3 Echave Delia Teresa Logica Proposicion y Norma

DELIA TERESA ECtlA v 1:.,

MARtA EUGENIA URQUIJO RICAHDO A. GUIBOURG

I!

.Lógica,

. . p.ropOSlClon """

y norma

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E DITOHIA L

ASTI\EA .

DI-: ALfHEJ>O y HICAHOO DEi'ALMA IIUE!'Ii)S AIIIES

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FILOS()FIA y [)EHECI-IO 9 I

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PRÓLOGO

La lógica ocupa una posici6n muy peculiar dentro del IXinorama de las ciendas. Mientras que las demás ciencias se formaron paulati~arnente a través de una larga e incesante evolución y son, por 10 tanto, fruto -QCl esfuerzo colectivo de muchos hombres. la ló~ica nació como obra de un solo hombre. Al igual que don Fulgencio, nunca tuvo infancia; como Palas Atenea de la cab.cza de Zeus, nació tan desarrollada y perfecta (tal fue nI menos la creencia generalizada) de la cabeza de Aristóteles, que durante veintidós siglos casi no experimentó crecimiento alguno. a pesar de haber sido inten· . samcIIte cultivada en la Antigiiedad, en la Edad Medi:l y también -aunque con menor intcnsidad- ~n la Edad ~lo· derna. Hubo cicrtament~ desarrollos interesantes (especialmente por parte de los lógicos antiguos y mediocvales), pero el núcleo de la teoría aristotélica permaneció incólhrr.,! hasta muy avanzado el siglo XJX. En est~ sentido es mur :característica la conocida opini6;1 de Kant de que la 16gica es una. ciencia perfecta, acabada, en la que no cabe esperar avance alguno. Hoy estas palabras suenan como una cruel ironía; pocos años después de h~berse escrito, la lógica experimentó un avance tan rApido y profundo que aún hoy hay gente que se niega a recouoc'er que se trata de la misma disciplina..

~

lU

En efecto. en la segunda mitad d(·1 siglo ("!

este siglo, el desarrollo

uc

XJX

y en lo que va

la lógica f uc tremendo; es

si las energías acumuladas durante más de dos Inil ailps estallaran de pronto en ulIa cdosióu mra V~'z vista en li historia de la d~ncia. Este TApidn desarrollo de la lógica tuvo su Jado ncg~tivo: 110 hubo tiempo para su difusión entre Jos no esp,,-cialistas y, en cons(~c\lencia. la' lógica 110 ha sido c..1('bilbmellte asimilada por la cul! ura geIlcral de nue~;t fa épo~a. Existen bihliotecas enteras de libros y artículos alt1r~eJltc especializados. ('scritos en un lengu:ijc que parece c.lda vez más esotérico, que (ksarrolbn técnicas cadu vez m~s sutiles y refinadas. Pero este alto desarrollo técrtico no fue ncompañado en grado suficiente por las obras de divulgación, de lrrodo que la lógica se ha convertido en algo totalmente inacccsihle para Jos no especialistas y el p{d}!ico culto en general tiene de q»» como

"si es de noche, hace frío". Coo1prendenlos fácilfilente los casos priInero y tercero de la tabla: si es de noche y hace frío, lo afinnado es cierto; si) en calnbio estamos en una de esas noches de verano en que el termónlctro no baja de treinta grados. J

S8

LÓGICA, I'nnrOsh.....

nuestro condicional rneteorológico resulta cláranlente injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto :dgo parece Inarchar rnal: si el antecedente es falso (es deci r, si no es de lIoci le), ¿cónlO puede afirrnarse

q

Pero al Jnismo tierrlpo es obvio que yo no soy ja-

ponés (si esto no fuera claro para todos, la broma no funcionaría: es de suponer que los japoneses usan la expresión "yo soy sanlíagueilo").· Es decir Cjue el consecuente es falso. Ahora bien, cOlno nuestra hipótesis cOllsistÍa en fIne la fónnula p ::> q es verdad, dchelnos buscar en la tal> la del condicionalul1 case) en que J icho supues-

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to resulte cornpatihle con la fal~edad del consecuen-

te.' Si 10 hacernos> hallarenl0s que el lÍnico caso en que tal cosa ocurre es el CU:lrto: en él el consecuente es rabo y la fúnnula cOlldicional verdadera, ¡Jero el antecedente es falso. Hcsulta de allí que, si es vcrdad que si la lógica es sencilla, )'0 soy japonés lj es falso que yo sea japonés, entunces tiene que ser falso q \le la ]{)gica sea sencilla. Después de este anúlisis es prubahle que la brOl1ltt resulte lllcnos graciosa; pero, () hien habrernos C0111prendido la paradoja del conoicionaI, o bien estare-

••·t ••:. ,IC

61

LAS CONECnVAS.

HlOS

dispuestos a pedir la ciudadanía japonesa con la

esperanza de facilitarnos la tarea. Aclarada, pues, su tab~a de verdad, podemos advertir c¡ue el conuicional expresa cierta situación que en los hechos puede darse respecto de dos est~Hlos

de cosas: uno cuya descripción simbolizaren10s con)o "p" y otro cuya descripción sirnbolizarernos COl1"}() "qH. Nonnalmente decirnos (pIe el antecedente es c07ulición del consecuente; pero lógicos y fil'-)$'Jfos -fIue hilan Hlás fino- distinguen dos tipos de condición: la necesaria y la suficiente. El hecho p es condición suficiente de q cuando conocer la verdad de p" permite afirnulf la verdad de "qu. Dado un cnuncinuo condicional que supong q

I

I

V V ;V V V', F V F V v~

I

y F¡·Y·F F. F F¡!F'V: F ...

C'orno puede observarse) la fónTlula "p ::> q" es contingente: corresponde a proposiciones que dicen algo sobre el mundo y cuya verdad depende d:; que

el valor de verdad del antecedente y del c-onse-

7·i

LÓGICA, l'ROPO:

cuente se cOlnbincn en la realidad según una u otras de las rnancras Cnl..lIllCradas en la t.abla. A Inenudo HsanlOS el condicional para expresar una rcbci6n ca usa} ('\i torno vitarnina e estaré a salvo de rc~f ríos" L o las cond iciones para lCHna r una decisión ("si a pruebo él exa nlen il é a Llljftn a pie"), () para seflalar que un llecho es indicio de otro ("si la~ luces est:\n apagadas, no hay nadie en casa"); pero ninguno estos vínculos ernpíricos es indispensable para la verdad del condicional. E3ta conectiva es poco exigente, y se contenta con una correspondencia de hecho, aunque sea circunstancial o casual. "Si torno café, 110verá mañana" será verdadt~ra si runbas cosas ocurren, aunque entre ellas no exista relación alguna. Es nlás: l¡lInbién s~rá verdadera si llueve lnal1ana, aunque yo no tome café ho)'; y otro tanto si no tOIno café, cualesquiera sean 1:15 condiciones rneteor.ológicas del día siguiente. De todos rnodos, lo ~ que irnporta destacar es que cualquiera de estos cora.1icionales (u otro seniejantc que pueda in1agina'rsc) será falso o verdadero según exista o no un estado de cosas capaz

uc

de verificar el antecedente

y

hacer falso,

al

InisillO

tiernpo, el consecuente. Supongarr\os, en cambio, esta otra fórmula: ·1

p

~

(p v q)

Una interpretación adecuada sería, por ejclnplo, "si soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que para ser abogado o violinista basta con ser abogado

l

y basta también con ser violinista (sin excluir, por cierto, la eventualidad de un letrado aficionado al vio] Ín): todo abogado es abogado ó violinista (o zapatero, o astronauta); de lnodo 'que el condicional de nuestro ejernplo es tal que la afinl1aci.ón del

obliga a afirnlar el consecuente 12 Para probarlo, construyarnos una tabla de .,.'!~rdad

antecedente

fWS

en la que p " corresponda a '''soy abogado') ~ "q" a soy violinista": Cl

H

p q

- -

V V

jp

~

V V F Vi F V V V

V¡F F F

(p v (1)

VVV FVV VV F

F V FFF

Nos encontranlos, pues, ante un condicional tautológico. En uno de los ejen1plos anteriores podía darse el caso de que las luces estuvieran apagadas y hubiese alguien en casa (lo que detenninarÍa la falsedad de] condicional rnaterial); pero si soy ahogado no puedo dej(lr de ser abogado o violinista, de Jl10do que la verdad de este condicional depende eJe su estructura f ornlal, y no de su correspondencia

con la realidad eHlpírica. ' ¿Por qué hay condicionales tautológicos? Lo que ocurre, en verdad, es que el enunciado que apa .. J2 Una disyunción ('S vcrdatJera cuando .tI menos uno de sus componentes lo cs. Por lo tnnto, hajo el liupucslO de verdad de p estamos obligudos n llhiuuir \'crdaJ n la disyunción 'lue tiene a "p'. como uno de sus Jisyuntos ..

