3-MAPEOS

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MAPEOS LINEALES Definición: (1.1)

w  z  

donde w y z son variables complejas y α, β son constantes complejas Caso 1: α = 0 w=β No tiene mapeo inverso. Definición de punto fijo: un punto z0 se llama punto fijo de un mapeo w si: f ( z0 ) = z0 Punto fijo: z = β Caso 2: β = 0, α ≠ 0

wz

Punto fijo: z = 0, único Mapeo Inverso:

z  1 w

EJEMPLO 1:  1 i 

w  (1  i) z 2 e i / 4

z  r ei 

w  r 2 ei (   / 4)

En general el mapeo w   z mapea el origen del plano Z en el origen del plano W (punto fijo), pero efectúa una dilatación | α | y una rotación arg α en el sentido antihorario. Volvemos al mapeo lineal general (1.1) y rescribamos en la forma w     z el cual puede verse como dos mapeos consecutivos: 17

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Primero: sea    z obteniéndose el caso 2, pero esta vez el mapea puntos del plano Z en puntos del plano φ; Segundo: w     mapea puntos del plano φ a puntos del plano W. Este mapeo representa una traslación en la que el origen del plano φ es mapeado al punto w = β en el plano W, y el mapeo de cualquier otro punto en el plano φ se obtiene sumando β a las coordenadas para obtener el punto equivalente en el plano W. El mapeo lineal general, geométricamente es una combinación de mapeos que pueden considerarse como: traslación, rotación y ampliación EJEMPLO 2 El mapeo lineal w = α z + β , donde α, β son constantes complejas, mapea el punto z1 = 1 + i en el punto w1 = i y el punto z2 = -1 en el punto w2 = 1 + i. a) Determine α y β del mapeo lineal. w

1 3 (  2  i ) z  (1  2 i ) 5 5

b) Encuentre los puntos fijos del mapeo lineal z0 

3 1  3i  10

Propiedades geométricas del mapeo lineal 1. Las rectas en el plano Z serán transformadas en rectas en el plano W. La recta L: z  a  z  b donde a y b son constantes complejas. Bajo el mapeo w = α z + β la ecuación se mapea a w 



a 

w 



b ;   0

ó 1



w    a  

18

1



w     b 

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haciendo a1    a  y b1    b  se tiene la ecuación de otra recta w  a1  w  b1 en el plano W. Se sigue claramente que una recta en el plano Z es mapeada en otra recta correspondiente en el plano W bajo el mapeo lineal w = α z + β. EJEMPLO 3: Examine el mapeo w = ( 1 + i ) z + ( 1 – i ) para la recta: ½ y + x = 1 en el plano Z. Solución: Sean w = u + i v;

z = x + i y, entonces:

u  iv  (1  i )( x  iy )  (1  i )  ( x  y  1)  i ( x  y  1)

al igualar la parte real e imaginaria se obtiene u  x  y  1, v  x  y  1

luego al resolverse para x e y se tiene 2 x  u  v,

2y  v  u  2

Sustituyendo x e y en la ecuación de la recta da la imagen de esta recta en el plano W como la recta 3v  u  2 . w

2 1/2 y + x =1 2/3 1

2 3v+u=2

EJEMPLO 4: Usando el mapeo w = ½ ( 1 - i ) z + ( i - 1) . Encuentre la región en el plano W correspondiente al semiplano derecho Re(z) ≥ 0 en el plano Z. Solución: Sean w = u + i v ; z = x + i y, entonces: u  iv  1 ( x  iy ) 1 1 i

19

2

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racionalizando el lado izquierdo tenemos 1 1 u  iv 1  i   ( x  iy)  1 2 2

al igualar la parte real e imaginaria se tiene: u  v  x  2,

u v y

despejando x e y de las últimas ecuaciones tenemos:

u  v  2  x,

uv  y

(1.2)

La primera de éstas puede usarse para encontrar la imagen de x ≥ 0. Esto es u - v ≥ - 2 que es una región limitada por la recta u - v = - 2. w

u

-v

=

-2

2. Los mapeos lineales mapean circunferencias en circunferencias z  z0  r

Al reorganizar al ecuación w = α z + β se obtiene

z  w   ;   0 entonces z  z  w    z  1  w  w  0 0   0  donde w0   z0   . Entonces w  w0   r

que es una circunferencia con centro en w0 y con radio | α | r.

