2tema 4 Matematica en La India

 

CAPITULO VIII  MATEMÁTICAS EN LA INDIA

La matemáticas hindúes tienen una historia muy larga. Si bien el llamado periodo clásico, que arranca en el 500 d.C. es el más importante, hay tradiciones que se remontan más de 2000 años hacia atrás. Del periodo periodo que va del 3000 al 1500 a.C. una referencia referencia es la cultura Harappā, con descubrimientos que salieron a la luz pública cuando se hicieron excavaciones en los años 1921 y 1923 en el Valle del Indo, con una característica especial: el uso de ladrillos cocidos en hornos, que colocados en edificios parecieran sugerir el uso de una base decimal.

8.1 Matemáticas védicas Entre el 1 500 y el 800 a.C. se habla del periodo de las matemáticas védicas. Los Vedas eran colecciones de literatura en las que, entre muchas otras cosas, se encuentra matemática. Esto, en  particular, en unos "apéndices'' llamados Vedangas. Entre ellos, los Sulbasutras trataban de construcción y medidas de altares sacrificiales, y aquí había geometría. Hubo 3 de ellos relevantes relevantes para las matemáticas matemáticas,, escritos, escritos, respectivament respectivamente, e, por: Baudhayana, Pitágoras,, da un procedimiento para Apastamba y Katyayana. El primero formula el teorema de Pitágoras calcular la correcta hasta la quinta cifra decimal, y diversas construcciones geométricas. El segu segundo ndo ampl amplía ía es esto toss te tema mas. s. El últi último mo no añ añade ade much mucho. o. La ge geom omet etrí ríaa aq aquí uí pr prov ovení eníaa de la 139

 

integración de orientación, forma y área de los altares, según las prescripciones de los libros sagrados sagra dos védicos. védicos. Había resultados resultados geométricos geométricos,, procedimien procedimientos tos de construcci construcción ón de altares altares y está inclui incluido do de la siguie siguiente nte manera manera,, por ejemplo, ejemplo, por algor algorit itmo mos. s. El teor teorem emaa de Pitágoras  Pitágoras  está Katyayana: "La soga (estirada a lo largo de la longitud) de la diagonal de un rectángulo produce un (área) que  producen conjuntamente los lados horizontal y vertical''. En la co cons nstr truc ucci ción ón de un al alta tarr ap apar arec ecen en vario varioss tr trip iple lete tess pi pita tagór góric icos os,, in incl clus uso o co con n númer números os irracionales. En las constr construcc uccion iones es geométr geométrica icass que plante planteaban aban,, había había cuadrad cuadrados, os, rectán rectángul gulos, os, trapeci trapecios os y círculos, que se debían construir con restricciones de área. Un par de ejemplos: "Fusionar dos cuadrados iguales o desiguales para obtener un tercer cuadrado'', "transformar un rectángulo en un cuadrado de la misma área''. Las matemáticas védicas incluyen aproximaciones a raíces cuadradas. Se presume que esto se originó al intentar resolver el problema de construir un altar cuadrado que tuviera como área el doble de un cuadrado dado. Tanto Apastamba como Katyayana dieron soluciones. La aproximación fue 1,4142156, mientras, el valor real es 1,414213. ¡Nada mal! Los textos incluyen una fórmula que da la aproximación:

Un comen comenta tari rist staa de es esto toss te text xtos os,, de dell si sigl glo o XV XV,, añadi añadió ó 2 té térm rmin inos os a es esta ta se seri rie, e, dando dando una aproximación con 7 dígitos correctos en la notación decimal; la serie quedaba así:

Hay un hecho curioso que se cita en un himno del Atharavaeda, en una figura que se usaba en las meditaciones, que estaba constituida por 6 triángulos isósceles, que generan a su vez 43 triángulos subalt sub altern ernos. os. La figur figuraa se llama llama:: Sriyan Sriyantra tra,, algo algo así como gran gran "objet "objeto'' o''.. Tomada Tomada de [Georg [Georgee Gheverghese Joseph: La cresta del pavo real].

