3-Diferencial

18 3 - Diferencial 3.1 – Plano tangente

O plano tangente a uma superfície z = f(x,y) no ponto (x0 , y0 ,f(x0 ,y0)) é dado por:  z −  f ( x0 , y0 ) =

∂ f  ∂ x

( x0 , y0 ).( x − x0 ) +

∂ f  ∂ y

( x0 , y0 ).( y −  y0 )

Exemplo 1: Determinar o plano tangente a superfície z = x2+y2 nos pontos P(0,0,0) e

Q(1,1,2). • No ponto P(0,0,0) temos ∂ f  ∂ x

= 2 x

⇒

∂ f  ∂ x

2

2

 f(x0 ,y0) = f(0,0) = 0 + 0 = 0 ∂ f 

(0,0) = 2.0 = 0

∂ y

= 2 y

⇒

∂ f  ∂ y

(0,0) = 2.0 = 0

Então: z – 0 = 0.(x 0.(x – 0) + 0.(y – 0 ) Plano tangente • ∂ f  ∂ x

No ponto Q(1,1,2) temos

= 2 x

⇒

∂ f  ∂ x

 z = 0 2

2

 f(x0 ,y0) = f(1,1) = 1 + 1 = 2 ∂ f 

(1,1) = 2.1 = 2

∂ y

= 2 y

⇒

∂ f  ∂ y

(1,1) = 2.1 = 2

2.(x – 1) + 2.(y – 1 ) Então: z – 2 = 2.(x Plano tangente

 z = 2x + 2y –2

Exemplo 2: Determine a equação do plano tangente a superfície y = 6 - x2- y2 no ponto

(0,1,5) 3.2 - Diferencial

A diferencial de uma função de uma variável, y = f(x), é aproximadamente igual ao acréscimo ∆ y da variável dependente y. De forma análoga a diferencial de uma função de duas variáveis,  z = f(x,y), é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ z da variável dependente z. Geometricamente o plano tangente à superfície  z = f(x,y), no ponto (x0 ,y0), quando existe, é o plano que “melhor aproxima” a superfície perto do ponto (x0 ,y0). Definição: Seja z = f(x,y) uma função diferenciável no ponto (x0 ,y0). A diferencial de f em (x0 ,y0) é definida pela função ou transformação linear 2

T: R → R T ( x − x0 , y −  y0 ) =

ou T (h, k ) =

∂ f  ∂ x

onde h = x-x0 e

∂ f  ∂ x

( x0 , y0 ).( x − x0 ) +

( x0 , y0 )h +

∂ f  ∂ y

( x0 , y0 )k 

k = y - y0

∂ f  ∂ y

( x0 , y0 ).( y −  y0 )

19

É comum dizer que

∂ f  ∂ x

( x0 , y0 ).( x − x0 ) +

∂ f  ∂ y

( x0 , y0 ).( y −  y0 ) é a diferencial de f em (x0 ,y0)

relativa aos acréscimos ∆ x e ∆ y , onde ∆ x = x - x0

e

∆ y = y - y0

Numa notação clássica, definimos a diferencial das variáveis independentes x e y como os acréscimos ∆ x e  ∆ y, respectivamente dx = ∆x

dy = ∆y

Assim a diferencial de f em (x,y), relativa aos acréscimos ∆ x e ∆ y , é indicada por dz ou df , onde dz =

∂ f  ∂ x

( x, y )dx +

∂ f  ∂ y

( x, y )dy

É também chamada de diferencial total de f(x,y)) 3.3 – Diferencial de uma função de três variáveis dw =

∂ f  ∂ x

( x, y, z )dx +

∂ f  ∂ y

( x, y , z )dy +

∂ f  ∂ z

( x, y, z )dz

Exemplos:

1) Variação da área do retângulo quando a base b varia de 4 cm para 4,01 cm e a altura h varia de 2 cm para 2,1 cm. 2) O mesmo retângulo quando a base b varia de 4 cm para 4,01 cm e a altura h varia de 2 cm para 1,8 cm. 3) Seja uma caixa cilíndrica com r = 2 cm e h = 5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se: a) valor aproximado do acréscimo no custo da caixa. b) Valor exato do acréscimo no custo da caixa. 3.4 – Exercícios

1) Calcular a diferencial de  f ( x, y ) =  x +  xy no ponto (1,1). 2) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente da função 2 2  z = x + y - xy quando (x,y) passa de (1,1) para (1,001; 1,02)

20 3) Calcular ∆ z para a variação do exercício (2) e compare os valores. 4) Calcular a diferencial das funções nos pontos indicados:  x

a)  f(x,y) = e cos y; P(1,π  /4) 2

2

b)  z = ln(x + y ); P(1,1) 2z

c) w = x.e + y;

