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CHAPTER

3

MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf

Torsión

Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University

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MECHANICS OF MATERIALS

Beer • Johnston • DeWolf

Contents

Introduccion

Ejes Estáticamente Indeterminados

Cargas de Torsión en Ejes Circulares

Ejemplo Problema 3.4

Torque Neto debido a Esfuerzos Internos

Diseño de Transmisión por ejes

Componentes axiales del esfuerzo cortante Concentradores de esfuerzos Deformaciones del eje

Deformaciones Plásticas

Deformación por cortante

Materiales Elastoplásticos

Esfuerzos en el Rango Elástico

Esfuerzos Residuales

Esfuerzos Normales

Ejemplo 3.08/3.09

Formas de Falla por torsión

Torsión en elementos no circulares

Ejemplo Problema 3.1

Ejes Huecos de Pared Delgada

Ángulo de giro en el Rango Elástico

Ejemplo 3.10

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Cargas de Torsión en Ejes Circulares •  Interés en los esfuerzos y tensiones de los ejes circulares sujetos a pares de torsión o torques •  Turbina ejerce torque T en el eje •  Eje transmite el torque desde el generador •  Generador crea un torque T’ igual y opuesto

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Torque Neto debido a Esfuerzos Internos •  El esfuerzo cortante interno neto es un torque interno, igual y opuesto al torque aplicado, T = ∫ ρ dF = ∫ ρ (τ dA)

•  Aunque el torque neto debido al esfuerzo cortante es conocido, la distribución de esfuerzos no lo es •  La distribución de los esfuerzos cortantes es estáticamente indeterminados – se consideran las deformaciones del eje •  A diferencia de los esfuerzos normales debido a cargas axiales, la distribución de los esfuerzos cortantes no se pueden asumir uniformes. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Componentes axiales del esfuerzo cortante •  El torque aplicado a un eje prodece esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares al eje. •  La condición de equilibrio requiere la existencia de esfuerzos iguales en las caras de los dos planos que contienen el eje del elemento (eje). •  La existencia de las componentes axiales del esfuerzo cortante es demostrada considerandi un eje formado por listones axiales. Los listones se deslizan uno respecto a otro cuando torques iguales y opuestos se aplican en los extremos del eje. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Deformaciones del eje

•  De la observación, el angulo de giro del eje es proporcional al torque aplicado y a la longitud del eje. φ ∝T

φ∝L

•  Cuando se somete a torsión, todas las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsiones. •  Las secciones transversales de un eje solido y un eje hueco permanecen planas y sin distorsíón porque los ejes circulares son simétricos. •  Las secciones transversales de ejes no circulares (no simétricos) se distorsionan cuando se someten a torsión. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Deformación por cortante

•  Considerando una sección interior del eje. Como una carga de torsión es aplicada, un elemento en el interior del cilindro se deforma en un rombo. •  Dado que los extremos del elemento permanecen planos, la deformación por esfuerzo cortantes es igual al angulo de giro. •  Entonces, se tiene que, Lγ = ρφ or γ =

ρφ L

•  La deformación por cortante es proporcional al angulo de giro y al radio. γ max =

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cφ ρ and γ = γ max L c

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Esfuerzos en un rango elástico

•  Multiplicando la anterior ecuación por el modulo de rigidez, Gγ =

ρ c

Gγ max

Por la ley de Hooke, τ = Gγ , entonces, τ=

ρ c

τ max

El esfuerzo cortante varia linealmente con la posición radial en la sección.

