1 1 0 2 y t i s r e v i n U a y a j i w a r B
REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES Lagrange Multipliers Ir. Usman Effendi, MS Lab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas Brawijaya Email :
[email protected]
1.1 Pengantar 1.2 Tujuan
MODUL
3 Minggu 3
1. PENDAHULUAN 1.1 PENGANTAR
LF
E
S
h Jika a fungsi ini kontinu dan terdiferensialkan, turunannya menjadi nol i l pada titik ekstrem tersebut. Untuk fungsi y (x), kondisi ini ditulis u K sebagai i r e t a M / h a i l di umana x adalah variabel independen. Dasar untuk properti ini dapat K dijelaskan dalam hal ekstrem yang ditunjukkan pada Gambar 1. a t Sebagai maksimum pada titik A adalah mendekati, nilai fungsi y (x) a meningkat dan hanya di luar titik ini, itu berkurang, sehingga nol M
-P
gradien di A. Demikian pula, nilai fungsi menurun hingga minimum pada titik B dan meningkat melamp melampaui aui B, memberikan memberikan nol kemiringan di B. Dalam rangka untuk menentukan apakah titik adalah maksimum atau minimum, derivatif kedua dihitung. Karena lereng pergi dari positif ke negatif, melalui nol, maksimum, turunan kedua adalah negatif. Demikian pula, kemiringan meningkat minimal dan, dengan demikian, turunan kedua adalah positif. Ini kondisi dapat ditulis sebagai (Keisler, 1986).
E
N
E
R
P
E
R
T
N
E
G
IN
T
A
G
A
P
O
R
T
N
E
M
P
LO
E
V
E
D
N
IO
T
A
C
U
D
E
L
IA
R
U
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier Mult iplier
Brawijaya University
2012
1.2 TUJUAN 1.2.1 Tujuan Instruksional Instruksional Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya 1.2.2 Tujuan Instruksional Instruksional Khusus Setelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat ;
Menjelaskan ulang metode optimasi analitik, mampu menentukan kriteria optimum untuk optimasi variabel tunggal dan ganda., Mengetahui karakteristik Optimasi tidak Berkendala dan Berkendala Mampu merubah kondisi berkendala ke dalam tidak berkendala. Menguasi Optimasi fungsi non linear dengan kendala persamaan dan ketidak samaan Menerapkan Menerapkan metode lagrange multiplier dan Kondisi Kunh Tucker
2. PENGANTAR METODE KALKULUS Kondisi yang disampaikan sebelumnya berlaku untuk y fungsi nonlinear (x) dan, karena itu, metode kalkulus berguna untuk sistem termal, yang umumnya diatur oleh nonlinier ekspresi. Namun, baik fungsi dan turunannya harus terus menerus untuk analisis sebelumnya untuk menerapkan.Dengan demikian, dengan menetapkan gradien sama dengan nol, lokasi dari ekstrem dapat diperoleh dan turunan kedua kemudian dapat digunakan untuk menentukan Sifat ekstrem masing-masing. Ada beberapa kasus di mana kedua pertama dan kedua derivatif adalah nol. Hal ini menunjukkan menunjukk an titik perubahan, sebagaimana sketsa di Gambar 1 (c), titik pelana, atau kurva datar, seperti di punggung bukit atau lembah. Ini harus dicatat bahwa kondisi hanya disebutkan menunjukkan hanya ekstrem lokal. Mungkin ada beberapa ekstrem lokal seperti dalam domain yang diberikan. Karena ketertarikan kami terletak pada keseluruhan maksimum atau minimum di seluruh domain untuk mengoptimalkan sistem, kami akan mencari ekstrem global, yang biasanya unik dan merupakan yang terbesar atau terkecil nilai fungsi tujuan. Contoh sederhana berikut menggambarkan penggunaan prosedur sebelumnya untuk optimasi.
Gambar 1. Seketsa memperlihatkan maksimum, minimum dan titik belok fungsi y(x)
Page 2 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
CONTOH 1: Terapkan teknik kalkulus berbasis optimasi hanya diberikan kepada meminimalkan biaya C untuk panas bergulir jumlah yang diberikan dari logam. Biaya ini dinyatakan dalam hal laju aliran massa m bahan sebagai berikut
di mana istilah pertama di sisi kanan merupakan biaya peralatan, yang meningkat dengan meningkatnya laju alir, dan istilah kedua merupakan operasi biaya, yang turun dengan meningkatnya m. SOLUSI Nilai ekstrem diberikan oleh
Karena itu
Turunan kedua diperoleh sebagai berikut
yang bernilai positip karena m adalah positip
3. METODE LAGRANGE MULTIPLIER Ini adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada sejumlah independen variabel dan ketika kendala fungsional terlibat. Dengan demikian, dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis disediakan fungsi tujuan dan kendala dapat dinyatakan sebagai fungsi kontinu dan terdiferensialkan. Selain itu, kendala kesetaraan hanya dapat dipertimbangkan dalam proses optimasi.