20

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EJEMPLO 5: Usando el mapeo w = ½ ( 1 - i ) z + ( i - 1) . Encuentre la región en el plano W correspondiente al interior del circunferencia unitaria | z | < 1 plano Z. (Ver Ejemplo 4) Solución: Para z = x + iy, la circunferencia unitaria | z | = 1 y en forma cartesiana x2 + y2 = 1. Al sustituir x e y de las relaciones (1.2) se obtiene la imagen de esta circunferencia como

u  v  22  u  v 2  1 ordenando y completando cuadrados nos lleva a u  12  v 12 

1 2

ecuación de una circunferencia con centro w0 = (-1, 1) y radio R = √½. Si x2 + y2 < 1 entonces ( u + 1)2 + ( v - 1)2 < ½, la región dentro de la circunferencia | z | = 1 en el plano Z corresponde a la región dentro de la circunferencia imagen en el plano W. w

z 1

1

-1

1

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MAPEO INVERSION Definición

w  1z en esta sección consideraremos la imagen de circunferencias y rectas en el plano Z bajo el mapeo inversión. Los puntos fijos de mapeo inverso se obtienen haciendo w = z, entonces 1 z  , ó z2  1 z así z = ± 1 son los puntos fijos. El punto z = 0 es mapeado al infinito en el plano W y w = 0 es mapeado al infinito en el plano Z. PROPIEDADES GEOMETRICAS 1. Si: | z0 | ≠ r, el mapeo inversión mapea una circunferencia | z – z0 |= r, que no pasa por el origen del plano Z en otra circunferencia que no pasa por el origen del plano W. Despejando del mapeo de inversión 1  z0  r w

(1.3)

Para w = u + i v, u  iv u2  v2

z  w1

z = x + i y,

z0 = x0 + i y0 en (1.3) obtenemos

 x 0  iy 0  r

Evaluando el modulo en la ecuación anterior, se obtiene 2

2

 u   v   x0    2  y0   r 2  2 2 2 u  v  u  v 

22

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En la última ecuación se desarrolla el cuadrado de cada sumando y luego ordenando se tiene

 r 2  x02  y02  u 2  v 2  2 u x0  2 v y0  1 u 2  v2   

2 x0 u r

reemplazando

u 2  v2  

 x02

2

r

z0

2



y02

 r

2

 x02  y 02

2 x0 u 2

2 y0 v



 z0

2



 r

 x02



y02



 

1 r  x02  y02 2

(1.4)



(1.5)

en (1.5) obtenemos 2 y0 v

2

 z0

2



 r

1 2

 z0

2



(1.6)

completando cuadrados en (1.6) se tiene la ecuación de una circunferencia  u  u0 2   v  v0 2  R2 con centro:

  x0 y0  w0   u0 , v0     , 2 2  2 2 r  z0   r  z0

y radio R 

r r 2  z0

2

donde se prueba que | w0 | ≠ R, con lo cual se cumple que la 2 2 2 circunferencia  u  u0    v  v0   R no pasa por el origen.

EJEMPLO 6: Determine la trayectoria imagen en el plano W correspondiente a la circunferencia | z – 3 | = 2 en el plano Z bajo el mapeo inversión. Solución: 1 w , z

z

1 w

1 3  2 w

al tomar w = u + i v obtenemos u iv 3  2 u 2  v2

elevando al cuadrado ambos lados al cuadrado, tenemos 23

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   v u   3     2  u  v2   u2  v2

u

u 2 v2 2

u

2

v



2 2



6u u2  v2



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2

  4  

50









 v2 1 6 u  5 u 2  v2  0  1 6 u  5 u 2  v2  0

2 completando cuadrados se tiene:  u  3   v 2  4



5

25

Así, la imagen en el plano W es la circunferencia

w

3 5



2 5

con

centro en w0 = (3/5, 0) y radio R = 2/5, es decir W

z 3  2

1

3 5

5

3

NOTA: Al tomar z = x + i y convierte en

junto con el mapeo

u iv

1

w = 1 / z se

1 x i y  2 x  i y x  y2

comparando las partes real e imaginarias obtenemos las siguientes relaciones u

x 2

x y

2

,

v

y

2

x  y2

(1,7)

las que serán usadas para determinar la imagen de puntos particulares bajo el mapeo.

24

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EJEMPLO 7 Considerando el Ejemplo 6 y la ecuación (1,7), e indique en el plano W la región correspondiente a la región dentro de la circunferencia en el plano Z. Solución Consideremos los puntos z1 = (3, 0) y z2 = (3, 1) que están al interior de la circunferencia | z – 3 | = 2. Para z1 se tiene: x = 3, y = 0, entonces u = 1/3 y v = 0; por tanto = (1/3,0). Para z2 se tiene: x = 3, y = 1, entonces u = 3/10 y v = -1/10; por tanto = 1/10 (3, -1). Los puntos: w1, w2 están al interior de la circunferencia

w

3 5



2 5

. Este

resultado nos lleva a concluir que los puntos del interior de | z – 3 | = 2 son mapeados al interior de la circunferencia

w

3 5



2 5

.

