0 h→ 0 h h h→ 0

• f ′′(x) = lim

y g(x) = 2 x2 − 5 f(x) = (h o g) (x) on h(x) = cos x

h→ 0

= lim

b) f(x) = cos (2 x2 − 5) = 4 (5 x − 3 x + 1) (10 x − 3) 2

f ′(x) = h ′(g(x)) g ′(x) = Per tant, Així, h ′(x) = 4 x3 i g ′(x) = 10 x − 3

11. a) Segons la definició de funció derivada, derivada segona i derivada tercera, tenim: f (x + h) − f (x) = • f ′(x) = lim h→ 0 h

9. a) f(x) = (5 x2 − 3 x + 1)4 f(x) = (h o g) (x) on h(x) = x4

162

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 162

C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 163

163 t = 2 ⇒ f(2) = 0,01 ⋅ 22 + 0,3 ⋅ 2 + 5 = 5,64

Any 2005:

f (x) = (2 ⋅ 3 e3 x)′ = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 e3 x = 2 ⋅ 32 e3 x

Any 2003:

f (x) = (2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ e3 x)′ = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 e3 x = 2 ⋅ 33 e3 x

Any 2001:

= −

A partir d’aquestes derivades s’observa que l’expressió de la derivada enèsima de f és:

t = 0 ⇒ f (0) = 5

f (x) = 2 ⋅ 3 e (n)

⎛ 2 3⎞ 2 3 f ⎜− ⎟ = − 3 ⎠ 3 ⎝

15. Calculem el PNB corresponent als anys 2001, 2003, 2005 i 2007:

Així, l’expressió de f

t = 4 ⇒ f(4) = 0,01 ⋅ 42 + 0,3 ⋅ 4 + 5 = 6,36 Any 2007: t = 6 ⇒ f(6) = 0,01 ⋅ 62 + 0,3 ⋅ 6 + 5 = 7,16

n 3x

(34)

és:

Trobem les corresponents taxes mitjanes de la variació:

=

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

f (34)(x) = 2 ⋅ 334 e3 x

TVM [0, 2] =

=

15,98 = 3,997 499...

4. DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ

2 16 1

⋅ (−0, 02) = 3, 997 5

4 13. Considerem la funció V (r) = π r 3 , r0 = 1 m i 3 h = 5 mm = 0,005 m Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:

3

2 3 2 3 4 3 12 36 ⎞ − ⋅ ⎞ ⎛ ⎛ − 4⎟ = = ⎝⎜ 9 ⎠ 3 ⎜⎝ 9 ⎠⎟ x =

l’increment, Δf, per la diferencial, df, tenim: 2 x 1

⎛4 ⎞′ i, com que V ′(r) = ⎜ π r 3 ⎟ = 4 π r 2 , substituint ⎝3 ⎠ aquests valors:

5, 64 − 5 = 0, 32 2−0

TVM [2, 4] =

6, 36 − 5, 64 = 0, 36 4−2

TVM [4, 6] =

7, 16 − 6, 36 = 0, 4 6−4

Per la qual cosa durant el tercer període es va produir un major creixement del PNB. 16. f(x) = x3 − 4 x

d V = 4 π r0 h = 4 π ⋅ 12 ⋅ 0,005 = 0,062 8 m3

L’eix d’abscisses té per equació y = 0, és a dir, té pendent m = 0.

Aquest valor és una aproximació força bona a l’increment exacte:

Així, hem de buscar punts de la gràfica de f(x) en els quals la recta tangent a aquesta gràfica tingui pendent 0. Sabem que el pendent de la recta tangent a f(x) a x és f ′(x). Volem trobar (x, f(x)) tal que f ′(x) = 0. Així:

2

ΔV = V (r0 + h) − V (r0) =

3

y x = −

2 3

3 2 3

Per tant, les imatges dels punts , aplicant l’aproximació de f(x) = x3 − 4 x = x(x2 − 4)

f(x) = √ x, x = 16 i h = −0,02 0

⎯

I, d’altra banda:

14. Considerem la funció: ⇔ x2 = =

2 ⎞ ⎛⎛ 2 3⎞ ⎜⎜ ⎟ − 4⎟ = 3 ⎠ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝

són:

f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′(x0) h =

ΔV  d V = V′ (r0) h

Com que f ′(x) =

2 ⎞ ⎛⎛ 2 3⎞ ⎜⎜ ⎟ − 4⎟ = 3 ⎠ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝

2 3 ⎛ 24 ⎞ 3 − = −16 3 ⎝⎜ 9 ⎠⎟ 9

⎛ (2 3 )⎞ 2 3 f ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 3 ⎠

que és una bona aproximació del valor exacte: =4+

2 3 8 3 ⎛ ⎞ − = 16 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9 3

10 Derivades

12. f ′(x) = (2 e3 x)′ = 2 ⋅ 3 e3 x

4 4 π (1, 005)3 − π ⋅ 13 = 0, 0631 m3 3 3 ΔV = V (r0 + h) − V (r0) =

=

4 4 π (1, 005)3 − π ⋅ 13 = 0, 0631 m3 3 3

f ′(x) = 3 x2 − 4 = 0 ⇔ ⇔ x2 =

14. Considerem la funció: ⎯

f(x) = √ x, x0 = 16 i h = −0,02

Aquest valor és una aproximació força bona a l’increment exacte: d V = 4 π r0 h = 4 π ⋅ 12 ⋅ 0,005 = 0,062 8 m3 2

Com que f ′(x) =

I, d’altra banda: f(x) = x3 − 4 x = x(x2 − 4)

1 2 x

, aplicant l’aproximació de Per tant, les imatges dels punts

l’increment, Δf, per la diferencial, df, tenim: x =

2 3 4 2 ⇔ x = ± = ± 3 3 3

f ′(x) = 3 x2 − 4 = 0 ⇔ Així, hem de buscar punts de la gràfica de f(x) en els quals la recta tangent a aquesta gràfica tingui pendent 0. Sabem que el pendent de la recta tangent a f(x) a x és f ′(x). Volem trobar (x, f(x)) tal que f ′(x) = 0. Així: L’eix d’abscisses té per equació y = 0, és a dir, té pendent m = 0. 16. f(x) = x3 − 4 x

aquests valors: ⎛4 ⎞′ i, com que V ′(r) = ⎜ π r 3 ⎟ = 4 π r 2 , substituint ⎝3 ⎠ ΔV  d V = V′ (r0) h

f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′(x0) h = =4+

1 2 16

⋅ (−0, 02) = 3, 997 5

15,98 = 3,997 499...

Per la qual cosa durant el tercer període es va produir un major creixement del PNB.

Apliquem el concepte de la diferencial d’una funció:

TVM [2, 4] =

4. DIFERENCIAL D’UNA FUNCIÓ

15. Calculem el PNB corresponent als anys 2001, 2003, 2005 i 2007:

f (n)(x) = 2 ⋅ 3n e3 x

⎛ (2 3 )⎞ 2 3 f ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 3 ⎠

f (x) = (2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ e3 x)′ = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 e3 x = 2 ⋅ 33 e3 x

Any 2003:

t = 0 ⇒ f (0) = 5 t = 2 ⇒ f(2) = 0,01 ⋅ 22 + 0,3 ⋅ 2 + 5 = 5,64

=

2 ⎞ ⎛⎛ 2 3⎞ ⎜⎜ ⎟ − 4⎟ = ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠

2 3 ⎛4 ⋅3 2 3 ⎛ 12 − 36 ⎞ ⎞ − 4⎟ = = ⎠ 3 ⎜⎝ 9 3 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ =

2 3 ⎛ 24 ⎞ 3 − = −16 3 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 9

⎛ 2 3⎞ 2 3 f ⎜− ⎟ = − 3 3 ⎝ ⎠ = −

2 ⎞ ⎛⎛ 2 3⎞ ⎜⎜ ⎟ − 4⎟ = ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠

2 3 ⎛ 8⎞ 3 − ⎟ = 16 ⎜ ⎝ ⎠ 3 3 9

10 Derivades

A partir d’aquestes derivades s’observa que l’expressió de la derivada enèsima de f és: f (x) = (2 ⋅ 3 e3 x)′ = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 e3 x = 2 ⋅ 32 e3 x 12. f ′(x) = (2 e3 x)′ = 2 ⋅ 3 e3 x

6, 36 − 5, 64 = 0, 36 4−2

TVM [0, 2] =

f (34)(x) = 2 ⋅ 334 e3 x Així, l’expressió de f (34) és:

7, 16 − 6, 36 = 0, 4 6−4

TVM [4, 6] =

4 13. Considerem la funció V (r) = π r 3 , r0 = 1 m i 3 h = 5 mm = 0,005 m

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

2 3 2 3 y x = − 3 3

són:

que és una bona aproximació del valor exacte:

Any 2001:

2 3 4 2 ⇔ x = ± = ± 3 3 3

5, 64 − 5 = 0, 32 2−0

Trobem les corresponents taxes mitjanes de la variació: t = 6 ⇒ f(6) = 0,01 ⋅ 62 + 0,3 ⋅ 6 + 5 = 7,16 Any 2007: t = 4 ⇒ f(4) = 0,01 ⋅ 42 + 0,3 ⋅ 4 + 5 = 6,36 Any 2005:

163

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 163 C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 164

164 Així, els punts que es demanen són:

b) El cost marginal, l’ingrés marginal i el benefici marginal exactes de la unitat 81 són: CMg(81) = C(81) − C(80) = = 275,883 − 275,2 = 0,683 IMg(81) = I(81) − I(80) = = 331,29 − 328 = 3,29 BMg(81) = B(81) − B(80) = = 55,407 − 52,8 = 2,607 Comparem els resultats obtinguts: Er = Er = Er =

0, 68 − 0, 683 0, 683 3, 3 − 3, 29 3, 29 2, 62 − 2, 607 2, 607

100 = 0, 4 % 100 = 0, 3 % 100 = 0, 5 %

Per la qual cosa les aproximacions obtingudes en l’apartat a) són molt semblants al valor real. 19. a) La funció ingressos i la funció beneficis són:

B(x) = I(x) − C(x) = = (50 x − 0,06 x2) − (0,02 x2 + 3 x + 100) = = −0,08 x2 + 47 x − 100 b) Calculem C ′(x), I ′(x) i B ′(x):

I ′(x) = 50 − 0,12 x

C ′(x) = 0,04 x + 3 B ′(x) = −0,16 x + 47 Així, el cost, l’ingrés i el benefici marginals, aproximats, de produir la unitat 102 són:

IMg(102) = I ′(101) = 37,88 € Calculem C′(80), I′(80) i B′(80), a partir de les funcions C ′(x), I ′(x) i B′(x), calculades en l’exercici resolt C. C ′(80) = 0,006 ⋅ 80 + 0,2 = 0,68 ⇒ ⇒ CMg(81) ≈ 0,68 € I ′(80) = 4,9 − 0,02 ⋅ 80 = 3,3 ⇒ ⇒ IMg(81) ≈ 3,3 € B ′(80) = −0,026 ⋅ 80 + 4,7 = 2,62 ⇒ ⇒ BMg(81) ≈ 2,62 €

BMg(102) = B ′(101) = 30,84 € Per tant, el valor aproximat de CMg, IMg i BMg de la unitat 102 serà de 7,04 €, 37,88 € i 30,84 €.

100 = 0, 3 % 100 = 0, 4 %

Per tant, el valor aproximat del CMg, l’IMg i el BMg de la unitat 81 serà de 0,68 €, 3,3 € i 2,62 €, respectivament.

10 Derivades

⎛2 3 ⎞ ⎛ 2 3 3 3⎞ , −16 , 16 ⎜ ⎟ i ⎜− ⎟ 9 ⎠ 3 9 ⎠ ⎝ 3 ⎝ 17. Volem trobar rectes tangents a f(x) = x3 − 2 x + 7 i paral·leles a y = x + 4. Així, les rectes que cerquem han de tenir el mateix pendent que y = x + 4, és a dir, m = 1. A més, sabem que la recta tangent que passa per (x, f(x)) té pendent f ′(x). Per tant, hem de buscar (x, f(x)) tals que f ′(x) = 1. f ′(x) = 3 x2 − 2 = 1 ⇔ 3 x2 = 3 ⇔ ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1, x = −1 Així, els punts de la gràfica (x, f(x)) en què les rectes tangents a la gràfica f(x) en aquests punts té pendent 1 són (1, f(1)) = (1, 6) i (−1, f(−1)) = (−1, 8). Aleshores, les rectes que busquem tenen pendent 1 i passen per (1, 6) i (−1, 8). Aquestes rectes són respectivament: ⎧y = x + 5 ⎧( y − 6) = 1(x − 1) ⇔ ⎨ ⎨ ⎩y = x + 9 ⎩( y − 8) = 1(x + 1)

I(x) = x p(x) = x(50 − 0,06 x) = 50 x − 0,06 x2 18. a) Les fórmules que ens donen el cost marginal, l’ingrés marginal i el benefici marginal de la unitat x + 1 són, respectivament: CMg(x + 1) ≈ C′(x) IMg(x + 1) ≈ I′(x) BMg(x + 1) ≈ B′(x) Si considerem x = 80 i substituïm en les fórmules obtenim: CMg(81) ≈ C′(80)

CMg(102) = C ′(101) = 7,04 €

100 = 0, 5 %

IMg(81) ≈ I′(80)

I(x) = x p(x) = x(50 − 0,06 x) = 50 x − 0,06 x2 2, 607 2, 62 − 2, 607 3, 29 3, 3 − 3, 29 0, 683 0, 68 − 0, 683

BMg(81) ≈ B′(80)

Com que el pendent de la recta tangent és la derivada de la funció en el punt, si la recta tangent és horitzontal tindrà pendent nul i, per tant, la derivada valdrà zero. 20. Sí, és possible. Per exemple, la funció f(x) = 1 té com a recta tangent la recta y = 1. Qüestions ACTIVITATS Per tant, el valor aproximat de CMg, IMg i BMg de la unitat 102 serà de 7,04 €, 37,88 € i 30,84 €. BMg(102) = B ′(101) = 30,84 € IMg(102) = I ′(101) = 37,88 € CMg(102) = C ′(101) = 7,04 € Així, el cost, l’ingrés i el benefici marginals, aproximats, de produir la unitat 102 són: I ′(x) = 50 − 0,12 x b) Calculem C ′(x), I ′(x) i B ′(x): 19. a) La funció ingressos i la funció beneficis són: Per la qual cosa les aproximacions obtingudes en l’apartat a) són molt semblants al valor real. Er = Er =

Comparem els resultats obtinguts: ACTIVITATS

BMg(81) = B(81) − B(80) = = 55,407 − 52,8 = 2,607

Qüestions 20. Sí, és possible. Per exemple, la funció f(x) = 1 té com a recta tangent la recta y = 1. Com que el pendent de la recta tangent és la derivada de la funció en el punt, si la recta tangent és horitzontal tindrà pendent nul i, per tant, la derivada valdrà zero.

IMg(81) = I(81) − I(80) = = 331,29 − 328 = 3,29 CMg(81) = C(81) − C(80) = = 275,883 − 275,2 = 0,683 b) El cost marginal, l’ingrés marginal i el benefici marginal exactes de la unitat 81 són:

10 Derivades

Per tant, el valor aproximat del CMg, l’IMg i el BMg de la unitat 81 serà de 0,68 €, 3,3 € i 2,62 €, respectivament. B ′(80) = −0,026 ⋅ 80 + 4,7 = 2,62 ⇒ ⇒ BMg(81) ≈ 2,62 € I ′(80) = 4,9 − 0,02 ⋅ 80 = 3,3 ⇒ ⇒ IMg(81) ≈ 3,3 € C ′(80) = 0,006 ⋅ 80 + 0,2 = 0,68 ⇒ ⇒ CMg(81) ≈ 0,68 € Calculem C′(80), I′(80) i B′(80), a partir de les funcions C ′(x), I ′(x) i B′(x), calculades en l’exercici resolt C. BMg(81) ≈ B′(80) IMg(81) ≈ I′(80) CMg(81) ≈ C′(80)

B ′(x) = −0,16 x + 47

Si considerem x = 80 i substituïm en les fórmules obtenim:

C ′(x) = 0,04 x + 3

BMg(x + 1) ≈ B′(x) IMg(x + 1) ≈ I′(x) CMg(x + 1) ≈ C′(x)

B(x) = I(x) − C(x) = = (50 x − 0,06 x2) − (0,02 x2 + 3 x + 100) = = −0,08 x2 + 47 x − 100

18. a) Les fórmules que ens donen el cost marginal, l’ingrés marginal i el benefici marginal de la unitat x + 1 són, respectivament: ⎧y = x + 5 ⎧( y − 6) = 1(x − 1) ⇔ ⎨ ⎨ 8 1 1 ( y − ) = ( x + ) ⎩y = x + 9 ⎩ Aleshores, les rectes que busquem tenen pendent 1 i passen per (1, 6) i (−1, 8). Aquestes rectes són respectivament:

Er =

Així, els punts de la gràfica (x, f(x)) en què les rectes tangents a la gràfica f(x) en aquests punts té pendent 1 són (1, f(1)) = (1, 6) i (−1, f(−1)) = (−1, 8). ⇔ x2 = 1 ⇔ x = 1, x = −1 f ′(x) = 3 x2 − 2 = 1 ⇔ 3 x2 = 3 ⇔ 17. Volem trobar rectes tangents a f(x) = x3 − 2 x + 7 i paral·leles a y = x + 4. Així, les rectes que cerquem han de tenir el mateix pendent que y = x + 4, és a dir, m = 1. A més, sabem que la recta tangent que passa per (x, f(x)) té pendent f ′(x). Per tant, hem de buscar (x, f(x)) tals que f ′(x) = 1. ⎛2 3 ⎛ 2 3 3⎞ 3⎞ , −16 , 16 ⎜ ⎟ i ⎜− ⎟ 3 9 3 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Així, els punts que es demanen són:

164

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 164

C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 165

4, 012 − 9 ⋅ 4, 01 + 20 − (4 2 − 9 ⋅ 4 + 20) = = 0, 01 −0, 009 9 − 0 = −0, 99 0, 01

=

23. a) TVM [4, 4, 01] =

h→ 0

= lim

TVM [0, 1] =

b)

f (1) − f (0) −2 = = −2 1− 0 1

22. No. Considerem per exemple la funció f(x) = x  com a una funció definida a trossos:

TVM [−2, 1] = =

c)

⎧ − x si x < 0 f (x) = ⎨ ⎩ x si x ≥ 0

h→ 0

Exercicis i problemes

Observem que f és continua i derivable en  − {0}. Així, només hem d’estudiar la continuïtat en x = 0. Comprovem si f compleix les tres condicions de continuïtat en x = 0.

(2 ⋅ 02 − 1) − (2 (−2)2 − 1) = 0+2

=

−1 − (8 − 1) 8 = − = −4 2 2

f ′(0) = lim

Per tant, f és continua ∀ x ∈  i derivable ∀ x ∈  − {0}.

h (3 + h) = lim (3 + h) = 3 h→ 0 h 4 + 4 h + h2 − 2 − h − 2 = h

h→ 0

= lim = lim −1 = −1

h→ 0

= lim

−(0 + h) − 0 −h = lim = lim = h→ 0 h h −

−

−

⇒ lim f(x) = 0

(2 ⋅ 32 − 1) − (2 ⋅ 02 − 1) = 3−0

=

(18 − 1) − (−1) 18 = =6 3 3

d) TVM [1, 2] =

x →0

b)

f (0 + h) − f (0) − = • f ′(0 ) = lim h h → 0−

h → 0+

• lim f(x) = f(0): lim f(x) = 0 = f(0)

=

x →0

Per comprovar que f no és derivable en x = 0 vegem que no coincideixen les seves derivades laterals: + • f ′(0 ) = lim

h → 0+

h→ 0

f (0 + h) − f (0) = h

= lim

h→ 0

h (0 + h) − 0 = lim = lim = lim 1 = 1 h→ 0 h → 0 h h h→ 0 +

+

+

h→ 0

f (0 + h) − f (0) = h

= lim

24. a) f ′(2) = lim =

x →0

• lim f(x) = f(0): lim f(x) = 0 = f(0) −

−(0 + h) − 0 −h = lim = h→ 0 h h

x →0

+

f (2 + h) − f (2) = h

ln 2 − ln 1 ln 2 − 0 = = ln 2 1 1

d) TVM [1, 2] =

⇒ lim f(x) = 0

= lim

= lim −1 = −1

h → 0−

−

Per tant, f és continua ∀ x ∈  i derivable ∀ x ∈  − {0}.

h→ 0

b)

g ′(2) = lim

h→ 0

g (2 + h) − g (2) = h

= lim

(2 + h)2 − (2 + h) − (22 − 2) = h

= lim

4 + 4 h + h2 − 2 − h − 2 = h

= lim

h (3 + h) = lim (3 + h) = 3 h→ 0 h

h→ 0

h→ 0

h→ 0

25. Calcularem la derivada de f (x) = x = 0 a partir de la definició: f ′(0) = lim

lim f (x) = lim x = 0 ⎫ ⎪ x→0 x→0 ⎬⇒ lim f (x) = lim (− x) = −0 = 0 ⎪ x→0 ⎭ −

=

+

=

• Existeix el límit de f en x = 0 i és finit: • Existeix f(0): f(0) = 0. Observem que f és continua i derivable en  − {0}. Així, només hem d’estudiar la continuïtat en x = 0.

=

⎧ − x si x < 0 f (x) = ⎨ ⎩ x si x ≥ 0 22. No. Considerem per exemple la funció f(x) = x  com a una funció definida a trossos:

= c)

h→ 0

f (4, 01) − f (4) = 4, 01 − 4

4, 012 − 9 ⋅ 4, 01 + 20 − (4 2 − 9 ⋅ 4 + 20) = = 0, 01 −0, 009 9 − 0 = = −0, 99 0, 01

= lim

h→ 0

1 + x 2 en el punt

f (0 + h) − f (0) = h

1 + (0 + h)2 − 1 + 02 = h

= lim

h→ 0

1 + h2 − 1 0 = h 0

10 Derivades

21. Sí, per exemple si f(x) = −2 x es compleix que:

(2 ⋅ 32 − 1) − (2 ⋅ 02 − 1) = 3−0

b)

f (3) − f (0) = 3−0

−1 − (8 − 1) 8 = − = −4 2 2 (2 ⋅ 02 − 1) − (2 (−2)2 − 1) = 0+2

TVM [−2, 0] = =

f (1) − f (0) −2 TVM [0, 1] = = = −2 1− 0 1

f (2) − f (1) = 2−1

(18 − 1) − (−1) 18 = =6 3 3

TVM [0, 3] =

Comprovem si f compleix les tres condicions de continuïtat en x = 0.

Exercicis i problemes 23. a) TVM [4, 4, 01] =

3 (2 + h)2 − 1 − (3 ⋅ 22 − 1) = h

3 h2 + 12 h h (3 h + 12) = lim = h→ 0 h→ 0 h h = lim (3 h + 12) = 12

h → 0−

Com que f ′(0+) ≠ f ′(0−) ∃ f ′(0), és a dir, f no és derivable a x = 0.

f (2 + h) − f (2) = h

= lim

+

f (0 + h) − f (0) = h

x → 0−

g (2 + h) − g (2) = h

3 (2 + h)2 − 1 − (3 ⋅ 22 − 1) = h h→ 0

Per comprovar que f no és derivable en x = 0 vegem que no coincideixen les seves derivades laterals:

− • f ′(0 ) = hlim →0

f (2) − f (1) = 2−1

ln 2 − ln 1 ln 2 − 0 = = ln 2 1 1

24. a) f ′(2) = lim

x →0

h→ 0

g ′(2) = lim h→ 0

+

h → 0+

(2 + h)2 − (2 + h) − (22 − 2) = h

3 h2 + 12 h h (3 h + 12) = lim = lim = h→ 0 h→ 0 h h = lim (3 h + 12) = 12

h (0 + h) − 0 = lim = lim 1 = 1 h→ 0 h h→ 0 h

+ • f ′(0 ) = lim

1 + x 2 en el punt

h→ 0

= lim

Com que f ′(0+) ≠ f ′(0−) ∃ f ′(0), és a dir, f no és derivable a x = 0. h → 0−

f (0 + h) − f (0) = h

25. Calcularem la derivada de f (x) = x = 0 a partir de la definició:

h → 0−

⎫ ⎪ ⎬⇒ lim f (x) = lim (− x) = −0 = 0 ⎪ x→0 x→0 ⎭ x → 0+

f (3) − f (0) = 3−0

=

lim f (x) = lim x = 0

x → 0+

f (0) − f (−2) = 0 − (−2)

=

TVM [0, 3] =

• Existeix el límit de f en x = 0 i és finit:

f (1) − f (−2) = 1 − (−2)

13 − 1 − ((−2)3 − 1) 0 − (−9) = =3 3 3

TVM [−2, 0] =

• Existeix f(0): f(0) = 0.

x →0

= lim

1 + (0 + h)2 − 1 + 02 = h

h→ 0

= lim

f (4, 01) − f (4) = 4, 01 − 4

1 + h2 − 1 0 = h 0

10 Derivades

165 21. Sí, per exemple si f(x) = −2 x es compleix que:

f (0) − f (−2) = 0 − (−2)

13 − 1 − ((−2)3 − 1) 0 − (−9) = =3 3 3

TVM [−2, 1] =

f (1) − f (−2) = 1 − (−2)

165

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 165 C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 166

166 h→ 0

1 + h2 − 1 = h

( 1 + h2 − 1) ( 1 + h2 + 1) h( 1 + h2 + 1) h→ 0

h→ 0

1 + h2 − 12 h( 1 + h2 + 1) h2

= h→ 0

3 3 ln e = 2 2

h→ 0

f (2 + h) − f (2) = h

2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ln ⎜ 2 + h + ⎟ − ln ⎜ 2 + ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ = h

h→ 0

=

1 = lim ln h

0 = =0 2

=

f ′(2) = lim

= lim

=

= lim

h ( 1 + h2 + 1) h

( 1 + h2 + 1)

h→ 0

h→ 0

h→ 0

1 h

⎛ ⎛ 8⎞ 8⎞ ln h + ⎟ − ln ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝⎜ ⎝⎜

8 1 h+ 3 = lim ln ⎛ 1 + 3 h ⎞ h = h→ 0 ⎝⎜ 8 ⎠⎟ 8 3

3 h⎞ h ⎛ = ln lim ⎜ 1 + = h→ 0 ⎝ 8 ⎠⎟ 3

8 ⎤8 ⎡ 3 1 ⎞ 3h ⎥ ⎛ = ln (e)8 = = ln lim ⎢ ⎜ 1 + 8 ⎟ ⎥ h→ 0 ⎢ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

=

3 3 ln e = 8 8

27. El pendent m de la recta tangent a la gràfica de la funció en x = 1 és tg α, en què α és l’angle buscat, però, a més, aquest pendent coincideix amb f ′(1). Així, doncs: tg α = m = f ′(1)

f (0 + h) − f (0) = h

Calculem f ′(1): f ′(x) = 6 x − 2 ⇒ f ′(1) = 6 ⋅ 1 − 2 = 4 Per tant, tg α = 4 ⇒ α = arc tg 4 = 75, 96°

1 ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ ln h + ⎟ − ln ⎟ = h ⎝⎜ ⎝⎜ 3⎠ 3⎠

h→ 0

1

1

28. f ′(x) = 2 x − 7 Així: f ′(−2) = 2 (−2) − 7 = −4 − 7 = −11 f ′(2) = 2 ⋅ 2 − 7 = 4 − 7 = −3 f ′(10) = 2 ⋅ 10 − 7 = 20 − 7 = 13 29. a)

⎛ 1 ⎞′ f ′(x) = ⎜ 5 ⎟ = (x −5 )′ = −5 ⋅ x −5 − 1 = ⎝x ⎠ = − 5 x −6 = −

5 x6

1 ⎞′ 1 ⎛ −1 1 b) f ′(x) = (10 x )′ = ⎝⎜ 10 x 2 ⎠⎟ = ⋅ 10 x 2 = 2 1 2

5

=

x

3 ⎛ 3 ⎞′ −1 3 c) f ′(x) = ( x 3 )′ = ⎝⎜ x 2 ⎠⎟ = x 2 = 2 1

x

10 Derivades

Per eliminar la indeterminació, multipliquem numerador i denominador pel conjugat del numerador: f ′(0) = lim

h→ 0

= lim

= lim = lim = lim

h→ 0

1

f (2) − f (0) 26. a) TVM [0, 2] = = 2−0 ln (2 + b) − ln (0 + b) = = 2 1 1 2+b = (ln (2 + b) − ln b) = ln 2 2 b Per tal que TVM [0, 2] = ln 2, s’ha de complir: 1 2+b 2+b ln = ln 2 ⇒ ln = 2 ln 2 = 2 b b = ln 22 = ln 4 i com que la funció ln x és injectiva, aquesta condició és equivalent a: 2+b 2 =4 ⇒b = b 3 b) La taxa de variació instantània és la derivada de la funció en el punt: f ′(0) = lim

2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ln 0 + h + − ln ⎜ 0 + ⎟ ⎝ ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 3⎠ = lim = h h→ 0

2 1 h+ 3 = lim ln ⎛ 3 h + 2 ⎞ h = h→ 0 ⎝⎜ 2 ⎠⎟

1 ln h

= lim

= lim

2 3

⎛ 3 h + 2⎞ h 1 ⎞h ⎛ = = ln lim = ln lim 1 + 2 ⎟ h→ 0 ⎜ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎜ ⎟ 3h⎠ ⎝ h→ 0

−

x

1

= 5x

3 2 3 x = 2 2

x 5

3

=

3 ⎛ 3 ⎞′ 3 −1 c) f ′(x) = ( x 3 )′ = ⎝⎜ x 2 ⎠⎟ = x 2 = 2

=

5

f ′(2) = 2 ⋅ 2 − 7 = 4 − 7 = −3 3 3 ln e = 8 8 1

2 2 ⎤ ⎡ 3 1 ⎞ 3h ⎥ ⎛ = ln (e)2 = = ln lim ⎢ ⎜ 1 + 2 ⎟ ⎥ h→ 0 ⎢ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

=

1 2

x6

⎛ 1 ⎞′ f ′(x) = ⎜ 5 ⎟ = (x −5 )′ = −5 ⋅ x −5 − 1 = ⎝x ⎠ f ′(10) = 2 ⋅ 10 − 7 = 20 − 7 = 13

Per tant, tg α = 4 ⇒ α = arc tg 4 = 75, 96° f ′(x) = 6 x − 2 ⇒ f ′(1) = 6 ⋅ 1 − 2 = 4 Calculem f ′(1): tg α = m = f ′(1) 27. El pendent m de la recta tangent a la gràfica de la funció en x = 1 és tg α, en què α és l’angle buscat, però, a més, aquest pendent coincideix amb f ′(1). Així, doncs: =

3

3 h⎞ h ⎛ = ln lim ⎜ 1 + = h→ 0 ⎝ 8 ⎟⎠

0 =0 2

8 1 3 = lim ln ⎛ 1 + 3 h ⎞ h = ⎜⎝ 8 h→ 0 8 ⎟⎠ 3

h+

⎛ ⎛ 8⎞ 8⎞ ⎜⎝ ln ⎜⎝ h + 3 ⎟⎠ − ln 3 ⎟⎠ =

3 2 3 x = 2 2

= ln

3 (e)2

−

1 ⎞′ 1 ⎛ −1 1 b) f ′(x) = (10 x )′ = ⎜⎝ 10 x 2 ⎟⎠ = ⋅ 10 x 2 = 2

= − 5 x −6 = − 29. a)

⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎜⎝ ln ⎜⎝ h + 3 ⎟⎠ − ln 3 ⎟⎠ = =

1 = lim ln h→ 0 h

=

1 h

h→ 0

= lim =

2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ln ⎜ 2 + h + ⎟ − ln ⎜ 2 + ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ = lim = h→ 0 h

=

f (2 + h) − f (2) = h

=

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

= 5x 1

1

1 ln h

2 1 3 = lim ln ⎛ 3 h + 2 ⎞ h = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 h→ 0 3

h+ 1 h

f ′(−2) = 2 (−2) − 7 = −4 − 7 = −11 28. f ′(x) = 2 x − 7 Així:

f (0 + h) − f (0) = h 2

h h

1 + h2 − 12

( 1 + h2 − 1) ( 1 + h2 + 1) h→ 0

3 3 ln e = 2 2

10 Derivades

⎡ 1 ⎛ = ln lim ⎢ ⎜ 1 + 2 ⎟ h→ 0 ⎢ ⎟ ⎢⎜ h⎠ 3 ⎢⎣ ⎝

2 ⎞ 3h

3 2

⎛ 3 h + 2⎞ h 1 ⎞h ⎛ = = ln lim ⎜ = ln lim ⎜ 1 + ⎟ 2 ⎟ h→ 0 ⎝ h → 0 2 ⎠ ⎜ ⎟ 3h⎠ ⎝ h→ 0

= lim

h→ 0

= lim

2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ln ⎜ 0 + h + ⎟ − ln ⎜ 0 + ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ = lim = h→ 0 h h→ 0

f ′(0) = lim

b) La taxa de variació instantània és la derivada de la funció en el punt: 2+b 2 =4 ⇒b = b 3 Per tal que TVM [0, 2] = ln 2, s’ha de complir: 1 2+b 2+b ln = ln 2 ⇒ ln = 2 ln 2 = 2 b b = ln 22 = ln 4 i com que la funció ln x és injectiva, aquesta condició és equivalent a:

8 ⎤8 ⎡ 3 1 ⎞ 3h ⎥ ⎛ 8 = = = ln lim ⎢ ⎜ 1 + l n ( e ) 8 ⎟ ⎥ h→ 0 ⎢ ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

f (2) − f (0) = 2−0 ln (2 + b) − ln (0 + b) = = 2 1 1 2+b = (ln (2 + b) − ln b) = ln 2 2 b

26. a) TVM [0, 2] =

( 1 + h + 1)

h→ 0

= lim

h ( 1 + h2 + 1)

h→ 0

= lim

2

h( 1 + h2 + 1)

h→ 0

= lim

h( 1 + h2 + 1)

h→ 0

= lim

h→ 0

f ′(2) = lim

1 + h2 − 1 = h

f ′(0) = lim

=

Per eliminar la indeterminació, multipliquem numerador i denominador pel conjugat del numerador:

166

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 166

C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 167



c) f(x) = ex ⋅ sin x ; f ′(x) = ex sin x + ex cos x = = ex (sin x + cos x)

⇒ i ′ (x) =

f ′(x) = 3 ⋅ 4 x3 + 5 ⋅ 3 x2 − 12 ⋅ 2 x + 3 =

1 5

4 − x 5

(

f ′(x) =

′

x

1

=

4

1⎞ ⎛ f ′(x) = −4 sin x − ⎜ ln x + x = ⎝ x ⎟⎠ = −4 sin x − ln x − 1

5

5 x4

x3

⎛

)′ = ⎜⎝ x

3 4

3 ⎞′ ⎟⎠ = 3 ⋅ x 4 − 1 = 4

f)

f (x) = x −

e)

ln x x

⎞ ⎛ 1 ⎜⎝ x ⋅ x − ln x ⋅ 1⎟⎠ f ′(x) = 1 − = x2

1

=

3 −4 3 x = 4 4 4 x

′ 3 ⎛ 1 ⎞′ ⎛ −3 ⎞ 3 − −1 = ⎜⎝ x 2 ⎟⎠ = − x 2 = f ′(x) = ⎜ ⎟ 2 ⎝ x3 ⎠

x 2 − 1 + ln x ⎛ 1 − ln x ⎞ = 1− ⎜ = ⎟ 2 ⎝ x ⎠ x2

5

=

e x (1 − 2 x)

= −

3 −2 −3 −3 x = = 2 5 2 2 x x 2 x

33. a) f ′(x) = (x4 ln x)′ = (x4)′ ln x + x4 (ln x)′ = 1 = 4 x 3 ln x + x 4 = x 3 (4 ln x + 1) x

2 x

ex −

⇒ f ′(x) =

⇒ f ′(x) = (x2)′ ⋅ sin x + x2 ⋅ (sin x)′ =

b) f ′(x) = (x ln x − x)′ = (x ln x)′ − x′ =

= 2 x ⋅ sin x + x2 cos x f (x) =

= ln x

⇒ f ′(x) = x′ ⋅ ln x + x ⋅ (ln x)′ = 1 = 1 ⋅ ln x + x = ln x + 1 x

=

31. a) f (x) =

x2 x2 − 4

2 x e2 x ex − 2 x ex

↑ [g = h o f ; h(x) = sin x ; f(x) = 5 x]

b) g(x) = sin 5 x ⇒ g′(x) = cos 5 x ⋅ 5 = 5 cos 5 x

=

↑ [f = g o h ; g(x) = x2, h(x) = 2 x + 3]

(e x )2 ( x )′ ⋅ e x −

ex

x ⋅ (e x )′

⇒ f ′(x) = 2 (2 x + 3) ⋅ (2) = 8 x + 12

=

a) f(x) = (2 x + 3)2 ⇒ ⇒ f ′(x) = g′(h(x)) ⋅ h′(x)

⇒

x

34. Aplicarem que si f(x) = (g o h) (x) ⇒

(x 2 − 4)2 (x 2 − 4)2 −8 x 2 x (x 2 − 4) − x 2 (2 x)

31. a) f (x) =

=

(x 2 − 4)2 2 x3 − 8 x − 2 x3

(x 2 − 4)2

= f ′(x) =

= f ′(x) = =

(x 2 )′ ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (x 2 − 4)′

x2 − 4 x2

=

d) f ′(x) = (6x cos x)′ = (6x)′ cos x + 6x (cos x)′ = = 6x ln 6 cos x + 6x(−sin x) = 6x ln 6 cos x − 6x sin x = = 6x (ln 6 cos x − sin x) =

=

=

⇒

⇒ f ′(x) = x′ ⋅ ln x + x ⋅ (ln x)′ = 1 = ln x + 1 x = 1 ⋅ ln x + x

=

b)

(x 2 − 4)2 =

(x 2 − 4)2 −8 x

=

2 x3 − 8 x − 2 x3 (x 2 − 4)2

(x 2 − 4)2 x

(0 + 1) (1 − x) − (1 + x) (0 − 1)

(1 − x)2

=

(1 − x)2 (1 + x)′ (1 − x) − (1 + x) (1 − x)′

2 =

= ln x = x ′ ln x + x(ln x)′ − x ′ = ln x + x

= 2 x ⋅ sin x + x2 cos x ⇒ f ′(x) = (x2)′ ⋅ sin x + x2 ⋅ (sin x)′ = 30. a) f(x) = x2 ⋅ sin x ⇒

1 = −

(1 − x)2

⎛ 1 + x ⎞′ c) f ′(x) = ⎜ = ⎝ 1 − x ⎠⎟

b) f(x) = x ⋅ ln x ⇒

⇒ f ′(x) =

=

=

(x 2 )′ ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (x 2 − 4)′

ex

=

⎛ 1 + x ⎞′ c) f ′(x) = ⎜ = ⎝ 1 − x ⎟⎠

⇒

2 x (x 2 − 4) − x 2 (2 x)

f (x) =

2 x

x ⋅ (e x )′

(e x )2 x ⋅ ex =

(e x )2 (e x )2 2 x

=

(1 − x)2 (0 + 1) (1 − x) − (1 + x) (0 − 1) (1 − x)2

=

= 2 (1 − x)2

d) f ′(x) = (6x cos x)′ = (6x)′ cos x + 6x (cos x)′ = = 6x ln 6 cos x + 6x(−sin x) = 6x ln 6 cos x − 6x sin x = = 6x (ln 6 cos x − sin x)

⇒ f ′(x) = g′(h(x)) ⋅ h′(x)

( x )′ ⋅ e x −

e x (1 − 2 x)

=

(1 + x)′ (1 − x) − (1 + x) (1 − x)′

34. Aplicarem que si f(x) = (g o h) (x) ⇒

⇒

ex −

1 −1 = x

= x ′ ln x + x(ln x)′ − x ′ = ln x + x

b) f(x) = x ⋅ ln x ⇒

=

x ⋅ ex

sin x 2 2 x cos x 2

c) h(x) = ecos x ⇒

x =

⋅ (cos x 2 ⋅ 2 x) =

⇒ h′(x) = ecos x ⋅ (−sin x) = −sin x ecos x

1− 2x

(e x )2 1

30. a) f(x) = x2 ⋅ sin x ⇒

b)

2 ex

1

↑ [h = f o g ; f(x) = ex ; g(x) = cos x]

32. a) f(x) = 3 x4 + 5 x3 − 12 x2 + 3 x + 4 =

sin x 2

d) i(x) = ln (sin x2) ⇒

= 12 x3 + 15 x2 − 24 x + 3 (e x )2 2 x



↑

b) f(x) = 4 ln x − x 1 4 −1 = −1 x x f ′(x) = 4

e)

=

Així, i′ = f ′(g o h) (g o h)′ = f ′(g o h) g′(h) ⋅ h′ i = f o g o h ; f(x) = ln x ; g(x) = sin x ; h(x) = x2

10 Derivades

167 =

5

d) f(x) = 4 cos x − x ln x

1 ⎛ 1 ⎞′ 1 −1 = ⎜⎝ x 5 ⎟⎠ = x 5 = 5

( )

d) f ′(x) =

=

a) f(x) = (2 x + 3)2 ⇒

=

⇒ f ′(x) = 2 (2 x + 3) ⋅ (2) = 8 x + 12

↑ [f = g o h ; g(x) = x2, h(x) = 2 x + 3]

ex − 2 x ex 2 x e2 x

=

b) g(x) = sin 5 x ⇒ g′(x) = cos 5 x ⋅ 5 = 5 cos 5 x ↑ [g = h o f ; h(x) = sin x ; f(x) = 5 x]

1− 2x 2 ex

x

1 −1 = x

b) f ′(x) = (x ln x − x)′ = (x ln x)′ − x′ = 33. a) f ′(x) = (x4 ln x)′ = (x4)′ ln x + x4 (ln x)′ = 1 = x 3 (4 ln x + 1) x = 4 x 3 ln x + x 4

3 − −3 −3 x 2 = = 2 2 x2 x 2 x5 5

f)

⎛ 1 f ′(x) = ⎜ ⎝ x3

x 2 − 1 + ln x ⎛ 1 − ln x ⎞ = 1− ⎜ = ⎝ x 2 ⎠⎟ x2

′ 3 ⎞′ ⎛ −3 ⎞ 3 − 2 −1 ⎜ 2⎟ = ⎟ = ⎝x ⎠ = − x 2 ⎠

f ′(x) = 1 −

3 − 3 = x 4 = 4 4 4 x

32. a) f(x) = 3 x4 + 5 x3 − 12 x2 + 3 x + 4 f ′(x) = 3 ⋅ 4 x3 + 5 ⋅ 3 x2 − 12 ⋅ 2 x + 3 = = 12 x3 + 15 x2 − 24 x + 3

c) f(x) = ex ⋅ sin x ; f ′(x) = ex sin x + ex cos x = = ex (sin x + cos x)

⇒ h′(x) = ecos x ⋅ (−sin x) = −sin x ecos x ↑ [h = f o g ; f(x) = ex ; g(x) = cos x]

d) i(x) = ln (sin x2) ⇒ ⇒ i ′ (x) =

1 sin x 2

⋅ (cos x 2 ⋅ 2 x) =

2 x cos x 2 sin x 2

↑



i = f o g o h ; f(x) = ln x ; g(x) = sin x ; h(x) = x2 Així, i′ = f ′(g o h) (g o h)′ = f ′(g o h) g′(h) ⋅ h′



10 Derivades

b) f(x) = 4 ln x − x 1 4 f ′(x) = 4 − 1 = − 1 x x

c) h(x) = ecos x ⇒

1

e)

f ′(x) = =

(

4

x3

)′ = ⎝⎜ x ⎛

3 4

3 ⎞′ −1 3 ⎠⎟ = ⋅ x 4 = 4

1 − 1 x 5 = 5 5 5 x4 1 ⎛ 1 ⎞′ −1 1 5⎟ = x5 = ⎠ 5

( x )′ = ⎝⎜ x 5

f (x) = x −

⎞ ⎛ 1 ⋅ x − ln x ⋅ 1⎟ ⎝⎜ x ⎠

=

ln x x

= −4 sin x − ln x − 1

4

d) f ′(x) =

e)

x2

1⎞ ⎛ f ′(x) = −4 sin x − ⎜ ln x + x = ⎝ x ⎠⎟ d) f(x) = 4 cos x − x ln x

167

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 167 C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 168

168 e) j(x) = cos2 x3 ⇒

f ′(x) = 3 x2 + 2 ⇒

k(x) =

1

sin x ⇒ k ′ (x) =

⋅3 =

cos x 2 sin x

⇒ f ′(−2) = 3 (−2)2 + 2 = 3 ⋅ 4 + 2 = 14 f(−2) = −8 − 4 + 10 = −12 + 10 = −2 Així, la recta tangent té com a equació y + 2 = 14 (x + 2) ⇔ ⇔ y = 14 x + 28 − 2 ⇔ y = 14 x + 26 b) f(x) = ex, en x = 0:

L’equació de la recta tangent a f(x) en x = 0 és: y − 1 = 1 (x − 0) ⇔ y = x + 1

3 cos2 3 x

c) Calculem f(4) i f ′(4): • f(4) =

2

2

2

2

• f ′(x) =

4 =2 1 2 x

⇒ f ′(4) =

1 2 4

=

1 4

• L’equació de la recta tangent a f(x) en x = 4 és: 1 x (x − 4) ⇒ y = + 1 4 4

2

2

2

d) Busquem primerament el punt en el qual la gràfica de f(x) talla l’eix d’abscisses: f (x) = ln x ⎫ ⎬ ⇒ ln x = 0 ⇔ x = 1 y =0 ⎭ 1 f ′(x) = ⇒ f ′(1) = x f (1) = ln 1 = 0

⎫ 1⎪ ⎬ ⎭⎪

L’equació de la recta tangent a f(x) = ln x en x = 1 és: y − 0 = 1 (x − 1) ⇔ y = x − 1

37. El pendent de la recta tangent a la gràfica de f(x) = x ⋅ ln x en x = 1 és f ′ (1).

39. El pendent de la recta tangent en aquests punts ha de ser el mateix que el de l’eix d’abscisses, és a dir, 0. Així, hem de buscar els punts (x, f(x)) i f ′(x) = 0.

1 = ln x + 1, tenim: x

f ′(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1

f ′(x) = 3 x2 − 12 = 0 ⇒ x = ±2 Calculem f(2) i f(−2): f(2) = 23 − 12 ⋅ 2 = 8 − 24 = −16 f(−2) = (−2)3 − 12 ⋅ (−2) = −8 + 24 = 16 Per tant, els punts buscats són (2, −16) i (−2, 16).

(x 2 + 1)2

=

2x (x 2 + 1)2

10 Derivades

⇒ j′(x) = 2 (cos x3) ⋅ (−sin x3) ⋅ 3 x2 =

↑ [j = f o g o h ; f(x) = x2 ; g(x) = cos x ; h(x) = x3]

= −6 x2 sin x3 cos x3 = 6 x2 cos x3 (−sin x3) f)

↑

⎯

[k = f o g ; f(x) = √ x ; g(x) = sin x]

f ′(x) = e x ⎪⎫ ⎬ ⇒ f ′(0) = 1 f (0) = 1 ⎭⎪

35. a) f(x) = tg 3 x ⇒ ⇒ f′(x) = h′(g(x)) ⋅ g′(x) =

↑ [f = h o g ; h(x) = tg x ; g(x) = 3 x]

=

cos2 3 x ↑ (exemple 7) 2

b) f(x) = ex ⋅ sin 3 x ⇒ ⇒ f ′(x) = 2 x ex sin 3 x + ex 3 cos 3 x = = ex (2 x sin 3 x + 3 cos 3 x) 36. f ′(x) = (sin x)′ ⋅ cos x + sin x ⋅ (cos x)′ =

y−2 =

= cos x ⋅ cos x + sin x (−sin x) = cos2 x − sin2 x π⎞ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ f ′ ⎜ ⎟ = ⎜ cos ⎟ − ⎜ sin ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ 4⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ =⎜ ⎟ −⎜ 2 ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ — Com que f ′(x) és el pendent de la recta tangent a ⎛ π⎞ f(x) en x i f ′ ⎜ ⎟ = 0 , el pendent de la tangent a ⎝ 4⎠ π f(x) = cos x sin x en és 0, i per tant, aquesta és 4

2x

paral·lela a l’eix d’abscisses.

(x + 1)2 2

1 4

Com que f ′(x) = ln x + x

=

2 4

=

1

Sabem, d’altra banda, que aquesta recta passa per (1, f(1)) = (1, 1 ⋅ ln 1) = (1, 0). Així, l’equació d’aquesta recta és:

2

⇒ f ′(4) =

Així, la recta tangent té com a equació f(−2) = −8 − 4 + 10 = −12 + 10 = −2

2 x (x 2 + 1) − x 2 (2 x)

2 x 1

⇔ y = 14 x + 28 − 2 ⇔ y = 14 x + 26 3

y − 0 = 1 (x − 1) ⇔ y = x − 1

(x + 1) 2

2 x (x 2 + 1) − x 2 (2 x)

f ′(x) = 3 x2 − 12 = 0 ⇒ x = ±2 39. El pendent de la recta tangent en aquests punts ha de ser el mateix que el de l’eix d’abscisses, és a dir, 0. Així, hem de buscar els punts (x, f(x)) i f ′(x) = 0. y − 0 = 1 (x − 1) ⇔ y = x − 1 L’equació de la recta tangent a f(x) = ln x en x = 1 és: • L’equació de la recta tangent a f(x) en x = 4 és: 1 x y − 2 = (x − 4) ⇒ y = + 1 4 4 • f ′(x) =

4 =2 y − 1 = 1 (x − 0) ⇔ y = x + 1

3

y + 2 = 14 (x + 2) ⇔

2 sin x 3

40. f ′(x) =

40. f ′(x) =

Per tant, els punts buscats són (2, −16) i (−2, 16). f(−2) = (−2)3 − 12 ⋅ (−2) = −8 + 24 = 16 f(2) = 23 − 12 ⋅ 2 = 8 − 24 = −16 Calculem f(2) i f(−2):

1 = ln x + 1, tenim: x 2

d) Busquem primerament el punt en el qual la gràfica de f(x) talla l’eix d’abscisses:

2

2

• f(4) =

c) Calculem f(4) i f ′(4):

cos 3 x 2

⋅3 =

b) f(x) = ex, en x = 0:

⎯

cos x

2

38. a) f(x) = x3 + 2 x + 10, en x = −2:

1

3

⇒ f ′(−2) = 3 (−2)2 + 2 = 3 ⋅ 4 + 2 = 14

10 Derivades

38. a) f(x) = x3 + 2 x + 10, en x = −2: y − 0 = 1 (x − 1) ⇔ y = x − 1 Sabem, d’altra banda, que aquesta recta passa per (1, f(1)) = (1, 1 ⋅ ln 1) = (1, 0). Així, l’equació d’aquesta recta és: f ′(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 Com que f ′(x) = ln x + x

37. El pendent de la recta tangent a la gràfica de f(x) = x ⋅ ln x en x = 1 és f ′ (1). paral·lela a l’eix d’abscisses. ⎛ π⎞ f(x) en x i f ′ ⎜ ⎟ = 0 , el pendent de la tangent a ⎝ 4⎠ π f(x) = cos x sin x en és 0, i per tant, aquesta és 4 2

2

2

2

cos 3 x 2

L’equació de la recta tangent a f(x) en x = 0 és:

35. a) f(x) = tg 3 x ⇒ ↑

sin x ⇒ k ′ (x) =

k(x) =

3

⎫ 1⎪ ⎬ ⎪⎭

1 ⇒ f ′(1) = x f (1) = ln 1 = 0 f ′(x) =

— Com que f ′(x) és el pendent de la recta tangent a

f (x) = ln x ⎫ ⎬ ⇒ ln x = 0 ⇔ x = 1 y =0 ⎭

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ −⎜ =⎜ ⎟ =0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ π⎞ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ ⎛ f ′ ⎜ ⎟ = ⎜ cos ⎟ − ⎜ sin ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ 4⎠ = cos x ⋅ cos x + sin x (−sin x) = cos2 x − sin2 x 36. f ′(x) = (sin x)′ ⋅ cos x + sin x ⋅ (cos x)′ = = e (2 x sin 3 x + 3 cos 3 x) x2

⇒ f ′(x) = 2 x ex sin 3 x + ex 3 cos 3 x = b) f(x) = ex ⋅ sin 3 x ⇒ ↑ (exemple 7)

=

↑ [f = h o g ; h(x) = tg x ; g(x) = 3 x]

⇒ f′(x) = h′(g(x)) ⋅ g′(x) =

f ′(x) = e x ⎪⎫ ⎬ ⇒ f ′(0) = 1 f (0) = 1 ⎭⎪

[k = f o g ; f(x) = √ x ; g(x) = sin x]

f)

= −6 x sin x cos x = 6 x cos x (−sin x ) 2

↑ [j = f o g o h ; f(x) = x2 ; g(x) = cos x ; h(x) = x3]

⇒ j′(x) = 2 (cos x3) ⋅ (−sin x3) ⋅ 3 x2 = e) j(x) = cos2 x3 ⇒

f ′(x) = 3 x2 + 2 ⇒

168

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 168

C M Y K

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

C M Y K

cos 2 x cos 2 x + sin2 x

=

1

cos 2 x

⇒

= −

=

25, 12 ≈

25 +

2 25 1

0, 12 = 5, 012

f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′(x0) h ⇒

1

cos 2 x sin x 2

− sin2 x − cos2 x

, aplicant l’aproximació 2 x de l’increment, f, per la diferencial, df, tenim: 1

b) Considerem la funció h = 0,12.

f (x) =

x , x 0 = 25

i

sin x 2

1

sin2 x

Per tant, el volum és 1 005, 31 cm3. =

Δ V ≈ d V = 4 π ⋅ 202 ⋅ (−0,2) = −1 005,31 cm3 Substituint aquests valors: 4 ⎛4 ⎞′ V ′(r) = ⎜ π r 3 ⎟ = π ⋅ 3 r 2 = 4 π r 2 ⎝3 ⎠ 3 i com que r0 = 20 cm i h = −0,2 cm. Considerem la funció V(r) =

4 π r 3, 3

44. a) Hem de trobar la diferència de volum que existeix 40 entre una esfera de radi = 20 cm i una altra de 2 radi 20 − 0,2 = 19,8 cm. Així, doncs, la taxa de variació instantània en t = 3 és:

(x 2 + 1)2

= 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0

2x

Página 169

2 2 1⎫ f ′(1) = = = ⎪ 4 2⎪ (1 + 1)2 ⎬ 1 1 ⎪ = 1+1 2 ⎭⎪

= −

2x (x 2 + 1)2

2 cos x (− sin x) cos 4 x

=

2 sin x cos 3 x

=

= 2 tg x ⋅ sec2 x = 2 tg x (1 + tg2 x) = = 2 tg x + 2 tg3 x

f (1) =

L’equació de la recta buscada és: 1 1 y − = (x − 1) 2 2

43. a) Sigui t1 = 1 h i t2 = 2 h. Així, la concentració després d’una hora i dues hores és, respectivament: C(t1) = C(1) = 1,25 ⋅ e−0,22 = 1 g ⋅ L−1 C(t2) = C(2) = 1,25 ⋅ e−0,22 ⋅ 2 = 0,8 g ⋅ L−1

Vegem en quin punt la tangent és paral·lela a l’eix d’abscisses. Així, buscarem (x, f(x)) i f ′(x) = 0. f ′(x) =

= 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0

b)

TVM [1, 2] =

C(2) − C(1) = 0, 8 − 1 = −0, 2 2−1

És negativa perquè C(t) és decreixent; és a dir, disminueix el seu valor a mesura que augmenta el temps.

Així, el punt que es busca és (0, f(0)) = (0, 0). 41. El pendent de la recta tangent a f en x = −1 coincideix amb f ′(−1). Calculem la derivada de f:

c) La taxa de variació instantània coincideix amb la derivada, per la qual cosa calculem C′(t): C ′(t) = 1,25 ⋅ (−0,22) e−0,22 t = −0,275 e−0,22 t

f ′(x) = (m x3 + 2 x2 + 3 x − 1)′ = 3 m x2 + 4 x + 3 Determinem f ′(−1):

Així, doncs, la taxa de variació instantània en t = 3 és:

f ′(−1) = 3 m (−1)2 + 4 ⋅ (−1) + 3 = 3 m − 1 Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11 és: 11 = 3 m − 1 ⇒ m = 4 42. a) f ′(x) = (5 x3 + 2 x2 − x + 1)′ = = 5 ⋅ 3 x2 + 2 ⋅ 2 x − 1 = 15 x2 + 4 x − 1

C ′(3) = −0,275 e−0,22 ⋅ 3 = −0,14

44. a) Hem de trobar la diferència de volum que existeix 40 = 20 cm i una altra de 2 entre una esfera de radi

radi 20 − 0,2 = 19,8 cm.

f (x) = (f ′(x))′ = (15 x2 + 4 x − 1)′ = = 15 ⋅ 2 x + 4 = 30 x + 4

Considerem la funció V(r) = r0 = 20 cm i h = −0,2 cm.

= −

4 π r 3, 3

Si aproximem l’increment de la funció per la diferencial de la funció, tenim:

b) f ′(x) = (e2 x)′ = 2 e2 x = 2 e2 x f (x) =(f ′(x))′ = (2 e2 x)′ = 2 ⋅ 2 e2 x = 4 e2 x

Δ V ≈ d V = V′(r0) h i com que 4 ⎛4 ⎞′ V ′(r) = ⎜ π r 3 ⎟ = π ⋅ 3 r 2 = 4 π r 2 ⎝3 ⎠ 3

1 cos x (sin x)′ = c) f ′(x) = (ln sin x)′ = sin x sin x ⎛ cos x ⎞ ′ f ′′(x) = (f ′(x))′ = ⎜ = ⎝ sin x ⎠⎟ (cos x)′ sin x − cos x (sin x)′

=

sin2 x − sin2 x − cos2 x

=

sin2 x

Substituint aquests valors: =

Δ V ≈ d V = 4 π ⋅ 202 ⋅ (−0,2) = −1 005,31 cm3 Per tant, el volum és 1 005, 31 cm3.

1 sin2 x

f (x) =

b) Considerem la funció h = 0,12.

⎛ sin x ⎞ ′ = d) f ′(x) = (tg(x))′ = ⎜ ⎝ cos x ⎠⎟ (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′

=

cos 2 x

x , x 0 = 25

i

1 Com que f ′(x) = , aplicant l’aproximació 2 x de l’increment, f, per la diferencial, df, tenim:

=

1 cos 2 x + sin2 x = = cos 2 x cos 2 x (cos2 x)′ ⎛ 1 ⎞′ = f ′′(x) = (f ′(x))′ = ⎜ = − ⎝ cos2 x ⎠⎟ (cos2 x)2

f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′(x0) h ⇒ ⇒

25, 12 ≈

25 +

1 2 25

10 Derivades

2

2

10 Derivades

169 (cos2 x)′ ⎛ ⎞′ = f ′′(x) = (f ′(x))′ = ⎜ = − ⎟ ⎝ cos2 x ⎠ (cos2 x)2 = =

(sin x)′ cos x − sin x (cos x)′

Com que f ′(x) =

⎛ sin x ⎞ ′ = d) f ′(x) = (tg(x))′ = ⎜ ⎝ cos x ⎟⎠ = =

(cos x)′ sin x − cos x (sin x)′

1 cos x (sin x)′ = sin x sin x ⎛ cos x ⎞ ′ f ′′(x) = (f ′(x))′ = ⎜ = ⎝ sin x ⎟⎠

c) f ′(x) = (ln sin x)′ =

Δ V ≈ d V = V′(r0) h

f (x) =(f ′(x))′ = (2 e2 x)′ = 2 ⋅ 2 e2 x = 4 e2 x

Si aproximem l’increment de la funció per la diferencial de la funció, tenim:

b) f ′(x) = (e2 x)′ = 2 e2 x = 2 e2 x f (x) = (f ′(x))′ = (15 x2 + 4 x − 1)′ = = 15 ⋅ 2 x + 4 = 30 x + 4 42. a) f ′(x) = (5 x3 + 2 x2 − x + 1)′ = = 5 ⋅ 3 x2 + 2 ⋅ 2 x − 1 = 15 x2 + 4 x − 1 Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11 és: 11 = 3 m − 1 ⇒ m = 4

C ′(3) = −0,275 e−0,22 ⋅ 3 = −0,14

f ′(−1) = 3 m (−1)2 + 4 ⋅ (−1) + 3 = 3 m − 1 Determinem f ′(−1): f ′(x) = (m x3 + 2 x2 + 3 x − 1)′ = 3 m x2 + 4 x + 3 41. El pendent de la recta tangent a f en x = −1 coincideix amb f ′(−1). Calculem la derivada de f: Així, el punt que es busca és (0, f(0)) = (0, 0). f ′(x) =

C ′(t) = 1,25 ⋅ (−0,22) e−0,22 t = −0,275 e−0,22 t c) La taxa de variació instantània coincideix amb la derivada, per la qual cosa calculem C′(t): És negativa perquè C(t) és decreixent; és a dir, disminueix el seu valor a mesura que augmenta el temps. b)

TVM [1, 2] =

Vegem en quin punt la tangent és paral·lela a l’eix d’abscisses. Així, buscarem (x, f(x)) i f ′(x) = 0. y−

C(2) − C(1) = 0, 8 − 1 = −0, 2 2−1

C(t1) = C(1) = 1,25 ⋅ e−0,22 = 1 g ⋅ L−1 C(t2) = C(2) = 1,25 ⋅ e−0,22 ⋅ 2 = 0,8 g ⋅ L−1

1 1 = (x − 1) 2 2

43. a) Sigui t1 = 1 h i t2 = 2 h. Així, la concentració després d’una hora i dues hores és, respectivament:

L’equació de la recta buscada és:

= 2 tg x ⋅ sec2 x = 2 tg x (1 + tg2 x) = = 2 tg x + 2 tg3 x

2 1⎫ = ⎪ 4 2⎪ (1 + 1) ⎬ 1 1 ⎪ f (1) = = ⎪⎭ 1+1 2 f ′(1) =

=

= −

cos x 4

2 cos x (− sin x)

=

cos 3 x 2 sin x

=

0, 12 = 5, 012

169

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 169

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 170

170 que és una bona aproximació del valor exacte:

Trobem els zeros de B(x):

−19160 ± (19160)2 − 4 (−7) (−6 ⋅ 106 )

=

Com que B(0) = −6 ⋅ 106 < 0, perquè B(x) ≥ 0 s’ha de complir x ∈ [360,68, 2 376,46]. D’altra banda, x ha d’ésser enter; així, s’ha de complir:

10 Derivades

25, 12 = 5, 011985 634...

361 ≤ x ≤ 2 376

45. a) Sabem que es compleix: CMg(x + 1) ≈ C ′(x) ⇒ CMg(15) ≈ C ′(14) Així, doncs, calculem C ′(x): C ′(x) = 6 ⋅ 2 x + 840 = 12 x + 840 Per tant, el valor que ens demanen és: CMg(15) ≈ C ′(14) = 12 ⋅ 14 + 840 = 1 008 € b) Calculem I(x) i B(x): I(x) = x p(x) = x (20 000 − x) = 20 000 x − x2 B(x) = I(x) − C(x) = = 20 000 x − x2 − (6 x2 + 840 x + 6 000 000) = = −7 x2 + 19 160 x − 6 000 000 c) Si no volem tenir pèrdues s’ha de complir: B(x) ≥ 0 ⇔ −7 x2 + 19 160 x − 6 000 000 ≥ 0

d) Calculem I ′(x) i B′(x): I ′(x) = (20 000 x − x2)′ = 20 000 − 2 x B′(x) = (−7 x2 + 19 160 x − 6 000 000)′ = = −14 x + 19 160 e) Hem de calcular IMg(251), BMg(251), IMg(1 001) i BMg(1 001), de manera aproximada, així que considerem: IMg(251) ≈ I ′(250) = = 20 000 − 2 ⋅ 250 = 19 500 € BMg(251) ≈ B′(250) = = −14 ⋅ 250 + 19 160 = 15 660 € IMg(1 001) ≈ I ′(1 000) = = 20 000 − 2 ⋅ 1 000 = 18 000 € BMg(1 001) ≈ B′(1 000) = = −14 ⋅ 1 000 + 19 160 = 5 160 € f) Hem de calcular CMg(2 376), IMg(2 376) i BMg(2 376) de manera aproximada, així que considerem: CMg(2 376) ≈ C′(2 375) = = 12 ⋅ 2 375 + 840 = 29 340 €

B(x) = 0 ⇔ ⇔ x =

IMg(2 376) ≈ I′(2 375) = = 20 000 − 2 ⋅ 2 375 = 15 250 € BMg(2 376) ≈ B′(2 375) = = −14 ⋅ 2 375 + 19 160 = −14 090 €

46. Activitat TIC BMg(2 376) ≈ B′(2 375) = = −14 ⋅ 2 375 + 19 160 = −14 090 €

−14

=

46. Activitat TIC 47. Activitat TIC

b) Calculem I(x) i B(x):

d) Calculem I ′(x) i B′(x): 10 Derivades

−14 −19160 ± (19160) − 4 (−7) (−6 ⋅ 10 )

IMg(2 376) ≈ I′(2 375) = = 20 000 − 2 ⋅ 2 375 = 15 250 €

6

Trobem els zeros de B(x):

⎧360, 68 = ⎨ ⎩2 376, 46

47. Activitat TIC ⎧360, 68 = ⎨ ⎩2 376, 46 ⇔ x =

2

B(x) = 0 ⇔

f) Hem de calcular CMg(2 376), IMg(2 376) i BMg(2 376) de manera aproximada, així que considerem: CMg(2 376) ≈ C′(2 375) = = 12 ⋅ 2 375 + 840 = 29 340 €

B(x) ≥ 0 ⇔ −7 x2 + 19 160 x − 6 000 000 ≥ 0 c) Si no volem tenir pèrdues s’ha de complir:

BMg(1 001) ≈ B′(1 000) = = −14 ⋅ 1 000 + 19 160 = 5 160 €

= −7 x2 + 19 160 x − 6 000 000

IMg(1 001) ≈ I ′(1 000) = = 20 000 − 2 ⋅ 1 000 = 18 000 €

= 20 000 x − x2 − (6 x2 + 840 x + 6 000 000) = B(x) = I(x) − C(x) =

BMg(251) ≈ B′(250) = = −14 ⋅ 250 + 19 160 = 15 660 €

I(x) = x p(x) = x (20 000 − x) = 20 000 x − x2

e) Hem de calcular IMg(251), BMg(251), IMg(1 001) i BMg(1001), de manera aproximada, així que considerem: IMg(251) ≈ I ′(250) = = 20 000 − 2 ⋅ 250 = 19 500 €

CMg(15) ≈ C ′(14) = 12 ⋅ 14 + 840 = 1 008 € Per tant, el valor que ens demanen és:

B′(x) = (−7 x2 + 19 160 x − 6 000 000)′ = = −14 x + 19 160

C ′(x) = 6 ⋅ 2 x + 840 = 12 x + 840

I ′(x) = (20 000 x − x2)′ = 20 000 − 2 x

Així, doncs, calculem C ′(x): CMg(x + 1) ≈ C ′(x) ⇒ CMg(15) ≈ C ′(14) 45. a) Sabem que es compleix:

361 ≤ x ≤ 2 376 Com que B(0) = −6 ⋅ 106 < 0, perquè B(x) ≥ 0 s’ha de complir x ∈ [360,68, 2 376,46]. D’altra banda, x ha d’ésser enter; així, s’ha de complir:

25, 12 = 5, 011985 634... que és una bona aproximació del valor exacte:

170

10 Mates CSS_Guia.qxd

28/5/09

10:23

Página 170

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

171

11

La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5]. b) (x − 3)2 ≤ 4, x − 3  ≤ 2, −2 ≤ x − 3 ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 5.

13:10

Página 171

Aplicacions de les derivades

•

a) f ′(x) = (4 ln x + x2)′ = (4 ln x)′ + (x2)′ = 4 + 2x x = 4 ⋅ (ln x)′ + 2 ⋅ x 2 − 1 =

•

En aquest cas, 15 x2 − 4 x + 2 = 0 no té solucions reals, la qual cosa significa que sempre té el mateix signe (ja que és una funció contínua en qualsevol interval tancat). Així, com que en x = 0 l’expressió és 2 > 0, serà positiva per a qualsevol real x; per tant, la inequació no té solució.

a) x2 + 1 ≤ 0 , x2 ≤ −1 Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, ja que x2 ≥ 0; per tant, no té solució. Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa, la inequació no té solució.

c) 2 (5 − x2) > 3 x , 10 − 2 x2 > 3 x , 2 x2 + 3 x − 10 < 0

4 x − 2 > 15 x2 , 15 x2 − 4 x + 2 < 0

x−3 x−3 > 2 2

PREPARACIÓ DE LA UNITAT c)

•

a) 3 x + 7 − 5 (2 x − 3) ≥

x −1 − 1, 2

Com que es compleix que:

x −1− 2 3 x + 7 − 10 x + 15 ≥ , 2

d)

3 (x − 1) x − 3 3x − 3 − 2x x−3 −x > , > , 2 2 2 2 La solució d’aquesta inequació és, per tant, ⎛ 1 ⎞ , + ∞⎟ . ⎝⎜ 12 ⎠

−7 x + 22 ≥ 1 < 12 x, x >

⎛ 3 − 89 ⎞ ⎛ 3 + 89 ⎞ 2 x 2 + 3 x − 10 = ⎜ x + x+ ⎟ ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x−3 , −14 x + 44 ≥ x − 3, 2

−15 x ≥ −47, x ≤

i el producte de dos nombres és negatiu, si i només si aquests dos nombres tenen diferent signe, la inequació es compleix si:

47 15

⎧ 3 − 89 3 − 3 − ⎪⎩ 4 4

2 x − 3 − 4 (5 x − 1) 3x , 2 2 2 2 d)

89 ⎤ ⎥ 4 ⎥⎦

2 x − 1 3 x2 > , 2 (2 x − 1) > 5 ⋅ 3 x 2 , 5 2

•

a) f ′(x) = (4 ln x + x2)′ = (4 ln x)′ + (x2)′ = 4 = 4 ⋅ (ln x)′ + 2 ⋅ x 2 − 1 = + 2 x x

11. Aplicacions de les derivades

89 3 , − + 4 4

89 ⎤ ⎥ 4 ⎦⎥

La solució de la inequació és, doncs:

47 15

x−3 , −14 x + 44 ≥ x − 3, 2

3 x + 7 − 10 x + 15 ≥ a) 3 x + 7 − 5 (2 x − 3) ≥

⎧ 3 − 89 3 x+ >0⇒x >− + ⎪⎪ 4 4 ⎨ ⎪ x + 3 + 89 < 0 ⇒ x < − 3 − 4 4 ⎩⎪ 89 3 ,− + 4 4

89 ⎫ ⎪ 4 ⎪⇒ ⎬ 89 ⎪ 4 ⎭⎪

89 ⎤ ⎥ 4 ⎥⎦

⎧ 3 − 89 3 x+ − 3 − 4 4 ⎩⎪

89 ⎫ ⎪ 4 ⎪⇒ ⎬ 89 ⎪ 4 ⎭⎪

i el producte de dos nombres és negatiu, si i només si aquests dos nombres tenen diferent signe, la inequació es compleix si: ⎛ 3 − 89 ⎞ ⎛ 3 + 89 ⎞ 2 x 2 + 3 x − 10 = ⎜ x + ⎟ ⎜x + ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x −1− 2 , 2 x −1 − 1, 2

PREPARACIÓ DE LA UNITAT

Com que es compleix que: c) 2 (5 − x2) > 3 x , 10 − 2 x2 > 3 x , 2 x2 + 3 x − 10 < 0

Aplicacions de 11 les derivades 11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 171 C M Y K

89 3 , − + 4 4

En aquest cas, 15 x2 − 4 x + 2 = 0 no té solucions reals, la qual cosa significa que sempre té el mateix signe (ja que és una funció contínua en qualsevol interval tancat). Així, com que en x = 0 l’expressió és 2 > 0, serà positiva per a qualsevol real x; per tant, la inequació no té solució.

a) x2 + 1 ≤ 0 , x2 ≤ −1 Aquesta inequació no es compleix per a cap real x, ja que x2 ≥ 0; per tant, no té solució.

La solució d’aquesta inequació és l’interval [1, 5].

89 ⎫ ⎪ 4 ⎪⇒ ⎬ 89 ⎪ 4 ⎪⎭

4 x − 2 > 15 x2 , 15 x2 − 4 x + 2 < 0

Com que aquesta desigualtat estricta mai no és certa, la inequació no té solució.

b) (x − 3)2 ≤ 4, x − 3  ≤ 2, −2 ≤ x − 3 ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 5.

89 ⎤ ⎥ 4 ⎥⎦

La solució de la inequació és, doncs:

x−3 x−3 > 2 2

•

89 ⎫ ⎪ 4 ⎪⇒ ⎬ 89 ⎪ 4 ⎪⎭

⇒ No té solució.

La solució d’aquesta inequació és, per tant, ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ 12 , + ∞ ⎟⎠ . c)

89 3 ,− + 4 4

⎧ 3 − 89 3 >0⇒x >− + ⎪⎪ x + 4 4 ⎨ ⎪ x + 3 + 89 < 0 ⇒ x < − 3 − ⎪⎩ 4 4

2 x − 3 − 20 x + 4 3x 5 ⋅ 3 x 2 , 5 2 ⇒ No té solució.

1 12

2 x − 3 − 20 x + 4 3x 0 ⇒ f té un mínim ⎝ 3⎠ 3

=

b)

0 = f ′(x) =

1 . 3

x2 − 2 x − 1 (x − 1)2

⇔ ⎯

⎯

⇔ x2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 − √ 2 o x = 1 + √ 2 f ′′(x) =

1 cos2 x 2

=

⋅2x =

f ′′ (1 −

2x cos2 x 2

(2 x − 2) ⋅ (x − 1)2 − (x 2 − 2 x − 1) ⋅ 2 (x − 1) ((x − 1)2 )2

=

4 (x − 1)3 2) =

4

( − 2 )3

< 0 ⇒ f té un màxim rela-

⎯

(

′ x ) ⋅ ex −

ex −

x ⋅ ex

x ⋅ (e x )′

(e x )2 ⎛ 1 − ⎜ ⎝2 x =

tiu en x = 1 − √ 2. f ′′ (1 +

= ⎞ x ⎟ ex ⎠

e2 x

=

2) = ⎯

4

( 2 )3

> 0 ⇒ f té un mínim relatiu

en x = 1 + √ 2. c) 0 = f ′(x) = −

2 x ⋅ ex

3 x2 2 2 − x3

⇔ −3 x 2 = 0 ⇔ x = 0

−6 x ⋅ 2 2 − x 3 − (−3 x 2 ) ⋅ 2 f ′′(x) =

1. DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ 1. Calculem el valor de la derivada de la funció en el punt i decidirem a partir del seu signe si la funció és creixent o decreixent en aquest punt:

(2 −12 x 2 − x 3 −

=

a) f ′(x) = (2 x3 − x2)′ = 6 x2 − 2 x , f ′(2) = 20 > 0 ⇒ ⇒ f és estrictament creixent en x = 2.

=

⎛ x2 + 1⎞ ′ 2 x(x − 1) − (x 2 + 1) ⋅ 1 f ′(x) = ⎜ = ⎟ = (x − 1)2 ⎝ x −1 ⎠

2 − x3

)

(

)

3

2 − x3

−3 x 2 2 2 − x3

=

2

9 x4 2 − x3

4 (2 − x 3 ) −12 x (2 − x 3 ) − 9 x 4 4

= 3 x 4 − 24 x

=

4

(

2 − x3

)

3

f″(0) = 0; per tant, amb això no en tenim prou per a decidir.

x2 − 2 x − 1 (x − 1)2

En aquest cas, estudiarem el creixement i el decreixement de la funció f a partir d’una taula:

f(x)

−

f ′(x)

(− ∞, 0)

x

0

(0,

3 ⎯

√ 2)

−

0

→

,

→

52 − 2 ⋅ 5 − 1 7 f ′(5) = = > 0 ⇒ f és estrictament 8 (5 − 1)2 creixent en x = 5. −3 x 2

Per tant, x = 0 no és un extrem relatiu de f, i així deduïm que f no té extrems relatius. 3. a) 1. f ′(x) = (x3 − 3 x2 − 9 x + 1)′ = = 3 x2 − 6 x − 9

11. Aplicacions de les derivades

2. Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció i veure quin signe té en aquests la derivada segona:

⎛ x2 ⎞ ′ b) g ′(x) = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ x − 4⎠ =

2 x ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (2 x − 0)

=

c) h ′(x) =

relatiu en x =

1

−1 1 = ⋅ (x 2 − 9)2 ⋅ (x 2 − 9)′ = 2 1 1 x = ⋅ ⋅ (2 x − 0) = 2 x2 − 9 x2 − 9

d) k′(x) = (x2ex)′ = (x2)′ ⋅ ex + x2 ⋅ (ex)′ = = 2 x ⋅ ex + x2 ⋅ ex ln e = 2 xex + x2ex = = xex (2 + x) e) m ′(x) = (tg x 2 )′ = tg ′(x 2 ) ⋅ (x 2 )′ = =

f)

⎛ x ⎞′ i ′(x) = ⎜ x ⎟ = ⎝ e ⎠ 1 2 x

=

e2 x 1− 2x

=

3

b)

√ 2)

3 ⎯

)

=

− (0,

2 − x3

2 2 − x3

f(x)

(

=

)′ =

0 4

3

3 x 4 − 24 x

)

2 2 − x3

2 − x3

−

)

=

=

2 − x3 9 x4 2 − x3

2

−3 x 2

⇔ −3 x 2 = 0 ⇔ x = 0

> 0 ⇒ f té un mínim relatiu < 0 ⇒ f té un màxim rela-

(

f ′(x)

2 − x3

2 2−x

3

3 x2

( 2 )3 4

( − 2 )3 4

f ′(x) =

0

2) =

c)

3. a) 1. f ′(x) = (x3 − 3 x2 − 9 x + 1)′ = = 3 x2 − 6 x − 9 Per tant, x = 0 no és un extrem relatiu de f, i així deduïm que f no té extrems relatius. (− ∞, 0)

(

−12 x (2 − x 3 ) − 9 x 4 ⎯

2) =

f ′′ (1 −

(x − 1)3 4

3 < 0 ⇒ f és estrictament 2

⋅2x =

=

=

⎯

⇔

x2 − 2 x − 1 1 . 3

= −

, cos2 x 2 1

((x − 1)2 )2 (2 x − 2) ⋅ (x − 1)2 − (x 2 − 2 x − 1) ⋅ 2 (x − 1) (x − 1)2

0 = f ′(x) =

relatiu en x =

1 ⎛ 1⎞ f ′′ ⎜ ⎟ = 12 ⋅ − 2 = 2 > 0 ⇒ f té un mínim ⎝ 3⎠ 3

=

−3 ⋅ 12

2 2 − x3

⎞′

f ′(1) =

=

x

En aquest cas, estudiarem el creixement i el decreixement de la funció f a partir d’una taula: f″(0) = 0; per tant, amb això no en tenim prou per a decidir. 4 =

4 (2 − x ) 3

= c) 0 = f ′(x) = − en x = 1 + √ 2. f ′′ (1 +

tiu en x = 1 − √ 2. ⎯

1

f ″(0) = 12 ⋅ 0 − 2 = −2 < 0 ⇒ f té un màxim relatiu en x = 0.

(x 2 − 4)2

f ″(x) = (6 x2 − 2 x)′ = 12 x − 2

2 2 − 13

)

7 > 0 ⇒ f és estrictament 8 ⋅e −

x

⎠

⎛

=

−8 x =

1 3

creixent en x = 1.

2−x

−3 x 2 =

2

−12 x 2 − x 3 −

(2

f ′′(x) =

−6 x ⋅ 2 2 − x 3 − (−3 x 2 ) ⋅ 2

x

ex −

x

x

2

⎝

)′ = ⎜⎜(x 2 − 9)2 ⎟⎟

x2 − 9

2 x ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (2 x − 0) (x 2 − 4)2

a) 0 = f ′(x) = 6 x 2 − 2 x ⇔ x = 0 o x =

2. Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció i veure quin signe té en aquests la derivada segona:

11. Aplicacions de les derivades

(

2 x

x ⋅ (e )′ = (e x )2 ⎛ 1 ⎞ − x ⎟ ex x ⋅ ex ⎜ ⎝2 x ⎠ = = e2 x

(

)′

2

2x 2

f ′′(x) =

⎯

b)

1 −1 9)2

(

→

creixent en x = 1. 3 f ′(1) = = − < 0 ⇒ f és estrictament 3 2 2 2−1 −3 ⋅ 12

f ′(x) =

′

5 −2⋅5−1 x2 − 2 x − 1

⎛ x2 + 1⎞ ′ 2 x(x − 1) − (x 2 + 1) ⋅ 1 f ′(x) = ⎜ = = ⎟ (x − 1)2 ⎝ x −1 ⎠ 2

→

c)

3

(5 − 1)2 creixent en x = 5. f ′(5) =

2

(x − 1)2

= b)

a) f ′(x) = (2 x − x )′ = 6 x − 2 x , f ′(2) = 20 > 0 ⇒ ⇒ f és estrictament creixent en x = 2. 3

1. Calculem el valor de la derivada de la funció en el punt i decidirem a partir del seu signe si la funció és creixent o decreixent en aquest punt: 1. DERIVADA I MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ 2 x ⋅e

=

e2 x 1− 2x

=

1 f)

⎛ x ⎞′ i ′(x) = ⎜ x ⎟ = ⎝ e ⎠ cos x 2

=

e) m ′(x) = (tg x )′ = tg ′(x ) ⋅ (x )′ = 2

d) k′(x) = (x2ex)′ = (x2)′ ⋅ ex + x2 ⋅ (ex)′ = = 2 x ⋅ ex + x2 ⋅ ex ln e = 2 xex + x2ex = = xex (2 + x)

⇔ x2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 1 − √ 2 o x = 1 + √ 2

1 ⋅ (x 2 − ⋅ (x 2 − 9)′ = 2 1 1 x = ⋅ ⋅ (2 x − 0) = 2 2 2 x −9 x −9 = c) h ′(x) =

(x 2 − 4)2

= =

(x 2 )′ ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (x 2 − 4)′

⎛ x2 ⎞ ′ b) g ′(x) = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ x − 4⎠

172

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 172

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 173

173 (−1, 3)

3

(3, + ∞)

f ′(x)

+

0

−

0

+

x2 − 1 x

c) 1.

1 ⋅ (2 x + 1) − (x − 1) ⋅ 2

=

(2 x + 1)2

Els zeros de f ′ són: −2 xe−x2 = 0 ⇔ x = 0. f ′ no té punts de discontinuïtat, ja que és producte de dues funcions contínues en . 2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, 0) i (0, + ∞).

3 (2 x + 1)2

3. Construïm la taula de monotonia de f:

f ′(x) =

x2 − 1

)′

=

2 x2 − 1 2x

x2 − 1

=

x

f(x)

∃ ∃

+

1 − 2

1⎞ ⎛ − ∞, − ⎟ ⎝⎜ 2⎠

f ′(x) x

1⎞ ⎛ ⎜⎝ − ∞, − 2 ⎟⎠

f ′(x)

+

1 2

⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ − 2 , + ∞ ⎟⎠

∃ ∃

+

−

a) f(x) = x3 − x2 , f ′(x) = 3 x2 − 2 x , 4. Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quin signe té: 2. DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ Per tant, f és estrictament creixent en (−∞, 0) i estrictament decreixent en (0, + ∞). f(x)

La funció f ′ no té zeros, ja que el numerador mai no s’anul·la. =

3

f ′(x) =

(

x2 − 1

)′

=

f ′(x)

+

0

−

4. Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluar-la en el punt demanat per tal de veure quin signe té: a) f(x) = x3 − x2 , f ′(x) = 3 x2 − 2 x , f ″(x) = 6 x − 2 f ″(−3) = 6 ⋅ (−3) − 2 < 0 ⇒ f és còncava en x = −3. b) f(x) = 2 x3 − 3 x2 , f ′(x) = 6 x2 − 6 x , f ″(x) = 12 x − 6

2x 2 x2 − 1

=

f ″(0) = 12 ⋅ 0 − 6 < 0 ⇒ f és còncava en x = 0.

x x2 − 1

(− ∞, −1)

−1

− (−1, 3)

(0, + ∞)

f ′ no té punts de discontinuïtat, ja que és producte de dues funcions contínues en . Els zeros de f ′ són: −2 xe−x2 = 0 ⇔ x = 0. d) 1. f ′(x) = (e−x2)′ = e−x2 ⋅ (−2 x) = −2 xe−x2

+

0 3

(3, + ∞)

3. Elaborem una taula en la qual indicarem la monotonia de f a partir del signe de f ′:

Per tant, f és estrictament decreixent en (− ∞, −1) i (−1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, + ∞). f(x) f ′(x)

c) Els zeros de f ′ són:

(0, + ∞)

x x2 − 1

f (x) =

=0⇔ x =0

Els punts de discontinuïtat de f′ són aquells en què s’anul·la el denominador:

2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, −1), (−1, 3) i (3, + ∞). Com que f i f ′ són polinòmiques, no tenen punts de discontinuïtat. 3 x2 − 6 x − 9 = 0 ⇒ x = −1 o x = 3

x2 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1

f ′′(x) = f ′′(5) =

x2 − 2 x − 1 x2 + 1 , f ′(x) = , x −1 (x − 1)2 4 (x − 1)3 4 (5 − 1)3

> 0 ⇒ f és convexa en x = 5.

11. Aplicacions de les derivades

c) 1.

0

2. DERIVADA I CURVATURA D’UNA FUNCIÓ

1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ − ∞, − 2 ⎟⎠ i en ⎜⎝ − 2 , + ∞ ⎟⎠ .

x

0

0

(− ∞, 0)

x

−

2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, 0) i (0, + ∞).

⎛ x − 1 ⎞′ f ′(x) = ⎜ = ⎝ 2 x + 1 ⎠⎟ +

0

+

f ′(x)

3. Construïm la taula de monotonia de f:

(2 x + 1)2

Per tant, f és estrictament creixent en (−∞, −1) i en (3, +∞), i estrictament decreixent en (−1, 3).

Per tant, f és estrictament creixent en

f ′(x)

x2 − 2 x − 1 x2 + 1 , f ′(x) = , x −1 (x − 1)2

f (x) =

Els punts de discontinuïtat de f ′ són els zeros del denominador: f(x)

4

f ″(x) = 6 x − 2

⎛ 1 ⎞ − , + ∞⎟ ⎝⎜ 2 ⎠

1 (2 x + 1)2 = 0 ⇔ x = − 2

f(x)

(− ∞, 0)

Per tant, f és estrictament creixent en (−∞, 0) i estrictament decreixent en (0, + ∞).

3. Elaborem la taula de monotonia de f: x

x f(x)

1 2

1⎞ ⎛ 2. Hem de considerar els intervals ⎜ − ∞, − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 1 ⎞ i ⎜ − , + ∞⎟ . ⎝ 2 ⎠ b) 1.

(x − 1)3

f ″(−3) = 6 ⋅ (−3) − 2 < 0 ⇒ f és còncava en x = −3.

+

1⎞ ⎛ 2. Hem de considerar els intervals ⎜ − ∞, − ⎟ ⎝ 2⎠ 1 ⋅ (2 x + 1) − (x − 1) ⋅ 2

> 0 ⇒ f és convexa en x = 5.

b) f(x) = 2 x3 − 3 x2 , f ′(x) = 6 x2 − 6 x ,

⎛ 1 ⎞ i ⎜ − , + ∞⎟ . ⎝ 2 ⎠

(2 x + 1)2

4

f ″(x) = 12 x − 6

3. Elaborem la taula de monotonia de f:

Els punts de discontinuïtat de f ′ són els zeros del denominador:

=

(5 − 1)3

f ″(0) = 12 ⋅ 0 − 6 < 0 ⇒ f és còncava en x = 0.

Per tant, f és estrictament creixent en

La funció f ′ no té zeros, ja que el numerador mai no s’anul·la.

(2 x + 1)2 = 0 ⇔ x = −

+

d) 1. f ′(x) = (e−x2)′ = e−x2 ⋅ (−2 x) = −2 xe−x2

⎛ x − 1 ⎞′ f ′(x) = ⎜ = ⎝ 2 x + 1 ⎟⎠ =

∃

Per tant, f és estrictament decreixent en (− ∞, −1) i (−1, 0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, + ∞).

→

=0⇔ x =0

1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − ∞, − ⎟ i en ⎜ − , + ∞ ⎟ . ⎝⎜ ⎝ 2 ⎠ 2⎠

Per tant, f és estrictament creixent en (−∞, −1) i en (3, +∞), i estrictament decreixent en (−1, 3).

b) 1.

+

0

→

→

f ′′(x) = c)

f(x)

−

→

→

−1

f(x)

∃

→

(

(− ∞, −1)

−

(1, +∞)

(0, 1) 1

→

Els zeros de f ′ són:

x

→

Els zeros de f ′ són:

x

→

(− ∞, −1) −1 (−1, 0) 0

x f ′(x)

→

f ′′(5) =

Els punts de discontinuïtat de f′ són aquells en què s’anul·la el denominador:

3. Elaborem una taula en la qual indicarem la monotonia de f a partir del signe de f ′:

3. Construïm la taula de monotonia de f:

→

2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, −1), (−1, 3) i (3, + ∞).