DASAR PENDEKATAN Pernyataan matematika dari masalah optimasi diberikan dalam sebelumnya bab sebagai Page 3 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
tunduk pada kendala
dimana U adalah fungsi tujuan yang akan dioptimalkan dan Gi = 0, dengan i bervariasi dari 1 sampai n, merupakan kendala kesetaraan n. Seperti disebutkan sebelumnya, jika kendala ketimpangan muncul dalam masalah, ini harus diubah menjadi kesetaraan kendala untuk menerapkan metode ini. Selain itu, dalam beberapa kasus, ketidaksetaraan kendala hanya mendefinisikan domain diterima dan tidak digunakan dalam optimasi proses. Namun demikian, solusi yang diperoleh diperiksa untuk memastikan bahwa kendala puas. Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan minimum atau maksimum ke solusi dari sistem aljabar persamaan, sehingga memberikan skema yang nyaman untuk menentukan optimal. Itu fungsi tujuan dan kendala digabungkan menjadi Y fungsi baru, yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange dan didefinisikan sebagai
dimana λ adalah parameter yang tidak diketahui, yang dikenal sebagai pengali Lagrange. Kemudian, menurut metode ini, optimum terjadi pada solusi dari sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan berikut:
Page 4 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
Ketika pembedaan diterapkan pada ekspresi Lagrange, menemukan bahwa optimum diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:
Jika U fungsi tujuan dan kendala G i yang terus menerus dan terdiferensialkan, sistem persamaan aljabar diperoleh. Karena ada persamaan m untuk kendala dan persamaan tambahan n berasal dari ekspresi Lagrange, total m+ n persamaan simultan diperoleh. Yang tidak diketahui adalah m pengganda, sesuai dengan kendala m, dan variabel independen n. Oleh karena itu, sistem ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan nilai-nilai variabel independen, yang menentukan lokasi yang optimum, serta multiplier. Analytical metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar dapat digunakan jika persamaan linier diperoleh dan / atau ketika jumlah persamaan kecil, biasanya sampai dengan sekitar lima. untuk nonlinear persamaan dan untuk set yang lebih besar, metode numerik umumnya lebih tepat. Nilai optimum dari fungsi tujuan ini kemudian ditentukan dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh untuk variabel independen terhadap ekspresi untuk U. optimum sering diwakili oleh tanda bintang, yaitu, X1*, X2*, …. Xn* dan U*.
4. METODE LAGRANGE MULTIPLIER (MLM) OPTIMASI TIDAK BERKENDALA Page 5 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
Mari mempertimbangkan masalah tak terbatas untuk dua variabel independen x dan y. Kemudian metode pengali Lagrange menghasilkan lokasi optimal sebagai solusi untuk persamaan
Gambar 2 Minimum dan Maksimum dalam masalah tidak berkendala
U
=0
Oleh karena itu, vektor gradien, yang normal dengan kontur U konstan, adalah nol, menyiratkan bahwa tingkat perubahan U adalah nol sebagai salah satu bergerak menjauh dari titik dimana persamaan ini puas. Ini menunjukkan titik stasioner, atau ekstrem, seperti ditunjukkan secara kualitatif pada Gambar 2 untuk satu atau dua variabel independen. Intinya mungkin minimum atau maksimum. Hal ini juga dapat menjadi titik pelana, ridge, atau lembah (lihat Gambar 2). Informasi tambahan yang diperlukan untuk menentukan sifat stasioner titik, seperti yang dibahas kemudian. Karena Persamaan adalah persamaan vektor, masing-masing komponen dapat ditetapkan sama dengan nol, sehingga menimbulkan dua persamaan berikut:
yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan x dan y di optimal, dilambangkan sebagai x* dan y*. Nilai U* optimal kemudian dihitung dari ekspresi untuk U. Jumlah persamaan yang diperoleh adalah sama dengan jumlah variabel independen dan optimal dapat ditentukan dengan memecahkan persamaan.
