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Tema 3

Representaci´ on gr´ on afica afica 2D y 3D Guill lermo Gui lerm o Peri Periss Rip Ripol oll´ l´ es  es  Aplicaci´ o on n Optimizaci´ o on n del flujo de un canal de agua.

A la hora de dise˜ nar nar un canal de agua, como el que se muestra en la siguiente figura, se pretende que la velocidad de flujo sea m´ axima. axima.

h

θ

θ

c

Las variables a considerar a la hora de dise˜nar nar el canal son su altura altura h  h,, la anchura de la base c base  c,, y el ´aangulo ngulo lateral  θ.  θ . Puede demostrarse que la velocidad de flujo es inversamente inversam ente proporcional prop orcional al a l per´ıımetro, metro, cuya expresi´on on es:  p =  p  = c  c +  +

  2h sin(θθ ) sin(

mientras que el ´area area total de flujo es A = ch  =  ch +  + h  h2 cot( cot(θ). Considerando Considera ndo que el cana canall debe tener 200 cms. de ´aarea rea transver transversal sal (A   = 200), 200), la funci´ funci´ oon n   1/p   ´u unicamente nicamente depender´ a de   h   y   θ . Repr Represent esentaa la superf´ superf´ıcie 1/p /p =  =  f   f ((h, θ ), mostrando el diagrama de contornos simult´aneamen anea mente. te. ¿Para qu´e valores aproximados de h de  h  y  θ  la veloc velocidad idad de fl flujo ujo es m´axima? axima? Velocidad de flujo en un canal

1/p

 0.03  0.025  0.02  0.015  0.01

 20  0

Ingenier´ıa Qu´ımica

 15  20

 40  60  80 Theta (Grados)  100

 10  120

 140

 5  160

Altura (cm)

 0

Programacion ´   en Octave 

 

3-2

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D

Contenidos

3.1. Introduc Introducci´ ci´ o on n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3 3.2. Represen Representacio taciones nes 2D   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3

3. 3.2. 2.1. 1. Gr Gr´aficas ´aficas simples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 3.2. 2.2. 2. Gr Gr´aficas ´aficas m´ ultiples ultiples   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.. Mejorando 3.2.3 Mejorando el aspecto aspecto de las las gr´ aficas aficas   . . . . . . . . . . . 3.3. Representaciones 3D: l´ıneas, contornos y ssuperf uperf´ ´ıcies.   . 3.3.1. L´ıneas   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. 3.3 .2. Superfic Superficies ies  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3.. Contorn 3.3.3 Contornos os   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.. Aplica 3.4 Aplicaci´ ci´ o on n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ejercicios Ejercicio s pr´ acticos acticos   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Universitat Jaume I

. . . 33 -3 . . . 33 -4 . . . 33-6 . . 3-7 . . . 33 -7 . . . 33-8 . . . 3-10 . . 3-11 . . 3-13

Guil lermo Peris Ripol l´ es  

 

3.1 Introducci´ on

3.1. 3.1.

3-3

In Intr trodu oducc cci´ i´ o on n

Resulta muy habitual que los ingenieros utilicen gr´aficos aficos para mostrar sus ideas de una forma m´as as clara, ya que es m´aass sencillo identificar tendencias en una figura que una tabla de resultados.   Octave  dispone (junto con el paquete  octave-forge) de un gran conjunto de funciones utiles u ´ tiles para la creaci´on on de gr´aficos. aficos. En este tema estudiaremos algunas de ellas.

3.2.. 3.2

Rep Repres resent entaci acione oness 2D

Todas las funciones de que dispone   Octave  para la creaci´on o n de gr´aficos aficos utilizan el programa   gnuplot. Este es un programa que podemos usar de forma independiente de   Octave, aunque aqu´ı aprenderemos a utilizarlo desde la interfaz de   Octave.

3.2.1.

