30 Ejercicios PDF

 

30 EJERCICIOS –  ALARCÓN  ALARCÓN BANDA HERMES

  10 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL



Ejercicio 1:

Los pesos en una determinada población siguen una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual medidos a 5 kg. Pesando a 10 individuos de dicha población, se obtuvieron los siguientes resultados en kilogramos: 62, 65, 63, 58, 64, 60, 57, 62, 60, 58 Halla un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de la población. Solución: Queremos estimar la media de la población, mediante una muestra de tamaño 10, en una población normal, con un nivel de confianza del 90%.



Como  es conocida, el intervalo de confianza es de la forma:

/

Para el 90%, tenemos que 1    0,9  

  1,645 

La media muestral la obtenemos a partir de los datos:

Por tanto, el intervalo será:

Tenemos una confianza del 90% de que el peso medio de la población está entre 58,30 y 63,50 kg. Ejercicio 2:

La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamiento, fabricadas por cierta máquina, fue de 0,824 cm, y la desviación típica fue de 0,042 cm. Halla los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina. Solución: Queremos la media de de la población, , mediante una muestra de tamaño 200, con un nivel de estimar confianza del 95%.

 

El intervalo de confianza es de la forma:

/

Para el 95%, tenemos que 1    0,95  

  1,96 

Por tanto, el intervalo será:

Tenemos la confianza del 95% de que la media de la población está comprendida entre 0,818 y 0,830 cm. Ejercicio 3:

En una muestra aleatoria de 200 estudiantes de 2o de Bachillerato, se ha observado que la asistencia media a una serie de actos culturales celebrados durante el mes de mayo fue igual a 8, con una desviación típica igual a 6. Determina el intervalo de confianza para la asistencia media de los alumnos de 2o de Bachillerato a los actos culturales celebrados durante el mes de mayo, con un nivel de significación del 5%. Solución: Queremos estimar la media de la población, u, mediante una muestra de tamaño 200, con un nivel de significación del 5% (esto es, con un nivel de confianza del 95%). El intervalo de confianza es de la forma:

Para   0,05, tenemos que

/

  1,96. Por lo tanto, el intervalo será: 

Tenemos la confianza del 95% de que la media de la población está comprendida entre 7,17 y 8,83.

 

Ejercicio 4:

En una determinada empresa, se seleccionó al azar una muestra de 100 empleados cuya media de ingresos mensuales resultó igual a 705 euros, con una desviación típica de 120 euros. Halla un intervalo de confianza al 99% para la media de los ingresos mensuales de todos los empleados de la empresa. Solución: Queremos estimar la media de de la población, , mediante una muestra de tamaño 100, con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma:

/

Para el 99%, tenemos que 1    0,99   Por tanto, el intervalo buscado es:

  2,575 

Así, tenemos una confianza del 99% de que el sueldo medio de todos los empleados de la empresa está comprendido entre 674,1 y 735,9 euros. Ejercicio 5:

El peso de las truchas de una piscifactoría se distribuye según una normal de media 150 gramos y varianza 1 225. Halla un intervalo en el que se encuentren el 95% de las medias de pesos de las muestras de tamaño 50. Solución: Si la varianza es1225, la desviación típica será de

1225 = 35 √ 1225

 gramos.

Por el teorema central del límite, sabemos que las medias muéstrales se distribuyen

El intervalo característico es de la forma:

 

Para el 95%, sabemos que

/

  1,96. Así el intervalo será:

Por tanto, en el 95% de las muestras, las medias de los pesos estarán comprendidas entre 140,298 y 159,702 gramos. Ejercicio 6:

En una determinada población, los pesos se distribuyen según una normal de media u = 65 kg y varianza 49. Si extraemos muestras de tamaño 64: 

̅

a) ¿Cuál es la distribución di stribución de la variable aleatoria media muestral, ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la l a media de los pesos en una de esas muestras sea mayor de 66,5 kg? Solución: a) Por el teorema central del límite, sabemos que las medias muéstrales, u = 65, se distribuyen

Es decir, se distribuyen:

b) Como conocemos la distribución de  , por el apartado anterior, entonces, si Z es (0,1):

̅ La probabilidad pedida es de 0,0436. Ejercicio 7:

La edad de los miembros de una determinada asociación sigue una distribución



N ( u, ). Sabemos que la distribución de las medias de las edades en muestras de tamaño 36 tiene como media 52 años y como desviación típica 0,5. a) Halla la media y la desviación típica de la edad de los miembros de la asociación.