5. MLM UNTUK OPTIMASI BERKENDALA The optimum untuk masalah dengan kendala tunggal diperoleh dengan memecahkan persamaan Page 6 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
Gambar 3. Interpretasi fisik metode lagrange multiplier untuk dua variabel independen dan kendala tunggal Gradien vektor U normal dengan kontur U konstan, sedangkan G adalah vektor normal terhadap kontur G konstan. Pengganda Lagrange hanya konstan. Oleh karena itu, persamaan ini menyiratkan bahwa dua vektor gradien yang selaras, yaitu, keduanya berada dalam garis lurus yang sama. Besaran dapat berbeda dan dapat disesuaikan untuk memastikan bahwa Persamaan sesuai. Namun, jika dua vektor tidak berada dalam garis yang sama, jumlah itu tidak boleh nol kecuali kedua vektor adalah nol. Hasil ini ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3 untuk minimum di U. Sebagai salah satu bergerak di sepanjang kendala, yang diberikan oleh G-0, dalam rangka untuk memastikan bahwa kendala puas, gradien G bervariasi arah. Titik di mana menjadi collinear dengan U adalah optimal. Pada titik ini, dua kurva yang tangensial dan dengan demikian menghasilkan nilai minimum U sementara memenuhi kendala. Kurva U konstan di bawah kurva kendala tidak memenuhi kendala dan yang di atas itu memberikan nilai U lebih besar dari optimum pada lokasi di mana mereka bersinggungan dengan kurva kendala. Jelas, nilai U lebih kecil dari yang di yang optimal ditunjukkan pada gambar bisa diperoleh jika ada kendala tidak ada, dalam hal persamaan yang mengatur akan diperoleh dari Persamaan . Sebagai contoh, mempertimbangkan U fungsi tujuan dalam bentuk
dengan bentuk kendala
Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut untuk meletakkannya dalam bentuk yang diberikan oleh Persamaan :
Page 7 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
Berikut E, koefisien A dan B, dan eksponen a, b, c, dan d diasumsikan menjadi konstanta yang diketahui. Ekspresi seperti yang sering ditemui dalam termal sistem. Misalnya, U mungkin biaya keseluruhan dan x dan y pompa yang dibutuhkan dan diameter pipa, masing-masing, dalam sistem aliran air. Tekanan menurun dengan meningkatnya diameter, sehingga biaya lebih rendah untuk pompa, dan biaya untuk meningkatkan pipa. Hal ini menimbulkan hubungan seperti Persamaan untuk E. Dengan demikian, kontur U konstan dapat ditarik bersama dengan kurva kendala sebuah bidang x - y, seperti sketsa pada Gambar 4 (a). Kemudian optimal ditunjukkan dengan lokasi di mana kontur U konstan menjadi tangensial dengan kendala kurva, sehingga menyelaraskan U dan G vektor. Untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dalam ekspresi kesatuan, yaitu, U = x+y dan G = xy - 1 = 0, U konstan kontur berupa garis lurus dan kurva kendala diberikan oleh x = 1 / y, seperti sketsa pada Gambar 4 (b). Optimum adalah pada x* = 1,0 dan y* = 1,0, dan nilai U* optimum adalah 2,0 untuk kasus ini. Meskipun hanya dua variabel independen dianggap sini untuk kemudahan visualisasi dan pemahaman fisik, ide-ide dasar dengan mudah dapat diperpanjang untuk sejumlah besar variabel. Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan optimal diberikan oleh persamaan skalar n berasal dari persamaan vektor
dan m kendala kesetaraan
untuk
Gambar 4. (a). Optimisasi masalah kendala sederhana dan (b) hasil dari semua kendala diberikan oleh ekpresi adalah satu.
Page 8 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
6. MASALAH DALAM OPTIMASI TIDAK BERKENDALA Sebagian besar masalah yang dihadapi dalam optimasi desain sistem termal terhambat karena prinsip-prinsip konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh bahan yang digunakan peraturan ruang, tersedia, keselamatan dan lingkungan, dll Namun, seringkali kendala yang digunakan untuk mendapatkan hubungan antara berbeda desain variabel. Jika ini kemudian diganti menjadi ekspresi untuk fungsi tujuan, masalah tak terbatas diperoleh karena kendala telah terpenuhi. Kadangkadang, dalam perumusan masalah optimasi sendiri, kendala bekerja untuk menurunkan ekspresi yang tepat dan kendala tambahan tidak diperlukan. Dengan demikian, suatu hasil masalah tak terbatas. Tentu saja, dalam beberapa kasus, tidak ada kendala yang signifikan, dan masalah diperlakukan sebagai tak terbatas. Dengan demikian, masalah optimasi tidak dibatasi adalah minat banyak sistem termal praktis dan proses.