76

rece en el10s corno consecuen te ya está' contenido en el antecedent.e: de allí que, en el supuesto de verdad del t'1'lunciado rnás restringido~ no podarnos negar la proposición cuya verdad exi ge Incnos requisitos. 'Tal es, llespués de todo, el principio rector de cualquier razonaIniento deductivo: si la' vcn1ad de las prc1l1isas nos garantiz.a la verdad de la conclusión, es porque ésta ya estaba contenida -de un Inodo u otro- en aquéllas. Tan irnportante resulta esta relación para la lÓgica que ha merecido un nÓlnbre propio: cuando un enunciado está incluido en otro, de tal 11lanera que la verdad de este último garantiza la verdad del anterior, Jccinlos que Inedia entre alnbos una rclaci6n de irnplicnción (tanlb{(!n l1alnada inlplicación lormnl, estdcta o lógica). ASÍ, todo enunciado cuya verdad asegura forrnnlnleTlte la verdad de otros enunciados inlplíca a cada uno de éstos. T'odo condicional forrnado de 1l1anera que el antecedente Ílnplique a) consecuente será. tautoltlgico; y, a la inversa, todo condiciounl tautológico indica una relaci6n de irrlpiicación entre su an~ecedente y su consecuente.

IIa de quedar en claro qu~ no toclJ condicional encierra una irrlplicnciún: para ello se requiere que el condicional sea tautológiCo. . '...Jos condicionales contingentes, COn1Q ya se 11ft visto, describen una situación de hecho, por lo q l1e su verdad estA sujeta n la realidad de esta rnisrna situación. Pero no es lógicamente posible un estado de cosas en que el

,

,

TA UTOLOC1.A, CONTRADJCCI0N y CONTINGf.¿"'lCL\

condicional tautológico o inlplicación resulte falso: la imp]¡cación -vacía de contenido enlpírico como todas las tautologías- no se refiere a los hechos ni afirrna cierta relación entre éstos: simplemente da cuenta de una relación abstracta, puramente lógica, entre proposiciones. Un hecho puede ser causa de otro, pero no puede implicarlo: la implicaci6n faonal es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de los hechos tendría tan poco sentido como afirmar que el número 17 es yerno del 9, o que el edificio Cavanagh es un sublnúJtiplo de ,la Casa Rosada. Como la Ílnplicación es un caso especial dentro del género de 105 condicionales, entre sus elementos puede observarse tarnbién la relaci6n de condición necesaria y de condición suficiente. En la fórInula p :::> (p' v q) u, p es condición suficiente de p v q, ya que garantiza su verdad. Y p v q es condición necesaria de p: si p v q no fuera verdadera resultarían falsas tanto p como q (por la tabla de verdad de 'la disyunción); y entonces el antecedente p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de un condicional tautológico, la, necesidad o ]a suficiencia con que antecedente y consecuente son condiciones uno del otro no son l1wteriales (es' decir, relaciones de hecho, dependientes de la verdad o falsedad de cada uno), sino fonnales, de naturaleza estrictamente l6gica. Así, en la hnplicación es lógicanwnte necesario que el consecuente sea verdadero si el antecedente 10 es, y es 16gIca1nente imH

78

lix:¡CA, I'HOPOSk..

lJo,yihle que el antecedente sea verdadero si el con· seCllcnte no lo es.

5. EquivulclH.:ih

Cuando por l'(l;:ones lógicas Jos proposicIones tienen sielnpre el rnisrno valor de verdad, podemos forn1ar con ellas un bicondiciolWl tautológico. Esto ocurre" por cjernplo, con el enunciado cc soy abogado si y sólo si soy ahogado", cuya estructura corresponde a la f6rmula p =: p" y cuya tabla de verdad es la siguiente: 41

p

I p ::.:-,;

p

-,----

v

VVV FI F V F

Así con10 todo condiciona 1 tautológico expresa una ilnplicaci6n, todo bicoudiciollal tautológic..'O expresa una equivalencia. })05 enunciados son equivalentes cuando Inedia entre ellos una relación tal que la verdad de uno garantiza forn1ahncnte la del otro y viceversa, y que la falsedad de uno asegura forn1~ Imente la falsedad del otro y viceversa. I)el rnismo n10do que la Ílnplicación, la eq uivalencia es \1na relación entre proposiciones y no un vínculo entre hechos. Un biconuiciona-l contingente ( "hace frío si y sólo si rlle visto de azur') puede resultar verdadero porque eventualrnente sus dos térrninos tengan en un rnornento dado el rnis-

n10 valor de verdad; pero es 16gicanlcnte inlposible la exist.encia de un estauo de cosas en que la equivalencia resulte falsa, por lo que ésta --conlO cual(luier tautología- se encuentra desvinculada del

rnundo eJnpírico. Conviene hacer notar que) tal como acontece entre el condicional y el bicondicional, la equivalencia es una relación lnás restringida que la de implicación; cuando dos enunciados son equivalentes púclelnos afirrnar que cada uno de ellos ín1plica al otro (ya que la verdad de uno garantiza la verdad del rest~nte); pero, si sólo sabernos que un enunciado irnplica a otro, no podernos sin n1ás asegurar que alnhos son equivalentes. Co¡no una avenida de tloble Inano, la equivalencia contiene UOS inlplicaciones de sentido inverso .

.,:,

v LEYES LóGICAS y HEGLAS DE INFERENCIA

l. "Dura lex) sed lex··

I-Icnlos dicho antes que una de las tareas principales de la lógica ctJnsiste en buscar y probar las tnuto]ogÍas. Pero ¿no habíamos quedado en que la función de ]a lógica es establecer y contrblar la validez de los rnzonarnientos'? Pues bjen: alguna relación ha de existir entonces entre razonanliento válido y tautología, y esta relación puede observarse a través del concepto de ley. U na ley lógica es ~lna fórnHlla proposicional tal que, si en ella se sustituyen las variables por constantes del tipo a que ellas se refieren (en nuestro C3S0, por proposiciones), el resultado será sielnpre una proposición lógicamente verdadera.

¿Por qué una leyes una fónnuJu, y no una proposición? Existen proposiciones lógicamente verdaderas ("el cielo es azulo no lo es

n ;

'·'no es posible

82

U>Cl\.A, pnoPOS¡c.

que alguien sepa leer y escribir y sea a la vez analfabeto"); pero cada una de ellas, aisladamente considerada, es apenas un ejenlplo de una estructura lc')gica que detennina su verdad. Y, COIno ya sahenlos, el uso de variables (es decir, de símbolos abstractos a los que puede atribuirse un significado cualquiera de cierta categoría) permite aislar aquella estructura y distinguirla de otras, con total independencia del enunciado real en que ella se manifieste. Cada ley lógica enuncia una tautología, de tal modo que su verdad formal se Inantiene en t0dos los ejemplos que con su rnisnla estructura se obtengan por interpretación de variables. Ahora bien, todllS las tautologías son leyes lógica.s; y de allí proviene su irnportancia. Cada' vez

p

lIales. A C!it:l previsión (.·oH('sponot! t.1Jllhiéu el modo gcoerJco en que se ha odinldo el cOllccplo 0(' It'r: en t\ Mgica proposicional las varhdJles representan precisamente pr.oposidoncs; pero cn otros 1.:01pitulos de la lógica exblcu \'ariables de Jifereule natnfuJc:z.n.