Sriyantra . 140

 

Se trata de un problema de construcción geométrica bastante difícil. Pero lo más interesante, incluso sorprendente, es que el triángulo más grande de la figura constituye esencialmente una representación de una de las caras tringulares de la famosa pirámide de Gizeh en Egipto. Y conserva una de las razones más interesantes entre dos números-longitudes (irracionales) en la historia de las matemáticas: Esta

es,

con

y

Este último número es la llamada razón áurea.

exactitud,

1,61803,

pero

de

manera

fraccionaria

es:

es un número especial. Una de las cosas interesantes es que emerge en los números de Fibonacci Fibonacci:: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ... Cuando Cua ndo se avanza avanza en la sucesi sucesión, ón, la razón razón entre entre dos tér términ minos os consec consecuti utivos vos crecientemente a

Por ejemplo,

se aproxi aproxima ma

da el valor que se tiene en la gran pirámide de Gizeh.

Antes de seguir, hagamos una pequeña digresión digresión para ilustrar ilustrar ese importante importante número número que aparece  la llamó la "proporción divina''.  por doquier en las matemáticas y la ingeniería; tanto que Kepler  la La sección áurea

Una forma de obtenerla es en los pentágonos regulares. Véase el siguiente procedimiento. Tomemos el pentágono regular .

Pentágono regular. y tracemos las 5 diagonales de éste. Aquí obtenemos otro pentágono regular Y, observe:

.

divide la diagonal correspondiente en 2 segmentos. 141

 

Sección áurea. El resultado: "La razón de la diagonal al segmento más largo es igual a la razón del mismo segmento al segmento más pequeño''. En la figura siguiente, se tiene que:

También:

Sea la diagonal y

el segmento mayor (

y

).

La razón se puede escribir como

lo que hoy en día decimos que es una ecuación de segundo grado:

Seguimos. En los Sulbasutras se puede apreciar un sistema de numeración posicional y decimal, aunque los datos detallados y transparentes aparecen en el trabajo de un astrónomo de mitad del 587 d.C.: Varahamihira. 142

 

8.2 Periodos Jainista y Bakhshali  Jainista

Durante el periodo que va del 800 a.C. al 200 a.C. aparece lo que se llama las matemáticas  jainistas. Del 200 a.C. al 400 d.C. se trata de un periodo de transición antes del periodo clásico del que no se tienen muchas fuentes, pero ya lo analizaremos. El periodo jainista refiere a la declinación védica y al ascenso del budismo y el jainismo. Sabemos que existió en esta época una fascinación por los números grandes y que ofrecieron un primer concepto de infinito. Aquí aparecen operaciones como:

[

y

....

(en el Anuyoga Dwara Sutra, siglo II o I a.C.). Un tema importante que desarrollaron fue el de las combinaciones y permutaciones (por ejemplo en el Bhagabati Sutra, 300 a.C.). Hay fórmulas equivalentes a:

= y ,

,

.

Se dio un importante tratamiento de las progresiones geométricas. Bakhshali

El periodo del 200 a.C. al 400 d.C. posee como referencia principal en lo que se refiere a las matemáticas matem áticas,, un manuscrito manuscrito que fue encontrado encontrado en 1881 en un pueblo llamado llamado Bakhshali, noreste noreste de la India. Para la mayoría de expertos se trata de un documento del siglo XII d.C. pero una reescritura de textos del periodo que estamos considerando. Se trataba de un manual con reglas y ejemplos, esencialmente de álgebra y aritmética. Con base en ese manuscrito se puede decir que los problemas tratados tuvieron una asociación menos men os religi religiosa osa que la que tuvieron tuvieron en los periodos periodos védico o jai jainis nista, ta, es decir: decir: fueron fueron más  prácticos. Se elaboraron mejores aproximaciones de Se amplió el trabajo de series realizado  por los jainistas. Tenemos un sistema posicional con valor numérico, e incluido el cero. Se inició un interés por el análisis indeterminado y hay, en la exposición, cierta demostración de las reglas que se formulan y de las que se brindan ejemplos. Vamos ahora al periodo clásico, que es el que más nos interesa en este capítulo.