 

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la asociación, elegido al azar, sea mayor de 60 años? Solución: a) Por el teorema central del límite, sabemos que las medias muéstrales se distribuyen según una normal de media u y de desviación típica de:

Como tenemos que:

Por tanto, la edad de los miembros de la asociación tiene una media de 52 años y una desviación típica de 3 años, es decir, se distribuye N (52, 3). b) Por lo obtenido en el apartado anterior, tenemos que, si z es N (0, 1):

La probabilidad pedida es de 0,0038. Ejercicio 8:

La edad de los alumnos de 2o de Bachillerato de cierto instituto sigue una distribución N (17,6; 0,5). Los agrupamos al azar de 10 en 10 para una competición. Halla el intervalo característico del 95% correspondiente a las edades medias de los grupos. Solución: Como la población de partida es normal, las medias muéstrales también se distribuyen según una normal, para cualquier valor de n. En este caso, las edades medias de los grupos se distribuyen:

El intervalo característico es de la forma:

 

Para el 95%, sabemos

/ = 1,96

. Así, el intervalo será:

Por tanto, las edades medias en el 95% de los grupos están entre 17,29 y 17,91 años. Ejercicio 9:

En un examen de oposición al que se presentaban 5 000 personas, la nota media ha sido de 4,2 puntos, con una desviación típica de 2,1. Si se toman muestras de 60 opositores, halla el intervalo característico del 90% para las notas medias de las muestras. Solución: Por el teorema central del límite, sabemos que las medias muéstrales se distribuyen:

El intervalo característico es de la forma:

Para el 90%, sabemos

/ = 1,645

. Así, el intervalo será:

Es decir: (3,75; 4,65) Por tanto, en el 90% de las muestras, las notas medias estarán comprendidas entre 3,75 y 4,65 puntos. Ejercicio 10:

La duración de cierto tipo de batería sigue una distribución normal de media 3 años y desviación típica de 0,5 años. Si se toman muestras de tamaño 9, halla un intervalo en el que estén comprendidos el 99% de las duraciones medias de las baterías de cada muestra. Solución: Por el teorema central del límite, como la población de partida es normal, sabemos que las medias muéstrales se distribuyen según una:

 

  El intervalo característico es de la forma:

Para el 99%, sabemos

/ = 2,575

. Así, el intervalo será:

Es decir: (2,57; 3,43) Por tanto, las duraciones medias de las baterías en el 99% de las muestras estarán comprendidas entre 2,57 y 3,43 años.

 

  10 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

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Ejercicio 1:

En cierto instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 15% de ellos, se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. Halla el intervalo de confianza del 99% para estimar la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto. Solución: Queremos estimar la proporción poblacional mediante una muestra de tamaño: n = 15% de 800 = 120 Con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma:

/

Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1    0,99  

  2,575 

El valor de pr es el de la proporción de alumnos en la muestra que sí utilizan la cafetería, es decir:

Por tanto, el intervalo con confianza será:

Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporción poblacional se encuentra entre 0,706 y 0,894. Ejercicio 2:

De una muestra de 100 familias de una población, hay 20 que poseen lavaplatos. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional, para un nivel de confianza del 99%. Solución:

 

Queremos estimar la proporción poblacional mediante una muestra de tamaño 100, con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma:

/

Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1    0,99   El valor de pr es el de la proporción obtenida en la muestra:

  2,575 

Así, el intervalo con confianza será:

Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporción en la población está comprendida entre 0,097 y 0,303. Ejercicio 3:

De 1 500 personas encuestadas en un sondeo preelectoral, 800 manifiestan su intención de votar. ¿Entre qué valores puede estimarse, con un 95% de confianza, que se encontrará el nivel de abstención en el conjunto del censo? Solución: Queremos estimar la proporción poblacional mediante una muestra de tamaño 1 500, con un nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza es de la forma:

/

Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que 1    0,99   El valor de pr es el de la proporción obtenida en la muestra:

  1,96 

 

Por tanto, el intervalo con confianza será:

Esto significa que tenemos una confianza del 95% de que la proporción de abstenciones en la población se sitúa entre 0,445 y 0,495. Ejercicio 4:

En una moneda defectuosa, la probabilidad de obtener cara es de 0,586. Si hacemos tandas de 40 lanzamientos: a) ¿Cómo se distribuye la proporción de caras en esas tandas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de caras en una tanda sea mayor de 0,6? 0,6 ? Solución: a) distribución de la proporción p =La0,586 y la desviación típica: de caras en las tandas, pr, es una normal de media, donde

    =  0,0,5868640..0,0,414  = 0,078

 

Es decir, pr es N (0,586; 0,078). b) En una tanda de 40, una proporción mayor de 0,6 es obtener más de 40 · 0,6 = 24 caras. En una B (40; 0,586), tenemos que calcular P [x > 24]. Como np >= 5 y np >= 5, podemos aproximar mediante una normal de media u = np = 40 . 0,568 = 23,44 y de desviación típica:  

 =   ==   4400 . 0,0,586 . 0,0,41414 = 3,12

Así, si

La probabilidad pedida es de 0,3669.