84

LÓGICA, PROPOS1Ch

Es decir: 'H si hace sol, hace sor; o Hsi las bnljas \' .elun, vuelan". Esta írnplicación, sin embargo, t:, ¡le una :pec:uliarídad: como su antecedente y su cOllsecuent,e son idénticos, y por lo tanto. intercambiables, la relación entre 3rnbos fUIlciona tanto en sentido como en el otTo~ Hesulta de ello, pues,

un

t i . · una cqu1va 1encUl:

plEp a saber: toda proposici6n es equivalente a sí 1nis1rUl. Es más cornún, clnpero, enunciar el principio de identidad como una inlplicación.

b) El principio de no contradicción

El principio de no contradiccilSn establece que ningunIl ]1roposici6n puede ser verda'lera y falsa al 1Hisn~o tiernpo:

-.( p . -p) 1:n ocasiones anteriores hCInos utilizado ejemplos de contradicci0nes para mostrar intuitivalnenle ca-' S0S típicos de enunciados lógicanlentc inadlnisibIes: "Todavía Ine quedan algunas fichas para el teléfono, pero se file tenninaron"; e'la lun~ es redonda, pero no es redonda". Tales enunciados tienen la estructura sintáctica representada por la fórrnu]a :

p . -p' Pues bien, al negar dicha fórmula, el principio de

no contradicción indica precisarnente que cualquier

enunciado con esa estructura lógica es formalmente falso (una contradicción); y el propio principio,

que niega la contradicción, resulta forrnahnente verdadero (u~a la utología) .. e) El principio del tercero

e~cluido

El principio del te:fcero excluido puede enUllciarse así: toda proposición ,es verdadera o falsa. O, lo que es lo 11lisrno, o bien es verdad-el'a una proposición, o bien es verdadera su negl1ci6n:

p v-p Esta ley -que corresponde al carácter bivalente de la 1ógica que estudiarnos- fija dos (y s6lo dos) posibilidades para cualquier proposici6n) a la vez que excluye, como inexistente, cuaJqui~r tercera posibilidad que no sea su verdad o su fa,isedad: la pared puede ser Llanca o no ser blanca, "pero alguno de estos dos enunciados (lila Ilared es blanca'" y "la pared no es blancaf~) tiene que ser verdadero. Aquí es posible prcf.,runtarse.: si una proposici6n debe ser, necesarian1ente, verdadera o falsa (tercero excluido), péro no puede ser a la vez verdadera y falsa (no contradicción) ~por qué sinlbolizar el principio del tercero excluido con una disyuncibn incluyente? ¿No sería Inás propio utilizar la disyunción excluyente?· En efecto, la fónnula;

p =F --p

RO

LÓGICA, PROrnSlC¡

pcrrnitiría n1a~ar dos pájaros de un tiro, al resunlir en sí los principios de no contradicción y del tercero excluido. Pero la lógica nohu5cu ahorrar perdigOHCS, sino analizar los razonárnientos del Inodo lnús profun(lo p()sible. Y para qsto debe desnlenuzar las fórnlulas válidas y aislar las tautologías nlás clcnlcnta les, sin perjuicio de observar luego el rnodo en que puedan cOlnbinarse. La no contradicción y el tercero, excluido son tautologías diferentes, y su fonnuluci6n por separado pennite individualizarlas ¡nejor. Pero aún suele suscitarse una rcf]exióI1 más: ¿el principio del tercero excluido no resulta demasiado r¡guroso en relación con la realidad? Puede ser de día "puede ser de noche, pero también existe un nlornento del crepúsculo en que no es exactalnente de día ni de noche. Y algo senlejante puede decirse del color gris entre el blanco y el negro, y de la tihieza entre el frío y el calor) y de todos los térnli nos Inedios en cuanto resultan distintos de los

extrenlOS. Para aclarar este punto es nrcciso jistinguir la contradicción de la contrariedad. Dos proposicio~ nes son contradictorias entre sí cuando unn equivale a la negación de la otra, de tal nlodo que no pueden ser las dos verdaderas ni las dos falsas: n "llueve y Uno llueve"; "huce frío" y Uno hace frío", En calnbio, dos proposiciones son contrarias cuando son incolnpatibles (es decir) no pueden 'ser am .. has verdaderas) pero dejan entre ellas un espacio

.para otras posibilidades. ASÍ, contraria de 4'la pared es blanca" sería. 4'la pared es negra"; pero conn

tradictoria es C']a pared no es blanca • Contraria de HLeónidas era valiente" es "Leónidas era cobarde"; pe,ro contrqdictoria es "Leónidas no era valiente", o ~]o que es lo Inismcr- c'No es verdad que Leónidas fuera~ valiente·'. Dos proposiciones contrarias pueden ser ambas falsas, pero entre dos proposiciones contradictorias (es decir, entre una proposición y su negación lisa y llana) alguna tiene que ser verdadera. La pared es blanca o bien no . 10 es (por ser negra, gris, verde o de cualq Lier otro' color); y Le6nidasera valiente o bien no lo era (por ser cobarde o porque su valor no alcanzase el grado que la historia le atribuye) .. (

3. La justificación de los principios elementales .

. Cada uno de los tres principios tradicionales tiene una . justificación extrasistemática e intuitiva, y su uso puede advertirse en todos los razonan1ientos, incluso en 1«,1 construcción de las tablas de verqad. El principio de identidad es una nece.6idad de todo lenguaje: para hablar de un objeto o para describir un estado de cosas es preciso suponer que ese objeto o ese estado de .cosas es idéntico a sí nlismo" &1 n1enos en el momento al que nos referimos. La pirueta de una bailarina es un acto fugaz; pero una

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vez curnplida es posible recordarla y hablar de ella corno de una realidad fija :?or cOlnparación con la cual heITlOS de detern1inar la verdad o la falsedad

de la descripción que de ella se haga.

Si adoptá~e)nos una lógica en la que (por ejernplo) el COfl,~( l'lto de un estado de cosas fuera tan transitorio COIno el propio estado de cosas a q tIe .se refiere, no

hablar del soniJo de

t~na c~l1npana,

lli ,1(~1 sabor de un sorbo de vino, ni de ]a película que vinl0s ayer: palabras, nombres y descripciones tendrían vida tan corta que su uso resultaría inútil en la' nlayoría de los casos. Pues bien, una nluestra del uso de esta ley aparece en la lasignación de valores de verdad a las variables de una fónnulu. Si a una variable detern1inada C'q", por ejelnplo) helHosasignado el valor V para uno de los casos posi .. bIes de la tabla de verdad, dentro del tnismo caso ntribuirernos el valor V a cualquier nueva aparición de la variable HqU en la miSlna fórnlula. La no contradicción está estrechalnente vinculada con la identidad: si el lengua je ha de servir para translnitir infonnaciones, no sólo se requiere . 'que -cada proposición tenga siempre el nlislT10 valor de verdad: tall1bién es preciso que ese valor sea uno solo. Para esto las tablas de verdad asignan a cada fórmula un valor (y sólo uno) para cada ca .. so posible. Supongarnos por un lTIOIllento que, frente a una f6rnlula cualquiera, respetarnos el principio de identidad ll1c q)

(q:::> p )]

Definición del condicional: (p

::J

'1)

==

(p ::> q)' Ea

(-p -

v q)

(p . -q)

Negación del condicional: - (p ::> . q) -- (p . -q)

Transposición; (p

::J

q) ~

(-f} :J

-p)

Transitividad del condicional: [(p ::> q) . (q ::> r)] ::> (p ::> r)

Asociatividad de la conjunción: fp . (q . r)]

==

[(p. q).

r)

u Las equivalencia!! que pern1it~n trnnsfomlnr una conjunción eH disyullción y vice\ersn (por ello lIamada:s lelles de tTon. vfornwcMn) fueron enunciadas por el ulalemAtico y lógico Ingl~s Augu~hu De Morgan (1806-1871).

92

LÓGICA, rROPO!..

