3- Aplicaciones Prácticas de La Óptica Geométrica

CAPÍTULO 3

Aplicaciones prácticas de la óptica geométrica José J. Esteve, Antonio J. del Águila, Santiago García, Caridad Pérez y Alejandro Cerviño  SUMARIO DEL CAPÍTULO Introducción 25

Puntos nodales 30

El camino óptico óptico y el principio de Fermat 26

Reglas básicas del trazado de rayos 30

Leyes fundamentales de la óptica geométrica 26 Reflexión total interna 26

Relaciones de conjugación 30

Sistemas ópticos: nomenclatura 27 Dioptrio esférico en aproximación paraxial. Criterio de signos 27 Caracterización de sistemas ópticos ópticos 28 Aumento lateral ß’ 28 Aumento angular γ’ 28

 .   o    t    i    l   e    d   n   u   s   e   n    ó    i   c   a   z    i   r   o    t   u   a   n    i   s   r   a    i   p   o   c   o    t   o    F  .    R    E    I    V    E    S    L    E    ©

Acoplamiento de sistemas ópticos: lente gruesa y lente delgada 31 Lente gruesa 31 Lente delgada 31 Formación de imágenes por lentes delgadas 32 Formación de imágenes por espejos esféricos 32

Focos y planos focales 28

Prismas ópticos 32

Puntos y planos principales 29

Dispersión cromática 33

Distancias focales 29

Ideas clave 34

INTRODUCCIÓN

que la velocidad de propagación de la luz en el medio será siempre menor o igual a la velocidad de propagación de la luz en el vacío. El valor del índice de refracción indica la capacidad que tiene el medio para disminuir la velocidad de la radiación que se propaga a su través. Cuanto mayor sea el índice de refracción, menor será la velocidad de propagación de la radiación en el medio en cuestión. En cuanto a la caracterización de la propagación de la luz en un medio, se emplea el concepto de rayo luminoso, que se define como la curva geométrica perpendicular a las superficies de las ondas electromagnéticas en medios isótropos. Recordemos que un medio se considera isótropo cuando las propiedades que lo definen son independientes de la dirección en la que se miden. Si el medio en el que se propaga la luz es homogéneo, es decir, si las propiedades que lo definen son independientes de la posición del punto en el propio medio, los rayos luminosos que se obtienen son líneas rectas. El tamaño de los elementos que componen un sistema óptico es habitualmente mucho mayor que la longitud de onda para la región del espectro visible. Por tanto, los postulados enunciados dentro de la teoría de la óptica geométrica constituyen una buena aproximación al problema, y permiten explicar de manera sencilla una gran cantidad de fenómenos macroscópicos cotidianos.

La óptica es la parte de la física que estudia las leyes y los fenómenos de la luz. Entendemos como luz tanto la región visible del espectro electromagnético como las regiones del espectro electromagnético inmediatas a los dos extremos del espectro visible. La óptica geométrica, como parte fundamental de la óptica, aborda principalmente los aspectos relacionados con la propagación de la luz en los diferentes medios. Los principales postulados de la óptica geométrica se derivan, como una aproximación de la teoría general, de la óptica ondulatoria, ligada a la naturaleza ondulatoria de la luz1, cuando los elementos involucrados tienen un tamaño mucho mayor que la longitud de onda de la radiación considerada. El desarrollo de la teoría de la óptica geométrica se basa en el concepto del índice de refracción, que define al medio en el que se propaga la luz, y en el concepto de rayo luminoso, que caracteriza la propia propagación de la luz en el medio. El índice de refracción, generalmente representado como n, se define como el cociente entre la velocidad de propagación de la luz en el vacío, c = 299.792.458 m/s, y la velocidad de propagación de la luz en el medio en cuestión, v. El valor de n será siempre mayor o igual a 1, dado

25

26

SECCIÓN I Generalidades

EL CAMINO ÓPTICO Y EL PRINCIPIO DE FERMAT Consideremos la propagación de la luz en un medio isótropo y homogéneo. Si representamos con n el índice de refracción del medio, y con  s  la distancia recorrida por la luz, podemos definir el camino óptico L como1: =

 

[3.1]

Si la luz atraviesa durante su propagación varios medios homogéneos con diferentes valores en sus índices de refracción, el camino óptico se podría definir como: =

