3 Qualité EMI

Maîtrise Statistique des Procédés

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MSP: c’est quoi? Et Pourquoi? C’est Quoi • la maîtrise statistique exprime le fait qu’avec des données relevées pendant l’activité de production et traitées à l’aide des techniques statistiques, il est possible de disposer d’un système d’information permettant de mettre en oeuvre des actions de surveillance et d’ améliorations du processus. •

la MSP est une méthode qui s’inspire du principe fondamentale de la prévention

• • •

La démarche s’appuie sur la conduite d’actions correctives. - Prévenir l’apparition des dérives pour minimiser, voire même annuler la fabrication des produits non conformes aux spécifications. - Améliorer la reproductibilité en maîtrisant la variabilité du procédé

• • •

la MSP est une technique de pilotage des procédés associant : - les outils statistiques - la manière de les mettre en œuvre.

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MSP: c’est quoi? Et Pourquoi? •

M S P permet de répondre aux questions suivantes:

•

1- Le procédé est-il apte à fabriquer des produits conformes aux spécifications

•

2- le procédé est-il stable et permet-il de maintenir cette qualité

•

3 - Sur quels facteurs entrant dans la fabrication faut-il agir pour pouvoir répondre à la première question.

•

4 - Est-il possible et nécessaire de modifier les spécifications du produit

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La mise en place de la MSP •

La mise en place de la MSP se fait en 3 phases :

•

1 - Une étude de précontrôle où est étudiée la capabilité du processus (aptitude à fabriquer des pièces bonnes) et où sont définies les cartes de contrôles.

•

2 - L’utilisation des cartes de contrôle en fabrication pour piloter le processus

•

3 - Le suivi a posteriori des cartes ainsi que leur archivage qui constitue un historique de la fabrication (tracabilité)

•

La MSP n’est pas une méthode pour améliorer les performances intrinsèques d’un processus. Par contre, elle est ultra-performante pour maintenir un processus jugé bon dans les mêmes niveaux de performance.

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Rappel statistique Déduire les propriétés de toute une population à partir de l’analyse d’un échantillon Caractérisation des données Centre d'une distribution

Le mode Il correspond au sommet de la distribution:

Le mode est la valeur la plus fréquente

C’est la valeur la plus « à la mode ». On appelle distribution unimodale, une distribution présentant un seul mode N.LABJAR

f r é q u e n c e

X

Une distribution bimodale est une distribution présentant deux modes f r é q u e n c e

X modes

X mode mode principal secondaire

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La médiane Elle correspond au milieu de la distribution:

la médiane est la valeur pour laquelle il y a autant d’individus à gauche qu’à droite dans l’échantillon Pour déterminer la médiane d’un échantillon ou d’une population : (1) on classe les individus par ordre croissant (2) on prend celui du milieu En règle générale, si n est le nombre d’individus dans l’échantillon, la médiane porte le numéro d’ordre

n  1 2 dans la suite des individus classés par ordre croissant. N.LABJAR

Exemple :  Soit un échantillon de 9 personnes dont le poids est :

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 kg classés par ordre croissant : 45 – 49 – 52 – 56 – 62 – 63 – 68 – 74 – 89 4



m é d ia n e

kg

4

Si le nombre d’individus est pair, on prend la moyenne entre les deux valeurs centrales : 45 – 49 – 52 – 55 – 56 – 62 – 63 – 68 – 74 – 89 5

médiane =

5

56 + 62 = 59 kg 2 N.LABJAR

Calcul de la médiane pour les grands échantillons répartis en classes (1) Déterminez le numéro d’ordre de la médiane. (2) Déterminez dans quelle classe elle se situe à l’aide du tableau des nombres cumulés (total des individus de cette classe et des précédentes). (3) Rangez par ordre croissant les éléments (individus) de cette classe. (4) Sélectionnez l’élément (individu) correspondant au numéro choisi.

