3. Probabilidad

CAPITULO II

PROBABILIDAD Hasta ahora se ha utilizado una serie de métodos que permitían describir y sacar conclusiones de los datos que se manipulaban; sin embargo, muchas veces se desea inferir estas conclusiones a grupos de datos no observados de los cuales forman parte los primeros. Así, a partir d e los sueldos de un grupo de personas “elegidas al azar” se puede estimar y hacer hipótesis acerca de los parámetros del sueldo de toda una población. Un problema en este tipo de tareas tiene que ver con la variabilidad de los resultados. La estimación, por ejemplo, del promedio de los sueldos de toda una población depende del grupo de personas que al azar se escogió, no sabiendo a ciencia cierta si el valor estimado está cerca o lejos del verdadero. El propósito ahora es determinar un modelo que describa este tipo de situaciones y que permita establecer una medida de la incertidumbre de los resultados. La teoría de la Probabilidad proporciona los modelos para estudiar los fenómenos que se caracterizan por la variabilidad de sus resultados. Estos modelos se llaman  modelos  aleatorios. En general, un  modelo  describe las propiedades fundamentales de un fenómeno sin describir todos los detalles. A menudo se usan diferentes modelos para describir realidades: para representar un automóvil se puede utilizar un automóvil construido a escala y así se tiene un modelo  físico  del automóvil. Para representar a la Tierra se usan mapas o esferas de plástico. Estos modelos se llaman  analógicos. Existen otros modelos propios de las ciencias experimentales, llamados modelos abstractos. Los modelos abstractos pueden clasificarse en modelos  determinísticos  y modelos  aleatorios o estocásticos. En un modelo determinístico, los fenómenos se describen mediante funciones matemáticas. Así, para representar el área de una plancha rectangular de aluminio se determina el largo por el ancho del rectángulo que la representa. Los modelos aleatorios o estocásticos  describen los resultados de los llamados experimentos aleatorios. Este tipo de experimentos se estudia a continuación.

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2.1. EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL. EVENTO. Experimento aleatorio. Un experimento aleatorio , es todo proceso que se puede repetir indefinidamente obteniéndose resultados imprevisibles.

Existen experiencias cuyos resultados son imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee; tal es el caso del experimento consistente en observar si para cierto día lloverá o no en un lugar determinado a las 8 a.m. Esta experiencia no se puede repetir cuantas veces se desee, el mismo día y en la misma hora. Tal vez podamos conseguir situaciones semejantes en cuanto se refiere a lugar y hora pero no en el mismo instante. Estas experiencias, con resultados imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee, también son consideradas como experimentos aleatorios por aquellos que suelen llamarse  subjetivistas, por contraposición con los  frecuentistas, quienes aceptan como experiencias aleatorias aquellas que son repetibles cuantas veces se desee y con resultados imprevisibles. Los principios generales de la Teoría de la Probabilidad que se estudian pueden aplicarse a partir de cualquiera de las dos posiciones antes indicadas. Los siguientes experimentos pueden considerarse aleatorios: a) La elección de una bola de una urna, en donde existen cuatro bolas rojas y dos negras, para luego anotar su color. b) El nacimiento de un niño, para luego anotar si es varón o mujer. c) La elección de un ciudadano, para luego anotar su grado de instrucción. d) La producción de un artículo por una determinada máquina, para luego anotar si es bueno o defectuoso.

Espacio muestral de un experimento aleatorio.  Dado un experimento aleatorio E, se llama espacio  muestral   de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

El espacio muestral se denota con Ω. 2.1. Ejemplo. Si se lanza una moneda, se tendrá que el espacio muestral de la experiencia aleatoria es

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2.1. EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL. EVENTO. Experimento aleatorio. Un experimento aleatorio , es todo proceso que se puede repetir indefinidamente obteniéndose resultados imprevisibles.

Existen experiencias cuyos resultados son imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee; tal es el caso del experimento consistente en observar si para cierto día lloverá o no en un lugar determinado a las 8 a.m. Esta experiencia no se puede repetir cuantas veces se desee, el mismo día y en la misma hora. Tal vez podamos conseguir situaciones semejantes en cuanto se refiere a lugar y hora pero no en el mismo instante. Estas experiencias, con resultados imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee, también son consideradas como experimentos aleatorios por aquellos que suelen llamarse  subjetivistas, por contraposición con los  frecuentistas, quienes aceptan como experiencias aleatorias aquellas que son repetibles cuantas veces se desee y con resultados imprevisibles. Los principios generales de la Teoría de la Probabilidad que se estudian pueden aplicarse a partir de cualquiera de las dos posiciones antes indicadas. Los siguientes experimentos pueden considerarse aleatorios: a) La elección de una bola de una urna, en donde existen cuatro bolas rojas y dos negras, para luego anotar su color. b) El nacimiento de un niño, para luego anotar si es varón o mujer. c) La elección de un ciudadano, para luego anotar su grado de instrucción. d) La producción de un artículo por una determinada máquina, para luego anotar si es bueno o defectuoso.

Espacio muestral de un experimento aleatorio.  Dado un experimento aleatorio E, se llama espacio  muestral   de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

El espacio muestral se denota con Ω. 2.1. Ejemplo. Si se lanza una moneda, se tendrá que el espacio muestral de la experiencia aleatoria es

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Ω = {c, s}, donde c = cara, s = sello.

2.2. Ejemplo. Si se elige a un ciudadano para luego anotar su grado de instrucción: analfabeto (A), primaria (P), secundaria (S) y superior (U); se tendrá que el espacio muestral es igual a Ω = {A, P, S, U}.

2.3. Ejemplo. Se lanza una moneda en forma sucesiva hasta que se obtiene cara. El espacio Ω de este experimento aleatorio está formado por los siguientes resultados: c,

ocurre cara en el primer lanzamiento,

sc,

ocurre cara en el segundo lanzamiento,

ssc, ... etc.

ocurre cara en el tercer lanzamiento, ...

2.4. Ejemplo. Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en observar el día de mañana en un determinado lugar para ver si llueve o no, se tendrá que el espacio muestral está formado por los resultados: "llueve" y "no llueve". Si observamos el lugar para medir la cantidad de lluvia que cae, se tiene como espacio muestral al conjunto [0, a], en donde “a” puede ser un número pequeño o un número muy grande. No sabiendo cuál será el valor a, en ejemplos como éste se conviene en tomar como espacio muestral al intervalo [0, +∞[ . 2.5. Ejemplo. Si se eligen dos personas una después de otra para observar si son varones (v) o mujeres (m), se tendrá el siguiente espacio muestral: Ω = {(v, v), (v, m), (m, v), (m, m)},

Para cada resultado, la primera coordenada indica si la primera persona es varón o mujer. De igual manera para la segunda coordenada. El espacio muestral puede ser  finito o infinito. Un espacio muestral infinito  puede ser enumerable, (ejemplo 2.3) o no enumerable, como el espacio [0, +∞[  en el ejemplo 2.4. Los elementos de un espacio muestral finito o infinito enumerable se pueden contar.

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Suceso o evento. Un  suceso o evento  de un experimento aleatorio E, es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω que corresponde a E.

En particular, el espacio muestral, Ω,  y el conjunto vacío, Φ,  son eventos, pues son subconjuntos de Ω. Al lanzar una moneda, el espacio que se obtiene es Ω = {c, s}, donde c = cara y s = sello.

