3. Teoria de Los Grados

Ejemplos: P(x) 5x + x4 + 3x2 + 7

NOTACIÓN MATEMATICA Permite diferenciar constantes de variables Se tiene:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es aquel conjunto de números y letras relacionados por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces.

R(x; y)=

 y

+

2

2 x  y

3

VALOR NUMERICO Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes

Ejemplos : 3 2 5 P(x; y)= 1 + x  + x  + x E.A. Racional entera

5 x 3

Gdo(P) = 4; coeficiente principal = 1 P(x) es Mónico Q(x) 3x2 - x5 + 2 Gdo(Q) = 5; coeficiente principal = -1 Q(x) no es Mónico

Ejemplo: Si : P(x) = 5x + 3 hallar : P(0); P(1)

Resolución:

2 -2

+xy

x = 0 : P(0) = 5(0) + 3 = 3 x = 1 : P(1) = 5(1) + 3 = 8

E.A. Racional fraccionaria

VALORES NUMERICOS NOTABLES Q(x; y)=

 3

 x

5

2/5 3

2

 y  + x y  + 3x y

E.A. Irracional

POLINOMIO

Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Termino independiente P(1) = Suma de coeficientes

GRADOS

Es aquella expresión racional entera, es decir la variable esta afectada de exponentes enteros y positivos Ejemplos: 3 2 P(x)= 5x  + 2x  + 7x + 2 Polinomio de 4 términos 2

GRADO: Es una característica característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay 2 tipos de grados y son: Grado Absoluto (G.A) Grado Relativo (G.R)

5

Q(x)= 3 + x  + x Polinomio de 3 términos

GRADO DE MONOMIOS

R(x, y)= 5x  + x y Binomio

El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable.

T(x)= 3x Monomio

Ejemplo:

2

3 5

M(x,y)=

REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE n

n-1

P(x) a0x  + a1x

n-2

+ a2x

+ ...... + an-1x + an , (a0 0)

Dónde: x = variable Grado de P(x): Gdo (P) = n; n a0: Coeficiente principal a0; a1; a2; .......; an : Coeficientes Coeficientes an: Termino independiente Ejemplo: P(x) 3x + 5x3 + 7x2 + 11 Gdo(P) = 3 Coeficiente principal = 5 Coeficiente del termino cuadratico = 7 Coeficiente del termino lineal = 3 Termino independiente = 11

DEFINICIÓN En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio monico”.

1

12 x 5 y 9 COEFICIENTE

VARIABLES G.A(M) = 5 + 9 = 14 GR.(x) = 5 GR.(y) = 9 Solo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de t odos sus grados relativos.

GRADO DE POLINOMIOS El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el m ayor exponente de dicha variable en todo el polinomio. Ejemplo:

 P ( x; y)  8 x  y  6 x  y  9 x  y 3

7

   T 1

G.A (T1) = 3 + 7 = 10 G.A (T2) = 5 + 6 = 11 G.A (T3) = 4 + 8 = 12 Entonces: G.A (P) = 12

5

6

   T 2

5

8

   T 3

 Álgebra – Nivel: A– 2 PRÁCTICA DE CLASE M( x)

1) Dado el monomio: n

2m+3n

5m – n

P(x, y) = 4 m  x  y Si G.A. (P) = 10 y G.R. (x) = 7 Calcular su coeficiente:  A) 2 B) 5 C) 8 D) 16 E) 64

 A) 6

10

C) 1999

M( x)

3x

x

B) 8

n

C) 9

D) 12

E) 16

2x 2a  b  4 y a  b  2  4x 2a  b 3 ya  b 1  6x 2a  b  2 ya  b es de grado 10 y la

5

9x

 A) 2

2n

III SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1998) 12) Si el polinomio

3) Si el grado de: 6

x

es polinomio de grado absoluto 18 y la diferencia de los grados 2 relativos a “x” e “y” es 8, entonces el valor de (m + p)  es:  A) 81 B) 64 C) 121 D) 49 E) 100

19

B) 1998 E) 2001

1

P(x, y)  7x m3 p y p2  9x m p1y p4  x m p1y p1

P(x) = x + 4x  + 10x  + 19x + … si tiene 37 términos  A) 1000 D) 2000

2

nn

III SUMATIVO (OCT. 98 – FEB. 99) 11) Sabiendo que:

2) ¿Cuál es el grado del polinomio: 4

11x

4 3

x

m

2x

B) 6

m

es 8, el valor de “m” es:

C) 9

D) 12

diferencia entre los grados relativos de x e y es 4, la suma de a y b es:  A) -3 B) -1 C) -2 D) 3 E) 2

E) 15

III SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000) 4) Si el grado de la expresión reducida equivalente a: N( x)

n

x

3

x

13) Si el monomio

8

 es uno

Hallar el grado de: 2

P( x)

8

18

m es:  A) 26

32

... x x   x  x         "n" tér min os

 A) 50

B) 72

C) 98

D) 128

a b 1

x

x

 A) 2 D) 5

a b 5

?