Asociatividad de la disyunción: f. p v (q

r)] == (

V

(p v (1) v

Asociatividad del hiconclicional: f. P T (CJ ::-.5 r) í(p =::.:

1":-:

r}

q) -- r

1

ConlYlutatividad de la conjunción: (p . q)

~

(q . p)

Conmutativjdad de la disyunción. (p v q) .::::: (q

V

p)

Conmutatividad del bicondicional: (p

E3

q) :::::: (CJ

==

. Distlibutividad de la conjunción

p) resp~cto

de la dis-

yunción: [p .(q v r)]

ES

[(p. q) y (p . r)]

Distributividad de la disyunción respecto de la conJunclon: [p v (q . r)] =:: [(p V q).(p.y r)] •

• I

Autodistributividad del condicional: [p ::l (q :J r)]

==

[(p ::> q) ~ (p

:J

r)]

Alodus ponens JI: (p ::::> q) . p] ::::> q El modus poncnf (cuyo nomhre completo en latín es modus ponendo ponens) es una ley do larga tratlidóll, estrechamente lig:\tla u la estructura de los silogisffios (;olldicionales. Etimol6gicamente, es el modo que afirma (pone) afirmando (poniendo): dado el condicional (p ::) q) I la aHnnad6n del ¡mteccdcntc P pt!rmitc af{rmar el consecuente q. 10

r

¡

L

!

LEYES LÓGICAS Y REGLAS DE INf1::R.ENClA

f.,f odus tollens 11: [( P

:J q) .

-q]

::> -p

Silogismo disyuntivo: . [(p v q) . -p] ::> q

Adición de tautología: p IX:: [p. (q v -q)] Adici6n de contradicción: p e: rp v (q . -q)] In1plicación de los conjuntos: [p => (q . r)] :J (p [p :::> (q . r)]

:J

:J

q)

(p :::>r)

Frente a este despliegue de fórmulas convendrá que no nos dejemos dOlninar por el desaliento. Si, en lugar de contemplar su conjunto con ojos lánguidos y triste meneo de cabeza, exalninamos las leyes una por una y -en caso necesario-- las ejclnplificamos en lenguaje natural a través de la inter-

pretación de variables, advertiremos que todas ellas son de fácil comprensión. Y, una vez aprehendidas intuitivamente, las recordaremos sin mayor dificul.: tad para utilizarlas cuando nos convenga. El modw tollen, (o modw tollendo tollen.s) el una tautología similar al moduJ poneru, pero 11 la inversa. T ollere, en latín, significa sacar. quitar y este caso- llegar. Se trata, pUe5 del modo negativo. del modo que nie~a negando: dado el condicional (p ::J q), la nc¡aci6,n de! consecuente q' lleva a negar tambiin el antecedente p. 17

-en

---

LÓGICA, Pf\OPOSI

5. Inlcrdcfinihitidad de las conectivas

Entre las leyes ya enurneradas se distinguen algunas (defilliciones del condicional y del hiconoícional, leyes de I)e tv1organ) que perrrlÍten trans[onnar una fónliula basada ep una conectiva en otra fÓrnl\¡}a equivalente construida en derredor de otra conectiva.. Esto sugiere que las conectivas son definibles entre sÍ) con ayuda de la negación; y, en efecto, pqr lYlcdio de aquellas leyes y de sus cODlbinacioncs es posible trazar el cuadr? de interdefinibilidad que aparece. en la página 96. El análisis del cuadro de interdcfinibilidad permite fonnular algunas observaciones_ Ante todo, naturahnente, se advierte que la negación es un instrurnento necesario para definir las restantes canee· Uvas, pero no es el1a n1isll1a definible en ténnint}s de otras: por ser la nlás sencilla de las constantes , . ' 'd-leO-- so'} o 1oglcas -rccon1eInos su caracter nloIla' puede ser definida mediante la tabla de verdad correspondiente. IIan quedado anulados los lugares. situados en la diagonal que arranca desde la esquina superior izquierda del cuadro, ya que en ellos sólo cabría la repetición lisa y llana de la fórmula a definir; pero existen además otras ausencias, todas ellas si· tuadas en las colulnnas de la disyunción exc1uyente y del bicondicional. Y esto ocurre de un modo

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L

l.LYES LÓGICAS Y nEGl..AS DE l~F1:.J'\t:::NC¡A

peculiar: cada una de estas dos conectivas puede definirse en ténninos de la otra, pero ninguna de ellas pennite definir la conjunci6n, la disyunción incluyente ni el condicional; en tanto estas últimas definen cualquier 9tru. ¿A qué se debe esta. situación? Sucede que las conectivas proposicionales tienen distintos gr~dos de conlplejicL.1d. La Hlás sirnple es, COlTIO hernos señalado, la negación. En el grado siguiente se sitúan la conjunción. la disyunci6n incluyente y el condicional, que pueden definirse entre sí con ayuda de la negación y, del miSH10 lTIodo, pern1iten definir la disyunción excluyente y el hicondicional. Estas Jos últirnas conectivas, ee canlbio, contienen relaciones complejas. Hecordemos que, en tanto la disyunción incluyente .'p v q"' indica que es verdad p o es verdad q, la excluyente "p =¡t:: qU siInboliza lo Inislno, pero con el agregado de que no son verdaderas p y lJ a la vez. Del rnismo 1l10do, el bicondicional comprende dos condicionales cruzados entre sí, de nlOdo que tarnbién incluye mayor inforn1ación que 1as , conectivas por medio de las cuales se lo defínc. Las conectivas nlás cornplicadas, pues, pueden explicarse entr~ sí y talnbién a partir de las Inás 5encil1as, pero nO a la .inversa. I

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6. Los signos auxiliares frente a las leyes de 8sociatividad

RecorJelnos que al establecer las reglas de fOfInación u se dijo que dos fónnulas unidas por una conectiva diádica debían estar encerradas en un par de signos auxiliares. Pero, como dice el refrán, ·"hecha la ley, hecha la .trampa'·: la profusión de paréntesis, corchetes y llaves tiende' a hacerse .farragosa, por ]0 que inmediatamente establecimos una convención a fin de sua vízar los efectos de aquella exigencia: cuando una expresión sinlbólica no diese lugar a alnbigüedades, onlitirÍamos los paréntesis. Aquí se nos presenta una nueva perspectiva para ampliar la libertad que nos ~omamos respectd de los signos auxiliares. La conjunción es asociativa:

[p . (q .

r)]

:::= (

p . q). .

r]

De aquí resulta que, frente a tres o más fórolu]as unidas entre sí por conjunciones, el uso de paréntesis no establece difGrencias: cualquiera que sea la fornla en que los dispongamos, el valor de verdad de la fómlula fnolecular no 'sufrirá modificación alguna. Es lícito, pues, escribir:

p.q.r

Otro tanto puede decirse de la disyunción y del bicondicional, de nlodo que también escribiremos lit

Ver C'apituJo 1I~

LÓ(::CA, PllOPOSlc

te

P v q v r y p == q :.:;::: r ". N a tu ra 1In {~n t.C, no , . . .

f

puede hacerse lo ndslno con el condicional, que no e~tú

sujeto a la ley de asociatividad.

7. Hcglas de infl!rcllt'Ía

Si ql1CrCH\OS trasladarnos a di:stancias cortas, sin gasto cOlnbllstible ni contalllinaei()n del ~llnbicn­ te pero 111:'15 rápido que a pie, pOdenHJS cOlnprar una bicicleta; pero tenerla en·' nuestro poder no garantiza todavía el cumplÍlllicnto de nucstros objetivos, a menos que seanlOS capaces de ~nantel~cr­ nos en equilihrio sohre el sillín. Para lograr esto

ue

existcn técnicas, ciertas reglas acerca

de

CÓlTIO

ha-

cer girar el Jl1anuhrio o inclinar el cuerpo en cada circunstancia, que aprendernos tras inevitables polTazos y que, por úhilno, se convierten en un au,tornatislllo, en algo que hacenlos sin pensar. Sólo ~l, partir de este nlOHlento podenlos utilizar nuestra flamante adquisición para ir adonde queramos. Algo :-;elnejante ocurre con las leyes lógicas.. Ellas

sirven para controlar la vnl~uez q" y tarnbién afinno "p", necesarian1en le he de aclrnitir . la verdad de q. Ojalá fuera tan siroplc. Lewis C::arroll (1832· 1898), el aulor lle ¡\licio en el país de las 1}l{lravillas, q lle era UI1 clni nCll te lna l crn út ieo y lógico, d(~d icó \In divertid ísítno trabajo:!1 a dcrnostrar que la ley elel 1J u)(1 11 s' ponen') no 1I0S perrllitc inferir el consecuente él ¡nenos que, previarnente, hayulnos aceptado itl1nhién la regla de inferencia correspondiente expresada en lnetalenguaje. En el cuento de (:a· 1'r01l, la astuta tortuga hace ver al ernpeñoso Aquiles

I

I I

C~rrolJ.