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Exemple : Soient les pourcentages obtenus par 49 élèves à un examen, rangés par classes de 10 pourcents de large: Classe nombre nombre cumulé 1-10 2 2 11-20 4 6 21-30 5 11 31-40 8 19 41-50 7 26 51-60 9 35 61-70 6 41 71-80 6 47 81-90 2 49

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49 individus

49 + 1 2

= 25

la médiane porte le n°25

dans la classe 41-50

car, d’après le tableau des nombres cumulés, cette classe contient les individus portant les numéros d’ordre 20 à 26. Examinons le contenu de cette classe : 46 – 42 – 45 – 44 – 50 – 43 – 49 Rangeons-les par ordre croissant : 42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 49 – 50 Il y a 19 individus dans les classes précédentes

Le premier de cette classe porte le n°20 et nous devons choisir le 25e Numéro : 20 21 22 23 24 25 26 Valeur : 42 43 44 45 46 49 50 La médiane vaut donc 49. N.LABJAR

La moyenne Elle correspond à une répartition « équitable » de la grandeur mesurée sur tous les individus: La moyenne est la somme des grandeurs mesurées divisée par le nombre d’individus Pour un échantillon de n individus, la moyenne est calculée par :

X

X1  X 2  X3   X n n

1 X  X n

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Pour des données groupées en classes, on peut calculer une valeur approximative de la moyenne en supposant que tous les individus d’une classe se situent au centre de celle-ci. Dans l'exemple précédent (9 personnes), la répartition est la suivante: Classe Centre Nombre 45-55 50 3 55-65 60 3 65-75 70 2 75-85 80 0 85-95 90 1

3  50  3  60  2  70  0  80  1  90 X  62,2 kg 9 N.LABJAR

Si x est le centre de la classe et f le nombre d’individus dans celleci, la formule approchée s’écrit :

1 X  n

 x. f

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Positions relatives des trois mesures du centre d'une distribution a) Distribution unimodale et symétrique Dans une distribution unimodale et symétrique, le mode, la médiane et la moyenne sont confondus.

F r é q u e n c e

X

Mode = Médiane = Moyenne

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b) Distribution asymétrique Si la distribution est étalée à droite, on a généralement: mode < médiane < moyenne

F r é q u e n c e

X

M o d e

M é d i a n e

M o y e n n e

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Si la distribution est étalée à gauche, on a généralement: moyenne < médiane < mode

F r é q u e n c e

X

M o y e n n e

M é d i a n e

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M o d e

L'écart absolu moyen L’écart absolu moyen est la moyenne des écarts par rapport à la moyenne, toujours comptés positifs. C’est donc la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne.

L'écart quadratique moyen (EQM) Pour des raisons mathématiques, il est préférable, pour éliminer les signes  , de calculer le carré des écarts plutôt que leur valeur absolue On calcule donc la moyenne des carrés des écarts, puis on prend la racine carrée :

EQM 

1 x X  n



N.LABJAR



2

L'écart type Il est préférable, de diviser par n-1 plutôt que par n pour estimer précisément la dispersion d’une population à partir d’un échantillon.

1  x X  n 1





2

Calcul de l’écart type pour un échantillon réparti en classes.

x f X n

les centres des classes les effectifs la moyenne de l’échantillon le nombre total d’individus

1 s f x X  n 1



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

2

Echantillonnage

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La façon de sélectionner l’échantillon est aussi importante que la manière de l’analyser. Il faut que l’échantillon soit représentatif de la population. L’échantillonnage aléatoire est le meilleur moyen d’y parvenir. Un échantillon aléatoire est un échantillon tiré au hasard dans lequel tous les individus ont la même chance de se retrouver. Dans le cas contraire, l’échantillon est biaisé. Un petit échantillon représentatif est, de loin, préférable à un grand échantillon biaisé.

Précision de la moyenne Nous supposons maintenant que notre échantillon est représentatif de la population. La moyenne sur l’échantillon est donc une estimation de la moyenne sur la population. Nous désirons savoir quelle est la précision de cette estimation, afin de connaître de quelle quantité la vraie valeur est susceptible de s’écarter de notre estimation. En fait, la précision va dépendre : de la taille de l’échantillon N.LABJAR de la dispersion de la population

population n o m b r e

valeur

individus de l'échantillon

Dans une population peu dispersée, toutes les valeurs de l’échantillon seront forcément proches de la moyenne. Dans une population plus dispersée, les valeurs de l’échantillon seront généralement plus éloignées de la moyenne. La moyenne de l’échantillon pourra donc s’écarter plus fortement de celle de la population. Soient: n le nombre d’individus dans l’échantillon,  l’écart type de la population Alors, la précision de la moyenne peut être mesurée par un écart type sur la moyenne :

 

 X

N.LABJAR

 n

La précision sur la valeur moyenne sera donc d’autant meilleure que : 1. la population sera peu dispersée ( petit) 2. l’échantillon sera grand (n grand) La présence d’une racine carrée au dénominateur implique que : pour une précision 2 fois meilleure, il faut un échantillon 4 fois plus grand. pour une précision 10 fois meilleure, il faut un échantillon 100 fois plus grand. Comme pour la moyenne, nous réserverons les lettres grecques pour les grandeurs relatives à la population et les caractères romains pour les grandeurs correspondant à l’échantillon. moyenne écart type population