Gr´ aficas aficas simples

Para dibujar gr´aficas, aficas,   Octave  dispone de la orden   plot(x,y), donde   x   e   y  son dos vectores de la misma dimensi´on on que representan las coordenadas de las abscisas y ordenadas de los datos a representar, respectivamente. Supongamos que queremos representar la gr´afica afica de  de   sin( sin(x) entre 0 y 2π 2 π . Entonces, deber´ deber´ıamos crear en primer lugar un vector con valores de   x, y el vector  vector   sin( sin(x). Para ello, podemos utilizar por ejemplo 100 puntos equiespaciados en el eje  x  y calcular su seno:  x = linspace linspace(0,2 (0,2*pi, *pi,100) 100); ;  y = sin(x) ;  plot plot(x,y (x,y) ) ;

Al ejecutar este c´odigo, odigo, nos aparece una ventana similar a la siguiente:  1 line 1  0.8

 0.6

 0.4

 0.2

 0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1  0

1

2

3

4

5

6

7

afica afica simple. Figura 3.1: Gr´

Pensemos que cuantos m´ as as puntos utilicemos, m´as as fiel ser´a la representaci´on on obtenida, pero m´as as tiempo le costar´a a   Octave  obtener el resultado.

Ingenier´ıa Qu´ımica

Programacion ´   en Octave 

 

3-4

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D No es demasiado complicado mejorar esta gr´afica. afica. Por ejemplo, con la orden  title se a˜ nade nade un t´ıtulo, con las ordenes ´ordenes   xlabel   e   ylabel   se a˜ n naden, aden, respectivamente, respectivamente, etiquetas a los ejes de abscisas y ordenadas; adem´as, as, la orden  grid(’on’)  a˜  a n nade ˜ ade una rejilla a la gr´afica. afica. Estas ordenes o´rdenes no surten efecto hasta que no se actualiza la gr´afica afica con la orden   replot. Observa el uso de estas ´ordenes ordenes en el siguiente ejemplo, cuyo resultado se muestra en la Figura 3.2 Figura  3.2::  title(’R title(’Representa epresentacion cion de sin(x)’), xlabel(’x’), ...

ylabel(’sin(x)’), ylabel(’ sin(x)’), grid(’on’), replot

F´ıjate en que los textos deben escribirse entre comillas simples. Representacion de sin(x)  1

line 1

 0.8  0.6  0.4  0.2         )       x         (       n         i

 0

      s

−0.2

−0.4 −0.6 −0.8 −1  0

1

2

3

4

5

6

7

x

Figura 3.2: Grafica simple con t´ıtulo, rejilla y etiquetas.

3.2.2.

Gr´ aficas aficas m´ ultiples ultiples

Si estamos interesados en dibujar varias curvas en una misma gr´afica, afica, podemos hacerlo cer lo de forma forma simple simple utiliz utilizand andoo varios arios pares pares de vecto vectores res.. Por Por ejempl ejemplo, o, la orden orden plot(x,y,w,z)   dibujar´ dibujar´ıa en una misma gr´aafica fica las curvas de   y   en funci´on o n de   x, y w  en funci´ on on de   z. F´ıjate en el siguiente c´odigo, odigo, que dibuja las curvas sin(x sin(x) y cos(x cos(x)

en la misma figura (Figura 3.3 (Figura  3.3): ):  x = linspace linspace(0,2 (0,2*pi, *pi,100) 100); ;  y = sin(x) ; z = cos(x);  plot plot(x,y (x,y,x,z ,x,z),ti ),title( tle(’Gra ’Grafica fica del seno y cose coseno no de x’), ...

xlabel(’ xlab el(’x’), x’), grid(’on grid(’on’) ’) , replot replot

distingue Octave   distingue

las dos l´ıneas utilizando colores, lo cual no se puede apreciar en impres impresione ioness en blanco blanco y negro negro (como (como la que tienes tienes entre entre tus manos manos ;) ). Ser´ Ser´ıa interesan inte resante te poder distinguir distinguir las curvas curvas bien por p or el formato formato de las l´ıneas, ıneas, bien por p or el formato de los puntos. Para ello, debemos indicar en la orden  plot  tripletes de datos, a saber: el vector x vector  x,, el vector  vector   y  y un formato de lineas y puntos, teniendo en cuenta las opciones que se muestran en la Tabla  3.1. Si  3.1.  Si antecedemos un gui´on on al indicador indicador del Universitat Jaume I

Guil lermo Peris Ripol l´ es  

 