B) 3 C) 4 E) Hay 2 correctas

n – 1

m+n+1

P(x, y) = x y a “y” es 5.  A) 45

+ x

B) 54

n-3

x 3

y

C) 64

es 20. Además el grado relativo

D) 72

E) 80

C) 34

D) 38

E) 43

 p(x , y)   b(ax a 1 y b1 )  (5x ) a 1 y b a  0,04 bx 2 y b1

es 14, y el grado respecto a “x” es 6. El producto de todos sus coeficientes es:  A) 10 B) 50 C) 100 D) 500

E) 600

2

de grado 27; el valor de a  – 3 es:  A) 33 B) 28 C) 30

D) 41

E) 25

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2002)

y

n

  es 5

(2a  5 b)X a 5 Y c2 Z b4 (c 2  3a )X10 b Y10a Z7c

son términos semejantes, entonces la suma de sus coeficientes es  A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 40

x 56

B) 56

3

B) 30

16) Si:

5

 A)

 es, de quinto grado, entonces el valor de

8q 3a p  16q 2a p 2  3 q 4a p 3  8

7) Hallar “n”, si el grado de: x

x m2

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1999) 15) Dado el siguiente polinomio:

6) Hallar m . n ; si el grado de: m+n

3

m2

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1999) 14) El grado del polinomio:

E) 162

5) ¿Cuál es el grado del polinomio que se obtiene al reducir: P(x) = (a + b – 3) +

x x

C)

5

56

D)

3

E)

5

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2002) 17) Si P(x) es un polinomio cúbico donde

6

3

P(3x + 10) = x  + 2x + 40, la suma de los coeficientes de P(x): es:  A) 51 B) 43 C) 13 D) 10 E) 7

8) Dado el polinomio: 4

m

5

5

m

3

R(x) = (2 x  – 3)  (m x  – 1) (2 x  – x – m) Indique el coeficiente principal, si el término independiente es 72.  A) 1024 B) 243 C) 624 D) 512 E) 64

9) Calcule “m”, si la suma de los grados de los términos del polinomio: P( x)

x

2

x

12

x

36

x

80

          

B) 12

C) 13

D) 14

10) Dados: P(x) =

3x

n n n

n n n

Q( x)

3x

R( x)

11x

nn

7x

n

7x

1

2

y

5

Si: G.A. P( x) . Q( x) . R( x)

II SUMATIVO (OCT. 2001 – FEB. 2002) 19) El grado de:

Si a > 0 es:  A) 3

2

n

E) 10

 (x18a  x13a  Mx 7a ) 2  P( x )  5   x a  3.  

y

3

P( x, y)  x 2m y n 2  3x m y n 1  x m y n Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todos sus variables. El grado relativo a “y” es:  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

es 6734

"m" té min os  A) 11

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2001) 18) Si el grado absoluto de:

B) 4

C) 5

1/ a

D) 6

E) 7

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000) 20) Si los grados de los polinomios de P y Q, en ese orden, son 2

289 , calcular el grado de:

3 4

números consecutivos y además el grado de (P Q + Q )   es 72, 2 3 4 entonces el grado de: (PQ  – P )  es:  A) 56 B) 60 C) 64 D) 68 E) 72

 Álgebra – Nivel: A– 2 II SUMATIVO (MAYO – SET. 1997) 21) Si el término independiente del polinomio:

PRÁCTICA DOMICILIARIA

2

P(x) = (x + 2)  (x – 3) (x – m) (x + 5) es 2940, entonces “m” es igual a:  A) 25 B) 40 C) 49 D) 20 E) 15

1) Hallar el valor de “n” si el grado del monomio: M=

II SUMATIVO (MAYO – SET. 1997) 22) El valor que debe tomar “n” para que la expresión: 4

n

3 x n n

 A) 1/3

B) -1/2

Tenga por grado absoluto igual a 300, es:  A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

3

grado de 3P  + 2Q  es:  A) 8 B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2003) 24) El grado de la siguiente expresión es 105, entonces el valor de “n”

3

x 2 x a 3

 A) 4

B) 3

( y 2  2)(y  1)( y 4  4)(y 3  3)....(y n  n) B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

II SUMATIVO (OCT. 2003 – FEB. 2004) 25) El grado del polinomio:  p(x )  ( x 2  1)(x 6  1)(x12  1)(x 20  1)....(x n (n 1)  1)

Es:

D)

B)

n (n  1) 3

n (n  1)(n  2)

x a  3.

