3 Rigidez Armadura Plana

MÉTODO DE LA RIGIDEZ ARMADURAS PLANAS

DEFINICIÓN

Estructuras bidimensionales conformadas por elementos prismáticos rectos, conectados en sus extremos por uniones (nudos) articuladas (sin fricción), sometidas a cargas y reacciones que actúan solo en los nudos y que se encuentran en el plano de la estructura. Así, los elementos de la armadura sólo estarán sometidos a fuerzas axiales (tensión o compresión)

SISTEMAS DE COORDENADAS Usados para especificar los datos de la estructura (localización de elementos, nudos de conexión, cargas, etc) así como para definir dirección de aplicación de las cargas, y para poder establecer las relaciones necesarias de fuerza-desplazamiento. • Sistema global de coordenadas (general para la estructura) • Sistema local de coordenadas (propio de cada elemento)

SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS Usado para definir la geometría general de la estructura, así como establecer las relaciones carga-deformación de toda la estructura. Por lo general se refiere a un sistema cartesiano, rectangular que sigue la regla de la mano derecha. Las estructuras planas estarán contenidas en el plano XY Y

El origen global de coordenadas puede colocarse arbitrariamente en cualquier nudo de la estructura.

X Z

Sin embargo, es conveniente colocarlo de forma tal que todas las coordenadas de los nudos de la estructura sean positivas.

SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS

SISTEMA LOCAL DE COORDENADAS Usado para definir las relaciones fuerza-desplazamiento de cada elemento en términos de fuerzas y desplazamientos paralelas y perpendiculares a su eje longitudinal. Se define un sistema local de coordenadas xyz para cada elemento de la estructura El origen del sistema de coordenadas xyz local puede ubicarse arbitrariamente en uno de los extremos del elemento en su estado j no deformado, con el eje x siempre dirigido a lo largo del eje longitudinal. ym Nudo final xm m La dirección positiva del eje y se define de modo que el sistema de coordenadas sea diestro, con el eje z i local apuntando en la dirección Nudo inicial positiva del eje Z global.

GRADOS DE LIBERTAD Desplazamientos posibles (traslaciones y rotaciones) de los nudos que conforman una estructura y que son necesarios definir para establecer la deformada de la estructura cuando se somete a una carga arbitraria.

Número total de grados de libertad de la estructura

Número de grados de libertad de un nudo libre

Número de nudos de la estructura

Número de grados de libertad restringidos por los apoyos

GRADOS DE LIBERTAD Armadura

Nudos articulados sin fricción

Grados de libertad traslacionales X y Y en los nudos (referidos a coordenadas globales) Grados de libertad de un nudo libre (GLNL) = 2

GRADOS DE LIBERTAD

GL definidos en el sistema de coordenadas globales XY Todos los GL mostrados son positivos

GRADOS DE LIBERTAD NUMERACIÓN GRADOS DE LIBERTAD Los grados de libertad se numeran comenzando en nudo con el número más bajo y procediendo secuencialmente hasta el más alto. En el caso de más de un grado de libertad en un nudo, el desplazamiento X se numera primero, seguido del desplazamiento Y.

GRADOS DE LIBERTAD NUMERACIÓN GRADOS DE LIBERTAD RESTRINGIDOS Después de que todos los GL hayan sido numerados, se numeran los GL restringidos, comenzando con un número igual a NGL+1. Se comienza por el nudo con el número más bajo y se sigue secuencialmente hasta el número de nudo más alto. Todas los GL restringidos deben quedar numerados. En el caso que haya más de un GL restringido en un nudo, el GL en X se numera primero, seguido del GL en Y.

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

Vector de cargas nodales

Matriz de rigidez de la estructura

Vector de desplazamientos

La matriz de rigidez de la estructura (coordenadas globales) se ensambla a partir de las matrices de rigidez de los elementos (coordenadas locales) que la conforman. La matriz de rigidez de un elemento expresa las fuerzas (internas) en sus extremos como funciones de los desplazamientos en esos puntos.

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES |

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES Rigidez (k): fuerza generada por un desplazamiento unitario

Relación entre las fuerzas Qi y los desplazamientos ui: someter por separado al elemento a cada ui

Fuerzas internas (Qi)

Desplazamientos (ui) y fuerzas (Qi) se definen en relación con el sistema de coordenadas local y se consideran positivos cuando se encuentran en las direcciones positivas de los ejes x e y locales.

