3.VIGAS DOBLEM REFORZADAS

VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

EMEL MULETT RODRIGUEZ

1

2.4. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS 2.4.1. FUNDAMENTOS Las normas de diseño de vigas reforzadas especifican o recomiendan que sólo se necesite refuerzo a tensión y rija el diseño por fluencia del acero para lo cual se establece una cuantía máxima   0.75  b Si la sección escogida no satisface los requisitos entonces se procede a escoger una sección de mayor tamaño. Ocurre, sin embargo, que debido a limitaciones arquitectónicas no es posible incrementar la sección; también puede deberse a conveniencias estructurales como cuando una sección satisface para ciertos valores de momentos, pero para otros no, sobre todo cuando la viga es continua.

Es preciso tener en cuenta que la presencia de refuerzo a compresión disminuye el efecto del flujo plástico y por tanto las deflexiones a largo plazo; de igual manera mejora la ductilidad, no obstante el diseño de vigas con refuerzo a compresión no es económico. Aunque la viga tenga refuerzo a compresión, si la cuantía a tensión es menor que la balanceada, la resistencia de la viga puede calcularse sin tener en cuenta el refuerzo a compresión ya que el acero a compresión está muy poco esforzado y su presencia no altera mucho el brazo de momento. Si el refuerzo a tensión es mayor que la cuantía balanceada es necesario conseguir el equilibrio en la zona del concreto a compresión agregando refuerzo. Como puede deducirse de la figura arriba, el momento resistido por la viga doblemente reforzada se puede descomponer en dos: Momento debido a la flexión simple usando un área de refuerzo máxima permitida Asmax = As-As´ y el par causado por el resto del refuerzo a As1 = A´s. Suponiendo que el refuerzo a tensión alcanza la fluencia, se tiene: Momento por flexión simple Mn1= (As –A´s) fy (d-a/2) Con a 

(1)

(As - A´s)fy (  - ´)fy  d 0.85f´c b 0.85f´c

As Siendo   (3) bd

A ´s ´ bd

(4)

Momento por el refuerzo a compresión y el exceso de refuerzo a tensión Mn2=A´sfs (d-d´)

(5)

Por tanto el momento total será la suma

(2)

Mn= (As-A´s) fy (d-a/2) + A´sfs (d-d´) (6) No se sabe si el esfuerzo fs en el acero a compresión fluye; debe determinarse por la compatibilidad de deformaciones. Del diagrama de deformaciones se puede obtener por relación de triángulos: e

cu

0.003(c - d´) ,o c d´ s´= 0.003(1  ) c

´s=

(7) (8)

d’

c-d’

e’c

VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

EMEL MULETT RODRIGUEZ

2

La cuantía balanceada para la viga doblemente reforzada puede calcularse como Como c se desconoce, usando la relación c=a/  1 y remplazando en la ecuación (2) se obtiene c=a/ 

en (8)

1

(  - ´)fy d que al remplazar 0.85f´c 1 0.85f' c 1d´ s´= 0.003(1  ) (9) (  -  ' )f y d 

Para que el acero a compresión fluya debe darse que s´≥ y= fy /Es, es decir,

s´= 0.003(1 

0.85f' c 1d´ ) ≥ fy /Es, (  -  ' )f y d

de donde se deduce que para que el acero a compresión fluya se debe cumplir que

N    '

 0.85f'c 1d' 6000 *   min 6000  f y fyd

(10)

 ' s   y =fy /E  fs = Es  's = 0.851f'c d'  fy (11) 6000 (1  (  -  ' )f y d Si



b   b  '

f's fy

(12)



b

corresponde a la cuantía balanceada para viga solamente reforzada a tensión con un área de acero As1=As-A’s que generalmente es igual a Asmax correspondiente a la cuantía máxima 0.75  b . Por tanto la cuantía máxima permitida para una viga doblemente reforzada viene dada por: 

 MAX  0.75  b   '

f's (13) fy

Si el refuerzo a compresión no fluye debe reajustarse el valor de a o altura equivalente del bloque a compresión como sigue:

a

Asfs - A´sf's (14) 0.85f´c b

El momento final resistente viene dado por Mu ≤



Mn

Mu ≤  [(As-A’s) fs (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)] 15)

Este valor de f’s se puede tomar como una primera aproximación, ya que se basó en la cuantía balanceada para el acero a tensión. 

Si la cuantía del acero a tensión  es menor que  N y es menor que  min , se tiene entonces que el acero a tensión fluye pero no el acero a compresión. El esfuerzo en el acero a compresión puede calcularse con base en el diagrama de deformaciones, de la siguiente manera: 0.003(c - d´) f’s=Es´s= Es (16) c Del equilibrio de fuerzas C=T se puede escribir: Asfy = 0.85f’c(  1 c)b+A’sf’s o Asfy = 0.85f’c(  1 c)b+A’s

6000(c - d´) c

(17). Esta es una ecuación cuadrática en c. Calculado c de dicha ecuación se obtiene f’s de (16) y con a=  1 c se calcula finalmente el momento

resistente de la viga para esta condición del refuerzo: Mu ≤  [0.85f’c ab (d-a/2) + A’sf ’s (d-d’)] (18)

VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

EMEL MULETT RODRIGUEZ

3

2.4.2. REVISION DE VIGAS DOBLEMENTE EFORZADAS Dada la sección de una viga, materiales y refuerzo se desea conocer el momento resistente. DATOS: b, h, d f’c, fy As, A’s INCOGNITA:  Mn Debe revisarse cuáles aceros alcanzan la fluencia 1. Cálculo de cuantías

A ´s ´ bd f' 1 .4 m  c  4f y fy As  bd

b =

.