R(x, y, z) =

3

F(x) = ( x

3

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000) 26) Si P(x) = (x-1) (x 2 –1) (x4 –1) (x8 –1)……. tiene 20 f actores, entonces 2n

el grado de P(x ) es: 20 20  A) 2 B) 2n 20 20 D) 2n(2 -1) E) n(2 -1)

C) 2n2

a

b

y 5.za 7

B) 7

a

a

a

a

a

2

 x a  a a ) (x a  x  a a )

 x a  a a )a

2

E) 0

monomio? 6 24 60 120 M = a . b . c . d …… sea 6006  A) 12 B) 13 C) 10

D) 18

E) 11

7) Hallar el grado absoluto del monomio a

xc y  b

z2

 ; si se cumple:

2

Q 2 (x) P( x )

C) 6

n 2 1 n n 1 ( n n 11)  Q( x )   x xx   

E) N.A.

8) Hallar el grado absoluto del monomio: , es:

D) 5

UNT 2006 – II (ÁREA C) 29) Luego de reducir la expresión:

M= x E) 4

2(1) 4( 4) 6(9)

y

 A) 14 400 D) 28 080

z

.....w 30( 225)

B) 20 800 E) 28 800

C) 38 080

9) Calcular “m” y “p” si el polinomio: (1 n )

Donde:

n  N *  N  {1}, x  0 y z  1 : resulta una expresión algebraica que se clasifica como:  A) Racional entera B) Racional fraccionaria C) Irracional D) Expresión exponencial E) Trascendente

3

aa

ab – ac – n  = bc – ab – 2n = ac – bc – 1 = 0  A) 1 B) 0 C) 2 D) 4

 son 27 y 23

Respectivamente, el grado de  A) 8

3

Determinar el grado de F(x), si el término independiente de {P(x) . F(x)} es 256  A) 2 B) 4 C) 16 D) 64 E) 32

M=

UNT 2007 – I (ÁREA C Y D) 28) Los grados de los polinomios: Q( x )

( a  2)

6) ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado absoluto del

Es de grado absoluto 4 y los grados relativos a “x” e “y” son iguales: El valor de 3b – a es:  A) -1 B) 5 C) -2 D) 1 E) 2

P 2 ( x)Q( x) y

y

polinomio: 4 n 5 n-1 3 n-2 P(x) = (5x  – 3)  + (4x  – 3)  + (7x  – 5)  + 7 n-2 5(x  + 1)  (x – 2)  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

2

P 3 (x )

a 2

5) Indicar, cuanto vale la suma de todos los coeficientes del

20

UNT 1998 (ÁREA “C”) 27) Si el monomio: M  26 x b y x a y b

E) 1

se clasifica como expresión algebraica racional entera. Calcular uno de los valores de: R(-2, -2, 2) 18 18  A) 2 B) 2 C) Hay dos alternativas correctas 16 21 D) 2 E) 2

P(x) = ( x

n(n  1) 2

E)

3

D) 5

4) Dados los polinomios:

n ( n  2)

C)

C) 2

3) Si la expresión:

es:

 A) n (n  1)

E) 2

x15a x a 1

E) 12 3

2

D) 3

2) Hallar “a” sabiendo que la expresión es de décimo grado

II SUMATIVO (OCT. 2000 – FEB. 1998) 23) P y Q, son polinomios, tal que el grado de P es 4 y de Q es 3. El

 A) 12

C) ½

n

( x y ).........( x y )

2

 es 36 n n n n

P( x, y)  y( xy) ( x 2 y) ( x 2 y 2 ) ( x 3 y 2 ) ( x 3 y 3 ) ( x 4 y 3 ) 4

xn xn xn x

n

P  7 x m  p  3 y p  2  9x m  p 1y p  4  11x m  p 1 y p 1

es de grado absoluto 18 y la diferencia de grados relativos a “x” e “y” es 8.  A) 9,7 B) 13,9 C) 4,8 D) 2,9 E) 8,9

10) En el polinomio: P  2x m y n 1  3x m 1y n  7 x m  2 y n  2  6x m  3 y n 1

el grado relativo a “x” es 12 y el grado absoluto del polinomio es 18. Hallar el grado relativo a “y”.  A) 9 B) 5 C) 7 D) 6 E) 4

 Álgebra – Nivel: A– 2 11) Dados los polinomios P y Q donde: 2 2 m 2 1 n  3  x m  4 yn  2 P(x, y)  3x m  3 y n 5  2x y 2 2 2 m 1 n 2  20  x 2 m6 y n 15 Q( x , y)  2x 2 m y n 12  3x y

Si el polinomio P es de grado 19 respecto a “x” y en el polinomio Q el grado respecto a x es 10 unidades menor que el grado respecto a “y”, luego el grado absoluto del polinomio P(x,y) más el grado respecto a “y” en el mismo es:  A) 26 B) 27 C) 28 D) 30 E) 29

12) Dado el polinomio: 3

6

10

P(x) = x + 3x  + 6x  + 10x + ………… Calcular el grado absoluto, si se sabe que tiene t treinta términos.  A) 356 B) 365 C) 456 D) 465 E) 565

********************************** CENTRO DE COM PUTO  A.P.U. “ADUNI” 

Copyrigth 2014 

**********************************

4