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8.3 El periodo clásico Empezamos citando algunos astrónomos y matemáticos: Aryabhata I (nació alrededor del 476 d.C.), Brahmagupta Brahmagupta (alrededor  (alrededor del 598), Mahavira (ca. 850), Sridhara (ca. 900), Bhaskara (nació 1 114), Narayana Narayana Pandit (ca. 1 370), Madhava de Sangamagr Sangamagramma amma (ca. 1 340 - 1 425) y Nilakantha Nilakantha Somayaji (1 445 - 1 545). Aryabhata I, en un libro que se titula Aryabhatiya, da una descripción del conocimiento científico de la época, incluye un sitema de notación numérico alfabético, reglas de operaciones en aritmética y trata procedimientros para resolver ecuaciones simples y cuadráticas, y, también, ecuaciones indeterminadas de grado uno. Hay, además, trigonometría, la que incluye las funciones seno, una función que se llamaba seno verso que es igual al 1-coseno. Dio el valor de 3,1416 para Su obra fue continuada por Varahanihira (ca. 505 - 587) y por Bhaskara (ca. 600). Este último ofreció una solución de ecuaciones indeterminadas de primer grado, que ejerció una importante influencia sobre  Brahmagupta. sobre Brahmagupta. Brahmagupta, Brahmagupta, en una obra llamada Brahma Sputa Siddhanta, ofreció un método para la resolución de ecuaciones indeterminadas de primero y segundo grados. En otra obra, Khanda Khadyaka, en trigonometría dio un procedimiento para calcular los senos de ángulos intermedios con base en una tabl ta blaa da dada da de senos. senos. Se dice dice que era equiva equivale lente nte a la fórmul fórmulaa de  Newton-Stir  Newton-Stirling ling hasta las diferencias de segundo orden. El primer libro fue traducido por los árabes y luego por los europeos, con lo que así se ofreció o freció a Europa el conocimiento de la astronomía y matemáticas hindúes. Mahavira, matemático y no astrónomo, sintetizó y amplió los resultados de Aryabhata, Bhaskara y Brahmagupta. Brahmagupta. Se afirma que su obra Ganita Sara Samgraha es una culminación de los trabajos y combinaciones.. Dio soluciones a tradiciones tradi ciones de los jainistas. jainistas. Por ejemplo, ejemplo, en las permutaciones las  permutaciones y combinaciones varios tipos de ecuaciones de segundo grado. Amplió el tema de la ecuaciones indeterminadas. Y trabajó en geometría con triángulos rectángulos de lados racionales. Sridhara, en Pataganita, ofreció un método para sumar series aritméticas y geométricas que sería relevante posteriormente. Se considera una culminación de 500 años de trabajos matemáticos la obra de Bhaskara II (llamado también tambi én Bhaskarachar Bhaskaracharya: ya: "maestro Bhaskara''), Bhaskara''), Lilavati. Lilavati. Un ejemplo, ejemplo, un método método para resolver ecuaciones indetermi ecuaciones indeterminadas nadas de la forma forma (método (método "cíclico'') "cíclico'').. Este método método fue redescubier redes cubierto to por William William Brouncker en 1 657. Se afirma afirma que en su obra hay rastros de análisis y cálculo infinitesimal. Se conside considera ra que Madhava Madhava de Sangama Sangamagra gramm mmaa fue probab probablem lement entee el más im impor portan tante te de los astrónomos astr ónomos medievales medievales de la India. En las matemáticas matemáticas se dice que introdujo introdujo el salto salto del límite al infinito. Los hindúes tuvieron como característica relevante de su álgebra el uso de símbolos (por ejemplo, el punto para el cero o para incógnitas, en algún momento de la historia hindú) y las letras del alfabeto para denotar las incógnitas.

