3-Numerción y Cálculo

r-

NUMERACION Y CALCULO BsRNento Góvtnz Arroñso ¡:l

Tffi I i!

Colección:

I

MATEMATICAS:CULTURA Y APRENDIZAJE

t¡.

Simetríadinámica Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsin¡r ('¡rt¡rl¡i.('cferino Ruiz Garrido

14. Semejanza Ricardo Luengo González

l.

Area de conocimiento:didáctica de las matemáticas EnriqueVidalCosta

f 5. Poliedros Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez

2.

Números y operaciones LuisRicoRomero, Encarnación CastroMartínez, EnriqueCastroMartinez

3.

16. Metodologla activa y lúdica de la geometría JavierAguilaRuiz Francisco JuanRivaya, AngelMartínezRecio,Francisco

Numeración y cálculo Bernardo Gómez Alfonso

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

4.

Fracciones. La relación parte-todo Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria Sánchez García

5. Númerosdecimales

y cfrculo 18. Circunferencia Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Yelázquez Manuel, Manuel Fernández Reyes

Julia Centeno Pérez

Volumen 19. Superficie. 6.

Números enteros

M." Angeles del olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil cuadra

JoséL. González Mari, M." DoloresIriarteBustos, Alfonsoortiz comas.Inmaculada Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez,Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez

7. Divisibilidad Modesto Sierra vázquez,Andrés sánchezGarcía,M." T. GonzálezAstudillo,Mario GonzálezAcosta

8. Problemasaritméticosescolares Luis Puig Espinosa,FernandoCerdánpérez 9.

Estimación

en cálculo y medida

Isidoro SegoviaAIex, EncarnaciónCastro Maftinez, EnriqueCastro Martínez,Luis Rico Romero

10. Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló

ll.

Materiales para construir la geometría CarmeBurgués Flamerich, ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." FortunyAymemi

12. Invitación a la didáctica de la geometría Claudi Alsina Catalá, Josep M a Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich

20. Proporcionalidad M." Luisa Fiol Mora, JosepM.' Fortuny Aymemi

21. Nudos y nexos:grafosen la escuela Moisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar Gonzalvo Martínez

22. Por los caminosde la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

23. Iniciación al álgebra Manuel Martín socas Robayna, Matias camacho Machín, M.' Medina, Josefa Hernández Dominguez

Mercedes Palarea

24. Ordenar y clasificar GasparMayor Forteza,TeresaRieraMadurell

y coordenadas 25. Códigos,símbolos,representación Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado

-r1{ 26. Funciones Jordi Deulofeu Piquct, (larmen Azcárale Giménez

27. lvat y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M., JesúsCañizares Castellano

28. Encuestas y precios Andrés Nortes Checa

29. Heurística FernandoCerdinPére1Luis PuigEspinosa

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso

NUMERACION Y CALCUTO

José A. Cajaraville Pegito

31. Prensay matemáticas AntonioFernández Cano,Luis RicoRomero

32. Juegos y pasatiempos para la enseñanzade la matemática elemental Josefa Fernández Sucasas, M." Inés Rodriguez Vela

BnnNanpo

33. Pensamiento algorftmico Candelaria EspinelFebles, Casiano Rodríguez León

Góunz AlroNso

Profesortitular de Didácticade las Matemirticas de la Universidadde Valcncr¿r

34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco HernánSiguero, ElisaCarrilloQuintela

EDITORIAL

SINTESIS

T

tqqi4 J3 tro.roiüooeberras

1u'¡etnQ tormadeadquisiciÓn: {núu Do¡ación Canie tompra techadeadqursrción Día Mes AñodeProcesamiento Fecha Mes AñoProveedor Procesado Por

Primerareimpresión:octubre1989 Segundareimpresión:noviembre1993 Tercerareimpresión:noviembre1998 Reservados todoslos derechos.Está prohibido,bajo lassanciones penalesy el resarcimiento civil previstos en lasleyes,reproducir,registraro transmitirestapublicación,íntegrao parcialmentepor cualquiersistema de recuperación y por cualquiermedio,seamecánico, electrónico,magnético,electroóptico, por fotocopiao por cualquierotro, sin la autorización previapor escrito de Editorial Síntesis. S.A. @ BernardoGómezAlfonso O EDITORIAL SÍNTESIS,S. A. Vallehermoso, 34 - 28015Madrid Teléf.:91 5932098 http//:www.sintesis.com Depósito Legal: M. 32.385-1998 ISBN: 84-7738-014-7 Impresoen España- Printedin Spain

