3. Razones y Proporciones

PRIMER BOLETÍN – –

RAZONES Y PROPORCIONES

–

RAZÓN Comparación de dos cantidades mediante una sustracción o una división.

CICLO ANUAL

2014

La razón de las alturas de los edificios es 8/5. La altura del edificio Moquegua es a la del edificio Mercedes como 8 es a 5. La altura del edificio Moquegua es proporcional a 8 y la del edificio Mercedes es proporcional a 5.

En general:

Razón aritmética Comparación de dos cantidades mediante una sustracción. Ejemplo: La edad de Manuel es 32 años, y la edad de Doris es 23 años. Razón aritmética: 32 - 23 = 9 Interpretaciones – La edad de Manuel excede a la de Doris en 9 años. – Manuel es 9 años mayor que Doris. – La edad de Doris es excedida en 9 años por la edad de Manuel. – Doris tiene 9 años menos que Manuel.

a: Antecedente b: Consecuente r, k: Valor de la razón

PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones del mismo tipo, aritméticas o geométricas.

– Discretas: diferentes. – Continuas: iguales.

Términos

medios

Términos

medios

Propiedad general de proporciones geométricas a c  Sea la proporción: b d a b c  d a c   b d a  b c  d 1. o a b c  d a c   d 2. b o a b c  d a b c  d  a b c  d 3.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (S. R. G. E.)

Interpretaciones

a  bk a c e    k  c  dk b d f e  fk En general: Propiedades

8 10 6 4    2 3 2 Dada la S. R. G. E.: 4 5

1.

8  10 2 4 5

8  10  6 2 4 5 3

10  6 2 5 3

8  10  4 2 4 5 2

Se cumple:

8  10 8 6 4  22  23 4 5 4  3 2

n: Número de razones multiplicadas

cantidades

Ejemplo: El edificio Moquegua mide 40 m, y el edificio Mercedes mide 25 m. Razón geométrica:

10 = 5 x 2 4=2x2

Igualdad de más de dos razones geométricas equivalentes. Ejemplo:

Razón geométrica Comparación de dos mediante una división.

las

8=4x2 6=3x2

Donde: – Antecedentes: 8, 10, 6 y 4 – Consecuentes: 4, 5, 3 y 2 – Términos extremos: 8 y 2

Según los valores de sus términos medios, las proporciones se clasifican de la siguiente manera:

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SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS Ejemplo:

Se puede observar: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN Se cumplen las mismas propiedades anteriores, pero, además:

CICLO ANUAL

2.

a  eK4

b) 40

d) 80

e) N.A.

a 2  b 3 Si:

a) 10

a 1?

c) 60

b) 8

d) 15

e) N.A.

c) 10

b) 5

d) 11

e) N.A.

3.

b) 20

c) 30 e) N.A.

Dos números suman 8 y el primero es el segundo como 5 es a

a) 5,3

b) 7,1

d) 5,7

e) N.A.

proporcionales a los números 4, 5

c) 7

y 8. Si se desea llenar totalmente, se demoraría t1 horas, pero, si se llenan 3/4 del primer 2/5 del

A B C   Si: 4 2 3

y

segundo y 1/2 del tercer tanque, se demoraría t2 horas.

A + B + C = 18

Halla la razón geométrica de t1 y

Hallar: “B”

3. ¿Hallar los números?

a) 12

a) 3

6.

y a + b = 50

d) 40

Mario tiene 38 años y

años sus edades fueron como 2

a–b=

Hallar: “a”

NIVEL I

b)

a) 20

b)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Jessica 20 años. ¿Hace cuántos

y

Hallar: “b”

d  eK (Relación de los términos extremos)

a)

Si:

100

3

b  eK a b c d    k b c d e c  eK2

1.

a)

a 7  b 2

2014

c) 4,4

t2.

a) 1

b) 2

d) 4

e) N.A.

A) 2 B) 17/9

c) 3

3. En

dentro de 10 años la relación

4.

de 30 y 23?

será de 3 a 4 hace 10 años. ¿Cuál era la relación de sus edades? a) 1/2

b) 2/3 c) 3/4

d) 4/5

e) 1/3

a) 16

b) 15

d) 12

e) N.A.