2. Si: | z0 | = r, el mapeo inversión mapea una circunferencia | z – z0 |= r, que pasa por el origen, del plano Z en una recta que no pasa por el origen en el plano W. ó z 0  r , el coeficiente del Considerando que x02  y 02  r 2 , primer sumando del lado izquierdo de la ecuación (1.4) se hace cero, y tenemos 2 u x0  2 v y0 1

la ecuación que representa de una recta que no pasa por origen en el plano W. 3. La recta | z - a1| = | z – a2 | no pasa por el origen en el plano Z, cuando a1 y a2 son constantes complejas y | a1| ≠ | a2 |, es mapeado por w = 1 / z en una circunferencia que pasa por el origen en el plano W. Para z 

1 se tiene w

1 1  a1   a2 w w

25

(1.7)

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considerando: w = u + i v , a1 = p + i q, a2 = r + i s, donde p, q, r, s son constantes reales. Al sustituir en (1.7) y elevar al cuadrado ambos lados se tiene 2

2

2

 u   v   u   v   p  2  q   2 r  2  s  2 2 2 2 2 u  v  u  v  u  v  u  v 

2

Al desarrollar cada término, el cuadrado de u / (u2 + v2 ) y v / (u2 + v2 ) se cancela, quedando 

2u p

2v q

u v

u v

2

 p2  2

2

 q2   2

2u r u v 2

 r2  2

2v s u v 2

2

 s2

que al simplificar se convierte en

 p 2  q 2  r 2  s 2 u 2  v 2   2 u (r  p)  2 v ( q  s)  0 considerando que

a

2

1

u

2

 a2

2

 u

 v2   2 u

a1

2

 p2  q2 ,

a2

2

 r 2  s2

en la última ecuación



(1.8)

 v2  2 u ( r  p )  2 v ( q  s )  0

2

(r  p)

a

2

1

 a2

2



 2v

a

( q  s) 2

1

 a2

2

0

completando cuadrados en la ecuación anterior tenemos: ó

 u  u0 2   v  v0 2  R 2

w  w0  R

que representa una circunferencia que pasa por el origen del plano W  pr con centro en w0   u0 , v0    2  a1  a2

y radio

a 2  a1

R  a1

2

 a2

2

,

  2 2  a1  a2  sq

.

2

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Observe que esta circunferencia pasa por origen del plano W porque │w0│= R. EJEMPLO 8: Determine la trayectoria imagen en el plano W correspondiente a la recta x + y = 1 en el plano Z bajo el mapeo inversión. Solución: 1 w , z

z

al tomar xi y 

1 w

z=x+iy y

w = u + i v obtenemos

1 u v  2 i 2 2 u  iv u  v u  v2

comparando la parte real e imaginaria x

u u  v2 2

; y

v u  v2 2

reemplazando x e y en la ecuación de la recta x + y = 1 obtenemos u v  2 1 2 u v u  v2 2

al resolver la última ecuación obtenemos la ecuación de la circunferencia 2 2 1  1 1   u    v    2  2 2 

Así, la imagen en el plano W es una circunferencia con centro en w0 = (1/2, -1/2) con radio R = √1/2 y pasa por el origen porque |w0| = R. W

x +

1

y = 1

R

wo 1

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4. La recta | z - a1| = | z – a2 | pasa por el origen cuando | a1| = | a2 |, entonces es mapeada por w = 1 / z en otra recta en el plano W que pasa por el origen. Considerando que | a1| = | a2 |, la ecuación (1.8) representa una recta en el plano W que pasa por el origen, con ecuación: 2u ( r  p )  2v ( q  s ) 0

OBSERVACIONES: El mapeo inverso cumple con: 1. Los puntos de | z | = 1 en el plano Z son mapeados a los puntos en | w | = 1 del plano W. 2. El interior de la circunferencia | z | < 1 en el plano Z es mapeado en | w | > 1. 3. El exterior de la circunferencia | z | > 1 en el plano Z es mapeado en | w | < 1. 4. La mitad superior de la frontera de | z | = 1 es mapeada en la mitad inferior de la frontera | w | = 1. 5. La mitad inferior de la frontera de | z | = 1 es mapeada en la mitad superior de la frontera | w | = 1.

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MAPEOS BILINEALES Definición: Un mapeo bilineal es un mapeo de la forma w

a z b czd

(1.9)

donde a, b, c y d son constantes complejas. Se llama mapeo bilineal en z y en w ya que puede ser escrito en la forma A w z + B w + C z + D = 0, que es lineal en ambos z y w. Para investigar el mapeo bilineal, rescribimos el lado derecho de (1.9) como sigue: ad a (c z  d )  b az  b c w  c cz  d cz  d

w 

bcad a  c c ( c z  d)

(1.10)

este mapeo se degenera en w = a /c, a menos que b c – a d ≠ 0. Por tanto, decimos que (1.9) representa un mapeo bilineal si el determinante a

b

c

d

 a d bc  0

cuando esta condición se da, el mapeo inverso z

d w  b cw  a

que se obtiene al despejar z de (1.9), también es bilineal, ya que d

b

c

a

 a d bc  0

Al sustituir las constantes de modo que λ = a/c, µ = b c – a d, α = c2 y β = c d, (1.10) se transforma en w

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  z

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y se puede dividir el mapeo en tres pasos como se indica: z1   z  

mapeo lineal

1 z1 w     z2 z2 

mapeo inversión

mapeo lineal

z 1 . Determine la imagen en el z 1 plano W correspondiente al arco de circunferencia x2 + y2 = 1, para x ≤ 0 descrito del punto (0, -1) al punto (0,1).