→

→

−

→

∃

−

0

(− ∞, −1) −1 (−1, 0) 0

+

→

→

(− ∞, −1) , (−1, 0) , (0, 1) i (1, + ∞)

Com que f i f ′ són polinòmiques, no tenen punts de discontinuïtat.

→

x2 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1

3 x2 − 6 x − 9 = 0 ⇒ x = −1 o x = 3

→

→

→

→

2. Els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f ′ són:

→

11. Aplicacions de les derivades

Els zeros de f ′ són:

∃

(0, 1) 1

+ (1, +∞)

3. Construïm la taula de monotonia de f: (− ∞, −1) , (−1, 0) , (0, 1) i (1, + ∞) 2. Els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f ′ són:

173

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 173 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 174

174 f (x) =

f (x) =

x 2 − 1 , f ′(x) =

(

1 x2 − 1 1

(

32 − 1

x x2 − 1

,

e) • 0 = f ′′(x) =

3 x 4 − 24 x 4

)3

)3

(

2 − x3

)

3

⇔ 0 = 3 x 4 − 24 x ⇔

⇔ x = 0 o x = 2, però x = 2 no és del domini de f, aleshores només hem de considerar x = 0. < 0 ⇒ f és còncava en x = 3.

• f ′′′(x) =

3 x 6 − 120 x 3 − 96 8

2 − x 3 , f ′(x) =

−3 x 2 2 2 − x3

,

f ′′′(0) =

(

2 − x3

−96

8( 2)

5

)

5

,

< 0 ⇒ f té un punt d’inflexió

en x = 0.

3 x 4 − 24 x

(

)

3

2 − x3

(

)

1 cos 2 x

, f ′′(x) = 2

sin x cos 3 x

sin x

f) • 0 = f ′′(x) = 2

cos3 x

⇔ 0 = sin x ⇔ x = k π,

k ∈. • f ′′′(x) =

2 + 4 sin2 x cos 4 x

f ′′′(k π) =

2 + 4 sin2 (k π) cos 4 (k π)

2+0 =2>0⇒ 1

=

f ″(x) = 6 x − 2 Els zeros de f ″ són: 0 = 6 x − 2 ⇔ x =

1 3

f ″ no té punts de discontinuïtat, ja que és polinòmica. 2. Els intervals definits pels zeros (i els punts de ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ discontinuïtat) de f″ són ⎜ − ∞, ⎟ i ⎜ , + ∞ ⎟ . ⎝ ⎠ 3⎠ ⎝ 3

0



⎛1 ⎞ , + ∞⎟ . ⎝⎜ 3 ⎠ +

11. Aplicacions de les derivades

d)

f ′′(x) = −

f ′′(3) = −

e)

f ′′(x) =

4

3 ⋅ 14 − 24 ⋅ 1 −21 f ′′(1) = = < 0 ⇒ f és còncava 3 4 4 ⋅ 2 − 13 en x = 1. f (x) = tg x , f ′(x) =

⇒ f té un punt d’inflexió en x = k π, k ∈ . 6. a) 1. f(x) = x3 − x2 − 8 x , f ′(x) = 3 x2 − 2 x − 8,

3π . 4

1 3

3. Elaborem una taula en la qual indiquem la curvatura de f a partir del signe de f ″: 1 3

−

,

f)

2 3π sin ⎛ 3π⎞ 2 4 = 2⋅ = f ′′ =2 3 3π ⎝⎜ 4 ⎠⎟ ⎛ 2⎞ cos 3 4 ⎟ ⎜− ⎝ 2 ⎠ = −4 < 0 ⇒ f és còncava en x =

5. Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estudiar el signe de la derivada tercera (o de la primera derivada que no s’anul·li des de la tercera) en aquests punts: a) • 0 = f ′′(x) = 6 x − 2 ⇔ x =

⎛ 1⎞ f ′′′(x) = 6 , f ′′′ ⎜ ⎟ = 6 > 0 ⇒ f té un punt ⎝ 3⎠

1⎞ ⎛ − ∞, ⎟ ⎝⎜ 3⎠

x f ″(x)

f(x) 1⎞ ⎛ Per tant, la funció és còncava en ⎜ − ∞, ⎟ i ⎝ 3⎠ 1 convexa en ⎜⎛ , + ∞ ⎟⎞ . ⎝3 ⎠ b) 1. g(x) = x3 − 3 x + 2 , g′(x) = 3 x2 − 3

5

g ″(x) = 6 x

)

•

+

1 d’inflexió en x = . 3

0

⎛1 ⎞ ⎜⎝ 3 , + ∞ ⎟⎠ . 1 3

2+0 =2>0⇒ 1

1 2

−

=

b) • 0 = f ′′(x) = 12 x − 6 ⇔ x =

1 3

cos 4 (k π) 2 + 4 sin2 (k π)





⎛ 1⎞ • f ′′′(x) = 12 , f ′′′ ⎜ ⎟ = 12 > 0 ⇒ f té un punt ⎝ 2⎠

2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, 0) i (0, + ∞).

 1⎞ ⎛ ⎜⎝ − ∞, 3 ⎟⎠

3. Elaborem una taula en la qual indiquem la curvatura de f a partir del signe de f ″: 2. Els intervals definits pels zeros (i els punts de ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ discontinuïtat) de f″ són ⎜ − ∞, ⎟ i ⎜ , + ∞ ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝3 ⎠ 3 f ″ no té punts de discontinuïtat, ja que és polinòmica. Els zeros de f ″ són: 0 = 6 x − 2 ⇔ x = f ″(x) = 6 x − 2 6. a) 1. f(x) = x3 − x2 − 8 x , f ′(x) = 3 x2 − 2 x − 8, ⇒ f té un punt d’inflexió en x = k π, k ∈ . f ′′′(k π) =

⇔ 0 = sin x ⇔ x = k π,

< 0 ⇒ f té un punt d’inflexió

1 . 2

sin x

sin x 5

2 − x3

d’inflexió en x =

cos 3 x

cos 4 x 2 + 4 sin2 x

k ∈. cos3 x

8( 2) −96

(

3 x 6 − 120 x 3 − 96

)

4 c) • 0 = f ′′(x) = no té solució; aleshores f ″ (x − 1)3 no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.

)

Els zeros de g ″ són: 0 = 6 x ⇔ x = 0 g ″ és polinòmica, aleshores no té punts de discontinuïtat. g ″(x) = 6 x x

1 3

, f ′′(x) = 2

−21 < 0 ⇒ f és còncava 4

f) • 0 = f ′′(x) = 2 f ′′′(0) = • f ′′′(x) =

2 − x3

⇔ 0 = 3 x 4 − 24 x ⇔

Els zeros de g ″ són: 0 = 6 x ⇔ x = 0 g ″ és polinòmica, aleshores no té punts de discontinuïtat.

=

,

< 0 ⇒ f és còncava en x = 3.

(

3

3 x 4 − 24 x

)

1

1 . 3 1

• f ′′′(x) =

)

3

)

en x = 0. −3 x 2

8

)

3

⇔ x = 0 o x = 2, però x = 2 no és del domini de f, aleshores només hem de considerar x = 0.

)3

4 e) • 0 = f ′′(x) =

,

(

32 − 1

x2 − 1

x

2. Els intervals que hem de considerar són (− ∞, 0) i (0, + ∞).

2−1

2 − x3

3

3 x 4 − 24 x 2 2 − x3

2 − x 3 , f ′(x) =

(

1

(

1

x −1 2

x 2 − 1 , f ′(x) =

1 d) • 0 = f ′′(x) = − no té solució; alesho3 x2 − 1 res f no té punts d’inflexió.

(

2

4

b) 1. g(x) = x3 − 3 x + 2 , g′(x) = 3 x2 − 3

1 . 2

1⎞ ⎛ Per tant, la funció és còncava en ⎜ − ∞, ⎟ i ⎝ 3⎠ 1 convexa en ⎛⎜ , + ∞ ⎞⎟ . ⎝3 ⎠ f(x) f ″(x)

(

3

3 ⋅ 1 − 24 ⋅ 1 4

(

3π . 4

2 3π 2 4 = 2⋅ = 3 3π ⎛ 2⎞ cos 3 4 ⎟ ⎜− ⎝ 2 ⎠ sin

cos 2 x

f (x) = tg x , f ′(x) = f (x) = f (x) =

11. Aplicacions de les derivades

no té solució; alesho3 x −1 res f no té punts d’inflexió.

d) • 0 = f ′′(x) = −

no té solució; aleshores f ″ (x − 1)3 no té zeros i, per tant, f no té punts d’inflexió.

c) • 0 = f ′′(x) =

d’inflexió en x =

⎛ 1⎞ • f ′′′(x) = 12 , f ′′′ ⎜ ⎟ = 12 > 0 ⇒ f té un punt ⎝ 2⎠ 1 b) • 0 = f ′′(x) = 12 x − 6 ⇔ x = 2 d’inflexió en x = •

⎛ 1⎞ f ′′′(x) = 6 , f ′′′ ⎜ ⎟ = 6 > 0 ⇒ f té un punt ⎝ 3⎠

a) • 0 = f ′′(x) = 6 x − 2 ⇔ x =

5. Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estudiar el signe de la derivada tercera (o de la primera derivada que no s’anul·li des de la tercera) en aquests punts: = −4 < 0 ⇒ f és còncava en x = ⎛ 3π⎞ f ′′ ⎜ =2 ⎝ 4 ⎟⎠ f)

4⋅ en x = 1. f ′′(1) =

4 f ′′(x) = e)

f ′′(3) = − f ′′(x) = − d)

174

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 174

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 175

175 (− ∞, 0)

0

(0, + ∞)

−

0

+

g ″(x)



i(x)

0

+

i ″(x)

2 kπ

((2 k − 1)π, 2 k π)

x

...

 −

0

(2 k π, (2 k + 1)π)

g(x)

...

Per tant, g és còncava en (− ∞, 0) i convexa en (0, + ∞).

3. Elaborem la taula de curvatura de i: c) 1. (k π, (k + 1) π), k ∈ 

h(x) = h ′(x) =

f) 1. k(x) = xex , k′(x) = ex(x + 1) , k″(x) = ex(x + 2) Els zeros de k″ són: 0 = ex(x + 2) ⇔ x = −2 k″ és contínua, aleshores no té punts de discontinuïtat.

x2 1− x 2 x − x2

2. Hem de considerar els intervals: h ′′(x) = i″ no té discontinuïtats, ja que sin x és una funció contínua en .

0

f(x)

0

x

(1 − x)2

2. Hem de considerar els intervals (− ∞, −2) i (−2, + ∞).

2 (1 − x)

3

3. Elaborem la taula de curvatura de k: x (− ∞, −2) −2 (−2, + ∞)

h″ no té zeros, ja que el numerador mai no s’anul·la.

k ″(x)

(0, 3,37) −

f(x)

(− ∞, −2,37)

x

−2 sin x = 0 ⇔ x = k π, k ∈ . i ″(x) = −2 sin x.

(1 − x)3 = 0 ⇔ x = 1

3. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS 7.

x

(− ∞, 1)

1

(1, + ∞)

h″(x)

+

−

h(x)

∃ ∃

a) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica. 2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX:



0 = f(x) = x3 − x2 − 8 x ⇔

+

x =

1

(− ∞, 1)

x

x =

33

= 3, 37,

2

1−

33 2

= −2, 37 i x = 0

— Amb l’eix OY: f(0) = 03 − 02 − 8 ⋅ 0 = 0 3. Signe: considerem els intervals determinats pels zeros de f, ja que com que f és polinòmica no té discontinuïtats, i vegem quin n’és el signe en cadascun:

7.

2 1−

= −2, 37 i x = 0

2 1+

33

= 3, 37,

3. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS Així doncs, k és còncava en (−∞, −2) i convexa en (−2, + ∞). k(x) k ″(x)

h″ no té zeros, ja que el numerador mai no s’anul·la.

i″ no té discontinuïtats, ja que sin x és una funció contínua en . 2. Hem de considerar els intervals:

x

(− ∞, −2,37)

−2,37

(−2,37, 0)

f(x)

−

0

+

(k π, (k + 1) π), k ∈ 

x

0

(0, 3,37)

3,37

(3,37, + ∞)

f(x)

0

−

0

+

3. Elaborem la taula de curvatura de i: ((2 k − 1)π, 2 k π)

2 kπ

i ″(x)

+

0

i(x)

x

...

(2 k π, (2 k + 1)π)

(2 k + 1)π

−

0



...

−

0

+

3. Elaborem la taula de curvatura de k: x (− ∞, −2) −2 (−2, + ∞)

(1 − x)3

2. Hem de considerar els intervals (− ∞, −2) i (−2, + ∞).

2 (1 − x)2

x2 h(x) = 1− x 2 x − x2

Per tant, g és còncava en (− ∞, 0) i convexa en (0, + ∞). g(x)

−

g ″(x) Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k − 1) π, 2 k π) i còncava en els de la forma (2 k π, (2 k + 1) π), essent k ∈ .

x

33

a) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica.

Els punts de discontinuïtat de h″ són els zeros del denominador:

−2 sin x = 0 ⇔ x = k π, k ∈ .

c) 1.

(−2,37, 0)

2. Talls amb els eixos:

(1 − x)3 = 0 ⇔ x = 1

Els zeros de i″ són:

h ′(x) =

−2,37

— Amb l’eix OX:

(1, + ∞)

2. Els intervals que hem de considerar són(−∞, 1) i (1, + ∞).

i ″(x) = −2 sin x.

h ′′(x) =

+

0

0 = f(x) = x3 − x2 − 8 x ⇔

−

3. Elaborem la taula de curvatura de h: Per tant, h és convexa en (− ∞, 1) i còncava en (1, + ∞). d) 1. i(x) = 2 sin x , i ′(x) = 2 cos x ,



1+

⇔ x =

11. Aplicacions de les derivades

0

(− ∞, 0)

f) 1. k(x) = xex , k′(x) = ex(x + 1) , k″(x) = ex(x + 2) Els zeros de k″ són: 0 = ex(x + 2) ⇔ x = −2 k″ és contínua, aleshores no té punts de discontinuïtat. 1 Per tant j′′(x) = i ′′(x) per la qual cosa j″ i i″ te2 nen el mateix signe i el mateixos zeros. Així doncs, tenen els mateixos intervals de concavitat i convexitat.



+

0

Així doncs, k és còncava en (−∞, −2) i convexa en (−2, + ∞).

2. Els intervals que hem de considerar són(−∞, 1) i (1, + ∞).

⇔ x =



h″(x)

(3,37, + ∞)

— Amb l’eix OY:

Per tant, h és convexa en (− ∞, 1) i còncava en (1, + ∞).

∃ ∃

3,37

f(0) = 03 − 02 − 8 ⋅ 0 = 0

d) 1. i(x) = 2 sin x , i ′(x) = 2 cos x ,



−



k(x)

3. Elaborem la taula de curvatura de h: h(x)

+

0

3. Signe: considerem els intervals determinats pels zeros de f, ja que com que f és polinòmica no té discontinuïtats, i vegem quin n’és el signe en cadascun:

Els zeros de i″ són:

Els punts de discontinuïtat de h″ són els zeros del denominador:



−



1 i ′′(x) per la qual cosa j″ i i″ te2 nen el mateix signe i el mateixos zeros. Així doncs, tenen els mateixos intervals de concavitat i convexitat. Per tant j′′(x) =



(2 k + 1)π





π⎞ 1 ⎛ j(x) = cos ⎜ x − ⎟ = sin x = i(x) ⎝ 2⎠ 2



x

e)



Per tant, i és convexa en els intervals de la forma ((2 k − 1) π, 2 k π) i còncava en els de la forma (2 k π, (2 k + 1) π), essent k ∈ .

11. Aplicacions de les derivades

3. La taula de curvatura de g és:

0

+ (0, + ∞)

3. La taula de curvatura de g és:

e)

π⎞ 1 ⎛ j(x) = cos ⎜ x − ⎟ = sin x = i(x) ⎝ 2⎠ 2

175

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 175 C M Y K

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 176

176 6. Monotonia i extrems relatius: Calculem f ′ i n’estudiem el signe en els intervals determinats pels seus zeros i punts de discontinuïtat:

m

1 3

1⎞ ⎛ − ∞, ⎟ ⎝⎜ 3⎠

x

3. Signe: com que g és polinòmica, considerem els intervals donats pels zeros de g i en calculem el signe en cadascun:

⎛1 ⎞ , + ∞⎟ ⎝⎜ 3 ⎠

Com que f″ no té discontinuïtats perquè és polinòmica, els intervals que hem de considerar són els que defineixen els seus zeros, és a dir:

g(0) = 03 − 3 ⋅ 0 + 2 = 2 — Amb l’eix OY:

7. Curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = 6 x − 2 1 f ′′(x) = 0 ⇔ x = 3

⇔ x = 1 i x = −2 0 = g(x) = x3 − 3 x + 2 ⇔

⎛ 4 ⎞ − ,2 ⎝⎜ 3 ⎠⎟

→

— Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos:

x→+ ∞

4⎞ ⎛ − ∞, − ⎟ ⎝⎜ 3⎠

x

0 −

4 3

x→− ∞

lim f (x) = + ∞ , lim f (x) = − ∞

f té branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que: no té asímptotes, ja que és una funció polinòmica no constant ni lineal. 5. Asímptotes i branques infinites: f(−x) ≠ f(x) ≠ −f(−x) 4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

→

+

f ′(x)

− ⎛ 4 ⎞ − ,2 ⎝⎜ 3 ⎠⎟

m 0 2

+ (2, + ∞)

Com que f ′ no té discontinuïtats perquè és polinòmica, considerem la taula: f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 i x = −

4 3

f ′(x) = 3 x2 − 2 x − 8 Calculem f ′ i n’estudiem el signe en els intervals determinats pels seus zeros i punts de discontinuïtat:

g ′(x) = 0 ⇔ x = −1 i x = 1

M

g ′(x) = 3 x2 − 3

f (x)

b) 1. Domini: D(g) = , ja que g és polinòmica.

Calculem g′ i n’estudiem el signe en els intervals donats pels seus zeros, ja que no té discontinuïtats:

4⎞ ⎛ Així, f és estrictament creixent en ⎜ − ∞, − ⎟ ⎝ 3⎠

6. Monotonia i extrems relatius:

i en (2, + ∞), i és estrictament decreixent en

x→− ∞

→

5. Asímptotes i branques infinites:



lim g(x) = + ∞ , lim g(x) = − ∞

X

+

g(−x) ≠ g(x) ≠ −g(−x)

g té branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que:

f(x) = x3 – x2 – 8x

5

–10

+

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

x→+ ∞

–5

0

0

+

−

0

1 (1, + ∞)

g no té asímptotes perquè és polinòmica de grau major que 1.

5

–5

1 (1, + ∞)

−

(−2, 1)

g(x)

−2

(−2, 1)

(− ∞, −2)

−2

x

(− ∞, −2)

→

Amb aquesta informació, en podem elaborar la gràfica:

3. Signe: com que g és polinòmica, considerem els intervals donats pels zeros de g i en calculem el signe en cadascun: x



PI

1⎞ ⎛ Per tant, f és còncava en l’interval ⎜ − ∞, ⎟ , és ⎝ 3⎠ ⎛1 ⎞ convexa en l’interval ⎜ , + ∞ ⎟ i té un punt d’in⎝3 ⎠ 1 flexió en x = . 3

Y

+

PI

0

+

+

0

0

f (x)

⎛1 ⎞ ⎜⎝ 3 , + ∞ ⎟⎠

−

−



1 3

g(x)

f ″(x)

1⎞ 3 ⎟⎠

f ″(x)

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

⎛ ⎜⎝ − ∞,

g(0) = 03 − 3 ⋅ 0 + 2 = 2

f (x)

1⎞ ⎛ Per tant, f és còncava en l’interval ⎜ − ∞, ⎟ , és ⎝ 3⎠ ⎛1 ⎞ convexa en l’interval ⎜ , + ∞ ⎟ i té un punt d’in⎝3 ⎠

— Amb l’eix OY:

Com que f″ no té discontinuïtats perquè és polinòmica, els intervals que hem de considerar són els que defineixen els seus zeros, és a dir:



g(−x) ≠ g(x) ≠ −g(−x)

⇔ x = 1 i x = −2

1 3

1 . 3

0 = g(x) = x3 − 3 x + 2 ⇔

flexió en x =

5. Asímptotes i branques infinites:

2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX:

f ′′(x) = 0 ⇔ x =

11. Aplicacions de les derivades

Amb aquesta informació, en podem elaborar la gràfica:

b) 1. Domini: D(g) = , ja que g és polinòmica.

7. Curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = 6 x − 2

x

g no té asímptotes perquè és polinòmica de grau major que 1.

→

+

g té branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que:

0

f(x) = x3 – x2 – 8x

⎛ 4 ⎞ ⎜⎝ − 3 , 2 ⎟⎠

−

Y

i en (2, + ∞), i és estrictament decreixent en

(2, + ∞)

5

4⎞ ⎛ Així, f és estrictament creixent en ⎜ − ∞, − ⎟ ⎝ 3⎠

2

x→− ∞

M

⎛ 4 ⎞ ⎜⎝ − 3 , 2 ⎟⎠

lim g(x) = + ∞ , lim g(x) = − ∞

0

4 3

x→+ ∞

+

f (x)

6. Monotonia i extrems relatius:

f ′(x)

−

X

4⎞ ⎛ ⎜⎝ − ∞, − 3 ⎟⎠

→

x

5

Com que f ′ no té discontinuïtats perquè és polinòmica, considerem la taula:

x→− ∞

–5

lim f (x) = + ∞ , lim f (x) = − ∞

x→+ ∞

Calculem g′ i n’estudiem el signe en els intervals donats pels seus zeros, ja que no té discontinuïtats:

f té branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que:

4 3

–5

f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 i x = −

g ′(x) = 3 x2 − 3

f ′(x) = 3 x2 − 2 x − 8

no té asímptotes, ja que és una funció polinòmica no constant ni lineal.

g ′(x) = 0 ⇔ x = −1 i x = 1

5. Asímptotes i branques infinites:

11. Aplicacions de les derivades

f(−x) ≠ f(x) ≠ −f(−x)

–10

4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:

6. Monotonia i extrems relatius:

176

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 176

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 177

177 g′(x)

+

0

g(x)

M

3. Signe: considerem els intervals determinats pel seu únic zero, x = 0, i el seu únic punt de discontinuïtat, x = 1.

(−1, 1) 1 (1, + ∞) −

0

+

m

→

−1

→

→

(− ∞, −1)

Per tant, g és estrictament creixent en (− ∞, − 1) i (1, +∞), estrictament decreixent en (−1, 1) i presenta un màxim en x = −1 i un mínim en x = 1.

x

(− ∞, 0)

0

(0, 1)

1

(1, + ∞)

h(x)

+

0

+

∃

−

4. Simetries i periodicitat: No en té; per tant: h(−x) ≠ h(x) ≠ −h(−x)

0

−

h′(x)

0

(− ∞, 0)

x

h(0) = — Amb l’eix OY:

+ (0, 1)

∃

+

∃ 1

M

−

0

(1, 2)

(2, + ∞)

2

Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1,

02 =0 1− 0

Així, considerem la taula següent: h′ té una discontinuïtat en x = 1

h(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0

7. Curvatura i punts d’inflexió: 5. Asímptotes i branques infinites:

h′(x) = 0 ⇔ x = 0 i x = 2

— Amb l’eix OX:

Calculem g″ i n’estudiem el signe en els intervals donats pels seus zeros, ja que no té discontinuïtats perquè és polinòmica:

• La recta x = 1 és una asímptota vertical, ja que:

=

2. Talls amb els eixos:

(1 − x)2 2 x (1 − x) − x 2 (−1)

D(h) = {x ∈   1 − x ≠ 0} =  − {1}

g″(x) = 6 x ⇒ g″(x) = 0 ⇔ x = 0

lim h(x) = ∞

x →1

(− ∞, 0)

0

(0, + ∞)

−

0

+

PI

–1

g″(x)



g(x)

• h no té asímptotes horitzontals, ja que: lim h(x) = − ∞ , lim h(x) = + ∞

x→+ ∞

h(x) x2 = lim = −1 = a x→ ± ∞ x x→ ± ∞ x − x2 lim (h(x) − (− x)) = lim

–1

1

2

3

X

x→ ± ∞

⎛ x2 ⎞ = lim ⎜ + x⎟ = x→ ± ∞ ⎝ 1 − x ⎠

6. Monotonia i extrems relatius: x→ ± ∞

= lim

2

x→ ± ∞

= lim

g(x) = x3 – 3x + 2

3 4

Y 2

Així doncs, podem representar la gràfica de g: Per tant, g és còncava en (− ∞, 0), convexa en (0, + ∞) i en x = 0 presenta un punt d’inflexió. PI



–3

1

–1

2

3

X

6. Monotonia i extrems relatius:

–1

Calculem h′ i considerem els intervals donats pels seus zeros i discontinuïtats: ⎛ x2 ⎞ ′ h ′(x) = ⎜ ⎟ = ⎝1 − x⎠

c) 1. Domini:

g(x)

0

−

g″(x)

(− ∞, 0)

x→ ± ∞

h(x) x2 lim = lim = −1 = a x→ ± ∞ x→ ± ∞ x − x2 x lim (h(x) − (− x)) = • A.O.: x→+ ∞

+ (0, + ∞)

0

Així, en resulta la taula següent:

x→− ∞

lim h(x) = − ∞ , lim h(x) = + ∞

• h no té asímptotes horitzontals, ja que: x →1

lim h(x) = ∞

g″(x) = 6 x ⇒ g″(x) = 0 ⇔ x = 0

D(h) = {x ∈   1 − x ≠ 0} =  − {1} 2. Talls amb els eixos:

=

2 x (1 − x) − x 2 (−1) (1 − x)2

— Amb l’eix OX:

Així, considerem la taula següent: Així, h és estrictament creixent en (0,1) i (1,

(− ∞, 0)

0

(0, 1)

1

(1, 2)

2

(2, + ∞)

−

0

+

∃

+

0

−

→

m

∃

M

→

Calculem g″ i n’estudiem el signe en els intervals donats pels seus zeros, ja que no té discontinuïtats perquè és polinòmica:

• La recta x = 1 és una asímptota vertical, ja que: 5. Asímptotes i branques infinites:

7. Curvatura i punts d’inflexió: Per tant, g és estrictament creixent en (− ∞, − 1) i (1, +∞), estrictament decreixent en (−1, 1) i presenta un màxim en x = −1 i un mínim en x = 1. M

g(x)

0

+

g′(x)

−1

(− ∞, −1)

x

h(x)

(1 − x)2

11. Aplicacions de les derivades

02 h(0) = =0 1− 0

h′(x)

2 x − x2

h′ té una discontinuïtat en x = 1

— Amb l’eix OY:

x

=

h′(x) = 0 ⇔ x = 0 i x = 2

h(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0

→

−

m

→

→

Així, y = −x − 1 és una asímptota obliqua de h, per tots dos costats.

1

→

x2 + x − x2 1− x x = −1 1− x

⎛ x2 ⎞ = lim ⎜ + x⎟ = x→ ± ∞ ⎝ 1 − x ⎠

4

x2 + x − x2 x→ ± ∞ 1− x x = lim = −1 x→ ± ∞ 1 − x

= lim

g(x) = x3 – 3x + 2

3

→

2 x − x2

Així, y = −x − 1 és una asímptota obliqua de h, per tots dos costats.

1

Així doncs, podem representar la gràfica de g: Y



x→− ∞

• A.O.:

Per tant, g és còncava en (− ∞, 0), convexa en (0, + ∞) i en x = 0 presenta un punt d’inflexió.

x

(1 − x)2

Calculem h′ i considerem els intervals donats pels seus zeros i discontinuïtats:

x –3

=

⎛ x2 ⎞ ′ h ′(x) = ⎜ ⎟ = ⎝1 − x⎠

c) 1. Domini:

Així, en resulta la taula següent:



m

→

x

→

h(x)

→

→

11. Aplicacions de les derivades

Així, considerem la taula següent:

0

4. Simetries i periodicitat: No en té; per tant: h(x) x

+

(−1, 1) 1 (1, + ∞)

Així, considerem la taula següent:

h(−x) ≠ h(x) ≠ −h(−x) + (− ∞, 0)

0 0

+ (0, 1)

∃ 1

− (1, + ∞)

3. Signe: considerem els intervals determinats pel seu únic zero, x = 0, i el seu únic punt de discontinuïtat, x = 1.

177

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 177 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 178

178 x f (x)

(− ∞, −1) −1 (−1, 0) 0 +

0

−

∃

(0, 1) 1 −

0

(1, +∞) +

— La recta x = 0 és una asímptota vertical, ja que: lim f (x) = −∞

=

x→0

— No té asímptotes horitzontals.

2

— Tampoc no té asímptotes obliqües.

(1 − x)3

6. Intervals de monotonies i extrems relatius: f ′(x) =

11. Aplicacions de les derivades

2) i estrictament decreixent en (− ∞, 0) i (2, + ∞). A més, presenta en x = 0 un mínim relatiu i en x = 2 un màxim relatiu.

4. Simetries i periodicitat: té simetria parella, ja que f(x) = f(−x).

X

7. Curvatura i punts d’inflexió:

No és periòdica.

4

Calculem h″, els seus zeros i les seves discontinuïtats i, a partir d’aquests punts, determinem els intervals on estudiem el signe de h″.

3

5. Asímptotes i branques infinites:

2

⎛ 2 x − x2 ⎞ ′ h ′′(x) = ⎜ = 2 ⎟ ⎝ (1 − x) ⎠

1

(2 − 2 x) (1 − x)2 − (2 x − x 2 ) 2(1 − x) (−1)

–3 –2 –1 –1

=

–2

(1 − x)4

–3

=

–4

1 2 3

Com que h″ no té zeros i té una discontinuïtat en x = 1, com a resultat tenim els intervals següents:

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f i l’únic punt de discontinuïtat de la funció: f(0) no existeix. — Amb l’eix OY: 0 = f(x) ⇔ x = 1 o x ⇔ −1 — Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: 1. Domini: D(f)=  − {0}, ja que x2 sempre és positiu. 8. f(x) = 2 log x

2

Y

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és:

4 x

–5

∃

+

1

(− ∞, 1)

x

(1, + ∞) −

No té zeros en la primera derivada, per tant els intervals de monotonia són: (0, +∞)

→



h″(x)

+

+

∃

−

f ′(x)

0

(−∞, 0)

x



∃



∃

∃



h(x)

−

∃

f ′′(x)

(0, +∞)

f(x)

0

Així, h és convexa en (−∞, 1) i còncava en (1, +∞).

(−∞, 0)

Per tant, la representació gràfica de h és:

4

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: Y

X

x2

x2 1–x

f ′(x) = −

4 x2

5

(−∞, 0)

0

(0, +∞)

f ′(x)

−

∃

+

∃

No té zeros en la segona derivada, i els intervals de curvatura són: X

∃

−

f ′′(x)

0

(−∞, 0)

x

(0, +∞) +

f(x)

→

x

10



∃

−



5

h(x)





∃

∃

No té zeros en la primera derivada, per tant els intervals de monotonia són:

f(x)

+

(1, + ∞)

→

h″(x)

h(x) =

10

f ′(x) = −

x 1–x

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: Així, h és convexa en (−∞, 1) i còncava en (1, +∞). 1

–5

5

→

x

f(x) –5

No té zeros en la segona derivada, i els intervals de curvatura són: 5

h(x) =

2

Y

Per tant, la representació gràfica de h és: (− ∞, 1)

x

–5

4 x

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és: Y

— Tampoc no té asímptotes obliqües.

3

8. f(x) = 2 log x2

2

2

1. Domini: D(f)=  − {0}, ja que x2 sempre és positiu.

f ′(x) =

6. Intervals de monotonies i extrems relatius:

(1 − x)3

— No té asímptotes horitzontals. x→0

=

que: lim f (x) = −∞

1

2. Talls amb els eixos:

(1 − x)4 (2 − 2 x) (1 − x) − (2 x − x ) 2(1 − x) (−1) 2

— La recta x = 0 és una asímptota vertical, ja

— Amb l’eix OX:

–4

0 = f(x) ⇔ x = 1 o x ⇔ −1

–3

–1

–2

1

2

3

4

X

5. Asímptotes i branques infinites:

–1

— Amb l’eix OY:

No és periòdica.

–2

–3

−

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f i l’únic punt de discontinuïtat de la funció:

∃

−

0

f(0) no existeix.

4. Simetries i periodicitat: té simetria parella, ja que f(x) = f(−x). +

f (x)

(− ∞, −1) −1 (−1, 0) 0

x

+

0

11. Aplicacions de les derivades

Com que h″ no té zeros i té una discontinuïtat en x = 1, com a resultat tenim els intervals següents: = =

2

⎛ 2 x − x2 ⎞ ′ h ′′(x) = ⎜ = 2 ⎟ ⎝ (1 − x) ⎠ Calculem h″, els seus zeros i les seves discontinuïtats i, a partir d’aquests punts, determinem els intervals on estudiem el signe de h″. 7. Curvatura i punts d’inflexió: 2) i estrictament decreixent en (− ∞, 0) i (2, + ∞). A més, presenta en x = 0 un mínim relatiu i en x = 2 un màxim relatiu.

(1, +∞)

(0, 1) 1

178

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 178

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 179

179 9. Vegem si f(x) = x3 − x2 satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]:

f ′(c) =

Perquè P′(t) = 0, s’ha de complir:

f ( x 2 ) − f ( x1 ) = k x 2 − x1

• f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinòmica.

=

Però f ′(c) = k ∀ c ∈ (a, b), per tant: ∃ c ∈ (x1 , x 2 )  (a, b)

f ′ (c) =

f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

Com que [x1, x2]  (a, b) i f és derivable en (a, b), f compleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [x1, x2]; per tant: Considerem dos punts qualssevol x1 < x2 de l’interval (a, b). Ara demostrarem que si f ′(x) = k ∀ x ∈ (a, b), aleshores f(x) = kx + k′ , ∀ x ∈ , en què k′ és constant. Sigui k ∈  el valor constant que pren f ′ a (a, b). g′(x) = f ″(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ g = f ′ és constant en (a, b). 10. Si definim g = f ′, com que f ″ = (f′)′ = g′, aplicant el que hem vist en l’exercici resolt, podem afirmar: (Això és degut al fet que el teorema de Rolle és el cas particular del teorema de Lagrange on f verifica f(a) = f(b).) Observem que és la mateixa condició que l’obtinguda en el teorema de Rolle, ja que hem calculat 2 . 3 el valor de c:c =

f (1) − f (0) 0 − 0 = f ′(c) = =0 1− 0 1− 0

P ′(t ) =

(2 + (t − 1)2 )2 18 (−t 2 + 2 t + 1)

=

(2 + (t − 1)2 )2 18 (t 2 − 2 t + 3) − 18 (t − 1) (2 t − 2)

=

Per determinar els extrems relatius trobem els valors de t que compleixen P ′(t) = 0. 12. P(t ) =

2 + (t − 1)2 18 (t − 1)

11. Aplicacions de les derivades

4. TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES

• f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica. • f(0) = f(1): f(0) = 03 − 02 = 0 = 13 − 12 = f(1), per tant, també es verifica. Per tant, f verifica les hipòtesis del teorema de Rolle; aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema:

Això significa que el pendent de la recta secant a f en qualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k; per tant, f és una recta de pendent k en (a, b); en cas contrari, existirien 3 punts de la corba y = f(x), no alineats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta que uneix els punts (x0, y0) i (x1, y1)i la recta que uneix els punts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Això no és possible, ja que hem vist que el pendent de les rectes secants a aquesta corba és m = k. Així, l’expressió analítica de f és de la forma: f(x) = kx + k1 ∀ x ∈ , en què k1 ∈ 

∃ c ∈ (0, 1)  f ′(c) = 0 Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0 la derivada: f ′(x) = 3 x 2 − 2 x , f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 o x =

2 3

2 Com que 0 ∉ (0, 1), el valor de c és c = . 3 — Com que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de Lagrange, ja que són les dues primeres del teorema de Rolle.

5. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS 11. La finestra deixarà passar la màxima quantitat de llum quan la seva superfície sigui màxima. Considerem x i y les dimensions de la finestra. La seva superfície és: S=xy De l’enunciat deduïm que la longitud del marc, és a dir, el perímetre, ha de ser 4 m. 2x + 2y = 4 ⇒ y = 2 − x

Per tant, es satisfarà la tesi: ∃ c ∈ (0, 1) f ′(c) =

f (1) − f (0) 0 − 0 = =0 1− 0 1− 0

Observem que és la mateixa condició que l’obtinguda en el teorema de Rolle, ja que hem calculat 2 el valor de c:c = . 3 (Això és degut al fet que el teorema de Rolle és el cas particular del teorema de Lagrange on f verifica f(a) = f(b).) 10. Si definim g = f ′, com que f ″ = (f′)′ = g′, aplicant el que hem vist en l’exercici resolt, podem afirmar: g′(x) = f ″(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ g = f ′ és constant en (a, b). Sigui k ∈  el valor constant que pren f ′ a (a, b).

Així doncs, la superfície és: S = x (2 − x) = 2 x − x2 Calculem els extrems de la funció S(x). Per fer-ho, trobem la seva derivada: S′(x) = 2 − 2 x i resolem l’equació S′(x) = 0: 2 − 2x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ ⇒ y = 2 − x = 1 ⇒ S(1) = 1 Trobem el valor de la segona derivada de S(x) per a x = 1: S″(x) = −2 ⇒ S″(1) < 0 Per tant, la finestra deixarà passar la màxima quantitat de llum si és una finestra quadrada de dimensions 1 m × 1 m.

Ara demostrarem que si f ′(x) = k ∀ x ∈ (a, b), aleshores f(x) = kx + k′ , ∀ x ∈ , en què k′ és constant.

+ 32 , t ≥ 0

Per tant, la finestra deixarà passar la màxima quantitat de llum si és una finestra quadrada de dimensions 1 m × 1 m. S″(x) = −2 ⇒ S″(1) < 0 Trobem el valor de la segona derivada de S(x) per a x = 1: 2 − 2x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ ⇒ y = 2 − x = 1 ⇒ S(1) = 1 i resolem l’equació S′(x) = 0: S′(x) = 2 − 2 x Calculem els extrems de la funció S(x). Per fer-ho, trobem la seva derivada: S = x (2 − x) = 2 x − x2

∃ c ∈ (0, 1)

Així doncs, la superfície és:

Per tant, es satisfarà la tesi: — Com que f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle, també complirà les del teorema de Lagrange, ja que són les dues primeres del teorema de Rolle. Com que 0 ∉ (0, 1), el valor de c és c =

2 . 3

f ′(x) = 3 x 2 − 2 x , f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 o x =

2 3

Per tal de trobar el valor de c, derivem f i igualem a 0 la derivada: ∃ c ∈ (0, 1)  f ′(c) = 0

Com que [x1, x2]  (a, b) i f és derivable en (a, b), f compleix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [x1, x2]; per tant: ∃ c ∈ (x1 , x 2 )  (a, b)

f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ′ (c) = x 2 − x1

Però f ′(c) = k ∀ c ∈ (a, b), per tant:

Per tant, f verifica les hipòtesis del teorema de Rolle; aleshores, complirà la tesi d’aquest teorema: • f(0) = f(1): f(0) = 03 − 02 = 0 = 13 − 12 = f(1), per tant, també es verifica. • f derivable en (0,1): es verifica, ja que f és polinòmica. • f contínua en [0,1]: es verifica, ja que f és polinòmica.

f ′(c) =

f ( x 2 ) − f ( x1 ) = k x 2 − x1

12. P(t ) =

18 (t − 1) 2 + (t − 1)2

+ 32 , t ≥ 0

Per determinar els extrems relatius trobem els valors de t que compleixen P ′(t) = 0. P ′(t ) =

18 (t 2 − 2 t + 3) − 18 (t − 1) (2 t − 2) (2 + (t − 1)2 )2 =

18 (−t 2 + 2 t + 1) (2 + (t − 1)2 )2

Perquè P′(t) = 0, s’ha de complir:

=

=

11. Aplicacions de les derivades

Considerem dos punts qualssevol x1 < x2 de l’interval (a, b).

9. Vegem si f(x) = x3 − x2 satisfà les tres hipòtesis del teorema de Rolle en [0, 1]: 4. TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES

2x + 2y = 4 ⇒ y = 2 − x De l’enunciat deduïm que la longitud del marc, és a dir, el perímetre, ha de ser 4 m. Considerem x i y les dimensions de la finestra. La seva superfície és: S=xy 11. La finestra deixarà passar la màxima quantitat de llum quan la seva superfície sigui màxima. 5. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS f(x) = kx + k1 ∀ x ∈ , en què k1 ∈  Així, l’expressió analítica de f és de la forma: Això significa que el pendent de la recta secant a f en qualsevol parell de punts (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) és k; per tant, f és una recta de pendent k en (a, b); en cas contrari, existirien 3 punts de la corba y = f(x), no alineats, (x0, y0), (x1, y1) i (x2, y2), tals que la recta que uneix els punts (x0, y0) i (x1, y1)i la recta que uneix els punts (x0, y0) i (x2, y2) tindrien diferent pendent. Això no és possible, ja que hem vist que el pendent de les rectes secants a aquesta corba és m = k.

179

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 179 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 180

180 −t2 + 2 t + 1 = 0 ⇔ t2 − 2 t − 1 = 0 2±

4+4 = 1± 2

2

⎯

Com que t ≥ 0, l’única solució possible és t = 1 + √ 2. ⎯

Trobem el signe de la segona derivada en t = 1 + √ 2 per tal de comprovar si es tracta d’un màxim. P ′′(t ) =

18 (−2 t + 2) (2 + (t − 1)2 )2 − 18 (−t 2 + 2 t + 1) 2 (2 + (t − 1)2 ) 2 (t − 1) (2 + (t − 1)2 )4 P ′′(t ) =

El denominador sempre és positiu, així que hem d’analitzar el signe del numerador per a t = 1 + 2 : 36 (1 +

(

2 − 1) (1 +

2 ) − 2 (1 + 2

)

36 (t − 1) (t 2 − 2 t − 5) (2 + (t − 1)2 )3 14. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expressió analítica de la forma:

2) − 5 =

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a ≠ 0

= 36 ⋅ 2 (−4) < 0 Per tant, el màxim s’assolirà en t = 1 +

Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es compleixin les condicions demanades.

2 ≈ 2, 4.

• Passa pel punt (0, 1):

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

f(0) = 1 ⇒ d = 1

13. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expressió analítica del tipus:

• Passa pel punt (1, 0):

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a ≠ 0

f(1) = 0 ⇒ a + b + c + d = 0

Hem de trobar coeficients a, b, c, i d perquè es compleixin les condicions demanades.

• En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té pendent nul: f ′(1) = 0 ⇒ 3 a + 2 b + c = 0

• Passa per l’origen de coordenades: f(0) = 0 ⇒ d = 0

• El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:

• Presenta un extrem relatiu en (−2, 0):

f ″(1) = 0 ⇒ 3 a + b = 0

• f(−2)= 0 ⇒ a(−2)3 + b(−2)2 + c(−2) + d = 0 ⇒ ⇒ −8 a + 4 b − 2 c + d = 0

Resolem el sistema d’equacions: d a+b+c+d 3a + 2b + c 3a + b

• f ′(−2) = 0 ⇒ 3 a(−2)2 + 2 b(−2) + c = 0 ⇒ ⇒ 12 a − 4 b + c = 0 • Presenta un extrem relatiu en x = −

2 : 3

= = = =

1⎫ 0 ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = −1, b = 3, c = −3, d = 1 0⎪ 0 ⎭⎪

Així, la solució és: f(x) = −x3 + 3 x2 − 3 x + 1.

2

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ f′⎜− ⎟ = 0 ⇒ 3a⎜− ⎟ + 2b⎜− ⎟ + c = 0 ⇒ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⇒ 4a − 4b + 3c = 0

15. Considerem la funció f(x) = x3 − 4 x + 2. És clar que les solucions de l’equació x3 − 4 x + 2 = 0 coincideixen amb els zeros de la funció f. Per tant, el problema plantejat és equivalent a demostrar que la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1).

Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions següent: = = = =

0⎫ 0 ⎪⎪ ⎬ 0⎪ 0 ⎭⎪

— Podem observar que f té algun zero en l’interval (0, 1). Així, comprovem que f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [0, 1]: • f és contínua, en [0, 1], ja que és polinòmica.

Per tant, es complirà la tesi del teorema: 2

d −8 a + 4 b − 2 c + d 12 a − 4 b + c 4a − 4 b + 3c

1⎫ 0 ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = −1, b = 3, c = −3, d = 1 0⎪ 0 ⎪⎭

• f té signe oposat en els extrems de [0, 1]:

11. Aplicacions de les derivades

t =

∃ c ∈ (0, 1)  f(c) = 0 Per tant, es complirà la tesi del teorema: f(0) = 2 > 0 ; f(1) = −1 < 0 • f té signe oposat en els extrems de [0, 1]: • f és contínua, en [0, 1], ja que és polinòmica. — Podem observar que f té algun zero en l’interval (0, 1). Així, comprovem que f compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [0, 1]: Per tant, el problema plantejat és equivalent a demostrar que la funció f té un únic zero en l’interval (0, 1). 15. Considerem la funció f(x) = x3 − 4 x + 2. És clar que les solucions de l’equació x3 − 4 x + 2 = 0 coincideixen amb els zeros de la funció f. Així, la solució és: f(x) = −x3 + 3 x2 − 3 x + 1. = = = =

• En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té pendent nul: • Passa pel punt (1, 0): f(0) = 1 ⇒ d = 1 • Passa pel punt (0, 1): Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es compleixin les condicions demanades. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a ≠ 0

f(0) = 2 > 0 ; f(1) = −1 < 0

2 ≈ 2, 4.

)

2) − 5 =

Es tracta d’un sistema compatible indeterminat. Una possible solució és:

2

3 , b = 3, c = 3, d = 0 4

0⎫ 0 ⎪⎪ ⎬ 0⎪ 0 ⎪⎭ 2 : 3

d a+b+c+d 3a + 2b + c 3a + b

Resolem el sistema d’equacions: f ″(1) = 0 ⇒ 3 a + b = 0 • El punt (1, 0) és un punt d’inflexió:

2 ) − 2 (1 +

∃ c ∈ (0, 1)  f(c) = 0

Així, f(x) = 3 x3 + 12 x2 + 12 x.

4+4 = 1± 2

a =

3 , b = 3, c = 3, d = 0 4 = = = =

2

(

2 − 1) (1 +

14. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expressió analítica de la forma: (2 + (t − 1)2 )3 36 (t − 1) (t 2 − 2 t − 5) (2 + (t − 1)2 )4

18 (−2 t + 2) (2 + (t − 1)2 )2 − 18 (−t 2 + 2 t + 1) 2 (2 + (t − 1)2 ) 2 (t − 1) ⎯

⎯

2±

11. Aplicacions de les derivades

Així, f(x) = 3 x3 + 12 x2 + 12 x. a =

Es tracta d’un sistema compatible indeterminat. Una possible solució és: d −8 a + 4 b − 2 c + d 12 a − 4 b + c 4a − 4 b + 3c

Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions següent: ⇒ 4a − 4b + 3c = 0 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ f′⎜− ⎟ = 0 ⇒ 3a⎜− ⎟ + 2b⎜− ⎟ + c = 0 ⇒ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ • Presenta un extrem relatiu en x = − ⇒ 12 a − 4 b + c = 0 • f ′(−2) = 0 ⇒ 3 a(−2) + 2 b(−2) + c = 0 ⇒ 2

• f(−2)= 0 ⇒ a(−2)3 + b(−2)2 + c(−2) + d = 0 ⇒ ⇒ −8 a + 4 b − 2 c + d = 0 • Presenta un extrem relatiu en (−2, 0): f(0) = 0 ⇒ d = 0

f ′(1) = 0 ⇒ 3 a + 2 b + c = 0

• Passa per l’origen de coordenades: Hem de trobar coeficients a, b, c, i d perquè es compleixin les condicions demanades.

f(1) = 0 ⇒ a + b + c + d = 0

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a ≠ 0 13. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expressió analítica del tipus: RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES Per tant, el màxim s’assolirà en t = 1 + = 36 ⋅ 2 (−4) < 0 36 (1 +

El denominador sempre és positiu, així que hem d’analitzar el signe del numerador per a t = 1 + 2 : P ′′(t ) = P ′′(t ) =

Trobem el signe de la segona derivada en t = 1 + √ 2 per tal de comprovar si es tracta d’un màxim. Com que t ≥ 0, l’única solució possible és t = 1 + √ 2. t =

−t2 + 2 t + 1 = 0 ⇔ t2 − 2 t − 1 = 0

180

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 180

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 181

f ′(x)

−

f(x)

1 (1, 4) 4 (4, 10) 10 (10, +∞) +

0

+

0

→

→

0

−

Però, si calculem els zeros de f ′: 0 = f ′(x) = 3 x 2 − 4 ⇔ x = ±

2 3 = ±1, 15 3

Com que f és continua (ja que és derivable), podem deduir: f és decreixent en (− ∞, 1)⎫ ⎬⇒ f és creixent en (1, 4) ⎭

i cap no pertany a (0, 1), aleshores:

∃ x0 ∈ (0, 1)  f ′(x0) = 0

⇒ f té un mínim relatiu en x = 1

Hem obtingut una contradicció, que prové de suposar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1), aleshores c és l’únic zero de f en (0, 1).

f és creixent en (4, 10) ⎫ ⎬⇒ f és decreixent en (10, + ∞)⎭

16. Les solucions de l’equació x3 − 3 x2 + 2 x + 2 = 0 coincideixen amb els zeros de la funció:

⇒ f té un màxim relatiu en x = 10 • Curvatura: el signe de la funció f ″ ens informa de la curvatura de f.

Així, podem replantejar-nos el problema i demostrar que f té un únic zero en l’interval (−1, 0). Hem de veure, doncs, dues coses: — Existència:

Podem concloure, doncs, que existeix un zero de f en (−1, 0).

Per tant, és possible deduir la curvatura de f directament a partir de la monotonia de f ′: x f ′(x) f(x)

— Unicitat: Suposem que el zero de f en (−1, 0) no fos únic, és a dir, que existeixin c < c′ de l’interval (−1, 0) tals que f(c) = f(c′) = 0. Com que f és polinòmica, és derivable en , i per tant, compleix las dues primeres hipòtesis del teorema de Rolle en qualsevol interval tancat. A més, com que f(c) = f(c′) = 0, també es compleix la tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval [c, c′]; per tant, ha d’existir un zero de f ′ en (c, c′) ∈ (−1, 0).

f és convexa en (4, 7) ⎫ ⎬⇒ f és còncava en (7, + ∞)⎭

3 ⇒ 3

No obstant això, si calculem els zeros de f ′:

⇒ f té un punt d’inflexió en x = 4

A més, com que f(c) = f(c′) = 0, també es compleix la tercera hipòtesi d’aquest teorema en l’interval [c, c′]; per tant, ha d’existir un zero de f ′ en (c, c′) ∈ (−1, 0).

f és còncava en (2, 4) ⎫ ⎬⇒ f és convexa en (4, 7))⎭ ⇒ f té un punt d’inflexió en x = 2

Com que f és polinòmica, és derivable en , i per tant, compleix las dues primeres hipòtesis del teorema de Rolle en qualsevol interval tancat. Suposem que el zero de f en (−1, 0) no fos únic, és a dir, que existeixin c < c′ de l’interval (−1, 0) tals que f(c) = f(c′) = 0. — Unicitat:

f és convexa en (− ∞, 2)⎫ ⎬⇒ f és còncava en (2, 4) ⎭ Com que f és contínua, podem deduir: f(x)

Podem concloure, doncs, que existeix un zero de f en (−1, 0). Com que f és polinòmica i f(−1) = −4 < 0 i f(0) = = 2 > 0, compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [−1, 0]. — Existència: Així, podem replantejar-nos el problema i demostrar que f té un únic zero en l’interval (−1, 0). Hem de veure, doncs, dues coses: f(x) = x3 − 3 x2 + 2 x + 2

f ′(x) x

(−∞, 2)

M 2

(2, 4)

m 4

(4, 7)

M 7

Podem obtenir el signe de f ″ a partir de la gràfica de f ′ perquè f ″ = (f ′)′, aleshores f ″ serà positiva allà on f ′ sigui estrictament creixent i negativa allà on f ′ sigui estrictament decreixent. • Curvatura: el signe de la funció f ″ ens informa de la curvatura de f. ⇒ f té un màxim relatiu en x = 10 f és creixent en (4, 10) ⎫ ⎬⇒ f és decreixent en (10, + ∞)⎭

Hem obtingut una contradicció, que prové de suposar que f tingués un zero diferent de c en (0, 1), aleshores c és l’únic zero de f en (0, 1).

⇒ f té un mínim relatiu en x = 1

∃ x0 ∈ (0, 1)  f ′(x0) = 0

f és decreixent en (− ∞, 1)⎫ ⎬⇒ f és creixent en (1, 4) ⎭

i cap no pertany a (0, 1), aleshores: 0 = f ′(x) = 3 x 2 − 4 ⇔ x = ±

2 3 = ±1, 15 3

(7, +∞)

Per tant, és possible deduir la curvatura de f directament a partir de la monotonia de f ′:

16. Les solucions de l’equació x3 − 3 x2 + 2 x + 2 = 0 coincideixen amb els zeros de la funció:

Com que f és continua (ja que és derivable), podem deduir:

Però, si calculem els zeros de f ′: Per tant, ∃ x0 ∈ I  (0, 1)  f ′(x0) = 0. • f(c) = f(c′) = 0. • f és polinòmica; per tant, és derivable en I − {c, c′}.

0 = f ′(x) = 3 x 2 − 6 x + 2 ⇔ x = 1 ± ⇒ x = 1,6 o x = 0,4

3 ⇒ 3

observem que en realitat no existeix cap zero de f ′ en (−1, 0). Així, el zero de f en (−1, 0) és únic.

2

(2, 4)

4

M

m



(4, 7)

7

(7, +∞)

M



Com que f és contínua, podem deduir: f és convexa en (− ∞, 2)⎫ ⎬⇒ f és còncava en (2, 4) ⎭ ⇒ f té un punt d’inflexió en x = 2 f és còncava en (2, 4) ⎫ ⎬⇒ f és convexa en (4, 7))⎭ ⇒ f té un punt d’inflexió en x = 4 f és convexa en (4, 7) ⎫ ⎬⇒ f és còncava en (7, + ∞)⎭ ⇒ f té un punt d’inflexió en x = 7 18. Estudiem primerament com ha de ser la derivada en l’interval [2, + ∞).

11. Aplicacions de les derivades

No obstant això, si calculem els zeros de f ′:

(−∞, 2)

→

Com que f és polinòmica i f(−1) = −4 < 0 i f(0) = = 2 > 0, compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [−1, 0].

Podem obtenir el signe de f ″ a partir de la gràfica de f ′ perquè f ″ = (f ′)′, aleshores f ″ serà positiva allà on f ′ sigui estrictament creixent i negativa allà on f ′ sigui estrictament decreixent.

→

f(x) = x3 − 3 x2 + 2 x + 2

→

• f és polinòmica; per tant, és contínua en I. — Vegem que el zero c és únic. Ho farem mitjançant reducció a l’absurd. Suposem que existeix un altre zero c′ ≠ c de f en l’interval (0, 1). La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c′, ja que:

f(x)

−

f ′(x)

(−∞, 1)

x

→

→

→

(−∞, 1)

→

0 = f ′(x) = 3 x 2 − 6 x + 2 ⇔ x = 1 ±

→

⇒ x = 1,6 o x = 0,4

⇒ f té un punt d’inflexió en x = 7 →

Per tant, ∃ x0 ∈ I  (0, 1)  f ′(x0) = 0.

x



observem que en realitat no existeix cap zero de f ′ en (−1, 0).

→

→

0

+

0

+

→

• f(c) = f(c′) = 0.

D’acord amb la gràfica de f, podem construir la següent taula de monotonia de f:



18. Estudiem primerament com ha de ser la derivada en l’interval [2, + ∞).

Així, el zero de f en (−1, 0) és únic.

11. Aplicacions de les derivades

181 • f és polinòmica; per tant, és derivable en I − {c, c′}.

• Monotonia: el signe de la funció f ′ ens informa de la monotonia de f.

→





• f és polinòmica; per tant, és contínua en I.

17. Podem determinar els màxims i mínims relatius de f a partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus punts d’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.

→





— Vegem que el zero c és únic. Ho farem mitjançant reducció a l’absurd. Suposem que existeix un altre zero c′ ≠ c de f en l’interval (0, 1). La funció f compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval tancat I definit per c i c′, ja que:

0

−

1 (1, 4) 4 (4, 10) 10 (10, +∞)

D’acord amb la gràfica de f, podem construir la següent taula de monotonia de f: • Monotonia: el signe de la funció f ′ ens informa de la monotonia de f. 17. Podem determinar els màxims i mínims relatius de f a partir de l’estudi de la seva monotonia, i els seus punts d’inflexió a partir de l’estudi de la seva curvatura.

181

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 181 C M Y K

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 182

182 2

(2, + ∞)

3. Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros de f en el seu domini:

= {x ∈   x2 ≥ 4} − {0} = (−∞, −2]  [2, +∞) = ({x ∈   x2 − 4 ≥ 0}  ) − {0} =

( (

D(f ) = D

)

0 ∉ D(f); per tant, f no talla l’eix OY.

x 2 − 4  D(x) − { x ∈  | x = 0} =

)

19. a) 1. Domini:

— Amb l’eix OY: –1

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

X

 →

−2

0

(− ∞, −2)

3 2

x

1

2. Talls amb els eixos:

+

3 x−5 2

→

M

(4, + ∞)

0



(2, 4)

0

PI

⎞ 2⎟ ⎠

−

PI

⎛1 ⎜⎝ 2 ,

f(x)

1 2

m

→

f ′(x)

1⎞ ⎛ ⎜⎝ −1, 2 ⎟⎠

— Amb l’eix OX:



f(x)

−1

x2 − 4 = 0 ⇔

(− ∞, −1)

⇔

Ara bé, com que (f ′)′ = f ″, resulta que f ′ és estrictament creixent allà on f és convexa i estrictament decreixent allà on f és còncava. Per tant:

x2 − 4

• Monotonia i extrems relatius: f ′ és estrictament creixent allà on (f ′)′ és positiva i estrictament decreixent allà on (f ′)′ és negativa.

0 = f (x) =

És una funció imparella, ja que: 4. Simetria i periodicitat:

Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f ′ en l’interval (− ∞, 2), a partir dels intervals de monotonia i convexitat.

x

∃ f ′(2) i  ∃ f ′(4). • Com que, en x = 2 i x = 4 la gràfica de la funció presenta un pic, tenim que 

x

⇔ x2 − 4 = 0 ⇔ x = ± 2

• Com que f(x) = 1 en (4, + ∞) , f ′(x) = 0 en aquest interval.

11. Aplicacions de les derivades

3 3 x − 5 en x ∈ (2, 4) , f ′(x) = en aquest interval. 2 2

• Com que f (x) =

1

• Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f ′.

k

⎛1 ⎞ ⎜⎝ 2 , 1⎟⎠

(−1, 0)

0

⎛ 1⎞ 0, ⎝⎜ 2 ⎠⎟

→

→

(−2, −1)

1 2

⎛1 ⎞ ,1 ⎝⎜ 2 ⎠⎟

1

(1, 2)

(2, 4)

→

−1

−2

(4, −∞)

Podem representar f ′ a partir del següent resum de les seves característiques:

k

• Curvatura i punts d’inflexió: no sabem com obtenir-los a partir de la gràfica de f sense passar per la de f ′.

2

(−∞, −2)

Y

Interval

0

0

3 — 2

3 — 2

−

−

0

0

(4, −∞)

+

M

(2, 4)

0

+

(1, 2)

−

0

1

0

1 2

+

m

⎛ 1⎞ ⎜⎝ 0, 2 ⎟⎠

Signe f ′

−

0

M

0

(−1, 0)

m

+

→

−1

Monotonia

Signe f ′ Monotonia

(−2, −1)

Y

−2

→

(−∞, −2)

→

Interval

2

Podem representar f ′ a partir del següent resum de les seves característiques:

(4, + ∞) 11. Aplicacions de les derivades

— Amb l’eix OX: 0 = f (x) =

x2 − 4 ⇔ x

x2 − 4 = 0 ⇔

⇔ x − 4 = 0 ⇔ x = ±2 2

x

(− ∞, −2)

−2

2

(2, + ∞)

f(x)

−

0

0

+

4. Simetria i periodicitat: És una funció imparella, ja que:

3 3 x − 5 en x ∈ (2, 4) , f ′(x) = en aquest interval. 2 2

2. Talls amb els eixos:

3. Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros de f en el seu domini:

• Com que f (x) =

= {x ∈   x2 ≥ 4} − {0} = (−∞, −2]  [2, +∞)

• Com que f(x) = 1 en (4, + ∞) , f ′(x) = 0 en aquest interval.

= ({x ∈   x − 4 ≥ 0}  ) − {0} =

∃ f ′(2) i  ∃ f ′(4). • Com que, en x = 2 i x = 4 la gràfica de la funció presenta un pic, tenim que 

0 ∉ D(f); per tant, f no talla l’eix OY.

2

Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f ′ en l’interval (− ∞, 2), a partir dels intervals de monotonia i convexitat.

— Amb l’eix OY:

• Monotonia i extrems relatius: f ′ és estrictament creixent allà on (f ′)′ és positiva i estrictament decreixent allà on (f ′)′ és negativa.

− 4 )  D(x)) − { x ∈  | x = 0} =



Ara bé, com que (f ′)′ = f ″, resulta que f ′ és estrictament creixent allà on f és convexa i estrictament decreixent allà on f és còncava. Per tant:

x

2

→

(2, 4)

⎛1 ⎞ ,2 ⎝⎜ 2 ⎠⎟

D(f ) = ( D (

1 2

19. a) 1. Domini:

 1⎞ ⎛ −1, ⎟ ⎝⎜ 2⎠

–1

−1



X

(− ∞, −1)

6

x

5

1

4

3 x−5 2

3

PI

2

PI

1

f(x)

–1

0 –2

3 2

–3

M

–4

m

–5

f ′(x)

–6

→

–7

→

1

182

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 182

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 183

183 per tant, f no té punts d’inflexió, i ja que f ″(x) < 0 ∀ x ∈ (2, + ∞), f és còncava en (2, + ∞).

f (− x) =

Amb tota aquesta informació, podem elaborar una gràfica aproximada de f com la següent:

x2 − 4 = − f (x) x

Y

Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en D(f)  [0, + ∞) = [2, + ∞)

⇔ x = ±

3 2

x→+ ∞

b = lim x→+ ∞

= lim

∉ D(f )

6

x2 – 4 x

f(x) =

2

ja que la part en l’altra semirecta s’obté fent una simetria respecte de l’origen.

0 = f ″(x) ⇔ −12 x2 + 32 = 0 ⇔

5. Asímptotes i branques infinites (en [2, + ∞)): • Si tingués una asímptota vertical seria x = 0, però com que la funció no està definida en un entorn d’aquest punt, no té cap sentit parlar d’una asímptota vertical.

(x

= f ′′(x) =

x2 − 4

)

x2 + 4 x − 5 − 1 ⋅ x = 4 5 − =1 x x2

x2

x→+ ∞

+

x2

3

= lim

x 4 ⋅ (x 2 − 4) ⎞ x ⎟ x2 − 4 ⎠

x2 − 4 + x2

=

x2 4x

−

x2 5

x2

x→+ ∞

−12 x 2 + 32

⎛ −4 ⋅ ⎜ 2 x ⎝

(

1+

= lim

)

↑ ∞−∞

x

x→+ ∞

=

=

x2 + 4 x − 5

• a = lim

•

x2 + 4 x − 5

=

asímptotes horitzontals.

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

x2

lim f (x) = lim

x→+ ∞

x→+ ∞

x

2

4

−

x2

= lim

1−

x→+ ∞

4 x2

=1

per tant, y = 1 és una asímptota horitzontal per la dreta. • No té asímptotes obliqües per la dreta, ja que té una asímptota horitzontal.

f és estrictament creixent en (2, +∞) i no té extrems relatius.

x 2 + 4 x − 5 = + ∞, aleshores f no té

• f no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en els quals f tendeixi a ∞. 5. Asímptotes i branques infinites:

f ′(x) > 0 ∀ x ∈ D(f ′) = (− ∞, −2)  (2, + ∞)

4. Simetria i periodicitat: no en té, ja que: f(x) ≠ f(−x) ≠ −f(x) per a algun x.

Com que

6. Intervals de monotonia i extrems: x

f ′(x) = f ′(x) =

x −4 2

⋅x−

=

–2

2

X

4

y = –1 –2

2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX: 0 = f (x) =

x2 + 4 x − 5 ⇔

⎧x = 1 ⇔ x2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ ⎨ ⎩ x = −5

3. Signe: com que f és una arrel quadrada, f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D(f).

4 x2 − 4

x2

–4

— Amb l’eix OY: 0 ∉ D(f); per tant, f no talla l’eix OY.

x2 − 4 ⋅ 1

x2

x2 − 4

x2

3. Signe: com que f és una arrel quadrada, f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D(f).

4 x2

x2 − 4 x

=

⋅x−

— Amb l’eix OY: 0 ∉ D(f); per tant, f no talla l’eix OY.

x2 − 4 ⋅ 1

⎧x = 1 ⇔ x2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ ⎨ ⎩ x = −5

6. Intervals de monotonia i extrems:

=

y=1

b) 1. Domini: com que la funció és una arrel d’índex parell, el seu domini és el conjunt de punts en els quals el denominador és major o igual que zero: D(f) = { x ∈   x2 + 4 x − 5 = = (x − 1) ⋅ (x + 5) ≥ 0} = (−∞, −5]  [1, +∞)

=

x→ ± ∞

• lim =

Com que

4. Simetria i periodicitat: no en té, ja que: f(x) ≠ f(−x) ≠ −f(x) per a algun x.

f ′(x) > 0 ∀ x ∈ D(f ′) = (− ∞, −2)  (2, + ∞)

5. Asímptotes i branques infinites:

• No té asímptotes obliqües per la dreta, ja que té una asímptota horitzontal. per tant, y = 1 és una asímptota horitzontal per la dreta.

f és estrictament creixent en (2, +∞) i no té extrems relatius.

x→+ ∞

= lim

1−

x2

• f no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en els quals f tendeixi a ∞. x 2 + 4 x − 5 = + ∞, aleshores f no té

• lim

x→ ± ∞

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: •

x→+ ∞

x→+ ∞

lim f (x) = lim

x2 x2

−

x2 4

0 = f (x) =

x2 + 4 x − 5 ⇔

— Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: b) 1. Domini: com que la funció és una arrel d’índex parell, el seu domini és el conjunt de punts en els quals el denominador és major o igual que zero: D(f) = { x ∈   x2 + 4 x − 5 = = (x − 1) ⋅ (x + 5) ≥ 0} = (−∞, −5]  [1, +∞)

=1

4

f ′′(x) =

⎛ −4 ⋅ ⎜ 2 x ⎝

x2 − 4 + x2

⎞ ⎟ x2 − 4 ⎠ x

x 4 ⋅ (x 2 − 4) =

asímptotes horitzontals.

=

−12 x + 32 2

(x

x2 − 4

)

2

6 3

x→+ ∞

x x2 + 4 x − 5

= lim

x→+ ∞

x2

3

0 = f ″(x) ⇔ −12 x2 + 32 = 0 ⇔ ⇔ x = ±

x2 + 4 x − 5

• a = lim

∉ D(f )

per tant, f no té punts d’inflexió, i ja que f ″(x) < 0 ∀ x ∈ (2, + ∞), f és còncava en (2, + ∞).

x2

= lim

x→+ ∞

= lim

x→+ ∞

x

2

1+

b = lim

x→+ ∞

(

+

4x x

2

−

=

=

5 x2

=

4 5 − 2 =1 x x

)

x2 + 4 x − 5 − 1 ⋅ x =

↑ ∞−∞

11. Aplicacions de les derivades

=

• Si tingués una asímptota vertical seria x = 0, però com que la funció no està definida en un entorn d’aquest punt, no té cap sentit parlar d’una asímptota vertical. 5. Asímptotes i branques infinites (en [2, + ∞)):

–2

y = –1 –4

–2

2

Per tant, n’hi ha prou d’estudiar f en f (− x) =

x x2 − 4

y=1 2

D(f)  [0, + ∞) = [2, + ∞) = − f (x)

X

4

ja que la part en l’altra semirecta s’obté fent una simetria respecte de l’origen. (− x)2 − 4 = − −x

11. Aplicacions de les derivades

(− x)2 − 4 = − −x

f(x) =

x2 – 4 x

Y

Amb tota aquesta informació, podem elaborar una gràfica aproximada de f com la següent:

183

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 183 C M Y K

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 184

184 2 – x = y

4 5 = lim − 1 + − 2 = −1 x x x→− ∞

f ′′(x) =

x2 + 4 x − 5

1 ⋅ x 2 + 4 x − 5 − (x + 2)

=

x+2

→

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

4x

− x2 x2 + 4 x − 5

=

x

x→− ∞

x2 + 4 x − 5

Per tant, f no té extrems relatius.

=

Per tant, y = x + 2 és asímptota obliqua per la dreta. 1+ 0− 0 +1 x→+ ∞

1+

= lim

x2 x→+ ∞

= lim

x→+ ∞

= lim

5 4− x = 4 5 − +1 x x2 x2

2x + 4

=

x2 + 4 x − 5 x+2

x2 + 4 x − 5 + x

=

)(

− 1+ 0− 0 −1 4−0

x→− ∞

5 4− x = 4 5 − −1 x x2

= lim

=

x2 + 4 x − 5 + x

= −2

− 1+

↑ ∞

x2 + 4 x − 5 + x x2 + 4 x − 5 − x

↑

Per tant, y = −x − 2 és asímptota obliqua per l’esquerra.

x2

x2 + 4 x − 5 − x2

(

x2 + 4 x − 5

6. Intervals de monotonia i extrems:

∞ 4x 5 − x x = x2 4 x x 5 + − + x

x →+ ∞

= lim

2 f ′(x) =

=2

2

4−0

0 = f ′(x) ⇔ 0 = x + 2 ⇔ x = −2 ∉ D(f)

=

=

→

Pel que fa a la seva monotonia, podem donar la taula següent:

+

a = lim

(1, + ∞)

(− ∞, −5)

x

x

= lim

+

−

f ′(x)

)

=

x→− ∞

= lim

−

y

x→− ∞

5

x2 x2

+

x2

−

x2

4x 5 − x x 4x 5

−

x x =

2

X

x2

f(x) =

– 10

x2

x

x2 + 4x – 5

5

−

– –5

x2

= 5

f(x) =

+

Amb tota aquesta informació, podem fer una gràfica de f com la següent:

x2

=

x→− ∞

3

= lim −

)

Com que f ″ (x) < 0 ∀ x ∈ D(f ″), f és còncava en el seu domini i no té punts d’inflexió.

y

11. Aplicacions de les derivades

=

=

∞ ∞

Y

– 10

∞−∞ ↓

x2 + 4 x − 5 − x

x +4x − 5 2

x2 + 4 x − 5 −9 x2 + 4 x − 5

)

x→− ∞

x2 + 4 x − 5 − x2

(

x 2 + 4 x − 5 − (−1) ⋅ x

= lim

=

(

x2 + 4 x − 5 − x

)=

x→− ∞

x2 + 4 x − 5 − x

b = lim

3

x2 + 4 x − 5 −9

x →− ∞

)(

f ′′(x) =

=

)

x2 + 4 x − 5

x2 + 4 x − 5 + x

x+2

1 ⋅ x 2 + 4 x − 5 − (x + 2)

=

(

(

)

)=

= lim

x 2 + 4 x − 5 − (−1) ⋅ x

x2 + 4 x − 5 − x

x→− ∞

(

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: ∞−∞ ↓

)(

b = lim

4 5 − = −1 x x2

x2 + 4 x − 5 + x

x→− ∞

(

f(x)

x2 + 4 x − 5 − x

+

x →− ∞

−

= lim

f ′(x)

→

= lim − 1 +

–

Com que f ″ (x) < 0 ∀ x ∈ D(f ″), f és còncava en el seu domini i no té punts d’inflexió.

=

∞ ∞

5 x2

(1, + ∞)

x2 + 4 x − 5 − x2

−

x2

Amb tota aquesta informació, podem fer una gràfica de f com la següent:

4x

(− ∞, −5)

=

+

Pel que fa a la seva monotonia, podem donar la taula següent: x

↑

x2 + 4 x − 5 − x

x2

Per tant, f no té extrems relatius.

→

x

x +4x − 5 2

0 = f ′(x) ⇔ 0 = x + 2 ⇔ x = −2 ∉ D(f)

=

− x2

x+2

=

x→− ∞

x2 + 4 x − 5

x +4x − 5 2

= lim

2

=

x

2

2x + 4

f ′(x) =

Y

x→− ∞

x→− ∞

y

=2

x2 + 4 x − 5

= lim −

= −2

Per tant, y = −x − 2 és asímptota obliqua per l’esquerra.

Per tant, y = x + 2 és asímptota obliqua per la dreta.

x→− ∞

− 1+ 0− 0 −1

2

1+ 0− 0 +1

= lim

4−0

6. Intervals de monotonia i extrems:

4−0

a = lim

=

+

x→+ ∞

4 5 − −1 x x2

x

=

5 4− x = 4 5 1+ − 2 +1 x x

= lim

− 1+

=

x→+ ∞

x→− ∞

5 x

5

= lim

4x 5 − x x = x2 4 x x 5 + 2 − 2 + x x2 x x

= lim

4−

x2 + 4x – 5

↑ ∞ ∞

f(x) =

=

x2 + 4 x − 5 + x

X

x→+ ∞

4x 5 − x x = = lim x→− ∞ x2 4 x x 5 − 2 + 2 − 2 − x x x x

10

x2 + 4 x − 5 − x2

)=

5

x2 + 4 x − 5 + x

= lim

=

x2 + 4 x − 5 + x

–5

x →+ ∞

)(

– 10

= lim

x2 + 4 x − 5 − x

11. Aplicacions de les derivades

(

184

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 184

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

C M Y K

Página 185

185 c) 1. Domini: D(f) = {x ∈   5 − x2 ≥ 0} = ⎯

Amb tota aquesta informació, podem traçar una gràfica aproximada de f com la següent:

⎯

= {x ∈   x2 ≤ 5} = [−√ 5, √ 5]

Y

2. Talls amb els eixos:

f(x) = 5 – x2 2

— Amb l’eix OX: 0 = f (x) =

5 − x2 ⇔ 0 = 5 − x2 ⇔ ⎯

⇔ x = ± √ 5 = ± 2,24

+

0

−

→

M

→

–4

–2

2

4

X

— Amb l’eix OY: f(0) =

f ′(x)

5 − 02 =

5 = 2, 24

f(x)

=

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = −1 ⋅ e−x + (x − x) ⋅ (−e−x) f ″(x) = 3 f(x)

(2, + ∞)

+

0

−

M

x

(− ∞, 2)

f ′(x)

= e− x (1 − x + 1) = (2 − x) ⋅ e− x f ′(x) = 1 ⋅ e− x + (x − 1) ⋅ (− e− x ) = 6. Intervals de monotonies i extrems relatius:

⎯

• No té asímptotes obliqües.

5 − x2

• La recta y = 0 és una asímptota horitzontal en + ∞: x −1 lim (x − 1) ⋅ e− x = lim =0 x → +∞ x → +∞ e x

x

5 − x 2 = f (x).

5. Asímptotes i branques infinites: 4. Simetries i periodicitat: no té cap simetria i tampoc no és periòdica. x

(− ∞, 1)

1

(1, + ∞)

f(x)

−

0

+

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f: — Amb l’eix OY:

5]

20. f(x) = (x − 1)e− x

3. Signe: f (x) =

5 − x 2 ≥ 0 ∀ x ∈ D(f ) = [− 5 ,

5]

1. Domini: D(f)= . 2. Talls amb els eixos:

4. Simetria i periodicitat:

— Amb l’eix OX: 0 = f (x) ⇔ x = 1

És una funció parella, ja que f (− x) =

5 − (− x)2 =

5 − x 2 = f (x).

— Amb l’eix OY: f (0) = (0 − 1) ⋅ e0 = −1

Per tant, n’hi prou d’estudiar la gràfica de f en ⎯ [0, + ∞)  D(f) = [0, √ 5] i fer una simetria respecte de l’eix d’ordenades.

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f:

0

−

f(x)

1

(− ∞, 1)

x

⎯

5. Asímptotes i branques infinites (en [0, √ 5]). no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en què f tendeixi a ∞. • f no pot tenir asímptotes horitzontals, ni obliqües, ni branques infinites, ja que la variable no pot tendir a ∞ sense sortir del domini de f.

−2 x

= −

⎯

(1, + ∞) +

• La recta y = 0 és una asímptota horitzontal en + ∞:

−

0

lim (x − 1) ⋅ e− x = lim

x → +∞

x −1 ex

x → +∞

=0

• No té asímptotes obliqües. 6. Intervals de monotonies i extrems relatius:

→

f ′(x) = 1 ⋅ e− x + (x − 1) ⋅ (− e− x ) = = e− x (1 − x + 1) = (2 − x) ⋅ e− x

⎞ x ⎟ 5 − x2 ⎠

Per tant, x = 2 és un zero de la primera derivada, i la taula de monotonia quedaria com: (− ∞, 2)

x

=

f ′(x)

(2, + ∞)

2

+

−

0 M

→

f(x)

)3

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = −1 ⋅ e−x + (x − x) ⋅ (−e−x) f ″(x) = 3

11. Aplicacions de les derivades

⎛ 1 ⋅ 5 − x2 − x ⋅ ⎜ − ⎝ 5 − x2 5 5 − x2

4. Simetries i periodicitat: no té cap simetria i tampoc no és periòdica.

x 5 − x2

⎯

(0, √ 5)

0

+

M

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

f ′′(x) = −

= −

(

5. Asímptotes i branques infinites: • No presenta punts de discontinuïtat, per tant no té asímptotes verticals.

6. Intervals de monotonia i extrems: f ′(x) =

2 5 − x2

0 = f ′(x) ⇔ x = 0 Construïm una taula amb els intervals que els zeros de f′ ens determinen en el domini de f: (−√ 5, 0)

x f ′(x) f(x)

→

2

→

)3 (0, √ 5)

11. Aplicacions de les derivades

5 − x2

0

⎯

= −

⎯

5 − (− x)2 =

0 = f (x) ⇔ x = 1

5 − x 2 ≥ 0 ∀ x ∈ D(f ) = [− 5 ,

1. Domini: D(f)= . 20. f(x) = (x − 1)e− x

5 − 02 =

5 = 2, 24 –4

–2

2

4

X

⎯

Com que f ″(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ″), f és còncava en el seu domini i no té punts d’inflexió.

→

(

5

5−x

2

⎞ ⎟ 5−x ⎠ 2

x

(−√ 5, 0) 2 5−x

2

−2 x

→

Com que f ″(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ″), f és còncava en el seu domini i no té punts d’inflexió. = − f ′′(x) = −

⎛ 1 ⋅ 5 − x2 − x ⋅ ⎜ − ⎝

Per tant, x = 2 és un zero de la primera derivada, i la taula de monotonia quedaria com:

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: x

Construïm una taula amb els intervals que els zeros de f′ ens determinen en el domini de f: 0 = f ′(x) ⇔ x = 0 f ′(x) =

• No presenta punts de discontinuïtat, per tant no té asímptotes verticals.

6. Intervals de monotonia i extrems: • f no pot tenir asímptotes horitzontals, ni obliqües, ni branques infinites, ja que la variable no pot tendir a ∞ sense sortir del domini de f. 5. Asímptotes i branques infinites (en [0, √ 5]). no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en què f tendeixi a ∞. Per tant, n’hi prou d’estudiar la gràfica de f en ⎯ [0, + ∞)  D(f) = [0, √ 5] i fer una simetria respecte de l’eix d’ordenades.

f (0) = (0 − 1) ⋅ e0 = −1 f (− x) =

És una funció parella, ja que

— Amb l’eix OX:

4. Simetria i periodicitat:

2. Talls amb els eixos: f (x) = 3. Signe: f(0) = — Amb l’eix OY: ⇔ x = ± √ 5 = ± 2,24 0 = f (x) =

5−x

⇔ 0 = 5−x ⇔

2

2

— Amb l’eix OX:

2

f(x) = 5 – x2

2. Talls amb els eixos: = {x ∈   x2 ≤ 5} = [−√ 5, √ 5] ⎯

Y

⎯

D(f) = {x ∈   5 − x2 ≥ 0} =

Amb tota aquesta informació, podem traçar una gràfica aproximada de f com la següent:

c) 1. Domini:

185

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 185

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 186

186 0

−

f ″(x)

3

(− ∞, 3)

x

Pl

(3, + ∞) +

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és:

23. Sí, qualsevol funció que sigui en el mateix interval creixent i còncava tindrà una primera derivada positiva però decreixent en aquest interval, ja que la segona derivada serà negativa. Per exemple, la funció f(x) = −x2 és creixent entre −∞ i 0 però la seva derivada, f ′(x) = −2 x, és decreixent. 24. Sí, i ocorrerà sempre que la funció serà creixent i derivable en l’interval i que (a, f(a)) determinarà un punt d’inflexió. Per exemple, la funció f(x) = x3 és creixent en , tot i que la primera derivada f ′(x) = 3 x2 és zero en x = 0.

Y 2 1

Y –3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

X

–1

3

f(x) = x3

2

–2 –3

1

–4 –5

–2

–1

–6

1

2

X

–1 –2

ACTIVITATS Qüestions 21. Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d’una funció depèn del signe de la seva primera derivada, no del signe de la funció mateixa. Per exemple, la funció f(x) = −x + 3 entre − ∞ i 3. Y

25. Per exemple f(x) = x3 a x = 0: f ′(x) = 3 x2 i f ′(0) = 0 No obstant això, es tracta d’un punt d’inflexió. 26. Sí. Per exemple, x té un mínim relatiu en x = 0, on és contínua però no derivable (ja que és un punt angulós). 27. a) Falsa, ja que x = a pot ser un punt d’inflexió. Per exemple, f(x) = x3 té derivada tercera, f ′(0) = 0, però x = 0 no és un extrem relatiu, sinó un punt d’inflexió.

f(x) = –x + 3

b) Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, tal que f ′(x0) ≠ 0. Per exemple, f(x) = x3 + x té derivada tercera, f ″(0) = 0, però f ′(0) = 1; per tant, la recta tangent a la gràfica de f en x = 0 té pendent 1 i, per tant, no és horitzontal. c) Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe de f ′, no de f . Per exemple, f(x) = cos x és tres cops derivable, és estrictament decreixent en (0, π) però f (x) = sin x > 0 en aquest interval.

11. Aplicacions de les derivades

El possible punt d’inflexió és, doncs, x = 3, i la seva taula de curvatura seria:



f(x)

 X

X

22. Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d’una funció depèn del signe de la primera derivada, no del signe de la funció mateixa. Per exemple, la funció f(x) = x + 3, entre − ∞ i −3.

2

Y

Y

1

f(x) = x3

3

X

Exercicis i problemes

7

f(x) = x + 3

6

28. Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la en punt per tal de veure quin és el seu signe:

5

24. Sí, i ocorrerà sempre que la funció serà creixent i derivable en l’interval i que (a, f(a)) determinarà un punt d’inflexió.

2 ⎛ x − 1 ⎞ ′ 1 ⋅ (x + 2) − (x − 1) ⋅ 2 x = f ′(x) = ⎜ 2 = ⎝ x + 2 ⎠⎟ (x 2 + 2)2

4

Pl



Per exemple, la funció f(x) = −x2 és creixent entre −∞ i 0 però la seva derivada, f ′(x) = −2 x, és decreixent.

(x 2 + 2)2

3

+

− x2 + 2 x + 2

2

0

a)

(x 2 + 2)2 − x2 + 2 x + 2

c) Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe de f ′, no de f . 26. Sí. Per exemple, x té un mínim relatiu en x = 0, on és contínua però no derivable (ja que és un punt angulós). 25. Per exemple f(x) = x3 a x = 0: f ′(x) = 3 x2 i f ′(0) = 0 No obstant això, es tracta d’un punt d’inflexió. –1 1 2

1

−

=

–1

(3, + ∞)

23. Sí, qualsevol funció que sigui en el mateix interval creixent i còncava tindrà una primera derivada positiva però decreixent en aquest interval, ja que la segona derivada serà negativa.

X

=

2 ⎛ x − 1 ⎞ ′ 1 ⋅ (x + 2) − (x − 1) ⋅ 2 x = f ′(x) = ⎜ 2 = ⎟ ⎝ x + 2⎠ (x 2 + 2)2

Exercicis i problemes f(x) = –x + 3 –2

3

11. Aplicacions de les derivades

X

a)

28. Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la en punt per tal de veure quin és el seu signe:

f(x) = x + 3

Per exemple, f(x) = cos x és tres cops derivable, és estrictament decreixent en (0, π) però f (x) = sin x > 0 en aquest interval.

Y

22. Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d’una funció depèn del signe de la primera derivada, no del signe de la funció mateixa. Per exemple, la funció f(x) = x + 3, entre − ∞ i −3.

Per exemple, f(x) = x3 + x té derivada tercera, f ″(0) = 0, però f ′(0) = 1; per tant, la recta tangent a la gràfica de f en x = 0 té pendent 1 i, per tant, no és horitzontal.

X

b) Fals, ja que podem tenir un punt d’inflexió, x0, tal que f ′(x0) ≠ 0. 27. a) Falsa, ja que x = a pot ser un punt d’inflexió. Per exemple, f(x) = x3 té derivada tercera, f ′(0) = 0, però x = 0 no és un extrem relatiu, sinó un punt d’inflexió.

Y

21. Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d’una funció depèn del signe de la seva primera derivada, no del signe de la funció mateixa. Per exemple, la funció f(x) = −x + 3 entre − ∞ i 3. Qüestions ACTIVITATS

–2 –1

–6 –2

–5 –4 –3 –2 –1 –3

1

Per exemple, la funció f(x) = x3 és creixent en , tot i que la primera derivada f ′(x) = 3 x2 és zero en x = 0.

2

Y

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és: f(x)

(− ∞, 3)



f ″(x) x

El possible punt d’inflexió és, doncs, x = 3, i la seva taula de curvatura seria:

186

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 186

C M Y K

3. La taula de monotonia de f, completada amb els seus extrems relatius, és:

creixent en x = 0. b) f ′(x) = (x2 + cos x)′ = 2 x − sin x, f ′(π) = 2 π − 0 > 0 ⇒ f és estrictament creixent en x = π.

2. Hem de considerar els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros 1 2 del denominador de 2 : x = 0 ⇔ x = 0, x però x = 0 ∉ D(f); per tant, no cal tenir-lo en compte.

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros del denominador: 0 = f ′(x) ⇔ 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 Els zeros de f ′ són: b) 1.

2x − 4 4 1 ⎛4 ⎞′ f ′(x) = ⎜ + ln x 2 ⎟ = − 2 + 2 ⋅ 2 x = ⎝x ⎠ x2 x x

c) 1.

0

(0, 2)

2

(2, + ∞)

f ′(x)

−

∃ ∃

−

0

+

m

f ′(x) =

Els zeros de f són: f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 , x = 1 ó x = 2 Com que f és polinòmica, no té discontinuïtats. 2. Els intervals que hem de considerar són els definits pels zeros de f ′ (ja que no té discontinuïtats):

3. El signe de f ′ en cada interval ens indica la monotonia de f en aquest interval, d’acord amb la següent taula: (−∞, 0)

0

f ′(x)

−

0

f(x)

(0, 1) 1 (1, 2) 2 +

−

0

0

(2, +∞) +

aleshores, només té sentit el zero x =

Per tant, f és estrictament decreixent en (− ∞, 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixent en (0, 1) i en (2, + ∞). −

f ′(x)

(−∞, 0)

x

0 0

+

0

−

1 2 3−x

a) f(x) = e−3 x + 1 , f ′(x) = −3 e−3 x + 1 f ″(x) = 9 e−3 x + 1 , f ″(−2) = 9 e6 + 1 > 0 ⇒ f és convexa en x = −2.

(0, 1) 1 (1, 2) 2

a) 1.

f té un mínim en x = 0: m = (0, −1) f té un màxim en x = 1: M = (1, 0) f té un mínim en x = 2: m = (2, −1)

f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 , x = 1 ó x = 2

b)

f (x) =

b) f ′(x) = (x2 + cos x)′ = 2 x − sin x, creixent en x = 0. −0 + 0 + 2

11 Mates CSS_Guia.qxd

=

27/5/09

1 > 0 ⇒ f és estrictament 2 13:10

2 x 3 − 12 x 2 − 6 x + 4 x2 + 1 x−2

, f ′(x) =

(x 2 + 1)2 − x2 + 4 x + 1

a) f(x) = e−3 x + 1 , f ′(x) = −3 e−3 x + 1 30. Hem de calcular la derivada segona i veure quin signe té en els punts considerats: Com que f ′(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ′) = (− ∞, 3) = = D(f) − {3}, f és estrictament decreixent en (− ∞, 3), i no té extrems relatius.

a) 1. f ′(x) = (x4 − 4 x3 + 4 x2 − 1)′ = f ′(π) = 2 π − 0 > 0 ⇒ f és estrictament creixent en x = π.

(x 2 + 1)3

f ″(x) = 9 e−3 x + 1 , f ″(−2) = 9 e6 + 1 > 0 ⇒ f és convexa en x = −2.

= 4 x3 − 12 x2 + 8 x f ′(−π) = −2 π − 0 < 0 ⇒ f és estrictament decreixent en x = −π.

