3. Vectores en R2 y R3

Resumen

275

De los problemas 73 al 78 determine si los tres vectores de posición dados (es decir, con punto inicial en el origen) son coplanares. Si lo son, encuentre la ecuación del plano que los contiene. 73. u = 2 i − 3 j + 4 k ; v = 7 i − 2 j + 3k ; w = 9 i − 5 j + 7 k   74. u = − 3i + j + 8k ; v  = − 2 i − 3 j + 5k ; w = 2 i + 14 j − 4 k   75. u = 2 i + j − 2 k ; v = 2 i − j − 2 k; w   = 2i − j + 2k   76. u = 5i + 4 j + 7 k; v = −2 i + 2 j − 3 k;

w = − i − j − k  

77. u  = = 3i − 2 j + k ; v = i + j − 5k ; w = − i + 5 j − 16 k   78. u = 2 i − j − k ; v = 4 i + 3 j + 2 k ; w = 6 i + 7 j + 5k 

R E S P U E S T A S  A 

L A  A  A  A U T O E V A L U A C I Ó N

II.

a), b), c ), ), d )

III.

a)

IIII.

d )

V.

c )

VI.

b)

VII.

b)

IV.

a)

RESUMEN � � �

 segmento de recta dirigido  que se extiende de P a Q en to de recta que va de P a Q.       gitud) y dirección.

o

S

o

denotado por PQ es el segmen(pp. 220, 246)

son equivalentes  si tienen la misma magnitud (lon(pp.. 221, 246) (pp

De f nición nición geométrica de un vector

Un vec vector tor en ( ) es el con conjun junto to de tod todos os los segm segment entos os de rec recta ta dir dirigi igidos dos en ( ) equ equiv ivaalentes a un segmento de recta dirigido dado. Una representación de un vector tiene su punto S

inicial en el origen y se denota por 0R . �

(pp. 221, 246)

De f nición nición algebraica de un vector

Un vector v en el plano xy xy (  ( ) es un un par par orden ordenado ado de núme número ross reales reales (a (a, b). Los números a y b se llaman componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0). En , un vector v es una (a, b, c). El vector cero en es el vector (0, 0, 0). terna ordenada de números reales (a �

         te manera: si v [R 5 (  (a a, b, c)].

�

 (a a, 5 (

�

] se re rela lacio ciona nan n de la sig sigui uien en-S

b) [( [(a a, b, c)], entonces una representación de v es 0R , donde R

 (a a, 5 (

a2

+

b2

+

a2

+

b 2 . Si v 5

c2 .

(pp. 222, 246)

 v es un vector en , entonces la dirección de v es el ángulo en [0, 2π] que forma cualquier representación de v con el lado positivo del eje x.

(p. 223)

Desigualdad del triángulo

En

o |u 1 v| ≤ |u| 1 |v|

�

b) (p. 222)

 v 5 (  (a a, b), entonces la magnitud de v, denotada por |v|, está dada por |v| 5 (a, b, c), entonces |v| 5

�

[

(pp.. 222, 246) (pp



sean i 5 (1, 0) y j 5 (0, 1); entonces v 5 (  (a a, b) se puede escribir como v 5 ai 1 b j.

(p. 225) (p. 226)

276 �

CAPÍTULO 3 

Vectores en R2 y R3

sean i 5 (1, 0, 0), j 5 (0, 1, 0) y k 5 (0, 0, 1); entonces v 5 (a, b, c) se puede escribir como V 5 ai 1 b j 1 ck

�

 vector unitario u en puede escribir como

o

es un vector que satisface |u|

(p. 250) 5

1. En

un vector unitario se

u 5 (cos θ)i 1 (sen θ) j

 

donde θ es la dirección de u.

�

 u 5 (a1, b1) y v 5 (a2, b2); entonces el producto escalar o producto punto de u y v, denotado por u ? v, está dado por

(pp. 226, 227)

(p. 234)

u ? v 5 a1a2 1 b1b2

Si u 5 (a1, b1, c1) y v 5 (a2, b2, c2), entonces u ? v 5 a1a2 1 b1b2 1 c1c2

�

 ángulo ϕ entre dos vectores u y v en

�

   o son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π. Son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro

(pp. 236, 250)

  2 o son ortogonales si el ángulo entre ellos es π/2. Son ortogonales si y sólo si su producto escalar es cero

(pp. 237, 250)

 u y v dos vectores diferentes de cero en denotado por proyv u, que está defnido por

(pp. 238, 251)

� �

o

es el único número en [0, π] que satisface u⋅v cos ϕ  = u v

o

. La proyección de u sobre v es un vector, u⋅v

 proyv u =

El escalar

u⋅v v

v

2

v

 se llama la componente de u en la dirección de v.