J = 12 π c 4

•  Recordar que la suma de los momentos de la distribución interna de esfuerzos es igual al torque en el eje de la sección, τ τ T = ∫ ρτ dA = max ∫ ρ 2 dA = max J c c

(

J = 12 π c24 − c14

)

•  Los resultados se conocen como las fórmulas elásticas de torsión, τ max =

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Tc Tρ and τ = J J

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Esfuerzos Normales

•  Elementos con caras paralelas y perpendiculares al eje de simetría se someten sólo a esfuerzos cortantes. Esfuerzos normales, esfuerzos cortantes o una combinación de los dos se pueden encontrar en otras orientaciones. •  Considerando un elemento a 45o del eje central, F = 2(τ max A0 )cos 45 = τ max A0 2

σ

45

o

=

F τ max A0 2 = = τ max A A0 2

•  Elemento a está en cortante puro. •  Elemento c es sometido a esfuerzo de tensión en dos caras y esfuerzo de compresión en las otras dos. •  Notese que todos los esfuerzos de los elementos a y c tienen la misma magnitud. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Modos de Fallas por torsión

•  Generalmente los materiales ductiles fallan en cortante. Los materiales frágiles son más débiles en el esfuerzo de tensión. •  Cuando se sujeta a torsión, un especimen dúctil se rompe a lo largo del plano de cortante máximo, i.e., un plano perpendicular al eje. •  Cuando se sujeta a torsión, un especimen frágil a lo largo de planos perpendiculares a la dirección donde la tension es máxima, i.e., a lo largo de superficies de 45o del eje.

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Ejemplo Problema 3.1

SOLUCIÓN: •  Cortar las secciones a traves de los ejes AB y BC y realizar analísis de equilibrio estático para encontrar los toques aplicados.

Eje BC es hueco con diametros interno y externo de 90 mm y 120 mm, respectivamente. Ejes AB y CD son sólidos de diámetro d. Para la carga mostrada, determine (a) el mínimo y máximo del esfuerzo cortante en el eje BC, (b) el diámetro d requerido para los ejes AB y CD si el esfuerzo cortante admisible en estos ejes es 65 MPa. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

•  Aplicar las formulas de torsión elástica para encontrar los esfuerzos minimos y máximos en el eje BC. •  Dado el esfuerzo cortante admisible y el torque aplicado, despejar de la formula de torsión elastica para encontrar el diámetro requerido.

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Ejemplo SOLUTION:Problema 3.1

•  Cortar secciones a través de los ejes AB y BC y realizar el analísis de equilibrio estático para encontrar los torques aplicados.

∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB

∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC

TAB = 6 kN ⋅ m = TCD

TBC = 20 kN ⋅ m

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Ejemplo Problema 3.1

•  Aplicar las formulas de torsión elástica para encontrar el esfuerzo minimo y máximo en el eje BC.

J=

•  Dado el esfuerzo cortante admisible y el torque aplicado, despejar de la formula de torsión elastica para encontrar el diámetro requerido

π ( c24 − c14 ) = [(0.060)4 − (0.045)4 ] 2 2

π

= 13.92 ×10−6 m 4

τ max = τ 2 =

TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m ) = J 13.92 ×10− 6 m 4

τ max =

Tc Tc =π 4 J 2 c

65 MPa =

6 kN ⋅ m π 3 2 c

c = 38.9 ×10 −3 m

d = 2c = 77.8 mm

= 86.2 MPa

τ min c1 = τ max c2

τ min 86.2 MPa

τ min = 64.7 MPa

=

45 mm 60 mm

τ max = 86.2 MPa τ min = 64.7 MPa

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Angulo de giro en un Rango Elástico •  Recordar que el ángulo de giro y la maxima deformación por cortante se relacionan, γ max =

cφ L

•  En el rango elástico, el esfuerzo y deformación cortante por ley de Hooke, γ max =

τ max G

=

Tc JG

•  Igualando las expresiones de deformación por cortante y resolver para el ángulo de giro, φ=

TL JG

•  Si la carga torsional o la sección transversal del eje cambia a lo largo de la longitud, el ángulo de rotación se encuentra como la suma de la rotación de los segmentos. Ti Li i J i Gi