 

Ejercicio 5:

El 1% de las soldaduras hechas en una máquina son defectuosas. Cada día se revisan 1 000 de ellas. a) ¿Cómo se distribuye la proporción diaria de soldaduras defectuosas (entre las 1 000 que se revisan cada día)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día, haya entre 8 y 10 soldaduras defectuosas (ambos incluidos)? Solución: a) La proporción diaria, pr, de soldaduras defectuosas se distribuye según una normal de media p = 0,01 y de desviación típica:

1 . 0,99 = 0,003     =  0,0,01000

 

Es decir, pr es N (0,01; 0,003).

≤≤

≥ ≥ =

b) En una B (1 000; 0,01), tenemos que calcular P [8   x  10]. Como np  5 y nq   5, podemos aproximar mediante una normal de media u = np = 10 y de desviación típica: . Así, si:

 = √ 1000 1000 ..0,0,01 ..0,0,99 = 3,15  

La probabilidad pedida es de 0,3488. Ejercicio 6:

Para estimar la proporción de las familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se va a tomar una muestra aleatoria de tamaño n. Calcula el mínimo valor de n para garantizar que, con un nivel de confianza del 95%, el error en la estimación sea menor que 0,05. (Ya que se desconoce la proporción, se tiene que tomar el caso más desfavorable de que sea 0,5). Solución: El error máximo admisibles:

 

 

/

Para un nivel de confianza del 95%, tenemos que 1    0,99   Y sabemos que E = 0,05

  1,96 

Sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:

Habrá que tomar una muestra de, al menos, 385 familias. Ejercicio 7:

El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio. a) ¿Cuál es la distribución de la proporción de billetes premiados en muestras de 46 billetes? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 6 billetes premiados en muestras de 46? Solución: a) La distribución de la proporción de billetes premiados, pr, en muestras de 46 billetes, es una normal de media p = 0,11 y de desviación típica:

    =  0,0,1146. 0,8 9= 0,046

 

Es decir , pr es N (0,11; 0,046). b) En una B (46; 0,11) tenemos que calcular P [x > 6]. Como np  5 y nq aproximar por una normal de media u = np = 5,06 y de desviación típica:

  5, podemos

≥ ≥

La probabilidad pedida es de 0,2482.

 

Ejercicio 8:

En un instituto de 900 alumnos, la proporción de chicas chic as es de 585/900. a) ¿Cuál es la distribución di stribución de la proporción de chicas en muestras de 30 alumnos? b) Halla la probabilidad de que, en una muestra de 30, haya entre 20 y 25 chicas (ambos incluidos). Solución: a) La proporción de chicas, pr, en muestras de 30, se distribuye según una normal de media p = 585/900 = 0,65 y de desviación típica:

    =  0,0,6530. 0,3 5= 0,087

 

Es decir, pr es una N (0,65; 0,087). b) Es una B (30; 0,65), tenemos que calcular c alcular P [20  x  25]. Como np  5 y nq  5, podemos aproximar por una normal de media u = np = 19,5 y de desviación típica:

≤≤

≥ ≥

La probabilidad pedida es de 0,4893. Ejercicio 9:

La proporción de alumnos de cierto instituto que aprueban matemáticas es de 560/800. Halla el intervalo característico para la proporción de aprobados en matemáticas, en muestras de 30 alumnos, correspondiente al 99%. Solución: La proporción de aprobados en matemáticas, en muestras de 30 alumnos, se distribuye según una normal de media p = 560/800 = 0,7 y de desviación típica:

 0,7 . 0,3     =   30  = 0,084

 

 

Una probabilidad del 99% significa El intervalo característico será:

1   = 0,99 → / = 2,575

 

(0,7 - 2,575 · 0,084; 0,7 + 2,575 · 0,084); 0,0 84); es decir: (0,48; 0,92) Esto significa que, en el 99% de las muestras de 30 alumnos, la proporción de aprobados en matemáticas está entre 0,48 y 0,92. Ejercicio 10:

En una encuesta realizada a 150 familias de una determinada población, se encontró que en 25 de ellas había tres o más hijos. Halla el intervalo de confianza para estimar la proporción real de las familias en las que hay tres o más hijos, con un nivel de confianza del 90%. Solución: Queremos estimar la proporción en la población, p, mediante una muestra de tamaño 150, con un nivel de confianza del 90%. El intervalo de confianza es de la forma:

Para un nivel de confianza del 90% significa 1 – α = 0,9 →

/ = 1,645

 

El valor de pr es el de la proporción obtenida en la muestra:

 =  15025  = 0,17

 

Por tanto, el intervalo con confianza será:

Esto significa que tenemos una confianza del 90% de que la proporción en la población está comprendida entre 0,12 y 0,22.