1 , x

−40 < 0 ⇒ f és còncava en x = 2. 125

f ′′(x) =

Els zeros de f són: 29. Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zeros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f ′ el que ens permet estudiar la monotonia de f:

1

f (x) = 2 x 2 + ln x , f ′(x) = 4 x +

f ′′(2) =

(2, +∞)

Com que f és polinòmica, no té discontinuïtats.

x2

31. Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els zeros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f″ el que ens permet estudiar la curvatura de f:

+

0

2. Els intervals que hem de considerar són els definits pels zeros de f ′ (ja que no té discontinuïtats): (0 + 2)2

1 1 ⇔ x = ± , però x = − ∉ D(f ) 2 2

1

f ′′(x) = 4 −

(− ∞, 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, + ∞)

D’altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de creixement i decreixement en podem concloure:

2x − 4 4 1 ⎛4 ⎞′ f ′(x) = ⎜ + ln x 2 ⎟ = − 2 + 2 ⋅ 2 x = ⎝x ⎠ x2 x x Els zeros de f ′ són: 0 = f ′(x) ⇔ 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 Els punts de discontinuïtat de f són els zeros del denominador: x2 = 0 ⇔ x = 0

2. Hem de considerar els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f: (− ∞, 0) , (0, 2) i (2, + ∞)

b)

f (x) = f ′′(x) = f ′′(2) =

x−2 x +1 2

, f ′(x) =

− x2 + 4 x + 1 (x 2 + 1)2

2 x 3 − 12 x 2 − 6 x + 4 (x 2 + 1)3 −40 < 0 ⇒ f és còncava en x = 2. 125

31. Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els zeros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f″ el que ens permet estudiar la curvatura de f: a) 1.

f (x) = 2 x 2 + ln x , f ′(x) = 4 x + f ′′(x) = 4 −

1 , x

1 x2

Els zeros de f ″ són: 0=4−

1 x2

1 1 ⇔ x = ± , però x = − ∉ D(f ) 2 2

aleshores, només té sentit el zero x =

1 . 2

Els punts de discontinuïtat de f són els zeros 1 2 del denominador de 2 : x = 0 ⇔ x = 0, x però x = 0 ∉ D(f); per tant, no cal tenir-lo en compte. 2. Els intervals determinats en D(f) = (0, +∞) pels zeros i les discontinuïtats de f ″ són: ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ 0, 2 ⎟⎠ i ⎜⎝ 2 , + ∞ ⎟⎠

11. Aplicacions de les derivades

f ′(0) =

1 . 2

Els zeros de f ″ són:

D’altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de creixement i decreixement en podem concloure: f(x)

x2

0=4−

3. El signe de f ′ en cada interval ens indica la monotonia de f en aquest interval, d’acord amb la següent taula:

Per tant, f és estrictament decreixent en (− ∞, 0) i en (1, 2), i f és estrictament creixent en (0, 1) i en (2, + ∞).

b) 1.

′ 3 − x) = −

30. Hem de calcular la derivada segona i veure quin signe té en els punts considerats:

(− ∞, 0) , (0, 1) , (1, 2) i (2, + ∞)

x

(

Com que f ′(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ′) = (− ∞, 3) = = D(f) − {3}, f és estrictament decreixent en (− ∞, 3), i no té extrems relatius.

= 4 x3 − 12 x2 + 8 x

f té un mínim en x = 0: m = (0, −1) f té un màxim en x = 1: M = (1, 0) f té un mínim en x = 2: m = (2, −1) →

(− ∞, 0)

Per tant: f és estrictament decreixent en (−∞, 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en (2, + ∞) i f té un mínim relatiu en x = 2: m = = (2, 2 + ln 4).

a) 1. f ′(x) = (x4 − 4 x3 + 4 x2 − 1)′ =

→

2. Els intervals determinats en D(f) = (0, +∞) pels zeros i les discontinuïtats de f ″ són:

x2 = 0 ⇔ x = 0

29. Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zeros i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f ′ el que ens permet estudiar la monotonia de f:

x

f(x)

f ′(−π) = −2 π − 0 < 0 ⇒ f és estrictament decreixent en x = −π.

→

⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 0, i , + ∞⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠

(− ∞, 0) , (0, 2) i (2, + ∞) →

1 > 0 ⇒ f és estrictament 2

→

c) 1.

f ′(x) =

(

′ 3 − x) = −

2 3−x 1

Per tant: f és estrictament decreixent en (−∞, 0) i en (0, 2), f és estrictament creixent en (2, + ∞) i f té un mínim relatiu en x = 2: m = = (2, 2 + ln 4).

∃ ∃

→

=

→

f(x)

−

f ′(x)

0

(− ∞, 0)

x

→

(0 + 2)

2

Página 187

→

→

→

− (0, 2)

m 0 2

→

+ (2, + ∞)

3. La taula de monotonia de f, completada amb els seus extrems relatius, és:

Página 187 C M Y K

−0 + 0 + 2

13:10

→

11. Aplicacions de les derivades

187

f ′(0) =

27/5/09

→

11 Mates CSS_Guia.qxd

187

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 188

188 f(x) x

→

0

7⎞ ⎛ 7 − ∞, − ⎟ − ⎝⎜ 2⎠ 2

+

0

+

⎛ 7 ⎞ 1 (1, +∞) − ,1 ⎝⎜ 2 ⎠⎟

3. Signe: considerem els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f i vegem quin és el seu signe en cadascun: — Amb l’eix OY:

⎛ 1⎞ Per tant, f es còncava en ⎜ 0, ⎟ i convexa en ⎝ 2⎠



f(x)

0

−

f ″(x)

1 2

⎛ 1⎞ 0, ⎝⎜ 2 ⎠⎟

x

 + ⎛1 ⎞ , + ∞⎟ ⎝⎜ 2 ⎠

3. La taula de curvatura de f és:

— Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: a) 1. Domin: D(f) = , , ja que f és polinòmica. 33. Estudiem els set aspectes útils per a fer la representació de cadascuna de les funcions: f té un únic punt d’inflexió en PI = (−3, 0). f és còncava en els intervals (− ∞, −3) i (5, + ∞), i convexa en els intervals (−3, −1) i (−1, 5).

→

0 = f(x) = 2 x3 + 3 x2 − 12 x + 7 ⇔

→

7 o x =1 2

Així, f és estrictament creixent en (− ∞, −2), té un màxim relatiu en (−2, 27), decreix estrictament entre −2 i 1, arriba a un mínim relatiu en (1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, +∞).

⇔ x = −

m

⎛1 ⎞ , + ∞⎟ . ⎝⎜ 2 ⎠

f(0) = 2 ⋅ 03 + 3 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 + 7 = 7

M

D'altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de curvatura en podem concloure que 1 : 2

f(x)

+

f té un punt d’inflexió en x =

0

⎛1 1 ⎞ PI = ⎜ , − ln 2 ⎟ ⎝2 2 ⎠

−

b) 1. f(x) = (x + 1)5 , f ′(x) = 5 (x + 1)4



0

f ″(x) = 20 (x + 1)3

−

+

Els zeros de f ″ són:

11. Aplicacions de les derivades

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

f ′(x)

A. O.: f no té asímptotes obliqües.

→

1 (1, + ∞)

0 = 20 (x + 1)3 ⇔ x = −1

5. Asímptotes i branques infinites:

(−2, 1)

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats.

f no té asímptotes, ja que és una funció polinòmica no constant, ni lineal.

−2

2. Els intervals que hem de considerar són (−∞, −1) i (−1, +∞).

x→− ∞

(−∞, −2)

3. La taula de curvatura de f, completada amb els seus punts d’inflexió, és:

x→+ ∞

x

f té un únic extrem relatiu: un mínim en m = (3, −2).

f té les seves branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que lim f (x) = + ∞ i lim f (x) = − ∞.

A. H.: y = 2 és una asímptota horitzontal per la dreta.

b) f és estrictament creixent en els intervals (−∞, −1), (3, 5) i (5, + ∞), i estrictament decreixent en l’interval (−1, 3).

6. Monotonia i extrems relatius:

Com que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtats; per tant, els intervals que hem de considerar són:

(−1, +∞)

0 = 6 x2 + 6 x − 12 ⇔ x = −2 o x = 1

−1

= 6 x2 + 6 x − 12 Els zeros de f ′ són:

(−∞, −1)

f ′(x) = (2 x3 + 3 x2 − 12 x + 7)′ =

x

Hem de calcular f ′ i estudiar-ne el signe en els intervals determinats pels seus zeros i els seus punts de discontinuïtat:

+

6. Monotonia i extrems relatius:

0

x→− ∞

−

f té les seves branques infinites en + ∞ i − ∞, ja que lim f (x) = + ∞ i lim f (x) = − ∞.



f ″(x)

f no té asímptotes, ja que és una funció polinòmica no constant, ni lineal.

PI

A. V.: x = −1 i x = 5 són asímptotes verticals.

5. Asímptotes i branques infinites:



f(x)

32. a) D(f) =  − {−1, 5}, ja que x = −1 i x = 5 són les úniques rectes de la forma x = k, k ∈  , que no tallen la gràfica de f. ⎛1 ⎞ Els punts de tall amb l’eix OX són (−3, 0), ⎜ , 0 ⎟ , ⎝2 ⎠ (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).

Hem de calcular f ′ i estudiar-ne el signe en els intervals determinats pels seus zeros i els seus punts de discontinuïtat:

Per tant, f té un punt d’inflexió en x = −1, PI = (−1, 0), en el qual passa de ser còncava en (−∞, −1) a ser convexa en (−1, +∞).

f ′(x) = (2 x3 + 3 x2 − 12 x + 7)′ =

PI

+

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

x→+ ∞

= 6 x2 + 6 x − 12 Els zeros de f ′ són:

+

0

Per tant, f té un punt d’inflexió en x = −1, PI = (−1, 0), en el qual passa de ser còncava en (−∞, −1) a ser convexa en (−1, +∞).

0 = 6 x2 + 6 x − 12 ⇔ x = −2 o x = 1

0

+

0

32. a) D(f) =  − {−1, 5}, ja que x = −1 i x = 5 són les úniques rectes de la forma x = k, k ∈  , que no tallen la gràfica de f. ⎛1 ⎞ Els punts de tall amb l’eix OX són (−3, 0), ⎜ , 0 ⎟ , ⎝2 ⎠ (4, 0) i (6, 0), i amb l’eix OY és (0, 1).

Com que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtats; per tant, els intervals que hem de considerar són:

−

⎛ 7 ⎞ 1 (1, +∞) ⎜⎝ − 2 , 1⎟⎠

A. V.: x = −1 i x = 5 són asímptotes verticals.

1 (1, + ∞)

(−1, +∞)

(−2, 1)

−1

−2

(−∞, −1)

(−∞, −2)

f(x)

−

x

3. La taula de curvatura de f, completada amb els seus punts d’inflexió, és:



+

2. Els intervals que hem de considerar són (−∞, −1) i (−1, +∞).

0

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats.

f ″(x)

7⎞ ⎛ 7 ⎜⎝ − ∞, − 2 ⎟⎠ − 2

f(x)

−



0 = 20 (x + 1)3 ⇔ x = −1

0

f(0) = 2 ⋅ 03 + 3 ⋅ 02 − 12 ⋅ 0 + 7 = 7

x

Els zeros de f ″ són:

x

7 o x =1 2

— Amb l’eix OY:

f ″(x) = 20 (x + 1)3

+

⇔ x = −

f ′(x)

0 = f(x) = 2 x3 + 3 x2 − 12 x + 7 ⇔

A. H.: y = 2 és una asímptota horitzontal per la dreta.

— Amb l’eix OX:

3. Signe: considerem els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f i vegem quin és el seu signe en cadascun:

b) 1. f(x) = (x + 1)5 , f ′(x) = 5 (x + 1)4

m

⎛1 1 ⎞ PI = ⎜ , − ln 2 ⎟ ⎝2 2 ⎠

2. Talls amb els eixos:

M

D'altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de curvatura en podem concloure que 1 f té un punt d’inflexió en x = : 2

a) 1. Domin: D(f) = , , ja que f és polinòmica.

→

⎛ 1⎞ Per tant, f es còncava en ⎜ 0, ⎟ i convexa en ⎝ 2⎠ ⎛1 ⎞ ⎜⎝ 2 , + ∞ ⎟⎠ .

33. Estudiem els set aspectes útils per a fer la representació de cadascuna de les funcions:

f(x)

+

A. O.: f no té asímptotes obliqües.

0

f té un únic punt d’inflexió en PI = (−3, 0).

Així, f és estrictament creixent en (− ∞, −2), té un màxim relatiu en (−2, 27), decreix estrictament entre −2 i 1, arriba a un mínim relatiu en (1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, +∞).

−



⎛1 ⎞ ⎜⎝ 2 , + ∞ ⎟⎠

→

f(x)

1 2

b) f és estrictament creixent en els intervals (−∞, −1), (3, 5) i (5, + ∞), i estrictament decreixent en l’interval (−1, 3).

f ″(x)

⎛ 1⎞ ⎜⎝ 0, 2 ⎟⎠

11. Aplicacions de les derivades

x

f és còncava en els intervals (− ∞, −3) i (5, + ∞), i convexa en els intervals (−3, −1) i (−1, 5).

f té un únic extrem relatiu: un mínim en m = (3, −2).

3. La taula de curvatura de f és:

188

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 188

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 189

189 b) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica.

Hem de calcular f ″ i estudiar-ne el signe en els intervals determinats pels seus zeros i els seus punts de discontinuïtat:

Els zeros de f ″ són: 0 = 12 x + 6 ⇔ x = −

f(x)

+

PI

x 20

1⎞ ⎛ Per tant, f és còncava en l’interval ⎜ − ∞, − ⎟ , té ⎝ 2⎠

m

−

0

+

M

m

−

0

+

0

(−∞, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, +∞)

Per tant, els intervals de monotonia de f són:

30

f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 7

⎛ 1 27 ⎞ 1 un punt d’inflexió en x = − , PI = ⎜ − , , ⎝ 2 2 ⎟⎠ 2

Com que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtats. Els zeros de f ′ són: f ′(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 o x = 2.

40

Y

⎛ 1 ⎞ i passa a ser convexa en l’interval ⎜ − , + ∞ ⎟ . ⎝ 2 ⎠ Amb aquesta informació, podem elaborar una gràfica com aquesta:

(−∞, −1)

−1

(−1, 3)

f(x)

+

0

−

3 (3, + ∞) 0

+

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x. 5. Asímptotes i branques infinites: f és polinòmica de grau major que 1; per tant, no té asímptotes. Com que lim f (x) = + ∞ , té branques infinix→ ± ∞

tes per tots dos costats. 6. Intervals de monotonia i extrems relatius:

f ′(x) = 4 x3 − 12 x2 + 8 x Amb aquesta informació, podem elaborar una gràfica com aquesta: ⎛ 1 ⎞ i passa a ser convexa en l’interval ⎜ − , + ∞ ⎟ . ⎝ 2 ⎠

f ′(x) = 4 x3 − 12 x2 + 8 x Y

Els zeros de f ′ són: f ′(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 o x = 2.

⎛ 1 27 ⎞ 1 un punt d’inflexió en x = − , PI = ⎜ − , , ⎝ 2 2 ⎠⎟ 2

40

f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 7

1⎞ ⎛ Per tant, f és còncava en l’interval ⎜ − ∞, − ⎟ , té ⎝ 2⎠

30

Com que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtats. Per tant, els intervals de monotonia de f són:

20

x

+

0

−

f ″(x)

⎛ 1 ⎞ − , + ∞⎟ ⎝⎜ 2 ⎠

1 2

1⎞ ⎛ − ∞, − ⎟ ⎝⎜ 2⎠

x

PI −

– 20

– 10

10

20

X

−

0 m

+

0 M

−

0

+

m

Els extrems relatius de f són, d’acord amb aquesta taula: m = (0, −9) , M = (1, −8) , m = (2, −9)

11. Aplicacions de les derivades

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats; per tant, els intervals que hem de tenir en compte són: Els zeros de f ″ són: 0 = 12 x + 6 ⇔ x = −

1 2

f ″(x) = (6 x2 + 6 x − 12)′ = 12 x + 6 Hem de calcular f ″ i estudiar-ne el signe en els intervals determinats pels seus zeros i els seus punts de discontinuïtat: 7. Curvatura i punts d’inflexió:

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: tes per tots dos costats. x→ ± ∞

Com que lim f (x) = + ∞ , té branques infini5. Asímptotes i branques infinites: f és polinòmica de grau major que 1; per tant, no té asímptotes. 4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

f(x)

f(x)

(−∞, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, +∞)

→

f ′(x)

10

→





0

x

→

f ′(x)

10

f(x)

−



⎛ 1 ⎞ ⎜⎝ − 2 , + ∞ ⎟⎠

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f (com que no té punts de discontinuïtat):

→

X

20

→

10

→

– 10

f ″(x)

1 2

−

f(0) = 04 − 4 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 − 9 = −9

1 2



– 20

Els extrems relatius de f són, d’acord amb aquesta taula: →

→

1⎞ ⎛ ⎜⎝ − ∞, − 2 ⎟⎠

— Amb l’eix OX:

— Amb l’eix OY:

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats; per tant, els intervals que hem de tenir en compte són: x

2. Talls amb els eixos: 0 = f(x) ⇔ x = −1 o x = 3

f ″(x) = (6 x2 + 6 x − 12)′ = 12 x + 6

m = (0, −9) , M = (1, −8) , m = (2, −9)

11. Aplicacions de les derivades

7. Curvatura i punts d’inflexió:

0

+

f(x)

−1

(−∞, −1)

x

− (−1, 3)

0

+

3 (3, + ∞)

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros de f (com que no té punts de discontinuïtat): f(0) = 04 − 4 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 − 9 = −9 — Amb l’eix OY: 0 = f(x) ⇔ x = −1 o x = 3 — Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: b) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica.

189

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 189 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 190

190 Els zeros de f ″ són: f ′′(x) = 0 ⇔ x = 1 −

3 3 = 1, 58 = 0, 42 o x = 1 + 3 3

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats. Per tant, els intervals de curvatura de f són:



f (x)

+

f ″(x)

⎛ ⎞ 3 ⎜ − ∞, 1 − 3 ⎟ ⎝ ⎠

x

3 1− 3

⎛ ⎞ 3 3 ⎜1 − 3 , 1 + 3 ⎟ ⎝ ⎠

−

0



PI

3 1+ 3

0 PI

⎛ ⎞ 3 ⎜ 1 + 3 , + ∞⎟ ⎝ ⎠

+



Els punts d’inflexió de f són, d’acord amb aquesta taula:

5. Asímptotes i branques infinites:





+

• No té asímptotes ja que és una funció polinòmica.

0

PI = (0,42, −8,56) , PI = (1,58, −8,56)

A partir d’aquesta informació es pot representar gràficament la funció f: Així, f és convexa en (− ∞, 0)  (0, + ∞), per la qual cosa no té punts d’inflexió. +

• Té branques infinites, ja que:

+

f ″(x)

lim f (x) = + ∞

0

(0, + ∞)

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és:

−

0

x→ ± ∞

0

f(x)

(− ∞, 0)

Y

+

(−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, +∞)

Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros de f:

x

Com que f″ és contínua, hem de considerar els intervals donats pel zero de f″. f ″(x) = 56 x6 ⇒ f ″(x) = 0 ⇔ x = 0 7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: Així, f té un mínim en x = 0, és estrictament creixent en (0, + ∞) i estrictament decreixent en (− ∞, 0).

6. Intervals de monotonia i extrems:

11. Aplicacions de les derivades

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = 12 x2 − 24 x + 8 No és periòdica. f(x) = f(−x) ⇒ f parell 4. Simetria i periodicitat: f(x) x 3.

f(0) = 08 − 1 = −1 — Amb l’eix OY: f(x) = 0 ⇔ x8 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1 — Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: c) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica. –10

f ′(x) = 8 x7 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ x = 0

→

X

10

(− ∞, 0)

x

(0, + ∞)

0

→

5

Així, com que f ′ és contínua, els intervals que hem de considerar són els que ens dóna el seu únic zero: 5

m

–5

+

+

0

0

−

−

f ′(x)

f ′(x)

(0, + ∞)

f(x) = x4 – 4x3+ 4x2 – 9

0

m

(− ∞, 0)

f(x)

x X

–5

10

→

5

→

f(x) –5

f(x) = x4 – 4x3+ 4x2 – 9 –5

Així, com que f ′ és contínua, els intervals que hem de considerar són els que ens dóna el seu únic zero:

5

f ′(x) = 8 x7 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 Així, f té un mínim en x = 0, és estrictament creixent en (0, + ∞) i estrictament decreixent en (− ∞, 0).

lim f (x) = + ∞

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

2. Talls amb els eixos:

f ″(x) = 56 x6 ⇒ f ″(x) = 0 ⇔ x = 0

— Amb l’eix OX: f(x) = 0 ⇔ x8 − 1 = 0 ⇔ x = ± 1

Com que f″ és contínua, hem de considerar els intervals donats pel zero de f″.

• Té branques infinites, ja que: • No té asímptotes ja que és una funció polinòmica. 5. Asímptotes i branques infinites:

— Amb l’eix OY: f(0) = 08 − 1 = −1 3.

Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros de f: (−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, +∞)

x

−

0

0

f(x)

+

f ″(x)

(− ∞, 0)

x

0

(0, + ∞)



+

0

Així, f és convexa en (− ∞, 0)  (0, + ∞), per la qual cosa no té punts d’inflexió.

+

PI





+



PI

+

0

f(x)

f (x)

 −

⎛ ⎞ 3 ⎜ 1 + 3 , + ∞⎟ ⎝ ⎠

A partir d’aquesta informació es pot representar gràficament la funció f:

4. Simetria i periodicitat:

0

3 3

1+

11. Aplicacions de les derivades

+

⎛ 3 3⎞ ⎜1 − 3 , 1 + 3 ⎟ ⎝ ⎠

–10

x→ ± ∞

f ″(x)

3 3

1−

c) 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica.

6. Intervals de monotonia i extrems: Y

La gràfica que podem elaborar de f a partir d’aquestes dades és: PI = (0,42, −8,56) , PI = (1,58, −8,56) Els punts d’inflexió de f són, d’acord amb aquesta taula: x

⎛ 3⎞ ⎜ − ∞, 1 − 3 ⎟ ⎝ ⎠

Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats. Per tant, els intervals de curvatura de f són: 3 3 = 1, 58 = 0, 42 o x = 1 + 3 3

f(x) = f(−x) ⇒ f parell

f ′′(x) = 0 ⇔ x = 1 −

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = 12 x2 − 24 x + 8 Els zeros de f ″ són:

No és periòdica.

190

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 190

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 191

191 Com que f ′(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ′) =  − {2}, f és estrictament decreixent en (− ∞, 2) i en (2, + ∞); per tant, no té extrems.

4

f ′(x) = 3

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

−1

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que, f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x); per a algun x.

6. Intervals de monotonia i extrems:

f(x) = x8 – 1

f ′′(x) =

• No té asímptotes obliqües ni branques infinites, ja que té una asímptota horitzontal per tots dos costats.

2

Com que f ″(x) = 0 no té solució, no existeixen punts d’inflexió, i els intervals de curvatura vindran determinats únicament per les discontinuïtats:

x −1 = 1 , per tant y = 1 és una asímp• lim x→ ± ∞ x − 2 tota horitzontal de f per tots dos costats.

−

f(x)

–1

1

X

2

x→2

f ″(x)

f(0) =

lim f (x) = ∞

2

(2, + ∞)

−

∃ ∃

+

Per tant, f és còncava en (− ∞, 2) i convexa en (2, + ∞).

D(f) = {x ∈   x − 2 ≠ 0} =  − {2}

Així, amb aquesta informació, la gràfica de f és:

2. Talls amb els eixos:

Y

— Amb l’eix OX:

0

+

f(x)

1

(− ∞, 1)

x

−

+

0

02 − 8 ⋅ 0 + 12 = −3 0−4

— Amb l’eix OY: 0 = f(x) ⇔ x2 − 8 x + 12 = 0 ⇔ x = 2 o x=6 — Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos:

4. Simetria i periodicitat:

O = f (x) =

(− ∞, 2)



f(x) d) 1. Domini:

5. Asímptotes i branques infinites: No és simètrica, ja que f(−x) ≠ f(x) ≠ −f(−x), ni tampoc no és periòdica.

+

3. Signe: si considerem els intervals definits pels punts de discontinuïtat i els zeros de f en el seu domini:

x

• La recta x = 2 és una asímptota vertical, per tant:

0

(−∞, 2) 2 (2, 4) (4, 6) 6 (6, + ∞)

x

1

–2

2 (x − 2)3



(x − 2)2

11. Aplicacions de les derivades

Y

x −1 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x−2

6

f(x) =

x–1 x–2

4

⇔ x=1

2

— Amb l’eix OY:

D(f) =  − {x ∈   x − 4 = 0} =  − {4}

∃

− (1, 2)

2

+

e) 1. Domini: com que f és racional, el seu domini és:

(2, + ∞)

3. Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros i les discontinuïtats de f:

f(0) =

0−1 1 = 0−2 2

–6

–4

–2

2

4

6

8

X

–4 –2

–2

f(0) =

0−1 1 = 0−2 2

–6

–4

— Amb l’eix OY:

(− ∞, 1)

1

(1, 2)

2

(2, + ∞)

f(x)

+

0

−

∃

+

6

8

X

2

⇔ x=1

No és simètrica, ja que f(−x) ≠ f(x) ≠ −f(−x), ni tampoc no és periòdica.

4

x −1 O = f (x) = ⇔ x −1 = 0 ⇔ x−2

6

— Amb l’eix OX:

f(x) =

x–1 x–2

Y

2. Talls amb els eixos:

5. Asímptotes i branques infinites: • La recta x = 2 és una asímptota vertical, per tant:

Així, amb aquesta informació, la gràfica de f és:

D(f) = {x ∈   x − 2 ≠ 0} =  − {2} d) 1. Domini:

lim f (x) = ∞

•

–4

e) 1. Domini: com que f és racional, el seu domini és: D(f) =  − {x ∈   x − 4 = 0} =  − {4}

x→2

1

–1

4

2

X

— Amb l’eix OX: 0 = f(x) ⇔ x2 − 8 x + 12 = 0 ⇔ x = 2 o x=6 — Amb l’eix OY: f(0) =

• No té asímptotes obliqües ni branques infinites, ja que té una asímptota horitzontal per tots dos costats.

2

f(x) = x8 – 1

6. Intervals de monotonia i extrems:

∃ ∃

f(x)

−

f ″(x)

2

(− ∞, 2)

x

+ (2, + ∞)

Com que f ″(x) = 0 no té solució, no existeixen punts d’inflexió, i els intervals de curvatura vindran determinats únicament per les discontinuïtats: f ′′(x) =

(x − 2)3 2

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

3

f ′(x) =

−1 (x − 2)2

02 − 8 ⋅ 0 + 12 = −3 0−4

3. Signe: si considerem els intervals definits pels punts de discontinuïtat i els zeros de f en el seu domini: x f(x)

(−∞, 2) 2 (2, 4) (4, 6) 6 (6, + ∞) −

0

+

−

0

+

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que, f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x); per a algun x.

11. Aplicacions de les derivades

x −1 = 1 , per tant y = 1 és una asímpx→ ± ∞ x − 2 tota horitzontal de f per tots dos costats. lim

2. Talls amb els eixos:

1

Per tant, f és còncava en (− ∞, 2) i convexa en (2, + ∞).



x

4. Simetria i periodicitat:

–2

2

–2



3. Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros i les discontinuïtats de f:

Com que f ′(x) < 0 ∀ x ∈ D(f ′) =  − {2}, f és estrictament decreixent en (− ∞, 2) i en (2, + ∞); per tant, no té extrems.

4

Y

191

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 191 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 192

192 5. Asímptotes i branques infinites:

f) 1. Domini: D(f) =  − {x ∈   x2 − 2 x = 0} =  − {0, 2} 2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX: 0 = f(x) ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇔ x = 1

x

— Amb l’eix OY:

–

(−∞, 0)

(0, 1) +

1 (1, 2) (2, + ∞) 0

−

+

x→2

f (x) (x − 1)3 = lim 3 =1 x→ ± ∞ x − 2 x2 x

→

x→ ± ∞

x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − x3 + 2 x 2 x2 − 2 x − x2 + 3 x − 1 = −1

=

x2 − 2 x

3 (x − 1)2 ⋅ (x 2 − 2 x) − (x − 1)3 ⋅ (2 x − 2) (x 2 − 2 x)2

=

– x

= 5

x 4 − 4 x3 + 3 x 2 + 2 x − 2 (x 2 − 2 x)2

X

10

Els zeros de f′ són: 0 = f ′(x) ⇔ 0 = x4 − 4 x3 + 3 x2 + 2 x − 2 ⇔ ⎯ ⇔ x = 1 − √ 3 = − 0,73 ⎯

x = 1 o x = 1 + √ 3 = 2,73



→

x→ ± ∞

3 ⎛ ⎞ x 1 ( − ) = lim ⎜ 2 − 1 x⎟ = x→ ± ∞ ⎝ x − 2 x ⎠

= lim

x→ ± ∞

4

f no talla l’eix d’ordenades, ja que: ∃ f(0) 0 ∉ D(f) ⇒  3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f: x

−

f(x)

x→0

• a = lim

x→ ± ∞

4

(−∞, 4)

= lim

−

=

=

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x. 5. Asímptotes i branques infinites: • x = 0 i x = 2 són asímptotes verticals, aleshores: lim f (x) = lim f (x) = ∞

(4, + ∞)

4

lim f (x) = ± ∞

=

b = lim (f (x) − ax) =

8 (x − 4)3

+

f ″(x)

Per tant, y = x − 1 és asímptota obliqua per tots dos costats. 6. Intervals de monotonia i extrems relatius: f ′(x) =

Y

= 5

y

x→ ± ∞

(x − 4)2

(−∞, 4)

x

+

• f no té asímptotes horitzontals, ja que: x→ ± ∞

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: (2 x − 8) ⋅ (x − 4)2 − (x 2 − 8 x + 20) 2(x − 4)

f ′′(x) =

(x − 4)4

=−

f ″ no té zeros; aleshores, el seu numerador és constant, i només té una discontinuïtat, en x = 4; per tant, els intervals de curvatura són els que apareixen en la taula següent: x

(4, + ∞)

∃ ∃



f(x)



La gràfica que podem elaborar amb aquesta informació és:

+

–5

11. Aplicacions de les derivades

• La recta x = 4 és una asímptota vertical, ja que lim f (x) = ∞ . x→4

• f no té asímptotes horitzontals, ja que lim f (x) = ± ∞ . x→ ± ∞

x 2 − 8 x + 12 f (x) =1 = lim • a = lim x→ ± ∞ x x2 − 4 x x→ ± ∞

−4 x + 12 = −4 • b = lim (f (x) − ax) = lim x−4 x→ ± ∞

Per tant, la recta y = x − 4 és asímptota obliqua per tots dos costats. 6. Intervals de monotonia i extrems relatius: (2 x − 8) ⋅ (x − 4) − (x 2 − 8 x + 12) ⋅ 1

f ′(x) =

x 2 − 8 x + 20

=

(x − 4)2

f ′ no té zeros; aleshores, x2 − 8 x + 20 és irreductible, i té una discontinuïtat en x = 4; per tant, els intervals que hem de distingir són els que apareixen en la taula següent:

+

f ′(x)

∃ ∃

⎯

= =

f(x)

x = 1 o x = 1 + √ 3 = 2,73 0 = f ′(x) ⇔ 0 = x4 − 4 x3 + 3 x2 + 2 x − 2 ⇔ ⎯ ⇔ x = 1 − √ 3 = − 0,73 (x 2 − 2 x)2 x 4 − 4 x3 + 3 x 2 + 2 x − 2 (x 2 − 2 x)2 3 (x − 1)2 ⋅ (x 2 − 2 x) − (x − 1)3 ⋅ (2 x − 2)

f ′(x) = 6. Intervals de monotonia i extrems relatius: −

0

–5

f(x)

−

+

4

 =

• f no té asímptotes horitzontals, ja que: x→2

−

=

∃ ∃

+

f(x)

∃ ∃

f(x)

1 (1, 2) (2, + ∞)

y

+ +

lim f (x) = lim f (x) = ∞ (0, 1)

→

f ″(x) f ′(x)

x→0

(−∞, 0)

x2 – 8x + 12 x–4

X

(4, + ∞)

x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − x3 + 2 x 2

x→ ± ∞

(4, + ∞) x

0 = f(x) ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇔ x = 1

f(x) =

x2 – 8x + 12 f(x) = x–4 10

4

8 4

5. Asímptotes i branques infinites: • x = 0 i x = 2 són asímptotes verticals, aleshores: 4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

=

3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f: ∃ f(0) 0 ∉ D(f) ⇒  f no talla l’eix d’ordenades, ja que: — Amb l’eix OY:

x − 8 x + 12 f (x) =1 = lim x→ ± ∞ x x2 − 4 x

— Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: D(f) =  − {x ∈   x2 − 2 x = 0} =  − {0, 2}

11. Aplicacions de les derivades

5

(−∞, 4)

= lim

⎛ (x − 1)3 ⎞ = lim ⎜ 2 − 1 x⎟ = x→ ± ∞ ⎝ x − 2 x ⎠

(x − 4)3 (x − 4)4

f (x) (x − 1)3 = lim 3 =1 x→ ± ∞ x x→ ± ∞ x − 2 x2 b = lim (f (x) − ax) =

• a = lim

lim f (x) = ± ∞

(−∞, 4) (x − 4)2

x 2 − 8 x + 20 (x − 4)2 (2 x − 8) ⋅ (x − 4) − (x 2 − 8 x + 12) ⋅ 1

→

–5

Els zeros de f′ són: –5

= 5

= Y

La gràfica que podem elaborar amb aquesta informació és:

Per tant, y = x − 1 és asímptota obliqua per tots dos costats.

x

x2 − 2 x 2 −x + 3 x − 1 = −1 = lim x→ ± ∞ x2 − 2 x x→ ± ∞

f ″ no té zeros; aleshores, el seu numerador és constant, i només té una discontinuïtat, en x = 4; per tant, els intervals de curvatura són els que apareixen en la taula següent: =− f ′′(x) =

(2 x − 8) ⋅ (x − 4)2 − (x 2 − 8 x + 20) 2(x − 4)

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: x→ ± ∞

x

f ′ no té zeros; aleshores, x2 − 8 x + 20 és irreductible, i té una discontinuïtat en x = 4; per tant, els intervals que hem de distingir són els que apareixen en la taula següent: = f ′(x) =

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: Per tant, la recta y = x − 4 és asímptota obliqua per tots dos costats. −4 x + 12 = −4 • b = lim (f (x) − ax) = lim x→ ± ∞ x→ ± ∞ x−4 x→ ± ∞

• a = lim

2

x→ ± ∞

• f no té asímptotes horitzontals, ja que lim f (x) = ± ∞ . x→4

• La recta x = 4 és una asímptota vertical, ja que lim f (x) = ∞ . 5. Asímptotes i branques infinites:

f) 1. Domini:

192

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 192

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 193

193 Els intervals de monotonia són, finalment, els determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f ′:

f ′(x)

+

0

→

M

0

+

f(x)

0

(− ∞, 0)

x

+ (0, + ∞)

3. Signe: com que f no té discontinuïtats, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:

f(x)

(−0,73, 0) (0,1) 1 −

− →

Els punts x = −0,73 i x = 2,73 corresponen a extrems relatius:

Els extrems relatius són M = (−2, 0,54) i m = (0, 0).

f(0) = 02 ⋅ e0 = 0

M = (− 0,73, −2,60) , m = (2,73, 2,60)

— Amb l’eix OY:

→

0

(1, 2) (2, 2,73) 2,73 (2,73, + ∞) −

−

0 m

+

5. Asímptotes i branques infinites: • f no té asímptotes verticals, ja que: lim f (x) = f (a) , ∀ a ∈ 

x→a

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

f(x)

0 = f(x) = x2ex ⇔ x = 0 — Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos:

M 0

+

f ′(x)

−2

(− ∞, −2)

x

Atesa la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràfica prescindint d’aquest punt. Observem, tanmateix, que com que f ′(1) = 0 i x = 1 no és un extrem relatiu, x = 1 ha de ser un punt d’inflexió, PI = (1, 0). Amb aquesta informació, elaborem la gràfica següent:

• f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja que lim x 2 e x = + ∞ , però y = 0 és asímpx→+ ∞

tota horitzontal per l’esquerra: 2x x2 lim x 2 e x = lim − x = lim = −x x→− ∞ ↑ x → − ∞ e ↑ x → − ∞ −e ↑ ∞⋅0

= lim

m

+

0

(−2, 0) 0 (0, + ∞)

Com que f ′ és contínua, els intervals de monotonia de f són els determinats pels zeros de f ′:

g) 1. Domini: D(f) = , ja que x2 i ex tenen com a domini .

Els zeros de f ′ són: f ′(x) = 0 ⇔ x = −2 x = 0.

Y

–4

L’Hôpital

= lim 2 e x = 0 x→− ∞

• f no té asímptota obliqua per la dreta, ja que:

o

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: f ′(x) = (x2ex)′ = 2 xex + x2ex = ex(x2 + 2 x)

–2

–

1

a = lim

x

x→+ ∞

=

2

x 2ex = lim xe x = + ∞ x→+ ∞ x

y

(x – 1)3 x2 – 2x

e− x

x→− ∞

4

f(x) =

L’Hôpital

2

2

–2

4

6

x→+ ∞

• f té una branca infinita per la dreta, ja que: 2

=

x→+ ∞

x

(x – 1)3 f(x) = 2 x – 2x

y

2

4

6

X

lim x 2 e x = + ∞

x→+ ∞

.

a = lim

– 1 –2

x 2ex = lim xe x = + ∞ x→+ ∞ x

• f no té asímptota obliqua per la dreta, ja que:

4 –4

x→− ∞

= lim

Y

Els zeros de f ′ són: f ′(x) = 0 ⇔ x = −2 x = 0. g) 1. Domini: D(f) = , ja que x2 i ex tenen com a domini . 2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX: 0 = f(x) = x e ⇔ x = 0 2 x

Atesa la complexitat dels càlculs que hem d’efectuar, farem la representació gràfica prescindint d’aquest punt. Observem, tanmateix, que com que f ′(1) = 0 i x = 1 no és un extrem relatiu, x = 1 ha de ser un punt d’inflexió, PI = (1, 0). Amb aquesta informació, elaborem la gràfica següent: −0,73

(−∞, −0,73)

x

→

0

+

−

3. Signe: com que f no té discontinuïtats, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros: x

(− ∞, 0)

0

(0, + ∞)

f(x)

+

0

+

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

Els punts de discontinuïtat de f′ són els zeros del denominador:

L’Hôpital

x→+ ∞

• f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja que lim x 2 e x = + ∞ , però y = 0 és asímpx→a

lim f (x) = f (a) , ∀ a ∈ 

• f no té asímptotes verticals, ja que: 5. Asímptotes i branques infinites: −

0

(−0,73, 0) (0,1) 1

(x2 − 2 x)2 = 0 ⇔ x2 − 2 x = 0 ⇔ x=0 o x=2

L’Hôpital

tota horitzontal per l’esquerra: →

(− ∞, −2)

−2

f ′(x)

+

0 M

f(x)

(−2, 0) 0 (0, + ∞) −

0

+

m

Els extrems relatius són M = (−2, 0,54) i m = (0, 0).

f(0) = 02 ⋅ e0 = 0

Els punts x = −0,73 i x = 2,73 corresponen a extrems relatius: f ′(x)

x→− ∞

= lim 2 e x = 0

2x x2 lim x 2 e x = lim − x = lim = −x ↑ x → − ∞ e ↑ x → − ∞ −e ↑

M = (− 0,73, −2,60) , m = (2,73, 2,60) M

2

∞⋅0

→

x

11. Aplicacions de les derivades

f(x)

e− x

x→− ∞

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

— Amb l’eix OY:

o

Com que f ′ és contínua, els intervals de monotonia de f són els determinats pels zeros de f ′:

→

→

−

−

m 0

→

→

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: f ′(x) = (x2ex)′ = 2 xex + x2ex = ex(x2 + 2 x)

→

.

lim x 2 e x = + ∞

X

• f té una branca infinita per la dreta, ja que: –2

→

−

→

→

−0,73

→

(−∞, −0,73)

→

x

→

4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que f(−x) ≠ ≠ f(x) ≠ −f(−x) per a algun x.

(x2 − 2 x)2 = 0 ⇔ x2 − 2 x = 0 ⇔ x=0 o x=2

→

11. Aplicacions de les derivades

Els punts de discontinuïtat de f′ són els zeros del denominador:

+

(1, 2) (2, 2,73) 2,73 (2,73, + ∞) Els intervals de monotonia són, finalment, els determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f ′:

193

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 193 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 194

194 7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

Els zeros de f ″ són: ⎯

⎯

f ″(x) = 0 ⇔ x2 + 4 x + 2 = 0 ⇔ x = −2 − √ 2 = −3,41 o x = −2 + √ 2 = − 0,59 Com que f″ no té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f″:

f(x)

0

+

f ″(x)

−3,41

(− ∞, −3,41)

x

PI

(−3,41, − 0,59) −

−0,59

(− 0,59, + ∞) +

0 PI

Els punts d’inflexió són PI = (−3,41, 0,38) i PI = (−0,59, 0,19). Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:

5. Asímptotes i branques infinites: • f només pot tenir com a asímptota vertical la recta x = 0:

Y

ln x lim x 2 ln x = lim = lim 1 x→0

6

x→0

↑

x→0

0⋅∞

4

= lim − x→0

2

f(x) = x2 ex

–6

–4

↑ x 2L’Hôpital

−

1 x = 2 x3

x2 =0 2

Per tant, x = 0 no és asímptota vertical, sinó que lim f (x) = 0 (la qual cosa ens serà útil).

–2

2

x→0

X

• f només pot tenir una asímptota horitzontal per la dreta:

–2

lim x 2 ln x = + ∞

x→+ ∞

h) 1. Domini: D(f) = D(x2)  D(ln x) = =   (0, + ∞) = (0, + ∞)

per tant, no té asímptotes horitzontals. • f només pot tenir una asímptota obliqua per la dreta: a = lim

x→+ ∞

x 2 ln x = lim x ln x = + ∞. x→+ ∞ x

— Amb l’eix OY: Per tant, f no té asímptotes obliqües.

No talla l’eix d’ordenades, ja que: 0 ∉ D(f)



• f té una branca infinita per la dreta.

3. Signe: hem de considerar els intervals definits a D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té discontinuïtats:

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: f ′(x) = 2 x ⋅ ln x + x 2

1 = x + 2 x ln x x

Els zeros de f ′ són:

4. Simetria i periodicitat: no en té, ja que D(f) = = (0, + ∞).

+

(1, + ∞)

11. Aplicacions de les derivades

f ″(x) = ex ⋅ (x2 + 2 x) + ex(2 x + 2) = ex(x2 + 4 x + 2)

= 0, 61



2. Talls amb els eixos:

1 2



— Amb l’eix OX:

−

x2 =0 2

0 = f(x) = x2 ln x ⇔ x = 1

f ′(x) = 0 ⇔ x = e Els zeros de f ′ són:

1 = x + 2 x ln x x

x 2 ln x = lim x ln x = + ∞. x→+ ∞ x

x→0

PI 0

1

+

f ′(x) = 0 ⇔ x = e

−

1 2



PI

−

(0, 1)

0

f(x)



x

−

0

(− 0,59, + ∞)

+

f(x)

X

+

−0,59

0

(1, + ∞) 2

x→0

f ″(x)

(−3,41, − 0,59)

−

1

–2 2

−3,41

⎯

f(x)

(0, 1)

f ′(x) = 2 x ⋅ ln x + x 2

6. Intervals de monotonia i extrems relatius:



Per tant, f no té asímptotes obliqües. x→+ ∞

a = lim

• f només pot tenir una asímptota obliqua per la dreta: per tant, no té asímptotes horitzontals. lim x 2 ln x = + ∞

–4

Per tant, x = 0 no és asímptota vertical, sinó que lim f (x) = 0 (la qual cosa ens serà útil).

ex

(− ∞, −3,41)

⎯

11. Aplicacions de les derivades

4. Simetria i periodicitat: no en té, ja que D(f) = = (0, + ∞). x

3. Signe: hem de considerar els intervals definits a D(f) pels zeros de f, ja que aquesta no té discontinuïtats:

• f té una branca infinita per la dreta.

0 ∉ D(f) No talla l’eix d’ordenades, ja que: — Amb l’eix OY: 0 = f(x) = x ln x ⇔ x = 1 2

— Amb l’eix OX: 2. Talls amb els eixos: D(f) = D(x2)  D(ln x) = =   (0, + ∞) = (0, + ∞) h) 1. Domini:

x→+ ∞

• f només pot tenir una asímptota horitzontal per la dreta:

–2 –6

f(x) =

x2

= lim − 4

1 ln x lim x ln x = lim = lim x = 2 x→0 x→0 ↑ x→0 1 − 3 0⋅∞ 2 ↑ x L’Hôpital x 2

6

• f només pot tenir com a asímptota vertical la recta x = 0:

Y

5. Asímptotes i branques infinites:

Amb tot això, podem traçar la gràfica següent:

Els punts d’inflexió són PI = (−3,41, 0,38) i PI = (−0,59, 0,19). x

Com que f″ no té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f″: f ″(x) = 0 ⇔ x2 + 4 x + 2 = 0 ⇔ x = −2 − √ 2 = −3,41 o x = −2 + √ 2 = − 0,59 Els zeros de f ″ són:

= 0, 61

f ″(x) = ex ⋅ (x2 + 2 x) + ex(2 x + 2) = ex(x2 + 4 x + 2) 7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

194

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 194

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 195

0,61

(0,61, + ∞)

f ′(x)

−

0

+

m

f(x)

f té un mínim en m = (0,61, − 0,18).

2. Talls amb els eixos: 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica.

3. Signe: hem de considerar els intervals determinats pels zeros de f, ja que no té discontinuïtats: x

(− ∞, −2)

−2

(−2, 1)

1

(1, + ∞)

f(x)

−

0

−

0

+

1 = 3 + 2 ln x x

0,2

0,4

0,6

0,8

−

3 2

5. Asímptotes i branques infinites: = 0, 22

f ″ és contínua en el seu domini, (0, + ∞); per tant, els intervals de curvatura de f són:

f té un punt d’inflexió en x = −1, PI = (−1, −2). −

f ″(x)

(− ∞, −1)

x

PI

+

0 −1

(−1, + ∞)

Els zeros de f ″ són x = −1, i com que no té discontinuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de curvatura de f són: f ″(x) = 3(x + 2) + 3 x ⋅ 1 = 6 x + 6

–2 –4

0,22

(0,22, + ∞)

−

0

+

PI



f(x)

–2

2

4

X

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió:

f ″(x)

f(x) = x2 ln x

2

f té dos extrems relatius: M = (−2, 0) i m = (0, −4).



f(x)

f(x)

4 6

f té branques infinites per tots dos costats, ja que lim f (x) = ± ∞. x→ ± ∞

6. Intervals de monotonia i extrems relatius: f ′(x) = 2(x + 2) ⋅ (x − 1) + (x + 2)2 ⋅ 1 = = 3 x(x + 2)

f té un punt d’inflexió en:

Y

Els zeros de f ′ són x = −2 i x = 0.

PI = (0,22, − 0,07)

Amb aquestes dades podem representar gràficament f de manera aproximada:

Amb aquestes dades podem representar gràficament f de manera aproximada:

PI = (0,22, − 0,07)

→

Y

0

+

f ′(x)

−2

(− ∞, −2)

x

−

f ″(x)

(0, 0,22)

x

f(x) = x2 ln x

2

(−2, 0) 0 (0, + ∞)

= 3 x(x + 2)

PI

+

0

(0,22, + ∞)

0,22

–2

f ″ és contínua en el seu domini, (0, + ∞); per tant, els intervals de curvatura de f són: Els zeros de f ″ són:

+

0

Els zeros de f ′ són x = −2 i x = 0.

–4

(− ∞, −2)

−2

f ′(x)

+

0 M

2

4

X

0,4

0,6

0,8

−

0 m

+

f té dos extrems relatius: M = (−2, 0) i m = (0, −4). 7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ″(x) = 3(x + 2) + 3 x ⋅ 1 = 6 x + 6

–2

0,2

(−2, 0) 0 (0, + ∞)

1

Els zeros de f ″ són x = −1, i com que no té discontinuïtats (ja que és polinòmica), els intervals de curvatura de f són: x

−

3 2

= 0, 22

f ′(x) = 2(x + 2) ⋅ (x − 1) + (x + 2)2 ⋅ 1 = 6. Intervals de monotonia i extrems relatius: x→ ± ∞

f té branques infinites per tots dos costats, ja que lim f (x) = ± ∞. f no té asímptotes, ja que és polinòmica de grau major que 1. 5. Asímptotes i branques infinites:

1 = 3 + 2 ln x x

f ′′(x) = 1 + 2 ln x + 2 x

f ″(x) 34. Estudiem els aspectes de f que ens ajuden a representar-ne la gràfica: 1. Domini: D(f) = , ja que f és polinòmica. 2. Talls amb els eixos: — Amb l’eix OX: 0 = f(x) = (x + 2)2 ⋅ (x − 1) ⇔ ⇔ x = −2 o x = 1

f(x)

(− ∞, −1)

−1

(−1, + ∞)

−

0

+

PI



f té un punt d’inflexió en x = −1, PI = (−1, −2). La gràfica de f és:

11. Aplicacions de les derivades

4. Simetries i periodicitat: no en té, doncs −f(x) ≠ ≠ f(−x) ≠ f(x) per a algun x.

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f té un mínim en m = (0,61, − 0,18). f(x)

m

−

f ′(x)

(0, 0,61)

x

→

→

x

f(x)

4

f ′′(x) = 0 ⇔ x = e

−

m

f ′ no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; per tant, els intervals de monotonia de f són els determinats pels zeros de f ′:

f té un punt d’inflexió en:

6

f ′ no té discontinuïtats, ja que és polinòmica; per tant, els intervals de monotonia de f són els determinats pels zeros de f ′:

→



f(x)

M

→

(0, 0,22)

f no té asímptotes, ja que és polinòmica de grau major que 1.

→

1

f ′′(x) = 0 ⇔ x = e

4. Simetries i periodicitat: no en té, doncs −f(x) ≠ ≠ f(−x) ≠ f(x) per a algun x.



La gràfica de f és:

34. Estudiem els aspectes de f que ens ajuden a representar-ne la gràfica:

Els zeros de f ″ són:

x

→

f(0) = (0 + 2)2 ⋅ (0 − 1) = − 4

7. Intervals de curvatura i punts d’inflexió: f ′′(x) = 1 + 2 ln x + 2 x



— Amb l’eix OY:

→

— Amb l’eix OX:



(0, 0,61)

→

0 = f(x) = (x + 2)2 ⋅ (x − 1) ⇔ ⇔ x = −2 o x = 1



x

→

11. Aplicacions de les derivades

195 f ′ és contínua en el seu domini, (0, + ∞); per tant, els intervals de monotonia de f són:

+

0 0,61

−

f(x)

(− ∞, −2)

x

0 −2

− (−2, 1)

0 1

+ (1, + ∞)

3. Signe: hem de considerar els intervals determinats pels zeros de f, ja que no té discontinuïtats:

(0,61, + ∞)

f ′ és contínua en el seu domini, (0, + ∞); per tant, els intervals de monotonia de f són:

f(0) = (0 + 2)2 ⋅ (0 − 1) = − 4 — Amb l’eix OY:

195

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 195 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 196

196 • x = 2: h → 0+

5

10

= lim

X

h → 0−

h → 0−

h → 0−

f (2 + h) − f (2) = h

4 − (2 + h)2 − 0 = h

h → 0−

(−2 + h)2 − 4 − 0 = h

f ′(2+ ) = lim

h → 0+

h → 0+

h → 0+

f (2 + h) − f (2) = h

(2 + h)2 − 4 − 0 = h

= lim = lim

4 + 4 h + h2 − 4 = lim (4 + h) = 4 h→ 0 h +

∃ f ′(2 +), alesCom que f ′(2−) = − 4 ≠ 4 = f ′(2 +),  hores f no és derivable en x = 2. Per tant, f és derivable en  − {−2, 2} i no ho és en x = −2 ni en x = 2. b) Els extrems relatius que siguin punts de derivabilitat de f (és a dir, de  − {−2, 2}) es trobaran entre els zeros de f ′. Per tal de determinar els zeros de f ′, hem de considerar cadascun dels intervals en els quals l’expressió analítica de f és la mateixa, calcular f ′ i trobar els zeros d’aquesta que estiguin dins de l’interval considerat: • En (− ∞, −2)  (2, + ∞), f(x) = x2 − 4 ⇒ ⇒ f ′(x) = 2 x, i com que 2 x = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∉ (−∞, −2)  (2, +∞) f no té extrems relatius en aquesta part del domini de f. • En (−2, 2), f(x) = 4 − x2 ⇒ f ′(x) = −2 x, i com que −2 x = 0 ⇔ x = 0 ∈ (−2, 2), x = 0 és un possible extrem relatiu de f. Per veure si realment ho és, calculem f ″ i l’avaluem en aquest punt:

−

h → 0+

h → 0+

f ′(x) = −2 x ⇒ f ″(x) = −2 ∀ x ∈ (−2, 2) ⇒ ⇒ f ″(0) = −2 < 0 per tant, x = 0 és un màxim relatiu de f.

Com que f(−2) = f(2) = 0 i  x2 − 4  ≥ 0 ∀ x ∈ , observem que x = −2 i x = 2 són mínims relatius i absoluts de f.

11. Aplicacions de les derivades

Com que f ′(−2−) = −4 ≠ 4 = f ′(−2 +),  ∃ f ′(−2), aleshores f no és derivable en x = −2.

Y 10

f(x) = (x + 2)2 (x – 1) 5

f ′(2− ) = lim

–5

4 − ( 4 + 4 h + h2 ) = h

= lim

–5

= lim (− h − 4) = −4

– 10

D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per tal de representar-la gràficament podem afirmar: f és estrictament creixent en (− ∞, −2) i en (0, + ∞), i estrictament decreixent en (−2, 0). Els punts (−2, 0) i (0, −4) són màxim i mínim relatiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems relatius. f és còncava en (− ∞, −1) i convexa en (−1, + ∞), i (−1, −2) és un punt d’inflexió. 35. Podem expressar f com a una funció definida a trossos: 2 2 2 ⎪⎧ x − 4 si x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇔ | x | ≥ 2 f (x) = ⎨ 2 2 2 ⎩⎪4 − x si x − 4 < 0 ⇔ x < 4 ⇔ | x | < 2

és a dir, 2 ⎪⎧ x − 4 si x ≤ −2 o x ≥ 2 f (x) = ⎨ 2 ⎩⎪4 − x si −2 < x < 2

a) L’expressió analítica de f en els intervals (−∞, −2), (−2, 2) i (2, + ∞) és polinòmica; per tant, f és derivable en aquests intervals. Estudiem la derivabilitat en els altres punts: • x = −2: f (−2 + h) − f (−2) f ′(−2− ) = lim = h h → 0−

= lim

h2 − 4 h + 4 − 4 = lim = lim (h − 4) = − 4 x→0 h h → 0−

f (−2 + h) − f (−2) = h

f ′(−2+ ) = lim

Encara hem d’estudiar els dos punts en què f no és derivable.

4 − (−2 + h)2 − 0 = h

= lim

+

f (2 + h) − f (2) = h

4 − (2 + h)2 − 0 = h

4 − ( 4 − 4 h + h2 ) = lim (− h + 4) = 4 h→ 0 h

Com que f(−2) = f(2) = 0 i  x2 − 4  ≥ 0 ∀ x ∈ , observem que x = −2 i x = 2 són mínims relatius i absoluts de f. Encara hem d’estudiar els dos punts en què f no és derivable. per tant, x = 0 és un màxim relatiu de f. ⇒ f ″(0) = −2 < 0 f ′(x) = −2 x ⇒ f ″(x) = −2 ∀ x ∈ (−2, 2) ⇒ +

= lim

h → 0+

h→ 0

−

= lim

X

h → 0+

+

−

Per veure si realment ho és, calculem f ″ i l’avaluem en aquest punt: • En (−2, 2), f(x) = 4 − x2 ⇒ f ′(x) = −2 x, i com que −2 x = 0 ⇔ x = 0 ∈ (−2, 2), x = 0 és un possible extrem relatiu de f. 4 + 4 h + h2 − 4 = lim (4 + h) = 4 h→ 0 h

f és estrictament creixent en (− ∞, −2) i en (0, + ∞), i estrictament decreixent en (−2, 0). 10

f (2 + h) − f (2) = h

• x = 2:

= lim

4 − (4 − 4 h + h ) = lim (− h + 4) = 4 h→ 0 h +

+

h2 − 4 h + 4 − 4 = lim (h − 4) = − 4 x→0 h (−2 + h)2 − 4 − 0 = h f (−2 + h) − f (−2) = h

• En (− ∞, −2)  (2, + ∞), f(x) = x2 − 4 ⇒ ⇒ f ′(x) = 2 x, i com que 2 x = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∉ (−∞, −2)  (2, +∞) f no té extrems relatius en aquesta part del domini de f. Per tal de determinar els zeros de f ′, hem de considerar cadascun dels intervals en els quals l’expressió analítica de f és la mateixa, calcular f ′ i trobar els zeros d’aquesta que estiguin dins de l’interval considerat: b) Els extrems relatius que siguin punts de derivabilitat de f (és a dir, de  − {−2, 2}) es trobaran entre els zeros de f ′. Per tant, f és derivable en  − {−2, 2} i no ho és en x = −2 ni en x = 2. ∃ f ′(2 +), alesCom que f ′(2−) = − 4 ≠ 4 = f ′(2 +),  hores f no és derivable en x = 2. h → 0+

= lim

h→ 0

(2 + h)2 − 4 − 0 = h

f ′(2+ ) = lim

= lim (− h − 4) = −4 5

Y

11. Aplicacions de les derivades

h → 0+

= lim

2

4 − (−2 + h)2 − 0 = lim = h→ 0 h f (−2 + h) − f (−2) f ′(−2 ) = lim = h→ 0 h +

h → 0−

= lim

h→ 0

−

= lim

h→ 0

−

f ′(−2− ) = lim • x = −2:

Estudiem la derivabilitat en els altres punts: a) L’expressió analítica de f en els intervals (−∞, −2), (−2, 2) i (2, + ∞) és polinòmica; per tant, f és derivable en aquests intervals. 2 ⎪⎧ x − 4 si x ≤ −2 o x ≥ 2 f (x) = ⎨ 2 ⎪⎩4 − x si −2 < x < 2

és a dir, ⎧⎪ x 2 − 4 si x 2 − 4 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 4 ⇔ | x | ≥ 2 f (x) = ⎨ 2 2 2 ⎪⎩4 − x si x − 4 < 0 ⇔ x < 4 ⇔ | x | < 2 35. Podem expressar f com a una funció definida a trossos: f és còncava en (− ∞, −1) i convexa en (−1, + ∞), i (−1, −2) és un punt d’inflexió. Els punts (−2, 0) i (0, −4) són màxim i mínim relatiu de f, respectivament, i no hi ha més extrems relatius.

+

D’acord amb els punts 6 i 7 de l’estudi de f, per tal de representar-la gràficament podem afirmar:

h → 0−

– 10

h→ 0

4 − ( 4 + 4 h + h2 ) = h

−

= lim

–5 –5

h → 0+

f ′(2− ) = lim 5

f(x) = (x + 2)2 (x – 1)

Com que f ′(−2−) = −4 ≠ 4 = f ′(−2 +),  ∃ f ′(−2), aleshores f no és derivable en x = −2.

10

196

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 196

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 197

x→ ± ∞

solut de f; per tant, x = 0 només és màxim relatiu.

Sabem que els intervals de curvatura de f corresponen als intervals en els quals f″ té signe constant i aquests corresponen als de monotonia de f ′.

Resumint: (− ∞, 1)

f ′(x) f ″(x)

• (0, 4) és màxim relatiu de f;

10

10

0

+

PI

Així doncs, x = 1 és un punt d’inflexió de f, ja que f passa de ser còncava a ser convexa, i és contínua en aquest punt. c) Tenint en compte la informació que hem obtingut sobre f, que podem resumir en la taula següent: 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + ∞) M



m

→

f(x)

(− ∞, 0) →

x

→

Y

Y

−



b) La taula de monotonia de f ens permet afirmar que f té un màxim relatiu en x = 0 i un mínim relatiu en x = 2, i no té més extrems relatius. Per tant, f és estrictament creixent en (− ∞, 0) i en (2, + ∞), i estrictament decreixent en (0, 2). f(x) f ′(x)

c) D’acord amb la indicació, representem primerament x2 − 4 (que és una paràbola parella, amb les branques cap amunt, que talla l’eix de abscisses en x = ± 2 i té vèrtex en 0 = f ′(x) = 2 x ⇒ x = 0, és a dir, en (0, 4)) i després fem una simetria respecte de l’eix d’abscisses de la part de la gràfica que és en el semiplà y < 0:

m



f(x)

• f no té màxim absolut.

(1, + ∞)

1

→

x

• (−2, 0) i (2, 0) són mínims absoluts (i relatius) de f;



D’altra banda, per tal de trobar els punts d’inflexió, el millor que podem fer és obtenir-los a partir de la →

M

+ (− ∞, 0)

x

0

m

−

0

→

→

Com que lim f (x) = + ∞ , no existeix màxim ab-

taula de curvatura de f, ja que no podem calcular explícitament les derivades successives.

→

(0, 2)

(2, + ∞)

2

0 = f ″(1) ⇒ 0 = 6 a + 2 b 0 ≠ f (1) = 6 a ⇒ a ≠ 0

(8) (9)

• El punt x = 1 és un punt d’inflexió: 0 = f ′(0) 0 = f ′(2) 0 > f ″(0) 0 < f ″(2)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

0=c 0 = 12 a + 4 b + c 0 > 2b 0 < 12 a + 2 b

(4) (5) (6) (7)

• El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mínim relatiu; per tant, f ha de complir:

+

0

Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):

11. Aplicacions de les derivades

197 Finalment, hem de comprovar si x = 0 és màxim absolut.

PI

En aquest cas, D(f) =  i f ′ no té discontinuïtats, ja que f és derivable en  i f ′ és polinòmica. Així, consultant la gràfica de f ′, podem elaborar la següent taula de monotonia de f: Per tant, hem de considerar els intervals en els quals f ′ té signe constant, que seran els determinats pels zeros i les discontinuïtats de f ′ en D(f).

0 = f(−1) ⇒ −a + b − c + d = 0 4 = f(0) ⇒ d = 4 0 = f(2) ⇒ 8 a + 4 b + 2 c + d = 0

(1) (2) (3)

• La gràfica de f passa pels punts (−1, 0) (0, 4) i (2, 0): 37. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Imposem les condicions que s’observen en la figura:

36. a) Els intervals de creixement de f són aquells en els quals f ′ > 0, i els de decreixement són aquells en els quals f ′ < 0.

podem esbossar la següent gràfica de f: Simetria

Y

5



5

–3 –2

respecte OX

f

3

–1 2

–3

–2

–1

1

2

3

X

4

X

X

1

X

1

X

–3

–2

1

–1

2

3

4

X

2

–1 3

Simetria

f

Y

5

podem esbossar la següent gràfica de f: Y

Y

c) D’acord amb la indicació, representem primerament x2 − 4 (que és una paràbola parella, amb les branques cap amunt, que talla l’eix de abscisses en x = ± 2 i té vèrtex en 0 = f ′(x) = 2 x ⇒ x = 0, és a dir, en (0, 4)) i després fem una simetria respecte de l’eix d’abscisses de la part de la gràfica que és en el semiplà y < 0: • f no té màxim absolut.

f(x) x

(− ∞, 0)

0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, + ∞)

c) Tenint en compte la informació que hem obtingut sobre f, que podem resumir en la taula següent: Així doncs, x = 1 és un punt d’inflexió de f, ja que f passa de ser còncava a ser convexa, i és contínua en aquest punt. f(x)

• (−2, 0) i (2, 0) són mínims absoluts (i relatius) de f;

m

−

f ″(x) f ′(x) x

(− ∞, 1)

PI 0 m 1

+ →

→

x

(− ∞, 0)

0

(0, 2)

2

(2, + ∞)

f ′(x)

+

0

−

0

+

m

f(x)

M

Per tant, f és estrictament creixent en (− ∞, 0) i en (2, + ∞), i estrictament decreixent en (0, 2). b) La taula de monotonia de f ens permet afirmar que f té un màxim relatiu en x = 0 i un mínim relatiu en x = 2, i no té més extrems relatius. D’altra banda, per tal de trobar els punts d’inflexió, el millor que podem fer és obtenir-los a partir de la

–3

37. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Imposem les condicions que s’observen en la figura: • La gràfica de f passa pels punts (−1, 0) (0, 4) i (2, 0): 0 = f(−1) ⇒ −a + b − c + d = 0 4 = f(0) ⇒ d = 4 0 = f(2) ⇒ 8 a + 4 b + 2 c + d = 0

(1) (2) (3)

• El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mínim relatiu; per tant, f ha de complir: 0 = f ′(0) 0 = f ′(2) 0 > f ″(0) 0 < f ″(2)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

0=c 0 = 12 a + 4 b + c 0 > 2b 0 < 12 a + 2 b

(4) (5) (6) (7)

• El punt x = 1 és un punt d’inflexió: 0 = f ″(1) ⇒ 0 = 6 a + 2 b 0 ≠ f (1) = 6 a ⇒ a ≠ 0

(8) (9)

Imposem que es compleixin (1), (2), (3), (4), (5) i (8):

11. Aplicacions de les derivades

• (0, 4) és màxim relatiu de f;

M

PI →

10

10



En aquest cas, D(f) =  i f ′ no té discontinuïtats, ja que f és derivable en  i f ′ és polinòmica. Així, consultant la gràfica de f ′, podem elaborar la següent taula de monotonia de f:

→



Per tant, hem de considerar els intervals en els quals f ′ té signe constant, que seran els determinats pels zeros i les discontinuïtats de f ′ en D(f).

→

5

→

→



→



respecte OX



–2

36. a) Els intervals de creixement de f són aquells en els quals f ′ > 0, i els de decreixement són aquells en els quals f ′ < 0.

(1, + ∞)

Resumint: solut de f; per tant, x = 0 només és màxim relatiu. x→ ± ∞

Com que lim f (x) = + ∞ , no existeix màxim abFinalment, hem de comprovar si x = 0 és màxim absolut.

Sabem que els intervals de curvatura de f corresponen als intervals en els quals f″ té signe constant i aquests corresponen als de monotonia de f ′. taula de curvatura de f, ja que no podem calcular explícitament les derivades successives.

197

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 197 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 198

198 = = = = = =

0⎫ 4 ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = 1, b = −3, c = 0, d = 4 0⎪ 0⎪ ⎪ 0 ⎪⎭

1 3 1 2 x − x + cx + d , c, d ∈  6 2

La funció buscada, és doncs: P(x) =

1 3 1 2 x − x − 4 x + 13 6 2

39. 1. Si anomenem x el preu de lloguer mensual en euros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressió analítica de la funció que s’ha d’optimar és: B(x, y) = x ⋅ y 2. Podem relacionar les dues variables tenint en compte que per cada 5 € que augmenta el preu del lloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, disminueix en una unitat. Per tant, es compleix: x = 160 + 5 k ⎫ 160 − x ⇒ ⎬ ⇒ y − 200 = − k = y = 200 − k ⎭ 5 ⇒ y − 200 = −

1 (x − 160) ⇒ 5

1 x + 232 5

Així, podem expressar B com a funció únicament de x: ⎛ 1 ⎞ B(x) = x ⋅ y = x ⋅ ⎜ − x + 232 ⎟ ⎝ 5 ⎠ 3. Determinem els extrems relatius de B:

1 1 1 = f (4) = ⋅ 4 3 − ⋅ 4 2 + c ⋅ 4 + d ⇒ 3 6 2 (1)

1 2 x −x+c 2

1 2 ⋅ 4 − 4 + c ⇔ c = −4 2

(2)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 0 = B ′(x) = ⎜ − x + 232 ⎟ + x ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠ = −

2 x + 232 ⇔ x = 580 5

Observem que x = 580 correspon a un màxim de B: B ′′(x) = −

2 2 ⇒ B ′′(580) = − < 0 ⇒ 5 5

⇒ x = 580 és un màxim relatiu de B. Com que la funció B és derivable, el fet que no tingui mínims relatius ens confirma que x = 580 és un màxim absolut. El lloguer que produeix un benefici més elevat a l’agència és el de 580 €.

11. Aplicacions de les derivades

−a + b − c + d d 8a + 4 b + 2c + d c 12 a + 4 b + c 6a + 2b

Observem que per a aquests valors també es compleixen (6), (7) i (8), per la qual cosa f(x) = x3 − 3 x2 + 4. 38. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vegem quines condicions han de satisfer els coeficients per aconseguir que la derivada segona sigui x − 1: f ′(x) = 3 ax2 + 2 bx + c , f ″(x) = 6 ax + 2 b Per tant: f ″(x) = x − 1 ⇔ 6 ax + 2 b = x − 1 i, com que els polinomis són iguals si i només si tenen iguals tots els coeficients del mateix grau, aquesta igualtat és equivalent al sistema: 6a = 1 ⎫ 1 1 ⎬⇒a = ,b = − 2 b = −1 ⎭ 6 2

⇒ y = −

Per tant, les funcions buscades són les de la forma: f (x) =

Imposem que ⎜⎛ 4, − 1 ⎟⎞ sigui un mínim relatiu: ⎝ 3⎠ 1⎞ ⎛ • En primer lloc, ha de passar pel punt ⎜ 4, − ⎟ : ⎝ 3⎠ −

⇒ 4 c + d = −3

• En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x = 4, i tenint en compte que f és derivable en aquest punt (ja que és polinòmica), s’ha de complir f ′(4) = 0: f ′(x) = 0 = f ′(4) =

• En tercer lloc, com que f (n)(x) = 0 ∀ x ∈  si n ≥ 4, s’ha de complir f ″(4) > 0: f ″(x) = x − 1 , f ″(4) = 4 − 1 = 3 > 0

40. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dóna la superfície del camp.

per tant, aquesta condició ja es compleix. Si anomenem b la longitud del costat del camp que dóna al camí i h la d’un dels costats que comencen en el camí, l’expressió analítica de la funció és:

1 3 1 2 x − x − 4 x + 13 6 2

Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les relacions (1) i (2):

S(b, h) = b ⋅ h Si anomenem b la longitud del costat del camp que dóna al camí i h la d’un dels costats que comencen en el camí, l’expressió analítica de la funció és: 40. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dóna la superfície del camp. El lloguer que produeix un benefici més elevat a l’agència és el de 580 €. 2 2 ⇒ B ′′(580) = − < 0 ⇒ 5 5 2 x + 232 ⇔ x = 580 5 1 x + 232 5 1 (x − 160) ⇒ 5

x = 160 + 5 k ⎫ 160 − x ⇒ ⎬ ⇒ y − 200 = − k = y = 200 − k ⎭ 5 2. Podem relacionar les dues variables tenint en compte que per cada 5 € que augmenta el preu del lloguer, x, el nombre d’apartaments llogats, y, disminueix en una unitat. B(x, y) = x ⋅ y 39. 1. Si anomenem x el preu de lloguer mensual en euros i y el nombre d’apartaments llogats, l’expressió analítica de la funció que s’ha d’optimar és: P(x) =

S(b, h) = b ⋅ h

(2)

Com que la funció B és derivable, el fet que no tingui mínims relatius ens confirma que x = 580 és un màxim absolut. ⇒ x = 580 és un màxim relatiu de B. B ′′(x) = −

Observem que x = 580 correspon a un màxim de B: = −

⇒ y = −

⇒ y − 200 = −

0⎫ 4 ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎬ ⇒ a = 1, b = −3, c = 0, d = 4 0⎪ 0⎪ ⎪ 0 ⎪⎭

4 c + d = −3 ⎫ ⎬ ⇒ c = − 4 , d = 13 c = −4 ⎭

1 2 ⋅ 4 − 4 + c ⇔ c = −4 2 1 2 x −x+c 2

(1)

1 1 1 = f (4) = ⋅ 4 3 − ⋅ 4 2 + c ⋅ 4 + d ⇒ 3 6 2

Així, podem expressar B com a funció únicament de x: ⎛ 1 ⎞ B(x) = x ⋅ y = x ⋅ ⎜ − x + 232 ⎟ ⎝ 5 ⎠

1 3 1 2 x − x + cx + d , c, d ∈  6 2 = = = = = =

La funció buscada, és doncs:

11. Aplicacions de les derivades

4 c + d = −3 ⎫ ⎬ ⇒ c = − 4 , d = 13 c = −4 ⎭ Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les relacions (1) i (2): per tant, aquesta condició ja es compleix. f ″(x) = x − 1 , f ″(4) = 4 − 1 = 3 > 0 • En tercer lloc, com que f (n)(x) = 0 ∀ x ∈  si n ≥ 4, s’ha de complir f ″(4) > 0: 0 = f ′(4) =

f ′(x) =

• En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x = 4, i tenint en compte que f és derivable en aquest punt (ja que és polinòmica), s’ha de complir f ′(4) = 0: ⇒ 4 c + d = −3 −

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 0 = B ′(x) = ⎜ − x + 232 ⎟ + x ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠

1⎞ ⎛ • En primer lloc, ha de passar pel punt ⎜ 4, − ⎟ : ⎝ 3⎠

3. Determinem els extrems relatius de B: Imposem que ⎛⎜ 4, − 1 ⎞⎟ sigui un mínim relatiu: ⎝ 3⎠ f (x) =

Per tant, les funcions buscades són les de la forma: 6a = 1 ⎫ 1 1 ⎬⇒a = ,b = − 2 b = −1 ⎭ 6 2 Per tant: f ″(x) = x − 1 ⇔ 6 ax + 2 b = x − 1 i, com que els polinomis són iguals si i només si tenen iguals tots els coeficients del mateix grau, aquesta igualtat és equivalent al sistema:

Per tant, es compleix:

f ′(x) = 3 ax2 + 2 bx + c , f ″(x) = 6 ax + 2 b Vegem quines condicions han de satisfer els coeficients per aconseguir que la derivada segona sigui x − 1: 38. Sigui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Observem que per a aquests valors també es compleixen (6), (7) i (8), per la qual cosa f(x) = x3 − 3 x2 + 4. −a + b − c + d d 8a + 4 b + 2c + d c 12 a + 4 b + c 6a + 2b

198

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 198

C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 199

3. Busquem els extrems relatius de V: Terreny

V(x) = k(x2 + y2) = k(x2 + (16 − x)2) = = k(2 x2 − 32 x + 256)

b

h Camí

1 800 = 5 b + 0,625 b + 0,625 h + 0,625 h

Com que 2 k > 0, la gràfica de V és una paràbola amb les branques cap amunt; per tant, x = 8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut. Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, hem de dividir-la en dos trossos de 8 g cadascun (i perquè sigui màxim, no hem de dividir-la). 42. S(t) = −0,2 (2 t3 − 45 t2 − 4 200 t − 60) = = −0,4 t3 + 9 t2 + 840 t + 12

1 800 = 5,625 b + 1,25 h

S′(t) = −1,2 t2 + 18 t + 840

Així, V(x, y) té la següent expressió analítica com a funció de x: 16 = x + y ⇒ y = 16 − x

aleshores, −5, 625 b + 1800 h= = −4, 5 b + 1440 1, 25 Per tant, l’expressió de la funció que s’optimitzarà depenent només d’una variable és: S(b) = b ⋅ h = b ⋅ (− 4,5 b + 1 440) 3. Busquem els extrems relatius de S(b): 0 = S′(b) = 1 ⋅ (− 4,5 b + 1 440) + b(− 4, 5) = = − 9 b + 1 440 ⇔ b = 160 Comprovem que b = 160 correspon a un màxim de S: S″(b) = − 9 ⇒ S″(160) < 0 ⇒ b = 160 és un màxim relatiu. Com que S és derivable i no té més extrems relatius, b = 160 també és un màxim absolut. La superfície màxima que es pot tancar és: S(160) = 160 ⋅ (−4,5 ⋅ 160 + 1 440) = 115 200 m2 41. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dóna el valor de la maragda després d’haver-la dividit, que dependrà del pes de cada tros. Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre, podem expressar analíticament aquesta funció:

Trobem els punts que anul·len S′. S′(t) = −1,2 t2 + 18 t + 840 = 0 ⇔ ⇔ t2 − 15 t − 700 = 0 ⇔ ⇔t =

15 ± 152 + 4 ⋅ 700 = 2

t = 35  

2. Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola variable si imposem que el tros de maragda que volem dividir pesa 16 g: essent k ∈ + la constant de proporcionalitat que ens dóna el valor d’un tros de maragda a partir del quadrat del seu pes.

+ e0,05 t(− 6,25 ⋅ 10−3) P″(t) = 0,05 ⋅ e0,05 t[0,075 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0)] + P′(t) = e0,05 t[0,075 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0)] Calculem la segona derivada per tal de determinar si es tracta d’un màxim. P ′(t ) = 0 ⇔ t − t 0 =

41. 1. La funció que volem optimitzar és la que ens dóna el valor de la maragda després d’haver-la dividit, que dependrà del pes de cada tros. S(160) = 160 ⋅ (−4,5 ⋅ 160 + 1 440) = 115 200 m2 La superfície màxima que es pot tancar és: Com que S és derivable i no té més extrems relatius, b = 160 també és un màxim absolut. S″(b) = − 9 ⇒ S″(160) < 0 ⇒ b = 160 és un màxim relatiu. Comprovem que b = 160 correspon a un màxim de S: 0 = S′(b) = 1 ⋅ (− 4,5 b + 1 440) + b(− 4, 5) = = − 9 b + 1 440 ⇔ b = 160 3. Busquem els extrems relatius de S(b): S(b) = b ⋅ h = b ⋅ (− 4,5 b + 1 440) Per tant, l’expressió de la funció que s’optimitzarà depenent només d’una variable és: −5, 625 b + 1800 h= = −4, 5 b + 1440 1, 25

0, 075

; t = t 0 + 12

P′(t) = 0 ⇔ 0,2 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0) − 0,125 = 0 P′(t) = e0,05 t[0,05 ⋅ 4 − 0,05 ⋅ 0,125 (t − t0) − 0,125] P′(t) = 0,05 ⋅ e0,05 t[4 − 0,125 (t − t0)] + e0,05 t ⋅ (−0,125) Busquem la primera derivada del preu total i la igualem a zero per tal de determinar els extrems relatius. P(t) = e0,05 t ⋅ [4 − 0,125 (t − t0)] P(t) = V(t) ⋅ p(t)

V(x, y) = k ⋅ x2 + k ⋅ y2 = k ⋅ (x2 + y2) Si anomenem x el pes d’un tros i y el pes de l’altre, podem expressar analíticament aquesta funció:

6, 25 ⋅ 10−3

43. El preu de la fusta serà: p(t) = 4 − 0,125 (t − t0). El preu de venda de la fusta serà el producte del preu per cada metre cúbic multiplicat pel volum. Així: Per tant, el nombre mínim de socis va ser de 12 i el màxim de 23 287. S(0) = 12 ; S(35) = 23 287 ; S(55) = 6 887 Hem vist que en (0, 55) S només té un extrem relatiu i segons el teorema de Weierstrass ha de tenir un màxim i un mínim absoluts en [0, 55]. Així, considerem els extrems d’aquest: Així, estem considerant S(t) en l’interval [0, 55]. 2 000 − 1 945 = 55 Calculem l’interval de temps que considerem, si som en l’any 2000: S″(t) = −2,4 t + 18 ⇒ S″(35) = − 66 < 0 La solució t = −20 no és vàlida perquè no té sentit un temps negatiu. ⇔t =

15 ± 152 + 4 ⋅ 700 = 2

 

V′(x) = k(4 x − 32) , V′(x) = 0 ⇔ x = 8

11. Aplicacions de les derivades

199 2. Podem relacionar les variables a partir del cost de la tanca:

t = −20

La solució t = −20 no és vàlida perquè no té sentit un temps negatiu. S″(t) = −2,4 t + 18 ⇒ S″(35) = − 66 < 0 Calculem l’interval de temps que considerem, si som en l’any 2000: 2 000 − 1 945 = 55 Així, estem considerant S(t) en l’interval [0, 55]. Hem vist que en (0, 55) S només té un extrem relatiu i segons el teorema de Weierstrass ha de tenir un màxim i un mínim absoluts en [0, 55]. Així, considerem els extrems d’aquest: S(0) = 12 ; S(35) = 23 287 ; S(55) = 6 887 Per tant, el nombre mínim de socis va ser de 12 i el màxim de 23 287. 43. El preu de la fusta serà: p(t) = 4 − 0,125 (t − t0). El preu de venda de la fusta serà el producte del preu per cada metre cúbic multiplicat pel volum. Així:

V(x, y) = k ⋅ x2 + k ⋅ y2 = k ⋅ (x2 + y2)

P(t) = V(t) ⋅ p(t)

essent k ∈ + la constant de proporcionalitat que ens dóna el valor d’un tros de maragda a partir del quadrat del seu pes.

P(t) = e0,05 t ⋅ [4 − 0,125 (t − t0)]

2. Podem transformar V(x, y) en funció d’una sola variable si imposem que el tros de maragda que volem dividir pesa 16 g: 16 = x + y ⇒ y = 16 − x

t = −20 t = 35

⇔ t2 − 15 t − 700 = 0 ⇔ S′(t) = −1,2 t2 + 18 t + 840 = 0 ⇔ Trobem els punts que anul·len S′.

aleshores, 1 800 = 5,625 b + 1,25 h 1 800 = 5 b + 0,625 b + 0,625 h + 0,625 h

V(x) = k(x2 + y2) = k(x2 + (16 − x)2) = = k(2 x2 − 32 x + 256)

b Terreny

Camí

S′(t) = −1,2 t2 + 18 t + 840 42. S(t) = −0,2 (2 t3 − 45 t2 − 4 200 t − 60) = = −0,4 t3 + 9 t2 + 840 t + 12 Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, hem de dividir-la en dos trossos de 8 g cadascun (i perquè sigui màxim, no hem de dividir-la).

h

3. Busquem els extrems relatius de V: V′(x) = k(4 x − 32) , V′(x) = 0 ⇔ x = 8

P′(t) = 0,05 ⋅ e0,05 t[4 − 0,125 (t − t0)] + e0,05 t ⋅ (−0,125) P′(t) = e0,05 t[0,05 ⋅ 4 − 0,05 ⋅ 0,125 (t − t0) − 0,125] P′(t) = 0 ⇔ 0,2 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0) − 0,125 = 0 P ′(t ) = 0 ⇔ t − t 0 =

0, 075 6, 25 ⋅ 10−3

; t = t 0 + 12

Calculem la segona derivada per tal de determinar si es tracta d’un màxim. P′(t) = e0,05 t[0,075 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0)] P″(t) = 0,05 ⋅ e0,05 t[0,075 − 6,25 ⋅ 10−3 (t − t0)] + + e0,05 t(− 6,25 ⋅ 10−3)

11. Aplicacions de les derivades

Així, V(x, y) té la següent expressió analítica com a funció de x:

Busquem la primera derivada del preu total i la igualem a zero per tal de determinar els extrems relatius.

2. Podem relacionar les variables a partir del cost de la tanca:

Com que 2 k > 0, la gràfica de V és una paràbola amb les branques cap amunt; per tant, x = 8 correspon al vèrtex, que és un mínim absolut.

199

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 199 C M Y K

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 200

200 P″(t) = e0,05 t[−2,5 ⋅ 10−3 − 3,125 ⋅ 10−4 (t − t )] 0

B ′(x) = 0 ⇒ x =

455 ⋅ 16 000 ⇒ 3

⇒ x = 1 558 articles

(perquè x ha de ser enter i B (1 558) > B (1 557)) B ′′(x) = −

6x 16 000

B″(1 558) < 0 ⇒ és un màxim

11. Aplicacions de les derivades

P″(t0 + 12) = e0,05 (t0 + 12) ⋅ (− 0,006 25) < 0 ⇒ ⇒ és un màxim El moment més rendible per a talar els arbres serà 12 anys desprès que el seu preu sigui de 4 €/m3. 44. Per trobar la concentració màxima, calculem C′(t) i la igualem a zero.

c) Apliquem la funció P(x).

C ′(t) = k ⋅ e1 − t ⋅ (1 − t) C ′(t) = 0 ⇔ 1 − t = 0 ⇔ t = 1

P(1558) = 580 −

Comprovem si es tracta d’un màxim amb la segona derivada: C ″(t) = k ⋅ e1 − t(t − 2) C ″(t) = −k e0 = −k < 0 ⇒ és un màxim

(1558)2 = 428 € 16 000

46. a) La velocitat més econòmica serà la que produeixi un consum mínim. Busquem, per tant, C′(v) i determinem les velocitats que compleixen C′(v) = 0. C ′(v ) =

La concentració en t = 1 será C(1) = k g/l. Per tant, la màxima concentració s’assolirà al cap d’1 h i serà de k g/l.

45.

3 ⋅ e0, 011 v (0, 011 v − 1) v2

C′(v) = 0 ⇔ 0,011 v − 1 = 0 ⇔ v = 90,9 km/h Comprovem que es tracta d’un mínim. C ′′(x) =

x2 P(x) = 580 − ; 16 000

3 ⋅ e0, 011 v ((0, 011)2 v 2 − 0, 022 v + 2) v3

C″(90,9) = 1,1 ⋅ 10−5 > 0 ⇒ és un mínim

⎛ x2 ⎞ x3 I(x) = x ⎜ 580 − = 580 x − 16 000 ⎠⎟ 16 000 ⎝

b) El consum cada 100 km a 90,9 km/h serà de: 1 = 100 ⋅ 0, 089 7 L = 8, 97 L km 100 km ⋅ C (90, 9)

a) G(x) = 250 000 + 125 x B(x) = I(x) − G(x) = x3 = 580 x − − 250 000 − 125 x 16 000 B(x) = 455 x −

47. Activitat TIC. 48. Activitat TIC.

x3 − 250 000 16 000

48. Activitat TIC. 47. Activitat TIC. b) El consum cada 100 km a 90,9 km/h serà de: 1 100 km ⋅ C (90, 9) = 100 ⋅ 0, 089 7 L = 8, 97 L km C″(90,9) = 1,1 ⋅ 10−5 > 0 ⇒ és un mínim v3

b) Trobem B′(x) i determinem quan s’anul·la: 3 x2 16 000

3 x2 16 000

x3 − 250 000 16 000

x3 − 250 000 − 125 x 16 000

x ; 16 000

v2 3 ⋅ e0, 011 v (0, 011 v − 1)

B ′(x) = 455 −

P(x) = 580 −

3 ⋅ e0, 011 v ((0, 011)2 v 2 − 0, 022 v + 2)

Comprovem que es tracta d’un mínim. C′(v) = 0 ⇔ 0,011 v − 1 = 0 ⇔ v = 90,9 km/h C ′(v ) =

46. a) La velocitat més econòmica serà la que produeixi un consum mínim. Busquem, per tant, C′(v) i determinem les velocitats que compleixen C′(v) = 0. P(1558) = 580 −

(1558)2 = 428 € 16 000

c) Apliquem la funció P(x). 11. Aplicacions de les derivades

B ′(x) = 455 −

b) Trobem B′(x) i determinem quan s’anul·la: B(x) = 455 x − = 580 x −

B(x) = I(x) − G(x) = a) G(x) = 250 000 + 125 x ⎛ x2 ⎞ x3 I(x) = x ⎜ 580 − = 580 x − ⎟ 16 000 ⎠ 16 000 ⎝ 45.

C ′′(x) =

2

Per tant, la màxima concentració s’assolirà al cap d’1 h i serà de k g/l. La concentració en t = 1 será C(1) = k g/l. C ″(t) = −k e0 = −k < 0 ⇒ és un màxim Comprovem si es tracta d’un màxim amb la segona derivada: C ″(t) = k ⋅ e1 − t(t − 2) C ′(t) = 0 ⇔ 1 − t = 0 ⇔ t = 1 C ′(t) = k ⋅ e1 − t ⋅ (1 − t) 44. Per trobar la concentració màxima, calculem C′(t) i la igualem a zero.