φ =∑ © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Ejes estáticamente indeterminados •  Dadas las dimensiones del eje y el torque aplicado, nos gustaría encontrar el torque de reacción en A y B. •  De un analísis de cuerpo libre del eje, TA + TB = 90 lb ⋅ ft

que no es sufuciente para encontrar los torques terminales. El problema es estáticamente indeterminado. •  Dividir el eje en dos componentes que debe tener deformaciones compatibles, φ = φ1 + φ2 =

TA L1 TB L2 − =0 J1G J 2G

LJ TB = 1 2 TA L2 J1

•  Sustituyendo en la ecuación de equilibrio original, LJ TA + 1 2 TA = 90 lb ⋅ ft L2 J1

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Ejemplo Problema 3.4

SOLUCIÓN: •  Aplicar un analísis de equilibrio estático en los dos ejes para encontrar una ralación entre TCD y T0 •  Aplicar un analisis cinemáticopara relacionar la rotación angular de los engranajes Dos ejes de acero sólido estan •  Encontrar el maximo torque admisible conectadoa por engranajes. Sabiendo en cada eje - escoger el mas pequeño que para estos ejes G = 11.2 x 106 psi y •  Encontrar el correspondiente angulo el esfuerzo admisible cortante es 8 ksi, de giro para cada eje y el angulo neto determine (a) el mayor torque T0 que de rotación al final de A puede aplicarse en el extremo final del eje AB, (b) el correspondiente angulo de deformación que termina en A de la rotación del eje AB. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Ejemplo Problema 3.4 SOLUCIÓN:

•  Aplicar un analísis de equilibrio elástico en los dos ejes para encontrar la relación entre TCD y T0

∑ M B = 0 = F (0.875 in.) − T0

•  Aplicar un analísis cinemático para relacionar el angulo de rotación de los engranajes

rBφ B = rCφC rC 2.45 in. φC = φC rB 0.875 in.

∑ M C = 0 = F (2.45 in.) − TCD

φB =

TCD = 2.8 T0

φ B = 2.8φC

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Ejemplo Problema 3.4

•  Encontrar el T0 para el maximo torque admisible en cada eje – escoger el más pequeño

•  Encontrar el angulo de giro correspondiente para cada eje en el angulo de rotación neto al final de A

φA / B =

τ max =

T (0.375 in.) TAB c 8000 psi = 0 π (0.375 in.)4 J AB 2 TCD c 2.8 T0 (0.5 in.) 8000 psi = π (0.5 in.)4 J CD 2

T0 = 561lb ⋅ in.

T0 = 561lb ⋅ in

(

)

= 0.387 rad = 2.22o

φC / D =

T0 = 663 lb ⋅ in.

τ max =

(561lb ⋅ in.)(24in.) TAB L = J ABG π (0.375 in.)4 11.2 × 106 psi 2 TCD L 2.8 (561lb ⋅ in.)(24in.) = J CDG π (0.5 in.)4 11.2 × 106 psi 2

(

= 0.514 rad = 2.95o

(

)

)

φ B = 2.8φC = 2.8 2.95o = 8.26o φ A = φ B + φ A / B = 8.26o + 2.22o

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φ A = 10.48o 3 - 18

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Diseño de transmisión por ejes •  Las especificaciones de la transmisión por ejes son: -  potencia -  velocidad •  El diseñador debe seleccionar material del eje y la sección transversal para cumplir con las especificaciones de rendimiento sin exceder esfuerzo cortante permisible.