Penggunaan Gradien Untuk Optimasi Jika tidak ada kendala dalam masalah, optimal diberikan oleh solusi untuk persamaan berikut vektor untuk U (x1, x2, x3, ..., xn):
Sekali lagi, mudah untuk memvisualisasikan vektor gradien jika hanya dua atau tiga variabel terlibat, seperti yang terlihat di bagian sebelumnya. Namun, konsep-konsep dasar yang sama dan dapat diperpanjang untuk setiap nomor yang sesuai dari variabel. Semua komponen Persamaan vektor persamaan, U, harus nol agar vektor menjadi nol karena semua variabel diambil sebagai independen satu sama lain. Oleh karena itu, optimal diperoleh dengan memecahkan persamaan
Hal ini mirip dengan kondisi untuk titik stasioner diberikan oleh Persamaan untuk variabel tunggal independen. Fungsi tujuan harus kontinu dan terdiferensialkan fungsi dari variabel independen dalam masalah dan derivatif harus kontinu. Sistem persamaan diwakili oleh Persamaan dapat linear atau nonlinier, persamaan nonlinier meskipun lebih sering ditemui untuk termal sistem dan proses. Analisis matematis dapat digunakan dalam kasus-kasus sederhana untuk mendapatkan solusi. Jika tidak, teknik numerik diperlukan. Metode ini sangat berguna untuk sistem yang mungkin ditandai dengan ekspresi aljabar yang dapat dengan mudah dibedakan. Situasi ini biasanya muncul dalam kasus-kasus di mana curve fitting menghasilkan ekspresi seperti untuk karakteristik perilaku sistem dan dalam sistem kecil, ideal, dan sederhana. Kendala diasumsikan absen atau diurus dalam mengembangkan fungsi tujuan, seperti yang dibahas kemudian. Kami sekarang mempertimbangkan menentukan apakah optimal adalah minimum atau maksimum.
Page 9 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
PENENTUAN MINIMUM ATAU MAKSIMUM Dalam kebanyakan kasus, sifat fisik dari masalah akan menunjukkan apakah solusi yang diperoleh adalah maksimum, minimum, atau beberapa titik stasioner lainnya. Sering, diketahui dari pengalaman bahwa minimal atau maksimal ada di domain yang diberikan. Misalnya, hal itu dapat diketahui bahwa minimal dalam energi Konsumsi akan timbul jika tekanan kompresor yang bervariasi atas diterima rentang dalam sistem refrigerasi. Demikian pula, efisiensi termal maksimum diharapkan jika kecepatan, dalam revolusi per menit, dari mesin diesel adalah bervariasi. Namun, dengan tidak adanya informasi tersebut, analisis lebih lanjut dapat dilakukan untuk menentukan karakteristik optimal. Telah dikenal persamaan-persamaan memberikan kondisi untuk maksimum dan minimum, masing-masing, untuk satu variabel bebas. Jika turunan kedua adalah nol pada titik stasioner, terjadinya titik pelana, titik infleksi, ridge, atau lembah. Kondisi serupa mungkin diturunkan untuk dua atau lebih variabel independen. Untuk kasus dua independen variabel, x1 dan x2, dengan U (x1, x2) dan pertama dua derivatif terus menerus, ini kondisi diberikan sebagai
dimana
Oleh karena itu, untuk dua variabel independen, optimal dapat diperoleh dengan memecahkan ∂U /∂1 = ∂U /∂x2 = 0 dan menerapkan kondisi sebelumnya. Meskipun mirip kondisi dapat diturunkan untuk sejumlah besar variabel, analisis menjadi cukup terlibat. Oleh karena itu, dalam keadaan paling praktis, yang melibatkan tiga atau lebih variabel independen, akan lebih mudah dan efisien bergantung pada sifat fisik dari masalah untuk menentukan apakah maksimum minimum atau memiliki telah diperoleh. Selain itu, variabel independen dapat berubah sedikit dekat optimal untuk menentukan apakah nilai meningkat fungsi objektif atau menurun. Jika nilai berkurang sebagai salah satu bergerak menjauh dari optimal, maksimal diindikasikan, sedangkan jika itu meningkat, minimal telah diperoleh. CONTOH Biaya per unit massa dari bahan yang diproses di fasilitas ekstrusi diberikan oleh ekspresi
Page 10 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
di mana T adalah temperatur berdimensi dari bahan yang diekstrusi, V adalah laju aliran volume berdimensi, dan C mencakup modal dan biaya operasional. Tentukan biaya minimum. SOLUSI Karena tidak ada kendala, pendekatan yang diberikan dalam bagian sebelumnya mungkin diadopsi. Oleh karena itu, lokasi optimal diberikan oleh solusi persamaan.