Lt!wis (Charles L. Dodgson). Lo '1ue ltl ttlttU}{ll le di;o (1 Aquiles, en "El juego de 1" h)~ica y olros escritos", t-.t..ulrid, 1972. p, 153 Y siguientes. !!l

I

.!

L.

I I I I

que una cosa es aceptar una implicación (corno la ley del 1nDdus ponens) en la que 110 se afirnla el antecedente .. (p :,:) q) . p" ni el consecuente "q", }' otra distinta es adolítir primero el condicional (p :::> q) después su antecedente (p), y a partir 'de tales' prcluisas inferir el consecuente (q). En efecto. la tortuga adnlite el condicional y su antecedente, pero niega el consecuente. Aquiles invoca la ley del 1nodus ponens y la tortuga acepta talYlbién la ley, aunque mantiene su posición. En cada paso sucesivo, ante las protestas de Aquiles, la tortuga adlnite todas las prenlisas que su contrincante le propone ... sieJnpre que se expresen hipotéticaIuente; esto es, corno partes del antecedente de una iropBcación. Esto le deja siempre la posibilidad de rechaz~r el, consecuente, con lo que el argun1cnto se convierte en una intenninable burla para Aquiles: en cada nl0rnento, la aceptación concreta del consecuente depende OSli

Por aplicación de esta ley y a partir de las leyes 1 )' 2 obtendreUlos, pues, que aeplCllo que es necesa~ rio es posible:

Np :) Mp

a) •

T'ratc.lnos de verlo nlCllíantc un ejelnplo. Si es nccesarialnente verdadero (lue 2 -j- 2 ;::: 4, entonces es \'cn.1flllcro q ne 2 + 2 :::;: 4. Si H2 '1- 2 == 4" es verdadero, lcndrú que ser posib1c. Y, por t"ransiti,,¡dad, concluirc1l10s qHe si "2 .+ 2 -= 4" es necesario, "2 -1- 2 == 4" es posible. ~.L

El cuadro de oposición ()c lus JJwc1 .. lidadcs nléticas ~A partir de

la verdad o de. },a falsedad de una proposición 1110dal se pu~de deJ\lcir la verdad o la falsedad de otras proposiciones relacionadas con la prÍlncra. Estas relaciones entre las proposiciones tonelales suelen representarse l:nec1iante el l1an1ado ctlad:'o de opusición: CONTRA1\lEDAD

Np ... 04--------..,..~ N-p •

0~~

/

. G'cf/ 1¡ h p.)

fIemos obtenido -como teorClna- la ley de contrariedad deóntic3, que afinl1a que un mismo a'cto no puede ser a la, vez obligatorio }' prohibido.

,

5.

--

l

Suhn1tern~ción

Volvarnos ahora a nuestro uxionla:

Pp v P-p

1)

Como en el caso anterior, conmutamos:

P-p

2)

v

Pp

Ahora bien) la ley de definición del condicional indica que la disyunción equivale al condicional con el antecedente negado: (p v q) ES (-p => q). Así: l·

3)

-P-p.~

Pp

Finahnente, por interdcfinibilidad de operadores, obtenemos: 4)

Op ::> Pp'

que es una de las leyes de subalternación de6ntica: lo que es obligatorio está permitido (por ejemp10, si me obligan a pagar las deudas, Ine estará permitido pagarlas). . De modo parecido. puede deIn0strarse como teoreIna la otra ley (le subalternaci6n:

1)

Pp v P-p

Sin usar la conmutación, transformarnos la fórmula en un condicional:

2)

-Pp

::> P~p

I

132

LOCICA, I'R')POS.

y por interc1efinibilidad, I1egamos a: .'3)

Ph P ::) P-p

que indica que si algo t!;cá prohibido, entonces estú. perrnitido 3ornitirlo (por ejenlplo, si fuular está

prohibido, no fumar está pero1itioo).

fr.

Contradicci6n

Veanl0S ahora las leyes que nos faltan para completar el cuadro de oposición. t Por interdefinibili ...

dad de operadores sabemos que: 1)

Op

ss:

-P--p

y también recordamos que una tautología proposici6~1al (la definición del bicondieional) indica que (p E: q) ::) (p ::) q). De este Inodo,

2)

Op ::) -P-p

Pero otra ley proposicional (la definici6n del conllicional) rnuestra que un condicional puede transforlTlarSC en conjunción: (p ::> 1) == -(p. -q). De , . aqul se slgue:

3)

-(Op . - - P-p)

La doble negaci6n se suprirne.

4)

Por lo tanto,

-(Op . P-p)

que es una de las leyes de contradicción de6ntica. Del mismo modo puede demostrarse la otra ley de contradicci6n:

LEYES DEÓNTlCAS

1) Ph P e;; -Pp por interdefinibilidad de ope.. radores 2) Ph P :J -Pp por definición del bicondicional 3) -(Ph p. - -Pp) por definición dt!l condicional . 4) -(Ph P . ~p) por doble negación,

con lo que hemos obtenido .la ley que buscábalnos.. ·· Las leyes de contradicción, pues, enuncian qp.e una acción no puede ser obligatoria cuando se per~. nlite su ornisión, y que tampoco puede estar a la . vez prohibida y perrnitida: si es obligatorio pagar las deudas, no puede estar permitido no pagarlas; y si está prohibido f unJar no puede estar a la vez pero-&i tido hacerlo. La formulación de las leyes de contradicción: -(Op . P-p) -(Ph p . Pp) se parece lnucho a 'la de la ley de contrariedad:

-(Op . Ph p)

Esto puede suscitar alguna perplejidad, ya que la contrariedad y la contradicción se diferencian pre-. cisarnente en un punto que no aparece en esas f6r.nulas: dos proposiciones contrarias pueden ser ambas falsas, en tanto de dos contradictorias una y sólo una ha de ser verdadera. Pero es preci!;o aplicar aquí lo que dijiInos en el capítulo V al tratar sobr(l.

134

LÓGICA, f'I\~)l?OSI.

la eontra(liccÍón. Una forrnulación cOlJlpleta de la relación de contradicción:

Op

~

P-p

Ph p

~

Pp

incluiría tarnlJién la versión dcónUca Je la ley proposicional del tercero excluido:

Op v P-p

. Ph P v Pp con lo que fonnnlarLllnos (los leyes cOII)binaJas en

lugar de una.

7. El

opcr~u.lor

uF"

Conviene aquí rctOJnar una idea que henlos mena donado nI justificar extrasistclTi4tk'alnente la ley de sl1bcontrariedad: la de los actos facl1ltativos. Cuando en el lenguaje corriente hablamos de una cOllducta pernlitidll, danios a esta palabra un significado ln{ls fuerte que el que le atribuye el lenguaje de la I()gica deúntica: generalrnente queren10S dec:ir que está pernlitído tanto clllnplir la acción C01no oInitirla. En el uso cOJ)lún (y aun en el de los abogados), Hpern1itiJo contraer ITlatrinl0· nio" significa que uno pllede casarse si lo desea, pero que también -si tal es su decisión- le esbl pennitido observar una conducta rnás prudente. En nuestro sisten1a, las acciones que es+án "perrnitidas

r, !

lJ

r .

i

LEYES DEON11CAS

en ese sentido' bidireccional de la pennísión se Ilalnarán facultativas. Pero hay que aclarar que, cuando decirnos de una acción que está perrnitida (Pp) sólo queremos afinnar que está permitido CU1U,,/irla) sin abrir juicio sobre su ornisi6n: si la oInisión está tarnbién pennitida, la conducta será facultativa: si la olnbión está prohibida, la acción result.ará, en definitiva, obli gatoria. Estas precisiones nos pernliten introduc.r el operador '''F'', que (lIgunos autores utilizan para las ac- . ciones f acultat ¡vas. Su definición puede sÍJnholi, zarse aSl: 7

Fp ~= (Pp. P-p)