3.2 Representaciones 2D

3-5 Grafica del seno y coseno de x

 1

line 1 line 2

 0.8  0.6  0.4  0.2  0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1  0

1

2

3

4

5

6

7

x

afica afica m´ ultiple. ultiple. Figura 3.3: Gr´

punt o, ´estos punto, esto s se unen une n con una l´ınea ıne a cont´ınua ınua 1 .   Por ejemplo, una mejor representaci´ on on de la curva curva anterior se har´ har´ıa con la siguiente orden (Figura 3 (Figura  3.4 .4): ):  plot(x,y,’-o’,x,z,’+’),...

title(’Gr´ afica afica del seno y coseno coseno de x’),xlab x’),xlabel(’ el(’x’) x’), , grid grid(’on (’on’) ’) , rep replot lot

Grafica del seno y coseno de x  1

line 1 line 2

 0.8  0.6  0.4  0.2  0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1  0

1

2

3

4

5

6

7

x

afica afica con marcas. Figura 3.4: Gr´

Hemos comprobado que, al crear una nueva figura, esta aparece en una ventana de figuras, figuras, desapareci desapareciendo endo la figura anterior (si la hab´ hab´ıa). Si estamos estamos interesa interesados dos en que aparezcan distintas figuras (en distintas ventanas) debemos ejecutar previamente la orden   figure. Por ultimo, u ´ ltimo, la orden   clg   limpia  la ventana de gr´aficos. aficos. Esta orden resulta conveniente utilizarla antes de crear una nueva figura. 1

Consulta el manual de   Octave  para obtener m´ a ass informa informaci´ ci´ o on n sobre el dise˜ n no o de gr´ a aficas. ficas.

Ingenier´ıa Qu´ımica

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3-6

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D Punto Pun In Indi dica cado dorr punto   .   + m´aass estrella   * c´ırc rcu ulo   o marca   x Tabla 3.1: Opciones de marcas.

Ejercicios  1   Ejecuta Ejec uta las l´ııneas ne as de c´oodigo digo necesarias en   Octave  para obtener las gr´aaficas ficas de las figuras anteriores. 

Dibuja la funci´ funci´ on y on  y  = sin(x sin(x) + x + x − x · cos( cos(x x) en el intervalo x intervalo  x ∈]0 ]0,, 30[. A˜ n nade a de un t´ıtu ıtulo lo   2   Dibuja y las etiquetas que creas oportunas.



  3   A la hora de de realizar realizar una una gr´ afica, afica, es importante el muestreo que se realice de la funci´on. on. Para entender mejor ´esto, esto, compara los siguientes ejemplos y piensa en cual es la causa de que la segunda gr´afica afica presente un mejor aspecto que la primera.

 n = 5;

 n = 25;

0:1/n:3; 3;  x = 0:1/n:

0:1/ 1/n: n:3; 3;  x = 0:

 y = sin(5*x) ;

sin(5* 5*x) x) ;  y = sin(

 plot(x,y)

 plot(x,y)

3.2.3.. 3.2.3

Mejorando Mejorando el aspecto de las gr´ aficas aficas

En este apartado vamos a introducir algunas ordenes o´rdenes m´as as para cambiar el aspecto de los gr´aficos. aficos. Por ejemplo, podemos estar interesados en personalizar la leyenda explicativaa de las distintas l´ınea explicativ ınea de una gr´aafica. fica. Esta leyenda normalmente aparece con los textos   l lin ine e 1,   lin line e 2, etc. Para cambiar este texto, debemos escribirlo entre puntoo y comas (;) del formato de l´ınea y punto punt punto de la orden   plot. Esto se entiende mejor con el anterior ejemplo de la representaci´on on de seno y coseno:  plot(x,y,’-o;seno(x);’,x,z,’.;coseno(x);’)  title(’Gr´ afica a fica del seno seno y cosen coseno o de x’),x x’),xlab label( el(’x’ ’x’) )  grid grid(’on (’on’) ’) , replot replot

En ocasiones resulta interesante tener distintos gr´aaficos ficos en una misma ventana. Esto es lo que se conoce como   subventanas. Para ello, podemos dividir la ventana de gr´aaficos ficos en dos subventanas (apiladas o contiguas) o cuatro subventanas, utilizando la orden   subplot. Esta orden acepta 3 argumentos, donde los dos primeros indican las divisiones en filas y columnas de la ventana, y el tercero a la posici´on en la que se va a situar la siguiente gr´aafica fica (las ventanas se numeran de izquierda a derecha, y de arriba y abajo). La utilizaci´on on de subgr´aficas aficas la entender´aass mejor con el siguiente ejercicio.