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES Fuerza totales Qi (superposición):

Fuerza en cada GL

GL del desplazamiento unitario

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

Matriz de rigidez del elemento en el sistema local de coordenadas

Vector de fuerzas nodales (extremos del elemento)

Vector de desplazamientos nodales (extremos del elemento)

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS DE ARMADURAS PLANAS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS LOCALES

EJEMPLO Determine la matriz de rigidez en coordenadas locales (k) de todos los elementos que conforman la armadura

EJEMPLO

La posición desplazada del elemento 8 de la armadura es mostrada en la figura (b). Calcule la fuerza axial del elemento

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Sistema de coordenadas locales

Rigidez (ki) Fuerzas (Qi) Desplazamientos (ui)

Sistema de coordenadas globales

Rigidez (Ki) Fuerzas (Fi) Desplazamientos (vi)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

Matriz de transformación

Vector de fuerzas nodales en los extremos del elemento (coordenada local)

Vector de fuerzas nodales en los extremos del elemento (coordenada global)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

Xb, Yb: coordenadas globales del nudo inicial del elemento Xe, Ye: coordenadas globales del nudo final del elemento

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GLOBALES A COORDENADAS LOCALES

Matriz de transformación

Vector de desplazamientos nodales en los extremos del elemento (coordenada local)

Vector de desplazamientos nodales en los extremos del elemento (coordenada global)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES A COORDENADAS GLOBALES

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES A COORDENADAS GLOBALES

Transpuesta

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES A COORDENADAS GLOBALES

Matriz de transformación transpuesta

Vector de fuerzas nodales en los extremos del elemento (coordenada global)

Vector de fuerzas nodales en los extremos del elemento (coordenada local)

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS LOCALES A COORDENADAS GLOBALES Matriz de transformación transpuesta

Vector de desplazamientos nodales en los extremos del elemento (coordenada global)

Vector de desplazamientos nodales en los extremos del elemento (coordenada local)

EJEMPLO Determine la matriz de transformación de coordenadas globales a locales (T) para todos los elementos que conforman la armadura

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALES Relación de rigidez local

Transformación de fuerzas (local a global)

Transformación de desplazamientos (local a global)

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALES

Con

Matriz de rigidez del elemento en el sistema de coordenadas globales

RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO - SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALES

EJEMPLO Determine la matriz de rigidez en coordenadas globales (K) de todos los elementos que conforman la armadura

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Vector de cargas nodales (externas)

Matriz de rigidez de la estructura

Vector de desplazamientos de los nudos

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA P2 P1

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 2

d2

P2 1

d1

P1

3

5

4

7

6

8

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ECUACIONES DE EQUILIBRIO Relacionan las fuerzas externas con las fuerzas nodales en los extremos de los elementos (globales)

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA P2

2

d2

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 1

P1

d1

Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

7

5

3

5

4

7

6

Relacionan los desplazamientos de los nudos de la estructura con los desplazamientos en los extremos de los elementos (global)

8

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ECUACIONES DE EQUILIBRIO

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

Relación de rigidez de los elementos en el sistema global de coordenadas

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ELEMENTO 1

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ELEMENTO 2

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ELEMENTO 3

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ECUACIONES DE EQUILIBRIO

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

Relación de rigidez de los elementos en el sistema global de coordenadas

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ELEMENTO 2

ELEMENTO 1

ELEMENTO 3

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ECUACIONES DE EQUILIBRIO

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

Relación de rigidez de los elementos en el sistema global de coordenadas

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Matriz de rigidez de la estructura

• Matriz cuadrada • # columnas = # filas = GL estructura • Matriz simétrica

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

3

4

1

2

1

24

K1=

1

5

6 1

2

3

22

K2=

31

35

42

46

4

1

2

3

4

7 7

5 5 4

2

13

2

3

1

6

7

8

8

1

2 1 7 28

K3=

31 42 1

2

3

4

3

4

1

2

1

5

6 1

24

K1=

1

2

3

22

K2=

31

35

42

46

4

1

2

3

4

7 7

5 5 4

2

13

2

3

1

6

7

8

8

1

2 1 7

S (GLxGL) = S (2x2) 1

28

K3=

31

2

42 1

S= 2

1

2

3

4

EJEMPLO

Ensamble la matriz de rigidez (S) de la armadura mostrada en la figura

RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Vector de cargas nodales (externas)