B″(1 558) < 0 ⇒ és un màxim B ′′(x) = −

El moment més rendible per a talar els arbres serà 12 anys desprès que el seu preu sigui de 4 €/m3. ⇒ és un màxim

6x 16 000

(perquè x ha de ser enter i B (1 558) > B (1 557)) ⇒ x = 1 558 articles

P″(t0 + 12) = e0,05 (t0 + 12) ⋅ (− 0,006 25) < 0 ⇒ P″(t) = e0,05 t[−2,5 ⋅ 10−3 − 3,125 ⋅ 10−4 (t − t0)]

455 ⋅ 16 000 ⇒ 3

B ′(x) = 0 ⇒ x =

200

11 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:10

Página 200

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

201 = 1⋅4 +

∫

0 1

1⋅1 9 = 2 2

= 1⋅3 +

f (x) dx = A 1 + A 2 =

∫

0 1

1⋅2 =4 2

2, 83 ⎞ ⎛ 0, 69 ≈ 3⎜ + 0, 61 + 2 + 2, 42 + 2, 64 + = 31, 29 ⎝ 2 2 ⎠⎟

∫

2

g(x) dx = B1 + B2 =

f (x) dx ≈

17

13:15

Página 201

12 Integrals i aplicacions

Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis considerant les dades del problema: 1. ÀREA SOTA UNA CORBA

Y

Y

17 − 2 =3 5

h= 1. El procediment 1 ens dóna aproximacions per defecte. Per exemple:

7

C2

3x +

X

1

1

1

1 1 1 1 1 7 ⎛ 3⎞ 1 s2 = f ⎜ ⎟ ⋅ + f (2) ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⎝ 2⎠ 2 3 2 2 2 12 2 2

x) =

1

X

Calculem h:

3. Observem que el nombre de punts és 6, que determinen 5 subintervals.

B1

A1 B2

)=

f(x

+ g(

∫

=

x

1

f (x) dx −

1

g(x) dx =

9 1 −4 = 2 2

= ∫ (f(x) + g(x))dx = 2 9 17 = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = 2 + 4 = 2 ∫ (f(x) − g(x))dx = 1 = 2

2x

+

C1

D1

4

+3

S2 = f (1) ⋅

0

1

0

0

Y

Y

∫

0

0

A2

g (x) =

El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés. Per exemple:

f(x) – g(x) = – x + 1 1

f(x)

12 Integrals i aplicacions

27/5/09

1

1 ⎛ 3⎞ 1 1 1 1 1 5 +f⎜ ⎟⋅ = ⋅ + ⋅ = ⎝ 2⎠ 2 1 2 3 2 6 2 2

X

1

X

1

1

1

0

17

L’àrea A considerada és, doncs: 2. Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida per la gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b, podem calcular fàcilment:

0, 58 =

7 5 = s2 ≤ A ≤ S2 = = 0, 83 12 6

1

1

∫ (f(x) + g(x))dx =

∫ (f(x) − g(x))dx =

0

0

= C1 + C2 = 2. INTEGRAL DEFINIDA

= 1⋅7 +

2. Com que la integral definida d’una funció positiva en [a, b] coincideix amb l’àrea de la regió definida per la gràfica de la funció, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b, podem calcular fàcilment:

= D1 =

1 ⋅ 3 17 = 2 2

Comprovem que es compleix ID.1: 1

= 1⋅7 +

2. INTEGRAL DEFINIDA

1

Comprovem que es compleix ID.1: 1 ⋅ 3 17 = 2 2

= C1 + C2 = 0, 58 =

7 5 = s2 ≤ A ≤ S2 = = 0, 83 12 6

= D1 =

∫ (f(x) + g(x))dx = 0

1

1⋅1 1 = 2 2

∫ (f(x) − g(x))dx = 0

1

L’àrea A considerada és, doncs:

0

1

Y

0

1

3

X

1

1

4 + x

El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés. Per exemple:

0

g(x

)=

f(x )=

1

0

2x +

1

1 ⎛ 3⎞ 1 1 1 1 1 5 S2 = f (1) ⋅ + f ⎜ ⎟ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⎝ ⎠ 3 2 2 2 1 2 2 6 2

1

g(x)

A2

1

1

0

0

f(x) – g(x) = – x + 1

= 3x

B2

+7

1 1 1 1 1 7 ⎛ 3⎞ 1 s2 = f ⎜ ⎟ ⋅ + f (2) ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⎝ ⎠ 3 2 2 2 2 2 2 12 2

X

D1

C1

f(x) +

∫ (f(x) + g(x))dx = 9 17 = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = 2 + 4 = 2 1 = (f (x) − g(x)) dx = 2 ∫ 9 1 = ∫ f(x)dx − ∫ g(x)dx = 2 − 4 = 2 17 = 2

Y

1⋅1 1 = 2 2

A1 1

1

C2

1. El procediment 1 ens dóna aproximacions per defecte. Per exemple:

1

X

3. Observem que el nombre de punts és 6, que determinen 5 subintervals.

B1 1

X

Calculem h: h=

17 − 2 =3 5

Y

1. ÀREA SOTA UNA CORBA

Y

12 Integrals i aplicacions 12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 201 C M Y K

∫

1

0

f (x) dx = A 1 + A 2 =

= 1⋅4 +

1⋅1 9 = 2 2

∫

1

0

g(x) dx = B1 + B2 =

= 1⋅3 +

1⋅2 =4 2

∫

17

f (x) dx ≈

2

2, 83 ⎞ ⎛ 0, 69 ≈ 3⎜ + 0, 61 + 2 + 2, 42 + 2, 64 + = 31, 29 ⎝ 2 2 ⎟⎠

12 Integrals i aplicacions

Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis considerant les dades del problema:

201

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 202

202 4. Desenvolupem el mètode dels trapezis, prenent n = 10.

0

x

0,1

3. PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES 6.

1− 0 = 0, 1 10

0,2

x7 +1 x8 a) ∫ x 7 dx = +C = +C + 7 1 8 x −4 + 1 1 1 +C = − 3 +C −4 + 1 3x b) c)

0,3

0,4

0,5

7.

0,99 0,9608 0,9139 0,8521 0,7788 0,6

0,7

0,8

0,9

∫x

∫5

∫

x

5

4

dx =

dx =

∫x

−4

dx =

5x +C ln 5

∫

3

3

+1

x5 5 x 3 dx = x 5 dx = + C = x 5 x3 + C 3 8 +1 5

a) ∫ (x + 1) dx = ∫ (x + 2 x + 1) dx = = ∫ x 2 dx + ∫ 2 x dx + ∫ 1 dx = 2 ∫ x dx + 2 ∫ x dx + ∫ dx = 2

2

=

1

0,6977 0,6126 0,5273 0,4449 0,3679

=

3. Apliquem la fórmula dels trapezis: b)

∫

x 2 +1 x1+1 x3 + x2 + x + C +2 +x+C= 3 2+1 1+1

1⎞ 1 1 ⎛1 dx = dx + dx = + ⎝⎜ x x 3 ⎠⎟ x x3 1 x −3 + 1 + C = ln | x | − +C −3 + 1 2 x2

∫

∫

= ln | x | +

8. 5. Desenvolupem el métode dels trapezis, prenent n = 8.

a) ∫ (x 4 − 3 x)5 (4 x 3 − 3) dx =

(x 4 − 3 x)5 + 1 +C = 5+1

(x 4 − 3 x)6 +C 6

b) ∫ cotg x dx = ∫ dx = ln sin x + C sin x 1 1 ∫ 3 ⋅ 3 x e dx = 3 ∫ e 3 x dx = cos x

Els punts que obtenim són:

c)

x0 = 0 ; x1 = 0,125 ; x2 = 0,250 ; ... ; x8 = 1 2. Construïm la taula amb els punts obtinguts i llurs imatges per la funció integrant:

d) 0,125 0,250 0,375

0,5

∫x

2

3

e x dx =

2

x3

x3

x2 x2 1 dx = dx = ⋅3⋅ 3 3 x3 + 2 x +2 3 x2 1 dx = ln x 3 + 2 + C 3 3 +2

∫

1 x e +C 3

=

2

3

∫

1 3

=

0,25 0,249 0,2462 0,2415 0,2353 1

∫x

9. a) 1. Substituïm la variable x per t.

0,2

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 1 x + 2 = t. 3

3. Apliquem la fórmula dels trapezis:

∫

Per tant:

1 dx = dt ⇒ dx = 3 dt 3

Substituint en la integral: ⎛1

⎞

8

8

⋅ 3 dt

12 Integrals i aplicacions202

1. Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals: h=

Els punts que obtenim són: x0 = 0 ; x1 = 0,1 ; x2 = 0,2 ; ... ; x10 = 1

d) 2. Construïm la taula amb els punts obtinguts i llurs imatges per la funció integrant:

1

y x y

⋅ 3 dt

2

8

dx =

+1

1 1 ⎛ 0, 25 dx ≈ 0, 125 ⎜ + 0, 249 + 0, 2462 + 2 ⎝ 2 0 x + 4 + 0, 2415 + 0, 2353 + 0, 2278 + 0, 2192 + 0, 2098 +

3

0, 2 ⎞ + = 0, 2317 2 ⎠⎟

3

1

x5 5 dx = + C = x 5 x3 + C 3 8 +1 5

∫

∫t

x2

2

1 ⎛1 e− x dx ≈ 0, 1 ⎜ + 0, 99 + 0, 9608 + 0, 9139 + ⎝2 0 + 0, 8521 + 0, 7788 + 0, 6977 + 0, 6126 + 0, 5273 +

8

3

x3

0, 3679 ⎞ = 0, 7462 2 ⎠⎟

1

x3

1

∫

3 x5

5x +C ln 5

+ 0, 4449 +

∫ 3 ⋅3⋅ x 2

=

3

1. Dividim l’interval [0, 1] en vuit parts iguals:

ex

1− 0 = 0, 125 8

2

dx =

h=

dx =

∫x

cos x

1⎞

x dx = 3

x

0

∫

⎛1 ⎞ ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ dx = 3

Substituint en la integral: Per tant:

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable 1 x + 2 = t. 3 9. a) 1. Substituïm la variable x per t. x2

c)

∫5

x

0,2

∫

3

3

∫ cotg x dx =

(x 4 − 3 x)5 + 1 +C = 5+1

1 x −3 + 1 + C = ln | x | − +C −3 + 1 2 x2

3

⎛1

2

a) ∫ (x + 1)2 dx = ∫ (x 2 + 2 x + 1) dx = c)

x7 +1 x8 +C = +C 7 +1 8 x −4 + 1 1 1 dx = ∫ x −4 dx = +C = − 3 +C 4 −4 + 1 x 3x

y

0,2278 0,2192 0,2098

dx = +2 +2 3 x2 1 1 dx = ln x 3 + 2 + C = 3 3 x3 + 2

∫x

1 x e +C 3

∫ sin x dx = ln sin x + C 1 1 dx = ∫ 3 ⋅ 3 x e dx = 3 ∫ e 3 x dx =

b)

= ln | x | +

∫ ⎜⎝ x + x ⎟⎠ dx = ∫ x dx + ∫ x =

7.

∫

dx =

0,625 0,750 0,875

y

0,5

x 2 +1 x1+1 x3 + x2 + x + C +2 +x+C= 3 2+1 1+1

∫ x dx + ∫ 2x dx + ∫ 1 dx = = ∫ x 2 dx + 2 ∫ x dx + ∫ dx =

1

0,99 0,9608 0,9139 0,8521 0,7788 0,4

b)

7

0,2278 0,2192 0,2098

1 0,5

0,9

1

0,3

∫x

y

0,625 0,750 0,875 0,125 0,250 0,375 0,8

y

0,2

∫

5

a)

x

x

0,25 0,249 0,2462 0,2415 0,2353 0

1− 0 = 0, 125 8

(x 4 − 3 x)6 +C 6

a) ∫ (x 4 − 3 x)5 (4 x 3 − 3) dx =

0, 3679 ⎞ = 0, 7462 2 ⎟⎠ 0,7

0,1

6.

∫ ⎝⎜ 3 x + 2⎠⎟ dx = ∫ t

0, 2 ⎞ = 0, 2317 2 ⎟⎠

1 dx = dt ⇒ dx = 3 dt 3

0

∫

b)

2

=

0,6977 0,6126 0,5273 0,4449 0,3679 0,6 0

d) 1− 0 = 0, 1 10

3. PRIMITIVES I INTEGRALS INDEFINIDES

202

13:15

202

27/5/09

12 Integrals i aplicacions202

202 +

1 ⎛ 0, 25 dx ≈ 0, 125 ⎜ + 0, 249 + 0, 2462 + ⎝ 2 x2 + 4 + 0, 2415 + 0, 2353 + 0, 2278 + 0, 2192 + 0, 2098 +

∫

1

3. Apliquem la fórmula dels trapezis: y x

d) 2. Construïm la taula amb els punts obtinguts i llurs imatges per la funció integrant:

= x0 = 0 ; x1 = 0,125 ; x2 = 0,250 ; ... ; x8 = 1 Els punts que obtenim són: h=

1. Dividim l’interval [0, 1] en vuit parts iguals: = 5. Desenvolupem el métode dels trapezis, prenent n = 8. 8. + 0, 4449 +

⎛1 e− x dx ≈ 0, 1 ⎜ + 0, 99 + 0, 9608 + 0, 9139 + ⎝2 0 + 0, 8521 + 0, 7788 + 0, 6977 + 0, 6126 + 0, 5273 + 1

3. Apliquem la fórmula dels trapezis: y x x

2. Construïm la taula amb els punts obtinguts i llurs imatges per la funció integrant: x0 = 0 ; x1 = 0,1 ; x2 = 0,2 ; ... ; x10 = 1 Els punts que obtenim són: h=

1. Dividim l’interval [0, 1] en deu parts iguals: 4. Desenvolupem el mètode dels trapezis, prenent n = 10. 12 Mates CSS_Guia.qxd

Página 202

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

C M Y K

= − x cos x + sin x + C

∫ x sin x dx = − x cos x − ∫ − cos x dx =

x2 − 2 x − 15 = 0 ⇔ x = −3 o x = 5 12. 1. Trobem els zeros de f:

Obtenim u = x ⇒ du = 1 dx dv = sin x dx ⇒ v = − cos x + C

Página 203

2. Calculem la nova integral:

∫ 3t

8 dt = 3 ∫ t 8 dt = 3

b)

t9 t9 +C = +C 9 3

∫3xe

x

dx = 3 ∫ x e x dx

Segons el canvi u = x ⇒ du = 1 dx

3. Desfem el canvi de variable:

dv = e x dx ⇒ v = e x + C 9

Considerem el canvi:

∫ x sin x dx

π = sin π − sin = 0 − 1 = 1 ⇒ A = 1 u2 2 A =

∫

π 2 π

2

cos x dx = ⎡sin x⎤ π = ⎢⎣ ⎥⎦

12 Integrals i aplicacions

203 ⎛l

⎞

∫ ⎝⎜ 3 x + 2⎠⎟

8

dx =

⎛l ⎞ x + 2⎟ ⎝⎜ ⎠ t9 +C= 3 +C 3 3

Quedaria la integral 3 ∫ x e x dx = 3 (x e x − ∫ e x dx)

10. a)

= 3 (x e x − e x ) + C = 3 (x − 1) e x + C

b) 1. Substituïm la variable x per t.

= ln(1 + e x ) + C

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable sin x = t.

ln 1 + t + C = ln 1 + e

x

π

⎛π ⎞ 2. La funció f no té zeros en ⎜ , π ⎟ ; per tant, l’àrea ⎝2 ⎠ demanada és: +C=

cos x = 0 ⇔ x =

c)

Per tant:

π + k π, k ∈  2

11. 1. Trobem els zeros de f: Substituint en la integral:

∫

cos x sin x

∫

dx =

∫x

5

ln x dx

Amb el canvi següent 1 u = ln x ⇒ du = dx x 1 6 x +C 6

cos x dx = dt

3. Desfem el canvi de variable:

∫ 1 + t dt = ln |1 + t | + C 1

4. APLICACIONS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

2. Calculem la nova integral:

∫

ex dx = 1 + ex

∫

1 dt 1+t

dv = x 5 dx ⇒ v =

1 dt t

D’on 1 6 5 ∫ x ln x dx = 6 x ln x − 1 1 5 = x 6 ln x − x dx 6 6 1 1 1 = x 6 ln x − ⋅ x 6 + C 6 6 6 1 ⎞ ⎛ 1 = x6 ⎜ − + ln x ⎟ + C ⎠ ⎝ 36 6

2. Calculem la nova integral:

∫

Substituïm aquestes expressions en la integral inicial:

=

1 3x xe 3

∫ xe

3x

sin x cos x

dx = 2 t + C = 2 sin x + C

t

dt =

∫t

−

1 2

dt =

∫ xe

3x

t +C = 2 t +C 1 2

∫

dx =

1 3x 1 3x xe − e dx 3 3 1⎞ 1 1 1 ⎛ − ⋅ e3 x + C = e3 x ⎜ x − ⎟ + C ⎝ 3 3⎠ 3 3

∫

dv = e3 x dx ⇒ v =

1 2x e +C 3

Segons el canvi u = x ⇒ du = 1 dx d)

cos x sin x

dx = 2 t + C = 2 sin x + C

d)

∫ xe

3x

6

1 dx x

1 2x e +C 3

∫

1 3x 1 3x 3x ∫ x e dx = x e − e dx 3 3 1⎞ 1 3x 1 1 3x 1 ⎛ x e − ⋅ e + C = e3 x ⎜ x − ⎟ + C ⎝ 3 3⎠ 3 3 3

dx = ∫ 1 + t dt 1

x

1

dx

dv = e3 x dx ⇒ v =

ex dx = dt

Quedaria la integral

Substituïm aquestes expressions en la integral inicial: ex

∫1+ e

∫6x

∫

1

− 1 t dt = ∫ t 2 dt = +C = 2 t +C 1 2

t

3. Desfem el canvi de variable:

∫

Segons el canvi u = x ⇒ du = 1 dx

c) 1. Substituïm la variable x per t. Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable ex = t. Per tant:

3. Desfem el canvi de variable:

∫

1

sin x cos x

dx =

Quedaria la integral

ex dx = dt c) 1. Substituïm la variable x per t. Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable ex = t. Per tant:

∫

dx 1 6 x ln x − 6 1 1 5 = x 6 ln x − x dx 6 6 1 1 1 = x 6 ln x − ⋅ x 6 + C 6 6 6 1 ⎞ ⎛ 1 = x6 ⎜ − + ln x ⎟ + C ⎠ ⎝ 36 6

∫

∫x

2. Calculem la nova integral:

=

2. Calculem la nova integral:

∫

1 dt t

5

ln x dx =

∫6x 1

6

1 dx x

D’on 1 dx x 1 dv = x 5 dx ⇒ v = x 6 + C 6

∫

Substituint en la integral:

1 dt = ln | 1 + t | + C 1+t

4. APLICACIONS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 11. 1. Trobem els zeros de f:

u = ln x ⇒ du =

3. Desfem el canvi de variable:

cos x dx = dt

Amb el canvi següent

Per tant:

cos x = 0 ⇔ x =

ln 1 + t + C = ln 1 + e x + C =

Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable sin x = t.

c)

∫x

ln x dx

5

= 3 (x e x − e x ) + C = 3 (x − 1) e x + C

10. a)

π + k π, k ∈  2

⎛π ⎞ 2. La funció f no té zeros en ⎜ , π ⎟ ; per tant, l’àrea ⎝2 ⎠

= ln(1 + e x ) + C

b) 1. Substituïm la variable x per t.

demanada és:

∫ x sin x dx

∫

A =

Considerem el canvi: u = x ⇒ du = 1 dx dv = sin x dx ⇒ v = − cos x + C

π π 2

= sin π − sin

π

cos x dx = ⎡sin x⎤ π = ⎣⎢ ⎦⎥ 2

π = 0 − 1 = 1 ⇒ A = 1 u2 2

Obtenim

∫ x sin x dx = − x cos x − ∫ − cos x dx =

12. 1. Trobem els zeros de f: x2 − 2 x − 15 = 0 ⇔ x = −3 o x = 5

= − x cos x + sin x + C

12 Integrals i aplicacions

∫

3 ∫ x e x dx = 3 (x e x − ∫ e x dx)

⎛l ⎞ 8 ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ t9 ⎛l ⎞ 3 +C= +C ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ dx = 3 3 3

Quedaria la integral

9

dv = e x dx ⇒ v = e x + C

3. Desfem el canvi de variable:

∫ 3t

8

u = x ⇒ du = 1 dx

t t +C = +C 9 3

dt = 3 ∫ t 8 dt = 3

9

Segons el canvi

9

b)

2. Calculem la nova integral:

∫3xe

x

dx = 3 ∫ x e x dx

203

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 203

27/5/09

13:15

Página 204

−3

∫−4 f(x)dx

+

5

∫−3 f(x)dx

2

+

7

∫5 f(x)dx

− 2 x − 15) dx =

14. 1. Trobem els zeros de f: x3 + x2 − 10 x + 8 = 0 ⇔ ⇔ x = −4 , x = 1 o x = 2 2. Els zeros de f determinen els intervals següents: [−4, 1] i [1, 2] L’àrea demanada és, doncs: 1

2

A = F(−3) − F(−4) + F(5) − F(−3) +

A = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = = ∫ (x + x − 10 x + 8)dx + ∫ (x + x − 10 x + 8)dx =

x3 F(x) = − x 2 − 15 x 3

x3 = − x 2 − 15 x + C 3

−4

1

La primitiva obtinguda en fer C = 0 és:

3

1

2

−4

+

2

3

2

1

1

Finalment:

∫ −1

−3

−3

−5

2

175 68 + − − 27 + 3 3

⎡ x 4 x3 ⎤ + ⎢ + − 5 x2 + 8 x ⎥ = 3 ⎣ 4 ⎦1

=

43 ⎛ 208 ⎞ 8 43 = − ⎜− − = ⎟ + 12 ⎝ 3 ⎠ 3 12 875 11 443 443 2 u + = ⇒ A = 12 12 6 6

15. Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpid que el geomètric:

(x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx +

1. Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfiques de f i g: f (x) = g(x) ⇔ x = x 2 − 2 x − 8 ⇔ ⇔x=

3−

−3

41 2

= −1, 7 o x =

3+

41 2

= 4, 7

2. Com que no existeixen punts de tall en [−1, 2], l’àrea demanada és:

(x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx +

2

∫−1(f(x) − g(x))dx

A =

3

2

∫−1(− x

=

2 (x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx =

−1

⎡ x 4 2 x3 5 x 2 ⎤ = ⎢ + − − 6 x⎥ + 3 2 ⎣ 4 ⎦ −5 −1

⎡ x 4 2 x3 5 x 2 ⎤ + + ⎢ + − − 6 x⎥ 3 2 ⎣ 4 ⎦ −3

2

=

+ 3 x + 8) dx = 2

2 ⎡ 3 ⎤ 3 x x 58 ⎛ 37 ⎞ = − ⎜− ⎟ = = ⎢− + + 8 x⎥ 2 3 ⎝ 6⎠ ⎣ 3 ⎦ −1 51 51 2 u ⇒ A = 2 2

=

16. 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions: f(x) = g(x) ⇔ sin x = cos x ⇔ sin x π = 1 ⇔ x = + k π , k ∈ cos x 4 π ; per 4

tant, l’àrea buscada serà:

12 Integrals i aplicacions204

2. Els dos zeros es troben entre −4 i 7; per tant, l’àrea demanada és A =

Per a calcular les integrals emprarem la regla de Barrow:

∫ f(x)dx = ∫ (x

⎡ x 4 x3 ⎤ = ⎢ + − 5 x2 + 8 x ⎥ + 3 ⎣ 4 ⎦ −4

+ F(7) − F(5) = = 27 −

119 175 13 256 56 ⎛ ⎞ = − ⎜− = + + ⎝ 3 ⎠⎟ 3 3 3 3

+ −

325 325 2 u = ⇒ A = 3 3 13. 1. Trobem els zeros de f: x3 + 2 x2 − 5 x − 6 = 0 ⇔ ⇔ x = −1 , x = 2 o x = −3 3⎞ ⎛ 2. En ⎜ −5, ⎟ tan sols hi ha dos zeros de f, x =−3 ⎝ 2⎠ i x = −1; per tant, l’àrea demanada és: A =

∫

= 4, 7

3

41

+ ∫

+ 3 x + 8) dx = = 2 3+

f (x) dx =

⎡ 4 2 x3 5 x 2 ⎤2 x = + ⎢ + − − 6 x⎥ 3 2 ⎣ 4 ⎦ −1

2

2

+

π ; per 4

sin x π = 1 ⇔ x = + k π , k ∈ cos x 4 2

= −1, 7 o x = 2

2

∫

1

f (x) dx +

12 Mates CSS_Guia.qxd

204 tant, l’àrea buscada serà: 2. Entre 0 i π hi ha un únic punt de tall x = ⇔ tg x =

f(x) = g(x) ⇔ sin x = cos x ⇔ 16. 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions: 2

∫−1(− x 2

41 3

3

1

−4 1

L’àrea demanada és, doncs: 2. Els zeros de f determinen els intervals següents: [−4, 1] i [1, 2]

⇔ tg x =

3 ⎤2

⎡ x3 3 x 2 ⎤ 58 ⎛ 37 ⎞ = − ⎜− ⎟ = = ⎢− + + 8 x⎥ 2 3 ⎝ 6⎠ ⎣ 3 ⎦ −1 51 51 2 u = ⇒ A = 2 2 =

∫−1(f(x) − g(x))dx

A =

2. Com que no existeixen punts de tall en [−1, 2], l’àrea demanada és: 2 3− 1

2

−4

=

∫

A =

∫5 f(x)dx

2. Entre 0 i π hi ha un únic punt de tall x =

2

(x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx = (x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx + +

5 2 725 128 16 = − + + − = 192 3 3 128 16 2 725 11941 = + + = ⇒ 3 3 192 192 11941 2 u 192

−1 3 2

−3 −1

(x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6) dx +

⇔x=

f (x) = g(x) ⇔ x = x 2 − 2 x − 8 ⇔ 1. Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfiques de f i g: 15. Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpid que el geomètric: 43 ⎛ 208 ⎞ 8 43 − ⎜− − = ⎟ + 12 ⎝ 3 ⎠ 3 12 875 11 443 443 2 u = + = ⇒ A = 12 12 6 6 =

x3 − x 2 − 15 x 3

∫−3 f(x)dx

+

x3 + x2 − 10 x + 8 = 0 ⇔ ⇔ x = −4 , x = 1 o x = 2

7

⇒ A =

3

−1

−3

∫ ∫

−5 −3

325 325 2 u ⇒ A = 3 3 175 68 + − − 27 + 3 3

2

A = F(−3) − F(−4) + F(5) − F(−3) +

1

∫−4 f(x)dx

5

12 Integrals i aplicacions204

204 5 2 725 128 16 + + − = 192 3 3 128 16 2 725 11941 = + + = ⇒ 3 3 192 192 11941 2 ⇒ A = u 192 = −

⎡x 2x 5x = + ⎢ + − − 6 x⎥ 4 3 2 ⎣ ⎦ −1 4

⎡ x 4 2 x3 5 x 2 ⎤ + + ⎢ + − − 6 x⎥ 3 2 ⎣ 4 ⎦ −3 ⎡ x 4 2 x3 5 x 2 ⎤ = ⎢ + − − 6 x⎥ + 3 2 ⎣ 4 ⎦ −5 + +

∫

A =

i x = −1; per tant, l’àrea demanada és: 3⎞ ⎛ 2. En ⎜ −5, ⎟ tan sols hi ha dos zeros de f, x =−3 ⎝ 2⎠ x3 + 2 x2 − 5 x − 6 = 0 ⇔ ⇔ x = −1 , x = 2 o x = −3 13. 1. Trobem els zeros de f: =

119 ⎛ 175 ⎞ 13 256 56 = − ⎜− = + + ⎝ 3 ⎟⎠ 3 3 3 3

+ −

= 27 −

⎡ x 4 x3 ⎤ + ⎢ + − 5 x2 + 8 x ⎥ = 3 ⎣ 4 ⎦1

+ F(7) − F(5) =

⎡ x 4 x3 ⎤ = ⎢ + − 5 x2 + 8 x ⎥ + 3 ⎣ 4 ⎦ −4

Finalment: F(x) =

∫ (x + x − 10 x + 8)dx + + ∫ (x + x − 10 x + 8)dx =

La primitiva obtinguda en fer C = 0 és: x3 = − x 2 − 15 x + C 3 2 ∫ f(x)dx = ∫ (x − 2 x − 15)dx =

Per a calcular les integrals emprarem la regla de Barrow: A =

−3

2. Els dos zeros es troben entre −4 i 7; per tant, l’àrea demanada és

14. 1. Trobem els zeros de f:

204

27/5/09

13:15

204

12 Mates CSS_Guia.qxd

Página 204

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 205

0

⎡ x 4 3 x 2 x3 ⎤ + = ⎢ − + ⎥ 2 6 ⎦ −2 ⎣ 4

(cos x − sin x) dx +

∫

0

0

+

⎛ x2 ⎞ ⎞ x 3 − 3 x − ⎜ − ⎟ ⎟ dx = ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝⎜

3 ⎛ 2

+

∫

F(x) =

x3 1 + 2 x2 − x − 3 3

−2 ⎝

=

∫

π

π

(cos x − sin x) dx = ⎡ sin x + cos x ⎤ 4 + π ⎣⎢ ⎦⎥ 0 4

π

+ ⎡ sin x + cos x ⎤ π ⎣⎢ ⎦⎥

+

0

∫

0 3 2

2 ⎞⎞ ⎛ ⎛ x 3 ⎜ x − 3 x − ⎝⎜ − ⎟⎠ ⎠⎟ dx + 2

=

2 − 1 + −1 −

2 =

4

=

2 −1+1+

2 = 2 2 ⇒ A = 2 2 u2

3

⎡ x 4 3 x 2 x3 ⎤ 2 + ⎢ − + ⎥ = 2 6 ⎦0 ⎣ 4 99 ⎛ 10 ⎞ = 0 − ⎜− ⎟ + − −0 = ⎝ 3⎠ 64 10 99 937 937 2 u = + = ⇒ A = 3 64 192 192

(f (x) − g(x)) dx =

∫−2 (f(x) − g(x))dx

A =

Per tant, la primitiva buscada és: 1 = F(1) =

+

0

17. a) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions:

18. Calculem el nombre de cotxes venuts en el primer semestre del primer any:

a) Trobem la funció primitiva F que passa per A = (1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:

Per tant, l’àrea buscada és:

f(x) = g(x) ⇔ x2 − 3 x = −x2 + 5 x ⇔

⎣

2⎦

[ −2, 0 ] i ⎢⎡ 0, 3 ⎥⎤

⇔ x=0 o x=4

∫ f(x)dx = ∫ (x

2. Els punts de tall determinen dos intervals: x=0ox=

F(180) − F(0) =

∫

180

t

8 e 90 dt =

0

2. Els punts de tall defineixen un únic interval, [0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per les gràfiques és:

= 8 ⋅ 90

∫

180

0

1 90

t e 90

180

t ⎤ ⎡ dt = ⎢⎣ 720 e 90 ⎥⎦0

=

= 720 e2 − 720 = 4 600 unitats 4

∫0 (f(x) − g(x))dx

A =

3 2

f (x) = g(x) ⇔ x 3 − 3 x = −

13 1 + 2 ⋅ 12 − 1 + C ⇒ C = − 3 3

12 Integrals i aplicacions

205

∫

A =

π 4

4

∫0

+ 4 x − 1) dx =

2

x3 + 2 x2 − x + C 3

19. Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és la seva integral indefinida: RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

x2 ⇔ x = − 2, 2

=

=

(x 2 − 3 x) − (− x 2 + 5 x)) dx =

Calculem el nombre de cotxes venuts en el segon semestre del primer any:

4

⎡ 2 x3 ⎤ = ∫ (2 x − 8 x) dx = ⎢ − 4 x2 ⎥ = 0 ⎣ 3 ⎦0 4

2

b) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions:

Hem obtingut que el nombre de cotxes venuts en el segon semestre del primer any és més gran que el nombre de cotxes venuts en el primer. = 720 e4 − 720 e2 = 33 3 991 unitats

64 2 64 64 ⇒ A = u = − −0 = 3 3 3

F(360) − F(180) =

∫

360

t

8 e 90 dt =

180

= 8 ⋅ 90

∫

360

∫

180

= −

180

1 90

t e 90

360

t ⎤ ⎡ dt = ⎢⎣ 720 e 90 ⎥⎦180 =

= 720 e4 − 720 e2 = 33 3 991 unitats

= 8 ⋅ 90

64 2 64 64 ⇒ A = u −0 = 3 3 3

⎡ 2 x3 ⎤ 4 = ∫ (2 x 2 − 8 x) dx = ⎢ − 4 x2 ⎥ = 0 ⎣ 3 ⎦0

b) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions:

t t ⎤ 360 ⎡ 1 90 e dt = ⎣⎢ 720 e 90 ⎦⎥180 = 90 360

F(360) − F(180) = ∫

180 360

8 e 90 dt = t

4

∫0 (x

=

4

f (x) = g(x) ⇔ x 3 − 3 x = −

2

A =

− 3 x) − (− x 2 + 5 x)) dx =

∫0 (f(x) − g(x))dx 4

Calculem el nombre de cotxes venuts en el segon semestre del primer any:

=

= 720 e2 − 720 = 4 600 unitats

x=0ox=

x2 ⇔ x = − 2, 2

RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES

3 2

2. Els punts de tall determinen dos intervals:

2. Els punts de tall defineixen un únic interval, [0, 4], per la qual cosa l’àrea limitada per les gràfiques és:

∫

0

= 8 ⋅ 90

t t ⎤ 180 ⎡ 1 e 90 dt = ⎣⎢ 720 e 90 ⎦⎥0 90

=

180

F(180) − F(0) = ∫

0

⇔ x=0 o x=4

180

8 e 90 dt = t

f(x) = g(x) ⇔ x2 − 3 x = −x2 + 5 x ⇔

Per tant, l’àrea buscada és: 0

∫−2 (f(x) − g(x))dx

17. a) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues funcions: =

2 −1+1+

2 = 2 2 ⇒ A = 2 2 u2 4

+ ⎡ sin x + cos x ⎤ π ⎣⎢ ⎦⎥ π

= + +

∫

0

+

(f (x) − g(x)) dx =

⎛ 3 ⎛ x2 ⎞ ⎞ ⎜⎝ x − 3 x − ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟⎠ dx + 2 −2

∫ ∫

0

3 ⎛ 2

∫

π 4 π

=

2 − 1 + −1 −

2 =

(cos x − sin x) dx = ⎡ sin x + cos x ⎤ 4 + ⎣⎢ ⎦⎥ 0 π

∫

0

0

⎛ x2 ⎞ ⎞ ⎜⎝ x − 3 x − ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟⎠ dx = 2 3

2

+ 4 x − 1) dx =

x3 + 2 x2 − x + C 3

a) Trobem la funció primitiva F que passa per A = (1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:

1 = F(1) =

13 1 + 2 ⋅ 12 − 1 + C ⇒ C = − 3 3

Per tant, la primitiva buscada és: F(x) =

x3 1 + 2 x2 − x − 3 3

12 Integrals i aplicacions

+

3 2

19. Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és la seva integral indefinida:

∫ f(x)dx = ∫ (x

[ −2, 0 ] i ⎡⎢ 0, 3 ⎤⎥ ⎣ 2⎦

18. Calculem el nombre de cotxes venuts en el primer semestre del primer any:

A =

Hem obtingut que el nombre de cotxes venuts en el segon semestre del primer any és més gran que el nombre de cotxes venuts en el primer.

A =

π 4

(cos x − sin x) dx +

=

99 ⎛ 10 ⎞ = 0 − ⎜− ⎟ + − −0 = ⎝ 3⎠ 64 10 99 937 937 2 u + = ⇒ A = 3 64 192 192 3 ⎤2 ⎡ 4 3 x2 x x + ⎢ − + ⎥ = 2 6 ⎦0 ⎣ 4 3

⎡ x 4 3 x 2 x3 ⎤ + = ⎢ − + ⎥ 2 6 ⎦ −2 ⎣ 4 0

205

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 205 C M Y K

m

Y y–x=3

3

Per tant, la primitiva buscada és:

A

x3 8 + 2 x2 − x − 3 3

X x+y=0

20. El conjunt de primitives de f és:

∫ f(x)dx = ∫ ln x dx

x=1

Observem que l’àrea A que hem de calcular és la compresa entre les rectes y = −x i y = x + 3 entre l’abscissa del seu punt de tall, −x = x + 3 ⇔ x = −

3 2

i l’abscissa, x = 1.

a) El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F passi per A = (1, 3) és: 3 = F(1) = 1 ⋅ ln 1 − 1 + C = 1 ⋅ 0 − 1 + C ⇒ ⇒ C=4 Per tant, la primitiva buscada és: F(x) = x ln x − x + 4

Com que també observem que entre aquestes abscisses x + 3 ≥ −x, podem emprar directament la fórmula: A =

∫

1

−

3 2

((x + 3) − (− x)) dx =

∫

1

−

3 2

(2 x + 3) dx =

1 9 25 25 2 ⎛ ⎞ ⇒A = = ⎣⎡ x 2 + 3 x ⎦⎤ − 3 = 4 − ⎜ − ⎟ = u ⎝ 4⎠ 4 4 2

23. Dibuixem la regió de la qual volem calcular l’àrea:

b) Perquè la primitiva F s’anul·li en x = e, la constant d’integració ha de ser:

Y

y = x2 – 2

0 = F(e) = e ⋅ ln e − e + C = e ⋅ 1 − e + C = C La primitiva buscada és: y–x=0

F(x) = x ln x − x 1

21. Per definició de primitiva, es complirà F′ = f.

X

1

A

Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia i els extrems de la funció F. Concretament, a partir de la gràfica de f podem construir la taula següent que ens permet concloure, doncs, que qualsevol primitiva F de f:

x+y=0

−x = x2 − 2 ⇔ x = −2 o x = 1

• Té mínims relatius en x = −1 i x = 2.

Per la simetria de la figura observem que l’àrea de la regió que ens interessa és el doble de l’àrea compresa entre la recta y = −x i la paràbola y = x2 − 2 entre l’abscissa x = 0 i la del punt de tall entre les dues d’abscissa positiva:

• Té màxims relatius en x = −3 i x = 0.

• És creixent en (− ∞, −3)  (−1, 0)  (2, + ∞).

M

→

m

(2 x + 3) dx =

• És decreixent en (−3, −1)  (0, 2).

→

+

→

és a dir, entre x = 0 i x = 1.

0

+

F′(x) = f(x)

−3

(− ∞, −3)

x

(−3, −1) −

−1

0

(−1, 0) +

0

→

m

(0, 2)

(2, + ∞)

2

−

0 M

+

0 m

→

Μ

→

→

Y

F(x)

→

0

→

12 Integrals i aplicacions206

−

Página 206

0

12:23

+

2/6/09

0

12 Mates CSS_Guia.qxd

206 22. Dibuixem la regió definida per les tres inequacions:

−

b) Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’anul.la en x = −1:

0

(−13 ) + 2 (−1)2 − (−1) + C ⇒ 3

+

0 = F(−1) =

F′(x) = f(x)

8 3

(2, + ∞)

⇒C=−

2

F(x) =

(0, 2)

3 2

Aquesta integral es pot resoldre per parts:

0

X −

1

1

(−1, 0)

∫

∫ ln x dx = ln x ⋅ x − ∫ x ⋅ x dx = x ln x − x + C

−1

((x + 3) − (− x)) dx =

↑

(−3, −1)

1

⎪⎧ u = ln x ⇒ du = 1 dx ⎪⎫ ⎨ ⎬ x ⎩⎪ dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x ⎭⎪

−3 1

22. Dibuixem la regió definida per les tres inequacions:

206

12:23

206

2/6/09

12 Integrals i aplicacions206

(− ∞, −3)

• Té mínims relatius en x = −1 i x = 2. • Té màxims relatius en x = −3 i x = 0. • És decreixent en (−3, −1)  (0, 2).

x+y=0

A 1

y–x=0 y = x2 – 2

Y 3 − 2

∫

Com que també observem que entre aquestes abscisses x + 3 ≥ −x, podem emprar directament la fórmula: i l’abscissa, x = 1.

↑

∫ ln x dx = ln x ⋅ x − ∫ x ⋅ x dx = x ln x − x + C

x=1 x+y=0

X

x 8 + 2 x2 − x − 3 3 A 3 y–x=3

(−13 ) + 2 (−1)2 − (−1) + C ⇒ 3

→

206 F(x)

Μ

x

és a dir, entre x = 0 i x = 1. Per la simetria de la figura observem que l’àrea de la regió que ens interessa és el doble de l’àrea compresa entre la recta y = −x i la paràbola y = x2 − 2 entre l’abscissa x = 0 i la del punt de tall entre les dues d’abscissa positiva: −x = x2 − 2 ⇔ x = −2 o x = 1

• És creixent en (− ∞, −3)  (−1, 0)  (2, + ∞). Concretament, a partir de la gràfica de f podem construir la taula següent que ens permet concloure, doncs, que qualsevol primitiva F de f: Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia i els extrems de la funció F. 21. Per definició de primitiva, es complirà F′ = f.

1

F(x) = x ln x − x La primitiva buscada és: 0 = F(e) = e ⋅ ln e − e + C = e ⋅ 1 − e + C = C b) Perquè la primitiva F s’anul·li en x = e, la constant d’integració ha de ser:

23. Dibuixem la regió de la qual volem calcular l’àrea:

F(x) = x ln x − x + 4 Per tant, la primitiva buscada és:

1 25 2 ⎛ 9 ⎞ 25 ⇒A = = ⎣⎡ x 2 + 3 x ⎤⎦ − 3 = 4 − ⎜ − ⎟ = u ⎝ ⎠ 4 4 4 2

3 = F(1) = 1 ⋅ ln 1 − 1 + C = 1 ⋅ 0 − 1 + C ⇒ ⇒ C=4

A =

a) El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F passi per A = (1, 3) és: 1 ⎧⎪ ⎫ u = ln x ⇒ du = dx ⎪ ⎨ ⎬ x ⎩⎪ dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x ⎭⎪

Observem que l’àrea A que hem de calcular és la compresa entre les rectes y = −x i y = x + 3 entre l’abscissa del seu punt de tall, 3 −x = x + 3 ⇔ x = − 2

Aquesta integral es pot resoldre per parts:

∫ f(x)dx = ∫ ln x dx 20. El conjunt de primitives de f és: F(x) =

3

Per tant, la primitiva buscada és: 8 ⇒C=− 3 0 = F(−1) =

b) Trobem el valor de C per al qual la primitiva F s’anul.la en x = −1: 12 Mates CSS_Guia.qxd

Página 206

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 207

∫0

=

A =2

1

∫ (− x − (x

2

1

⎡ x3 x 2 ⎤ + 2 x⎥ = = 2 (− x − x + 2) dx = 2 ⎢ − − 2 ⎣ 3 ⎦0 0 7 7 2 ⎛7 ⎞ ⇒ 2 ⋅ ⎜ − 0⎟ = ⇒ A = u ⎝6 ⎠ 3 3

∫

1

Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la cúbica: k2x = x3 ⇔ x = −k , x = 0 o x = k

− 2) dx =

0

–k3

a+2

∫0

A = k

2

24. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta té pendent k > 0:

A2

Com que ens diuen que k > 0, aquests punts de tall determinen els intervals: [−k, 0] i [0, k] Per tant, tenint en compte que, segons la figura, la recta és per sota de la cúbica en [−k, 0] i per damunt en [0, k], l’àrea de la regió compresa entre la recta i la cúbica és:

∫

A = A1 + A 2 =

X

y = x3

k3

((− x 2 + ax) − (−2 x)) dx =

Així, els extrems d’integració que ens permeten de calcular l’àrea d’aquesta regió són x = 0 i x = a + 2. Que el valor d’aquest últim sigui més gran o més petit que 0 depèn del valor de a. D’altra banda, canviar l’ordre dels extrems d’integració tan sols afecta el signe de la integral i, en qualsevol cas, només hi ha dos punts de tall entre la recta i la paràbola. Així, l’àrea buscada es pot calcular amb la fórmula:

A1 –k

a+2

(− x 2 + (a + 2) x) dx =

12 Integrals i aplicacions

207 Com que observem que la recta és per damunt de la paràbola en [0,1], l’àrea buscada és:

Y

y = kx

0

−k

(x 3 − k 2 x) dx +

∫

k

(k 2 x − x 3 ) dx =

0 k

0

⎡ x4 k2 x2 ⎤ ⎡ k2 x2 x4 ⎤ = ⎢ − − ⎥ +⎢ ⎥ = 2 ⎦− k ⎣ 2 4 ⎦0 ⎣ 4

y = k2x

−2 x = −x2 + ax ⇔ x = 0 o x = a + 2

Y

25. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta té pendent k2 > 0.

⎛ k4 ⎞ k4 k4 −0 = = 0 − ⎜− ⎟ + ⎝ 4 ⎠ 4 2

Calculem els punts de tall entre la recta i la paràbola:

2

y=x

288 = A =

A

Com que ens diuen que el valor d’aquesta àrea és 4:

1

8= A =

X

k3 ⇒ k = 12 6

Com que sabem que aquesta àrea és de 288:

1

k4 ⇒k= 2

4

16 = ± 2

∫

2 3 3 3 k ⎡ ⎤ kx x k k (kx − x 2 ) dx = ⎢ − −0= ⎥ = 3 ⎦0 6 6 ⎣ 2

0

A =

I, com que k > 0, la solució és k = 2.

A

k

Per tant, tenint en compte, a partir de la gràfica, que la recta sempre és per damunt de la paràbola, l’àrea compresa entre elles és:

Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la paràbola:

kx = x2 ⇔ x = 0 o x = k > 0

kx = x2 ⇔ x = 0 o x = k > 0

Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la paràbola:

Per tant, tenint en compte, a partir de la gràfica, que la recta sempre és per damunt de la paràbola, l’àrea compresa entre elles és:

X y = – 2x

y = – x2 + ax

Y

26. Fem un dibuix orientatiu tenint en compte que la paràbola té les branques cap avall i passa per l’origen. I, com que k > 0, la solució és k = 2.

A =

26. Fem un dibuix orientatiu tenint en compte que la paràbola té les branques cap avall i passa per l’origen. Y y = – 2x

X A

k

⎡ kx 2 x 3 ⎤ k3 k3 (kx − x 2 ) dx = ⎢ − −0= ⎥ = 3 ⎦0 6 6 ⎣ 2 0

∫

k

y = – x2 + ax

1

Com que sabem que aquesta àrea és de 288:

8= A =

X

k3 ⇒ k = 12 6

A

y = k2x

0

A = 24. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta té pendent k > 0:

A2

y = x3 k

A1

–k3

X

Així, els extrems d’integració que ens permeten de calcular l’àrea d’aquesta regió són x = 0 i x = a + 2. Que el valor d’aquest últim sigui més gran o més petit que 0 depèn del valor de a. D’altra banda, canviar l’ordre dels extrems d’integració tan sols afecta el signe de la integral i, en qualsevol cas, només hi ha dos punts de tall entre la recta i la paràbola. Així, l’àrea buscada es pot calcular amb la fórmula: A =

2 1 ⎡ 3 ⎤ x x + 2 x⎥ = = 2 (− x 2 − x + 2) dx = 2 ⎢ − − 2 ⎣ 3 ⎦0 0 7 7 ⎛7 ⎞ ⇒ 2 ⋅ ⎜ − 0⎟ = ⇒ A = u2 ⎝6 ⎠ 3 3

∫

1

0

=

a+2

∫0

((− x 2 + ax) − (−2 x)) dx =

a+2

∫0

(− x 2 + (a + 2) x) dx =

12 Integrals i aplicacions

1

16 = ± 2

⎡ x4 k2 x2 ⎤ ⎡ k2 x2 x4 ⎤ = ⎢ − − ⎥ +⎢ ⎥ = 2 ⎦− k ⎣ 2 4 ⎦0 ⎣ 4

y = kx

Y

k3

–k

Calculem els punts de tall entre la recta i la paràbola: −2 x = −x2 + ax ⇔ x = 0 o x = a + 2

Y

∫ (− x − (x

4

⎛ k4 ⎞ k4 k4 −0 = = 0 − ⎜− ⎟ + ⎝ 4 ⎠ 4 2

y = x2

25. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta té pendent k2 > 0.

A =2

k4 ⇒k= 2

Com que ens diuen que el valor d’aquesta àrea és 4:

1

288 = A =

2

− 2) dx =

Com que observem que la recta és per damunt de la paràbola en [0,1], l’àrea buscada és:

A1

+

A2

= ∫

−k 0

k

− k x) dx + ∫

0

(x 3

2

k

(k 2 x − x 3 ) dx =

Per tant, tenint en compte que, segons la figura, la recta és per sota de la cúbica en [−k, 0] i per damunt en [0, k], l’àrea de la regió compresa entre la recta i la cúbica és: [−k, 0] i [0, k] Com que ens diuen que k > 0, aquests punts de tall determinen els intervals: k2x = x3 ⇔ x = −k , x = 0 o x = k Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la cúbica:

207

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 207 C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 208

208 a+2

= 3

Així, tenim:

∫ xe

x

dx = x e x − ∫ e x dx = x e x − e x + C

2. Prenem C = 0: x

dx = x e x − e x = e x(x − 1)

3. Apliquem la regla de Barrow:

∫

1

0

1

x e x dx = ⎣⎡ e x(x − 1)⎦⎤0 = 0 − (−1) = 1

b) Apliquem el mètode dels trapezis amb n = 4. 1. Dividim l’interval [0,1] en quatre parts iguals: x0 = 0 , x1 = 0,25 , x2 = 0,5

Y

x3 = 0,75 , x5 = 1 y = x2 – bx

2. Construïm una taula amb els punts que hem obtingut i les seves imatges per la funció integrant: X

A y = – x2

0

y

0

x

0,25

0,5

0,75

0,321 0,824 4 1,587 8

1 2,718 3

3. Apliquem la fórmula dels trapezis: Calculem les abscisses dels punts de tall entre les paràboles: − x 2 = x 2 − bx ⇒ x = 0 o x =

b 2

El primer extrem d’integració depèn del signe de b, però, com que en qualsevol cas només hi ha dos punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà: A =

∫

b 2

∫

b 2

1 ⎛0 x e x dx ≈ 0, 25 ⎜ + 0, 321 + 0, 8244 + ⎝2 0 2, 7183 ⎞ ⎟ = 1, 0231 2 ⎠

∫

+ 1, 5878 +

c) Desenvolupem el mètode de Simpson amb n = 4: Els punts 1 i 2 són com en l’apartat b.

(− x 2 − (x 2 − bx)) dx =

0

=

2,718 3

3. Calculem la suma de les imatges dels valors extrems:

(−2 x 2 + bx)) dx =

E = 0 + 2,7183 = 2,7183

0 b

3 ⎡ 2 x3 b x 2 ⎤ 2 b b = ⎢− −0 = + ⎥ = 2 ⎦0 24 24 ⎣ 3

3

4. Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc parell, excepte els extrems: P = 0,8244

Perquè l’àrea sigui 9: 3

5. Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc imparell, excepte els extrems:

b 9= A = ⇒ b = 6 ⇒ b = ±6 24

I = 0,321 + 1,5878 = 1,9088 x e x dx a partir de la regla de Barrow:

0

1. Calculem la integral indefinida aplicant el mètode del canvi de variable:

12 Integrals i aplicacions208

⎡ 3 (a + 2) x 2 ⎤ x − = ⎢ + ⎥ 2 ⎣ 3 ⎦0

a+2 (a + 2)3 = −0 = 6 6

∫ xe

Perquè el valor d’aquesta àrea sigui 36: 3

a+2 36 = A = ⇒ a+2 = 6 ⇒ 6 ⇒ a = 4 o a = −8

h (E + 2 P + 4 I) = 3

27. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la paràbola y = x2 − bx té les branques cap amunt i passa per l’origen.

0, 25 (2, 7183 + 1, 6488 + 7, 6352) = 1, 0002 3 x e x dx ≈

0,321 0,824 4 1,587 8

1

1

=

0 1

6. Apliquem la fórmula de Simpson: 5. Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc imparell, excepte els extrems: 4. Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc parell, excepte els extrems: 0

0,75 1

∫

3

y

0,5

x e x dx = ⎡⎣ e x(x − 1)⎤⎦0 = 0 − (−1) = 1

6. Apliquem la fórmula de Simpson: dx = x e x − e x = e x(x − 1)

28. a) Calculem

x e dx a partir de la regla de Barrow: b b3 −0 = 24 24

2, 7183 ⎞ ⎟ = 1, 0231 2 ⎠

⎛0 x e x dx ≈ 0, 25 ⎜ + 0, 321 + 0, 8244 + ⎝2 0,25

1 h x e x dx ≈ (E + 2 P + 4 I) = 3 0 0, 25 (2, 7183 + 1, 6488 + 7, 6352) = 1, 0002 3

∫

=

1

3. Apliquem la regla de Barrow: x

dx = x e x − ∫ e x dx = x e x − e x + C

u = x ⇒ du = dx

dx ⇒ v =

ex

0

I = 0,321 + 1,5878 = 1,9088 3

=

E = 0 + 2,7183 = 2,7183

(−2 x 2 + bx)) dx =

3. Calculem la suma de les imatges dels valors extrems:

(− x − (x − bx)) dx =

0 1

0

1. Dividim l’interval [0,1] en quatre parts iguals: b) Apliquem el mètode dels trapezis amb n = 4. 0

⇒ a+2 = 6 ⇒

3

x

dv = ex dx ⇒ v = ex

∫

x

b ⇒ b = 6 ⇒ b = ±6 24

P = 0,8244 ⎥ 2 ⎦0

b b x2 ⎤ 2 b 2

0

Els punts 1 i 2 són com en l’apartat b. c) Desenvolupem el mètode de Simpson amb n = 4:

∫ x

X

x0 = 0 , x1 = 0,25 , x2 = 0,5

a+2

∫ xe

2. Prenem C = 0:

3

∫ xe

=

a+2

Així, tenim:

208

13:15

208

27/5/09

12 Integrals i aplicacions208

208 dv =

ex

u = x ⇒ du = dx

∫

1. Calculem la integral indefinida aplicant el mètode del canvi de variable: 28. a) Calculem

1

9= A =

Perquè l’àrea sigui 9: ⎡ 2 x3 = ⎢− + ⎣ 3

∫

0

=

∫

A =

2

2

b 2

El primer extrem d’integració depèn del signe de b, però, com que en qualsevol cas només hi ha dos punts de tall, l’àrea del recinte considerat serà:

+ 1, 5878 +

Calculem les abscisses dels punts de tall entre les paràboles: b − x 2 = x 2 − bx ⇒ x = 0 o x = 2

3. Apliquem la fórmula dels trapezis: y = – x2 A

2. Construïm una taula amb els punts que hem obtingut i les seves imatges per la funció integrant:

y = x2 – bx

x3 = 0,75 , x5 = 1 Y

27. Fem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la paràbola y = x2 − bx té les branques cap amunt i passa per l’origen.

∫

6 ⇒ a = 4 o a = −8

36 = A =

Perquè el valor d’aquesta àrea sigui 36: a+2 (a + 2)3 −0 = 6 6

=

⎡ − x 3 (a + 2) x 2 ⎤ = ⎢ + ⎥ 2 ⎣ 3 ⎦0 12 Mates CSS_Guia.qxd

Página 208

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

C M Y K

1

H′ = f ⎫⎪ ⎬ ⇒ f = H′ = g H′ = g ⎪⎭ 33. No, perquè si H és primitiva de dues funcions f i g, tenim, per definició de primitiva: 32. Sí, perquè les altres primitives s’obtenen sumant una constant a la primitiva coneguda.

12 Integrals i aplicacions

Página 209

209 ∫ x (− sin (ln x)) ⋅ x dx = = x cos(ln x) + ∫ sin (ln x) dx (1)

= cos(ln x) ⋅ x −

29. a) Com que l’integrand és una exponencial per un sinus, utilitzarem el mètode d’integració per parts dues vegades: 1. Identifiquem en l’integrand u i dv, i calculem du i v:

∫ cos(ln x)dx = 2. Apliquem la fórmula d’integració per parts: 1 u = cos(ln x) ⇒ du = − sin (ln x) ⋅ dx x dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x

31. La integral definida entre dos punts és un nombre real, mentre que una primitiva és una funció.

u = e3 x ⇒ du = 3 e3 x dx dv = sin x dx ⇒ v = 2.

Qüestions 1. Identifiquem en l’integrand u i dv, i calculem du i v:

ACTIVITATS

c) Com que en l’integrand apareix un logaritme, provem el mètode d’integració per parts amb v  x:

∫ sin x dx = − cos x

Apliquem l’expressió ∫ u dv = uv − ∫ v du: 3x ∫ e sin x dx = = e3 x (− cos x) − ∫ (− cos x)3 e3 x dx = = − e3 x cos x + 3 ∫ e3 x cos x dx

(1)

3. Calculem la nova integral utilitzant la integració per parts:

∫e

3x

cos x dx = e3 x sin x − ↑

∫ sin x ⋅ 3 e

3x dx

3x

3. Calculem la nova integral utilitzant la integració per parts:

∫ sin (ln x)dx = ↑

u  sin (ln x) ⇒ du  cos (ln x)  dv  dx ⇒ v  x

sin x dx =

= − e3 x cos x + 3 (e3 x sin x − 3 ∫ e3 x sin x dx) = = − e3 x cos x + 3 e3 x sin x − 9 ∫ e3 x sin x dx

=

∫e

3x

⎛

∫ ⎝⎜ 6 −

x

2 ⎞ ⎟ dx = x⎠

⎛

∫ ⎝⎜ 6 − 2

4 ⎞ ⎟ dx = x⎠

= 6x − 4 x + k

e3 x (3 sin x − cos x) +C 10

sin x dx =

Determinem el valor de la constant k, tenint en compte que: C((0) = 84 000 ⇒ k = 81000

per l’apartat b)

∫ −2 e

x (cos(ln x) + sin (ln x)) +C 2

30. a) Calculem la funció C: C(x) =

10 ∫ e3 x sin x dx = e3 x (3 sin x − cos x)

3x

sin x dx =

C(400) = 6 ⋅ 400 − 4 400 + 84 000 = = 86 320 € b) Fabricar 400 unitats costa: C(x) = 6 x − 4 x + 84 000 Així, la funció buscada és: C((0) = 84 000 ⇒ k = 81000

e (3 sin x − cos x) +C 10

cos x + 3 (e sin x − 3 ∫ e3 x sin x dx) =

b)

1 dx x

1 = sin (ln x) ⋅ x − ∫ x ⋅ cos (ln x) dx = x = sin (ln x) − ∫ cos(ln x) dx Substituint en (1) i aïllant la integral inicial:

∫ cos(ln x)dx =

= x cos(ln x) + x sin (ln x) − ∫ cos(ln x) dx

∫ cos(ln x))dx =

Substituint en (1) i aïllant la integral inicial:

∫e

2 ∫ cos(ln x) dx =

= x (cos(ln x) + sin (ln x))

u = e3 x ⇒ du = 3 e3 x dx dv = cos x dx ⇒ v = sin x

= − e x (sin x + cos x) + C ⎛ e x (sin x + cos x) ⎞ = −2 ⎜ + C⎟ = ⎝ ⎠ 2 b)

↓ x x ∫ −2 e cos x dx = −2 ∫ e cos x dx = per l’apartat b)

∫e

Determinem el valor de la constant k, tenint en compte que:

3x

10 ∫ e3 x sin x dx = e3 x (3 sin x − cos x)

= 6x − 4 x + k

= − e3 x cos x + 3 e3 x sin x − 9 ∫ e3 x sin x dx = −e

3x

3x

∫e

3x

sin x dx =

C(x) =

∫ ⎜⎝ 6 − ⎛

↑

cos x dx = e3 x sin x −

↓ cos x dx = −2 ∫ e x cos x dx =

Així, la funció buscada és: C(x) = 6 x − 4 x + 84 000

⎛ e x (sin x + cos x) ⎞ = −2 ⎜ + C⎟ = ⎝ ⎠ 2

b) Fabricar 400 unitats costa:

= − e x (sin x + cos x) + C c) Com que en l’integrand apareix un logaritme, provem el mètode d’integració per parts amb v  x:

3x

cos x + 3 ∫ e

3x

1. Identifiquem en l’integrand u i dv, i calculem du i v:

C(400) = 6 ⋅ 400 − 4 400 + 84 000 = = 86 320 €

ACTIVITATS Qüestions

1 u = cos(ln x) ⇒ du = − sin (ln x) ⋅ dx x

3x

2 ⎞ ⎟ dx = x⎠

∫ ⎜⎝ 6 − 2 ⎛

4 ⎞ ⎟ dx = x⎠

30. a) Calculem la funció C:

Substituint en (1) i aïllant la integral inicial:

x (cos(ln x) + sin (ln x)) +C 2

=

u = e3 x ⇒ du = 3 e3 x dx dv = cos x dx ⇒ v = sin x

∫e

∫ cos(ln x))dx =

∫ sin x ⋅ 3 e

3x

= x (cos(ln x) + sin (ln x))

∫ cos(ln x)dx = = x cos(ln x) + x sin (ln x) − ∫ cos(ln x) dx 2 ∫ cos(ln x) dx =

dx

3. Calculem la nova integral utilitzant la integració per parts: = −e

3x

cos x dx

(1)

= e (− cos x) − ∫ (− cos x)3 e3 x dx =

Substituint en (1) i aïllant la integral inicial:

3x

∫e

sin x dx =

dv = dx ⇒ v =

2. Apliquem l’expressió ∫ u dv = uv −

31. La integral definida entre dos punts és un nombre real, mentre que una primitiva és una funció.

∫ dx = x

∫ cos(ln x)dx = = cos(ln x) ⋅ x −

∫ sin (ln x)dx

32. Sí, perquè les altres primitives s’obtenen sumant una constant a la primitiva coneguda. 33. No, perquè si H és primitiva de dues funcions f i g, tenim, per definició de primitiva:

1

∫ x (− sin (ln x)) ⋅ x dx =

= x cos(ln x) +

H′ = f ⎪⎫ ⎬ ⇒ f = H′ = g H′ = g ⎭⎪

(1)

12 Integrals i aplicacions

2. Apliquem la fórmula d’integració per parts:

dv = sin x dx ⇒ v = u=e

∫ x ⋅ cos (ln x) x dx = = sin (ln x) − ∫ cos(ln x) dx

∫ v du:

= sin (ln x) ⋅ x −

∫ sin x dx = − cos x

⇒ du = 3 e

3x

3x

1

dv  dx ⇒ v  x

dx

u  sin (ln x) ⇒ du  cos (ln x) 

↑

1. Identifiquem en l’integrand u i dv, i calculem du i v: 29. a) Com que l’integrand és una exponencial per un sinus, utilitzarem el mètode d’integració per parts dues vegades:

1 dx x

∫ sin (ln x)dx = 3. Calculem la nova integral utilitzant la integració per parts:

209

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 209

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 210

210

∫

dx = 6 x ∫

1 sin x = tg x cos x

38.

1 2

b)

∫ f(x)dx = ∫ (3 x + 2 4 x )

dx = 6 x ∫

dx = ∫4x

1 1 −5 dx = 4

3 2

3

8 3

x3 +

1+

1 4

dx =

1

dx + 4

∫ x 2 dx =

3

16 4 9 x +C 3

∫ f(xx)dx = ∫ (3 sin x + 5 cos x)dx =

↑ 12

x +C

∫3x

2 dx + ∫ e x dx =

↑ 11

x3 + ex + C = x3 + ex + C 3

b) ∫ (x + sin x) dx = ∫ x dx + ∫ sin x dx = ↑ 12

dx =

= c)

∫x

2

= ∫ (9 x 2 + 12 x 4 x + 4 x ) dx = 2

= 3 x3 + c)

= 3 ∫ sin x dx + 5 ∫ cos x dx = = −3 cos x + 5 sin x + C

a) ∫ (3 x 2 + e x ) dx =

= 3 ∫ x 2 dx + ∫ e x dx = =3

1

2−

dx + 12 ∫ x 9

cos2 x

∫

x 8 3 x dx = 8 x 3 dx = 8 + C = 6x 1 +1 3 6 x2 x

1

5

x

⎞ − cos x ⎟ dx = ⎠ ↑

∫3e 5

12

x dx − ∫ cos x dx =

↑ 11

5 x 5 e dx − ∫ cos x dx = e x − sin x + C 3∫ 3

∫ (x − =

+C

x2 − cos x + C 2 ⎛5

∫ ⎝⎜ 3 e =

−5 dx =

d)

1 1 1 −4 x −5 + 1 + C = − x +C = 4 −5 + 1 16 1 16 x 4

)

x dx = ∫ x dx − ↑ 12

∫

x dx =

x2 2 x2 2 x x − x+C = − +C 2 3 2 3 ⎛

1 ⎞ ⎟ dx =↑ ∫ x dx − x⎠

∫ ⎝⎜ x −

− 2 x 3 + x − 5] dx = =

∫ x dx − 5 ∫ dx =

12

∫

1 x

dx =

x2 −2 x +C 2 1

1

2

dx =

1 +C x

12 Integrals i aplicacions210

34. No, perquè s’ha emprat el canvi de variable t = sin x per a transformar la integral, però a l’hora de desfer el canvi s’ha pres t = x. El càlcul correcte és: t5 sin5 x 4 4 ∫ sin x cos x dx = ∫ t dt = 5 + C ⇒ 5 + C

= 9∫ x

↑

t = sin x dt = cos x dx

x3 x4 x2 = 9 + 12 +4 +C = 9 3 3 4 2

Exercicis i problemes 35. Per tal de veure si les funcions de l’enunciat són o no primitives de f(x) = tg x, les derivarem i veurem si la funció obtinguda és f. 2 sin x cos x ⎛ 1 ⎞′ a) F ′(x) = ⎜ = ⎟ = 2 ⎠ ⎝ cos cos4 x x 1 = 2 tg x cos2 x b) H ′(x) = (1 + tg 2 x)′ = 0 + 2 tg x ⋅ (tg x)′ = 1 = 2 tg x

c) G ′(x) = (− ln(cos x))′ =

d) I′(x) = (5 − ln (cos x))′ = 0 + tg x = tg x Per tant, les úniques primitives de f són G i I.

36. a)

b) ∫

x 12 2 =6 +C = x x +C 3 5 +1 2 c) ∫ 3 cos x dx = 3 ∫ cos x dx = 3 sin x + C d) ∫ 4x =

= −

e) 4

dx = dx =

∫ f(x)dx = ∫ [x

2

1 x

1

x dx =

37. a)

1

∫

∫

↑ 11

dx − ∫ cos x dx =

dx − 2 ∫ x 3 dx +

1 +C x

1 ⎞

)

x

4

⎛1

12

1 ⎞ ⎟ dx =↑ ∫ x dx − x⎠ ↑ 12

x dx = ∫ x dx −

5

∫x

= ln x −

↑ 12

∫ ⎜⎝ x + x2 ⎟⎠ dx = ∫ x dx + ∫ x x2 −2 x +C 2 ⎛

x2 2 x2 2 x x − x+C = − +C 2 3 2 3

∫ (x −

∫3e

=

f) d) dx =

12

⎞ − cos x ⎟ dx = ⎠ ↑

1 ⎞

−5

x

1

2

⎛1

∫x

⎛5

↑ 11

dx + ∫ e x dx =

↑ 12

1 4

5 x 5 e dx − ∫ cos x dx = e x − sin x + C 3∫ 3

∫ ⎜⎝ 3 e

x2 − cos x + C 2 2

∫ x 2 dx =

dx + 4

∫ ⎝⎜ x + x2 ⎠⎟ dx = ∫ x dx + ∫ x

dx =

c)

=

dx =

↑ 12

b) ∫ (x + sin x) dx = ∫ x dx + ∫ sin x dx = x +C

∫3x

16 4 9 x +C 3 1 4

1+

= ∫ (9 x 2 + 12 x 4 x + 4 x ) dx =

∫ f(x)dx = ∫ (3 x + 2 4 x )

f)

x5 x4 x2 − + − 5x + C 2 5 2 −5

∫

3

x3 +

∫x

x5 x4 x2 −2 + − 5x + C = 5 4 2

=

1

dx = 6

3 x2

x + C = 6x 1 +1 3

x3 + ex + C = x3 + ex + C 3 ↑ 12

a) ∫ (3 x 2 + e x ) dx =

∫ f(xx)dx = ∫ (3 sin x + 5 cos x)dx = 8 3

3

= 9 ∫ x 2 dx + 12

t sin x +C⇒ +C 5 5

=

x5 x4 x2 −2 + − 5x + C = 5 4 2

∫ x dx − 5 ∫ dx =

=

− 2 x 3 + x − 5] dx =

∫ ⎜⎝ x − =

∫4x ∫

1 2− x 2

dx = 8

dt =

= ln x −

=

dx − 2 ∫ x dx + 3

4

+C dx =

dx = 6

∫

4

x5 x4 x2 − + − 5x + C 2 5 2

∫x

5

1

6x

2

x dx = 8

3

38.

1

∫t

=

=

4

∫ f(x)dx = ∫ [x 16 x 4 1

1 1 1 −4 x −5 + 1 + C = − x +C = 4 −5 + 1 16

∫ 4x

x 12 2 +C = x x +C 3 5 +1 2 x

∫

∫8

=3

= 3 ∫ x 2 dx + ∫ e x dx =

1 sin x = tg x cos x

cos2 x

= −3 cos x + 5 sin x + C = 3 ∫ sin x dx + 5 ∫ cos x dx = c)

= 3 x3 +

9

↑

x cos x dx =

4

5

b)

12 Integrals i aplicacions210

37. a)

e) = − = d)

=

c) ∫ 3 cos x dx = 3 ∫ cos x dx = 3 sin x + C =6 b) 36. a)

1 x3

d) I′(x) = (5 − ln (cos x))′ = 0 + tg x = tg x Per tant, les úniques primitives de f són G i I. c) G ′(x) = (− ln(cos x))′ = = 2 tg x

2 sin x cos x ⎛ 1 ⎞′ a) F ′(x) = ⎜ = = ⎝ cos2 x ⎟⎠ cos4 x 1 = 2 tg x cos2 x b) H ′(x) = (1 + tg 2 x)′ = 0 + 2 tg x ⋅ (tg x)′ = Exercicis i problemes 35. Per tal de veure si les funcions de l’enunciat són o no primitives de f(x) = tg x, les derivarem i veurem si la funció obtinguda és f.

x3 x4 x2 = 9 + 12 +4 +C = 9 3 3 4 2

t = sin x dt = cos x dx

∫ sin

5

34. No, perquè s’ha emprat el canvi de variable t = sin x per a transformar la integral, però a l’hora de desfer el canvi s’ha pres t = x. El càlcul correcte és:

dx =

210

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 210

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 211

=

1 ln(1 + e3 x ) + C 3

∫ 5 x + 1 dx = 5 ∫ 5 x + 1 dx = 1

=

f (x) =

∫1+ e

3x

f)

1 3

dx =

e3 x

∫1+ e

3x

1

f ( x ) = sin x , = g ( x ) + e

∫e

e)

↑

x

b)

c)

5

41. a)

∫ sin

1 2

∫

∫

dx =

2x + 3

−

∫

1 2

1 2 x −1 e +C 2

2 (2 2 x + 3)

1 2

b)

∫1+ x

+C=

1

x

↑ 1 3x , g( x ) = 1 + e x

⋅ 3 e3 x dx =

t = g(x) ⇒ dt = g′(x) dx En el mètode de substitució, definim una nova variable com una funció t = g(x) i transformem dx en dt a partir d’aquesta relació:

x

sin e x dx = − cos e x + C 1 + sin 2 x + C

En el mètode de conversió a integral immediata, identifiquem una funció g(x) i la seva derivada en l’integrant.

f ( x )= (1 + x )− 2 g( x )= sin 2 x

=

1

− 1 (1 + sin 2 x) 2 ⋅ 2 cos 2 x d x = 2∫ ↑

— Els dos procediments són, en realitat, el mateix: es basen en el fet de reconèixer una funció auxiliar en l’integrant.

1

1 + sin 2 x

∫

dx =

cos 2 x

= x7

∫1+ x

d)

1 8

1

=

3 2x e 4

∫3xe

c)

2

2 x2

1 8

t = 1 + e3 x dt = 3 e3 x dx

3 +1 dx = 4

∫ (1 + x ) ⋅ 8 x

∫e

1

8

x7

f ( x ) = e , g( x ) = 2 x + 1 x

2 x2 +1

↑

2

f)

⋅ 4 x dx =

3x

e3 x

↑

7

dx =

1 ln(1 + x 8 ) + C 8

e)

2x

3 2x e 4

2

2

3 +1 dx = 4

+1

∫3xe

∫

∫e

sin6 x +C 6

d)

∫ =

=

↑

1 ln(1 + x 8 ) + C 8

e)

∫e

x

2 x +1

⋅ 4 x dx = ↑

x

2

f ( x ) = e , g( x ) = 2 x + 1

1 − sin 2 x) 2 ⋅

2 cos 2 x d x = ↑

↑

3x

x

1

x

2x + 3

∫

c)

∫e

b)

dx =

1 3

∫1+ e

=

1 2 x −1

dx =

1 2

1 2

∫ 2e

1 + sin 2 x cos 2 x

c)

+C =

= − cos t + C =

↑ 2

dx = 2

∫

1

t 1

dt =

t +C =

+C

+1

∫3xe

↑

2 x2 +1

dx =

∫ 3e

t

3 dt = ∫ et dt = 4 4

2x + 3 + C

∫ 2 (22 x + 3)

−

2 x −1

dx =

1 2

1 ln(1 + x 8 ) + C 8

dx =

1 2 x −1 e +C 2

b)

∫1+ x x7

t = 1 + x8 dt = 8 x7 dx 8

↑

dx =

1 8

∫ t dt = 8 ln t + C = 1

1

t = sin x dt = cos x dx

∫ 5 x + 1 dx = 5 ∫ 5 x + 1 dx = 1

∫ sin t dt

3 3 et + C = e2 x 4 4

1 ln 5 x + 1 + C 5 1

1

t = 2 x2 + 1 dt = 4 x dx

=

dx =

1

1 + sin 2 x + C

x

1

=

1 ↑ 2

dx =

1 + sin 2 x

∫

1 t

dt =

t +C =

1 + sin 2 x + C x

sin e x dx =

↑

∫ sin t dt

= − cos t + C =

f)

e3 x

∫1+ e

3x

1 3 ↑

dx =

∫ t dt = 3 ln t 1

1

+C =

1 ln(1 + e3 x ) + C 3

1

En el mètode de substitució, definim una nova variable com una funció t = g(x) i transformem dx en dt a partir d’aquesta relació:

x

1

3x

1 ln(1 + e3 x ) + C 3

En el mètode de conversió a integral immediata, identifiquem una funció g(x) i la seva derivada en l’integrant.

⋅ 3 e3 x dx =

↑ 1 3x , g( x ) = 1 + e x

t = g(x) ⇒ dt = g′(x) dx El mètode de conversió a integral immediata és més ràpid, però requereix el reconeixement previ de la funció g(x) i de la seva derivada en l’integrant, la qual cosa sol ser difícil.

12 Integrals i aplicacions

∫1+ e

+C

— Els dos procediments són, en realitat, el mateix: es basen en el fet de reconèixer una funció auxiliar en l’integrant.

sin e x dx = − cos e x + C

e3 x

+1

t = 1 + e3 x dt = 3 e3 x dx

f ( x ) = sin x , = g ( x ) + e

f)

2

t = ex dt = e x dx

1 + sin 2 x + C

∫e

3 dt = ∫ et dt = 4 4

= − cos e x + C 2

f (x) =

39. a)

↑

sin e x dx =

x

∫ cos 2 dx = 2 ∫ 2 cos 2 dx = sin 2 + C 1 (2 x + 3)2 = +C= 1 2 2

=

t

dx =

1 + sin 2 x 1 (1 + 2∫

cos 2 x

∫e

+C

cos 2 x

1

∫ 3e

dx =

↑

1 , g( x ) = arc tg x x

f ( x )= (1 + x )− 2 g( x )= sin 2 x

e)

2 x2 +1

3 t 3 e + C = e2 x 4 4

∫

=

d)

∫ t dt = 3 ln t

t = 1 + sin 2 x dt = 2 cos 2 x dx

f ( x ) = x ; g( x ) = sin x

5

1

t = ex dt = e x dx

= 5

↑ 3

dx =

= − cos e x + C

dx =

∫ sin x cos x dx =↑

40. a)

∫1+ e

1 , g( x ) = arc tg x x

8

∫1+ x

b)

1 ln(1 + e3 x ) + C 3

+C

+1

f (x) =

=

∫3xe =

dx =

7

8

f (x) =

1

1 ln(1 + x 8 ) + C 8

=

∫ (1 + x ) ⋅ 8 x

∫ t dt = 8 ln t + C =

t = 1 + sin 2 x dt = 2 cos 2 x dx

dx =

8

↑

1 8

sin6 x t6 +C = +C 6 6

t = 2 x2 + 1 dt = 4 x dx

d) 5

dt =

t = 1 + x8 dt = 8 x7 dx

x

sin6 x +C 6

∫ sin x cos x dx =↑

=

d)

dx =

∫ cos 2 dx = 2 ∫ 2 cos 2 dx = sin 2 + C x

5

2x + 3 + C c)

5

c)

8

dx =

f ( x ) = x ; g( x ) = sin x

b)

↑

x7

=

1 3)2

1 (2 x + 1 2 2

2 e2 x − 1 dx =

∫t

x ⋅ cos x dx =

t = sin x dt = cos x dx

= 40. a)

5

1 ln 5 x + 1 + C 5

1

=

d)

1

2 x −1 ∫ e dx =

=

El mètode de conversió a integral immediata és més ràpid, però requereix el reconeixement previ de la funció g(x) i de la seva derivada en l’integrant, la qual cosa sol ser difícil.

12 Integrals i aplicacions

211 39. a)

41. a)

5

∫ sin

↑

5

x ⋅ cos x dx =

∫t

5

dt =

sin6 x t6 +C = +C 6 6

211

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 211 C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 212

212 8 x3 + 4 4

+ 2x −1

∫x

=2

d)

dx =

4 x3 + 2 4

+ 2x −1

sin 2 x

∫2xe

↑

dx = 2 x ⋅

1 3x e − 3

1

∫3e 1

3x

⋅ 2 dx =

1 dv = 33 x dx ⇒ v = e3 x 3

↑

1

dx = − ∫ e

t

x

3x

↑ u = 2 x ⇒ du = 2 dx

dx =

t = x 4 + 2 x −1

=

dt = (4 4 x3 + 2)dx

∫ t dt = 2 ln t + C =

=

∫ 1 − 4 cos 2 x dx =↑ 8 ∫ t dt = 8 ln t + C =

ecotg x 2

e)

1

2 3x 2 3x x e − ∫ e dx = 3 3 2 e3 x 2 3x 2 3x xe − e + C = (3 x − 1) + C 9 3 9

∫x

=

e dx = x 2 ⋅

2 2x

1 2x e − 2

↑ u = x 2 ⇒ du = 2 x dx 1 dv = e2 x dx ⇒ v = e2 x 2

∫ 2e 1

2x

⋅ 2 x dx =

1 2 2x x e − ∫ e2 x x dx = 2

↑ u = x ⇒ du = dx 1 dv = e2 x dx ⇒ v = e2 x 2

dt = − et + C =

dx

tg x

1

x

dx = (2 x + 8) e x − ∫ 2 e x dx =

2

− 4 x + 3) dx =

12 Integrals i aplicacions212

42. a)

∫x

1

=2

= 2 ln x 4 + 2 x − 1 + C b)

t = 1 − 4 cos 2 x dt = 8 sin 2 x dx

1 = ln 1 − 4 cos 2 x + C 8 c))

∫ sin

t = cot g x 1

dt = −

∫

= − ecot g x + C

∫ ln(cos x) dx =↑ − ∫ t dt = − ln t + C =

e2 x (2 x 2 − 2 x + 1) + C 4

∫ (2 x + 8)e

↑ u = 2 x + 8 ⇒ du = 2dx dv = e x dx ⇒ v = e x

= (2 x + 8) e x − 2 e x + C = (2 x + 6) e x + C

44. El conjunt de totes les primitives de f és la seva integral indefinida:

∫ f(x)dx = ∫ (3 x

⋅ 2 dx =

d)

=

1 dx = x

3x

1

sin2 x

1 1 2x ⎤ ⎡ 1 = x 2 e2 x − x ⋅ e2 x − e dx ⎥ = 2 2 ⎣⎢ 2 ⎦ 1 1 1 = x 2 e2 x − x e2 x + ∫ 2 e2 x dx = 2 2 4 1 1 1 x 2 e2 x − x e2 + e2 x + C = 2 4 2 =

t = ln(cos x ) 1 (− sin x )dx = − tg x dx dt = cos x

= − ln ln(cos x) + C f)

∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx =

⋅

∫3e

43. a)

↑ u = x ⇒ du = dx dv = cos x dx ⇒ v = sin x

= x sin x + cos x + C x2

∫2

D’aquestes, la que passa per (−1, 3) és la que té com a constant d’integració:

45. 1. Trobem els zeros de f(x) = x3 − 3 x2 + 2 x: f(x) = 0 ⇔ x = 0 , x = 1 , x = 2

1 3x e − 3

b)

x2 ln x − 2

= x3 − 2 x 2 + 3 x + C

dv = x dx ⇒ v =

3 = (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 3 ⋅ (−1) + C = −6 + C ⇒ ⇒ C=9 La primitiva és, doncs, x3 − 2 x2 + 3 x + 9.

⋅ 2 x dx =

1 1 x2 x2 x2 ln x − ∫ x dx = ln x − = +C = 2 2 2 2 2 x2 x2 ln x − +C 2 4

2x

=

1

∫ (2x − 4)sin xdx =

∫ 2e

1 2x e − 2

dx = 2 x ⋅

∫ x ln xdx =

− 4 x + 3) dx =

↑ u = x 2 ⇒ du = 2 x dx 1 dv = e2 x dx ⇒ v = e2 x 2

e dx = x 2 ⋅

2 2x

2 e3 x 2 3x 2 3x xe − e + C = (3 x − 1) + C 9 3 9 3x

↑ 1 u = ln x ⇒ du = dx x x2 2

2

dx = (2 x + 8) e x − ∫ 2 e x dx =

1 2 2x x e − ∫ e2 x x dx = 2 ↑

∫x =

∫2xe

↑ u = 2 x − 4 ⇒ du = 2dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x

e)

2 3x 2 3x x e − ∫ e dx = 3 3 1 dv = 33 x dx ⇒ v = e3 x 3

2. Aquests zeros determinaran els intervals següents:

∫

1 1 dt = ln t + C = t 8

=

↑

dx =

d)

c)

[0, 1] i [1, 2] 2. Aquests zeros determinaran els intervals següents: f(x) = 0 ⇔ x = 0 , x = 1 , x = 2 45. 1. Trobem els zeros de f(x) = x3 − 3 x2 + 2 x: La primitiva és, doncs, x3 − 2 x2 + 3 x + 9. ⇒ C=9 3 = (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 3 ⋅ (−1) + C = −6 + C ⇒ D’aquestes, la que passa per (−1, 3) és la que té com a constant d’integració: = x3 − 2 x 2 + 3 x + C

∫ f(x)dx = ∫ (3 x

44. El conjunt de totes les primitives de f és la seva integral indefinida: = (2 x + 8) e x − 2 e x + C = (2 x + 6) e x + C ↑ u = 2 x + 8 ⇒ du = 2dx x dv = e dx ⇒ v = e x x

e2 x (2 x 2 − 2 x + 1) + C 4

∫

=

↑

+ 2x −1

↑ u = 2 x ⇒ du = 2 dx

dx =

= −(2 x − 4)cos x + ∫ 2 cos x dx =

4

8 x3 + 4

[0, 1] i [1, 2]

x

u = x ⇒ du = dx 1 dv = e2 x dx ⇒ v = e2 x 2

dx = − ∫ et dt = − et + C = =

1 ln 1 − 4 cos 2 x + C 8

∫

1 dt = 2 ln t + C = t

∫x

4 x3 + 2

+ 2x −1

4

= −(2 x − 4)cos x + 2 sin x + C

= −(2 x − 4)cos x + 2 sin x + C = −(2 x − 4)cos x + ∫ 2 cos x dx = u = 2 x − 4 ⇒ du = 2dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x

∫ (2x − 4)sin xdx =↑

∫

x2 1 ⋅ dx = 2 x

∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = 1

tg x 2

∫ (2 x + 8)e =

t = ln(cos x ) 1 (− sin x )dx = − tg x dx cos x

∫ ln(cos x) dx =↑ − ∫ t dt = − ln t + C = ∫ sin

ecotg x

∫

∫x

12 Integrals i aplicacions212

c)

1 1 x2 x2 x2 ln x − ∫ x dx = ln x − +C = 2 2 2 2 2 x2 x2 = ln x − +C 2 4 =

1 u = ln x ⇒ du = dx x x2 dv = x dx ⇒ v = 2 ↑

b)

x2 ∫ x ln xdx = 2 ln x − = x sin x + cos x + C

↑ u = x ⇒ du = dx dv = cos x dx ⇒ v = sin x

43. a)

f) = − ln ln(cos x) + C dt =

d)

1 2 2x ⎡ 1 2x 1 2x ⎤ x e − ⎢x ⋅ e − e dx ⎥ = 2 2 ⎣ 2 ⎦ 1 2 2x 1 2x 1 2x = x e − x e + ∫ 2 e dx = 2 2 4 1 2 2x 1 2 1 2x = x e − xe + e + C = 2 4 2

= − ecot g x + C t = cot g x 1 dt = − dx sin2 x

c))

=

t = 1 − 4 cos 2 x dt = 8 sin 2 x dx

b)

sin 2 x 1 dx = 1 − 4 cos 2 x ↑ 8

= 2 ln x 4 + 2 x − 1 + C =2

dt = (4 4 x3 + 2)dx t = x 4 + 2 x −1

=2 42. a)

212

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 212

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 213

213 1

∫0 (x

A =

48. Fem una representació aproximada per tal de veure la disposició d’aquest triangle.

⇔x=

+ Clarament obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, ja que la funció f(x) = cos x canvia de signe en [0, 2 π].

∫

0

cos x dx = [ sin x ]0 = 0 − 0 = 0

f (x) = g(x) ⇔ 2 x − x 2 = x 2 − x − 2 ⇔ 50. 1. Trobem els punts de tall entre f i g: 3 ⎤ ⎡ 2 10 7 13 13 2 3 x x = ⎢ − ⎥ = 3 −6 = 6 ⇒ A = 6 u 3 ⎦1 ⎣ 2

2π

2π

— Si apliquem la regla de Barrow:

2

∫1 (x

3

3

Y

− 3 x 2 + 2 x) dx +

y = 3x

− 3 x + 2 x) dx = 2

1

3 2 ⎤ ⎡ 4 = ⎢x − 3x + 2x ⎥ + 3 2 ⎦0 ⎣ 4 2 ⎤2

y=–x+8

A1 A2

1

⎡ ⎡ ⎤ + ⎢ x − 3 x + 2 x ⎥ = ⎢ x − x3 − x 2 ⎥ + ⎣ 4 ⎦0 3 2 ⎦1 ⎣ 4 3

4

4

X

1 a

2

1 1 1 1 ⎡ 4 ⎤ + ⎢ x − x3 − x 2 ⎥ = + = ⇒ A = u2 4 4 2 2 ⎣ 4 ⎦1

2

=

= 1 + 2 + 1 = 4 ⇒ A = 4 u2

∫1 (4 x − x 2

A =

= 1 − 0 + −1 − 1 + 0 − (−1) = = ⎡sin x⎤ 2 + ⎡sin x⎤ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 0 π

46. Com que f(x) = −ex < 0 ∀ x ∈, l’àrea delimitada per la gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x = −1 i x = 2 coincideix amb: A = −

∫

+

∫

0

A =

π 2

3π 2 2π

3π 2 π 2

2

⎡ ⎤ + ⎢sin x⎥ 3 π = ⎣ ⎦ 2π

π 2

3π 2

=

∫

2

−1

[ ]

2 e x −1

f (x) dx = −

= e −e 2

−1

∫

2

−1 3

− e x dx =

∫

2

−1

e x dx =

e −1 e3 − 1 2 = ⇒ A = u e e

47. 1. Calculem els zeros de f: π cos x = 0 ⇔ x = + k π , k ∈  2

De la seva observació, en deduïm que la seva àrea A és la suma de: • L’àrea A1 del recinte limitat per la recta y = 3 x, l’eix OX i les rectes x = 0 i x = a, essent a l’abscissa del punt de tall entre les dues rectes de l’enunciat. • L’àrea A2 del recinte limitat per la recta y = −x + 8, l’eix OX i les rectes x = a i x = 8. Per tal de calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a: 3a = −a + 8 ⇒ a = 2 Per tant:

3π π ix = , aleshores l’àrea A del recinte que 2 2 delimita amb l’eix d’abscisses en aquest interval coincideix amb: A =

∫

π 2

∫

cos x dx +

0

∫1 (3x − x 2

∫1 (f(x) − g(x))dx

2

) dx =

=

2

2. Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea A del recinte comprès entre totes dues i les rectes x = 1 i x = 2 és: 49. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:

cos x dx + A =

3π π x = ix = , aleshores l’àrea A del recinte que 2 2 delimita amb l’eix d’abscisses en aquest interval coincideix amb:

b ⋅ h (8 − 0) ⋅ (3 ⋅ 2) = = 24 ⇒ A = 24 u 2 2 2

Podem comprovar geomètricament el resultat calculant directament l’àrea del triangle: = 3 ⋅ (2 − 0) + (32 − 14) = 24 ⇒ A = 24 u 2 ⎡ 2⎤ ⎡ 2 ⎤ x x = 3 ⎢ ⎥ + ⎢− + 8 x⎥ = ⎣ 2 ⎦0 ⎣ 2 ⎦2

2. En [0, 2 π], la funció f(x) = cos x té dos zeros: π + k π , k ∈ 2

8

2

A = A1 + A 2

47. 1. Calculem els zeros de f:

= ∫

3 x dx + (− x + 8) dx = ∫ 2

0

8

2

Per tant: = [ e x ]−1 = e2 − e−1 2

+

A = − π

∫

2π 3π 2

3π 2 π 2

∫ (− x + 8)dx = 2

8

2

Podem comprovar geomètricament el resultat calculant directament l’àrea del triangle: b ⋅ h (8 − 0) ⋅ (3 ⋅ 2) = = 24 ⇒ A = 24 u 2 2 2

49. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:

cos x dx =

f(x) = g(x) ⇔ 4 x − x2 = x ⇔ x = 0 o x = 3

3π

2π

2

2. Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l’àrea A del recinte comprès entre totes dues i les rectes x = 1 i x = 2 és:

cos x dx = [ sin x ]0 = 0 − 0 = 0 2π

∫

−1 2

e3 − 1 e3 − 1 2 = ⇒ A = u e e

f (x) dx = −

∫

−1 2

− e x dx =

∫

−1 2

e x dx =

46. Com que f(x) = −ex < 0 ∀ x ∈, l’àrea delimitada per la gràfica de f, l’eix d’abscisses i les rectes x = −1 i x = 2 coincideix amb: 1 1 1 1 ⎡ 4 ⎤ + ⎢ x − x3 − x 2 ⎥ = + = ⇒ A = u2 4 4 2 2 ⎣ 4 ⎦1

Per tal de calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a: 3a = −a + 8 ⇒ a = 2 • L’àrea A2 del recinte limitat per la recta y = −x + 8, l’eix OX i les rectes x = a i x = 8. • L’àrea A1 del recinte limitat per la recta y = 3 x, l’eix OX i les rectes x = 0 i x = a, essent a l’abscissa del punt de tall entre les dues rectes de l’enunciat. De la seva observació, en deduïm que la seva àrea A és la suma de:

2

3 2 ⎤ ⎡ 4 ⎡ 4 ⎤ + ⎢ x − 3 x + 2 x ⎥ = ⎢ x − x3 − x 2 ⎥ + ⎣ 4 ⎦0 3 2 ⎦1 ⎣ 4

1 a

1

2

y=–x+8

1

∫1 (x 2

A =

3

∫0 (x 1

X

A1 A2

3 2 ⎤ ⎡ 4 = ⎢x − 3x + 2x ⎥ + 3 2 ⎦0 ⎣ 4

+ 48. Fem una representació aproximada per tal de veure la disposició d’aquest triangle.

=

2

∫1 (4 x − x

2

− x) dx =

2

=

∫1 (3x − x

2

) dx =

2

⎡ 3 x 2 x3 ⎤ 10 7 13 13 2 = ⎢ − ⎥ = 3 −6 = 6 ⇒ A = 6 u 3 ⎦1 ⎣ 2

50. 1. Trobem els punts de tall entre f i g: f (x) = g(x) ⇔ 2 x − x 2 = x 2 − x − 2 ⇔ ⇔x=

1 o x=2 2

12 Integrals i aplicacions

Clarament obtenim un valor diferent al de l’àrea anterior, ja que la funció f(x) = cos x canvia de signe en [0, 2 π].

2

∫1 (f(x) − g(x))dx

A =

2

— Si apliquem la regla de Barrow:

0

0

8

= 3 ⋅ (2 − 0) + (32 − 14) = 24 ⇒ A = 24 u 2

= 1 − 0 + −1 − 1 + 0 − (−1) =

∫

3 x dx +

⎡x ⎡ x ⎤ = 3 ⎢ ⎥ + ⎢− + 8 x⎥ = ⎣ 2 ⎦0 ⎣ 2 ⎦2

cos x dx +

⎡ ⎤ = ⎡sin x⎤ 2 + ⎡sin x⎤ π2 + ⎢sin x⎥ 3 π = ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 0 2

2π

2

2 ⎤2

A =

= 1+ 2 +1 = 4 ⇒ A = 4u

∫

A = A1 + A 2 =

2. En [0, 2 π], la funció f(x) = cos x té dos zeros: x =

cos x = 0 ⇔ x =

− x) dx =

2

f(x) = g(x) ⇔ 4 x − x2 = x ⇔ x = 0 o x = 3

cos x dx =

cos x dx + ∫

1 o x=2 2

12 Integrals i aplicacions

L’àrea que busquem serà:

− 3 x 2 + 2 x) dx = 3

− 3 x 2 + 2 x) dx +

y = 3x

Y

L’àrea que busquem serà:

213

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 213 C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 214

214 2

−

1 2

∫

2

−

1 2

(f (x) − g(x)) dx =

4. Apliquem la fórmula de Simpson:

=

1 3

(

∫

8

x + 2 dx ≈

4

h (E + 2 P + 4 I) = 3

)

6 + 10 + 2 8 + 4 7 + 4 ⋅ 3 = 11, 28

(2 x − x 2 − (x 2 − x − 2)) dx = 53. Calculem F sabent que és primitiva de f: 2

−

1 2

(−2 x 2 + 3 x + 2) dx =

2

∫

F(t ) =

∫ − 0, 198 ⋅ e

− 0, 22 t

dt = − 0, 198

∫e

− 0, 22 t

dt =

⎛ −1 − 0, 22 t ⎞ + C ⎟ = 0, 9 e− 0, 22 t + C e = − 0, 198 ⋅ ⎜ ⎝ 0, 22 ⎠ Trobem C imposant que F(1) = 1: F(1) = 1 ⇔ 0,9 ⋅ e−0,22 + C = 1 ⇔ C = 0,28

F(t) = 0,9 e−0,22 t + 0,28

54. Considerem el canvi de variable: −t

4 100 e dt 100 −t

=

6

f (x 0 ) = f (4) =

−t

x = 4 e100 + 1 ⇒ dx = − Així, tenim que:

8−4 =1 4

7

= f (5) =

f ( x1 )

∫ p(t)dt

=

− 0, 8 dx = x 2 0, 04

∫

∫

0, 8 e100 −t ⎛ ⎞ ⎝⎜ 4 e100 + 1⎠⎟

∫−x

20 2

dx =

2

dt =

20 +C = x

+C

−t

4 e100 + 1 D’altra banda, sabem que P(0) = 4: P(0) = 4 ⇔

20 +C=4 ⇔4+C=4 ⇔C=0 5 20

Així, P(t ) =

−t

4 e100 + 1 — Si P(0) = 5,5, calculem C:

Així, la funció P seria: 20

+ 1, 5

−t

4 e100 + 1

12 Integrals i aplicacions214

⎡ 1 ⎤ 2. Aquests punts defineixen un únic interval, ⎢ − , 2 ⎥ , ⎣ 2 ⎦ aleshores l’àrea que busquem és: A =

∫

∫

2

3 2 ⎡ ⎤ 2 x 3 x 14 ⎛ 13 ⎞ + + 2 x⎥ = ⎢− = − ⎜− ⎟ = 2 3 ⎝ 24 ⎠ ⎣ 3 ⎦− 1

125 125 2 ⇒ A = u 24 24

=

Així, tenim que la funció que busquem és: 51. Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis prenent n = 5, ja que es consideren sis punts d’abscissa: 2 ⎛4 f (x) dx ≈ 0, 2 ⎜ + 3, 89 + 3, 58 + 3, 14 + 2, 59 + ⎝2 1 2⎞ + ⎟ = 3, 24 ⇒ A = 3, 24 u 2 2⎠

52. Apliquem la fórmula del mètode de Simpson amb n = 4:

P(t ) =

1. Dividim l’interval en 4 parts iguals: Calculem h: h=

8

f (x 2 ) = f (6) =

20

=

Així, els punts d’abscissa considerats són: x0 = 4 ; x1 = 5 ; x2 = 6 ; x3 = 7 ; x4 = 8 2. Calculem les imatges d’aquests punts per la funció integrant f (x) = x + 2:

9 =3

dt =

=

+1 + 1, 5

20

dt = − 0, 22 t

6 + 10 + 2 8 + 4 7 + 4 ⋅ 3 = 11, 28 h (E + 2 P + 4 I) = 3

x + 2 dx ≈

=

−t 4 e100

20 +C = x 2

f (x 3 ) = f (7) =

P(t ) =

Així, la funció P seria: P(0) = 5,5 ⇔ 4 + C = 5,5 ⇔ C = 1,5 — Si P(0) = 5,5, calculem C: dx =

⎞ + 1⎟⎠

∫e

dt = − 0, 198

P(0) = 5,5 ⇔ 4 + C = 5,5 ⇔ C = 1,5

10

2

20

−t ⎜ 4 e100

∫⎛

10

f (x 4 ) = f (8) =

+1

20 +1 +C

20

∫−x =

− 0, 22 t

f (x 4 ) = f (8) =

9 =3

−t 4 e100

20 +C=4 ⇔4+C=4 ⇔C=0 5 −t 4 e100

∫ p(t)dt

−t

4 100 e dt 100 −t

∫ − 0, 198 ⋅ e

3. Trobem els extrems, els parells i els imparells:

f (x 3 ) = f (7) =

Així, P(t ) =

∫

P(t ) =

0, 8 e100

Així, tenim que: −t

54. Considerem el canvi de variable: F(1) = 1 ⇔ 0,9 ⋅ e−0,22 + C = 1 ⇔ C = 0,28 Trobem C imposant que F(1) = 1: ⎛ −1 − 0, 22 t ⎞ + C ⎟ = 0, 9 e− 0, 22 t + C e = − 0, 198 ⋅ ⎜ ⎝ 0, 22 ⎠ F(t ) =

P(t ) =

8

(−2 x 2 + 3 x + 2) dx =

)

6 + 10

f (x 2 ) = f (6) = 1 2

(

E=

7 +3 7

−

53. Calculem F sabent que és primitiva de f: 1 3

8

I=

f (x1) = f (5) =

P(0) = 4 ⇔

D’altra banda, sabem que P(0) = 4: = =

− 0, 8 dx = x 2 0, 04

⎝

∫

2

(2 x − x 2 − (x 2 − x − 2)) dx = =

P=

1 2

(f (x) − g(x)) dx =

7 +3

8 6 + 10 6

8−4 h= =1 4

⎛4 f (x) dx ≈ 0, 2 ⎜ + 3, 89 + 3, 58 + 3, 14 + 2, 59 + ⎝2 −

2

1 2

4

I=

1

F(t) = 0,9 e−0,22 t + 0,28 Així, tenim que la funció que busquem és:

2

2

∫

− 2

∫

8

12 Integrals i aplicacions214

P= E=

3. Trobem els extrems, els parells i els imparells: f (x 0 ) = f (4) =

2. Calculem les imatges d’aquests punts per la funció integrant f (x) = x + 2: x0 = 4 ; x1 = 5 ; x2 = 6 ; x3 = 7 ; x4 = 8 Així, els punts d’abscissa considerats són: Calculem h:

1. Dividim l’interval en 4 parts iguals: 52. Apliquem la fórmula del mètode de Simpson amb n = 4:

x = 4 e100 + 1 ⇒ dx = −

2⎞ + ⎟ = 3, 24 ⇒ A = 3, 24 u 2 2⎠

∫

2

51. Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis prenent n = 5, ja que es consideren sis punts d’abscissa: 125 125 2 = ⇒ A = u 24 24 ⎡ 2 x3 3 x 2 ⎤ 14 ⎛ 13 ⎞ + + 2 x⎥ = ⎢− = − ⎜− ⎟ = 2 3 ⎝ 24 ⎠ ⎣ 3 ⎦− 1 = =

∫

A =

⎡ 1 ⎤ 2. Aquests punts defineixen un únic interval, ⎢ − , 2 ⎥ , ⎣ 2 ⎦ aleshores l’àrea que busquem és:

4. Apliquem la fórmula de Simpson:

214

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 214

C M Y K

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 215

215 12 Integrals i aplicacions

55. a) Trobem P, una primitiva de p: P = =

∫ 38 e

− 0, 02 t

∫

38 dt = (− 0, 02) e− 0, 02 t = − 0, 02

38 e− 0, 02 t + C = −1 900 e− 0, 02 t + C − 0, 02

b) Calculem la població entre els anys 2000 i 2009, que correspon al període [0, 9]: P(9) − P(0) =

∫

9

38 e− 0, 02 t dt =

c) Calculem la població mitjana: P(9) − P(0) 312, 986 598 = = 34, 776 289 9−0 9 Així, la població mitjana és de 34 776 289 habitants. 56. Activitat TIC. 57. Activitat TIC.

0

9

= ⎡⎣ −1 900 e− 0, 02 t ⎤⎦ = 312, 986 598 > 0 0 Per tant, la població durant aquest període ha augmentat.

Per tant, la població durant aquest període ha augmentat. = ⎣⎡ −1 900 e− 0, 02 t ⎦⎤ = 312, 986 598 > 0 0 9

∫

0

P(9) − P(0) = 12 Integrals i aplicacions

9

38 e− 0, 02 t dt =

b) Calculem la població entre els anys 2000 i 2009, que correspon al període [0, 9]: 38 P = ∫ 38 e− 0, 02 t dt = (− 0, 02) e− 0, 02 t = − 0, 02 38 e− 0, 02 t + C = −1 900 e− 0, 02 t + C − 0, 02 =

∫

55. a) Trobem P, una primitiva de p:

57. Activitat TIC. 56. Activitat TIC. Així, la població mitjana és de 34 776 289 habitants. P(9) − P(0) 312, 986 598 = = 34, 776 289 9−0 9 c) Calculem la població mitjana:

215

12 Mates CSS_Guia.qxd

27/5/09

13:15

Página 215 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 216

216 + (r1 − p1 , r2 − p2 ) ⋅ (q1 − s1 , q 2 − s2 ) + UNITAT 1 - VECTORS DEL PLA 1. a) b) c) d) e) f)

2.

a)

  u + v = (2, 1) + (3, −2) = (2 + 3, 1 − 2) = (5, −1)   u − v = (2, 1) − (3, −2) = (2 − 3, 1 − (−2)) = (−1, 3)  3 u = 3 ⋅ (2, 1) = (3 ⋅ 2, 3 ⋅ 1) = (6, 3)  2 v = 2 ⋅ (3, −2) = (2 ⋅ 3, 2 ⋅ (−2)) = (6, −4)   3 u − 2 v = (6, 3) − (6, −4) = (0, 7)     (u + 2 v ) ⋅ (2 u − v ) = ((2, 1) + 2 ⋅ (3, −2)) ⋅ ⋅ (2 ⋅ (2, 1) − (3, −2)) = = ((2, 1) + (6, −4)) ⋅ ⋅ ((4, 2) − (3, −2)) = = (8, −3) ⋅ (1, 4) = 8 − 12 = −4    Si el vector w és combinació lineal de u i v , ales hores w es pot expressar com a    w = k1 u + k 2 v (2, 3) = k1(1, 2) + k 2(2, 0) Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions:

⎪⎧2 = k1 + 2 k 2 ⎨ ⎩⎪3 = 2 k1 + 0 k 2 3 1 Resolent el sistema obtenim que k1 = i k2 = 2 4    b) Si el vector w és combinació lineal de u i v , ales hores w es pot expressar com a    w = k1 u + k 2 v (4, 5) = k1(2, 1) + k 2(−3, 5) Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions: ⎪⎧4 = 2 k1 − 3 k 2 ⎨ ⎩⎪ 5 = k1 + 5 k 2 35 i Resolent el sistema obtenim que k1 = − 6 13 . 6

4 = k1 − k 2 ⎪⎫ ⎬ ⇒ k1 = −2 i k 2 = −6 −2 = k1 + 0 k 2 ⎭⎪    s = (−2, −6) en la base B = {u, v } • (−1, 0) = k1(1, 1) + k2 (−1, 0) −1 = k1 − k 2 ⎪⎫ ⎬ ⇒ k1 = 0 i k 2 = 1 0 = k1 + 0 k 2 ⎭⎪    w = (0, 1) en la base B = {u, v }   4. a) u ⋅ v = −5 ⋅ −1 + 3 ⋅ 0 = 5.   b) u i v  u = (−5)2 + 32 = 5, 83.  v = (−1)2 + 02 = 1. — Si dos vectors són ortogonals, l’angle que formen entre ells és de 90º, de manera que, segons l’ex    pressió u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α, el producte escalar hauria de ser zero. Com hem calculat en l’apartat a, veiem que el producte escalar dels dos vectors que ens ocupen no és nul, per tant els vectors no són ortogonals. 5. Per calcular l’angle que formen els dos vectors, utilitzarem l’expressió donada pel producte escalar u1 v1 + u 2 v 2    cos(u , v) = i calcularem l’arcosiu12 + u 22 v12 + v 22

nus.       a) cos(u , v ) = 0, 6 ⇒ (u , v ) = 53, 13°       b) cos( w , r ) = 0, 84 ⇒ ( w , r ) = 32, 47°     c) cos( s , t ) = 0 ⇒ ( s , t ) = 90°   d) cos(a, b) = −0, 316 ⇒ (a, b) = 108, 43° 6.

k2 =

Siguin P = (p 1, p 2), Q = (q 1, q 2), R = (r 1, r 2) i S = (s 1, s 2).   [PQ ] = (q1 − p1 , q 2 − p2 ) [SQ ] = (q1 − s1 , q 2 − s2 )   [RS] = (s1 − r1 , s2 − r2 ) [PS] = (s1 − p1 , s2 − p2 )   [PR ] = (r1 − p1 , r2 − p2 ) [QR ] = (r1 − q1 , r2 − q 2 )       [PQ ] ⋅ [RS] + [PR ] ⋅ [SQ ] + [PS] ⋅ [QR ] = = (q1 − p1 , q 2 − p2 ) ⋅ (s1 − r1 , s2 − r2 ) +

Propostes d’avaluació

Propostes d’avaluació

+ (s1 − p1 ) ⋅ (r1 − q1 ) + (s2 − p2 ) ⋅ (r2 − q 2 ) = + (r1 − p1 ) ⋅ (q1 − s1 ) + (r2 − p2 ) ⋅ (q 2 − s2 ) + = (q1 − p1 ) ⋅ (s1 − r1 ) + (q 2 − p2 ) ⋅ (s2 − r2 ) + + (s1 − p1 , s2 − p2 ) ⋅ (r1 − q1 , r2 − q 2 ) = Siguin P = (p 1, p 2), Q = (q 1, q 2), R = (r 1, r 2) i S = (s 1, s 2).   [PQ ] = (q1 − p1 , q 2 − p2 ) [SQ ] = (q1 − s1 , q 2 − s2 )   [RS] = (s1 − r1 , s2 − r2 ) [PS] = (s1 − p1 , s2 − p2 )   [PR ] = (r1 − p1 , r2 − p2 ) [QR ] = (r1 − q1 , r2 − q 2 )       [PQ ] ⋅ [RS] + [PR ] ⋅ [SQ ] + [PS] ⋅ [QR ] = = (q1 − p1 , q 2 − p2 ) ⋅ (s1 − r1 , s2 − r2 ) +

3. Procedim a resoldre l’exercici de la mateixa manera que en l’exercici anterior, però en aquesta ocasió, k1 i k2 seran les components dels vectors en la nova base.

   Si el vector w és combinació lineal de u i v , ales hores w es pot expressar com a    w = k1 u + k 2 v

−1 = k1 − k 2 ⎪⎫ ⎬ ⇒ k1 = 0 i k 2 = 1 0 = k1 + 0 k 2 ⎪⎭    w = (0, 1) en la base B = {u, v }   4. a) u ⋅ v = −5 ⋅ −1 + 3 ⋅ 0 = 5.   b) u i v  u = (−5)2 + 32 = 5, 83.  v = (−1)2 + 02 = 1. • (−1, 0) = k1(1, 1) + k2 (−1, 0)

+ (r1 − p1 , r2 − p2 ) ⋅ (q1 − s1 , q 2 − s2 ) +

• (1, 3) = k (1, 1) + k (−1, 0) 1

6.

Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions:

nus.

5. Per calcular l’angle que formen els dos vectors, utilitzarem l’expressió donada pel producte escalar u1 v1 + u 2 v 2    cos(u , v) = i calcularem l’arcosi2 u1 + u 22 v12 + v 22

Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions: a)

  u + v = (2, 1) + (3, −2) = (2 + 3, 1 − 2) = (5, −1)   u − v = (2, 1) − (3, −2) = (2 − 3, 1 − (−2)) = (−1, 3)  3 u = 3 ⋅ (2, 1) = (3 ⋅ 2, 3 ⋅ 1) = (6, 3)  2 v = 2 ⋅ (3, −2) = (2 ⋅ 3, 2 ⋅ (−2)) = (6, −4)   3 u − 2 v = (6, 3) − (6, −4) = (0, 7)     (u + 2 v ) ⋅ (2 u − v ) = ((2, 1) + 2 ⋅ (3, −2)) ⋅ ⋅ (2 ⋅ (2, 1) − (3, −2)) = = ((2, 1) + (6, −4)) ⋅ ⋅ ((4, 2) − (3, −2)) = = (8, −3) ⋅ (1, 4) = 8 − 12 = −4

Propostes d’avaluació

• (4, −2) = k1(1, 1) + k2 (−1, 0) ⎪⎫ ⎬ ⇒ k1 = 3 i k 2 = 2 3 = k1 + 0 k 2 ⎪⎭    r = (3, 2) en la base B = {u, v }

1 = k1 − k 2

• (1, 3) = k1(1, 1) + k2 (−1, 0) 3. Procedim a resoldre l’exercici de la mateixa manera que en l’exercici anterior, però en aquesta ocasió, k1 i k2 seran les components dels vectors en la nova base. 35 i Resolent el sistema obtenim que k1 = − 6 13 k2 = . 6 ⎪⎧4 = 2 k1 − 3 k 2 ⎨ ⎩⎪ 5 = k1 + 5 k 2

      a) cos(u , v ) = 0, 6 ⇒ (u , v ) = 53, 13°       b) cos( w , r ) = 0, 84 ⇒ ( w , r ) = 32, 47°   c) cos( s , t ) = 0 ⇒ ( s , t ) = 90°   d) cos(a, b) = −0, 316 ⇒ (a, b) = 108, 43°

(4, 5) = k1(2, 1) + k 2(−3, 5) 3 1 i k2 = 2 4    b) Si el vector w és combinació lineal de u i v , ales hores w es pot expressar com a    w = k1 u + k 2 v Resolent el sistema obtenim que k1 = ⎪⎧2 = k1 + 2 k 2 ⎨ ⎩⎪3 = 2 k1 + 0 k 2

— Si dos vectors són ortogonals, l’angle que formen entre ells és de 90º, de manera que, segons l’ex    pressió u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α, el producte escalar hauria de ser zero. Com hem calculat en l’apartat a, veiem que el producte escalar dels dos vectors que ens ocupen no és nul, per tant els vectors no són ortogonals.

(2, 3) = k1(1, 2) + k 2(2, 0) 2.

1. a) b) c) d) e) f)

⎫⎪ ⎬ ⇒ k1 = −2 i k 2 = −6 −2 = k1 + 0 k 2 ⎭⎪    s = (−2, −6) en la base B = {u, v }

4 = k1 − k 2

UNITAT 1 - VECTORS DEL PLA

2

+ (s1 − p1 , s2 − p2 ) ⋅ (r1 − q1 , r2 − q 2 ) =

1 = k1 − k 2 ⎪⎫ ⎬ ⇒ k1 = 3 i k 2 = 2 3 = k1 + 0 k 2 ⎭⎪    r = (3, 2) en la base B = {u, v }

= (q1 − p1 ) ⋅ (s1 − r1 ) + (q 2 − p2 ) ⋅ (s2 − r2 ) + + (r1 − p1 ) ⋅ (q1 − s1 ) + (r2 − p2 ) ⋅ (q 2 − s2 ) + + (s1 − p1 ) ⋅ (r1 − q1 ) + (s2 − p2 ) ⋅ (r2 − q 2 ) =

• (4, −2) = k1(1, 1) + k2 (−1, 0)

Propostes d’avaluació

216

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 216

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 217

(−4, 1) = 3 (x − 1, y − 1) (−4, 1) = (3 x − 3, 3 y − 3) −4 = 3 x − 3 1 = 3y − 3

+ p2 r2 + r1q1 − r1s1 − p1q1 + p1s1 + + r2 q 2 − r2 s2 − p2 q 2 + p2 s2 + s1r1 − s1q1 − p1r1 + + p1q1 + s2 r2 − s2 q 2 − p2 r2 + p2 q 2 = 0

D’on tenim que   AB = 3 AM   2 AB = 3 AN

11. A = (1, 1) i B = (−3, 2). Hem de buscar els punts M i N que divideixen el segment en tres parts iguals. Així tenim que

7. El primer que hem de fer és determinar  el vector que formen l’origen O amb el punt P, OP = p , i després  trobem les coordenades del vector p respecte de la base   que formen els vectors u i v. De manera que l’equació    que s’ha de plantejar és p = p1u + p2 v (10, 5) = p1(4, −5) + p2(−1, 3)

10 = 4 p1 − p2 ⎫⎪ ⎬ ⇒ p1 = 5 i p2 = 10 5 = −5 p1 + 3 p2 ⎪⎭ Les coordenades del punt P respecte d’aquest sistema de referència són P = (5, 10). 8. Plantegem l’equació (5, 5) = 4(1, 2) + 6(v1, v2).

Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:

3⎞ ⎛ 1 − 3 1 + 2⎞ ⎛ M AB = ⎜ , ⎟ = ⎜ −1, ⎠⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 10. Donats els punts A = (1, 1) i B = (−3, 2), apliquem la fórmula corresponentper  trobar les coordenades del punt mitjà del segment AB :

Igualem les components i obtenim que v1 = 1⎞ 1  ⎛1 v2 = − . Per tant v = ⎜ , − ⎟ . ⎝ 6 2⎠ 2

b)

9. a)

1 i 6

 [ AB] = (b1 − a1, b2 − a2)  [ AB] = (6 − 1, 7 − 1) = (5, 6)

9. a) b)

 [CD] = (d1 − c1, d2 − c2)  [CD] = (3 − (−2), 6 − 4) = (5, 2)

c)

 [EF] = (f1 − e1, f2 − e2)  [EF] = (−3 − (−1), 2 − 2) = (−2, 0)

 [EF] = (f1 − e1, f2 − e2)  [EF] = (−3 − (−1), 2 − 2) = (−2, 0)  [CD] = (d1 − c1, d2 − c2)  [CD] = (3 − (−2), 6 − 4) = (5, 2)

Siguin M = (m 1, m 2), N = (n 1, n 2), P = (p 1, p 2), Q = (q 1, q 2) i R = (r 1, r 2) les coordenades de M, N, P, Q i R, respectivament. Tenim:  [ AM] = (m1 − (−6), m2 − 6) = (m1 + 6, m2 − 6)  [ AN] = (n1 − (−6), n2 − 6) = (n1 + 6, n2 − 6)  [ AP] = (p1 − (−6), p2 − 6) = (p1 + 6, p2 − 6)  [ AQ ] = (q1 − (−6), q 2 − 6) = (q1 + 6, q 2 − 6)  [ AR ] = (r1 − (−6), r2 − 6) = (r1 + 6, r2 − 6)  [ AB] = (12 − (−6), −6 − 6) = (18, −12)  1  [ AM] = [ AB] 6  2  1  [ AN] = [ AB] = [ AB] 6 3  3  1  [ AP] = [ AB] = [ AB] 6 2  4  2  [ AQ ] = [ AB] = [ AB] 6 3  5  [ AR ] = [ AB] 6

 [ AB] = (b1 − a1, b2 − a2)  [ AB] = (6 − 1, 7 − 1) = (5, 6)

1⎞ 1  ⎛1 v2 = − . Per tant v = ⎜ , − ⎟ . ⎝6 2⎠ 2 Igualem les components i obtenim que v1 =

10. Donats els punts A = (1, 1) i B = (−3, 2), apliquem la fórmula corresponentper  trobar les coordenades del punt mitjà del segment AB : 3⎞ ⎛ 1 − 3 1 + 2⎞ ⎛ M AB = ⎜ , ⎟ = ⎜ −1, ⎟⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 11. A = (1, 1) i B = (−3, 2). Hem de buscar els punts M i N que divideixen el segment en tres parts iguals. Així tenim que   AB = 3 AM   2 AB = 3 AN

(−4, 1) = 3 (x − 1, y − 1) (−4, 1) = (3 x − 3, 3 y − 3) −4 = 3 x − 3 1 = 3y − 3

1 4 i y = , és a dir 3 3

⎛ 1 4⎞ M = ⎜− , ⎟ ⎝ 3 3⎠ Si repetim el raonament per N:   2 AB = 3 AN D’on tenim que 2(−4, 1) = 3(x − 1, y − 1) (−8, 2) = (3 x − 3, 3 y − 3) −8 = 3 x – 3 Per tant, x = −

5 5 i y = , per tant 3 3 ⎛ 5 5⎞ N = ⎜− , ⎟ ⎝ 3 3⎠

12. Si els punts M, N, P, Q i R divideixen el segment AB en sis parts iguals, s’ha de complir:  1  [ AM] = [ AB] 6  2  1  [ AN] = [ AB] = [ AB] 6 3  3  1  [ AP] = [ AB] = [ AB] 6 2  4  2  [ AQ ] = [ AB] = [ AB] 6 3  5  [ AR ] = [ AB] 6 Siguin M = (m 1, m 2), N = (n 1, n 2), P = (p 1, p 2), Q = (q 1, q 2) i R = (r 1, r 2) les coordenades de M, N, P, Q i R, respectivament. Tenim:  [ AM] = (m1 − (−6), m2 − 6) = (m1 + 6, m2 − 6)  [ AN] = (n1 − (−6), n2 − 6) = (n1 + 6, n2 − 6)  [ AP] = (p1 − (−6), p2 − 6) = (p1 + 6, p2 − 6)  [ AQ ] = (q1 − (−6), q 2 − 6) = (q1 + 6, q 2 − 6)  [ AR ] = (r1 − (−6), r2 − 6) = (r1 + 6, r2 − 6)  [ AB] = (12 − (−6), −6 − 6) = (18, −12) Si substituïm en les igualtats anteriors, obtenim:  1  [ AM] = [ AB] ⇒ 6 1 ⇒ (m1 + 6, m2 − 6) = (18, −12) = (3, −2) 6 m1 + 6 = 3 ⎫ ⎬ ⇒ m1 = −3, m2 = 4 m2 − 6 = −2 ⎭⎪  1  [ AN] = [ AB] ⇒ 3 1 ⇒ (n1 + 6, n2 − 6) = (18, −12) = (6, −4) 3 n1 + 6 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ n1 = 0, n2 = 2 n2 − 6 = −4 ⎭⎪

Propostes d’avaluació

D’on tenim que

Per tant, x = −

2 = 3y −3

Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions

c)

 1  [ AM] = [ AB] ⇒ 6 1 ⇒ (m1 + 6, m2 − 6) = (18, −12) = (3, −2) 6 m1 + 6 = 3 ⎫ ⎬ ⇒ m1 = −3, m2 = 4 m2 − 6 = −2 ⎭⎪  1  [ AN] = [ AB] ⇒ 3 1 ⇒ (n1 + 6, n2 − 6) = (18, −12) = (6, −4) 3 n1 + 6 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ n1 = 0, n2 = 2 n2 − 6 = −4 ⎭⎪

1 i 6

8. Plantegem l’equació (5, 5) = 4(1, 2) + 6(v1, v2). Les coordenades del punt P respecte d’aquest sistema de referència són P = (5, 10). 10 = 4 p1 − p2 ⎪⎫ ⎬ ⇒ p1 = 5 i p2 = 10 5 = −5 p1 + 3 p2 ⎭⎪ Igualem component a component i obtenim el següent sistema d’equacions (10, 5) = p1(4, −5) + p2(−1, 3) 7. El primer que hem de fer és determinar  el vector que formen l’origen O amb el punt P, OP = p , i després  trobem les coordenades del vector p respecte de la base   que formen els vectors u i v. De manera que l’equació    que s’ha de plantejar és p = p1u + p2 v +

+ p1q1

−

+ r2 q 2

s2 r2 r2 s2

− −

s2 q 2 p2 q 2

− +

+

p2 r2

+

p2 s 2

p2 q 2 s1r1

Propostes d’avaluació

217 = q1s1 − q1r1 − p1s1 + p1r1 + q 2 s2 − q 2 r2 − p2 s2 +

=0 − s1q1 − p1r1 +

+ p2 r2 + r1q1 − r1s1 − p1q1 + p1s1 + = q1s1 − q1r1 − p1s1 + p1r1 + q 2 s2 − q 2 r2 − p2 s2 +

12. Si els punts M, N, P, Q i R divideixen el segment AB en sis parts iguals, s’ha de complir: 2 = 3y −3 5 5 Per tant, x = − i y = , per tant 3 3 ⎛ 5 5⎞ N = ⎜− , ⎟ ⎝ 3 3⎠ −8 = 3 x – 3 (−8, 2) = (3 x − 3, 3 y − 3) 2(−4, 1) = 3(x − 1, y − 1) D’on tenim que ⎛ 1 4⎞ M = ⎜− , ⎟ ⎝ 3 3⎠ Si repetim el raonament per N:   2 AB = 3 AN Per tant, x = −

1 4 i y = , és a dir 3 3

217

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 217 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 218

218 = 2 ⋅ (3, 2) = (6, 4) ⇒ c1′ − 1 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ c1′ = 7 , c2′ = 5 ⇒ C ′ = (7, 5) c2′ − 1 = 4 ⎭⎪

Hi ha, per tant, dos punts que compleixen les condicions de l’enunciat: C′ = (7, 5) i C″ = (−5, −3) 14. Necessitem fer una representació gràfica dels vèrtexs. Y C D M A B

X

De la figura es dedueix que A, B, C i D determinen un paral·lelogram. Per comprovar-ho, vegem que   [ AC] = [BD] .  [ AC] = (3 − 1, 5 − 2) = (2, 3)  [BD] = (5 − 3, 4 − 1) = (2, 3) Per tant:

  [ AC] = [BD]

El centre, M, compleix la relació:  1  [ AM] = [ AD] 2 Sigui M = (m1, m2).  [ AM] = (m1 − 1, m2 − 2)  [ AD] = (5 − 1, 4 − 2) = (4, 2)   1 1 [ AM] = [ AD] ⇒ (m1 − 1, m2 − 2) = (4, 2) = 2 2 m1 − 1 = 2 ⎫ ⎬ ⇒ m1 = 3; m2 = 3 m2 − 2 = 1⎭⎪ = (2, 1) ⇒

Les coordenades de M són (3, 3). 15. Si escrivim els vectors en components, i suposem que    {u, v } és una base ortonormal tenim: r = (3, − k),  s = (7, −4 k) i el producte escalar val: (3, − k) ⋅ (7, −4 k) = 21 + 4 k 2

Sigui C″ = (c″1, c″2). Aleshores:  [ AC ′′] = (c1′′ − 1, c2′′ − 1)   [ AC ′′] = −2 [ AB] ⇒ (c1′′ − 1, c2′′ − 1) = = −2 ⋅ (3, 2) = (−6, −4) ⇒ ⎧ c1′′ − 1 = −6 ⇒⎨ ⇒ c1′′ = −5 , c2′′ = −3 ⇒ ⎩⎪c2′′ − 1 = −4

Si igualem el resultat a 5, i resolem 21 + 4 k 2 = 5 ⇒ 17 = −4 k 2 És a dir que no hi ha cap valor de k real que compleixi la condició de l’enunciat.  ⎛ k⎞ 16. Calcula el valor de k per tal que els vectors u = ⎜ 6, ⎟  ⎝ 2⎠ i v = (4, −2):

Propostes d’avaluació

 1  [ AP] = [ AB] ⇒ 2 1 ⇒ (p1 + 6, p2 − 6) = (18, −12) = (9, −6) 2 p1 + 6 = 9 ⎫ ⎬ ⇒ p1 = 3, p2 = 0 p − 6 = −6 ⎪ 2 ⎭  2  [ AQ ] = [ AB] ⇒ 3 2 ⇒ (q1 + 6, q 2 − 6) = (18, −12) = (12, −8) 3 q1 + 6 = 12 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 6, q 2 = −2 q − 6 = −8 ⎪ 2 ⎭  5  [ AR ] = [ AB] ⇒ 6 5 ⇒ (r1 + 6, r2 − 6) = (18, −12) = (15, −10) 6 r1 + 6 = 15 ⎫ ⎬ ⇒ r1 = 9, r2 = −4 r2 − 6 = −10 ⎪⎭ Per tant, M = (−3, 4), N = (0, 2), P = (3, 0), Q = (6, −2) i R = (9, −4). 13. Una figura ens ajudarà a veure la situació dels punts: C′ B A

Aquesta igualtat ens permet d’assegurar que es tracta d’un paral·lelogram.

C″

El primer que s’aprecia en realitzar la figura és que hi ha dos punts que compleixen la condició proposada per a C, C′ i C″. Per tant, el problema tindrà dues solucions. A partir de la figura podem escriure:   [ AC ′] = 2 [ AB]   [ AC ′′] = −2 [ AB] Sigui C′ = (c′1, c′2). Aleshores:  [ AC ′] = (c1′ − 1, c2′ − 1)  [ AB] = (4 − 1, 3 − 1) = (3, 2)   [ AC ′] = 2 [ AB] ⇒ (c1′ − 1, c2′ − 1) = ⇒

És a dir que no hi ha cap valor de k real que compleixi la condició de l’enunciat.  ⎛ k⎞ 16. Calcula el valor de k per tal que els vectors u = ⎜ 6, ⎟  ⎝ 2⎠ i v = (4, −2): 21 + 4 k 2 = 5 ⇒ 17 = −4 k 2 Si igualem el resultat a 5, i resolem (3, − k) ⋅ (7, −4 k) = 21 + 4 k 2 15. Si escrivim els vectors en components, i suposem que    {u, v } és una base ortonormal tenim: r = (3, − k),  s = (7, −4 k) i el producte escalar val: Les coordenades de M són (3, 3).  [ AM] = (m1 − 1, m2 − 2)  [ AD] = (5 − 1, 4 − 2) = (4, 2)  1  1 [ AM] = [ AD] ⇒ (m1 − 1, m2 − 2) = (4, 2) = 2 2 m1 − 1 = 2 ⎫ = (2, 1) ⇒ ⎬ ⇒ m1 = 3; m2 = 3 m2 − 2 = 1⎭⎪ Sigui M = (m1, m2).  1  [ AM] = [ AD] 2 El centre, M, compleix la relació: Per tant:

D

⇒ C ′′ = (−5, −3)

c1′ − 1 = 6 ⎫ ⎬ ⇒ c1′ = 7 , c2′ = 5 ⇒ C ′ = (7, 5) c2′ − 1 = 4 ⎪⎭ C′

De la figura es dedueix que A, B, C i D determinen un paral·lelogram. Per comprovar-ho, vegem que   [ AC] = [BD] .  [ AC] = (3 − 1, 5 − 2) = (2, 3)  [BD] = (5 − 3, 4 − 1) = (2, 3) X B A M C

Y

14. Necessitem fer una representació gràfica dels vèrtexs. C′ = (7, 5) i C″ = (−5, −3) Hi ha, per tant, dos punts que compleixen les condicions de l’enunciat:

Propostes d’avaluació

⎧ c1′′ − 1 = −6 ⇒⎨ ⇒ c1′′ = −5 , c2′′ = −3 ⇒ ⎪⎩c2′′ − 1 = −4 ⇒ C ′′ = (−5, −3) = −2 ⋅ (3, 2) = (−6, −4) ⇒  [ AC ′′] = (c1′′ − 1, c2′′ − 1)   [ AC ′′] = −2 [ AB] ⇒ (c1′′ − 1, c2′′ − 1) = Sigui C″ = (c″1, c″2). Aleshores: ⇒

= 2 ⋅ (3, 2) = (6, 4) ⇒  [ AC ′] = (c1′ − 1, c2′ − 1)  [ AB] = (4 − 1, 3 − 1) = (3, 2)   [ AC ′] = 2 [ AB] ⇒ (c1′ − 1, c2′ − 1) = Sigui C′ = (c′1, c′2). Aleshores: A partir de la figura podem escriure:   [ AC ′] = 2 [ AB]   [ AC ′′] = −2 [ AB] El primer que s’aprecia en realitzar la figura és que hi ha dos punts que compleixen la condició proposada per a C, C′ i C″. Per tant, el problema tindrà dues solucions.

Aquesta igualtat ens permet d’assegurar que es tracta d’un paral·lelogram.

C″ A

  [ AC] = [BD]

B

13. Una figura ens ajudarà a veure la situació dels punts: Per tant, M = (−3, 4), N = (0, 2), P = (3, 0), Q = (6, −2) i R = (9, −4).  1  [ AP] = [ AB] ⇒ 2 1 ⇒ (p1 + 6, p2 − 6) = (18, −12) = (9, −6) 2 p1 + 6 = 9 ⎫ ⎬ ⇒ p1 = 3, p2 = 0 p2 − 6 = −6 ⎪⎭  2  [ AQ ] = [ AB] ⇒ 3 2 ⇒ (q1 + 6, q 2 − 6) = (18, −12) = (12, −8) 3 q1 + 6 = 12 ⎫ ⎬ ⇒ q1 = 6, q 2 = −2 q 2 − 6 = −8 ⎪⎭  5  [ AR ] = [ AB] ⇒ 6 5 ⇒ (r1 + 6, r2 − 6) = (18, −12) = (15, −10) 6 r1 + 6 = 15 ⎫ ⎬ ⇒ r1 = 9, r2 = −4 r2 − 6 = −10 ⎭⎪

218

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 218

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 219

⎛ k⎞ ⎜⎝ 6, 2 ⎟⎠ ⋅ ( 4, −2 ) = 24 − k 24 − k = 0 ⇒ k = 24

Com que el sistema té solució, vol dir que les rectes tenen un punt en comú, per tant, són secants.

y −1 x+2 • Eq. contínua: = 5 −3

3x − 5y +1 = 0 ⎫ 11 1 i y =− ⎬⇒x =− 5 x + 3 y − 4 = 0⎭ 10 2

⎧ x = −2 + 5 k • Eq. paramètrica: ⎨ ⎩y = 1 − 3 k 6. • Eq. vectorial: (x, y) = (−2, 1) + k (5, −3).

3 • Eq. punt-pendent: y − 1 = − (x + 2). 5 • Eq. general: 3 x + 5 y + 1 = 0. 2.

És a dir, que si k = 24, els vectors són perpendiculars. b) Per ser paral·lels, les seves components han de ser proporcionals: 3.

k 6 6 k = 2 ⇒ = ⇒ k = −6 4 −2 4 −4

L’equació de punt-pendent de la recta és y − 1 = 5 = (x − 1), de manera que el pendent serà 2 5 m= = 2,5. 2 Observem que la recta passa pels punts (0, −1) i  (5, 0). Per tant, v = (5, 0) − (0, −1) = (5, 1) és un vector director.

El sistema no té solució, és a dir, les rectes no tenen cap punt en comú, per tant, les dues rectes són paral·leles.

1. El vector director de la recta és el vector lliure   [ AB] = v = (5, −3).

x + y − 4 = 0⎫ x+y−4 =0 ⎫ ⎬ ⇒ −7 = 0 ⎬⇒ −x − y − 3 = 0⎭ x + y + 3 = 0⎭

UNITAT 2 - RECTES EN EL PLA

D’aquí podem obtenir l’equació general de la recta

Si k = −6, els vectors són paral·lels. Si resolem l’equació de segon grau obtenim com a resultats possibles k = −36 i k = 4 que correspon a l’angle en sentit horari i l’angle en sentit antihorari. =   u⋅v =

y − (−1) x−0 = ⇒ x − 5y − 5 = 0 5 1

c) Per a poder formar un angle de 45°, necessitem el mòdul dels dos vectors: 2

 u =

⎛ k⎞ 62 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

 v =

4 2 + (−2)2 =

=

36 +

k2 4

16 + 4 =

Aquesta equació ens permet de trobar l’ordenada d’un punt de la recta a partir de la seva abscissa: 20

  u⋅v =

36 +

k2 ⋅ 20 ⋅ cos 45º = 4

=

36 +

k2 2 ⋅ 20 ⋅ = 4 2

 v =  u =

k2 2 36 + ⋅ 20 ⋅ = 4 2 36 +

5 k2 360 + 2

5.

16 + 4 =

4 2 + (−2)2 =

k2 36 + 4

⎛ k⎞ 62 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

=

Plantejem el sistema d’equacions que formen les rectes y − 2 = −x; y + x − 2 = 0.

4.

L’equació punt-pendent d’aquesta recta és y − 2 = = −1 (x − 0). Per tant, 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 20 1 ⎞ ⎛ C = ⎜ ..., ⎟ = ⎜ 5 ⋅ + 5, ⎟ = ⎜ , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠

k2 ⋅ 20 ⋅ cos 45º = 4 2

Procedim a solucionar l’exercici de la mateixa manera que l’anterior Així,

20

x = 5y + 5 Anàlogament, podem trobar l’abscissa d’un punt de la recta a partir de la seva ordenada si aïllem x: ⎛ 2 − 5 ⎞ ⎛ −3 ⎞ A = ⎜ 2, ⎟ = ⎜ 2, ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 1 ⎞ ⎛ 11 ⎞ − − 5⎟ ⎛ 1 = ⎜− , − ⎟ B=⎜ 1 − , 2 10 ⎠ ⎟ ⎝ 2 ⎝⎜ 2 5 ⎠

Si igualem aquesta expressió amb l’expressió del càlcul en components tenim: =   u⋅v =

36 + 36 +

k2 2 ⋅ 20 ⋅ = 4 2

360 +

5 k2 2

k2 ⋅ 20 ⋅ cos 45º = 4

4 2 + (−2)2 =

 v =

⎛ k⎞ 62 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

 u =

=

16 + 4 = 36 +

2

Propostes d’avaluació

219 a) Per ser perpendiculars, el seu producte escalar ha de ser zero:

360 +

y = Així,

⎛ 2 − 5 ⎞ ⎛ −3 ⎞ A = ⎜ 2, ⎟ = ⎜ 2, ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 1 ⎞ ⎛ 11 ⎞ − − 5⎟ ⎛ 1 = ⎜− , − ⎟ B=⎜ 1 2 ⎝ − , 2 10 ⎠ ⎟ ⎝⎜ 2 5 ⎠

5 k2 2

Si igualem aquesta expressió amb l’expressió del càlcul en components tenim: 2

 u =

⎛ k⎞ 62 + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

 v =

4 2 + (−2)2 =

=

36 +

Anàlogament, podem trobar l’abscissa d’un punt de la recta a partir de la seva ordenada si aïllem x:

k2 4

16 + 4 =

x = 5y + 5 20

  u⋅v =

36 +

k2 ⋅ 20 ⋅ cos 45º = 4

=

36 +

k2 2 ⋅ 20 ⋅ = 4 2

360 +

Així, 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 20 1 ⎞ ⎛ C = ⎜ ..., ⎟ = ⎜ 5 ⋅ + 5, ⎟ = ⎜ , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠ 5 k2 2

Si resolem l’equació de segon grau obtenim com a resultats possibles k = −36 i k = 4 que correspon a l’angle en sentit horari i l’angle en sentit antihorari.

4.

5.

Així, y =

20

k2 4

x−5 5

Aquesta equació ens permet de trobar l’ordenada d’un punt de la recta a partir de la seva abscissa: y − (−1) x−0 = ⇒ x − 5y − 5 = 0 5 1

c) Per a poder formar un angle de 45°, necessitem el mòdul dels dos vectors:

D’aquí podem obtenir l’equació general de la recta

Si k = −6, els vectors són paral·lels.

El sistema no té solució, és a dir, les rectes no tenen cap punt en comú, per tant, les dues rectes són paral·leles.

• Eq. vectorial: (x, y) = (−2, 1) + k (5, −3). 6.

Procedim a solucionar l’exercici de la mateixa manera que l’anterior 3x − 5y +1 = 0 ⎫ 11 1 i y =− ⎬⇒x =− 5 x + 3 y − 4 = 0⎭ 10 2 Com que el sistema té solució, vol dir que les rectes tenen un punt en comú, per tant, són secants.

Propostes d’avaluació

y −1 x+2 = 5 −3

Plantejem el sistema d’equacions que formen les rectes x + y − 4 = 0⎫ x+y−4 =0 ⎫ ⎬ ⇒ −7 = 0 ⎬⇒ −x − y − 3 = 0⎭ x + y + 3 = 0⎭

1. El vector director de la recta és el vector lliure   [ AB] = v = (5, −3).

• Eq. contínua:

L’equació punt-pendent d’aquesta recta és y − 2 = = −1 (x − 0). Per tant, y − 2 = −x; y + x − 2 = 0.

UNITAT 2 - RECTES EN EL PLA

⎧ x = −2 + 5 k • Eq. paramètrica: ⎨ ⎩y = 1 − 3 k

x−5 5

k 6 6 k = 2 ⇒ = ⇒ k = −6 4 −2 4 −4

3.

b) Per ser paral·lels, les seves components han de ser proporcionals: És a dir, que si k = 24, els vectors són perpendiculars. 2.

⎛ k⎞ 6, ⋅ ( 4, −2 ) = 24 − k ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 24 − k = 0 ⇒ k = 24

L’equació de punt-pendent de la recta és y − 1 = 5 = (x − 1), de manera que el pendent serà 2 5 m= = 2,5. 2 Observem que la recta passa pels punts (0, −1) i  (5, 0). Per tant, v = (5, 0) − (0, −1) = (5, 1) és un vector director. • Eq. general: 3 x + 5 y + 1 = 0.

a) Per ser perpendiculars, el seu producte escalar ha de ser zero:

3 • Eq. punt-pendent: y − 1 = − (x + 2). 5

219

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 219 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 220

220 7.

Les solucions seran: m1 = −3 + 2 2 i m2 = −3 − 2 2 12. Apliquem l’expressió d (P, r) =

A p1 + B p2 + C A 2 + B2

De manera que posant els valors que ens dóna l’enunciat del problema obtenim: d (P, r) =

1⋅3 − 1⋅0 + 1 12 + (−1)2

=

4 2

= 2, 83

13. Apliquem l’expressió d (r, s) =

C′ − C A 2 + B2

De manera que posant els valors que ens dóna l’enunciat del problema obtenim: d (r, s) =

Els vectors directors de les rectes són:

−4 − (−12) 12 + (−2)2

8

=

= 3, 58

5

14. Fem un petit esquema que ens permeti de veure la situació de les rectes:

  v r ⋅ v s = −1 ⋅ (3 k + 1) + (2 k − 1) ⋅ k = 0

r

L’equació que obtenim és: 2 k2 − 4 k − 1 = 0

s

Les solucions de l’equació són: k1 = 1 +

t

6 6 i k2 = 1 − 2 2

Per a aquest valors de k les rectes seran perpendiculars.  10. Els vectors directors de les rectes són v r = (5, 3) i  v s = (−3, 5). Calculem el cosinus de l’angle que formen:   vr ⋅ vs 0   cos(v =0⇒  = r , vs ) =  vr ⋅ vs 34   ⇒ (v r , v s ) = 90° L’angle que formen les dues rectes és de 90°. 11. L’expressió de la distància entre dos punts és: d ( A , B) =

(b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 )2

Sigui A = (x, y) un punt que equidisti de r i s i que pertanyi a t. S’ha de complir: 3x − y −1 x − 3y − 3 ⎫ = ⎪ ⎪ 10 10 ⎬⇔ y−4 ⎪ 5−x = 2 ⎭⎪ x − 3 y − 3⎫ 3x − y −1 = ± ⎪ ⇔ 10 10 ⎬ ⎪ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ Resolent els dos sistemes obtenim les dues possibles solucions:

= 3, 58

Plantegem la nostra expressió:

5 8

= 2, 83

(0 − 1)2 + (m − (−3))2

=

4

3=

2

2

=

3x − y −1 = x − 3y − 3 ⎫ ⎬⇒ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ x = 15 2 x + 2 y = −2 ⎫ ⇒ ⎬⇒ y = −16 2 x + y = 14 ⎭ 3 x − y − 1 = −x + 3 y + 3 ⎫ ⎬⇒ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ x−y =1 x =5 ⎫ ⎬⇒ 2 x + y = 14 ⎭ y =4

1 + (−2) 2

−4 − (−12)

C′ − C 2

1⋅3 − 1⋅0 + 1

A 2 + B2 A p1 + B p2 + C

9 = m2 + 6 m + 10

Propostes d’avaluació

El vector director de la recta que passa pels punts A = (2, 3) i B = (5, 0) és v = (3, −3). Prenem com a vector director de la recta r, un vector  perpendicular a v : w = (−3, −3). Per tant, l’equació de la recta r és: x +1 y −4 = ⇒x−y+5=0 −3 −3

8.

• Si han de ser paral·leles els vectors de les rectes han 2 1 = ; soluciode ser proporcionals i, per tant, 1 −2 a 1 . 4 nem i obtenim que a = −

• Si les rectes han de ser perpendiculars, els seus vectors directors també ho han de ser. Un vector perpendicular al vector director de r, és (1, −2). Si igualem aquest vector al vector director de s, obtindrem el valor de a pel qual les rectes són perpendiculars: (1, −2) = (1, −2a) ⇒ a = 1 9.

  v r = (−1, 2 k − 1) i v s = (3 k + 1, k) Si les rectes són perpendiculars, el producte escalar serà nul.

3 x − y − 1 = −x + 3 y + 3 ⎫ ⎬⇒ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ x−y =1 x =5 ⎫ ⇒ ⎬⇒ 2 x + y = 14 ⎭ y =4 3x − y −1 = x − 3y − 3 ⎫ ⎬⇒ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ x = 15 2 x + 2 y = −2 ⎫ ⇒ ⎬⇒ y = −16 2 x + y = 14 ⎭ Sigui A = (x, y) un punt que equidisti de r i s i que pertanyi a t. S’ha de complir: 3x − y −1 x − 3y − 3 ⎫ = ⎪ ⎪ 10 10 ⎬⇔ y−4 ⎪ 5−x = ⎪⎭ 2 x − 3 y − 3⎫ 3x − y −1 = ± ⎪ ⇔ 10 10 ⎬ ⎪ 2 x + y − 14 = 0 ⎭ Resolent els dos sistemes obtenim les dues possibles solucions: t s r

14. Fem un petit esquema que ens permeti de veure la situació de les rectes: d (r, s) =

De manera que posant els valors que ens dóna l’enunciat del problema obtenim: A 2 + B2

d (r, s) = 13. Apliquem l’expressió

1 + (−1) 2

d (P, r) =

De manera que posant els valors que ens dóna l’enunciat del problema obtenim: d (P, r) = 12. Apliquem l’expressió

⇒

m1 = −3 + 2 2 i m2 = −3 − 2 2

0 = m2 + 6 m + 1

(0 − 1)2 + (m − (−3))2 (b1 − a1 )2 + (b 2 − a 2 )2 6 6 i k2 = 1 − 2 2

Els vectors directors de les rectes són: • Si han de ser paral·leles els vectors de les rectes han 2 1 = ; soluciode ser proporcionals i, per tant, 1 − 2 a 1 nem i obtenim que a = − . 4 El vector director de la recta que passa pels punts A = (2, 3) i B = (5, 0) és v = (3, −3).

Propostes d’avaluació

220 0 = m2 + 6 m + 1 9 = m2 + 6 m + 10 3=

Plantegem la nostra expressió: d ( A , B) =

11. L’expressió de la distància entre dos punts és: L’angle que formen les dues rectes és de 90°.   ⇒ (v r , v s ) = 90°  10. Els vectors directors de les rectes són v r = (5, 3) i  v s = (−3, 5). Calculem el cosinus de l’angle que formen:   vr ⋅ vs 0   cos(v , ) = v =0⇒   = r s vr ⋅ vs 34 Per a aquest valors de k les rectes seran perpendiculars. k1 = 1 +

Les solucions de l’equació són: 2 k2 − 4 k − 1 = 0 L’equació que obtenim és:   v r ⋅ v s = −1 ⋅ (3 k + 1) + (2 k − 1) ⋅ k = 0 Si les rectes són perpendiculars, el producte escalar serà nul.   v r = (−1, 2 k − 1) i v s = (3 k + 1, k) 9.

(1, −2) = (1, −2a) ⇒ a = 1 • Si les rectes han de ser perpendiculars, els seus vectors directors també ho han de ser. Un vector perpendicular al vector director de r, és (1, −2). Si igualem aquest vector al vector director de s, obtindrem el valor de a pel qual les rectes són perpendiculars: 8.

x +1 y −4 = ⇒x−y+5=0 −3 −3 Per tant, l’equació de la recta r és: Prenem com a vector director de la recta r, un vector  perpendicular a v : w = (−3, −3). 7.

Les solucions seran:

220

2/6/09

12:27

220

9521_Propostes Evaluacio.qxd

Página 220

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 221

A

X

b

18. La figura il.lustra la situació de l’enunciat.

B h

r

En el nostre cas:   u ⋅ v = (1, 2) ⋅ (2, −1) = 0 Així, es compleix que r ⊥ s.

S

En la figura observem que h és la distància del punt C a la recta r, que determinen A i B. Així, l’àrea, S, del triangle és:

15. Si la hipotenusa es troba en la recta x − 5 y + 4 = 0, vol dir que dos dels punts del triangle han de pertànyer també a la recta. Comprovem si A i B hi pertanyen: A = (3, 4) ⇒ 3 − 5(4) + 4 = 0 ⇒ −13 ≠ 0 ⇒ A no pertany a la recta.

C

Y

Per a calcular l’àrea del triangle donat fem una representació gràfica de la situació: 1   ⇒ ( = 79, 52º u, v ) = arc cos 10 (2, −1) ⋅ (3, 3)   = cos( u, v ) = (2, −1) (3, 3)

5 ⋅ 18 8 3

=

  Essent u i v vectors directors de r i s, respectivament. D’altra banda, sabem que:     r ⊥ s ⇔ u ⊥v ⇔ u ⋅v = 0 s:

10 1

⇒

    Prenem u = [BA ] i v = [BC]:   La fórmula que ens dóna l’angle de dos vectors, u i v, és:   u⋅v   cos( u, v ) =   u v  [BA ] = (2 − 0, 0 − 1) = (2, −1)  [BC] = (3 − 0, 4 − 1) = (3, 3)

Propostes d’avaluació

221 Hi ha dos punts que compleixen les condicions de l’enunciat: (15, −16) i (5, 4)

B = (6, 2) ⇒ 6 − 5 ⋅ 2 + 4 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ B pertany a la recta. Per tant, el vèrtex buscat P = (x, y) també formarà part de la recta, i l’angle recte  triangle rectangle el for del maran els segments AB i AP . Imposem la perpendicularitat dels dos segments:   AB ⋅ AP = 0 ⇒ (3, −2) ⋅ (x − 3, y − 4) = 0 ⇒ 3x − 2y = 1 Imposem que el punt P = (x, y) formi part de la recta: x − 5 y = −4

S=

b ⋅ h d( A , B) ⋅ d(C, r) = 2 2

Calculem d(A, B):

 d ( A , B) = [ AB] =

Calculem l’equació implícita de r: A ∈ ⎪⎫  ⎬⇒  [BA ] = v , vector director de r ⎪⎭ ⇒ r:

y x−2 = ⇒ r: − x − 2 y + 2 = 0 2 −1

Calculem d(C, r): d(C, r) =

−3 − 2 ⋅ 4 + 2

   ABC = [BA ] [BC]   Calculem [BA ] i [BC]:  [BA ] = (2 − 0, 0 − 1) = (2, −1)  [BC] = (3 − 0, 4 − 1) = (3, 3)

=

1 10

⇒

1   ⇒ ( = 79, 52º u, v ) = arc cos 10 Per a calcular l’àrea del triangle donat fem una representació gràfica de la situació:

y−2 x = 2 −1

Així, l’equació contínua de s és: b) Per a obtenir l’equació contínua de la recta s ne cessitem un punt de pas, A, i un vector director, v .  s ⊥ t ⇒ v = (2, −1) ⎧x = λ r: ⎨ ⎩ y = 2 + 2λ 17. a) Per a obtenir les equacions paramètriques d’una recta necessitem un punt de pas i un vector director. Com que sabem que A ∈ r, hem de calcular un  vector director de r, u:  r  t ⇒ u = (1, 2)  Així, a partir de A i u considerem les següents equacions paramètriques de r:

16. Observem que:    ABC = [BA ] [BC]   Calculem [BA ] i [BC]: Les coordenades del tercer vèrtex del triangle són P = (1, 1). 3x − 2 y = 1⎫ ⎬⇒x =1 i y =1 x − 5 y = −4 ⎭

S=

d( A , B) ⋅ d(C, r) = 2

d(C, r) =

x − 5 y = −4 Imposem que el punt P = (x, y) formi part de la recta: Per tant, el vèrtex buscat P = (x, y) també formarà part de la recta, i l’angle recte  triangle rectangle el for del maran els segments AB i AP . Imposem la perpendicularitat dels dos segments:   AB ⋅ AP = 0 ⇒ (3, −2) ⋅ (x − 3, y − 4) = 0 ⇒ 3x − 2y = 1

C

9 5 = 9 2 2

5⋅

⎧x = λ r: ⎨ ⎩ y = 2 + 2λ b) Per a obtenir l’equació contínua de la recta s ne cessitem un punt de pas, A, i un vector director, v .  s ⊥ t ⇒ v = (2, −1) Així, l’equació contínua de s és: s:

y−2 x = 2 −1

D’altra banda, sabem que:     r ⊥ s ⇔ u ⊥v ⇔ u ⋅v = 0   Essent u i v vectors directors de r i s, respectivament. En el nostre cas:   u ⋅ v = (1, 2) ⋅ (2, −1) = 0

S r

d( A , B) ⋅ d(C, r) S= = 2

Així, es compleix que r ⊥ s.

h

18. La figura il.lustra la situació de l’enunciat.

B b A

X

Propostes d’avaluació

A = (3, 4) ⇒ 3 − 5(4) + 4 = 0 ⇒ −13 ≠ 0 ⇒ A no pertany a la recta. 15. Si la hipotenusa es troba en la recta x − 5 y + 4 = 0, vol dir que dos dels punts del triangle han de pertànyer també a la recta. Comprovem si A i B hi pertanyen:

2

9 5⋅ 5 = 9 2

Finalment obtenim S:

Resolem el sistema B = (6, 2) ⇒ 6 − 5 ⋅ 2 + 4 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ B pertany a la recta.

Y

5

 Així, a partir de A i u considerem les següents equacions paramètriques de r:

  La fórmula que ens dóna l’angle de dos vectors, u i v, és:   u⋅v   cos( u, v ) =   u v         Prenem u = [BA ] i v = [BC]: 3

9

17. a) Per a obtenir les equacions paramètriques d’una recta necessitem un punt de pas i un vector director. Com que sabem que A ∈ r, hem de calcular un  vector director de r, u:  r  t ⇒ u = (1, 2)

16. Observem que:

5 ⋅ 18 8

2

Finalment obtenim S:

Les coordenades del tercer vèrtex del triangle són P = (1, 1).

(2, −1) ⋅ (3, 3)   = cos( u, v ) = (2, −1) (3, 3)

=

(−1) + (−2) 2

Resolem el sistema 3x − 2 y = 1⎫ ⎬⇒x =1 i y =1 x − 5 y = −4 ⎭

5

(−1)2 + (−2)2 −3 − 2 ⋅ 4 + 2

=

5 9

Calculem d(C, r): ⇒ r:

y x−2 = ⇒ r: − x − 2 y + 2 = 0 2 −1

A ∈ ⎪⎫  ⎬⇒  [BA ] = v , vector director de r ⎭⎪ Calculem l’equació implícita de r: Calculem d(A, B):  d ( A , B) = [ AB] = S=

5

b ⋅ h d( A , B) ⋅ d(C, r) = 2 2

Així, l’àrea, S, del triangle és:

(15, −16) i (5, 4)

Hi ha dos punts que compleixen les condicions de l’enunciat:

En la figura observem que h és la distància del punt C a la recta r, que determinen A i B.

221

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 221 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 222

222

222 És a dir, que les rectes solució són:

B

h

UNITAT 3 - MATRIUS b

1. Primerament calculem B + C, la qual cosa és possible perquè totes dues matrius tenen la mateixa dimensió. Així, s’obté:

A

 Com que el segment AB correspon a una base del paral.lelogram, la distància entre A i B serà la longitud de la base. b = d( A , B) =

(10 − 2)2 + (4 − 2)2 = 2 17

L’altura h coincidirà amb la distància de A o B a la recta r: x − 4 y + 23 = 0. h = d( A , r) =

2 − 4 ⋅ 2 + 23 12 + 4 2

=

17 = 17

0 ⎞ ⎛ 0 3 −1 ⎞ ⎛ 3 5 −1 ⎞ ⎛3 2 B + C = ⎜ 0 1 −1 ⎟ + ⎜ 1 0 3⎟ = ⎜ 1 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 4 2 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 2 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 0 Ara obtindrem A ⋅ (B + C), la qual cosa també és possible, perquè el nombre de columnes de A coincideix amb el nombre de files de B + C; així doncs: ⎛ 3 5 −1 ⎞ ⎛ 16 19 3 ⎞ ⎛ 3 2 1⎞ ⎜ 2⎟ = ⎜ ⋅ 1 1 ⎟ ⎝ 22 24 0 ⎠⎟ 0 2 ⎠⎟ ⎜⎜ 2 ⎠⎟ ⎝5 2

A ⋅ (B + C) = ⎜ 4

17

⎝

L’àrea del paral.lelogram és fàcil de calcular coneixentne la base i l’altura: S = b ⋅ h = 2 17 ⋅ 17 = 34 u 2

Es compleix la propietat distributiva de la multiplicació respecte de l’addició, ja que: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C =

 19. Un vector director de la recta t és v = (3, −1) o qualsevol altre de proporcional. a) Si la recta és perpendicular, el seu vector director  serà v t = (1, 3).

⎛ 10 8 0 ⎞ ⎛ 6 11 3 ⎞ ⎛ 16 19 3 ⎞ =⎜ + = ⎝ 14 8 4 ⎠⎟ ⎝⎜ 8 16 −4 ⎠⎟ ⎝⎜ 22 24 0 ⎠⎟ 2.

Escrivim l’equació contínua per trobar l’equació implícita:

La tercera fila de la matriu A es pot obtenir com a suma de les dues primeres, per tant, es pot suprimir sense que alteri el rang. 0⎞ ⎛ 2 3 −1 3 ⎜1 2 1 −2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 1 −7 17 −4 ⎠⎟

x −1 y −2 = ⇒ 3x − 3 = y − 2 1 3 t: 3 x − y − 1 = 0

Intercanviem la primera fila per la segona i fem successives transformacions elementals:

b) Si la recta és paral·lela tindrà el mateix vector director que la recta t, i la forma de la seva equació serà:

1 −2 1⎞ ⎛1 2 ⎜ 2 3 −1 3 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 1 −7 17 −4 ⎠⎟

x + 3y + d = 0 Si apliquem la fórmula de la distància entre dues rectes tenim: −8 − d

=

F3 → F3 − 3 F2 ———— —— F3 → F3 − 2 F1 ———— —— F2 → F2 − 2 F1

12 + 32

2 1 −2 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −3 7 −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 0 −3 −9 21 −6 ⎠⎟

−8 − d 10

F2 → F2 − 2 F1 F3 → F3 − 2 F1 ———— ——

F3 → F3 − 3 F2 ———— ——

Propostes d’avaluació

s1 : x + 3 y − 18 = 0 s2 : x + 3 y + 2 = 0

r

S

Intercanviant files de la matriu B obtenim: Hem obtingut una matriu esglaonada en la qual tenim 2 files no nul·les. Per tant, rang (A) = 2. 2 1 −2 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −3 7 −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 0 0 ⎟⎠ 2 1 −2 1⎞ ⎛1 ⎜ 0 −1 −3 7 −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 −3 −9 21 −6 ⎟⎠ 1 −2 1⎞ ⎛1 2 ⎜ 2 3 −1 3 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 1 −7 17 −4 ⎟⎠

Intercanviem la primera fila per la segona i fem successives transformacions elementals: 0⎞ ⎛ 2 3 −1 3 ⎜1 2 1 −2 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 1 −7 17 −4 ⎟⎠ La tercera fila de la matriu A es pot obtenir com a suma de les dues primeres, per tant, es pot suprimir sense que alteri el rang. ⎛ 3 5 −1 ⎞ ⎛ 16 19 3 ⎞ 2⎟ = ⎜ ⋅⎜1 1 ⎟ ⎝ 22 24 0 ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ 5 2 2 ⎟⎠

d (s, t ) =

10 2.

⎛ 10 8 0 ⎞ ⎛ 6 11 3 ⎞ ⎛ 16 19 3 ⎞ =⎜ + = ⎝ 14 8 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 16 −4 ⎟⎠ ⎜⎝ 22 24 0 ⎟⎠ ⎛ 3 2 1⎞ A ⋅ (B + C) = ⎜ ⎝ 4 0 2 ⎟⎠

17

2 1 −2 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 3 7 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

=

17 = 17

Si imposem que la distància és d (s, t ) = 10 i resolem: −8 − d = 10 10 −8 − d = 10 ⇒ −8 − d = 10 o −8 − d = −10

2

−8 − d =

Hem obtingut una matriu esglaonada en la qual tenim 2 files no nul·les. Per tant, rang (A) = 2.

Per tant, tenim dues solucions, o bé d = −18 o bé d = 2,

1 +3 2

12 + 4 2 2 − 4 ⋅ 2 + 23

Ara obtindrem A ⋅ (B + C), la qual cosa també és possible, perquè el nombre de columnes de A coincideix amb el nombre de files de B + C; així doncs:

(10 − 2)2 + (4 − 2)2 = 2 17

UNITAT 3 - MATRIUS B

Propostes d’avaluació

Per tant, tenim dues solucions, o bé d = −18 o bé d = 2, Si imposem que la distància és d (s, t ) = 10 i resolem: −8 − d = 10 10 −8 − d = 10 ⇒ −8 − d = 10 o −8 − d = −10 d (s, t ) =

−8 − d

Si apliquem la fórmula de la distància entre dues rectes tenim: x + 3y + d = 0 b) Si la recta és paral·lela tindrà el mateix vector director que la recta t, i la forma de la seva equació serà: x −1 y −2 = ⇒ 3x − 3 = y − 2 1 3 t: 3 x − y − 1 = 0 Escrivim l’equació contínua per trobar l’equació implícita: a) Si la recta és perpendicular, el seu vector director  serà v t = (1, 3).  19. Un vector director de la recta t és v = (3, −1) o qualsevol altre de proporcional.

A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C =

S = b ⋅ h = 2 17 ⋅ 17 = 34 u 2

Es compleix la propietat distributiva de la multiplicació respecte de l’addició, ja que:

L’àrea del paral.lelogram és fàcil de calcular coneixentne la base i l’altura: h = d( A , r) =

L’altura h coincidirà amb la distància de A o B a la recta r: x − 4 y + 23 = 0. b = d( A , B) =

0 ⎞ ⎛ 0 3 −1 ⎞ ⎛ 3 5 −1 ⎞ ⎛3 2 ⎜ B + C = 0 1 −1 ⎟ + ⎜ 1 0 3⎟ = ⎜ 1 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝ 4 2 0⎠ ⎝ 5 2 2 ⎟⎠

 Com que el segment AB correspon a una base del paral.lelogram, la distància entre A i B serà la longitud de la base.

1. Primerament calculem B + C, la qual cosa és possible perquè totes dues matrius tenen la mateixa dimensió. Així, s’obté:

A b h

S

s1 : x + 3 y − 18 = 0 s2 : x + 3 y + 2 = 0

Intercanviant files de la matriu B obtenim:

r

És a dir, que les rectes solució són:

222

2/6/09

12:27

222

9521_Propostes Evaluacio.qxd

Página 222

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

C M Y K

⎛ 5 10 20 ⎞ 6 12 ⎟ B ⋅ A = ⎜3 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠ Per la mateixa raó, B · A serà una matriu de dimensió 3 × 3, l’expressió de la qual és: A ⋅ B = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 = 11

8.

El producte A · B es redueix a un nombre, perquè la dimensió de la matriu producte ve donada per tantes files com té la primera i tantes columnes com tingui la segona. Així doncs: 1 2

⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 1 ⋅⎜ ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 ⎝1

⎛ 2 −1⎞ A = 1 ; Adj( A ) = ⎜ ⎝ −5 3 ⎟⎠ El primer que hem de fer és calcular A−1: Si A ⋅ X = B ⋅ A, considerem A−1, perquè A  = 1 ≠ 0, i passem a resoldre: X = A−1 ⋅ B ⋅ A ⎛ 3 4 A = ⎜ −2 1 ⎜ ⎜⎝ 1 0 t

−1 ⎞ 2⎟ ⎟ 3 ⎟⎠

7. Intercanviant files per columnes de la matriu obtenim: ⎛ 4 3⎞ M=⎜ ⎝ 1 1⎟⎠

⎛ 4 2⎞ 2, 5 ⎞ 1 ⎜ = ⋅ 3⎟ ⎟ −1 ⎟⎠ 2 ⎜ −1 ⎝ 2⎠

1 ⎛ 0 −2 ⎞ ⋅ 1⎟⎠ 2 ⎜⎝ 1 ⇒

⎛x M⋅B = C ⇒ ⎜ ⎝z

X = A −1 Y

2, 5 ⎞ −1 ⎟⎠

y ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ x − y = 1⎫ ⎫ =⎜ ⎟ ⇒ ⎬⎪ ⎜ ⎟ ⎟ t ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ 0 ⎠ z − t = 0 ⎭⎪ ⎬ x + 0 = 4 ⎫⎪ y ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⇒ = ⎬ z + 0 = 1 ⎭ ⎪⎭ t ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠

c) Com que A, B i C tenen dimensió 2 × 1, M serà una matriu quadrada d’ordre 2.

7⎞ ⎛ 0 2⎞ ⎛ 6 1 ⎛ −4 −10 ⎞ ⋅⎜ ⋅⎜ = − ⋅⎜ ⎟ ⎟ 2 2 − 2 − 5 4 ⎟⎠ 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 8

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜2 ⎝⎜ 4

Página 223

5. Aplicant el mètode de Gauss-Jordan, i fent les corresponents transformacions a la matriu ampliada s’obté:

1 0⎞ 3 −4 ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎟ 3 −1 ⎟ 3 2 ⎠⎟

Les tres primeres files formen una matriu esglaonada, per tant, rang (B) = 3, ja que el rang no pot ser major perquè no hi ha més columnes. 3.

A la primera equació substituïm AX per Y i aïllem Y. Y + BY = C ⇒

⇒

(I + B)Y = C

⇒

A −1

6.

Y = (I + B)−1 C

Calculem la matriu I + B: ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 2 −2 ⎞ I+B = ⎜ + = 0 ⎠⎟ ⎝ 0 1 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 −1⎠⎟ ⎝⎜ −2 La matriu inversa serà:

( I + B )−1

= −

1 4

1 4

⎛ 1 Y =⎜ ⎝ −2

⎛ 0 2⎞ ⋅⎜ ⎝ 2 2 ⎠⎟

7⎞ ⎛ 0 2⎞ ⎛ 6 ⎛ −4 −10 ⎞ 1 ⋅⎜ ⋅ = − ⋅⎜ 4 ⎠⎟ 4 ⎝ 8 ⎝ 2 2 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 −5 ⎠⎟

⎛ 1 ⎜ 14 ⎜ −2 =⎜ ⎜ 7 ⎜ 3 ⎜ ⎝ 14

4 21 5 21 −2 21

−1 ⎞ 42 ⎟ ⎟ 2⎟ 21 ⎟ 11 ⎟ ⎟ 42 ⎠

c) Com que A, B i C tenen dimensió 2 × 1, M serà una matriu quadrada d’ordre 2.

2, 5 ⎞ −1 ⎠⎟

Si tenim en compte, a més, que M−1 ⋅ C = B ⇒ ⇒ M · M−1 ⋅ C = M ⋅ B ⇒ C = M ⋅ B, tenim:

Calculem X i l’aïllem de la segona equació: AX = Y

X = A −1 Y

⇒

x − y = 1⎫ ⎫ ⎛ x y ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⇒ M⋅A = B ⇒ ⎬⎪ z − t = 0 ⎭⎪ ⎝⎜ z t ⎠⎟ ⎝⎜ −1⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎬ x + 0 = 4 ⎫⎪ y ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⇒ = ⎬ z + 0 = 1 ⎭ ⎭⎪ t ⎠⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 ⎠⎟

Busquem la inversa de A: A −1 =

1 2

⎛x M⋅B = C ⇒ ⎜ ⎝z

⎛ 0 −2 ⎞ ⋅⎜ 1⎠⎟ ⎝1

La solució del sistema és x = 4, y = 3, z = 1, t = 1. Per tant:

Finalment calculem X: X =

⎛ 4 2⎞ 2, 5 ⎞ 1 = ⋅⎜ 3⎟ ⎟ −1 ⎠⎟ 2 ⎜ −1 ⎝ 2⎠

1 ⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 1 ⋅ ⋅ 1 ⎠⎟ ⎜⎝ −2 2 ⎜⎝ 1

1 ⎞ ⎛ 2 X =⎜ ⎝ −0, 5 −0, 75 ⎠⎟ 4.

Per poder efectuar el producte M ⋅ A, el nombre de columnes de M ha de coincidir amb el nombre de files de A. Segons l’enunciat, A té n files; per tant, M tindrà n columnes. a) M ⋅ A = B ⇒ el nombre de files de M ha de coincidir amb el nombre de files de B. Segons l’enunciat, B té n files. Per tant, M tindrà n files. Com a conseqüència, M és una matriu quadrada d’ordre n. b) Podem raonar com en l’apartat a) però només cal observar que M−1 té el mateix ordre que M i com que M ⋅ A = B i M−1 ⋅ C = B, les dimensions de C han de coincidir amb les de A. En conseqüència, C és una matriu de dimensió n × 1. D’altra banda, si M−1 ⋅ C = B, existeix M−1; la qual cosa significa que det (M) ≠ 0.

Ara, calculem la matriu Y: Y = −

1 4

Propostes d’avaluació

223 4.

1 ⎞ ⎛ 2 X =⎜ ⎝ −0, 5 −0, 75 ⎟⎠ X =

La solució del sistema és x = 4, y = 3, z = 1, t = 1. Per tant:

Finalment calculem X: A −1 =

⎛x M⋅A = B ⇒⎜ ⎝z

Busquem la inversa de A: AX = Y

Si tenim en compte, a més, que M−1 ⋅ C = B ⇒ ⇒ M · M−1 ⋅ C = M ⋅ B ⇒ C = M ⋅ B, tenim:

Calculem X i l’aïllem de la segona equació: ⎛ 1 Y =⎜ ⎝ −2 Y = −

b) Podem raonar com en l’apartat a) però només cal observar que M−1 té el mateix ordre que M i com que M ⋅ A = B i M−1 ⋅ C = B, les dimensions de C han de coincidir amb les de A. En conseqüència, C és una matriu de dimensió n × 1. D’altra banda, si M−1 ⋅ C = B, existeix M−1; la qual cosa significa que det (M) ≠ 0.

Ara, calculem la matriu Y:

( I + B )−1

1 = − 4

⎛ 0 2⎞ ⋅⎜ ⎝ 2 2 ⎟⎠

La matriu inversa serà: ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 2 −2 ⎞ I+B = ⎜ + = 0 ⎟⎠ ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 −1⎟⎠ ⎝⎜ −2 Calculem la matriu I + B: ⇒

Y = (I + B)−1 C

Y + BY = C 3.

⇒

(I + B)Y = C

⇒

6.

A la primera equació substituïm AX per Y i aïllem Y.

⎛ 4 3⎞ M=⎜ ⎝ 1 1⎠⎟ 7. Intercanviant files per columnes de la matriu obtenim: ⎛ 3 4 A t = ⎜ −2 1 ⎜ ⎝⎜ 1 0

El producte A · B es redueix a un nombre, perquè la dimensió de la matriu producte ve donada per tantes files com té la primera i tantes columnes com tingui la segona. Així doncs: A ⋅ B = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 = 11

8.

Per la mateixa raó, B · A serà una matriu de dimensió 3 × 3, l’expressió de la qual és: ⎛ 5 10 20 ⎞ 6 12 ⎟ B ⋅ A = ⎜3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

−1 ⎞ 2⎟ ⎟ 3 ⎠⎟

Si A ⋅ X = B ⋅ A, considerem A−1, perquè A  = 1 ≠ 0, i passem a resoldre: X = A−1 ⋅ B ⋅ A El primer que hem de fer és calcular A−1: ⎛ 2 −1⎞ A = 1 ; Adj( A ) = ⎜ ⎝ −5 3 ⎠⎟

Propostes d’avaluació

Les tres primeres files formen una matriu esglaonada, per tant, rang (B) = 3, ja que el rang no pot ser major perquè no hi ha més columnes. ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜2 ⎜⎝ 4

1 0⎞ 3 −4 ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎟ 3 −1 ⎟ 3 2 ⎟⎠

Per poder efectuar el producte M ⋅ A, el nombre de columnes de M ha de coincidir amb el nombre de files de A. Segons l’enunciat, A té n files; per tant, M tindrà n columnes. a) M ⋅ A = B ⇒ el nombre de files de M ha de coincidir amb el nombre de files de B. Segons l’enunciat, B té n files. Per tant, M tindrà n files. Com a conseqüència, M és una matriu quadrada d’ordre n. A −1

⎛ 1 ⎜ 14 ⎜ −2 =⎜ ⎜ 7 ⎜ 3 ⎜ ⎝ 14

4 21 5 21 −2 21

−1 ⎞ 42 ⎟ ⎟ 2⎟ 21 ⎟ 11 ⎟ ⎟ 42 ⎠

5. Aplicant el mètode de Gauss-Jordan, i fent les corresponents transformacions a la matriu ampliada s’obté:

223

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 223

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 224

224 Per tant:

A

10. a) ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ = , A2 = ⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −1⎠⎟ ⎝1

⎛ 2 −5 ⎞ = A −1 = ⎜ ⎝ −1 3 ⎠⎟

⎛ 8 −16 ⎞ ⋅⎜ ⎝ 3 −6 ⎠⎟

⎛ 3 5⎞ ⋅⎜ = ⎝ 1 2 ⎠⎟

⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⋅⎜ = ⎝ 1 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 1⎠⎟

⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ B2 = ⎜ = , ⎝ 2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 10 ⎠⎟ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ A 2 + 2 AB + B2 = ⎜ + + 6 ⎠⎟ ⎝⎜ −2 10 ⎠⎟ ⎝ 2 −1⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎛ 10 11⎞ =⎜ . ⎝ 2 15 ⎠⎟

El valor de X és: b)

⎛ 1 1⎞ X =⎜ ⎝ 1 1⎠⎟

2

⎛ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎞ 2⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛3 =⎜ ( A + B)2 = ⎜ ⎜ + 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2 ⎠⎟ ⎠⎟ ⎝ 3 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 −2 ⎠⎟ ⎝⎝1 2⎞ ⎛ 15 =⎜ . ⎝ 3 10 ⎠⎟

a) Una matriu quadrada no té inversa quan el seu determinant és nul. Busquem, per tant, els valors de x que anul·len el determinant de A: x −3 = x2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ x +1 x −7 ⎧3 4± 4 = ⎨ 2 ⎩1

11. Escrivim el producte ⎛ 1 3⎞ ⎛ x ⋅ ⎝⎜ 2 6 ⎠⎟ ⎝⎜ z

y ⎞ ⎛ 2 3⎞ . = t ⎠⎟ ⎝⎜ 1 2 ⎠⎟

Per trobar els valors possibles formen el sistema: x + 3 z = 2⎫ ⎬ 2x + 6z = 1⎭ y + 3t = 3⎫ ⎬ 2 y + 6 t = 2⎭

Així, la matriu A no té inversa per x = 3 i x = 1. ⎛ −1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛a⎞ A ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ A −1 ⋅ A ⋅ ⎜ ⎟ = A −1 ⎜ ⎟ ⇒ ⎝ −1⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ b⎠

que és incompatible. Per tant, no existeix cap matriu C.

⎛ −1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

12. a ) Només cal representar cada ciutat amb un punt, i cada carretera amb una línia:

Calculem la matriu inversa de A per x = 2: A =

2 −3 = −1 ; Adj(A) = 3 −5

E

⎛ −5 −3 ⎞ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 3

⎛ −5 3 ⎞ [ Adj(A)]T = ⎜ ⎝ −3 2 ⎠⎟

D

2

A

Per tant: ⎛ 5 −3 ⎞ [ Adj(A)]T = A −1 = ⎜ A ⎝ 3 −2 ⎠⎟

B

C

La matriu associada indica si la localitat corresponent a cada fila està relacionada amb la corresponent a cada columna: A B C D E

Així: ⎛ a ⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −2 ⎞ = = ⎝⎜ b ⎠⎟ ⎝⎜ 3 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ −1⎠⎟ ⎝⎜ −1 ⎠⎟

⎛0 ⎜0 ⎜ M = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

0 0 0 1 0

Propostes d’avaluació

[ Adj (A)]T

⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ = 2⎜ = 2 AB = 2 ⎜ , 6 ⎠⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −2 ⎠⎟ ⎝ 1 3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎝1

D’on: ⎛ 2 −5 ⎞ X = A −1 ⋅ B ⋅ A = ⎜ ⎝ −1 3 ⎠⎟ ⎛ 1 −2 ⎞ =⎜ ⎝ 1 −2 ⎠⎟

C D E B A

9.

0 1 1 0

⇒x =

1 0 0 1

B

b)

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 1 1 0 ⎟⎠ 0 0 0 1

C D

y ⎞ ⎛ 2 3⎞ . = t ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 ⎟⎠

⎛a⎞ ⇒ ⎜ ⎟ = A −1 ⎝ b⎠

⎛0 ⎜0 ⎜ M = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

La matriu associada indica si la localitat corresponent a cada fila està relacionada amb la corresponent a cada columna: A B C D E A E

12. a ) Només cal representar cada ciutat amb un punt, i cada carretera amb una línia: que és incompatible. Per tant, no existeix cap matriu C. Per trobar els valors possibles formen el sistema: ⎛ 1 3⎞ ⎛ x ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ z 11. Escrivim el producte 2⎞ ⎛ 15 =⎜ . ⎝ 3 10 ⎟⎠ ⎛ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎞ 2⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛3 ( A + B)2 = ⎜ ⎜ +⎜ ⎟ = ⎜ 3 −2 ⎟ ⎜ 3 −2 ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 2 2 − ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ b)

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎠⎟

⎛ 10 11⎞ =⎜ . ⎝ 2 15 ⎟⎠ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ A 2 + 2 AB + B2 = ⎜ + + 6 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 10 ⎟⎠ ⎝ 2 −1⎟⎠ ⎜⎝ 2

A

⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ B2 = ⎜ = , ⎝ 2 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ −2 10 ⎟⎠

B C D E

⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ = 2⎜ = 2 AB = 2 ⎜ , ⎜ ⎟ ⎟ 6 ⎟⎠ − 1 0 2 2 ⎠ ⎝ 1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎝ ⎠⎝

Els valors de a i b són: a = −2 i b = −1

⎛ −1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

⎛ −1⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛a⎞ A ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ A −1 ⋅ A ⋅ ⎜ ⎟ = A −1 ⎜ ⎟ ⇒ ⎝ −1⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ b⎠ ⎧3 4± 4 = ⎨ 2 ⎩1

a) Una matriu quadrada no té inversa quan el seu determinant és nul. Busquem, per tant, els valors de x que anul·len el determinant de A: ⎛ 3 5⎞ ⋅⎜ = ⎝ 1 2 ⎟⎠

⎛ 2 −5 ⎞ = A −1 = ⎜ ⎝ −1 3 ⎟⎠

Propostes d’avaluació

224 Els valors de a i b són: a = −2 i b = −1 ⎛ a ⎞ ⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜⎝ b ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ −1⎟⎠ = ⎜⎝ −1 ⎟⎠ Així: ⎛ 5 −3 ⎞ [ Adj(A)]T = A −1 = ⎜ A ⎝ 3 −2 ⎟⎠ Per tant: ⎛ −5 3 ⎞ [ Adj(A)]T = ⎜ ⎝ −3 2 ⎟⎠ 2 −3 ⎛ −5 −3 ⎞ A = = −1 ; Adj(A) = ⎜ 3 −5 2 ⎟⎠ ⎝ 3 Calculem la matriu inversa de A per x = 2: ⎛a⎞ ⇒ ⎜ ⎟ = A −1 ⎝ b⎠ b)

x + 3 z = 2⎫ ⎬ 2x + 6z = 1⎭ y + 3t = 3⎫ ⎬ 2 y + 6 t = 2⎭

Així, la matriu A no té inversa per x = 3 i x = 1. ⇒x =

x −3 = x2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ x +1 x −7 9.

⎛ 1 1⎞ X =⎜ ⎝ 1 1⎟⎠ El valor de X és: ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 1 1⎞ =⎜ ⋅ = ⎝ 1 −2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1⎟⎠ ⎛ 2 −5 ⎞ ⎛ 8 −16 ⎞ X = A −1 ⋅ B ⋅ A = ⎜ ⋅ ⎝ −1 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 −6 ⎟⎠ D’on: A

[ Adj (A)]T Per tant:

⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ = , A2 = ⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 −1⎟⎠ ⎝1 10. a)

224

2/6/09

12:27

224

9521_Propostes Evaluacio.qxd

Página 224

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 225

−1 1⎞ ⎛ a−2 ⎜ 1 + a ( a − 2 ) ( 2 a − 1 ) − a 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 + (a − 2) a −1 0 ⎟⎠

⎛ a−2 ⎜ 2 ⎜ (a − 1) ⎜⎝ a − 1

Per trobar els camins amb dues etapes entre A i B, calculem M2 i mirem quin és l’element a12:

−1 1⎞ ⎛a − 2 ⎜ 1 2 a − 1 −a ⎟ ⎜ ⎟ a −1⎠⎟ ⎝⎜ 1

F3 → F3 − 6 F2 ———— ——

F3 → F3 + F1 ———— ——

F3 → F3 − F1 ———— ——

F2 → F2 + aF1

M2 = M ⋅ M = ⎛0 ⎜0 ⎜ = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

Apliquem el mètode de Gauss per obtenir un sistema esglaonat equivalent:

0 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠

⎛0 ⎜0 ⎜ ⋅ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜⎝ 0

⎛1 ⎜0 ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜1 ⎜⎝ 1

0 1 1 0 1

0 1 3 1 1

1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 3 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ = ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠

Si a ≠ 1, el sistema es pot simplificar dividint per (a – 1): ⎛ a − 2 −1 1 ⎞ ⎜ a − 1 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 0 ⎟⎠

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎟⎠

F2 → F2 − F3 ———— ——

3 x + 12 y + 6 z = 468 ⎫ ⎪ z = 3y ⎬⇔ ⎪ x = 4y + 4z ⎭

Entre A i B n’hi ha a12 = 1 camins amb tres etapes. ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝⎜ 0 ⎠⎟

2.

a12 = (M3)12 = (M2 ⋅ M)12 = Per a trobar els camins amb tres etapes entre A i B, només cal calcular l’element a12 de M3, que és:

Entre A i B n’hi ha a12 = 1 camins amb tres etapes.