∑i=1

 

[3.2]

Si consideramos la propagación de la luz en un medio heterogéneo, podríamos dividir el camino recorrido por la luz en fragmentos infinitesimales, en los que el valor del índice de refracción se podría suponer constante. En este caso, si la luz recorre el camino desde un punto  A hasta un punto B, el camino óptico L se podría definir como: [3.3]

donde t   es el tiempo que tarda la luz en recorrer el camino de A a B.  A partir de la definición de camino óptico podemos introducir un principio básico en la teoría de la óptica geométrica, el principio de Fermat 2. Este fue enunciado por el matemático francés Pierre de Fermat en el año 1662, y afirma: «La trayectoria seguida por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es mínimo comparado con otros posibles trayectos próximos» , o en su forma más genérica, «La trayectoria seguida por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de dicha trayectoria». Matemáticamente podemos expresar el

principio de Fermat como:

[3.4]

LEYES FUNDAMENTALES DE LA ÓPTICA GEOMÉTRICA Las leyes fundamentales de la óptica geométrica 3, entre las que destacan la ley de la reflexión o la ley de la refracción de Snell, se pueden derivar del principio de Fermat enunciado en el apartado anterior. Se trata de cinco leyes básicas que permiten explicar muchos fenómenos ópticos dentro de los formalismos en los que es válida la aproximación de la óptica geométrica. Pero antes de enunciar estas leyes fundamentales es conveniente definir los conceptos de refracción y reflexión. Cuando la luz llega a la superficie de separación de dos medios de índice de refracción diferente, parte de la luz retrocede hacia el medio de partida, es decir, sufre una reflexión, y parte de la luz atraviesa la superficie límite y se propaga en el segundo medio, es decir, sufre una refracción. Entendemos por reflexión el cambio de dirección que experimenta la luz en el mismo medio por el que se propagaba inicialmente. De acuerdo con las características de la superficie de separación de los dos medios, la reflexión puede ser especular o difusa. La reflexión especular tiene lugar cuando la superficie está perfectamente pulida, mientras que la reflexión difusa se produce cuando la superficie es más o menos rugosa.

Por su parte, la refracción es el cambio de dirección que experimenta la luz al pasar de un medio al otro. La refracción tiene su origen en el cambio de la velocidad de propagación de la luz al pasar al segundo medio, cambio que se manifiesta en la variación del índice de refracción que caracteriza a cada uno de los medios en los que la luz se propaga. Una vez introducidos los conceptos de reflexión y refracción, podemos enunciar lo que se conoce con el nombre de leyes fundamentales de la óptica geométrica: • Las trayectorias de la luz en medios homogéneos e isótropos son rectilíneas. • Cuando la luz llega a la superficie de separación de dos medios de índice de refracción diferente, el rayo incidente, el refractado y la perpendicular a la superficie de separación de los dos medios en el punto de incidencia son coplanarios. Se llama ángulo de incidencia, y se denota con ε, al formado por el rayo incidente y la perpendicular a la superficie de separación en el punto de incidencia. Se denomina ángulo de refracción, y se denota con ε’, al formado por el rayo refractado y la perpendicular a la superficie de separación. • La luz refractada sigue la ley de la refracción de Snell, según la cual el producto del índice de refracción del primer medio, n, por el seno del ángulo de incidencia es igual al producto del índice de refracción del segundo medio, n’ , por el seno del ángulo de refracción. Es decir: [3.5]

• La luz reflejada sigue la ley de la reflexión, según la cual el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, entendiendo por ángulo de reflexión el formado por el rayo reflejado y la perpendicular a la superficie de separación en el punto de incidencia. • Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles.