Los eventos que se pueden obtener son: {c}, {s}, Ω y Φ. Si al realizar un experimento aleatorio el resultado pertenece a un evento A se dice que el resultado  favorece  al evento  A o que el evento  A se  realiza. Si al lanzar un dado se obtiene un número par, entonces el evento A = {2, 4, 6} se realiza. El espacio muestral Ω  se llama también suceso  siempre cierto, siempre se realiza, mientras que Φ se llama suceso imposible, nunca se realiza. Si con cada elemento del espacio muestral se forman subconjuntos unitarios, se tendrán los eventos llamados sucesos elementales. 2.6. Ejemplo. Si el espacio muestral de un experimento está formado por todos los habitantes de un país que son mayores de 15 años, se tendrá que el conjunto formado por las mujeres del país que tienen 17 años es un evento. 2.7. Ejemplo. Un evento del espacio muestral del ejemplo 2.4 es, por ejemplo, el que se determina con la frase "que llueva a lo más 10 milímetros cúbicos". Este evento es el intervalo [0, 10].

Operaciones con eventos. Entre los eventos de Ω, se pueden definir operaciones tales como, la intersección de eventos, reunión de eventos y complemento de un evento . Dados los eventos  A y  B, la intersección de  A y  B, denotada con  A ∩  B, es el evento formado por los el ementos comunes comunes a A y B. Figura 2.1 (a). El evento A ∩  B se realiza si A y B se realizan a la vez. Si A ∩  B = Φ, se dice que A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos.

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La  reunión o unión de  A y  B, que se denota con  A ∪  B, es el evento que está formado por los elementos de Ω que están en A, en B o en ambos eventos a la vez. Figura 2.1.(b). El evento A ∪  B se realiza si al menos uno de los eventos A o B se realiza.

(a)  A ∩ B

(b)  A ∪  B Figura 2.1

(c)  A

2.8. Ejemplo. Se considera el espacio muestral formado por los habitantes de la región ZZ, y los eventos: A, formado por las personas que leen el periódico " La voz" y B, formado por las personas que leen el periódico "La tarde". Se tiene que  A ∩  B es el evento formado por las personas que leen ambos periódicos a la vez, mientras que  A ∪  B  lo forman las personas que leen el periódico "La voz", el periódico "La tarde" o ambos a la vez.

El  complemento de  A, que se denota con  A , se define como el evento formado por los elementos de Ω que no están en A. Figura 2.1. (c). El evento  A  se realiza cuando el evento A no se realiza. 2.9. Ejemplo. Al lanzar tres dados, el espacio muestral que se obtiene está formado por los elementos

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), etc. Cada resultado es una 3-tupla cuyas componentes pueden ser iguales o diferentes. Si el evento  A está formado por todos los resultados en donde por lo menos hay dos números iguales, entonces el complemento de  A  está constituido por las 3-tuplas cuyas componentes son todas diferentes.

2.2. PROBABILIDAD DE UN EVENTO. Históricamente, para medir lo incierto se usó el concepto clásico de probabilidad. Este concepto tuvo su origen en los juegos de azar y se aplica para experiencias "aleatorias" para las cuales el espacio muestral es finito y con el ementos igualmente posibles. Otra manera de medir la posibilidad de que suceda o no un evento, consiste en observar la proporción de veces que dicho evento suceda en una serie prolongada de

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experimentos repetidos. Se puede indicar que “la probabilidad de que un alumno asista a clase es 0.9”, si se observa en un número muy grande de veces que el 90% de ellas el alumno asiste a clases.

En la siguiente sección se establece matemáticamente el concepto de probabilidad de un evento mediante una serie de axiomas que son consistentes con los conceptos mencionados anteriormente y que de manera racional resuelven el problema de medir la incertidumbre. Estos axiomas se comprenderán con mayor facilidad si se toma en cuenta lo siguiente: El espacio muestral es el evento seguro, el que siempre se realiza, de ahí que si se desea determinar una ponderación o medida para este evento, ésta debe ser máxima. En oposición, el evento vacío debe tener la menor ponderación, pues éste es el que nunca se realiza. Si decidimos que la ponderación de Ω debe ser 1 y que la de Φ debe ser 0, se tendrá, en forma natural, que para cualquier evento  A, la ponderación debe ser un valor entre 0 y 1. Formalmente se tiene lo siguiente:

Probabilidad.  Dado el espacio muestral Ω , la  probabilidad   de un evento A, que se denota con P ( A) , se define como el número que cumple con los siguientes axiomas, llamados de Kolmogorov.

1. La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo. Esto es,

0 ≤  P( A) , para todo evento A, 2. La probabilidad del espacio muestral es 1. Esto es, P(Ω) = 1 3. Si A y B son dos eventos  mutuamente excluyentes ; esto es, si A ∩  B = Φ , entonces, la probabilidad de la unión de los dos eventos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Simbólicamente: P( A ∪  B) = P( A) + P( B), si  A ∩ B = Φ.

A partir de la definición se deducen otras propiedades, como las siguientes: 4. La probabilidad del evento vacío es igual a 0. Es decir , P(Φ) = 0. 5. Si A ⊂  B, entonces P( A) ≤ P( B). 6. La probabilidad es un número entre 0 y 1. Esto es, 0 ≤ P( A) ≤  1.

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7. La probabilidad del complemento de un evento A es igual a 1 - P( A). 8. P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B )., para todo par de eventos A y B. El lector puede generalizar la propiedad 8 para n eventos. Probaremos las propiedades 4) y 8). 2.10. Ejemplo. Probar que P( Φ ) = 0.  De mo st ra ció n . Se tiene que  A ∪ Φ  = A , luego P ( A ∪ Φ ) = P ( A ).

Como  A ∩ Φ  = Φ , P ( A ) = P ( A ∪ Φ ) = P ( A ) + P ( Φ ), según 3), y así, P ( Φ ) = 0. 2.11. Ejemplo. Probar que P( A ∪  B ) = P ( A ) + P ( B )

-

P ( A ∩  B ).

 De mo st ra ció n . Se cumple:  A ∪  B  =  A ∪ ( B ∩  A ) y  B  = ( A ∩  B ) ∪  ( B ∩  A ).

Aplicando la propiedad 3): P ( A ∪  B ) = P( A ) + P ( B ∩  A )

y

P ( B ) = P ( A ∩  B ) + P ( B ∩  A )

Restando miembro a miembro se llega al resultado. Aplicando dos veces la propiedad 8) en P[( A ∪  B) ∪  C )] se tiene P( A ∪  B ∪  C ) = P( A) + P( B) + P(C ) - P( A ∩  B) + P( A ∩  C ) - P( B ∩  C ) + P( A ∩  B ∩  C ).

2.12. Ejemplo. La probabilidad de que un hogar tenga teléfono es 2/3, que tenga televisor, 3/6 y de que tenga al menos uno de los aparatos, 5/6. Hallar la probabilidad de que un hogar tenga ambos aparatos. Solución. Si denotamos con  A, al evento “el hogar tiene teléfono”,  B , al evento “ el hogar tiene televisor, se tendrá que

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 A ∩ B , corresponde al evento “el hogar tiene ambos aparatos y P( A ∩ B) = P( A) + P( B) − P( A ∪ B) = 2/3 + 3/6 – 5/6 = 1/3.

Medida de probabilidad. La probabilidad P  se llama  me dida de probab ilid ad , si en lugar de la propiedad 3) se cumple la siguiente propiedad. 3*) Para una sucesión de eventos disjuntos dos a dos:  A 1 ,  A 2 , ... , se tiene P ( A 1 ∪  A 2 ∪  ...) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ....

Se demuestra que la propiedad 3*) implica la propiedad 3). Así, toda medida de probabilidad es una probabilidad.