Universitat Jaume I

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3.3 Representaciones 3D: l´ıneas, contornos y superf´ıcies.

3-7

Gráfica del seno y coseno de x  1

seno(x) coseno(x)

 0.8  0.6  0.4  0.2  0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1  0

1

2

3

4

5

6

7

x

afica afica con marcas. Figura 3.5: Gr´

Ejercicios 

las siguientes siguientes lineas de c´ odigo odigo y trata de entender por ti mismo la orden subplot. 4   Ejecuta las

linspace(0,2 (0,2*pi, *pi,100); 100);  x = linspace sin( n(x) x) ; z= z=co cos( s(x) x); ;  y = si  subplot(2,1,1)  plot(x,y,’;seno(x);’)  subplot(2,1,2)  plot(x,z,’;coseno(x);’)

Hasta ahora hemos observado que   Octave   fija autom´aticamente aticamente la escala de los ejes, ajust´aandola ndola a los valores de los datos. Podemos cambiar estos valores ejecutando la orden   axis( axis([xmi [xmin n xmax ymin ymax]) ymax]), donde se indican respectivamente los valoress m´ınimos valore ıni mos y m´aximo aximo de x, y m´ınimo ınimo y m´ m aximo ´aximo de y.

3.3.

Representacio Representaciones nes 3D: l´ıneas, contornos y superf sup erf´ ´ıcies.

Hasta ahora hemos obtenido gr´aficas aficas en dos dimensiones a partir de funciones dependientes de una sola variables. Si las funciones dependen de dos variables (o m´as) as) se necesitan representaciones de orden superior. Para ello,   Octave   incluye distintas funciones funcio nes para la represen representaci´ taci´ on on tridimensional. A continuaci´on on vamos a explicar las funciones funcio nes b´ asicas asicas para crear tres tipos de gr´aficas: aficas: l´ıneas 3D, superficies y contornos.

3.3.1.

L´ıneas

Se pueden representar l´ıneas ıneas en el espacio tridimensional con la orden   plot3(x,y,z) de   Octave, donde   x,  y  y   z  son funciones de un par´ametro. ametro. Por ejemplo, las siguientes Ingenier´ıa Qu´ımica

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3-8

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D ecuaciones generan una curva en tres dimensiones a medida que var´ var´ıa el par´ aametro t metro  t:: x   =   e−0.05tsin sin((t) y   =   e−0.05tcos cos((t) z = t Esta curva se puede representar con las siguientes ´oordenes rdenes   Octave, dando lugar a la figura que se muestra a continuaci´on: on:  t = [0:pi/50 [0:pi/50:10* :10*pi]; pi];

plot3(exp(-0.05*t p(-0.05*t).*sin(t ).*sin(t), ), exp(-0.05*t).*cos( exp(-0.05*t).*cos(t), t), t)  plot3(ex  xlabel(’ xlabel(’x’), x’), ylabel(’y’), ylabel(’y’), zlabel(’z’), zlabel(’z’), grid(’on grid(’on’), ’), replot

line 1

z

 35  30  25  20  15  10  5  0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 x

 0

 0.2

 0.4

 0.6

 0.8

 1 −1

 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8

 1  0.8  0.6  0.4  0.2 y

Figura 3.6: Curva 3D.

Ejercicios 

5   Ejecuta Ejec uta las l´ııneas ne as de c´odigo odigo anteriores en  Octave para obtener la gr´afica afica de la Figura 3.6 Figura 3.6..

3. 3.3. 3.2. 2.

Super Superfic ficies ies

La funci´oon  n   z   =  f (  f (x, y ) representa una superficie en un sistema de coordenadas  coordenadas   xyz. xyz . Antes de realizar la representaci´on, on, es necesario crear una malla de puntos en el plano xy   para calcula el valor de   z  en cada uno de ellos. Para ello,   Octave  dispone de la funci´on on   meshgrid. La sintaxis de esta orden es: [X, [X, Y] = meshgr meshgrid( id(x,y x,y) )

donde   x   e   y  son vectores con los valores de esta variables.   X  es una matriz en la que el vector  x  se copia en cada una de sus filas, e  Y  es una matriz en la que el vector   y  se copia en cada una de sus columnas. De esta forma, podemos trabajar con las matrices X   e   Y   para obtener una matriz   Z   en t´ erminos erminos de la funci´on on representada. El uso de  meshgrid  se ilustra con el siguiente ejemplo sencillo: Universitat Jaume I

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3.3 Representaciones 3D: l´ıneas, contornos y superf´ıcies.

