3º Informe Fisica II - Cuerdas Vibrantes

TITULO:

Cuerdas Vibrantes

OBJETIVO: Estudiar y analizar experimentalmente la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda tensa.

EQUIPOS Y MATERIALES: *Un vibrador *Una fuente corriente continua *Un balde de plástico *Una polea *6 masas pequñas, dos de 10.4 gr, tres de 20.4 gr y uno de 50 gr. *Una regla milimetrada *Una cuerda de 203,5 cm

FUNDAMENTO TEÓRICO: RECTA MINIMO CUADRATICA

Sea: F (xi) =

α(xi) + β

Si: Ei (error)= ( α(xi) + β

- yi )

; xi , yi (datos experimentales)

n

S

Sea también:

Ω

∑ x ( Ei) i2

=

i=1

(sumatoria de todos los errores al

cuadrado) (Se le utiliza como un error global, ya que introduce a todos los datos obtenidos experimentalmente). Para hacer el mejor ajuste de la ecuación y tener un error global mínimo se utilizan las derivadas parciales respecto a cada uno de los coeficientes y se igualan a cero, llegando a un conjunto de ecuaciones. Se llegó al siguiente sistema de ecuaciones: n

∑xi i=1

n

β

+

∑ x xii i=1

2

n

α

=

n

∑xi i=1

∑ xiyi i=1

(

∂ S ∂ Ω/∂ ∂ α )

n

α

+

n β

=

∑ yi i=1

( ∂Ω

) Luego se obtienen los parámetros ( α, β ) por el método de determinantes o regla de cramer.

∂ S /∂ ∂ β

ONDAS MECÁNICAS

Una onda consiste en oscilaciones que se mueven sin portar materia con ellas. Las ondas implican transporte de energía pura mediante la deformación o cambio de las propiedades del medio. Este transporte de energía se realiza sin que haya desplazamiento de materia de un lugar a otro, en forma permanente.

Hay algunas ondas que se propagan en medios materiales deformables como el sonido, las ondas sísmicas, las olas del mar, las ondas ultra sonoras. Estas corresponden a vibraciones mecánicas de un medio material. Otras ondas se propagan en un medio con propiedades físicas, corresponden a ondas de naturaleza electromagnética como lo son la luz, las ondas de radio, los rayos x, la radiación ultravioleta, la radiación infrarroja.

En el lugar en que nos movemos, los seres vivientes obtienen información del medio. Así por ejemplo el ser humano se comunica emitiendo sonidos con sus cuerdas vocales y los capta con sus oídos, detecta la radiación térmica con su piel, puede ver con sus ojos.

Diferentes animales han desarrollado diferentes sentidos para cubrir sus necesidades específicas, lo que hace conveniente tener un conocimiento de las características físicas de las diferentes clases de ondas que tenemos en el medio-ambiente. Para describir una onda se habla de: a.- Longitud de onda (  ) que es igual a la distancia entre dos puntos

consecutivos cualquiera de una onda. b.- Frecuencia ( f ) que es el número de crestas que pasan por un punto dado en la unidad de tiempo. c.-. Amplitud ( A ) que es la máxima altura de una cresta o la máxima profundidad de un valle. d.- Período, T, que es el recíproco de la frecuencia.

cresta

 A

valleee

Como una cresta de la onda se mueve en apariencia una distancia de una longitud de onda  en un período, la velocidad (v) de la onda ( que es distinta a la velocidad de una partícula del medio) es igual al producto entre la frecuencia y la longitud de la onda. v=  f

La velocidad de la onda depende de las propiedades del medio en el que viaja y corresponde a la velocidad con que la cresta( o valle) se mueve en apariencia. De acuerdo a la dirección de propagación de la onda y la dirección de la perturbación o deformación del medio, suele clasificarse las ondas en dos tipos:

a) Ondas longitudinales: son aquellas en que la deformación se produce en la dirección de propagación de la onda. Este caso, es el de las ondas sonoras y las ondas de choque producidas en las explosiones. Una onda longitudinal puede crearse en un resorte largo, comprimiendo algunos anillos al inicio del resorte para luego

soltarlo. Una serie de expansiones( valles) y compresiones (crestas) se propagan a lo largo del resorte.