Asignación de Probabilidades Los axiomas de probabilidad no indican como deben asignarse, en general, las probabilidades a los diversos resultados de una experiencia aleatoria; solamente establecen las limitaciones de las formas en que esto puede hacerse. Algunas veces esto es posible como en el caso del lanzamiento de un dado “equilibrado”, en donde a cada resultado se le asigna de antemano 1/6 de probabilidad, acercándose de este modo a la realidad, pues es imposible que el dado sea perfecto. Otras veces, sin embargo, tal asignación previa es imposible, por lo que es necesario lanzar el dado varias veces, digamos 200, y asignar a cada resultado su respectiva frecuencia relativa. Estas probabilidades pueden ser mejoradas lanzado un número mayor de veces, digamos 3000. En general se puede asignar probabilidades provisionales para luego “afinarlas” a partir de una mayor información de la experiencia que se estudi a. A continuación se indica una manera de asignar probabilidades. 2.13. Ejemplo. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES PARA UN ESPACIO MUESTRAL FINITO.

Se considera el espacio muestral finito Ω = {w1, ... , wn}. A cada resultado wi se le asigna como probabilidad el número no negativo  pi, de tal manera que p1 + p2 + ... + pn = 1. Se define así una probabilidad P en el espacio muestral Ω de tal manera que P[{wi}] =

 pi, para i = 1, 2, ... , n.

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Si en la descripción anterior  p1  = ... =  pn = 1/ n, cada elemento de Ω  se llama equiprobable. En este caso se cumple que si A es un evento de m elementos, P( A) = m / n. Si al número de elementos del conjunto A se denota con #( A), se podrá escribir P ( A) =

# ( A) # ( Ω)

En resumen, si los elementos de un espacio muestral son equiprobables, entonces la probabilidad de un evento A es P ( A ) =

 Nú mero de casos favorables a A  Nú mero de casos posibles

.

Esta expresión corresponde a la definición clásica de Probabilidad . A las experiencias cuyos resultados son equiprobables se les llama "experiencias al azar ". Así, "elegir una persona al azar" de un grupo de n  personas equivale a asignar igual probabilidad a la elección de cada persona. En general, " elegir m objetos al azar " de un conjunto, significa que cada uno de los conjuntos formados con m elementos del conjunto tiene la misma probabilidad de ser elegido. Otros ejemplos de asignación de probabilidades son los siguientes: 2.14. Ejemplo. Si se considera que al lanzar  N   veces una moneda, la frecuencia relativa de cada resultado A tiende a una constante c cuando N  crece indefinidamente, se podrá asignar al resultado  A la constante c como probabilidad. Este valor corresponde, en efecto, a una probabilidad. Cuando la moneda es equilibrada, la constante c es igual a 0.5. Así se puede indicar que la P(c) = P(s) = 0.5. 2.15. Ejemplo. Otra manera de asignar probabilidad a un evento, es  mediante proporciones o  porcentajes. A cada evento podemos asociarle un número igual a la proporción de la población que este subconjunto constituye. Así, si se observa que en un país las mujeres constituyen el 30% de la población, se podrá asignar al evento "mujer" la probabilidad 0.30.

La asignación de probabilidad con esta metodología se basa en el conocimiento de la composición de la población, previa a la realización de l a experiencia. Otro ejemplo de este tipo de asignación aparece cuando se indica que la probabilidad de que el tren de Lima a Huancayo llegue a tiempo es 0.85. Esto significa que el 85% de veces el tren indicado llega a tiempo.

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2.16. Ejemplo. En un grupo de personas hay 3 mujeres: N 1, N2 y N 3 y 4 varones: R1, R2, R3 y R4. Si se elige una persona "al azar", ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea varón?. Solución.

El espacio muestral del experimento es Ω = {N1, N2, N3, R1, R2, R3, R4}.

Cada elemento de este espacio es equiprobable con probabilidad 1/7. El evento A, descrito por "elegir un varón" es {R1, R2, R3, R4}. Luego, P( A) = #( A)/#(Ω) = 4/7.

2.17. Ejemplo. Un lote de 5 artículos contiene 2 d efectuosos: D1, D2 y 3 artículos no defectuosos: N1, N2 y N 3. Si se escogen 3 artículos al "azar" y de una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de que uno de éstos sea defectuoso?. Solución. El espacio muestral de la experiencia es Ω = {{N1, D 1, D 2}, {N1, N 2, N 3}, {N2, D 1, D2}, {N3, D 1, D 2}, {N1, N2, D1}, {N1, N 2,

D2}, {N1, N3, D1}, {N1, N3, D2}, {N2, N3, D1}, {N2, N3, D2}}. El evento que interesa y cuya probabilidad se desea conocer es

 A = {{N1, N2, D1}, {N1, N2, D2}, {N1, N3, D1}, {N1, N3, D2}, {N2, N3, D1}, {N2, N3,

D2}}.

Se sigue entonces que P( A) = #( A)/#(Ω) = 6/10. 2.18. Ejemplo. Probabilidad geométrica. Para un experimento aleatorio cuyo espacio muestral Ω es un conjunto contenido en el plano y de área diferente de cero, se define la  probabilidad geométrica  de un evento  A contenido en Ω, como el número P ( A) =

 Area ( A)  Area (Ω)

La función P así definida es efectivamente una probabilidad, como puede comprobarse. La definición se extiende al caso  Rn.  (Cuando n = 1 el área se reemplaza por la "longitud").

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2.19. Ejemplo. 2

2

Se escoge al azar un punto del círculo C  definido por  x + y ≤ 4 . Hallar la probabilidad de que el punto escogido esté en el círculo D con centro el origen y radio 1. Solución. El espacio muestral Ω corresponde al círculo C y la probabilidad de que el punto elegido esté en el círculo D es  Area ( D )

P ( D) =

 Area ( Ω)

=

π

4π

= 0.25

2.20. Ejemplo. Hallar la probabilidad de que la suma de las coordenadas de un punto ( x, y ), elegido al azar del rectángulo con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), esté entre los valores 0.5 y 1.5. Solución. El espacio muestral Ω corresponde al rectángulo indicado y cuya área es igual 1. Y 

 x+ y=1.5

1.5 1 0.5

 A  X 

0

0.5

1

1.5

Figura 2.2

El evento A está formado por los puntos ( x, y) del rectángulo que cumplen con 0.5 ≤  x + y ≤ 15 . y cuyo gráfico se indica en la figura 2.2. La probabilidad del evento A es P ( A ) =

 Area ( A )  Area (Ω)

= 0.75.

Cuando de la definición clásica de probabilidad se trata, es necesario conocer el número de elementos de un evento más que a los mismos elementos, esto conduce al planteamiento de ciertas fórmulas de cálculo que combinadas convenientemente pueden servir, en muchos casos, como técnicas para la enumeración de puntos muestrales. El estudio de tales fórmulas podría realizarse en forma exhaustiva, pero para los fines de este texto bastará una breve introducción.

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2.3. INTRODUCCION AL CALCULO COMBINATORIO. Comenzaremos por indicar el siguiente resultado. "Si A1  y A2 son dos conjuntos finitos, entonces el número de pares ordenados (a, b), donde a ∈ A1 y b ∈ A2, está dado por   Número de Pares = #( A1).#( A2)".

2.21. Ejemplo. Una urna I contiene 3 esferas numeradas con 0, 1 y 2, mientras que otra, II, contiene 2 esferas numeradas con 3 y 4. De la urna I se extrae una esfera y también de la urna II. 0

3

1

4

2

Urna I

Figura 2.3

Urna II

Si con  A1 denotamos al conjunto de los resultados obtenidos al extraer la primera esfera de la urna I y con  A2, al conjunto formado con los resultados de extraer la segunda esfera de la urna II, se tendrá que el número de resultados que se pueden obtener al extraer las dos esferas es #( A1)#( A2) = 3×2 = 6. Los resultados son los pares que aparecen en la siguiente tabla.  A1 \   A2

3

4

0

(0, 3)

(0, 4)

1

(1, 3)

(1, 4)

2

(2, 3)

(2, 4)

La fórmula del número de pares puede extenderse para 3 o más eventos. En general , si  A1, ... ,  An, son n conjuntos finitos, el número de n-tuplas que se pueden formar, tomando el primer elemento de A1, el segundo de A2, ... , y el n-ésimo de An es

#( A1).#( A2)... #( An). 2.22. Ejemplo. En una urna hay dos esferas numeradas con 0 y 1. Se extraen 3 esferas de manera consecutiva y con restitución.