3-9

 x = [1:5] ; y = [6:10];  [X, [X, Y] = meshg meshgrid rid(x, (x,y); y); X

X 1 1 1 1

= 2 2 2 2

3 3 3 3

1 2 3 Y Y = 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10

4 4 4 4

5 5 5 5

4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10

Una vez calculada la malla de valores  X  e  Y , y con ellos la matriz  Z , utilizaremos la funci´oon n  mesh(X,Y,Z)  para crear la superficie. Veamos un ejemplo en el que se genera la superficie de la funci´oon z n  z   =  xe −[(x−y ) +y ] para   −2 ≤ x ≤ 2 y   −2 ≤ y   ≤ 2 con un espaciado de 0. 0.1. 2

2 2

[-2:0. 0.1: 1:2] 2]; ; y = x;  x = [-2:  [X, [X, Y] = meshg meshgrid rid(x, (x,y); y);  Z = X.*exp(X.*exp(-((X((X-Y. Y.∧ 2).∧ 2+Y.∧ 2));  mesh(X,Y,Z), xlabel(’x’), ylabel(’y’), zlabel(’z’) line 1

z

 0.5  0.4  0.3  0.2  0.1  0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5  2  1.5  1 −2

 0.5 −1.5

−1

−0.5 x

 0 −0.5  0

 0.5

 1

 1.5

y

−1 −1.5  2 −2

Figura 3.7: Superficie 3D.

Ejercicios 

Ejec uta las l´ıneas ıne as de c´odigo odigo anteriores en  Octave para obtener la gr´afica afica de la Figura 3.7. Figura 3.7. 6   Ejecuta

Ingenier´ıa Qu´ımica

Programacion ´   en Octave 

 

3-10

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D

3. 3.3. 3.3. 3.

Cont Conto orn rnos os

Las representaciones topogr´aficas aficas muestran los contornos terrestres mediante l´ıneas de altura constante. Estas lineas se conocen como lineas de contorno. Si  caminamos  a lo largo de una de estas lineas, la altura se mantiene constante.   Octave  dispone de la funci´on on   contour(X,Y,X), que se utiliza de una foram similar a  mesh:  x = [-2: [-2:0. 0.1: 1:2] 2]; ; y = x;  [X, [X, Y] = meshg meshgrid rid(x, (x,y); y); ∧

∧

∧

 Z = X.*exp(X.*exp(-((X((X-Y. Y. 2). 2+Y. 2));  contour( contour(X,Y,Z), X,Y,Z), xlabel(’x’), xlabel(’x’), ylabel(’y’), ylabel(’y’), zlabel(’ zlabel(’z’) z’)   0.4   0.3   0.2   0.1 −2.78e−17  2   −0.1   −0.2  1.5   −0.3   −0.4  1  0.5  0

y

−0.5 −1 −1.5 −2 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

Figura 3.8: Contorno.

Las representaciones de contorno y superficie pueden combinarse con la funci´on on  meshc(X,Y,Z) .  meshc(X,Y,Z), xlabel(’x’), ylabel(’y’), zlabel(’z’)

z

 0.5  0.4  0.3  0.2  0.1  0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5  2  1.5  1 −2

 0.5 −1.5

−1

−0.5 x

 0 −0.5  0

 0.5

 1

 1.5

y

−1 −1.5  2 −2

Figura 3.9: Contorno+superficie.

Ejercicios   7   Ejecuta las l as l´ıneas ıneas de c´odigo odigo necesarias en   Octave  para obtener las gr´aaficas ficas de las Figuras  ras   3.8 3.8 y  y  3.9  3.9..



Universitat Jaume I

Guil lermo Peris Ripol l´ es  

 

3.4 Aplicaci´ on

3.4. 3.4.