Matriz de rigidez de la estructura

Vector de desplazamientos de los nudos

VECTOR DE CARGAS NODALES Armadura

Cargas aplicadas en los nudos

Componentes de fuerza en dirección X y Y (referidos a coordenadas globales) Las componentes de fuerza se consideran positivas cuando actúan en las direcciones positivas de los ejes X e Y, y negativas cuando actúan en sentido contrario.

En general, una carga se puede aplicar a una estructura en la ubicación y en la dirección de cada uno de sus grados de libertad (no restringidos).

EJEMPLO

Escriba el vector de cargas nodales (P) para la armadura mostrada en la figura

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS

Vector de cargas nodales (externas)

Matriz de rigidez de la estructura

Vector de desplazamientos de los nudos

Filas = GL de la estructura

EJEMPLO

Determine los desplazamientos en los nudos (d) de la armadura mostrada en la figura

DESPLAZAMIENTOS NODALES (v) EN COORDENADAS GLOBALES Vector de desplazamientos de los nudos (d) Vector de desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (v) Usando una metodología similar a la empleada para ensamblar la matriz de rigidez de la estructura (S)

DESPLAZAMIENTOS NODALES (v) EN COORDENADAS GLOBALES 2 1

3

55 4

77 6

8

EJEMPLO Determine los desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (v)

DESPLAZAMIENTOS NODALES (u) EN COORDENADAS LOCALES Vector de desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (v) Vector de desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (u) Matriz de transformación de coordenadas globales a locales

EJEMPLO Determine los desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (u)

FUERZAS NODALES EN COORDENADAS LOCALES Vector de desplazamientos nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (u) Vector de fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (Q)

Usando relaciones de rigidez de los elementos en coordenadas locales

EJEMPLO Calcule las fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (Q)

FUERZAS NODALES EN COORDENADAS GLOBALES Vector de fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas locales (Q)

Vector de fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (F)

Matriz de transformación de coordenadas locales a globales

EJEMPLO Calcule las fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (F)

REACCIONES EN LOS APOYOS Vector de fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (F)

Vector de reacciones (R)

Usando una metodología similar a la empleada para ensamblar la matriz de rigidez de la estructura (S) y los vectores de desplazamiento en coordenadas globales (v)

REACCIONES EN LOS APOYOS 2 1

3

5 4

77 6

8

3

R=

4 5 6 7 8

EJEMPLO

Ensamble el vector de reacciones (R) a partir de los vectores de fuerzas nodales en los extremos de los elementos en coordenadas globales (F) Luego compruebe el equilibrio en la estructura

ANÁLISIS ALTERNATIVO Relación de rigidez general (para toda la estructura) - Trabajando en el Sistema Global de Coordenadas:

Vector general de cargas nodales (externas)

General

Matriz de rigidez general de la estructura

Vector general de desplazamientos de los nudos

Incluye TODOS los GL (libres y restringidos) de la estructura

ANÁLISIS ALTERNATIVO

Fa : Vector de cargas nodales conocidas (aplicadas) Fb : Vector de cargas nodales desconocidas (reacciones) da : Vector de desplazamientos desconocidos (GL libres) db : Vector de desplazamientos conocidos (apoyos) Kaa : Matriz de rigidez asociada a GL libres Kab, Kba : Matrices de rigidez asociadas a GL libres y restringidos Kbb : Matriz de rigidez asociada a GL restringidos

ANÁLISIS ALTERNATIVO

(1) (2)

ANÁLISIS ALTERNATIVO (1)

(3) Reemplazando (3) en (2):

ANÁLISIS ALTERNATIVO

EJEMPLO 2

EJERCICIO

150kN

Se pide calcular: 60° 1. Matriz de rigidez general (incuyendo todos los GL) para la armadura 2. Reacciones en los apoyos 3. Desplazamientos en 75kN los GL libres 4. Magnitud de la fuerza axial actuante en cada elemento; además indicar si el elemento está a tensión o compresión 5. Esbozar la deformada de la armadura

100kN 85°