 

  10 EJERCICIOS DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL

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Ejercicio 1:

Se sabe que la inteligencia espacial presenta una distribución normal en la población de estudiantes universitarios. Mediante m.a.s. se extrae una muestra aleatoria de 100 estudiantes de Bellas Artes de la UCM y se les mide (mediante el test correspondiente) la inteligencia espacial, obteniendo un valor para la media de 135 y una desviación típica de 16. ¿cuál de los siguientes intervalos corresponde estima la varianza manteniendo el nivel de riesgo en 0,01? Solución: Dado que la varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional deberemos emplear la cuasivarainza. Además, el tamaño de la muestra es menor que 100, por lo que no se puede aplicar la aproximación a la normal. Por tanto, el intervalo para   viene dado por:



Siendo los límites:

Donde:

El intervalo es: (182,63; 380,23) Ejercicio 2:

La distribución de la variable autoritarismo, medida mediante el test de RWA, se distribuye en la población según la normal. Una muestra de 30 personas responde al test y se obtiene

 

una media de 45 puntos y un cuasivarianza de 100. ¿Cuál de los siguientes intervalos corresponde al de la varianza poblacional siendo el nivel de confianza del 0,90?

Siendo los límites:

Ejercicio 3:

Un investigador estudia la satisfacción laboral de los trabajadores de una empresa. Selecciona, mediante m.a.s., una muestra de 400 trabajadores y se les evalúa mediante la encuesta de satisfacción laboral del Instituto de Salud y Empleo. Se obtiene una satisfacción media de 8 y una cuasidesviación típica de 9. ¿Cuál es el error de estimación máximo para la varianza, sabiendo que el nivel de confianza es 0,95? Si n > 100 (en nuestro caso n = 400) podemos aplicar la aproximación a la normal, siendo en este caso:

Ejercicio 4:

Calcular qué tamaño muestral debemos tomar para obtener µ con una precisión de 0.001 a partir de una muestra de una población N (µ, 3).

 

Solución: Teniendo en cuenta que el intervalo de confianza que contiene a la media µ de una población normal con varianza conocida es de la l a forma:

Es decir, el error que cometemos al estimar µ mediante un intervalo de confianza al nivel α = 0.05, es:

Por tanto, si en esta estimación deseamos obtener la media con una precisión de 0.001, tenemos que calcular n tal que el error que se cometa esté acotado por esta cantidad, error ≤ 0.001, es decir:

Ejercicio 5:

En el departamento de control de calidad de una empresa, se quiere determinar si ha habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada c ada artículo se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:

Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos producciones son iguales, construye un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de 95%. Interpreta los resultados obtenidos. Solución: En primer lugar, observamos que se disponen de dos poblaciones, la primera corresponde a la producción de la primera semana mientras que la segunda corresponde a la de la segunda semana. En este sentido, introducimos las dos variables X1 que mide la puntuación de calidad de un artículo de la primera semana, y X 2 para la segunda.

 

Además, en el caso en el que las varianzas en las dos poblaciones son desconocidas pero iguales, X1 y X 2 se asumen normales e independientes, utilizamos el estadístico:

Donde:

+−

El cuál sigue una distribución  de Student de n1 + n2 − 2 grados de libertad. Así, un intervalo de confianza al 100(1−α)% para la diferencia entre medias de dos distribuciones normales, con varianzas desconocidas pero iguales es:

Es decir, el intervalo de confianza al nivel del 95% para la diferencia de medias es: − 2.31 ≤ µ1 − µ 2 ≤ 5.56  Ejercicio 6:

Sospechamos que nuestro cromatógrafo está estropeado, y queremos determinar si los resultados que nos proporciona son lo suficientemente precisos. Para ello, realizamos una serie de 8 mediciones del contenido de una solución de referencia re ferencia que, sabemos, contiene 90% de un determinado compuesto. Los resultados que obtenemos son: 93.3, 86.8, 90.4, 90.1, 94.9, 91.6, 92.3, 96.5

 