Entre A i B n’hi ha a12 = 0 camins amb dues etapes.

UNITAT 4 - SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS I

⎛0 ⎜0 ⎜ = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 0 ⎠⎟

0 1 3 1 1 ⎛0 ⎜0 ⎜ ⋅ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎝⎜ 0

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎟ 2 ⎠⎟

1 0 1 3 1 0 0 0 1 0

156 ⎞ 0⎟ ⎟ −156 ⎟⎠

x + 4 y + 2 z = 156 ⎫ ⎪ ⇔ 3y − z = 0 ⎬ x − 4 y − 4 z = 0 ⎭⎪

UNITAT 4 - SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS I ⎛1 ⎜0 ⎜ = ⎜0 ⎜ ⎜1 ⎝⎜ 1

4 2 ⎛1 ⎜ 0 3 −1 ⎜ ⎜⎝ 0 −8 8 −6

156 ⎞ 0⎟ ⎟ −156 ⎠⎟

Resolem mitjançant Gauss:

Passant les incògnites al primer membre i simplificant ens queda:

= F1 · C2 = (1 0 0 1 1)

⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = 1 ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠

Passant les incògnites al primer membre i simplificant ens queda: (a − 2)x − y + z = 0 ⎫ ⎪ x + (2 a − 1)y − az = 0 ⎬ ⎪ x + ay − z = 0 ⎭ Apliquem el mètode de Gauss per obtenir un sistema esglaonat equivalent:

Si a ≠ 1 i a ≠ 2 queden tres equacions independents, i, per tant, el sistema només té la solució trivial x = 0, y = 0, z = 0.

F3 → F3 + F1 ———— ——

−1 1⎞ ⎛ a−2 ⎜ 1 + a(a − 2) (2 a − 1) − a 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 + (a − 2) a −1 0 ⎟⎠

2.

Les incògnites són: x = cost de fabricació de cadascuna de les aspiradores y = cost de fabricació de cadascuna de les espremedores z = cost de fabricació cadascuna de les torradores Imposant les quatre condicions de l’enunciat s’obté el sistema: 3 x + 12 y + 6 z = 468 ⎫ ⎪ z = 3y ⎬⇔ ⎪ x = 4y + 4z ⎭ x + 4 y + 2 z = 156 ⎫ ⎪ ⇔ 3y − z = 0 ⎬ x − 4 y − 4 z = 0 ⎪⎭ Resolem mitjançant Gauss: 4 2 156 ⎞ ⎛1 3 −1 0⎟ A′ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 −4 −4 0 ⎟⎠

F3 → F3 − F1 ———— ——

F3 → F3 − 6 F2 ———— ——

4 2 ⎛1 ⎜0 3 −1 ⎜ ⎜⎝ 0 −8 8 −6 4 ⎛1 ⎜0 3 ⎜ ⎜⎝ 0 −26

2 −1 0

156 ⎞ 0⎟ ⎟ −156 ⎟⎠ 156 ⎞ 0⎟ ⎟ −156 ⎟⎠

Propostes d’avaluació

F2 → F2 + aF1

⎛ a − 2 −1 1 ⎞ ⎜a − 2 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 0 ⎟⎠

Si a = 2 ens queda un sistema de dues equacions amb tres incògnites, per tant, és compatible indeterminat.

a12 = (M3)12 = (M2 ⋅ M)12 =

−1 1⎞ ⎛a − 2 ⎜ 1 2 a − 1 −a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 a −1⎟⎠

1⎞ ⎟ a − 1 0⎟ a − 1 0 ⎟⎠

Per a = 1 s’anul·len les dues últimes files, pel que queda una única equació amb tres incògnites. Tenim, per tant, una indeterminació.

Per a trobar els camins amb tres etapes entre A i B, només cal calcular l’element a12 de M3, que és:

1.

−1

No és necessari continuar esglaonant el sistema per a deduir que:

Entre A i B n’hi ha a12 = 0 camins amb dues etapes.

= F1 · C2 = (1 0 0 1 1)

2 −1 0

4 2 156 ⎞ ⎛1 3 −1 0⎟ A′ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 −4 −4

(a − 2)x − y + z = 0 ⎫ ⎪ x + (2 a − 1)y − az = 0 ⎬ ⎪ x + ay − z = 0 ⎭ 1.

4 ⎛1 ⎜0 3 ⎜ ⎝⎜ 0 −26

Propostes d’avaluació

225 Simplificant, obtenim la matriu següent:

b ) Sabem que l’element aij de Mn ens dóna el nombre de camins en n etapes entre la localitat corresponent a la fila i, i la corresponent a la columna j.

1 0 0 1 1

Les incògnites són: x = cost de fabricació de cadascuna de les aspiradores y = cost de fabricació de cadascuna de les espremedores z = cost de fabricació cadascuna de les torradores Imposant les quatre condicions de l’enunciat s’obté el sistema: Si a ≠ 1 i a ≠ 2 queden tres equacions independents, i, per tant, el sistema només té la solució trivial x = 0, y = 0, z = 0. Si a = 2 ens queda un sistema de dues equacions amb tres incògnites, per tant, és compatible indeterminat. F2 → F2 − F3 ———— ——

⎛ a − 2 −1 1 ⎞ ⎜a − 2 0 0⎟ ⎟ ⎜ 1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1

⎛ a − 2 −1 1 ⎞ ⎜ a − 1 1 0⎟ ⎟ ⎜ 1 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 0 1 1 0 1

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ = ⎟ 1⎟ 0 ⎠⎟

Si a ≠ 1, el sistema es pot simplificar dividint per (a – 1): Per a = 1 s’anul·len les dues últimes files, pel que queda una única equació amb tres incògnites. Tenim, per tant, una indeterminació. No és necessari continuar esglaonant el sistema per a deduir que:

M2 = M ⋅ M = Per trobar els camins amb dues etapes entre A i B, calculem M2 i mirem quin és l’element a12: b ) Sabem que l’element aij de Mn ens dóna el nombre de camins en n etapes entre la localitat corresponent a la fila i, i la corresponent a la columna j.

⎛ a−2 ⎜ 2 ⎜ (a − 1) ⎝⎜ a − 1

−1 1 ⎞ ⎟ a − 1 0⎟ a − 1 0 ⎠⎟

Simplificant, obtenim la matriu següent:

225

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 225 C M Y K

2/6/09

12:27

Página 226

Així, la solució és:

⎫ ⎪ 0⎬ ⎪ ⎭

Resolem mitjançant Gauss:

→ 5F + F

1 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −5 6 0⎟ ⎟ ⎜ 1 −1 1000 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

Resolem el sistema format per aquestes quatre equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de Gauss. Per suprimir decimals, multipliquem per 100 els coeficients de les tres últimes equacions. 1 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜6 8 12 800 ⎟ ⎟ ⎜ 8 800 ⎟ ⎜ 6 12 ⎟ ⎜ 4 12 800 ⎠ ⎝8 1 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜0 2 6 200 ⎟ ⎟ ⎜ 6 2 200 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0⎠ ⎝ 0 −4 4 ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 1 100 ⎞ 2 6 200 ⎟ ⎟ 0 −16 −400 ⎟ ⎟ 0 16 400 ⎠ 1 1 0 0

F2 → F2 − 6 F1 F3 → F3 − 6 F1 F4 → F4 − 8 F1 ———— ——

F3 → F3 − 3 F2 F4 → F4 + 2 F2 ———— ——

F2 → F2 : 2 F → F :(−16) 3 3 F4 → F4 + F3 ———— ——

1 100 ⎞ 3 100 ⎟ ⎟ 1 25 ⎟ ⎟ 0 0⎠

Ens queda el sistema següent, que resolem mitjançant substitució regressiva: ⎧ z = 25 ⎪ ⎨ y = 100 − 3 ⋅ 25 = 25 ⎪ ⎩ x = 100 − 25 − 25 = 50 Per tant, s’han d’utilitzar 50 grams del medicament I, 25 grams del medicament II i 25 del medicament III.

Així, la solució és: 5.

z = 5 000 6 ⋅ 5 000 y = = 6 000 5 x = −6 000 + 3 ⋅ 5 000 = 9 000

Per k = 1 el sistema és: ⎛ 1 3 −2 8 ⎞ 7 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 6 que és compatible i indeterminat amb un grau de llibertat.

Així doncs, el filatèlic té 9 000 segells nacionals, 6 000 de la resta d’Europa i 5 000 de la resta del món.

Per k = −5 el sistema és: 8⎞ ⎛ 1 3 −2 8 ⎞ ⎛ 1 3 −2 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 7 5 0 0 1 0⎟ → ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 −5 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 −6 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 0 que és incompatible. Per k ≠ 1 i k ≠ −5 el sistema és compatible determinat.

y =

Les proporcions dels components A, B i C respecte del total ens donen les equacions següents:

Propostes d’avaluació

0, 06 x + 0, 08 y + 0, 12 z = 8 0, 06 x + 0, 12 y + 0, 08 z = 8 0, 08 x + 0, 04 y + 0, 12 z = 8

−156 y = =6 −26 z = 3 ⋅ 6 = 18 x = 156 − 4 ⋅ 6 − 2 ⋅ 18 = 96 Així doncs, cada aspiradora té un cost de 96 €, cada espremedora un cost de 6 € i cada torradora té un cost de 18 €. 3.

Les incògnites són: x = nombre de segells nacionals y = nombre de segells de la resta d’Europa z = nombre de segells de la resta del món Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema: 0, 6 z + 0, 5 y = 0, 3 (x + y + z) ⎫ ⎪ 0, 2 z + 0, 6 (x + y ) = 0, 5 (x + y + z)⎬ ⎪ z + 1000 = y ⎭ Intercanviant la primera i la segona equació i reduint els termes semblants, tenim: x + y − 3z = 0 3x − 2y − 3z = y − z = 1000

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 −3 0⎞ ⎛1 0⎟ A ′ = ⎜ 3 −2 −3 ⎜ ⎟ 1 −1 1000 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

F2 → F2 − 3 F1

———— ——

F

3 3 2 ———— —— 

0⎞ 0⎟ ⎟ 5 000 ⎠⎟

1 100 ⎞ 3 100 ⎟ ⎟ 1 25 ⎟ ⎟ 0 0⎠

Sigui x, y, z la quantitat expressada en grams dels medicaments I, II i III respectivament, de manera que podem expressar una primera equació de la manera següent:

1 1 0 0

1 −3 ⎛1 ⎜ 0 − 5 6 ⎜ 0 1 ⎝⎜ 0

8⎞ ⎛ 1 3 −2 8 ⎞ ⎛ 1 3 −2 ⎜ 0 0 7 5⎟ → ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜⎝ 0 0 −6 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 −5 ⎟⎠ Per k = −5 el sistema és: que és compatible i indeterminat amb un grau de llibertat. ⎛ 1 3 −2 8 ⎞ ⎜⎝ 0 6 7 5 ⎟⎠ Per k = 1 el sistema és: ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

F2 → F2 : 2 F3 → F3 :(−16) F4 → F4 + F3 ———— —— F3 → F3 − 3 F2 F4 → F4 + 2 F2 ———— —— F2 → F2 − 6 F1 F3 → F3 − 6 F1 F4 → F4 − 8 F1 ———— ——

x + y + z = 100

5.

Per tant, s’han d’utilitzar 50 grams del medicament I, 25 grams del medicament II i 25 del medicament III. 1 1 100 ⎞ 2 6 200 ⎟ ⎟ 0 −16 −400 ⎟ ⎟ 0 16 400 ⎠

9521_Propostes Evaluacio.qxd

226 Per k ≠ 1 i k ≠ −5 el sistema és compatible determinat. que és incompatible. → 5F + F

0⎞ 0⎟ ⎟ 5 000 ⎟⎠

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 100 ⎞ 6 200 ⎟ ⎟ 2 200 ⎟ ⎟ 4 0⎠

1 1 100 ⎞ ⎛1 ⎜6 8 12 800 ⎟ ⎟ ⎜ 8 800 ⎟ ⎜ 6 12 ⎟ ⎜ 4 12 800 ⎠ ⎝8

4.

Les proporcions dels components A, B i C respecte del total ens donen les equacions següents: x + y + z = 100 Sigui x, y, z la quantitat expressada en grams dels medicaments I, II i III respectivament, de manera que podem expressar una primera equació de la manera següent: F

1 −3 ⎛1 ⎜ 0 −5 6 ⎜ ⎜⎝ 0 0 1

⎧ z = 25 ⎪ ⎨ y = 100 − 3 ⋅ 25 = 25 ⎪ x = 100 − 25 − 25 = 50 ⎩

1 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0 −5 6 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 1 −1 1000 ⎟⎠ ⎫ ⎪ 0⎬ ⎪ ⎭

Les incògnites són: x = nombre de segells nacionals y = nombre de segells de la resta d’Europa z = nombre de segells de la resta del món Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

Propostes d’avaluació

226 4.

Així doncs, el filatèlic té 9 000 segells nacionals, 6 000 de la resta d’Europa i 5 000 de la resta del món. z = 5 000 6 ⋅ 5 000 y = = 6 000 5 x = −6 000 + 3 ⋅ 5 000 = 9 000 Així, la solució és: 3 3 2 ———— ——  F2 → F2 − 3 F1 ———— ——

Ens queda el sistema següent, que resolem mitjançant substitució regressiva:

1 −3 0⎞ ⎛1 ⎜ 0⎟ A ′ = 3 −2 −3 ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 1 −1 1000 ⎟⎠ Resolem mitjançant Gauss: x + y − 3z = 0 3x − 2y − 3z = y − z = 1000

Intercanviant la primera i la segona equació i reduint els termes semblants, tenim:

1 ⎛1 ⎜0 2 ⎜ 6 ⎜0 ⎜ ⎝ 0 −4

0, 6 z + 0, 5 y = 0, 3 (x + y + z) ⎫ ⎪ 0, 2 z + 0, 6 (x + y ) = 0, 5 (x + y + z)⎬ ⎪ z + 1000 = y ⎭ 3.

Així doncs, cada aspiradora té un cost de 96 €, cada espremedora un cost de 6 € i cada torradora té un cost de 18 €.

Resolem el sistema format per aquestes quatre equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode de Gauss. Per suprimir decimals, multipliquem per 100 els coeficients de les tres últimes equacions.

−156 =6 −26 z = 3 ⋅ 6 = 18 x = 156 − 4 ⋅ 6 − 2 ⋅ 18 = 96

0, 06 x + 0, 08 y + 0, 12 z = 8 0, 06 x + 0, 12 y + 0, 08 z = 8 0, 08 x + 0, 04 y + 0, 12 z = 8

Així, la solució és:

226

2/6/09

12:27

226

9521_Propostes Evaluacio.qxd

Página 226

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 227

227 5 x + 5 y + 2 z = 1 014 ⎫ 5 x + 12 y + 5 z = 14 07 ⎪⎪ ⎬ 3 x + 6 y + 4 z = 901 ⎪ 5 x + 2 z = 909 ⎭⎪

z = 1; y = (10 + 11 ⋅ 1) / 7 = 3; x = −1 + 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 = −2 D’on resulta:

Les incògnites són:

Resolem mitjançant Gauss:®

x = diners aconseguits per en Joan y = diners aconseguits per en Pere z = diners aconseguits per en Lluís

5 2 1014 ⎞ ⎛5 ⎜ 5 12 5 1407 ⎟ ⎟ A′ = ⎜ 6 4 901⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ 0 2 909 ⎠ ⎝5

Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

⎛1 2 7 ⎝⎜ 0 0

F3 → F3 + F2 ⎜ 0 ———— —— ⎜

100 x + 100 y + 40 z = 20 280 ⎫ 50 x + 120 y + 50 z = 14 070 ⎪⎪ ⎬⇔ 75 x + 150 y + 100 z = 22 525 ⎪ 50 x + 20 z = 9 090 ⎭⎪

500 − x = 2 ( y + z)⎫ ⎪ y − 25 = x + 25 ⎬⇔ ⎪ x + y + z = 300 ⎭

F2 → F2 − F1 F4 → F1 − F4 ———— ——

x + 2 y + 2 z = 500 ⎫ ⎪ x − y = −50 ⎬ x + y + z = 300 ⎪⎭

−5 − 1⎞ 2 −5 −1⎞ 2 ⎛ 1 ⎛1 ⎟ F2 → F2 + 3 F1 ⎜ ⎜ − − 3 1 − 2 7 7 17 4⎟ F3 → F3 − 2 F1 0 ⎟ ———— ⎟ ⎜ ——⎜⎜ 1 −12 ⎠⎟ 11 −10 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −3 ⎝ 0 −7

Imposant les quatre condicions de l’enunciat s’obté el sistema: 9.

−105 = 21 −5 393 − 7 ⋅ 21 z= = 82 3 1014 − 5 ⋅ 21 − 2 ⋅ 82 x = = 149 5 Comprovem que la solució obtinguda, (149, 21, 82), compleix la tercera condició del sistema esglaonat:

1 1 200 ⎞ ⎛0 ⎜ 0 −2 −1 −350 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 1 300 ⎟⎠

y = λ

y = 150 z = 50 x = 100

z= −

F3 → F3 − F1 ———— ——

F3 → F3 − F1 ———— ——

F1 → F1 − F2 ———— ——

F2 → F2 + 2 F1

⎛ 0 1 1 200 ⎞ ⎜0 0 1 50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 0 0 100 ⎟⎠

3 ⋅ 149 + 6 ⋅ 21 + 4 ⋅ 82 = 901 Així, el preu del producte A és de 149 €, el preu del producte B és de 21 € i el preu del producte B és de 82 €. 8.

F1 → F1 − F3

⎛ 0 1 0 150 ⎞ ⎜0 0 1 50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 0 0 100 ⎠⎟

z= − y = λ

⎛ 1 1 k 1⎞ ⎝⎜ 1 1 −1 2 ⎠⎟

⎛ 0 1 1 200 ⎞ ⎜0 0 1 50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 0 0 100 ⎠⎟

8.

1 1 200 ⎞ ⎛0 ⎜ 0 − 2 −1 −350 ⎟ ⎟ ⎜ 1 1 300 ⎠⎟ ⎝⎜ 1

F2 → F2 − F1 ———— ——

k 1⎞ ⎛1 1 ⎝⎜ 0 0 −1 − k 1⎠⎟

Reduint per Gauss la matriu del sistema: Així, el preu del producte A és de 149 €, el preu del producte B és de 21 € i el preu del producte B és de 82 €. 3 ⋅ 149 + 6 ⋅ 21 + 4 ⋅ 82 = 901 Comprovem que la solució obtinguda, (149, 21, 82), compleix la tercera condició del sistema esglaonat: −105 y = = 21 −5 393 − 7 ⋅ 21 z= = 82 3 1014 − 5 ⋅ 21 − 2 ⋅ 82 = 149 5 x =

Resolem mitjançant Gauss: x + 2 y + 2 z = 500 ⎫ ⎪ x − y = −50 ⎬ x + y + z = 300 ⎭⎪

Així, la solució és:

500 − x = 2 ( y + z)⎫ ⎪ y − 25 = x + 25 ⎬⇔ ⎪ x + y + z = 300 ⎭

F4 → F1 − F4 ———— —— F2 → F2 − F1

Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

5 x + 5 y + 2 z = 1 014 ⎫ 5 x + 12 y + 5 z = 14 07 ⎪⎪ ⎬ 3 x + 6 y + 4 z = 901 ⎪ ⎪⎭ 5 x + 2 z = 909

x = 1+

9.

1 + 2k k −λ = −λ 1+ k 1+ k

Resolem mitjançant Gauss: −5 − 1⎞ 2 −5 −1⎞ 2 ⎛ 1 ⎛1 F2 → F2 + 3 F1 ⎟ ⎜ −3 ⎜ 1 −2 7 F3 → F3 − 2 F1 0 7 −17 4⎟ ⎟ ——————⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 2 −3 ⎜ 1 −12 ⎠ 11 −10 ⎟⎠ ⎝ 0 −7

⎛1 2 7 ⎜⎝ 0 0

F3 → F3 + F2 ⎜ 0 ———— —— ⎜

−5 −1 ⎞ −11 10 ⎟ ⎟ −6 −6 ⎟⎠

D’on resulta: z = 1; y = (10 + 11 ⋅ 1) / 7 = 3; x = −1 + 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 = −2

Propostes d’avaluació

100 x + 100 y + 40 z = 20 280 ⎫ 50 x + 120 y + 50 z = 14 070 ⎪⎪ ⎬⇔ 75 x + 150 y + 100 z = 22 525 ⎪ ⎪⎭ 50 x + 20 z = 9 090

1 1+ k

x = diners aconseguits per en Joan y = diners aconseguits per en Pere z = diners aconseguits per en Lluís 6.

1 1+ k

resulten els casos següents:

⎛ 1 2 2 500 ⎞ A ′ = ⎜ 1 −1 0 −50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 1 1 300 ⎠⎟

Imposant les quatre condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

k 1⎞ ⎛1 1 ⎜⎝ 0 0 −1 − k 1⎟⎠

k = −1 sistema incompatible. k ≠ −1 sistema compatible indeterminat amb 1 grau de llibertat. La solució és:

Així doncs, en Joan ha aconseguit 100 €, en Pere n’ha aconseguit 150 € i en Lluís 50 €. Les incògnites són: x = preu del producte A y = preu del producte B z = preu del producte C

F2 → F2 − F1 ———— ——

resulten els casos següents:

y = 150 z = 50 x = 100

7.

Reduint per Gauss la matriu del sistema: ⎛ 1 1 k 1⎞ ⎜⎝ 1 1 −1 2 ⎟⎠

⎛ 0 1 0 150 ⎞ ⎜0 0 1 50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 0 0 100 ⎟⎠

Aleshores, la solució del sistema és:

F2 → F2 − F3 ———— ——

1 + 2k k −λ = −λ 1+ k 1+ k

k = −1 sistema incompatible. k ≠ −1 sistema compatible indeterminat amb 1 grau de llibertat. La solució és:

Aleshores, la solució del sistema és:

F2 → F2 + 2 F1

F1 → F1 − F2 ———— ——

Resolem mitjançant Gauss: x = 1+

Així doncs, en Joan ha aconseguit 100 €, en Pere n’ha aconseguit 150 € i en Lluís 50 €.

F2 → F2 − F3 ———— ——

2 1014 ⎞ 3 393 ⎟ ⎟ 4 901 ⎟ ⎟ 0 −105 ⎠

y =

⎛ 1 2 2 500 ⎞ A ′ = ⎜ 1 −1 0 −50 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 1 1 300 ⎟⎠ F1 → F1 − F3

5 ⎛5 ⎜0 7 ⎜ 6 ⎜3 ⎜ ⎝ 0 −5

Així, la solució és:

Resolem mitjançant Gauss: 7.

Les incògnites són: x = preu del producte A y = preu del producte B z = preu del producte C

−5 −1 ⎞ −11 10 ⎟ ⎟ −6 −6 ⎠⎟

Propostes d’avaluació

6.

Les incògnites són:

5 2 1014 ⎞ ⎛5 ⎜0 7 3 393 ⎟ ⎜ ⎟ 6 4 901 ⎟ ⎜3 ⎜ ⎟ ⎝ 0 −5 0 −105 ⎠

5 ⎛5 ⎜ 5 12 A′ = ⎜ 6 ⎜3 ⎜ 0 ⎝5

2 1014 ⎞ 5 1407 ⎟ ⎟ 4 901⎟ ⎟ 2 909 ⎠

Resolem mitjançant Gauss:®

227

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 227 C M Y K

C M Y K

2/6/09

12:27

Página 228

228

9521_Propostes Evaluacio.qxd

228 La solució és:

UNITAT 5 - SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS II ⎞ ⎟ ⎟ ⎠⎟

18, 5 ⎞ −87, 5 ⎟ ⎟ 300 ⎠⎟

x = 33 − 5 λ + 9 y = z= λ λ−7 2

3−λ 2

y =

Resolem per substitució regressiva:

⎛ 2 3 0 185 ⎞ ⎜ 3 2 0 190 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 6 5 8 855 ⎠⎟

x − 9 y = 33 − 5 λ ⎫ ⎪ 2 y = −7 + λ ⎬ ⎪ z= λ ⎭

Resolem per Gauss: 10 x + 15 y = 925 ⎫ 2x + 3y = 185 ⎫ ⎪ ⎪ 12 x + 8 y = 760 ⎬ ⇔ 3 x + 2 y = 190 ⎬ 6 x + 5 y + 8 z = 855 ⎭⎪ 6 x + 5 y + 8 z = 855 ⎭⎪ Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema: x = preu del bitllet per a anar a la ciutat A y = preu del bitllet per a anar a la ciutat B z = preu del bitllet per a anar a la ciutat C

En aquest cas està format per 2 equacions amb 3 incògnites. Aleshores, el sistema tindrà infinites solucions dependents de 3 − 2 = 1 paràmetre. Considerant que z = λ, obtenim: x − 9 y + 5 z = 33 ⎫ ⎬ 2 y − z = −7 ⎭

= 1 ⋅ (−36) − 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−9) − 1 ⋅ (−57) = 24

3 F 2 1

0 ⎛2 3 ⎜ − 0 2 , 5 0 ⎜ 8 ⎝⎜ 0 −4

185 −87, 5 440

−2 5 −4 − 1 ⋅ 2 3 −3 = −1 2 2

F2 → F2 −

0 0 8

−2 5 −4 −2 5 −4 2 + 1 ⋅ 2 3 −3 − − 2 ⋅ −1 2 −1 3 −3 −1 3 −3

F3 → F3 − 3 F1 ———— ——

3 −2, 5 0

1 −2 5 −4 2 3 −3 2 2 3 −3 B = = 1 ⋅ −1 2 2 − 1 −1 2 2 −1 3 −3 1 −1 3 −3

⎛2 ⎜0 ⎜ ⎝⎜ 0

En la segona matriu, d’ordre 4, calculem el determinant per recurrència:

8 F3 → F3 − F2 5 ———— ——

De l’observació de la tercera fila de la matriu ampliada deduïm que es tracta d’un sistema compatible indeterminat, amb més incògnites que equacions:

10. Les incògnites són:

228

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 228

F3 → F3 − F2 ———— ——

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 ⎜0 2 −1 −7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠

Per a calcular el determinant de la primera matriu utilitzem la regla de Sarrus:

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 ⎜0 2 −1 −7 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 2 −1 −7 ⎟⎠ 

1 F 6 2 1 F3 → F3 4—— ———— F2 →

+ (−3) ⋅ (−2) ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 ⋅ (−4) − 2 ⋅ 2 ⋅ (−2) − − (−3) ⋅ (−1) ⋅ 1 = 131

1.

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 12 −6 −42 ⎟ ⎟ 8 −4 −28 ⎟⎠

F2 → F2 − F1 ⎜ 0 F3 → F3 − F1 ⎜ ———— —— ⎜⎝ 0

2 −1 5 A = −3 4 2 = 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 ⋅ (−4) + −4 −2 1

Resolem el sistema mitjançant Gauss:

2 −1 5 A = −3 4 2 = 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 2 ⋅ (−4) + −4 −2 1

x =

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 A ′ = ⎜ 1 3 −1 −9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 −1 1 5 ⎟⎠

Per a calcular el determinant de la primera matriu utilitzem la regla de Sarrus:

+ (−3) ⋅ (−2) ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 ⋅ (−4) − 2 ⋅ 2 ⋅ (−2) − − (−3) ⋅ (−1) ⋅ 1 = 131

11. La matriu ampliada del sistema és la següent:

1.

Així doncs, un bitllet per a anar a la ciutat A costa 40 €, un billet per a anar a la ciutat B costa 35 € i un bitllet per a anar a la ciutat C costa 55 €.

Així doncs, un bitllet per a anar a la ciutat A costa 40 €, un billet per a anar a la ciutat B costa 35 € i un bitllet per a anar a la ciutat C costa 55 €.

Propostes d’avaluació

En la segona matriu, d’ordre 4, calculem el determinant per recurrència:

440 = 55 8 −87, 5 y = = 35 −2, 5 185 − 3 ⋅ 35 x = = 40 2

z=

440 z= = 55 8 −87, 5 y = = 35 −2, 5 185 − 3 ⋅ 35 = 40 2

3−λ 2

UNITAT 5 - SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS II

La solució és:

228

x = 33 − 5 λ + 9 y =

11. La matriu ampliada del sistema és la següent:

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 A ′ = ⎜ 1 3 −1 −9 ⎟ ⎟ ⎜ 5 ⎠⎟ ⎝⎜ 1 −1 1

185 −87, 5 440

1 −2 5 −4 2 3 −3 2 2 3 −3 B = = 1 ⋅ −1 2 2 − 1 −1 2 2 −1 3 −3 1 −1 3 −3

0 0 8

Resolem el sistema mitjançant Gauss:

3 −2, 5 0

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 12 −6 −42 ⎟ ⎟ 8 −4 −28 ⎠⎟

⎛2 ⎜0 ⎜ ⎜⎝ 0

z= λ λ−7 y = 2

F2 → F2 − F1 ⎜ 0 F3 → F3 − F1 ⎜ ———— —— ⎝⎜ 0

8 F3 → F3 − F2 5 ———— ——

−2 5 −4 −2 5 −4 2 + 1 ⋅ 2 3 −3 − − 2 ⋅ −1 2 −1 3 −3 −1 3 −3

F3 → F3 − 3 F1 ———— ——

Resolem per substitució regressiva:

18, 5 ⎞ −87, 5 ⎟ ⎟ 300 ⎟⎠

0 ⎛2 3 ⎜ 0 −2, 5 0 ⎜ ⎜⎝ 0 −4 8

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 ⎜ 0 2 −1 −7 ⎟ ⎟ ⎜ 2 −1 −7 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

3 F 2 1

−2 5 −4 2 3 −3 = −1 2 2

⎛ 2 3 0 185 ⎞ ⎜ 3 2 0 190 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 6 5 8 855 ⎟⎠

− 1⋅

x − 9 y = 33 − 5 λ ⎫ ⎪ 2 y = −7 + λ ⎬ ⎪ z= λ ⎭

Resolem per Gauss:

F2 → F2 −

= 1 ⋅ (−36) − 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (−9) − 1 ⋅ (−57) = 24

En aquest cas està format per 2 equacions amb 3 incògnites. Aleshores, el sistema tindrà infinites solucions dependents de 3 − 2 = 1 paràmetre. Considerant que z = λ, obtenim:

10 x + 15 y = 925 ⎫ 2x + 3y = 185 ⎫ ⎪ ⎪ 12 x + 8 y = 760 ⎬ ⇔ 3 x + 2 y = 190 ⎬ 6 x + 5 y + 8 z = 855 ⎪⎭ 6 x + 5 y + 8 z = 855 ⎪⎭

1 F2 → F2 6 1 F3 → F3 4—— ———— 

x − 9 y + 5 z = 33 ⎫ ⎬ 2 y − z = −7 ⎭

Imposant les condicions de l’enunciat s’obté el sistema:

5 33 ⎞ ⎛ 1 −9 ⎜0 2 −1 −7 ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0

x = preu del bitllet per a anar a la ciutat A y = preu del bitllet per a anar a la ciutat B z = preu del bitllet per a anar a la ciutat C

Propostes d’avaluació

De l’observació de la tercera fila de la matriu ampliada deduïm que es tracta d’un sistema compatible indeterminat, amb més incògnites que equacions:

F3 → F3 − F2 ———— ——

10. Les incògnites són:

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 229

229 Si m = −13, rang ( A C) = 2. En aquest cas el sistema és compatible indeterminat.

A partir de l’aplicació de les propietats dels determinants estudiades (D5 i D9) tenim:

c) La matriu ampliada seria: −5 ⎞ ⎛ 1 1 −2 A′ = ⎜ 2 1 1 −9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 3 −9 −10 ⎟⎠

1 1 1 A = a b c = b+c c+a a+b

1 1 rang( A C) = 2 1 2 3

A = −2 A =

−6 −11 = − m − 13 m

=

Calculem el rang de la matriu ampliada ( A C): ⎛ 1 1 −2 A′ = ⎜ 2 1 1 ⎜ ⎝⎜ 2 3 −9

5.

−6 ⎞ −11 ⎟ ⎟ m ⎠⎟

Calculem el rang de la matriu ampliada: 1 1 −5 rang( A B + C) = 2 1 −9 = −1 ≠ 0 2 3 −10

1 1 1 a b c =0 b+c+a c+a+b a+b+c

Per tant, com que rang (A) = 2, el sistema és incompatible.

Hem sumat la segona fila a la tercera, amb la qual cosa aquesta és un múltiple de la primera. Per tant, el valor del determinant és 0. a) Calculem el rang de la matriu A. Així, calculem el seu determinant:

4.

Si k ≠ 2, rang (A′) = 3. Aleshores, en aquest cas el sistema és incompatible.

1 1 −2 A = 2 1 1 = −9 + 2 − 12 + 4 − 3 + 18 = 0 2 3 −9

⎛ 1 ⎜−3 Adj( A t ) ⎜⎜ 1 = = ⎜ 3 A ⎜ ⎜ 0 ⎝

1 4 0 0

1⎞ 3⎟ ⎟ 1⎟ 12 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠

Per tant, la matriu inversa de A és: 0 16 ⎞ ⎛ −16 Adj( A t ) = ⎜ 16 0 −4 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 12

1 1 1 A ′ = 2 1 2 = k + 4 + 6 − 2 − 6 − 2 k = −k + 2 2 3 k

Com que

La matriu A serà invertible per aquells valors en els quals el determinant de la mateixa sigui diferent de zero. Si calculem el determinant obtenim: 1 k 0 A = 0 0 k = k3 − 4 k = k ( k + 2 ) ( k − 2 ) k 4 0

1 1 ≠ 0 , rang (A) = 2. 2 1

A té inversa si k ≠ 0, k ≠ −2 o k ≠ 2. Si k = 4, calcularem A−1. Primerament calculem el determinant de A:

La matriu de determinants dels adjunts de At serà:

Calculem ara el rang d’aquesta matriu A′. Sabem que rang (A′) ≥ rang (A)). Com que A′ s’aconsegueix afegint una columna a A, només caldrà calcular el següent menor d’ordre tres:

La matriu ampliada seria:

A = k 3 − 4 k = 48

⎛ 1 1 −2 1 ⎞ A ′ = ⎜ 2 1 1 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 3 −9 k ⎟⎠

Escrivim la matriu transposada de A: ⎛ 1 0 4⎞ A = ⎜ 4 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 4 0 ⎟⎠ t

⎛ 1 0 4⎞ At = ⎜ 4 0 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 0 4 0 ⎠⎟

⎛ 1 1 −2 1 ⎞ A ′ = ⎜ 2 1 1 2⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 3 −9 k ⎠⎟

Calculem ara el rang d’aquesta matriu A′. Sabem que rang (A′) ≥ rang (A)). Com que A′ s’aconsegueix afegint una columna a A, només caldrà calcular el següent menor d’ordre tres:

La matriu de determinants dels adjunts de At serà:

Escrivim la matriu transposada de A: A = k 3 − 4 k = 48

La matriu ampliada seria:

A té inversa si k ≠ 0, k ≠ −2 o k ≠ 2. Si k = 4, calcularem A−1. Primerament calculem el determinant de A:

1 1 ≠ 0 , rang (A) = 2. Com que 2 1

1 1 1 A ′ = 2 1 2 = k + 4 + 6 − 2 − 6 − 2 k = −k + 2 2 3 k

0 16 ⎞ ⎛ −16 ⎜ Adj( A ) = 16 0 −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 12 0 ⎟⎠ t

1 k 0 A = 0 0 k = k3 − 4 k = k ( k + 2 ) ( k − 2 ) k 4 0

1 1 −2 A = 2 1 1 = −9 + 2 − 12 + 4 − 3 + 18 = 0 2 3 −9

Si k ≠ 2, rang (A′) = 3. Aleshores, en aquest cas el sistema és incompatible.

Per tant, la matriu inversa de A és:

b) La matriu ampliada seria: ⎛ 1 1 −2 A′ = ⎜ 2 1 1 ⎜ ⎜⎝ 2 3 −9

−6 ⎞ −11 ⎟ ⎟ m ⎟⎠

a) Calculem el rang de la matriu A. Així, calculem el seu determinant: Hem sumat la segona fila a la tercera, amb la qual cosa aquesta és un múltiple de la primera. Per tant, el valor del determinant és 0. 1 1 1 = a b c =0 b+c+a c+a+b a+b+c

Calculem el rang de la matriu ampliada ( A C): −6 −11 = − m − 13 m

4.

La matriu A serà invertible per aquells valors en els quals el determinant de la mateixa sigui diferent de zero. Si calculem el determinant obtenim: Per tant, com que rang (A) = 2, el sistema és incompatible. 1 1 −5 rang( A B + C) = 2 1 −9 = −1 ≠ 0 2 3 −10 Calculem el rang de la matriu ampliada:

1 1 1 A = a b c = b+c c+a a+b

Si m = −13, rang ( A C) = 2. En aquest cas el sistema és compatible indeterminat.

5.

0 0 1 4

1⎞ 3⎟ ⎟ 1⎟ 12 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠

Calculem el determinant de la matriu associada al sistema: −3 1 2 A = 1 5 −1 = −45 − 4 + 4 + 40 + 6 − 3 −4 −2 3 A = −2

Propostes d’avaluació

1 1 rang( A C) = 2 1 2 3

A −1

⎛ 1 ⎜−3 Adj( A t ) ⎜⎜ 1 = = ⎜ 3 A ⎜ ⎜ 0 ⎝

2.

Calculem el determinant de la matriu associada al sistema: A −1

b) La matriu ampliada seria:

3.

3.

−3 1 2 1 5 −1 = −45 − 4 + 4 + 40 + 6 − 3 −4 −2 3

Propostes d’avaluació

2.

A partir de l’aplicació de les propietats dels determinants estudiades (D5 i D9) tenim:

−5 ⎞ ⎛ 1 1 −2 A′ = ⎜ 2 1 1 −9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 2 3 −9 −10 ⎠⎟ c) La matriu ampliada seria:

229

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 229 C M Y K

2/6/09

12:27

Página 230

−3 1 −4

1 2 4 −1 = −36 − 2 + 4 + 32 + 3 − 3 = −2 −1 3

7.

Aleshores: x = y = z=

Δ (k − 1)2(k + 1) − x = = −1 → x = −1 A (k − 1)2(k + 1) Δy A

=

(k − 1)2(k + 1) (k − 1)2(k + 1)

=1

Δz (k − 1)2(k + 1) = =1 A (k − 1)2(k + 1)

→ y =1 →z=1

Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent d’1 i de −1, aquesta és la solució única del sistema. a) a21  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, només hi ha un menor d’ordre 2,  A , aleshores: rang (A) = 2 ⇔  A  ≠ 0

→ x =2

Δx −4 = =2 A −2

x =

Δy

=

Si calculem el determinant: A =

m 1 1 m

= m2 − 1 = 0 ⇔ m = ± 1

Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquest menor són:

m

1

1

m

El determinant de la matriu A és: 1 1 k A = k k 1 = k + k3 + 1 − k 2 − k − k = 1 k 1 = k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1)

= m2 − 1

= 1− m

m 1 1 1 1

1 1 m

= m−1

= m−1

L’únic valor de m que anul·la tots aquests orlats és m = 1; aleshores, en aquest cas, rang (A) = 1.

Si k = 1, el rang de A i A′ és 1, i per tant el sistema és, evidentment compatible indeterminat, ja que es redueix a una única equació. Si k = −1, el rang de A i A′ és 2, i per tant el sistema és també compatible indeterminat. Si k ≠ 1 i k ≠ −1, el sistema és compatible determinat segons el teorema de Rouché-Frobenius perquè el rang de A i A″ és 3, que és el nombre d’incògnites. Ho resolem mitjançant la regla de Cramer:

Si m ≠ 1, podem considerar el menor: a 21 a 22 1 m = = a 31 a 32 1 1 = 1 − m ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 L’únic menor d’ordre tres de A és A : m 1 1 1 m 1 1 1 m

A =

=

Propostes d’avaluació

Calculem la resta de determinants per aplicar la regla de Cramer: 1 1 2 Δ = 4 5 −1 = 15 − 16 + 1 + 10 − 2 − 12 = −4 x −1 −2 3

Δy =

−3 1 1 Δ = 1 5 4 = 15 − 2 − 16 + 20 − 24 + 1 = −6 z −4 −2 −1 Per tant:

→ y =1

−2 =1 −2

A

m = ± 1 ⇒ rang (A) = 1

b) a21  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1

⎛ 1 1 k k⎞ A ′ = ⎜ k k 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎜ 1 k 1 k ⎠⎟

m 1

1 1

= m−1

→z=3

Per tant:

= m−1

1 1

y =

=

m

1

m 1

Δ −6 z= z = =3 A −2

1 1

= 1− m

m ≠ ± 1 ⇒ rang (A) = 2

m 1

La matriu A associada al sistema i la seva ampliada A′ seran:

1 1

= m2 − 1

6.

m

= m3 + 1 + 1 − [m + m + m] = m3 − 3 m + 2

→z=1

⎛ 1 1 k⎞ A = ⎜ k k 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎜ 1 k 1 ⎠⎟

1

1

9521_Propostes Evaluacio.qxd

230 ⎧m = 1 = (m − 1)2 ⋅ (m + 2) = 0 ⇔ ⎨ ⎩ m = −2 Així, A  = m3 − 3 m + 2 = = m3 + 1 + 1 − [m + m + m] = m3 − 3 m + 2 A =

m 1 1 1 m 1 1 1 m

L’únic menor d’ordre tres de A és A : = 1 − m ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a 21 a 22 1 m = = a 31 a 32 1 1 Si m ≠ 1, podem considerar el menor: L’únic valor de m que anul·la tots aquests orlats és m = 1; aleshores, en aquest cas, rang (A) = 1. m

Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquest menor són: b) a21  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 m ≠ ± 1 ⇒ rang (A) = 2 Per tant: = m2 − 1 = 0 ⇔ m = ± 1

1 1 k Δ z = k k 1 = k 2 + 1 + k3 − k 2 − k − k 2 = 1 k k

→z=3

m 1 1 m

= k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1)

Δz −6 = =3 A −2

A =

Si calculem el determinant: rang (A) = 2 ⇔  A  ≠ 0 a) a21  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, només hi ha un menor d’ordre 2,  A , aleshores: Δz (k − 1)2(k + 1) = =1 A (k − 1)2(k + 1)

1 k k Δ y = k 1 1 = 1 + k3 + k − k − k − k 2 = 1 k 1

→ y =1

Així, A  = m3 − 3 m + 2 = ⎧m = 1 = (m − 1)2 ⋅ (m + 2) = 0 ⇔ ⎨ ⎩ m = −2

=

→ x =2 7.

z=

= k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1)

⎛ 1 1 k k⎞ A ′ = ⎜ k k 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 1 k 1 k ⎟⎠

La matriu A associada al sistema i la seva ampliada A′ seran: −2 =1 −2

A Δy

Δx −4 = =2 A −2

−3 1 1 1 5 4 = 15 − 2 − 16 + 20 − 24 + 1 = −6 −4 −2 −1

Per tant, qualsevol que sigui el valor de k, diferent d’1 i de −1, aquesta és la solució única del sistema.

1 2 4 −1 = −36 − 2 + 4 + 32 + 3 − 3 = −2 −1 3

1 1 2 4 5 −1 = 15 − 16 + 1 + 10 − 2 − 12 = −4 −1 −2 3

Propostes d’avaluació

230 = k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1) 1 k k Δ y = k 1 1 = 1 + k3 + k − k − k − k 2 = 1 k 1 = k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1) 1 1 k Δ z = k k 1 = k 2 + 1 + k3 − k 2 − k − k 2 = 1 k k Si k = 1, el rang de A i A′ és 1, i per tant el sistema és, evidentment compatible indeterminat, ja que es redueix a una única equació. Si k = −1, el rang de A i A′ és 2, i per tant el sistema és també compatible indeterminat. Si k ≠ 1 i k ≠ −1, el sistema és compatible determinat segons el teorema de Rouché-Frobenius perquè el rang de A i A″ és 3, que és el nombre d’incògnites. Ho resolem mitjançant la regla de Cramer: = k 3 − k 2 − k + 1 = (k − 1)2(k + 1) 1 1 k A = k k 1 = k + k3 + 1 − k 2 − k − k = 1 k 1 El determinant de la matriu A és: ⎛ 1 1 k⎞ A = ⎜ k k 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 k 1 ⎟⎠ 6.

m = ± 1 ⇒ rang (A) = 1 z= y = x = Per tant: Δz =

−3 Δy = 1 −4 Δx =

Δx −(k − 1)2(k + 1) = = −1 → x = −1 A (k − 1)2(k + 1) Δy (k − 1)2(k + 1) y = =1 → y =1 = A (k − 1)2(k + 1)

x =

Calculem la resta de determinants per aplicar la regla de Cramer:

Aleshores:

230

2/6/09

12:27

230

9521_Propostes Evaluacio.qxd

Página 230

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 231

Apartat b )

a 31

m = 1 ⇒ rang (A) = 1

a11 a12 a 21 a 22

m = −2 ⇒ rang (A) = 2

a 32

a 33

x =

−3 1 1 1 −3 1 1 −3 1

a13 a 23

=

≠0

21 2

Com a resum: m = 1 ⇒ rang (A) = 1 m = −3 ⇒ rang (A) = 3 m ≠ 1, −3 ⇒ rang (A) = 4

m ≠ 1, −2 ⇒ rang (A) = 3 c) Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) ≤ 4 i rang (A) = 4 ⇔ A  ≠ 0.

d) a14  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 a13 a 23

m 1 1 1 m+3 1 1 1 1 m 1 1 m+3 m 1 1 = A = =  m+3 1 m 1  1 1 m 1 m+3 1 1 m 1 1 1 m

Δy

⎛ −3 1 1 1 ⎞ ⎜ 1 −3 1 1 ⎟ ⎟, A =⎜ ⎜ 1 1 −3 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 1 1 −3 ⎠

1 1 1 = 1 2 3 = −8 1 5 1 Δx

m = −3: ⇒ rang (A) = 1

C1 → C1 + C2 + C3 + C4

1 1 1 1

1 1 1 1

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1 —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 0 0 0

1 0 0 0

z=

−11 2

Per tant:

i com que:

Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:

⎛1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

−8 = −4 2

y =

1 1 1 = 1 −2 2 = −11 1 0 5

1 1 1 = 2 −2 3 = 21 5 0 1

Calculem la resta de determinants per aplicar la regla de Cramer:

1⎞ 0⎟ ⎟ ⇒ 0⎟ ⎟ 0⎠

m = 1: Utilitzant el mètode de Gauss per a determinar el rang:

Δz

1 1 1 1 1 m 1 1 = (m + 3) 1 1 m 1 1 1 1 m

a14 10 1 = = a 24 −1 2

= 21 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 Calculem els dos orlats del menor anterior:

D2

=



F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1

6 −m

10 1 −1 2

2

m 1

= − m2 − 2 m + 15

1 5

10 1 −1 2

2

m 1

= 3m − 9

Perquè els dos menors siguin nuls: −m2 − 2 m + 15 = 0 ⇒ m = 3 o m = −5

1 1 1 A = 1 −2 3 = 2 1 0 1 8.

Calculem el determinant de la matriu associada al sistema:

Calculem el rang de A per aquests valors de m:

1 1 1 1 0 m−1 0 0 = (m + 3) = 0 0 m−1 0 0 0 0 m−1

Així, com que A té dimensió 3 × 4, rang (A) ≤ 3; i, com que sabem que rang (A) ≥ 2, concloem que rang (A) = 2 o rang (A) = 3.

= (m + 3) ⋅ (m − 1)3

Concretament en funció de m:

3m − 9 = 0 ⇒ m = 3

m = 3 ⇒ rang (A) = 2 m ≠ 3 ⇒ rang (A) = 3

Així, A  = 0 ⇔ m = −3 o m = 1.

m = 3 ⇒ rang (A) = 2 m ≠ 3 ⇒ rang (A) = 3

Així, A  = 0 ⇔ m = −3 o m = 1.

Concretament en funció de m:

= (m + 3) ⋅ (m − 1)3

Així, com que A té dimensió 3 × 4, rang (A) ≤ 3; i, com que sabem que rang (A) ≥ 2, concloem que rang (A) = 2 o rang (A) = 3.

1 1 1 1 0 m−1 0 0 = (m + 3) = 0 0 m−1 0 0 0 0 m−1

Calculem el rang de A per aquests valors de m:

3m − 9 = 0 ⇒ m = 3 −m2 − 2 m + 15 = 0 ⇒ m = 3 o m = −5

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1

1 1 1 1 1 m 1 1 = (m + 3) 1 1 m 1 1 1 1 m

m = 1: Utilitzant el mètode de Gauss per a determinar el rang: ⎛1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1

1 1 1 1

1 1 1 1

1⎞ 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠

Perquè els dos menors siguin nuls:



=

C1 → C1 + C2 + C3 + C4

Propostes d’avaluació

231 ⇒ rang (A) ≥ 3, i ja que rang (A) < 4, ha de ser rang (A) = 3.

Com que rang (A) = 3 ⇔ A ≠ 0, podem resumir:

F2 → F2 − F1 F3 → F3 − F1 F4 → F4 − F1 —————

⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

1 0 0 0

1 0 0 0

⇒ rang (A) = 1

1⎞ 0⎟ ⎟ ⇒ 0⎟ ⎟ 0⎠

8.

Calculem el determinant de la matriu associada al sistema: 1 1 1 A = 1 −2 3 = 2 1 0 1 Calculem la resta de determinants per aplicar la regla de Cramer:

m = −3: ⎛ −3 1 1 1 ⎞ ⎜ 1 −3 1 1 ⎟ ⎟, A =⎜ ⎜ 1 1 −3 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 1 1 −3 ⎠

D2

m 1 1 1 m+3 1 1 1 1 m 1 1 m+3 m 1 1 = A = = 1 1 m 1  m+3 1 m 1  m+3 1 1 m 1 1 1 m Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:

a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

a13 a 23 a 33

=

−3 1 1 1 −3 1 1 1 −3

≠0

Apartat b )

1 1 1 Δ y = 1 2 3 = −8 1 5 1

1 1 1 Δ z = 1 −2 2 = −11 1 0 5

Per tant: x =

21 2

y =

−8 = −4 2

z=

−11 2

Propostes d’avaluació

i com que:

1 1 1 Δ x = 2 −2 3 = 21 5 0 1

c) Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) ≤ 4 i rang (A) = 4 ⇔ A  ≠ 0. m ≠ 1, −2 ⇒ rang (A) = 3 m = −2 ⇒ rang (A) = 2

m 1

2

10 1 −1 2

1 5

m 1

2

10 1 −1 2

6 −m

= 3m − 9

= − m2 − 2 m + 15

Calculem els dos orlats del menor anterior: = 21 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2 a13 a 23

a14 10 1 = = a 24 −1 2

d) a14  = 1  = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1 m = 1 ⇒ rang (A) = 1 m = −3 ⇒ rang (A) = 3 m ≠ 1, −3 ⇒ rang (A) = 4 Com a resum:

m = 1 ⇒ rang (A) = 1 Com que rang (A) = 3 ⇔ A ≠ 0, podem resumir:

⇒ rang (A) ≥ 3, i ja que rang (A) < 4, ha de ser rang (A) = 3.

231

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 231 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 232

232 9.

a) Resolem mitjançant Gauss: F2 → F2 − 2F1 F3 → F3 − kF1 ———— ——

⎛1 1 1 5 ⎞ ⎜ 1 −1 −7 ⎟⎟ ⎜0 ⎝⎜ 0 10 − k 4 − k 2 − 5 k ⎠⎟

2.

1 1 1 2 3 1 = 12 + 20 + k − 3 k − 10 − 8 = 14 − 2 k k 10 4 Amb la mateixa conclusió.

k +1 1 ⎛1 ⎜ 2 ⎝ 0 2 − k − k −2 −

Com que el punt (0, 0) no és solució de 4x − 2y ≥ 8 ratllem el semiplà que determina aquesta recta que no conté aquest punt. Com que el punt (0, 0)) és solució de 5x + y < 10 ratllem el semiplà que determina aquesta recta que conté aquest punt. La solució del sistema d’inequacions ve determinada per la intersecció dels conjunts solució de cadascuna de les inequacions que conformen el sistema. Siguin x els diners que té en Joan i y els que té en Josep. Plantegem les restriccions amb el següent sistema d’inequacions:

Representem les rectes corresponents i marquem la regió solució, tenint en compte que cap dels punts de les rectes formen part de la solució (per aquest motiu estan puntejades).

10. Discutim per Gauss: ⎛ 1 k + 1 1 ⎞ F2 → F2 − kF1 ———— —— 2 −2 ⎠⎟ ⎝⎜ k F2 → −F2 ———— ——

⎞ ⎟ k⎠

20

3.

40

x=

y 2

y=x 2

60

80 100 120 140 160 180 200 220

X∑

Resolent el sistema d’inequacions format per les restriccions obtenim la regió acotada representada al gràfic següent: Y

10 C

(2, 8)

5 (8, 2)

(0, 2) B

10

D

A (0, 0)

4x – 2y = 8

5

5

10

2x 2x 2x 2x

−4y −4y −4y −4y

= = = =

X

0 −8 −2 28 8

Propostes d’avaluació

⎛1 1 1 5⎞ ⎜ 3 1 3 ⎟⎟ ⎜2 ⎝⎜ k 10 4 2 ⎠⎟

F3 → F3 − (10 − k)F2 ——————— ——

⎛1 1 1 5 ⎞ ⎜ −1 −7 ⎟⎟ ⎜0 1 ⎝⎜ 0 0 14 − 2 k 72 − 12 k ⎠⎟

Per tant, no és compatible determinat si 14 − 2 k = 0 o equivalentment per k = 7. Alternativament per determinants. El determinant del sistema és:

x + y > 120 ⎫ ⎪ y⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x− + y− < 100 ⎪ ⎪ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎪ ⎬ y x > ⎪ 2 ⎪ x ⎪ 2 ⎭⎪ y >

b) Si x = 2, el sistema de les dues primeres equacions dóna: y+z =3 ⎫ ⎬ que té per solució y = −2, z = 5. 3 y + z = −1 ⎭ Substituint ara en la tercera equació, resulta 2 k − 20 + 20 = 2, d’on k = 1.

∑Y 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

1 ⎞ k +1 ⎛1 ⎝⎜ 0 (k − 1)(k + 2) k + 2 ⎠⎟

Si k = 1 el sistema és incompatible. Si k = −2 la darrera línia es fa tota zero i desapareix. Els sistema esdevé compatible indeterminat. La solució és: y = λ; x = 1 + λ. Si k ≠ 1 i k ≠ −2 el sistema és compatible determinat. En aquest cas, la solució és: k+2 1 y = = (k − 1)(k + 2) k − 1 k +1 k −1− k −1 −2 . x = 1− = = k −1 k −1 k −1 UNITAT 6 - PROGRAMACIÓ LINEAL 1.

Els vèrtex del polígon són A = (0, 0), B = (0, 2), C = (2, 8) i D = (8, 2). Calculem el valor de la funció objectiu en aquests punts i tenim:

Representem gràficament les solucions de totes dues inequacions. Aleshores representem les rectes 4 x−2 y = = 8 i 5 x + y = 10. Y

f (0, 0) = f (0, 2) = f (2, 8) = f (8, 2) =

X

5

0 −8 −2 28 8

2

= = = =

–5

−4y −4y −4y −4y

X∑

–y

Per tant, la funció objectiu pren el seu valor mínim en el punt C (x = 2; y = 8) i el seu valor màxim en el punt D (x = 8; y = 2) 2x 2x 2x 2x

X

10

(2, 8)

80 100 120 140 160 180 200 220

–4 –5

X

60

Per tant, la funció objectiu pren el seu valor mínim en el punt C (x = 2; y = 8) i el seu valor màxim en el punt D (x = 8; y = 2)

5x + y = 10 5

f (0, 0) = f (0, 2) = f (2, 8) = f (8, 2) =

Els vèrtex del polígon són A = (0, 0), B = (0, 2), C = (2, 8) i D = (8, 2). Calculem el valor de la funció objectiu en aquests punts i tenim: 5 (8, 2)

5 C 10

Y

Resolent el sistema d’inequacions format per les restriccions obtenim la regió acotada representada al gràfic següent: 40

y=x 2 y 2

Siguin x els diners que té en Joan i y els que té en Josep. Plantegem les restriccions amb el següent sistema d’inequacions:

5x + y = 10

2

⎛1 1 1 5 ⎞ ⎟ ⎜0 1 − 1 − 7 ⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 10 − k 4 − k 2 − 5 k ⎟⎠

F2 → F2 − 2F1 F3 → F3 − kF1 ———— ——

–x

–x –4 –5 –5

4x – 2y = 8

Representem gràficament les solucions de totes dues inequacions. Aleshores representem les rectes 4 x−2 y = = 8 i 5 x + y = 10.

A (0, 0)

3.

20

1 ⎞ k +1 ⎛1 ⎜⎝ 0 (k − 1)(k + 2) k + 2 ⎟⎠

k +1 1 ⎞ ⎛ 1 k + 1 1 ⎞ F2 → F2 − kF1 ⎛ 1 ———— —— ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ k ⎟ 2 −2 ⎠ ⎝ 0 2 − k − k −2 − k ⎠

x=

Amb la mateixa conclusió.

x + y > 120

2.

⎛1 1 1 5 ⎞ ⎜0 1 −1 −7 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 0 0 14 − 2 k 72 − 12 k ⎟⎠

Com que el punt (0, 0) no és solució de 4x − 2y ≥ 8 ratllem el semiplà que determina aquesta recta que no conté aquest punt. Com que el punt (0, 0)) és solució de 5x + y < 10 ratllem el semiplà que determina aquesta recta que conté aquest punt. La solució del sistema d’inequacions ve determinada per la intersecció dels conjunts solució de cadascuna de les inequacions que conformen el sistema.

a) Resolem mitjançant Gauss:

Propostes d’avaluació

–y

5 10

Y

1.

UNITAT 6 - PROGRAMACIÓ LINEAL

D

(0, 2) B

k+2 1 = (k − 1)(k + 2) k − 1 k +1 k −1− k −1 −2 . x = 1− = = k −1 k −1 k −1 y =

Si k = 1 el sistema és incompatible. Si k = −2 la darrera línia es fa tota zero i desapareix. Els sistema esdevé compatible indeterminat. La solució és: y = λ; x = 1 + λ. Si k ≠ 1 i k ≠ −2 el sistema és compatible determinat. En aquest cas, la solució és: F2 → −F2 ———— ——

220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

10. Discutim per Gauss:

∑Y

Substituint ara en la tercera equació, resulta 2 k − 20 + 20 = 2, d’on k = 1.

Representem les rectes corresponents i marquem la regió solució, tenint en compte que cap dels punts de les rectes formen part de la solució (per aquest motiu estan puntejades).

y+z =3 ⎫ ⎬ que té per solució y = −2, z = 5. 3 y + z = −1 ⎭ b) Si x = 2, el sistema de les dues primeres equacions dóna:

⎫ ⎪ y⎞ ⎛ x⎞ ⎛ ⎪ x − y 100 + − < ⎜⎝ ⎪ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎪ ⎬ y x > ⎪ 2 ⎪ x ⎪ y > ⎪⎭ 2

1 1 1 2 3 1 = 12 + 20 + k − 3 k − 10 − 8 = 14 − 2 k k 10 4 Per tant, no és compatible determinat si 14 − 2 k = 0 o equivalentment per k = 7. Alternativament per determinants. El determinant del sistema és: F3 → F3 − (10 − k)F2 ——————— ——

⎛1 1 1 5⎞ ⎜2 3 1 3 ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ k 10 4 2 ⎟⎠ 9.

232

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 232

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 233

233 La funció objectiu és màxima en el punt C. Per tant, es fabricaran 8 taules i 20 cadires per a obtenir el màxim benefici. La tela disponible no és cap limitació per a prendre aquesta restricció, perquè la zona delimitada per aquesta engloba tota la regió factible.

Sigui x el nombre de taules fabricades i y el nombre de cadires. La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna en € l’import del benefici obtingut per l’empresa, definida per l’expressió següent: z = 90 x + 50 y Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són:

A = (0, 0) ⇒ z = 90 ⋅ 0 + 50 ⋅ 0 = B = (0, 24) ⇒ z = 90 ⋅ 0 + 50 ⋅ 24 4 C = (8, 20) ⇒ z = 90 ⋅ 8 + 50 ⋅ 20 D = (16, 0) ⇒ z = 90 ⋅ 16 + 50 ⋅ 0

95

• Durant 5 dies es disposa de 240 hores de treball, que és el que realitzen sis persones treballant vuit hores diàries. Com que s’utilitzen 5 hores de treball per a fabricar una taula i 10 hores per a fabricar una cadira, tenim: 5 x + 10 y ≤ 240

20 x + 8 y ≤ 320

y ≤ 30

5

10

15

20

25

30

35

40

D (16, 0)

50

100

101

y=

50

1 x 2

51

0 = 1200 = 1720 = 1440 45

99

y = –x + 148 52 53

Com que les coordenades d’aquest punt no són enteres, no és la solució. Per trobar-la, representem les solucions vàlides del problema al voltant del vèrtex que maximitza la funció i dins de la regió factible, i tracem les rectes de nivell per a aquests punts.

B = (0, 24); D = (16, 0)

5

98

49

Els vèrtex d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són:

• Com que hi ha 30 metres de tela al magatzem, i per cada cadira s’utilitza un metre, no es podran fabricar més de 30 cadires.

(0, 0) A

97

48

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’aquests es pren el màxim:

• Al magatzem hi ha 320 kg de fusta. Si s’utilitzen 20kg per a fabricar una taula i 8 kg per a fabricar una cadira ens queda la restricció següent:

A = (0, 0) C = (8, 20);

96

Propostes d’avaluació

4.

5.

Sigui x el nombre de revistes de l’empresa BOOK i y el de revistes de la empresa WARGAMER que reparteix el treballador durant un dia. Volem maximitzar el benefici que obté el treballador del repartiment de revistes, que ve donat en euros per la funció: z = 0,1 x + 0,05 y Les condicions que han de complir les variables són: • El treballador ha de repartir almenys 30 exemplars de BOOK: x ≥ 30 • El nombre d'exemplars de BOOK repartits no ha de ser superior al doble dels exemplars repartits de WARGAMER: x ≤ 2y • El treballador pot repartir un màxim de 148 exemplars al dia: x + y ≤ 148 • El nombre d'exemplars de cada revista repartits ha de ser un nombre enter no negatiu: x ≥ 0, y ≥ 0 Resolem gràficament el problema plantejat i obtenim que la funció objectiu pren el seu màxim en el vèrtex corresponent al punt de tall entre les rectes.

y = –2x

y=0

20

X

20 y = – x + 148

X

(48, 0)

y= 1 x 2

x=0

10

• Es fabricarà un nombre no negatiu de taules i cadires.

296 1 ⎫ x = x ⎪ 3 2 ⎬⇒ 148 y = − x + 148 ⎪⎭ y = 3 y =

15 25 (0, 24) B 20

x ≥ 0, y ≥ 0

C (8, 20)

30

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

35 40

Y

x = 30 (0, 40)

Y

Y

Y

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

40

(0, 40)

x = 30

35

296 1 ⎫ x = y = x ⎪ 3 2 ⎬⇒ 148 y = − x + 148 ⎭⎪ y = 3

30

x ≥ 0, y ≥ 0

25 (0, 24) B 20

C (8, 20)

• Es fabricarà un nombre no negatiu de taules i cadires.

15 10

• El treballador ha de repartir almenys 30 exemplars de BOOK: x ≥ 30 • El nombre d'exemplars de BOOK repartits no ha de ser superior al doble dels exemplars repartits de WARGAMER: x ≤ 2y • El treballador pot repartir un màxim de 148 exemplars al dia: x + y ≤ 148 • El nombre d'exemplars de cada revista repartits ha de ser un nombre enter no negatiu: x ≥ 0, y ≥ 0 Resolem gràficament el problema plantejat i obtenim que la funció objectiu pren el seu màxim en el vèrtex corresponent al punt de tall entre les rectes.

y ≤ 30

5 (0, 0) A

10

15

20

25

30

35

40

45

50

X

• Com que hi ha 30 metres de tela al magatzem, i per cada cadira s’utilitza un metre, no es podran fabricar més de 30 cadires.

Els vèrtex d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són:

20 x + 8 y ≤ 320

A = (0, 0) C = (8, 20);

B = (0, 24); D = (16, 0)

• Al magatzem hi ha 320 kg de fusta. Si s’utilitzen 20kg per a fabricar una taula i 8 kg per a fabricar una cadira ens queda la restricció següent:

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’aquests es pren el màxim:

5 x + 10 y ≤ 240 • Durant 5 dies es disposa de 240 hores de treball, que és el que realitzen sis persones treballant vuit hores diàries. Com que s’utilitzen 5 hores de treball per a fabricar una taula i 10 hores per a fabricar una cadira, tenim:

A = (0, 0) ⇒ z = 90 ⋅ 0 + 50 ⋅ 0 = B = (0, 24) ⇒ z = 90 ⋅ 0 + 50 ⋅ 24 4 C = (8, 20) ⇒ z = 90 ⋅ 8 + 50 ⋅ 20 D = (16, 0) ⇒ z = 90 ⋅ 16 + 50 ⋅ 0

y= 1 x 2

x=0

(48, 0)

D (16, 0) 5

0 = 1200 = 1720 = 1440

20

X

y=0

y = –2x

Com que les coordenades d’aquest punt no són enteres, no és la solució. Per trobar-la, representem les solucions vàlides del problema al voltant del vèrtex que maximitza la funció i dins de la regió factible, i tracem les rectes de nivell per a aquests punts.

53

52 51 50

y=

1 x 2

49

y = –x + 148 48

95

96

97

98

99

100

101

Propostes d’avaluació

Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són:

La funció objectiu és màxima en el punt C. Per tant, es fabricaran 8 taules i 20 cadires per a obtenir el màxim benefici. La tela disponible no és cap limitació per a prendre aquesta restricció, perquè la zona delimitada per aquesta engloba tota la regió factible.

y = – x + 148

20

Les condicions que han de complir les variables són:

z = 90 x + 50 y 4.

Sigui x el nombre de taules fabricades i y el nombre de cadires. La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna en € l’import del benefici obtingut per l’empresa, definida per l’expressió següent:

5.

Sigui x el nombre de revistes de l’empresa BOOK i y el de revistes de la empresa WARGAMER que reparteix el treballador durant un dia. Volem maximitzar el benefici que obté el treballador del repartiment de revistes, que ve donat en euros per la funció: z = 0,1 x + 0,05 y

233

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 233 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 234

234 La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna l’import dels ingressos obtinguts per l’empresa, definida per l’expressió següent: z = 30 x + 40 y Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són: • El nombre d’edificis no pot ser superior a 225. x + y ≤ 225 • El nombre d’habitants dels edificis no pot sobrepassar els 1000. 5 x + 4 y ≤ 1000 • Per a construir totes les cases es disposa de 60000 m2 de terreny edificable. 200 x + 300 y ≤ 60 000 • Es construeix un nombre no negatiu de cases. x ≥ 0, y ≥ 0

Y 300

D (100, 125) 100

Y

E (200, 0)

150

(0, 0) A

100

200

300

400

X

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són:

B (0, 100)

C (80, 60) 50

(200, 0)

D (120, 0) (0, 0) A

50

100

150

200

X

Els vèrtex d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són: D = (100, 0)

C = (80, 60);

B = (0, 100);

A = (0, 0)

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’ells es pren el màxim: A = (0, 0) ⇒ z = 2 p ⋅ 0 + p ⋅ 0 = 0 B = (0, 24) ⇒ z = 2 p ⋅ 0 + p ⋅ 100 = 100 p C = (8, 20) ⇒ z = 2 p ⋅ 80 + p ⋅ 60 = 220 p D = (16, 0) ⇒ z = 2 p ⋅ 100 + p ⋅ 0 = 200 p La funció objectiu és màxima en el punt C sigui el que sigui el valor de p. Per tant, es compraran 80 màquines del tipus A i 60 del tipus B.

8.

Sigui x el nombre d’habitatges de 200 m2, i y el nombre d’habitatges de 300 m2 que es volen construir.

Propostes d’avaluació

Observem que la recta de nivell amb una major ordenada a l’origen, que és la que queda per sobre de totes les altres, és la que passa pel punt (98, 50). Per tant, aquesta és la solució del problema. Per a maximitzar el benefici obtingut pel treballador, ha de repartir 98 revistes de l’empresa BOOK i 50 de l’empresa WARGAMER. 6.

Sigui x el nombre de màquines del tipus A, i y el nombre de màquines del tipus B que l’empresa ha d’adquirir. La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna l’import d’inversió mínima necessària, definida mitjançant l’expressió següent, en la qual es considera que el preu de la màquina B és p, i per tant, el preu de la màquina A és 2p: z = 2 px + py Entre les dues màquines s’han de produir com a mínim 30 000 unitats de STAR i 800 de POOM. Aleshores, tindrem les restriccions següents:

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

300 x + 100 y ≥ 30 000 ⎫ ⎬ 4 x + 8 y ≥ 800 ⎭ Es comprarà un nombre no negatiu de màquines.

D = (100, 125); X

x ≥ 0, y ≥ 0

Sabem de la teoria que en un problema de programació lineal la regió factible de la qual és un polígon existeix solució i aquesta és a la frontera d’aquesta regió. Rebutgem el vèrtex (0, 0) al qual correspon z0, 0 = 0, ja que és menor que qualsevol altre valor de z = ax + + 3 y en la regió factible. C = (75, 150);

C (75, 150)

8.

Així doncs, s’han de construir 75 cases del tipus x i 150 del tipus y. E = (200, 0)

X

200 (0, 200) B

200

B = (0, 200); 400

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

D = (100, 0) 150

A = (0, 0);

300

E (200, 0)

100

C = (80, 60);

100 C (80, 60)

200 D (100, 125)

D = (100, 125);

C = (75, 150);

B = (0, 200);

A = (0, 0); E = (200, 0)

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’ells es pren el màxim: A = (0, 0) ⇒ z = 30 ⋅ 0 + 40 ⋅ 0 = 0 B = (0, 200) ⇒ z = 30 ⋅ 0 + 40 ⋅ 200 = 8 000 C = (75, 150) ⇒ z = 30 ⋅ 75 + 40 ⋅ 150 = 8 250 D = (1 100, 125) ⇒ z = 30 ⋅ 100 + 40 ⋅ 125 = 8 000 E = (200, 0) ⇒ z = 30 ⋅ 200 + 40 ⋅ 0 = 6 000 Així doncs, s’han de construir 75 cases del tipus x i 150 del tipus y. Sabem de la teoria que en un problema de programació lineal la regió factible de la qual és un polígon existeix solució i aquesta és a la frontera d’aquesta regió. Rebutgem el vèrtex (0, 0) al qual correspon z0, 0 = 0, ja que és menor que qualsevol altre valor de z = ax + + 3 y en la regió factible.

x + y ≤ 225 • El nombre d’edificis no pot ser superior a 225.

7.

Sigui x el nombre d’habitatges de 200 m2, i y el nombre d’habitatges de 300 m2 que es volen construir. B = (0, 100); 50

(200, 0)

Els vèrtexs d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són:

B (0, 100)

100

Y 100 C (75, 150)

Y

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible. x ≥ 0, y ≥ 0 • Es construeix un nombre no negatiu de cases. 200 x + 300 y ≤ 60 000 • Per a construir totes les cases es disposa de 60000 m2 de terreny edificable. • El nombre d’habitants dels edificis no pot sobrepassar els 1000. 5 x + 4 y ≤ 1000

Sigui x el nombre de màquines del tipus A, i y el nombre de màquines del tipus B que l’empresa ha d’adquirir.

z = 30 x + 40 y La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna l’import dels ingressos obtinguts per l’empresa, definida per l’expressió següent:

Propostes d’avaluació

7.

La funció objectiu és màxima en el punt C sigui el que sigui el valor de p. Per tant, es compraran 80 màquines del tipus A i 60 del tipus B. A = (0, 0) ⇒ z = 2 p ⋅ 0 + p ⋅ 0 = 0 B = (0, 24) ⇒ z = 2 p ⋅ 0 + p ⋅ 100 = 100 p C = (8, 20) ⇒ z = 2 p ⋅ 80 + p ⋅ 60 = 220 p D = (16, 0) ⇒ z = 2 p ⋅ 100 + p ⋅ 0 = 200 p

A = (0, 0) ⇒ z = 30 ⋅ 0 + 40 ⋅ 0 = 0 B = (0, 200) ⇒ z = 30 ⋅ 0 + 40 ⋅ 200 = 8 000 C = (75, 150) ⇒ z = 30 ⋅ 75 + 40 ⋅ 150 = 8 250 D = (1 100, 125) ⇒ z = 30 ⋅ 100 + 40 ⋅ 125 = 8 000 E = (200, 0) ⇒ z = 30 ⋅ 200 + 40 ⋅ 0 = 6 000

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’ells es pren el màxim: A = (0, 0)

Calculem el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests punts per veure en quin d’ells es pren el màxim:

Els vèrtex d’aquesta regió són els punts de tall de les rectes que el defineixen, i les coordenades d’aquests punts són: (0, 0) A

D (120, 0) 50 100

(0, 0) A

150

Resolem el sistema d’inequacions per trobar la regió factible.

200 (0, 200) B

x ≥ 0, y ≥ 0 Es comprarà un nombre no negatiu de màquines.

300

300 x + 100 y ≥ 30 000 ⎫ ⎬ 4 x + 8 y ≥ 800 ⎭ Entre les dues màquines s’han de produir com a mínim 30 000 unitats de STAR i 800 de POOM. Aleshores, tindrem les restriccions següents: z = 2 px + py La funció objectiu que volem maximitzar és la que ens dóna l’import d’inversió mínima necessària, definida mitjançant l’expressió següent, en la qual es considera que el preu de la màquina B és p, i per tant, el preu de la màquina A és 2p: 6.

Les restriccions a les quals estan sotmeses les variables són:

Observem que la recta de nivell amb una major ordenada a l’origen, que és la que queda per sobre de totes les altres, és la que passa pel punt (98, 50). Per tant, aquesta és la solució del problema. Per a maximitzar el benefici obtingut pel treballador, ha de repartir 98 revistes de l’empresa BOOK i 50 de l’empresa WARGAMER.

234

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 234

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 235

Si anomenem k (no importa la unitat) la quantitat corresponent a una ració, les condicions de l’enunciat es tradueixen en el següent sistema d’equacions:

z3, 5 = 3 a + 15

z: nombre d’alumnes que es mengen tota la ració.

b) Per a determinar les solucions enteres fixem el mínim valor enter de y factible que és y = 1 i posem les condicions sobre les x. Resulten:

z5, 3 = 5 a + 9

z0, 6 = 18

x + y + z = 30

⎫ x + y + z = 30 ⎫ ⎪ 30 k ⎪ k k ⎪ x + y + kz = ⎬ ⇔ 3 x + 2 y + 6 z = 90 ⎬ 2 3 2 ⎪ ⎪ x − 2z = 0 ⎭ ⎪⎭ x = 2z Resolem el sistema pel mètode de Cramer:

z6, 0 = 6 a

0

y: nombre d’alumnes que es mengen un terç de la ració.

1

x: nombre d’alumnes que es mengen la meitat de la ració.

Y

z 6,0 = 6a

9.

2

4 B (25/6, 5/6)

6

8

X

Propostes d’avaluació

235 Construïm i representem gràficament quatre funcions que ens proporcionen el valor de la funció objectiu en els altres quatre vèrtexs en funció de a:

30 1 1 90 2 6 0 0 −2

x =

= 10 ; y =

1 1 1 3 2 6 1 0 −2

z 5,3 = 5a+9

C (40/7, 8/7)

2 3

En primer lloc definim les incògnites:

A (2, 3)

4

b) Des de l’apartat a), obtenim que per a = 4 la solució és (5, 3). Per a ≤ 1, la solució és (0, 6).

z 3,5 = 3a+15 z 0,6 = 18

Per 9 < a, la solució és (6, 0) perquè els valors més grans corresponen a z6, 0.

1

3

9

X

z=

5

Y

El gràfic de la regió factible és:

Per a = 9, les solucions són tots els punts del segment que uneix (5, 3) i (6, 0) perquè els valors més grans corresponen tant a z5, 3 com a z6, 0.

a) Observant la gràfica de les funcions z és fàcil veure:

x + 2 y = 8⎫ y = 3⎫ A: ⎬ ⎬⇒ x+y =5 x = 2⎭ ⎭ 5 ⎫ y = ⎪ x + y = 5⎫ 6 ⎪ B: ⎬ ⎬⇒ 25 ⎪ x − 5 y = 0⎭ x = 6 ⎭⎪ 8 ⎫ y = ⎪ x + 2 y = 8⎫ 7 ⎪ C: ⎬ ⎬⇒ 40 ⎪ x − 5y = 0 ⎭ x = 7 ⎪⎭

Per 3 < a < 9, la solució és (5, 3) perquè els valors més grans corresponen a z5, 3.

Per 0 ≤ a < 1, la solució és (0, 6) perquè els valors més grans corresponen a z0, 6.

Per a = 3, les solucions són tots els punts del segment que uneix (3, 5) i (5, 3) perquè els valors més grans corresponen tant a z3, 5 com a z5, 3.

Per a = 1, les solucions són tots els punts del segment que uneix (0, 6) i (3, 5) perquè els valors més grans corresponen tant a z0, 6 com a z3, 5.

= 5

10. Els punts d’intersecció dels costats són: x + 2 y = 8⎫ y = 3⎫ ⎬ ⎬⇒ x + y = 5⎭ x = 2⎭ 5 ⎫ y = ⎪ x + y = 5⎫ 6 ⎪ B: ⎬ ⎬⇒ 25 ⎪ x − 5 y = 0⎭ x = 6 ⎪⎭ 8 ⎫ y = ⎪ x + 2 y = 8⎫ ⎪ 7 C: ⎬ ⎬⇒ 40 ⎪ x − 5y = 0 ⎭ x = 7 ⎪⎭

A:

Per 1 < a < 3, la solució és (3, 5) perquè els valors més grans corresponen a z3, 5. Per a = 1, les solucions són tots els punts del segment que uneix (0, 6) i (3, 5) perquè els valors més grans corresponen tant a z0, 6 com a z3, 5.

Per a = 3, les solucions són tots els punts del segment que uneix (3, 5) i (5, 3) perquè els valors més grans corresponen tant a z3, 5 com a z5, 3.

Per 0 ≤ a < 1, la solució és (0, 6) perquè els valors més grans corresponen a z0, 6.

Per 3 < a < 9, la solució és (5, 3) perquè els valors més grans corresponen a z5, 3.

10. Els punts d’intersecció dels costats són: Així, la solució és: 10 alumnes mengen la meitat de la ració; 15 alumnes, un terç, i 5, tota la ració.

a) Observant la gràfica de les funcions z és fàcil veure:

Per a = 9, les solucions són tots els punts del segment que uneix (5, 3) i (6, 0) perquè els valors més grans corresponen tant a z5, 3 com a z6, 0.

1

3

9

z=

X z 0,6 = 18

b) Des de l’apartat a), obtenim que per a = 4 la solució és (5, 3). Per a ≤ 1, la solució és (0, 6).

1 1 1 3 2 6 1 0 −2

= 15

1 1 1 3 2 6 1 0 −2

Així, la solució és: 10 alumnes mengen la meitat de la ració; 15 alumnes, un terç, i 5, tota la ració.

Per 1 < a < 3, la solució és (3, 5) perquè els valors més grans corresponen a z3, 5.

Per 9 < a, la solució és (6, 0) perquè els valors més grans corresponen a z6, 0.

1 1 30 3 2 90 1 0 0

1 30 1 3 90 6 1 0 −2

El gràfic de la regió factible és: Y

5

z 3,5 = 3a+15

4

z 5,3 = 5a+9

9.

En primer lloc definim les incògnites:

3

x: nombre d’alumnes que es mengen la meitat de la ració.

2

z 6,0 = 6a

Y

y: nombre d’alumnes que es mengen un terç de la ració.

Si anomenem k (no importa la unitat) la quantitat corresponent a una ració, les condicions de l’enunciat es tradueixen en el següent sistema d’equacions:

0

C (40/7, 8/7)

B (25/6, 5/6)

1

2

4

6

8

X

b) Per a determinar les solucions enteres fixem el mínim valor enter de y factible que és y = 1 i posem les condicions sobre les x. Resulten:

Propostes d’avaluació

z: nombre d’alumnes que es mengen tota la ració.

A (2, 3)

z6, 0 = 6 a 5, 3

z

=5a+9

x =

1 1 1 3 2 6 1 0 −2 30 1 1 90 2 6 0 0 −2

1 1 1 3 2 6 1 0 −2 1 1 30 3 2 90 1 0 0 = 10 ; y =

= 5 1 1 1 3 2 6 1 0 −2 1 30 1 3 90 6 1 0 −2

= 15

Resolem el sistema pel mètode de Cramer:

z3, 5 = 3 a + 15 z0, 6 = 18 Construïm i representem gràficament quatre funcions que ens proporcionen el valor de la funció objectiu en els altres quatre vèrtexs en funció de a:

x + y + z = 30 ⎫ x + y + z = 30 ⎫ 30 k ⎪⎪ k k ⎪ x + y + kz = ⎬ ⇔ 3 x + 2 y + 6 z = 90 ⎬ 2 3 2 ⎪ ⎪ x − 2z = 0 ⎭ x = 2z ⎭⎪

235

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 235 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 236

236 R(f) =  − {−1} e) Com que es tracta d’una funció racional el seu domini és: D(f) = {x ∈   x2 − 1 ≠ 0} =  − {−1, 1} Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: R(f) =  − (−1, 0) f) Com que es tracta d’una funció definida a trossos el seu domini és: D(f) = (− ∞, 0]  (0, + ∞) = 

R(f) = 

a) Si f(x) = 2 x2 − 5 x + 6, aleshores f(3) = 2 ⋅ 32 − 5 ⋅ 3 + 6 = 9

g) Com que es tracta d’una funció exponencial, el seu domini és: D(f) = 

52 − 2 23 = 2 2

b) Hem de resoldre la següent equació.

R(f) = (2, + ∞)

f (x) = 4 g(x) 3.

⎛ x2 − 2 ⎞ 2 x2 − 5 x + 6 = 4 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 x2 − 5 x + 6 = 2 x2 − 4 −5 x = −10 x =2

Una funció és bijectiva quan és injectiva i exhaustiva alhora, és a dir, quan un punt té una sola imatge i aquesta és diferent per a punts diferents i, alhora, el recorregut de la funció són tots els reals. 2 a) f (x) = x − 4 x + 4 . Aquest funció és injectiva i alhora exhaustiva, per tant, la funció serà bijectiva.

a) Com que es tracta d’una funció polinòmica, el seu domini és:

b)

D(f) = .

Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: R(f) = 

c)

b) Com que es tracta d’una funció racional el seu domini és: D(f) = {x ∈   x − 2 ≠ 0} =  − {2} Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és:

d)

f (x) = x + 1 . Aquesta funció és injectiva, però no exhaustiva, ja que per a valors de x < −1, la funció no està definida i, per tant, no té imatges en l’interval (−∞, −1). x−3 f (x) = 2 . Com en el cas anterior, la funció x +1 és injectiva, només té una imatge per cada punt; però no és una funció exhaustiva, ja que per a valors de x < 3, la funció no està definida. f (x) = 2 x x . Si escrivim la funció a trossos tenim: ⎧2 x ⋅ (− x) si x < 0 ⎪⎪ f (x) = ⎨ 0 si x = 0 ⇒ f(x) = ⎪ ⎩⎪ 2 x ⋅ x si x > 0

R(f) =  − {2} c) Com que la funció és irracional d’índex parell el seu domini és: D(f) = {x ∈   x3 − 2 x2 + 4 x − 7 ≥ 0}

⎧ −2 x 2 si x < 0 ⎪⎪ ⎨ 0 si x = 0 ⎪ 2 ⎩⎪ 2 x si x > 0

Per tant, és una funció injectiva, ja que si f(a) = = f(b), obliga al fet que a = b.

Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és:

També és una funció exhaustiva, ja que la funció quadràtica recorre tots els reals positius, i la branca esquerra recorre tots els reals negatius.

R(f) = (0,0277, + ∞) d) Com que la funció és l’arrel cúbica d’una funció racional el seu domini serà el mateix de la funció racional:

Per tant és una funció bijectiva. 4.

Si la funció és parella, aleshores f(x) = f(−x); si la funció és imparella, aleshores f(x) = −f(−x).

Propostes d’avaluació

y =1

y =2

y =3

x ≤ 6⎫ ⎪ x ≥ 4 ⎬ ⇒ (4, 1) i (5, 1); x ≤ 5 ⎭⎪ x ≤4 ⎫ ⎪ x ≥ 3 ⎬ ⇒ (3, 2) i (4, 2); x ≤ 10 ⎭⎪ x ≤2 ⎫ ⎪ x ≥ 2 ⎬ ⇒ (2, 3). x ≤ 15 ⎭⎪

Aquestes són les úniques solucions enteres.

Si es fa la representació gràfica de la funció, es pot comprovar que el recorregut és:

UNITAT 7 - FUNCIONS 1.

x2 − 2 , aleshores 2

f (x) = 2 x x . Si escrivim la funció a trossos tenim:

Si g(x) =

Si es fa la representació gràfica, es pot comprovar que el recorregut és:

d)

D(f) = {x ∈   x − 2 ≠ 0} =  − {2}

g(5) =

. Com en el cas anterior, la funció x2 + 1 és injectiva, només té una imatge per cada punt; però no és una funció exhaustiva, ja que per a valors de x < 3, la funció no està definida. x−3

2.

f (x) =

D(f) = {x ∈   2 x + 2 ≠ 0} =  − {−1}

Si la funció és parella, aleshores f(x) = f(−x); si la funció és imparella, aleshores f(x) = −f(−x). c)

Una funció és bijectiva quan és injectiva i exhaustiva alhora, és a dir, quan un punt té una sola imatge i aquesta és diferent per a punts diferents i, alhora, el recorregut de la funció són tots els reals. R(f) = 

Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és:

4.

Per tant és una funció bijectiva. Per tant, és una funció injectiva, ja que si f(a) = = f(b), obliga al fet que a = b.

c) Com que la funció és irracional d’índex parell el seu domini és:

⎧ −2 x 2 si x < 0 ⎪⎪ ⎨ 0 si x = 0 ⎪ 2 ⎪⎩ 2 x si x > 0

f (x) = x + 1 . Aquesta funció és injectiva, però no exhaustiva, ja que per a valors de x < −1, la funció no està definida i, per tant, no té imatges en l’interval (−∞, −1).

b) Com que es tracta d’una funció racional el seu domini és: R(f) =  a) Com que es tracta d’una funció polinòmica, el seu domini és: D(f) = .

2 a) f (x) = x − 4 x + 4 . Aquest funció és injectiva i alhora exhaustiva, per tant, la funció serà bijectiva.

3.

R(f) = (2, + ∞) Si es fa la representació gràfica, es pot comprovar que el recorregut és:

5 − 2 23 = 2 2

D(f) =  g) Com que es tracta d’una funció exponencial, el seu domini és:

a) Si f(x) = 2 x2 − 5 x + 6, aleshores f(3) = 2 ⋅ 32 − 5 ⋅ 3 + 6 = 9

Si es fa la representació gràfica de la funció, es pot comprovar que el recorregut és: D(f) = (− ∞, 0]  (0, + ∞) =  f) Com que es tracta d’una funció definida a trossos el seu domini és: R(f) =  − (−1, 0) Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: D(f) = {x ∈   x2 − 1 ≠ 0} =  − {−1, 1} e) Com que es tracta d’una funció racional el seu domini és:

Propostes d’avaluació

Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: D(f) = {x ∈   2 x + 2 ≠ 0} =  − {−1} d) Com que la funció és l’arrel cúbica d’una funció racional el seu domini serà el mateix de la funció racional:

També és una funció exhaustiva, ja que la funció quadràtica recorre tots els reals positius, i la branca esquerra recorre tots els reals negatius.

R(f) = (0,0277, + ∞) Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: D(f) = {x ∈   x3 − 2 x2 + 4 x − 7 ≥ 0}

⎧2 x ⋅ (− x) si x < 0 ⎪⎪ f (x) = ⎨ 0 si x = 0 ⇒ f(x) = ⎪ ⎪⎩ 2 x ⋅ x si x > 0

R(f) =  − {2} Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és:

b)

Si es fa la representació gràfica de la funció es pot comprovar que el recorregut és: 2.

2 x2 − 5 x + 6 = 2 x2 − 4 −5 x = −10 x =2 ⎛ x2 − 2 ⎞ 2 x2 − 5 x + 6 = 4 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ f (x) = 4 g(x) b) Hem de resoldre la següent equació. g(5) =

2

x2 − 2 Si g(x) = , aleshores 2 1.