échantillon

X

s

Écart type de la moyenne : ( X ) Si l’écart type de la grandeur analysée dans la population n’est pas connu, on peut le remplacer par l’écart type calculé dans l’échantillon, pour autant que cet échantillon soit suffisamment grand. s si n  100   X   n

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La loi normale

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Loi normale ou de Gauss Son expression mathématique est la suivante:

n( x)  n(x)

n 2 

2  x   

e

2

2

  est la moyenne   l’écart type    n le nombre total d’individus dans l’échantillon  n(x) le nombre d’individus x   + pour lesquels la grandeur analysée a la valeur x. Lorsque la distribution des individus dans une population obéit à la loi normale, on trouve : A. 50 % des individus en-dessous de la moyenne  et 50 % au-dessus (la loi normale est symétrique) 50 %

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

x

B.

68 % des individus entre  et  68 %

x

  +

C. 95 % des individus entre -1,96 et +1,96, que nous arrondirons à l’intervalle 2,  95 %

  2

x

 + 2



D. 99,7 % des individus entre  et  (il y a donc très peu de chances qu’un individu s’écarte de la moyenne de plus de 3). 99,7 %

  3 N.LABJAR



 + 3

x

Forme de la distribution d'échantillonnage Supposons que nous analysions une population quelconque à partir d'un ensemble d'échantillons. Pour chacun de ces échantillons, nous calculons une valeur moyenne X qui est une estimation de la moyenne de la population . Bien entendu, les estimations X différeront généralement de la vraie moyenne . Nous désirons savoir comment les différentes déterminations X vont se distribuer autour de la vraie moyenne .

n(x)

n(x) population

X

échantillon 1

x N.LABJAR

X

échantillon 2

x

Traçons l'histogramme des valeurs moyennes, c'est-à-dire le nombre d'échantillons pour lesquels la valeur moyenne X prend une certaine valeur (se situe dans une certaine classe). n(x) histogramme des valeurs moyennes X

x

La figure suivante montre l’histogramme des valeurs moyennes X pour des échantillons de tailles croissantes tirés des populations indiquées sur la première ligne.

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Lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande, (n  10) la distribution de la moyenne aN.LABJAR une forme approximativement normale.

L'écart type sur la moyenne est: 

X  

 n

Quelle que soit la population sous-jacente, si on utilise des échantillons suffisamment grands (au moins 10 à 20 individus), la précision de la valeur moyenne peut être calculée à partir de la loi normale. Il y a 68 % (2/3) de chances que la vraie moyenne  soit dans l'intervalle compris entre X- et X+. n

x x x+

x

Il y a 95 % de chances que la vraie moyenne  soit dans l'intervalle compris entre X-2 et X+2. n

x2 N.LABJAR

x

x+2

x

Intervalles de confiance Nous avons vu que la moyenne X d'un échantillon aléatoire permet d'estimer la vraie moyenne  de la population. Nous voudrions estimer également la précision de cette moyenne, c'est-à-dire donner une marge d'erreur ou un intervalle de confiance. Nous pouvons utiliser les tables de la loi normale pour estimer ces intervalles de confiance. En général nous adopterons l'intervalle de confiance à 95%, soit à 2( X ). Nous pourrons donc écrire, soit:

 

  X  2 X

soit, plus explicitement:

Il y a 95 chances sur 100 que  se situe entre

 

X  2 X

et

 

X  2 X

Si nous tirons une série d’échantillons aléatoires de la population, dans 19 cas sur 20 (en moyenne),  se trouvera dans l’intervalle de confiance X  ( X ). N.LABJAR

Les cartes de contrôle

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La carte de contrôle est l’élément de base de la maîtrise statistique des procédés (MSP). Le principe de base est de considérer que tout système est soumis à des variations aléatoires qui génèrent une répartition de la caractéristique qui suit une loi normale. Tant que les variations de la sortie peuvent être admises comme des variations statistiques, il n’est pas nécessaire d’intervenir. Dès que ces variations sont supérieures à la limite admissible, on considère que le système n’est plus sous contrôle, il faut intervenir.