Construir un intervalo de confianza al nivel de 95% para la varianza poblacional. ¿Qué conclusiones podemos realizar? Solución: Sea la variable aleatoria X que representa el valor medio del contenido, si modelizamos el error incontrolable de medición por una variable aleatoria ε n ormal de media 0, y de varianza 2 σ desconocida, tenemos que X ~ (valor real, 2 σ ), donde conocemos el valor real del contenido de la solución que es igual a 90. Por lo tanto, estamos en el caso en que la medida poblacional es conocida e igual a 90, y tenemos que construir un intervalo de confianza para la varianza poblacional, por lo que usamos el estadístico:

Cuya distribución en el muestreo es una 2 χ n con n grados de l ibertad. Así, se deduce que, un intervalo de confianza del 100 ( 1−α) %, para la varianza de una distribución normal con

media conocida, está dado por:

En nuestro caso, para un nivel de confianza del 95%, observamos en la tabla de la distribución:

Y calculamos el numerador anterior:

Por lo que obtenemos que el intervalo i ntervalo de confianza pedido es:

5,44 ≤   ≤ 43,77

 

Esto representa que el intervalo para la dispersión es 2.3 3 ≤ σ ≤ 6.62 (es una dispersión grande), de donde deducimos que la precisión del cromatógrafo es insuficiente. Ejercicio 7:

En un proceso de fabricación de pilas alcalinas se sabe que su duración media es de 1100 horas y que dicha duración sigue una distribución normal. El nuevo proceso busca reducir la dispersión de la duración de las pilas por lo que se hace necesario construir intervalos de

 

confianza para la citada dispersión con coeficientes de confianza 90% y 98%. Construir dichos intervalos a partir de una muestra de tamaño 20 cuya dispersión es 2240 horas. Solución: Estamos ante el caso del cálculo de intervalos de confianza para la desviación típica de una distribución normal con media conocida. En este casi el intervalo de confianza para la desviación típica se basa en el siguiente estadístico:

Lo que nos lleva al intervalo de confianza para la desviación típica definido por:

En nuestro caso, para el nivel del 90% tenemos:

El intervalo de confianza será entonces:

Para el nivel del 95% tenemos:

El intervalo de confianza será entonces:

Podemos concluir entonces que hay una probabilidad del 90% de que la dispersión de la duración de las pilas en el nuevo proceso de fabricación esté entre 119,42 y 203,2 horas, y hay una probabilidad del 98% de que la dispersión de la duración de las pilas en el nuevo proceso de fabricación esté entre 109,2 y 232,88 horas. Ejercicio 8:

Se sabe que la longitud de los diámetros de los tornillos fabricados por una máquina sigue una distribución normal y se busca un intervalo en el cual se encuentre la variabilidad de las

 

longitudes de los tornillos fabricados por la máquina con una probabilidad del 80%. Construir dicho intervalo sabiendo que una muestra de 16 tornillos presenta una variabilidad cuantificada en 30. Solución: Estamos ante el caso del cálculo de intervalos de confianza para la varianza de una distribución normal con una media desconocida. En este caso el intervalo de confianza para la varianza se basa en el siguiente estadístico:

Lo que nos lleva al intervalo de confianza para la varianza definida por:

En nuestro caso, para el nivel 90% tenemos:

El intervalo de confianza será entonces:

Luego el intervalo en el cual se encuentre la variabilidad de las longitudes de los tornillos fabricados por la máquina con una probabilidad del 80% es [21,43; 56,14]. Ejercicio 9:

Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para 2 σ mediante las desviaciones que se producen en un proceso de fabricación cuya distrib ución es N (0, σ) a partir de la muestra

1.2, -2.2, -3.1, -0.2, 0.5, 0.6, -2.1, 2.2, 1.3 SOLUCIÓN: Sabiendo que el proceso de fabricación sigue una distribución normal de media conocida µ = 0, un intervalo de confianza para la varianza 2 σ al nivel α = 0.05 es el siguiente:

 

Y utilizando la tabla de la distribución  



  , se tiene que:

; −−  = ; ,  = 2,7004

Es decir: (1,44458; 10,1763)

Es el intervalo que contendrá con un 95% de acierto las desviaciones que se producen en el proceso de fabricación. Ejercicio 10:

Los límites del intervalo de confianza para la autoestima media de adolescentes con anorexia es 3,02 y 4,98 en una muestra de tamaño n = 36, siendo el nivel de confianza igual a 0,95 y  igual a 3. ¿Calcular el valor de la media de la muestra de trabajo?



Solución:

(; ⁄ √ √  )

Variable con distribución normal y varianza poblacional conocida. Por tanto, la distribución   muestral de la media es:

Siendo los límites del intervalo i ntervalo de confianza: