3 Crystallography

‫קריסטלוגרפיה‬ CRYSTALLOGRAPHY

CRYSTALLOGRAPHY Unit Cell and Lattice Bravais Lattices FCC, BCC, HCP Atomic Packing Factor Directions in a unit cell Planes in a unit cell Polymorphism

‫מבוא‬

‫בכדי להבין את הסימטריה של הגביש ניתן להתבונן ביצירותיו של הצייר‬ .(M.C. Escher) ‫ההולנדי אשר‬

1845: Bravais correctly predicted 14 lattice systems, later to be called Bravais Lattices. 1912: Max von Laue demonstrated the wave nature of X-rays, by diffraction from a crystal of copper sulphate. 1913: Sir L. Bragg solved the structure of NaCl.

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫קריסטלוגרפיה‬ ‫מדע העוסק בחקר המבנים הגבישיים ובשיטות ניסיוניות לקביעתם‪.‬‬

‫גביש )‪(Crystal‬‬ ‫¾‬

‫חומר שהאטומים שבו מסודרים לטווח ארוך‬ ‫)‪ (Long Range Order‬באופן מחזורי‪ ,‬בשלושה מימדים‪.‬‬

‫¾‬

‫את הסידור ניתן לתאר באמצעות פעולות סימטריה )סיבוב‪ ,‬שיקוף‪ ,‬סיבוב‪-‬‬ ‫היפוך )שיקוף דרך נקודה((‪.‬‬

‫¾‬

‫מבנה זה אופייני למרבית החומרים המוצקים )שאינם אמורפיים(‪.‬‬

‫¾‬

‫אחד מסימני ההיכר של גבישים הוא קיום פאות בעלות אופי גאומטרי מוגדר‪.‬‬

‫‪Selenite‬‬ ‫‪Gypsum‬‬ ‫)‪CaSO4-2(H2O‬‬

‫‪Garnet‬‬ ‫‪X3Y4(SiO4)3‬‬ ‫‪Where X=Ca, Mg, Fe2+, Mn‬‬ ‫‪Y=Al, Fe3+, Cr‬‬

‫‪Calcite‬‬ ‫‪CaCO3‬‬

‫‪Amethyst‬‬ ‫‪SiO2‬‬

‫סריג )‪(Lattice‬‬ ‫¾‬

‫תבנית דמוית רשת תלת‪-‬מימדית‪ ,‬המורכבת מאוסף של נקודות‪ ,‬הנקראות‬ ‫נקודות סריג‪ ,‬אשר מסודרות בתבנית מחזורית‪.‬‬

‫¾‬

‫לכל נקודת סריג ניתן לשייך אטום אחד או יותר )מוטיב(‪ .‬השילוב של שניהם‬ ‫מגדיר את הגביש‪.‬‬

‫¾‬

‫חלקיקים המרכיבים את הגביש יכולים להיות אטומי מתכת כאשר מדובר‬ ‫בקשר מתכתי‪ ,‬או יונים כאשר מדובר בקשר יוני‪ .‬תהליך יצירת הגבישים‬ ‫נקרא התגבשות‪.‬‬

‫תא יחידה )‪(Unit Cell‬‬ ‫¾‬

‫יחידת המבנה הקטנה ביותר המתארת את סימטריית סידור האטומים במבנה‬ ‫הגביש התלת‪-‬מימדי‪.‬‬

‫¾‬

‫בד"כ משתדלים לבחור את התא הקטן ביותר‪ ,‬פרימיטיבי )כלומר‪ ,‬אטום אחד‬ ‫לתא יחידה(‪ ,‬אך בתנאי שיבטא נכונה את סימטריית הגביש‪.‬‬

‫מבנה מסודר של ניקל )‪(110‬‬

‫תא יחידה של מלח בישול )‪(NaCl‬‬

‫‪NaCl‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פרמטרי הסריג‬ ‫¾ פרמטרים הנחוצים לתיאור הגודל והצורה של תא היחידה‪.‬‬ ‫¾ בהצגה תלת‪-‬מימדית הם כוללים את גודלן של שלוש הצלעות‬ ‫המרכזיות ואת הזוויות ביניהן‪.‬‬ ‫¾ תא היחידה מיוצג ע"י הפרמטרים ‪ a, b, c‬או ע"י ‪a1, a2, a3‬‬ ‫המתאימים לצירים ‪ ,x-y-z‬וע"י הזוויות ‪.α , β, γ‬‬ ‫¾ בתא קובי )‪ (90°‬נחוץ רק האורך ‪ ao‬של אחת הצלעות בכדי‬ ‫לתאר את מימדי התא‪.‬‬ ‫¾ היחידות המקובלות לתאור‬ ‫פרמטרי סריג הן ‪ Å‬או ‪.nm‬‬

‫‪1 nm = 10 Å = 10-9 m‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫קיימות ‪ 7‬מערכות גאומטריות )גבישיות(‪ ,‬הנבדלות זו מזו בפעולות‬ ‫הסימטריה הבסיסיות‪ ,‬אשר מאפשרות מילוי של כל המרחב‪:‬‬

‫קיימות ‪ 7‬מערכות גאומטריות )גבישיות(‪ ,‬הנבדלות זו מזו בפעולות‬ ‫הסימטריה הבסיסיות‪ ,‬אשר מאפשרות מילוי של כל המרחב )המשך(‪:‬‬

‫סריגי ברווה )‪(Bravais Lattices‬‬ ‫¾ ‪ :P‬תא יחידה פרימיטיבי )‪- (Primitive Unit Cell‬‬ ‫¾ תא יחידה בעל נקודות סריג בפינות התא בלבד‪.‬‬ ‫¾ ‪ :I‬תא יחידה מרוכז‪-‬גוף )‪- (Body Centered Cell‬‬ ‫¾ תא יחידה בעל נקודות סריג בפינות ונקודת סריג במרכז התא‪.‬‬ ‫¾ ‪ :F‬תא יחידה מרוכז‪-‬פנים‪/‬פאות )‪- (Face Centered Cell‬‬ ‫¾ תא יחידה בעל נקודות סריג בפינותיו ונקודת סריג במרכז כל פאה‪.‬‬ ‫¾ ‪ :C‬תא יחידה מרוכז בסיסים )‪- (Base Centered Cell‬‬ ‫¾ תא יחידה בעל נקודות סריג בפינותיו ונקודת סריג במרכז כל פאה‪.‬‬

‫ברוֶוה‬ ‫‪ 14‬סריגי ָ‬ ‫‪Bravais Lattices‬‬

‫אם בסריגים מסוג ‪ I‬ו‪ F -‬קוביים ובסריג הקסגונלי צפוף אריזה‪ ,‬בכל‬ ‫נקודת סריג ממוקם אטום‪ ,‬אזי נוצרים מבנים גבישיים שכיחים‬ ‫במתכות‪ ,‬מסוג ‪ FCC ,BCC‬ו‪:HCP -‬‬ ‫)‪Body Centered Cubic - BCC (CN=8‬‬ ‫)‪Face Centered Cubic - FCC (CN=12‬‬ ‫)‪Hexagonal Close Packed - HCP (CN=12‬‬

Body centered cubic (BCC)

‫קובי מרוכז גוף‬

http://www.enstimac.fr/recherche/mat/Formation/CRYSTAL/html/bravais.html

Face centered cubic (FCC)

‫קובי מרוכז פנים‬

http://www.enstimac.fr/recherche/mat/Formation/CRYSTAL/html/bravais.html

‫‪a = b = c & α = β = 90ο , γ = 120ο‬‬ ‫ניתן להסתכל על התא ההקסגונלי כתא‬ ‫יחידה בעל שני אטומים לכל נקודת סריג‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫קביעת מספר האטומים בתאי יחידה אורתוגונליים‬ ‫)קובי‪ ,‬טטרגונלי‪ ,‬אורתורומבי(‬ ‫¾ לכל תא יחידה קיים מספר אטומים מוגדר‪.‬‬ ‫¾ חלק מהאטומים של התא משותפים לתאים סמוכים ולכן נספרים‬ ‫כגדלים חלקיים‪.‬‬