Es decir que una acción es facultativa si (y sólo si) está pemlitido cUInplirla y tarnbién está pcnnitido olnitirla. De los cuatro operadores deónticos que hernos estudiado éste es el único cuya interdefinibilidad es c0I11pleja: puede definirse en términos de per-;nlisión (conlo lo hernos hecho); pero para eso no puede usarse una fórn1ula sill1ple (atórnica), sino una conjunción de dos fórrnulas (fórmula conlpuesta o 1noleculal'). 1'anlbién podríaIT10S definir el operador "F" en ténninos de obligaci6n: J

.Fp === (-Op . -O-p) O bien en ténninos de prohibición:

Fp

ss

(-Ph P . -Ph-p)

·

L(:CICA. ¡'HOPO

Pero lJinguno de los restantes o~)eradores puede

definirse por F sin el auxilio de illbún otro. Esto ocurre porque 4lFp" dice algo de p y algo de -p, en condiciones tales que el carácter deóntico de la :tcción no se rlec1uce lógicarne~te del de la otnisión ni vjceversa, (al contrario de lo que ocurría, po:' ejclnplo, con "Op", donde la prol1ibicL)1l de -p s ~ (lcduce lle la obligatorieJad de p). R. Calificnción uormntivn dt! las contludns complejas

.I Icn\os analizado hasta ahora fórn1ulas Jeónti., 440 -q, " · f - PI 1 P JI" cas la 1es COJno "f) p. , 'etc., en 1as qlle In arect~l(l() por el operado)' es la descripción de tina conducta, simbolizada nH.:diante una fórrnula atón1ica n, a lo SUI110, lnediante la negación de una f t')rnl ula a tó¡nica. f:n el lenguaje J)ornlativo, no ohstante, la perrnisióTl, 1a obligación y la prohibición pueden calificar conductas eoniplejas: por cjenlplo) es obligatorio curnplir los contratos o indcllYnizar los datl03 provoc:tdos por el inculnplilniellto; est{l prohibido tener hijos y no (q . r)] ::> (p ~ q),

obtenemos: 4)

Op

:J

Ü(p v q)

Podemos seguir los n)iSlnOS pasos, reemplazando en tvdas las fórmulas utilizadas 4Cp~' por "q'. y "qU por "pu, de la siguiente lnanera:

1') 2·)

Oq ::- O[q Oq

3') Oq 5)

a;

V

(p . -p)]

O[(q v p) . (q v -p)]

== [O (q

y'

p) . O (q

V

-p)]

OC} ::> O (q v p)

De 4 y 5 obtenemos:

6)

(Op v Oq)

::>

O (p v q)

112

LÓ/~lCA, HlOPOSICIÓN y NORMA

Esta era la ley introducida, que podríamos enunciar de la siguiente manera: si 'es ohligatoria la rea-

lización de un acto o es obligatoria la realizacióH de otro, enlqnces es obligatorio realizar el uno o el otro. 12. Teorema de In pcrrnisión conjunta

Si está pennitido rea~izar dos actos conjuntarncnte, cada uno de ellos estará tan1bién perln.itido. Si se Tne pennite asistir a clase y presentarnle a exalncn, ~)ucJo inferir que tanto el asi;tir a cl~s.e C()lno el presentarme a exan1en n1e estan pernlltldos. Sin enlbargo, no resulta a la, inversa: puede darse el caso de, actos individuahnente perr'nitidos cuy:\ renlización 'conjunta esté veJada. Por ejeinplo, asistir a clase está perrnilido y también lo cstú jugar al truco; pero la conjunción de ambas acciones no está pennitida. En otras palabras, HPp. Pq" no es equivalente a Hp (p . q)":' si bien no es inferencia vá.lida que (Pp . Pq) ::) P (p . q), sí es v,Hido, en c~l111bio, que P(p . q) ::> (Pp. Pq). Para delnostrarló, partirernos de la ley anterior (obligación alternativa), sustituyendo las variables por sus negaciones. Esto nO altera el valor de la tautología, puesto que si la ley vale para las acciones valdrá talnbién para las omisiones. Así 1legamos a:

1)

(O-pvO~q)::)O(-pv-q)

, LEYES DEON11CAS

Reemplazando el operador uO" por su equivalente en ténninos de pern1isión, tendremos:

2) .(-Pp v -Pq)·:; -P-(-p v -q)

ApliqueJTIos ahora la ley de De ?\'Iorgan en €l an . . tecedente:

3)

-(Pp. Pq}::J -P-(-p v -q)

y Juego al consecuente:

4)

-(Pp. Pq)

:J

-P(p . q)

Por transposición) obtendren1os: 5)

P ( P . .C))

:J

(Pp . Pq )

IIernos llegado así a la ley que. queríarnos demostrar. Podemos enunciarla como: si la conjunción de dos actos está permitida, cada u~ de ellos también estará pennitido 3:1.

13. Teorema de la pennisióil mínirna

Si existe la obligación de realizar una u otra conducta, no puede darse el caso de que ambas conductas estén prohibidas. Si tengo la obligación de cun1plir el contrato o indemnizar, no pueden prohibírselne, sirnultáneamente, el cumplirniento y Los autores agradecen al esludiante Juan José Úlgorio la derr.ostraciún que nqui se incluye, más breve y sencIJI'l que Ll original. 33

14·1

la indemnización. Podclnos f()fJnuh~r esta ley de la siguiente lnanera:

- r() (p

v q) . (--Pp. -P q ) ]

Para dernosfrarlú, partirernos del principio de subaltcrn:H.:i{)n, en !a :lÍguiflltc f()nl·l\lla\.~i{)n: 1)

() (p v

q.J :)

}1 (p y

'1)

Por el principio ele distribución de la pennisión, a plicado al COll!;ec:uente, oh tenernos: 2)

O(p v q) ~ (Pp v Pq)

Por definición del condicional, podemos transformarlo en ]a siguiente conjunción:

a)

--r() (p

v q") . ._. ( p p v P(1 ) ]

Apliquernos la ley de ])c l\·f org:1tl junto: 4)

~l

segundo con-

--(()(p \' q) . (_.pp . -P(l)]

Esta es la le)' qUe qUérlalnOS di?1l10strar, y puede ser eOllndatla c(})no: es [t)giCQlncnte inndlnisi}Jle estar obligado a elegir entre c/os alternativas lJrvhi-

hidas.

. .-

~ ~

J ~ ~

J

IX CONDICIONES· EXlllASISTEMÁTICAS DE LA LÓGICA D·EONTICA

1. Concepto

La lógica de6ntica, como la proposicional. como la geolnctrÍa (]a de Euclides u otra)) puede presentarse corno un sistema deductivo forInal, que parte de ciertos enunciados tomados COlno axiomas y de ellos infiere otros enunciados, a Jos que suele .darse el nOlnbre d.é teorenlas. Existen algunas cualidades que usuahnente se consideran deseables en un· ~istenla de esta naturaleza: por ejemplo, que sea coherente· o consistente (que no contenga contradicciones); que·. sea deductivamente completo. (que todos los enunciados que lo componen sean, . ellos o sus negaciones, demostrables dentro del sistenla); que sus axiOlnas sean independientes (que nO puedan denlostrarse unos a partir de los otros). Pero todas éstas son propiedades intrasistematicas,

que se refieren a la ~structura interna del sistelua.

