ม.3 วงกลม 2

☺ วงกลม ☺ มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมใน ส่วนโค้งของวงกลม ☺ คอร์ด ☺ เส้นสัมผัสวงกลม เส้นรอบวง circumference รัศมี radius จุดศูนย์กลาง center คอร์ด chord

จุดสัมผัส เส้นสัมผัส tangent

A B

O

sector (area) C

เส้นผ่านศูนย์กลาง diameter segment (area)

********************

จัดทําโดย นายปกครอง บุญปลื้ม

2

วงกลม วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่หา่ งจากจุดคงที่จุดหนึ่งบน ระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นี้วา่ จุดศูนย์กลางของวงกลม เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม ส่วนต่าง ๆ เกีย่ วกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดั้งนี้ เส้นรอบวง circumference รัศมี radius จุดศูนย์กลาง center คอร์ด chord

จุดสัมผัส เส้นสัมผัส tangent

A B

O

sector (area) C

เส้นผ่านศูนย์กลาง diameter segment (area)

จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวงของ วงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่า รัศมีของวงกลม จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กําหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลางของ วงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงทีม่ ีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย วงกลมวงหนึ่งมีรศั มีเป็นจํานวนมากมายนับไม่ถว้ น และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุก เส้น วงกลมสองวงที่มรี ัศมียาวเท่ากัน สามารถเลือ่ นให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ

3

นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีสว่ นอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่สําคัญ ได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง D

ส่วนโค้งใหญ่ O

คอร์ด

B

A

ส่วนโค้งน้อย

C

จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB) ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวทีส่ ุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่เท่ากัน ทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม C

ครึ่งวงกลม B

C

O

เส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งวงกลม

D

เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส A

B

เส้นตัดวงกลม O

เส้นสัมผัสวงกลม C

D

E

จุดสัมผัส

4

มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม X

O A

B

จากรูป ∠AOB และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ ∠AOB รองรับด้วย AB และมุมกับ AOB รองรับด้วย AXB มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมทีม่ ีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม C

B

O A

จากรูป ∠ACB เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AXB มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสอง ของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง A B

O

X

จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O ∠BAC เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วย BXC

C

5

มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบท มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก C C

A

B

O

O

A

B

A

B

O

C

ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมทีจ่ ุดศูนย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมทีร่ องรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน C

C

A

C

B

O

O

B

A

B

A

O

D

ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน B

B

B

D

O A

C

D A

O A

D

C

O C

6

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน C D O

R

A

O

P

B

Q

A

B

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน C

C

D

O

R

B

A

F

D

O

E

B

A

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลาง ที่รองรับด้วยส่วนโค้งนัน้ จะมีขนาดเท่ากัน B

C O

R

O A

B

P

Q

D

A

7

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง ของวงกลมทีร่ องรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน C

E

O

A

R

B

A

F

B

O C

D

คอร์ด ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้ง สองจะตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน D

C

O

O

O

B A

D

A

C

B

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลมทําให้ส่วนโค้ง น้อยยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน A

C

O A

O B

D

B

C

8

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติ ดังนี้ 1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึง่ คอร์ด 2. ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด

O A

O B

X

A

X

B

ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลมจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น F

D Y

O

E

C A

B

X

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลีย่ มใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบ ในวงกลมได้ 3

4

O 1

2

9

ทฤษฎีบท 1. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุด ศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน 2. ในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน D

D O

O

B

C

B

A

C

A

เส้นสัมผัสวงกลม ทฤษฎีบท เส้นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส

C

A O F

E B

D

ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด ๆ หนึ่งบนวงกลม จะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น

10

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงทีล่ ากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเท่ากัน และมีได้สองเส้น B

O P A

11

แบบทดสอบความเข้าใจ 9.

5.

1.

y

y

230°°

O

O

x

40°°

O

x

60°°

x

x = ………. , y = ………. 2.

x = ………. , y = ………. 6.

x

x = ………. , y = ………. 10.

x

40°°

y

O

O

O 50°°

y

x = ………. , y = ………. 3.

x

98°°

x = ………. , y = ………. 7.

x

x = ………. , y = ………. 11.

x

40°°

O

O

110°°

y

O 40°°

y x

y

x = ………. , y = ………. 4.

x = ………. , y = ………. 8.

O

x = ………. , y = ……….

12.

y

y

x

x = ………. , y = ……….

x

O

70°°

x = ………. , y = ……….

x

y

O

x = ………. , y = ……….

12

21.

17.

13.

x x

25°°

O

35°°

y

O 100°°

a

68°°

y

b

x = ………. , y = ……….

x = ………. , y = ………. 18.

14.

a = ………. , b = ………. 22.

x x

O

d

y

30°°

O

y 30°°

x = ………. , y = ………. 15.

c

80°°

15°°

x = ………. , y = ………. 19.

c = ………. , d = ………. 23.

20°° y

O

O

e

x

42°°

50°°

x

y

x = ………. , y = ………. 16.

x = ………. , y = ………. 20.

e = ………. 24.

x

23°°

20°°

y

110°°

x

O

y

70°°

O

r

q

s

70°°

x = ………. , y = ……….

x = ………. , y = ……….

q = ….…. , r = ….…. , s = ........

13

33.

29.