Probabilidad. 155

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Se denota con  A1, al evento formado por los resultados de la primera extracción, con  A2, al evento formado con los de la segunda extracción y con  A3, al evento formado con los de la tercera extracción. Se tiene que  A1 = A2 = A3 = {0, 1}. El número de elementos del evento A, formado con las 3-tuplas de las 3 extracciones es #( A1).#( A2).#( A3) = 23 = 8. El ejemplo anterior es un caso particular del siguiente concepto.

Variaciones con repetición. De un conjunto  E   que tiene m  elementos, en forma consecutiva y con restitución se escogen n de ellos. Cada n-tupla, (w1,  ... , wn), que se forma con elementos de E y en donde  pueden haber elementos repetidos, se llama variación con repetición. Se puede demostrar sin dificultad que el  número de variaciones con repetición de n elementos que se pueden formar a partir de los m elementos de E  es m n.

2.23. Ejemplo. Dado el conjunto E  = {a, b, c, d, e }, algunas variaciones de orden 3 con repetición son:

(a, b, c), (b, a, c), (a, a, b), (b, b, b), (c, d, e), etc. Se observa que en este caso, el orden es importante; así la variación con repetición ( a, b, c) es diferente a la variación con repetición (b, a, c). En total se pueden formar 53  variaciones con repetición de orden 3, tomadas del conjunto E que tiene 5 elementos. 2.24. Ejemplo. De un grupo de 6 personas se escogen sucesivamente y con restitución 4 de ellas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 4 personas?. Solución. El evento A formado por los diferentes grupos de 4 personas elegidas con restitución tiene 64 = 1296 elementos.

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Variaciones sin repetición. Dado un conjunto E  con m elementos.  Las n-tuplas ordenadas, (w1,  ... , wn ), sin elementos repetidos, que se  pueden forman con elementos de E, se llaman variaciones sin repetición de n elementos tomados de los m de E.

Así, del conjunto  E = {a, b, c, d } se pueden formar, por ejemplo, las variaciones sin repetición de 3 elementos (a, b, c), (b, c, d ), (c, d, b), etc. Se observa que, al igual que para las variaciones con repetición, el orden es importante; por ejemplo, la variación (b, c, d ) es diferente de la variación (c, d, b). m

 El  número de variaciones sin repetición se denota con V n  y se puede encontrar de la siguiente manera :

El primer elemento w1 puede escogerse de m maneras. Una vez escogido w1 quedan m 1 maneras de escoger w2. Escogidos w1 y w2 quedan m -  2 maneras de escoger el elemento w3 y así sucesivamente hasta el elemento wn-1; escogido este elemento, quedan m - (n - 1) = m - n + 1 maneras de escoger el elemento wn. m-1

m

...

m- n+1

Usando la fórmula del número de n-tuplas que se pueden formar con n conjuntos se tiene que el número de variaciones sin repetición de n  elementos tomados de entre los m elementos es m Vn = m( m − 1)( m − 2 )...(m − n + 1)

2.25. Ejemplo. Si  E   = {1, 2, 3, 4}, entonces el número de variaciones sin repetición de 3 elementos tomados de los 4 de  E  es 4

V 3 = ( 4)(3 )(2) = 24 .

Algunas variaciones de este tipo son: (1, 2, 3), (1, 2, 4), etc. 2.26 Ejemplo. De un grupo de seis personas se eligen cuatro de una en una y sin reposición. Hallar el número de grupos que así se pueden formar. Solución.

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El número de grupos que de esa manera se pueden formar es igual al número de variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de un conjunto que tiene 6 elementos. Este número es V 46 = (6 )(5)(4 )(3 ) = 360. 2.27. Ejemplo. De un grupo de 8 personas, se desea formar comités de 3 personas, donde una sea el presidente, otra el secretario y la tercera el tesorero. ¿Cuántos comités de este tipo se pueden formar?. Solución. Esta vez interesa el orden en que se escojan las 3 personas. Luego el número de tales comités es igual al número de variaciones si repetición de 3 elementos que se puedan formar con las 8 personas del grupo. Esto es, 8

V 3 = ( 8 ) ( 7 ) ( 6 ) = 336 .

Permutaciones Si en la discusión anterior, m = n, cada una de las variaciones se llama  permutación de los m elementos de E y se denota con Pm.

Usando la fórmula para el número de variaciones sin repetición con n = m, se tiene m

Pm = Vm = m( m − 1)( m − 2 ) ... 1 .

Si se define: m! = 1×2×3×...×m, para m natural mayor que cero y

0! = 1, se podrá decir que el número de permutaciones de m elementos es igual a Pm = m!.

OBSERVACION . m! se lee "m factorial". Se nota que cada permutación es un arreglo de los m elementos diferentes de E . 2.28. Ejemplo. Hay 6 maneras de arreglar los elementos del conjunto  E  = {a, b, c}; éstas son las permutaciones: (a, b, c), (b, a, c), (c, a, b), (a, c, b), (b, c, a), (c, b, a).

PROPIEDAD . El número de variaciones sin repetición de n  elementos tomados de un conjunto de m elementos se puede calcular con

1 58 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

V nm =

m!

(m − n)!

 Prueba. Vnm = m( m − 1)( m − 2)... (m − n + 1) =

m( m − 1)... (m − n + 1)(m − n )...1

(m − n)...1

=

m!

(m − n)!

Combinaciones. Se trata ahora de calcular el número de subconjuntos de n elementos de un conjunto E , que tiene m elementos con n ≤  m. Cada uno de tales subconjuntos se llama  combinación  de n elementos tomada de los m de E  m

El  número de combinaciones  se denota con C n   y se puede hallar de la siguiente manera: m

Cada una de las C n  combinaciones es un conjunto de n elementos. Por cada una de éstas hay n! permutaciones. Cada permutación así definida es una variación de n elementos tomados de un conjunto con m elementos, luego Cnm ( n !) = V nm . m

Reemplazando el valor de V n se tiene m C n =

m!

(m − n)! n !

.

2.29. Ejemplo. Para A = {a, b, c, d }, las combinaciones de 2 elementos tomados de entre los 4 de A son: {a, b}, {a, c}, {a, d }, {b, c}, {b, d } y {c, d }. Combinaciones

Permutaciones por cada combinación.

{a , b } {a, c} {a, d } {b, c} {b, d } {c, d }

(a, b), (b, a) (a, c), (c, a) (a, d ), (d , a) (b, c), (c, b) (b, d ), (d , b) (c, d ), (d , c)

Probabilidad. 159

Carlos Véliz C.

Por cada una de las 6 combinaciones hay 2! permutaciones. En total hay 6(2!) = 12 variaciones de 2 elementos tomados de A. 2.30. Ejemplo. Con 8 personas se forman grupos de 3 personas cada uno, ¿cuántos de éstos se pueden obtener?. Solución. El número de tales grupos es igual al número de combinaciones de orden 3 que se pueden formar con las 8 personas. Se tiene entonces, 8

 Num.grupos = C 3 =

8! = 56. (8 − 3)! 3!