compresión

b) Ondas transversales: la deformación se produce en dirección perpendicular a la de propagación de la onda, como por ejemplo las que se propagan en una cuerda tensa cuando se hace oscilar un extremo o bien las que se propagan en la superficie del agua El tratamiento matemático es el mismo para ambos tipos de onda y se diferencian o reconocen sólo por el efecto de polarización. ONDAS ESTACIONARIAS TRANSVERSALES.

EN

UNA

CUERDA:

ONDAS

Una forma simple de producir una onda viajera sobre una cuerda es tomar la cuerda y unir uno de sus extremos a una hoja de metal la cual se hace vibrar. Se genera en la cuerda una onda viajera a medida que la hoja se mueve verticalmente en forma regular desplazándose la onda hacia la derecha sobre la cuerda(ver figura).

y cuerda que oscila

x

hoja vibratoria

Cada parte de la cuerda se mueve en forma vertical de acuerdo al movimiento vibratorio de la hoja pero la perturbación se propaga en dirección positiva del eje de las abcisas( X). De esta forma, el movimiento de un punto cualquiera de la cuerda se puede describir de acuerdo con una función y = A sen (kx t) matemática, la función: La velocidad de propagación de las ondas mecánicas solo depende de las propiedades del medio en el cual se propaga la perturbación.

ONDAS ESTACIONARIAS: Un caso particular de gran interés es el de las ondas estacionarias que se producen al sumar dos ondas de la misma amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos. La situación experimental se puede lograr si se agita una cuerda o un resorte en uno de sus extremos, de este modo habrá ondas que viajen en un sentido y otro, interfiriéndose unas con otras al vibrar con una frecuencia adecuada, formándose una onda estacionaria. Se le llama así porque parece no viajar. Las frecuencias a las que se producen las ondas estacionarias son la frecuencia natural y las frecuencia resonantes.

Las siguientes figuras muestran ondas estacionarias.

L

L

antinodoo

FIG. 1

FIG. 2

Los puntos de interferencia destructiva reciben el nombre de nodos, y los de interferencia constructiva antinodo, los cuales permanecerán fijos al igual que el resto de los demás puntos. La frecuencia mínima de vibración que produce una onda estacionaria da lugar a una configuración como la que muestra la figura 1, la figura 2 corresponde a una frecuencia doble del de la fig. Nº1

Para calcular las frecuencias resonantes se debe observar que la longitud de onda  iene una relación sencilla con el largo L de la cuerda. En el caso de una cuerda con sus dos extremos fijos, el largo L de la cuerda sólo puede contener un número n entero ( n= 1,2,3,....) de semi-longitudes de onda (/2). En la figura 2, el largo de la cuerda será L= 2( /2) En general se tendrá que las longitudes de onda posibles son: L = n( n /2)

donde

n =

1,2,3....

y las frecuencias correspondientes vienen dadas por:

v n v fn   n 2

Las ondas no pueden tener una frecuencia arbitraria sino que sólo pueden tomar un determinado número de valores discretos ya que las ondas estacionarias posibles no han de producir ninguna perturbación en los extremos, por lo que las posibles formas de vibración de la cuerda se muestran en las figuras a) , b) y c). La figura a) muestra la onda de la fundamental, la b) y la c) corresponde a sobretonos

Fundamental o primer armónico Segundo armónico o primer sobretono Tercer armónico o segundo sobretono

La velocidad de propagación ( v) de una onda o pulso en una cuerda depende de la tensión T de la cuerda y de su masa por unidad de longitud (  ). Se puede demostrar que la velocidad con que se propaga una onda en una cuerda viene dada por: v