‫¾ מספר האטומים לתא‬ ‫יחידה הוא פרמטר‬ ‫חשוב לקביעת הצפיפות‬ ‫הנפחית של התא‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫חישוב מס' האטומים לתא יחידה בסריגים קוביים‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מבנה הקסגונלי צפוף אריזה ‪HCP unit cell -‬‬ ‫‪HCP = Hexagonal Close Packed‬‬

‫‪HCP‬‬ ‫‪3x2 atoms per unit cell‬‬

Structures of Metallic Elements He

H Li

Be

B

C

N

O

F

Ne

Na

Mg

Al

Si

P

S

Cl

Ar

K

Ca

Sc

Ti

V

Cr

Mn

Fe

Co

Ni

Cu

Zn

Ga Ge

As

Se

Br

Kr

Rb

Sr

Y

Zr

Nb

Mo

Tc

Ru

Rh

Pd

Ag

Cd

In

Sn

Sb

Te

I

Xe

Cs

Ba

La

Hf

Ta

W

Re

Os

Ir

Pt

Au

Hg

Tl

Pb

Bi

Po

At

Rn

Fr

Ra

Ac

Primitive Cubic

Cubic close packing (Face centered cubic)

Body Centered Cubic

Hexagonal close packing

BCC, FCC, HCP :‫מרבית היסודות הטהורים משתייכים לאותם שלושה מבנים גבישיים‬ .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫טבלה מחזורית מפורטת עם סימון המבנים הגבישיים‬ .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫מבנה צפוף אריזה‬ ‫¾ עד כה ראינו שמבנה ‪ FCC‬הינו המבנה בעל הצפיפות המקסימאלית‪.‬‬ ‫¾ באופן גיאומטרי‪ ,‬ניתן להוכיח שבסיס משושה הינו המישור האטומי‬ ‫הצפוף ביותר שניתן לקבל‪ ,‬בתנאים של כדורי‪-‬אטומים זהים‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ האטומים מסודרים במישורים אלה על גבי אלה ויוצרים את המבנה‬ ‫הצפוף ואת הסדר לטווח‪-‬ארוך‪ .‬כיצד ניתן לסדר את השכבות?!‬ ‫¾ בכדי ליצור מבנה צפוף‪ ,‬שכבת האטומים השנייה 'מונחת' על שכבת‪-‬‬ ‫הבסיס הראשונה )מישור הבסיס – ‪ (basal plane‬במרכזי המרווחים‬ ‫הבין‪-‬האטומיים ]האטומים אינם נמצאים אלה מעל אלה[‪.‬‬ ‫¾ השכבה השלישית הינה בעלת שתי אפשרויות‪ .‬או שתקביל לשכבה‬ ‫הראשונה‪ ,‬או שלא תקביל‪.‬‬ ‫¾ לשכבה הראשונה נקרא ‪ ,A‬לשכבה השנייה ‪ B‬ולשכבה השלישית ‪C‬‬ ‫או ‪.A‬‬ ‫¾ דהיינו‪ ,‬סדר השכבות יכול להיות מטיפוס ‪ ABABAB‬או ‪.ABCABC‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫הנחת שכבה על‬ ‫שכבה מסוג ‪.AB‬‬ ‫אם השכבה‬ ‫השלישית תונח על‬ ‫אתרי ‪ ,C‬אזי‪...‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מבנה ‪FCC‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫הנחת שכבה על‬ ‫שכבה מסוג ‪.AB‬‬ ‫אם השכבה‬ ‫השלישית תונח על‬ ‫אתרי ‪ ,A‬אזי‪...‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מבנה ‪HCP‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ABCA‬‬

‫‪ABAB‬‬

‫¾ סדר השכבות יקבע את המבנה של תא‪-‬היחידה‪.‬‬ ‫¾ סידור ‪ ABAB‬ייצור את תא היחידה מטיפוס ‪.HCP‬‬ ‫¾ סידור ‪ ABCA‬ייצור את תא היחידה מטיפוס ‪.FCC‬‬ ‫¾ אך למרות זאת הצפיפות המישורית ויעילות צפיפות האריזה זהות‬ ‫בשני המבנים‪ ,‬כפי שיודגם בהמשך‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

A B A : hexagonal close pack

A B C : cubic close pack

.HCP ‫ למבנה‬FCC ‫השוואה בין מבנה‬ .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

Is FCC A B

C A

A B C : cubic close pack .‫אריזה‬-‫ צפוף‬FCC ‫קבלת מבנה‬ .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫…‪ABCABC‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪FCC‬‬

‫‪FCC‬‬

‫…‪HCP ABABAB‬‬

‫‪HCP‬‬

‫תא יחידה ‪ BCC‬איננו צפוף אריזה!‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שאלה ‪1‬‬ ‫¾ הוכח שהיחס האידיאלי בגביש ‪ HCP‬בין הגובה לצלע הבסיס הינו‬ ‫‪.c/a = 1.633‬‬

‫‪Top layer‬‬ ‫‪Middle layer‬‬ ‫‪Bottom layer‬‬ ‫‪HCP‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון‬ ‫¾ נסתכל על המשולש ‪JKLM‬‬

‫¾ האטומים ‪ ,K ,J‬ו‪ M -‬נוגעים זה בזה‪.‬‬ ‫¾ האטום ‪ M‬נמצא במחצית הגובה‪,‬‬ ‫בין הבסיס ל'תקרה'‪.MH= c/2 :‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון )המשך(‬ ‫‪JM = JK = 2R = a‬‬ ‫¾ ‪ R‬הינו הרדיוס האטומי‪.‬‬ ‫¾ מתוך משולש ‪:JHM‬‬ ‫‪(JM)2 = (JH)2 + (MH)2‬‬ ‫‪(a)2 = (JH)2 + (c/2)2‬‬

‫¾ את הגודל ‪ JH‬נוכל לחלץ מתוך‬ ‫משולש ‪.JKL‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון )המשך(‬

‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪cos(30°‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪JH‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬

‫== ‪JH‬‬

‫¾ הצבת ‪ JH‬בביטוי‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪= 1.633‬‬ ‫‪3‬‬

‫⎞‪⎛C‬‬ ‫=⎟ ‪⎜ a‬‬ ‫⎠ ⎝‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪(a)2 = (JH)2 + (c/2)2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a2 c2‬‬ ‫⎞‪⎛ a ⎞ ⎛C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜= ‪a‬‬ ‫‪⎟ +⎜ 2 ⎟ = 3 + 4‬‬ ‫⎠ ⎝ ⎠‪⎝ 3‬‬

‫מספר קואורדינציה )‪(Coordination Number‬‬ ‫¾ מספר האטומים השכנים הקרובים ביותר לאטום מסוים‪.‬‬ ‫¾ משפיע על המרחק בין אטומים בגביש )צפיפות(‪.‬‬ ‫¾ מס' הקואורדינציה הראשון )‪:(CN1‬‬ ‫‪ 9‬קובי פשוט )‪.6 - (SC‬‬ ‫‪.8 - BCC 9‬‬ ‫‪) 12 - FCC 9‬המספר המירבי(‪.‬‬ ‫‪) 12 - HCP 9‬המספר המירבי(‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מספר קורדינציה‬ ‫= מספר האטומים‬ ‫השכנים הקרובים‬ ‫ביותר‪.‬‬

‫‪Askeland, D. R., The Science and Engineering of Materials, PWS Publishing Company, 3th edition, Boston (1994).‬‬

Face centered cubic (FCC)

http://www.enstimac.fr/recherche/mat/Formation/CRYSTAL/html/bravais.html

FCC ‫מספר קוארדינציה במבנה‬

2 2r 6

9 2

2R

2 2r

10

5

3

1

4 7

12

11

8

‫ אטומים שכנים קרובים ביותר‬12 CN1 = 12

.‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫¾ כיוונים צפופי אריזה )‪(close-packed directions‬‬ ‫¾ כיוונים בתא היחידה שלאורכם האטומים נוגעים זה בזה‪.‬‬ ‫¾ מאפשרים לקשור בין הרדיוס האטומי לבין פרמטר הסריג‬ ‫)גודל תא היחידה(‪.‬‬

‫¾ דוגמה‪ -‬סידור האטומים בפאה‬ ‫אחת של מבנה ‪) FCC‬הצגה דו‪-‬‬ ‫מימדית(‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שאלה ‪2‬‬ ‫¾ מצא את הקשר בין הרדיוס האטומי לבין פרמטר הסריג במבנים‬ ‫קוביים )הנח שבכל נקודת סריג קיים רק אטום אחד(‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מימדים גיאומטריים של תא‬ ‫יחידה מסוג ‪FCC‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪a 3‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a 2‬‬

‫¾ מימדים גיאומטריים של תא יחידה‬ ‫מסוג ‪BCC‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון‬ ‫¾‬

‫עבור תא קובי פשוט‪a0 = 2 ⋅ r :‬‬

‫‪4⋅r‬‬ ‫¾ עבור תא ‪:FCC‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪a0‬‬

‫‪2 ⋅a = 4⋅r‬‬

‫‪4⋅r‬‬ ‫¾ עבור תא ‪:BCC‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪a0‬‬

‫‪3 ⋅a = 4⋅r‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שאלה ‪3‬‬ ‫¾ קבע את המבנה הגבישי של תאי היחידה הקוביים הבאים‪:‬‬ ‫‪ .1‬פרמטר הסריג הינו ‪ 4.9489 Å‬ורדיוס האטום ‪.1.75 Å‬‬ ‫‪ .2‬פרמטר הסריג הינו ‪ 0.42906 nm‬ורדיוס האטום ‪.0.1858 nm‬‬

‫פתרון‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

(Atomic Packing Factor) ‫¾ יעילות צפיפות האריזה‬ .‫¾ מבטא את השבר הנפחי המאוכלס ע"י אטומים‬ .‫¾ כל החישובים עבור תא יחידה נכונים גם עבור הגביש כולו‬ :‫¾ הביטוי הכללי הינו‬

Packing Factor = (number of atoms / cell ) × (volume of each atom ) volume of unit cell .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫ חשב את יעילות צפיפות האריזה של‬- 4 '‫שאלה ופתרון מס‬ .FCC ‫מבנה‬ 4R

CN=12 Number of atoms = (6 × 1 + 8 × 1 ) = 4 atoms 2 8

4 Volume of atoms = 4 × πR 3 3

4R = a FCC 2 ⇒ R =

a 2 4R , a FCC = 4 2

4 4 × πR 3 Volume of atoms 3 APF = = = 0.74 Volume of unit cell ( 4R / 2 ) 3

a

a

‫פתרון‬

‫שאלה ופתרון מס' ‪5‬‬ ‫¾ חישוב יעילות צפיפות האריזה של מבנה ‪.BCC‬‬ ‫‪4R‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a 2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪CN=8‬‬

‫‪Number of atoms = (1 center atom + 8 × 1 ) = 2 atoms‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Volume of atoms = 2 × πR 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4R‬‬ ‫= ‪a, a BCC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪(4R ) 2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 ⇒ R‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2 × πR 3‬‬ ‫‪Volume of atoms‬‬ ‫‪8π 3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪APF‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 0.68‬‬ ‫‪Volume of unit cell ( 4R / 3 ) 3‬‬ ‫‪3 64‬‬

‫שאלה ‪6‬‬ ‫¾ הוכח שיעילות צפיפות האריזה של מבנה‬ ‫‪ HCP‬זהה לזו של מבנה ‪) FCC‬האריזה‬ ‫הצפופה ביותר(‪.‬‬

‫פתרון‬ ‫¾ נתייחס לתא המורחב המכיל ‪ 6‬אטומים‬ ‫)‪.(2 x 3‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון )המשך(‬ ‫¾ נפח התא הינו שטח הבסיס המשושה כפול הגובה‪.‬‬ ‫¾ נבצע חישוב לגבי שליש משטח הבסיס‪ ,‬כלומר מעוין ‪.ACDE‬‬ ‫¾ שטח המעוין = בסיס מעוין כפול גובהו‪.‬‬

‫‪2R 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ) ‪BC = 2 R ⋅ cos(300‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון )המשך(‬ ‫¾ מכאן‪ ,‬שטח הבסיס הינו‪:‬‬

‫‪2R 3‬‬ ‫‪) = 6 R2 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫( ⋅ ) ‪Base Area = 3 ⋅ CD ⋅ BC = 3 ⋅ (2 R‬‬

‫¾ כבר מצאנו את היחס ‪:c/a‬‬

‫⎞‪⎛c‬‬ ‫‪⎜ ⎟ = 1.633‬‬ ‫⎠‪⎝a‬‬ ‫)‪c = 1.633 × a = 2 R ⋅ (1.633‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פתרון )המשך(‬ ‫¾ לפיכך נפח התא המורחב הינו‪:‬‬

‫= )‪Vcell = ( Base Area ) ⋅ (c ) = 6 R 2 ⋅ c 3 = (6 R 2 3) ⋅ (2 R ⋅ 1.633‬‬ ‫‪= 12 3 ⋅ (1.633) ⋅ R 3‬‬ ‫¾ כעת ניתן למצוא את יעילות צפיפות האריזה‪:‬‬ ‫)‪(number of atoms / cell) × ( volume of each atom‬‬ ‫)‪( volume of unit cell‬‬

‫= ‪APF‬‬

‫‪4‬‬ ‫) ‪(6) ⋅ ( π R 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 0.74‬‬ ‫= ‪APF‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12 3 ⋅ (1.633) ⋅ R‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫המשמעות של יעילות צפיפות האריזה‬ ‫‪ 9‬עבור מבנה ‪ FCC‬פקטור האריזה הינו ‪ ,0.74‬דהיינו ‪ 74%‬מהנפח‬ ‫מאוכלס באטומים‪.‬‬ ‫‪ 9‬עבור מבנה ‪ BCC‬פקטור האריזה הינו ‪.0.68‬‬ ‫‪ 9‬עבור מבנה ‪ SC‬פקטור האריזה הינו ‪.0.52‬‬ ‫¾ במבנה ‪ FCC‬האריזה צפופה יותר ממבנה ‪ ,BCC‬ומבנה ‪BCC‬‬ ‫צפוף יותר ממבנה ‪.SC‬‬ ‫¾ צפיפות האריזה אינה שווה לצפיפות החומר‪ .‬צפיפות האריזה‬ ‫הינה מדד )הופכי( לאחוז החללים במבנה‪ ,‬לדוגמה במבנה ‪FCC‬‬ ‫אחוז החללים הוא ‪.26%‬‬ ‫¾ תכונות החומר מושפעות מאוד מצפיפות האריזה‪ ,‬כפי שנראה‬ ‫בהמשך‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

Structure

a versus r

Atoms per cell

Simple Cubic (SC)

a = 2r

1

Coordination number

Packing factor

Typical metals

0.52

None

8

0.68

Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr

12

0.74

12

0.74

6 SC

Body Centered Cubic (BCC)

a = 4r/ 3

Face Centered Cubic (FCC)

a = 4r/ 2

Hexagonal Close Packed (HCP)

a = 2r c = 1.633a

2 BCC

4 FCC

2 x3 HCP

Fe, Cu, Al, Au, Ag, Pd, Ni, Pt Ti, Mg, Zn, Be, Co, Cd

Askeland, D. R., The Science and Engineering of Materials, PWS Publishing Company, 3th edition, Boston (1994).

(Density) ‫צפיפות‬ ‫¾ ניתן לחשב את הצפיפות התיאורטית של החומר בעזרת שימוש‬ .‫בתכונות המבניות של הגביש‬ .‫¾ צפיפות החומר מבטאת מסה ליחידת נפח‬ :‫¾ הביטוי הכללי לצפיפות הינו‬

n = number of atoms per cell (dimensionless) M = atomic mass (g/mol) VC = volume of unit cell (m3) NA = Avogadro’s number (6.023×1023 1/mol)

ρ=

nM VC N A

‫שאלה ‪9‬‬ ‫¾ חשב את הצפיפות של ברזל בעל מבנה ‪.(α-Fe) BCC‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫¾ מספר אטומים לתא יחידה = ‪.2‬‬ ‫¾ את פרמטר הסריג של ברזל ‪ BCC‬ניתן לחשב על‪-‬סמך הרדיוס‬ ‫האטומי‪ ,‬כפי שניתן בטבלה המחזורית‪:‬‬

‫‪a0 = 0.2866 nm = 2.866 × 10−10 m‬‬ ‫¾ מסה אטומית של ברזל‪:‬‬

‫)‪M = 55.847(g / mol‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ נפח תא היחידה‪:‬‬

‫‪m3‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪cell‬‬

‫‪−30‬‬

‫‪−10 3‬‬

‫‪) = 23.54 × 10‬‬

‫‪a0 = (2.866 × 10‬‬ ‫‪3‬‬

‫¾ הצפיפות‪:‬‬

‫‪nM‬‬ ‫=‬ ‫‪VC N A‬‬ ‫‪= 7.88 g / cm 3‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫=‪ρ‬‬

‫‪2 × 55.847 g / mol‬‬ ‫)‪(23.541 × 10 −24 cm 3 )(6.023 × 10 23 1 / mol‬‬

‫=‬

10 ‫שאלה‬ o

Copper has an atomic radius of 0.128 nm (1.28 A), an FCC crystal structure, and an atomic mass of 63.5 g/mol. Compute its density.

‫פתרון‬ Since the crystal structure is FCC, the number of atoms per unit cell n=4. The unit cell volume VC for FCC is 16R3 x 2 , where the atomic radius R is 0.128 nm.

ρ=

4 × 63.5 g / mol nM = = 8.89 g / cm 3 − 8 3 3 23 VC N A [16 2 (1.28 × 10 ) cm (6.023 × 10 1 / mol)

The literature value for the density of copper is 8.94 g/cm3.

11 ‫שאלה‬ .0.855 g/cm3 ‫ וצפיפות‬BCC ‫¾ לאשלגן מבנה‬ .39.09 g/mol ‫¾ המסה האטומית של אשלגן היא‬ .‫ )ב( את הרדיוס האטומי של האשלגן‬.‫¾ חשב )א( את פרמטר הסריג‬ ‫פתרון‬

.‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫קואורדינטות‬ ‫¾ ניתן להציג כל נקודה בסריג באמצעות קואורדינטות תלת‪-‬ממדיות‬ ‫‪.x-y-z‬‬ ‫¾ הנקודות יירשמו ללא סוגריים כלשהן‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬

‫‪x,y,z‬‬ ‫¾ ניתן להגדיר את מימדי תא היחידה‬ ‫)‪ (a-b-c‬לפי מערכת הצירים‪:‬‬

‫‪c‬‬

‫‪x=a , y=b , z=c‬‬ ‫‪b‬‬

‫¾ ולהגדיר את ‪ a,b,c‬כשווים ליחידה‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מציאת קואורדינטות הנקודות הבאות‪:‬‬

‫‪= point “A” = origin‬‬ ‫”‪= point “B‬‬

‫‪z‬‬

‫”‪= point “C‬‬

‫‪b‬‬

‫”‪= point “D‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪c‬‬

‫‪x‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫)‪z (c‬‬

‫)‪y (b‬‬

‫)‪x (a‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1/2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שאלה ‪13‬‬ ‫¾ מצא את קואורדינטות נקודות הסריג בתא יחידה מסוג ‪:FCC‬‬

‫‪z‬‬ ‫פתרון‬ ‫¾ במישור הבסיס‪:‬‬ ‫;‪0,0,0; 1,0,0; 1,1,0; 0,1,0‬‬ ‫‪½, ½, 0‬‬ ‫¾ במישור התקרה‪:‬‬ ‫;‪0,0,1; 1,0,1; 1,1,1; 0,1,1‬‬ ‫‪½, ½, 1‬‬

‫‪y‬‬

‫¾ סוגים בפאות האחרות‪:‬‬ ‫‪1,½,½, ; 0,½,½, ; ½,0,½, ; ½,1,½,‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪Atoms at the corners of the cube‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Atoms at the center of each face‬‬

Directions in a Unit Cell • Directions in a unit cell are described using three integers, in the form [a b c], obtained by subtracting the coordinates of the base of the vector from its tip. z

z = wc y x = ua x

y = vb

‫¾ הכיוונים הקריסטלוגרפיים‬ ‫הבאים הינם הכיוונים‬ .‫החשובים במבנה קובי‬

.‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫¾ כיוון ]‪ [120‬ודרך‬ ‫מציאתו‪.‬‬ ‫¾ וקטור במישור‬ ‫הבסיס‪z = 0 :‬‬

‫‪a/2‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את שני הכיוונים שבאיור‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫]‪[0 1 2‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫]‪[1 1 2‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫]‪[6 6 1‬‬ ‫שיטה ב‬

‫שיטה א‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪0,1, − 1, 0, = ( −1)(1)( −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪( −1) (1) ( −‬‬ ‫‪6‬‬

‫¾ וקטור ניתן להזזה במקביל לעצמו‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ הדבר מאפשר לנו לבצע השלכה ולמצוא את המציינים של הכיוון‪.‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫)‪( ) ( )(1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(1) ( )( −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ 9‬בגלל שכיוונים הינם וקטורים‪ ,‬הרי הכפלת הכיוון ב‪ (-1) -‬נותנת‬ ‫את הכיוון ההופכי של הוקטור‪.‬‬

‫] ‪[0 1 0‬‬

‫≠‬

‫] ‪[ 010‬‬

‫] ‪[0 2 0‬‬

‫=‬

‫] ‪[0 1 0‬‬

‫‪ 9‬מכפלת הוקטור במס' חיובי‬ ‫לא משנה את הכיוון )אלא רק את הגודל(‪.‬‬

‫] ‪[0 2 0‬‬ ‫] ‪[010‬‬

‫] ‪[0 1 0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ 9‬משפחת כיוונים – קבוצת כיוונים אקוויוולנטיים הדומים זה לזה‬ ‫מבחינת צפיפות אריזה קווית ותכונות סימטריה‪.‬‬ ‫‪ 9‬כיוונים מאותה המשפחה יכולים להתחלף זה עם זה בהתאם‬ ‫לבחירה שרירותית של מערכת הצירים‪.‬‬ ‫‪ 9‬משפחת כיוונים מסמנים בסוגריים משולשים‪.‬‬

‫> ‪< uv w‬‬

‫‪ 9‬המבנה הקובי הוא הסימטרי ביותר מבין המבנים הגבישיים )לכן‪,‬‬ ‫מס' הכיוונים האקוויוולנטיים במשפחה הוא הגדול ביותר(‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫…‪etc‬‬

‫‪1‬‬

‫‪and‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪equivalent‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 equivalent‬‬

‫‪2‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫סיבוב מערכת‬ ‫הצירים‬

‫שני כיוונים‪ ,‬בעלי מציינים שונים‪ ,‬השייכים לאותה המשפחה‪ .‬מציינים‬ ‫שונים מתקבלים בהתאם לבחירת מערכת הצירים‪.‬‬

‫]‪< 100 > ≡ [100], [010], [001], [010], [001 ], [ 100‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ שירטוט כיוונים בסריג נעשה בשיטת ההשלכה כלפי ראשית הצירים‪.‬‬ ‫¾ יש להפריד את המציינים עבור כל ציר באופן פרטני ולנוע צעד אחר‬ ‫צעד‪ ,‬עבור כל מציין בנפרד‪ ,‬על מערכת הצירים‪.‬‬ ‫¾ הכיוון הסופי נקבע ע"י מתיחת קו מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום‪.‬‬ ‫¾ במידה וקיים מציין שלילי‪ ,‬מומלץ להעתיק את ראשית הצירים בכיוון‬ ‫החיובי של הציר שאליו מיוחס המציין‪.‬‬ ‫¾ במידה וקיים מציין גדול מ‪ ,1 -‬מומלץ לחלק את המציינים כך‬ ‫שהמספר הגדול ביותר יהיה ‪.1‬‬ ‫¾ מומלץ לעבוד רק בתוך תא יחידה אחד במערכת קואורדינטות של 'יד‬ ‫ימין'‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ 9‬דוגמה לשירטוט‬ ‫כיוונים מבלי‬ ‫העתקת הראשית‬ ‫ומבלי לבצע חלוקה‪.‬‬ ‫‪ 9‬שיטה זו תהיה טובה‬ ‫רק עבור ערכי‬ ‫מציינים נמוכים‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ צייר את הכיוונים הבאים במערכת קובית‪:‬‬

‫]‪[ 3 0 1‬‬

‫] ‪[1 2 2‬‬

‫] ‪[0 1 0‬‬

‫]‪[1 0 1‬‬

‫] ‪[0 1 2‬‬

‫] ‪[4 1 0‬‬

‫]‪[ 2 2 1‬‬

‫] ‪[1 1 0‬‬ ‫]‪[1 0 1‬‬

‫] ‪[0 1 0‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬

‫‪= [1 0‬‬

‫]‪[ 3 0 1‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫]‪1 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫[=‬

‫] ‪[1 2 2‬‬

‫ראשית‬

‫¾ ניתן להבחין שאין שינויים בכיוונים לאחר העתקת הראשית‪.‬‬ ‫חישובי "ראש פחות זנב" ממחישים זאת‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מישורים בגביש ) ‪ (Planes‬מוגדרים כמשטחים‪ ,‬החוצים‬ ‫לפחות ציר ראשי אחד‪.‬‬ ‫¾ מישורים בסריג מסמנים בעזרת מצייני מילר‪.‬‬ ‫¾ מצייני מילר הינם ההופכיים לנקודות החיתוך של המישור עם‬ ‫הצירים הראשיים‪.‬‬ ‫¾ מקובל לסמן מצייני מישורים‬ ‫באמצעות סוגריים רגילים )‪.(hkl‬‬ ‫¾ מציין שלילי מסומן בקו עילי‪.‬‬

‫) ‪(h k l‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מציין שלילי‬

‫‪ .1‬הגדר את הנקודות דרכן המישור חותך את הצירים הראשיים‪.‬‬ ‫‪ 9‬אם המישור עובר בראשית הצירים‪ ,‬העתק את המישור באופן‬ ‫מקבילי למיקום אחר בתא היחידה‪ .‬בכך יש לקבוע ראשית‬ ‫חדשה‪.‬‬ ‫‪ 9‬אם המישור מקביל לאחד הצירים‪ ,‬אזי המציין שלו הינו ‪0‬‬ ‫)∞‪.(1/‬‬

‫‪ .2‬קבע את הערכים ההופכיים לאותן נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ .3‬המר למספרים שלמים הנמוכים ביותר )בטל שברים(‪.‬‬ ‫‪ .4‬תחום את המציינים בסוגריים מעוגלים‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ הכפלת מישור ב‪ (-1) -‬אינה משנה את המישור‪( 0 2 0 ) = ( 0 2 0 ) .‬‬

‫¾ מישורים מקבילים בעלי מצייני מילר זהים חייבים להיות ממוקמים‬ ‫בתאי יחידה שונים‪.‬‬ ‫¾ מכפלת מישור בקבוע = מישור מקביל שאינו בהכרח זהה‪.‬‬ ‫המישור שבאיור חותך‬ ‫‪z‬‬ ‫את ציר ‪ x‬ב‪ ,a -‬מקביל‬ ‫לציר ‪ ,y‬חותך את ציר ‪z‬‬ ‫‪c/2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ב‪.c/2 -‬‬ ‫) ‪(1 0 2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪(1 1 0 ) (1 1 0‬‬

‫) ‪(1 1 1 ) (1 1 1‬‬

‫) ‪(1 1 0‬‬

‫¾ מישורים ניתנים להזזה‬ ‫לתאי‪-‬יחידה סמוכים‪.‬‬

‫) ‪(1 1 1‬‬

‫¾ התנאי היחיד הוא‬ ‫שתישמר המקבילות‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫חיתוך‬

‫‪1/1‬‬

‫‪1/1‬‬

‫‪1/1‬‬

‫הופכי‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫המרה‬

‫‪z‬‬

‫‪c‬‬ ‫)‪(111‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫‪= 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫∞‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫חיתוך‬

‫∞ ‪1/‬‬

‫‪1/1‬‬

‫‪1/1‬‬

‫הופכי‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫המרה‬

‫‪z‬‬

‫‪c‬‬

‫)‪(110‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪= 2‬‬

‫‪0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫∞‬

‫∞‬

‫‪1/2‬‬

‫חיתוך‬

‫∞ ‪1/ ∞ 1/‬‬

‫‪1/1/2‬‬

‫הופכי‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫המרה‬

‫‪0‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪c‬‬ ‫)‪(200‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪= 2 1 4/3‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫חיתוך‬

‫‪1/ 1 1/ 3/4‬‬

‫‪1/1/2‬‬

‫הופכי‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫המרה‬

‫‪4‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪c‬‬ ‫)‪(634‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫מצא את 'מצייני מילר' של‬ ‫המישור המצ"ב‪.‬‬ ‫¾ המישור עובר דרך‬ ‫ראשית הצירים ומקביל‬ ‫לציר ‪.x‬‬ ‫¾ לפיכך‪ ,‬נדרשת פעולת‬ ‫העתקה של המישור‪,‬‬ ‫או הזזת הראשית‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ הזזת הראשית‬ ‫נעשית כלפי‬ ‫תא יחידה‬ ‫שלם‪.‬‬ ‫¾ מערכת‬ ‫קואורדינטות‬ ‫חדשה בעלת‬ ‫ראשית ב‪O’ -‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪= 0‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪-1 c/2‬‬

‫∞‬

‫חיתוך‬

‫‪1/ -1 1/ 2‬‬

‫∞ ‪1/‬‬

‫הופכי‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫המרה‬

‫‪2‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את 'מצייני מילר' של המישורים באיור המצ"ב‪:‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ עבור מישור ‪:A‬‬

‫) ‪(1 1 1‬‬ ‫¾ עבור מישור ‪:B‬‬

‫)‪(0 3 0‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ -A‬ראשית חדשה‬

‫¾ עבור מישור ‪:C‬‬

‫מומלץ לבחור ראשית‪-‬צירים‬ ‫חדשה‪ ,‬המאפשרת זיהוי קל‬ ‫של נק' החיתוך‪.‬‬ ‫‪ -C‬ראשית חדשה‬

‫) ‪(1 0 2‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ שירטוט מישורים בסריג נעשה באופן הפוך למציאת המציינים‪.‬‬ ‫¾ ראשית‪ ,‬יש לקחת ערכים הופכיים של המציינים‪.‬‬ ‫¾ אין צורך לבצע פעולות המרה‪ ,‬היות והמציינים הינם מספרים שלמים‪.‬‬ ‫¾ שנית‪ ,‬יש לסמן את נקודות החיתוך על גבי הצירים‪.‬‬ ‫¾ שלישית‪ ,‬יש לחבר את הנקודות בקווים העוברים בפאות תא היחידה‪.‬‬ ‫¾ במקרה של ערכי ∞ )מציין מילר‪ (0 -‬מסומן קו מקביל לציר‪.‬‬ ‫¾ עצה‪ :‬במידה שקיים מציין שלילי‪ ,‬מומלץ להעתיק את ראשית‬ ‫הצירים בכיוון החיובי של הציר שאליו מיוחס המציין‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שירטוט מישור מבלי שינוי הראשית‬ ‫¾ שרטט את המישור‬