2.31. Ejemplo. En un grupo de 50 personas hay 4 que tienen sangre con el factor RH negativo, (RH-). Hallar la probabilidad de que escogidos 5 personas al azar y de una sola vez, dos de ellas tengan el factor indicado. Solución. El espacio muestral Ω está formado por todas las maneras en que 5 personas pueden ser

escogidos de entre las 50. El número de elementos de Ω es #(Ω) = C 550 = 2118760. El evento que interesa es el evento  A, descrito por "de las cinco personas escogidas, dos tienen el factor RH negativo". Se trata de encontrar P( A) = #( A)/#(Ω). Debe escogerse 2 personas con el factor RH - y 3 con RH+. Las 3 personas con RH+ deben ser escogidas de las 46 que lo tienen. Así, el número de maneras en que tales 46

4

personas pueden ser elegidos es C 3 . Por cada una de esas maneras hay C 2  maneras de 46 4

escoger 2 personas con RH-, luego el evento A tiene C3 C 2  elementos. 46

Por tanto, P( A) =

4

C3 C 2 50

C 5

= 0.0430.

2.32. Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos resultados iguales al tirar 4 veces un dado equilibrado?. Solución. El espacio muestral, Ω , está formado por todas las variaciones con repetición de orden cuatro, formadas con los elementos del conjunto {1, ... , 6}.

1 60 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

En primer lugar, se calcula la probabilidad del evento  E  ⊂ Ω , que corresponde a "ninguno de los resultados son iguales". El número de elementos de  E   es igual al número de variaciones de orden 4 sin repetición que se pueden formar a partir de los 6 resultados posibles; esto es, #( E ) = (6)(5)(4)(3) = 360. El total de casos posibles al tirar 4 veces un dado es 64  = 1296. Luego, P ( E ) = 360/1296 = 0.2778; de este modo la probabilidad del evento pedido es P ( E ) = 1 - P ( E ) = 1 -  0.2778 = 0.7222.

2.4. EJERCICIOS. 1. Hallar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:  E 1: Elección de tres personas de una en una sin restitución para luego anotar si cada una es “ocupado, O” o ”desocupado, D”.

 E 2: Elección de un automóvil producido por una fábrica para luego anotar el espacio recorrido después de

consumir un galón de gasolina. Rpta. a) {(O,O,O), (O,O,D), (O,D,O), (D,O,O), (O,D,D), (D,O,D), (D,D,O), (D,D,D)}. b) [ 0, +∞[

2. Un experimento consiste en seleccionar al azar 4 personas y observar si su sangre tiene el factor RH+ o el factor RH-. a) Indique el espacio muestral. b) Enumerar los elementos de los sucesos que se describen a continuación:  A: "Por lo menos tres personas tienen sangre con RH+".  B: "A lo más dos personas tienen sangre con RH+".

3. El señor Pérez debe pasar por tres entrevistas consecutivas para ingresar a trabajar en una compañía. Las personas encargadas de las entrevistas son: Hugo, Paco y Luis, en ese orden. Sean los eventos descritos por las proposiciones que se indican.  A: el veredicto de Hugo es favorable.  B: el veredicto de Paco es favorable. C : el veredicto de Luis es favorable.

Usando A, B y C , escribir los eventos descritos por a) "Ninguno de los veredictos es favorable". b) "Todos los veredictos son favorables". c) "Por lo menos dos veredictos son favorables". d) "El veredicto del señor Hugo es favorable". Rpta. a)  A ∩ B ∩ C  c) ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C ).

Carlos Véliz C.

Probabilidad. 161

4. En una mesa hay cuatro cartas con sus respectivos sobres. Se introducen al azar las cuatro cartas, una en cada sobre. a) Usando una notación adecuada, describir el espacio muestral. b) Describir cada uno de los siguientes eventos:  A: "sólo una carta se introdujo correctamente".  B: "dos cartas se introdujeron correctamente". Rpta. a) Permutaciones de las cartas 1, 2, 3, 4. Así la permutación (1,2,3,4) indica que la carta 1 ha sido introducida en el sobre 1, la carta 2 se ha introducido en el sobre 2, la carta 3, en el sobre 3, etc. 5. Se escoge una persona al azar de un grupo de 100. Sean los eventos descritos por:  E 1: la persona escogida es hombre,  E 2: la persona escogida es mujer,  E 3: la persona escogida tiene educación superior,  E 4: la persona escogida proviene de un colegio estatal.

¿Qué significan los siguientes eventos:  A = E 1 ∪  E 2?,  B = E 2 ∩  E 3 ∩  E 4?, C  = ( E 1 ∩  E 3 ∩  E 4) ∪  ( E 2 ∩  E 3 ∩  E 4)?. Rpta. B: La persona elegida es mujer con educación superior y proviene de un colegio estatal. 6. Para comparar dos estaciones de b ombeo se tiene: Para la estación 1: P( falla en la bomba ) = 0.07, P( fuga) = 0.10 y P(ambas) = 0.06. Para la estación 2: P( falla en la bomba ) = 0.09, P( fuga) = 0.12 y P(ambas) = 0.06 ¿Cuál estación tiene la mayor probabilidad de quedar fuera de servicio?. 7. Se tienen 5 computadoras de tipo A y 6 de tipo B. Si se eligen al azar 4 computadoras, a) ¿Cuál es el número de elementos que tiene el espacio muestral ?. b) ¿Cuál es el número de elementos que tiene el evento cuyos elementos están formados por dos computadoras de tipo A y dos de tipo B. Rpta. a) 330. b) C25C 26 . 8. La probabilidad de que Juan vaya a una d eterminada cita es 0.4, de que Pedro vaya a la misma cita, 0.6 y de que ambos vayan a la cita, 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Pedro vayan a la cita?. Rpta. 0. 8. 9. La probabilidad de ganar el primer premio en una juego es 2/5 y la de ganar el segundo premio, 3/8.Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4, hallar la probabilidad de ganar ambos premios. 10. Diez personas de diferentes tallas hacen cola al azar en una ventanilla. Hallar la probabilidad de que a) el más alto este al inicio de la cola. b) el más alto y el más bajo estén en los extremos de la cola c) el más alto y el más bajo estén juntos. 11. Un alumno de la universidad UU debe llevar en el segundo ciclo de estudios los cursos de Filosofía, Matemáticas y Lengua. Si la probabilidad de pasar el curso de Filosofía es 0.7, el de Lengua, 0.55, el de Matemáticas, 0.5, el de Filosofía y Matemáticas, 0.3, el de Filosofía y Lengua, 0.35, el de Matemáticas y Lengua, 0.3 y los tres a la vez, 0.2; calcular, a) la probabilidad de aprobar por lo menos dos cursos, b) la probabilidad de aprobar p or lo menos un curso,

