3. Grafik Fungsi Trigonometri.doc

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Langkah – langkah menggambar grafik fungsi trigonometri : a. Meleng Melengkapi kapi tabel tabel sudut sudut – sudut sudut ist istime imewa. wa.  b. Menentukan titik pada bidang kartesius c. Menghubungkan Menghubungkan titik titik – titik titik tersebu tersebutt sehingga sehingga membent membentuk uk suatu suatu kurva. kurva. 1. GRAFIK SINUS  y = sin x

Tabel : x   = sin  y  = x 

0

0

0

0

0

30

0

45

1

1

2

2

2

0

60

90

1

1

2

0

0

120

1

0

135



2

1

150

2

2

1 2

0

0

180

210

0



225

0

240

1

1

1 2

0



2



2

0

270

 –1

!ada gambar "ang diperoleh dapat disimpulkan bahwa grafik sinus adalah :

/

/

0/

/

1/

/

23/

/

45/

/

!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi sin x  adalah  adalah 1 Nilai minimum dari fungsi sin x  adalah –1  adalah –1  Atau, dapat ditulis : –1  sin x     1 S!"ara Umum# $!n%uk &!rsamaan grafik sinus adalah '

 y =  y  = A sin k ( x  )  ) c* #eterangan : $ % k  %

ampl ampliitudo udo &maks maksim imum um ' mini minimu mum( m( 2 T  

T  % period periodee & 1 gelomb gelombang ang "ang "ang terdi terdiri ri dari dari 1 bukit bukit dan dan 1 lembah( lembah( T  = %!rdir %!rdirii dari dari + ruas ruas ,an ,ang g sama sama $!s $!sar ar.. absis titi titik k awal awal gra grafi fik) k) "ai "aitu tu : c % absis  x   - c# ar%in,a dig!s!r k! kiri kiri s!auh  s!auh c  x  –  – c# ar%in,a dig!s!r k! kanan kanan s!auh  s!auh c

0

300

315

1



2

0

330

1





2

0

1 2

0

360

0

Contoh :

Tentukan nilai maksimum) minimum) periode dari grafik fungsi trigonometri berikut) kemudian gambarkan grafikn"a : a.  y % sin 2 x

e.  y % 1 * sin 2 x

i.  y % 1 – sin &2 x – 00(

 b.  y % 2 sin x

f.  y % 1 – sin 2 x

 +.  y % 1 * sin &2 x * 00(

c.  y % 2 sin 2 x

g.  y % sin &2 x * 00(

d.  y % – sin 2 x

h.  y % sin &2 x – 00(

 Penyelesaian :

a.  y = sin 2 x  diperoleh bahwa :

Nilai maksimum = 1 Nilai minimum = –1 k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  k 

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a adalah '

//

+6

/

0/

/

146

/

1/ / 226

/

23/

/

416

/

45/ /

 b.  y = 2 sin x  diperoleh bahwa :

Nilai maksimum = 2 Nilai minimum = –2 k  % 1) maka perioden"a adalah : 2 2 / 2 45/ T  k 

1

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat -00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

/

0/

/

1/

/

23/

/

45/

/

c.  y = 2 sin 2 x  diperoleh bahwa :

Nilai maksimum = 2 Nilai minimum = –2 k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

/

+6

/

0/

/

146 /

1/ / 226

/

23/

/

416

/

45/ /

d.  y = 1 - sin 2 x  diperoleh bahwa :

maksimum pada saat sin 2 x % 1) maka :  y % 1 * sin 2 x  y % 1 * 1  y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 x % 1 sin 2 x % sin 00 2 x % 00 * k  . -00  x % /0 * k  . 1,00  x %  x %

+ 6 +

  Ti%ik maksimumn,a adalah   + minimum pada saat sin 2 x % –1  y % 1 * sin 2 x  y % 1 – 1  y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 x % –1 sin 2 x % –sin 00 sin 2 x % sin &–00( 2 x % –00 * k . -00  x % –/0 * k . 1,00

 x %  +6 /  %  x  = 146/ =  x = 416/ =

 6 atau      +

 

 

)

2

)

2

 



+

4 + 3 +

  Ti%ik minimumn,a adalah     +

 4 atau      +

 

 

)

/

)

 3 atau      +

/

 

)

/

 

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

 +6 /

/

+6

/

0/

/

146

/

1/

/

226

/

23/

/

416

/

45/

/

e.  y = 1 – sin 2 x  diperoleh bahwa :

maksimum pada saat sin 2 x % –1) maka :  y % 1 – sin 2 x  y % 1 – &–1(  y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 x % –1 sin 2 x % sin &–00( 2 x % –00  x % –/0  x %



+

    2 Titik maksimumn"a adalah     +   minimum pada saat sin 2 x % 1  y % 1 – sin 2 x  y % 1 – 1  y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 x % 1 sin 2 x % sin 00 2 x % 00  x % /0 )

 x %

+

  Titik minimumn"a adalah   +

 

)

/

 