REFLEXIÓN TOTAL INTERNA Un caso particular de la ley de la refracción de Snell se da cuando la luz incide desde un medio de índice de refracción n hacia otro de índice de refracción menor n’ (n’ < n). En este caso, y para ángulos de incidencia superiores a un cierto ángulo conocido como ángulo límite, εL , la luz no es capaz de atravesar la superficie de separación entre ambos medios, reflejándose completamente. Este caso particular se conoce con el nombre de reflexión total interna. La forma de calcular el valor del ángulo límite es igualar el ángulo de refracción a 90 grados y obtener su correspondiente ángulo de incidencia según la ley de la refracción: [3.6]

De esta forma, para cualquier ángulo de incidencia superior al ángulo límite (cuyo valor depende únicamente de los valores de los índices de refracción n y n’ ), no habrá luz refractada, solo luz reflejada. La reflexión total interna se utiliza en las fibras ópticas para guiar la luz a través de la fibra sin grandes pérdidas de energía. Otro ejemplo de la utilización del fenómeno de la reflexión total interna en instrumentos ópticos cotidianos es el uso del pentaprisma en las cámaras fotográficas réflex, o los prismas de Porro en los prismáticos (este tipo de prismas toman su nombre

CAPÍTULO 3. Aplicaciones prácticas de la óptica geométrica

del inventor italiano Ignazio Porro, quien los descubrió alrededor del año 1850).

SISTEMAS ÓPTICOS: NOMENCLATURA

 .   o    t    i    l   e    d   n   u   s   e   n    ó    i   c   a   z    i   r   o    t   u   a   n    i   s   r   a    i   p   o   c   o    t   o    F  .    R    E    I    V    E    S    L    E    ©

Entendemos como sistema óptico formador de imágenes al conjunto de superficies que separan medios de distinto índice de refracción, y que se disponen de tal modo que permiten guiar adecuadamente la luz para formar una imagen. Los sistemas ópticos más utilizados están formados por superficies curvas con sus centros de curvatura alineados. La recta que une estos centros de curvatura es la que define el eje óptico del sistema. Dado un sistema óptico, denominaremos objeto al cuerpo que emite luz que penetra en el sistema. Podremos considerar que dicho objeto está compuesto por múltiples puntos emisores de luz. Considerando un sistema óptico formador de imágenes, los rayos que parten de cada uno de los puntos del objeto entrarán en el sistema óptico, se refractarán y/o reflejarán en cada una de las superficies del sistema, y a la salida formarán una imagen del objeto. El objeto y su imagen a través del sistema óptico se denominan con las letras O y O’ , respectivamente. En este caso, se dice que el objeto O y la imagen O’  están conjugados a través del sistema óptico. Los objetos y las imágenes pueden ser reales, en el caso de que la luz pase efectivamente por ellos, o virtuales, si la luz no pasa realmente por ellos. Así, una imagen es real cuando está formada por los propios rayos a la salida del sistema óptico. Una imagen real no la podemos percibir directamente, pero se puede registrar colocando una pantalla en el lugar donde se forma la imagen. En cambio, una imagen virtual es aquella que no podemos recoger sobre una pantalla. La imagen virtual la podemos percibir en el lugar donde se unen las prolongaciones de los rayos que salen del sistema. Es decir, los rayos parecen venir desde un punto por el que no han pasado realmente. A modo de ejemplo, la imagen formada por un espejo plano es un caso de imagen virtual. Se denomina espacio objeto al espacio geométrico donde pueden existir objetos, ya sean reales o virtuales. De igual modo, se denomina espacio imagen al espacio donde pueden existir imágenes, ya sean reales o virtuales.  Aunque normalmente se suele considerar como espacio objeto al espacio situado a la izquierda del sistema óptico, suponiendo que la luz va de izquierda a derecha, y como espacio imagen a la parte situada a la derecha del sistema óptico, todo el espacio puede ser a la vez espacio objeto y espacio imagen. Cuando se unen varios sistemas ópticos, se irá formando la imagen en cadena. Es decir, a partir de un objeto inicial al que llamaremos O1, el primer sistema óptico proporcionará una imagen O’ 1. Esta imagen podrá ser considerada como objeto para el segundo sistema, es decir, O 2 = O’ 1, el cual a su vez formará una nueva imagen O’  2. Y así sucesivamente hasta llegar a la imagen final a través del conjunto de todos los sistemas ópticos.

DIOPTRIO ESFÉRICO EN APROXIMACIÓN PARAXIAL. CRITERIO DE SIGNOS Un dioptrio es un sistema óptico constituido por dos medios homogéneos separados por una superficie continua. Un dioptrio puede ser plano, esférico, cilíndrico, etc., en función de la geometría que tenga la superficie que separa ambos medios. Más adelante veremos que los sistemas ópticos más sencillos, compuestos por láminas plano-pa-

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ralelas, prismas o lentes, están constituidos por una asociación de dioptrios. La aproximación paraxial se utiliza en óptica geométrica para simplificar las fórmulas que se van a emplear. Esta aproximación supone que las trayectorias de los rayos de luz forman ángulos pequeños con el eje óptico, de modo que podemos aproximar el seno y la tangente de un ángulo por el propio ángulo (en radianes), y el coseno por 1. Consideremos un dioptrio esférico, que separa dos medios de índice de refracción n y n’ , y que conjuga en apro ximación paraxial un objeto O  con su correspondiente imagen O’ . La figura 3-1 ofrece un esquema de este ejemplo con el fin de mostrar la nomenclatura que se emplea en este caso, considerando los rayos que salen del objeto O para formar la imagen O’.  A la hora de realizar cálculos con estas magnitudes es imprescindible considerarlas como magnitudes orientadas y, por tanto, debemos utilizarlas con el signo adecuado en función del siguiente criterio de signos 4: • Consideraremos que la luz viaja siempre de izquierda a derecha. Tras una reflexión, la luz viajará de derecha a izquierda. Este cambio en el sentido de propagación de la luz se puede tomar como un cambio en el signo de la velocidad de propagación y, por tanto, el índice de refracción se tomará como negativo tras una reflexión. • El radio de curvatura de una superficie se define como la distancia orientada desde su vértice hasta su centro de curvatura. • Todas las distancias sobre el eje orientadas en el sentido de propagación de la luz serán consideradas positivas. Por el contrario, las magnitudes orientadas en sentido inverso, es decir, de derecha a izquierda, se tomarán como negativas. • En cuanto a las distancias perpendiculares al eje, serán positivas si la magnitud se mide desde el eje hacia arriba.  Y serán negativas si se miden desde el eje hacia abajo. • Los ángulos con el eje óptico, medidos siempre por el camino angular más corto, serán tomados como positivos si al llevar el rayo hacia el eje se sigue un sentido antihorario. Y serán considerados negativos si al llevar el rayo hacia el eje se sigue un sentido horario. • Los ángulos con la perpendicular a la superficie de separación de los dos medios, medidos siempre por el camino angular más corto, serán tomados como positivos si al llevar el rayo hacia la perpendicular se sigue un sentido horario. En cambio, serán considerados negativos si al llevar el rayo hacia la normal se sigue un sentido antihorario.  Teniendo en cuenta este criterio de signos podemos calcular la fórmula de conjugación para el dioptrio esférico. Esta fórmula de conjugación nos va a permitir obtener la posición de la imagen  s’   en función de la posición del objeto s y de las características del dioptrio. Es importante recordar que estamos teniendo en cuenta la aproximación paraxial, por la cual los rayos de luz forman ángulos pequeños con el eje óptico.  A partir de las diferentes magnitudes consideradas en la figura anterior podemos obtener las siguientes relaciones: [3.7] [3.8]

siendo:

28

SECCIÓN I Generalidades [3.9]

 Teniendo en cuenta la ley de la refracción: [3.10]

 Y por tanto, aplicando las ecuaciones [3.7], [3.8] y [3.9]:

Entre ellas destacamos, como veremos a continuación, el aumento lateral, el aumento angular, así como los diferentes elementos cardinales, que no son más que un conjunto de planos y puntos característicos que, en aproximación paraxial, permiten conocer cómo se comporta cualquier rayo que entra en el sistema óptico. Para la definición de cada uno de los elementos que permiten caracterizar un sistema óptico tendremos en cuenta las diferentes magnitudes definidas en la figura 3-1.

[3.11]

Aumento lateral ß’

[3.12]

Se define como la relación de proporcionalidad entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto. Tiene un  valor fijo para cada par de planos conjugados: [3.18]

[3.13]

O expresado en función de las distancias objeto e imagen:

De donde finalmente podemos obtener: [3.14]

[3.19]

Que se conoce como fórmula de conjugación del dioptrio esférico en aproximación paraxial, y que permite obtener la posición s’  de la imagen O’  de un punto O, conociendo la posición del objeto  s, y las características del dioptrio (radio de curvatura r , e índices de refracción n y n’ ). Es interesante analizar algunos casos particulares para esta fórmula de conjugación, que se obtienen considerando las siguientes circunstancias:

En la unión de varios sistemas ópticos (normalmente conocida como acoplamiento de sistemas ópticos), dado que, como se ha comentado con anterioridad, la imagen se va formando en cadena, el aumento lateral total vendrá dado por el producto de los aumentos laterales de cada uno de los sistemas formadores de imagen que constitu yen el acoplamiento.

• Para el caso de un dioptrio plano, es decir, con r → ∞: [3.15]

• Para el caso de un espejo plano, es decir, con r → ∞ y n’  = –n (teniendo en cuenta el cambio en el sentido de propagación de la luz): [3.16]

Aumento angular γ ’ El aumento angular se define únicamente para puntos del eje óptico, y viene dado por la siguiente ecuación: [3.20]

La relación entre el aumento angular y el aumento lateral viene determinada por la siguiente expresión: [3.21]

• Para el caso de un espejo esférico de radio r : [3.17]

CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS ÓPTICOS Existen una serie de magnitudes que se pueden emplear para la caracterización de los diferentes sistemas ópticos 1-3.

Figura 3-1. Dioptrio esférico en aproximación paraxial. Nomenclatura. C: centro de curvatura del dioptrio esférico de radio r. S: vértice del dioptrio.  h: altura a la que incide sobre el dioptrio el rayo considerado en la figura. ϕ: ángulo subtendido por el punto de incidencia desde el centro C. s, s’: distancias a los puntos objeto e imagen desde S. y , y’: altura del objeto y la imagen desde el eje óptico. ε, ε’: ángulos de refracción en el punto de incidencia. σ, σ’, ϖ, ϖ’: ángulos con el eje óptico del sistema.

Focos y planos focales Si sobre el sistema óptico entra un haz de rayos paralelos al eje, a la salida del mismo estos rayos se concentrarán en un punto del eje que se conoce como punto focal imagen. Este punto se representa con la letra F’. El plano perpendi-

n

n’ ε’

ε

y σ

ω

h

ϕ

ω’ C

S

O

s

σ’

r s’

O’

y’

CAPÍTULO 3. Aplicaciones prácticas de la óptica geométrica

cular al eje óptico que contiene al punto focal imagen es el plano focal imagen. Dicho de otro modo, el plano del infinito y el plano focal imagen son conjugados a través del sistema óptico. Por otro lado, y por analogía con la definición del punto focal imagen F’ , si sobre el sistema óptico entra un haz de rayos provenientes del punto focal objeto, saldrán del mismo paralelos entre sí y paralelos al eje óptico. El plano perpendicular al eje óptico que contiene al punto focal objeto es el plano focal objeto. El punto focal objeto se representa con la letra F . El plano focal objeto es aquel cuyo conjugado a través del sistema es el plano del infinito. Es inmediato demostrar, a partir de las definiciones  vistas con anterioridad, que para el punto focal objeto el aumento angular es nulo (ya que σ’ = 0), mientras que, según la ecuación [3.21], el aumento lateral tiende a infinito. Y para el punto focal imagen el aumento angular tiende a infinito (ya que σ = 0), mientras que el aumento lateral es nulo. Los puntos focales F  y F’   (denominados muchas veces foco objeto y foco imagen, respectivamente) son extremadamente importantes para la caracterización del sistema óptico. Es fundamental recordar que no se trata de puntos conjugados entre sí, puesto que F’   es el conjugado de un objeto en el infinito, mientras que F   es el conjugado de una imagen en el infinito. Los focos objeto e imagen de un sistema óptico pueden ser tanto reales como virtuales, según la luz pase o no realmente por ellos. Un sistema óptico es convergente cuando F’  es real, y divergente si F’  es virtual. En el caso de que en el sistema óptico entre un haz de rayos paralelos entre sí, pero no paralelos al eje óptico sino formando un cierto ángulo con él, a la salida del sistema estos rayos se concentrarán en un punto dado del plano focal imagen, pero fuera del eje óptico. Del mismo modo, los rayos que hayan pasado por un mismo punto del plano focal objeto, y entren en el sistema, saldrán del mismo paralelos entre sí, pero formando un cierto ángulo con el eje óptico. Considerando el ejemplo de un dioptrio esférico, y teniendo en cuenta la relación de conjugación en aproximación paraxial obtenida en la ecuación [3.14], podemos obtener fácilmente las posiciones de los focos objeto e imagen realizando las siguientes consideraciones: • Localización del foco objeto F   (imagen en el infinito,  s’  = ∞): [3.22]

• Localización del foco imagen F’   (objeto en el infinito,  s = ∞):  .   o    t    i    l   e    d   n   u   s   e   n    ó    i   c   a   z    i   r   o    t   u   a   n    i   s   r   a    i   p   o   c   o    t   o    F  .    R    E    I    V    E    S    L    E    ©

[3.23]

Puntos y planos principales Los planos principales son aquellos planos del espacio objeto e imagen para los que el aumento lateral entre ellos es igual a 1. Es decir, cualquier rayo pasa a la misma altura por ambos planos principales, tanto en el espacio objeto como en el espacio imagen, con independencia de la tra yectoria que siga el rayo en el interior del sistema óptico.  A diferencia de lo que ocurre con los puntos focales F  y , F’  los planos principales sí que son planos conjugados entre sí. Es decir, el plano principal imagen es el conjugado

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del plano principal objeto a través del sistema óptico. El plano principal objeto se suele representar con la letra H , mientras que el plano principal imagen se representa con la letra H’ . Los puntos principales son los puntos de corte entre los planos principales y el eje óptico del sistema. Considerando el ejemplo del dioptrio esférico, se puede demostrar que el plano principal objeto H   y el plano principal imagen H’   coinciden entre sí y pasan por el vértice S del dioptrio esférico.

Distancias focales  A partir de las posiciones de los puntos principales objeto e imagen, y de los focos objeto e imagen, se puede conocer el camino que recorre cualquier rayo que entre en el sistema óptico. Para ello se definen, a partir de estas magnitudes y como veremos a continuación, las distancias focales objeto e imagen. Se define la distancia focal objeto, que se representa con la letra f , como la distancia orientada, es decir, con signo, entre el punto principal objeto y el punto focal objeto. Es decir,  f = HF . Del mismo modo, se define la distancia focal imagen, que se representa con la letra  f’ , como la distancia orientada entre el punto principal imagen y el punto focal imagen. Es decir, f’ = H’F’ . Nótese la diferencia en la notación entre el uso de letras mayúsculas o minúsculas para indicar, respectivamente, la posición de los puntos focales objeto e imagen o las distancias focales objeto e imagen de un sistema óptico.  A partir de la distancia focal objeto f  se define la potencia objeto ϕ del sistema óptico como su inversa, ϕ = 1/ f .  Análogamente, a partir de la distancia focal imagen  f’  se define la potencia imagen ϕ’ del sistema óptico como ϕ’ = 1/ f’ . Al tratarse de magnitudes que expresan longitudes, las distancias focales se miden en unidades de longitud: metros, milímetros, etc. En cambio, las potencias se miden en dioptrías. La dioptría es la unidad que expresa la potencia (o análogamente, el poder de refracción) de un sistema óptico, y equivale al valor inverso de la distancia expresada en metros. Se puede demostrar que la relación entre las distancias focales objeto e imagen para un sistema óptico determinado viene dada por la siguiente ecuación 3: [3.24]

 A partir de esta ecuación podemos observar que la distancia focal objeto y la distancia focal imagen serán de signo contrario. Además, en el caso de que el índice de refracción del espacio objeto sea igual al índice de refracción del espacio imagen, la distancia focal imagen será igual en magnitud a la distancia focal objeto, aunque de signo contrario. Finalmente, en el caso de que estemos considerando un sistema óptico formado por espejos, en los que tomamos n’  = –n, las distancias focales objeto e imagen serán iguales tanto en magnitud como en signo. Considerando de nuevo el caso de un dioptrio esférico en aproximación paraxial, y dado que los puntos principales H  y H’   coinciden con el vértice del dioptrio S, es inmediato obtener, a partir de las relaciones indicadas con anterioridad, las ecuaciones para las distancias focales objeto e imagen: [3.25] [3.26]

30

SECCIÓN I Generalidades

Puntos nodales

remos algún ejemplo sencillo de aplicación de estas reglas básicas del trazado de rayos.

Los puntos nodales son aquellos puntos conjugados del eje óptico para los que el aumento angular entre ellos es igual a 1. El punto nodal objeto se representa por  N , mientras que el punto nodal imagen se representa por  N’ . Por la propia definición de los puntos nodales, si un rayo pasa real o virtualmente por el punto nodal objeto, pasará también real o virtualmente por el punto nodal imagen, con la misma inclinación con respecto al eje óptico del sistema. Para el caso particular del dioptrio esférico se cumple que el punto nodal objeto coincide con el punto nodal imagen, y a su vez ambos coinciden con el centro de cur vatura C del dioptrio.

RELACIONES DE CONJUGACIÓN Supongamos un sistema óptico como el representado en la figura 3-2, que podemos caracterizar por sus elementos cardinales (foco objeto F , foco imagen F’ , distancia focal objeto  f , distancia focal imagen  f’ , plano principal objeto H  y plano principal imagen H’ ), y en el que se ha obtenido la posición y tamaño de la imagen O’   empleando dos de las reglas básicas del trazado de rayos introducidas en el apartado anterior.  A partir de las diferentes magnitudes indicadas en la figura podemos establecer las siguientes relaciones, teniendo en cuenta que se trata de magnitudes orientadas, es decir, con signo, y que por tanto hay que considerar el criterio de signos introducido en el apartado «Dioptrio esférico en aproximación paraxial. Criterio de signos»:

REGLAS BÁSICAS DEL TRAZADO DE RAYOS Entendemos por trazado de rayos la determinación gráfica del camino que siguen los rayos de luz sobre un sistema óptico. Se trata de una operación sencilla que permite determinar de forma rápida las posiciones y los tamaños de las imágenes formadas por sistemas ópticos en los que se consideran válidas las aproximaciones de la óptica geométrica.  A continuación se enuncian brevemente las que se conocen como reglas básicas del trazado de rayos. Serán estas las reglas que deberemos emplear siempre que queramos obtener gráficamente el trazado de rayos sobre cualquier sistema óptico:

[3.27] [3.28]

En este punto es importante destacar una cuestión de nomenclatura: las posiciones del objeto y de la imagen medidas desde los planos principales objeto e imagen, respectivamente, se denotan como a y a’ . Para el caso de un dioptrio esférico en aproximación paraxial, como el plano principal objeto H   y el plano principal imagen H’  coinciden entre sí y pasan por el vértice S del dioptrio, las distancias a y a’   son totalmente equivalentes a las distancias s y s’  medidas desde el vértice S del dioptrio.  A partir de la ecuación [3.28] podemos obtener:

• Un rayo que entra paralelo al eje óptico del sistema sale del mismo cruzando el foco imagen F’ . • Un rayo que entra cruzando el foco objeto F  sale paralelo al eje óptico del sistema. • Un rayo que entra cruzando el centro de curvatura C del elemento óptico no se desvía. De este modo, para determinar gráficamente la posición y el tamaño de la imagen que se obtiene de un objeto dado a través del sistema óptico debemos trazar gráficamente los tres rayos de referencia que se han indicado en las reglas básicas del trazado de rayos:

[3.29]

que se conoce con el nombre de ecuación de Newton,  y relaciona las distancias focales objeto e imagen de un sistema óptico con las distancias del objeto y de la imagen a cada uno de los puntos focales. Sustituyendo ahora en la ecuación [3.29] las relaciones indicadas en la ecuación [3.27] podemos obtener:

• Un primer rayo que, partiendo de un punto dado del objeto, entre paralelo al eje óptico del sistema. • Un segundo rayo que, partiendo del mismo punto dado del objeto, entre al sistema cruzando el foco objeto F . • Y un tercer rayo que, partiendo nuevamente del mismo punto del objeto, entre al sistema cruzando el centro de curvatura C.

