3. RESPON SISTEM DINAMIK.pdf

Gambaran Umum

Pokok Bahasan

Bab ini akan membawa Anda untuk mempelajari respon sistem dalam berbagai orde. Respon terhadap sitem orde satu, sistem orde dua dan sistem orde tinggi. Juga kita akan mempelajari indek kinerja dinamika sistem dengan parameter; waktu tunda, waktu naik, waktu puncak, waktu turun, maksimum overshoot . Analisa dinamika sistem dilakukan dalam keadaan tunak (tidak berubah terhadap waktu). Respon sistem dianalisis berdasarkan sinyal uji berupa step,ramp dan sinyal sinusoidal. Pada akhir bab ini akan dibahas bagaimana mengurangi error keadaan tunak dengan merancang kompesator. Sepanjang pembahasan, Anda akan diberikan contoh-contoh dalam menyelesaikan masalah dengan menggunakan program MATLAB. Sedangkan untuk memperkuat pemahaman telah disediakan beberapa soal asesmen, sebagai umpan balik pencapaian belajar Anda.

1. Karakteristik Sistem 2. Sinyal uji 3. Karakteristik Respon Sistem Orde Satu, 4. Karakteristik Respon Sistem Orde Dua, 5. Karakteristik Respon Sistem Orde Tinggi, 6. Analisis Kestabilan Routh

Tujuan Pembelajaran 1. Mampu membandingkan respon dinamika sistem orde satu, orde dua dan orde tinggi, 2. Mampu menjelaskan respon dinamika sistem dengan masukan sinyal uji step, ramp dan sinusoidal. 3. Mampu membedakan karakteristik respon sistem orde satu, orde dua dan orde tinggi, 4. Mampu menjelaskan perbedaan antara respon sistem ranah waktu dan ranah frekuensi, 5. Meningkatkan kepekaan terhadap cirri-ciri respon sistem orde satu, orde dua dan orde tinggi, terhadap sinyal uji step, ramp dan sinusoidal.

Pengantar

Karakteristik suatu sistem, merupakan hal yang penting bagi seorang perancang pengendali. Karakteristik sistem dapat diperoleh dengan cara memberikan berbagai sinyal uji, yaitu sinyal uji: step, impuls, ramp, sinusoidal. Karakteristik sistem dapat dibedakan ke dalam karakteristik sistem open loop dan sistem close loop. Performansi dalam domain waktu sistem loop tertutup sangat penting bagi perancangan sistem pengendalian. pengendalia n. Performansi sistem dinamika dalam domain domain waktu dapat dapat didefinisikan didefini sikan sebagai sebagai respon waktu dengan inputan sinyal uji tertentu. Secara umum sinyal uji yang digunakan adalah fungsi step, karena jika renspon dari uji step ini dapat diketahui, maka secara matematis dapat dilakukan perhitungan terhadap sinyal uji yang lain. Selain respon waktu, dapat pula diperoleh respon dalam domain frekuensi. Dimana respon frekuensi dari suatu sistem didefinisikan sebagai respon pada kondisi steady terhadap masukan sinyal uji berupa fungsi sinusoidal. Sinyal uji masukan yang digunakan untuk mengetahui respon sistem adalah beberapa sinyal yang khas, diantaranya adalah : fungsi step, fungsi ramp (tangga), fungsi percepatan, fungsi impuls, fungsi sinusoidal dan sebagainya. Dengan menggunakan sinyal uji dapat dapat digunakan untuk analisa matematik dan secara eksperimen dari sistem pengendalian yang dirancang. Pernyataan matematis hubungan antara masukan terhadap keluaran atau dikatakan sebagai fungsi alih G(s)= C(s)/R(s), dengan R(s) adalah masukan dan C(s) adalah keluaran. Dalam memperoleh keluaran dari sistem tergantung pada sinyal masukan R(s). Untuk beberapa tipe sinyal masukan bentuk dari R(s) seperti pada tabel di bawah ini. Tabel 3.1 Beberapa sinyal uji No

Sinyal Uji

R(s)

1

Impulse

1

2

Step

3

Ramp

4

Sinusoidal

1  s 1  s 2  

 s 2   2

3.1 Respon Sistem Orde Satu. Dari model matematis sebuah sistem, orde dari suatu sistem dapat dilihat dari besar pangkat varibel s  (dalam transformasi Laplace). Suatu sistem dikatakan ber-orde satu jika fungsi alihnya