Indice Al lector

ll

1. Introducción 1.1. ¿Quées el número? 1.2. Caracterización 1.2.1. Usos 1.2.2. Invariantes 1.2.3. Nacimientoy evolución . El sistemacardinal La unicidad La coordinabilidad El registro Lasetiquetas.... r El sistemaordinal El orden El sistemade numeración. . . Contar Losadjetivos..... .,La historiareal .. ¡ Contar con las partesdel cuerpo

t7 l7 18

2. La numeración:evolucióny comparaciónde sistemas 2.1. Ejerciciospreliminareso de partida 2.2. Sistemasde numeración 2.2.1. Representación simple 2.2.2. Agrupamientosimple 2.2.3. Agrupamientomúltiple o Sistema egipcio

l8 20

2l 2l 2l 2l 22 23 23 23 24 25 26 27 29 31 3l 3l 32 32 JJ

34

2.2.4. Sislclrrrrs multiplicativos.... r Sistclua ático . . Sistorna chino-japonés .... ¡ Nucstrosistemaoral . . Sistemababilónico 2.2.5. Sistcmamultiplicativoordenado 2.2.6. Sistemas posicionales o Sistema maya. . El cero . Las cifras 2.2.7. Numeracióny cálculoen los viejossistemas o Egipto . Babilonia . Grecia . El sistemajónico . La numeraciónromana 2.2.8. La herenciahindú. 2.2.9. Europa:un caminoplagadode dihcultades. ... . ... . La oscuridad. . . .ElalboreaÍ..... . Innovacióncontra conservadurismo. 2.2.10.El sistemadecimal . Modo de leerun númerode muchascifras . ... . . . Caracteristicas. . . Desarrollocurricular . Uso de materialestructurado o La integracióndel contexto 2.2.11.Aritméticay sistemasde numeración .. . 2.2.12.Aritméticay enseñanza obligatoria

3. Cálculomental.Cálculopensado 3.1. Cálculomental,cálculopensado 3.2. Cálculomental:las tablas 3.2.1. La tabla de sumar . Las tablillasde Lucas 3.2.2. La tabla de multiplicar . . . 3.3. La multiplicacióncon los dedos 3.4. Cálculopensado 3.4.1. Cálculo pensadoaditivo 3.4.2. Cálculo pensadornultiplicativo . . . . 3.5. Explorandoen aritmética. .... 3.6. Las tablasde doble entrada

35 35 36 )t

37 38 39 39 40 4l 42 42 43 43 44 46 47 50 51 53 54 55 56 56 57 57 58 59 59 65 65 68 70 75 76 82 85 85 87 9l 94

4. Losalgoritmos...... 4.1. Losalgoritmos.... 4.2. Los algoritmosdc lipiz y ¡lr¡rcl rCaracterísticas.. 4.3. Los algoritmosen cl ctrfríctll() . 4.3.1. Algoritmospara ll strrn¿l para . la rcsta 4.3.2. Algoritmos .. . . para multiplicación la 4.3.3. Algoritmos . Las regletaso rodillosde Neper . La multiplicaciónegipcia . La multiplicaciónrusa o campesina 4.3.4. Algoritmospara la división

103 103 105 106 106 115 ll9 125 135 136 137 139

ANEXO 1. La taiz cuadrada 1.1. El algoritmode la raiz cuadrada (Laboratorio,bloques). 1.1.1. Un tratamientomanipulativo. . Problemapreliminaro de partida . La situación de partida . Trazando un plan 1.1.2. Un tratamientoaritmético.(Lápiz y papel) . Problemapreliminaro de Partida . La situaciónde partida o Trazando un plan 1.1.3. Un tratamientoalgebraico'(Lápiz y papel)

r53

ANEXO 2. Los materialesmanipulativos.. 2.1. Los ábacos 2.1.1. Abacosdecimales 2.2. Los bloquesmultibase 2.2.1. Diferenciasentre los bloquesy los ábacos 2.2.2. Actividades 2.3. Los númerosen color 2.3.1. Estructura 2.3.2. Operaciones

163 164 166 r67 169 169 170 l7l 172

Bibliogralla

173

153 155 155 155 156 159

r59 159 159 161

-'1

Al lector Grabado de Ia portada de una edición de uno de los Rechenbücher de Adam Riese,el famoso Rechenmeister. de 1529. En él se representa una competición entre un algorista y un abacista.

Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice. Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que sefigura que estó uno pensando. Supongan ustedesque una dama le dice a otra, en una casa de campo: ). . Para los pasatiempos (por ejemplo, dibujos de hguras uniendo los puntos numerados). . Para cifrar, codihcar (por ejemplo, descifrando el número lll287 sabrá en qué fecha fue escrito esto. Si gana el equipo de casa pones l, si pierde, 2). . Para ubicar (por ejemplo, en la 5." estantería,entrando por la puerta 5, del quinto piso, del número 5 de la quinta avenida). c Para nombrar (Octavio, Segundo son nombres de personasque, como septiembre,octubre, noviembre y diciembre, proceden de nombre numéricos latinos.)

1.2. CARACTERIZACION Cuando uno se siente en la necesidad de caracterizar algo, y no sabe cómo hacerlo, puede seguir varios caminos, cada uno de ellos conlleva una línea distinta de presentación en la escuela.Veamos a continuación algunos de ellos y reflexione el lector sobre sus posibilidades escolares.

c)

. Con el fin de describir medidas: el pH, la fuerza del viento, la temperatura... . Con el fin de clasiftcar: los kilates del oro. el calibre de la fruta... . Con el hn de evaluar, valorar: las notas escolares,precios,porcentajes... . Para puntuar: juegos electrónicos,flipper...

Un caminoa seguirvienedado al intentardescribirla función:¿Cómoy cuándose usa?

Contar es una función cotidianadel número,puedeser enfocadapara contar a secas,para contar cosas,en buscade la propiedadnuméricade los 18

Para medir

Como en la regleta graduada. Como en el termómetro. Como en un cronómetro. Como en una balanza.

1.2.1. Usos

a) Para contar

Pqra numerar

d)

Para operar.'suma, resta... . Como operador: duplicar las ventas; subida de salarios lineal, 5.000 pesetas.

l9

-T) Algunosde estosus()sson habitualespara el niño. Inclusoantesde saber contar,el niño urbano oyc a suspadresque hay quc apretaren el ascensorpara subir ¿rc¿rs¿r de fulano,o que es un (uno))en la quiniela.En la radio oye que > ganó en 80 cc, o que el grado de humedades del 45 por 100.Que su hermanocompró un carretede 200ASA. En música,un compásdel 3 x 4. En Astronomia,la estrellaalfa es de magnitud2. ¿Quépensaráun niño de estasexpresiones? ¿Cuálesde todas ellas se trabajanen la escuela?

1.2.3. Nacimiento y cvoluclón con tttiis detenimiento es el que pretende Un camino que scgrrircnr()s sc obtuvo. Es la reinvención,ponerse cr'rrrro seguirla vía del descubrirrricnlo, que provocaron su nacimiento y en el sitio del inventor y crr lirs coltunR, 1984;pág.10)

104

r¡rrr'(.lulll(rnnros ir mcnudo para referirnosa los Esta es la denominlrurirrr clemental,las cuatro reglas. algoritmos usualesclc ciilculo rlc lrr cruicr\nnzrt No hay ambigüedad0n ll¡rnrirrlos¡tsi,yll quc probablementeson los únicos tlc nuestrasescuelas. algoritmos que se ensoiluncn lir nur-yr)tirr Técnicamente:>. sc intcnta satisfacertanto a la parte m¿i inerte del sistema escolarcomo a l¡r m¿isinnovadora.¿eué libro damosesteaño? ¿con qué criteriosse elige'l(lomicnzala función. o ¿Quéestápasandoaquf?

rendi mi entoque ser iar r . l¡ ¡ ¡ ¡ ¡ l¡ l1r ¡ 'lR. l) ,g. 1- t il) . El caso es que se dict an unos niveles básicos rle rclcrclrtrlut¡rrc lor ulumnos deben alcanzar y se estableceuna lista dc ¡rclrvrtl¡rrh.¡.l rclrlnlivrs para alcanzarlos: Propuesta.s fl.t(lt'(, ()ltt'tttt tt,ttt,\ th. t1¡tt1¡ intlicutlas, el alumno ha de disponerlas adecuadamentc ¡xtrtt lrt \unttt r't(,ttlt.'ru i',tttt. Dcspués se le dira que cambie el orden de k¡s sutttuttltt.t t't(,ntlnt.'1,( rl rtsultudo.