1 62 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

c) la probabilidad de no aprobar curso alguno. Rpta. a) 0.55 b) 0.9. 12. Una caja contiene 100 vacunas. La probabilidad de que al menos una no sea efectiva es 0.05 y de haya al menos dos no efectivas es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga a) todas las vacunas efectivas, b) exactamente una no efectiva c) a lo más una no efectiva. 13. En una lista de electores, 3 son del partido A, 8 del partido B y 13 del partido C. Otra lista tiene 5 electores del partido A, 7 del partido B y 6 del partido C. Una persona de cada lista es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas personas sean del mismo partido?. Rpta. 0.3449 14. Cinco hombres y cuatro mujeres se sientan en forma aleatoria en 9 asientos arreglados en fila. Hallar la probabilidad de que todas las mujeres estén juntas. Rpta. 0.0476. 15. Dado un segmento de longitud  L, se seleccionan al azar dos puntos de éste. Hallar la probabilidad de que pueda construirse un triángulo a partir de los tres segmentos resultantes. Rpta. 0.25 16. Dos personas acuerdan encontrarse en cierto lugar entre las 8 a.m. y las 9 a.m. de un día determinado y convienen en que cada uno de ellos debe esperar al otro solamente 10 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren. Rpta. 11/36. 17. Usando la probabilidad geométrica, dar un evento diferente del vacío cuya probabilidad es 0. 18. La producción de camisas de una determinada marca presenta el 2% de defectuosas. Si de un lote de 200 camisas se eligen al azar y de una sola vez 30 de ellas, ¿cuál es la probabilidad que de las camisas escogidas, 3 sean defectuosas?. Rpta. 0.0107. 19. Probar que P( A ∪ B ∪C) = P( A) + P(B) + P(C) − P (A ∩B ) − P (A ∩C ) − P (B ∩C ) + P (A ∩B ∩C ) .  20. En una caja hay n balotas numeradas del 1 al n. Las balotas se sacan de una en una sin reemplazo. Si la balota r se saca en la r   - ésima extracción se considera “un éxito”. Hallar la probabilidad de obtener al menos un éxito. Rpta. 1/1! –1/2! + 1/3! - ... ( −1) n −11 / n! 21. Si la probabilidad de un evento  A es  p , entonces se define "la posibilidad de que ocurra  A " como la razón de  p   a 1 -  p.   A menudo las posibilidades se expresan como cocientes de dos factores que no tienen un factor común y si es más probable de que no ocurra un evento, se acostumbra dar las posibilidades de que no ocurra en lugar de las que sí ocurra, ¿Cuáles son las posibilidades a favor o en contra de la ocurrencia de un evento si su probabilidad es a) 3/8; b) 0.07; c) 0.45 22. Usar la definición dada en el ejercicio anterior para probar que si las posibilidades de la ocurrencia del evento  A son de a a b , donde a y b son enteros positivos, entonces P( A) =

a a +b

. Esta fórmula se usa para determinar probabilidades subjetivas. Por ejemplo, si

un alumno "siente" que las posibilidades están 7 a 4 de aprobar una materia, la probabilidad subjetiva que él se asigna es 7/11.

Probabilidad. 163

Carlos Véliz C.

2.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EVENTOS INDEPENDIENTES. La probabilidad de un evento no asume condiciones especiales aparte de las que definen el experimento. Tal es el caso de la probabilidad de que una persona fume. Algunas veces; sin embargo, se requiere revisar la probabilidad de un evento a partir del conocimiento de condiciones adicionales que pueden afectar su resultado. Así, la probabilidad de que una persona fume puede ser calculada a partir de la información adicional de que la persona elegida es mujer. De este modo, el espacio muestral se ha reducido al caso de las mujeres. La probabilidad de que una persona elegida fume sabiendo que es mujer es una probabilidad condicional. Si el espacio muestral es  finito y con n elementos equiprobables, la probabilidad condicional de  A  dado el evento  B, se calcula observando que el espacio muestral se reduce a B. Así, P ( A B) =

# ( A ∩ B ) # ( A ∩ B ) / n   P ( A ∩ B) = = . P( B) # ( B ) # ( B ) / n 

En general, para cualquier espacio muestral (no necesariamente finito) la probabilidad condicional se define de la siguiente manera:  Dados los eventos A y B , la probabilidad del evento A sabiendo que el evento B ha sucedido, se llama  probabilidad condicional  de  A  dado  B.  Esta probabilidad se denota con P( A | B) y se define como P( A | B)  =

P( A∩ B) P( B)

, si P ( B ) ≠ 0

Cuando P( B) = 0, se puede definir P ( A| B ) = 0. De la definición de probabilidad condicional, se deduce que P( A ∩  B) = P( A |B).P( B) o equivalentemente P( A ∩ B) = P( B |A).P( A)

A partir de la definición se obtienen también las siguientes propiedades. PROPIEDADES .

a) P( A |B) ≥  0. b) P(Ω |B) = 1. c) P(( A1 ∪  A2)| B) = P( A1 |B) + P( A2 |B), si A1 ∩  A2 = Φ.

1 64 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

Estas propiedades indican que la probabilidad condicional es una probabilidad en Ω. Puede obtenerse otras propiedades como la siguiente P ( A | B ) = 1 − P ( A | B) .

2.38. Ejemplo. Calcular P( A | B )  si, P( A) = 0.4, P( B) = 0.7 y P( A |B) = 0.2. Solución. Supondremos, para simplificar, que el espacio muestral Ω es un rectángulo de área igual a 1 y que los eventos A y B son como se indican. De este modo las áreas de cada región que representa a los eventos son iguales a su probabilidad.

 x

 x

 A

y

 B

Figura 2.4

Como 0.2 = P ( A| B) =

P ( A ∩ B) P ( B)

,

se tiene que x = P( A ∩ B) = 0.2 P( B) = 0.2 (0.7 ) = 014 . . Se tiene: P ( A| B ) =

P( A ∩ B ) P( B )

=

 y

1 − P( B)

=

0.4 −  x 0.4 − 0.14 0.26 26 13 . = = = = 1 − 0.7 0.3 0.3 30 15

Eventos independientes. Si la probabilidad del evento  A no depende de la realización del evento  B se dice que A es independiente de B. Formalmente, Se dice que dos eventos A y B son independientes si P( A | B) = P( A).

Si la probabilidad de que una persona contraiga una enfermedad E es igual a la probabilidad de que la persona contraiga la enfermedad sabiendo que ésta es mujer, se tendrá que los eventos que indican el riesgo de contraer la enfermedad y que la persona sea mujer son independientes. La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de eventos independientes y de la probabilidad condicional. Si los eventos A y B son independientes, P( A ∩  B) = P( A)P( B)

Probabilidad. 165

Carlos Véliz C.

En efecto, P( A ∩  B) = P( A | B)P( B) = P( A)P( B) 2.34. Ejemplo . En una caja hay 7 bolas rojas y 3 verdes. Se sacan dos bolas al azar de una en una. Hallar la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda también,

a) si después de sacar la primera bola, ésta se devuelve para sacar la segunda (extracción  con restitución). b) si después de sacar la primera bola, ésta no se devuelve para luego sacar la segunda (extracción sin restitución). Solución. Sean los eventos:  A: "La primera bola extraída es roja".  B: "La segunda bola extraída es roja".

En a) como en b), se pide calcular P( A ∩  B). a) En este caso, la primera bola extraída se devuelve, la probabilidad de  B no depende del evento A, éstos son independientes y P( A ∩  B) = P( A)P( B) = (7/10)(7/10) = 0.4900.

b) Si la primera bola extraída no se devuelve, la probabilidad del evento  B depende del evento A. Los eventos no son independientes y P( A ∩  B) = P( B |A)P( A) = (6/9) (7/10) = 0.4667.

2.39. Ejemplo. Se ha determinado que los motores que produce una compañía presentan dos tipos de defectos A y B. El 5% de los motores presentan el defecto A mientras que el 10% tienen el defecto B. Adicionalmente, el 3% de los motores presentan ambos defectos.

¿Cuál es la probabilidad de que un motor tenga a) el defecto A, dado q ue tiene el defecto B? b) el defecto B, dado que tiene el defecto A?. Solución. Sean los eventos  A: "ocurre A"  B: "ocurre B".

1 66 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

Se supone que P( A) = 0.05, P( B) = 0.10 y P ( A ∩ B )  = 0.03. Luego, P ( A ∩ B)

0.03 = 0.3 0 . P ( B) 0.10 P( A ∩ B) 0.03 = = 0.60. b) P( B| A) = P( A) 0.05 a) P( A| B) =

=

PROPIEDAD. Si A y B son independientes entonces A y B también lo son.