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

 +6 /

/

+6

/

0/

/

146

/

1/

/

226

/

23/

/

416

/

45/

/

f.  y = sin (2 x  - 4//*  y = sin 2 ( x - 16/* memenuhi bentuk  y % $ sin k  & x * c( dig!s!r k! kiri s!auh 16 / diperoleh bahwa :

maksimum pada saat sin 2 & x * 10( % 1) maka :  y % sin 2 & x * 10(  y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 & x * 10( % 1 sin 2 & x * 10( % sin 00 2 & x * 10( % 00 * k . -00 & x * 10( % /0 * k . 1,00  x % 00 * k . 1,00 k = 0   x % 4// =

5

k = 1   x % 21// =

3 5

  Titik maksimumn"a adalah   5

 

1 

)

 

 3

 

atau 

)

  5

1 

 

minimum pada saat sin 2 & x * 10( % –1  y % sin 2 & x * 10(  y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 & x * 10( % –1 sin 2 & x * 10( % sin &–00( 2 & x * 10( % –00 * k . -00 & x * 10( % –/0 * k . 1,00  x % –-00 * k . 1,00 k=0 →

x % –5// =

k=1 →

x % 12// =

k=2 →

x % 4/// =



4

2 4 6 4

 

Titik minimumn"a adalah  

  4

)

   2 1  atau      4

)

   6 1  atau      4

)

  1   

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '  5/ /

 16 /

/

4/

/

36

/

12/

/

/

156 1/

/

21/

/

226

/

4//

/

4+645/ /

g.  y = sin (2 x  – 4//*  y = sin 2 ( x – 16/* memenuhi bentuk  y % $ sin k  & x – c( dig!s!r k! kanan s!auh 16 / diperoleh bahwa :

maksimum pada saat sin 2 & x – 10( % 1) maka :  y % sin 2 & x – 10(  y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 & x – 10( % 1 sin 2 & x – 10( % sin 00 2 & x – 10( % 00 * k . -00 & x – 10( % /0 * k . 1,00  x % -00 * k . 1,00 k = 0   x % 5// = k = 1   x % 2+// =

4

+ 4

  Ti%ik maksimumn,a adalah    4

 

)

1 

 

 +

 

atau 

1 

)

  4

 

minimum pada saat sin 2 & x – 10( % –1  y % sin 2 & x – 10(  y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 & x – 10( % –1 sin 2 & x – 10( % sin &–00( 2 & x – 10( % –00 * k . -00 & x – 10( % –/0 * k . 1,00  x % –00 * k . 1,00 k=0 →

x % –4// =

k=1 →

x % 16// =

k=2 →

x % 44// =



5

6 5 11 5

 

Titik minimumn"a adalah  

)

  5

   6 1  atau      5

)

   11 1  atau    5  

)

  1   

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '  4/ /

/

16 4/

/

5/

/

1/6

/

16/

/

1/106

/

2+/

/

26

/

44/

/

45/

/

2. GRAFIK 7OSINUS  y = "8s x

Tabel : x   y  = sin x 

0

0

1

0

0

30

0

45

1

1

2

60

1

2

2

2

0

90

0

0

0

120

1

0

135



2

150

1

2

2

1 2

0

180

210

0

0

1

 –1

2

0

225

240

1





2

1 2

!ada gambar "ang diperoleh dapat disimpulkan bahwa grafik cosinus adalah :

/

/

0/

/

1/

/

23/

/

45/

/

!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi cos x  adalah 1 Nilai minimum dari fungsi cos x  adalah –1

 Atau, dapat ditulis : –1  cos x   1 ecara 3mum) bentuk persamaan grafik cosinus adalah :

 y = A "8s k ( x  ) c* #eterangan : $ % k  %

amplitudo &maksimum ' minimum( 2 T  

T  %

periode & 1 gelombang "ang terdiri dari 1 bukit dan 1 lembah(

T  =

%!rdiri dari + ruas ,ang sama $!sar.

c

absis titik awal grafik) "aitu :

%

 x  - c# ar%in,a dig!s!r k! kiri s!auh c  x  – c# ar%in,a dig!s!r k! kanan s!auh c

0

270

0

0

300

315

1

1

2

2

0

330

2

1 2

0

0

360

1

Contoh :

Tentukan nilai maksimum) minimum) periode dari grafik fungsi trigonometri berikut) kemudian gambarkan grafikn"a : a.  y % cos 2 x

e.  y % 1 * cos 2 x

i.  y % 1 – cos &2 x – 00(

 b.  y % 2 cos x

f.  y % 1 – cos 2 x

 +.  y % 1 * cos &2 x * 00(

c.  y % 2 cos 2 x

g.  y % cos &2 x * 00(

d.  y % – cos 2 x

h.  y % cos &2 x – 00(

 Penyelesaian :

a.  y = "8s 2 x  diperoleh bahwa :

 4ilai maksimum %

1

 4ilai minimum

–1

%

k  % 2) maka perioden"a adalah : T 

2

2

k 

2



1/

/

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a adalah '

//

0/ /

+6 /

146 / 1/ /

 b.  y = 2 "8s x  diperoleh bahwa :

 4ilai maksimum % 2  4ilai minimum

% –2

k  % 1) maka perioden"a adalah : T 

2

2

k 

1

2

45/

/

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat -00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