146

hllaginernos por un mOlnenlo que cslanlOS frente á un aparato desconocido, H·hH~ienh: y red(~n aceitado: tiene engranajes y poleas que ~ir:tJl a distintas velocid~des, luces de cCJlores ql1C! se ('ncienden á1tcrnativanlcnte, )' funciona en fonna silenciosa y con poco gasto de energía. Puede lnaravil1arnos la precisión y a.un la helleza con cltiC ha)'asido construido, peró en algún rnocncnto nos, ntrevercnl0S él preguntar para qué sirve. Se nos c()ntcst~rá entonces que sirve para fabricar tornillos, para abrir .latas () para vacunar lOlnhrices; se Í10S dirá, tal vez, que eS una escultura rnóvil O que es el resullqdo de un

trabajo pnlctico de alumnos de una escuela técnica. Según sea la respuesta, empezarcJnos a rrlirár el aparato des(le un ñuevo punto eJe vista: primero habíalnos apreciado sus propiedades internas (su estruct.ura y la forrna de su funciona\l1iento); ahora esta010S valorandó su inserción en el mundo exterior: su utilidad práctica y el modo en que su funcionamiento responde a 1as expectativas de quienes ]0 consh·uycron. Los sistenlas deductiv~s son talnbién aparatos idea1es, que se cónstruyen para algo. Algunos pue-

den ~er sitnples juegos, que sólo tienen por objeto, entretener a sus autores o a ot"l& personas; pero Jos nlás cOllocidos buscan recnnslruir de un modó claro y rigurosaltlente preciso, clerta~ ,relaciotles rnatcriales o 'conceptuales pre'existentes, que esperamos tnanejar rnejor con su ayuda. En otras palabras, , ereamús' rnode)os que guan]en cierta. seluejanza con

CONDICIONES

EXTRASISTEMATlCA~

algún sector de la realidad, de tal modo que a través del rnodelo abstracto podamos profundizar. y orga-

oe

i .-

{ I

nizar el estudio ciertos hechos concretos que nos parecen· relevantes. Así, la geometría euclidiana reproduce ciertas relaciones entre la fonna. y las di... mensiones de los objetos materiales, y con "ello nos permite, por ejelnplo, medir terrenos y calcWar distancias. La lógica proposicional reconstruye en . -abstracto ciertas relaciones de inferencia que oQ$er~· _'vamos entre las proposiciones concretas, y así' ge.. . neralizamos 105 modos de derivar unas proposicione.~ de otras y aislamos e identificamos las condiciones· r¡ue nos permiten distinguir un razonamiento válido de otro falaz. . Existe, pues, un vínculo entre un sistema deductivo y el sector de la realidad (Inaterlal o conceptual ) que dicho sistelna intenta reconstruir, del mis- . Ino modo que existe una relación entre un retrato y la persona que le si~e de modelo. Es probable que el pintor acentúe en su obra los rasgos que lé parecen 111ás relevantes o representativos de la persona . . lidad del retratado; pero si se .llegara .al extremo de que nadie reconociese en el cua~ro a la persona en él representada, el retrato no contendría ya suficiente información sobre el aspecto de su modelo y su valor sería puralnente estético. La 16gica deóntica,de manera semejante, no ha inventado Jas nociones de obligación, prolúbición y permisi6n: las toma del lenguaje nonnativo vulgar, -e intenta rCéonstr~rlas en un sistema que les asigne.

148

LÓGJCA, ' PROPú,.

significados precisos y las vincule mediante relaciones inefluívocas. Infinitos sistenlas podrían idearse con distintas variaciones de tales significados y de" tales relaciones, y aun con la introducción de otros' operadores que inlagináran1os; y todos esos sistemas poJrían eventualmente poseer las cualidades intrasisternátfcas tnás des~ables. Pero,. si queremos que nnestra 16gica deónt.ica sirva para controlar fonnaln1ente la plnusibilidad de los razonanlientos normativos, será preciso que no nqs evadamos de las condiciones generales en que estos·' razonamientos se

expresan. Estas condiciones extrasisternáUcas (presupues-." tos de la utilidad práctica del sistelna) se enuncian n 'veces lTIcdiante leyes o prÍilcipios que 'no son estrictnn1cnte deoucibles en 'el mismo sistema o que, cuando lo son, tienen un contenido que trasciende esa déoucibilidad. Exanlinarernos aquí dos tondíciOJleS de esta naturaleza: las leyes de Hume y el principio de prohibición ..

2. Las leyes de lIume

1\1 eX~lJninar las fil0dalidaJes aléticas helnos observado que existe un punto de contacto entre las proposiciones lTIodales y las no 'lnodnles (o, para decirlo de un lnodo rn~ls ponlposo, entre el "mundo de la llcccsiclad y de la posibilida(r' y el simple ",nundo de la realidad"): una proposición necesaria es

f

1,

verdadera, y una proposici6n verdadera es posible

(NP ::> p; P =? ~1 p). ¿l>odríamos, análogamente, establecer un vínculo entre la realidad, y las modalidades de6nticas (o, con palabras de Kelsen, entre el 4"lnundo del ser'· y

el --mundo del deber ser")? • Ya hemos estipulado una respuesta negativa a esta pregunta cuando dijimos que los operadore~;.,

valor

de6nticos fl{J son extensío1Ulles: es decir~ que el '~" de verdad de una proposición deóntica' que mo~hi-: liza la descripción. de una acci6n no depende del valor de verdad de esta des~ripci6n;' pero ha llegad~ el fnOITlcnto de dar ra~anes que justifiquen adoptfr' la1 puntó de YÍstn. . . ,..,

i,

En su Tratado de la naturaleza humana, David lIume decía: "En la medida en que se r.eco~lozca que la razón no tiene influencia en nuestras pasiones y acciones, será en vano pretender que ]a moral puede descubrirse por la mera deducci6n racional. Un principio activo jamás puede fundarse en otro inac .. tivo; y) si la razón es' inactivá en sí lnisma, d~be permanecer tal en' todas' sus' fonnas y apariencias, ya sea qüe se ejerza en nlatenas naturales o morales, ya sea que considere ]05 poderes de los cuerpos ex· ternos o las acciones de los seres racionales". Más adelante agregaba: "La raz6n es el descubrimiento de la verdad O la falsedad. La verdad o la falsedad consisten en el acuerdo () desacuerdo COIl unarelación real de ideas,. o con la real existencia de una , situación de hecho. Por lo tanto, aquello' que no

,

150

,

l.OClCA •. Pi'nrosó\"' •.' ..

sea susceptible de este acuerdo o desacuerdo será incapaz de ser verdadero ni falso, y jamás puede ser ohjeto de nuestra razón. ~hora bien, es evidente que nuestras pasiones, voliciones y acciones no son susceljtibles de tal acuerdo () desacuerdo, ya que son hechos y realidades originales, completos en sí rraismos, y no itnplican referencia alguna a otras pasiones, voliciones y acciones.' EsinlposibJe, por 10 tanto, calificarlas de verdaderas ni falsas ni que sean contrarias o conformes a la razón~t :\4. Estas observaciones de 1-!tune sobre 'la lnoral fueron generaliznda~ por otros pensadores y resumidas en una idea precisa: es imposible déducir una proposición nornlativu (del udeber ser") de una serie q~' proposiciones descriptivas (del "ser") 36. También fueron postuladas en su fornla inversa (de una proposición normativa no puede deducirse una des~riptiva), y representada5. como un rechazo de ciertas inferencias simbolizables 30. COlno puede advertirse, estos principios tienen una peculiaridad que los distingue de las leyes lógicas en genera), que son tautologías. Leyes conlO las del tercero excluido, de I)e ?\1organ o de subalternación debntica, por ejenlplo, indican l)lodos válidos de inferencia; en c,lll1bio la:> de IIlune resultan o

3..

Hume, Du\·hl. A, Trealise un Ilu"wn Ntllurc:, Nueva Ymol, 19(H, libro 111, parte l'. seccUnl 1, )l. 414 Y 415. ' 3t\ Hare~ R. M., Tlae Langull~c 01 Af 0((1 Is. OxCord. 1952. 1>: 29¡ Kclscn, Il:lns. Tl,éorie ¡JUre du droil. I'aris. 1902, (l. 00 y siguit·utes. ae Yernengo, oh. cit.. pAN. 1.3.9. '1 2.1.6. p. 46, 79 Y 80.