Veamos que en efecto, P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ). P ( A ∩ B ) = P ( B | A) P( A) = [1 − P( B| A)] P( A) = [1 − P( B)] P( A) = P( B ) P( A).

La penúltima igualdad se cumple pues A y B son independientes. 2.40. Ejemplo. Probar que P ( A ∩  B ∩ C ) = P ( C| ( A ∩ B )) P ( B| A ) P ( A ). Solución. P ( A ∩ B ∩ C ) = P (( A ∩ B ) ∩  C ) = P ( C |( A ∩ B )) P ( A ∩  B ) = P ( C |( A ∩ B )) P ( B |A ) P ( A ).

2.41. Ejemplo. La probabilidad de que se venda un determinado producto después de ofrecerlo es 0.4. Suponiendo independencia entre las ventas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera venta ocurra en la sexta oferta?. Solución.  Ai  indica el evento: “se realiza una venta en la i-ésima oferta

La probabilidad de que no se realice la venta es 0.6. Luego la probabilidad pedida es P( A1 ∩... A5 ∩ A6 ) = P( A1 ) P( A2 )... P( A5 ) P ( A6 ) =  (0.65)(0.4) = 0.0311

2.42. Ejemplo. En los últimos años la Universidad ABCD ha estado llevando un registro de sus egresados que en la actualidad tienen empleo, anotando el número de años que utilizaron para terminar su carrera y su posición (Alta, media y baja) que tienen como profesionales. La siguiente información se obtuvo de 200 egresados.

Probabilidad. 167

Carlos Véliz C.

Alta

Media

Baja

Total

5 Años

30

70

20

120

Más de 5 años

20

30

30

80

Total

50

100

50

200

a) Basándose en la información anterior, ¿cuál es la probabilidad de que un egresado cuya duración de sus estudios fue de 5 años tenga alta posición profesional en su empleo actual?. b) Si el egresado tiene baja posición profesional en su empleo, ¿cuál es la probabilidad de que tal persona haya realizado sus estudios en más de 5 años?. c) Si el egresado tiene posición profesional media, ¿cuál es la probabilidad de que tal persona haya realizado la carrera en 5 años?. Solución. Sean los eventos descritos del siguiente modo,  A: El egresado tiene alta posición profesional  B: El egresado tiene mediana posición profesional C : El empleado tiene baja posición profesional  D: El egresado hizo la carrera en 5 años  E : El egresado hizo la carrera en más de 5 años. P ( A ∩ D) 30 / 200 = =  0.2500. P ( D) 120 / 200 P ( E ∩ C ) = 0.6000. b) P( E |C ) = P ( C ) P( D ∩ B) c) P ( D| B ) = = 0.7000. P( B)

a) P( A |D) =

2.43. Ejemplo. De acuerdo a la ‘tabla de mortalidad’ correspondiente a cien mil personas y para 1990 1995 y que se da a continuación,

a) ¿cuál es la probabilidad de que una persona esté viva a los 65 años?. b) ¿cuál es la probabilidad de que una persona que está viva a los 30 años lo esté a los 65 años. Edad en años

Personas vivas

Edad en años

Personas vivas

Edad en años

Personas

0 1 5 10 15 20

100 000 93 823 91526 90857 90453 89848

25 30 35 40 45 50

89937 87876 86682 85169 83210 80523

55 60 65 70 75 80

76820 71569 64485 54814 42921 29703

vivas

1 68 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

Solución.

a) La probabilidad de que una persona esté viva a los 65 es igual a 64485/100000 = 0.64485. b) La probabilidad de que una persona esté viva a los 65 años dado que está viva a los 30 años es igual a 64485 / 100000 = 0.7338. 87876 / 100000 2.44. Ejemplo. Un alumno debe escoger entre tomar un curso de Matemáticas o llevar un curso de Letras. Si escoge el de Matemáticas la probabilidad de que lo apruebe es 1/3, mientras que si escoge el de Letras, la probabilidad de que lo apruebe es 3/4. Para decidir qué curso llevar, acuerda lanzar una moneda equilibrada. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno lleve el curso de Matemáticas y lo apruebe?. ¿Cuál es la probabilidad de que lleve el curso de Letras y no lo apruebe?. Solución. Sean los eventos:  A, descrito por "llevar el curso de Matemáticas",  M , descrito por "aprobar Matemáticas",  L, descrito por "llevar el curso de Letras", y  B, descrito por "aprobar el curso de Letras".

La probabilidad de llevar el curso de Matemáticas y aprobarlo es P( M ∩ A) = P( M  |A)P( A) = (1/3)(1/2) = 0.1667.

La probabilidad de llevar y no aprobar el curso de Letras es P( L ∩  B ) = P( B  |L)P( L) = (1 - 3/4)(1/2) = 0.1250.

(Nota: P( A) = P( L) = 1/2, pues la moneda es equilibrada) 2.45. Ejemplo. La probabilidad de fallar de cada una de las 4 piezas de un aparato es 0.001. Si el aparato funciona por lo menos con 3 de las piezas indicadas, hallar la probabilidad de que éste no funcione si cada pieza se desarrolla en forma independiente. Solución. Sea  M i  el evento descrito por "la pieza i  no falla".

Probabilidad. 169

Carlos Véliz C.

Cualquiera de los siguientes eventos indica que el aparato funciona:  A  = ( M 1 ∩  M 2 ∩  M 3 ∩  M 4 ),  B  = ( M 1 ∩  M 2 ∩  M 3 ∩  M 4 ), C  = ( M 1 ∩  M 2 ∩  M 3 ∩  M 4 ),  D  = ( M 1 ∩  M 2 ∩  M 3 ∩  M 4 ) y  E  = ( M 1 ∩  M 2 ∩  M 3 ∩  M 4 ).

Como los eventos  A ,  B , C ,  D  y  E son mutuamente excluyentes, se tiene: P ( “aparato funcione” ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) + P ( E ) =

0.9994 + (0.999 3 ) (0.001) + (0.999 3 )(0.001) + (0.999 3 )(0.001) + (0.9993 )(0.001) = 0.9999. La probabilidad de que el aparato no funcione es 1 − 0 . 9999  = 0.0001. 2.46. Ejemplo. Una tienda tiene en stock dos lavadoras al iniciar el día lunes. El stock puede renovarse sólo hasta el día miércoles. Las probabilidades de que los clientes demanden 0, 1, 2 lavadoras el día lunes son: 0.4, 0.5 y 0.1, respectivamente. Las probabilidades para el día martes son: 0.6, 0.2 y 0.2, respectivamente.

Si las demandas en los dos días indicados son independientes, hallar la probabilidad del evento A que indica que al término del día martes no exista lavadora alguna en la tienda. Solución. Si con  Li y M i , denotamos los eventos que indican que i lavadoras han sido

demandadas los días lunes y martes, respectivamente, se tendrá que la probabilidad de que el día martes no exista lavadoras en stock es igual a 1 − P[( L0 ∩ M0 ) ∪ ( L0 ∩ M1 ) ∪ ( L1 ∩ M 0 )] =  1 − (0.4 × 0.6 + 0.4 × 0.2 + 0.5 × 0.6 ) = 0 .38 . 2.47. Ejemplo. De la historia respecto de la prueba de ingreso a una Universidad se ha recabado la siguiente información: 25% de postulantes pensaron que ingresaban a la Universidad e ingresaron, 45% de los postulantes pensaron que ingresaban a la Universidad y no ingresaron, 10% no pensaban ingresar pero si ingresaron, y finalmente, 20% no pensaban ingresar y no ingresaron. Para un próximo examen se escoge un postulante al azar, ¿cuál es la probabilidad?

a) de que no ingrese?. b) de que ingrese si piensa ingresar?. c) de que ingrese si no piensa ingresar?.