•  Determine el torque aplicado al eje la potencia y la velocidad especificadas, P = Tω = 2πfT T=

P

ω

=

P 2πf

•  Encontrar la sección transversal del eje que no exceda el esfuerzo cortante maximo, τ max =

Tc J

J π 3 T = c = c 2 τ max

(

(solid shafts )

)

J π 4 4 T = c2 − c1 = c2 2c2 τ max

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(hollow shafts )

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Concentradores de esfuerzos •  La derivación de la formula de torsión, τ max =

Tc J

asumiendo un eje de sección transversal circular uniforme a traves de placas extremas rigidas. •  El uso de acoplamientos de bridas, engranajes y poleas conectados a los ejes mediante los chaveteros y seccíones transversales discontinuos pueden causar concentraciones de esfuerzos •  Experimentalmente o numericamente determinando los factores de concentración τ max = K

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Tc J 3 - 25

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Deformaciones plásticas •  Asumiendo un material linealmente elástico, τ max =

Tc J

•  Si el límite de elasticidad es excedido o el material tiene una curva de cortante-tensión-deformación no lineal, esta expresión no se sostiene. •  Deformación por cortante varia linealmente independientemente de las propiedades del materiales. Aplicación curva de cortante-tensión-deformación permite la determinación de la distibución de esfuerzos. •  La integral de los momentos de la distribución de esfuerzos es igual al torque en la seccíón del eje, c

c

0

0

T = ∫ ρτ (2πρ dρ ) = 2π ∫ ρ 2τ dρ

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Materiales elastoplásticos •  En el torque maximo elástico, TY =

J τ Y = 12 πc3τ Y c

φY =

Lγ Y c

•  A medida que aumenta el, en la región plástica ( τ = τY ) se desarrolla alrededor del nucleo elástico ( τ=

ρ τ ) ρY Y

T=

ρY =

Lγ Y

φ

3 ⎛ 2 πc3τ ⎜1 − 1 ρY Y⎜ 3 4 3

⎞ 4 ⎛ 1 ρY3 ⎞ ⎟ = TY ⎜1 − ⎟ 3 ⎜ 4 3 ⎟ ⎟ c ⎠ c ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 1 φY3 ⎞ 4 T = 3 TY ⎜1 − 4 3 ⎟ ⎜ φ ⎟⎠ ⎝

•  As ρY → 0, el torque se aproxima a un valor límite, TP = 43 TY = plastic torque

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Esfuerzos residuales •  Región plástica se desarrolla en un eje cuando es sometido a un par de torsión suficientemente grande •  Cuando se elimina el torque, la reducción del esfuerzo y la tensión en cada punto tiene lugar a lo largo de una línea recta a una tensión residual generalmente distinto de cero •  En una curva T-f , las descargas del eje a lo largo de una línea recta a un ángulo mayor que cero •  Esfuerzos residuales encuentran desde el principio de superposición

′ = τm © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Tc J

∫ ρ (τ dA) = 0 3 - 28

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Ejemplo 3.08/3.09

SOLUTION: •  Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y evaluar el radio del corazon elástico. •  Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro.

Un eje sólido circular esta sujeto a •  Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo un torque T = 4.6 kN ⋅ m en el final. que el eje rectifique cuando el torque Asumiendo que el eje esta hecho de un material elastoplastico con τY = 150 MPa es removido. El giro permanente es la diferencia entre angulos de giro y y G = 77 GPa determine (a) el radio rectificado. del corazon elástico, (b) el angulo de giro del eje. Cuando el torque es •  Encontrar la distribución de la tensión removido, determine (c) el giro residual por una superposición de la permanente, (d) la distribución de tensión debido a la torsión y destorsión esfuerzos residuales. el eje

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Ejemplo SOLUTION:3.08/3.09

•  Resolver la Eq. (3.32) para rY/c y evaluar el radio del corazon elástico 3⎞ ⎛ ρ T = 43 TY ⎜1 − 14 Y3 ⎟ ⇒ ⎜ c ⎟⎠ ⎝

J=

1 πc 4 2

=

1π 2

ρY

1 ⎞ 3

⎛ T = ⎜⎜ 4 − 3 ⎟⎟ c ⎝ TY ⎠

(25 ×10 m) −3

= 614 ×10−9 m 4

τY =

TY c τ J ⇒ TY = Y J c

( 150 ×106 Pa )(614 ×10−9 m 4 ) TY = 25 ×10−3 m

•  Resolver la Eq. (3.36) para el angulo de giro φ ρ = Y φY c

⇒ φ=

φY ρY c

(

)