‫)‪(0 1 1‬‬

‫המישור מקביל לציר ‪ , x‬וחותך את ציר ‪ y‬ב‪ (-1) -‬ואת ציר ‪ z‬ב‪(1) -‬‬

‫שירטוט מישור בעזרת שינוי הראשית‬ ‫¾ שרטט את המישור‬

‫)‪(0 1 1‬‬ ‫‪z‬‬

‫קו מקביל לציר ‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪-b‬‬ ‫‪a‬‬

‫ראשית חדשה‬

‫‪x‬‬

‫היכן שקיים מציין שלילי נזיז את הראשית בכיוון החיובי‬

‫)‪(1 1 1‬‬

‫)‪(1 1 0‬‬

‫)‪( 1 0 0‬‬

‫שלושת המישורים הגבישיים החשובים במערכת קובית‬ ‫הצפיפות האטומית של כל מישור אינה זהה ותלויה גם במבנה‬ ‫הגבישי של המערכת הקובית‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪ 9‬משפחת מישורים – קבוצת מישורים אקוויוולנטיים הדומים זה לזה‬ ‫מבחינת יעילות צפיפות האריזה המשטחית ופעולות הסימטריה‪.‬‬ ‫‪ 9‬מישורים מאותה המשפחה יכולים להתחלף זה עם זה בהתאם‬ ‫לבחירה השרירותית של מערכת הצירים‪.‬‬ ‫‪ 9‬משפחת מישורים מסמנים בסוגריים מסולסלים‪.‬‬

‫}‪{h k l‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ משפחת מישורים }‪ {110‬כוללת‬ ‫שישה מישורים )לא כולל הופכיים(‪.‬‬

‫‪(1 1 0 ), (11 0 ), (1 0 1 ),‬‬ ‫) ‪(10 1 ), ( 0 1 1 ), ( 011‬‬ ‫‪ O‬מציין את ראשית הצירים‪ – x,y ,‬הזזת ראשית‬

‫¾ מישורים בסריג הקסגונלי מסומנים בדרך דומה לזו שבסריג קובי‪,‬‬ ‫למעט הוספת רכיב רביעי ‪( h k i l ) .i‬‬ ‫¾ התנאי היחיד הוא שיישמר הכלל‪:‬‬

‫) ‪i = −(h + k‬‬ ‫¾ את מצייני מילר מוצאים באמצעות הערכים ההופכיים של החיתוך‬ ‫עם הצירים‪ .‬הכללים הם אותם הכללים כפי שלמערכת קובית‪.‬‬ ‫¾ הערה‪ :‬כאשר הוספנו מציין רביעי לכיוון‪ ,‬הוספנו למעשה רכיב נוסף‬ ‫לוקטור‪ ,‬שחייב המרה למערכת צירים חדשה‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ כיוונים על מישור הבסיס )‪ (0001‬של‬ ‫גביש הקסגונלי‪:‬‬

‫כיוונים‪:‬‬

‫] ‪[1 0 0 ] ⇒ [ 2110‬‬

‫‪u⇒ 2−0= 2‬‬ ‫‪v ⇒ 0 − 1 = −1‬‬ ‫‪t ⇒ − (2 + − 1) = − 1‬‬ ‫‪w ⇒ 0‬‬ ‫] ‪[1 1 0 ] ⇒ [1 1 2 0‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪(110‬‬ ‫]‪(100) [110‬‬

‫]‪[100‬‬

‫¾ שימוש במערכת תלת‪-‬‬ ‫צירית – אינה מתאימה‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫דוגמאות לכיוונים קריסטלוגרפיים במערכת הקסגונלית‪ .‬המציינים‬ ‫מופיעים אלה ליד אלה בהתאם לשתי המערכות‪.‬‬

‫¾ המר את הכיוון ]‪ [010‬למערכת בעלת ‪ 4‬צירים?‬

‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪u = (2 × 0 − 1) = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪v = (2 × 1 − 0) = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪t = − (−1 + 2) = −‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪w = n(0) = 0‬‬

‫] ‪[0 1 0‬‬

‫] ‪[1 2 1 0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את מצייני מילר של הכיוון שבתמונה‪.‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪-a3‬‬

‫‪a2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a3‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a1‬‬

‫‪½, ½, -1, 0‬‬

‫] ‪[1 1 2 0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫עבור מישורים‪ ,‬רק הגודל ‪ i‬דורש התייחסות‪:‬‬

‫) ‪(1 1 0 ) ⇒ (110 0‬‬

‫)‪(110‬‬ ‫]‪(100) [110‬‬

‫]‪[100‬‬

‫‪i ⇒ − ( h + k ) = − (1 + − 1 ) = 0‬‬ ‫) ‪(1 0 0 ) ⇒ (1 010‬‬

‫‪i ⇒ − ( h + k ) = − (1 + 0 ) = − 1‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את מצייני מילר של המישור שבתמונה‪:‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪a3‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪a1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫∞‬

‫‪1‬‬

‫חיתוך‬

‫‪1/1‬‬

‫‪1/-1‬‬

‫∞‪1/‬‬

‫‪1/1‬‬

‫הופכי‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(1 0 1 1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫"המרה"‬

‫¾ מצא את מצייני מילר של המישור שבתמונה‪:‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪a3‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪a1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫חיתוך‬

‫‪1/-1‬‬

‫הופכי‬

‫‪1/-1 1/1‬‬

‫‪1/1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫"המרה"‬

‫) ‪(1 2 1 1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את מצייני הכיוונים‬ ‫והמישורים שבאיור‪.‬‬ ‫מישור ‪A‬‬ ‫‪a3‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪a1‬‬

‫∞‬

‫∞‬

‫∞‬

‫‪1/ ∞ 1/1‬‬

‫∞‪1/‬‬

‫∞ ‪1/‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪(0 0 0 1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ מצא את מצייני מילר של‬ ‫הכיוונים והמישורים שבתמונה‪:‬‬

‫מישור ‪B‬‬ ‫‪a3‬‬

‫‪c‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/ (-1/2) 1/1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪a1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/1‬‬

‫‪1/ 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪(1 1 2 1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫כיוון ‪C‬‬ ‫ראש‪0,0,1 :‬‬

‫זנב‪1,0,0 :‬‬

‫‪0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1‬‬

‫] ‪[1 0 1] ⇒ [ 2 1 1 3‬‬ ‫כיוון ‪D‬‬ ‫ראש‪0,1,0 :‬‬

‫זנב‪1,0,0 :‬‬

‫‪0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0‬‬

‫] ‪[1 1 0 ] ⇒ [1 1 0 0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫יעילות צפיפות האריזה הקווית‬ ‫ויעילות צפיפות האריזה המשטחית‬ Linear and Planar APF Linear APF =

length that passes through atom centers length in a specific direction

Planar APF =

area occupied by atoms total crystallographic plane area

HCP

FCC

BCC

‫יעילות צפיפות האריזה הקווית‬ ‫ויעילות צפיפות האריזה המשטחית‬ Linear and Planar APF -‫ ו‬Linear Density (LD) ‫ נעשה שימוש במונחים‬Callister ‫ בספרו של‬:‫*** שימו לב‬ ‫ אולם שימוש‬,‫ בהתאמה‬,Planar APF -‫ ו‬Linear APF ‫ במקום‬Planar Density (PD) ‫מנת שלא ליצור בלבול עם המושגים שבספרם של‬-‫זה אינו מומלץ ע"י מרצי הקורס על‬ :Askeland & Phulé

Linear density (LD) =

number of repeat distances length in a specific direction

Planar density (PD) =

atoms per face area of face

‫פרמטר הסריג של נחושת הינו ‪ .0.36151 nm‬חשב עבור כיוון‬ ‫]‪ ,[110‬את‪) :‬א( 'המרחק החוזר'‪) ,‬ב( הצפיפות הקווית )‪,(LD‬‬ ‫)ג( יעילות צפיפות האריזה הקווית )‪ .(LAPF‬לנחושת מבנה‬ ‫‪.FCC‬‬ ‫)א( המרחק החוזר‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪2a0‬‬ ‫= ‪2 0 .3 6 1 5 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0 .2 5 5 6 n m‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫)ב( הצפיפות הקווית‪:‬‬