[3.30]

 Y aplicando ahora la ecuación [3.24] obtenemos la que se conoce con el nombre de fórmula de Gauss de la óptica geométrica:

La posición y el tamaño de la imagen vendrán determinados por el punto en el que se crucen estos tres rayos a la salida del sistema óptico. En los apartados siguientes ve-

[3.31]

n y

α

n’

F

β α

O

a’

a z

Figura 3-2. Sistema óptico caracterizado por sus elementos cardinales.

f

H

H’

f’

O’

F’

β

z'

y’

31

CAPÍTULO 3. Aplicaciones prácticas de la óptica geométrica

ACOPLAMIENTO DE SISTEMAS ÓPTICOS: LENTE GRUESA Y LENTE DELGADA Como ya se indicó con anterioridad, en la unión de varios sistemas ópticos la imagen se va formando en cadena 3. Es decir, a partir de un objeto inicial al que llamaremos O1, el primer sistema óptico proporcionará una imagen O’ 1. Esta imagen podrá ser considerada como objeto para el segundo sistema, es decir, O 2 = O’ 1, el cual a su vez formará una nueva imagen O’  2. Y así sucesivamente hasta llegar a la imagen final a través del conjunto de todos los sistemas ópticos. Por tanto, podemos actuar escalonadamente sobre cada uno de los sistemas e ir resolviendo las ecuaciones para cada uno de ellos según las fórmulas vistas hasta ahora. O bien podemos, alternativamente, obtener el que se conoce como sistema equivalente, que describe la actuación de todos los sistemas ópticos que se unen como si se tratara de un único sistema, cuyos elementos cardinales  vendrán determinados por los elementos cardinales de los diferentes sistemas ópticos que se unen.  A modo de ejemplo, veremos a continuación el sistema equivalente a la unión, o acoplamiento, de dos sistemas ópticos. Más adelante utilizaremos las ecuaciones de este sistema equivalente para obtener las fórmulas correspondientes a los casos de una lente gruesa y de una lente delgada. En la figura 3-3 se muestra la nomenclatura de las diferentes magnitudes que caracterizan a los dos sistemas ópticos acoplados.  Vamos a suponer el caso más general, es decir, aquel en el que se cumple la siguiente relación entre los diferentes índices de refracción: n1 ≠ n’ 1 = n 2 ≠ n’  2. Para este caso, se puede demostrar que las ecuaciones que proporcionan los elementos cardinales del sistema equivalente ( F , F’ , H  y H’ ) en función de los elementos cardinales de cada uno de los dos sistemas ópticos que se acoplan ( F 1, F 1’ , H 1, H 1’ , F  2, F  2’ , H  2 y H  2’ ) vienen dadas por: [3.32]

[3.33]

[3.34]

El caso más habitual de acoplamiento de dos sistemas ópticos es una lente, que podemos considerarla como el acoplamiento de dos dioptrios esféricos separados por una determinada distancia, equivalente al grosor de la lente en su centro. Si el grosor de la lente es comparable  .   o    t    i    l   e    d   n   u   s   e   n    ó    i   c   a   z    i   r   o    t   u   a   n    i   s   r   a    i   p   o   c   o    t   o    F  .    R    E    I    V    E    S    L    E    ©

al valor de los radios de curvatura de cada uno de los dos dioptrios esféricos, estaremos ante el caso de una lente gruesa. En cambio, si el grosor de la lente puede ser despreciado frente al valor de los radios de curvatura de los dos dioptrios, estaremos ante el caso de una lente delgada,  y las ecuaciones que se deben aplicar se simplificarán de manera significativa.

Lente gruesa Supongamos una lente gruesa de espesor e, índice de refracción n, sumergida en aire (índice de refracción igual a 1) y formada por el acoplamiento de dos dioptrios esféricos de radios de curvatura r 1  y r  2. En las ecuaciones del acoplamiento de dos sistemas ópticos vistas con anterioridad tendremos que n1 = n’  2 = 1, y n’ 1 = n 2 = n. Particularizando las ecuaciones [3.25] y [3.26] para el caso de los dos dioptrios tendremos que: [3.35]

 Y teniendo en cuenta las formulas [3.32] y [3.34] que proporcionan los elementos cardinales del sistema equi valente al acoplamiento de los dos sistemas ópticos podemos obtener: [3.36]

[3.37]

Estas ecuaciones, que proporcionan la potencia imagen  y la posición de los planos principales objeto e imagen en función de los elementos cardinales de los dos dioptrios y de la separación entre ellos, caracterizan por completo a la lente gruesa de índice de refracción n.

Lente delgada En el caso de una lente delgada de índice de refracción n sumergida en aire, podemos suponer que el grosor de la lente puede ser despreciado frente al valor de los radios de curvatura de los dos dioptrios. Es decir: e