1 70 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

Solución. Sean los eventos definidos de l a siguiente manera:  A: el postulante piensa que ingresa y  B: el postulante ingresa.

De la información se tiene que P ( A ∩ B ) = 0 .25, P ( A ∩ B ) = 0 .45, P ( A ∩ B ) = 0.1, P ( A ∩ B ) = 0.20.

Como  A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) y  B = ( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A ) , se tiene P ( A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = 0.7 y P( B) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A ) = 035.

Resulta entonces lo siguiente: a) la probabilidad de que el postulante no ingrese es P ( B ) = 1 − P ( B ) = 1 − (0.25 + 0.1) = 0.65.

b) la probabilidad de que el postulante ingrese si piensa ingresar es P ( B| A) =

0.25 = 0.3571. 0.70

c) la probabilidad de que el postulante ingrese si no piensa ingresar es P ( B| A ) =

0.1 = 0.3333. 0.3

2.48. Ejemplo. Se tiene una urna con n  bolas negras y r   bolas rojas. Cada vez que se saca una bola al azar se devuelve ésta a la urna conjuntamente con otras c  del mismo color y otras d   del color opuesto. Hallar la probabilidad de sacar negra, negra y roja en las tres primeras extracciones. Solución. La probabilidad de extraer una bola negra en la primera extracción es n /( n  + r ).

Después de la primera extracción el número de bolas que hay en la urna es n + r  + c  + d , ( n +  c  negras y r  + d   rojas). La probabilidad de extraer "negra, negra" en las dos primeras extracciones es

Probabilidad. 171

Carlos Véliz C.

n n + r 

×

n+c n+r+c+d  

La probabilidad de extraer "negra, negra, roja" en las 3 primeras extracciones es n n + r 

×

n+c

r + 2d  ×  . n + r + c + d   n + r + 2c + 2d  

Nótese que si c  = 0 y d   = 0, se tiene una extracción sin reemplazo y si c  = 0 y d  = 1, se tiene una extracción con reemplazo. Si c   > 0 y d   = 0, se tiene el llamado "modelo de contagio ", pues cada vez aumenta la probabilidad de las extracciones del mismo color. Si c   = 0 y d   > 0, se tiene que después de extraer una bola de un determinado color, la probabilidad de sacar una bola del mismo color en la próxima extracción disminuye. 2.49. Ejemplo. Según una encuesta realizada,

-el 90% de los hombres ( H ) que tienen cáncer pulmonar ( C ) son fumadores ( F ). -el 70% de mujeres ( M ) que tiene cáncer pulmonar son fumadoras. -la frecuencia de cáncer pulmonar es 4 × 10 - 4   para los hombres y de 10 - 4   para las mujeres. -la proporción relativa de fumadores es 5 veces más elevada en los hombres que en las mujeres. ¿Se puede concluir que una mujer fumadora tiene más propensión de contraer cáncer pulmonar que un hombre fumador?. Solución. Los datos nos indican que: P( F ∩ H ∩ C)   = 0.9 , P ( H ∩ C ) P( F ∩ M ∩ C )   = 0.7 y P ( F  |M ∩ C ) = 0.7 ; esto es, P ( M ∩ C ) P ( F ∩ H ) P ( F ∩ M ) =5 . P ( F  |H ) = 5 P( F  |M );  es decir, P ( H ) P ( M ) P ( F  |H ∩ C ) = 0.9; es decir,

Para responder afirmativamente la pregunta es suficiente probar que

1 72 . Probabilidad.

Carlos Véliz C.

P( C| M ∩ F )  

> 1.

P( C| H ∩ F )  

Usando las relaciones anteriores, se tiene: P ( C| M ∩ F )   P( C ∩ M ∩ F )   P ( H ∩ F ) = P ( C| H ∩ F )   P( M ∩ F ) 0.9 P ( H ∩ C ) −4

5 P ( F | M ) 0.7 × 10 3.5 = = . − 4 P ( F | M ) 0.9 × 4 x10 3.6 Como 3.5/3.6 es mayor que 1, la respuesta es afirmativa; sin embargo, este valor es muy cercano a 1; lo que indica que una mujer fumadora tiene, prácticamente, la misma probabilidad de contraer cáncer pulmonar que un hombre fumador.

Independencia de más de dos eventos.  Los eventos  A1,  A2, ... ,  An, son  mutuamente independientes (o, simplemente, independientes) si para cualquier grupo de eventos diferentes  Ai, A j, ..., Am , se cumple que P( Ai ∩ A j ∩ , ... , ∩ Am) = P( Ai).P( A j).....P( Am)

Según lo indicado, para que n sucesos sean independientes no es suficiente  que sean independientes dos a dos; es decir, que dos cualquiera de ellos sean independientes, como lo muestra el ej emplo siguiente: Se considera el espacio muestral Ω = {a, b, c, d } sobre el que se ha definido la probabilidad P que asigna a cada elemento el valor 1/4. Sean los sucesos: A = {a, b},  B = {b, c}, C  = {c, a}. Se tiene que A y B son independientes pues P ( A ∩ B ) = P ({b}) = 1 / 4 = (1 / 2 )(1 / 2 ) = P ( A ) P ( B )

De igual manera, A y C son independientes. También B y C . Sin embargo, los tres eventos A, B, C , no son mutuamente independientes puesto que

Probabilidad. 173

Carlos Véliz C.

P ( A ∩ B ∩ C ) = P (Φ) = 0 ≠ P ( A) P ( B ) P ( C ) = 1 / 8 .

2.6. EJERCICIOS. 1. Dados P ( A) = 0.5, P( B) = 0.7 y P( A ∩ B) = 0.15, decir si  A y B son independientes. Rpta. No.

2. Para dos eventos  A y  B se indicó P( A) = 0.65, P( B) = 0.80, P( A |B) = P( A), P( B|A) = 0.85. ¿Es correcta la asignación de probabilidades?. 3. En un estudio para introducir una nueva revista semanal se ha determinado que de 200 personas encuestados, 30 leen la revista A, 35 leen la revista B, 40 leen la revista C, 8 leen las revistas A y C, 12 leen las revistas A y B, 15 leen las revistas B y C y 6 leen las revistas A, B y C. Si con  A denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista A, con  B denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista B y con C  denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista C, hallar P( A| B), P( B| A), P( A ∩ B| C), P( A| B ∩ C) y P( A ∩ B| A ∩ C).   Rpta. P ( A| B) = 12 / 35, P( B| A) = 12 / 30.

4. Se ha determinado que las probabilidades de que un televidente vea los programas A, B, o C son: 0.5, 0 .4 y 0.7, respectivamente. ¿Cuál es el porcentaje de televidentes que ven por lo menos dos de los p rogramas?. Se asume que cada persona ve los programas independientemente uno del otro. Rpta. 0.55. 5. El 3% de la población en general padece de la enfermedad E. De ellos solamente el 40% lo saben. Si se selecciona al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que padezca E pero no sea consciente de padecerla Rpta. 0.012. 6. Para que un postulante sea admitido a una Escuela Superior debe pasar con éxito al menos dos exámenes consecutivos de los tres a que es sometido en forma alternada ante dos personas A y B. Se supone que los exámenes son independientes. Por experiencia se sabe que el 40% de los postulantes aprueban el examen con A, mientras que sólo el 35% aprueban el examen con B. Si a cada postulante se le permite escoger a la persona con quien iniciar los exámenes; ¿qué recomendar al postulante, iniciar con A o con B?. Rpta. Con B. 7. Un estudiante tiene la probabilidad  p  (