5.

Calcular la cuarta proporcional

proporcional

Hallar el producto del primer y

extremos suman 60.

último antecedente.

A) 12 B) 24 C) 48 D) 36 E) 21

a) 144

b) 108

d) 156

e) 124

c) 72

4. En

una

progresión

que

los

geométrica

los medios. Si el producto de los

60 son negras y las restantes son

cuatro términos es 1296, halla la suma de estos. A) 24 B) 20 C) 26 D)

cada 3 bolas negras haya 20 bolas blancas? A) 480

B) 200

C) 400

D) 260

bomba

de

cuyos

a b c a3  b3  c3   y 3  125 m n p m  n3  p3 5. Si:

E) 150 agua

a2m  b2n  c2p

llena

volúmenes

3

25

30

se deben añadir para que por

tanques

sale

menos uno es igual a la suma de

1. Se tienen 200 bolas, de las cuales

2. Una

si

continua, la suma de los extremos

de 36, 12 y 9.

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geométrica

del cuarto término. Halla la media

blancas. ¿Cuántas bolas blancas c) 14

proporción

constante de proporcional vale 2.

NIVEL II

¿Cuál es la tercera diferencial

una

continua, el primer término es

Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7

D) 13/8

E) 17/8

a b c d    Sea: 3 2 7 9 donde la

7.

C) 11/9

Calcular:

m3  n3  p3

son

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E)

PRIMER BOLETÍN A) 21

B) 22

C)24

D)25

E)30

CICLO ANUAL

2014

A) 24 B) 32 C)31 D)

21

E)28 6. Dora le dice a Claudia: Hace 8

9. Si: a b c   n! (n  1) ! (n  2)!

años nuestras edades estaban en relación de 5 a 6; actualmente

y a + b = 2 n; c = 7 x 2 n

están en relación de 7 a 8.

Hallar: "n".

Calcula dentro de cuántos años la

A) 8 B) 7 C) 14 D) 9 E) 6

a) 10

b) 18

d) 20

e) N.A.

4. Pedro tiene 38 años y Carmen 24 años.

¿Hace cuántos años sus

a) 12

b) 8

A) 6

d) 15

e) N.A.

C)5

D)15

E)28

AUTO EVALUACION 7. Dos nadadores se encuentran en extremos opuestos de una piscina y van uno al encuentro del otro, si el primer encuentro se produce a 16 m del extremo izquierdo y el segundo a 10 m del extremo derecho, hallar la longitud de la piscina. A) 48 B) 50 C)38 D)

Dar como respuesta la

suma de cifras. a) 9

b) 12

d) 13

e) N.A.

32

6. a) es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor:

una

proporción

geométrica

continua, la suma de los términos es 64. Además, la suma de los términos de la primera razón es a

b) 48

c) 75

d) 45

e) N.A.

7.

3. Las edades de Juan y Jorge son 30

la suma de los términos de la

y

segunda razón como 3 es a 1.

¿Dentro

Calcula

edades estarán en la relación de 7

la

diferencia

términos extremos.

de

los

b) 2000 c) 2100 e) 2400

Si a . b . c = 1008 Hallar: a + b + c en: a b c = = 30 35 15 = k

años de

respectivamente. cuántos

a 6?

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años

sus

a b c d    7 13 15 19 Si: Además: a + b + c = 525. Hallar “d”

a) 285 d) 105

b) 280 c) 225 e) 295

a b 4   8. a) Si: 9 6 c . Además a es a b como b es a c.

:

Hallar :

a+c a.c

b

=

a.c

a) 6/9 b) 15/4 c) 13/36 d) 13/360 e) 17/30 9. a) Hallar la cuarta proporcional de: a2 ; a x b ; b Rpta.: …………………… b) Hallar la cuarta proporcional de: a2 ; a/b ; b2 Rpta.: …………………… c)

Rpta.: ……………………

a) 60

24

Además

c) 10

Por cada 100 huevos que compro se me rompen 10 y por cada 100 que vendo doy 10 de regalo. Si vendí 1800 huevos. ¿Cuántos huevos compre? a) 2200 d) 1900

c) 10

2. Dos números son entre si como 5

E)45

8. En

5.