Karakteristik suatu sistem, merupakan hal yang penting bagi seorang perancang pengendali. Karakteristik sistem dapat diperoleh dengan cara memberikan berbagai sinyal uji, yaitu sinyal uji: step, impuls, ramp, sinusoidal. Karakteristik sistem dapat dibedakan ke dalam karakteristik sistem open loop dan sistem close loop. Performansi dalam domain waktu sistem loop tertutup sangat penting bagi perancangan sistem pengendalian. pengendalia n. Performansi sistem dinamika dalam domain domain waktu dapat dapat didefinisikan didefini sikan sebagai sebagai respon waktu dengan inputan sinyal uji tertentu. Secara umum sinyal uji yang digunakan adalah fungsi step, karena jika renspon dari uji step ini dapat diketahui, maka secara matematis dapat dilakukan perhitungan terhadap sinyal uji yang lain. Selain respon waktu, dapat pula diperoleh respon dalam domain frekuensi. Dimana respon frekuensi dari suatu sistem didefinisikan sebagai respon pada kondisi steady terhadap masukan sinyal uji berupa fungsi sinusoidal. Sinyal uji masukan yang digunakan untuk mengetahui respon sistem adalah beberapa sinyal yang khas, diantaranya adalah : fungsi step, fungsi ramp (tangga), fungsi percepatan, fungsi impuls, fungsi sinusoidal dan sebagainya. Dengan menggunakan sinyal uji dapat dapat digunakan untuk analisa matematik dan secara eksperimen dari sistem pengendalian yang dirancang. Pernyataan matematis hubungan antara masukan terhadap keluaran atau dikatakan sebagai fungsi alih G(s)= C(s)/R(s), dengan R(s) adalah masukan dan C(s) adalah keluaran. Dalam memperoleh keluaran dari sistem tergantung pada sinyal masukan R(s). Untuk beberapa tipe sinyal masukan bentuk dari R(s) seperti pada tabel di bawah ini. Tabel 3.1 Beberapa sinyal uji No

Sinyal Uji

R(s)

1

Impulse

1

2

Step

3

Ramp

4

Sinusoidal

1  s 1  s 2  

 s 2   2

3.1 Respon Sistem Orde Satu. Dari model matematis sebuah sistem, orde dari suatu sistem dapat dilihat dari besar pangkat varibel s  (dalam transformasi Laplace). Suatu sistem dikatakan ber-orde satu jika fungsi alihnya

mempunyai variabel s dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk fisisnya bisa berupa rangkaian listrik RC , sistem termal, atau sistem lainnya. Model sistem orde satu secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut,

C ( s ) 1   R( s ) Ts  1

…(3.1) …(3.1)

Dengan T : konstanta waktu sistem orde satu Respon dari sistem dengan masukan sinyal tangga satuan (step (step), ), dalam bentuk transformasi Laplace R(s)=1/s, sehingga persamaan 3.1 menjadi,

C ( s ) 

1

1

…(3.2)

Ts  1  s

Dengan menguraikan C(s) pada persamaan (3.2) menjadi pecahan persial diperoleh,

C ( s ) 

1  s



T  Ts  1

... (3.3)

dengan transformasi Laplace balik, persamaan (3.3) sebagai berikut,

c(t )  1  e t / T 

(t   0)

…(3.4)

Keluaran c(t ) mula-mula nol kemudian akhirnya menjadi satu. Salah satu karakteristik penting dari kurva tanggapan eksponensial c(t ) tersebut adalah pada saat t =T  (periode)   (periode) harga c(t ) adalah 0,632 (63,2 % dari perubahan totalnya). Hal ini dapat diperhatikan dari Gambar 3.1 di bawah,

c(t)=1 – e-t/T

86,5%

95,0%

98,2%

99,3%

63,2%

T

T

T

T

T

T

Gambar 3.1 Kurva tanggapan eksponensial.