�

v u es paralelo a v y u 2 proyv u es ortogonal a v.

�

 dirección de un vector v

(pp. 239, 251)

es el vector unitario

(p. 247) v

u=

a

b

v

c

�

 v 5 (a, b, c), entonces cos α =

�

 u 5 a1i 1 b1 j 1 c1k y v 5 a2i 1 b2 j 1 c2k. Entonces el producto cruz o producto vectorial  de u y v, denotado por u 3 v, está dado por

�

(pp. 234, 235)

Propiedades del producto cruz i. u × 0 = 0 × u = 0 . ii. u × v = − v × u . iii. (αu ) × v = α (u × v ).

v

, cos β =

v

y cos γ  =

v

 se llaman cosenos directores  de v.

i

j

k 

u × v = a1

b1

c1

a2

b2

c2

(p. 248)

(pp. 254, 255)

(p. 255)

Ejercicios de repaso

iv. u × ( v + w ) = ( u

×

277

v ) + ( u × w ).

v. ( u × v ⋅ w ) = u ⋅ ( v × w ) (el triple producto escalar ). vi. u 3 v es ortogonal tanto a u como a v. vii. Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos si y sólo si u 3 v 5 0.

� �

 ϕ  es el ángulo entre u y v, entonces |u 3 v| lados u y v.

S

5

Ecuaciones paramétricas de una recta:

 P un punto en

S

0P

1

5  área

del paralelogramo con (p. 256) . Sea v 5 (x2 2 x1)i 1

tv.

(p. 264)

x 5 x1 1 at y 5 y1 1 bt z 5 z1 1 ct

 x − x1

 y − y1

 z − z 1

, si a, b y c son diferentes de cero. a b c y sea n un vector dado diferentes de cero; entonces el conjunto de todos

Ecuaciones simétricas de una recta: S

los puntos Q para los que PQ ? n normal al plano. �

|u||v| sen ϕ

 P 5 (x1, y1, z1) y Q 5 (x2, y2, z2) dos puntos sobre una recta L en ( y2 2 y1) j 1 (z2 2 z1)k y sea a 5 x2 2 x1, b 5 y2 2 y1 y c 5 z2 2 z1. Ecuación vectorial de una recta: 0R

�

5

5

=

=

0 constituye un plano en

(p. 265)

. El vector n se llama vector (p. 266)

 n 5 ai 1 b j 1 ck y P 5 (x0, y0, z0) entonces la ecuación del plano se puede escribir

(p. 267)

ax 1 by 1 cz 5 d  donde S

d 5 ax0 1 by0 1 cz0 5 0P � �

?

n

 plano xy tiene la ecuación z 5 0; el plano xz tiene la ecuación y 5 0; el plano yz tiene la ecuaación x 5 0.

(p. 277)

   paralelos  si sus vectores normales son paralelos. Si los dos planos no son paralelos, entonces se intersectan en una línea recta.

(p. 280)

EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1 al 8 encuentre la magnitud y dirección del vector dado. 1. v 5 ( 3, 3)

(

4. v 5 2, 22 3

)

2. v 523i 1 3 j

3. v 5 2 i 1 3 j

(

6. v 5 3, 2 5

5. v 5

7. v 5212 i 2 12 j

)

(

3, 1

)

8. v 5 i 1 4 j S

En los ejercicios 9 al 13 escriba el vector v, representado por PQ, en la forma ai 1 b j. Bosqueje S PQ y v. 9. P 5 (2, 3);

Q 5 (4, 5)

11. P 5 (23, 22); 13. P 5 (21, 3);

Q 5 (4, 1) Q 5 (3, 21)

10. P 5 (1, 22); 12. P 5 (21, 26);

Q 5 (7, 12) Q 5 (3, 24)