UNITAT 7 - FUNCIONS Aquestes són les úniques solucions enteres. y =3 y =2 y =1

x ≤ 6⎫ ⎪ x ≥ 4 ⎬ ⇒ (4, 1) i (5, 1); x ≤ 5 ⎪⎭ x ≤4 ⎫ ⎪ x ≥ 3 ⎬ ⇒ (3, 2) i (4, 2); x ≤ 10 ⎪⎭ x ≤2 ⎫ ⎪ x ≥ 2 ⎬ ⇒ (2, 3). x ≤ 15 ⎪⎭

R(f) =  − {−1}

236

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 236

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

C M Y K

a)

f + g = (x 2 + 3) +

b)

f − h = x 2 + 3 − ex

c)

g⋅h =

d)

h ex = 2 f x +3

e)

f ⋅ g ⋅ h = (x 2 + 3) ⋅

1 e x ⋅ (x 2 + 3) ⋅ ex = x+2 x+2

Dibuixem aquesta gràfica i, a partir d’ella, la de f: x2 − 3 x −10 −12 −12 −10 −10 −6 −6 8 8 18 18

1 ex ⋅ ex = x+2 x+2

x

1

2

0

3

−1 4 −3 6 −4 7

• Punts de pas: x2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ x = −2 o x = 5

x3 + 2 x 2 + 3 x + 7 1 = x+2 x+2

• Punts de tall amb l’eix OX: −49 3 ⎛ 3⎞ y = ⎜ ⎟ − 3 ⋅ − 10 = ⎝ 2⎠ 2 4 2

1 2 +5

a)

Página 237

f (x) = x 4 − x 2 ;

7.

a)

f (− x) = (− x)4 − (− x)2 = x 4 − x 2 = f (x) b)

De manera que aquesta funció és parella. b)

c)

f (x) = 3 x 3 − x;

d)

De manera que aquesta funció és imparella.

c)

f (− x) = 3 (− x)3 − (− x) = −3 x 3 + x = − f (x)

f (x) = f (− x) =

h  (g  f )(x) = h(g(f (x))) = h(g(x 2 + 3)) = e4 x + 6 e2 x + 11

x = −

b −3 3 = − = 2a 2 ⋅1 2

• Vèrtexs:

2 x2 − 3 x + 4 ;

8.

2 (− x)2 − 3 (− x) + 4 =

c)

g(h(x)) = g(e x ) =

d)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ f(g(h(x)) = f(g(e x )) = f ⎜ x +3 = ⎝ e + 2 ⎠⎟ ⎜⎝ e x + 2 ⎠⎟

Per a representar-la gràficament, ho farem a partir de la gràfica de la paràbola x2 − 3 x − 10, fent una simetria respecte de l’eix OX d’aquells punts que cauen per sota d’aquest eix.

e)

g(f (h(x))) = g(f (e x )) = g(e2 x + 3) =

La gràfica de x2 − 3 x − 10 és la paràbola que té les branques cap amunt i les característiques següents:

1

=

1

e− x

a)

f −1(x) = f −1(x) = f −1(x) =

1 x +1 5x − 2 2x − 5 x2 − 3

Determinem per a quins valors de la variable x som en el primer cas i per a quins som en el segon: x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ x =

− e−(− x ) e− x − e x e x − e− x = =− = − f (x) 2 2 2

3 ± 9 + 40 = 2

5 −2

Els intervals en què x2 − 3 x − 10 té signe constant són, doncs:

De manera que aquesta funció és imparella.

x

3 x 2 + 12 x + 12 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ f(g(x)) = f ⎜ = +3 = ⎝ x + 2 ⎠⎟ ⎝⎜ x + 2 ⎠⎟ x2 + 4 x + 4 2

5.

f −1(x) = ln(x − 2)

a) f(x) = x2 − 3 x − 10 

2 x2 + 3 x + 4

2 si x 2 − 3 x − 10 ≥ 0 ⎪⎧ x − 3 x − 10 f (x) = ⎨ 2 2 ⎩⎪ −(x − 3 x − 10) si x − 3 x − 10 < 0

No compleix cap de les dues condicions abans esmentades, de manera que la funció no és parella, però tampoc no és imparella. d)

e x − e− x f (x) = 2

f(− x) =

f (h(x)) = f (e x ) = (e x )2 + 3 = e2 x + 3

=

Propostes d’avaluació

237 6.

⎛ ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ x = h⎜ 2 ⎟ =e ⎟ = h ⎜⎝ 2 ⎝ (x + 3) + 2 ⎠ x + 5⎠ f)

(e2 x + 3)2 + 2

b)

(− ∞, −2) −2 (−2, 5) 5

x2 − 3 x − 10

+

0

−

(5, + ∞) +

0

2

b)

⎧⎪ x 2 − 3 x − 10 si x ≤ −2 o x ≥ 5 f (x) = ⎨ 2 ⎪⎩ − x − 3 x − 10 si −2 < x < 5

e +2 x

1

Així, doncs:

c)

f (h(x)) = f (e x ) = (e x )2 + 3 = e2 x + 3 g(h(x)) = g(e x ) =

Així, doncs: ⎧⎪ x 2 − 3 x − 10 si x ≤ −2 o x ≥ 5 f (x) = ⎨ 2 ⎩⎪ − x − 3 x − 10 si −2 < x < 5

1 ex + 2

Per a representar-la gràficament, ho farem a partir de la gràfica de la paràbola x2 − 3 x − 10, fent una simetria respecte de l’eix OX d’aquells punts que cauen per sota d’aquest eix.

2

d)

5.

a)

3 x 2 + 12 x + 12 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ f(g(x)) = f ⎜ =⎜ +3 = ⎟ ⎟ ⎝ x + 2⎠ ⎝ x + 2⎠ x2 + 4 x + 4

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ f(g(h(x)) = f(g(e x )) = f ⎜ x +3 = ⎝ e + 2 ⎠⎟ ⎝⎜ e x + 2 ⎠⎟

2

e)

De manera que aquesta funció és imparella.

+

x2 − 3 x − 10

−

0

0

(− ∞, −2) −2 (−2, 5) 5

x

+ (5, + ∞)

Els intervals en què x − 3 x − 10 té signe constant són, doncs:

g(f (h(x))) = g(f (e x )) = g(e2 x + 3) = =

2

e− x − e−(− x ) e− x − e x e x − e− x f(− x) = = =− = − f (x) 2 2 2 f) d)

f (x) =

e −e 2 x

−x

f (x) =

2 (− x) − 3 (− x) + 4 = 2

2x + 3x + 4

x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ x = 8.

6.

a) b) c)

d)

1 (e2 x + 3)2 + 2

=

f + g = (x 2 + 3) +

La gràfica de x2 − 3 x − 10 és la paràbola que té les branques cap amunt i les característiques següents:

1 e4 x + 6 e2 x + 11

x = −

1 2 +5

b −3 3 = − = 2a 2 ⋅1 2

2

−49 3 ⎛ 3⎞ y = ⎜ ⎟ − 3 ⋅ − 10 = ⎝ 2⎠ 2 4

x3 + 2 x 2 + 3 x + 7 1 = x+2 x+2

• Punts de tall amb l’eix OX: x2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ x = −2 o x = 5

f − h = x 2 + 3 − ex

• Punts de pas:

1 ex g⋅h = ⋅ ex = x+2 x+2

x

h ex = 2 f x +3

1

2

0

3

−1 4 −3 6 −4 7

x2 − 3 x −10 −12 −12 −10 −10 −6 −6 8 8 18 18

f ⋅ g ⋅ h = (x 2 + 3) ⋅

1 e x ⋅ (x 2 + 3) ⋅ ex = x+2 x+2

Dibuixem aquesta gràfica i, a partir d’ella, la de f:

Propostes d’avaluació

b)

f −1(x) =

5x − 2 2x − 5

f (− x) = 3 (− x)3 − (− x) = −3 x 3 + x = − f (x)

c)

f −1(x) =

De manera que aquesta funció és imparella.

d)

f −1(x) = ln(x − 2)

f (x) = 3 x 3 − x; De manera que aquesta funció és parella. 4

−2

9 + 40 = 2

5

a) f(x) = x2 − 3 x − 10  1 x +1

2

3±

Determinem per a quins valors de la variable x som en el primer cas i per a quins som en el segon: ⎧⎪ x 2 − 3 x − 10 si x 2 − 3 x − 10 ≥ 0 f (x) = ⎨ 2 2 ⎪⎩ −(x − 3 x − 10) si x − 3 x − 10 < 0

2

2 x2 − 3 x + 4 ;

f −1(x) =

f (− x) = (− x) − (− x) = x − x = f (x)

e)

• Vèrtexs:

h  (g  f )(x) = h(g(f (x))) = h(g(x 2 + 3)) = ⎛ ⎞ 1 1 ⎞ ⎛ x = h⎜ 2 ⎟ =e ⎟ = h ⎝⎜ 2 ⎝ (x + 3) + 2 ⎠ x + 5⎠

No compleix cap de les dues condicions abans esmentades, de manera que la funció no és parella, però tampoc no és imparella. f (− x) = c) b)

a)

4

a)

x2 − 3

2

7.

f (x) = x 4 − x 2 ;

237

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 237

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 238

238 Y

5 300 400 500

X

f(x) = |x – 7|

100 200

X

–200 –100

10

y=x–7

5

Propostes d’avaluació

Canviem els punts de la gràfica (x, y), amb y < 0, pels punts (x, −y) i obtenim la gràfica de f.

Y 10

y = x2 – 3x – 10

B(120) = 8 + 0, 15 ⋅ 120 = 26 € i per a l’empresa B,

5

–10

A(120) = 15 + 0, 10 ⋅ 120 = 27 € b) Per a l’empresa A seria –5 5

–5

X

10

X

B(x) = 8 + 0,15x

5

–5

10 15 20

Y

–10 25

9. Fem la simetria respecte de l’eix OX, aplicada als punts situats per sota d’aquest eix.

a) Per exemple si f (x) = x 2 + 1 i g(x) = 6 x ⇒ ⇒ g(f(x)) = 6 x2 + 6 b) Per exemple, si f (x) =

y = |x2 – 3x – 10|

⇒ g(f (x)) =

2x i g(x) = 3

x2 + 1 ⇒

4 x2 +1 9

10

c) Una manera seria si f (x) = 3 x i g(x) = ⇒ g(f (x)) = 5

A(x) = 15 + 0,10x

Y

Y

30 35 40 45 50 55

Empresa B: B(x) = 8 + 0, 15 x

x ⇒ x+2

Empresa A: A(x) = 15 + 0, 10 x

3x 3x + 2

d) Una possibilitat és si f(x) = x 2 + 8 x i g(x) = x + 9 ⇒ ⇒ g(f(x)) = x2 + 8 x + 9 X

5

3x 3x + 2

10. a) La funció de cada empresa és: Empresa A: A(x) = 15 + 0, 10 x

si x − 7 ≥ 0 ⎧x−7 b) f (x) = x − 7 = ⎨ ⎩ −(x − 7) si x − 7 < 0

Empresa B: B(x) = 8 + 0, 15 x

⎧ x − 7 si x ≥ 7 f (x) = ⎨ ⎩ 7 − x si x < 7

4 x2 +1 9

Y 55 50

A(x) = 15 + 0,10x

x2 + 1 ⇒

45

2x i g(x) = 3

40

⇒ g(f (x)) = y = |x2 – 3x – 10|

b) Per exemple, si f (x) =

Per representar la gràfica de f, podem partir de la gràfica de y = x − 7, que és la recta de pendent 1 que passa pel punt (0, −7), i substituir cada punt d’ordenada negativa pel seu simètric respecte de l’eix OX:

Per representar la gràfica de f, podem partir de la gràfica de y = x − 7, que és la recta de pendent 1 que passa pel punt (0, −7), i substituir cada punt d’ordenada negativa pel seu simètric respecte de l’eix OX: ⎧ x − 7 si x ≥ 7 f (x) = ⎨ ⎩ 7 − x si x < 7 si x − 7 ≥ 0 ⎧x−7 b) f (x) = x − 7 = ⎨ ⎩ −(x − 7) si x − 7 < 0

10. a) La funció de cada empresa és: X

5

⇒ g(f(x)) = x2 + 8 x + 9 d) Una possibilitat és si f(x) = x 2 + 8 x i g(x) = x + 9 ⇒ a) Per exemple si f (x) = x 2 + 1 i g(x) = 6 x ⇒ ⇒ g(f(x)) = 6 x2 + 6

35 30

5

x ⇒ x+2

c) Una manera seria si f (x) = 3 x i g(x) = 10

⇒ g(f (x)) = Y

Fem la simetria respecte de l’eix OX, aplicada als punts situats per sota d’aquest eix. 9.

25

–10

Y

20 15

B(x) = 8 + 0,15x

X

10

10

X

–5

5 –5

5

–200 –100

100 200

X

300 400 500

f(x) = |x – 7|

X

y=x–7

10

5

–5

b) Per a l’empresa A seria A(120) = 15 + 0, 10 ⋅ 120 = 27 € Y

i per a l’empresa B,

–10

B(120) = 8 + 0, 15 ⋅ 120 = 26 €

Y

Propostes d’avaluació

5 5

y = x2 – 3x – 10

Canviem els punts de la gràfica (x, y), amb y < 0, pels punts (x, −y) i obtenim la gràfica de f.

10

238

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 238

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 239

a)

15 + 0, 10 x = 8 + 0, 15 x 7 = 0, 05 x x = 140 kW ⋅ h

2.

x→ 4

lim

5 ⋅ f(x) 5⋅3 3 = = 2 ⋅ (g(x) − h(x)) 2 ⋅ (9 − 4) 2

–4

–3

–2

–1

1

Utilitzant les propietats dels límits tenim que:

2

3

4

X

1 2

–y

3

Propostes d’avaluació

239 c) Per a poder respondre la pregunta, cal esbrinar primerament en quin moment surten pel mateix preu les dues companyies:

g(x)⎞ ⎛ lim ⎜ (2 ⋅ h(x) − x→ 4 ⎝ 3 ⎟⎠

b)

3.

lim

a)

x →3

⎛ = ⎜2 ⋅ 4 − ⎝

3

9⎞ 3 ⎟ = 5 = 125 3⎠

2x +1 2⋅3 +1 7 1 = = = 4 x + 2 4 ⋅ 3 + 2 14 2

lim(2 x + 6)x + 1 = (2 ⋅ 4 + 6)4 + 1 =

b)

A partir d’aquest resultat i de la gràfica, ser client de l’Empresa B és més beneficiós entre 0 i 140 kW ⋅ h de consum.

f(x)

x→4

= 14 5 = 537 824

4 –2

–x

1

–1

5

X

6

Y

terals són distints. Gràficament:

1.

lim

c)

UNITAT 8 - LÍMITS Hi poden haver múltiples representacions de funcions que compleixen aquesta condició. Per exemple, podrien ser les següents:

x

x→∞

Calculem el límit de la base i el límit de l’exponent i tenim: ⎫ ⎛ x ⎞ lim ⎜ = 1⎪ ⎪ x + 1 ⎟⎠ ⎬ 1 ⎪ lim = 0 ⎪⎭ x→∞ x

Y

d)

x →2

Y

No existeix lim f (x) perquè en el punt 2 els límits lax→4

a)

x→∞ ⎝

lim f (x) = 4 + 2 = 6

x → 2+

4

lim f (x) = 2 + 2 = 4

X

3

x → 2−

lim f (x) = 4 − 1 = 3

1

2

(3, 2)

⎛ 5 x3 + 1 ⎞ d) lim ⎜ ⎟ x→ ∞ ⎝ 3 x2 + 1 ⎠

4.

2

1

x →1

lim f (x) = 1 − 1 = 0

3

x→2

Y

c)

1

2

3

4

X

5

2x −3

⎫ ⎛ 5 x3 + 1 ⎞ 5x lim ⎜ = +∞ ⎪⎪ ⎟ = xlim +∞ x→ ∞ ⎝ 3 x2 + 1 ⎠ →∞ 3 ⎬+∞ = ∞ ⎪ lim(2 x − 3) = +∞ ⎪⎭ x→∞

lim f (x) =

–Y

e) X

e)

b)

–Y

2

3

4

5

⎧x + 4 ⎪ lim f (x) ⎨ 2 x + 1 x→2 ⎪ ⎩ 5 lim f (x) =

Y

x→2

3

4.

1

si x < 0 si x ≥ 0

2⋅2 +1 =1 5

lim f (x) = 1 − 1 = 0

x →1

lim f (x) = 4 − 1 = 3

X

⎛ 5 x3 + 1 ⎞ d) lim ⎜ ⎟ x→ ∞ ⎝ 3 x2 + 1 ⎠

(3, 2)

x → 2−

lim f (x) = 2 + 2 = 4

2x −3

⎫ ⎛ x ⎞ lim ⎜ = 1⎪ ⎠⎟ x→∞ ⎝ ⎪ + x 1 ⎬ 1 ⎪ =0 x ⎭⎪ lim

4

x → 2+

lim f (x) = 4 + 2 = 6

x→4

No existeix lim f (x) perquè en el punt 2 els límits la-

Y

d)

x →2

1.

si x < 0

x→∞

3

X

Y

a)

si x ≥ 0

Calculem el límit de la base i el límit de l’exponent i tenim:

1

2

2

⎧x + 4 ⎪ lim f (x) ⎨ 2 x + 1 ⎪ ⎩ 5

x→2

⎫ ⎛ 5 x3 + 1 ⎞ 5x lim ⎜ = +∞ ⎪⎪ ⎟ = lim +∞ x→ ∞ ⎝ 3 x2 + 1 ⎠ x→∞ 3 ⎬+∞ = ∞ ⎪ lim(2 x − 3) = +∞ ⎪⎭

Y 1

2⋅2 +1 =1 5

x→∞

X

c)

10 = 1

Calculem el límit de la base i el límit de l’exponent i tenim:

Y

b)

x ⎛ x ⎞x = lim x + 1 x → ∞ ⎜⎝ x + 1 ⎟⎠

terals són distints. Gràficament: Y

Hi poden haver múltiples representacions de funcions que compleixen aquesta condició. Per exemple, podrien ser les següents:

10 = 1

Calculem el límit de la base i el límit de l’exponent i tenim:

UNITAT 8 - LÍMITS

c)

x→∞

lim

–x

6 –2

–1

X

5

x

x ⎛ x ⎞x = lim x + 1 x → ∞ ⎝⎜ x + 1 ⎠⎟

1

A partir d’aquest resultat i de la gràfica, ser client de l’Empresa B és més beneficiós entre 0 i 140 kW ⋅ h de consum.

4

2.

2 1

Utilitzant les propietats dels límits tenim que: a)

lim

x→ 4

5 ⋅ f(x) 5⋅3 3 = = 2 ⋅ (g(x) − h(x)) 2 ⋅ (9 − 4) 2

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

X

Propostes d’avaluació

3

–y

15 + 0, 10 x = 8 + 0, 15 x 7 = 0, 05 x x = 140 kW ⋅ h

= 14 5 = 537 824 b) 3.

c) Per a poder respondre la pregunta, cal esbrinar primerament en quin moment surten pel mateix preu les dues companyies:

a) b)

x→4

lim(2 x + 6)x + 1 = (2 ⋅ 4 + 6)4 + 1 =

x →3

lim

2x +1 2⋅3 +1 7 1 = = = 4 x + 2 4 ⋅ 3 + 2 14 2

g(x)⎞ ⎛ lim ⎜ (2 ⋅ h(x) − 3 ⎠⎟

x→ 4 ⎝

f(x)

9⎞ ⎛ = ⎜ 2 ⋅ 4 − ⎟ = 53 = 125 ⎝ 3⎠ 3

239

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 239 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 240

240 x→∞

7.

∞ b) Com que és una indeterminació del tipus , i x ∞ tendeix a ∞, dividim x3 entre numerador i denominador, amb la qual cosa tenim: 3 ax 3 5 x 2 1 − 3 + 3 3 3 ax 3 − 5 x 2 + 1 x x ⇒ lim = lim x 3 x→∞ x→∞ x x 5 8 3 + 3 − 3 x3 x x 5 x3 + 8 x − 3

⇒

3a −10 = −2 ⇒ a = 5 3

Es poden efectuar diferents representacions. Una possible representació seria:

1

x → 4 (2 x

x + 13 − 4 = x−3

8.

5

X

a) • Asímptotes verticals:

3 x2 x 2 − 25

= ∞;

lim

x → −5

3 x2 x 2 − 25

= ∞

Tenim dues asímptotes verticals representades per les rectes x = 5 i x = −5.

0 d) És una indeterminació del tipus . 0

• Asímptotes horitzontals: x2 − 4 (x + 2)(x − 2) = lim = x→2 x−2 x−2

lim

x→2

Propostes d’avaluació

5.

2 x2 + 6 x + 3 a) lim És una indeterminació del tipus x→∞ 5 x3 + 3 x ∞ . Dividim numerador i denominador per la major ∞ potència de x i tenim: 2 x2 6 x 3 + 3 + 3 3 2 x2 + 6 x + 3 x x = = lim x lim x→∞ x→∞ 5 x3 + 3 x 5 x3 3 x + 3 x3 x 2 6 3 + + 0+0+0 x x 2 x3 = =0 3 5+0 = lim

x2

Y 6

= lim

c) Si multipliquem i dividim pel conjugat del denominador tenim: lim

x →3

Els valors de x que anul·len el denominador són x = 5 i x = 5. Calculem els límits de la funció quan x tendeix a aquests nombres: lim

x→5

= ∞

( + 13 − 4 ) ( x + 13 + 4 ) x = = lim x →3 (x − 3))( x + 13 + 4 ) x + 13 − 16 = = lim x →3 ( ) ( 3 ) 13 4 − + + x x x−3 1 = 8

x 2 − 25 3 x2

− 3)( x + 13 + 4 )

x → −5

lim

x → 3 (x

= ∞;

5+

b) Operem al numerador i tenim:

x (x − 1)(x + 2) x (x − 1)(x − 3)

2x

=

2x

2 3 ; lim f (x) = ; lim f (x) = ∞ −3 x → 1 −2 x → 3 2

3 x2

x 2 − 25 3 x2

= lim

lim f (x) =

x − 4x + 3x 3

x3 + x 2 − 2 x

x−4 = lim x − 4 = lim 1 x→4 x→4 2 x − 8 + 1 2+ x−4 x−4 2 x (x − 4) =8 − 7)(x − 4)

Per tant, l’única asímptota vertical està representada per la recta x = 3. x→0

El denominador s’anul·la quan x = 0; x = 1 i x = 3. Calculem els límits de la funció quan x tendeix a aquests nombres: f (x) =

Descomponem en factors els polinomis numerador i denominador de la funció i ens queda: b) • Asímptotes verticals: = 3 ; per tant, tenim una asímptota x − 25 horitzontal representada per la recta y = 3. x→∞

2

lim

Tenim dues asímptotes verticals representades per les rectes x = 5 i x = −5. x→5

lim

Els valors de x que anul·len el denominador són x = 5 i x = 5. Calculem els límits de la funció quan x tendeix a aquests nombres: a) • Asímptotes verticals:

3 x2 = 3 ; per tant, tenim una asímptota lim x → ∞ x 2 − 25 horitzontal representada per la recta y = 3.

x+2 = 2

x→2

= 8.

X

5

= lim

lim

e) És una indeterminació del tipus ∞ − ∞ . b) • Asímptotes verticals: Descomponem en factors els polinomis numerador i denominador de la funció i ens queda: x3 + x 2 − 2 x

=

x3 − 4 x 2 + 3 x

x (x − 1)(x + 2) x (x − 1)(x − 3)

x3

f (x) =

−

⎛ ⎞ ⎛ x2 + 1 ⎞ ⎜ x2 + 1 ⎟ 1 = lim − (x + 1)⎟ = − lim ⎜ x ⎟ x → ∞ ⎝⎜ x x→∞ ⎠ ⎜ x ⎟ 1− ⎝ x + 1⎠ 2 ⎛ 2 −x + 1 x + 1 x + x⎞ = −1 = lim ⎜ − = lim x→∞ ⎝ x x ⎠⎟ x → ∞ x

x3

x3 ⇒ 3 1

El denominador s’anul·la quan x = 0; x = 1 i x = 3. Calculem els límits de la funció quan x tendeix a aquests nombres:

+

x 8x

+

2 3 ; lim f (x) = ; lim f (x) = ∞ −3 x → 1 −2 x → 3

x 5 x3

3

5 x2

lim f (x) =

x3

= lim

−

x→0

5x + 8x − 3

x→∞

3

3

3 ax 3

Per tant, l’única asímptota vertical està representada per la recta x = 3.

Es poden efectuar diferents representacions. Una possible representació seria: 3a −10 = −2 ⇒ a = 5 3

lim

2

b) Com que és una indeterminació del tipus

ax 2 − 4 a a (x 2 − 4) = = lim 2 lim x→2 x2 − x − 2 x→2 x − x − 2 a (x 2 − 4) a (x + 2)(x − 2) = lim = lim ⇒ x → 2 (x − 2)(x + 1) x → 2 (x − 2)(x + 1) 4a 3 =1⇒a = 3 4

7.

⇒

x→∞

3 ax − 5 x + 1 3

∞ ,ix ∞ 3 tendeix a ∞, dividim x entre numerador i denominador, amb la qual cosa tenim:

És una indeterminació del tipus

⇒

3

2 x2 + 6 x + 3

a)

= = lim x2 − x − 2 x→2 x2 − x − 2 a (x 2 − 4) a (x + 2)(x − 2) = lim = lim ⇒ x → 2 (x − 2)(x + 1) x → 2 (x − 2)(x + 1) 4a 3 ⇒ =1⇒a = 3 4 x→2

a (x 2 − 4)

x+2 = 2 x + 13 − 4 ) ( x + 13 + 4 )

1 6

Y

5x + 3x ∞ . Dividim numerador i denominador per la major ∞ potència de x i tenim: 2 x2 6 x 3 + 3 + 3 3 2 x2 + 6 x + 3 x x x = lim = lim x→∞ x→∞ 5 x3 + 3 x 5 x3 3 x + 3 x3 x 2 6 3 + 2 + 3 x x x = 0+0+0 = 0 = lim 3 x→∞ 5+0 5+ 2 x x→∞

lim

6.

a)

lim

• Asímptotes horitzontals: lim

a)

Propostes d’avaluació

6.

ax 2 − 4 a

⎛ ⎞ ⎛ x2 + 1 ⎞ ⎜ x2 + 1 ⎟ 1 = lim ⎜ − (x + 1)⎟ = − lim ⎜ ⎟ x x→∞ x→∞ ⎝ x ⎠ ⎜ x ⎟ 1− ⎝ x + 1⎠ ⎛ x2 + 1 x2 + x ⎞ −x + 1 = −1 = lim ⎜ − = lim ⎟ x→∞ ⎝ x → ∞ x x x ⎠ e) És una indeterminació del tipus ∞ − ∞ . x→2

= lim x→2

x2 − 4 (x + 2)(x − 2) = lim = x → 2 x−2 x−2

0 d) És una indeterminació del tipus . 0 (x − 3))( x + 13 + 4 ) x + 13 − 16 = = lim x → 3 (x − 3)( x + 13 + 4 ) x−3 1 = = lim x → 3 (x − 3)( x + 13 + 4 ) 8 x →3

= lim

(

x + 13 − 4 = x−3

x →3

c) Si multipliquem i dividim pel conjugat del denominador tenim: 2x 2x x x 4 − −4 = = lim lim 1 x→4 x→4 2 x − 8 + 1 2+ x−4 x−4 2 x (x − 4) = lim =8 x → 4 (2 x − 7)(x − 4) b) Operem al numerador i tenim: 5.

240

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 240

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 241

241 Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’esquerra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’origen de l’equació de l’asímptota obliqua:

1 2 1+ − 2 x3 + x 2 − 2 x x x lim = = 1, 4 3 x → ∞ x3 − 4 x 2 + 3 x 1− − 2 x x

(4 x x + 6 x + 3) m = lim = +∞ x → +∞ x (4 x x + 6 x + 3) m = lim = x → −∞ x (4 x x + 6 x) 6 = x 1 x → −∞

= lim

Podem dibuixar-la gràficament des de les propietats que hem demanat i d’una petita taula de valors: f (x) =

m = lim ((4 x x + 6 x + 3) − 6 x) = lim (4 x − 3) x → −∞

per tant, tenim una asímptota horitzontal representada per la recta y = 1. c) • Asímptotes verticals:

Hem obtingut, finalment, que la funció f ha de ser:

No té asímptotes horitzontals. • Asímptotes obliqües:

0 = −3 −

x → −∞

lim (4 x x + 6 x + 3) = 0 − ∞

x → +∞

3

lim (4 x x + 6 x + 3) = +∞

0 = f (1) =

• Asímptotes horitzontals: Per tant, x = −

⎛ 2⎞ 3 ⋅⎜− ⎟ − 6 ⎝ 3⎠ 2

⎛ 2⎞ 6 ⋅⎜− ⎟ + 4 ⎝ 3⎠

2 és una asímptota vertical. 3

No té asímptotes horitzontals.

3 x2 − 6 6x + 4 3 x2 − 6 m = lim = lim = x→∞ x→ ∞ 6 x2 + 4 x x

e) • Asímptotes verticals:

Per tant, f (x) = 1 1 x− 2 3

x→∞

m = lim

3 x2

6 x2

=

3 1 = 6 2

Calculem l’ordenada en l’origen de l’equació de l’asímptota obliqua: ⎛ 3 x2 − 6 1 ⎞ 2x − 6 2 1 b = lim ⎜ − x ⎟ = lim = = x→∞ ⎝ 6 x + 4 2 ⎠ x→∞ 6 x + 4 6 3

• El denominador és de grau 1: Q(x) = a x + b, a ≠ 0. • x = 2 és una asímptota vertical: La qual cosa només és possible si el denominador s’anul·la a x = 2 (i el numerador no, ja que el denominador només té un factor x – 2), aleshores: 0 = Q(2) = a ⋅ 2 + b ⇒ b = −2 a, P(2) ≠ 0

Això significa que: 3 = lim

x→ ± ∞

e) • Asímptotes verticals: No té asímptotes verticals.

lim (4 x x + 6 x + 3) = +∞

x → +∞

lim (4 x x + 6 x + 3) = 0 − ∞

x → −∞

No té asímptotes horitzontals. • Asímptotes obliqües:

Així, P(x) = cx + d, i perquè el límit sigui 3: cx + d 3 = lim = lim x → ± ∞ a (x − 2) x→ ± ∞

3= Per tant, f (x) =

d c x = 2⎞ a ⎛ a ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠ c+

c ⇒ c = 3a a

3 ax + d a (x − 2)

• La gràfica de f passa pel punt (1, 0): 0 = f (1) =

3a ⋅1 + d 3a + d d = = −3 − a (1 − 2) −a a

0 = −3 −

d ⇒ d = −3 a a

Hem obtingut, finalment, que la funció f ha de ser: 3 ax − 3 a 3x − 3 f (x) = = a (x − 2) x−2 Podem dibuixar-la gràficament des de les propietats que hem demanat i d’una petita taula de valors:

Propostes d’avaluació

(4 x x + 6 x + 3) = +∞ x → +∞ x (4 x x + 6 x + 3) m = lim = x → −∞ x (4 x x + 6 x) 6 = lim = x → −∞ x 1

P(x) P(x) = lim Q(x) x → ± ∞ a (x − 2)

Això implica que P(x) sigui de grau 1, perquè si fos de grau 0, el límit seria 0; si fos de grau major que 1, el límit seria infinit.

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és Df =  1 1 y = x− 2 3

m = lim

P(x) Q(x)

Imposem les condicions que volem que compleixi en l’ordre més còmode:

Això implica que P(x) sigui de grau 1, perquè si fos de grau 0, el límit seria 0; si fos de grau major que 1, el límit seria infinit.

3 1 = = 6 2

3 x2 − 6 6x + 4 3 x2 − 6 = lim = x→ ∞ 6 x2 + 4 x x

x→ ± ∞

3 = lim

Això significa que: 0 = Q(2) = a ⋅ 2 + b ⇒ b = −2 a, P(2) ≠ 0

3 x2 − 6 3 x2 lim = lim = ∞ x→∞ 6 x 6x + 4

x→∞

• x = 2 és una asímptota vertical: La qual cosa només és possible si el denominador s’anul·la a x = 2 (i el numerador no, ja que el denominador només té un factor x – 2), aleshores:

• Asímptotes horitzontals: lim

2 és una asímptota vertical. 3

3 x2 − 6 = 6x + 4

⎛ 2⎞ 6 ⋅⎜− ⎟ + 4 ⎝ 3⎠ 2

⎛ 2⎞ 3 ⋅⎜− ⎟ − 6 ⎝ 3⎠ 2

4 −6 = 3 = ∞ 0

f (x) = 9.

per tant, tenim una asímptota horitzontal representada per la recta y = 1. • Asímptotes horitzontals: 1 2 1+ − x3 + x 2 − 2 x x x2 lim = = 1, 4 3 − x x2 x3 − 4 x 2 + 3 x

• El denominador és de grau 1: Q(x) = a x + b, a ≠ 0. Imposem les condicions que volem que compleixi en l’ordre més còmode:

c) • Asímptotes verticals: x→∞

P(x) P(x) = lim Q(x) x → ± ∞ a (x − 2)

• Té l’asímptota horitzontal y = 3:

No té asímptotes horitzontals.

• Asímptotes horitzontals: 2 x→− 3

d c+ c x = 2⎞ a ⎛ a ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠

Així, P(x) = cx + d, i perquè el límit sigui 3:

• Asímptotes obliqües: Per tant, x = −

c ⇒ c = 3a a

cx + d 3 = lim = lim a (x − 2) x → ± ∞

Calculem l’ordenada en l’origen de l’equació de l’asímptota obliqua: = lim

3 ax + d a (x − 2)

x→ ± ∞

⎛ 3 x2 − 6 1 ⎞ 2x − 6 2 1 b = lim ⎜ − x ⎟ = lim = = x→∞ ⎝ 6 x + 4 2 ⎠ x→∞ 6 x + 4 6 3 6 x2

3a ⋅1 + d 3a + d d = = −3 − a (1 − 2) −a a 3=

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua és Df = 

x→∞

f (x) =

• Té l’asímptota horitzontal y = 3:

• Asímptotes obliqües:

x→∞

d ⇒ d = −3 a a

• La gràfica de f passa pel punt (1, 0):

No té asímptotes verticals.

3 x2 − 6 3 x2 = lim = ∞ x→∞ 6 x + 4 x→∞ 6 x lim

3 x2

Busquem una funció racional, és a dir, de la forma:

4 −6 = 3 = ∞ 0

• Asímptotes horitzontals:

= lim

x → −∞

Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’esquerra és y = 6 x − 3 9.

2

3 x2 − 6 lim = 2 x→− 6 x + 4

y =

3 ax − 3 a 3x − 3 = a (x − 2) x−2

Propostes d’avaluació

• Asímptotes horitzontals:

1−

P(x) Q(x)

Busquem una funció racional, és a dir, de la forma: Per tant, l’equació de l’asímptota obliqua per l’esquerra és y = 6 x − 3 x → −∞

x → −∞

m = lim ((4 x x + 6 x + 3) − 6 x) = lim (4 x − 3) Per tant, podem tenir asímptota obliqua per l’esquerra de la gràfica. Calculem l’ordenada en l’origen de l’equació de l’asímptota obliqua:

241

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 241 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 242

242 0

x

3 6

4 9 — 2

Y 3

Propostes d’avaluació

3 — 2

f(x)

X 2

3

Y

2

1

1

Aquests són, per tant, els possibles punts de discontinuïtat. x 2 + 2 x − 15 = 0 ⇒ x = 7 i x = −5 Df =  − {−5, 7 } Estudiem el domini de la funció:

f(x) =

1

3x – 3 x–2

2.

2

3

X

Si el límit és igual a la imatge de la funció en aquest punt direm que la funció és contínua. a) Com que x = 1 anul·la el denominador, no existeix la imatge de la funció i, per tant, aquesta és discontínua en aquell punt.

X

lim

x →1−

x +1 = −∞ x −1

lim

x →1+

x +1 = +∞ x −1

Es tracta d’una discontinuïtat no evitable de salt infinit.

10. De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals es corresponen amb x = −8 i x = −2. L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y = −6 Per a determinar l’equació de l’asímptota obliqua per la dreta necessitem dos punts de la recta. Considerem (2, 2) i (6, 5). El vector director de la recta serà:  v = (6, 5) − (2, 2) = (4, 3) El seu pendent és m =

b)

1 1 ⎛ 1⎞ f ⎜− ⎟ = 3 = − ⎝ 3 ⎠ −2 6

lim x→−

1 3

2x +1 1 =− 3x −1 6

La funció és contínua. c) x = −2 i x = 3 no tenen imatge perquè anul·len el denominador. Així dons, són dos punts de discontinuïtat.

3 . 4

lim

x →3

L’equació de l’asímptota obliqua és y =

x2 − 3 x x2 − x − 6

= lim

x → 3 (x

x(x − 3) 3 x = lim = − 3)(x + 2) x → 3 (x + 2) 5

Es tracta per tant d’una discontinuïtat evitable.

3 x+d 4

d) En x = 2 els límits de la funció per la dreta i per l’esquerra no coincideixen. Per tant, en aquest punt hi ha una discontinuïtat de salt finit.

En què d la trobem si imposem que passi pel punt (2, 2): y =

lim f (x) = 2 ;

3 1 x+ 4 2

lim f (x) = 4

x → 2−

x → 2+

En x = 3 el límit de la funció i la imatge coincideixen. Per tant, la funció és contínua en aquest punt.

UNITAT 9 - CONTINUÏTAT

lim f (x) = 5 ;

lim f (x) = 5

x → 3−

lim f (x) = 5

lim f (x) = 4

Es poden dibuixar diferents funcions que compleixen la condició de no ser contínues en x = 2. Dues possibilitats serien:

x → 3+

x → 2+

x(x − 3) 3 x = lim = − 3)(x + 2) x → 3 (x + 2) 5 2x +1 1 =− 3x −1 6

x +1 = +∞ x −1

x → 3+

e x (1 + x) x 2 + 2 x − 15

X

1.

e x (1 + x) x → 3 (x

= lim

lim 3

Y

x + 2 x − 15 2

lim f (x) = 5 ; lim f (x) = 2 ;

x −x−6 2

x2 − 3 x

x →1+

2

f (x) =

f (x) =

x → 3−

x → 2−

lim

1 x→− 3

lim

x +1 = −∞ x −1 1

a)

a)

Es poden dibuixar diferents funcions que compleixen la condició de no ser contínues en x = 2. Dues possibilitats serien: 3 1 x+ 4 2

En què d la trobem si imposem que passi pel punt (2, 2):

Es tracta per tant d’una discontinuïtat evitable. x →3

3 . 4

La funció és contínua. b)

1 1 ⎛ 1⎞ 3 f ⎜− ⎟ = =− ⎝ 3 ⎠ −2 6 lim

Si el límit és igual a la imatge de la funció en aquest punt direm que la funció és contínua.

3x – 3 x–2

3.

3. Y

1.

En x = 3 el límit de la funció i la imatge coincideixen. Per tant, la funció és contínua en aquest punt.

UNITAT 9 - CONTINUÏTAT y =

d) En x = 2 els límits de la funció per la dreta i per l’esquerra no coincideixen. Per tant, en aquest punt hi ha una discontinuïtat de salt finit.

3 y = x+d 4 L’equació de l’asímptota obliqua és El seu pendent és m =

c) x = −2 i x = 3 no tenen imatge perquè anul·len el denominador. Així dons, són dos punts de discontinuïtat.

10. De les dades de la gràfica, les asímptotes verticals es corresponen amb x = −8 i x = −2. L’asímptota horitzontal per l’esquerra és y = −6 Per a determinar l’equació de l’asímptota obliqua per la dreta necessitem dos punts de la recta. Considerem (2, 2) i (6, 5). El vector director de la recta serà:  v = (6, 5) − (2, 2) = (4, 3)

Es tracta d’una discontinuïtat no evitable de salt infinit. x →1−

X

a) Com que x = 1 anul·la el denominador, no existeix la imatge de la funció i, per tant, aquesta és discontínua en aquell punt. 2.

f(x) =

Estudiem el domini de la funció: x 2 + 2 x − 15 = 0 ⇒ x = 7 i x = −5 Df =  − {−5, 7 }

2

Y

f(x)

3 — 2

6

9 — 2

3

Aquests són, per tant, els possibles punts de discontinuïtat.

4

2

3

1

0

Propostes d’avaluació

1

Y

x

X

3

242

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 242

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 243

x → −5

e x (1 + x) x 2 + 2 x − 15

=

−5

e (1 − 5)

=

{

(−5)2 + 2 (−5) − 15 ex (1 + x) = lim x → 7 x 2 + 2 x − 15

∀ x ∈  − −2,

2 ,2 3

}

g és contínua h

la funció

⎧ ln x = ⎪ lim ⎪x→0 x + 3 lim h(x) = ⎨ x →0 ⎪ lim ln x = ⎩⎪ x → 0 + x + 3 −

=

d) Considerant que la funció h s’anul·la per a x =

2 , 3

e7(1 + 7) (7)2 + 2 (7) − 15

=

5. =

−4 e 0

−5

a)

= ∞

lim h(x) = lim

ln x lim h(x) = lim = x →1 x →1 x + 3 ln x

b) g ⋅ h és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2} a) f + g és contínua ∀ x ∈  tenim que:

b)

4 ⎧ ⎪1 + f (x) = ⎨ x ⎪⎩ 5 − x

si x < 2

en [0,2]

si x ≥ 2

Els punts de discontinuïtat dins de l’interval que s’ha d’estudiar només corresponen als extrems x = 0 i x = 2 (aquest últim, ja que és un interval tancat). ⎧ 4⎞ ⎛ ⎪ lim 1 + ⎟ = 1 + 2 = 3 lim f (x) = ⎨ x → 2 ⎜⎝ x⎠ x→2 ⎪ f (2) = (5 − x) = 5 − 2 = 3 ⎩

8 e7 = ∞ 0

−

Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitables de salt infinit en x = −5 i x = 7.

•

La funció és contínua per l’esquerra en x = 2. 4⎞ ⎛ lim f (x) = lim ⎜ 1 + ⎟ = 1 + ∞ = +∞ x→0 ⎝ x⎠

1 1 ⎧ ⎪⎪cos x si x < π g(x) = ⎨ ⎪ πx − 1 si x ≥ 1 ⎪⎩ π

x → 0+

Estudiem el domini de la funció: Df =  − {0} , l’únic punt de discontinuïtat és x = 0, o bé el punt en què s’uneixen els dos trossos que defineixen la funció 1 x = . Estudiem el valor dels seus límits: π

•

=

0+3 −∞ −∞

= −∞ = −∞

0+

ln 1 0 = =0 2 1+3 ln −3 = +∞

Cal recordar que la funció valor absolut és una funció a trossos, i, per tant, haurem d’estudiar el punt x = 0.

h (x) és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2}, g (x) és contínua ∀ x ∈ 

Com que: f (x) és contínua ∀ x ∈  •

4.

x+3

x → −3 +

x → −3 +

c) f − h és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2}

0+3

Propostes d’avaluació

243 lim

+

Per tant, la funció presenta una discontinuïtat inevitable de salt infinit.

b)

⎧2e−3 x si x ≤ 0 ⎪ g(x) = ⎨ 1 en [−3,1] si x > 0 ⎪ ⎩x + 3 S’han d’estudiar els extrems de l’interval, i el punt d’abscissa x = 0.

c)

1 Per tant, a x = presenta una discontinuïtat ineviπ table de salt finit.

1 lim f (x) = lim cos = cos ∞ x→0 x→0 x

⎧ lim 2 e−3 x = 2 e0 = 2 ⎪x→0 lim g(x) = ⎨ 1 1 x→0 ⎪ lim = ⎩x→0 x + 3 3 −

x+3

h(x) =

ln x

x →1−

lim g(x) =

en [−3,1]

1 1 i g(1) = . 2 2

x → −3 +

Com que els dos trossos de la funció són continus en tot el seu domini de definició, particularment també ho són en els valors de l’interval, així −9 doncs lim g(x) = 2 e−9 i g(−3) = 2e , i també

1 ⎧ cos = cos π = −1 ⎪ xlim →0 x ⎪ lim f (x) = ⎨ πx − 1) = 0 ⎪ lim( 1 ⎪x→ π ⎩

Això correspon a una discontinuïtat essencial de la funció, per al valor x = 0.

+

1 x→ π

1 ⎧ cos = cos π = −1 ⎪ xlim →0 x ⎪ lim f (x) = ⎨ 1 πx − 1) = 0 x→ ⎪ lim( 1 π ⎪x→ π ⎩

Per tant, la funció és discontínua de salt finit en x = 0. Com que els dos trossos de la funció són continus en tot el seu domini de definició, particularment també ho són en els valors de l’interval, així −9 doncs lim g(x) = 2 e−9 i g(−3) = 2e , i també x → −3 +

Per tant, la funció és discontínua de salt finit en x = 0. ⎧ lim 2 e−3 x = 2 e0 = 2 ⎪x→0 lim g(x) = ⎨ 1 1 ⎪ lim = ⎩x→0 x + 3 3 +

Això correspon a una discontinuïtat essencial de la funció, per al valor x = 0.

x→0

−

1 lim f (x) = lim cos = cos ∞ x

x→0

1 presenta una discontinuïtat ineviπ table de salt finit. Per tant, a x =

lim g(x) =

x →1−

x→0

S’han d’estudiar els extrems de l’interval, i el punt d’abscissa x = 0.

Estudiem el domini de la funció: Df =  − {0} , l’únic punt de discontinuïtat és x = 0, o bé el punt en què s’uneixen els dos trossos que defineixen la funció 1 . Estudiem el valor dels seus límits: π x =

4.

Com que: • f (x) és contínua ∀ x ∈  •

g (x) és contínua ∀ x ∈ 

•

h (x) és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2},

c)

a) f + g és contínua ∀ x ∈ 

2 ,2 3

}

ln x

=

ln 1

=

0 =0 2

x+3 1+3 ln x ln −3 = = +∞ lim h(x) = lim x → −3 x → −3 x+3 0+ x →1

+

2 , 3

+

⎧ ln x = ⎪ xli→m0 ⎪ x+3 lim h(x) = ⎨ x →0 ⎪ lim ln x = ⎪⎩ x → 0 + x + 3 −

−∞ 0+3 −∞ 0+3

= −∞ = −∞

Propostes d’avaluació

{

∀ x ∈  − −2,

en [−3,1]

lim h(x) = lim

c) f − h és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2}

g és contínua h

x+3

x →1

b) g ⋅ h és contínua ∀ x ∈  − {−2, 2}

la funció

ln x

h(x) =

Cal recordar que la funció valor absolut és una funció a trossos, i, per tant, haurem d’estudiar el punt x = 0.

tenim que:

d) Considerant que la funció h s’anul·la per a x =

1 1 i g(1) = . 2 2

b)

b)

Per tant, la funció presenta una discontinuïtat inevitable de salt infinit.

1 1 ⎧ cos si x < ⎪⎪ x π g(x) = ⎨ ⎪ πx − 1 si x ≥ 1 π ⎩⎪

4⎞ ⎛ lim f (x) = lim ⎜ 1 + ⎟ = 1 + ∞ = +∞ x→0 ⎝ x⎠

x → 0+

=

e7(1 + 7)

x →7

=

−

x 2 + 2 x − 15

x → −5

lim

⎧ 4⎞ ⎛ ⎪ lim 1 + ⎟ = 1 + 2 = 3 lim f (x) = ⎨ x → 2 ⎝⎜ x⎠ ⎪ ⎩ f (2) = (5 − x) = 5 − 2 = 3

x→2

8 e7 = = ∞ 0

(−5)2 + 2 (−5) − 15 ex (1 + x) =

lim

e−5(1 − 5) x 2 + 2 x − 15 e x (1 + x)

=

+

La funció és contínua per l’esquerra en x = 2.

Això ens indica que f(x) té discontinuïtats inevitables de salt infinit en x = −5 i x = 7. (7)2 + 2 (7) − 15

⎧ −3 x 2 0 e si x ≤ ⎪ g(x) = ⎨ 1 en [−3,1] si x > 0 ⎪ ⎩x + 3 Els punts de discontinuïtat dins de l’interval que s’ha d’estudiar només corresponen als extrems x = 0 i x = 2 (aquest últim, ja que és un interval tancat).

− 4 e −5 = ∞ 0 5.

=

a)

4 ⎧ ⎪1 + f (x) = ⎨ x ⎩⎪ 5 − x

si x ≥ 2 si x < 2

en [0,2]

243

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 243 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 244

244 9.

1 x+5 = − (x + 5)(x − 5) 10

b 12

f (x) = x − 4 x + 2 és una funció polinòmica i, per tant, contínua. Si calculem les imatges de la funció als dos extrems de l’interval observem que pren valors de signe contrari: 2

f (0) = 2 > 0 ;

Per tant: lim f (x) =

x → −5

Aleshores,

x → 0+

x →1+

f (2) = −2 < 0

3 2 10. La funció f (x) = x − 3 x − x + 4 és una funció polinòmica i, per tant, contínua. Considerem l’interval [−2, − 1] i busquem el valor de la funció als extrems d’aquest:

f (−2) = −18 < 0

⇒b =4

Per tant: a = 1, b = 4

f (−1, 2) < 0

f (−1) = 1 > 0

f (−1, 1) > 0

⇒

c ∈ (−1, 2, −1, 1)

Aleshores, si prenem el punt mig d’aquest interval c = 1,15, tenim una solució amb la precisió demanada. 11. Vegem que es compleixen les hipòtesis del teorema dels valors intermedis: ⎡ π⎤ • f és contínua a: ⎢ 0, ⎥: ⎣ 4⎦

⎛ π⎞ • El valor d = 2 està comprès entre f(0) i f ⎜ ⎟ : ⎝ 4⎠

Propostes d’avaluació

Aleshores, la funció h(x) presenta una discontinuïtat inevitable de salt infinit en x = 0 i en x = −3 per la dreta, i és contínua en x = 1. 6.

Perquè la funció sigui contínua en x = −5 s’ha de complir que: lim f (x) = f (−5) ;

x → −5

Pel teorema de Bolzano f(x) talla almenys un cop l’eix d’abscisses. 2x − 3 No podem assegurar el mateix amb f (x) = x −1 perquè ni és contínua en el punt x = 1 ni pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval. Amb tot, si escollim el subinterval [1, 1, 2], aleshores sí que es compleix el teorema de Bolzano i podem assegurar que la funció talla l’eix d’abscisses en aquest subinterval.

1 k = f (−5) = − 10 7.

Perquè la funció sigui contínua s’ha de verificar que existeix el límit i que aquest coincideix amb la imatge de la funció. Així doncs, lim f (x) = lim f (x) ⇒ 1 + cos 0 = 2(a + 0) ⇒ a = 1

x → 0−

lim f (x) = lim f (x) ⇒ 2(a + 1) =

x →1−

Pel teorema de Bolzano, existeix un nombre real c ∈ (−2, −1) tal que f (c) = 0 . Reduïm, tenint en compte el teorema de Bolzano, l’amplitud de l’interval: Com que

8. a) f (x) = ln(e x + 1) és una funció contínua perquè es tracta de la composició de dues funcions contínues: g(x) = e x + 1 i h(x) = ln x pel fet de ser h(x) > 0 en tot el camp real. sin x b) f (x) = e és una funció contínua perquè és la composició de dues funcions contínues g(x) = sin x i h(x) = e x.

c) La funció f (x) = ln sin x es compon de les funcions g(x) = sin x i h(x) = ln x . La funció h(x) és contínua en l’interval (0, ∞), mentre que g(x) ho és en tota la recta real. Com que sin x > 0 si x ∈ (0, π) la funció només és contínua en el conjunt {(2 kπ, π + 2 kπ)}, k ∈ .

⎫ ⎧π — g(x) = tg x és contínua en:  − ⎨ + k π, k ∈  ⎬ ⎭ ⎩2 ⎡ π⎤ i, per tant, és contínua en ⎢ 0, ⎥ . Així, tg2 x ⎣ 4⎦ ⎡ π⎤ és contínua en: ⎢ 0, ⎥ . ⎣ 4⎦

d) f(x) = tg (sin x) es compon de la funció g(x) = sin x i h(x) = tg x. La funció h(x) és contínua en tots els

⎡ π⎤ — h(x) = 1 és contínua a: ⎢ 0, ⎥ perquè és una fun⎣ 4⎦ ció constant.

⎫ ⎧π punts, excepte en A = ⎨ + kπ, ∀k ∈  ⎬ . g(x) és ⎭ ⎩2 contínua en tota la recta real, i pren tots els valors en l’interval [−1, 1], i cap d’aquests punts pertany a l’interval A. Per tant, f(x) és contínua en tota la recta real.

⎡ π⎤ Així, f és contínua en ⎢ 0, ⎥ perquè és una com⎣ 4⎦ ⎡ π⎤ binació lineal de funcions contínues en ⎢ 0, ⎥ . ⎣ 4⎦

e) Per a estar definida f(x) com a quocient de funcions contínues, l’únic punt de possible discontinuïtat és x = 0. Com que:

c ∈ (−1, 2, −1, 1)

f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 ⋅ 0 + 1 = 1

⇒

lim f (x) = −∞

f (−1, 1) > 0

f (−1) = 1 > 0

x → 0+

π ⎛ π⎞ f ⎜ ⎟ = 3 tg 2 + 1 = 3 ⋅ 1 + 1 = 4 ⎝ 4⎠ 4 f(0) = 3 tg2 0 + 1 = 3 ⋅ 0 + 1 = 1 ⎛ π⎞ • El valor d = 2 està comprès entre f(0) i f ⎜ ⎟ : ⎝ 4⎠ ⎡ π⎤ Així, f és contínua en ⎢ 0, ⎥ perquè és una com⎣ 4⎦ ⎡ π⎤ binació lineal de funcions contínues en ⎢ 0, ⎥ . ⎣ 4⎦ ⎡ π⎤ — h(x) = 1 és contínua a: ⎢ 0, ⎥ perquè és una fun⎣ 4⎦ ció constant. ⎫ ⎧π — g(x) = tg x és contínua en:  − ⎨ + k π, k ∈  ⎬ ⎭ ⎩2 ⎡ π⎤ i, per tant, és contínua en ⎢ 0, ⎥ . Així, tg2 x ⎣ 4⎦ ⎡ π⎤ és contínua en: ⎢ 0, ⎥ . ⎣ 4⎦ 11. Vegem que es compleixen les hipòtesis del teorema dels valors intermedis: ⎡ π⎤ • f és contínua a: ⎢ 0, ⎥: ⎣ 4⎦ Aleshores, si prenem el punt mig d’aquest interval c = 1,15, tenim una solució amb la precisió demanada. f (−1, 2) < 0

Pel teorema de Bolzano, existeix un nombre real c ∈ (−2, −1) tal que f (c) = 0 . Reduïm, tenint en compte el teorema de Bolzano, l’amplitud de l’interval: Com que f (−2) = −18 < 0

lim f (x) = +∞ ;

⇒b =4

x → 0−

lim f (x) = −∞ b

3 2 10. La funció f (x) = x − 3 x − x + 4 és una funció polinòmica i, per tant, contínua. Considerem l’interval [−2, − 1] i busquem el valor de la funció als extrems d’aquest:

f (2) = −2 < 0

π ⎛ π⎞ f ⎜ ⎟ = 3 tg 2 + 1 = 3 ⋅ 1 + 1 = 4 ⎝ 4⎠ 4

x → 0+

12

1 x+5 = − (x + 5)(x − 5) 10

f (0) = 2 > 0 ;

f (x) = x 2 − 4 x + 2 és una funció polinòmica i, per tant, contínua. Si calculem les imatges de la funció als dos extrems de l’interval observem que pren valors de signe contrari:

ens trobem en aquest punt amb una discontinuïtat inevitable de salt infinit.

lim f (x) = +∞ ;

f (x) = esin x és una funció contínua perquè és la composició de dues funcions contínues g(x) = sin x i h(x) = e x. x →1+

lim f (x) = lim f (x) ⇒ 2(a + 1) = x → 0+

lim f (x) = lim f (x) ⇒ 1 + cos 0 = 2(a + 0) ⇒ a = 1

Perquè la funció sigui contínua s’ha de verificar que existeix el límit i que aquest coincideix amb la imatge de la funció. Així doncs, 1 10

Aleshores, x → −5

lim f (x) =

Per tant: Perquè la funció sigui contínua en x = −5 s’ha de complir que: 9.

Propostes d’avaluació

ens trobem en aquest punt amb una discontinuïtat inevitable de salt infinit. x → 0−

e) Per a estar definida f(x) com a quocient de funcions contínues, l’únic punt de possible discontinuïtat és x = 0. Com que: ⎫ ⎧π punts, excepte en A = ⎨ + kπ, ∀k ∈  ⎬ . g(x) és 2 ⎭ ⎩ contínua en tota la recta real, i pren tots els valors en l’interval [−1, 1], i cap d’aquests punts pertany a l’interval A. Per tant, f(x) és contínua en tota la recta real. d) f(x) = tg (sin x) es compon de la funció g(x) = sin x i h(x) = tg x. La funció h(x) és contínua en tots els c) La funció f (x) = ln sin x es compon de les funcions g(x) = sin x i h(x) = ln x . La funció h(x) és contínua en l’interval (0, ∞), mentre que g(x) ho és en tota la recta real. Com que sin x > 0 si x ∈ (0, π) la funció només és contínua en el conjunt {(2 kπ, π + 2 kπ)}, k ∈ . b)

8. a) f (x) = ln(e x + 1) és una funció contínua perquè es tracta de la composició de dues funcions contínues: g(x) = e x + 1 i h(x) = ln x pel fet de ser h(x) > 0 en tot el camp real. Per tant: a = 1, b = 4 x →1− x → 0−

7.

k = f (−5) = −

Pel teorema de Bolzano f(x) talla almenys un cop l’eix d’abscisses. 2x − 3 No podem assegurar el mateix amb f (x) = x −1 perquè ni és contínua en el punt x = 1 ni pren valors de diferent signe en els extrems de l’interval. Amb tot, si escollim el subinterval [1, 1, 2], aleshores sí que es compleix el teorema de Bolzano i podem assegurar que la funció talla l’eix d’abscisses en aquest subinterval.

lim f (x) = f (−5) ; x → −5 6.

Aleshores, la funció h(x) presenta una discontinuïtat inevitable de salt infinit en x = 0 i en x = −3 per la dreta, i és contínua en x = 1.

244

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 244

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

245

12:27

Página 245

⎛ π⎞ Així, 1 = f (0) < 2 < f ⎜ ⎟ = 4. ⎝ 4⎠

y − 10 = 24(x − 3)

⇔

y = 24 x − 62

2.

( x1 + x 2 ) serà el pendent de 2 la recta tangent a aquesta funció en aquest punt. Per tant:

TVM [4, 6] = TVM [2, 4] =

f ′(3) = 6 ⋅ 32 − 10 ⋅ 3 = 24

f ′(x) = 4 x − 1

f ′(3) :

Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equació:

f ′(x) = 6 x 2 − 10 x;

f (3) :

⎛ (x + x 2 )⎞ ⎛ ( x1 + x 2 )⎞ f′⎜ 1 ⎟⎠ = 4 ⎜⎝ ⎟⎠ − 1 = 2(x1 + x 2 ) − 1 2 2 ⎝

1 ⇔ 3

El pendent de la corda que uneix els punts de la paràbola, d’abscisses x1 i x2 és la taxa de variació mitjana de la funció en l’interval [x1 i x2]. El punt de la parà2 bola d’abscissa x1 és (x1 , 2 x1 − x1 + 3) i el d’abscissa 2 x2 és (x 2 , 2 x 2 − x 2 + 3), per tant:

1 3 π = ± ⇒x = 3 3 6 ↑

4 ⋅4 ⎞ ⎛ N(4) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ = 3, 6 ⎝ 4 + 4⎠

y − f (3) = f ′(3)(x − 3)

⎛ π⎞ x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 4⎠

L’equació de la recta tangent en x = 3 serà:

4 ⋅2 ⎞ ⎛ N(2) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =4 ⎝ 2 + 4⎠

UNITAT 10 - DERIVADES Així, el valor buscat és c =

π . 6

TVM[x1 , x 2 ] =

b) Calculem els valors de N(x)

Per tant, pel teorema de Bolzano com a mínim hi ha un zero en cadascun dels intervals.

12. Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallen, equival a buscar els punts en els quals la funció F(x) té zeros, perquè

TVM[0, 2] = F(−1) = −1 < 0 F(1) = 2 > 0 F(2) = −6 < 0

N(2) − N(0) 4 − 2 = =1 2−0 2

4 ⋅2 ⎞ ⎛ N(2) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =4 ⎝ 2 + 4⎠

= (2−2 + 1 − 2) − 2((−2)3 − (−2)) = 10, 5 > 0

4 ⋅0 ⎞ ⎛ N(0) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =2 ⎝ 0 + 4⎠

F(−2) = f (−2) − g(−2)

Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és una funció polinòmica, són funcions contínues en tot el seu domini, particularment en els intervals que s’han d’estudiar. Per tant, només hem de comprovar que els extrems dels intervals tinguin signes oposats:

Com que f(x) és una funció exponencial i g(x) és una funció polinòmica, són funcions contínues en tot el seu domini, particularment en els intervals que s’han d’estudiar. Per tant, només hem de comprovar que els extrems dels intervals tinguin signes oposats:

F(−2) = f (−2) − g(−2) = (2−2 + 1 − 2) − 2((−2)3 − (−2)) = 10, 5 > 0 F(−1) = −1 < 0 F(1) = 2 > 0 F(2) = −6 < 0

=

(2 x 22 − x 2 + 3) − (2 x12 − x1 + 3) = x 2 − x1

=

2 x 22 − 2 x12 x 2 − x1 2(x 22 − x12 ) −1 = − = x 2 − x1 x 2 − x1 x 2 − x1

Així queda comprovat que les dues rectes, corda i tangent, com que tenen el mateix pendent, són paral·leles. 3.

a) Calculem els valors t = 0 i t = 2: 4 ⋅0 ⎞ ⎛ N(0) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =2 ⎝ 0 + 4⎠ 4 ⋅2 ⎞ ⎛ N(2) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =4 ⎝ 2 + 4⎠

3.

a) Calculem els valors t = 0 i t = 2: Així queda comprovat que les dues rectes, corda i tangent, com que tenen el mateix pendent, són paral·leles.

f (x) = g(x) ⇒ f (x) − g(x) = 0 ⇒ F(x) = 0

= 2(x1 + x 2 ) − 1

12. Comprovar que les funcions f(x) i g(x) es tallen, equival a buscar els punts en els quals la funció F(x) té zeros, perquè

TVM[0, 2] =

= =

Per tant, pel teorema de Bolzano com a mínim hi ha un zero en cadascun dels intervals.

Així, el valor buscat és c =

UNITAT 10 - DERIVADES

π . 6

2 x 22 − 2 x12 x 2 − x1 2(x 22 − x12 ) −1 = − = x 2 − x1 x 2 − x1 x 2 − x1 (2 x 2

2

−

x2

+ 3) − (2 x12 − x1 + 3) = x 2 − x1

TVM[x1 , x 2 ] =

f ( x 2 − x1 ) = x 2 − x1

El pendent de la corda que uneix els punts de la paràbola, d’abscisses x i x és la taxa de variació mitjana 1 2 de la funció en l’interval [x1 i x2]. El punt de la parà2 bola d’abscissa x1 és (x1 , 2 x1 − x1 + 3) i el d’abscissa 2 x2 és (x 2 , 2 x 2 − x 2 + 3), per tant:

⎛ π⎞ x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 4⎠

1.

L’equació de la recta tangent en x = 3 serà:

f (3) :

N(2) − N(0) 4 − 2 = =1 2−0 2

b) Calculem els valors de N(x) 4 ⋅2 ⎞ ⎛ N(2) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ =4 ⎝ 2 + 4⎠

y − f (3) = f ′(3)(x − 3)

4 ⋅4 ⎞ ⎛ N(4) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ = 3, 6 ⎝ 4 + 4⎠

f (3) = 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 32 + 1 = 10

4 ⋅6 ⎞ ⎛ N(6) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ = 3, 2 ⎝ 6 + 4⎠

Calculem: f ′(x) = 6 x 2 − 10 x; f ′(3) = 6 ⋅ 32 − 10 ⋅ 3 = 24 Substituïm els valors trobats per obtenir l’equació de la recta tangent: y − 10 = 24(x − 3)

⇔

y = 24 x − 62

Les taxes de variació mitjana són: TVM [2, 4] = TVM [4, 6] =

3, 6 − 4 = −0, 2 4−2 3, 2 − 3, 6 = −0, 2 6−4

Propostes d’avaluació

f ′(3) :

f ( x 2 − x1 ) = x 2 − x1

= 2(x1 + x 2 ) − 1

f (x) = g(x) ⇒ f (x) − g(x) = 0 ⇒ F(x) = 0

⇔ tg x = ±

3, 6 − 4 = −0, 2 4−2

4 ⋅6 ⎞ ⎛ N(6) = 2 ⎜ 1 + 2 ⎟ = 3, 2 ⎝ 6 + 4⎠

f (3) = 2 ⋅ 33 − 5 ⋅ 32 + 1 = 10

Calculem: ⇔ tg x = ± 1.

3, 2 − 3, 6 = −0, 2 6−4

Les taxes de variació mitjana són:

Calculem:

f (x) = 2 ⇔ 3 tg 2 x + 1 = 2 ⇔ tg 2 x =

1 3 π = ± ⇒x = 3 3 6 ↑

Calculem: f (x) = 2 ⇔ 3 tg 2 x + 1 = 2 ⇔ tg 2 x =

1 ⇔ 3

⎛ (x + x 2 )⎞ ⎛ (x + x 2 )⎞ f′⎜ 1 = 4⎜ 1 − 1 = 2(x1 + x 2 ) − 1 2 2 ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠⎟

Per calcular aquest valor intentem resoldre l’equació: f ′(x) = 4 x − 1 ⎛ π⎞ ∃ c ∈ ⎜ 0, ⎟ tal que f (c) = 2 ⎝ 4⎠

(x + x 2 ) questa funció en el punt 1 serà el pendent de 2 la recta tangent a aquesta funció en aquest punt. Per tant:

Aleshores, mitjançant el teorema dels valors intermedis: ⎛ π⎞ Així, 1 = f (0) < 2 < f ⎜ ⎟ = 4. ⎝ 4⎠ 9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

2. 12:27

Si y = f (x) = 2 x 2 − x + 3 , aleshores la derivada d’a-

Página 245 C M Y K

Si y = f (x) = 2 x 2 − x + 3 , aleshores la derivada d’aquesta funció en el punt

Aleshores, mitjançant el teorema dels valors intermedis: ⎛ π⎞ ∃ c ∈ ⎜ 0, ⎟ tal que f (c) = 2 ⎝ 4⎠

Substituïm els valors trobats per obtenir l’equació de la recta tangent:

Propostes d’avaluació

2/6/09

245

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 246

246 a)

f (x) =

h(x) =

j(x) =

x2 − 3 x + 2 x+2

en

5.

Calculem les funcions derivades i busquem el seu valor per a x = 1: f (x) = ln(3 x 2 − 2) ⇒ f ′(x) =

x =2

f ′ (1) =

(2 x − 3)(x + 2) − (x 2 − 3 x + 2) (x + 2)2

=

g (x) =

x2 + 4 x − 8 g ′ (x) =

(x + 2)2

en

x2 − 1

en

ex

6x 3 x2 − 2

6 =6 3−2 x 3 − 19 x +1 3 x 2 (x + 1) − 1 ⋅ (x 3 − 19) (x + 1)2

⇒ g ′ (1) = h (x) =

x = −3

=

3 ⋅ 2 − 1 + 19 22

⇒

=6

8 x3 − 4 24 x 2 2 8 x3 − 4

⇒ h ′ (1) =

12 8−4

=

12 x 2

⇒

8 x3 − 4

=6

v (t) = t7 e−(t −1) v ′(t) = 7 t6 e−(t −1) + t7 e−(t−1) (−1) ⇒ ⇒ v ′(1) = 7 e0 + 1 e0 (−1) = 6

x =0

2 xe x − (x 2 − 1) e x e2 x

2 x − x2 + 1

6.

ex

En primer lloc calculem la derivada de la funció respecte de x i tenim: −2 h x − h − (x + h)

f ′(x) =

en x = 0

(x − h)2

=

(x − h)2

S’ha de complir que:

(sin x)′ (1 + cos x) − (1 + cos x)′ (sin x)

(1 + cos x)2

3

f ′(0) = −2 =

Així doncs: −2 h

=

⎛

3

−2 h

⇒

h2

= −2

⇒

h=1

El pendent en aquest punt ha de ser el mateix que el pendent de la recta y = 3x + 7; és a dir, 3. Així, hem de buscar el punt (x, f(x)) i f ′(x) = 3. f ′(x) = 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1 Calculem f(1): f(1) = 12 + 1 + 1 = 3.

en x = 2

)′ = ⎝⎜⎜(2 x

= −2

(0 − h)2 7.

(1 + 1)2

3 (2 x 3 + 11)2

3

+ 11)2

Aleshores, el punt buscat és (1, 3).

2 ⎞′ + 11)3 ⎟ = ⎠⎟

8.

1

A x = 1, el valor de la derivada de la funció ha de ser el mateix que el del pendent, és a dir − 1. Calculem f ′:

− 12 x 2 2 = = (2 x 3 + 11) 3 ⋅ 6 x 2 = 3 3 3 2 x 3 + 11

f ′(x) =

4 x2 2 x 3 + 11

=

(mx + 1)′ ⋅ (2 x + m) − (2 x + m)′ ⋅ (mx + 1) (2 x + m)2 m ⋅ (2 x + m) − 2(mx + 1) (2 x + m)2 (2 x + m)2

=

=

= m2 − 2

(2 x + m)2

Propostes d’avaluació

— En els dos primers mesos la població augmenta amb una TVM d’1, mentre que en els quatre mesos següents decreix amb una TVM de −0,2.

4.

f ′(x) = =

22 + 4 ⋅ 2 − 8 1 f (2) = = 4 (2 + 2)2

⎛ 1⎞ b) g(x) = ln ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

h ′ (x) =

1 −1 −1 ⋅ = g ′(x) = 1 x2 x x 1 3 g ′(−3) =

c)

h ′(x) =

h ′(0) = 1

d)

sin x i(x) = 1 + cos x i ′(x) =

(1 + cos x)2 cos x ⋅ (1 + cos x) − (− sin x) ⋅ (sin x)

=

cos x + cos2 x + sin2 x cos x + 1 = = (1 + cos x)2 (1 + cos x)2 1+1 1 cos 0 + 1 i ′(0) = = = 2 (1 + cos 0)2

e)

( (2 x

j′(x) =

=

h=1

=

(2 x + m)2 m2 − 2 ⇒

3

=

=

= −2

⇒

4 ⋅ 22

(2 x + m)2 2 mx + m2 − 2 mx − 2 (2 x + m)2

(2 x + m)2 m ⋅ (2 x + m) − 2(mx + 1)

(mx + 1)′ ⋅ (2 x + m) − (2 x + m)′ ⋅ (mx + 1) h2 −2 h

12 x 2 =6

⇒

j′(2) =

= f ′(x) =

Calculem f ′: A x = 1, el valor de la derivada de la funció ha de ser el mateix que el del pendent, és a dir − 1. ⇒

x 3 − 19 x +1

2 mx + m2 − 2 mx − 2

3

8.

Calculem f(1): f(1) = 12 + 1 + 1 = 3. = −2

En primer lloc calculem la derivada de la funció respecte de x i tenim: −2 h x − h − (x + h) f ′(x) = = 2 (x − h) (x − h)2 g (x) =

=

=

=

)

+ 11)2

3

Aleshores, el punt buscat és (1, 3).

en x = 2 6.

6 =6 3−2

16 16 = 3 = 3

3

2 ⎞′ ⎛ = ⎜ (2 x 3 + 11)3 ⎟ = ⎟⎠ ⎜⎝

′

(2 x 3 + 11)2

El pendent en aquest punt ha de ser el mateix que el pendent de la recta y = 3x + 7; és a dir, 3. Així, hem de buscar el punt (x, f(x)) i f ′(x) = 3. −2 h

f ′(0) = −2 S’ha de complir que:

e

x

2 x − x2 + 1

=6 8 x3 − 4

=

8 x3 − 4 3 ⋅ 2 − 1 + 19 (x + 1)2 3 x 2 (x + 1) − 1 ⋅ (x 3 − 19)

f ′ (1) =

27

2 ⋅ 23 + 11

( (2 x 3

f ′(x) = 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1 7.

(0 − h)2

=

Així doncs:

=

en x = 0 =

x =0

en

12

2 8 x3 − 4 24 x 2

h (x) = =

x =2

en

6x

2 ⋅ 23 + 11

j(x) =

cos x + cos2 x + sin2 x

(1 + cos x)2 cos x ⋅ (1 + cos x) − (− sin x) ⋅ (sin x)

(sin x)′ (1 + cos x) − (1 + cos x)′ (sin x) sin x 1 + cos x

i(x) =

e

2x

2 xe x − (x 2 − 1) e x ex

h(x) =

v ′(t) = 7 t6 e−(t −1) + t7 e−(t−1) (−1) ⇒ ⇒ v ′(1) = 7 e0 + 1 e0 (−1) = 6 8−4

⇒ h ′ (1) = h ′ (x) =

x = −3

en

22

⇒ g ′ (1) =

1 4

=

2 + 4 ⋅2 − 8

g ′ (x) =

x +4x −8 (x + 2)

(2 x − 3)(x + 2) − (x 2 − 3 x + 2) x2 − 3 x + 2 x+2

f (x) =

3 x2 − 2

Calculem les funcions derivades i busquem el seu valor per a x = 1:

3

3

16 = 3 27

16

2 x 3 + 11 4x

2

− 12 x 2 2 = (2 x 3 + 11) 3 ⋅ 6 x 2 = 3 3 3 2 x 3 + 11 1

a)

f (x) = ln(3 x 2 − 2) ⇒ f ′(x) = 5.

Propostes d’avaluació

j′(2) =

4 ⋅ 22 3

= = j′(x) = e)

cos x + 1 = (1 + cos x)2 (1 + cos x)2 1+1 1 cos 0 + 1 i ′(0) = = = 2 2 2 (1 + cos 0) (1 + 1) =

(1 + cos x)

2

= i ′(x) = d)

h ′(0) = 1 h ′(x) = c)

x2 − 1

v (t) = t7 e−(t −1)

1 −1 −1 ⋅ = 1 x2 x x 1 g ′(−3) = 3 g ′(x) = ⎛ 1⎞ b) g(x) = ln ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ (2 + 2)2

f (2) =

2

(x + 2)2

=

2

2

f ′(x) = 4.

— En els dos primers mesos la població augmenta amb una TVM d’1, mentre que en els quatre mesos següents decreix amb una TVM de −0,2.

246

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 246

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

C M Y K

⋅ cos 2 x + 6 ⋅ e cos 2 x ⋅ sin x =

= 2e

2x

⋅ cos2 2 x(cos 2 x + 3 sin x) = 3

2

⎧1 f ′ (x) = 0 ⇔ − x 2 + 10 x − 9 = 0 ⇔ x = ⎨ ⎩9 Cerquem els zeros de f ′: ⇒ f ′ (x) =

(x 2 − 9)2 x 2 − 9 − 2 x (x − 5)

2

f (x) =

x2 − 9 x−5

=

(x 2 − 9)2

Propostes d’avaluació

Página 247

247 + 2 sin x cos x) = 8 ⋅ (1 + sin 2 x + sin2 x)3 ⋅ ⋅ (cos 2 x + sin x cos x) k ′(x) = 4 ⋅ (1 + sin 2 x + sin2 x)3 ⋅ (cos 2 x ⋅ 2 + f) k(x) = (1 + sin 2 x + sin2 x)4 = 2e

2x

Així doncs: f ′(1) =

m2 − 2 (2 + m)2

g) l(x) =

= −1

Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui −1 és: m2 − 2 = −(m2 + 4m + m) ⇒ 2m2 + 4m + 4 = 0 −4 ± 16 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 m= = −1 4 9.

a)

I ′(x) = = =

= 2 e2 x ⋅ cos3 2 x + e2 x ⋅ 3 cos2 2 x ⋅ 2 ⋅ sin x j′(x) = (e2 x ) ⋅ cos3 2 x + e2 x ⋅ (cos3 2 x)′ =

− x 2 + 10 x − 9

⇒

11. Calculem f ′:

e) j(x) = e2x · cos3 2 x

1 x f (x) = + 5 x2

=

−2 1 x 3 − 10 ⎛ 1 ⎞′ ⎛ x ⎞′ f ′(x) = ⎜ 2 ⎟ + ⎜ ⎟ = 3 + = ⎝x ⎠ ⎝ 5⎠ 5 x 5 x3

=

Per tant:

3 3 x2 − 6 x + 3 x 3 x

(

1− 3 x

−

33 x 1

+

)

2

33 x2 1

+

33 x

=

(

1− 3 x 33 x2

1

)

2

=

2

2

2

3

3

x

1−

3

x

3

f ′(x) = 2 ax + b La funció derivada de f és: 3 = f (0) = 0 + c ⇒ c = 3

2

3

1+

a=1 4 = f ′(1) = 2 a + b ⎫ 4 = 2 a + b⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ b=2 8 = f ′(3) = 6 a + b ⎭ 8 = 6 a + b⎭ Imposem que els pendents de les rectes tangents a x = 1 i a x = 3 valguin 4 i 8, respectivament:

=

2

3

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x

(1 + cos 2 x)′ ⋅ (1 − cos 2 x) − (1 + cos 2 x) ⋅ (1 − cos 2 x)′ (1 − cos 2 x)2 −2 sin 2 x ⋅ (1 − cos 2 x) − (1 + cos 2 x) ⋅ (2 sin 2 x) (1 − cos 2 x)2

3

3

Si f passa pel punt (0, 3), es compleix: f (x) = ax2 + bx + c 10. Si f(x) és una funció de segon grau, té la forma:

i(x) =

3

1−

3

1+

(1 +

3

3

(

m ′(x) =

=

1 = x

sin2 x +

3

=

=

1 cos3 x

)

cos x −

cos4 x

( − sin x) =

3 sin x cos4 x

f (x) = ax2 + bx + c 3

3

3

3

2

+

1 33 x2

+

1 33 x

2

3

=

Si f passa pel punt (0, 3), es compleix:

La funció derivada de f és: f ′(x) = 2 ax + b

=

2

3

1 33 x

(1 − x )

3 = f (0) = 0 + c ⇒ c = 3

2

3

3

(1 − x )

−

+

3 3 sin2 x

10. Si f(x) és una funció de segon grau, té la forma:

x x ′ ′ x ) ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ (1 − x ) = (1 − x ) ⎛ 1 ⎞ ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⎜ − ⎟ ⎝ 3 x ⎠ 3

3 3 x2

′ ⎛ 1 ⎞′ sin2 x + ⎝⎜ cos3 x ⎠⎟ 3 2

=

= 7(ln x sin x + x ln x cos x + sin x)

d)

i ′(x) =

1 =

1 3 2 = 3 x

=

=

−2 sin 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x − 2 sin 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x (1 − cos 2 x)2 − 4 sin 2 x (1 − coss 2 x)2

h) m(x) =

b) g(x) = 3 x2 ⋅ ex g′(x) = (3 x2)′ ex + 3 x2 (ex)′ = 6 x ex + 3 x2 ex = 3 x ex (2 + x) c) h(x) = 7 x ⋅ sin x ⋅ ln x

3 3 sin2 x 2 cos x

h ′(x) = (7 x sin x)′ ⋅ ln x + 7 x sin x ⋅ (ln x)′ = = (7 sin x + 7 x cos x) ⋅ ln x + 7 x sin x ⋅

3

3

i(x) =

f (x) = x2 + 2 x + 3

2

3 2 = 3 x

1

(1 − x ) 3

=

(1 + x )′ ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ (1 − x )′ = (1 − x ) ⎛ 1 1 ⎞ ⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⎜ − ⎟ ⎝ 3 x ⎠ 3 x 3

i ′(x) = d)

= 7(ln x sin x + x ln x cos x + sin x) = (7 sin x + 7 x cos x) ⋅ ln x + 7 x sin x ⋅

1 = x

3 sin x =

h ′(x) = (7 x sin x)′ ⋅ ln x + 7 x sin x ⋅ (ln x)′ = =

c) h(x) = 7 x ⋅ sin x ⋅ ln x g′(x) = (3 x2)′ ex + 3 x2 (ex)′ = 6 x ex + 3 x2 ex = 3 x ex (2 + x)

m ′(x) =

3

2

3

2

3 sin x 2 cos x

Imposem que els pendents de les rectes tangents a x = 1 i a x = 3 valguin 4 i 8, respectivament:

2 33 x2

(1 − x )

2

3

a=1 4 = f ′(1) = 2 a + b 4 = 2a + b ⎫ ⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ b=2 8 = f ′(3) = 6 a + b ⎭ 8 = 6 a + b⎭

=

2 3 3 x2 − 6 x + 3 x 3 x

Per tant:

f (x) = x2 + 2 x + 3

e) j(x) = e2x · cos3 2 x a)

f (x) =

x2

+

1

=

x 5

11. Calculem f ′:

j′(x) = (e2 x ) ⋅ cos3 2 x + e2 x ⋅ (cos3 2 x)′ =

f (x) =

= 2 e2 x ⋅ cos3 2 x + e2 x ⋅ 3 cos2 2 x ⋅ 2 ⋅ sin x = 2 e2 x ⋅ cos3 2 x + 6 ⋅ e2 cos2 2 x ⋅ sin x =

x−5 x2 − 9

x 2 − 9 − 2 x (x − 5)

⇒ f ′ (x) =

= 2 e2 x ⋅ cos2 2 x(cos 2 x + 3 sin x) = f) k(x) = (1 + sin 2 x + sin2 x)4

(x 2 − 9)2

⇒ =

− x 2 + 10 x − 9 Propostes d’avaluació

(2 + m)2

= −1

m2 − 2

I ′(x) =

3

3

+

cos4 x 3 sin x

cos x −

2

(

sin2 x

cos4 x 3

)′ + ⎛⎜⎝ cos1 x ⎞⎟⎠

b) g(x) = 3 x2 ⋅ ex h) m(x) =

−2 1 x 3 − 10 ⎛ 1 ⎞′ ⎛ x ⎞′ f ′(x) = ⎜ 2 ⎟ + ⎜ ⎟ = 3 + = ⎝x ⎠ ⎝ 5⎠ 5 x 5 x3 9.

=

−4 ± 16 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 m= = −1 4

=

m2 − 2 = −(m2 + 4m + m) ⇒ 2m2 + 4m + 4 = 0 Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui −1 és:

(x 2 − 9)2

Cerquem els zeros de f ′:

k ′(x) = 4 ⋅ (1 + sin 2 x + sin2 x)3 ⋅ (cos 2 x ⋅ 2 +

⎧1 f ′ (x) = 0 ⇔ − x 2 + 10 x − 9 = 0 ⇔ x = ⎨ ⎩9

+ 2 sin x cos x) = 8 ⋅ (1 + sin 2 x + sin2 x)3 ⋅ ⋅ (cos 2 x + sin x cos x)

Així doncs: f ′(1) =

sin2 x +

( − sin x) =

3

′

cos3 x 1

(1 − coss 2 x)2 − 4 sin 2 x (1 − cos 2 x)2 −2 sin 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x − 2 sin 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x (1 − cos 2 x)2 −2 sin 2 x ⋅ (1 − cos 2 x) − (1 + cos 2 x) ⋅ (2 sin 2 x)

=

=

(1 − cos 2 x)2 (1 + cos 2 x)′ ⋅ (1 − cos 2 x) − (1 + cos 2 x) ⋅ (1 − cos 2 x)′

g) l(x) =

=

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x

247

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:27

Página 247

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 248

248 f ′′(x) =

−24 ⋅ (x + 9) (x + 9)4

=

−24 (x + 9)3

En x = 0: f ′(0) =

g(x) = (2 x 2 + 5)3

x+3

i(x) =

f ′′(0) =

12 >0 81 −24 93

⇒

0 −1

f ′′(−10) =

12 = 12 > 0 1

f ′(−10) =

⇒

Creixent

⇒

Convexa

b) Calculem la primera i la segona derivada de la funx 2 ció f (x) = e ⋅ (2 x + x − 8) en x = 0 i x = 2.

f ′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 5 x − 7) 1

− 1 = (x + 3) 2 2

f ′′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 5 x − 7) + e x ⋅ (4 x + 5)

3

f ′′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 9 x − 2) En x = 0: f ′(0) = e0 ⋅ (−7) = −7 < 0

j(x) = 5 sin t 2

⇒ Decreixent

f ′′(0) = e0 ⋅ (−2) = −2 < 0

⇒ Còncava

En x = 2: f ′(2) = e2 ⋅ 11 = 11 > 0

k(x) = 3 x ln(x + 2) 1 k ′(x) = 3 ln(x + 2) + 3 x ⋅ x+2 3(x + 2) − 3 x 3 k ′′(x) = + x+2 ( x + 2)2 3 x + 12 3 6 + + x + 2 (x + 2)2 (x + 2)2

⇒ Creixent

f ′′(2) = e2 ⋅ 24 = 24 > 0 2.

⇒ Convexa

a) Igualem a 0 la primera derivada de la funció f (x) = x 4 − 8 x 2 + 3 : f ′(x) = 4 x 3 − 16 x = 0

=

x(4 x 2 − 16) = 0 x = 0; x = 2; x = −2 Per distingir màxims i mínims analitzem la segona derivada:

UNITAT 11 - APLICACIONS DE LES DERIVADES

f ′′(x) = 12 x 2 − 16

a) Calculem la primera i la segona derivada de la funAixí doncs:

x−3 en x = 0 i x = −10. x+9

Propostes d’avaluació

12. a)

2 x3 2 x f (x) = + +x+5 6 4 3 x2 4 x x2 f ′(x) = + +1 = + x +1 6 4 2 2x +1 = x +1 2

f ′′(x) =

b)

g ′(x) = 3(2 x 2 + 5)2 ⋅ (4 x) = 12 x(2 x 2 + 5)2 g ′′(x) = 12(2 x 2 + 5)2 + 12 x ⋅ 2(2 x 2 + 5) ⋅ (4 x) = 12(2 x 2 + 5) ⋅ (10 x 2 + 5)

c)

5 x2 + 1 h(x) = x 10 x ⋅ x − (5 x 2 + 1) 5 x 2 − 1 h ′(x) = = x2 x2 10 x ⋅ x 2 − (5 x 2 − 1) ⋅ 2 x 2 = 3 x4 x

h ′′(x) =

f ′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + x − 8) + e x ⋅ (4 x + 1) d)

1

i ′(x) =

2 x+3

− 1 −1 −1 i ′′(x) = ⋅ ⋅ (x + 3) 2 = 2 2 4 (x + 3)2

e)

j′(x) = 5 cos t 2 ⋅ (2 t ) = 10 t cos t 2 j′′(x) = 10 cos t 2 + 10 t (− sin t 2 ) 2 t = 10 cos t 2 + 20 t 2 sin t 2 f)

⇒ Còncava Convexa

1.

En x = −2, f ′′(−2) = 32 > 0 ⇒ Mínim relatiu En x = 2, f ′′(2) = 32 > 0 ⇒ Mínim relatiu f ′′(0) = e0 ⋅ (−2) = −2 < 0

⇒

Creixent

⇒

Còncava

ció f (x) =

12

a) Igualem a 0 la primera derivada de la funció f (x) = x 4 − 8 x 2 + 3 : ⇒ Decreixent

⇒

En x = 0, f ′′(0) = −16 < 0 ⇒ Màxim relatiu En x = 2, f ′′(2) = 32 > 0 ⇒ Mínim relatiu

12

(x + 9)2 2.

⇒ Convexa ⇒ Creixent

f ′(0) = e0 ⋅ (−7) = −7 < 0

f ′′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 5 x − 7) + e x ⋅ (4 x + 5)

1

0 −1

93 −24

=

=

f ′′(−10) = f ′′(0) =

Creixent

En x = −2, f ′′(−2) = 32 > 0 ⇒ Mínim relatiu

=

(x + 9)2

1

b) Calculem la primera i la segona derivada de la funx 2 ció f (x) = e ⋅ (2 x + x − 8) en x = 0 i x = 2.

5x −1 2

12 = 12 > 0 1

En x = −10:

2

⇒

−24 ⋅ (x + 9)

(x + 9) − (x − 3)

(x + 9)2 (x + 9) − (x − 3)

x−3 en x = 0 i x = −10. x+9

i ′(x) =

f ′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 5 x − 7)

5x +1 x 10 x ⋅ x − (5 x 2 + 1)

2

12 >0 81

En x = 0: (x + 9)4

f ′′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) =

ció f (x) =

a) Calculem la primera i la segona derivada de la funx+3

h(x) =

2

g(x) = (2 x 2 + 5)3

f ′(0) =

2 x3 2 x + +x+5 6 4 3 x2 4 x x2 f ′(x) = + +1 = + x +1 6 4 2 2x f ′′(x) = +1 = x +1 2

f (x) =

Propostes d’avaluació

1.

UNITAT 11 - APLICACIONS DE LES DERIVADES 3 + x+2

f ′′(2) = e2 ⋅ 24 = 24 > 0 f ′(2) = e2 ⋅ 11 = 11 > 0

2

j(x) = 5 sin t 2

f ′′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + 9 x − 2)

3

2 x+3

i(x) =

Per distingir màxims i mínims analitzem la segona derivada: x(4 x 2 − 16) = 0 x = 0; x = 2; x = −2

(x + 2) 3 x + 12 3 6 = + + x + 2 (x + 2)2 (x + 2)2 k ′′(x) =

1 x+2 3(x + 2) − 3 x

k ′(x) = 3 ln(x + 2) + 3 x ⋅ f)

k(x) = 3 x ln(x + 2)

En x = 2:

= 10 cos t 2 + 20 t 2 sin t 2 j′′(x) = 10 cos t + 10 t (− sin t ) 2 t 2

j′(x) = 5 cos t 2 ⋅ (2 t ) = 10 t cos t 2 e)

En x = 0:

− 1 −1 −1 i ′′(x) = ⋅ ⋅ (x + 3) 2 = 2 2 4 (x + 3)2

d)

f ′(x) = e x ⋅ (2 x 2 + x − 8) + e x ⋅ (4 x + 1) = x2 x2 10 x ⋅ x 2 − (5 x 2 − 1) ⋅ 2 x 2 = 3 h ′′(x) = x4 x h ′(x) =

c)

f ′(−10) =

2

= 12(2 x 2 + 5) ⋅ (10 x 2 + 5) g ′′(x) = 12(2 x 2 + 5)2 + 12 x ⋅ 2(2 x 2 + 5) ⋅ (4 x) g ′(x) = 3(2 x + 5) ⋅ (4 x) = 12 x(2 x + 5) 2

b) 12. a)

(x + 9)3 −24

248

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 248

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 249

249 f (x) =

f ′(x) =

(1 + x 2 )2 Punts de tall: la gràfica talla l’eix OX en (2, 0) i (−1, 0)) i no talla l’eix OY.