25.

h u

i 60°°

O

O

n

m

t v

50°°

25°° l

40°°

55°°

h = ………. , i = ………. t = ….… , u = ….…. , v = ........ l = ….… , m = ….… , n = ........ 30. 34. 26. D

100°°

a

60°°

O

p

O

b

q

50°°

p = ………. , q = ………. 27.

a = ………. , b = ……….

i

32. f g

∠OPQ = …… , ∠OQP = …… ∠OQR = …… , ∠ORQ = …… 36. B

70°° 35°°

O

25°°

e

A

p = ……….

R

O Q

c = ………. , d = ……….

h

224°°

25°°

P

d

28.

S

40°°

j

i = ………. , j = ……….

B

∠OAB = ....... , ∠OBA = …… ∠OCD = …… , ∠ODC = …… 35.

c

20°°

O

80°°

C

31.

36°°

A

e = ….…. , f = ….…. , g = ........

X 100°°

D

60°°

C

∠ACD = …… , ∠BDC = …… ∠CAB = …… , ∠BDA = ……

14

45.

41.

37.

D

E h

X

80°°

C

65°° i

H

30°°

O

60°°

40°°

j

A

25°°

O

B

G F

∠EFH = …… , ∠FEG = …… h = ….… , i = ……. , j = ....... ∠GFH = …… , ∠EGF = …… 42. 38. 55°°

B A

l

30°°

X

∠CAD = …… , ∠CAB = …… ∠CBA = …… 46. Z

k

Y

O

C

Q

W

O

60°°

O

X

k = ………… , l = ………… 43.

D

∠ADB = …… , ∠DBC = …… ∠BDC = …… , ∠ACD = …… 39.

D

C X

30°°

A

O

25°°

B

∠YXZ = …… , ∠XZY = …… ∠WYZ = …… , ∠XWY = …… 47. O

52°° d

O

c 28°°

d = ………… , c = ………… 40. e f

78°°

∠AXD = ……. , ∠CBD = …… ∠BAC = ……. 44. S 50°°

P

g

O

y

T

R

x

x = ………… , y = ………… 48. 85°°

O

105°°

Q

35°°

a

∠SPT = …… , ∠RQT = …… e = ….… , f = ……. , g = ....... ∠RPQ = …… , ∠SQP = ……

b

a = ………… , b = …………

15

53.

49.

57. ให้ ∠PSQ = 5∠QSR

95°°

S

d c

R

110°°

80°°

n m

d

c = ………… , d = ………… 50.

m = ………… , n = ………… 54. Y

g

e

f

Q

∠QSR = …… , ∠PSQ = …… 58.

Z

35°°

X

P

a

O

75°°

56°°

c b

W

e = ….… , f = ……. , g = ....... ∠XYZ = …… , ∠XWZ = …… 51. a = ….… , b = ……. , c = ....... 55. i T B A 59. f

84°°

h

d 65°°

C

115°°

h = ………… , i = ………… 52.

e

78°°

D

∠BAD = …… , ∠CBT = …… ∠ADC = …… 56. ให้ ∠ACB = 2∠ACD

100°°

D

C

O

d = ….… , e = ……. , f = ....... 60. g

5g

B k l j

j = ….… , k = ……. , l = .......

60°°

O

A

∠ACD = …… , ∠ACB = ……

g = …………….

16

65.

61. h

68.

35°°

i

O

O

l

m

a b

O 40°°

a = ………… , b = ………… 69.

h = ………… , i = ………… 62.

50°°

n j

l = ….… , m = ……. , n = ....... 66. 50°°

O

p

c

d

O

j = ………… 63.

q s

O

r

70°°

4k

c = ………… , d = ………… 70.

O

e

p = ………… , q = ………… r = ………… , s = ………… 67.

k

k = ………… 64.

w

65°°

v 4e

t

O

u

O

2x

O

4x x

x = …………

t = ………… , u = ………… v = ………… , w = …………

e = …………

17

71.

74.

B

77.

B

f g

18°°

40°°

A

C

X

D

110°°

O

O

C A

O

f = ………… , g = ………… 72.

∠BAC = …… , ∠BCA = …… ∠ACO = …… , ∠AOC = …… ∠AOB = …… , ∠DAO = …… 75. ∠ADC = …… 78.

O

O

70°°

X 65°°

2h

P

R

a

b

3h f

h = …………

O c

73.

d

S

a = ….… , b = ……. , c = ....... ∠PRS = …… , ∠PSR = …… d = ….… , e = ……. , f = ....... 76. 79.

O X

e

30°°

63°°

Q

Z

a

O

d

50°°

R

P

Y

∠XOY = …… , ∠XYZ = ……

Q

c

O b

40°°

S

∠ORQ = …… , ∠QPS = ……

25°°

a = ………… , b = ………… c = ………… , d = …………

18

80.

83.

q

86. y

y p

m

n

z 36°°

O

x 80°°

O

34°° x

108°° 43°°

l

l = ….… , m = ……. , n = ....... x = ………… , y = ………… p = ….… , q = ……. , 81. 84.

x = ….… , y = ……. , z = ....... 87. 28°°

O

40°° 70°°

x

z

x = ………… , y = ………… 88.

y

x w

u

v

O

x

y

50°°

x

x = ………… , y = ………… u = ….… , v = ……. , w = ....... x = ….… , y = ……. , z = ....... 85. 82. 50°°

y

O 24°°

c

y

32°°

x = ………… , y = ………… 89.

100°° 66°° b

y

n p l q

m

a

O

x 28°°

r 44°°

l = ….… , m = ……. , n = ....... p = ….… , q = ……. , r = ....... a = ….… , b = ……. , c = .......

38°°

x = ………… , y = …………

19