Iniciar la automari:aciir¡ la lu ,pcruciint dc multiplicar por un cifra. Realizar multiplicaciones menralnu'nrc ptr lu unidud ,reguida de ceros. Hallar con material y mentalmente doble-mitud, tiDle-terck¡.

La reforma produjo desorientaciónen el trabajo escolar,inseguridaden -la evaluación de los alumnos,enfrentóa los enseñantes, hizo cótidianala expresiónfracasoescolary cuestionóel papelde la matemáticaenla sociedad y en la escuela. Diversascorrientesy tendencias comenzarona aflorar,desdelos conservadoresque afirmabanque cualquiertiempopasadoera mejor,hastalos que se refugiaronen la historiacomo terapéuticacontrael dogmatismo;ir a las fuentes,ir a la forma como se ha elaboradola matemáticu.éru .. la manera de darle sentido. Algunos partidarios de la reforma dijeron que se había pervertido el espíritu de la misma y buscaronrefugio en la pedagogíamoderna. La palabraclavees estructura,y Piagetel sumopontílice.El áprendizajede las estructurasmatemáticasdebecorresponderal desarrollode las estructuras intelectuales del niño. El problemaes que piaget hablade pedagogiaactiva, la actividades el motor del desarrollointelectual.De la u"iión á ü abstrac-

o La respuestaoficiaL ¡Pepitono sabesumar quebrados! En l98l se replanteala progamación.con la denominación, programas renovados, sereordenala EGB buscandola racionalización, entendidacomo eficacia:,las que han de ser añadidas a la columna 116

La construcciónpasoa pasodel algoritmosepuedeorganizara partir de la manipulaciónexclusivade números,de esta manerase introducenprealgoritmoso pre-etapasdel estándaro dehnitivo.Por ejemplo,los algoritmos con sumasparciales:

+

400+80+6 700+50+8 400 + 700 80+50 6+8

t 100 130 l4

Abreviado

486 + 758

486 + 758

t4 130 + 1100

I4 13 11

Es importante establecerpre-algoritmospor varias razones'unas porque explicanla versiónabreviadaftnal, y otras porque los niños raramentetienen ocasiónen la escuelade examinarotros modos de actuar que no seanlos usuales. Los algoritmoscon sumasparciales un papel digno, en Los algoritmoscon sumasparcialesdesempeñaron una épocaen la que no había calculadoras,eran utilizadoscomo prueba t17

(Pnnnsou, 1913ó) prrrrrll suma, en el sentido de comprobante.Hoy 1o podemos contemplar dc olra manera: . Al no tencr quc llcvar ninguna cantidad es un algoritmo aconsejable para principiantos o para niños con dificultades de atención. . Al mostrar todas las sumas parciales,en caso de error en la ejecución, éste salta a la vista y no hay que rehacer todo el cálculo. . La similitud que presenta con el algoritmo de la multiplicación, hará que éste sea menos misterioso cuando llegue. 486 x 758

486 7 + 58

3888 2430 3402

t4 13 ll

Cada fila debe comenzar justo debajo de la columna de la cifra que la origina, son los desplazamientosa la derecha que tantos problemas dan a los niños, sobre todo, cuando hay ceros intercalados. Cuando todo este trasfondo ha sido comprendido ya se puede sumar en cualquier orden, lo que supone, cuando menos, aumentar el grado de autonomía v libertad del alumno: (1 ) 486 + 758 1l 13 t4

(2) 486 758 + 13 11 t4

E-68: El algoritmo(1) seejecutaen el mismoordenen que seleeny escriben los números,de izquierda a derecha.¿Sepuedesumar de izquierda a derechacon el algoritmousual?Explicapor qué y cómo. Un inconvenienteque presentael algoritmo con sumas parciales,es que a medida que aumenta el número de cifras de los sumandos, aumenta el número de filas. ¡Once cifras, once filas! La disposición en diagonal obvia este contratiempo: 486 + 758 +

I l2l4l4

118

486 + 758 111 134 1244

En cualquier caso, y si r':ln dlr¡rorlcídtn €ceandaliza,siempre se puede escribir horizontalmentc: 4llf r 75H 1l t . ] l4

t ( l I lx. l I l) 4 :

1244

En última instancia, ¿,¡'rort¡rri: r t o ¡ r lr t cvi¡ r rla ejecución sumando por parejas?