T m con   L

La formación de las ondas estacionarias es la base instrumentos de cuerda

PROCEDIMIENTO:

de todos los

1. Disponemos del siguiente equipo sobre la mesa, tal como se indica en la figura.

POLEA

CUERDA

VIBRADOR

2. Ponemos una pesa de “m” gramos en el vasito de plástico, hacemos funcionar el vibrador y variamos lentamente la distancia del vibrador hacia la polea hasta que se forme un nodo muy cerca del vibrador. 3. Medimos la distancia L dese la polea hasta el nodo inmediato del vibrador. Anotamos el número “n” de semilongitudes de onda contenidos. 4. Repetimos el procedimiento anterior con 6 variaciones distintas de “m”, dentro del balde.

f= F=mg (N) 0.49 0.69384 0.89376 1.09368 1.2936 0.8036

n 3 2 2 2 2 2

L(m) 1.3 0.92 0.9 0.7 0.54 0.41

√

n F 1 ( ) 2L u s 40.7426 45.6715 52.9872 75.3617 106.2453 110.2909

λ=

2L n

(m) 0.87 0.92 0.9 0.7 0.54 0.41

V= λf (m/s) 35.3103 42.0178 47.6885 52.7532 57.3724 45.2192

CALCULOS Y RESULTADOS: 1) Tabla con los datos tomados en el laboratorio: Longitud de la cuerda = 203,5 cm Masa de la cuerda =0.8 gr Densidad lineal de masa(u) = M/L = 0.000393 kg/m ………………….. (forma real)

Asumiendo: V2 = g(x) , F =x , 1/ u =α , Ahora podremos empezar a realizar un ajuste lineal con los datos experimentales obtenidos: g(x) = αx + β Por mínimos cuadrados se obtienen las siguientes ecuaciones: →

5.2683 α

+

6β

=

13405.8005

→

5.2683 β

+

5.0352α

De aquí: α = 2544.596 m/kg ;

=

12812.87902

β = 0.01749 N

Donde se obtiene: α = 1/u= 2544.596 m/kg u = 0.0003929 kg/m ………………….. (forma experimental)

%error respecto al “u”:

0.025 %

0.000393−0.0003929 0.000393

=

PUNTOS DE MAYOR ENERGÍA CINÉTICA

PUNT

PUNTOS DE MAYOR ENERGÍA POTENCIAL

2) En una onda estacionaria no hay transmisión de energía, lo que existe en éstas ondas es energía estacionaria entre dos nodos.

Por lo tanto hay intercambio de energía potencial a energía cinética en cada una de sus partículas.

3)

Gráfica de L vs N 1.4 1.2 1 0.8 L(m) 0.6 0.4 0.2 0 1.8

2

2.2

2.4

2.6

n(#de usos)

2.8

3

3.2

CONCLUSIONES: Las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión, la longitud del factor causante con el extremo reflector. La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia. En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen las partículas de la cuerda. Si las frecuencias asociadas son muy altas, las velocidades también lo serán. También concluimos que si aparecen mayor número de usos entonces es porque su frecuencia está aumentando, siempre y cuando la tensión y la longitud de la cuerda permanezcan iguales. Si se hace mantener constante la masa dentro del baldecito, la longitud de onda y la frecuencia variarán inversamente proporcional entre ellas, siempre que hagamos variar “L”. El ajuste de mínimos cuadrados trata de ajustar dos variables (datos experimentales) a una ecuación, pero siendo éstas independientes experimentalmente. Pero en esta ocasión calculamos una de las variables a partir de la otra encontrada experimentalmente, a través de una ecuación; en consecuencia el ajuste deberá producirnos la misma la ecuación utilizada. Si se obtuvo algún pequeño porcentaje de error, fue simplemente porque en el proceso del ajuste se estuvieron suprimiendo algunos decimales muy pequeños.

BIBLIOGRAFIA: - Serway, Raymond A. Física. Tomo I, Cuarta edición. Ed. Mc. Graw Hill. - FISICA II TEORIA DE ALONSO FINN - 1. Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed., Vol. II, Cía. Editorial Continental, S.A. México, (1985).