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Las ecuaciones lineales de primer grado aparecieron en los Sulbasutras (el de Baudhayana), pero una solución algebraica aparece hasta el documento Bakhshali. Las de segundo grado como, por ejemplo, ejemplo, o , están en los Sulbasutras Sulbasutras pero aparecen aparecen resueltos resueltos en el de Bakhshali también. Aquí se ofreció la respuesta

Sridhara y luego Mahavira ofrecieron la solución:

En relación con el primero, sin embargo, no se sabe si usó las dos raíces. Sobre las ecuaciones indeterminadas, por ejemplo de la forma

Brahmagupta estudió  estudió y Aryabhata I dio una solución, mediante un método que se llamó kuttaka. Brahmagupta dio soluciones en enteros racionales a las ecuaciones:

A una versión de esta última ecuación Euler  le   le dio crédito a un matemático inglés llamado John Brahmagupta usado  usado alrededor del 600 d.C. se Pell, que llamó llamó "ecuación de Pell''. El método método de Brahmagupta  (theorema elegantissimum). suele atribuir a Euler  (theorema Jayadeva en los alrededores del 1 000 dio un método general para resolver ecuaciones de ese tipo. El mismo fue refinado refinado por Bhaskara Bhaskara 100 años despúes. Se parece al "método "método cíclico inverso'' con fracciones continuas fracciones continuas del que se ocuparon muchos matemáticos matemáticos europeos tiempo tiempo despué despuéss ( Fermat Fermat,, Euler , Lagrange, Lagrange, Galois). Galois). Es interesante que Bhaskara dio solución a la ecuación  para y

y

mínimos: .

Fréniclee de Bessy Este problema fue planteado a manera de reto por Fermat a Fermat a uno de sus amigos, Frénicl en 1 657. Sería resuelto por Lagrange con Lagrange con otro método. método. Sin embargo, embargo, mientras mientras que la solución solución de sucesivas de la fracción fracción continua continua de Lagrange necesitaba 21  21  series convergentes  convergentes  sucesivas de Jayadeva-Bhaskara lo hacía en pocos pasos.

, el métod método o

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Una de las fuentes de la trigonometría hindú se encuentra en los alejandrinos. La trigonometría india estaba asociada a la astronomía. Varahamihira las incorpora en su Surya Siddha Sid dhanta nta (como (como en el 400 d.C.) d.C.) y tambié también n lo hace Brahmagupta Brahmagupta   en Brahma Sputa Siddhanta (como en el 500 d.C.). Pero de manera sistemática lo hace Bhaskara en Siddhanta Siromani. Los hindúes usaron la semicuerda. Veamos qué q ué quiere decir eso.

Semicuerda hindú. Las funciones que desarrollaron fueron: , cos

y

Es decir, hay una ligera diferencia con las usuales para nosotros; pero todo se resuelve fácil. ¿Cómo? Lograron varias relaciones trigonométricas y también desarrollaron tablas de senos de diferentes arcos. Se afirma que las tablas hindúes tuvieron origen en los babilonios, fuente de la que también se benefició Ptolomeo. Ptolomeo.  En el 665, 665, Brahmagupta Brahmagupta dio  dio una fórmula de interpolación para calcular los senos de ángulos  Newton-inter intermedio medios s con base en de unasegundo tabla. tabla. Se dice que la fórmula fórmula es equivalente equivalente a la fórmula fórmula de  Newton Stirling para diferencias orden. También, un par de siglos después, el astrónomo Govindaswami (alrededor 800 - 850) ofreció una regla de interpolación de segundo orden para poder calcular valores intermedios de la función, que se podría podría consid considera erarr era un caso caso parti particul cular ar de la fórmul fórmulaa de interp interpola olació ción n de  Newton  Newton--Gauss Gauss.. Posteriormente, hubo desarrollos de senos y cosenos con expresiones parecidas a las series de Taylor para el segundo orden.