Carte de contrôle – surveillance d’une température N.LABJAR

Les causes communes : ce sont les nombreuses sources de variations difficilement maîtrisables qui sont toujours présentes à des degrés divers dans différents procédés. Ces causes étant toujours présentes et de plus en grand nombre, il faudra « vivre avec ». L’ensemble de ces causes communes forme la variabilité intrinsèque du procédé. Cette variabilité suit généralement une loi de Gauss. Les causes spéciales : ce sont les causes de dispersion identifiables, souvent irrégulières et instables, et par conséquent difficiles à prévoir. L’apparition d’une cause spéciale nécessite une intervention sur le procédé. Contrairement aux causes communes, les causes spéciales sont en général peu nombreuses. Un déréglage dû à une usure d’outil est une cause spéciale.

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Deux objets ne sont jamais rigoureusement identiques. L'objectif de tout industriel est que cette variabilité naturelle demeure dans des bornes acceptables. C'est une préoccupation majeure dans l'amélioration de la qualité industrielle.

Processus sous contrôle Un processus de production est sous contrôle, est maîtrisé, lorsque les caractéristiques du produit fabriqué varient peu dans le temps, d'un produit à l'autre et sont conformes à ce que l'on désire obtenir. Dans ce cas, il n'existe pas de cause précise faisant varier les caractéristiques du produit. La variabilité n'est due qu'aux limitations techniques du procédé de fabrication, à des causes aléatoires. Pour savoir si le processus est sous contrôle, on prélève régulièrement de petits échantillons. Si la caractéristique contrôlée est une mesure (poids, taille, concentration, etc), le processus est sous contrôle lorsque la moyenne (l'espérance) dans chaque échantillon de cette caractéristique est égale à une valeur cible µ0 fixée et lorsque l'écart-type dans chaque échantillon est égal à un écart-type naturel 0. N.LABJAR

Alors que µ0 est fixée pour répondre à la demande des clients, à un cahier des charges, à la qualité du produit,  0 dépend essentiellement du processus de production, de la technologie mise en œuvre. Si la caractéristique contrôlée est une proportion d'objets non conformes (d'objets conformes) dans chaque lot, le processus est sous contrôle lorsque cette proportion est en moyenne dans chaque échantillon égale à une valeur cible p0. La proportion p0 est fixée: respecter les normes de qualités axées par contrat ou par obligation légale. On cherche bien sûr à avoir une valeur de p0 (proportion d'objets non conformes) voisine de 0. Si la caractéristique contrôlée est un nombre de défauts par objet, le processus est sous contrôle quand ce nombre est en moyenne égal à une valeur cible λ0 fixée. Idéalement λ0 = 0 ; cependant, on tolère souvent quelques défauts mineurs, comme des défauts d'aspect. N.LABJAR

Processus hors contrôle Un processus hors contrôle, non maîtrisé, est le contraire d'un processus sous contrôle. Le processus est hors contrôle quand il existe une variabilité trop importante ou des caractéristiques non conformes à celles souhaitées. Il peut exister plusieurs causes, dites : causes spéciales, ou encore : causes assignables, à ce dysfonctionnement. Un changement d'équipe, de technicien sur une machine, le dérèglement d'une machine, une panne, des conditions climatiques particulières, etc, peuvent être à l'origine d'un processus hors contrôle. Dans les cas les plus graves, il faut revoir entièrement un processus de fabrication inadapté aux objectifs fixés.

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L'outil de base de la MSP: la carte de contrôle. Elle est constituée de tests statistiques paramétriques de conformité.

Les cartes de contrôle aux mesures de Shewhart Le caractère étudié est une mesure (poids, concentration d'un composant chimique, cote, etc). L'objectif d'une carte de contrôle aux mesures est de détecter la présence de causes assignables de dérèglement du processus de production. Le fondement théorique de conception des cartes de contrôle est que le caractère numérique étudié est réparti dans la population, dans l'ensemble de la production, suivant une loi normale. Cartes de contrôle d'étude initiale Destinées à la mise sous contrôle du processus. Ces cartes de contrôle sont aussi appelées : cartes de contrôle de phase I, ou encore : cartes de contrôle pour la maîtrise. Leurs paramètres sont déterminés à l'aide de mesures effectuées sur une vingtaine d'échantillons de petite taille.

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Exemple

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CONTRÔLE DE Réception N.LABJAR

1.Buts du contrôle de réception - Décider l'acceptation ou le rejet d'un lot - Comparer la qualité des lots provenant de plusieurs fournisseurs - Pour une série de lots, apprécier le niveau de qualité de la fabrication pour adoucir ou durcir les règles de contrôle.