‫=‬

‫‪2 la ttice p o in t‬‬

‫= ‪L in ea r D en si t y‬‬

‫‪2 ⋅ 0 .3 6 1 5 1‬‬ ‫‪= 3 .9 1 la ttic e p o in t s / n m‬‬

‫)ג( יעילות צפיפות האריזה הקווית‪:‬‬ ‫‪4 R‬‬ ‫‪Linear‬‬ ‫‪Atomic‬‬ ‫= ‪PFr D e n si t y‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪to m ic‬‬ ‫‪L in ea‬‬ ‫‪4R‬‬ ‫‪= 1 .0‬‬ ‫במבנה ‪ FCC‬האטומים נוגעים זה בזה לאורך כיוון‬ ‫]‪ .[110‬לכן הצפיפות האטומית הלינארית הינה ‪.1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ פרמטר הסריג של ליתיום הינו ‪ .0.35089 nm‬לליתיום מבנה‬ ‫‪.BCC‬‬ ‫¾ חשב עבור כיוון ]‪, [111] , [110] ,[100‬את‪) :‬א( 'המרחק החוזר'‪,‬‬ ‫)ב( הצפיפות הקווית‪) ,‬ג( יעילות צפיפות האריזה הקווית‪.‬‬ ‫¾ איזה כיוון מבין השלושה הינו הצפוף ביותר?‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫)‪ (1‬עבור כיוון ]‪:[001‬‬ ‫‪3a0 / 4‬‬

‫= ‪r‬‬

‫שוני במבנה הגבישי מוליך לתוצאות שונות‪ .‬המשמעות של ההבדלים‬ ‫בין ‪ FCC‬ל‪ BCC -‬מתבטא בתכונות החומר‪ ,‬כפי שנראה בהמשך‪.‬‬

‫)‪ (2‬עבור כיוון ]‪:[110‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫)‪ (3‬עבור כיוון ]‪:[111‬‬

‫סיכום‪ :‬כיוון ]‪ [111‬הוא הכיוון הצפוף ביותר‪ .‬לאורכו נוגעים האטומים‬ ‫זה בזה‪ .‬במבנה ‪ BCC‬כיוון ]‪ [111‬נחשב לכיוון צפוף אריזה‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

- 7 ‫שאלה‬ Calculate the linear APF of the [100] direction for BCC.

M

N

M N

a

a

‫פתרון‬

[100]

The lattice parameter, a, is the distance between the centers of atoms M and N. In terms of atomic radius R:

a=

4R 3

The total line length intersecting circles is equal to 2R, thus:

Linear APF =

2R 4R

3

= 0.866

FCC ‫• טבלת סיכום של יעילות צפיפות האריזה הקווית עבור מבנה‬ -‫< ו‬110> , ‫ בכיוונים‬BCC ‫ומבנה‬ .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

8 ‫שאלה‬

Calculate the planar APF of the (110) plane for FCC. A

D

C

B

A

B

C

D

E

F

F

E

a

‫פתרון‬

The rectangle length (AC) and width (AD) are:

AC = 4R , AD = 2R 2 A ACDF = (AC)(AD) = (4R )(2R 2 ) = 8R 2 2 One fourth of each of atoms A, C, D and F and one half of atoms B and E reside within this rectangle, which gives a total of 2 equivalent circles. Thus the total circle area is A c = 2πR 2

Planar APF =

Ac A ACDF

=

2πR 2 8R 2 2

= 0.555

‫¾ חשב את הצפיפות המישורית ואת 'פקטור האריזה המישורי' לחומר‬ ( 0 1 0 ), ( 0 2 0 ) : ‫פשוט עבור המישורים‬-‫בעל מבנה קובי‬ .a0 = 0.334 nm :‫ פרמטר הסריג‬:‫¾ נתון‬

.‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

‫¾‬

‫עבור מישור ) ‪( 0 1 0‬‬

‫¾ סה"כ ‪ 4‬אטומים בפינות כאשר כל אטום תורם ¼‪.‬‬ ‫= מספר האטומים למישור נטו‪.1 :‬‬ ‫¾ הצפיפות המישורית הינה‪:‬‬ ‫‪atom per face 1 atom per face‬‬ ‫=‬ ‫‪area of face‬‬ ‫‪(0.334)2‬‬

‫= )‪Planar density (010‬‬

‫‪= 8.96 atoms/nm 2 = 8.96 × 1014 atoms/cm 2‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ יעילות צפיפות האריזה המשטחית‪:‬‬ ‫) ‪area of atoms per face (1 atom) (π r 2‬‬ ‫= )‪Packing fraction (010‬‬ ‫=‬ ‫‪area of face‬‬ ‫‪(a 0 )2‬‬

‫‪= 0.79‬‬

‫¾ עבור מישור‬

‫‪π r2‬‬ ‫‪(2r )2‬‬

‫=‬

‫)‪(0 2 0‬‬

‫™ הצפיפות המישורית ויעילות צפיפות האריזה המשטחית הינן אפס‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ עבור מבנה ‪ ,BCC‬חשב את הצפיפות המישורית‪ ,‬עבור המישורים‬ ‫הבאים‪(1 0 0 ), (1 1 0 ), (1 1 1 ) :‬‬

‫¾‬

‫עבור מישור ) ‪(1 0 0‬‬

‫¾ סה"כ ‪ 1‬אטומים‬ ‫למישור )כל אטום‬ ‫תורם ¼(‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ עבור מבנה ‪ ,BCC‬אורך הצלע של תא היחידה‪-:‬‬ ‫¾ שטח הפאה של הקובייה‪:‬‬

‫‪4⋅R‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪a0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪16 ⋅ R 2‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 4⋅R‬‬ ‫⎜‬ ‫= ⎟‬ ‫‪3‬‬ ‫⎠ ‪3‬‬ ‫⎝‬ ‫)‪(100‬‬

‫‪2D repeat unit‬‬

‫‪4⋅R‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪a0‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫)‪(100‬‬

‫¾ מכאן‪ ,‬הצפיפות המישורית של מישור )‪ (100‬הינה‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾‬

‫עבור מישור ) ‪(1 1 0‬‬

‫¾ סה"כ ‪ 2‬אטומים למישור )כל אטום בפינה תורם ¼‪ ,‬ואטום‬ ‫במרכז תורם ‪.(1‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ הפעם מדובר במלבן‪ ,‬בעל שטח ‪.x*y‬‬

‫‪4⋅R‬‬

‫¾ הצלע ‪ x‬היא המקצוע של תא‪-‬היחידה‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫¾ האלכסון ‪ z‬הוא בדיוק ‪.4R‬‬

‫‪z2 − x2‬‬

‫= ‪)2‬‬

‫‪4R‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪y‬‬

‫( ‪(4 ⋅ R )2 −‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪y‬‬

‫‪4⋅R‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪Z = 4⋅R‬‬

‫¾ שטח המלבן ‪ x*y -‬הינו‪:‬‬

‫¾ והצפיפות המישורית על‪-‬גבי מישור )‪:(110‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫= ‪x = a0‬‬

‫¾ עבור ליתיום‪ ,‬בעל מבנה ‪ ,BCC‬חשב את הצפיפות המישורית ואת‬ ‫יעילות צפיפות האריזה המשטחית עבור המישור ) ‪(1 1 1‬‬ ‫¾ נתון‪ :‬פרמטר הסריג‪a0 = 0.35089 nm :‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪600‬‬

‫‪y‬‬ ‫גובה‬

‫) ‪2 co s 3 0 0‬‬

‫בסיס ‪1‬‬ ‫‪A = (a0 2 ) ⋅ (a0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫¾ עבור מישור ) ‪(1 1 1‬‬ ‫¾ סה"כ ½ אטום למישור )כל אטום בפינה תורם ‪,1/6‬‬ ‫כך ש‪ 3 -‬אטומים תורמים ‪.(1/6 x3 = 1/2‬‬ ‫¾ ומכאן‪ ,‬הצפיפות המישורית‪:‬‬

‫ויעילות צפיפות‬ ‫האריזה‬ ‫המשטחית‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫שטח כל אטום‪X‬מס' אטומים‬

‫שטח המישור‬

‫• טבלת סיכום של יעילות צפיפות האריזה המשטחית עבור מבנה‬ ‫‪ FCC‬ומבנה ‪ BCC‬במשפחות מישורים }‪ {110} ,{100‬ו‪{111} -‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫מישורים בגביש ‪FCC‬‬

‫‪z‬‬

‫‪y‬‬

‫‪(1 0 0) plane‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪Look down this direction‬‬ ‫)‪(perpendicular to the plane‬‬

‫‪x‬‬

FCC ‫מישורים בגביש‬ z Look down this direction (perpendicular to the plane)

y

x

(1 1 1) plane .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

HCP ‫מישורים בגביש‬ z

a2 a3

(0 0 0 1) plane a1

Parallel to a1, a2 and a3 -> h = k = i = 0 Intersects at z = 1

.‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

HCP ‫מישורים בגביש‬ z

a2 +1 in a1

a3 -1 in a2

a1 h = 1, k = -1, i = -(1+-1) = 0 , l = 0

z

(1 1 0 0) plane .‫באדיבות ד"ר עוז גולן‬

(1 1 1) plane of FCC

y x

(0 0 0 1) plane of HCP

z

SAME THING!*

a2 a3 .‫ באדיבות ד"ר עוז גולן‬a1

*Note: The difference is in the third layer.