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8.4 La escuela de Kerala Kerala es un territorio en el suroeste de la India. En la década de 1 940, investigadores hindúes, con Rajagopal al frente, retomaron un artículo escrito en 1 835 por Charles Whish, en el que se afirma la existencia de importantes resultados en las matemáticas de Kerala, que formaron toda una escuela. Cuatro obras señalaba Whish que eran las claves para la astronomía y las matemáticas: Tantra Samgraha (Nilakantha), Yuktibhasa (Jyesthadeva), Karana Paddhati (Putumana Somayaji) y Sadratnamala (Sankara Varman). Estas Est as obras obras incluí incluían, an, según según Whish, Whish, cálcul cálculo o infini infinites tesima imal, l, series series de Gregory  Gregory  y Leibniz  Leibniz  para la tangente inversa, series de potencias de Leibniz  Leibniz  pa para ra y la de de Newton  Newton   para el seno y el coseno (atribuidas a Madhava). Además, aproximaciones racionales a funciones trigonométricas: la serie de Taylor, entre ellas. Estos últimos resultados obtenidos sin usar el cálculo infinitesimal. Las series series infini infinitas tas de al parecer parecer,, estaban estaban asociadas asociadas a llaa astronom astronomía. ía. Igual Igual con los los desarr desarrollos ollos  para las funciones trigonométricas. Es decir: para obtener tablas cada vez más precisas para utilizar en los cálculos astronómicos. Tal era la precisión que Madhava obtuvo valores correctos hasta la  posición decimal 8 o 9. Esto sería obtenido por los europeos 200 años después. Para algunos autores recientes, sus trabajos podrían considerarlo el fundador del análisis matemático. En la India existen otros temas matemáticos de interés. Por ejemplo, el estudio de series aritméticas  por medio de diagramas. Esta aproximación geométrica permitía ofrecer cierto grado de convencimiento de los resultados. También Tambié n hicier hicieron on trabaj trabajos os con cuadri cuadrilát látero eross inscri inscritos tos en cír círcul culos os (cuadr (cuadrilá iláter tero o cíclic cíclico). o). Ya Brahmagupta había ofrecido algunos resultados. Consideremos la siguiente figura.

Semisumas y diagonales del cuadrilátero cíclico. Esos resultados se pueden poner de la siguiente manera: Sea

Entonces:

El área del cuadrilátero es = 147

 

 y Por medio de estos cuadriláteros cíclicos, la escuela de Kerala encontró las relaciones: sen

sen

sen

sen

sen sen =sen

y

sen

introduje ujeron ron el concept concepto o de movimi movimient ento o Po Porr otra otra part parte, e, ta tant nto o Ary Aryab abha hata ta I y Brahmagupta  Brahmagupta  introd instantáneo. Usaron, por ejemplo, la fórmula: sen donde ,

,y

sen

son la longitud longitud verdadera, verdadera, media media y anomalía anomalía media en un momento, momento,

las mismas cantidades después de un momento, momento, órbita.

,

y

es la excentricidad excentricidad de la máxima máxima ecuación de la la

Manjula (930 d.C.) y Bhaskara ampliaron estos resultados. Este último obtuvo lo que se puede decir era: sen

cos

Estos trabajos fueron ampliados por la escuela de Kerala. Con estos estos elemen elementos tos podemos podemos afirma afirmarr que las matemá matemátic ticas as hindúe hindúess tuvier tuvieron on un des desarr arroll ollo o considerable, en algunos casos adelantándose en siglos a los europeos. Sin embargo, todavía no están claras todas las conexiones y puentes entre hindúes y europeos. Pero hay una que sabemos que fue decisiva: los árabes.

8.5 Biografías Brahmagupta

Brahmagupta nació en el año 598, posiblemente en Ujjain, India. Su padre fue Jisnugupta. Escribió Escrib ió impor importan tantes tes trabajo trabajoss acerca acerca de matemá matemátic ticas as y astron astronomí omía. a. Dos de sus trabajo trabajoss más import important antes es fueron fueron Brahma Brahmasph sphuta utasid siddhan dhanta, ta, escrit escrito o en el año 628 y Bra Brahma hmasph sphuta utasid siddhan dhanta, ta, escrito en el año 665 a la edad de sesenta y siete años. Fue el director del observatorio de Ujjain, el primer centro matemático de la antigua India, en donde grandes matemáticos como Varahamihira trabajaron ahí y luego construyeron importantes escuelas astronómicas. Murió en el año 670 en India.

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