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2.Domaines d'application

-Sur des lots constitués de produits susceptibles d'être individualisés - Sur des productions venant d'organismes extérieurs ou d'autres départements de l'entreprise - Se situe * lors d'une livraison d'un fournisseur * avant passage d'une opération de production à la suivante * avant livraison à un client N.LABJAR

3.Types de contrôle - Contrôle par comptage ou par attributs: à la suite du contrôle d'un ou plusieurs caractères, qualitatifs ou quantitatifs, les individus sont classés "conformes" ou "non conformes". Le contrôle concerne la proportion de non conformes ou le nombre moyen de non conformités par unité. - Contrôle par mesurage: le caractère observé est une grandeur mesurable pour laquelle existent une ou deux limites de tolérance, les individus hors tolérance étant considérés comme nonconformes. N.LABJAR

4.Procédures de prélèvement Plan simple

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Plan double

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5.Plan d'échantillonnage Il est défini par - type du contrôle (comptage ou mesurage) - procédure de prélèvement (plan simple, double, multiple, progressif) - effectif de (des) l'échantillon - relation entre résultats et décision Éléments intervenant dans le choix du plan - nature du caractère contrôlé (qualitatif, quantitatif) - importance des risques admis - effectif des lots (une décision erronée est plus grave pour des lots importants que pour des petits) - information que l'on a sur la qualité habituelle - coût du contrôle : coût direct qui dépend de la taille d'échantillon, et coût indirect lié à la présence d'individus non conformes dans les lots acceptés; N.LABJAR - etc...

6.Niveau de qualité acceptable Le niveau de qualité acceptable NQA (AQL Acceptable quality Level) est un paramètre contractuel entre client et fournisseur. C'est le pourcentage d'individus non conformes qui ne doit pas être dépassé pour que le lot puisse être considéré comme acceptable.

7.Qualité moyenne après contrôle La qualité moyenne après contrôle (AOQ Average Outgoing Quality) est la qualité moyenne du stock, obtenue après contrôle d'une série de lots où l'on a éliminé tous les non conformes trouvés dans les échantillons contrôlés, et après tri à 100 % des lots refusés. N.LABJAR

Contrôle par comptage

1.Règles de prélèvement - NORMAL: adopté au début du contrôle d'une série de lots ou pour un lot isolé - RENFORCÉ: moins économique, mais protége mieux le client (b plus petit). Il est imposé par le client lorsque le contrôle normal conduit à des doutes sur la qualité - RÉDUIT: plus économique. Il est décidé par le client lorsque le contrôle normal permet de penser que la qualité est satisfaisante. N.LABJAR

2. Niveaux de contrôle

- NIVEAU I: réservé aux critères particulièrement difficiles à contrôler - NIVEAU II: c'est le niveau standard que l'on choisit habituellement - NIVEAU III: réservé aux critères particulièrement faciles à contrôler

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Contrôle par mesurage 1.Bases théoriques Le caractère contrôlé est mesurable et suit une loi normale ou voisine d'une loi normale. Il existe une ou deux limites de tolérance permettant de classer chaque individu en conforme ou non conforme. La décision est prise en fonction du nombre de non conformes par l'intermédiaire de la moyenne d'échantillon. La connaissance de la distribution de la moyenne d'échantillon permet la construction de la courbe d'efficacité. N.LABJAR

2.Règles de prélèvement

3.Niveaux de contrôle

4.Taille des lots

5.Taille des échantillons à prélever N.LABJAR

6.Écart-type connu ou inconnu -Méthode "" : utilisée lorsque l'écart type est connu -Méthode "s" : utilisée lorsque l'écart type est inconnu. Dans les deux cas on pourra construire: - une "carte de contrôle de la moyenne" Qui permet d'accepter ou de refuser le lot suivant la position de la moyenne par rapport aux limites d'acceptation. - une " carte de contrôle de l'écart type " ou de l'étendue Qui permet Pour : le cas où  est connu, de vérifier la stabilité de la dispersion. et pour le cas où  est inconnu, d'utiliser la méthode "" si la dispersion est stable depuis un certain temps . N.LABJAR

7. Une seule ou deux limites de tolérance . - Une limite de tolérance inférieure: le lot est accepté si (méthode "") X >Ti +K (méthode "s") X> Ti+Ks - Une limite de tolérance supérieure: le lot est accepté si (méthode "") X< Ti -K (méthode "s") X< Ti-Ks - Deux limites de tolérances: le lot est accepté si (méthode "") Ti +K< X< Ti -K (méthode "s") Ti+Ks