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una suerte de leyes negativas: señalan que ciertas deducciones n.o pueden hacerse' válidamente. Constituyen así un límite, una valla extrasistemática que se inlpone a la lógica nor~ativa. Pero ¿por qué ha de acatarse tal lhnite? ¿Aca .. , so no podría construirse un sistema de6ntic(i en el que las inferencias prohibidas por I-Iume fueran válidas? Sí, se podría, ya que la cQIlstrucci6n. de un sistelna depende de n\lestra, voluntad para la elec- ,,' ,ción de los axionlas. ~ero supongamos que en la,: lógica nor'mativa que hemos exarninado en los capí-",';', tuJos anteriores introdujéran10s corno postulado al-,' guna de las' fornlas de inferencia en cuestión: por' .,' ejemplo, p :J Op. Resultarían de ahí consecuen-' cias sorprendentes, tales corno que matar es obligatorio para los asesinos y proh~bido para 1a gente pacífica; que pagar hnpuestos sólo ~s debido para los contribuyentes puntuales, pero no para los evasores; y que, en resun1en, cada uno está estrictament~ obli- ' gado u' hacer 10 que en cada rnomento hace; y tiene prohibido hacerlo (1ue en cada instante se)e ocurriera 0111i tiro Claro está que nadie propugna una tesis tan extrema. Pero nUlnerosos autores, a ,lo largo de )a historia, han intentado hallar un vínculo entreJas , nornlas (jurídicas y Jl1orales) y la razón, de tal nlodo que el reconocinliento de lo verdadero pern1itiera descubrir, sil) intervención ~e voluntad· nonnativa' alguna. ciertas leyes qne los homhres deban cum-

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l.ÓGICA, Pl\()ro~

plir ll. Esta inquietud" suele englobarse, en la teoría general del derecho, bajo el nombre de fusllatutalisrno o doctrina de) derecho natural; y parte precisamente ~e adn1itir que, al menús en algunas circunstancias, él estudio de la realidad empírica (la Ilaturaleza, el hombre, las cosas) o de las ideas a priori (la razón) perrnite ~t:lferit' el contenido de' ciertas nom13S. En otras p~labras, que habría algún preuicado no normativo de~ segundo nivel (11amémosle Z) tal que Zp ::> Op, o que Zp ::1 Pp, aun cuando está lejos de haberse Jlcgn(lo aun acuerdo sobre cuál sería el éontenido que debiera atribuirse a "Z". .

.No . corresponde hacer aquí un examen crítico d~l iusl1aturalismo, tema más adecuado para· un . texto sobre filosofía de] derecho o sobre ética." "Lo que importa destacar es .que las leyes de IIume, como condiciones extraSisteináticas de la .lógica de6ntica, están sujetas a . las mismas controversias que afectan a ]a lnateria a la que el sistema pretend~ aplicarse. La respuesta que se dé a detennÍlfadó interrogante sobre el derecho o sobre la moral -por ejemplo- llevará a aceptar, a rechazar o a limitar la estricta separación entre 10 nornlativo y 10 real. n Ejemplos de esta posición son j>latói1, lIugo Grocio. Samucl Pulendorr. Jean-Jacques Rousseau 'j. en la actualidad, Joho l\awIs. En cambio, queda exc1uldadeJ conflicto con las )eyes de Hume )a orientación iusnnturalisto que funda el derecho nnhmll en aJguna forma o manifestación df' Jti \'oJuntnd divina".

3.. El l)rincipio de prohibición

"Ningún habitante de la Naci6n será obligado a hacer lo que no· manda la ley, ni privado de loq~e . ella no prohíben. Esta declaración, contenida. en .. , el artículo 19 de la Constitución Nacional, es ba~i- '~..,~.~'. tualmente considerada como un freno a la arbitra!!.;:·/~;: rieJad y al despotisnlo, y como una garantía g~~~~ji:(.t. rica de l~ li.b~rtad 3~. 'Pero la .l,dea que elIa exp.~~~~&{~:~ como pnnclplo de lnterpretaclon del orden n,?p)1a~~¡i{~~ . tivo ha dado lugar a controversias entre autor~$·. ~~~::'~;:E~ teoría general del derecho y de lógica deóntica;::.' ,~~:W~~/ ha dicho' de ella que es necesaria, que es trjvi~l'y'.,'s jueves". Jnn-

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L.6cJCA, J'ROl"lOSJ06N y NORMA

que], un indígena con dotes innatas de leguleyo, intentó una interpretación á contrario: ·'¿Eso quiere· llecir que no podernos cazar Jos dernás días?". "De pinguna lnanera -se apresuf(> a aclarar el benévolo cacique-: )'0 pernlito cazar los Jnartes y.jtÍcves, pero no digo nada ~ohre el resto de la sernanu·'. Janquel qued6 desconcert~H.lo) pero ()nín, tdbcño proclive a las reflexiones éticas, insisl ió: Utfal vez eso irn· plica tina prolncsn de no pl~()hihir en el futuro las cacerías de nlartcs y jueves?", "Tarnpoco --repuso 'foro Scntado-; no H'lC agrada ünponer prohibicio.:. nes a lTli tribu, pero lne reservo la posi,bilidad de carnhiar de idea. ¿Qué gobernante no 10 hace?" .. . Los a horígcnes se rniraron unOs a olros, )' ernpezaron a dispers:lrsc en silencio: no podían evitar el sentinliento de que la elecci()ll del jefe había resultruJo, nI- JilCnOS hasta ese rnOlnento, conlpletamenle intltil. Toda la vida habían cazado y pescado COlTIO les venía en gana, sin consultnr el ca1endario; y ah()rá~ luego de sancionada l'1 prilncra 1ey de su tribu, las cosas seguirían cxact:lJnente igual Inientras á Toro Sentado no se le. ocurriera prohibir algo. L;i decepción de los charrúqs es, en realidad, el resultúdo de una expectativa futtdada en ]a utilidad práctica de ·las BOrntas. Ui) sistenla normativo Ítnplica la intención de regular, epcaUl.ar, definir lílTliles. En otras palabras, ordenar. 10 no ordenado. Pero la percepci()n nlisma de· algo conlodesorden ilnplica una actituJ valnratíva de disconfonnidad con la siloación actual o potencial: de otro lnodo no

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OOND!(,10NES

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I:XTRA.Sl~TEMATlC;\S

la l1an1arÍarnos desorden sino libertad, y no se nos ocurriría ]:nodificarla. Para .operar, pues, esta lTIodificación se introducen pautas (lue oponen resistencia a la voluntad de' la gente en ciertos aspectos, o ca1ifi~aciones ~que se dirigen a interpretar ciertas conductas corno iru::onl.]JO tibIes con el 1110delo propuesto. Así· se di vide el universo de las acciones en dos sectores: el de las acciones ]ÍInitadas (obligatorias e prohihidas) y el de las no lirnitadas (o no limitadas todacfa)) que son las pennitidas. Antes de la introdll.cci6n de un ~js­ tcn13 nonnativo no existen conductas pern1itidas, pero esta afirn1aci6n es rncranlcnte lingüística: sólo señala el hecho de que, .} falta de una idea de lhnitaci6n, no es posihle calificar su ausencia .. ASÍ, no se concibe la pcrrnisión sin la prohibición,.conlo no hay silencio sin' sonido ni tío sin sobrino. Podríarnos decir en este contexto --para usar llna expresión del derecho rClllano·-- que antes de la primera nornla todas las conduclas son ingenuas.. Cuando se introduce el sistema normativo, a.lgunas dé las conductas dejan de ser ingen~as para ser limitadas, y otras dejan de ser ingenuas para ser perrnitidas. Pero hay una diferencia entre estos dos canlbios: el paso de ingenua a Jimitada ent.raña un efecto real (su rechazo nonnativo, que puede ser meramente conceptual ó traducirse en vías de hecho), en tanto el paso de ingenua a no limitada no varía las expectativas de quien piense realizar o haya realizado la conducta en cuestión. •

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. LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA

Aun. Us. As., I\monortu. 1U77 .. Copi, lrving. IntroduccM,. a la lógica, Us. As., EndC'ba, ) 962. Cuibourg. Hicarclo A., La nulidiltl 11 su cL·!finicioo. en "DeH:cho. Fjlt·). soHa y Lenguaje", hOf)lCmlje a Ambrosio L. Cioja, Bs. As., As-

bea, 1976. Bilbel1, D. }' Ackennann. \V., Elementol de lógica te6rlcn, Madrid, T ccnos, 1002. Hughes, C. E. y Cresswell, .M. J., Introducción tJ la lógica modal, Madrid, Tecrlos. 1973. Kalinowski, Gcorges. In/roducd6n a la 168lca furíd(co, Ds. As., Euuebn, 1973. K!ug, Ulrich,I"ógica ;urídictJ, Caracas, Universidad Central, 1001. Mates, Denson, 1,ógica mlltemeítica clemental, M'ldrid, Tecnas, 1971. Quine, \ViJlard Van OrIllan, Los mitodo3 de Lj 16g;ca, Barcelona, Ariel. 1969.

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, DlBLJOCRAFÍA

Schreiher, nU¡íert. L