/

0/

/

1/

/

23/

/

45/

/

c.  y = 2 "8s 2 x  diperoleh bahwa :

 4ilai maksimum % 2  4ilai minimum % –2 k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

//

+6 /

146 / 1/ /

0/ /

d.  y = – "8s 2 x  diperoleh bahwa :

maksimum pada saat cos 2 x % –1) maka :  y % – cos 2 x  y % – &–1(  y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k  . -00  x % 00 * k  . 1,00  x % 0// Ti%ik maksimumn,a adalah

2

# 1

minimum pada saat cos 2 x % 1  y % – cos 2 x  y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00  x % 00 * k . 1,00  x % /0  x % 1/0 Ti%ik minimumn,a adalah

/ # 1

atau

2

# 1

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

e.  y = 1 - "8s 2 x 

+6

/

0/

/

146

/

1/

/

diperoleh bahwa :

maksimum pada saat cos 2 x % 1) maka :  y % 1 * cos 2 x  y % 1 * 1  y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 00 2 x % 00 * k  . -00  x % 00 * k  . 1,00  x % //  x % 1/0 Ti%ik maksimumn,a adalah / # 2  atau minimum pada saat cos 2 x % –1  y % 1 * cos 2 x  y % 1 – 1  y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00  x % 00 * k . 1,00  x % 0/0  x % 0/0 Ti%ik minimumn,a adalah

2

# 2

# /

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

+6

/

0/

/

146

/

1/

/

f.  y = 1 – "8s 2 x  diperoleh bahwa :

maksimum pada saat cos 2 x % –1) maka :  y % 1 – cos 2 x  y % 1 – &–1(  y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k  . -00  x % 00 *k  . 1,00  x % 00 Titik maksimumn"a adalah

# 2

2

minimum pada saat cos 2 x % 1  y % 1 – cos 2 x  y % 1 – 1  y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 00 2 x % 00 * k  . -00 x % 00 * k  . 1,00  x  % /0  x % 1/0 Titik minimumn"a adalah

/ # /

 dan

# /

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/

+6

/

0/

/

146

/

1/

/

g.  y = "8s (2 x  - 4//*  y = "8s 2 ( x - 16/* memenuhi bentuk  y % $ cos k  & x * c( dig!s!r k! kiri s!auh 16 / diperoleh bahwa :

maksimum pada saat cos 2 & x * 10( % 1) maka :  y % cos 2 & x * 10(  y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 & x * 10( % 1 cos 2 & x * 10( % cos 00 2 & x * 10( % 00 * k . -00 & x * 10( % 00 * k . 1,00  x % –10 * k . 1,00 k = 0   x % –16/ k = 1   x % 146/ / / Titik maksimumn"a adalah 16 # 1 atau 146 minimum pada saat cos 2 & x * 10( % 00  y % cos 2 & x * 10(  y % –1 (Nilai minimum*

# 1

Titik minimumn"a adalah : cos 2 & x * 10( % –1 cos 2 & x * 10( % cos 1,00 2 & x * 10( % 1,00 * k . -00 & x * 10( % 00 * k . 1,00  x % 50 * k . 1,00 k = 0 → x % 36/ k = 1 → x % 266/ Titik minimumn"a adalah

36

/

#

1

atau

266

/

#

1

k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2  1/ / T  2

2

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

16/ 4/ +6360/   12/146156 1/

h.  y = "8s (2 x  – 4//*  y = "8s 2 ( x – 16/* memenuhi bentuk  y % $ cos k  & x * c( dig!s!r k! kanan s!auh 16 / diperoleh bahwa :

maksimum pada saat cos 2 & x – 10( % 1) maka :  y % cos 2 & x – 10(  y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 & x – 10( % 1 cos 2 & x – 10( % cos 00 2 & x – 10( % 00 * k . -00 & x – 10( % 00 * k . 1,00  x % 10 * k . 1,00 k = 0   x % 16/ k = 1   x % 106/ / / Titik maksimumn"a adalah 16 # 1  atau 106 # 1 minimum pada saat cos 2 & x – 10( % –1  y % cos 2 & x – 10(  y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 & x – 10( % –1 cos 2 & x – 10( % cos 1,00 2 & x – 10( % 1,00 * k . -00 & x – 10( % 00 * k . 1,00  x % 100 * k . 1,00 k = 0 → x % 1/6/ / / Titik minimumn"a adalah 36 # 1 atau 266 # k  % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 T   1/ / 2

2

1

 Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(

Grafikn,a '

/ 16 +6 5/ 0/ 1/6 14616/ 1/106

4. GRAFIK TANGEN  y = %ang!n x

Tabel : x   y  = sin x 

0

0

0

0

0

30

1 4

45

4

0

60

1

0

90

0

0

120

135

 –1

4

!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi tan x  adalah Nilai minimum dari fungsi tan x  adalah

 Atau, dapat ditulis :

 tan x  

0

150

1 4

0

180

0

0

0

210

1 4

225

4

1

0

240

0

270

0

0

300

315 4

0

 –1

0

330

1 4

0

360

1