TY L 3.68 ×103 N (1.2 m ) φY = = JG 614 ×10-9 m 4 (77 ×10 Pa )

(

)

φY = 93.4 ×10−3 rad 93.4 × 10−3 rad φ= = 148.3 ×10−3 rad = 8.50o 0.630

φ = 8.50o

= 3.68 kN ⋅ m

ρY

4.6 ⎞ ⎛ = ⎜4 −3 ⎟ c ⎝ 3.68 ⎠

1 3

= 0.630

ρY = 15.8 mm © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Ejemplo 3.08/3.09

•  Evaluar la Eq. (3.16) para el angulo que el eje se distorsiona cuando el torque es removido. El giro permanente es la diferencia entre los angulos de giro y rectificado φ′ =

•  Encontrar la distribución de esfuerzo residual por la superposición del esfuerzo debido a la torsión y la distorsión del eje

TL JG

(

)(

Tc 4.6 ×103 N ⋅ m 25 ×10−3 m ′ = τ max = J 614 ×10-9 m 4

)

= 187.3 MPa

( 4.6 ×103 N ⋅ m )(1.2 m ) = (6.14 ×109 m4 )(77 ×109 Pa ) = 116.8 × 10−3 rad φp = φ − φ′

(

)

= 116.8 ×10−3 − 116.8 ×10−3 rad = 1.81o

φ p = 1.81o

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Torsion en elementos no circulares •  La anteriores formulas de torsión son validas para ejes asimetricos o circulares •  Sección transversal plana de un eje no circular no permanecen planas y el esfuerzo y la distribución de la no varia linealmente •  Para secciones rectangulares uniformes, τ max =

T c1ab 2

φ=

TL c2 ab3G

•  Para grandes valores de a/b, el maximo esfuerzo cortante y angulo de giro para recciones abiertas es el mismo que en una barra rectangular.

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Ejes de pared delgada

•  Asumiendo fuerzas en la dirección x AB, ∑ Fx = 0 = τ A (t AΔx ) − τ B (t B Δx ) τ At A= τ Bt B = τ t = q = shear flow

esfuerzo cortante varia inversamente con el espesor •  Calcular el torque de la integral de los momentos debido al esfuerzo cortante dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2q dA

T = ∫ dM 0 = ∫ 2q dA = 2qA

τ=

T 2tA

•  Angulo de giro (from Chapt 11) φ=

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TL

ds

2 ∫ t 4A G

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Ejemplo 3.10

Tubos de aluminio extruido con una sección transversal rectangular tiene un torque de apriete de 24 kip-in. Determinar el esfuerzo cortante en cada una de las cuatro paredes con (a) espesor de pared uniforme de 0,160 pulg. Y espesores de pared de (b) en 0.120. Sobre AB y CD y 0,200 pulg. En CD y BD. SOLUCIÓN: •  Determinar el flujo de cortante a través de las paredes de la tubería •  Encontrar la tensión de corte correspondiente a cada espesor de pared

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Ejemplo 3.10 SOLUCIÓN:

•  Determinar el flujo de cortante a través de las paredes de la tubería

•  Encontrar la tensión de corte correspondiente a cada espesor de pared Con una pared de espesor uniforme, τ=

q 1.335 kip in. = t 0.160 in.

τ = 8.34 ksi

Con un espesor de pared variable A = (3.84 in.)(2.34 in.) = 8.986 in.2 q=

T 24 kip - in. kip = = 1 . 335 2 A 2 8.986 in.2 in.

(

)

τ AB = τ AC =

1.335 kip in. 0.120 in.

τ AB = τ BC = 11.13 ksi τ BD = τ CD =

1.335 kip in. 0.200 in.

τ BC = τ CD = 6.68 ksi © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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