Tabel 3.2 Nilai respon sistem orde 1 t (T)

c(t) %

t (T)

c(t) %

t (T)

c(t) %

0

0

5,5

99,59132

10,5

99,99725

0,5

39,34693

6

99,75212

11

99,99833

1

63,21206

6,5

99,84966

11,5

99,99899

1,5

77,68698

7

99,90881

12

99,99939

2

86,46647

7,5

99,94469

12,5

99,99963

2,5

91,7915

8

99,96645

13

99,99977

3 3,5

95,02129 96,98026

8,5 9

99,97965 99,98766

13,5 14

99,99986 99,99992

4

98,16844

9,5

99,99251

14,5

99,99995

4,5

98,8891

10

99,99546

15

99,99997

5

99,32621

Sedangkan

tanggapan

sistem orde satu dengan masukan sinyal landai (ramp), dapat menimbulkan terjadinya kesalahan keadaan tunak. Kesalahan keadaan tunak makin kecil, jika T  juga makin kecil.

Contoh Soal 3.1 : Gambar di bawah sebelah kiri adalah sebuah control valve, berfungsi mengatur aliran fluida sesuai dengan setting yang dikehendaki. Sedangkan gambar sebelah kanan menunjukkan skema dari control valve dengan katup diafragma pneumatik. Pada kedudukan tetap tekanan pengendalian dari pengendali adalah  P c , tekanan dalam katub juga  P c , dan perpindahan batang katup adalah  X  . Anggap bahwa pada saat t =0 tekanan pengendalian diubah dari  P c   menjadi  P c + pc. Kemudian tekanan katup akan dirubah dari  P c   menjadi  P c + pv . Perubahan dalam tekanan katup  pv   akan menyebabkan perpindahan batang katup berubah dari  X    menjadi  X  + x . Dapatkan fungsi alih antara perubahan perpindahan batang katup x  dan perubahan tekanan pengendalian pc.

Gambar 3.2 Control Valve dengan katup diafragma pneumatik.

Jawab : Dipilih laju arus udara dalam katup diafragma adalah q dengan tahanan R. jadi,

q

 pc   pv  R

 

dan

q  C 

dpv dt 



 pc   pv  R

Dari dua persamaan diatas diperoleh persamaan diferensial sistem,

 RC 

dpv dt 

  p v   pc

... (3.5)

dengan memperhatikan bahwa,

 Ap v  kx

... (3.6)

Sedangkan,

k    dx    RC    x    pc  A   dt   

... (3.7)

Maka fungsi alih dengan keluaran x  dan masukan pc adalah,

 X ( s)  P c ( s)



 A / k 

... (3.8)

 RCs  1

Fungsi alih pada persamaan (3.8) di atas adalah sistem ber orde-1, menggambarkan perpindahan batang katup, terhadap tekanan pengendali.

Latihan Soal 3.1 : Dari contoh soal 3.1, (a) Buat blok diagram sistem pengendalian. (b) Jika diketahui  A/k =10 dan RC =25, cari tanggapan tangga satuan ( pc) sistem  x (t ) dan buat kurva tanggapan tangga satuan dengan menggunakan program MATLAB.

Respon sistem orde satu dengan sinyal uji Impulse Sebuah sistem orde satu , dengan masukan fungsi impulse saat kondisi awal adalah nol, response dari sinyal uji ini dikatakan sebagai Response impulse dari G(s) atau sama dengan respon dari step sG(s). Response impulse dari sistem berikut ini :

C ( s )  R( s )

 G( s) 

1  s  1

Karena R(s) = 1, maka diperoleh :

C ( s )  G ( s ) 

1  s  1

Untuk mengetahui respon impulse dari sistem orde satu, dapat digunakan bantuan program MATLAB sebagai berikut, %unit impulse - response num=[ 1 0]; den = [1 1]; step(num,den), grid title('Impulse response satuan dari G(s) = 1/(s+1)')

Keluaran program seperti terlihat pada gambar di bawah ini,

Gambar 3.3 Respon unit impulse untuk sistem orde satu

3.2 Respon Sistem Orde Dua. Sistem orde dua mempunyai fungsi alih dengan pangkat s tertinggi dua. Biasanya dinyatakan dengan rasio redaman  ,  frekuensi alami tak teredam  n, yang dinyatakan dalam bentuk fungsi alih sebagai berikut,

C ( s)  R( s)



 n2

…(3.8)

 s 2  2 n s   n2

Blok diagram sistem sebagai berikut,

R  (s)

E  (s)

+

C  (s)

-

Gambar 3.4 Sistem orde dua.

Perilaku dinamika sistem orde dua dapat digambarkan dalam suku dua parameter    dan  n. Jika 0