1. Hallar (a . b) si 5a = 4b además a + b = 72.

a 6 c = = 4 b 9 b) Si:

edades fueron como 2 a 1?

suma de sus edades será 70 años. B) 20

Hallar: a - b Rpta.: ……………………

c) 15

Hallar la cuarta proporcional de 6, 15 y 10. a) 36 d) 40

b) 25

e) 15

c) 30

d)

Si la tercera proporcional de 9 y a es 25. Hallar la cuarta proporcional de 35 y 12. Rpta.: ……………………

e)

Hallar la tercera proporcional de 9 y 12.

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PRIMER BOLETÍN Rpta.: ……………………

CICLO ANUAL

12. a)

Si: 2

10. a) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional. Rpta.: …………………… b) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional. a) 20 d) 36

b) 25 e) 21

b)

En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 50 625. Hallar la media proporcional. a) 12 d) 20

b) 15 e) 25

a - 16 = 68

c) 18

b2 - 25 = 85

Además: Determinar:

a) 0,42 d) 2,38

c2 - 49 119

b) 0,21 e) 4,2

problemas y deja el resto para

c) 2,34

Carlos,

1.

1 + a2 = 1 a) 2 d) 8 2.

4 + b2 = 2

Si:

a

9 + c2 3

b) 4 e) 12

c) 6

a) 15 d) 5

b) 25 e) f.d.

c) 10

q r = = a b c b) Si: Además: r = 5p

16

D) 17 E)

a2 + b2 + c2 Determinar: E = ( a + b + c)

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y

Lo que gasta y lo que

cobra está en la relación de 2 a 3. 11. En una reunión se observa que en

¿En cuánto tiene que disminuir el

un preciso instante la cantidad de

gasto para que dicha relación sea de

hombres y mujeres es como 4 es a

3 a 5?

5 la relación de hombres que

A) S/.15

B) S/.18

bailan con las mujeres que no

D) S/.24

E) S/.26

de las mujeres que bailan con los

C) S/.22

14. Una caja de lápices contiene una tercera parte más de lápices que una

varones que no bailan es como 6

segunda caja. Si esta última tiene 3

es a 2. Si los que bailan son y el

lápices

total de las personas es múltiplo

tendrá la primera caja?

menos,

¿cuántos

lápices

de 8 menor que 100, calcular a + A) 8 B) 9 C) 10

b. A) 10 B) 12 C) 13 D) 16 E) 6

D)

11 E) 12

15. Existen dos números consecutivos

14 minutos; y Carlos, 9 problemas q = 4p

80

13. Lo que cobra y gasta un profesor suma S/.600.

12. Andrés resuelve 4 problemas en

p

los

C) 190 minutosD) 205 minutos

bailan es como 3 es a 2, y la razón

a) Tres números son entre sí como 5, 7 y 8; si se suman 5, 10 y n al 1º, 2º y 3º respectivamente, la nueva relación es ahora 11; 16; 21. Hallar “n”

resolver

A) 150 minutosB) 170 minutos

20

Dada la siguiente serie Calcular a . b . c +b+c=6

tiempo

E) 215 minutos

A) 14 B) 15 C)

RETO MARIANISTA

de

cuánto

problemas?

10. Si: a3  b3 a2  b2 a2  b2 ab    182 25 7 12

a + b + c = 12 (2a + 3b - c)

¿en

terminarán

Halla: a + b

c) 27

11. a) Se tiene una proporción geométrica discreta en el cual el producto de sus términos es 2601. Hallar uno de los términos medios si la diferencia de los mismos es 14. Rpta.: ……………………

2014

en media hora. Si cierto día deben resolver 80 problemas. Cuando Carlos ha resuelto 1 problema más

tal que el menor excede en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor. El menor de los números es: A) 116 B) 120 C) 124 132

que Andrés, se retira y Andrés continúa

solo,

resuelve

30

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D) 128 E)