34 22 23

56 47 25 28

(56+ 40,96+ 7, r03 + 20,123+ 5,128)

E-69: Sumarlea un número el que resultade invertir sus dígitos,produce Por ejemplo: chocantes. situaciones 132 e

231

132 + 231 363

El número 363 se lee de derecha a izquierda igual que de izquierda a derecha. Encuentra otros números que se comporten como el 132 y da una regla para hallarlos.

4.3.2. Algoritmos para la resta La resta,con la suma,implica muchasvecesnúmerosconsiderablemente grandes,lo que obliga a introducir algún procedimientoque reduzcael cálculoa la manipulaciónde un númeromínimo de digitos. . La forma instrumental Expandido

Extendido

Abreviado

Estándar

500 + 60 + 7 - 2 0 0 +4 0 +l

567 -241

567 -241

567 -241

300+20+6 326

6

326

20 300

lt9

para entenderlodesdeun punto de vista Los conocimicntosnecesarios relacionalimplicana la estructuradel sistemade numeracióndecimal,cierta fluidezen el conteoy cn las sumasbásicasy habilidadescon las propiedades asociativa.conmutativay distributiva.

algoritmo,dondela ejccuciírrr ñc roali¿[uinlundolos dígitosy emparejando los que corresponden al nrisr¡¡or¡r'rlglt o rrrismovalor de posición. El problemasurgecuantkrr¡norle krr dlgit a"

I l7l0

195 : 36 x a " ' + r" '

res: 36x 5 + r : 4::_..--r : re5- 180: 15< q"' 142

g : :o' l¿l | l l 19l5 | i

I r l8 l! | : lo " | | ls -l-lTlTl Resto

La estrategia de reparto viene condicionada por la forma de presentar el botín. Como lo que en última instancia se pretende,es mostrar un paralelismo con la estructura multiplicativa del número: Millares, centenas,decenasy unidades,el profesor se ve forzado a modificar el sistemamonetario (valesde l0 ptas.). ¡No hay bastantes billetes de mil! (Es mejor empezar a repartir por lo gordo.) Hay que ir al banco a por cambio. Es necesariotomar una decisión. ¿Lo cambiamos todo en pesetas?será lo más sencillo: Una para ti, otra para éste, otra para aquéI, ... Demasiado lento, demasiado peso. ¿No es mejor cambiar en monedas de cien? Sí, pero, ¿cuántas? Este tipo de situaciones se tratan en la escuelaa varios niveles: . Manipulación dc ob.ictos(incluido material didáctico). . Ilustraciones. o Esquemas.

t43

. El algoritmo en el contoxll¡ ¡l¡l l¡rprtlo rürlr¡clivo En el reparto sustraclivo,cl cr¡lcteoll¡rrtes el problema de empaquetaro dc 7 carameloscon un total envasar.Imagine que sc llrrlrr rk' lrrret'r¡r¡¡¡¡¡¡etes de 2538.Naturalmentc qttc r.:slose ¡tttr:rlclt¡tc:crpitquctea paquete(IV) o con una máquina que imprint¡r vr,krt'irlittl(V) (()lt'it vcz forzando la solución):

(rv) D

2s3r

z

o

2538:7 - 7

2

-

7

Primerpaquctc

lililtl Segundo paquctc

('u¡urckr lo que interesa es el resultado, cstc rnodo de proceder es desaforturrlrdo.Ningún niño va a aguantar hasta cl linll. Nadie está dispuesto a restar, rcslilr y rcstar.

Ililtl (V)

¿No aprendimos la multiplicación para evitar adiciones repetidas?

2538 -70 2468 -70

€

Diez paquetes Diez paquetes

2538 700 1838 - 700 I 138 -

Cien paquetes Cien paquetes

s

6

a¡ i:

Se puedeaumentarel ritmo, en lugar de 700 + 700 + ... ¿Por qué no usar la tabla de multiplicar para encuadrarel dividendo entre dos múltiplos de la unidad seguidade ceros?

'l,i;i1;,J : ;:i':'il: #' Ahora, hay que elegir entre sustraery reiterar (VI), o descomponery reiterar (VII) (parecelo mismo, ¿no?). . Sustraer

(Yr) r

r N o

=

+

r

N

s

o

144

-2100:7x3x100 438 - 42O:7 x6 x 10 < 438 < 7 x7 x1 0 18 14 : 7 x 2 < 18 < 7 x 3

Este esquema se puede reforzar, enla iniciación, con una tabla de múltiplos del 7 (técnica rusa).