EJEMPLO 9: Dado el mapeo complejo w 

Solución: Despejando z e función de w se tiene z 

w 1 w 1

considerando w = u + i v, z = x + i y se tiene x

u2  v2  1 2

(u  1)  v

2

;

y

2 v (u  1) 2  v 2

Para x ≤ 0 se tiene u2 + v2 ≤ 1

(A)

Para x2 + y2 = 1 ↔ | z | = 1 w 1 z  1  w 1  w 1 w 1 (u  1) 2  v 2  (u  1) 2  v 2 4u0

 u0

(B)

Considerando (A) y (B) se tiene que, si u = 0; -1 ≤ v ≤ 1. w

1

1

-1

-1

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PROPIEDADES GEOMETRICAS 1. El mapeo bilineal siempre mapea circunferencias en una circunferencia o recta. 2. El mapeo bilineal siempre mapea una recta en una circunferencia o recta. EJEMPLO 10: Encuentre la imagen en el plano W de la circunferencia | z | = 2 en el plano Z bajo el mapeo bilineal w

z i z i

Solución: Despejando z del mapeo bilineal se tiene z 

i wi la imagen en el plano W 1 w

de la circunferencia | z | = 2 en el plano Z está determinada por i wi 2 (1.11) 1 w Usando la propiedad de los números complejos: | z1/z2 | = | z1| / | z2| en (1.11) se convierte en i w  i  2 1 w

al tomar w = u + i v se tiene  v  i (u  1)  2 (1  u )  iv

elevando ambos lados al cuadrado nos lleva a: u 2  v 2  al completar cuadrados en la variable u se tiene:

10 u 1 0 3

2

5  2  4  u    v   3   3

2

indica que la curva imagen en el plano W es una circunferencia con centro w0 = (5/3, 0) y radio R = 4/3, es decir w  w  R 0

W z 2 R 2

w0

31

3

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3. Sean z1, z2 y z3 puntos distintos del plano Z y sean w1, w2 y w3 puntos distintos en el plano W. Entonces existe un mapeo bilineal que mapea z1  w1 , z 2  w2 , y

En efecto, la ecuación:

z3  w3

w  w1  w2  w3    z  z1  z2  z3  w  w3  w2  w1   z  z3  z2  z1 

(1.12)

define tal mapeo cuando ninguno de esos puntos es el punto infinito.

EJEMPLO 11: Encuentre un mapeo bilineal que mapee z1  i  w1 1 ,

z 2  0  w2  i ,

y

z3   i  w3   i

Solución: usando la ecuación (1.12) obtenemos: w 1  i  i   z  i  0  i   w  i  i 1   z  i  0  i  2 i ( w 1) z i   w  i  i 1  z  i

2 i ( z  i ) (1 w )  ( z  i) ( w  i ) ( i 1)

ordenando la última ecuación obtenemos el mapeo bilineal w

(1  3 i ) z  (1  i ) (  1  3 i ) z  (1  i )

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demuestre que la transformación w = z 2 donde w = u +i v , z = x +i y, transforma las rectas: x = α , y = β, α y β ε R en el plano Z en parábolas con vértices sobre el eje real del plano W. 2. Dibujar las imágenes de: (x - 3)2 + y2 = 2 y 2 x +3 y = 7 con el mapeo w = 1/z. 3. Encuentre la imagen de la recta x + y = 4 bajo con el mapeo bilineal w

z i iz

4. Encuentre la imagen de la recta 2 x – 3 y – 5 = 0 bajo con el mapeo bilineal w

2z  5 z i

5. Encuentre la imagen de la región R : { z є C / Re( z) > - 1 y Im (z) < 1} z

bajo el mapeo w  z  3 . Grafique la región R y su imagen. 6. Verifique que el semiplano Re (z) > 0 es mapeado sobre el disco | w | < 1 bajo el mapeo w

1  2 i  z  i 2  i  z  1

7. Encuentre la imagen en el plano W de la circunferencia | z | = R en el plano Z bajo el mapeo 1 wz z 8. Construya un mapeo bilineal que relacione los siguientes puntos: 2 i → ½,

4 i → ⅓, i → 6 i

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