3. Distribución Normal (3)

1

Distribución Normal Una variable aleatoria 𝑋 tiene Distribución Normal con los parámetros 𝜇 ∈ 𝑅 y 𝜎 & > 0 si y solo si su función de densidad de probabilidad está dada por: 𝑓 𝑥 =

, &-.

𝑒 /

1

(345)/ /7/

Para todo 𝑥 ∈ 𝑅

La función de distribución acumulada 𝐹 𝑡 correspondiente, se define como 𝐹 𝑡 =𝑃 𝑋≤𝑡 =

(345) > , 1 /7/ 𝑒 1? &-. /

/

𝑑𝑥

Además, 𝐸 𝑋 = 𝜇

y 𝑉 𝑋 = 𝜎&

La representación de la distribución normal se llama la campana de Gauss y tiene la siguiente forma:

Debido a la dificultad de evaluar las integrales propuestas, siempre realizamos la sustitución 𝒁 =

𝑿1𝝁 𝝈

obteniendo la distribución normal estándar. Distribución Normal Estándar Una variable aleatoria tiene está estandarizada si y solo si tiene una Distribución Normal con media 0 y varianza 1; es donde se cumplen las siguientes propiedades a) 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 = 𝑃(𝑍 ≤

H1I .

)

b) 𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = 1 − 𝑃 𝑋 < 𝑎 c) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃

H1I .

≤𝑍≤

O1I .

=𝑃 𝑍≤

O1I .

−𝑃 𝑍 ≤

H1I .

d) Si tenemos una distribución Binomial con 𝑛 ≥ 30 podemos Normal con 𝜇 = 𝑛𝑝 y 𝜎 & = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

aproximarla a una distribución

Ejercicios de práctica 1. Dada una distribución normal con media 30 y varianza 4, encuentre: a) el área de la curva normal a la izquierda de x = 32 32 − 𝜇 32 − 30 𝑃 𝑋 < 32 = 𝑃 𝑍 < =𝑃 𝑍< = 𝑃 𝑍 < 1 = 0.8413 𝜎 2 b) el área de la curva normal a la derecha de x = 36 𝑃 𝑋 > 36 = 0.0013 c) el área de la curva normal entre x = 32 y x = 36 𝑃 32 ≤ 𝑋 ≤ 36 = 0.1574

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d) el valor de x que tiene 67% del área de la curva normal a la izquierda Se debe cumplir que 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 0.67 de la tabla normal estándar se tiene que Reemplazando valores tenemos que

Z1[\ &

= 0.44

Z1I .

= 0.44

es decir, 𝑥 = 30.88

e) los dos valores que contienen un 75% central del área de la curva normal Se debe cumplir que 𝑃 −𝑘 ≤ 𝑍 ≤ 𝑘 = 0.75 es decir; 2𝑃 𝑍 < 𝑘 − 1 = 0.75. De donde tenemos que 𝑘 =≈ 1.15 luego,

O1I .

= 1.15 y

H1I .

= −1.15 despejando tenemos los dos valores: 𝑎 = 27.7

y 𝑏 = 32.3. Esto es, 𝑃 27.7 ≤ 𝑋 ≤ 32.3 = 0.75 2. Un vendedor contacta telefónicamente con clientes potenciales para estudiar si merece la pena una visita a domicilio. Su experiencia le indica que el 40% de sus contactos por teléfono vienen seguidos de una visita a domicilio. Si contacta con 100 personas por teléfono, ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que se realicen entre 45 y 50 visitas (inclusive) como resultado? 3. Un investigador científico reporta que unos cocodrilos vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales cocodrilos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6,3 meses, encuentre la probabilidad de que un cocodrilo dado viva (a) más de 37 meses; (b) menos de 49 meses; (c) entre 37 y 49 meses. 4. Los coeficientes de inteligencia de 600 aspirantes a cierta beca escolar en una universidad extranjera se distribuyen aproximadamente normal con media de 115 y desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un coeficiente de inteligencia de al menos 95, ¿cuántos de estos aspirantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? 5. Un ejecutivo de una cadena de televisión está estudiando propuestas para nuevas series. A su juicio, la probabilidad de que una serie tenga una audiencia mayor que 17,8 es 0,25. Además, la probabilidad de que la serie tenga una audiencia mayor que 19,2 es 0,15. Si la incertidumbre de este ejecutivo puede representarse mediante una variable aleatoria normal, ¿cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? 6. Un grupo grande de alumnos hace un examen de estadística. Las notas se distribuyen según una normal de media 3,5. Además, la probabilidad de que un alumno elegido al azar obtenga una nota menor que 4,2 es 0,7580. Se eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos obtenga más de 4,0 en el examen?