−2 x

x3 x −1 2

f ′′(x) =

:

3 x 2(x 2 − 1) − 2 x ⋅ x 3

f ′(x) = da de la funció f (x) =

1 + x2 1

6.

:

Domini: D(f ) =  − {0}

Propostes d’avaluació

b) Igualem a 0 la primera derivada de la funció

x4 − 3 x2

b) Calculem la primera, la segona i la tercera deriva-

(x 2 − 1)2 x = 0;

x4 − 3 x2

=

(x 2 − 1)2

=

(x 2 − 1)2

f ′′′(x) =

= 0 ⇒ x (x − 3) = 0 2

x = − 3;

f (3) = 33 − 9 ⋅ 2 − 12 + b = 0

En x = −6, f ′′′(−6) = −3 ≠ 0 ⇒ punt d’inflexió. En x = 0; f ′′′(0) = 3 ≠ 0 ⇒

Si la funció s’anul·la per a x = 3, aleshores: 6⋅

x2 ⇒ + 3 x = 0 ⇒ x2 + 6 x = 0 2 ⇒ x = 0 ; x = −6

f ′′(x) = 0

=

x = + 3

6 x2 − 2 (1 + x 2 )3 12 x (1 + x 2 )3 − 3 (1 + x 2 )2 ⋅ 2 x ⋅ (6 x 2 − 2) (1 + x 2 )6 (1 + x 2 )4

2 x3 + 6 x (x 2 − 1)3

En x =

3 , f ′′

( )

3 =

2

+6 3

23

f ′(x) = 3 x 2 − 2 ax − 4

3 x2 x2 f ′′(x) = + 3x = + 3x 6 2

Mínim relatiu

2 − 3 ( ) ( 2)

2

En x = − 3 , f ′′ − 3 = Màxim relatiu

3

>0

1 3

;x = −

1 3

⎛ 1 ⎞ 27 ⋅ 3 ⇒ f ′′′ ⎜ = ≠0⇒ 16 ⎝ 3 ⎟⎠ 3

1

⇒ punt d'inflexió En x = −

⇒

27 ⋅ 3 ⎛ 1 ⎞ ⇒ f ′′′ ⎜ − = − ≠0⇒ ⎟ 16 ⎝ 3 3⎠

1

⇒ punt d'inflexió −6 3

0 per tant, en t = 0 tindrem un mínim de la funció. El preu mínim ha estat P(0) = 7 €. Per trobar el màxim, hem d’utilitzar el teorema de Weierstrass que ens diu que els extrems absoluts de P són en x = 0, x = 2 o x = 10:

= −3 7.

–8 –6 –4 –2 –8

Veiem que la funció satisfà el teorema de Bolzano en [−1, 2]. La funció és contínua (perquè és polinòmica) i f(−1) = 45 > 0 i f(2) = −54 < 0 tenen diferent signe. Per tant:

+ +

∃ c ∈ (−1, 2) f (c) = 0

(0, 2) (2, + ∞)

signe de f ′′ + +

x4

∃ c ∈ (x1 , x 2 ) ⊂ (−1, 2) f ′(c) = 0 Veiem que f satisfà les hipòtesis del teorema de Rolle en [x1 < x2]: en l’interval, la funció és contínua i derivable (perquè és una funció polinòmica), i per hipòtesis, f (x1 ) = f (x 2 ) = 0 . Aleshores, es complirà que: Suposem que existeixen dues arrels de f en l’interval (−1, 2), x1 < x2. 8.

Amb la qual cosa, el preu màxim ha estat de 19 €.

⇒x =2

∃

interval (− ∞, 0) (0, + ∞)

curvatura convexa convexa =

monotonia creixent decreixent creixent =0

0

2 4 6

Amb totes les dades anteriors, la representació gràfica de la funció quedaria:

signe de f ′′ + + x6

24

Determinem el valor de c: signe de f′ + − + x3 x3 − 8

x

x→∞

2

−3 x 2 + 4

2t = 0

Té una asímptota obliqua: y = x − 3: signe − +

Propostes d’avaluació

Amb totes les dades anteriors, la representació gràfica de la funció quedaria: interval (− ∞, 0) (0, + ∞)

No té punt d’inflexió perquè f ′′(x) = 0 no té solució. Considerem els intervals que determina el punt de discontinuïtat x = 0 f ′′(x) =

(3 x 2 ) x 3 − 3 x 2 (x 3 − 8)

Intervals de curvatura i punts d’inflexió: calculem la derivada segona i obtenim els valors per als quals aquesta s’iguala a 0: La funció té un mínim relatiu en x = 2. interval (− ∞, 0) (0, 2) (2, + ∞)

Monotonia de la funció en els intervals determinats per x = 2 i el punt de discontinuïtat x = 0: f ′(x) =

Intervals de monotonia i extrems relatius: calculem la derivada i obtenim els valors per als quals aquesta s’iguala a 0: x→∞

b = lim [f (x) − ax] = lim

x3 − 3 x 2 + 4 f (x) = lim =1 x→∞ x x→∞ x3

a = lim

⎧2 t P ′(t ) = ⎨ ⎩1

x→0

No té asímptotes verticals perquè lim f (x) = ∞ . x→0

Simetria i periodicitat: com que f (− x) ≠ f (x) i f (− x) ≠ f (x) la funció no és simètrica ni tampoc no és periòdica. La recta x = 0 és una asímptota vertical, perquè lim f (x) = ∞ . interval (− ∞, −1) (−1, 0)

8

Signe de la funció en els intervals que determinen els punts de tall i el domini:

Y

250

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 250

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 251

1 −1 , f ′ (1) = 2 4

f (1) =

1 −1 b) f (x) = per a x > 0 i f ′(x) = per x +1 (x + 1)2 a x > 0, d’on:

C ( /h ) = kx 2 € 12. Sigui x la velocitat buscada. El cost del combustible per hora (C(€/h)) el podem expressar de la manera següent, en què k és una constant.

Com que f ′(0−) ≠ f ′(0+), f(x) no és derivable en x = 0. f ′(0− ) = −2 e−0 = −2 , f ′(0+ ) =

(0 + 1)2 −1

9. Sigui x l’increment del preu d’aquest article. La funció que s’ha de maximitzar és la funció d’ingressos totals (IT) que és igual al producte del preu (p) per la quantitat (q). Un cop s’ha aplicat l’increment, el preu serà:

La recta tangent a la gràfica de f a x = 1 serà una ⎛ 1⎞ 1 recta de pendent − que passa per ⎝⎜ 1, 2 ⎠⎟ : 4 y−

1 1 = − (x − 1) ⇔ −4 y + 2 = x − 1 ⇔ 2 4 ⇔ x+4y−3=0

11. Calculem primerament les seves derivades fins a l’ordre tres:

p = 50 + x

f (x) = x3 − 3 x ; f′(x) = 3 x2 − 3 f ″(x) = 6 x ; f (x) = 6

I la quantitat: q = 40 000 − 200 x

En els punts d’inflexió s’anul·la la derivada segona i no la tercera:

La funció a optimitzar serà:

0=6x ⇒ x=0

⎧ −2 e−2 x si x < 0 ⎪ f ′ ( x ) = ⎨ −1 si x > 0 ⎪ 2 ⎩(x + 1)

IT = (50 + x)(40 000 − 200 x)

f (0) = 6 ≠ 0 Per tant, a x = 0 hi ha un punt d’inflexió.

IT = −200 x 2 + 30 000 x + 2 000 000

En els punts de màxim i mínim relatius s’anul·la la derivada primera i no la segona:

– 3

–1

3

1

X f

2

Y

Per tant, f és contínua en x = 0.

IT ′ = −400 x + 30 000 = 0 30 000 x = = 75 400

La gràfica de la funció té la forma que s’indica en la figura següent:

x→0

⇒ lim f (x) = 1 = f (0) lim f (x) = e−0

–1 1

Calculem f ′ en (− ∞, 0)  (0, + ∞):

Calculem la derivada i la igualem a 0:

x → 0−

–2

= −1

A partir d’aquest càlcul resulta evident que:

Propostes d’avaluació

251 Així doncs, la funció té una única arrel en l’interval (−1, 2).

0 = 3 x2 − 3 ⇒ x =

f ″(−1) = −6 < 0 i f ″(1) = 6 > 0

S’haurà d’incrementar el preu 75 € per a maximitzar l’ingrés. Aleshores, el preu serà de 125 €, preu al qual es demanden 25 000 unitats, i s’obté un ingrés de 3 125 000 €.

Per tant, en x = −1 hi ha un màxim relatiu i en x = 1 hi ha un mínim relatiu. Els intervals de convexitat corresponen a punts en els quals f ″(x) > 0 i els de concavitat a punts en els quals f ″(x) < 0. Aleshores, en l’interval (− ∞, 0) la funció és còncava i en (0, + ∞) és convexa.

10. a) Calculem el límit: lim f (x) = e−0 = 1, lim f (x) =

0 = x 3 − 3 x = x (x 2 − 3) ⇒ x = 0,

1 = 1, lim f (x) = =1⇒ x→0 0+1 +

3, − 3

Tenint en compte, a més, que les arrels corresponen a les solucions de: Aleshores, en l’interval (− ∞, 0) la funció és còncava i en (0, + ∞) és convexa.

10. a) Calculem el límit: S’haurà d’incrementar el preu 75 € per a maximitzar l’ingrés. Aleshores, el preu serà de 125 €, preu al qual es demanden 25 000 unitats, i s’obté un ingrés de 3 125 000 €.

x → 0−

1 = ±1

x → 0+

1 =1⇒ 0+1

Tenint en compte, a més, que les arrels corresponen a les solucions de: 0 = x 3 − 3 x = x (x 2 − 3) ⇒ x = 0,

IT ′ = −400 x + 30 000 = 0 30 000 = 75 400 x =

⇒ lim f (x) = 1 = f (0) x→0

3, − 3

La gràfica de la funció té la forma que s’indica en la figura següent:

Per tant, f és contínua en x = 0.

Y

Calculem f ′ en (− ∞, 0)  (0, + ∞):

2

⎧ −2 e si x < 0 ⎪ f ′ ( x ) = ⎨ −1 si x > 0 ⎪ 2 ⎩(x + 1) −2 x

f 1

Els intervals de convexitat corresponen a punts en els quals f ″(x) > 0 i els de concavitat a punts en els quals f ″(x) < 0. Per tant, en x = −1 hi ha un màxim relatiu i en x = 1 hi ha un mínim relatiu. f ″(−1) = −6 < 0 i f ″(1) = 6 > 0 0 = 3 x2 − 3 ⇒ x =

Calculem la derivada i la igualem a 0:

1 = ±1

En els punts de màxim i mínim relatius s’anul·la la derivada primera i no la segona:

IT = −200 x 2 + 30 000 x + 2 000 000

Per tant, a x = 0 hi ha un punt d’inflexió. f (0) = 6 ≠ 0

IT = (50 + x)(40 000 − 200 x)

0=6x ⇒ x=0

La funció a optimitzar serà:

A partir d’aquest càlcul resulta evident que: f ′(0− ) = −2 e−0 = −2 , f ′(0+ ) =

−1 (0 + 1)2

= −1

Com que f ′(0−) ≠ f ′(0+), f(x) no és derivable en x = 0.

1 −1 f (1) = , f ′ (1) = 2 4

–1

1

3

X

–1

–2

12. Sigui x la velocitat buscada. El cost del combustible per hora (C(€/h)) el podem expressar de la manera següent, en què k és una constant. C ( /h ) = kx 2 €

Propostes d’avaluació

1 −1 per a x > 0 i f ′(x) = per x +1 (x + 1)2 a x > 0, d’on:

b) f (x) =

– 3

En els punts d’inflexió s’anul·la la derivada segona i no la tercera:

q = 40 000 − 200 x

f ″(x) = 6 x ; f (x) = 6

I la quantitat:

f (x) = x3 − 3 x ; f′(x) = 3 x2 − 3

p = 50 + x Un cop s’ha aplicat l’increment, el preu serà: 9. Sigui x l’increment del preu d’aquest article. La funció que s’ha de maximitzar és la funció d’ingressos totals (IT) que és igual al producte del preu (p) per la quantitat (q). Així doncs, la funció té una única arrel en l’interval (−1, 2).

11. Calculem primerament les seves derivades fins a l’ordre tres: ⇔ x+4y−3=0 La recta tangent a la gràfica de f a x = 1 serà una ⎛ 1⎞ 1 recta de pendent − que passa per ⎝⎜ 1, 2 ⎠⎟ : 4 1 1 y − = − (x − 1) ⇔ −4 y + 2 = x − 1 ⇔ 2 4

251

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 251 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 252

252 A 40 km/h el cost és de 16 €, per la qual cosa: 16 = 0, 01 1600

0, 01 x 2 + 36 C( /h) € = x velocitat

x ⋅ 0, 02 x − (0, 01 x 2 + 36) x2

=

0, 01 x 2 − 36

14. A partir de la funció de demanda podem expressar el preu d’una caldera en funció de la quantitat demandada: p = 7 200 − 2 x El benefici de l’empresa (B), que és la nostra funció objectiu que s’ha de maximitzar, serà la diferència entre els ingressos (IT) i els costos (CT), en què: IT = p ⋅ x = (7 200 − 2 x) ⋅ x = 7 200 x − 2 x 2 ⎛ x2 ⎞ B = IT − CT = 7 200 x − 2 x 2 − ⎜ 3 800 000 + 4 ⎠⎟ ⎝ B=

−9 x 2 + 7 200 x − 3 800 000 4

Realitzem la derivada de la funció i igualem a 0:

30 t

−18 x B′ = + 7 200 = 0 4 x = 1600

⇒

⇒

p = 7 200 − 3 200 = 4 000 L’empresa maximitzaria el seu benefici fabricant 1600 calderes que podria vendre a 4000 € cadascuna. Aleshores, el benefici seria:

UNITAT 12 - INTEGRALS I APLICACIONS

42 − 2 ⋅ 4 + 4

(t 2 − 2 t + 4)2

30 t

=

=

120 = 10 12

1.

=

a)

b)

−30 t 2 + 120 (t 2 − 2 t + 4)2

∫

∫

π

5

0

=0

π

x x+4

dx

Per calcular la integral definida fem el canvi de vax+4

x+4 ⇒

⎧ x = u2 − 4 ⎪ ⇒ 1 1 ⎨ dx = dx ⇒ dx = 2 u du ⎪du = 2u 2 x+4 ⎩

⇒

t2 − 2 t + 4

=

60 = 15 4

Substituint en la integral inicial i calculant la integral en la variable u, tenim: dx =

∫

u2 − 4 2 u du = u

Propostes d’avaluació

16 = k ⋅ 402 ⇒ k =

Podem definir el cost per quilòmetre (C(€/km)), doncs, de la manera següent: C(€/km) =

Derivem la funció respecte de x i tenim: C ′ (€/km ) = =

x2

Igualem la derivada a 0 per trobar el valor òptim i ens queda: 0, 01 x 2 − 36 = 0 ⇒ 0, 01 x 2 − 36 = 0 x2 ⇒ 0, 01 x 2 = 36 ⇒ x = 3 600 = 60

Per tant, la velocitat a la qual el consum per quilòmetre és menor serà 60 km/h.

B = IT − CT = 6 400 000 − 4 440 000 B = 1960 000

13. a) Per calcular el nombre de visitants que aniran a l’exposició durant la quarta setmana simplement busquem la imatge de la funció quan t = 4: f (t ) =

t2 − 2 t + 4 30 ⋅ 4

⇒ f (2) =

Per tant, durant la quarta setmana visitaran l’exposició 1 000 persones.

30 (t 2 − 2 t + 4) − 30 t(2 t − 2) (t 2 − 2 t + 4)2

30 t 2 − 60 t + 120 − 60 t 2 + 60 t

⎡1 ⎤4 4 cos 2 x dx = ⎢ sin 2 x ⎥ = 0 ⎣2 ⎦0 1 ⎛ π⎞ 1 = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − sin 2 ⋅ 0 = ⎝ ⎠ 2 2 4 1 1 1 π 1 sin − sin 0 = (1 − 0) = 2 2 2 2 2

=

b) Calculem la primera derivada de la funció i igualem a 0: f ′(t) = =

riable u =

−30 t 2 + 120 = 0 ⇒ t = 2

u =

El major nombre de visitants anirà a l’exposició durant la segona setmana. f (t ) =

∫

u2 − 4 2 u du = u

30 ⋅ 2

x+4

dx = dx

⇒ f (2) =

∫

x

Substituint en la integral inicial i calculant la integral en la variable u, tenim: x+4 ⇒ x+4

Per calcular la integral definida fem el canvi de vax

22 − 2 ⋅ 2 + 4

=0

x+4

x

60 = 15 4

(t 2 − 2 t + 4)2 −30 t + 120

5

x+4

= =

∫

π

−9 x 2 + 7 200 x − 3 800 000 4

∫

30 ⋅ 2 ⇒

2

2

∫

0

b)

=

a)

⎡1 ⎤4 cos 2 x dx = ⎢ sin 2 x ⎥ = 0 ⎣2 ⎦0 1 ⎛ π⎞ 1 = sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ − sin 2 ⋅ 0 = ⎝ 4⎠ 2 2 1 1 1 π 1 = sin − sin 0 = (1 − 0) = 2 2 2 2 2 π 4

UNITAT 12 - INTEGRALS I APLICACIONS

30 t

B=

=

IT = p ⋅ x = (7 200 − 2 x) ⋅ x = 7 200 x − 2 x 2

Aleshores, durant la segona setmana visitaran l’exposició 1 500 persones.

22 − 2 ⋅ 2 + 4

t2 − 2 t + 4

⎧ x = u2 − 4 ⎪ ⇒⎨ 1 1 dx = dx ⇒ dx = 2 u du ⎪du = u 2 2 x+4 ⎩ u =

riable u =

(t − 2 t + 4) 2

30 t − 60 t + 120 − 60 t + 60 t 2

(t 2 − 2 t + 4)2 30 (t 2 − 2 t + 4) − 30 t(2 t − 2)

1.

2

B = IT − CT = 6 400 000 − 4 440 000 B = 1960 000 p = 7 200 − 3 200 = 4 000

⇒

Realitzem la derivada de la funció i igualem a 0:

0, 01 x 2 − 36 x2 x ⋅ 0, 02 x − (0, 01 x 2 + 36) 0, 01 x 2 + 36 C(€/h) = x velocitat 16 = 0, 01 1600

Propostes d’avaluació

Aleshores, durant la segona setmana visitaran l’exposició 1 500 persones. ⇒ f (2) = f (t ) =

30 t

El major nombre de visitants anirà a l’exposició durant la segona setmana. −30 t + 120 = 0 ⇒ t = 2 2

=

2

f ′(t) =

b) Calculem la primera derivada de la funció i igualem a 0: Per tant, durant la quarta setmana visitaran l’exposició 1 000 persones. ⇒ t − 2t + 4 30 ⋅ 4 120 ⇒ f (2) = 2 = = 10 12 4 − 2⋅4 + 4 f (t ) =

13. a) Per calcular el nombre de visitants que aniran a l’exposició durant la quarta setmana simplement busquem la imatge de la funció quan t = 4:

L’empresa maximitzaria el seu benefici fabricant 1600 calderes que podria vendre a 4000 € cadascuna. Aleshores, el benefici seria:

Per tant, la velocitat a la qual el consum per quilòmetre és menor serà 60 km/h. = 0 ⇒ 0, 01 x 2 − 36 = 0 x2 ⇒ 0, 01 x 2 = 36 ⇒ x = 3 600 = 60 0, 01 x 2 − 36

−18 x + 7 200 = 0 4 x = 1600

B′ =

Igualem la derivada a 0 per trobar el valor òptim i ens queda: x2

=

C ′ (€/km ) =

⎛ x2 ⎞ B = IT − CT = 7 200 x − 2 x 2 − ⎜ 3 800 000 + 4 ⎟⎠ ⎝

Derivem la funció respecte de x i tenim: C(€/km) =

El benefici de l’empresa (B), que és la nostra funció objectiu que s’ha de maximitzar, serà la diferència entre els ingressos (IT) i els costos (CT), en què:

Podem definir el cost per quilòmetre (C(€/km)), doncs, de la manera següent: 16 = k ⋅ 402 ⇒ k =

14. A partir de la funció de demanda podem expressar el preu d’una caldera en funció de la quantitat demandada: p = 7 200 − 2 x

A 40 km/h el cost és de 16 €, per la qual cosa:

252

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 252

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 253

253 =

∫−3 − x dx + ∫0 (x 0

2

2

+ 1) dx

2 ⋅3 ln 3

Calculem la integral indefinida de les funcions que defineixen f:

Desfent el canvi de variable, obtenim que:

∫

∫−3 f(x)dx = ∫−3 f(x) dx + ∫0 f(x) dx = 2

0

Apliquem la propietat corresponent i obtenim:

x x+4

2

dx =

(

)

3

x+4

∫ − x dx =

−8 x+4 +C

3

∫ (x

Considerem la primitiva que resulta en fer C = 0: d)

e)

⎪⎧ − x si x ≤ 0 f (x) = ⎨ 2 ⎩⎪ x + 1 si x > 0

∫−3 f(x)dx en què 2

∫

F(x) =

=

2

(

x+4

)

−8 x+4

3

∫

⎡2 dx = ⎢⎢ x+4 ⎢⎣

5

x

∫ −2 ( x

0

(

2

3

d)

⎡ x4 ⎤ + 1) dx = ⎢ + x⎥ = ⎣ 4 ⎦ −2 2

c)

x+4

)

3

3

3

+ 1) dx =

∫x

3

dx + ∫ dx =

x4 +x+C 4

2.

4

x +x 4

x4 +x 4

b)

Considerem la primitiva que resulta en considerar C = 0:

∫ (x

3

+ 1) dx =

∫x

3

dx + ∫ dx =

x4 +x+C 4

Calculem la integral definida: c)

∫ −2 ( x 2

3

∫

+ 1) dx

x+4

0

x

5

b)

∫

1

c)

∫ (x + 1) dx = ∫ (x =

d)

⎪⎧ − x si x ≤ 0 f (x) = ⎨ 2 ⎩⎪ x + 1 si x > 0

f (x)dx = 0

0

∫ −3

f (x) dx + 2

∫−3 − x dx + ∫0 (x

2

2

∫0

f (x) dx =

+ 1) dx

6

dx =

x

∫x

−

1 6 dx

1 − +1 6

1 − +1 6

+C =

66 5 x +C 5

+ 2 x + 1) dx =

x3 + x2 + x + C 3

∫ sin

∫

2

=

x

4

x cos x dx =

(sin x)4 + 1 +C = 4 +1

(sin x)5 +C 5 3 x

2∫ 3

x x

2 ⋅3 ln 3

1 ⋅ ⋅ 2 dx = x 2 ⎞ ⎛3 x 1 ⋅ + C⎟ = dx = 2 ⎜ 2 x ⎠ ⎝ ln 3 dx =

x

+C

∫3

x

⋅

1

Propostes d’avaluació

⎡2 dx = ⎢⎢ ⎢⎣

⎤ 14 ⎥ −8 x+4 = ⎥ 3 ⎥⎦ 0

3

(

x+4

)

3

x+4 x

(sin x)5 +C 5 4

x cos x dx =

x3 + x2 + x + C 3

∫ (x + 1) dx = ∫ (x 2

∫

(sin x)4 + 1 +C = 4 +1

6

∫x

x 1

dx =

dx =

−1

∫x

2

+ 2 x + 1) dx = −

−

1 6 dx

=

x

3 2

(

x+4

)

dx =

−8 x+4

x+4

)

−8 x+4 +C

3

Desfent el canvi de variable, obtenim que: = ∫ (2 u 2 − 8) du =

1 − +1 6

+C =

66 5 x +C 5

1

2

∫−3 f(x)dx = ∫−3 − x dx + ∫0 (x 2

0

2

2

+ 1) dx =

Determinem la integral definida aplicant la regla de Barrow: F2(x) = F1(x) =

x3 +x 3 − x2 2

Considerem la primitiva de cadascuna, que resulta en fer C1 = 0 i C2 = 0 :

3

3 2(

1 +1 6

∫ x dx = ln x + C

5

Considerem la primitiva que resulta en fer C = 0:

∫

a)

2 x

0

Calculem la integral definida a partir de la regla de Barrow:

Apliquem la propietat corresponent i obtenim:

e)

dx =

2

=

F(x) =

2.

⋅

⎡ − x2 ⎤ ⎡ x3 ⎤ 9 14 55 = ⎢ + x⎥ = + = ⎥ +⎢ 2 3 6 ⎣ 2 ⎦ −3 ⎣ 3 ⎦0

Nota: També es pot obtenir aquest resultat aplicant la regla de Barrow a la integral que resulta després de substituir x per u.

⎛ 24 ⎞ ⎛ (−2)4 ⎞ =⎜ + 2⎟ − ⎜ + (−2)⎟ = 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

−1

2

2

+ 1) dx =

∫ x dx = ln x + C

∫x

⎡ x4 ⎤ 3 ∫−2 (x + 1)dx = ⎢ 4 + x ⎥ = ⎣ ⎦ −2

∫−3 f(x)dx en què

2

2

a)

2

=

2

⎡ − x2 ⎤ ⎡ x3 ⎤ 9 14 55 = ⎢ + x⎥ = + = ⎥ +⎢ 2 3 2 3 6 ⎣ ⎦ −3 ⎣ ⎦0

Determinem la integral definida mitjançant la regla de Barrow:

∫ −3

0

0

F(x) =

2

x3 +x 3

2

Considerem la primitiva que resulta en considerar C = 0:

d)

F2(x) =

∫−3 f(x)dx = ∫−3 − x dx + ∫0 (x

+ 1) dx

3

− x2 2

Determinem la integral definida aplicant la regla de Barrow:

Calculem la integral definida:

∫ (x

x3 + x + C2 3

F1(x) =

5

⎤ 14 ⎥ − 8 x + 4⎥ = 3 ⎥⎦ 0

F(x) =

x

∫ sin =

Determinem la integral definida mitjançant la regla de Barrow:

2

∫ −2 ( x

+ 1) dx =

Considerem la primitiva de cadascuna, que resulta en fer C1 = 0 i C2 = 0 :

Nota: També es pot obtenir aquest resultat aplicant la regla de Barrow a la integral que resulta després de substituir x per u.

c)

2

− x2 + C1 2

3

Calculem la integral definida a partir de la regla de Barrow:

4 ⎛ 4 ⎞ ⎛ ⎞ ( ) 2 − 2 =⎜ + 2⎟ − ⎜ + (−2)⎟ = 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

+C

3 x 1 1 ⋅ ⋅ 2 dx = dx = ∫ 3 x ⋅ x x 2 ⎞ ⎛3 x 1 + C⎟ = dx = 2 ⎜ ⎠ ⎝ ln 3

2∫ 3

2

x

Propostes d’avaluació

Ara apliquem la regla de Barrow en cadascun dels sumands.

2 u3 − 8u + C 3

= ∫ (2 u 2 − 8) du =

2 u3 − 8u + C 3

∫ (x

2

+ 1) dx =

∫ − x dx =

x3 + x + C2 3 − x2 + C1 2

Calculem la integral indefinida de les funcions que defineixen f: Ara apliquem la regla de Barrow en cadascun dels sumands.

253

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 253 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 254

254 4

x3 + 2 + 8 x + 1)2

Aleshores: dx =

4 (x 4 + 8 x + 1)

2x x

⎛ 2⎞

1 + ln x = t 2 ⇒

+C

x

dx = ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎝ 5⎠

1

⎛ 2⎞ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ +C 2 5

dx = 2 tdt x

Substituint en la integral:

∫

1 + ln x dx = x

∫

t 2 2 tdt

Calculem la nova integral:

∫t

2tdt = 2 ∫ t 2tdt =

2 3 t +C 3

1 + ln x 2 (1 + ln x)3 + C dx = x 3

∫

ln

c) Substituïm la variable x per t. Per la qual cosa efectuem el canvi de variable sin x = t Aleshores: cos xdx = dt Substituint en la integral:

∫ cos x ⋅ sin x dx = ∫ t 3

a) Substituïm la variable x per t, per la qual cosa efectuem el canvi de variable:

3

dt

Calculem la nova integral:

∫t

x−2 = t

3

dt =

t4 +C 4

Desfem el canvi de variable:

Aleshores:

∫ cos x ⋅ sin x dx = 3

x − 2 = t 2 ⇒ dx = 2 tdt ⇒ x = 2 + t2 5.

Substituint en la integral:

a)

∫ (5 x − 2 e

2

1 4 sin x + C 4

x 2

) dx

Desenvolupem primerament el quadrat de la integral:

x − 2 dx = ∫ (2 + t 2 ) ⋅ t ⋅ 2 tdt

∫ (5 x − 2 e

Calculem la nova integral: ) ⋅ t ⋅ 2 tdt =

∫ (4 t

+ 2 t 4 ) dt =

) dx = ∫ (25 x 2 − 20 xe x + 4 e2 x ) dx

x 2

Per tant, realitzant per parts la primitiva, amb el canvi u = x i dv = e xdx, obtenim:

4 3 2 5 t + t +C 3 5

∫ xe

Desfem el canvi de variable: x − 2 dx =

x

dx = x e x − ∫ e x dx = e x (x − 1) + C

D’on la integral inicial serà:

4 2 (x − 2)3 + (x − 2)5 + C 3 5

∫ (5 x − 2 e 25

b) Substituïm la variable x per t.

) dx =

x 2

x3 − 20 e x (x − 1) + 2 e2 x + C 3

Per la qual cosa efectuem el canvi de variable: 2

cos

x dx 2

Propostes d’avaluació

f)

∫ (x

= ∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (x 3 + 2) dx = 1 = ∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (x 3 + 2) ⋅ 4 ⋅ dx = 4 1 = ∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (4 x 3 + 8) dx = 4 4 −2 + 1 1 (x + 8 x + 1) = +C = −2 + 1 4 1

= −

Desfem el canvi de variable:

x

g)

∫5

3. Apliquem el mètode dels trapezis per a n  4 perquè en l’enunciat ens donen 5 valors d’abscisses: ⎛ 1, 05 + 1, 27 + 1, 62 + 2, 14 + 2

∫0 f(x)dx ≈ 0, 25 ⎝⎜

2, 73 ⎞ + = 1, 73 ⇒ A = 1, 73 u 2 2 ⎠⎟

4.

x dx 2

∫x

cos

2

2

dx = x e x − ∫ e x dx = e x (x − 1) + C ) dx

x 2

1 4 sin x + C 4

t4 +C 4 dt

2 3 t +C 3

∫ (2 + t

∫x

x − 20 e x (x − 1) + 2 e2 x + C 3 ) dx =

x 2

D’on la integral inicial serà: x

∫ (5 x − 2 e

dt =

3

1 + ln x 2 (1 + ln x)3 + C dx = x 3 2tdt = 2 ∫ t 2tdt =

Calculem la nova integral:

=

b)

25

∫ (5 x − 2 e

4 2 (x − 2)3 + (x − 2)5 + C 3 5

∫ xe

Per tant, realitzant per parts la primitiva, amb el canvi u = x i dv = e xdx, obtenim:

) ⋅ t ⋅ 2 tdt = ∫ (4 t 2 + 2 t 4 ) dt =

) dx = ∫ (25 x 2 − 20 xe x + 4 e2 x ) dx

x 2

Desenvolupem primerament el quadrat de la integral: a)

3

Calculem la nova integral: 3

Substituint en la integral:

∫

t 2 2 tdt

1 + ln x dx = x

Substituint en la integral: dx = 2 tdt x

∫x

∫

∫

∫

1 dx = 4

1 + ln x = t 2 ⇒

b)

dx =

+ 8 x + 1)2

dx =

1 + ln x = t

x

2x 4

∫x

x − 2 dx = 2

x − 2 dx = ∫ (2 + t 2 ) ⋅ t ⋅ 2 tdt 5.

3

Desfem el canvi de variable:

∫t

a) Substituïm la variable x per t, per la qual cosa efectuem el canvi de variable:

∫ cos x ⋅ sin x dx = ∫ t

2, 73 ⎞ = 1, 73 ⇒ A = 1, 73 u 2 2 ⎟⎠ 1

∫5

Desfem el canvi de variable:

x

∫ (x

x3 + 2

Propostes d’avaluació

1 + ln x = t Per la qual cosa efectuem el canvi de variable: b) Substituïm la variable x per t.

3

∫x

Desfem el canvi de variable: 4 2 = t3 + t 5 + C 3 5

∫ (2 + t

∫ (5 x − 2 e

Calculem la nova integral:

∫x

Substituint en la integral: ⇒ x = 2 + t2

∫ cos x ⋅ sin x dx =

x − 2 = t 2 ⇒ dx = 2 tdt Aleshores: x−2 = t 4.

+

⎛ 1, 05 + 1, 27 + 1, 62 + 2, 14 + 2

∫0 f(x)dx ≈ 0, 25 ⎜⎝

c) Substituïm la variable x per t. Per la qual cosa efectuem el canvi de variable sin x = t Aleshores: cos xdx = dt

3. Apliquem el mètode dels trapezis per a n  4 perquè en l’enunciat ens donen 5 valors d’abscisses: g)

⎛ 2⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎛ 2⎞ +C ⎜⎝ 5 ⎟⎠ dx = 2 ln 5 x

∫t

1 (x 4 + 8 x + 1)−2 (4 x 3 + 8) dx = 4∫ 4 −2 + 1 1 (x + 8 x + 1) = +C = −2 + 1 4 1 = − +C 4 (x 4 + 8 x + 1) =

= ∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (x 3 + 2) ⋅ 4 ⋅

= ∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (x 3 + 2) dx = f)

Aleshores:

254

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 254

C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 255

255 Apliquem l’expressió

∫ u dv = uv − ∫ v du

u = x ⇒ du = 2 x dx x x dv = cos dx ⇒ v = 2 sin + C 2 2

Considerem la primitiva F(x) que resulta en fer C = 0, i calculem la integral definida mitjançant la regla de Barrow:

u = ln x ⇒ du =

Tenim

∫1 ln x dx = [ x ln x − x ]1 2

x dx = 2 x x = 2 x 2 sin − ∫ 2 x ⋅ 2 sin dx 2 2 x x 2 = 2 x sin − 4 ∫ x sin dx 2 2 2 ∫ x cos

7.

x

∫x

1 dx x

A =

2

+ 3x + 2 4x +2

∫1 ln x dx

∫ x + 1 dx + ∫ x + 2 dx = −2

f (x) = g(x),

A(x + 2) + B (x + 1) (x + 1)(x + 2)

=

Trobem els zeros de f: ln x = 0 ⇔ x = 1

↑ x2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

x2 + 3 x + 2

x3 x3 1 2 ∫ x ln x dx = 3 ln x − 3 ⋅ x dx x3 x2 = dx = ln x − 3 3 x3 1⎞ x3 x3 ⎛ = ln x − = ⎜ ln x − ⎠⎟ 3 9 3 ⎝ 3

4x +2

∫

=

A B + = x +1 x +2

i per calcular la nova integral:

∫

= −

x3 x 2 + −x+ 3 2

∫x

Aplicant el mètode d’integració per parts: = ∫ (− x 2 + x − 1) dx +

1 u = ln x ⇒ du = dx x x3 dv = x 2 dx ⇒ v = +C 3

∫x

=

∫x

0 = (x 2 − x)((x + 1)(x + 2) + 1) = = x(x − 1)(x 2 + 3 x + 3) ⇔ x = 0 o x = 1 Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interessa és:

x x + 4 sin + C 2 2

A =

cos

∫x

2

1

∫0 (f(x) − g(x))dx

∫

x x x x dx = 2 x 2 sin + 8 x cos − 16 sin + C 2 2 2 2

1⎛

Per aplicar la regla de Barrow, calculem la integral indefinida: ln x dx

∫

1 u = ln x ⇒ du = dx x x3 dv = x 2 dx ⇒ v = +C 3

⎛ ⎞ x − x2 2 ⎜⎝ (x + 1)(x + 2) − x + x ⎟⎠ dx = 4x +2

⎛

∫ ⎜⎝ −1 + x

=

2

+ 3x + 2

= ∫ (− x 2 + x − 1) dx +

2

ln x dx

cos

2

⎛

+ 3x + 2

2

∫x

4x +2 2

+ 3x + 2 4x +2

dx

+ 3x + 2 4x +2

dx x =

⎞ − x 2 + x ⎟ dx = ⎠

⎛ ⎞ x − x2 − x 2 + x ⎟ dx = ⎝⎜ (x + 1)(x + 2) ⎠

Per aplicar la regla de Barrow, calculem la integral indefinida: x x x x dx = 2 x 2 sin + 8 x cos − 16 sin + C 2 2 2 2

x3 x3 1 ⋅ dx ln x − 3 3 x x2 dx = ln x − 3 1⎞ x3 x3 ⎛ ln x − = ⎜ ln x − ⎟⎠ 9 3 ⎝ 3

x x x ∫ x sin dx = −2 x cos 2 − ∫ −2 cos 2 dx 2 x x + 4 sin + C 2 2

2 1⎛ ⎞ x − x − (x 2 − x)⎟ dx ⎠ ⎝⎜ (x + 1)(x + 2)

A =

= −2 x cos

x3 3 x3 = 3

∫0 (f(x) − g(x))dx

=

1

Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són contínues en [0, 1], l’àrea que ens interessa és:

u = x ⇒ du = 1dx x x dx ⇒ v = −2 cos + C 2 2

= x(x − 1)(x 2 + 3 x + 3) ⇔ x = 0 o x = 1

dv = sin 6.

= −

∫

2 ∫ x ln x dx =

Fem ara la integral ∫ x sin

∫

0

=

Per tant, la integral que volíem calcular queda com a:

Aplicant el mètode d’integració per parts:

=

=

⎞ x − x2 − (x 2 − x)⎟ dx ⎜ ⎠ 0 ⎝ (x + 1)(x + 2)

=

Utilitzem el canvi

∫x

2

∫ ⎝⎜ −1 + x ∫

Utilitzem el canvi

c)

2

x − x2 = x2 − x (x + 1)(x + 2)

x − x 2 = (x 2 − x)(x + 1)(x + 2)

Per tant, la integral que volíem calcular queda com a:

c)

6

4 x + 2 = ( A + B) x + 2 A + B

2

No existeix cap zero de f en (1, 2), aleshores: 6.

dx =

4 = A + B ⎫⎪ ⎬ ⇒ A = −2, B = 6 2 = 2 A + B ⎭⎪

Per a realitzar aquesta integral utilitzem el canvi:

∫ x sin 2 dx = −2 x cos 2 − ∫ −2 cos 2 dx = −2 x cos

=

Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) = x2 − x (que defineix la paràbola):

u = x ⇒ du = 1dx x x dv = sin dx ⇒ v = −2 cos + C 2 2 x

2

= 2 (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39

x Fem ara la integral ∫ x sin dx amb el canvi 2

x

1 dx = x ln x − x + C x

∫ ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅

2

dv = dx ⇒ v = x

= −2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 + C

Propostes d’avaluació

Utilitzem el canvi

∫

x3 x 2 + −x+ 3 2

4x +2 x + 3x + 2 2

=

2

∫1 ln x dx 1 dx x

∫ u dv = uv −

+ 3x + 2

dx

=

A B + = x +1 x +2

A(x + 2) + B (x + 1) (x + 1)(x + 2)

4 = A + B ⎫⎪ ⎬ ⇒ A = −2, B = 6 2 = 2 A + B ⎭⎪

∫ v du

∫x

4x +2 2

+ 3x + 2

dx =

−2

∫ x + 1 dx + ∫ x + 2 dx = 6

= −2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 + C

Propostes d’avaluació

Apliquem l’expressió

4x +2 2

dx x =

4 x + 2 = ( A + B) x + 2 A + B

Per a realitzar aquesta integral utilitzem el canvi:

dv = dx ⇒ v = x

+ 3x + 2

↑ x2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

No existeix cap zero de f en (1, 2), aleshores:

u = ln x ⇒ du =

∫x

4x +2 2

i per calcular la nova integral:

Trobem els zeros de f: ln x = 0 ⇔ x = 1

A =

∫x

⎞ − x 2 + x ⎟ dx = ⎠

0 = (x 2 − x)((x + 1)(x + 2) + 1) = x − x 2 = (x 2 − x)(x + 1)(x + 2)

x dx amb el canvi 2

x 2 ∫ x cos 2 dx = x x = 2 x 2 sin − 2 x ⋅ 2 sin dx 2 ∫ 2 x x − 4 ∫ x sin dx 2 2 = 2 x 2 sin

f (x) = g(x), 7.

x − x2 = x2 − x (x + 1)(x + 2)

Trobem els punts de tall entre les funcions f i g(x) = x2 − x (que defineix la paràbola): = 2 (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39

∫1 ln x dx = [ x ln x − x ]1 2

Tenim

2

=

Considerem la primitiva F(x) que resulta en fer C = 0, i calculem la integral definida mitjançant la regla de Barrow:

u = x 2 ⇒ du = 2 x dx x x dv = cos dx ⇒ v = 2 sin + C 2 2

∫ ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅

Utilitzem el canvi

1 dx = x ln x − x + C x

255

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 255 C M Y K

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 256

256 Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:

2

2

Expressem el fet que el creixement continu va ser de l’1%: C ′(t ) =

1 C(t ) 100

Operem i tenim que:

1

C ′(t ) 1 = C(t ) 100

∫ C(t) dt = ∫ 100 dt

⇒ A = 0, 21 u 2

ln(C(t )) + k1 =

Imposem la condició que ha de complir f: 2

+ bx + c) dx =

1 t + k2 100 t

ln(C(t )) =

+k 1 t + k 3 ; C(t ) = e100 100

3

A principi d’any, la facturació va ser de 10 milions d’euros, C(0) = 10. Per tant: 0

b

⋅12

= 11, 275

Així, la facturació a finals d’any serà d’11,275 milions d’euros. 11. Considerem el canvi de variable: −t

−t

4 100 e dt 100

Així, tenim: −t

P(t ) =

=

∫

(∫ 4e

0, 8e100

∫ p(t)dt =

−0, 8 dx = x 2 0, 04

∫−x

20 2

−t 100

)

2

dt =

+1

20 +C = x

dx = +C

−t

4 e100 + 1 D’altra banda, sabem que P(0) = 4: P(0) = 4 ⇔

20 +C = 4 ⇔ 4+C = 4 ⇔ C = 0 5 20

Així, P(t ) =

−t

4 e100 + 1 — Si P(0) = 5,5, calculem C:

23 ⋅ 33 = 6

Propostes d’avaluació

1

⎡ x3 x 2 ⎤ A = ⎢− + − x − 2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 ⎥ = 2 ⎣ 3 ⎦0 ⎡ x3 x 2 (x + 1)2 ⎤ − x − ln = ⎢− + ⎥ = 2 (x + 2)6 ⎦0 ⎣ 3 ⎛ 5 22 ⎞ ⎛ 12 ⎞ = ⎜ − − ln 6 ⎟ − ⎜ 0 − ln 6 ⎟ = ⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Considerem la integral indefinida de cadascun dels dos membres de la igualtat, les resolem i agrupem les constants: C ′(t ) 1

5 36 5 27 = − + ln 8 = − + 2 ln = 0, 21 ⇒ 6 6 16 2

8.

2=

∫0 f(x) dx = ∫0 (ax 2

⎡ ax 3 bx 2 ⎤ 8a = ⎢ + + cx ⎥ = + 2b + 2c 2 3 ⎣ 3 ⎦0

C(0) = 10 = k ⋅ e10 = k ; k = 10

0 = f (0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c

Per trobar la facturació a finals d’any, calculem C(12):

4 = f (1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = a + b + c

1

C(12) = 10 ⋅ e100

Resolem el sistema: 8 ⎫ 2 = a + 2 b + 2 c⎪ 3 ⎪ ⎬ ⇒ a = −9, b = 13, c = 0 0=c ⎪ 4 =a+b+c ⎪⎭

x = 4 e100 + 1 ⇒ dx = − 9.

L’àrea A limitada per les gràfiques de les dues funcions f i g entre les abscisses x = a i x = b és: A =

∫a g(x) − f(x) dx

En aquest problema, les funcions que s’han de consi2 2 derar són f (x) = x i g(x) = 2 x i les abscisses són a = 0 i b = k, per tant,

k3 k3 −0 = éssent k > 0 3 3

Perquè aquesta àrea sigui de 72 u2, el valor de k ha de ser:

20

=

k

⎡ x3 ⎤ k k A = ∫ (2 x 2 − x 2 ) dx = ∫ x 2 dx = ⎢ ⎥ = 0 0 ⎣ 3 ⎦0 =

+1 + 1, 5

20

20 +C = x

3

−t 4 e100

+1

20 +1 +C

20

dx =

dt =

k3 ⇒k = 3

P(t ) = Així, la funció P seria:

P(0) = 5,5 ⇔ 4 + C = 5,5 ⇔ C = 1,5 — Si P(0) = 5,5, calculem C: −t 4 e100

20 +C = 4 ⇔ 4+C = 4 ⇔ C = 0 5 −t 4 e100

2

20

)

+1

2

3

t

72 = A =

23 ⋅ 33 = 6

Així, P(t ) = P(0) = 4 ⇔

D’altra banda, sabem que P(0) = 4: = =

∫−x

(

−t 4 e100

= 11, 275

⋅12

+k 1 t + k 3 ; C(t ) = e100 100

P(0) = 5,5 ⇔ 4 + C = 5,5 ⇔ C = 1,5 Així, la funció P seria: 20

3

0 k

−0, 8 dx = x 2 0, 04

∫

−t

ln(C(t )) =

+ bx + c) dx =

+ 1, 5

−t

∫0 2

4 e100 + 1

2

P(t ) =

k3 ⇒k = 3

k3 k3 −0 = éssent k > 0 3 3 − x ) dx = 2

⎡ x3 ⎤ x 2 dx = ⎢ ⎥ ⎣ 3 ⎦

∫

∫ p(t)dt =

0, 8e100

Així, tenim: 4 100 e dt 100 −t

1 0 2

∫

10. Si anomenem C la funció que ens dóna el valor del capital en cada moment, el seu creixement instantani vindrà donat per C ′.

∫0 (2 x

2

k

=

P(t ) =

b

L’àrea A limitada per les gràfiques de les dues funcions f i g entre les abscisses x = a i x = b és:

−t

11. Considerem el canvi de variable: Així, la facturació a finals d’any serà d’11,275 milions d’euros. C(12) = 10 ⋅ e100

Per trobar la facturació a finals d’any, calculem C(12): C(0) = 10 = k ⋅ e10 = k ; k = 10 A principi d’any, la facturació va ser de 10 milions d’euros, C(0) = 10. Per tant:

2

∫0 f(x) dx = ∫0 (ax

1 t + k2 100

ln(C(t )) + k1 =

Imposem la condició que ha de complir f:

∫

5 36 5 27 + ln 8 = − + 2 ln = 0, 21 ⇒ 6 6 16 2

Operem i tenim que:

1

Expressem el fet que el creixement continu va ser de l’1%: 1 C ′(t ) = C(t ) 100

Propostes d’avaluació

10. Si anomenem C la funció que ens dóna el valor del capital en cada moment, el seu creixement instantani vindrà donat per C ′. 72 = A =

Perquè aquesta àrea sigui de 72 u2, el valor de k ha de ser: = A =

k

En aquest problema, les funcions que s’han de consi2 2 derar són f (x) = x i g(x) = 2 x i les abscisses són a = 0 i b = k, per tant,

∫a g(x) − f(x) dx

A = 9.

x = 4 e100 + 1 ⇒ dx = − 8 ⎫ a + 2 b + 2 c⎪ 3 ⎪ ⎬ ⇒ a = −9, b = 13, c = 0 0=c ⎪ 4 =a+b+c ⎪⎭

2=

Resolem el sistema: 4 = f (1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = a + b + c 0 = f (0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c ⎡ ax 3 bx 2 ⎤ 8a = ⎢ + + cx ⎥ = + 2b + 2c 3 2 3 ⎣ ⎦0 2= 8.

⇒ A = 0, 21 u 2 = −

Considerem la integral indefinida de cadascun dels dos membres de la igualtat, les resolem i agrupem les constants: C ′(t ) 1 dt = dt C(t ) 100

⎛ 5 22 ⎞ ⎛ 12 ⎞ = ⎜ − − ln 6 ⎟ − ⎜ 0 − ln 6 ⎟ = ⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠

C ′(t ) 1 = C(t ) 100

⎡ x3 x 2 (x + 1)2 ⎤ − x − ln = ⎢− + ⎥ = 2 (x + 2)6 ⎦0 ⎣ 3 ⎡ x3 x 2 ⎤ A = ⎢− + − x − 2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 ⎥ = 2 ⎣ 3 ⎦0 1

Per tant, d’acord amb la regla de Barrow:

256

9521_Propostes Evaluacio.qxd

2/6/09

12:28

Página 256

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 257

El treball de recerca

257

El treball de recerca en el batxillerat

El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre una qüestió determinada. És aproximadament una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hem de buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta. També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic. En aquest cas no es limita a una mera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació personal de manera rigorosa. Es tracta d’una veritable recerca; això significa que no és un simple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de comprensió de l’estudiant. En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actor que ha de construir i defensar una argumentació pròpia. No es tracta d’arribar a unes conclusions estrictament originals o noves, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç de dissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del treball científic. El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adquirits en les diverses matèries al llarg del Batxillerat. En aquest treball també es posa de manifest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, la recerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc. Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personal amb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic. Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’aquesta mena de treballs.

El treball de recerca

El treball de recerca previst en el Batxillerat consisteix en una petita recerca sobre una qüestió determinada. És aproximadament una pregunta o hipòtesi que cal estudiar i sobre la qual hem de buscar informació, organitzar-la i reelaborar-la per tal de donar-hi resposta. També pot consistir a aprofundir sobre un tema específic. En aquest cas no es limita a una mera transcripció de la informació obtinguda, sinó que caldrà fer-ne una interpretació personal de manera rigorosa. Es tracta d’una veritable recerca; això significa que no és un simple resum o retall bibliogràfic d’uns textos que sovint excedeixen la capacitat de comprensió de l’estudiant. En el treball de recerca l’estudiant no és un simple receptor de coneixement, sinó un actor que ha de construir i defensar una argumentació pròpia. No es tracta d’arribar a unes conclusions estrictament originals o noves, sinó que cal demostrar que s’ha estat capaç de dissenyar i aplicar de manera autònoma tot un seguit de tècniques i mètodes propis del treball científic. El treball de recerca requereix portar a la pràctica tota una sèrie de coneixements adquirits en les diverses matèries al llarg del Batxillerat. En aquest treball també es posa de manifest la maduresa en tota una sèrie d’hàbits i habilitats com l’ordre, el rigor, la iniciativa, la recerca intel·ligent de les fonts, la capacitat de sistematitzar, etc. Així, el treball compagina el coneixement que neix de la curiositat i la iniciativa personal amb l’exigència del rigor metodològic propi del treball intel·lectual i científic. Tot seguit presentem un possible esquema del procés que cal seguir en l’elaboració d’aquesta mena de treballs.

El treball de recerca en el batxillerat

257

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 257 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 258

258 Viabilitat de l’estudi

• Interessos i motivacions personals. • Tema d’actualitat. • Interès del receptor.

Motivació i interès personal

El treball de recerca

EL TREBALL DE RECERCA 1. Tema i hipòtesi del treball

• Existència d’informació i facilitat d’accés. • Amplitud del tema.

• Experiment de laboratori. 1.1. Elecció del tema

Quantitativa (Què és i com funciona) • Control rigorós de les variables. • Propi de les ciències exactes. 2.2. Metodologia

Nivell de concreció

• Recerca bibliogràfica i electrònica. • Entrevistes. • Enquestes. • etc.

• General: una visió genèrica del tema. • Concret: permet d’aprofundir sobre un aspecte puntual del tema.

2.3. Pla de treball. Planificació

• Temporització, seguint cronologia inversa. • Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.). • Previsions realistes.

Qualitativa (Què és i com funciona) • No es controlen les variables. • Propi dels estudis humanístics.

1.2. Objectius del treball • Expressió d’allò que es vol demostrar. • Marca la línia de recerca. • Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.

2.1. Índex provisional

Què és?

• Reflecteix els aspectes fonamentals del treball. • Orienta la recerca d’informació. • Susceptible de ser enriquit, modificat...

1.3. Hipòtesi Com es formula?

• Concreta. • Segons el coneixement previ. • Tenint en compte les variables que intervenen en la recerca.

Com es formula?

• Concreta. • Segons el coneixement previ. • Tenint en compte les variables que intervenen en la recerca.

2. Disseny del treball

2. Disseny del treball Què és?

• Expressió d’allò que es vol demostrar. • Marca la línia de recerca. • Al final cal verificar o refutar la hipòtesi.

1.3. Hipòtesi • Reflecteix els aspectes fonamentals del treball. • Orienta la recerca d’informació. • Susceptible de ser enriquit, modificat...

2.1. Índex provisional

1.2. Objectius del treball

Qualitativa (Què és i com funciona) • No es controlen les variables. • Propi dels estudis humanístics.

• Recerca bibliogràfica i electrònica. • Entrevistes. • Enquestes. • etc.

• General: una visió genèrica del tema. • Concret: permet d’aprofundir sobre un aspecte puntual del tema.

2.2. Metodologia

Nivell de concreció

Quantitativa (Què és i com funciona) • Control rigorós de les variables. • Propi de les ciències exactes.

• Existència d’informació i facilitat d’accés. • Amplitud del tema.

2.3. Pla de treball. Planificació

Viabilitat de l’estudi

El treball de recerca

1.1. Elecció del tema

Motivació i interès personal

• Interessos i motivacions personals. • Tema d’actualitat. • Interès del receptor.

• Experiment de laboratori.

• Temporització, seguint cronologia inversa. • Planificació de les diverses tasques (lloc, data, etc.). • Previsions realistes.

1. Tema i hipòtesi del treball EL TREBALL DE RECERCA

258

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 258

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 259

Arxiu d’informació obtinguda 3.5. Visites i sortides de camp

3.1. Fonts bibliogràfiques • Permeten indagar l’estat de la qüestió amb relació al tema objecte de treball.

Què i com

Fitxes bibliogràfiques

TÍTOL: tema. • Referència de la font: títol, autor, any, editorial, pàgines. • Resum del contingut. • Transcripció de fragments.

Citació de fonts escrites

• COGNOM, nom (any), Títol. Ciutat, Editorial.

Els cercadors

• Google, Yahoo, etc. • Introduir paraula de referència • Afinar la recerca fins a obtenir un nombre reduït d’entrades.

Arxius de documents

• En carpetes i documents ben classificats i referenciats.

Citació de fonts electròniques

• www.referència del web • Data de la consulta.

En treballs de camp 3.4. Experiments En laboratori Altres

3.2. Fonts electròniques (Internet)

Enquestes • Aporten actualitat i experiència.

3.3. Fonts orals

Entrevistes • Experts o persones rellevants.

• Experts o persones rellevants.

• Aporten actualitat i experiència.

3.3. Fonts orals

Entrevistes

Enquestes

Citació de fonts electròniques 3.2. Fonts electròniques (Internet)

• Fitxes. • Fotografia i vídeo. • Fullets, etc.

El treball de recerca

259 3. Recerca, obtenció i selecció d’informació

Altres

En laboratori

• Objectius de la sortida. • Aspectes que cal observar. • Observació sistemàtica. • • • •

Disseny acurat. Control de les variables. Registre sistemàtic. Interpretació rigorosa.

• Objectius. • Selecció de la mostra. • Disseny de l’enquesta: preguntes clarament adreçades a les diverses variables. • Preguntes per a validar la sinceritat de les respostes. • Disseny d’entrevistes. — Objectius de l’enquesta. — Què pregunten? • Enregistrament, transcripció... • www.referència del web • Data de la consulta. • En carpetes i documents ben classificats i referenciats.

Arxius de documents

• Google, Yahoo, etc. • Introduir paraula de referència • Afinar la recerca fins a obtenir un nombre reduït d’entrades.

Els cercadors 3.4. Experiments

En treballs de camp Citació de fonts escrites

• Permeten indagar l’estat de la qüestió amb relació al tema objecte de treball.

Què i com

Arxiu d’informació obtinguda

• Objectius. • Selecció de la mostra. • Disseny de l’enquesta: preguntes clarament adreçades a les diverses variables. • Preguntes per a validar la sinceritat de les respostes. • • • •

Disseny acurat. Control de les variables. Registre sistemàtic. Interpretació rigorosa.

• Objectius de la sortida. • Aspectes que cal observar. • Observació sistemàtica. • Fitxes. • Fotografia i vídeo. • Fullets, etc.

El treball de recerca

3.5. Visites i sortides de camp

• Disseny d’entrevistes. — Objectius de l’enquesta. — Què pregunten? • Enregistrament, transcripció...

3.1. Fonts bibliogràfiques

Fitxes bibliogràfiques

3. Recerca, obtenció i selecció d’informació

• COGNOM, nom (any), Títol. Ciutat, Editorial. TÍTOL: tema. • Referència de la font: títol, autor, any, editorial, pàgines. • Resum del contingut. • Transcripció de fragments.

259

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 259 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 260

260 • Taules de dades.

El treball de recerca

4. Tractament de la informació

• Fitxes estadístiques. Construcció, anàlisi i interpretació. Procés

• Gràfics. Audiovisual

Ordenació i integració de les fitxes. Eines informàtiques (base de dades, Excel)

Presentació Oral Aspectes formals

5. Redacció i presentació del treball Correcció expressiva

Adequació, coherència, cohesió 5.1. Portada Ortografia

Parts del treball 5.2. Índex (capítols, apartats, subapartats)

5.6. Conclusió 5.3. Resum (abstract) 5.5. Desenvolupament 5.4. Introducció 5.4. Introducció 5.5. Desenvolupament 5.3. Resum (abstract) 5.6. Conclusió 5.2. Índex (capítols, apartats, subapartats) Parts del treball

Ortografia 5.1. Portada Correcció expressiva

Adequació, coherència, cohesió 5. Redacció i presentació del treball Aspectes formals

Oral Ordenació i integració de les fitxes. Eines informàtiques (base de dades, Excel)

Presentació Audiovisual • Gràfics. • Taules de dades.

El treball de recerca

Construcció, anàlisi i interpretació. Procés

• Fitxes estadístiques. 4. Tractament de la informació

260

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 260

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 261

5. La Teoria de Jocs aplicada al món real. La Teoria de Jocs és una branca de les matemàtiques que es pot aplicar a l’economia, a la filosofia, a la política i a la nostra vida diària. Ens permet definir estratègies i prendre decisions en situacions d’interacció d’individus (o empreses, o partits, etc.) que comporten costos o beneficis als competidors. — Forma normal i extensiva d’un joc. — Tipus de jocs. Exemples i aplicacions. — El dilema del presoner i l’equilibri de Nash.

El treball de recerca

261 Treball de Recerca de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials Propostes 1. Gauss i la distribució normal. K. F. Gauss va ser un matemàtic, físic i astrònom molt precoç i va oferir importants aportacions en molts àmbits científics. L’alumne/a pot centrar el treball de recerca en els punts següents: — Biografia de Gauss i aportacions als diferents àmbits de les ciències. — Aplicacions a les ciències socials de la famosa Campana de Gauss. — El test de normalitat de Kolmogorov-Smirnov: com i quan s’aplica? Per tant, es tracta d’un treball de recerca bibliogràfica i de comprensió de la importància de la distribució normal en els estudis d’estadística aplicada a les diferents Ciències Socials.

2. Els diferents sistemes electorals: quant costa cada escó? Existeixen formes diverses de calcular el nombre d’escons d’un partit polític en funció dels vots obtinguts. Així, les Matemàtiques també s’apliquen a l’àmbit de la política. Proposem que l’alumne/a descrigui alguns dels sistemes més utilitzats i que faci una valoració dels avantatges i desavantatges que poden presentar. — La Llei d’Hondt. — La fórmula Imperiali. — La fórmula del quocient Hare. — La fórmula del quocient Droop.

3. Economia domèstica: matemàtiques financeres i préstecs hipotecaris. Una de les aplicacions més freqüents de les matemàtiques financeres és el càlcul de les mensualitats que haurà de pagar una persona per amortitzar un préstec hipotecari. Proposem que l’alumne faci un treball de recerca que inclogui: — Treball de camp: visita física i/o virtual a les diferents entitats financeres per conèixer les condicions que apliquen als seu préstecs hipotecaris. — Per a una quantitat monetària i per a un període de temps fixats, realitzar les taules d’amortització corresponents a les diferents opcions recollides.

4. Dones matemàtiques. Teano és considerada la primera dona matemàtica. Va ser deixebla i esposa de Pitàgores. Carolina Herschel va ser, possiblement, la dona que va contribuir més al desenvolupament de l’astronomia de tots els temps. Edna Paisano va revolucionar l’aplicació de l’estadística en l’àmbit de la demografia. Aquests són alguns exemples de dones que han format part de la Història de les Matemàtiques. El treball de recerca inclourà: — Investigació bibliogràfica sobre l’època i els estudis d’algunes de les dones més importants en l’àmbit científic matemàtic. — Realització d’estadístiques de la participació de les dones, com a estudiants i com a professores, en la Llicenciatura de Matemàtiques a Catalunya.

El treball de recerca

5. La Teoria de Jocs aplicada al món real. La Teoria de Jocs és una branca de les matemàtiques que es pot aplicar a l’economia, a la filosofia, a la política i a la nostra vida diària. Ens permet definir estratègies i prendre decisions en situacions d’interacció d’individus (o empreses, o partits, etc.) que comporten costos o beneficis als competidors. — Forma normal i extensiva d’un joc. — Tipus de jocs. Exemples i aplicacions. — El dilema del presoner i l’equilibri de Nash.

4. Dones matemàtiques. Teano és considerada la primera dona matemàtica. Va ser deixebla i esposa de Pitàgores. Carolina Herschel va ser, possiblement, la dona que va contribuir més al desenvolupament de l’astronomia de tots els temps. Edna Paisano va revolucionar l’aplicació de l’estadística en l’àmbit de la demografia. Aquests són alguns exemples de dones que han format part de la Història de les Matemàtiques. El treball de recerca inclourà: — Investigació bibliogràfica sobre l’època i els estudis d’algunes de les dones més importants en l’àmbit científic matemàtic. — Realització d’estadístiques de la participació de les dones, com a estudiants i com a professores, en la Llicenciatura de Matemàtiques a Catalunya. 3. Economia domèstica: matemàtiques financeres i préstecs hipotecaris. Una de les aplicacions més freqüents de les matemàtiques financeres és el càlcul de les mensualitats que haurà de pagar una persona per amortitzar un préstec hipotecari. Proposem que l’alumne faci un treball de recerca que inclogui: — Treball de camp: visita física i/o virtual a les diferents entitats financeres per conèixer les condicions que apliquen als seu préstecs hipotecaris. — Per a una quantitat monetària i per a un període de temps fixats, realitzar les taules d’amortització corresponents a les diferents opcions recollides. 2. Els diferents sistemes electorals: quant costa cada escó? Existeixen formes diverses de calcular el nombre d’escons d’un partit polític en funció dels vots obtinguts. Així, les Matemàtiques també s’apliquen a l’àmbit de la política. Proposem que l’alumne/a descrigui alguns dels sistemes més utilitzats i que faci una valoració dels avantatges i desavantatges que poden presentar. — La Llei d’Hondt. — La fórmula Imperiali. — La fórmula del quocient Hare. — La fórmula del quocient Droop. 1. Gauss i la distribució normal. K. F. Gauss va ser un matemàtic, físic i astrònom molt precoç i va oferir importants aportacions en molts àmbits científics. L’alumne/a pot centrar el treball de recerca en els punts següents: — Biografia de Gauss i aportacions als diferents àmbits de les ciències. — Aplicacions a les ciències socials de la famosa Campana de Gauss. — El test de normalitat de Kolmogorov-Smirnov: com i quan s’aplica? Per tant, es tracta d’un treball de recerca bibliogràfica i de comprensió de la importància de la distribució normal en els estudis d’estadística aplicada a les diferents Ciències Socials.

Treball de Recerca de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials Propostes

261

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 261 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 262

262 El treball de recerca

6. Sistemes de numeració de la Història. Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolupament i de les seves necessitats. — Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica: egipcis, grecs, babilonis, xinesos, maies, àrabs, etc. — Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada civilització.

7. Ens tocarà la loteria? Càlcul de probabilitats en els jocs d’atzar. El càlcul de probabilitats va estar molt relacionat, en els seus inicis, amb els jocs d’atzar. Proposem a l’alumne/a una immersió en aquest món: — Recerca bibliogràfica sobre l’evolució matemàtica dels estudis en probabilitat aplicats als jocs d’atzar. — Fórmules i aplicacions de la combinatòria. — Càlcul aplicat: quina és la probabilitat de guanyar quan fem una aposta, en diferents jocs d’atzar? L’alumne/a pot escollir diferents jocs d’atzar en què pugui aplicar les diverses possibilitats que li ofereix la combinatòria (loteries, ruletes, travesses, etc.).

8. Didàctica de les Matemàtiques a l’Educació Primària. Els dissenys curriculars dels cursos de Matemàtiques han de tenir en compte les capacitats cognitives i d’abstracció que assoleixen els nens i nenes. — Investigació sobre el desenvolupament cognitiu dels nens i nenes corresponents als cursos de primer a sisè. — Anàlisi dels continguts curriculars de l’assignatura de Matemàtiques d’aquests cursos. — Identificació dels temes desenvolupats en Matemàtiques i de la seva metodologia pedagògica amb les capacitats d’aprenentatge corresponents als cursos i les edats dels alumnes.

9. Eines informàtiques per als càlculs estadístics. Existeixen molts programes informàtics que ens permeten realitzar càlculs i gràfics estadístics. L’alumne/a i el professor/a escolliran un d’aquests programes (Excel, Minitab, etc.). El treball de recerca consistirà a realitzar un manual d’utilització amb exemples paradigmàtics d’estadística d’una i de dues variables que puguin aprofitar els futurs alumnes de Batxillerat.

10. Un famós molt desconegut: com es calcula l’IPC a Espanya? Una de les aplicacions més importants de l’estadística en l’àmbit de l’economia és el càlcul de l’Índex de Preus de Consum (IPC). El treball de recerca inclourà: — Teoria dels nombres índex. — Visita al lloc web de l’INE i consulta de les dades necessàries per al càlcul de l’IPC (preus constants i corrents, ponderacions, el cistell de la compra, etc.). — Càlcul aproximat de l’IPC intermensual. A continuació, oferim un esquema d’aquesta proposta de treball.

A continuació, oferim un esquema d’aquesta proposta de treball. 10. Un famós molt desconegut: com es calcula l’IPC a Espanya? Una de les aplicacions més importants de l’estadística en l’àmbit de l’economia és el càlcul de l’Índex de Preus de Consum (IPC). El treball de recerca inclourà: — Teoria dels nombres índex. — Visita al lloc web de l’INE i consulta de les dades necessàries per al càlcul de l’IPC (preus constants i corrents, ponderacions, el cistell de la compra, etc.). — Càlcul aproximat de l’IPC intermensual. 9. Eines informàtiques per als càlculs estadístics. Existeixen molts programes informàtics que ens permeten realitzar càlculs i gràfics estadístics. L’alumne/a i el professor/a escolliran un d’aquests programes (Excel, Minitab, etc.). El treball de recerca consistirà a realitzar un manual d’utilització amb exemples paradigmàtics d’estadística d’una i de dues variables que puguin aprofitar els futurs alumnes de Batxillerat. 8. Didàctica de les Matemàtiques a l’Educació Primària. Els dissenys curriculars dels cursos de Matemàtiques han de tenir en compte les capacitats cognitives i d’abstracció que assoleixen els nens i nenes. — Investigació sobre el desenvolupament cognitiu dels nens i nenes corresponents als cursos de primer a sisè. — Anàlisi dels continguts curriculars de l’assignatura de Matemàtiques d’aquests cursos. — Identificació dels temes desenvolupats en Matemàtiques i de la seva metodologia pedagògica amb les capacitats d’aprenentatge corresponents als cursos i les edats dels alumnes. 7. Ens tocarà la loteria? Càlcul de probabilitats en els jocs d’atzar. El càlcul de probabilitats va estar molt relacionat, en els seus inicis, amb els jocs d’atzar. Proposem a l’alumne/a una immersió en aquest món: — Recerca bibliogràfica sobre l’evolució matemàtica dels estudis en probabilitat aplicats als jocs d’atzar. — Fórmules i aplicacions de la combinatòria. — Càlcul aplicat: quina és la probabilitat de guanyar quan fem una aposta, en diferents jocs d’atzar? L’alumne/a pot escollir diferents jocs d’atzar en què pugui aplicar les diverses possibilitats que li ofereix la combinatòria (loteries, ruletes, travesses, etc.).

El treball de recerca

6. Sistemes de numeració de la Història. Les civilitzacions han creat els seus propis sistemes d’escriptura numèrica en funció del seu desenvolupament i de les seves necessitats. — Investigació sobre les diferents formes d’escriptura numèrica: egipcis, grecs, babilonis, xinesos, maies, àrabs, etc. — Anàlisi de les operacions que realitzaven i de la seva relació amb les necessitats històriques de cada civilització.

262

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 262

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 263

263 2.1. Índex provisional 1. Què és un nombre índex. 2. Classificació i càlcul de nombres índexs: nombres índexs simples, nombres índexs complexos sense ponderar i nombres índex complexos ponderats. 3. Índexs de preus: 3.1. Índexs simples de preus. 3.2. Índexs complexos de preus sense ponderar: Índex de Sauerbeck i Índex de Bradstreet-Dutot. Diferències i aplicacions. 3.3. Índexs complexos de preus ponderats: Índex de Laspeyres, Índex de Paasche, Índex d’Edgeworth i Índex de Fisher. Diferències i aplicacions. 4. Propietats més importants dels nombres índexs: existència, identitat, inversió, circularitat i proporcionalitat. 5. Elaboració de l’Índex de Preus de Consum a Espanya. 5.1. Període base i període de referència. 5.2. Població o estrat de referència. 5.3. Camp de consum: el cistell de la compra (grups), ponderacions dels grups i desagregació geogràfica de l’índex. 6. Treball de camp: simulació simplificada del càlcul de l’IPC intermensual. 6.1. Confecció de la taula d’articles del grup d’aliments i begudes no alcohòliques. 6.2. Recollida de preus inicial i posterior. Tabulació de les dades. 6.3. Càlculs inicials i càlcul de l’IPC. 7. Bibliografia i fonts d’informació. 8. Annexos.

El treball de recerca

Un famós molt desconegut: com es calcula l’IPC a Espanya? 1. Tema i objectius del treball 1.1. Elecció del tema Una de les aplicacions més importants de l’estadística en l’àmbit de l’Economia és el càlcul de l’Índex de Preus de Consum (IPC). Es tracta d’un concepte molt utilitzat en els mitjans de comunicació, però la majoria de les persones no coneixen exactament com es calcula ni la feina d’investigació i de recollida de dades que amaga al darrere. El treball de recerca pretén que us apropeu a la base teòrica dels nombres índexs amb la investigació dels mètodes que aplica l’Institut Nacional d’Estadística (INE) per calcular l’IPC. És un treball especialment indicat per a alumnes interessats en l’Economia, l’Estadística i els mètodes de les Ciències Socials. També resulta imprescindible que l’alumne/a estigui interessat en la utilització de fulls de càlcul (com, per exemple, l’Excel) per poder dur a terme els càlculs necessaris. 1.2. Objectius del treball • Conèixer la base teòrica que permet arribar al càlcul dels nombres índexs, en general, i de l’IPC, en particular. • Familiaritzar-se en l’ús de les pàgines oficials d’Internet que ofereixen les dades estadístiques (INE i Idescat). • Consultar les dades necessàries per al càlcul de l’IPC (preus constants i corrents, ponderacions, el cistell de la compra, etc.). • Simular un càlcul aproximat de l’IPC intermensual: escollir dos mesos per calcular l’IPC aproximat (i simplificat) d’un a l’altre, comparant-ne els preus dels aliments i de les begudes no alcohòliques.

2. Disseny del treball En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre el càlcul dels nombres índexs i les seves aplicacions. Haureu de cercar informació bibliogràfica sobre les fórmules i els mètodes que s’apliquen. En segon lloc, la pàgina oficial de l’INE us oferirà una bona aproximació als mètodes de càlcul de l’IPC i a les dades que necessitareu. Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball per poder elaborar un índex provisional.

El treball de recerca

2.1. Índex provisional 1. Què és un nombre índex. 2. Classificació i càlcul de nombres índexs: nombres índexs simples, nombres índexs complexos sense ponderar i nombres índex complexos ponderats. 3. Índexs de preus: 3.1. Índexs simples de preus. 3.2. Índexs complexos de preus sense ponderar: Índex de Sauerbeck i Índex de Bradstreet-Dutot. Diferències i aplicacions. 3.3. Índexs complexos de preus ponderats: Índex de Laspeyres, Índex de Paasche, Índex d’Edgeworth i Índex de Fisher. Diferències i aplicacions. 4. Propietats més importants dels nombres índexs: existència, identitat, inversió, circularitat i proporcionalitat. 5. Elaboració de l’Índex de Preus de Consum a Espanya. 5.1. Període base i període de referència. 5.2. Població o estrat de referència. 5.3. Camp de consum: el cistell de la compra (grups), ponderacions dels grups i desagregació geogràfica de l’índex. 6. Treball de camp: simulació simplificada del càlcul de l’IPC intermensual. 6.1. Confecció de la taula d’articles del grup d’aliments i begudes no alcohòliques. 6.2. Recollida de preus inicial i posterior. Tabulació de les dades. 6.3. Càlculs inicials i càlcul de l’IPC. 7. Bibliografia i fonts d’informació. 8. Annexos.

En primer lloc, necessitareu una base teòrica sobre el càlcul dels nombres índexs i les seves aplicacions. Haureu de cercar informació bibliogràfica sobre les fórmules i els mètodes que s’apliquen. En segon lloc, la pàgina oficial de l’INE us oferirà una bona aproximació als mètodes de càlcul de l’IPC i a les dades que necessitareu. Tota aquesta informació us donarà una idea dels punts que tractareu i que desenvolupareu en el treball per poder elaborar un índex provisional.

2. Disseny del treball 1.2. Objectius del treball • Conèixer la base teòrica que permet arribar al càlcul dels nombres índexs, en general, i de l’IPC, en particular. • Familiaritzar-se en l’ús de les pàgines oficials d’Internet que ofereixen les dades estadístiques (INE i Idescat). • Consultar les dades necessàries per al càlcul de l’IPC (preus constants i corrents, ponderacions, el cistell de la compra, etc.). • Simular un càlcul aproximat de l’IPC intermensual: escollir dos mesos per calcular l’IPC aproximat (i simplificat) d’un a l’altre, comparant-ne els preus dels aliments i de les begudes no alcohòliques. 1.1. Elecció del tema Una de les aplicacions més importants de l’estadística en l’àmbit de l’Economia és el càlcul de l’Índex de Preus de Consum (IPC). Es tracta d’un concepte molt utilitzat en els mitjans de comunicació, però la majoria de les persones no coneixen exactament com es calcula ni la feina d’investigació i de recollida de dades que amaga al darrere. El treball de recerca pretén que us apropeu a la base teòrica dels nombres índexs amb la investigació dels mètodes que aplica l’Institut Nacional d’Estadística (INE) per calcular l’IPC. És un treball especialment indicat per a alumnes interessats en l’Economia, l’Estadística i els mètodes de les Ciències Socials. També resulta imprescindible que l’alumne/a estigui interessat en la utilització de fulls de càlcul (com, per exemple, l’Excel) per poder dur a terme els càlculs necessaris.

1. Tema i objectius del treball

Un famós molt desconegut: com es calcula l’IPC a Espanya?

263

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 263 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 264

264 ⋅ 100

N

2.3. Pla de treball. Planificació L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:

1 mes

Recerca de tota la informació teòrica necessària sobre els nombres índexs i el seu càlcul.

Temps estimat

Tasques

Temporització

El treball de recerca

i =1

∑ pi0 q i0 i =1 N

2.2. Metodologia La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fonts bibliogràfiques i electròniques. La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més quantitatiu: selecció aleatòria dels establiments que visitareu per a la recollida dels preus dels articles i registre sistemàtic de les dades obtingudes en una taula.

⋅ 100 =

∑ pit q i0

1 mes

i0

⋅ pi0 q i0

Recerca de la informació necessària per al càlcul de l’IPC.

i =1

∑ pi0 q i0 N

i =1

p

N

2 mesos

⋅ 100 =

∑ p it

Treball de camp: recollida de preus als establiments, tabulació i càlculs.

i0

⋅ wi

2 mesos

i =1

∑ wi N

i =1

p

N

Elaboració escrita i audiovisual del treball de recerca.

PL =

∑ p it

“Índex de preus de Laspeyres: utilitza com a coeficients de ponderació el valor (preu per quantitat) de les transaccions al període base, que són fixos i, per tant, la seva representativitat disminueix a mesura que ens allunyem d’aquest període.” Font: CASAS, J.M. i SANTOS, J. (2002), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Centro de Estudios Arces.

Maig ÍNDEX DE PREUS DE LASPEYRES Juny Juliol Agost Octubre Novembre

Podeu citar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents: • Com a citació textual: escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font utilitzada. • Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra investigació teòrica i pràctica. És aconsellable que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques. Per exemple: 3.1. Fonts bibliogràfiques Per a la recerca de la teoria dels nombres índexs, podeu consultar els llibres següents: • CASAS, J.M. i SANTOS, J. (2002), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Centro de Estudios Arces. • CASAS, J.M. i SANTOS, J. (1992), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Ed. Pirámide.

3. Recerca, obtenció i selecció d’informació Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball de recerca.

Cercareu informació sobre les diferents qüestions que inclou el treball de recerca. 3.1. Fonts bibliogràfiques Per a la recerca de la teoria dels nombres índexs, podeu consultar els llibres següents: • CASAS, J.M. i SANTOS, J. (2002), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Centro de Estudios Arces. • CASAS, J.M. i SANTOS, J. (1992), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Ed. Pirámide.

Temps estimat

Temporització

Recerca de tota la informació teòrica necessària sobre els nombres índexs i el seu càlcul.

1 mes

Maig

Recerca de la informació necessària per al càlcul de l’IPC.

1 mes

Juny

Treball de camp: recollida de preus als establiments, tabulació i càlculs.

2 mesos

Juliol Agost

Elaboració escrita i audiovisual del treball de recerca.

2 mesos

Octubre Novembre

Podeu citar les fonts bibliogràfiques (o d’Internet) de dues maneres diferents: • Com a citació textual: escriureu entre cometes el text extret i posareu a peu de pàgina les dades de la font utilitzada. • Al final de la presentació del treball escrit, fareu esment de totes les fonts utilitzades per a la vostra investigació teòrica i pràctica. És aconsellable que classifiqueu la informació recollida en fitxes bibliogràfiques. Per exemple:

3. Recerca, obtenció i selecció d’informació Tasques

ÍNDEX DE PREUS DE LASPEYRES Font: CASAS, J.M. i SANTOS, J. (2002), Introducción a la Estadística para la Economía. Madrid, Centro de Estudios Arces. “Índex de preus de Laspeyres: utilitza com a coeficients de ponderació el valor (preu per quantitat) de les transaccions al període base, que són fixos i, per tant, la seva representativitat disminueix a mesura que ens allunyem d’aquest període.” N

El treball de recerca

PL =

∑

pit

i =1 pi0 N

N

⋅ wi

∑ wi

⋅ 100 =

∑

pit

i =1 pi0 N

⋅ pi0 q i0

N

⋅ 100 =

∑ pi0 q i0 i =1

i =1

2.3. Pla de treball. Planificació L’esquema següent us pot ajudar a planificar la feina en les diferents fases del treball:

∑ pit q i0 i =1 N

∑ pi0 q i0

2.2. Metodologia La primera part consistirà bàsicament en la recerca i recollida d’informació a partir de les diferents fonts bibliogràfiques i electròniques. La segona part, més experimental, es basarà en una metodologia de caire més quantitatiu: selecció aleatòria dels establiments que visitareu per a la recollida dels preus dels articles i registre sistemàtic de les dades obtingudes en una taula.

⋅ 100

i =1

264

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 264

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 265

El treball de recerca

265 3.2. Fonts electròniques Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte. Heu d’assegurar-vos que les fonts que utilitzeu són fiables i que la informació que n’obteniu és correcta. Els llocs web oficials, com el de l’INE, us proporcionaran dades fidedignes. Quan consulteu pàgines no oficials, compareu la informació que ofereixen amb les d’altres pàgines similars per tenir la seguretat que no hi ha errors. Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta. Per al càlcul de l’IPC, podeu consultar la pàgina oficial de l’INE (www.ine.es), en particular: http://www.ine.es/ipc01/metodologia_ipc2001.pdf (Metodologia actual de càlcul de l’IPC a Espanya. A partir de la pàgina 70, trobareu l’annex amb la llista d’articles que conformen el cistell de la compra que haureu d’analitzar. Només recollireu la llista d’articles inclosos en el grup «Alimentos y bebidas no alcohólicas».) 3.3. Fonts orals Entrevistes: Podeu contrastar les dades obtingudes en els vostres càlculs de l’IPC intermensual amb la percepció que tenen els ciutadans respecte de l’augment (o la disminució) dels preus. 3.4. Experiments En el treball de camp, haureu de visitar diferents establiments per a la recollida de preus mitjançant un registre sistemàtic. Recordeu que fareu una simulació simplificada del càlcul de l’IPC intermensual, ja que resultaria impossible que realitzéssiu la feina de recollida de preus exactament igual com ho fan els treballadors de l’INE. Per tant, fareu una selecció aleatòria i representativa d’un o dos establiments de cada districte (o barri) de la població. 3.5. Visites i sortides de camp En primer lloc, decidireu els establiments que visitareu per a la recollida de preus. En segon lloc, realitzareu l’observació sistemàtica i la reflectireu en una taula. Recordeu que molts establiments tenen pàgines a Internet en què també podeu trobar informació del preu dels seus articles.

4. Tractament de la informació Els preus recollits poden introduir-se en algun full de càlcul informàtic (per exemple, l’Excel) que us en permeti el processament de manera més còmoda i ràpida. Per a cada subgrup del grup d’Aliments i Begudes no alcohòliques, recollireu els preus dels articles a cada establiment de cada districte (o barri) de la població. Recollireu els preus al juliol i a l’agost i omplireu una taula com la següent per a cada mes: Grup: Aliments i Begudes no alcohòliques Subgrup: Altres productes alimentaris Vinagre Sal Tomàquet fregit Mostassa ...

P1 (Preus juliol Establiment 1)

P2 (Preus juliol Establiment 2)

...

Mitjana geomètrica del preu de juliol de cada article Per exemple, el preu mitjà del vinagre als n establiments és: P juliol

=

n

πPi

vinagre

El treball de recerca

Subgrup: Altres productes alimentaris Vinagre Sal Tomàquet fregit Mostassa ...

vinagre

P juliol

=

n

πPi

Per exemple, el preu mitjà del vinagre als n establiments és:

Grup: Aliments i Begudes no alcohòliques

P1 (Preus juliol Establiment 1)

P2 (Preus juliol Establiment 2)

...

Mitjana geomètrica del preu de juliol de cada article

Per a cada subgrup del grup d’Aliments i Begudes no alcohòliques, recollireu els preus dels articles a cada establiment de cada districte (o barri) de la població. Recollireu els preus al juliol i a l’agost i omplireu una taula com la següent per a cada mes: Els preus recollits poden introduir-se en algun full de càlcul informàtic (per exemple, l’Excel) que us en permeti el processament de manera més còmoda i ràpida.

4. Tractament de la informació 3.5. Visites i sortides de camp En primer lloc, decidireu els establiments que visitareu per a la recollida de preus. En segon lloc, realitzareu l’observació sistemàtica i la reflectireu en una taula. Recordeu que molts establiments tenen pàgines a Internet en què també podeu trobar informació del preu dels seus articles. 3.4. Experiments En el treball de camp, haureu de visitar diferents establiments per a la recollida de preus mitjançant un registre sistemàtic. Recordeu que fareu una simulació simplificada del càlcul de l’IPC intermensual, ja que resultaria impossible que realitzéssiu la feina de recollida de preus exactament igual com ho fan els treballadors de l’INE. Per tant, fareu una selecció aleatòria i representativa d’un o dos establiments de cada districte (o barri) de la població. 3.3. Fonts orals Entrevistes: Podeu contrastar les dades obtingudes en els vostres càlculs de l’IPC intermensual amb la percepció que tenen els ciutadans respecte de l’augment (o la disminució) dels preus. 3.2. Fonts electròniques Recordeu que no tot el que es troba a Internet és correcte. Heu d’assegurar-vos que les fonts que utilitzeu són fiables i que la informació que n’obteniu és correcta. Els llocs web oficials, com el de l’INE, us proporcionaran dades fidedignes. Quan consulteu pàgines no oficials, compareu la informació que ofereixen amb les d’altres pàgines similars per tenir la seguretat que no hi ha errors. Quan utilitzeu informació d’Internet també explicitareu la font i la data de consulta. Per al càlcul de l’IPC, podeu consultar la pàgina oficial de l’INE (www.ine.es), en particular: http://www.ine.es/ipc01/metodologia_ipc2001.pdf (Metodologia actual de càlcul de l’IPC a Espanya. A partir de la pàgina 70, trobareu l’annex amb la llista d’articles que conformen el cistell de la compra que haureu d’analitzar. Només recollireu la llista d’articles inclosos en el grup «Alimentos y bebidas no alcohólicas».)

265

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 265 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 266

266

∑ n πPi m

(en què m és el total d’articles)

Pagost P juliol

juliol

× 100% .

El treball de recerca

Després, fareu la mitjana aritmètica de les mitjanes geomètriques calculades i obtindreu el preu mitjà de tots els articles al mes de juliol (o agost):

P juliol =

Finalment, l’índex de preus intermensual serà: I agost =

Exemple d’interpretació del resultat: si l’índex és 108 %, significa que els preus han augmentat un 8 %; si l’índex és 96%, significa que els preus han disminuït un 4 %.

5. Redacció i presentació del treball Parts del treball En la presentació escrita i/o audiovisual posarem especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realitzat. Diferenciarem clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent. • La portada • L’índex • Un breu resum (abstract) • La introducció • La teoria dels nombres índexs • La teoria del càlcul de l’IPC • La pràctica del vostre càlcul de l’IPC simulat • Les conclusions Correcció expressiva Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes formals de la vostra exposició. Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran. Presentació El treball pot presentar-se de forma oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació sigui més amena i comprensible. Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollida de dades.

Presentació El treball pot presentar-se de forma oral amb esquemes audiovisuals que permetin que la presentació sigui més amena i comprensible. Posareu especial èmfasi en la part pràctica del treball i en el procés de recollida de dades. Correcció expressiva Prestareu una atenció especial a la correcció ortogràfica, així com a la coherència, l’ordre i els aspectes formals de la vostra exposició. Recordeu que els processadors de textos us ofereixen correctors ortogràfics que us ajudaran. Parts del treball En la presentació escrita i/o audiovisual posarem especial cura en l’ordenació correcta de tot el treball realitzat. Diferenciarem clarament la part teòrica inicial i la part pràctica següent. • La portada • L’índex • Un breu resum (abstract) • La introducció • La teoria dels nombres índexs • La teoria del càlcul de l’IPC • La pràctica del vostre càlcul de l’IPC simulat • Les conclusions

5. Redacció i presentació del treball Exemple d’interpretació del resultat: si l’índex és 108 %, significa que els preus han augmentat un 8 %; si l’índex és 96%, significa que els preus han disminuït un 4 %.

m

∑ n πPi

P juliol Pagost

× 100% .

El treball de recerca

juliol

Finalment, l’índex de preus intermensual serà: I agost =

P juliol =

(en què m és el total d’articles)

Després, fareu la mitjana aritmètica de les mitjanes geomètriques calculades i obtindreu el preu mitjà de tots els articles al mes de juliol (o agost):

266

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

28/5/09

10:16

Página 266

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 267

ANOTACIONS

ANOTACIONS 9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 267 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 268

27/5/09

ANOTACIONS

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

ANOTACIONS 11:40

Página 268

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 269

ANOTACIONS

ANOTACIONS 9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 269 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 270

27/5/09

ANOTACIONS

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

ANOTACIONS 11:40

Página 270

C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 271

ANOTACIONS

ANOTACIONS 9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 271 C M Y K

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

27/5/09

11:40

Página 272

27/5/09

ANOTACIONS

9521_Treball_recerca_LG_CAT.qxd

ANOTACIONS 11:40

Página 272

C M Y K

LG.MatesSocialsII_TX.CAT 3/6/09 10:45 P gina 1

Composici n

CM

MY

CY CMY

K

edebé

Y

Matemàtiques II

Orientacions i solucionari

aplicades a les Ciències Socials

BATXILLERAT

M

INCLOU GUIA PER AL TREBALL DE RECERCA

Matemàtiques II aplicades a les Ciències Socials

Orientacions i solucionari

BATXILLERAT

BATXILLERAT

www.edebe.com

edebé

,!7I 4C3-gjfcbi!

Orientacions i solucionari

edebé

Matemàtiques II

aplicades a les Ciències Socials

C