3 - Función Afín Teoría

 

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Introducción al Análisis Matemático  Prof Patricia Borace

Función

fín

 

Se denomina  func  funcii ón afín fí n a la función polinómica de primer grado del tipo  y   f  x   a x  b , donde a y b  son número reales.

 

............................................. .............................. ........................................... ............................

.........................................................................

 y  a x  b   a , b 

 

........................................... ............................ ............................................. ..............................

.......................................... ........................... .............................................. ...............................

Su dominio es……… porque es el conjunto más amplio de número reales para el cual la fórmula tiene sentido. El gráfico de una función afín es u na ………………………… no vertical. 

PENDIENTE: La

pendiente  (a) es el cociente entre la variación de la variable dependiente (   y ) y la variación de la

variable independiente (   x ) de cualquier punto de la misma. En consecuencia, si llamamos (eje x ) tendremos que:

a

al ángulo que la recta determina con el semieje positivo de las abscisas

  ˆ

 

 tg      y     xy  xy   x   ˆ

2

1

2

1

  y

   x

El coeficiente a es el

responsable responsable de la………………………………………….  por eso se llama pe  pend ndii ente nte y

determina que una función afín sea ……………………… , ……………………… o ………………………  

 

2

El carácter con el que la función afín crece, decrece o se mantiene constante lo hace a lo largo de todo su dominio sin alteraciones; a este comportamiento se lo caracteriza como la monotonía del crecimiento.

a ..........0  

a ..........0  

a ..........0  

 f ( x) es .......................................... ..........................................

 

 f ( x) es .......................................... ..........................................

 f ( x) es .......................................... ..........................................  

 

   es .............................  

   es .............................  

ˆ

ˆ

ORDENADA AL ORIGEN: Toda recta que no sea vertical corta al eje de ordenadas (eje ordenadas (eje y ) en un punto en el cual  x    0 , dicho punto es la ordenada al origen de la función afín.

FUNCIÓN LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Si en una función afín, b  0 , entonces la función se denomina lineal   o de  proporcionalidad directa. directa. Es   decir, una función lineal o de proporcionalidad directa es aquella que pasa por el origen de coordenadas, o sea por el punto ................... . Por ejemplo:

 y 

2

x

3  

 y   2 x

 

FUNCIÓN IDENTIDAD:  Se llama función identidad a la función lineal cuya pendiente es uno, o sea,  y  x . Esta función toma los mismos valores de la variable independiente a medida que varía la variable dependiente. La recta que forma esta función contiene las bisectrices del 1° y 3° cuadrante de los ejes cartesianos. Entonces, es posible deducir, que su ángulo de inclinación es de 45°. y





45° x























 

3 1

Ej.1: Dada la función  y   x  1 indicar:  

2

Pendiente: ……………

Ordenada al origen: ……………

Dom ( f ) = ………

Ángulo de inclinación: ………………………………………... Intersección con el eje x eje  x: …………………

C 0   ........................................

 

C 

 f ) = ……..  Im ( f 

 f(x)  es ………………………………...   f(x)

Intersección con el eje y: ………………………. 

 ........................................

 

C 

 ........................................ 

Graficar (en hoja milimetrada) y verificar todas las respuestas analíticamente, al dorso.

ECUACIÓN DEL HAZ DE RECTAS:  por  P , excluyendo la recta paralela Dado el punto  P   x ; y  consideremos el conjunto de rectas que pasan por P    al eje y eje y,, que corta al eje x eje x en  en x  x = x1 :

Como:

1°) La ecuación explícita de cualquiera cual quiera de estas rectas es:  y  a  x  b  (1) 

2°) Todas las rectas que pasan por P, en particular para (1) se verifica:  y1  a  x1  b  (2)  Restando m.a.m (1) y (2) resulta:

 y - y1 = a  x - x 1   

Ecuación del haz de rectas con centro en  P   x1 ; y1   

 

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Ej.2: Hallar la ecuación explícita de la recta “ R” cuya pendiente es 2 y pasa por el punto     . Verificar gráficamente al dorso. 

ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS:  De todas las ecuaciones que pasan por el haz de rectas con centro en       , si escogemos a la que  pasa también por el punto       , se desprende:

a   y  y  x  x 2

1

2

1

(1)

 y - y1  a  x -  x1 

 

 (por definición de pendiente)

(2)

  (por ecuación del haz de rectas)

Reemplazando (1) en (2):

 y  y   1

 y  y  x   x 2

1

 

2

1

 x x    1

Despejando:

 y - y1 y 2 - y 1  x - x 1 = x 2 - x 1

 

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ej.3: Hallar la ecuación explícita de la recta “ T” de la recta que pasa por los puntos    y    .

 

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FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

1)  FORMA EXPLÍCITA:  y  a x  b   -  Los parámetros principales son a que es la pendiente y b que es la ordenada al origen. -  Para obtenerla, se despeja la variable y variable y..

 

2)

 FORMA IMPLÍCITA:   A x

  B y C  0  

-  Los coeficientes son números enteros (     ). -  Para obtenerla, se iguala a cero.

3)  FORMA SEGMENTARIA: Si  R  R   es la recta, cuyas intersecciones con los ejes  x   x  e  y  y   , son respectivamente los puntos de coordenadas

    y     siendo     y   , aplicando la fórmula que da la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, resulta:  y  0  x  p



0q

p0

 

luego, despejando:

q  p

 x  y  q  

dividiendo m.a.m por q se obtiene:

 x  y    p q 1  Ecuación segmentaria de la recta -  Donde  p  p:: abscisa al origen y q: ordenada al origen. -  Para obtenerla, se iguala a uno y se buscan las intersecciones con los ejes. 1

3

2

2

Ej.4: Dada la recta  R : y  x   expresarla en forma explícita, implícita y segmentaria: .... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......  ..... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... .......  .... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......  ..... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... .......  .... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......  ..... ......... ......... ......... ........... ........... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ........... ....... 

 

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POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS: Dos rectas en un plano pueden ser paralelas ( // ), perpendiculares (  ) u oblicuas ( ).

CONDICIÓN DE PARALELISMO   Dos rectas son

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD

paralelas sí y sólo sí sus pendientes Dos rectas son perpendiculares  sí y sólo si sus  pendientes son opuestas e inversas.

son iguales.

  //       

       

 

 

Ej.5: Hallar la ecuación de la recta S  que   que pasa por le punto      y es paralela a la recta      . Verificar gráficamente.

recta  P  que  que pasa por el punto     y es perpendicular a     . Ej.6: Hallar la ecuación de la recta P  Verificar gráficamente.

 

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos. Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras: Sean los puntos  A  ( x1; y1 )  B  ( x2 ; y2 )   2

 D AB  

2

........................  ........................

 

2

2

 D AB   .... ...... .... .. ... ..... .... ....  .... ...... .... .. ... ..... .... ....

 

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:  Para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento, calculamos la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Sean los puntos  A  ( x1; y1 )  B  ( x2 ; y2 ) , las coordenadas del punto medio son:

   .. ..... ..... .... ..  ... ..... ..... ..... ... ...... ..... .... ..  ... ..... ..... ..... ..  ;   2 2  

Punto medio de  AB  M   

Ej.7: Sean los puntos  A  (3 ;1)  B  (3 ; 2) se pide:

a)  Hallar la distancia de  AB : ………………………………………… 

b)  Hallar el punto medio de  AB : ……………………………………… 

 

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ECUACIÓN DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: En Geometría, se define a la mediatriz como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los

es una recta perpendicular que pasa por

extremos de un segmento. El ente geométrico que la representa

el punto medio de dicho segmento .

Sea el punto  P  ( x ; y) equidistante de los extremos del segmento:  A  ( x1; y1 )  B  ( x2 ; y2 )    

d  P, A   d  P , B

 

2 2 2 2 ............  .............  ..............  ..............   Ecuación de la mediatriz de un segmento

Ej.8: Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos  A  (2; 5)  B  (4; 7) . Verificar gráficamente.

 

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DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: La distancia de una recta a un punto no perteneciente a la misma, es la longitud del segmento perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado.

recta R: Ax+By+C = 0 está 0 está dada por la siguiente fórmula: La distancia de un punto  p  ( p1; p2 ) a una recta R:  

d ( p, R) 

 A p1  B p1  C   A

2

B

2

 a la recta de ecuación       . Verificar gráficamente. Ej.9: Hallar la distancia del punto     