N     '

0.851 f'c 6000 , fy 6000  fy

 Max = 0.75b. 2. Si

Acero a Tensión.

 N     ' < b  fs =fy. Sin embargo,

si M < N < b la sección no es aceptable por no poderse garantizar la falla por fluencia. Ideal es que N < M Si  N     ' > b  La sección está sobrerreforzada y fs < fy Del diagrama de deformaciones: s = cu (d-c)/c fs = Es cu (d-c)/c =6000 (d-c)/c Pero no se conoce c. C=T, Asfs = 0.85f’c(  1 c)b+A’sf’s o



Si N   min  f’s < fy, en este caso debe determinarse f’s Asfy = 0.85f’c(  1 c)b+A’s

6000(c - d´) c

(17). La ecuación (19) es la ecuación general para el caso en que tanto el acero a tensión como a compresión no fluyen (fs < fy y f’s < fy ). Otra manera de calcular f’s cuando fs=fy es usando un valor inicial aproximado para f’ s dado por la ecuación (11): f’s= 6000 (1 

0.851f'c d'  fy . (  -  ' )f y d

6000 As (d-c)/c =

Con

6000(c - d´) 0.85f’c(  1 c)b+A’s (19) c

A s f s - A´sfs c=a/  1 0.85f´c b 0.003(c - d´) ´s= f’s=Es´s  fy c Si f’s  fy Calcule un nuevo a, c, ´s y f’s.

y se resuelve la ecuación cuadrática resultante. Si se ha comprobado previamente que f’s = fy se remplaza directamente para simplificar la ecuación anterior. 3. 

 min =

Acero a compresión

0.85f'c 1d' 6000 Cuantía * 6000  f y fyd

mínima para que el refuerzo fluya. Si N 



 min  f’s = fy

este

valor

aproximado

se

calcula

a

4.

Momento resistente

Mu ≤  [(As-A’s) fs (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]

VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

EMEL MULETT RODRIGUEZ

4

2.4.3. DISEÑO DE VIGAS CON REFUERZO A COMPRESION DATOS: Mu, b,h,d, INCOGNITAS

f’c, fy As, A’ s.

Mn2 = Mu – MMAX. 3.

1.

m 

Calcule las cuantías máximas y mínimas para refuerzo a tensión solamente.

f' c 4f y



1 .4 fy

0.851 f'c 6000 , fy 6000  fy  Max = 0.75b

As = ASMAX + A’s o = MAX + ’ ASMAX = MAX bd A’ s =

b =

2.

Calcule el Momento máximo que la viga puede resistir a tensión:

Mmax = Ru bd2 Ru = ФMAXfy(1-0.59MAX fy / f’c ) Si Mu < Mmax No se requiere refuerzo a compresión y se diseña la viga como viga con refuerzo solamente a tensión. Si Mu > Mmax se requiere refuerzo a Compresión. En este caso se calcula el momento adicional Mn2 que debe resistir la viga: CUESTIONARIO Y EJERCICIO a) Conteste V o F 1. Si una viga tiene refuerzo longitudinal tanto en la parte superior como inferior se puede considerar que su comportamiento es el de una viga doblemente reforzada. ( ) 2. Una viga doblemente reforzada se presenta cuando debe resistir simultáneamente M+ o M-. 3. Una viga puede tener al mismo tiempo secciones reforzadas solamente a tensión y secciones doblemente reforzadas. 4. Una viga con refuerzo As+ = As- no puede comportarse como doblemente reforzada. b) Calcular el momento resistente de una viga de sección 40x60 reforzada 6#8 en su parte inferior colocadas en dos capas con los espaciamientos y separaciones de acuerdo a las NSR’98, tiene además 4#7 en una sola capa en la parte superior. f’c = 35 fy=420 MPa. c ) Una viga de 20x30 cmsxcms debe resistir un momento de flexión Mu= 110 kN-m usando fy=42 MPa y f’c=21MPa. Calcule el refuerzo necesario para resistir el momento dado. Las dimensiones no pueden cambiarse.

Acero A tensión. Mu ≤  [(AsMAX fy (d-a/2) + A’sf’s (d-d’)]

4.

M n2 As  ’= fy (d  d ' ) bd Revisión de cuantías

  MAX + ’ Si

N    '

 0.85f'c 1d' 6000 *   min 6000  f y fyd

el acero a compresión fluye, sino debe revisase el esfuerzo f’ s.