Karena baik T dan V adalah jumlah positif, memiliki
Persamaan ini memberikan V* = 1,6930 dan T* = 0,6182. Bila ini diganti dalam ekspresi untuk C, diperoleh C* = 5,1763. Sekarang turunan kedua mungkin diperoleh untuk memastikan sifat dari titik kritis. Dengan demikian,
Mensubstitusikan nilai-nilai dari V dan T pada titik stasioner, menghitung ini tiga derivatif kedua sebagai 1,3544, 23,7023, dan 1,2364, masing-masing. ini memberikan S = 30,57. Oleh karena itu, S = 0 dan ∂2C /∂V2 = 0, menunjukkan bahwa biaya minimum telah diperoleh.
Konversi Masalah Berkendala manjadi Masalah tidak Berkendala Hal ini terbukti dari pembahasan sebelumnya bahwa optimasi dibatasi masalah adalah jauh lebih mudah untuk memecahkan, dibandingkan dengan dibatasi sesua salah, karena tidak diketahui jumlah lebih kecil dalam kasus mantan. Setiap kendala memperkenalkan multiplier Lagrange sebagai diketahui dan persamaan tambahan harus puas. Oleh karena itu, diinginkan untuk mengkonversi diberikan dibatasi Masalah menjadi satu tak terbatas bila memungkinkan. Kendala mewakili hubungan antara variabel independen berbagai yang harus dipenuhi. Jika persamaan ini dapat digunakan untuk memperoleh ekspresi eksplisit untuk beberapa variable dalam hal yang lain, ungkapan ini kemudian dapat disubstitusikan ke dalam tujuan berfungsi untuk menghilangkan kendala dan dengan demikian mengubah masalah ke tidak dibatasi satu. Bahkan jika semua kendala tidak dapat dihilangkan, akan lebih bermanfaat untuk menghilangkan sebanyak ini mungkin untuk mengurangi kompleksitas dari masalah. Persamaan dapat digunakan untuk mengekspresikan y dalam x sebagai berikut
Page 11 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier
Brawijaya University
2012
Mengganti ini nilai y ke Persamaan
Oleh karena itu, masalah tak terbatas diperoleh dengan U (x) sebagai fungsi tujuan.Optimum ini diperoleh dengan mengatur ∂U/∂x = 0, yang menghasilkan nilai x. Nilai y yang sesuai secara optimum diperoleh dari Persamaan y dan nilai optimum U diperoleh dari Persamaan U. Sangat mudah untuk melihat bahwa x* y* = 1,0 dan U* = 2.0 untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dan eksponen adalah kesatuan. Dengan demikian, hal ini diinginkan untuk mengurangi jumlah kendala, yang juga akan mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui dan pengganda Lagrange, dengan menggunakan kendala persamaan untuk menemukan ekspresi eksplisit berkaitan variabel. Contoh telah menggambarkan solusi dari masalah terkendala dengan mengubahnya menjadi satu tak terkendala. Hal ini kemudian dipecahkan sebagai masalah dibatasi untuk menunjukkan perbedaan antara dua pendekatan.
7. MASALAH OPTIMASI BERKENDALA Optimasi sistem termal yang paling diatur oleh kendala yang timbul karena hukum konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh materi, ruang, biaya, keamanan, dll Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jumlah kendala kesetaraan harus kurang dari jumlah variabel independen untuk optimasi menjadi mungkin. Jika jumlah kendala sama dengan jumlah variabel, masalah hanya mungkin diselesaikan untuk menghasilkan set variabel yang memenuhi kendala. Fleksibilitas ada tersedia untuk memilih desain yang terbaik atau optimal. Jika jumlah kendala lebih besar dari jumlah variabel, masalah ini overconstrained dan beberapa dari kendala harus dibuang, mengakibatkan kesewenang-wenangan dan nonuniqueness dalam solusi. Pertimbangan ini terbukti dari Persamaan, dimana Kondisi mn, masalah tersebut overconstrained, dan tidak ada solusi yang mungkin kecuali m - n kendala yang dibuang. Mengingat masalah optimisasi, yaitu, m