P(1,2,0)

5) Calcular a diferencial total de: 2

a)  z = sen xy  x b)  z = arctg  y c) t = xy – yz + zw 2

d)  z =

 x +  y

2

 x +  y

6) A energia consumida num resistor elétrico é dada por P =

V 2  R

watts. Se V = 120 volts

e R = 12 ohms, calcular um valor aproximado para a variação de energia quando V decresce de 0,001 volts e R aumenta de 0,02 ohms. 7) Um terreno tem a forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1200 m e 1800 m, com erro máximo de 10 m e 15 m, respectivamente. Determinar o possível erro no cálculo da área do terreno. 8) Uma lata cilíndrica de estanho deve ter raio interno de 2 dm e altura interna de 4 dm, sendo de 5 mm a espessura das paredes. Encontrar o volume aproximado do estanho necessário para fabricá-la usando diferenciais. 9) Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando o raio varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm para 21,5 cm. 10) Um material está sendo escoado de um recipiente formando uma pilha cônica. Num dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura 8 cm. Usando diferencial, obter uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia para 12,5 cm e a altura para 7,5 cm. Comparar o resultado obtido com a variação exata do volume. 11) Considerar um retângulo com lados a = 5 cm e b = 2 cm. Como vai variar, aproximadamente, a diagonal desse retângulo se o lado a aumentar 0,001 cm e o lado b diminuir 0,2 cm 1) dz = 3/2dx + 1/2dy 2) dz = 0,021 3) ∆ z = 0,021381; Erro = 0,000381 2 2 edx − edy 4) a) b) dx + dy c) dx + dy + 2dz 2 2 2 3 3 5) –2,002 wats 6) 36 000 m 7) 17,1π   cm 8) 3,77 dm Respostas:

21 3.5 – Regra da Cadeia

Usamos a regra da cadeia para calcular a derivada de funções compostas. Sejam A e B conjuntos abertos em R2 e R, respectivamente, e sejam  z = f(x,y) uma função que tem derivadas parciais de 1a. ordem contínuas em A,  x = x(t) e  y = y(t) funções diferenciáveis em B tais que para todo t є  B temos (x(t(, y(t)) є  A. Seja a função composta h(t) = f (x(t), y(t)),

t є  B.

Então, essa função composta é diferenciável para todo t є  B e dh/dt é dada por: dh

=

dt 

∂ f  dx

.

∂ f  dy

.

+

∂ x dt 

∂ y dt 

Exemplos: 1) Calcule a derivada parcial da função: 2  f(x,y) = xy + x  , sendo x = t + 1 e y = t + 4

3.6 – Exercícios

1) Verificar a regra da cadeia

dh

=

dt 

∂ f  dx

.

+

∂ x dt 

∂ f  dy

.

∂ y dt 

para as funções:

a) f(x,y) = ln (x2 + y2), sendo x = 2t + 1 e y = 4t 2 – 5 b) f(x,y) = sen (2x + 5y), sendo x = cos t  e  y = sen t  c) f(x,y) = x.e2xy , sendo x = 2t  e  y = 3t – 1 2) Determinar dz/dt usando a regra da cadeia 2

2

a)  z = tg (x + y), x = 2t, y = t  b)  z = x cosy, x = sen t, y = t  c)  z = arc tg xy, x = 2t, y = 3t   x

3

2

d)  z = e (cos x + cos y), x = t  , y = t  e)  z =

 x  y

-t 

 , x = e  , y = ln t  2

 f)  z = xy, x = 2t  + 1, y = sen t 

3) Se f(x,y) = x3 y – y4, sendo x = 1/t  e y = lnt , obtenha

df  dt 

22 4) Sendo z = yex+ xey, e x = cosu e y = senu, calcule

32t 3 − 36t + 2 Respostas: 1) a) 4 8t  − 18t 2 + 2t + 13 2) a) 10t sec2(5t 2) t 3

3

d) te [−3t sen t 

2

3)

− 3 ln t 

4) e

t 4 cosu

1

4 ln 3 t 

t 

t 

+ 4 −

2

+ 3t cos t  + 3t cos t  − 2 sen t 

f) 4tsent + (2t 2 + 1)cost 

2

(cosu – sen u) + e

senu

2

(cos u – senu)

du

b) cos(2cost + 5sent)[-2sent + 5cost]

b) cos2t – sen2t  3

dz

c) ]

e)

12t  1 + 36t 4 −e

− t 

ln t 

−

e − t  t ln 2 t