3-11

Ap Apli lica caci ci´ o ´ on n

A continuaci´on on se muestra el programa que resuelve la aplicaci´on on expuesta al principio del tema. Las unicas ´unicas novedades que introduce son el uso de dos nuevas funciones: axis: Esta funci´ on on recibe como argumento un vector de 4 o 6 componentes, en

funci´on on de que la gr´afica afica sea bidimensional o tridimensional. Por ejemplo, en el presente caso los 6 elementos del vector ser´ ser´ıan los valores valores m´ınimos y m´aximos aximos de  de   x, seguidos de los valores m´ m´ınimos y m´aximos aximos de y de  y , y por ultimo u ´ ltimo los valores m´ın ınimo imoss y m´aximos aximos de  de   z . La gr´afica afica utilizar´a estos valores para los l´ımites de cada uno de los ejes. view: Esta funci´ on on permite cambiar el punto de vista de una funci´on on 3D. Para entender mejor su uso, ejecuta la ayuda de   Octave  ( help view).

Por lo dem´ as, as, no presenta demasiadas complicaciones, as´ı que trata de entenderla por ti mismo, y ejec´ utala utala en   Octave  para comprobar que obtienes el mismo resultado. % Limp Limpiamo iamos s variabl variables es y graficos graficos (si existen) existen). . clear clg % Definici Definicion on de constan constantes tes y vectore vectores s iniciale iniciales. s. A=200; Theta Thet a = 20:10:15 20:10:150; 0; h = 2:20; % Cr Crea eamo mos s la ma mall lla a de va valo lore res s (x (x,y ,y) ) y la func funcio ion n p. [alt,Th] [alt ,Th] = meshgrid meshgrid(h, (h, Theta); Theta); c = (A (A-a -alt lt. .∧2./tan(Th*pi/180))./alt; p = c + (2*alt./ (2*alt./sin( sin(Th* Th*pi/1 pi/180)) 80)); ; % Realizam Realizamos os la represe representac ntacion ion grafica. grafica.  meshc(Th,alt, 1./p) title(’V titl e(’Veloc elocidad idad de flujo flujo en un canal’) canal’) xlabel(’Theta xlabel(’T heta (Grados)’), (Grados)’), ylabel(’Altura ylabel(’Altura (cm)’), zlabel(’1/p’) axis([ axi s([0 0 160 160 0 20 0.008 0.008 0.03]) 0.03]) view(30,15), view(30,1 5), replot

Ingenier´ıa Qu´ımica

Programacion ´   en Octave 

 

3-12

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D

Velocidad de flujo en un canal

1/p

 0.03  0.025  0.02  0.015  0.01

 0

 20

 40  60  80 Theta (Grados)  100

 10  120

 140

 5  160

 20  15 Altura (cm)

 0

on on del flujo de un canal de agua. Figura 3.10: Optimizaci´

Universitat Jaume I

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3.5 Ejercicios pr´acticos

3.5.

3-13

Ejercicios pr´ a acticos cticos

Es conveniente que pienses y realices los ejercicios que han aparecido a lo largo de la unidad marcados marcad os con el s´ımbolo b antes de acudir a la sesi´on on de pr´acticas acticas correspondiente. Deber´as as iniciar la sesi´on on realizando realizando los ejercicios ejercicios marcados marcados con el s´ s´ımbol ımboloo . A continuaci´on, on, deber´as as hacer el mayor n´umero umero de los ejercicios siguientes. Ejercicios 

on on de Van der Waals para un mol de gas:   8   Consideremos de nuevo la ecuaci´ P   P   =

a   RT    −  2 V   − b V 

Escribe un programa  isotermas.m  que pida al usuario los valores de   a   y   b, y represente una gr´afica afica con las isotermas del gas (P en funci´on on de V, para un valor constante de T) a 100, 200, 300 y 400 grados grados cent cent´ıgrados. ıgrados. Recuerda Recuerda que en la ecuaci´ ecuaci´ on on de Van der Waals la temperatura debe expresarse en Kelvin. Cada curva debe ir con un trazo diferenciado, con el texto que indique la isoterma que se ha representado, representado, as as´´ı como el t´ıtulo de la gr´ afica afica y la etiqueta de los ejes. Comprueba el funcionamiento correcto del programa con el benceno, para el cual a cual  a  = 18.78 atm 18.78  atm · l/mol2 y  b  = 0.1208 l/mol 0.1208  l/mol.. Ecuacion de Van der Waals: Isotermas 25 T=100ºC T=200ºC T=300ºC T=400ºC 20