'tO 1 7 700 2. r 4. 140. 1400

3.21 4.28 R esto4,3 x 100 + ( r x l0 + 2 : 362cociente . .. . .

210 .2t00 280 . 2800

+

o

I

2s38

o (J

PS .,,ir,',r, InonDfsTRflffi.

f i l l i f.l t_ tl r L r ; ,,,: .¡ ; ... j, (li rr JrJSLtr¡rt

e!

{J:i.,,...,,,

... ;...:. .-

La ventaja clc utilizar una tabla de múlti¡rltls está en que presentala división de nrultidígitos igual que si fuera urr¿rdivisión por una cifra. El encuadramientosc hacesimplementeconsulta¡ldola tabla; si se ha comprendido el proceso, no hay posibilidad de error. Si no se necesita,no es preciso escribirla tocla,se puede reducir sin más que escribir en una parte únicamente los produclos parcialesque van saliendo. Alguno de ellos podrá servir varias veces cn el cálculo (técnica sueca). Conviene señalar que es importante no ocultar las sustracciones,tal y como hemos venido haciendo, al menos hasta que no esté consolidado el algoritmo. No se puede justihcar su supresión por una economía de escritura. La técnica que resulta puede parecer más rápida pero será fuente de errores por la acumulación de las tareas mentales que hay que llevar a cabo. Si se escriben las restas parciales se estarán separando los productos de las sustraccionesy en caso de error será fácil de hallar y no habrá que rehacer totalmente el algoritmo. Un detalle práctico. No es necesario escribir el cociente en la forma: 3 x 100, 6 x 10 y 2. Gracias a que se sigue una estrategia de reparto en función de las potencias de diez se pueden ir acoplando las cifras a medida que salen,de izquierda a derecha.Esto justihca el uso de la caja de Fibonacci, que no es tan universal como se puede pensar. En efecto,hay una técnica muy divulgada en el mundo sajón que coloca las cifras del cociente encima del dividendo, justo encima de la última cifra signif,rcativade la resta parcial correspondiente. La ventaja de esta técnica está en que es imposible olvidar los ceros intercalados o los ceros del final. Además el número de cifras del cociente queda, con esta forma de escribir, reflejado de entrada, en cuánto se ha puesto la primera cifra en su sitio.

+ Cociente

362 7) 2s38 2l 43 AA

18 l4

Tiene la ventaja de que es imposible olvidar los ceros intercalados o los ceros del final. El número de cifras del cociente está reflejado de entrada en cuanto se ha puesto la primera en su sitio.

. Descomponer (V ID 2538:

,11

2100 I . llH

,17

2100+350+63 + 21

,17

l/

\ . to

3 x l( X)

17

93

El secretOcuando sc lrrrbrrjrrcott r,:sllttócnicit,cstá en adecuarla estimaci ón de tal m aner a quc sc cvit clr cilculos it t llcccsar ios. Pruebe con: a p a r ti r d c c¡ tr cl l 0 : a Partir dc c¡trc 63 :

154: ll, 675 : 9,

r54 :

1r0 + 44

:l tt

:l tt

:l tt

: 10

14

4

+

|

|

11 x l0 9 x

7

630+ 45 'ts: ,l s

,l e

,l e

75 : 70

+

5

Si en lugar de escribir en filas, se escribe en columnas, el algoritmo presenta un aspecto más familiar, pero no debe confundirse con el usual ya que en éste la estimación se hace sobre la totalidad del número 154, y no sobre la descomposición: 154 en 15 y 4

6751e 630 70+5

154 110 44

45

La ventaja de la estimación-descomposiciónes que no tiene la rigidez de otras técnicas.Hay más posibilidades: 154: 11+

99 + 55

154:

: lt t 9+5 L44:8-

:ltt

72 + 72

144:

483: 7

>483: 420

60+ 483: 7

144:8+ 144: U0+64

ll l0

tt'l

+ 63

,17

:t8 '18 9+9

A

E-74: ¿Podría ocurrir, en la técnica sajona, que dos cifras del cociente fueran a ocupar el mismo lugar? ¿Por qué? (Sugerencia No se resta 21 de 25, sino 21 centenas de 2538, que corresponden a 3 centenasde vecesel 7.)

t1 t) | l tl t

.'l t) tt I

- 483: 490_7

,11 9

ll 70- l

¿Sele ocurrctt tttits'l

146

r47

. La cábala uno de los aspectosque han caracterizad