‫מכפלות סקלריות ווקטוריות‬ ‫מכפלה וקטורית‬

‫גאומטרית‪ ,‬גודלו של ‪c‬‬

‫|‪|c‬הוא שטח‬ ‫המקבילית הנוצרת‬ ‫ע"י הוקטורים ‪ a‬ו‪-‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.b‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪|b|cosα‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A‬‬

‫|‪|b‬‬ ‫‪|a|co‬‬ ‫‪sα‬‬

‫מכפלה סקלרית‬ ‫מכפלת וקטור ‪b‬‬ ‫בהשלכתו של‬ ‫הוקטור השני עליו‬ ‫)גאומטרית(‬

‫‪a‬‬

‫|‪|a‬‬

‫⇒ ‪c = a ×b‬‬ ‫‪c = a ⋅ b sin α = ab sin α = A‬‬

‫משמשת למציאת‬ ‫כיוונים‪/‬מישורים‬ ‫עצמם‪:‬‬

‫‪k‬‬

‫‪j‬‬

‫‪a ⋅ b = a ⋅ b cos α = ab cos α‬‬

‫‪i‬‬

‫= ‪c = x1 y1 z1‬‬ ‫⎞‬ ‫‪x2 y 2 z 2‬‬ ‫⎟‬ ‫) ‪⎟ c = i( y z − y z ) − j (x z − x z ) + k (x y − x y‬‬ ‫⎠‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬

‫משמשת למציאת זוויות‬ ‫בין כיוונים‪/‬מישורים‪:‬‬

‫⎛‬ ‫‪x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2‬‬ ‫⎜‪α = arc cos‬‬ ‫‪⎜ x2 + y2 + z 2 x2 + y2 + z 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎝ 1‬‬

‫¾ מרחק בין‪-‬מישורים )‪ – (Interplanar Spacing‬המרחק בין‬ ‫שני מישורי אטומים מקבילים‪ ,‬הקרובים זה לזה‪ ,‬ובעלי אותם מצייני‬ ‫מילר‪.‬‬ ‫¾ המרחק בין המישורים מוגדר כ‪-‬‬

‫‪a0‬‬ ‫‪h2 + k 2 + l 2‬‬

‫= ‪d hkl‬‬

‫‪ = a0 9‬פרמטר הסריג בגביש קובי‪.‬‬ ‫‪ = h,k,l 9‬מצייני מילר למישורים‪.‬‬ ‫‪ = dhkl 9‬מרחק בין שני מישורים מקבילים‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ אורך תא היחידה הוא המרחק בין‬ ‫מישורי )‪(001‬‬ ‫‪d 001 = a 0‬‬ ‫¾ לפי המשוואה מקבלים את‬ ‫אותה התוצאה‪:‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪0 2 + 0 2 + 12‬‬ ‫‪1 = a0‬‬

‫= ‪d 110‬‬

‫)‪(0 0 1‬‬

‫‪= a0 /‬‬

‫¾ באופן כללי‪ ,‬ככל שמצייני המישורים יותר גדולים‪ ,‬כך המרחק‬ ‫בין המישורים המקבילים יותר קטן‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫¾ שליש האלכסון‬ ‫של הבסיס הוא‬ ‫המרחק בין מישורי‬ ‫)‪(111‬‬ ‫‪a0 ⋅ 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫¾ לפי המשוואה‬ ‫מקבלים את אותה‬ ‫התוצאה‪:‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫) ‪(1 1 1‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪12 + 12 + 12‬‬ ‫‪a0 ⋅ 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪3‬‬

‫= ‪d 110‬‬ ‫‪= a0 /‬‬

‫) ‪(1 1 0‬‬

‫) ‪(1 2 0‬‬

‫)‪(0 1 0‬‬ ‫¾ דוגמאות למישורים שונים במבנה קובי דו‪-‬מימדי‪ .‬ככל שאינדקסי‬ ‫)‪ (hkl‬גדולים יותר‪ ,‬כך המרחק בין המישורים קטן יותר‪.‬‬

‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫פולימורפיזם )ריבוי צורה( ‪ -‬כאשר ליסוד מסוים ישנם מספר מבנים‬ ‫גבישיים שונים בתנאים שונים‪.‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬היסוד פחמן )‪ (C‬יכול להופיע כגרפיט‪ ,‬כמבנה יהלום וכפחמן ‪.60‬‬

‫פחמן ‪ -‬גרפיט‬

‫לחץ‪ ,‬טמפרטורה‬

‫פחמן ‪ -‬גרפיט‬

‫פחמן ‪60‬‬ ‫‪Fullerenes‬‬ ‫‪Buckyball‬‬

Polymorphs of Carbon

‫‪Polymorphism‬‬

‫‪FeFCC‬‬

‫‪T = 912 oC‬‬

‫‪Liquid‬‬ ‫‪FeBCC‬‬

‫‪δ - Fe‬‬

‫‪CN = 12‬‬

‫‪CN = 8‬‬

‫‪PF = 0.74‬‬

‫‪PF = 0.68‬‬

‫‪rat (Room Temp.) = 0.129 nm‬‬

‫‪rat (Room Temp.) = 0.1241 nm‬‬

‫‪γ - Fe‬‬

‫‪T‬‬

‫‪rat (T=912oC) = 0.126 nm‬‬ ‫‪FeBCC‬‬

‫)‪ZrO2 (cubic‬‬

‫‪T = 1400 oC‬‬

‫‪FeFCC‬‬

‫)‪ZrO2 (tetragonal‬‬

‫‪α- Fe‬‬

‫)‪ZrO2 (monoclinic‬‬

‫¾ חומר איזוטרופי – חומר שבו התכונות זהות לכל הכיוונים‪.‬‬ ‫¾ חומר אנאיזוטרופי – חומר שתכונותיו תלויות בכיווניות הגבישית‪,‬‬ ‫דהיינו‪ ,‬בכיוון מסוים מקבלים התנהגות שונה מאשר בכיוון האחר‪.‬‬ ‫¾ תכונות‪ -‬מכניות‪ ,‬אופטיות‪ ,‬חשמליות‪ ,‬מגנטיות‪ ,‬וכו'‪.‬‬ ‫¾ באופן תיאורטי‪ ,‬כל גביש אמור להיות‬ ‫‪E (diagonal) = 273 GPa‬‬ ‫אנאיזוטרופי‪ .‬תכונותיו תלויות בכיוונים‬ ‫הגבישיים‪.‬‬ ‫¾ תכונות התלויות בקשרים הבין‪-‬אטומים‬ ‫תושפענה מאוד מהכיווניות הגבישית‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬מודול האלסטיות‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬

‫‪E (edge) = 125 GPa‬‬

‫‪α-Fe‬‬

‫מודול יאנג )מודול האלסטיות( של חומרים שונים כתלות בכיווניות‬ ‫הגבישית‪ .‬האנאיזוטרופיות ניכרת בחומרים חד‪-‬גבישיים‪.‬‬ ‫באדיבות ד"ר עוז גולן‪.‬‬