15

     )     m      t     a      (     n     o      i     s     e     r      P

10

5

00

Ingenier´ıa Qu´ımica

10

20

30

40

50 Volumen (l)

60

70

80

90

100

Programacion ´   en Octave 

 

3-14

Representaci´oon n gr´afica afica 2D y 3D   9   Se consideran consideran 4.003 4.003 g. de helio y 39.944 39.944 g. de arg´ on on y se someten a cambios de presi´on on a la temperatura de 0 grados Celsius, obteni´endose endose las siguientes tablas de valores: valores:



´ a 0o ARGON P( P(at atm) m) V( V(l) l) 1. 1.00 0000 22 22.4 .4 11 11.1 .100 2. 2.00 0000 32 32.7 .799 0. 0.66 6677 43 43.3 .344 0. 0.50 5000 53 53.6 .688 0. 0.40 4000

HELIO a 0o P( P(at atm) m) V( V(l) l) 1.00 1.0022 22 22.3 .377 0.80 0.8067 67 27 27.7 .788 0.68 0.6847 47 32 32.7 .733 0.53 0.5387 87 41 41.6 .611 0.35 0.3550 50 63 63.1 .100

63 63.6 .688 0. 0.33 3333 0.19 0.1937 37 115. 115.65 65 Representa gr´aficamente aficamente el volumen frente a la presi´oon n en ambos gases. Comprueba que el helio es un gas que verifica la ley de Boyle-Mariotte:  P   × V   V   =  constante  constante,, pero que el arg´on on no cumple exactamente esta ley. Para ello, deber´as as representar el producto producto P  P V  para V  para cada gas. El programa se llamar´a  mariotte.m. 25

120

Argon a 0ºC

Helio a 0ºC 110

20

100

90

15

80

     )      l      (     n     e     m     u      l     o      V

     )      l      (     n     e     m 70     u      l     o      V

10

60

50

5

40

30

20 0 .1

0.2

0.3

0.4

0 .5

0 .6 0.7 Presion(atm)

0.8

0.9

1

1.1

0 0

20

40

60 Presion(atm)

80

100

120

40 Argon a 0ºC: P*V

22.416 Helio a 0ºC: P*V

38 22.414

36 22.412

34

22.41

32       V       * 30       P

      V       * 22.408       P

28 22.406

26 22.404

24 22.402

22.4

Universitat Jaume I

22

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

20

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Guil lermo Peris Ripol l´ es  

 

3.5 Ejercicios pr´acticos

3-15

10   Uno de los modos normales de vibraci´ on on de d e la l a mol´ m ol´ecula ecul a d dee CO 2  consiste en la extensi´on on lineal de los l os enlaces en laces carbono-ox carbo no-ox´´ıgeno.



A

B

C

O

C

O

R

R

AB

BC

Podemos obtener una aproximaci´oon n a llaa eenerg nerg´´ıa de vibraci´on on de este modo normal mediante el potencial de Morse, seg´ un un la siguiente ecuaci´on: on: E vib  =  V A + V B , vib  = V  AB B (RAB ) + V  BC  C  (RBC  ) donde



−2AXY   (R−BXY   )

V XY   e XY   (R) =  d XY  

−AXY   (R−BXY   )

− 2e



  .

En esta ecuaci´on R on  R XY   es la distancia entre los ´atomos X  atomos  X    e  Y  ,   , y el resto de par´ametros ametros para ˚ el CO2  son:  son:   dAB   =  d BC   = 7.65 65eV  eV  , b  ,  b AB   = b BC   = 11..162A. Variando los valores de   RAB   y   RBC , obt´en en la superf´ıcie ıcie de energ´ııaa potencial potenci al para este modo normal de vibraci´on on del CO2 , y la superf´ superf´ıcie de contorno asociado. Superficie de energia potencial del CO2

Energia (u.a.)

 35  30  25  20  15  10  5  0 -5 -10 -15 -20  2.6  2.4  2.2

 0.6  0.8

Ingenier´ıa Qu´ımica

 1

 1.2  1.4  1.6  1.8 RAB (Angstrom)

 2

 1  0.8  2.2  2.4  0.6  2.6

 2  1.8  1.6  1.4 RBC (Angstrom)  1.2

Programacion ´   en Octave